Estatstica Economica IUNIDADE IV INFERNCIA ESTATSTICA1. Idias Bsicas da Inferncia EstatsticaTem-se definido Estatstica como o campo do conhecimento cientfico que trata da coleta e anlise de dados com a finalidade de se obter concluses ou se tomar decises. Omaior objetivo da Inferncia Estatstica produzir informaes sobre uma dada caracterstica da populao, na qual estamos interessados, usando informaes obtida de uma parte representativadessapopulaoquechamamos deamostra.Quando serealiza algumapesquisa com o propsito de se fazer generalizaes(inferncias), essencial que se obtenha dados que sejam, tanto quanto possvel, tpicos da populao como um todo. Para isto indispensvel que se tenha conhecimento dos principais mtodos de amostragem. Fundamentalmente em todas as situaes com que nos deparamos na Estatstica, achamo-nos frente a uma populao ou Universo que desejamos conhecer. Em geral, no sendo possvel um exame completo desta populao (realizao de um censo), nos limitamos a coletar alguns dos seus elementos, ou seja, a amostra. O termo inferncia estatstica refere-se ao uso apropriado dos dados da amostra para se ter algum conhecimento sobre os parmetros da populao. Os valores calculados a partir dos dados daamostra,como objetivode avaliar parmetros desconhecidos, so chamados deestimativas dessesparmetros. Numapesquisaeleitoral, porexemplo, aspercentagensdecadacandidato, divulgadas antes da eleio, so, na verdade, estimativas. 2. Conceitos BsicosPopulao o conjunto de indivduos ou objetos tendo pelo menos uma caracterstica de interesse (varivel) comum observvel. O tamanho da populao representado por N, quando a populao finita quanto ao nmero de elementos. Tambm, consideramospopulaoum conjunto de elementos passveis de serem mensurados, com respeito s variveis que se pretende levantar. A populao pode ser formada por Unid IV Inferncia Estatstica1Estatstica Economica Ipessoas, famlias, estabelecimentos industriais, ou qualquer outro tipo de elementos, dependendo basicamente dos objetivos da pesquisa. Note-se que o termo populao usado num sentido amplo e no significa, em geral, conjunto de pessoas. Assim, so exemplos de populaes:a) O conjunto de todos os eleitores de Joo Pessoa registrados no TER-Paraba;b) O conjunto de pacientes atendidos numa clnica de Psicologiano ano X;c) O conjunto das notas de todos os alunos de Estatstica; etc.Fazer levantamentos, estudos, pesquisas, sobretodaumapopulao(censo), emgeral, muito difcil. Isto se deve a vrios fatores. O principal o custo. Um censo custa muito caro e demanda um tempo considervel para ser realizado. Portanto, tomamos parte da populao para anlise, isto , amostramos.Amostraumapartedapopulaoqueanalisada, sendoumconjuntoessencialmente finito. O tamanho da amostra representado por n. Um censoenvolveumexamedetodosos elementosdeumdado grupo,ao passoque a amostragem envolve o estudo de apenas uma parte dos elementos. A finalidade da amostragem fazer generalizaes sobre todo um grupo sem precisar examinar cada um de seus elementos. 3. Parmetro e EstatsticaParmetro-umamedidaestatstica, obtidacombasenapopulao;usadaparadescreveruma caracterstica dessa populao. Assim, seXumavarivel aleatriarepresentandoalgumacaractersticadapopulao, ento so parmetros:E(X) = (mdia de X); V(X) = 2 (varincia de X); 2 (desvio padro de X); p = proporo populacional de elementos com uma certa caracterstica. Estatstica-uma funo qualquer dos elementos da amostra. Em geral, usaremos uma estatstica para obter alguma informao sobre o parmetro. Unid IV Inferncia Estatstica2Estatstica Economica IAssim, se X1, X2, ..., Xn so n valores amostrais, ento so estatsticas:1niiXXn( mdia amostral); ( )22 11niiX XSn(varincia amostral)2S S (desviopadroamostral); p= proporoamostral deelementoscomumacerta caracterstica. Estimao: oprocesso que consiste emutilizar