Um Estudo de Aut^omatos Celulares com Sistemas Difusos ... · Um Estudo de Aut^omatos Celulares com...

Um Estudo de Automatos Celulares comSistemas Difusos para Modelos Compartimentais

do Tipo SIR

Walley da Costa12, Lıliam Medeiros1, and Sandra Sandri1

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE)1

Fundacao Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Telecomunicacoes (CPqD)2

[email protected],[email protected],[email protected]

Resumo O modelo compartimental SIR (Suscetıveis - Infectados - Re-cuperados) e utilizado na modelagem da dinamica de transmissao dedoencas infecciosas. No entanto, o SIR classico nao leva em consideracaoexplicitamente a dimensao espacial de transmissao da doenca. Ao imple-mentar este modelo por meio de um automato celular e possıvel descre-ver a evolucao espaco-temporal da doenca. Mas devido a complexidadena forma de transmissao de certas doencas, principalmente aquelas queenvolvem vetores transmissores, a criacao da funcao de transicao dosautomatos celulares pode nao ser trivial. O uso de sistemas difusos per-mite utilizar o conhecimento de especialistas para modelar a funcao detransicao, apesar da incerteza e imprecisao inerentes ao conhecimentohumano. Este trabalho propoe uma representacao da dinamica de epi-demias, atraves de um modelo compartimental SIR, simulado por meiodo uso conjunto de automatos celulares e sistemas difusos. Apresenta-setambem uma aplicacao do modelo proposto sobre propagacao de den-gue, com simulacoes efetuadas utilizando-se dados da Ilha do Governa-dor(RJ).

Keywords: Modelo Compartimental SIR, Doencas Infecciosas, AutomatosCelulares, Sistemas Difusos, Propagacao de Dengue, Ilha do Governador(RJ).

1 Introducao

Ao longo da historia, doencas infecciosas tem afligido a sociedade humana. Al-gumas delas, como sarampo, varıola, gripe e peste bubonica, chegaram a dizimargrupos etnicos inteiros [1]. No momento atual, a dengue e uma das mais impor-tantes doencas infecciosas nas regioes tropicais do planeta, afetando em tornode 50 milhoes de pessoas a cada ano, principalmente em areas urbanas e semiur-banas [2].

A epidemiologia matematica [3] e uma nova area da ciencia que propoe mo-delos que ajudam a tracar polıticas de controle de doencas infecciosas. Modeloscompartimentais, em particular, tem sido bastante utilizados para estudar a epi-demiologia destas doencas [4]. Um dos modelos compartimentais mais utilizados

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na modelagem da dinamica de transmissao de doencas infecciosas e o modeloSIR (Suscetıveis-Infectados-Recuperados) [5].

Ao se realizar uma analise epidemiologica, e importante fazer um estudoda distribuicao das doencas e de seus determinantes no espaco e no tempo [6].Para se estudar o espalhamento de uma doenca, e indispensavel a utilizacaode modelos espaciais, uma vez que atraves destes torna-se possıvel observar opadrao espacial de prevalencia da doenca, alem de revelar a velocidade da frentede onda da epidemia [7].

Atraves de uma analise conjunta das variacoes nos fatores ambientais, torna-se possıvel formular hipoteses etiologicas. No entanto, nem sempre e possıvel es-tabelecer nexos causais diretamente utilizando-se somente o estudo das variacoesgeograficas das doencas. Ja o estudo da distribuicao das doencas no tempo podefornecer inumeras informacoes para a compreensao, previsao, busca etiologica,prevencao de doencas e avaliacao do impacto de intervencoes em saude.

Os Automatos Celulares sao capazes de descrever a evolucao espaco-temporalde sistemas complexos, como a modelagem de propagacao de epidemias [8], medi-ante a aplicacao de um conjunto de regras de transicao1, que alteram os atributosde cada celula do automato em funcao dos atributos das celulas vizinhas. Porem,com frequencia, as regras para transicoes locais em modelos de sistemas reaisnao sao conhecidas com exatidao [9].

A utilizacao da Teoria dos Conjuntos Difusos [10], permite a criacao dafuncao de transicao de automatos celulares, ou seja, do comportamento de umacelula, atraves da modelagem do conhecimento de um especialista sobre o com-portamento real do sistema. A capacidade dos conjuntos difusos em expressargraus intermediarios de pertinencia possibilita, alem de uma representacao sig-nificativa e poderosa de incertezas, uma representacao valiosa de conceitos vagosexpressos em linguagem natural [11]. Alguns trabalhos que utilizam sistemasdifusos para modelar regras de transicao em automatos celulares, podem serencontrados em: [7],[9],[12],[13],[14],[15].

