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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SILVIO ANTONIO DA SILVA OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO SÃO PAULO 2011
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO SILVIO ANTONIO DA SILVA
OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
SÃO PAULO 2011
2
SILVIO ANTONIO DA SILVA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
OS MULTISIGNIFICADOS DE EQUAÇÃO NA APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
SÃO PAULO 2011
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
3
da Silva, Silvio Antonio.
Os multisignificados de equação na aprendizagem de Matemática
para o ensino médio / Silvio Antonio da Silva. – [s.n.], 2011. São Paulo.
---f.; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Universidade Bandeirante de São Paulo,
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática.
Orientador: Professora Doutora Vera Helena Giusti de Souza.
1. Multisignificados de Equação 2. Equação. 3. Educação Algébrica
4. Educação Matemática 5. Modelagem Matemática 6. Ensino Médio
I. Título
4
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
SILVIO ANTONIO DA SILVA
Os multisignificados de equação na aprendizagem de
Matemática para o ensino médio
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, à
seguinte banca examinadora:
____________________________________________________________________ Profa. Dra. Vera Helena Giusti de Souza (Orientadora ). Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP), em 2008.
____________________________________________________________________ Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro (Membro Titular Externo – UFABC) Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP), em 2007. ____________________________________________________________________ Profa. Dra. Helena Noronha Cury (Membro Titular Externo – UNIFRA) Doutorado em Educação pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2005.
UNIBAN São Paulo
2011
5
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos. ____________________ ___________________ Assinatura Local e data
6
Dedico este trabalho a minha esposa Luzimar,
aos meus filhos Daniel e Mateus, a minha
irmã Márcia e aos meus pais Benedito e
Margarida.
7
AGRADECIMENTOS
A Deus, pela presença em todos os momentos difíceis deste percurso importante em
minha vida.
Ao Professor Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, que me acompanhou na construção
deste trabalho em quase toda a sua totalidade.
À minha orientadora, Professora Dra. Vera Helena Giusti de Souza, pois sem ela,
este trabalho talvez não tivesse sido realizado.
Aos meus amigos, aos colegas e aos alunos que participaram da pesquisa.
À Profa. Dra. Helena Noronha Cury, por aceitar participar de minha banca e por ter
realizado contribuições magníficas para o desenvolvimento e a continuidade da
presente pesquisa.
Aos professores e companheiros do Curso de Pós-Graduação.
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização desta pesquisa,
com sugestões e críticas, enriquecendo ainda mais o meu trabalho, em especial:
Marcio Dorigo, Isabela Galvão Barbosa Stempniak, Yuri Osti Barbosa e Etienne
Lautenschlager.
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RESUMO
Colocamos como objetivo de nossa pesquisa analisar possíveis contribuições que
uma abordagem dos Multisignificados de Equação (RIBEIRO, 2007), num ambiente
de Modelagem Matemática (BARBOSA, 2001), pode trazer à construção e/ou
ampliação da noção de equação. Para responder nossas questões de pesquisa,
“Como os alunos concebem a noção de equação?”, “Quais significados eles
atribuem à noção de equação?” e “Como uma abordagem dos Multisignificados de
Equação, por meio da Modelagem Matemática, pode contribuir para a construção
e/ou ampliação da noção de equação?”, desenvolvemos uma pesquisa interventiva,
com análise qualitativa dos dados, fundamentada, do ponto de vista teórico, nos
resultados de Ribeiro (2007) e do ponto de vista pedagógico, na Modelagem
Matemática (BARBOSA, 2001). Para tanto, elaboramos duas atividades e
realizamos quatro sessões de intervenção, junto a um grupo de alunos da 2ª série
do Ensino Médio. Tais atividades possibilitaram discutir equação, inserida em
problemas contextualizados que contemplam diferentes Significados que tal noção
pode assumir. A análise dos protocolos e das transcrições de algumas áudio-
gravações possibilitou concluir que, em geral, os alunos não equacionaram, numa
linguagem algébrica simbólica, os problemas propostos e utilizaram essencialmente
o multisignificado Intuitivo-Pragmático (RIBEIRO, 2007), pois as estratégias
apresentadas envolvem o uso de cálculos aritméticos. Em virtude da importância e
da relevância da noção de equação, sugerimos que mais pesquisas sejam
realizadas para apontar caminhos que permitam uma utilização dos multisignificados
e da Modelagem Matemática em salas de aula da Educação Básica.
Palavras-chave: Multisignificados de equação; Modelagem Matemática; equação;
Educação Algébrica; Ensino Médio.
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ABSTRACT
Our purpose, with this research, is to analyse if an approach using Multimeanings of
equation (RIBEIRO, 2007), in an environment using Mathematical Modelling
(BARBOSA, 2001), may bring contributions to the construction and/or enlargement of
the notion of equation. In order to give answers to our research questions, “How
students conceiving the notion of equation?”, “Which meanings they give to the
notion of equation?”, “An approach based on Multimeanings of equation, in an
environment using Mathematical Modelling, may bring contributions to the
construction and/or enlargement of the notion of equation?”, we developed an
intervention and analysed qualitatively data, theoretically based on results obtained
by Ribeiro (2007) and pedagogically, on Mathematical Modelling (BARBOSA, 2001).
In order to do so, we designed and applied two activities, in four sessions, to a group
of pupils of a second year (16-17 years old) of Brazilian High School. Such activities
have provided a discussion about equation, by means of contextualised problems,
evolving different meanings such a notion may have. Analysis of protocols, and
transcriptions of some audio recorded tapes, allowed us to conclude that, in general,
these students did not put, in a symbolic algebraic language, the proposed problems,
and used just arithmetic calculations, a strategy that characterizes the Intuitive-
Pragmatic meaning (RIBEIRO, 2007). As equation is, in our view, an important and
relevant notion, we suggest the development of many more researches to point out
how to use Multimeanings of equation and Mathematical Modelling in Brazilian High
School Mathematics classrooms.