dados amostrais para estimar parmetros populacionais desconhecidos.Erro amostral: a diferena entre o valor que a estatstica pode acusar e o verdadeiro valor do parmetro que se deseja estimar.4. Problemas BsicosDois so os problemas bsicos da Inferncia Estatstica: o primeiro trata da Estimao pontual ou por intervalode parmetros populacionais (tais com: a mdia , a varincia 2, a proporo de sucessos , etc.), com base em amostra(s) extrada(s) da populao objeto de estudo e o segundo problema consiste em efetuar Testes de Hipteses acerca desses parmetros populacionais (ou das distribuies) comum termos interesse em descrever certas caractersticas especficas dos elementos da populao, que denominaremos parmetros. Veja os exemplos seguintes. Exemplo 1. Numa pesquisa epidemiolgica, a populao pode ser definida como todas as pessoas da regio em estudo, no momento da pesquisa. O principal parmetro a ser avaliado deve sera percentagem de pessoas contaminadas. Exemplo 2. Se uma amostra de 200 funcionrios da empresa acusar 60% de favorveis a um certo programa de treinamento, podemos dizer que o valor 60% uma estimativa da percentagem de funcionrios da empresa favorveis a este programa de treinamento. Nos dois exemplos o leitor pode perceber a dificuldade em pesquisar toda a populao. So situaestpicasemqueserecomendautilizar amostragens. AFigura1ilustraumapesquisa eleitoral, onde se tem o interesse na percentagem de votos de cada candidato (parmetros). Unid IV Inferncia Estatstica3Estatstica Economica IFigura 1 - Tcnicas de amostragemAMOSTRAGEM:um campodaEstatstica que estuda tcnicas de planejamento de pesquisa para possibilitar inferncias sobre uma populao a partir do estudo de uma pequena parte de seus componentes, uma amostra. MTODOS DE AMOSTRAGEM: De acordo com a tcnica de amostragem usada, tm-se duas classes de mtodos para a seleo de amostras: Amostragem Probabilstica e Amostragem no-Probabilstica. Vantagens do uso de amostragemCitaremos quatro razes para o uso de amostragem em levantamentos de grandes populaes. 1) Economia;2) Tempo;3) Confiabilidade dos dados;4) Operacionalidade. Desvantagens do uso de amostragemCitaremos trs situaes em que pode no valer a pena a realizao de uma amostragem. 1) Populao pequena; 2) Caracterstica de fcil mensurao; 3) Necessidade de alta preciso. Unid IV Inferncia Estatstica4Estatstica Economica IPlano de amostragemPara fazermos umplanodeamostragemdevemos ter bemdefinidos os objetivos da pesquisa, apopulaoaseramostrada, bemcomoosparmetrosqueprecisamosestimarpara atingir aos objetivos da pesquisa. Num plano de amostragem deve constar a definio da unidade de amostragem, a forma de seleo dos elementos da populao e o tamanho da amostra. Exemplo 3. Consideremos uma pesquisa para estudar os salrios dos 500 funcionrios da CompanhiaMB. Seleciona-seumaamostrade36indivduos, eanotam-seosseussalrios. A varivel aleatria a ser observada "salrio". A populao formada pelos 500 funcionrios da companhia. Aamostra constituda pelos 36 indivduos selecionados. Podemos estudar a distribuiodossalrios naamostra, eesperamos queestareflitaadistribuiodetodos os salrios, desde que a amostra tenha sido escolhida com cuidado. Exemplo 4. Queremos estudar a proporo de indivduos na cidade A que so favorveis a certo projetogovernamental. Umaamostrade200pessoassorteada, eaopiniodecadauma registrada como sendo a favor ou contra o projeto. A populao consiste de todos os moradores da cidade, e a amostra formada pelas 200 pessoas selecionadas. Levantamentospor Amostragem (Surveys)Trataremos aquisobreLevantamentosAmostrais,nosquaisaamostraobtidadeuma populao bemdefinida, por processos bemprotocolados e controlados pelo pesquisador. Podemos, ainda, subdividi-los em dois subgrupos: levantamentos probabilsticos e no-probabilsticos. Oprimeirorenetodas aquelas