O objetivo deste trabalho e propor uma representacao da dinamica de epide-mias, atraves de um modelo compartimental SIR, simulado por meio do uso con-junto de automatos celulares e sistemas difusos. Os efeitos locais e nao locais dedoencas infecciosas sao considerados, tendo a taxa de transmissao como saıda deum sistema difuso. Neste trabalho, apresenta-se tambem uma aplicacao do mo-delo proposto sobre propagacao de dengue, com simulacoes efetuadas utilizando-se dados da Ilha do Governador (RJ).

2 Conceitos Gerais

Nesta Secao sao apresentados os principais conceitos e definicoes utilizados nestetrabalho, com uma descricao sucinta de modelos SIR, automatos celulares esistemas difusos.

1 Neste trabalho, tambem nos referimos as regras de transicao de automatos celularescomo funcao de transicao, para evitar confusoes com as regras utilizadas nos sistemasdifusos.

Um Estudo de Automatos Celulares com Sistemas Difusos 265

2.1 Descricao do Modelo SIR

Alguns exemplos de doencas que podem ser modeladas atraves de modelos SIRsao a rubeola, varicela, sarampo, caxumba, entre outras que ocorrem com maiorfrequencia na infancia. Modelos do tipo SIR dividem a populacao em tres com-partimentos, ou classes de indivıduos:• Suscetıveis (S): aqueles que podem contrair a doenca,• Infectados (I): aqueles que podem transmitir a doenca,• Recuperados (R): aqueles que se recuperaram da doenca e ficaram imuni-

zados contra ela.A Figura 1 ilustra o diagrama esquematico do modelo epidemiologico SIR

onde a populacao e considerada constante. Neste diagrama µ representa a taxade novos suscetıveis por unidade de tempo (combinacao das taxas de natalidade ede mortalidade), β e a taxa em que novas infeccoes surgem como consequencia docontato entre suscetıveis e infectados, γ e a taxa com que os infectados tornam-serecuperados e S + I +R = TH .

A forma classica de representar um modelo compartimental do tipo SIR evia um conjunto de equacoes diferenciais, dado por: dS/dt = µTH − µS − βS, S(0) = S0 ≥ 0;

dI/dt = βS − γI − µI, I(0) = I0 ≥ 0;dR/dt = γI − µR, R(0) = R0 ≥ 0,

em que S(t) + I(t) +R(t) = TH .

Figura 1. Representacao do modelo SIR para uma populacao constante.

A Figura 2 ilustra a evolucao temporal de um modelo SIR simples no qualµ = 0, ou seja, nao ha renovacao de humanos(populacao constante, sem mortese emigracoes ou nascimentos e imigracoes). Neste grafico, toda populacao e ini-cialmente suscetıvel a doenca; com o passar do tempo esta proporcao comeca acair, com a porcentagem de infectados aumentando simultaneamente, ate que,por fim, toda a populacao esteja recuperada. A forma exata e inflexao das curvasdependem das particularidades do agente infeccioso. Assim que a derivada dataxa de infeccao torna-se negativa, mais pessoas se terao recuperado da doencae estas duas linhas de tendencia irao se cruzar.

Em modelos SIR que ha renovacao de humanos, a populacao pode se manterconstante, mas neste caso a soma das taxa de mortalidade e emigracao sao


Figura 2. Grafico de um modelo SIR onde nao ha renovacao de humanos [16].

diferentes de zero e igual a soma das taxa de natalidade e imigracao. Logo,tem-se que µ > 0 e pessoas recuperadas ou infectadas que venham a morrer ouemigrar sao substituıdas por pessoas suscetıveis que nascem ou imigram. Dessaforma, a epidemia pode ocorrer em ciclos como ilustra a Figura 3.

Figura 3. Reincidencia de dengue para um sorotipo. [17].

2.2 Automatos Celulares

O conceito de automatos celulares foi criado na decada de 1960, buscando mo-delar fenomenos biologicos como sistemas auto-reprodutivos [18]. Os automatoscelulares sao sistemas dinamicos auto-reprodutivos, onde o tempo e o espaco saodiscretos, e consistem de uma grade formada por celulas que podem assumir umestado dentre um conjunto pre-determinado e finito de estados. A mudanca de


estado em cada passo de tempo depende de um conjunto de regras de transicao(ou funcao de transicao), que sao construıdas com base nos possıveis estados dapropria celula e das celulas vizinhas [19].

Um automato celular pode ser definido como um conjunto (L,E, V, f), emque:• L e uma grade regular, d - dimensional, formada de celulas;• E e um conjunto finito de estados;• V e o conjunto finito de todas as celulas vizinhas, de tamanho |V | = nv e

dimensao d, tal que para todo c ∈ L temos que V (c) e subconjunto de L;• f : (E, V )⇒ E e uma funcao de transicao (regra de transicao).

