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Revista Brasileira de Ensino de Fiacutesica v 32 n 3 3307 (2010)wwwsbfisicaorgbr

Uma descriccedilatildeo newtoniana do movimento de um pecircndulo esfeacuterico(A Newtonian description of the motion of a spherical pendulum)

Valmar Carneiro Barbosa1 e Pedro Claudio Guaranho de Moraes2

1Instituto de Fiacutesica Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro RJ Brasil2Departamento de Engenharia de Biossistemas Universidade Federal de Satildeo Joatildeo del-Rei Satildeo Joatildeo del-Rei MG Brasil

Recebido em 30102009 Aceito em 23122009 Publicado em 1522011

O sistema fiacutesico conhecido como pecircndulo esfeacuterico eacute normalmente tomado como um exemplo das aplicaccedilotildeesda mecacircnica analiacutetica Isto priva as pessoas que natildeo tiveram contato com esta abordagem da mecacircnica claacutessicado entendimento completo de como este sistema se comporta Assim neste trabalho usamos a mecacircnica new-toniana para apresentar um estudo do movimento de um pecircndulo esfeacuterico Para fazer isto obtemos as equaccedilotildeesde movimento determinamos as quantidades que satildeo conservadas durante a evoluccedilatildeo temporal deste sistemaanalisamos a sua energia potencial efetiva e discutimos os diferentes movimentos que este sistema pode terApresentamos vaacuterios resultados numeacutericos e fazemos uma comparaccedilatildeo qualitativa com dados experimentaisPalavras-chave pecircndulo esfeacuterico mecacircnica newtoniana trajetoacuterias

The physical system known as spherical pendulum is usually taken as an example of the applications of ana-lytical mechanics This deprives those people who had no contact with this approach to classical mechanics of thecomplete understanding of how this system behaves So in this work we use Newtonian mechanics to presenta study of the motion of a spherical pendulum To do this we obtain its equations of motion determine thequantities that are conserved during the time evolution of this system analyze its effective potential energy anddiscuss the different motions that this system can have We present several numerical results and a qualitativecomparison with experimental data is madeKeywords spherical pendulum newtonian mechanics trajectories

1 Introduccedilatildeo

Haacute algum tempo assistimos a uma apresentaccedilatildeo no ci-clo de seminaacuterios promovidos pelo Curso de MestradoProfissional em Ensino de Fiacutesica do Instituto de Fiacutesicada Universidade Federal do Rio de Janeiro feita peloProf Heacutelio Salim de Amorim do referido instituto e cujotiacutetulo era ldquoAplicaccedilotildees da fotografia digital no ensino defiacutesicardquo [1] Uma das coisas que nos chamou a atenccedilatildeonesta apresentaccedilatildeo foi o resultado experimental apre-sentado para a trajetoacuteria seguida pela partiacutecula de umpecircndulo cocircnico a qual tinha a aparecircncia de uma elipseComo eacute bem conhecido [2ndash5] a trajetoacuteria seguida pelapartiacutecula de um pecircndulo cocircnico eacute uma circunferecircncia eportanto comeccedilamos a discutir o que seria a trajetoacuteriaapresentada na Ref [1] e logo concluiacutemos que se tratavade um trecho da trajetoacuteria seguida por uma partiacuteculaem um movimento pendular esfeacuterico com uma energiamecacircnica muito proacutexima ao valor miacutenimo da energiapotencial efetiva para aquela situaccedilatildeo Como veremosmais adiante a condiccedilatildeo que deve ser satisfeita pelosistema em questatildeo para que ele apresente um movi-

mento pendular cocircnico eacute muito difiacutecil de ser alcanccediladaexperimentalmente

Em nossa busca pela compreensatildeo do resultado ex-perimental citado acima observamos que o sistemafiacutesico conhecido como pecircndulo esfeacuterico natildeo eacute abordadoem livros baacutesicos que tratam da mecacircnica claacutessica [2ndash8]e em livros avanccedilados [9ndash12] ele eacute tido como um exem-plo tradicional do formalismo lagrangiano da mecacircnicaclaacutessica com pouca discussatildeo de suas propriedades epossiacuteveis comportamentos e muito menos resultadosnumeacutericos que auxiliem no entendimento do que podeacontecer com tal sistema sendo a Ref [12] aquela queapesar da forma densa o descreve melhor Na Ref [13]a abordagem lagrangeana tambeacutem eacute adotada para des-crever o comportamento de um pecircndulo esfeacuterico com oobjetivo de determinar a velocidade angular com quea trajetoacuteria seguida pela partiacutecula que o compotildee pre-cessa ao redor do eixo de simetria do sistema que eacuteparalelo agrave direccedilatildeo da forccedila peso que atua na partiacuteculaTudo isto faz com que a compreensatildeo do chamado movi-mento pendular esfeacuterico fique restrito a um conjunto depessoas que tiveram em sua formaccedilatildeo superior a oportu-

2E-mail guaranhoufsjedubr

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3307-2 Barbosa e Moraes

nidade de estudar a mecacircnica claacutessica do ponto de vistado formalismo lagrangiano Isto natildeo deve ser o casode boa parte dos professores de fiacutesica do ensino meacutediomas que tiveram certamente contato com o formalismonewtoniano para a mecacircnica claacutessica Uma abordagemnewtoniana do sistema fiacutesico em questatildeo com o mesmoobjetivo da Ref [13] eacute apresentada na Ref [14] ondealeacutem das equaccedilotildees de movimento oriundas da aplicaccedilatildeoda 1a lei de Newton ao sistema serem apresentadasem coordenadas cartesianas pouco se discute sobre aspropriedades do sistema restando de interessante nestetrabalho apenas a apresentaccedilatildeo de um resultado exper-imental para o movimento de precessatildeo presente nestesistema

Deste modo o objetivo deste trabalho eacute apresen-tar a descriccedilatildeo do movimento pendular esfeacuterico de umapartiacutecula do ponto de vista do formalismo newtoni-ano para a mecacircnica claacutessica bem como apresentarresultados numeacutericos que possam auxiliar no entendi-mento do comportamento deste sistema fiacutesico Paraisto na Sec 2 apresentamos a descriccedilatildeo do movimentoem questatildeo onde seratildeo obtidas as equaccedilotildees de movi-mento que o governam estabelecidas as quantidadesfiacutesicas conservadas durante a evoluccedilatildeo temporal do sis-tema e introduzidas as quantidades fiacutesicas adimensio-nais que facilitaratildeo a obtenccedilatildeo de resultados numeacutericosao longo do trabalho Na Sec 3 faremos uma anaacuteliseda energia potencial efetiva associada ao sistema e dealgumas de suas implicaccedilotildees Finalmente na Sec 4apresentaremos os diferentes comportamentos que umpecircndulo esfeacuterico pode ter incluindo aquele que geroutoda esta discussatildeo e cujo dado experimental foi apre-sentado na Ref [1]

Naturalmente este trabalho natildeo tem como obje-tivo a descriccedilatildeo de um fato cientiacutefico novo e sim umaapresentaccedilatildeo acessiacutevel e didaacutetica da descriccedilatildeo do movi-mento pendular esfeacuterico principalmente para aquelesque nunca tiveram a oportunidade de ter contato como formalismo lagrangiano para a mecacircnica claacutessicaAcreditamos tambeacutem que este trabalho possa servir deroteiro para a discussatildeo do sistema fiacutesico em questatildeo emdisciplinas que tratem da mecacircnica claacutessica do ponto devista do formalismo newtoniano tanto no ensino meacutedioquanto no ensino superior

2 A descriccedilatildeo do movimento

21 As equaccedilotildees de movimento

Na Fig 1 encontra-se esquematizado o sistema fiacutesicoconhecido como pecircndulo esfeacuterico o qual eacute constituiacutedopor uma partiacutecula de massa m presa a um ponto fixoO por um fio inextensiacutevel de comprimento R e demassa despreziacutevel comparada agrave massa da partiacuteculaA partiacutecula em um movimento pendular esfeacuterico devemover-se sobre uma superfiacutecie esfeacuterica de raio R sob aaccedilatildeo de sua forccedila peso (P ) e da tensatildeo (T ) exercida pelo

fio Portanto usaremos as coordenadas esfeacutericas R θe ϕ indicadas na Fig 1 para localizarmos a partiacuteculauma vez que uma delas (R) permanece constante du-rante o movimento em questatildeo

