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Agenda

I Densidade de probabilidade de uma variável aleatória F (υ1, υ2);

I Simpli�cação da densidade da distribuição F (υ1, υ2);

I Como calcular a moda da distribuição F (υ1, υ2);

I Resolução de questão do concurso da Marinha (CP-T/2016).

Distribuição F

Uma variável aleatória contínua X tem distribuição F de Snedecor com υ1 e υ2graus de liberdade, denotada por Fυ1,υ2 , se sua função densidade for dada por:

f(x) =Γ(υ1+υ2

2

)Γ(υ12

)Γ(υ22

) · (υ1υ2

)υ12

· xυ12−1(

1 + υ1υ2x)υ1+υ2

2

, 0 < x <∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .

Se k =Γ(υ1+υ2

2

)Γ(υ12

)Γ(υ22

) · (υ1υ2

)υ12

, podemos escrever a densidade como se segue

f(x) = k · xυ12−1(

1 + υ1υ2x)υ1+υ2

2

Distribuição F

f(x) = k · xυ12−1(

1 + υ1υ2x)υ1+υ2

2

, 0 < x <∞, υ1, υ2 = 1, 2, 3, . . .

Observe ainda, se �zermos

a =υ12

b =υ1υ2

c =υ1 + υ2

2

Distribuição F

A densidade �ca simpli�cada a

f(x) = k · xa−1

(1 + bx)c, 0 < x <∞

Finalmente, podemos a�rmar que afunção de densidade da F é da forma

f(x) = k · g(x)

h(x)

Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c.

Distribuição F

Figure: Densidade da F By IkamusumeFan - Own work, CC BY-SA 4.0,

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34777108

Regra de Derivação f(x) = g(x)/h(x)

A densidade de F é do tipo

f(x) = k · g(x)

h(x)⇒ f ′(x) = k · g

′(x)h(x)− g(x)h′(x)

[h(x)]2

Derivando a densidade f(x)

f(x) = k · g(x)

h(x)

Onde g(x) = xa−1 e h(x) = (1 + bx)c.{g(x) = xa−1 ⇒ g′(x) = (a− 1)xa−2

h(x) = (1 + bx)c ⇒ h′(x) = bc(1 + bx)c−1

Portanto

f ′(x) = k · (a− 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1

[(1 + bx)c]2

Para maximizar f(x), fazemos f ′(x) = 0, logo devemos ter

(a− 1)xa−2 (1 + bx)c − xa−1bc(1 + bx)c−1 = 0

Com isso

(a− 1)xa−2 (1 + bx)c = xa−1bc(1 + bx)c−1 ⇒ x =1− a

bc− ab− b

Distribuição F � Resumo

I A densidade da F é dada por

f(x) = k · xa−1

(1 + bx)c, 0 < x <∞

Com a =υ12, b =

υ1υ2

, c =υ1 + υ2

2e k =

Γ(υ1+υ2

2

)Γ(υ12

)Γ(υ22

)I Sua moda é dada por x =

1− abc− ab− b

. Fazendo as subistituições

xmodal =

[(υ1 − 2)

υ1

]·[

υ2(υ2 + 2)

]

CP�T/2016 - Prova Amarela � Questão 11

CP�T/2016 - Prova Amarela � Questão 11