Key-words: Multimeanings of equation, Mathematical Modelling, equation, Algebraic
Education, Brazilian High School.
10
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS............................................................................................................7
RESUMO ...........................................................................................................................8
ABSTRACT .........................................................................................................................9
SUMÁRIO ........................................................................................................................10
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................12
CAPÍTULO 1 .....................................................................................................................14
PROBLEMÁTICA...............................................................................................................14
1.1 Justificativa ................................................................................................................................................................. 15
1.2. Objetivo e questões de pesquisa........................................................................................................................ 18
CAPÍTULO 2 .....................................................................................................................20
REVISÃO DE LITERATURA.................................................................................................20
2.1 Introdução................................................................................................................................................................... 21
2.2 Álgebra ......................................................................................................................................................................... 21
2.3 Equações ...................................................................................................................................................................... 25
2.4 Multisignificados de Equação .............................................................................................................................. 27
2.5 As pesquisas do projeto maior ............................................................................................................................ 28
2.6 Modelagem Matemática ......................................................................................................................................... 29
CAPÍTULO 3 .....................................................................................................................38
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E METODOLÓGICA ..............................................................38
3.1 Introdução................................................................................................................................................................... 39
3.2 Multisignificados de Equação .............................................................................................................................. 39
3.3 Perspectiva Sócio-crítica de Modelagem Matemática ................................................................................ 42
3.4 Metodologias e Procedimentos Metodológicos............................................................................................. 45
11
3.4.1 Nossa Pesquisa.......................................................................................................................................................................45 3.4.2 Procedimentos .......................................................................................................................................................................46
CAPÍTULO 4 .....................................................................................................................50
AS ATIVIDADES................................................................................................................50
4.1 Introdução................................................................................................................................................................... 51
4.2 Análises Preliminares das Atividades Desenvolvidas ................................................................................ 51
CAPÍTULO 5 .....................................................................................................................61
ANÁLISE DOS DADOS.......................................................................................................61
5.1 Introdução................................................................................................................................................................... 62
5.2 Análise das atividades do Grupo 4 ..................................................................................................................... 63 5.2.1 Atividade 1...............................................................................................................................................................................63 5.2.2 Atividade 2...............................................................................................................................................................................77
5.3 Apresentação dos resultados dos demais grupos ........................................................................................ 96
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................... 118
CONCLUSÕES, RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DE PESQUISA E CONSIDERAÇÕES FINAIS ......... 118
6.1 Conclusões ................................................................................................................................................................119
6.2 Respostas às Questões de Pesquisa .................................................................................................................133
6.3 Considerações finais..............................................................................................................................................135
REFERÊNCIAS................................................................................................................. 138
ANEXOS ........................................................................................................................ 143
TERMO DE CONSENTIMENTO....................................................................................................................................144
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO ......................................................................................145
Atividade 1 .......................................................................................................................................................................146
Atividade 2 .......................................................................................................................................................................148
12
Introdução
Estive fora da escola desde o final dos anos 80, quando cursei o ensino
secundário e não continuei nesta ocasião a minha formação acadêmica, pois me vi
em uma fase da minha vida de completa mudança. Eu, um jovem criado em uma
cidade do interior de São Paulo, já via a necessidade de procurar um espaço meu,
ou seja, procurar um futuro de melhor sucesso para mim. Enxerguei esta
oportunidade em minha mudança do interior para uma cidade grande como São
Paulo. Desta decisão tomada, só me arrependo de uma coisa – não ter procurado
desde o inicio da minha chegada em São Paulo, em 1990, a continuação da minha
trajetória acadêmica.
Em 2003, vi-me num dado momento de minha vida, diante de uma enorme
frustração profissional, a qual me motivou a voltar a estudar. Depois de uma
profunda auto-reflexão, lembrei-me dos tempos de estudante e achei ali, nas
lembranças das aulas de Matemática, a escolha pelo curso de graduação a ser feito.
No início de 2004, comecei a cursar, na Universidade Paulista (UNIP), a
Licenciatura em Matemática, com ênfase em informática. Neste dado momento, meu
interesse maior era a própria Matemática e não a Educação Matemática, muito
embora assim devesse ser, pois estava num curso de formação de futuros
professores.
Ainda cursando o 5º semestre da faculdade, comecei a lecionar como
professor da rede estadual pública de ensino do Estado de São Paulo. A partir daí,
comecei a me dar conta realmente da mudança profissional à qual tinha me
submetido e, por influência desta, também uma mudança em minha vida pessoal.
Comecei a compreender o quanto era grande a responsabilidade que eu estava
assumindo naquele momento, principalmente devido à influência que eu começaria
a ter na formação de meus alunos.
Formei-me no final de 2006 como professor de Matemática com habilitação
em Física e desde então leciono estas duas disciplinas na Educação Básica. Como
citado anteriormente, somente me dei conta das dificuldades existentes na profissão
13
de professor, quando efetivamente comecei a lecionar. As dificuldades são muitas e
a maior parte delas diz respeito a como propiciar e intermediar o conhecimento, para
que o aluno possa assimilar e ter um desenvolvimento coerente com aquilo que é
colocado e que é cobrado dele. Dentre estas dificuldades, enfrentadas por mim
mesmo e pelos alunos, venho me deparando com algumas que dizem respeito à
compreensão de alguns tópicos particulares do ensino da Matemática, mais
especificamente ligados à Álgebra.
Com a continuidade de minha formação acadêmica, fui buscar um curso de
Pós-Graduação e escolhi o Mestrado em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante de São Paulo – UNIBAN-SP.