Sendo assim, L representa a discretizacao do espaco, E e o conjunto dosdiferentes estados em que cada celula pode assumir, a vizinhanca V e o conjuntode celulas que influenciam na definicao do novo estado das celulas e a funcao fdefine o proximo estado da celula a partir do estado das celulas vizinhas e deseu proprio estado atual.

Conforme ilustra a Figura 4, a grade regular de celulas pode ter diferentesdimensoes (unidimensional, bidimensional, tridimensional, etc.) e pode possuirdiferentes tipologias (malhas quadradas, triangulares, hexagonais, etc.).

Figura 4. Automatos Celulares com: a) diferentes dimensoes [20]; b) diferentes topo-logias [20].

As configuracoes de vizinhanca e seus raios podem ser definidos de acordocom o sistema que o automato celular esta modelando, como ilustra a Figura 5.Na vizinhanca de Moore, por exemplo, sao considerados vizinhos aquelas celulasque tem vertices em comum com a celula que esta sendo considerada, elevandoo numero de vizinhos para oito no caso da rede quadrada.

Uma vez definidas as regras de transicao e atribuıdo um estado inicial atodas as celulas do reticulado, a dinamica do sistema pode ser desenvolvida.Para garantir uma dinamica bem-definida do automato celular e importanteque existam condicoes de contorno. Tais condicoes indicam como o automatose caracteriza alem do seu limite e sao necessarias para completar o conjuntode vizinhos das celulas que se encontram nas bordas do automato e influenciamno resultado da aplicacao da regra de transicao. Alguns exemplos que simulamcondicoes de contorno estao ilustrados na Figura 6. A condicao de contorno nula,utilizada neste trabalho, considera que uma celula da borda tem como vizinhosapenas aquelas celulas imediatamente adjacentes a ela na grade.


Figura 5. Vizinhancas geralmente utilizadas para automatos celulares bidimensionais.

Figura 6. Algumas condicoes de contorno usadas por automatos celulares.

2.3 Sistemas de Inferencia Difusos

Um conjunto difuso pode ser matematicamente definido, atribuindo-se a cadaelemento do universo de discurso um valor numa escala limitada, representandoseu grau de pertinencia no conjunto difuso. O grau de pertinencia corresponde aograu em que cada elemento e similar ou compatıvel com o conceito representadopelo conjunto difuso [11].

Um conjunto difuso A do universo de discurso Ω e definido por uma funcaode pertinencia A : Ω → [0, 1]. Pode ser representado por um subconjunto de umproduto cartesiano, onde cada par ordenado e formado pelo elemento do universode discurso e seu grau de pertinencia: A = (x,A(x))|x ∈ Ω. A teoria dosconjuntos difusos, quando utilizada em um contexto logico, como o de sistemasbaseados em conhecimento, e conhecida como logica nebulosa, logica difusa oulogica ”fuzzy”[21].

Em um Sistema de Inferencia Difuso, atraves de entradas nao-difusas, ouprecisas¸ resultantes de medicoes ou observacoes, e efetuado um mapeamentona Interface de Codificacao para os conjuntos difusos (de entrada) relevantes. Acada variavel de entrada sao atribuıdos termos linguısticos que sao os estadosda variavel, e cada termo linguıstico e associado a um conjunto difuso traduzidopor uma funcao de pertinencia. Alguns exemplos de formas que as funcoes depertinencia podem assumir sao a gaussiana e sigmoidal, utilizadas neste trabalho.

A Base de Conhecimento e constituıda pela base de regras e base de dados. ABase de Regras contem um conjunto de regras difusas, com estrutura do tipo Se〈premissa〉 Entao 〈conclusao〉. Na Base de Dados sao armazenadas as definicoessobre discretizacao e normalizacao dos universos de discurso, e as definicoes dasfuncoes de pertinencia dos termos difusos.


A partir do processamento dos valores de entradas difusas juntamente comas regras, no Procedimento de Inferencia e possıvel inferir o valor de saıda difusacorrespondente. Conforme [21], nos modelos difusos classicos, como por exemploo de Mamdani, utilizado neste trabalho, o processamento de inferencia e feitoda seguinte forma:

1. Sejam as regras Rj codificadas como: Rj : Se x1 e A1,j e ... e xn e An,jEntao yj e Cj ;

2. Seja xi uma variavel de estado, definida no universo Xi. A realizacao dexi e definida como o valor x∗i ∈ Xi que esta assume em Xi em um dadomomento;

3. Sejam T , φ e I operadores de conjuncao (t-norma), disjuncao (t-conorma)e implicacao, respectivamente;

4. A compatibilidade da i-esima premissa da j-esima regra com x∗i , ou seja,a compatibilidade de x∗i , para 1 ≤ i ≤ n, com A1,j da regra Rj , para1 ≤ j ≤ m, e definida por: αi,j = Ai,j(x