tcnicas queusammecanismos aleatrios de seleo dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada um deles urna probabilidade, conhecida a priori,de pertencer amostra.No segundo grupo esto os demais procedimentos, tais como: amostras intencionais, amostras por cotas, nas quais os elementos so selecionados com o auxlio de especialistas, e amostras de voluntrios, como ocorre emalguns testes sobre novos medicamentos e vacinas. Ambos os procedimentos tm suas vantagens e desvantagens. A grande vantagemdasamostras probabilsticasmedir aprecisodaamostraobtida, baseando-seno resultado contido na prpria amostra. Tais medidas j so bem mais difceis para os procedimentos do segundo grupo.Unid IV Inferncia Estatstica5Estatstica Economica Inecessriogarantir, emsuma, queaamostrasejarepresentativadapopulao. Isso significa que, a no ser por pequenas discrepncias inerentes aleatoriedade sempre presente, em maior ou menor grau, no processo de amostragem, a amostra deve ter as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito (s) varivel (is) que desejamos pesquisar. TIPOS DE AMOSTRAGEM:Distinguiremos dois tipos de amostragem: aprobabilsticaeano-probabilstica.A amostragemserprobabilsticase todos os elementos da populao tiveremprobabilidade conhecida, e diferente de zero, de pertencer amostra. Caso contrrio, a amostragem ser no-probabilstica. Segundo essa definio, a amostragem probabilsticaimplica um sorteio com regras bem determinadas, cuja realizao s ser possvel se a populao for finita e totalmente acessvel. Como veremos adiante, as tcnicas da Estatstica Inferencial pressupem que as amostras utilizadas sejam probabilsticas,o que muitas vezes no se pode conseguir. No entanto o bom-senso ir indicar quando o processo de amostragem, embora no sendo probabilstico, pode ser, para efeitos prticos, considerados como tal. Isso amplia consideravelmente as possibilidades de utilizao do mtodo estatstico em geral. A utilizao de uma amostragem probabilstica a melhor recomendao que se deve fazer no sentido de se garantir a representatividade da amostra, pois o acaso ser o nico responsvel por eventuais discrepncias entre populao e amostra, o que levado em considerao pelos mtodos de anlise da Estatstica Indutiva. AMOSTRAS PROBABLISTICASA seguir, estudaremos os principais de processos de amostragens probabilsticas:Amostragem Aleatria SimplesEste tipo de amostragem, tambm chamada de casual simples, randmica, etc., equivalente a um sorteio lotrico. Nela, todos os elementos da populao tm igual probabilidade de pertencer amostra, e todas as possveis amostras tm tambm igual probabilidade de ocorrer. Sendo N o nmero de elementos da populao e n o nmero de elementos da amostra, cada elementoda populaotemprobabilidaden/Nde pertencer amostra. Aessa relaon/N Unid IV Inferncia Estatstica6Estatstica Economica Idenomina-se frao de amostragem.Por outro lado, sendo a amostragem feita sem reposio, o que suporemos em geral, existem

,_

nNpossveis amostras, todas igualmente provveis. No caso da amostragemaleatria simplescomreposio,Nnconstitui onmerototal de amostras possveis, todas igualmente provveis.Aamostragemaleatria simples temaseguintepropriedade:qualquer subconjuntoda populao, com o mesmo nmero de elementos, tem a mesma probabilidade de fazer parte da amostra.Em particular, temos que cada elemento da populao tem a mesma probabilidade de pertencer amostra.Na prtica, a amostragem aleatria simples pode ser realizada numerando-se a populao de 1 a N, sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatrio (por ex.; uma tbua de nmeros aleatrios),n nmeros dessa seqncia, os quais correspondero aos elementos sorteados para a amostra. Podemos ter umaamostraaleatriasimplescomreposio,sefor permitidoqueuma unidade possa ser sorteada mais de uma vez, e sem reposio, se a