14
CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA
15
1.1 Justificativa
No Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN-SP, percebemos1 que
deveríamos desenvolver uma pesquisa que se relacionasse com as preocupações e
inquietações que estavam presentes em nossas experiências como aluno e como
professor. No nosso caso, eram relacionadas ao ensino e à aprendizagem de
Álgebra.
Um fato que nos deixa muito curioso e que nos motiva a desenvolver tal
pesquisa é que, desde nosso tempo de aluno do Ensino Fundamental – há cerca de
vinte e dois anos – e até os dias de hoje, os problemas relacionados ao aprendizado
de tópicos de Álgebra parecem ser os mesmos, quais sejam, um excesso de
mecanização, em detrimento de uma discussão mais conceitual.
Diversos pesquisadores da área de Educação Matemática têm a mesma
preocupação e desenvolveram trabalhos que, direta ou indiretamente, têm o seu
principal foco na Álgebra. Podemos citar alguns trabalhos desenvolvidos na área de
Educação Matemática que apontam nesse sentido:
• A tese de Doutorado em Educação Matemática “Equação e seus
Multisignificados no Ensino de Matemática”, de Alessandro Jacques
Ribeiro (2007).
“Os resultados de avaliações diagnósticas de exames como o SARESP, SAEB, e
ENEM, por exemplo, apontavam para resultados pouco animadores nessas
macro-avaliações, no que tange questões que envolviam conhecimentos
elementares de Álgebra, dentre eles, as equações. (Ribeiro 2007, p.22)”
• A dissertação de Mestrado em Educação Matemática “Ensino introdutório
à Álgebra Elementar”, de Eveline Vieira Costa (1998).
• A dissertação de Mestrado em Educação Matemática “Desenvolvimento na
perspectiva de aprendizagem significativa”, de Beatriz Maria Boéssio
Zanchet (2000).
1 Desde ponto em diante, optamos por utilizar a 1a pessoa do plural.
16
• A dissertação de Mestrado em Educação “Equações do primeiro grau:
Trajetória de uma análise de significados”, de Arleni Elise Sella Langer
(2004).
• A tese de Doutorado em Educação Matemática "Aspectos do pensamento
matemático na resolução de problemas: uma apresentação
contextualizada da obra de Krutetskii", de Gladys Denise Wielewski
(2005).
Ao iniciar nossa participação na linha de pesquisa Ensino e Aprendizagem de
Matemática e suas Inovações, da UNIBAN-SP, lemos com interesse a tese de
doutorado “Equação e seus multisignificados no Ensino de Matemática”, de
Alessandro Jacques Ribeiro, defendida em 2007. Dentre suas conclusões, o autor
apresenta diferentes significados para a noção de equação (Multisignificados de
Equação), os quais, pensamos, vão ao encontro de nossas expectativas com
relação à pesquisa que pretendemos desenvolver. Vale destacar as considerações
finais do trabalho de Ribeiro (2007):
“Com isso, deixo como sugestão para pesquisa futura, o desenvolvimento de
situações de aprendizagem que contemplem esses multisignificados para a
noção de equação entre alunos e professores de Matemática. Sugestões essas
que procurem articular esses significados, levando em consideração o nível de
ensino e os objetivos propostos para a educação matemática que se quer
praticar (RIBEIRO 2007, p. 131)”.
A partir dessas nossas reflexões e preocupações, decidimos participar, como
colaborador, de um projeto de pesquisa docente, mais amplo – “Os
Multisignificados de Equação no Ensino e na Aprendizagem de Matemática” -
desenvolvido pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro, a partir de sua tese de
Doutorado em Educação Matemática, “Equação e seus multisignificados no ensino
de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico “. Por essa razão, nossa
dissertação de Mestrado em Educação Matemática situa-se como um subprojeto
dentro desse projeto maior, que tem sua configuração definida como segue.
O projeto de pesquisa docente de Ribeiro compõe o cenário das
investigações que estão sendo desenvolvidas na linha de pesquisa “Ensino e
Aprendizagem de Matemática e suas Inovações”, do Programa de Pós Graduação
17
em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo e tem por
objetivo principal avaliar as contribuições que uma abordagem com os
Multisignificados de Equação no ensino e na aprendizagem de Matemática poderá
fornecer à Formação do Professor de Matemática. Tal projeto será desenvolvido na
perspectiva de uma pesquisa com análise qualitativa dos dados e está dividido em
duas etapas – uma diagnóstica e outra de intervenção – com alunos e professores
de Matemática do Estado de São Paulo, sob a temática da Educação Algébrica,
atualmente importante subárea de investigação no campo da Educação Matemática.
Pretende-se investigar, como parte da pesquisa, se e como os multisignificados de
equação, concebidos e apresentados como resultados finais da tese de Ribeiro
(2007), são discutidos e abordados nos processos de ensino e de aprendizagem de
Matemática, com o objetivo principal de avaliar as contribuições que a abordagem
dos multisignificados de equação no ensino e na aprendizagem de Matemática
poderá fornecer à Formação do Professor de Matemática. Aliado a esse objetivo
principal, outros objetivos mais pontuais e adjacentes acabaram surgindo, como:
investigar, nas concepções de equação de professores e alunos, quais dos
Multisignificados de Equação estão presentes; desenvolver atividades matemáticas
que contemplem os Multisignificados de Equação e trabalhar essas atividades com
alunos e professores da Educação Básica.
A questão principal que serve de fio condutor para atingir os objetivos
propostos é: “Quais contribuições são fornecidas à Formação do Professor de
Matemática, após a análise da abordagem dos multisignificados de equação no
ensino e na aprendizagem de Matemática?”