Figura 1 - Diagrama mostrando quantidades envolvidas na des-criccedilatildeo do movimento de um pecircndulo esfeacuterico

O vetor posiccedilatildeo (r) desta partiacutecula pode ser escritocomo

r = Rr (1)

onde r eacute um dos vetores unitaacuterios comumente usados emcoordenadas esfeacutericas (veja Fig 1) Com isto podemosdeterminar a velocidade (v) desta partiacutecula necessaacuteriapara obtermos o seu momento linear (p) da seguinteforma

p = mv

= mdr

dt

= pθ θ + pϕϕ (2)

onde pθ e pϕ satildeo respectivamente as componentes domomento linear da partiacutecula nas direccedilotildees dos vetoresunitaacuterios θ e ϕ (veja Fig 1) dadas por

pθ = mRθ (3)pϕ = mRsenθϕ (4)

Na equaccedilatildeo acima estamos usando como notaccedilatildeo paraa derivada de uma quantidade com relaccedilatildeo ao tempo osiacutembolo usado para esta quantidade encimado por umponto e para obtecirc-la fizemos uso na Eq (2) da seguinterelaccedilatildeo

d

dt

r

θϕ

=

0 θ senθϕ

minusθ 0 cos θϕminussenθϕ minus cos θϕ 0

r

θϕ

(5)Em termos de suas componentes o moacutedulo do momentolinear (p) da partiacutecula eacute dado por

p2 = p middot p= p2

θ + p2ϕ (6)

Uma descriccedilatildeo newtoniana do movimento de um pecircndulo esfeacuterico 3307-3

A forccedila resultante (F ) que atua na partiacutecula eacute dadapor

F = P + T

= mg(cos θr minus senθθ)minus T r (7)

onde g eacute o valor da intensidade do campo gravitacionalna superfiacutecie da Terra

A evoluccedilatildeo temporal do momento linear dapartiacutecula eacute dada pela 2a lei de Newton

dp

dt= F (8)

Entatildeo substituindo as Eqs (2) e (7) na Eq (8) etambeacutem usando a Eq (5) e as Eqs (3) e (4) para adeterminaccedilatildeo de dθdt e dϕdt obtemos

T =[cos θ + 2

p2(2m)m(Rω0)2

]mRω2

0 (9)

dpθ

dt= minus

[senθ minus

(pϕ

mRω0

)2 cos θ

senθ

]mRω2

0 (10)

dpϕ

dt= minus pθ

mRω0

pϕ

mRω0

cos θ

senθmRω2

0 (11)

onde usamos a Eq (6) para escrevermos a relaccedilatildeo quedetermina o valor de T e ω0 representa a frequecircnciaangular das oscilaccedilotildees de pequenas amplitudes de umpecircndulo simples de comprimento igual a R que eacute dadapor

ω20 =

g

R (12)

Por isto daqui em diante no lugar de g usaremos Rω20

22 A conservaccedilatildeo da componente z do mo-mento angular

Uma consequecircncia da 2a lei de Newton eacute a relaccedilatildeo entrea rapidez com que o momento angular (`) da partiacuteculaem relaccedilatildeo ao ponto O varia com o tempo e o torque(τ ) que atua nela em relaccedilatildeo a este mesmo ponto quetem a seguinte forma

d`

dt= τ (13)

O momento angular da partiacutecula eacute dado por

` = r times p

= minusRpϕθ + Rpθϕ (14)

e o torque que atua nela eacute

τ = r times F

= minusm(Rω0)2senθϕ (15)

onde usamos as Eqs (1) (2) e (7) e os produtos veto-riais r times r = 0 r times θ = ϕ e r times ϕ = minusθ

Fazendo o produto escalar da Eq (13) com o vetorunitaacuterio k (veja Fig 1) e lembrando que dkdt = 0obtemos a seguinte relaccedilatildeo

d

dt(` middot k) = τ middot k = 0 (16)

com ` middot k representando a componente Z do momentoangular e τ middot k a componente Z do torque que atua napartiacutecula que eacute nula devido ao fato de que o torque estaacutena direccedilatildeo de ϕ a qual eacute perpendicular agrave de k Destamaneira a Eq (16) nos mostra que a quantidade ` middot k eacuteconservada durante a evoluccedilatildeo temporal do movimentoda partiacutecula cujo valor seraacute denominado neste artigopor λ Deste modo fazendo uso da Eq (14) para de-terminar ` middot k e lembrando que θ middot k = minussenθ e ϕ middot k = 0obtemos a seguinte relaccedilatildeo

Rpϕsenθ = λ (17)

Nesta equaccedilatildeo λ pode ser qualquer nuacutemero real cujosinal tem como uacutenica consequecircncia fiacutesica a determi-naccedilatildeo do sentido do movimento da partiacutecula ao longoda direccedilatildeo definida pelo vetor unitaacuterio ϕ

Note que a conservaccedilatildeo da componente Z do mo-mento angular da partiacutecula expressa pela Eq (17) eacute asoluccedilatildeo da equaccedilatildeo de movimento para pϕ (Eq (11))Uma maneira simples de verificar isto eacute derivar aEq (17) em relaccedilatildeo ao tempo e usando a definiccedilatildeode pθ (veja Eq (3)) obter a Eq (11)

23 A conservaccedilatildeo da energia mecacircnica

Uma decorrecircncia bem conhecida da 2a lei de Newton edo fato de podermos classificar as forccedilas que atuam emuma partiacutecula como conservativas e natildeo-conservativaseacute o teorema trabalho-energia mecacircnica que na sua for-mulaccedilatildeo diferencial eacute escrito da seguinte maneira

dE

dt= Pnc (18)

onde E representa a energia mecacircnica da partiacutecula ouseja a soma das energias cineacutetica (K) e potencial (U)e Pnc a potecircncia associada agraves forccedilas natildeo-conservativasque estejam atuando nela que eacute dada pelo produto es-calar entre a resultante dessas forccedilas e a sua velocidade

Para o sistema que estamos estudando a energiacineacutetica eacute dada pela seguinte relaccedilatildeo

K =p2

2m

=p2

θ

2m+

p2ϕ

2m

=p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2 (19)

na qual fizemos uso da Eq (17) para relacionarmospϕ com λ A contribuiccedilatildeo da forccedila peso ao teorema


trabalho-energia mecacircnica aparece sob a forma de ener-gia potencial jaacute que se trata de uma forccedila conservativaque de um modo geral pode ser escrita como

U(r) = U(rA)minus P middot (r minus rA) (20)

sendo rA o vetor posiccedilatildeo de um ponto arbitraacuterio ondese atribui um valor U(rA) tambeacutem arbitraacuterio paraa energia potencial Assim escolhendo rA = 0 eU(rA) = 0 a energia potencial acima assume a seguinteforma

U(θ) = minusm(Rω0)2 cos θ (21)

No caso da tensatildeo exercida pelo fio esta contribuiccedilatildeo eacutenula ou seja

Pnc = T middot v = 0 (22)

uma vez que a tensatildeo eacute sempre perpendicular agrave veloci-dade da partiacutecula

Devido agrave Eq (22) e ao fato de a rapidez com quea energia do sistema varia com o tempo ser dada porEq (18) concluiacutemos que a energia mecacircnica do sistemaeacute conservada e eacute dada por

E =p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2+ U(θ)

=p2

θ

2m+ Uλ(θ) (23)

onde introduzimos uma energia potencial efetiva Uλ(θ)para o sistema em estudo dada por

Uλ(θ) = U(θ) +λ2

2m(Rsenθ)2 (24)

Assim como acontece por exemplo na descriccedilatildeo domovimento de uma partiacutecula sob a accedilatildeo de uma forccedilacentral podemos entender a evoluccedilatildeo temporal da co-ordenada θ de uma partiacutecula em movimento pendularesfeacuterico como o movimento de uma partiacutecula com ener-gia mecacircnica E repartida em uma parte cineacutetica iguala p2

θ(2m) e natildeo p2(2m) e uma potencial Uλ(θ) emvez de U(θ)