unidade sorteada for removida da populao. Do ponto de vista da quantidade de informao contida na amostra, amostrar sem reposio maisadequado. Contudo, aamostragemcomreposioconduzaumtratamentotericomais simples, pois ela implicaquetenhamosindependnciaentreas unidades selecionadas. Essa independncia facilita o desenvolvimento das propriedades dos estimadores que sero considerados. Segundo a definio de amostragem probabilstica, existe a suposio de sorteio com regras bem determinadas, cuja realizao s ser possvel se a populao for finita e totalmente acessvel. Essa amostragem probabilstica a melhor garantia da representatividade da amostra, pois o acaso ser o nico responsvel por eventuais discrepncias entre a populao e a amostra. Amostragem Sistemtica Trata-sedeumavariaodaamostragemsimplesaoacaso, muitoconvenientequandoa populao est naturalmente ordenada, como fichas em um fichrio, lista telefnica etc.Quando os elementos da populao se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da amostra feita periodicamente, temos uma amostragem sistemtica. Assim, por exemplo, em uma Unid IV Inferncia Estatstica7Estatstica Economica Ilinha de produo, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar um para pertencer a uma amostra da produo diria. As unidades sero selecionadas a intervalos regulares da seguinte maneira: seja k = N / n, o tamanho do intervalo de amostragem, onde N o tamanho da populao e n o tamanho da amostra. Uma amostra sistemtica, de intervalo k, consiste em selecionar um a cada intervalo k elementos da populao de interesse. Para tanto, consideramos como ponto de partida da amostra sistemtica, um nmero a selecionado aleatoriamente entre 1 e k, ou seja,1 a k. Em seguida, o total da amostra requerida completada pela seleo dos seguintes elementos: a,a + k, a + 2k,a + 3k, ...,a + ( n-1 )k. Exemplo 5. Tomando-se, por exemplo: k = 5, incio casual = 3. Ento, os elementos de ordem selecionados sero os elementos numerados pelos nmeros 3,8, 13, 18, ... Exemplo6. ConsideremosumaapopulaofictciadosN=32funcionriosdaempresaX. Utilizaremos oprocessodeamostragemaleatriosistemticoparaobtermos umaamostrade tamanho n = 5. Populao: funcionrios da empresa1. Aristteles 02. Anastcia03. Arnaldo 04. Bartolomeu 05. Bernardino 06. Cardoso 07. Carlito 08. Cludio 09. Ermlio 10. Erclio 11. Emestino 12. Endevaldo 13. Francisco14. Felcio 15. Fabrcio 16. Geraldo 17. Gabriel 18. Getlio 19. Hiraldo20. Joo da Silva 21. Joana22. Joaquim 23. Joaquina 24. Jos da Silva 25. Jos de Souza 26. Josefa 27. Josefina 28. Maria Jos29. Maria Cristina30. Mauro 31. Pauta 32. Paulo Cesar Ointervalodeseleodadopor k=N/ n=32/ 5=6(nointeiroaproximado). Consideremos a escolha do ponto de partida a = 3 (escolhido aleatoriamente dentre os nmeros 1 e 6), ou seja, o primeiro funcionrio da amostra o "Arnaldo". Os demais so obtidos pelo intervalo de seleo "6", a partir do Amaldo, resultando na seguinte amostra : (3) (9) (15)(21)(27){Arnaldo, Ermlio, Fabrcio, Joana, Josefina}Unid IV Inferncia Estatstica8Estatstica Economica IAmostragem Estratificada Muitas vezes,a populao se divide em subpopulaes ou estratos,sendo razovel supor que, de estrato para estrato, a varivel de interesse apresente um comportamento substancialmente diverso, tendo, entretanto, comportamento razoavelmente homogneo dentro de cada estrato.Por exemplo, paraestudar ointeressedosfuncionrios, deumagrandeempresa, emrealizar um programa de treinamento, podemos estratificar esta populao por nvel de instruo, ou pelo nvelhierrquico, ou ainda, por setor de trabalho.Aamostragemestratificadaconsisteemespecificar quantoselementosdaamostrasero retirados em cada estrato. costume considerar trs tipos de amostragem estratificada: uniforme, proporcionaletima. Na amostragemestratificada uniforme, sorteia-se igual nmero de elementos em