Aliadas a esta, outras questões secundárias surgem, tais como: “Como os
alunos concebem a noção de equação?”, “Quais dos multisignificados eles atribuem
à noção de equação?”, “Como os professores concebem a noção de equação?”,
“Quais dos multisignificados eles atribuem à noção de equação?”, “Quando, como e
com que finalidade professores discutem a noção de equação nas aulas de
Matemática?”
Alguns subprojetos desse projeto já foram realizados e contribuíram, de certa
forma, para o nosso. Dois deles dizem respeito ao diagnóstico que a pesquisa de
Ribeiro se propõe a fazer e um, à parte interventiva. São eles: os diagnósticos
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“Multisignificados de Equação: Uma investigação sobre as imagens de conceito de
professores de Matemática”, de Yuri Osti Barbosa (2009), realizado junto a um grupo
de professores de Matemática e “Investigando as Concepções de Equação de um
Grupo de Alunos do Ensino Médio”, de Marcio Dorigo (2010), realizado junto a um
grupo de alunos; e a intervenção “Multisignificados de Equação e o Professor de
Matemática: uma proposta usando a Modelagem Matemática num curso de
licenciatura”, de Isabela Galvão Barbosa Stempniak (2010), feita junto a uma turma
de Licenciatura em Matemática.
Até aqui, situamos nossa pesquisa como parte de um projeto maior, que tem
por objetivo avaliar as contribuições que a abordagem dos multisignificados de
equação, no ensino e na aprendizagem de Matemática, poderá fornecer à Formação
do Professor de Matemática. Dentro deste projeto, nossa colaboração dar-se-á pelo
desenvolvimento de uma dissertação de Mestrado em Educação Matemática, com
características interventivas, junto a alunos de Ensino Médio, com o tema “Os
Multisignificados de Equação na aprendizagem de Matemática para o Ensino
Médio”.
Com isto, podemos colocar nosso objetivo e nossas questões de pesquisa.
1.2. Objetivo e questões de pesquisa
Considerando a proposta de nossa pesquisa, qual seja, possibilitar
discussões sobre os Multisignificados de Equação, com alunos do Ensino Médio,
colocamos como nosso objetivo de pesquisa analisar quais são as contribuições que
uma abordagem com os Multisignificados de Equação, num ambiente de modelagem
matemática, pode trazer para a construção e/ou ampliação do conhecimento
equação.
A partir deste objetivo, colocamos as questões de pesquisa que nortearão
nosso estudo.
1) Como os alunos concebem a noção de equação?
2) Quais significados eles atribuem à noção de equação?
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3) Como uma abordagem dos Multisignificados de Equação, por meio
de Modelagem Matemática, pode contribuir para a construção e/ou
ampliação do conhecimento equação?
Para reforçar nossas convicções e estabelecer um cenário que nos permita
unir a Educação Algébrica, os Multisignificados de Equação e a Modelagem
Matemática, a fim de responder nossas questões de pesquisa, procuramos
trabalhos, desenvolvidos por pesquisadores da área de Educação Matemática, que
pudessem ajudar-nos nessa empreitada. No Capítulo 2, Revisão de Literatura,
apresentamos nossa visão, decorrente da leitura de tais trabalhos.
20
CAPÍTULO 2
REVISÃO DE LITERATURA
21
2.1 Introdução
Elaboramos nossa revisão de literatura baseada em cinco vertentes,
escolhidas, como já dissemos, para compor o cenário de nossa pesquisa, que
pretende aliar a Educação Algébrica, os Multisignificados de Equação e a
Modelagem Matemática.
• Uma visão geral dos que se entende, hoje em dia, por Álgebra e Educação
Algébrica.
• O ensino de equações envolvendo alunos do Ensino Médio.
• Os Multisignificados de Equação (Ribeiro, 2007).
• Os trabalhos de pesquisa que apresentam resultados que compõem o projeto “Os
Multisignificados de Equação no Ensino e na Aprendizagem de Matemática”,
desenvolvido pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro e ao qual nosso projeto
está vinculado.
• Um panorama sobre a Modelagem Matemática como abordagem de ensino.
2.2 Álgebra
Em relação aos caminhos escolhidos para nossa pesquisa, cujo foco de
discussão é o entendimento de equações no Ensino Médio, percebemos, em muitas
pesquisas, uma grande preocupação com o ensino de Álgebra em geral, o que inclui
o ensino de equações e, portanto, seu entendimento. Trazemos, neste parágrafo,
uma visão geral de nossas leituras sobre o ensino de Álgebra, principalmente com o
Ensino Médio, foco de nossa intervenção. Apresentamos algumas concepções de
Álgebra, de Pensamento Algébrico e de Educação Algébrica, envolvendo equação,
conteúdo que abordamos em nosso trabalho.
Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) trazem uma reflexão sobre Educação
Algébrica, a partir de algumas concepções de Álgebra que, segundo eles, foram
sendo construídas ao longo da história do desenvolvimento da Álgebra. Para
apresentar estas concepções, os pesquisadores trazem algumas leituras que
fizeram sobre as contribuições que diversas civilizações, ao longo da História, deram
22
para o desenvolvimento da Álgebra, tais como: “álgebra egípcia”, “álgebra
babilônica”, “álgebra grega pré-diofantina”, ”álgebra diofantina”, “álgebra chinesa”,
“álgebra arábica”, “álgebra hindu”, “álgebra da cultura europeia renascentista”.
Encontraram, com grande frequência nos manuais de História da Matemática,
as fases evolutivas da linguagem algébrica: a retórica, fase em que não se fazia uso
de símbolos nem de abreviações para expressar o pensamento algébrico; a
sincopada, que foi o início da utilização de símbolos para a incógnita de uma
equação; e a simbólica, na qual as ideias algébricas passam a ser expressas
somente por símbolos.