24 A descriccedilatildeo do sistema em termos de var-iaacuteveis adimensionais

Uma maneira uacutetil e elegante de se escrever as relaccedilotildeesque desempenham papeacuteis importantes na descriccedilatildeo deum sistema fiacutesico eacute trocar as quantidades que aparecemnelas por quantidades adimensionais as quais seratildeo de-notadas neste artigo pelo mesmo siacutembolo da quanti-dade dimensional justapondo-se a ele o siacutembolo ldquo prime rdquoAssim se escolhermos o periacuteodo das oscilaccedilotildees de pe-quenas amplitudes de um pecircndulo simples como sendoa unidade para medir o tempo t teremos que tprime deveser dado por

tprime =t

2πω0 (25)

Nesta mesma linha de raciociacutenio podemos utilizar asquantidades m R e ω0 para construirmos as quanti-dades mRω0 mR2ω0 m(Rω0)2 e mRω2

0 como unidadesde medidas para respectivamente momento linear mo-mento angular energia e forccedila

Nessas unidades a energia potencial associada agraveforccedila peso assume a forma

U prime(θ) = minus cos θ (26)

enquanto que a energia potencial efetiva fica como

U primeλ(θ) = U prime(θ) +

λprime2

2sen2θ (27)

Desta maneira a energia mecacircnica da partiacutecula ficacom a seguinte forma

Eprime =pprimeθ

2

2+ U prime

λ(θ) (28)

A componente da tensatildeo (T ) exercida pelo fio so-bre a partiacutecula dada pela Eq (9) depende da energiacineacutetica total desta partiacutecula (p2(2m)) e em termosdas unidades descritas acima pode ser escrita como

T prime = cos θ + 2K prime

= 3(

cos θ +23Eprime

) (29)

onde usamos o fato de que K prime = Eprime minus U prime e o valor deU prime dado pela Eq (26) Note que existe um valor criacuteticopara o acircngulo θ (θc) onde esta tensatildeo se anula ou sejaT prime(θc) = 0 Devido agrave primeira das igualdades acimaesta equaccedilatildeo eacute equivalente agrave equaccedilatildeo cos θc = minus2K prime(θc)que graccedilas ao fato de a coordenada θ soacute poder assumirvalores de 0 a π e a energia cineacutetica satisfazer a condiccedilatildeoK prime ge 0 nas regiotildees classicamente permitidas restringeos valores de θc agravequeles para os quais minus1 le cos θc le 0o que significa dizer que os valores possiacuteveis para θc satildeotais que π2 le θc le π A soluccedilatildeo θc para a equaccedilatildeoT prime(θc) = 0 eacute obtida fazendo-se uso da segunda das igual-dades presentes na Eq (29) e resulta em

cos θc = minus23Eprime (30)

Uma anaacutelise envolvendo o intervalo onde devem estar osvalores de cos θc e a relaccedilatildeo acima nos leva ao intervalode valores da energia mecacircnica que a partiacutecula deve terpara que ela tenha a possibilidade de passar por umaposiccedilatildeo angular θc onde a tensatildeo que o fio exerce so-bre ela seja nula que eacute 0 le Eprime le 32 Assim sendose o valor da energia mecacircnica com que a partiacutecula semove estaacute contido neste intervalo a forccedila que o fio ex-erce nela (T prime = minusT primer) teraacute sentido oposto ao do vetorunitaacuterio r como o caso ilustrado na Fig 1 enquantoela estiver em uma regiatildeo do espaccedilo em que sua co-ordenada angular θ satisfaccedila a relaccedilatildeo cos θ gt cos θc

(θ lt θc) pois neste caso T prime gt 0 Se com esta mesmaenergia a partiacutecula puder passar em uma regiatildeo em quecos θ lt cos θc (θ gt θc) a forccedila T prime teria o mesmo sentidode r uma vez que T prime seria menor do que zero Poreacutem


como pela 3a lei de Newton a forccedila que atua no fiodevido agrave sua interaccedilatildeo com a partiacutecula eacute minusT prime quandoT prime comeccedilasse a assumir valores negativos esta forccedila setornaria numa forccedila que atuaria no sentido contraacuterio aode r e como um fio natildeo suporta uma forccedila neste sen-tido a partiacutecula deixaria de ter seu movimento restritoagrave superfiacutecie esfeacuterica de raio R Portanto se desejarmosque a partiacutecula continue em seu movimento pendularesfeacuterico quando isto acontecesse seria preciso que o fiofosse substituido por uma barra riacutegida de ineacutercia des-preziacutevel na confecccedilatildeo do pecircndulo em questatildeo Noteainda que para qualquer valor possiacutevel de Eprime fora dointervalo em discussatildeo T prime eacute sempre positivo

Para obtermos a evoluccedilatildeo temporal das quantidadespθ θ pϕ e ϕ devemos usar as Eqs (10) (3) (17) e (4)que nas unidades definidas acima podem ser reescritascomo

dpprimeθdtprime

= minus2π

(senθ minus λprime2

cos θ

sen3θ

)(31)

dθ

dtprime= 2πpprimeθ (32)

pprimeϕ =λprime

senθ(33)

dϕ

dtprime= 2π

pprimeϕsenθ

(34)

As equaccedilotildees acima determinam a evoluccedilatildeo temporaldo sistema fiacutesico em questatildeo Para obtermos as coorde-nadas θ e ϕ da partiacutecula e as componentes pprimeθ e pprimeϕ de seumomento linear como funccedilotildees do tempo a partir delastemos que fornecer os valores dessas grandezas em umcerto instante de tempo tprime0 ou seja temos que forneceras seguintes quantidades conhecidas como condiccedilotildeesiniciais pprimeθ0 θ0 pprimeϕ0

e ϕ0 Uma outra forma de forneceressas condiccedilotildees iniciais a qual adotaremos neste artigoeacute dar os valores da componente Z do momento angu-lar (λprime) e da energia mecacircnica (Eprime) da partiacutecula assimcomo suas coordenadas iniciais (θ0 e ϕ0) Neste caso ovalor inicial de pprimeθ deve ser obtido por

pprimeθ0 = plusmnradic

2Eprime[1minus U prime

λ(θ0)Eprime

] (35)

graccedilas agrave Eq (28) O sinal positivo deve ser usado casoa partiacutecula em sua posiccedilatildeo inicial esteja movendo-sede forma a aumentar o valor do acircngulo θ o negativodeve ser o escolhido caso contraacuterio

3 Anaacutelise da energia potencial efetiva

Como jaacute mencionamos na seccedilatildeo anterior a energia po-tencial efetiva (U prime

λ(θ)) para o sistema em questatildeo temum papel importante na compreensatildeo do seu comporta-mento Assim nesta seccedilatildeo apresentaremos uma anaacutelisedesta energia

Primeiramente observando-se a Eq (27) nota-seque U prime

λ(θ) eacute composta por dois termos Um cuja origem

eacute a energia potencial associada agrave forccedila peso que atua napartiacutecula e que chamamos de U prime(θ) (veja a Eq (26)) Ooutro que eacute a parte da energia cineacutetica devida ao movi-mento da partiacutecula ao longo da direccedilatildeo do vetor unitaacuterioϕ chamaremos de U prime

c(θ) e seu efeito no movimento dapartiacutecula eacute a tentativa de restaurar a sua posiccedilatildeo an-gular θ no sentido do centro do intervalo (por isto oiacutendice ldquoc rdquo em U prime

c(θ)) desta coordenada que eacute π2 NaFig 2 apresentamos o comportamento da energia po-tencial efetiva para λprime = 1 como funccedilatildeo do acircngulo θ(curva cheia) Nesta mesma figura encontram-se re-presentadas tambeacutem as suas parcelas U prime(θ) (curva detracejado curto) e U prime

c(θ) (curva de tracejado longo) NaFig 3 mostramos o comportamento de U prime

λ(θ) comofunccedilatildeo de θ para diferentes valores de λprime

Figura 2 - Energia potencial efetiva para λprime = 1 e suas parcelas

Figura 3 - Energia potencial efetiva para diferentes valores de λprime

Observando-se a Fig 3 nota-se que para cada valorde λprime a energia potencial efetiva passa por um valormiacutenimo em uma posiccedilatildeo angular que chamaremos deθmin Para determinarmos a posiccedilatildeo deste miacutenimo para


cada valor de λprime devemos encontrar o valor de θ para oqual a derivada de U prime

λ(θ) em relaccedilatildeo a θ se anula ondesua derivada segunda deve ser positiva Assim deter-minando a derivada de U prime

