Unicamp 1987 a 2012 (GeoJeca)
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Unicamp Exercícios de vestibulares 1987 a 2012 Lucas Octavio de Souza (Jeca) dezembro de 2011
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Unicamp
Exercícios de vestibulares
1987 a 2012
Lucas Octavio de Souza (Jeca)
dezembro de 2011
001) (Unicamp87-SP) Os lados de um triângulo re-tângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a área do triângulo é 150, calcule as medidas dos lados desse triângulo.
002) (Unicamp87-SP) Na figura abaixo, temos uma circunferência de centro O e raio r. Sabendo que o segmento BC mede r, prove que a medida do ân-gulo ABP é 1/3 da medida do ângulo AOP.
003) (Unicamp87-SP) Ache os valores de x, com0º < x < 360º , tais que
2 2 cos x + 5 sen x - 4 > 0 .
004) (Unicamp87-SP) A figura abaixo mostra (es-quematicamente e fora de escala) a Terra, cujo cen-tro é o ponto T, a Lua L e um satélite de comunica-ções S. A Lua e o satélite (que serão pensados co-mo pontos), descrevem órbitas circulares que estão no plano da figura e têm centro no ponto T. O raio da órbita da Lua é 378 000 km e o período dessa órbita (tempo que a Lua gasta para percorrê-la uma vez) será tomado igual a 27 dias. Já o satélite S tem ór-bita geoestacionária, isto é, o satélite acompanha o movimento de rotação da Terra de forma tal que o período de sua órbita é 1 (um) dia. A terceira Lei de Kepler diz que, para corpos que descrevem órbitas circulares ao redor da Terra, o quadrado do período de uma órbita é proporcional ao cubo do raio da mesma. Calcule o raio da órbita do satélite.
A
B
C
P
O
L
T
S
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Respostaa - r = 15, a = 20, a + r = 25 Resposta (demonstração)
RespostaS = {x C R | 30º < x < 150º}
RespostaR = 42 000 km
Jeca 001
(GeoJeca)(GeoJeca)
005) (Unicamp87-SP) Escreva a equação da circun-ferência tangente à reta y = (3/4) x , tangente à reta y = 0 no ponto (5 , 0) e cujo centro está no primeiro quadrante.
006) (Unicamp88-SP) Como deve ser alterado o raio de uma cesta de basquete se o volume da bola for al-terado por um fator multiplicativo a ? Não leve em conta a folga existente entre a cesta e a bola.
007) (Unicamp88-SP) Para calcular a circunferência terrestre o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Ale-xandria e Siena no Egito (A e S, respectivamente), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena os raios solares caiam verti-calmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra.
008) (Unicamp88-SP) Numa esfera de raio unitário está inscrito um cubo ; neste cubo está inscrita uma esfera, na qual está inscrito um cubo, e assim por diante. Demonstre que os raios das esferas, na or-dem em que aparecem, estão em progressão geo-métrica. Determine a razão da progressão e calcule a sua soma.
800km
A
S
7,2º ra
ios
solare
s
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta2 2
(x - 5) + (y - 5/3) = 25/9Respostak = a3
Respostac = 40 000 km
Respostaq = 3 / 3 , S = 3 + 3 / 2
Jeca 002
(GeoJeca)(GeoJeca)
009) (Unicamp88-SP) Um observador O, na media-triz de um segmento AB e a uma distância d de AB, vê esse segmento sob um ângulo a. O obser-vador afasta-se do segmento ao longo da mediatriz até uma nova posição O', de onde ele vê o segmen-to sob o ângulo a/2. Expresse a distância x = OO' em termos de a e d.
010) (Unicamp88-SP) Sejam L e l o comprimento
e a largura, respectivamente, de um retângulo que possui a seguinte propriedade: eliminando-se desse
retângulo um quadrado de lado igual à largura l, re-
sulta um novo retângulo semelhante ao primeiro. De-
mosntre que a razão l/L é o número s = ( 5 - 1) / 2 ,
chamado "razão áurea".
011) (Unicamp88-SP) Identifique o lugar geométrico dos pontos z = x + iy do plano complexo tais que
Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse lugar.
012) (Unicamp88-SP) Dados uma reta r, um ponto P não pertencente a r, e uma constante positiva k, seja C o conjunto dos pontos Q do plano tais que PQ . PQ' = k , onde Q' é a interseção das retas r e PQ. Prove que, à exceção do ponto P, o conjunto C é uma circunferência cujo diâmetro tem extremi-dade em P e é perpendicular à reta r.
Re( ) =14z
1 (GeoJeca)
(GeoJeca)
Resposta2
x = d [(2 / 1 - tg a/4) - 1 ]Resposta
l/L = ( 5 -1)/2
Resposta2 2
(x - 2) + y = 4Jeca 003
P
Q
Q' r
d
2Relações métricas no triângulo retângulo b = a.n
2PQ . PQ' = k = d
Resposta
(GeoJeca) (GeoJeca)
013) (Unicamp88-SP) Sejam AB e CD retas para-lelas num plano p. Girando-se este plano em torno da reta AB como aresta, obtém-se um diedro de medida a < 180º, cujas faces são o plano p e o pla-no p' , obtido como nova posição de p. Com a rota-ção descrita, o ponto D passa a uma nova posição D' em p'. Prove que o segmento CD é menor que o segmento CD'.
014) (Unicamp89-SP) Mostre que, dentre os triân-gulos retângulos de mesma hipotenusa, o de maior perímetro é o triângulo isósceles.
015) (Unicamp89-SP) Numa experiência sobre es-coamento de água através de um orifício, mediu-se o volume V escoado por unidade de tempo, para di-ferentes áreas A do orifício e diferentes níveis H da água no reservatório (veja a figura). A tabela abaixo mostra alguns resultados obtidos. Com base nos resultados numéricos da tabela, que valores você esperaria para V e V ?1 2
016) (Unicamp89-SP) Para construir um arco de cir-cunferência sobre uma porta, o pedreiro, sem conhe-cimento de matemática, vale-se de duas medidas: a largura da porta e a flecha. Você também saberia calcular o arco somente com essas medidas ? Se sabe, calcule-o com as medidas de 1 metro para a largura da porta e 20 centímetros para a flecha.
Água
H
orifício deárea A
A2
(cm )
1112342
H(cm)
100400900100100100144
V3
(cm /s)
300600900600900V1V2
20 cm
1 m
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 004
Resposta O triângulo CDD' é retângulo em D e tem hipote-nusa CD'. Portanto CD' é maior que o cateto CD.
a
bc
x
Resolução
sen x = b/a b = a sen xcos x = c/a c = a cos x
2p = a + b + c = a + a sen x +a cos x2p = a (1 + sen x + cos x)2p é máximo se (sen x + cos x) é máximo.
2 2 2(sen x + cos x) = sen x + 2 sen x.cos x + cos x == 1 + 2 sen x.cos x = 1 + sen 2x
sen 2x é máximo para 2x = 90ºPortanto x = 45º.
>>
Resposta3
V = 1200 cm /s13
V = 720 cm /s2
Observação. Acredito que o objetivo deste exercício seja o de determinar o raio a ser utilizado pelo pedreiro e não o arco.
Resposta (se for o raio)R = 135/2 cm
Resposta (se for o comprimento do arco)c = 135 a , onde a é a metade do ângulo central em radianos.
017) (Unicamp89-SP) Uma bola elástica, abando-da de certa altura, volta a 8/9 da altura original após atingir o solo. Calcule a altura original consideran-do que, depois de dois toques no solo, ela volta a uma altura de 80 cm.
018) (Unicamp89-SP) O velocímetro de um carro funciona contando as voltas da roda. Supondo que se troquem os pneus do carro por pneus de diâmetro maior, a velocidade indicada no velocímetro será menor, igual ou maior que a velocidade do carro antes da troca ? Explique por que.
019) (Unicamp89-SP) Um copo cilíndrico tem altura h e base de raio r. A quantidade de água necessá-ria para encher totalmente esse copo encheria parci-almente, totalmente, ou faria transbordar outro copo cilíndrico de altura 2h e base de raio r/2 ? Expli-que por que.
020) (Unicamp89-SP) A circunferência da roda de uma bicicleta tem 2,2 m de comprimento. A roda dentada do pedal tem 44 dentes e a catraca da roda traseira 20. Determine o número de pedaladas por minuto que o ciclista deve manter para desenvolver uma velocidade de 29,04 km/h. (Entenda como pe-dalada uma volta completa do pedal)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 005
Respostah = 405/4 cm
Resposta A velocidade indicada no velocímetro será menor.O comprimento da circunferência aumenta com o au-mento do diâmetro. Para o mesma distância, diminui o nº de voltas. Portanto a velocidade indicada no velocí-metro é menor que a velocidade antes da troca.
RespostaV / V = 2 (Transborda)1 2
Resposta100 pedaladas
021) (Unicamp89-SP) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incêndio florestal em F. Conhecendo os ângulos FAB = 45º , FBA = 105º e a distância AB = 15 km, determine as distâncias AF e BF.
022) (Unicamp89-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundida-de, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera.
023) (Unicamp89-SP) As seções transversais dos alvéolos dos favos que as abelhas constroem são hexágonos regulares. Para formar alvéolos poderi-am ainda ser usados quadrados ou triângulos equi-láteros. Entretanto, o polígono regular utilizado pe-las abelhas é o que propicia maior área com o mes-mo perímetro. Constate a veracidade dessa afirma-ção calculando as áreas A , A e A respectiva-6 4 3
mente do hexágono regular, quadrado e triângulo
equilátero, todos com o mesmo perímetro l e mos-
trando que A > A > A .6 4 3
024) (Unicamp89-SP) A órbita de um satélite é uma elipse que tem a Terra em um de seus focos. Esse satélite atinge velocidade máxima e mínima nos pontos de menor e maior proximidade da Terra, res-pectivamente, quando então essas velocidades são inversamente proporcionais às distâncias do satélite à Terra (com mesma constante de proporcionalida-de). Calcule a excentricidade da orbita do satélite, sabendo também que a velocidade máxima é o do-bro da velocidade mínima. (A excentricidade, como se sabe, é o quociente da distância entre os focos pelo comprimento do eixo maior.)
