Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional - ERMAC

30 e 31 de Maio e 01 de junho de 2012 UNESP – Campus de Botucatu

Um modelo de transmissão de moléstias infecciosas envolvendo duas

populações: distribuição quase-estacionária e a matriz de covariância

Maria Ângela Caldas Didier Departamento de Matemática da UFRPE,

Rua D Manoel Medeiros, s/n, Dois Irmãos Recife (0xx)81 3320-6001 E-mail: angelacdidier@yahoo.com.br

César Augusto Rodrigues Castilho Departamento de Matemática da UFPE,

Av. Prof. Moraes Rego, 1235 - Cidade Universitária Recife - PE - CEP: 50670-901 2126.8029

E-mail: castilho@dmat.ufpe.br

Resumo: Neste trabalho, são apresentados

modelos de acoplamento de jump Markoviano

do tipo SIS (JPMDA, JPMCA e om JPMCA-

STP), com duas populações de tamanhos

constantes. As populações foram distribuídas

de forma homogênea com mecanismo de

transmissão direta de um indivíduo infectado de

uma população para um indivíduo suscetível da

outra população. Não existe transmissão entre

indivíduos de mesma população. Procurou-se

explorar o comportamento da distribuição

quase estacionária mostrando-se a dificuldade

em determiná-la de forma analítica para este

modelo. Para populações de tamanhos

suficientemente grandes e para um intervalo

[0,T] com T fixo, podemos aproximar o

equilíbrio estocástico do equilíbrio

determinístico. A matriz de covariância das

variáveis aleatórias para um modelo estocástico

de acoplamento de SIS satisfaz uma equação

diferencial linear. Assim, foi dado um

tratamento determinístico para o modelo

estocástico e determinamos o equilíbrio da

matriz de covariância. A alta variância nos

dados obtidos em campo para doenças

complexas como a Esquistossomose é um

obstáculo na sua descrição. Este fenômeno foi

descrito como resultado de um simples

acoplamento de modelos SIS entre duas

populações. A análise dos resultados obtidos

para as distribuições quase-estacionárias e para

o equilíbrio da matriz de covariância foi

realizada em função da reprodutividade basal,

que é um indicador de surto epidêmico.

Palavras-chave: Epidemia; Acoplamento de

SIS Logístico; Reprodutividade Basal; Processo

de jump Markoviano; Distribuição Quase-

estacionária; Matriz de Covariância.

1 - Introdução Nos modelos estocásticos, em alguns casos,

o tempo até a extinção da doença pode ser

muito longo [7]. Portanto, neste trabalho foi

investigada a possibilidade de construção de

uma distribuição de probabilidade condicionada

a não extinção da doença: a distribuição de

probabilidade quase-estacionária. Tais tipos de

distribuições em cadeias de Markov em tempo

discreto foram estudadas por Seneta e Vere

Jones [12] e em tempo-contínuo por Darroch e

Seneta [11]. Na definição de epidemia,

distribuições quase-estacionárias em tempo

contínuo foram estudadas por Kryscio e

Lefevre [6]. Recentemente, Nasell estudou as

distribuições quase-estacionárias para o

modelo SIS estocástico em tempo-contínuo

sem nascimentos e mortes [8,9] e para o

modelo SIR estocástico em tempo-contínuo,

também, sem nascimentos e mortes [10]. Ele

mostrou que as distribuições quase-

estacionárias têm formas diferentes dependendo

do valor de R0 e sua relação com N, o tamanho

total da população. Três regiões paramétricas

diferentes determinam a forma das

distribuições quase-estacionárias. Quando R0 <

1 ela é aproximadamente geométrica, quando

R0 > 1 ela é aproximadamente normal e existe

uma relação de transição quando R0 se

aproxima de 1, a forma da distribuição é

complexa. O tempo de extinção também

depende das três regiões [10].

Partindo-se desses pressupostos este

trabalho teve como objetivo principal

apresentar as vantagens e limitações dos

modelos determinísticos e estocásticos de

acoplamento SIS (suscetíveis – infectados –

suscetíveis) através de uma modelagem

minimalista. Conseguimos explicitar algumas

dificuldades encontradas com a modelagem de

doenças mais complexas como a

Esquistossomose e as Infecções Hospitalares.

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Um modelo estocástico de jump Markoviano

para o acoplamento de modelos SIS (JPMCA)

foi construído introduzindo um vetor

bidimensional de cadeias de Markov (Ih(t);

If(t)), t ≥0 onde Ih(t) representa o número de

indivíduos infectados de uma população H e

If(t), o número de indivíduos infectados de uma

população F.