∗i ), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m;

5. Com as premissas de uma dada regra avaliadas, a compatibilidade globalαj da regra Rj , para 1 ≤ j ≤ m, com os x∗i e determinada como:αj = (α1,j , ..., αn,j), 1 ≤ j ≤ m;

6. O αj assim obtido e relacionado com o respectivo conjunto difuso Cj do

consequente da regra Rj , dando origem a um conjunto C′

j , para 1 ≤ j ≤ m,calculado como: Cj′ (y) = I(αj , Cj(y)), ∀y ∈ Y ;

7. As contribuicoes das varias regras acionadas C′

j sao agregadas num unico

conjunto difuso C′: C

′(y) = φ(C1′ (y), ..., Cm′ (y)), ∀y ∈ Y .

No modelo de Mamdani, a regra semantica tradicionalmente utilizada para oprocessamento de inferencias e chamado de inferencia Max-Min, pois as operacoesde uniao e de intersecao sao realizadas por meio dos operadores de maximoe de mınimo. Para o modelo de Mamdani temos, entao, T (a, b) = min(a, b),I = min(a, b) e φ(a, b) = max(a, b).

Finalmente, na Interface de Decodificacao e efetuada uma interpretacao dovalor de saıda difusa, que gera um valor numerico preciso. O sistema difuso deMamdani precisa utilizar uma Interface de Decodificacao para obter um valornumerico real para a saıda. Um dos metodos usuais de decodificacao, e utilizadoneste trabalho, e o Metodo do Centro da Area (COA), que pode ser definidopela equacao algebrica que consiste em realizar o somatorio da variavel multi-plicado pelo grau de pertinencia da variavel, dividido pelo somatorio do grau depertinencia, ou seja: uCOA =

∑Ni=1 ui.u(ui)/

∑Ni=1 u(ui).

3 Proposta de Modelos SIR com Automatos CelularesDifusos

Caso as informacoes para as regras de transicao de um automato celular se-jam incertas, dificultando a construcao de expressoes analıticas, este trabalhopropoe a utilizacao de um Sistema de Inferencia Difuso para obtencao de valo-res numericos precisos que podem ser usados como parametros em funcoes de


transicao. Tambem e formulado um modelo SIR geral que e simulado atraves deum automato celular difuso.

3.1 Descricao do Modelo Geral

A dinamica da doenca em uma comunidade e modelada por um automato celulardifuso H, bidimensional, composto por uma rede de celulas quadradas, e querepresenta os espacos dos humanos. Cada celula H(i, j) e um vetor que simbolizaum conjunto de domicılios onde habitam pessoas. Entre os dados armazenadosem uma celula H(i, j) do automato H estao o total de humanos NHi,j , o totalde humanos suscetıveis NSi,j , o total de humanos infectados NIi,j e o totalde humanos recuperados NRi,j . O total de humanos infectados NIi,j pode serdividido em k estagios de infeccao, de acordo com a doenca ou a necessidade.As pessoas em cada estagio estao contabilizadas em NI1i,j , NI2i,j , ..., NIki,j .Todos estes dados estao ilustrados na Figura 7.

Figura 7. Ilustracao dos dados armazenados em uma celula do automato H.

Durante as simulacoes do modelo, e considerada uma populacao constantede agentes transmissores e humanos. Os agentes transmissores da doenca estaoimplıcitos no modelo atraves das pessoas infectadas e pode-se dizer que sao emnumero igual em todas as celulas. No caso dos humanos, a quantidade de pessoaspode variar em cada celula, mas no modelo nao ha renovacao, ou seja, nao saolevados em consideracao nascimentos, mortes, imigracoes e emigracoes. Logo,se as pessoas se tornam imunes a doenca considerada na execucao do modelo,neste ambiente os indivıduos suscetıveis se esgotam e a epidemia termina acom-panhada de um alto porcentual de pessoas imunizadas. Variacoes climaticas naosao consideradas no modelo, assim como a populacao humana nao e estruturadapor idade.

Entre os parametros de entrada do modelo estao o percentual ρASS de in-divıduos com infeccoes assintomaticas (sem sintomas), que esta relacionado afatores ambientais, individuais, do agente transmissor e do proprio vırus, e ataxa de mobilidade humana ρMOB a celulas vizinhas (vizinhanca de Moorecom condicao de contorno nula). Ao final apenas os indivıduos infectados as-sintomaticos, juntamente com indivıduos recuperados e suscetıveis, que podemsair de suas celulas locais para celulas vizinhas, uma vez que os demais ficariamimpossibilitados devido as suas condicoes fısicas.