A
B
F
105º
45º
5 cm
12
cm
Hexágonosregulares
QuadradosTriângulosequiláteros
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Jeca 006
RespostasAF = 15( 6 - 2 )/2 kmBF = 15 2 km
Respostax = 6,4 cm
Resposta2
A = l 3 /3632 2 2
A = l /16 = l 3 /16 3 = l 3 /27,742
A = l 3 /246
Respostae = 1/3
025) (Unicamp90-SP) Num eclipse total do Sol, o disco lunar cobre exatamente o disco solar, o que comprova que o ângulo sob o qual vemos o Sol é o mesmo sob o qual vemos a Lua. Considerando que o raio da Lua é 1 738 km e que a distância da Lua ao Sol é 400 vezes a da Terra à Lua, calcule o raio do Sol.
026) (Unicamp90-SP) O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que a cada volta completa da engrenagem o ponteiro dá 1/4 de volta em um mostrador gradua-do de 0º até 360º. No início da medição o ponteiro encontra-se na posição 0º. Quantos graus indicará o ponteiro quando a engrenagem tiver completado 4 135 voltas ?
027) (Unicamp90-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma cai-xa d'água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d'água e o ângulo formado pe-las direções da caixa d'água-bomba e caixa d'água-casa é de 60º. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos me-tros de encanamento serão necessários ?
028) (Unicamp90-SP) Uma quadra de um loteamen-to tem a forma de um paralelogramo com ângulos internos de 60º e 120º. Com a finalidade de facili-tar o tráfego nas duas esquinas que possuem ângu-los de 60º, foram construídos, tangenciando os la-dos, arcos de circunferências de 10 m de raio para eliminar os cantos correspondentes a esses ângu-los. Calcule a área eliminada.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 007
RespostaR = 713 780 km
Resposta270º
Resposta70 m
Resposta2
S = 200( 3 - p/3) m
029) (Unicamp90-SP) Mostre que as áreas das duas figuras hachuradas, com as medidas indica-das, são iguais.
030) (Unicamp90-SP) Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo número de cubos peque-nos em cada aresta, sobram cinco; se se tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos peque-nos ?
031) (Unicamp90-SP) Determinar as equações car-tesianas dos círculos que passam pelos pontos(2a , 0) e (0 , 2b), centrados, respectivamente, em (a , 0) e (0 , b), onde a e b são números positi-vos Determine os pontos de interseção desses cír-culos.
032) (Unicamp90-SP) Um ciclista pedala uma bici-cleta com rodas de mesmo diâmetro e com distân-cias entre os eixos de 1,20 m. Num determinado instante ele vira o guidão em 30º, e o mantém nesta posição para andar em círculo. Calcule os raios dos círculos descritos pelas rodas dianteira e traseira da bicicleta.
b
a
b
aa
b
Figura 1 Figura 2
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Jeca 008
Resposta2 2
S = S = (b - a )/21 2
RespostaSão 32 cubos pequenos
RespostasI (0 , 0)1
2 2 2 2 2 2I (2ab /a + b , 2a b/a + b )2
RespostaR = 240 md
R = 120 3 mT
033) (Unicamp90-SP) Seja ABCDEFGH um cubo no qual AB, AC, AD, EF, EG, EH são seis de suas 12 arestas, de sorte que A e E são vértices opos-tos. Calcule o volume do sólido BCDFGH em ter-
mos do comprimento l das arestas do cubo.
034) (Unicamp91-SP) É comum encontrarmos me-sas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Ex-plique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.
035) (Unicamp91-SP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área real da sala projetada.
036) (Unicamp91-SP) Um foguete com ogiva nucle-ar foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à Terra. Se a trajetória plana desse foguete segue o gráfico da equação
2y = - x + 300 x , com que inclinação se deve lançar outro foguete com trajetória retilínea, do mesmo ponto de lançamento, para que esse último intercepte e destrua o primeiro no ponto mais distan-te da Terra ?
A B
C
D
EF
G
Hl
l
l
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 009
Resposta3
V = 2l /3
Resposta Três pontos são sempre coplanares. Quatro pontos distintos não necessariamente estão num mesmo plano.
Resposta2
S = 20 m
Respostaa = arctg 150
037) (Unicamp91-SP) Qual o menor número inteiro de voltas que deve dar a roda C da engrenagem da figura, para que a roda A dê um número inteiro de voltas ?
038) (Unicamp91-SP) Começando com um cilindro de raio 1 e altura também 1, define-se o procedi-mento de colocar sobre o cilindro anterior um outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio do anterior. Embora a altura do sólido fictício resultante seja in-finita, seu volume pode ser calculado. Faça esse cálculo.
039) (Unicamp91-SP) Três canos de forma cilíndri-ca e de mesmo raio r, dispostos como indica a figu-ra, devem ser colocados dentro de outro cano cilín-drico de raio R, de modo a ficarem presos sem fol-ga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.
040) (Unicamp91-SP) Uma esfera de raio 1 é apoi-ada no plano xy de modo que seu polo sul toque a origem desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da esfera, chamamos de "projeção estereográfica" desse ou-tro ponto ao ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera.
A
B
C
engrenagemcom 35 dentes
engrenagemcom 25 dentes
engrenagemcom 38 dentes
r
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 010
Resposta5 voltas
RespostaS = 9p/5
RespostaR = r (3 + 2 3 )/3
Resposta A projeção estereográfica dos pontos do hemisfério sul é um círculo com centro no polo sul e raio 2.
041) (Unicamp91-SP) Considere dois quadrados congruentes de lado 4 cm. O vértice de um dos qua-drados está no centro do outro quadrado, de modo que esse quadrado possa girar em torno de seu centro. Determine a variação da área obtida pela in-tersecção das áreas dos quadrados durante a rota-ção.
042) (Unicamp92-SP) Calcule a e b positivos na equação da reta ax + by = 6 de modo que ela passe pelo ponto (3 , 1) e forme com os eixos coordena-dos um triângulo de área igual a 6.
043) (Unicamp92-SP) Um relógio foi acertado exa-tamente ao meio dia. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º.
044) (Unicamp92-SP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento : localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABC fosse 60º ; determinou o ponto D no prolongamen-to de CA de forma que o ângulo CBD fosse de 90º.Medindo AD = 40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio.
4
4
4
4
B A
D
C
rio
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
OBSERVAÇÃO - Obedecendo o enunciado, este exercício admite infinitas soluções. Para ter solução única, é necessário garantir que AB seja perpendicular a AC. Resolvendo com a correção no
enunciado, tem-se d = 120 m.
Jeca 011
Resposta A área sombreada é constante, em qualquer posição
2da rotação e vale 4 cm .
Respostasa = 1 e b = 3
Resposta13 horas e 24 minutos
045) (Unicamp92-SP) Dados três pontos A, B e C em uma reta, como indica a figura abaixo, determine o ponto X na reta, tal que a soma das distâncias de X até A, de X até B e de X até C seja a menor possível. Explique seu raciocínio.
046) (Unicamp92-SP) Calcule a área de um triângu-
lo em função de um lado l e dos dois ângulos a e
b a ele adjacentes.
047) (Unicamp92-SP) Sejam a , a , ... , a , ... e 1 2 n
b , b , ... , b , ... duas progressões aritméticas. 1 2 n
Mostre que pos pontos (a , b ) , j = 1, 2, 3, ... , j j
estão em uma mesma reta.
048) (Unicamp92-SP) Dado um cubo de aresta l, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo ?
A B C
A B C
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 012
Resolução
S = AX + BX + CXd
S = (a + b) + b + c = a + c + 2bd
Se X = B, tem-se S = a + c + 2.0 = a + cd
Portanto X = B
a
X
b c
Respostas (2 diferentes)2
S = l sen a . sen b / 2 sen(a + b)2
S = l tg a . tg b / 2(tg a + tg b)
Resolução1ª PA (a , a = a + r , ...... , a = a + (j - 1) r )1 2 1 1 J 1 1
2ª PA (b , b = b + r , ...... , b = b + (j - 1) r )1 2 1 2 J 1 2
P (a , b )1 1 1
P (a + r , b + r )2 1 1 1 2
P (a + (j - 1) r , b + (j - 1) r )J 1 1 1 2
Condição de alinhamento m = m P1 P2 P1 PJ
Resolvendo, tem-se r /r = r /r (CQD) 2 1 2 1
Resposta3
V = l /6
049) (Unicamp92-SP) Na figura, AB = AC = l é o
lado do decágono regular inscrito em uma circunfe-rência de raio 1 e centro O.
a) calcule o valor de l.b) mostre que cos 36º = (1 + 5 ) / 4 .
050) (Unicamp92-SP) Considere duas circunferên-cias, uma delas tendo o raio com medida racional e a outra com medida irracional. Suponha que essas circunferências têm centros fixos e estão se tocando de modo que a rotação de uma delas produz uma ro-tação na outra, sem deslizamento. Mostre que os dois pontos (um de cada circunferência) que coinci-dem no início da rotação, nunca mais voltarão a se encontrar.
051) (Unicamp93-SP) Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 largam juntos num determinado circuito e completam, respectivemente, cada volta em 72 e 75 segundos, pergunta-se: depois de quantas vol-tas do mais rápido, contadas a partir da largada, ele estará uma volta na frente do outro ? Justifique sua resposta.
052) (Unicamp93-SP) No canto A de uma casa de forma quadrada ABCD, de 4 metros de lado, pren-de-se uma corda flexível e inextensível, em cuja ex-tremidade livre é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 metros de comprimento, do ponto em que está presa até sua extremidade li-vre. Mantendo-se a corda sempre esticada de tal forma que inicialmente sua extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-se um contorno no chão, em volta da casa, até que a extremidade livre toque a parede CD.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área da região exterior à casa, delimita-da pelo traçado da estaca.