cada estrato. Na proporcional, o nmero de elementos sorteados em cada estrato proporcional ao nmero de elementos existentes no estrato.Aamostragem estratificadatima, porsuavez, toma, emcadaestrato, umnmerode elementos proporcional ao nmero de elementos do estrato e tambm variao da varivel de interesse no estrato, medida pelo seu desvio-padro. As principais dificuldades para a utilizao desse tipo de amostragem residem nas complicaes tericas relacionadas com a anlise dos dados e em no podermos, muitas vezes, avaliar de antemo o desvio-padro da varivel nos diversos estratos. Sobre os diversos estratos da populao, sorealizadas selees aleatrias, de forma independente. A amostra completa obtida atravs da agregao das amostras de cada estrato (veja aFigura2). Portanto, estratificaruma populao dividi-la em Lsubpopulaes denominadas estratos, tais que n1 + n2 + n3 + nL = n ,onde os estratos so mutuamente exclusivos.Figura 2. O processo de amostragem estratificada.Exemplos em que uma amostragem estratificada parece ser recomendvel so a estratificao de uma cidade em bairros, quando se deseja investigar alguma varivel relacionada renda familiar; a estratificao de uma populao humana em homens e mulheres, ou por faixas etrias; a estratificao de uma populao de estudantes conforme suas especializaes, etc.Unid IV Inferncia Estatstica9Estatstica Economica IAmostragem por Conglomerados (ou Amostragem por rea) A populao dividida em pequenas subpopulaes, comelementos internamente heterogneos, chamados conglomerados (clusters), grupos estes que so bastante semelhantes entre si, mas com fortes discrepncias dentro dos grupos, de modo que cada um possa ser uma pequena representao da populao de interesse especfico. Seleciona-se uma amostra aleatria desses conglomerados, e deles selecionam-se aleatoriamenteos elementos queirocompor aamostra. Portanto, estetipodeamostragem consiste, num primeiro estgio, em selecionar conglomerados de elementos. Num segundo estgio, ou se observamtodos os elementos dos conglomerados selecionados no primeiro estgio (amostragem de conglomerados em um estgio), ou, como mais comum, faz-se nova seleo, tomando amostras de elementos dos conglomerados extrados no primeiro estgio (amostragem de conglomerados em dois estgios). Todas as selees devem ser aleatrias (ver Figura 3). Assim, numa pesquisa socioeconmica pode-se dividir a cidade em bairros (conglomerados), em seguida obter uma amostra aleatria de bairros e, ento efetuar o levantamento estatstico nas residncias dos bairros selecionados. Figura 3. Ilustrao do processo amostragem por conglomerados em dois estgios.Observe que,no caso da estratificao, cada estrato selecionado, enquanto no caso da diviso da populao em conglomerados, selecionamos apenas parte dos conglomerados. Ao contrrio da amostragemestratificada, a amostragemde conglomerados tende a produzir uma amostra que gera resultados menos precisos, quando comparada com uma amostra aleatria simples de mesmo tamanho. Contudo, seu custo financeiro tende a ser bem menor. Unid IV Inferncia Estatstica10Estatstica Economica IA amostragem por conglomerado recomendada quando: a) Ou no se tem um sistema de referncia listando todos os elementos da populao, ou a obteno dessa listagem dispendiosa; b) O custo da obteno de informaes cresce com o aumento da distncia entre os elementos. AMOSTRAS NO PROBABILSTICASAmostras no-probabilsticas so tambm, muitas vezes, empregadas emtrabalhos estatsticos, por simplicidade ou por impossibilidade de se obterem amostras probabilsticas, como seria desejvel. Este procedimento de amostragens, no nos permite generalizaes acerca de uma populaoatravsdainfernciaestatstica. Usaummtodonoaleatrioparaselecionaruma amostra. Nohmodoeficazdedeterminar seaamostrarepresentativadapopulaoque desejamos generalizar. A