Outros parametros de entrada sao a quantidade k de estagios da infeccao dadoenca considerada, e o intervalo de tempo ∆t que define o perıodo em que aspessoas permanecem em cada um dos estagios da infeccao. Dessa forma, a cada∆t as pessoas em NI1 passam para NI2, as pessoas em NI2 passam para NI3e assim, sucessivamente, ate que as pessoas em NIk vao para NR. A Tabela 1descreve a classificacao dos principais parametros e os dados internos de cadacelula, bem como as notacoes utilizadas.

Parametros de Entrada

Percentual de infeccoes assintomaticas ρASS

Taxa de mobilidade humana a celulas vizinhas ρMOB

Quantidade de estagios da infeccao k

Intervalo de tempo ∆t

Dados Internos

Total de humanos na celula H(i, j) NHi,j

Total de humanos suscetıveis na celula H(i, j) NSi,j

Total de humanos infectados na celula H(i, j) NIi,jTotal de humanos infectados no 1o estagio na celula H(i, j) NI1i,j

Total de humanos infectados no 2o estagio na celula H(i, j) NI2i,j

. .

. .

. .

Total de humanos infectados no k-esimo estagio na celula H(i, j) NIki,jTotal de humanos recuperados na celula H(i, j) NRi,j

Tabela 1. Principais parametros de entrada e dados internos a cada celula do modelo.

O percentual de transmissao PT e a taxa de suscetıveis que se tornam in-fectados, atraves do qual se determina a quantidade de pessoas que passam deNS para NI1, em cada ∆t. Este percentual e obtido atraves da saıda inferidapor um sistema difuso de Mamdani com decodificacao por centro de area, comodescrito na Secao 2.

As entradas numericas do sistema difuso sao a porcentagem ρI de pessoasinfectadas e a porcentagem ρR de pessoas recuperadas, ambas na faixa de valoresentre 0 e 1. Estas porcentagens sao obtidas dividindo-se o numero de pessoasinfectadas ou recuperadas de uma area considerada pelo numero total de pes-soas da mesma area. No modelo, esta area pode ser local (apenas uma celula doautomato considerada), possuir diferentes nıveis (vizinhanca de uma celula con-siderada, cujo valor do raio varia conforme o nıvel), ou atingir a regiao inteira(conjunto de todas as celulas do automato, diferentes de uma celula conside-rada). Cada uma das areas da influencia de infeccao representa um risco paraindivıduos suscetıveis de uma celula considerada do automato, onde localmenteestes se encontram ameacados pelos agentes transmissores que vivem na mesmacelula e os que se movem para as demais celulas sao ameacados pelos agentes


transmissores que habitam naqueles espacos celulares. A Figura 8 ilustra as di-ferentes areas, onde a celula considerada esta em vermelho e as celulas da areada influencia de infeccao estao em verde.

Sendo assim, calcula-se ρI e ρR, em relacao a uma celula H(i, j), de acordocom a influencia considerada:

1. Influencia local:(a) ρI = NIi,j/NHi,j ; (b) ρR = NRi,j/NHi,j .

2. Influencia nao local:(a) totalI = (NIi,j .ρMOB .ρASS) +

∑α∈Vr

NIα;(b) totalR = (NRi,j .ρMOB) +

∑α∈Vr

NRα;(c) totalH = ((NSi,j +NRi,j).ρMOB) + (NIi,j .ρMOB .ρASS) +

∑α∈Vr

NHα;(d) ρI = totalI/totalH ;(e) ρR = totalR/totalH ,

onde totalH , totalI e totalR sao a quantidade total de pessoas, pessoas infectadase pessoas recuperadas que saem da celula H(i, j), em um intervalo de tempo,somadas com a quantidade total de pessoas, pessoas infectadas e pessoas recu-peradas das celulas vizinhas de H(i, j), e Vr e o conjunto de todos os vizinhosda celula H(i, j) para um raio de vizinhanca qualquer.

Figura 8. Diferentes areas da influencia de infeccao presentes no modelo.

No modelo, em cada ∆t primeiramente e aplicado a influencia local, depoiscom o vetor de atributos resultante da celula se aplica as demais influencias naolocais, sempre por ordem de abrangencia. E importante ressaltar que apenasas pessoas suscetıveis que se deslocam em um intervalo de tempo, podem serinfectadas devido a uma influencia nao local.

Uma implementacao bastante geral de um automato celular difuso para o mo-delo acima, e utilizado neste trabalho, tem duas variaveis linguısticas de entrada:I (indivıduos infectados) e R (indivıduos recuperados), cada qual associada aomesmo conjunto de termos linguısticos: B (Baixa), M (Media), A (alta). A basede regras foi definida de forma empırica e esta descrita abaixo:

1. Se I e B, Entao PT e B; 4. Se R e B, Entao PT e A;2. Se I e M , Entao PT e M ; 5. Se R e A, Entao PT e B.3. Se I e A, Entao PT e A;

Ao se observar as regras, percebe-se que neste modelo as pessoas que estaorecuperadas (ou imunes contra a doenca) servem como uma barreira a trans-


missao do vırus, uma vez que a probabilidade de um agente transmissor infectarum humano suscetıvel ira diminuir.