O C B
A
1l
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 013
Respostaa) l = ( 5 - 1)/2b) Lei dos cossenos
2 2 2 [( 5 - 1)/2] = 1 + 1 - 2 . 1 . 1. cos 36º
Resoluçãoc = 2pr - comprimento da 1ª circunferência1 1
c = 2pr - comprimento da 2ª circunferência2 2
Seja X o mínimo múltiplo comum (mmc) entrec e c , ponto em que teoricamente seria o en-1 2
contro.Impossível achar X pois não existe mmc entre um número racional e um número irracional.Portanto não haverá encontro.
Resposta25 voltas (1800 s)(Justificativa - mmc(72 , 75))
Respostasa) esquemaao lado
2b) S = 29p m
053) (Unicamp93-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Mostre que a área do retângulo é o dobro da área do losango.
054) (Unicamp93-SP) A figura mostra um segmento AD dividido em três partes : AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.
055) (Unicamp93-SP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1 200 me-tros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60º; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45º.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.
056) (Unicamp93-SP) Dada uma elipse de semiei-xos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados parale-los aos eixos da elipse.
A B C D
B'
C'
D'
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 014
S1S1
RespostaS / S = 8 S / 4 S = 2RET LOS 1 1
(CQD)
RespostasAB' = 13/5 cmB'C' = 39/10 cmC'D' = 13/2 cm
A B
N
60º 45º
d1200 - d
d
Respostasa) esquema ao lado.b) d = 600(3 - 3 ) m
Resposta2 2 2 2
S = 4 a b /a + b
057) (Unicamp93-SP) Prove que a soma das distân-cias de um ponto qualquer do interior de um triângu-lo equilátero a seus três lados é igual à altura desse triângulo.
058) (Unicamp93-SP) Um cilindro circular reto é cor-tado por um plano não paralelo à sua base, resultan-do no sólido ilustrado na figura. Calcule o volume desse sólido em termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da altura mínima CD = b. Justifi-que seu raciocínio.
059) (Unicamp94-SP) Como se sabe, os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam nos oceanos. Supondo que a parte submersa de um iceberg corresponde a 8/9 de seu volume total e que o volume da parte não
3submersa é de 135 000 m .
a) Calcule o volume total do iceberg.b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supon-do que 2% de seu volume total é constituído de "im-purezas" , como matéria orgânica, ar e minerais.
060) (Unicamp94-SP) a) Dois círculos concêntricos têm raios 3 e 5 centímetros. Faça um desenho desses círculos de maneira a representar adequadamente seus tama-nhos relativos.b) Desenhe, na figura obtida, e inteiramente contido na região anular interna ao círculo maior e externa ao círculo menor, um segmento de reta de maior comprimento possível.c) Calcule o comprimento desse segmento.
r
A
B C
Da
b
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 015
Pa
b
c
Resoluçãol.h/2 = l.a/2 + l.b/2 +l.c/2 = (l/2) (a + b + c)Portanto h = a + b + c (CQD)
h
Resposta2
V = pr (a + b)/2
Respostas3
a) V = 1 215 000 m3
b) V = 1 190 700 mP
A
B
CD
Respostasa) desenhob) desenhoc) AB = 8 cm
061) (Unicamp94-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Pla-nalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua par-te mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subí-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo.a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve ca-minhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
062) (Unicamp94-SP) Em um quadrilátero convexo ABCD, a diagonal AC mede 12 cm e os vértices B e D distam, respectivamente, 3 cm e 5 cm da diagonal AC.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.b) Calcule a área do quadrilátero.
063) (Unicamp94-SP) Retiram-se x litros de um barril de 100 litros e adicionam-se, ao mesmo barril, x litros de água. Da mistura resultante no barril, reti-ram-se outros x litros e adicionam-se outros x li-tros de água. Agora o barril contém 64 litros de vi-nho e 36 de água. Calcule o valor de x.
064) (Unicamp94-SP) 2 2
a) Utilize a fórmula sen a + cos a = 1 e a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos para deduzir as seguintes fórmulas do arco metade:
b) Especifique os intervalos de variação de a nos quais se deve usar o sinal "mais" e nos quais se de-ve usar o sinal "menos" em cada uma das fórmulas acima.
sen a2
= + 1 - cos a
cos 1 + cos a
2
a2
= +2
e
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 016
Respostad = 20,5 m
Respostasa) esquema aolado
2b) S = 48 cm
Respostax = 20 litros
Respostasa) demonstraçãob) cos a/2 > 0(2k - 1)p < a < (2k + 1)p , k é parcos a/2 < 0(2k - 1)p < a < (2k + 1)p , k é ímparsen a/2 > 0(2kp < a < 2(k + 1)p , k é parsen a/2 < 02kp < a < 2(k + 1)p , k é ímpar
A
B
C
D
3
5
065) (Unicamp94-SP) a) Identifique as circunferências de equações
2 2 2 2x + y = x e x + y = y , calculando o raio e o centro das mesmas. Esboce seus gráficos.
b) Determine os pontos de interseção dessas circun-ferências e mostre que as retas a elas tangentes em cada um desses pontos são perpendiculares entre si.
066) (Unicamp94-SP) Em uma pirâmide de base quadrada, as faces laterais são triângulos equiláte-ros e todas as oito arestas são iguais a 1. a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também tangencia as arestas laterais.c) Calcule o raio do círculo interseção da esfera com cada face lateral da pirâmide.
067) (Unicamp95-SP) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d'água de forma cúbica, o ní-vel da água baixa 20 centímetros.a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa.b) Calcule a sua capacidade em litros (1 litro equi-vale a 1 decímetro cúbico).
068) (Unicamp95-SP) Um triângulo escaleno ABC 2
tem área igual a 96 m . Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. Faça uma figura e calcule a área do quadrilátero BMNC.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 017
Respostasa) C (1/2 , 0) , R = 1/21 1
C (0 , 1/2) , R = 1/22 2
b) I (0 , 0) , I (1/2 , 1/2)1 2
tangentes x = 0 e y = 0x = 1/2 e y = 1/2
Respostasa) h = 2 /2 , V = 2 /6b) d = 1/2c) r = 3 /6
Respostasa) l = 0,8 mb) V = 512 litros
Resposta2S = 72 m
069) (Unicamp95-SP) Em um sistema de coordena-das ortogonais no plano são dados o ponto (5 , -6) e
2 2o círculo x + y = 25. A partir do ponto (5 , -6) , tra-çam-se duas tangentes ao círculo. Faça uma figura representativa desta situação e calcule o compri-mento da corda que une os pontos de tangência.
070) (Unicamp95-SP) Encontre todas as soluções do sistema:
sen (x + y) = 0 sen (x - y) = 0
que satisfaçam 0 < x < p e 0 < y < p .
071) (Unicamp95-SP) Uma pirâmide regular, de ba-se quadrada, tem altura igual a 20 cm. Sobre a ba-se dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de lado igual a 5 cm. Faça uma figura re-presentativa desse situação e calcule o volume do cubo.
072) (Unicamp96-SP) Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma
2área queimada aparece com 9 cm . Calcule:
a) O comprimento que corresponde a 1 cm na mes-ma fotografia.b) A área da superfície queimada.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Jeca 018
Respostad = 2h = 60 61 /61
A
B
(5 , -6) RespostaS = {(0 , 0) , (p/2 , p/2) , (p , p) , (p , 0) , (0 , p)}
Resposta3
V = 1 000 cm
Respostasa) x = 2,5 km
2b) S = 56,25 km2
Observação - Na minha opinião este enunciado dá margem a dupla interpretação.
073) (Unicamp96-SP) Uma folha retangular de car-tolina mede 35 cm de largura por 75 cm de compri-mento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada quadrado mede x cm de comprimento.
a) Calcule a área do retângulo inicial.b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1 725
2cm .
074) (Unicamp96-SP) Sejam A, B, C e D os vér-tices de um quadrado de lado a = 10 cm; sejam ain-da E e F pontos nos lados AD e DC, respectiva-mente, de modo que BEF seja um triângulo equilá-tero. a) Qual o comprimento do lado desse triângulo ?b) Calcule a área do mesmo.
075) (Unicamp96-SP) Uma elipse que passa pelo ponto (0 , 3) tem seus focos nos pontos (-4 , 0) e(4 , 0) . O ponto (0 , -3) é interior, exterior ou perten-ce à elipse ? Mesma pergunta para o ponto(5/2 , 13/5) . Justifique suas respostas.
076) (Unicamp96-SP) Ache todos os valores de x, no intervalo [0 , 2p] , para os quais
sen x + cos x = .2 + 32
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 019
Respostas2
a) 2 625 cmb) x = 15 cm
Respostasa) l = 10 ( 6 - 2 ) cm
2b) S = 100 3 (2 - 3 ) cm
Respostas(0 , -3) pertence à elipse(5/2 , 13/5) é exterior à elipse
RespostaS = {p/6 , p/3}
077) (Unicamp96-SP) Um tetraedro regular, cujas arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao pla-no que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T.a) Calcule a altura do tetraedro ABCD.b) Mostre que o sólido ARST também é um tetrae-dro regular.c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dis-ta 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST.
078) (Unicamp97-SP) O volume V de uma bola de 3 raio r é dado pela fórmula V = 4pr / 3 .
a) Calcule o volume de uma bola de raio r = 3/4 cm. Para facilitar os cálculos, você deve substituir p pelo número 22/7 .b) Se uma bola de raio 3/4 cm é feita com um mate-rial cuja densidade volumétrica (quociente da massa
3pelo volume) é de 5,6 g/cm , qual será a sua massa ?