λ(θ) em θmin e a igualando azero chegamos agrave seguinte equaccedilatildeo

sen4θmin

cos θmin= λprime2 (36)

a qual deve ser resolvida para cada valor de λprime paradeterminarmos θmin Esta equaccedilatildeo nos leva agrave seguinterelaccedilatildeo para a derivada segunda de U prime

λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)

Como λprime2 ge 0 e 0 le senθmin le 1 da Eq (36) podemosconcluir imediatamente que 0 lt cos θmin le 1 o quesignifica que para qualquer que seja o valor de λprime θmin

deve ser tal que 0 le θmin lt π2 Desta forma o valorda derivada segunda de U prime

λ(θ) em θmin eacute maior do quezero como requer uma posiccedilatildeo de miacutenimo Os valo-res de θmin para diferentes valores de λprime resultantes daEq (36) estatildeo apresentados na Fig 4 onde podemosnotar que o valor de θmin aproxima-se assintoticamentede π2 agrave medida que λprime cresce indefinidamente Umaoutra quantidade de grande importacircncia aqui eacute o valormiacutenimo de U prime

λ(θ) para cada valor de λprime que pode serobtido fazendo-se uso da definiccedilatildeo de U prime

λ(θ) (Eq (27))e da equaccedilatildeo que θmin deve satisfazer (Eq (36)) cujovalor eacute

U primeλ(θmin) = minuscos2 θmin minus 1

323 cos θmin

(38)

Estes valores estatildeo apresentados na Fig 5 como funccedilatildeode λprime

Figura 4 - Posiccedilatildeo angular do miacutenimo da energia potencial efetivacomo funccedilatildeo de λprime

Figura 5 - Valores miacutenimos da energia potencial efetiva comofunccedilatildeo de λprime

Devido agrave Eq (28) soacute satildeo possiacuteveis valores de θ

para os quais a relaccedilatildeo Eprime ge U primeλ(θ) eacute satisfeita As-

sim para cada valor de λprime o menor valor possiacutevel paraEprime eacute U prime

λ(θmin) Levando-se isto em conta para umcerto valor de λprime e um valor possiacutevel de Eprime o movi-mento da partiacutecula em questatildeo ao longo da coordenadaθ estaacute restrito a uma regiatildeo angular compreendida en-tre um acircngulo aqueacutem (θ(minus)

r ) e outro aleacutem (θ(+)r ) de

θmin onde a partiacutecula deixa de ter a fraccedilatildeo da ener-gia cineacutetica correspondente ao seu movimento em θ eque localizam nesta coordenada os chamados pontosde retorno Os valores de θ

(minus)r e θ

(+)r satildeo determinados

usando-se a equaccedilatildeo pprimeθ(θ(plusmn)r ) = 0 que eacute equivalente agrave

seguinte equaccedilatildeo cuacutebica em cos θ(plusmn)r

cos3 θ(plusmn)r + Eprime cos2 θ

(plusmn)r minus cos θ

(plusmn)r minus

(Eprime minus λprime2

2

)= 0 (39)

a qual eacute mencionada ao longo do texto correspondenteao assunto na Ref [10] no entanto natildeo aparece escritaexplicitamente como aqui Na Fig 6 apresentamos osvalores de θ

(minus)r (curvas tracejadas) e θ

(+)r (curvas cheias)

como funccedilotildees de Eprime para quatro valores de λprime Note quepara cada valor de λprime os valores de θ

(minus)r e θ

(+)r se igualam

em um valor de Eprime que corresponde ao valor mais baixopossiacutevel para o valor de λprime em questatildeo pois nesta situ-accedilatildeo θ

(minus)r = θ

(+)r = θmin Em um artigo recente [15]

eacute mostrado que em certas situaccedilotildees existe uma relaccedilatildeoentre estes acircngulos de retorno e a constante matemaacuteticairracional conhecida como proporccedilatildeo aacuteurea


Figura 6 - Posiccedilotildees angulares dos pontos de retorno como funccedilotildeesde Eprime para alguns valores de λprime

4 Diferentes movimentos pendularescomo casos particulares do movi-mento pendular esfeacuterico

Nesta seccedilatildeo apresentaremos os resultados numeacutericospara a evoluccedilatildeo temporal das quantidades fiacutesicas queestamos usando para descrever o sistema fiacutesico em dis-cussatildeo Como veremos a seguir a aparecircncia do movi-mento pendular pode mudar muito dependendo uni-camente das condiccedilotildees iniciais das componentes domomento linear da partiacutecula (pprimeθ0 e pprimeϕ0

) Portantoapresentaremos estes resultados em trecircs subseccedilotildees dife-rentes na primeira discutiremos os resultados rela-cionados agrave situaccedilatildeo chamada de pecircndulo simples nasegunda os relacionados agravequela conhecida como pecircn-dulo cocircnico e finalmente apresentaremos os resultadospara o movimento pendular esfeacuterico

41 O pecircndulo simples

Os movimentos caracteriacutesticos de um pecircndulo simplesque eacute constituiacutedo fisicamente como um pecircndulo esfeacutericosatildeo obtidos como casos particulares do movimento pen-dular esfeacuterico se no instante inicial escolhermos o valorde pprimeϕ como sendo nulo o que segundo a Eq (33)eacute equivalente a escolher λprime = 0 Assim devido aofato de λprime ser uma constante de movimento durantea evoluccedilatildeo temporal do sistema em estudo podemosconcluir tambeacutem da Eq (33) que pprimeϕ seraacute nulo na situ-accedilatildeo em questatildeo e que graccedilas agrave Eq (34) o mesmoaconteceraacute com dϕdtprime Isto nos leva a concluir que omovimento do pecircndulo simples se daraacute no plano ver-tical que conteacutem o eixo Z com sua coordenada es-feacuterica ϕ partindo do seu valor inicial ϕ0 e sendo in-crementado de π cada vez que a sua outra coorde-

nada esfeacuterica θ passar por zero Portanto as coorde-nadas cartesianas x y e z que localizam a partiacutecula dopecircndulo simples assumem respectivamente os valoresRsenθ cosϕ0 Rsenθsenϕ0 e R cos θ sempre que ela es-tiver do lado do plano do movimento onde ela estavano instante inicial Tais coordenadas satildeo alteradasrespectivamente para minusRsenθ cos ϕ0 minusRsenθsenϕ0 eR cos θ sempre que a partiacutecula estiver na outra metadedo plano que conteacutem seu movimento Isto eacute equiva-lente a tratar a coordenada θ como uma quantidadeque pode assumir valores positivos (sempre que ela es-tiver no lado do plano em questatildeo onde ela estava noinstante inicial) e negativos (sempre que ela estiver dooutro lado) durante a evoluccedilatildeo temporal do sistema

Devido ao que foi discutido no paraacutegrafo anterior aenergia potencial efetiva sob a accedilatildeo da qual a partiacuteculade um pecircndulo simples se move eacute U prime

0(θ) = U prime(θ) (vejacurva associada agrave λprime = 0 na Fig 3) com θ podendo as-sumir valores positivos e negativos o que torna o graacuteficode U prime

0(θ) simeacutetrico em torno de θ = 0 Como previstopela Eq (36) para λprime = 0 esta energia potencial efetivapassa pelo seu valor miacutenimo em θmin = 0 e o valor destemiacutenimo segundo a Eq (38) eacute U prime

0(θmin) = minus1 Comojaacute haviacuteamos discutido na seccedilatildeo anterior o menor valorpossiacutevel para a energia mecacircnica de um sistema fiacutesicodo tipo que estamos estudando eacute o valor miacutenimo que asua energia potencial efetiva pode assumir que no casodo pecircndulo simples eacute U prime

0(θmin) Assim em qualquersituaccedilatildeo que um pecircndulo simples possa ser encontradodeve-se ter Eprime ge minus1

Graccedilas agraves conclusotildees acima e ao comportamento daenergia potencial efetiva como funccedilatildeo do acircngulo θ parao movimento pendular em questatildeo (veja Fig 3 parao caso de λprime = 0) para valores da energia mecacircnicaque satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo minus1 lt Eprime lt 1 a partiacutecula emmovimento teraacute sempre dois pontos de retorno (θ(plusmn)

r )simeacutetricos em relaccedilatildeo ao eixo Z que devem estar entreminusπ e π Os valores destes acircngulos satildeo obtidos fazendo-se uso da Eq (39) para λprime = 0 a qual se reduz nestecaso agrave

cos θ(plusmn)r = minusEprime (40)