Os pesquisadores evidenciam algumas concepções de Álgebra: a
processológica, segundo a qual a Álgebra é um conjunto de técnicas e de
procedimentos para abordar problemas cuja resolução é uma sequência
padronizada de passos; a linguístico-estilística, para a qual a Álgebra é uma
linguagem artificial e específica; a linguístico-sintático-semântica, na qual a
Álgebra é uma linguagem capaz de realizar e expressar transformações algébricas
estritamente simbólicas; a linguístico-postulacional, que também vê a Álgebra
como uma linguagem simbólica, com aplicação em todos os campos da Matemática.
A partir dessas concepções sobre Álgebra, Fiorentini (1993) estabelece as de
Educação Algébrica, que se manifestaram ao longo da história da educação
matemática elementar: a concepção linguístico-pragmático, segundo a qual o
papel pedagógico da Álgebra é o de instrumento para a resolução de problemas e
prevalece a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas
para o “transformismo algébrico” é necessária e suficiente para que o aluno seja
capaz de resolver problemas, que podem ser artificiais; ou seja, os problemas são
“fabricados” e propostos visando a aprendizagem de um certo conteúdo e não o
contrário. A concepção fundamental-estrutural, que visa o ensino de alguns
tópicos, com a intenção de identificar, justificar e aplicar, em diferentes contextos,
estruturas algébricas importantes para os procedimentos algébricos. A concepção
fundamentalista-analógica que, assim como a linguístico-pragmático, estabelece o
papel pedagógico da Álgebra como instrumento de resolução de problemas, porém
com justificativas.
23
Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) analisam que, nas três concepções de
Educação Algébrica, há um ponto comum, a redução do pensamento algébrico à
linguagem algébrica, o que consideram negativo, do ponto de vista didático. E
argumentam que a relação entre a linguagem algébrica e o pensamento algébrico
não deve ser de subordinação, mas sim de uma natureza dialética.
Baseados na ideia de que o pensamento algébrico não depende única e
exclusivamente de uma linguagem algébrica formal, acreditam que este pode
manifestar-se por outros tipos de linguagem, tais como: a linguagem natural, a
linguagem aritmética, a linguagem geométrica ou qualquer outra criada
especificamente para esse fim. E que isso pode trazer implicações pedagógicas
positivas, pois como não é necessária uma linguagem estritamente simbólico-formal,
é possível iniciar o ensino de Álgebra pelo estímulo ao pensamento algébrico, muito
antes do que se propunha na época (1993), o que pode acarretar numa preparação
melhor do aluno para a utilização da linguagem simbólica algébrica e,
conseqüentemente, para a simbólico-formal. Defendem ainda que o pensamento
algébrico é mais amplo e pode ser estendido a todos os campos da Matemática e de
outras áreas do conhecimento e sugerem que a primeira etapa da Educação
Algébrica seja feita por meio de “situações-problema” (Fiorentini, Miguel e Miorim,
1993, p. 89).
Usiskin (1995) também coloca suas concepções sobre Educação Algébrica,
que são quatro: 1. A Álgebra como aritmética generalizada: as letras são usadas
como variáveis e generalizam fatos aritméticos; os alunos precisam traduzir e
generalizar. 2. A Álgebra como um estudo de processos para a resolução de
problemas: as letras são constantes ou incógnitas; os alunos precisam equacionar.
3. A Álgebra como estudo de variação de grandezas: as letras são parâmetros ou
argumentos de uma função; os alunos precisam expressar uma função e esboçar
gráficos. 4. A Álgebra como estudo das estruturas matemáticas: as letras são
variáveis que não são só numéricas, podendo representar conjuntos, polinômios,
grupos, operadores; em geral, é a Álgebra trabalhada nos cursos superiores e os
alunos precisam abstrair de valores numéricos.
Entendemos que, tanto as concepções colocadas por Fiorentini, Miguel e
Miorim (1993), como as de Usiskin (1995), têm um ponto em comum, que é a
24
tendência letrista no pensamento algébrico e na linguagem algébrica, o que acarreta
uma influência no que diz respeito à Educação Algébrica.
Tal ponto comum também é percebido e analisado por Lins e Gimenez
(2001), no capítulo “Sobre a Álgebra”, no qual o autores expõem três pontos de vista
relacionados ao ensino de Álgebra: 1. não sabemos o que é Álgebra e sim quais
conteúdos dizem respeito à Álgebra. 2. temos um dilema com a notação: a Álgebra é
caracterizada pelo conteúdo ou pela notação?. 3. a atividade algébrica resulta do
pensamento formal. Com relação aos conteúdos (ponto de vista 1) e às notações
(ponto de vista 2), afirmam que têm uma característica externalista: estão fora do
sujeito e este tem que conhecê-los para entrar no mundo da Álgebra. O pensamento
formal (ponto de vista 3) tem uma característica internalista: está dentro do sujeito,
mas depende dos outros dois.
Um quarto ponto de vista possível é o da Teoria dos Campos Conceituais
(VERGNAUD, 1993), segundo a qual a Álgebra é um Campo Conceitual, ou seja,
uma tríade: um conjunto de esquemas operacionais e de invariantes; um conjunto de
símbolos; e um conjunto de problemas que podem ser resolvidos pelos esquemas e
pelos invariantes e são representados pelos símbolos2. Neste caso, Lins e Gimenez
(2001) apontam a dificuldade de elaboração de atividades com problemas que
gerem as notações e os conceitos desejados.