2 - Considerações Iniciais sobre a

Modelagem O modelo JPMCA desenvolvido neste

trabalho foi baseado no modelo de jump

Markovino para doenças do tipo SIS proposto

por Nasell [8]. Em Didier [4] é mostrado em

detalhes, que o tratamento analítico para a

obtenção de uma distribuição quase-

estacionária é complexo. Foi recorrido então a

aproximações analíticas e numéricas e foi

demonstrado que o tempo de extinção para o

modelo de acoplamento em tempo contínuo

construído com início em uma distribuição

quase-estacionária tem crescimento

exponencial. Segundo Barbour [1], pelo

Teorema Central do Limite, para populações de

tamanhos suficientemente grandes e para um

intervalo [0,T] com T fixo, pode-se aproximar

o equilíbrio estocástico do equilíbrio

determinístico. Além disso, ele mostrou que a

matriz de covariância das variáveis aleatórias

para um modelo estocástico de acoplamento de

SIS satisfaz uma equação diferencial linear.

Assim, foi realizada uma pequena modificação

no modelo de acoplamento assumindo apenas

que a probabilidade do tempo de permanência

em um mesmo estado seja nula, modelo

baseado no modelo do Barbour, foi calculado o

equilíbrio da matriz de covariância e analisado

alguns resultados obtidos em instâncias dos

parâmetros de base (taxas de transmissão e de

recuperação) do modelo estocástico. Foi

observado uma alta variância nos resultados

obtidos através de um simples acoplamento

entre duas populações, o que é comprovado na

alta variância de dados obtidos em campo,

obstáculo na descrição de tais doenças para tais

modelos [2]. Para a demonstração dos

resultados obtidos, nos referimos a um valor

limiar usado na epidemiologia, a

reprodutividade basal (R0) definido como o

valor esperado de infectados que derivam

diretamente de um único indivíduo infectado da

mesma população durante o seu período

infeccioso [5]. Este valor é fundamental para o

estudo de epidemias, em particular, para a

dinâmica de uma doença. Foi dado um

tratamento determinístico ao modelo de

acoplamento de SIS estocásticos e

consideramos o valor de R0 igual a razão entre

o produto das taxas de transmissão e o produto

das taxas de recuperação da doença tratada.

3 – Modelos JPMDA e JPMCA Baseando-se no modelo SIS estocástico em

tempo-contínuo sem nascimentos e mortes

[8,9], foi construído um modelo de jump

puramente Markoviano em tempo-discreto para

o acoplamento de dois modelos SIS

denominado modelo JPMDA. Foi definido um

vetor bidimensional (Ih(t); If(t)), t ≥0 onde Ih(t)

representa o número de indivíduos infectados

de uma população H e If(t), o número de

indivíduos infectados de uma população F,

onde Nh e Nf são os tamanhos das populações H

e F, respectivamente, e são considerados

constantes. O tamanhos das cadeias Ih(t) e If(t),

são Nh +1 e Nf +1, respectivamente. As

hipóteses para o acoplamento de dois modelos

SIS são formuladas em termos de expressões

para a probabilidade de transição sobre

pequenos intervalos de tempo. A interpretação

restringe-se às taxas de infecção αh (de um

indivíduo infectado da população F infectar um

indivíduo suscetível da população H) e αf (de

um indivíduo infectado da população H infectar

um indivíduo suscetível da população F) e às

taxas de recuperação γh e γf dos indivíduos

infectados das populações H e F,

respectivamente. O modelo JPMDA foi

definido através das probabilidades de transição

das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t) durante o

intervalo Δt.

Na Tabela 1 são apresentadas as

probabilidades de transição utilizadas no

modelo JPMDA.

Fizemos os intervalos de tempo para

transição dos estados do modelo JPMDA tender

a zero, resultando no modelo de jump

puramente Markoviano para o acoplamento de

dois SIS em tempo-contínuo denotado por

JPMCA.

Neste modelo foi considerada a matriz

associada às equações de Kolmogorov para as

probabilidades de transição do processo de

Poisson tempo-contínuo (∆t→0) [3] e as

probabilidades dos estados do vetor aleatório

(Ih(t);If(t)), t ≥0 foram denotadas através do

vetor p(t)=P{(Ih(t); If(t))=(ih,if)} as quais

dependem da distribuição inicial p(0).

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Tabela l: Probabilidades de transição durante um

intervalo de tempo Δt.