seguir, relacionamos alguns tipos de amostragens no probabilsticas:Inacessibilidade a toda a populaoEstasituaoocorrecommuitafreqncianaprtica. Somosentoforados acolher a amostranapartedapopulaoquenosacessvel. Surgeaqui, portanto, umadistinoentre populao-objeto e populao amostrada.A populao-objeto aquela que temos em mente ao realizar o trabalho estatstico. Apenas uma parte dessa populao, porm, est acessvel para que dela retiremos a amostra. Essa parte a populao amostrada. Amostragem a esmo ou sem norma a amostragem em que o amostrador, para simplificar o processo, procura ser aleatrio sem, no entanto, realizar propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatrio confivel. Por exemplo, sedesejarmosretirarumaamostrade100parafusosdeumacaixacontendo10.000, evidentemente no faremos uma amostragem casual simples. pois seria extremamente trabalhosa, mas procederemos retirada simplesmente a esmo. Unid IV Inferncia Estatstica11Estatstica Economica IPopulao formada por material contnuoNesse caso impossvel realizar amostragem probabilstica devido impraticabilidade de um sorteio rigoroso. Se a populao for lquida ou gasosa, o que se costuma fazer, com resultado satisfatrio, homogeneiz-laeretirar aamostraaesmo. Tal procedimentopodes vezes, tambm, ser usado no caso de material slido. Amostragens intencionais (no bom sentido)Enquadram-se aqui os diversos casos em que o amostrador deliberadamente escolhe certos elementos para pertencer amostra, por julgar tais elementos bem representativos da populao. Amostragem de ConveninciaSelecionam-seasunidades maisacessveis aopesquisador deacordocomosinteresses sociais, polticos, econmicos, etc., tais como sondagem usada por restaurantes, companhias areas para saber o nvel de satisfao dos clientes. Amostragem por QuotaCada caracterstica de interesse (como sexo, faixa etria, tipo de religio, nvel educacional, etc.) da populao pode ser selecionada proporcionalmente, de acordo com uma quota fixa. Amostragem por voluntriosOcorre, por exemplo, no caso da aplicao experimental de uma nova droga em pacientes, quando a tica obriga que haja concordncia dos escolhidos. Usada principalmente em pesquisas mdicas e biolgicas (ensaios clnicos para testes de novos medicamentos), em que o processo de medida desagradvel para a pessoa. Unid IV Inferncia Estatstica12Estatstica Economica IDISTRIBUIES AMOSTRAISAmostras aleatrias: Seja X uma v.a. com distribuio especificada. Sejam n variveis aleatrias (X1, X2, , Xn) independentes e tendo cada uma a mesma distribuio de X. Neste caso, (X1, X2, , Xn)ser denominada uma amostra aleatria de tamanho n da v. a.X.(Distribuio amostral da mdia X) -Seja X uma varivel aleatria com mdia E(X) = e varincia V(X) = 2 finitae11niiX Xn , a mdia de uma amostra aleatria com reposio de tamanho n, ento: 1) ( )XE X e22( )XV Xn Alm disso, tem-se o resultado conhecido como Teorema Central do Limite:2) (Teorema Central do Limite). Paransuficientemente grande, (n > 30),Xtem, aproximadamente, uma distribuio normal commdiae varincia2n, isto : ( )( )2 ,e 0 , 1XX N Z Nnn : : a distribuio Normal padro associada X.OBSERVAES:1- OdesviopadrodamdiaXn chamadoerropadrodamdiaedescrevea variabilidade das mdias amostrais em torno da mdia verdadeira da populao . Assim, quanto maior o erro padro da mdia, maior ser a diferena entre as estatsticas mdias (X) calculadas e o parmetro . Quando n grande n decresce, significando que a mdia amostral fornecer umaestimativamaissegurapara. Aestatsticacommenorerropadroserpreferidapara estimar o correspondente parmetro populacional. Unid IV Inferncia Estatstica13Estatstica Economica I2- Paraamostrassemreposio, depopulaofinita, temos: mdia ( )XE X ea varincia22( )1XN nV Xn N , onde N o total de elementos da populao. (A quantidade 1N nN conhecida como o fator de correo amostral para populao finita, ou simplesmente Fator de Correo).4- Caso a populao a qual X pertence seja Normal, a distribuio amostral da mdia tambm ser Normal, mesmo para pequenos valores de n (n < 30). 