4 Aplicacao do Modelo na Difusao da Infeccao pelo Vırusda Dengue

O modelo geral descrito na Secao 3 foi implementado e aplicado para o casoda dengue, usando o ambiente de programacao para modelagem dinamica espa-cial TerraME [22]. O TerraME tem como caracterısticas fornecer uma ligacaoao banco de dados geograficos TerraLib [23], e uso da linguagem Lua [24] paracriacao de modelos. A TerraLib e uma biblioteca de classes escritas em C++,fornece funcoes para a decodificacao de dados geograficos, estruturas de dadosespacos-temporais, algoritmos de analise espacial, alem de propor um modelopara um banco de dados geografico. Lua combina sintaxe simples para pro-gramacao procedural com construcoes para descricao de dados baseadas em tabe-las associativas e semantica extensıvel. Para implementar o sistema de inferenciadifuso foi utilizada a biblioteca LuaFuzzy2, totalmente escrita na linguagem Luae que implementa o sistema de Mamdani. Devido a inexistencia da funcao sig-moidal na biblioteca LuaFuzzy, esta funcao foi implementada e adicionada abiblioteca.

A dengue e uma doenca viral transmitida no Brasil principalmente pelo mos-quito Aedes aegypti e e causada por quatro diferentes sorotipos do vırus: DENV1,DENV2, DENV3 e DENV4. De maneira simplificada, durante o processo de in-teracao entre humanos e mosquitos, para cada sorotipo, cada humano pode assu-mir um dos seguintes estados: Suscetıvel (S), Infectado (I) ou Recuperado (R).Logo, a difusao da infeccao pelo vırus da dengue pode ser modelada atraves demodelos compartimentais do tipo SIR. Dada a complexidade da epidemiologiada dengue, devido as interacoes entre humanos, mosquitos e os varios sorotipos,assim como as estrategias eficientes de sobrevivencia dos mosquitos, a modela-gem computacional com abordagem em modelos compartimentais pode auxiliarna compreensao do processo de difusao da doenca e seus fatores influenciadores.

4.1 A Construcao do Ambiente Celular

A area de estudo selecionada para a aplicacao do modelo proposto neste artigofoi a Ilha do Governador, situada na cidade do Rio de Janeiro, RJ. A partirdo TerraView3 foi criado um Banco de Dados Geografico (BDG) para a Ilhado Governador. O TerraView e um Sistema de Informacoes Geograficas (SIG),desenvolvido a partir da biblioteca TerraLib e utilizado para aquisicao de dadosespaco-temporais vetoriais e matriciais, visualizacao e analise. O BDG da areade estudo possui uma camada que contem o mapa de setores censitarios e astabelas estaticas ligadas ao mapa, que contem dados de identificacao como ogeocodigo e nome do bairro para cada setor censitario.

2 http://luaforge.net/projects/luafuzzy/3 http://www.dpi.inpe.br/terraview/index.php


Atraves do TerraView, o mapa pertencente a camada do BDG foi divido emcelulas quadradas de resolucao 134 x 116, o que deu origem a uma nova camadano BDG formada por estas celulas. Os atributos de cada celula (por exemplo,o nome do bairro ao qual a celula pertence) foram definidos atraves da ClasseMajoritaria do TerraView, que e um operador que determina dentre todos ospolıgonos que fazem interseccao com a celula (no caso, os setores censitarios)aquele que tem a maior area de interseccao com a mesma. Assim sendo, osatributos de cada celula sao os mesmos atributos do setor censitario que tem amaior area de interseccao com a mesma. A Figura 9 ilustra a porcentagem deinterseccao de uma celula com dois polıgonos, onde pela Classe Majoritaria acelula adotaria os atributos do polıgono de cor vermelha.

Figura 9. Exemplo de Interseccao entre uma celula e dois polıgonos.

Com base em uma imagem de satelite, foram definidas manualmente algu-mas celulas que nao contem nenhuma pessoa (florestas, aeroporto, etc.). Tambempara as celulas cuja porcentagem total de interseccao com os polıgonos dos seto-res censitarios fosse menor que 0.5 (50%), foi considerado que nao fazem partede nenhum bairro e que nao possuem, portanto, pessoas. Na Figura 10 esta ilus-trada a Ilha do Governador, onde no item b, as celulas em vermelho sao aquelasonde habitam pessoas.