O valor absoluto das soluccedilotildees desta equaccedilatildeo eacute a am-plitude (θr) do movimento do pecircndulo simples ouseja θr = |θ(plusmn)

r | Outra posiccedilatildeo angular importante eacuteaquela na qual a intensidade da tensatildeo se anula a qualchamamos de θc na Subsec24 e eacute dada pela Eq (30)que no caso do pecircndulo simples pode ser relacionada agravesua amplitude θr usando-se a Eq (40) resultando em

cos θc =23

cos θr (41)

Como discutido na Subsec 24 os valores possiacuteveis deθc devem estar compreendidos entre π2 e π o quesegundo a equaccedilatildeo acima nos faz concluir que nestecaso θc le θr Portanto um pecircndulo simples com ener-gia mecacircnica entre 0 e 1 natildeo alcanccedilaraacute seu ponto de re-torno (sua amplitude) se na sua construccedilatildeo for utilizado


um fio como jaacute foi discutido anteriormente na Subsec24 A uacutenica maneira de um pecircndulo com Eprime ge 0 natildeoter em seu trajeto uma posiccedilatildeo cuja coordenada angularθ passe por θc eacute ter o valor de Eprime superior a 32

A evoluccedilatildeo temporal de pprimeθ e θ para um pecircndulo sim-ples eacute obtida numericamente usando-se as Eqs (31) e(32) para λprime = 0 uma vez conhecida as condiccedilotildees ini-ciais θ0 e Eprime o que como vimos anteriormente eacute equi-valente a conhecermos θ0 e pprimeθ0 (veja Eq (35) para ocaso de λprime = 0) Estas equaccedilotildees de movimento podemser combinadas entre si e para o caso de um pecircndulosimples nos fornece a seguinte equaccedilatildeo para θ

d2θ

dtprime2+ (2π)2senθ = 0 (42)

a qual seraacute uacutetil na discussatildeo do movimento de um pecircn-dulo simples com amplitude pequena

Os resultados que mostraremos aqui satildeo para umpecircndulo simples em cuja confecccedilatildeo foi usada uma barrariacutegida de ineacutercia despreziacutevel no lugar de um fio paraque o seu movimento natildeo sofra em situaccedilotildees energeti-camente posssiacuteveis o efeito da passagem pela posiccedilatildeoonde sua coordenada θ assume o valor criacutetico θc comodiscutido na Subsec 24 e tambeacutem na presente sub-seccedilatildeo Na Fig 7 e na Fig 8 que eacute apenas uma ampli-accedilatildeo da Fig 7 ao longo do seu eixo vertical mostramosa evoluccedilatildeo temporal da coordenada θ do pecircndulo emquestatildeo para diferentes situaccedilotildees iniciais Em todasas situaccedilotildees apresentadas nestas figuras escolhemosθ0 = 0 e pprimeθ0 gt 0 (veja Eq (35)) para cada um dosvalores de Eprime Como podemos notar na Fig 7 existemdois comportamentos distintos para o pecircndulo em es-tudo um para Eprime = minus0 95 (um pouco acima do valormiacutenimo permitido a Eprime) e para Eprime = 0 95 (um poucoabaixo do valor maacuteximo de U prime

0(θ)) e outro para os va-lores de Eprime superiores ao valor maacuteximo de U prime

0(θ) Nasduas primeiras situaccedilotildees que correspondem respecti-vamente agraves curvas cheia e a de tracejado longo osmovimentos satildeo oscilaccedilotildees perioacutedicas em torno de θ = 0com amplitudes e periacuteodos dependentes do valor de EprimeNas outras duas situaccedilotildees que correspondem respecti-vamente agraves curvas de tracejado curto e a pontilhada osmovimentos do pecircndulo satildeo tais que sua coordenada θaumenta indefinidamente agrave medida que o tempo passaindicando que ele estaacute em movimento circular no planovertical que como pode ser notado na Fig 7 tende aser uniforme agrave medida que Eprime aumenta e os valores daenergia potencial gravitacional que o sistema pode as-sumir tornam-se irrelevantes quando comparados a EprimeAs mesmas situaccedilotildees apresentadas na Fig 7 aparecemna Fig 9 na forma do que eacute chamado de espaccedilo defase do sistema (pprimeθ times θ) onde podemos observar comclareza que os movimentos relativos agrave Eprime = minus0 95 eagrave Eprime = 0 95 satildeo oscilaccedilotildees como comentado anterior-mente

Figura 7 - Posiccedilatildeo angular θ de um pecircndulo simples como funccedilatildeodo tempo para diferentes valores da energia mecacircnica

Figura 8 - Os mesmos resultados apresentados na Fig 7 ampli-ados

Figura 9 - Espaccedilo de fase de um pecircndulo simples para as mesmascondiccedilotildees iniciais usadas na Fig 7

Eacute interessante determinar como o periacuteodo (τ prime) dasoscilaccedilotildees perioacutedicas de um pecircndulo simples depende desua energia mecacircnica Eprime ou equivalentemente graccedilas agraveEq (40) como ele depende da amplitude θr deste movi-mento que como jaacute vimos eacute igual a |θ(plusmn)

r | Para fazer-


mos isto considere que em um intervalo infinitesimalde tempo dtprime a posiccedilatildeo angular θ do pecircndulo simplesfoi alterada de um deslocamento angular infinitesimaldθ cujo valor estaacute relacionado a dtprime por

dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)

onde usamos a Eq (32) Escolhendo-se pprimeθ como sendoo valor positivo que resulta da utilizaccedilatildeo da Eq (28)com λprime = 0 integrando-se ambos os lados da relaccedilatildeoacima desde a passagem do pecircndulo por θ = 0 ateacute elealcanccedilar θ = θr que corresponde ao intervalo de tempoτ prime4 e utilizando-se a mudanccedila de variaacutevel

senu =sen(θ2)sen(θr2)

(44)

chegamos agrave seguinte relaccedilatildeo para a determinaccedilatildeo doperiacuteodo de um pecircndulo simples

τ prime(θr) =2πmiddotint π

2

0

duradic1minus sen2(θr2) middot sen2u

=2πmiddot K(sen2(θr2)) (45)

onde K eacute a conhecida ldquointegral eliacuteptica completa deprimeira espeacutecierdquo [16] Na Fig 10 mostramos como operiacuteodo de um pecircndulo simples depende de sua ampli-tude (curva cheia) que resulta da utilizaccedilatildeo da relaccedilatildeoacima

Figura 10 - Comparaccedilatildeo entre os periacuteodos de diferentes movi-mentos pendulares Veja o texto para maiores detalhes

Nos caso em que Eprime eacute pouco superior a U prime0(θmin)

(Eprime amp U prime0(θmin) = minus1) como no caso de Eprime = minus0 95

apresentado nas Figs 7 a 9 o valor da amplitude domovimento oscilatoacuterio do pecircndulo simples eacute bem menorque π2 Devido a isto um comportamento aproxi-mado para U prime

0(θ) = minus cos θ em torno de θmin = 0 que

preserve ateacute o primeiro termo dependente de θ ou seja

U prime0(θ) asymp minus1 +

12θ2 (46)

deve descrever bem o movimento oscilatoacuterio de um pecircn-dulo simples nesta situaccedilatildeo que portanto se assemelhaa um movimento harmocircnico simples

Ateacute a mesma ordem de aproximaccedilatildeo usada parachegarmos agrave relaccedilatildeo Eq (46) vaacutelida para o movimentooscilatoacuterio com amplitude pequena de um pecircndulo sim-ples podemos a partir da Eq (40) determinar comovaria de forma aproximada a amplitude deste movi-mento como funccedilatildeo de Eprime e o resultado eacute

θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)

Da mesma forma a intensidade da forccedila T (Eq (29))que atua na partiacutecula varia aproximadamente daseguinte maneira

T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)

asymp 1 + θ2r minus

32θ2 (48)

onde usamos o valor aproximado de θr dado pelaEq (47)

Na situaccedilatildeo em questatildeo a evoluccedilatildeo temporal da co-ordenada angular θ do pecircndulo simples pode ser obtidade uma forma muito simples se na Eq (42) aproximar-mos os valores de senθ de modo a preservar como nocaso de U prime