Vetor de transição bidimensional Probabilidades

(Ih; If)→ (Ih+1; If-1)

(Ih; If)→ (Ih+1; If)

(Ih; If)→ (Ih+1; If+1)

(Ih; If)→ (Ih; If-1)

(Ih; If)→ (Ih; If)

(Ih; If)→ (Ih; If +1)

(Ih; If)→ (Ih-1; If -1)

(Ih; If)→ (Ih-1; If )

(Ih; If)→ (Ih-1; If +1)

o(Δ2t)

(αhIf(Nh-Ih )Δ t)/Nh

+o(Δ2t)

o(Δ2t)

If γf Δt + o(Δ2t)

1-(soma das

probabilidades de

transição deste estado

para todos os outros)

(αfIh(Nf-If )Δ t)/Nf +

o(Δ2t)

o(Δ2t)

Ih γh Δt + o(Δ2t)

o(Δ2t)

Portanto, as equações de Kolmogorov foram

escritas na forma matricial

(p')T

=pTA, (1)

onde p(t) é um vetor coluna com componentes

p(ih,if)(t) onde, 1≤ ih≤Nh , 1≤ if≤ Nf e A, é uma

matriz quadrada de ordem (Nh+1)(Nf+1),

definida por

A=M-I (2)

sendo I a matriz identidade de ordem

(Nh+1).(Nf+1) e M, a matriz de transição de

Markov com ∆t=1. A matriz A possui cinco

diagonais, possivelmente, não nulas. Além

disso, a soma de suas linhas é igual à zero, dado

que a soma das linhas da matriz de Markov é

igual a um. A distribuição estacionária é a

trivial que tem probabilidade 1 na origem, visto

que a primeira linha de A é nula. Ainda,

notamos que o estado (0,0) (estado livre de

infecção) é absorvente e os estados (ih,if) com,

1≤ ih≤Nh , 1≤ if≤ Nf são estados transientes

para o nosso modelo.

O vetor solução estacionária do processo de

Poisson definido pela equação (1) tem a sua

primeira componente igual a um e as demais

nulas. O que o torna não informativo, assim,

construímos um vetor solução condicionando o

processo a não extinção, ou seja, não

permitindo que o estado (0,0) seja alcançado.

Portanto, a distribuição quase-estacionária é

uma distribuição estacionária condicional. Ou

seja, para defini-la, foi estudado o processo de

Poisson em tempo-contínuo para o vetor

aleatório (Ih(t),If(t)) condicionado a não-

extinção no tempo t. Nós denotamos por q(t), o

vetor coluna cujas entradas são as

probabilidades q(ih,if)(t) dos estados (ih,if) para

1≤ ih≤Nh e 1≤ if≤ Nf . Observe que q(t)

depende da distribuição inicial q(0). Então,

produzimos um sistema de equações

diferenciais para q(t) estritamente relacionado

com o sistema dado na equação (1). Seja pQ(t) o

vetor contendo todas as componentes de p(t)

exceto a primeira, e assuma que o estado

inicial (Ih(0),If(0))≠(0,0). Defina então,

q(t)=pQ(t)/(1-p(0,0)(t)). Observamos aqui, que o

vetor q(t) será uma distribuição visto que a sua

definição parte de um vetor distribuição p(t)

que é solução da equação que define o processo

de jump de Markov no tempo-contínuo

(JPMCA). Diferenciando-se q(t) em relação a t

e usando a equação (1), produz-se a equação

qTAQ= -(γh q(1,0) + γf q(0,1) )q, (3)

onde AQ é a matriz Nh Nf ×Nh Nf formada a

partir de A deletando-se a primeira linha e a

primeira coluna. A distribuição quase-

estacionária é gerada por Nf+1 parâmetros.

Apresentamos a forma de recorrência para o

cálculo do vetor q do modelo de acoplamento

JPMCA e estudamos as condições necessárias e

suficientes para que este vetor seja, de fato,

uma distribuição. Com o propósito de conseguir

uma distribuição quase-estacionária em nossas

simulações, foram necessárias várias

atribuições para as Nf+1 probabilidades

associadas as Nf+1 primeiras coordenadas do

vetor q. Foram encontradas equações de

recorrência para a sua determinação, porém,

elas apresentaram problemas numéricos. Em

alguns casos, conseguimos as coordenadas do

vetor q em função da reprodutividade basal

determinística R0D de modo que ele seja uma

distribuição. Para os demais casos, não

conseguimos determinar condições analíticas

explícitas de modo que o vetor q encontrado

fosse uma distribuição. Em Didier [4] são

apresentadas as demonstrações e os exemplos.

4 - Tratamento Determinístico e a

Reprodutividade Basal O modelo JPMCA foi redefinido de forma

que a probabilidade de permanência do vetor

aleatório (Ih(t),If(t)) em um mesmo estado seja

nula e o denotamos por JPMCA-STP.

Consideramos

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Îh(t)= Ih(t)/Nh

Îf(t)= If(t)/Nf (4)

com as variáveis Îh(t) e Îf(t) normalizadas,

soluções das equações diferenciais

dÎh/dt=αh(1-Îh ) Îf - γhÎh, (5)

dÎf/dt=αf(1-Îf) Îh – γfÎf.