A partir desses pontos de vista, trazem à discussão alguns pontos que
precisam ser considerados ao se repensar abordagens para o ensino de Álgebra: a
atividade algébrica não é só um cálculo literal; situações ditas “concretas”, como por
exemplo o uso de uma balança para “ensinar” a resolução de equações, esbarra na
questão da passagem do concreto para o formal; em atividades baseadas em
situações reais, do tipo modelagem matemática, o processo de aprendizagem é
mais lento e as técnicas algébricas podem não ficar explícitas; a “álgebra como
aritmética generalizada” é uma abordagem na qual o uso exclusivo das letras é
compensado pela preocupação com a linguagem algébrica, como meio de
expressão e as atividades não têm uma delimitação de conteúdo, desde que haja o
2 Em nossa pesquisa, não pretendemos utilizar a teoria de Vergnaud (1993). Assim, só colocamos um resumo muito simplificado das ideias dele, que não pretende (e não pode) nem de longe ser considerado completo. (Nota do autor.)
25
envolvimento dos alunos. Lins e Gimenez (2001) defendem esta última que,
segundo eles, deve e pode ser iniciada o quanto antes no calendário escolar.
Para finalizar, argumentam que Álgebra e Aritmética são mutuamente
dependentes e que se entendermos o que têm em comum, poderemos perceber o
que é preciso fazer em sala de aula de Álgebra.
Estas foram as leituras que fizemos, com relação à Álgebra e à Educação
Algébrica e que julgamos importantes para justificar a nossa escolha do assunto
equação e de uma abordagem não tradicional, no caso a Modelagem Matemática.
2.3 Equações
Lucas (2009) realizou uma pesquisa com alunos do Ensino Médio, com o
objetivo de investigar entre diversas expressões algébricas, os alunos sujeitos de
pesquisa sabem discernir quais são funções e quais são equações. Para tanto,
aplicou exercícios envolvendo equações de primeiro e de segundo grau aos alunos
divididos em duplas. Lucas (2009) sintetiza as concepções de equação descritas
pelos alunos e que podem, segundo ele, ser divididas em dois tipos: as mais
próximas ao conceito formal e as que relacionam equação ao processo de
resolução. Conclui que os alunos procederam de forma mecanizada, do tipo “letra
para um lado, número para o outro”, com as equações de primeiro grau e “fórmula
de Bhaskara”, para os de segundo. Segundo o pesquisador, estes alunos
demonstraram permanência no registro algébrico, mesmo em questões que
incentivavam a passagem para outras formas de representação, como o gráfico ou a
tabela.
Dreyfys e Hoch (2004, apud Lima, 2007) realizaram uma pesquisa com
alunos do Ensino Médio israelense, com o objetivo de entender qual é o tipo de
estrutura que tais alunos percebem que está presente em uma equação. Concluíram
que, para esses alunos, é fácil reconhecer uma equação, mas difícil falar sobre ela e
entender sua estrutura, pois o entendimento deles está relacionado, principalmente,
aos procedimentos utilizados. Tanto, que para definir uma equação, citam a
necessidade de encontrar o valor da incógnita.
26
“A estrutura interna de uma equação é importante, pois, ao ser relacionado com à
Álgebra de manipulação, esse entendimento pode colaborar para que o aluno
compreenda o significado de cada uma dos símbolos usados para representar
uma equação.” (LIMA, 2007, p. 27).
Lima (2007) tinha como objetivo ir às raízes dos significados dados pelos
alunos a equações e aos métodos de resolução usados por eles, a fim de
compreender por que eles cometem erros ao resolverem equações. As concepções
de equação dadas por alunos do Ensino Médio são
“Têm a concepção de equação como uma conta a ser efetuada, que é comparada
a qualquer uma das quatro operações elementares: adição, subtração,
multiplicação ou divisão). Nesta concepção, a incógnita não está em evidência,
isto é, ela não é característica importante de uma equação e o sinal de igual é
visto como um sinal operacional.” (LIMA, 2007, p. 281-282).
Blanton e Kaput (2003) desenvolveram estudos que mostram que
professores devem procurar formas de desenvolver a atividade algébrica, por meio
de abordagens baseadas em modelagem, de modo que os alunos tenham que fazer
conjecturas, discutir, testar ideias. Afirmam ainda que devem ser exploradas
diferentes formas do pensamento algébrico durante essas atividades.
Entendemos que propor questões envolvendo os Multisignificados de
Equação, num ambiente de Modelagem Matemática, como é o caso de nossa
pesquisa, contempla as recomendações dadas por Blanton e Kaput (2003).
Arcavi (1994) preocupou-se com a representação e a manipulação simbólica.
Para ele, alunos da escola secundária possuem pouca compreensão dos símbolos
algébricos, apesar de os manipularem durante anos. Segundo ele, nem mesmo os
alunos mais adiantados em Álgebra são capazes de percebê-la como uma
ferramenta que permite compreender, generalizar, revelar estruturas e relações e
fazer demonstrações. Recomenda que seja desenvolvido, nos alunos, o sentido dos
números, como uma forma de dar sentido aos símbolos. E afirma que compreender
27
as operações é o caminho para dar sentido aos números, aos símbolos e às
funções.
Depois de fazer a leitura dos trabalhos realizados por esses pesquisadores,
que tratam a Álgebra e equação como campo de pesquisa, percebemos que têm em
comum duas preocupações principais: a primeira diz respeito à complexidade de
compreender e determinar a relação entre pensamento algébrico e linguagem
algébrica; a segunda é, como o ensino de Álgebra é confundido, tanto por alunos
como por professores, com uma simples manipulação de letras e números,
prevalecem as técnicas mecanizadas e não a real compreensão do que acontece
nas relações algébricas. Concluímos que tem que haver uma junção de duas coisas:
a problematização de questões que gerem e motivem o pensamento algébrico e a
conscientização de que existe necessidade de uma maneira própria de expressar
esse pensamento. Esta junção podemos chamar de linguagem algébrica.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (1998), no que
diz respeito ao ensino de Álgebra, os principais objetivos são: identificar as
diferentes funções da Álgebra, tais como generalizar padrões aritméticos;
estabelecer relações entre grandezas; modelar; resolver problemas aritméticos
difíceis, explorados por “situações-problema” que, por sua vez, serão representadas
por equações e inequações.