0(θ) ateacute o primeiro termo dependente de θque no caso resulta em senθ asymp θ Assim a Eq (42)pode ser escrita aproximadamente como

d2θ

dtprime2+ (2π)2θ asymp 0 (49)

que eacute uma equaccedilatildeo diferencial muito bem conhecida eque tem como soluccedilatildeo para a evoluccedilatildeo temporal de θuma oscilaccedilatildeo harmocircnica simples com frequecircncia an-gular que adimensionalmente vale 2π Desta formao periacuteodo destas oscilaccedilotildees eacute 1 o que coincide com ovalor obtido fazendo-se θr = 0 na Eq (45) e que comoeacute sabido para esta situaccedilatildeo independe de Eprime ou equiva-lentemente de θr Este valor (τ prime(0) = 1) eacute mostrado naFig 10 como uma linha horizontal pontilhada Noteque para pequenos valores de θr a aproximaccedilatildeo deamplitudes pequenas representada por τ prime(0) para adeterminaccedilatildeo do periacuteodo do movimento oscilatoacuterio deum pecircndulo simples eacute muito boa mas a medida quea amplitude do movimento aumenta esta aproximaccedilatildeotorna-se cada vez pior

42 O pecircndulo cocircnico

Um movimento pendular cocircnico eacute um caso particular demovimento pendular esfeacuterico em que a partiacutecula que oconstitui move-se em uma trajetoacuteria circular em tornodo eixo Z (veja Fig 1) fazendo com que o fio preso aoponto O e que a manteacutem suspensa descreva uma super-fiacutecie cocircnica durante o seu movimento daiacute seu nome Do


ponto de vista matemaacutetico este eacute o caso de movimentopendular esfeacuterico mais simples de ser tratado pois asequaccedilotildees de movimento (Eqs (31)-(34)) tecircm soluccedilotildeesmuito simples nesta situaccedilatildeo

Para o sistema em questatildeo comportar-se como umpecircndulo cocircnico eacute necessaacuterio que a componente pprimeθ domomento linear da partiacutecula que o constitui seja semprenula Esta situaccedilatildeo eacute alcanccedilada se no instante inicialescolhermos um valor λprime diferente de zero para a com-ponente Z do momento angular da partiacutecula e dermosa ela uma quantidade de energia mecacircnica exatamenteigual a U prime

λ(θmin) numa posiccedilatildeo inicial cuja coordenadaangular θ0 seja necessariamente θmin enquanto que aoutra coordenada angular ϕ0 possa ser qualquer um deseus valores possiacuteveis Com estas condiccedilotildees iniciais eusando-se a Eq (35) podemos concluir que pprimeθ0 = 0Podemos usar as equaccedilotildees de movimento para a coor-denada angular θ (Eqs (31) e (32)) para concluir quecom estas condiccedilotildees iniciais e a relaccedilatildeo entre θmin eλprime apresentada na Eq (36) a partiacutecula em um movi-mento pendular cocircnico fica parada na coordenada an-gular θmin na direccedilatildeo de θ Entatildeo o uacutenico movimentoque ela tem eacute ao longo de uma trajetoacuteria circular emtorno do eixo Z com uma velocidade angular constantedada por

dϕ

dtprime= plusmn 2πradic

cos θmin

(50)

obtida substituindo-se a Eq (33) na Eq (34) e usando-se a relaccedilatildeo entre θmin e λprime que aparece na Eq (36)sendo que os sinais positivo e negativo indicam res-pectivamente se o momento linear da partiacutecula nestemovimento tem o mesmo sentido ou o sentido opostoao do vetor unitaacuterio ϕ Com o que foi discutido nesteparaacutegrafo podemos concluir que o fio que compotildee opecircndulo cocircnico gera durante o movimento da partiacuteculapendurada nele uma superfiacutecie conica imaginaacuteria comveacutertice em O abertura angular igual a 2θmin e alturaque adimensionalmente eacute cos θmin

A intensidade da forccedila exercida pelo fio sobre apartiacutecula (T prime) em um movimento pendular cocircnico eacuteobtida a partir da Eq (29) com θ = θmin e Eprime =U prime

λ(θmin) cujo valor em termos de θmin eacute dado pelaEq (38) resultando em

T prime =1

cos θmin (51)

que eacute um resultado bem conhecido da mecacircnica claacutes-sica elementar Um outro resultado tatildeo bem conhecidocomo este eacute o intervalo de tempo que a partiacutecula levapara completar cada volta em torno do eixo Z e co-nhecido como o periacuteodo do pecircndulo cocircnico (τ primec) que eacuteobtido da seguinte maneira

τ primec(θmin) =2π∣∣∣ dϕdtprime

∣∣∣=

radiccos θmin (52)

onde a Eq (50) foi usada para a obtenccedilatildeo do moacuteduloda velocidade angular da partiacutecula Aproveitamos a

Fig 10 para mostrar o comportamento do periacuteodo deum pecircndulo cocircnico para os diferentes valores possiacuteveisde θmin (curva de tracejado longo)

Para cada valor de λprime diferente de zero se parao sistema em questatildeo Eprime for ligeiramente maior queU prime

λ(θmin) a partiacutecula natildeo ficaraacute parada em θmin nadireccedilatildeo de θ mas tambeacutem poderaacute se afastar muitopouco desta coordenada pois em situaccedilotildees como estaos acircngulos de retorno satildeo bem proacuteximos de θmin comopodemos concluir de uma anaacutelise da Fig 3 ou da Fig 6Assim para analisarmos o movimento oscilatoacuterio dapartiacutecula ao longo desta direccedilatildeo natildeo eacute necessaacuterio o co-nhecimento da forma exata da energia potencial efetivaU prime

λ(θ) sob a accedilatildeo da qual ela se moveraacute sendo suficienteuma aproximaccedilatildeo de Taylor ateacute a segunda ordem emθ minus θmin para U prime

λ(θ) a qual resulta em

U primeλ(θ) asymp U prime

λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

middot (θ minus θmin)2 (53)

onde os valores de θmin U primeλ(θmin) e d2U prime

λdθ2∣∣θmin

satildeo obtidos respectivamente a partir das Eqs (36)(38) e (37) Com esta forma aproximada para aenergia potencial efetiva o movimento oscilatoacuterio dapartiacutecula em torno de θmin seraacute descrito como ummovimento harmocircnico simples de periacuteodo adimensionalT primec obtido como eacute bem sabido a partir do coeficiented2U prime

λdθ2∣∣θmin

que aparece na aproximaccedilatildeo acima daseguinte maneira

T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12

=τ primec(θmin)radic

1 + 3 cos2 θmin

(54)

onde usamos primeiramente o resultado que aparecena Eq (37) e depois a Eq (52) para relacionarmosT primec com τ primec Para os movimentos oscilatoacuterios que esta-mos considerando nos quais θ se afasta muito poucode θmin as equaccedilotildees de movimento para a coorde-nada angular ϕ da partiacutecula (Eqs (33) e (34)) pre-vecircm aproximadamente uma velocidade angular paraa sua evoluccedilatildeo temporal como aquela que aparece naEq (50) correspondente agrave do movimento pendularcocircnico em torno do qual a oscilaccedilatildeo em questatildeo ocorree consequentemente o tempo gasto pela partiacutecula emcada volta completa em torno do eixo Z seraacute tambeacutemaproximadamente dado pela Eq (52) Assim podemosconcluir da uacuteltima relaccedilatildeo na Eq (54) que o tempogasto pela partiacutecula para completar uma oscilaccedilatildeo depequena amplitude em torno de uma certo θmin eacute sem-pre menor do que o tempo que ela gasta para dar umavolta completa em torno do eixo Z Isto pode ser ob-servado na Fig 10 onde mostramos como T primec varia emfunccedilatildeo de θmin (curva de tracejado curto) juntamentecom os demais periacuteodos determinados anteriormente


Um movimento pendular esfeacuterico do tipo queacabamos de discutir no paraacutegrafo anterior eacute espe-cialmente interessante pois trata-se de um movimentosemelhante agravequele registrado experimentalmente naRef [1] o qual como mencionamos na introduccedilatildeo deuorigem agrave discussatildeo apresentada aqui Para se ter ideacuteiade como eacute a trajetoacuteria seguida pela partiacutecula em umasituaccedilatildeo como esta apresentamos nas Figs 11 e 12 aprojeccedilatildeo de uma trajetoacuteria no plano XY (curvas cheias)como vista por algueacutem olhando o movimento pendularda partiacutecula de baixo para cima ou seja no sentido deminusk (veja Fig 1) Esta projeccedilatildeo foi obtida marcando-seno plano XY os pontos de coordenadas x = Rsenθ cosϕ

e y = Rsenθsenϕ pelas quais a partiacutecula passa durante oseu movimento sendo que os valores de θ e ϕ a cada ins-tante satildeo determinados resolvendo-se numericamente asequaccedilotildees de movimento que aparecem nas Eqs (31)-(34) Na situaccedilatildeo apresentada nas Figs 11 e 12 os mar-cos em forma de circunferecircncia correspondem ao ins-tante inicial do movimento (tprime0) quando foram escolhi-das as condiccedilotildees iniciais λprime = 0 1 Eprime = 0 99U prime