079) (Unicamp97-SP) O retângulo de uma Bandeira do Brasil, cuja parte externa ao losango é pintada de verde, mede 2 m de comprimento por 1,40 m de lar-gura. Os vértices do losango, cuja parte externa ao círculo é pintada de amarelo, distam 17 cm dos lados do retângulo e o raio do círculo mede 35 cm. Para
2calcular a área do círculo use a fórmula A = pr e, para facilitar os cálculos, tome p como 22/7.
a) Qual é a área da região pintada de verde ?b) Qual é a porcentagem da área da região pintada de amarelo, em relação à área total da Bandeira ? Dê sua resposta com duas casas decimais depois da vírgula.
080) (Unicamp97-SP) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1 , 1) no mesmo instante e com veloci-dades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4x - 3y + 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação
2 2x + y - 6x - 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se:
a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias ?b) Se as velocidades do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q ?
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Jeca 020
Respostasa) h = 3 6 cmb) demonstraçãoc) x = (9 - 6 ) cm
Respostas3
a) V = 99/56 cmb) m = 9,9 g
Respostas2
a) S = 1,92 mVERDE
b) S /S = 17,67%AM BAN
Respostasa) Q(119/25 , 217/25)b) V = 5a/0,48 km/h1
V = 5(2p - a)/0,48 km/h2
onde a = arc cos(-0,8432) (a = 147,48º)
081) (Unicamp97-SP) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 metro e um dos ângulos agudos é o triplo do outro.
a) Calcule os comprimentos dos catetos.b) Mostre que o comprimento do cateto maior está entre 92 e 93 centímetros.
082) (Unicamp97-SP) Um triângulo equilátero, ins-crito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i.
a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo ? Faça a fi-gura desse triângulo.b) Qual a medida do lado desse triângulo ?
083) (Unicamp98-SP) O gráfico abaixo, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma ques-tão pelos 32 000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele mostra, por e-xemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão.Pergunta-se:a) Quantos candidatos tiveram nota 3 ?b) É possível afirmar que a nota média, nessa ques-tão, foi < 2 ? Justifique sua resposta.
084) (Unicamp98-SP) Os lados de um triângulo me-dem 5, 12 e 13 cm.
a) Calcule a área desse triângulo.b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
1(20%)
3(16%)
2(32%)
4(12%) 5
(10%)
0(10%)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 021
Respostas
a) a = ( 2 - 2 ) / 2 , b = ( 2 + 2 ) / 2b) b = 0,9235 m
Respostasa) 5 120 cand.b) m = 2,3
Respostas2
a) S = 30 cmb) r = 2 cm
Respostasa) a = 3 + i (dado da questão) b = - 3 + i c = -2ib) l = 2 3
085) (Unicamp98-SP) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada ter-mo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois ter-mos imediatamente anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.b) Supondo que o primeiro termo seja (1 - 5 ) / 2 e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos des-sa progressão.
086) (Unicamp98-SP) a) Encontre as constantes a, b e c de modo que
2o gráfico da função y = ax + bx + c passe pelos pontos (1 , 10) , (-2 , -8) e (3 , 12) .
b) Faça o gráfico da função obtida no item a, desta-cando seus pontos principais.
087) (Unicamp98-SP) (parte de uma questão)
b) Encontre todos os valores reais de x e y satis-fazendo
2 x + 4x cos y + 4 = 0
088) (Unicamp98-SP) Se z = x + iy é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x + iy) = x.
a) Mostre que o conjunto dos pontos (x , y) que sa-tisfazem à equação
ao qual se acrescenta o ponto (2 , 0), é uma circun-ferência. b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2 , 0) e é tangente àquela circunferência.
Re( )z + 2iz - 2
=12
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 022
Respostasa) q = (1 + 5 )/2 ou q = (1 - 5 )/2b) S = -1 - 53
Respostasa) a = -1 b = 5 c = 6
-1 6x
y
V(5/2 , 49/4)
Respostaspara x = -2 , y = 2kp , k inteiropara x = 2 , y = (2k + 1) p , k inteiro
Respostasa) circunferência centro C(0 , -2) e raio R = 2 2b) y = x + 2
089) (Unicamp98-SP) a) Qual é o valor de l na equação
3 2 z - 5z + 8z - l = 0de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação ?
b) Para esse valor de l, ache as três raízes z , z 1 2
e z dessa equação.3
c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z , z , z gi-1 2 3
ra em torno da reta de equação x = 1.
090) (Unicamp99-SP) Pero Vaz de Caminha, na carta enviada ao Rei de Portugal, afirma: Esta Terra, Senhor, me parece que da ponta que mais contra o Sul vimos, até outra ponta que contra o Norte vem, será tamanha que haverá nela bem vinte ou vinte e cinco léguas por costa.
a) Admitindo-se que a légua a que se refere Caminha seja a légua marítima e que esta equivale a 6 350 metros, qual seria o maior valor em quilôme-tros, estimado para a costa ?b) No final do século XV admitia-se que a distân-cia, ao longo do equador, entre dois meridianos que compreendem 1º era de 17,5 léguas marítimas. A partir desses dados, calcule o comprimento do equador, apresentando o resultado em metros.c) A latitude da Baía de Todos os Santos, medida na época do descobrimento, era de 15º 40' sul. O valor aceito atualmente para a latitude do mesmo local é de 12º 54' sul. Calcule o erro cometido, em graus e minutos. Além disso, diga se a medida da época localizava a Baía de Todos os Santos ao norte ou ao sul em relação à localização aceita atual mente.
091) (Unicamp99-SP) Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo a e um ângulo obtuso b. Suponha que, em um tal trapézio, a medida de b seja igual a cinco vezes a medida de a.
a) Calcule a medida de a, em graus.b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de a e b é reto.
092) (Unicamp99-SP) Uma reta intersecciona nos pontos A(3 , 4) e B(-4 , 3) uma circunferência cen-trada na origem.
a) Qual é o raio dessa circunferência ?b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 023
Respostasa) l = 6
b) z = 3 , z = 1 - i , z = 1 + i1 2 3
c) V = 8p/3
Respostasa) 158,75 kmb) 2º 46' Localizava mais ao sul
Respostasa) a = 30ºb) desenho ao lado2a + 2b = 180a + b = 90º , q = 90º
b
a
b
a
q
Respostasa) R = 5b) S = 50
093) (Unicamp99-SP) Considere a função
2 3S(x) = 1 + 2 sen x + 4(sen x) + 8(sen x) para x R.
a) Calcule S(p/3)b) Resolva a equação S(x) = 0, para x [-2p , 2p] .
094) (Unicamp99-SP) Dado um número complexoz = x + iy, o seu conjugado é o número complexo z = x - iy.
a) Resolva as equações: 2 2
z . z = 4 e (z) = z
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geo-métricos que representam as soluções dessas equa-ções.
095) (Unicamp99-SP) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que AB = 2 km, BC = 1 km e a medida do ângulo ABC seja de 135º.
a) Calcule o raio dessa circunferência.b) Calcule a área do triângulo ABC.
096) (Unicamp99-SP) Cada aresta de um tetraedro regular mede 6 cm. Para esse tetraedro, calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, en-tre duas arestas que não têm ponto comum;b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 024
Respostasa) S(p/3) = 4(1 + 3 )b) S = {-5p/6 , -p/6 , p/6 , 7p/6}
Respostas
a) R = ( 10 + 4 2 ) / 2 km2
b) S = 2 / 2 km
Respostasa) d = 3 2 cmb) r = 2 / 2 cm
Respostas2 2 2
a) S = {(x , y) R | x + y = 4} 12 S = {(x , y) R | 2xy = 0}2
b) S = {(0 , 2) , (0 , -2) , (2 , 0) , (-2 , 0)}
097) (Unicamp00-SP) O mundo tem, atualmente, 6 bilhões de habitantes e uma disponibilidade máxima de água para consumo em todo o planeta de 9 000
3km /ano. Sabendo-se que o consumo anual per ca-
3pita é de 800 m , calcule:
3a) o consumo mundial anual de água, em km ;b) a população mundial máxima, considerando-se apenas a disponibilidade mundial máxima de água para consumo.
098) (Unicamp00-SP) a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas dos lados são números inteiros e cujos perímetros medem 11 metros ?b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são equiláteros ? E quantos são isósceles ?
099) (Unicamp00-SP) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo a.
a) Mostre que a área desse quadrilátero é
b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o qual D = 8 cm, d = 6 cm e a = 30º.
100) (Unicamp00-SP) Sejam A e B os pontos de 2 intersecção da parábola y = x com a circunferên-
cia de centro na origem e raio 2 .
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B ?b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ân-gulos APB.
D . d2
. sen a
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 025
Respostas3
a) C = 4 800 kmb) 11,5 bilhões de habitantes
Respostasa) 4 triângulosb) 3 isósceles e nenhum equilátero
a180 - a
a
b
cd
Resoluçãoa) S = S + S + S + S1 2 3 4
S = (a.c.sen(180 - a)/21
S = (a.d.sen a)/22
S = (b.d.sen(180 - a)/23
S = (b.c.sen a)/24
mas sen a = sen(180 - a)Portanto S = [(a + b)(c + d) sen a]/2 = sen a.d'.D
2b) S = 12 cm
Respostasa) A(1 , 1) , B(-1 , 1)b) 45º ou 135º
101) (Unicamp00-SP) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares consecu-tivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números ?b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângu-lo.c) Sendo a e b os outros dois ângulos do referido triângulo, com b > a, mostre que
2 2sen b - sen a < 1/4 .
102) (Unicamp00-SP) Seja P um ponto do espaço equidistante dos vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8 cm, 8 cm e 9,6 cm. Sendo d(P,A) = 10 cm, calcule:
a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto P e cuja base é o triângulo ABC.
103) (Unicamp01-SP) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões: AB = 25 m, BC = 24 m, CD = 15 m.
a) Se cada metro quadrado desse terreno valeR$ 50,00 , qual é o valor total do terreno ?b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça uma figura para ilustrar sua res-posta, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB.
104) (Unicamp01-SP) Um fio de 48 cm de compri-mento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio ?b) Qual será a área de cada um dos quadrados for-mados ?