Os dados contendo a populacao e o numero de casos de dengue na Ilha doGovernador (RJ) foram obtidos a partir da Secretaria Municipal de Saude eDefesa Civil da Prefeitura do Rio de Janeiro4. Estes estao divididos por bairros,os casos de dengue sao referentes ao ano 2001, e a populacao segundo o censo doano 2000. Com relacao aos casos de dengue, foi considerado que dentre todos ospossıveis casos, apenas 40% foram notificados ao SINAN (Sistema de Informacaode Agravos de Notificacao), correspondentes aos sintomaticos de cama. Logo,temos que: CNOT = 0.4.CT ⇒ CT = 2.5.CNOT , onde CNOT e o numero decasos notificados e CT e o numero de total de casos. O numero total de casosfoi dividido em casos de pessoas recuperadas (todos os casos ate novembro de2001) e casos de pessoas infectadas (dezembro de 2001). A populacao e estesnumeros de casos de pessoas infectadas e recuperadas foram, entao, distribuıdosuniformemente nas celulas que possuem pessoas, e segundo o bairro ao qualpertencem.

4 http://www.rio.rj.gov.br/web/smsdc


Figura 10. Ilha do Governador representado atraves de: a) setores censitarios; b)espaco celular.

4.2 Particularidades do Modelo

Para a simulacao da difusao da infeccao pelo vırus da dengue na Ilha do Go-vernador foram considerados tres estagios do perıodo de infeccao, logo se tem o:numero de humanos infectados ha um curto prazo NI1, numero de humanos in-fectados ha um medio prazo NI2 e numero de humanos infectados ha um longoprazo NI3. O numero de suscetıveis em cada celula e obtido atraves da dife-renca entre total de humanos e a soma entre humanos infectados e recuperados:NS = NH − (NI +NR).

Foram consideradas duas areas da influencia de infeccao: local (propria celulaonde habitam as pessoas) e a de nıvel um (celulas vizinhas, de raio um, a celulaonde habitam as pessoas). Neste modelo o agente transmissor (que esta implıcitono modelo) e o mosquito Aedes aegypti, e por simplificacao, foi considerado queexiste somente um sorotipo circulando, uma vez que na epidemia de 2001 no Riode Janeiro predominou o sorotipo DENV3 [25].

A Figura 11 ilustra o comportamento de uma celula H(i, j) do automato emuma iteracao. No mundo real ocorrem simultaneamente os tipos de influencia,mas por motivos de implementacao e esquematizacao, decidiu-se aplicar a in-fluencia local e, posteriormente, nao local (conforme descrito na subsecao 3.2)para encontrar os valores de ρI e ρR. Utilizando estes valores como entradano sistema difuso, este retorna como saıda precisa o percentual de transmissaodecodificado. Este percentual e, entao, usado para se calcular os novos valoresde suscetıveis, infectados e infectados no 1o estagio. Ao final de uma iteracao,as pessoas infectadas, no inıcio da iteracao, passam para o estagio seguinte dadoenca, e as pessoas no ultimo estagio da doenca se tornam recuperadas contraesta. A Figura 12 traz um exemplo de uma iteracao completa em uma celula doautomato.

4.3 Resultados

Nas simulacoes, assim como na construcao do ambiente celular, foi consideradoque 40% dos casos de dengue sao sintomaticos, ou seja, ρASS = 0.6. Este modelopossui tres estagios de infeccao (k = 3), conforme mencionado na subsecao ante-rior. O perıodo em que as pessoas permanecem em um dos estagios da infeccao


Figura 11. Comportamento de uma celula H(i, j) do automato em uma iteracao.

Figura 12. Exemplo do que ocorre em uma celula H(i, j) do automato em cadaiteracao.

e de 2 dias (∆t = 2), ou seja, uma pessoa permanece infectada num total de 6dias, antes de se recuperar. E considerado que no tempo t = 0, todas as pessoasinfectadas do ambiente celular (conforme construıdo na Secao 4.2), estao no pri-meiro estagio da infeccao. A Figura 13 ilustra um exemplo dos atributos de umacelula H(i, j) do automato, no instante inicial da simulacao (tempo t = 0).


Figura 13. Exemplo de atributos para uma celula H(i, j) no instante inicial da si-mulacao.

As variaveis de entrada do Sistema de Inferencia Difuso e a faixa de valoresnumericos definidos para a variavel de saıda (0 a 0.05) foram definidas em-piricamente. Nas simulacoes foram utilizadas funcoes gaussianas e sigmoidais,conforme ilustra a Figura 14. E bom ressaltar que ao se modificar estas, poderaocasionar em resultados diferentes.

Na simulacao, a taxa de mobilidade humana para celulas vizinhas e de 30%(ρMOB = 0.3). O resultado para esta simulacao esta ilustrado na Figura 15,atraves de graficos para as populacoes de suscetıveis, infectados e recuperados.