λ(θmin)θ0 = θmin e ϕ0 = 0 com a escolha do sinal positivo parapprimeθ0 (veja Eq (35)) Note que o valor de Eprime fornecido aosistema eacute ligeiramente superior a U prime

λ(θmin) pois para ovalor de λprime escolhido temos U prime

λ(θmin) lt 0 (veja Fig 3ou Fig 5) e portanto o movimento da partiacutecula seraacuteaproximadamente aquele descrito no paraacutegrafo ante-rior ou seja uma oscilaccedilatildeo harmocircnica simples da suacoordenada angular θ em torno da trajetoacuteria circulardo movimento pendular cocircnico correspondente ao valorde θmin para o caso cuja projeccedilatildeo no plano XY seriaa circunferecircncia de raio Rsenθmin representada pelascurvas tracejadas nas Figs 11 e 12 e que estaria emum plano paralelo ao plano XY onde z = R cos θminA diferenccedila entre os aspectos das Figs 11 e 12 eacute devi-da ao fato de termos acompanhado respectivamente aevoluccedilatildeo temporal do movimento desde tprime0 ateacute os ins-tantes tprime asymp tprime0 +2T primec(θmin) e tprime Agrave tprime0 +2T primec(θmin) corres-pondentes aos marcos em forma de disco que aparecemnestas figuras Note ainda que durante este movi-mento em torno do eixo Z Rsenθ

(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo

respectivamente as distacircncias de maior e de menoraproximaccedilatildeo da partiacutecula ao eixo Z (veja Fig 11)as quais com o passar do tempo seratildeo os raios dascircunferecircncias que serviratildeo respectivamente de en-voltoacuterias interna e externa para a trajetoacuteria seguidapela partiacutecula (veja Fig 12) a qual natildeo estaacute contidaem um plano paralelo ao plano XY e sim no caso emquestatildeo em uma regiatildeo estreita do espaccedilo definida porR cos θ

(+)r le z le R cos θ

(minus)r O segmento de trajetoacuteria

apresentado na Fig 11 eacute semelhante ao registrado ex-perimentalmente no trabalho da Ref [1]

Figura 11 - Projeccedilatildeo no plano XY da trajetoacuteria seguida poruma partiacutecula em um movimento pendular esfeacuterico acompanha-do desde o instante inicial ateacute a partiacutecula completar um poucomais que uma volta em torno do eixo Z Note a semelhanccedila en-tre esta figura e aquela registrada experimentalmente na Ref [1]Veja o texto para maiores detalhes

Figura 12 - O mesmo que foi apresentado na Fig 11 exceto pelofato de termos aqui acompanhado o sistema por mais tempo

43 O pecircndulo esfeacuterico

Como um uacuteltimo exemplo na Fig 13 apresentamos atrajetoacuteria seguida por uma partiacutecula em um movimentopendular esfeacuterico para o qual nenhuma restriccedilatildeo comoaquelas das duas subseccedilotildees anteriores a esta foi im-posta sobre as condiccedilotildees iniciais do movimento O acircn-gulo de visada escolhido eacute tal que o leitor tem umavisatildeo da evoluccedilatildeo temporal da posiccedilatildeo da partiacutecula se-melhante agravequela da Fig 1 No instante inicial destemovimento (tprime0) que corresponde ao marco em forma


de circunferecircncia mostrado na figura foram dadas comocondiccedilotildees iniciais ao sistema os valores λprime = 1 0 Eprime =2 0 θ0 = π4 e ϕ0 = 0 com a escolha do sinal positivopara pprimeθ0 (veja Eq (35)) e o movimento da partiacuteculafoi acompanhado ateacute o instante tprime = tprime0 +20 correspon-dente ao marco em forma de disco que tambeacutem aparecenesta figura Com estes valores escolhidos para λprime e Eprime

e uma anaacutelise da Fig 3 ou da Fig 6 podemos concluirque neste caso os acircngulos de retorno θ

(minus)r e θ

(+)r satildeo bem

diferentes entre si pois θ(minus)r asymp 0 15π e θ

(+)r asymp 0 80π

Figura 13 - Trajetoacuteria tiacutepica seguida por uma partiacutecula em ummovimento pendular esfeacuterico

Assim como em todas as situaccedilotildees discutidas nestetrabalho a partiacutecula percorre uma trajetoacuteria sobre asuperfiacutecie esfeacuterica imaginaacuteria de raio R que no caso emdiscussatildeo com o passar do tempo nos daria a impressatildeode uma linha enrolada em um novelo como podemosperceber na Fig 13 Finalmente note que durante estemovimento a partiacutecula nunca passa por duas regiotildeesdesta esfera em formas de calotas uma embaixo e deperiacutemetro 2πRsenθ

(minus)r e outra em cima e de periacutemetro

2πRsenθ(+)r e que sua coordenada z fica sempre restrita

ao intervalo [R cos θ(+)r R cos θ

(minus)r ]

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem agrave Profa Ana Maria Senra Bre-itschaft do Instituto de Fiacutesica da UFRJ por ter lidocuidadosamente a versatildeo original deste trabalho Umdos autores (PCG de M) agradece tambeacutem o su-porte financeiro da Fundaccedilatildeo DT (Brasil) durante a

execuccedilatildeo deste trabalho

Referecircncias

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[16] M Abramowitz and IA Stegun (eds) Handbook ofMathematical Functions (Dover Publications Inc NewYork 1970) 9a impressatildeo


nidade de estudar a mecacircnica claacutessica do ponto de vistado formalismo lagrangiano Isto natildeo deve ser o casode boa parte dos professores de fiacutesica do ensino meacutediomas que tiveram certamente contato com o formalismonewtoniano para a mecacircnica claacutessica Uma abordagemnewtoniana do sistema fiacutesico em questatildeo com o mesmoobjetivo da Ref [13] eacute apresentada na Ref [14] ondealeacutem das equaccedilotildees de movimento oriundas da aplicaccedilatildeoda 1a lei de Newton ao sistema serem apresentadasem coordenadas cartesianas pouco se discute sobre aspropriedades do sistema restando de interessante nestetrabalho apenas a apresentaccedilatildeo de um resultado exper-imental para o movimento de precessatildeo presente nestesistema

Deste modo o objetivo deste trabalho eacute apresen-tar a descriccedilatildeo do movimento pendular esfeacuterico de umapartiacutecula do ponto de vista do formalismo newtoni-ano para a mecacircnica claacutessica bem como apresentarresultados numeacutericos que possam auxiliar no entendi-mento do comportamento deste sistema fiacutesico Paraisto na Sec 2 apresentamos a descriccedilatildeo do movimentoem questatildeo onde seratildeo obtidas as equaccedilotildees de movi-mento que o governam estabelecidas as quantidadesfiacutesicas conservadas durante a evoluccedilatildeo temporal do sis-tema e introduzidas as quantidades fiacutesicas adimensio-nais que facilitaratildeo a obtenccedilatildeo de resultados numeacutericosao longo do trabalho Na Sec 3 faremos uma anaacuteliseda energia potencial efetiva associada ao sistema e dealgumas de suas implicaccedilotildees Finalmente na Sec 4apresentaremos os diferentes comportamentos que umpecircndulo esfeacuterico pode ter incluindo aquele que geroutoda esta discussatildeo e cujo dado experimental foi apre-sentado na Ref [1]

Naturalmente este trabalho natildeo tem como obje-tivo a descriccedilatildeo de um fato cientiacutefico novo e sim umaapresentaccedilatildeo acessiacutevel e didaacutetica da descriccedilatildeo do movi-mento pendular esfeacuterico principalmente para aquelesque nunca tiveram a oportunidade de ter contato como formalismo lagrangiano para a mecacircnica claacutessicaAcreditamos tambeacutem que este trabalho possa servir deroteiro para a discussatildeo do sistema fiacutesico em questatildeo emdisciplinas que tratem da mecacircnica claacutessica do ponto devista do formalismo newtoniano tanto no ensino meacutedioquanto no ensino superior