A B
CD
A B
CD
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 026
Respostasa) 3 , 5 e 7b) a = 120ºc) Lei dos senos
7
32
=5
sen b3
sen a=
sen a = 3 3 /14 , sen b = 5 3 /142 2
sen a - sen b = 12/49 < 1/4 (CQD)
Respostasa) R = 5 cmb) H = 5 3 cm
Respostasa) P = 24 000,00 ReaisTER
b) Ver desenho acima
10 5 5 5
b a
120º3 5
7
Respostasa) c = 16 cm , c = 32 cm1 2
2 2b) S = 16 cm , S = 64 cm1 2
105) (Unicamp01-SP) A figura abaixo é a planifica-ção de uma caixa sem tampa:
a) Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50 l itros.b) Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana ?
106) (Unicamp01-SP) Considere três circunferên-cias em um plano, todas com o mesmo raio r = 2 cm e cada uma delas com centro em um vértice de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm. Seja C a curva fechada de comprimento mínimo que tangen-cia externamente as três circunferências.
a) Calcule a área da parte do triângulo que está fora das três circunferências.b) Calcule o comprimento da curva C.
107) (Unicamp01-SP) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x - 5 e x - 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triân-gulo ABC formado por essas retas ?b) Qual é a área do triângulo ABC ?
108) (Unicamp01-SP) Considere a equação trigono-2 2
métrica sen q - 2 cos q + (1/2) sen 2q = 0.
a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de q para os quais cos q = 0.b) Encontre todos os valores de cos q que são so-luções da equação.
x/5 x/52x
x/5
x/5
x
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 027
Respostasa) x = 50 cmb) R$ 8,40
Respostas2
a) S = (9 3 - 2p) cmb) C = (18 + 4p) cm
Respostasa) A(-3 , 1) , B(3 , 1) , C(5 , 5)b) S = 12
Resolução2 2
a) sen q - 2.cos q + (1/2).sen 2q = 0cos q = 0 q = p/2 ou q = 3p/2
2 2sen p/2 - 2.cos p/2 + (1/2).sen 2p/2 = 1 - 0 + 0 = 1 = 0
2 2sen 3p/2 - 2.cos 3p/2 + (1/2).sen 6p/2 = 1 - 0 + 0 = 1 = 0 (CQD)b) S = { 2 /2 , - 2 /2 , 5 /2 , - 5 /2}
>
109) (Unicamp01-SP) A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6 cm e arestas late-rais das faces A = 4 cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide ?
110) (Unicamp02-SP) Caminhando sempre com a mesma velocidade, a partir do marco zero, em uma pista circular, um pedestre chega à marca dos 2 500 metros às 8 horas, e aos 4 000 metros às 8 h 15 min.a) A que horas e minutos o referido pedestre come-çou a caminhar ?b) Quantos metros tem a pista se o pedestre deu duas voltas completas em 1 h e 40 minutos ?
111) (Unicamp02-SP) Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados iguais. Supondo que não haja espaço entre ladrilhos vizinhos, pergunta-se:
a) Qual deve ser a dimensão máxima, em centíme-tros, de cada um desses ladrilhos para que a sala possa ser ladrilhada sem cortar nenhum ladrilho ?b) Quantos desse mesmos ladrilhos são necessá-rios ?
112) (Unicamp02-SP) Um homem, de 1,80 m de al-tura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, con-forme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.b) Calcular a área do triângulo ABC.
sombra
30º
5 m
1,8
m
C
B
A
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)(GeoJeca)
Jeca 028
Respostasa) h = 2 cmb) R = 4 cm(O centro da esfera está abaixo da base da pirâmide)
Respostasa) 7h 35minutosb) c = 5 000 m
Respostasa) dimensão máxima 25 cm x 25 cmb) 204 ladrilhos
Respostasa) c = 2,25 m
2b) S = 125 3 / 16 m
113) (Unicamp02-SP) Seis círculos, todos de raio 1 cm, são dispostos no plano conforme mostram as fi-guras abaixo.
a) Calcule a área do triângulo ABC.b) Calcule a área do paralelogramo MNPQ e com-pare-a com a área do triângulo ABC.
114) (Unicamp02-SP) Uma piscina, cuja capacida-3
de é de 120 m , leva 20 horas para ser esvaziada. O volume de água na piscina, t horas após o início do processo de esvaziamento, é dado pela função
2V(t) = a (b - t) para 0 < t < 20 e V(t) = 0 para t > 20.
a) Calcule as constantes a e b.b) Faça o gráfico da função V(t) para t [0 , 30]
115) (Unicamp02-SP) O sólido da figura abaixo é um cubo cuja aresta mede 2 cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD .1
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D .1
116) (Unicamp02-SP) Sejam a, b e g os ângulos internos de um triângulo.
a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não podem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.b) Supondo que as tangentes dos três ângulos se-jam números inteiros positivos, calcule essas tan-gentes.
A B
C
M N
PQ
A B
D C
A1 B1
D1 C1
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 029
Respostas2
a) S = (19 3 + 24)/4 cmTRI2
b) S = (20 3 + 36)/4 cmPAR
Respostasa) a = 3/10 , b = 20b) gráfico ao lado
V(t)
120
3020
(t)
Respostas3
a) V = 4/3 cmb) d = 4 3 /3 cm
Resoluçãoa) I - Se o triângulo é obtusângulo, uma das tangen-tes é negativa.II - Se o triângulo é acutângulo e o ângulo a é maior que 60º, existe um ângulo b menor que 60º e por-tanto tg b < 2.III - Se o triângulo é equilátero, as três tangentes são meonres que 2.IV - Se o triângulo é retângulo, uma tangente não existe e outra obrigatoriamente é menor ou igual a 1.
b) a < b < g e as tangentes são números inteiros tg a = 1, tg b = 2 e tg g = 3
117) (Unicamp03-SP) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo. Dados: AB = 6 m, AC = 1,5 m e CD = 4 m.
a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa ?b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem se armazenados na caixa ?
118) (Unicamp03-SP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais que mdc(a , b) = 5 e mmc(a , b) = 105.
a) Qual é o valor de b se a = 35 ?b) Encontre todos os valores possíveis para (a , b) .
119) (Unicamp03-SP) Os pontos A e B estão, am-bos, localizados na superfície terrestre a 60º de lati-tude norte; o ponto A está a 15º 45' de longitude leste e o ponto B a 56º 15' de longitude oeste.
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeita-mente esférica, mede 6 400 km qual é o raio do pa-ralelo 60º ?b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo 60º ? (Use 22/7 como aproximação para p)
120) (Unicamp03-SP) As equações 2 2 2 2
(x + 1) + y = 1 e (x - 2) + y = 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas.
a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências.b) Encontre o valor de a R, a 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a , 0) sejam tan-gentes às duas circunferências.
A B
C
D
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 030
Respostasa) l = 1,2 mb) V = 1 468,8 litros
Respostasa) b = 15b) S = {(5 , 105), (105 , 5), (15 , 35), (35 , 15)}
Respostasa) r = 3 200 kmb) d = 4022 km
Respostasa) I(0 , 0)b) a = -4
121) (Unicamp03-SP) Considere dois triângulos re-tângulos T e T , cada um deles com sua hipote-1 2
nusa medindo 1 cm. Seja a a medida de um dos ângulos agudos de T e 2a a medida de um dos 1
ângulos agudos de T .2
a) Calcule a área de T para a = 22,5º.2
b) Para que valores de a a área de T é menor 1
que a área de T ?2
122) (Unicamp03-SP) Considere um cubo cuja ares-ta mede 10 cm. O sólido cujos vértices são os cen-tros das faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos equiláteros congruentes.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
123) (Unicamp03-SP) Considere o conjuntoS = {n N : 20 < n < 500 } .
a) Quantos elementos de S são múltiplos de 3 e de 7 ?b) Escolhendo-se ao acaso um dos elementos de S, qual a probabilidade de o mesmo ser um múltiplo de 3 ou de 7 ?
124) (Unicamp04-SP) Supondo que a área média ocupada por uma pessoa em um comício seja de
22 500 cm , pergunta-se:
a) Quantas pessoas poderão se reunir em uma pra-ça retangular que mede 150 metros de comprimen-to por 50 metros de largura ?b) Se 3/56 da população de uma cidade lota a pra-ça, qual é, então, a população da cidade ?
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 031
Respostas2
a) S = 1/4 cm2
b) S < S 0º < a < 30º1 2 >
Respostasa) l = 5 2 cm
3b) V = 500/3 cm
Respostasa) 23 elementosb) p = 206/481
Respostasa) 30 000 pessoasb) 560 000 habitantes
125) (Unicamp04-SP) Um triângulo equilátero tem o mesmo perímetro que um hexágono regular cujo la-do mede 1,5 cm. Calcule :a) O comprimento de cada lado do triângulo.b) A razão entre as áreas do hexágono e do triângulo.
126) (Unicamp04-SP) Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a 24 cm, apenas um deles é equilá-tero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm.
a) Calcule a área do triângulo equilátero.b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo.
127) (Unicamp04-SP) Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y = 1 / x , x > 0. As abcissas de A, B e C são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D.b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela ori-gem.
128) (Unicamp04-SP) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.a) Calcule o raio R da circunferência.b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 032
Respostasa) l = 3 cmTRI
b) S / S = 3/2HEX TRI
Respostas2
a) S = 16 3 cmb) R = 5 cm
Respostasa) D(3/2 , 2/3)b) equação da reta x - 6y = 0 (a reta passa pela origem)
RespostasR = 3 66 /8 cm
3b) V = 495p /32 cm
129) (Unicamp05-SP) Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha que a circunferência l passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB.a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M.b) Calcule o raio da circunferência l.
130) (Unicamp05-SP) Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 15 km e, após mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe do porto que o outro.a) Quais as velocidades dos dois navios em km/h ?b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de saída, 270 minutos após a partida ?