Os pontos críticos deste sistema de equações

diferenciais são o trivial (0,0) e, o não-trivial

(Ih*,If

*) =

[(γhγf(R0D-1))/(( αh+γh) αf) ;

( γhγf(R0

D -1))/((αf+γf) αh )], (6)

onde R0D= αhαf/ γhγf . A razão entre o produto

das taxas de transmissão e o produto das taxas

de recuperação denotada por R0D é interpretada

como o valor esperado de infectados que

derivam diretamente de um único infectado da

mesma população durante o seu período

infeccioso, conhecido como valor de

reprodutividade basal para este modelo. Foi

demonstrado que para R0D>1 o equilíbrio não-

trivial é (Ih*,If

*) um nódulo impróprio

assintoticamente estável. Ou seja, temos um

equilíbrio endêmico em (Ih*,If

*) [4].

5 - Matriz de Covariância Analisamos o comportamento das variáveis

aleatórias Ih(t) e If(t) do modelo estocástico,

próximo do equilíbrio determinístico (Ih*,If

*).

Segundo Barbour [1], o teorema central do

limite é válido em qualquer intervalo de tempo

finito [0,T]. Foi considerada a matriz de

derivadas parciais das funções definidas

F((Îh,Îf))=(F1((Îh,Îf)),F2((Îh,Îf))) pelo sistema de

equações diferenciais do modelo determinístico

normalizado visto no sistema de equações

diferenciais (5) calculada no ponto de equilíbrio

e as mudanças de variáveis definidas (Îh*,Îf

*) no

sistema (4). Assim, conseguimos o equilíbrio da

matriz de covariância com a seguinte forma:

∑(∞)=((-xv-2yb)/(2x),b,b,(tv-2bw)/(2t)) (7)

onde ,

b=(yxtv+wtxv)/(2x 2t+2xt

2 - 2ywt-2ywx) (8)

Denotamos por x, y, w e t, os elementos da

matriz das derivadas parciais das funções

F1((Îh,Îf)) e F2((Îh,Îf)) ordenados por linha e

xv,yv,wv e tv os elementos da matriz σ2(t),

matriz de variância, também ordenados por

linhas. Foi observado que sob certas condições

nos tamanhos das populações, do determinante

da matriz das derivadas parciais calculada, no

ponto de equilíbrio e nas taxas de transmissão e

recuperação da doença, é possível obter

resultados do cálculo do equilíbrio da matriz de

covariância das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t)

para t≥0 do modelo JPMCA-STP.

Na Tabela 2 abaixo é apresentada a situação

de equilíbrio do Modelo JPMCA-STP.

Tabela 2: Situação de equilíbrio da matriz de

covariância das variáveis aleatórias do modelo

JPMCA-STP.

Nas diagonais das matrizes de covariância

obtidas para a Tabela acima temos as variâncias

das variáveis aleatórias Ih(t) e If(t) , t≥0. Foi

observado que para Nh=Nf e R0D>1 os valores

obtidos nas diagonais são não-negativos.

Observamos também que os valores para as

covariâncias entre as variáveis Ih(t) e If(t) são

positivos. Isto significa que se a variável

aleatória Ih(t) assumir um valor grande (ou

pequeno) o mesmo acontece com a variável

aleatória If(t) no equilíbrio, ainda que esta

relação seja pequena.

N

h

N

f

α

h

α

f

γh γf Var

(Ih)

Var

(If)

Cov

(Ih,If)

Cov

(If,Ih)

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

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1

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1

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6 – Conclusão A alta variância nos dados obtidos em campo

tem sido um obstáculo na descrição de doenças

como a Esquistossomose. Mostramos que

mesmo com uma modelagem minimalista de

doenças como a Esquistossomose e as

Infecções Hospitalares a alta variância nos

dados obtidos continua sendo um obstáculo na

descrição dessas doenças. Descrevemos tal

fenômeno como resultado de um simples

acoplamento entre duas populações.

Estabelecemos relações entre conceitos

determinísticos e os sistemas estocásticos a

exemplo do que é feito para o modelo SIS. Tal

relação permitirá uma descrição dos modelos

estocásticos bem como discutir estratégias

efetivas de controle. Para tanto, estudamos a

suscetibilidade dos modelos criados aos seus

parâmetros de base. Como doenças possíveis de

serem estruturalmente conceituadas através

dos modelos desenvolvidos nesse trabalho,

citamos, novamente, os casos da

Esquistossomose e das Infecções Hospitalares.

Na primeira, temos a população de humanos e a

população de focos da doença. Na segunda,

temos a população de doentes e a população

formada por médicos e enfermeiros de um

hospital.

Referências

[1] A. D. Barbour , Population and disease models.

Not for general distrubution. Universitat

Zurich. Angewandle Mathematik ,

Winterhurerstrasse 190, CH-8057 ZURICH.

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[7] I. Nassel, Hybrid Models of Tropical Infections,

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