2.4 Multisignificados de Equação
Os fundamentos teóricos de nossa pesquisa, sobre os quais nos apoiamos
para elaborar as questões de intervenção, são os dados pelos Multisignificados de
Equação, elaborados por Ribeiro (2007) em sua tese de Doutorado em Educação
Matemática. Ribeiro (2007) traz um estudo epistemológico das concepções de
equação, tomando como base os períodos de evolução das principais civilizações.
Também analisou alguns livros didáticos, em busca do que se entende como
equação. Com esses dados, classificou as concepções de equação encontradas em
cinco significados: Intuitivo-Pragmatico; Estrutural-Generalista; Estrutural-
Conjuntista; Processual-Tecnicista; Dedutivo-Geométrico e Axiomático-
Postulacional. Estes Multisignificados são definidos e exemplificados no Capítulo 2,
Fundamentação Teórica e Metodológica (ver p. 39).
28
2.5 As pesquisas do projeto maior
Como já mencionamos, nossa pesquisa está inserida no projeto docente “Os
Multisignificados de Equação no Ensino e na Aprendizagem de Matemática”,
desenvolvido pelo Doutor Alessandro Jacques Ribeiro desde 2008 e já produziu três
Dissertações de Mestrado em Educação Matemática, todas no Programa de Pós-
graduação Educação Matemática da UNIBAN-SP. Como são “companheiras” da
nossa, achamos importante destacá-las no corpo de nosso trabalho.
Barbosa, Y. A. (2009) realizou uma pesquisa de caráter diagnóstico, junto a
três professores de Matemática da Educação Básica, com o objetivo de verificar
quais as concepções de equação que esses professores de investigar as imagens
de conceito desses professores de matemática, quanto à forma de ver, interpretar e
tratar situações-problema que envolva a ideia de equação, observando se existe
alguma relação entre essas imagens de conceito e os Multisignificados de equação.
Para tanto, propôs uma atividade com problemas relacionados a equação,
elaborados com base nos Multisignificados e analisou os protocolos obtidos, em
busca de quais significados emergem e quais as imagens de conceito (TALL;
VINNER, 1981) desses professores. Em seguida, realizou entrevistas
semiestruturadas, a fim de melhor entender as concepções e as imagens de
conceito. Para dois desses professores, a imagem de conceito de equação
relaciona-se à ideia de algoritmo de resolução, bem como à existência de uma
incógnita. Para o terceiro professor, a imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981)
reduz-se a um método de tentativa e erro e ao emprego de métodos aritméticos. O
pesquisador chegou à conclusão que esses professores têm, como imagem de
conceito de equação, os significados: Processual-Tecnicista, pois reconhecem uma
equação por meio de seu processo de resolução e tratam-na por meio de técnicas
de manipulação; e Intuitivo-Pragmático, pois reconhecem uma equação em uma
situação do cotidiano e tratam-na por meio de métodos aritméticos ou de tentativa e
erro.
Dorigo (2010) traz como objetivo de pesquisa diagnosticar as concepções de
equação de alunos do Ensino Médio, com base nos Multisignificados de Equação.
Para atingir o objetivo proposto, Dorigo (2010) desenvolveu duas atividades, que
29
foram aplicadas a alunos de 1o ano do Ensino Médio, com problemas envolvendo a
idéia de equação, embora nem sempre estivessem explícitas. Em particular, na
última questão proposta, os alunos são perguntados qual o objeto matemático que
aparece nas questões anteriores, pois o pesquisador estava interessado em verificar
também se os alunos pesquisados reconheceriam a equação “subjacente” em cada
uma das atividades propostas.
Em suas análises, Dorigo (2010) observou uma forte tendência dos alunos
para utilizar métodos de tentativa, o que remete ao Significado que foi mais utilizado,
o Intuitivo-Pragmático. Também observou que os alunos envolvidos em sua
pesquisa não possuem uma idéia clara do que seja equação. Eles a utilizam para
resolver algumas situações matemáticas apresentadas, porém a própria definição de
equação que eles possuem parece ser confusa.
Stempniak (2010) realizou uma pesquisa de caráter interventivo, com alunos
do último ano de Licenciatura em Matemática, com o objetivo de investigar as
contribuições que a abordagem dos Multisignificados de Equação, utilizando-se da
Modelagem Matemática, pode trazer para a formação e para a ampliação da
concepção de equação dos alunos de um curso de licenciatura em Matemática. A
pesquisadora elaborou atividades com problemas baseados nos Multisignificados de
Equação e aplicou-as, num ambiente de Modelagem Matemática Barbosa (2001), a
fim de provocar discussões que possibilitassem observar como os Multisignificados
de Equação podem contribuir com a formação e a ampliação das concepções de
equação desses alunos em formação inicial. Em suas conclusões, Stempniak (2010)
ressalta a importância do ambiente de Modelagem Matemática para o surgimento
dos significados de equação, pois a Modelagem propiciou discussões que
permitiram que os alunos trocassem informações e experiências, para maior
compreensão do conceito equação.
2.6 Modelagem Matemática
Em nossa pesquisa, propusemo-nos a utilizar, como ambiente de
aprendizagem, a Modelagem Matemática. Para justificar esta escolha, de que é a
mais coerente no emparelhamento com os princípios e fundamentos da nossa
proposta, apresentamos as concepções de alguns autores, que colaboram com o
30
desenvolvimento da Modelagem Matemática no Brasil e também um trabalho de
pesquisa internacional, sobre esse ambiente de aprendizagem.