E importante ressaltar aqui que uma vez que o mosquito Aedes aegypti estaimplıcito atraves de humanos infectados, este modelo serve apenas como umexemplo inicial ou ilustracao do uso do modelo SIR por meio de automatoscelulares difusos, e nao tem a pretensao de servir como meio de previsoes, pla-nejamento de controle da doenca ou afins.

Figura 14. Variaveis linguısticas de entrada e saıda das simulacoes.


Figura 15. Resultados da simulacao.

5 Conclusao e Trabalhos Futuros

Ao observar os resultados obtidos da simulacao do modelo geral proposto nestetrabalho na difusao da infeccao pelo vırus da dengue, percebe-se que este e capazde representar qualitativamente o comportamento dos modelos epidemiologicoscompartimentais do tipo Suscetıveis-Infectados-Recuperados [26], [27]. A abor-dagem aqui proposta considera duas importantes caracterısticas para modelos detransmissao de doencas infecciosas do tipo SIR: o porcentual dos recuperados e oporcentual dos assintomaticos. Quanto mais pessoas recuperadas da doenca (ouseja, imunizadas), mais lentamente a doenca sera transmitida, ja que o numerode contatos de suscetıveis com infectados diminui. Ja os assintomaticos sao osresponsaveis diretos pela continuidade em massa da transmissao da doenca, poisestes continuam suas rotinas diarias de mobilidade normalmente.

Ao simular um modelo SIR por meio de um automato celular difuso e possıvelrepresentar a dinamica de uma epidemia e criar um ambiente onde se pode estu-dar o espalhamento da doenca, e observar o padrao espacial de sua prevalencia,ao mesmo tempo em que se permite lidar mais facilmente com diferentes nıveisde incerteza e imprecisao que ocorrem ao utilizar conceitos vagos e parametrosde natureza subjetiva.

No caso das doencas transmitidas por mosquitos vetores, uma grande va-riedade de fatores influenciam a dinamica espacial e temporal das populacoesde mosquitos e, consequentemente, os padroes de transmissao da doenca naspopulacoes humanas [28]. Por exemplo, para os mosquitos do genero Aedes, atemperatura, a precipitacao e a umidade interferem em todos os estagios de de-senvolvimento destes, desde o surgimento e viabilidade dos ovos, ao tamanhoe longevidade dos mosquitos adultos e ate em sua dispersao no ambiente [29],[30], [31], [32], [33]. Estudar os fatores influenciadores nos padroes espaciais detransmissao de doencas vetoriais como a dengue e, de certa forma, complicado,ja que seriam necessarios dados refinados tanto de coleta dos vetores e suas fa-ses aquaticas quanto de dados climaticos. Tais estudos e tipos de coleta aindaocorrem localmente em algumas regioes dentro de municıpios do Brasil (ver, por


exemplo, [34] e [35]), e nao de forma generalizada. O cumprimento das funcoesde vigilancia epidemiologica, no entanto, depende da disponibilidade e qualidadede dados que sirvam para subsidiar o processo de producao de informacao paraa acao [36]. Assim, a simulacao via modelagem computacional torna-se um im-portante instrumental no estudo dos cenarios e padroes espaciais de transmissaode doencas, como tambem no auxılio a tomada de decisoes. Para suprir a faltade dados espacializados refinados, uma alternativa para a compreensao melhordo tema e utilizar o conhecimento, por exemplo, de especialistas, inclusive comrelacao a area de estudo. Desta forma, a abordagem por modelagem computaci-onal utilizando logica difusa mostra-se relevante neste tipo de estudo.

Em trabalhos futuros, espera-se adicionar no modelo geral proposto uma taxade renovacao de humanos, que vai permitir que a epidemia ocorra em ciclos, umavez que sempre existirao pessoas suscetıveis a doenca. Outra importante melho-ria e incluir explicitamente os agentes transmissores no modelo, que tambempodem migrar para diferentes ambientes. Diferentes areas da influencia de in-feccao tambem podem ser definidas e, logo, ser formulados novos meios de seobter a porcentagem de pessoas infectadas e recuperadas. Tambem a base de re-gras difusas, que modela a funcao de transicao dos automatos celulares, pode seraprimorada a partir, eventualmente, da literatura e de informacoes provenientesde especialistas, com a possıvel adicao de novas variaveis, novos termos difusos,etc. E importante frisar que o uso de sistemas difusos permite um rapido pro-cesso de prototipagem, o que nem sempre ocorre quando a funcao de transicaoe analıtica, dada sua complexidade.

Em relacao ao modelo da dengue, nos proximos trabalhos outros sorotipospodem ser incluıdos na simulacao, bem como a inclusao dos mosquitos Aedesaegypti, que interagem com os humanos e se movem pelos espacos proximos.Outras areas da influencia de infeccao tambem podem ser adicionadas no modelo,assim como podem ser aprimoradas as definicoes dos termos linguısticos.

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