131) (Unicamp05-SP) As transmissões de uma de-terminada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0 , 0), B(100 , 0), C(60 , 40) e D(0 , 40), sendo o quilômetro a unida-de de comprimento. Desprezando a altura das ante-nas e supondo que o alcance máximo de cada ante-na é de 20 km, pergunta-se:
a) O ponto médio do segmento BC recebe as trans-missões dessa emissora ? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários.b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora ?
132) (Unicamp05-SP) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.a) Calcule o volume do prisma.b) Encontre a área da secção desse prisma que pas-sa pelos pontos A, C e A’.
5 cm
10
cm
A’
A C
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
Jeca 033
Respostas2
a) S = 50 cmb) R = 25/4 cm
Respostasa) V = 24 km/h , V = 18 km/hA B
b) d = 108 km , d = 81 kmA B
Respostasa) O ponto médio de BC não recebe transmissões porque d = d = 20 2 > 20 km.CM BM
2b) S = (3 200 - 400p) km
Respostas3
a) V = 375 3 cm2
b) S = 50 3 cm
133) (Unicamp05-SP) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura abaixo.a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.b) Calcule o comprimento do segmento NB.
30º
1 km
2 km
150º
A
B
CN
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 034
30º
1 km
2 km
150º
A
B
CN
Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura abaixo.a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.b) Calcule o comprimento do segmento NB.
RESOLUÇÃO
x
y
ABCN é um quadrilátero 120 + 150 + x + y = 360
x + y = 90º
>
a
No DABN, pela Lei dos Senos, temos :
1sen 30º
=a
sen xa = 2.sen x>
w
No DBCN, temos que w + y+ 90 = 180 w + y = 90º
Portanto w = x
>
No DBCN, temos que sen y = cohip
a2
= > a = 2.sen y
Portanto w = x = y = 45º > a = 2NB =
Resp b)
A
B
CN
x
y
R
R
O
BAN = x = 45º é um ângulo inscrito na circunferência
BON = 90º é o ângulo central correspondente a BAN
Se o triângulo BON é retângulo, então vale Pitágoras.
2 2 2 (BN) = R + R R = 1>
Resp a)
O ponto O é o circuncentro da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. (ponto de encontro das mediatrizes)
Na figura abaixo, determinar :a) o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.b) a medida do segmento BN.
A B
CN
30º
150º
1 km
2 km
A B
C
N
2 km
1 km
30º
150º
Esta é a figura com as suasformas corretas.
A B
C
N
D
O
P
S
150º
30º
Resolução
a) Pela lei dos senos, tem-se ABsen 30º
= 2R
AB= 2R
12
Portanto R = 1 km
Portanto BN = 2 BD = 2 km
b) Sendo O o circuncentro do triângulo ABN, tem-se - OD é uma mediatriz - BD = DN - os ângulos BDP e BNC são retos - as retas OP e NC são paralelas entre si - os triângulos BDP e BNC são semelhantes - BP = PC = 1 km - OB = BP = raio = 1 km - o triângulo BOP é isósceles - os ângulos BOD e BPD são congruentes e medem 45º - então BD mede 2 / 2 km.
134) (Unicamp06-SP) Um cidadão precavido foi fa-zer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua mala executiva, cujo interior tem 56 cm de comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. O cidadão só pretende carregar notas de R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65 mm de largura, 0,2 mm de espessura e densida-
3de igual a 0,75 g/cm .
a) Qual é a máxima quantia, em reais, que o cida-dão poderá colocar na mala ?b) Se a mala vazia pesa 2,6 kg, qual será o peso da mala cheia de dinheiro.
Observação do Jeca - O item b deveria referir-se à massa e não ao peso.
135) (Unicamp06-SP) Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua ca-sa, de forma que o topo da escada ficou a uma altura de aproximadamente 14 m. Enquanto Roberto su-bia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração abaixo. Refeito do susto, Roberto reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer um ân-gulo de 45º com a horizontal. Pergunta-se:
a) Qual é a distância entre a parede da casa e o muro ?b) Qual é o comprimento da escada de Roberto ?
136) (Unicamp06-SP) Um abajur de tecido tem a for-ma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser de-marcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danifica-do.b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur.
137) (Unicamp06-SP) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colo-cada, na vertical, uma régua de 2 m de comprimen-to. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.
a) Qual a distância entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa ?b) Qual a altura da escarpa ?
Antes Depoisp
are
de
pa
red
e
mu
ro
mu
ro
escadaescad
a
60º15º
1,6
m escarpa
2 m
régua
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 035
Respostasa) R$ 600 000,00b) m = 18,98 kg
Respostasa) d = 3 mb) l = 3 2 m
Respostasa) g = 30 cm , G = 60 cm
2b) A = 1 125p cmlt
Respostasa) d = (2 3 + 3) mb) h = (1,6 + 3 ) m
138) (Unicamp06-SP) Sabe-se que a reta r(x) = mx + 2 intercepta o gráfico da função y = | x | em dois pontos distintos, A e B.
a) Determine os possíveis valores para m.b) Se O é a origem dos eixos cartesianos, encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima.
139) (Unicamp06-SP) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC tam-bém são lados de quadrados construídos externa-mente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circun-ferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente.
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO.b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F.
140) (Unicamp07-SP) A coletânea de textos da pro-va de redação também destaca o impacto da moder-nização da agricultura sobre a produtividade da terra e sobre as relações sociais no país. Aproveitando esse tema, analisamos, nesta questão, a colheita de uma plantação de cana-de-açúcar, cujo formato é fornecido na figura ao lado. Para colher a cana, po-de-se recorrer a trabalhadores especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é capaz de colher
20,001 km por dia, enquanto uma colhedeira mecâ-nica colhe, por dia, uma área correspondente a 0,09
2km . a) Se a cana precisa ser colhida em 40 dias, quantos trabalhadores são necessários para a co-lheita, supondo que não haja máquinas ?b) Suponha, agora, que a colheita da parte hachu-rada do desenho só possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedei-ras mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são necessários para que a colheita das duas partes tenha a mesma duração ? Em seus cálculos, des-considere os trabalhadores que operam as máqui-nas.
5 k
m
5 km
2 km
0,5 km
0,5 km
2 km 1 km
Figura correspondente à questão ao lado.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 036
Respostasa) -1 < m < 1b) m = 0
Respostas
a) DO = 5 cm , EO = 7 cm , FO = 7 cm
b) ED = FD = 74 + 35 2 cm
Respostasa) 300 trabalhadoresb) 120 trabalhadores
141) (Unicamp07-SP) Seja ABCDA B C D um 1 1 1 1
cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face CDD C , 1 1
conforme mostrado na figura abaixo.
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC em K e DD em L, respectiva-1 1
mente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL.b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e M.
142) (Unicamp07-SP) Um pluviômetro é um aparelho utilizado para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de um pluviômetro-padrão é exibida a seguir. Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura circular existen-te no topo é de 20 cm. A água que cai sobre a parte superior do aparelho é recolhida em um tubo cilíndri-co interno. Esse tubo cilíndrico tem 60 cm de altura e a sua base tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro. (obs.: a figura abaixo não está em escala.)
143) (Unicamp07-SP) A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidade de Paraguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada (que não aparece na figu-ra). Os traços perpendiculares à estrada estão uni-formemente espaçados de 1 cm.
144) (Unicamp07-SP) Por norma, uma folha de pa-pel A4 deve ter 210 mm x 297 mm. Considere que uma folha A4 com 0,1 mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a do-bra é sempre perpendicular à maior dimensão resul-tante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progres-são geométrica que representa a espessura do pa-pel dobrado em função do número k de dobras feitas.b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as di-mensões do paralelepípedo ?
a) Calcule o volume do tubo cilíndrico interno.b) Supondo que, durante uma chuva, o nível de água no cilindro interno subiu 2 cm, calcule o volume de água precipitado por essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento por 300 m de largura.
Respostas3
a) V = 600p cm3
b) P = 300 m
A B
CD
M
L
O
P
A1 B1
C1D1
K
Paraguaçu posto Piripiri
13 47
a) Para representar a escala de um mapa, usamos a notação 1 : X , onde X é a distância real correspon-dente à distância de 1 unidade do mapa. Usando essa notação, indique a escala do mapa dado acima.b) Repare que há um posto exatamente sobre um traço perpendicular à estrada. Em que quilômetro (medido a partir do ponto de início da estrada) encon-tra-se tal posto ?c) Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1 : 500 000. Se você fizer a fi-gura em uma folha de papel, qual será a distância, em centímetros, entre as cidades de Paraguaçu e Pi-ripiri ?
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 037
Respostasa) CK = 2 cm , DL = 4 cm
3b) V = 42 cmTR
Respostasa) 1 : 425 000b) 6,8 cm
Respostask
a) e = 0,1 . 2k
b) e = 0,1 . 2 = 6,4 mmk
c = 297(1/2) = 297/64 mmk
l = 210(1/2) = 210/64 mm
145) (Unicamp07-SP) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutu-ra, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo.
146) (Unicamp07-SP) Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo A tem 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse la-do em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3 .a) Determine r.b) Determine AB e AC.c) Determine a área da região que é, ao mesmo tem-po interna ao triângulo e externa ao círculo.
147) (Unicamp07-SP) Seja dada a reta x - 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada acima ?b) Para o ponto P com coordenadas (2 , 5), deter-mine as equações das retas mencionadas no item (a).
148) (Unicamp08-SP) (parte de uma questão) A figura abaixo é uma representação aproximada dos distritos de Campinas.
a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo que os distritos norte, leste, sul e noroeste
2 2da cidade têm, respectivamente, 175 km , 350 km ,
2 2120 km e 75 km .
ab
a
b
ac
a
b
Resolva as questões abaixo supondo que a = 15º. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos.a) Calcule os comprimentos b e c em função de a que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura.b) Assumindo, agora, que a = 10 m, determine o com-primento total da madeira necessária para construir a estrutura.