5- Se uma amostra aleatria simples (a.a.s.) X1, X2,..., Xn foi retirada de uma populao a qual X pertence, temos que X1, X2,..., Xnso independentes, com E(Xi ) = ( e Var(Xi ) = (2 (a mesma mdia e mesma varincia da v. a. X), assim se X tem distribuio Normal , ou n > 30, temos que segue tambm a distribuio Normal. (ver figura 1)Exemplo 7. Os registros de uma agncia de turismo mostra que um turista gastou, durante o ltimo ano, em mdia ( = US$800,00 sendo o desvio padro dos gastos igual a ( = US$80,00. Ache a probabilidade aproximada de que, numa amostra aleatria de n = 64 turistas, haver um gasto mdio entre US$770,00 e US$825,00. Soluo: Seja a varivel X = gastos, em US$, pelo turista. Embora a distribuio de X no seja conhecida, como o tamanho da amostra n = 64 bastante grande, pode-se admitir que a mdia amostral X tenha distribuio Normal com80800e 1064X Xn . Assim temos que( ) ( )770 800 825 800770 825 3, 00 2, 5010 10XP X P P Zn _ ,( ) ( ) ( ) ( ) 2, 50 3, 00 2, 50 3, 00 P Z P Z .0, 9938 0, 0013 0, 9925 .Se considerarmos um grande nmero de amostras, cada uma tendo 64 turistas, em aproximadamente 99,25% das amostras o gasto mdio estaria entre US$770,00 e US$825,00.Unid IV Inferncia Estatstica14Estatstica Economica IFigura1. Histogramas correspondentes s distribuies amostrais de X para amostras extradas de algumas populaes(DistribuioAmostral daProporop) -Admitamosqueumapopulaoinfinita, oua amostragemfeitacomreposio. Consideremos quepaproporodeindivduos, nessa populao, portadores de uma certa caracterstica. Assim, cada elemento da populao pode ser considerado como uma varivel aleatria X, tal que:1 , 0 , X 'Logo, X uma varivel aleatria com distribuio de Bernoulli com parmetro p, isto :P(sucesso) = P(X = 1) = p, e P(insucesso) = P(X = 0) = l p = q, onde (p + q = 1).Portanto:E(X) = = p e Var(X) = 2 = p(l - p).Unid IV Inferncia Estatstica15se o indivduo portador da caractersticase caso contrrioEstatstica Economica ISe o parmetro de interesse p representa a proporo (ou percentagem) de elementos com certa caracterstica (atributo) na populao, ento chamaremos pa estatstica correspondente numa amostra de tamanho n de proporo de sucessos amostral.numero de elementos com a caracteristicaAnnSpn , sendo 0 1 p Retirada uma amostra aleatria simples (a.a.s.) dessa populao de tamanho ne indicando por1nn iiS X, ototal deindivduoscomacaractersticanaamostra, jvimosqueSntem distribuioBinomialcomparmetrosn ep. Tambm, j foi verificado que a mdia amostral 1nin iXSXn n temdistribuio Normal, para n suficientemente grande (n > 30). Chamando p X , a proporo amostral, temos que:( )( )2 p1, , pp pp N N pn _ ,: ,Pois,( ) ( ) ( )1 1np nSE p E X E E S np pn n n _ ,e( ) ( ) ( ) ( )( )22 211 1 1np np p SV p V X V V S np pn n n n _ , Observamos ainda que:( ), Z= 0 , 1nS p q p pp N p Nn np qn _ ,: : Unid IV Inferncia Estatstica16(Distribuio Normal Padro)distribuio Normal de mdia e varincia,

pp e ( )21pp pn ,respectivamente.Estatstica Economica IOBS.: No caso de populao finita de tamanho N, e amostragem sem reposio, recomenda-se o uso do fator de correo populacional no clculo da varincia de p , isto ,( )1p q N nV pn N Exemplo 8. Emuma eleio, determinado candidato recebeu 46%dos votos. Determine a probabilidade de que, em um escrutnio efetuado em 1000 dos votantes, se obtenha maioria em favor do candidato.Soluo:( )2 p p10, 46 0, 540, 46e 0, 00024840, 01576071000pp pn ( ) ( )501 0, 501 0, 46 2, 60 1 2, 60 1 0, 9953 0, 0047ou0,47%1000 0, 0157607P p P Z P Z _ _> > > , ,Espera-se que num escrutnio com 1000 votantes, 0,47% desses escrutnios tenham maioria para o candidato.Unid IV Inferncia Estatstica17