2 A descriccedilatildeo do movimento

21 As equaccedilotildees de movimento

Na Fig 1 encontra-se esquematizado o sistema fiacutesicoconhecido como pecircndulo esfeacuterico o qual eacute constituiacutedopor uma partiacutecula de massa m presa a um ponto fixoO por um fio inextensiacutevel de comprimento R e demassa despreziacutevel comparada agrave massa da partiacuteculaA partiacutecula em um movimento pendular esfeacuterico devemover-se sobre uma superfiacutecie esfeacuterica de raio R sob aaccedilatildeo de sua forccedila peso (P ) e da tensatildeo (T ) exercida pelo

fio Portanto usaremos as coordenadas esfeacutericas R θe ϕ indicadas na Fig 1 para localizarmos a partiacuteculauma vez que uma delas (R) permanece constante du-rante o movimento em questatildeo

Figura 1 - Diagrama mostrando quantidades envolvidas na des-criccedilatildeo do movimento de um pecircndulo esfeacuterico

O vetor posiccedilatildeo (r) desta partiacutecula pode ser escritocomo

r = Rr (1)

onde r eacute um dos vetores unitaacuterios comumente usados emcoordenadas esfeacutericas (veja Fig 1) Com isto podemosdeterminar a velocidade (v) desta partiacutecula necessaacuteriapara obtermos o seu momento linear (p) da seguinteforma

p = mv

= mdr

dt

= pθ θ + pϕϕ (2)

onde pθ e pϕ satildeo respectivamente as componentes domomento linear da partiacutecula nas direccedilotildees dos vetoresunitaacuterios θ e ϕ (veja Fig 1) dadas por

pθ = mRθ (3)pϕ = mRsenθϕ (4)

Na equaccedilatildeo acima estamos usando como notaccedilatildeo paraa derivada de uma quantidade com relaccedilatildeo ao tempo osiacutembolo usado para esta quantidade encimado por umponto e para obtecirc-la fizemos uso na Eq (2) da seguinterelaccedilatildeo

d

dt

r

θϕ

=

0 θ senθϕ

minusθ 0 cos θϕminussenθϕ minus cos θϕ 0

r

θϕ

(5)Em termos de suas componentes o moacutedulo do momentolinear (p) da partiacutecula eacute dado por

p2 = p middot p= p2

θ + p2ϕ (6)



F = P + T




dp

dt= F (8)


T =[cos θ + 2

p2(2m)m(Rω0)2

]mRω2

0 (9)

dpθ

dt= minus

[senθ minus

(pϕ

mRω0

)2 cos θ

senθ

]mRω2

0 (10)

dpϕ

dt= minus pθ

mRω0

pϕ

mRω0

cos θ

senθmRω2

0 (11)


ω20 =

g

R (12)




d`

dt= τ (13)


` = r times p



τ = r times F




d



Rpϕsenθ = λ (17)





dE

dt= Pnc (18)



K =p2

2m

=p2

θ

2m+

p2ϕ

2m

=p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2 (19)











E =p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2+ U(θ)

=p2

θ

2m+ Uλ(θ) (23)


Uλ(θ) = U(θ) +λ2

2m(Rsenθ)2 (24)





tprime =t

2πω0 (25)







λprime2

2sen2θ (27)


Eprime =pprimeθ

2

2+ U prime

λ(θ) (28)



= 3(

cos θ +23Eprime

) (29)








dpprimeθdtprime

= minus2π


cos θ

sen3θ

)(31)

dθ


pprimeϕ =λprime

senθ(33)

dϕ

dtprime= 2π

pprimeϕsenθ

(34)





λ(θ0)Eprime

] (35)



















sen4θmin



λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)







323 cos θmin

(38)










(minus)r e θ






(plusmn)r minus


2

)= 0 (39)





(minus)r e θ

(+)r se igualam


(minus)r = θ





















cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias



















F = P + T




dp

dt= F (8)


T =[cos θ + 2

p2(2m)m(Rω0)2

]mRω2

0 (9)

dpθ

dt= minus

[senθ minus

(pϕ

mRω0

)2 cos θ

senθ

]mRω2

0 (10)

dpϕ

dt= minus pθ

mRω0

pϕ

mRω0

cos θ

senθmRω2

0 (11)


ω20 =

g

R (12)




d`

dt= τ (13)


` = r times p



τ = r times F




d



Rpϕsenθ = λ (17)





dE

dt= Pnc (18)



K =p2

2m

=p2

θ

2m+

p2ϕ

2m

=p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2 (19)











E =p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2+ U(θ)

=p2

θ

2m+ Uλ(θ) (23)


Uλ(θ) = U(θ) +λ2

2m(Rsenθ)2 (24)





tprime =t

2πω0 (25)







λprime2

2sen2θ (27)


Eprime =pprimeθ

2

2+ U prime

λ(θ) (28)



= 3(

cos θ +23Eprime

) (29)








dpprimeθdtprime

= minus2π


cos θ

sen3θ

)(31)

dθ


pprimeϕ =λprime

senθ(33)

dϕ

dtprime= 2π

pprimeϕsenθ

(34)





λ(θ0)Eprime

] (35)



















sen4θmin



λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)







323 cos θmin

(38)










(minus)r e θ






(plusmn)r minus


2

)= 0 (39)





(minus)r e θ

(+)r se igualam


(minus)r = θ





















cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias


























E =p2

θ

2m+

λ2

2m(Rsenθ)2+ U(θ)

=p2

θ

2m+ Uλ(θ) (23)


Uλ(θ) = U(θ) +λ2

2m(Rsenθ)2 (24)





tprime =t

2πω0 (25)







λprime2

2sen2θ (27)


Eprime =pprimeθ

2

2+ U prime

λ(θ) (28)



= 3(

cos θ +23Eprime

) (29)








dpprimeθdtprime

= minus2π


cos θ

sen3θ

)(31)

dθ


pprimeϕ =λprime

senθ(33)

dϕ

dtprime= 2π

pprimeϕsenθ

(34)





λ(θ0)Eprime

] (35)



















sen4θmin



λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)







323 cos θmin

(38)










(minus)r e θ






(plusmn)r minus


2

)= 0 (39)





(minus)r e θ

(+)r se igualam


(minus)r = θ





















cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias




















dpprimeθdtprime

= minus2π


cos θ

sen3θ

)(31)

dθ


pprimeϕ =λprime

senθ(33)

dϕ

dtprime= 2π

pprimeϕsenθ

(34)





λ(θ0)Eprime

] (35)



















sen4θmin



λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)







323 cos θmin

(38)










(minus)r e θ






(plusmn)r minus


2

)= 0 (39)





(minus)r e θ

(+)r se igualam


(minus)r = θ





















cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias





















sen4θmin



λ(θ) em θmin

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin

=1 + 3 cos2 θmin

cos θmin (37)







323 cos θmin

(38)










(minus)r e θ






(plusmn)r minus


2

)= 0 (39)





(minus)r e θ

(+)r se igualam


(minus)r = θ





















cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias



































cos θc =23

cos θr (41)





d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias




















d2θ










r | Para fazer-



dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias



















dtprime =dθ

dθdtprime=

12π

dθ

pprimeθ (43)



(44)



2

0











12θ2 (46)



θr asympradic

2(1 + Eprime) (47)


T prime asymp 3(

1minus 12θ2 +

23Eprime

)


32θ2 (48)




d2θ









dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias





















dϕ


cos θmin

(50)




T prime =1

cos θmin (51)



∣∣∣=

radiccos θmin (52)








λ(θmin) +12

d2U primeλ

dθ2

∣∣∣∣θmin



λdθ2∣∣θmin


λdθ2∣∣θmin


T primec(θmin) =

(d2U prime

λ

dθ2

∣∣∣∣θmin

)minus12


1 + 3 cos2 θmin

(54)








(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias























(minus)r e Rsenθ

(+)r satildeo












(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias




















(minus)r e θ

(+)r satildeo bem


(+)r asymp 0 80π






(minus)r ]

AGRADECIMENTOS



Referecircncias

















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