Norte
Noroeste
Sudoeste
Sul
Leste
Legenda
2= 10/3 km
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 038
Respostas2
a) b = a( 6 - 2 ) / 2 , c = a( 6 - 2 ) / 8b) l = (20 + 25 6 + 5 2 ) / 2 m
Respostasa) r = 2b) AB = 12 , AC = 5c) S = 30 - 4p
Resposta2
a) 800 km
149) (Unicamp08-SP) Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2 m, a base maior tem 2,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de com-primento. Supondo que um trecho de 10 km de es-trada deva ser construído, responda às seguintes questões.a) Que volume de brita será gasto com o lastro nes-se trecho ?b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento, 2,5 m de lar-gura e 0,6 m de altura, quantas viagens de cami-nhão serão necessárias para transportar toda a bri-ta ?
150) (Unicamp08-SP) Considere a sucessão de fi-guras apresentadas a seguir. Observe que cada fi-gura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.
151) (Unicampx08SP) Suponha que um livro de 20 cm de largura esteja aberto conforme a figura abaixo, sendo DAC = 120º e DBC = 60º.
a) Calcule a altura do livro.b) Calcule o volume do tetraedro de vértices A, B, C e D.
152) (Unicamp08-SP) Durante um torneio paraolím-pico de arremesso de peso, um atleta teve seu arre-messo filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lan-çamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo.
2 Seja y(x) = ax + bx + c a função que descreve a trajetóra (parabólica) do peso.
60º
120º
A
B
CD
20 cm
fig. 2
fig. 1
fig. 3
a) Suponha que essas figuras representem os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha que F , 1
F e F indiquem, respectivamente, o número de 2 3
palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a fi-gura n seja F . Calcule F e escreva a expres-n 10
são geral de F .n
b) Determine o número de fósforos necessários pa-ra que seja possível exibir concomitantemente to-das as primeiras 50 figuras.
a) Determine os valores de a, b e c.b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.
Distância
(m)
1
2
3
Altura
(m)
2,0
2,7
3,2
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 039
Respostas3
a) V = 7 200 mb) 800 viagens
Respostasa) F = 76 palitos , F = 4 + (n - 1) . 810 n
b) S = 10 000 palitos50
Respostasa) h = 20 2 cm
3b) V = (2 000 6 ) / 3 cm
Respostas a) a = -0,1 , b = 1 , c = 1,1b) d = 11 m
partesuperior
pata
bb
a b
c
c c/4 c/2c/4
partesuperior
pata
155) (Unicamp09-SP) A figura ao lado, mostra um sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de papel. A figura abaixo mostra o diagrama usado para a confecção do sapo, na qual se utiliza um re-tângulo de papel com arestas iguais a c e 2c. As linhas represen-tam as dobras que devem ser feitas. As partes destacadas corres-pondem à parte superior e à pata direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir.a) Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do retângulo de papel usado para confeccionar um sapo cuja parte superior tem
2área igual a 12 cm ?b) Qual a razão entre os comprimentos a e b da pata direita do sapo ?
153) (Unicamp08-SP) Uma ponte levadiça, com 50 m de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão AB, conforme a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda às questões abaixo.
154) (Unicamp08-SP) As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura abaixo.Sabendo que o coeficiente b é igual à media aritmética dos coeficientes a e c,a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b.b) determine a, b e c sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.A B
a a
rio
50 m
AB
a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1º equi-vale a 30 segundos, qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada ?b) Se a = 75º, quanto mede AB ?
O P
Q
R
x
y
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 040
Respostas a) 8 cm x 16 cm b) a/b = 2 + 2
Respostasa) t = 900 sb) AB = 50 - 25( 6 - 2 )/2 m
Respostasa) P(-b/a , 0) Q(0 , b) R( b/2(b - a) , b(2b - a)/2(b - a) )b) a = -8 , b = 4 , c = 16
158) (Unicamp09-SP) A circunferência de centro (2 , 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela cir-
2 2cunferência C, definida pela equação x + y = 4, e pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo x, conforme a figura abaixo.
a) Determine as coordenadas do ponto P.b) Calcule a área da região sombreada.
156) (Unicamp09-SP) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colu-nas, cada qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas.
a) Sabendo que m = 3n/4 e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, de-termine o número de brigadeiros da bandeja.b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de diâmetro, quantas latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros ? (Dica: lembre-se de que 1 litro
3corresponde a 1 000 cm )
157) (Unicamp09-SP) Uma caixa d'água tem o for-mato de um tronco de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como mostra a figura abaixo, na qual são apresentadas as medidas referentes ao interior da caixa.a) Qual o volume total da caixa d'água ?
3b) Se a caixa contém (13/6) m de água, a que altu-ra está o nível d'água ?
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
...
.
...
.
...
m brigadeirospor coluna
n colunas
Legenda
forminhas azuisforminhas vermelhas
2 m
1 m
3 m
topo da caixa d'água
nível da água
base da caixa d'água
30º
CP
y
x
159) (Unicamp10-SP) Uma peça esférica de madei-ra maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro reto de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume
V =calota
2ph3
(3R - h)onde:h é a altura da calotaR é o raio da esfera
Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por
A = 2pRhcalota
h
R
a) Supondo que h = R / 2, determine o volume do anel de madeira, em função de R.b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa como na interna. Supondo, novamente, que h = R / 2, de-termine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
Atenção.Não use uma aproximação
para p.
Respostas3a) V = pR / 6
2b) A = (2 + 3 )pR
(GeoJeca)(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 041
Respostasa) 48 brigadeirosb) 2 latas
Respostas3
a) V = 21/4 mC
b) H = 2 m
Respostasa) P(3 , 3 )b) S = 2 3 + 4p/3
162) (Unicamp10-SP) Laura decidiu usar sua bicicleta para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a
b30º
77º
24º26º
a
h
eixo daroda
eixo dospedais
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação a, tal que cos (a) = 0,99 . Supo-nha também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e saben-do que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais,
160) (Unicamp10-SP) O papagaio (também conhe-cido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do qua-drilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que for-ma o papagaio.b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.
161) (Unicamp10-SP) No desenho abaixo, a retay = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2 , 0) , resolva as questões abai-xo.a) Determine as coordenadas do ponto C em fun-ção de a.b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coor-denadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.
45º
30º
50 cm
50 c
m
y
xB
A
C
y = a
xA
B
C
D
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 042
Respostas2
a) S = 625(1 + 3 ) cmb) c = 50p/3 cm
Respostasa) C(0 , 2/a)
2 2b) A(1/5) , 3/5) , (l) (x - 1/5) + (y - 3/5) = 9/25
Respostasa) h = 31,5 m
b) b = 22 2 + 3 cm
163) (Unicamp11-SP) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma su-perfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha o raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.
164) (Unicamp11-SP) No centro de um mosaico for-mado apenas por pequenos ladrilhos, um artista co-locou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos cen-trais, o artista colocou uma camada de ladrilhos bran-cos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando camadas de la-drilhos brancos e cinza, como ilustra a figura abaixo, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª ca-mada de ladrilhos cinza contém
165) (Unicamp11-SP) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identifi-cadas a catedral, a prefeitura e a câmara dos verea-dores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a lo-calização dos pontos e retas no plano cartesiano.Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, en-quanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mos-trada no mapa) é formada pelos pontos equidistan-tes da prefeitura e da câmara dos vereadores.
R 2R
A altura do cone formado pela areia era igual aa) 3/4 da altura do cilindro.b) 1/2 da altura do cilindro.c) 2/3 da altura do cilindro.d) 1/3 da altura do cilindro.
1ª camada cinza
1ª camada branca
2ª camada cinza
2ª camada branca
3ª camada cinza
a) 76 ladrilhos.b) 156 ladrilhos.c) 112 ladrilhos.d) 148 ladrilhos.
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
Av.
Bra
sil
y
x
catedral prefeitura
câmara
I) Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir que a dis-tância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores é de
a) 1 500 m
b) 500 5 m
c) 1 000 2 m
d) 500 + 500 2 m
II) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Jus-celino Kubtschek pertence à região definida por
2 2a) (x - 2) + (y - 6) < 1 .
2 2b) (x - 1) + (y - 5) < 2 .
c) x ]1 , 3[ , y ]4 , 6[ .
d) x = 2 , y [5 , 7]
Com base no texto e na figura, responda às questões I e II abaixo.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 043
Resposta a) Resposta d)
Resposta b)
Resposta b)
166) (Unicamp11-SP) Considere uma gangorra composta por uma tábua de 240 cm de comprimen-to, equilibrada, em seu ponto central, sobre uma es-trutura na forma de um prisma cuja base é um triân-gulo equilátero de altura igual a 60 cm, como mos-tra a figura. Suponha que a gangorra esteja instala-da sobre um piso perfeitamente horizontal.a) Desprezando a espessura da tábua e supondo que a extremidade direita da gangorra está a 20 cm do chão, determine a altura da extremidade esquer-da.
167) (Unicamp11-SP) Um engenheiro precisa inter-ligar de forma suave dois trechos paralelos de uma estrada, como mostra a figura abaixo. Para conec-tar as faixas centrais da estrada, cujos eixos distam d metros um do outro, o engenheiro planeja usar um segmento de reta de comprimento x e dois arcos de circunferência de raio r e ângulo interno a.
240 cm
60 cm
b) Supondo, agora, que a extremidade direita da tá-bua toca o chão, determine o ângulo a formado en-tre a tábua e a lateral mais próxima do prisma, como mostra a vista lateral da gangorra, exibida abaixo.
240 cm
60 cm a
ar
x
y
a r
estrada
estrada
d
a) Se o engenheiro adotar a = 45º, o segmento central medirá x = d 2 - 2r( 2 - 1). Nesse caso, supondo que d = 72 m, e r = 36 m, determine a dis-tância y entre as extremidades dos trechos a se-rem interligados.b) Supondo, agora, que a = 60º, r = 36 m e d = 90 m, determine o valor de x.
168) (Unicamp11-SP) Uma placa retangular de ma-deira, com dimensões 10 x 20 cm, deve ser recorta-da conforme mostra a figura abaixo. Depois de efe-tuado o recorte, as coordenadas do centro de gravi-dade da placa (em função da medida w) serão da-das por
em que x é a coordenada horizontal e y é a CG CG
coordenada vertical do centro de gravidade, toman-do o canto inferior esquerdo como origem.
x (w)CG400 - 15w80 - 2w
y (w)CG =
2400 + (w - 20)
80 - 2w
=
e
10
20
5
w
a) Defina A(w), a função que fornece a área da pla-ca recortada em relação a w. Determine as coorde-nadas do centro de gravidade quando A(w) = 150
2cm .
b) Determine uma expressão geral para w(x ) , a CG
função que fornece a dimensão w em relação à coor-denada x , e calcule y quando x = 7/2 cm.CG CG CG
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 044
Resposta a)
Resposta b)
Respostasa) y = 72 2 mb) y' = 54 3 m
RespostaA(w) = 200 - 5wx = 25/6 , y = 25/3
RespostaW(x ) = 80(5 - x)/(15 - 2x)CG
y = 17/2
x169 (Unicamp11-SP) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha também, que uma estação de guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, con-forme a figura abaixo.
40 km
24
km
Guardaflorestal
Postorodoviário
km 0 estrada
a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na esta-ção de guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapas-sar, o ponto da estrada que está mais próximo da es-tação da guarda florestal. Explicite as duas desigual-dades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico a seguir, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.
y
x (km)
10
20
30
40
10 20 4030
estrada
b) Pretende-se substituir as antenas por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal se-jam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.
figura 2figura 1 figura 3 figura 4
x
y
170) (Unicamp11-SP) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abai-xo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a cai-xa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para sim-plificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel.
emendas
a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção.
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões x e y da folha usada em sua produção.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 045
Resposta2 2
1ª antena x + y < 10242 2
2ª antena (x - 32) + (y - 24) < 484
Respostad = 377/16 = 23,5 km
Respostax = 28,4 cm , y = 27 cm
2Resposta V = (y - x/4).(x/4)
172) (Unicamp12-SP) Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madei-ra. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligações entre as ri-pas, nos quais os parafusos são representados por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois parafusos em cada extremidade.
2 m
1,5
m
Para construir uma cerca com 300 m de comprimento, são necessáriosa) 1201,5 m de ripas.b) 1 425,0 m de ripas.c) 2 403 m de ripas.d) 712,5 m de ripas.
Os parafusos usados na cerca são vendidos em caixas com 60 unidades. O número mínimo de caixas necessárias para construir uma cerca com 100 m de comprimento éa) 13b) 12c) 15d) 14
Perguntas da questão ao lado
resposta a) 1 201,5 m de ripas
resposta d) 14 caixas
171) (Unicamp12-SP) Para construir uma curva "floco de neve" , divide-se um segmento de reta (fig. 1) em três partes iguais. Em seguida, o segmento cen-tral sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na figura 2. Nas eta-pas seguintes, o mesmo procedimento é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas figuras 3 e 4.
60ºfig. 2
fig. 1
fig. 3
fig. 4
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a
a)
b)
c)
d)
6!4!.3!( ) cm
5!4!.3!( ) cm
43
5( ) cm
43
6( ) cm
ResoluçãoNa figura 1 tem-se 1 segmento de 1 cm.Na figura 2 tem-se 4 segmentos de 1/3 cmNa figura 3 tem-se 16 segmentos de 1/9 cmNa figura 4 tem-se 64 segmentos de 1/27 cm
Portantod = 1 cm, d = 4/3 cm, d = 16/9 cm 1 2 3
e d = 64/27 cm4
A sequência é uma PG (a = 1 e q = 4/3)1
(6 - 1) 5 O sexto termo a = 1 . (4/3) = (4 / 3) (resposta)6
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 046
173) (Unicamp12-SP) Um jogador chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma traje-tória parabólica por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre
174) (Unicamp12-SP) A área do triângulo OAB es-boçado na figura abaixo é
175) (Unicamp12-SP) Um vulcão que entrou em erupção gerou uma nuvem de cinzas que atingiu rapidamente a cidade de Rio Grande, a 40 km de distância. Os voos com destino a cidades situadas em uma região circular com centro no vulcão e com raio 25% maior que a distância entre o vulcão e Rio Grande foram concelados. Nesse caso, a área da região que deixou de receber voos é
2a) maior que 10 000 km
2b) menor que 8 000 km
2 2c) maior que 8 000 km e menor que 9 000 km
2 2d) maior que 9 000 km e menor que 10 000 km
176) (Unicamp12-SP) Um queijo tem formato de pa-ralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a
a) 360b) 344c) 324d) 368
10 m 10 m 10 m 10 m
h 3 m
a) 4,1 e 4,4 mb) 3,8 e 4,1 mc) 3,2 e 3,5 md) 3,5 e 3,8 m
B
AO
2
1 x
y
a) 21 / 4b) 23 / 4c) 25 / 4d) 27 / 4
h = 4 m (resposta b)) S = 25 / 4 (resposta c))
2y = ax + bx + c
2A(0 , 3) 3 = a.0 + b.0 + c c = 3B(-30 , 0) 0 = 900.a - 30.b + 3C(10 , 0) 0 = 100.a +10b + 3
portanto a = -1 / 100 e b = -1 / 5
y =2
-x100
- x5
+ 3Para x = -10 m, tem-se h = 4 m
Resposta a)2
S = 7850 km (resposta b))
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 047
177) (Unicamp 12-SP) O velocímetro é um instrumen-to que indica a velocidade de um veículo. A figura a-baixo mostra o velocímetro de um carro que pode atin-gir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocímetro gira no sentido horário à medida que a ve-locidade aumenta.
210º
0 240km/h
a) Suponha que o ângulo de giro do ponteiro seja di-retamente proporcional à velocidade. Nesse caso, qual é o ângulo entre a posição atual do ponteiro (0 km/h) e sua posição quando o velocímetro marca 104 km/h ?
b) Determinado velocímetro fornece corretamente a velocidade do veículo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veículo está a 70 km/h quando a ve-locidade real é de 65 km/h. Supondo que o erro de a-ferição do velocímetro varie linearmente com a velo-cidade por ele indicada, determine a função v(x) que representa a velocidade real do veículo quando o ve-locímetro marca uma velocidade de x km/h.
178) (Unicamp 12-SP) A planta de um cômodo que tem 2,7 m de altura é mostrada abaixo.
2,4
m
3,0 m
1,0 m
interruptor
S
a) Por norma, em cômodos residenciais com área 2
superior a 6 m , deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou fração (de 5 m) de perímetro de pare-de, incluindo a largura da porta. Determine o número mínimo de tomadas do cômodo representado acima e o espaçamento entre as tomadas, supondo que elas serão distribuídas uniformemente pelo períme-tro do cômodo.
b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lâmpada, localizada no centro do teto do cômo-do, ao interruptor, situado a 1,0 m do chão, e a 1,0 m do canto do cômodo, como está indicado na figura. Supondo que o fio subirá verticalmente pela parede, e desprezando a espessura da parede e do teto, de-termine o comprimento mínimo de fio necessário pa-ra conectar o interruptor à lâmpada.
Resp. a) a = 91º
Resp. b) V(x) = 0,9 x + 2
Resp. a) 3 tomadas e d = 3,60 m.
Resp. b) c = 3,00 m
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 048
179) (Unicamp 12-SP) Uma curva em formato de es-piral, composta por arcos de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se al-ternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são semicircunferências que concordam se-quencialmente nos pontos de transição, como ilustra a figura a seguir, na qual supomos que a distância en-tre A e B mede 1 cm.
a) Determine a área da região destacada na figura.b) Determine o comprimento da curva composta pe-los primeiros 20 arcos de circunferência.
BA
12 1 2 2
R4
R2
R3
R1
180) (Unicamp 12-SP) Um brilhante é um diamante com uma lapidação particular, que torna essa gema a mais apreciada dentre todas as pedras preciosas.
a) Em gemologia, um quilate é uma medida de mas-sa, que corresponde a 200 mg. Considerando que a massa específica do diamante é de aproximadamen-
3te 3,5 g/cm , determine o volume de um brilhante com 0,7 quilate.
b) A figura a seguir apresenta a secção transversal de um brilhante. Como é muito difícil calcular o volume exato da pedra lapidada, podemos aproximá-lo pela soma do volume de um tronco de cone (parte superior) com o de um cone (parte inferior). Determine, nesse caso, o volume aproximado do bri-lhante.
0,6 mm
1,8 mm
1 mm
2 mm
eixo desimetria
2Resp. a) S = 12,5p cm
Resp. b) c = 210p cm20
3Resp. a) 40 mm
3Resp. b) 3,8p mm
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 049
181) (Unicamp 12-SP) Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela a se-guir:
Tipo de cebolaPeso unitário
aproximado (g)Raio médio
(cm)
Pequena
Grande
25 2
200 4
a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita en-contrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhi-das pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores.
b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem cas-ca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes
2possuem 192p cm de área de casca, indique que ti-po de cebola fornece o menor desperdício com cas-cas.
y
x
C
182) (Unicamp 12-SP) Um círculo de raio 2 foi apoi-ado sobre as retas y = 2x e y = -x/2 , conforme mostra a figura abaixo.
a) Determine as coordenadas do ponto de tangência entre o círculo e a reta y = -x/2 .
b) Determine a equação da reta que passa pela ori-gem e pelo ponto C, centro do círculo.
Resp. a) T( , )
Resp. b) y = - 3x
- 4 55
2 55
Resp. a)
2Resp. b) S = 384p cm . As cebolas grandes têm P
menor desperdício.
p + g = 4025p + 20g = 1700 p = 36 e g = 4{
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Jeca 050
Jeca 051
Jeca 052