Biembengut (2003) coloca a Modelagem em geral como linha de pesquisa e
ressalta três grandes pesquisadores brasileiros como sendo essenciais nesse
processo.
O movimento pela modelagem matemática no ensino brasileiro, tem como
referência três singulares pessoas, consideradas fundamentais no impulso e na
consolidação da modelagem como linha de pesquisa na Educação Matemática:
Aristides Camargo Barreto, entusiasta em modelar matematicamente músicas, na
década de 1970, na PUC/Rio, utilizava-se de modelos matemáticos como
estratégia de ensino em disciplinas Licenciatura em Matemática e em programa de
Pós-graduação; Ubiratan D’ Ambrosio, representante brasileiro na comunidade
internacional de Educação Matemática, nas décadas de 1970 e 1980 promoveu
cursos e coordenou projetos na Universidade de Campinas (SP) - UNICAMP que
impulsionaram a formação de grupos em matemática aplicada, biomatemática e
em modelagem e Rodney Carlos Bassanezi que além de atuar nesses cursos e
projetos da UNICAMP, tornou-se o principal disseminador da modelagem
matemática, pois ao adotá-la em suas práticas de sala de aula (Graduação, Pós-
Graduação lato e stricto sensu e Cursos de extensão) conquistou número
significativo de adeptos por todo o Brasil. Biembengut pertence aos adeptos da
Modelagem através de Bassanezi.(Biembengut, 2003).
Com base nessas idéias de Biembengut, selecionamos, para apresentar, as
concepções de Modelagem Matemática de Burak (1992), Biembengut (1999),
Bassanezi (2004) e Barbosa (2001).
Burak (1992, p. 62), em sua tese, entende a modelagem matemática como
um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões.
Biembengut (1999, p. 20), em seu livro Modelagem Matemática & Implicações
no Ensino-Aprendizagem de Matemática, diz que a modelagem é
o processo que envolve a obtenção de um modelo.
31
E, nesse processo, a modelagem é uma forma de interligar a Matemática com
a realidade que, na visão da autora, têm sido consideradas disjuntas.
Para Bassanezi (2004, p.17),
A modelagem matemática é um processo que alia teoria e prática, motiva o usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca na busca de meios para agir, sobre ela e transformá-la.
Barbosa (2001, p.5), afirma
Modelagem para mim, é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a problematizar e investigar, por meio da matemática, situações com referência na realidade.
Em todas essas concepções, percebe-se que há um consenso no que diz
respeito à tentativa de interpretação da realidade e na estruturação de um modelo,
com o objetivo de chegar a uma compreensão dessa realidade, naquele dado
momento e naquele dado contexto.
Os trabalhos de Burak mostram como a visão de modelagem vai se
distanciando das ciências naturais e vai caminhando junto às ciências humanas,
abrindo brechas para sua utilização em sala de aula, sem ter inicialmente uma
preocupação com conteúdos matemáticos.
As concepções existentes nas escolas, sobre Modelagem Matemática, é
assunto de uma pesquisa realizada por Klüber e Burak (2008), que concluem que
existe uma influência epistemológica presente na escola, nas aulas de Matemática,
que fica evidente nos currículos escolares, nas apresentações dos programas
didáticos, nos livros didáticos e sob as formas de avaliação ainda muito utilizadas na
atualidade. Concluíram isso, pelas “falas” dos alunos, que se referiram ao caráter
mítico e até mesmo místico da Matemática.
Kluber e Burak (2008) colhem, nessa pesquisa, alguns depoimentos que
reforçam a afirmação de que os conteúdos matemáticos estão acima da
compreensão dos alunos: “Pois se o professor fica só lá na frente explicando no
quadro, acaba se tornando uma rotina irritante e chata, e a matemática tem várias
maneiras de se aprender.”, e “o ensino é um pouco fraco e a vontade de aprender as
vezes fica um pouco monótono ouvir o professor.” (SIC).
32
Provavelmente, a maioria dos professores que ministram Matemática adquiriu
em sua formação parte das influências epistemológicas de um ensino por repetição
e por reprodução. Ensino em que o professor é a peça principal e os alunos são
inseridos passivamente no processo, apenas como ouvintes. Burak (1992)
acrescenta dois princípios básicos à sua concepção de modelagem matemática: 1) o
interesse do grupo; e 2) a obtenção de informações e dados do ambiente, se
encontra o interesse do grupo. O que o motivou a colocar três questionamentos
principais, que envolvem o ambiente de sala de aula: (1º) Como os alunos veem a
Matemática?; (2º) Como os alunos se veem perante a Matemática? ; (3º) Como os
alunos interpretaram o trabalho com a Modelagem Matemática?
Com relação ao (1º), os alunos argumentaram que a disciplina é a mais
importante e que está presente em praticamente todas as demais. Os depoimentos
também evidenciaram o caráter mítico e místico conferido à Matemática, o que
causa um distanciamento da Matemática da vida cotidiana, como se ela não fizesse
parte do mundo humano.
Com relação ao (2º) questionamento, vários depoimentos indicam o desgosto
dos alunos e a atribuição de culpa à dificuldade de aprendizagem da Matemática e
vários deles acreditam que os problemas de aprendizagem são deles mesmos.
Interpretamos que as dificuldades de aprendizagem e de interesse são rejeições
advindas de diversos traumas.
Em relação ao (3º) questionamento “Como os alunos interpretaram o trabalho
com a Modelagem Matemática?”, os depoimentos revelaram que os alunos estão
condicionados à estrutura educacional vigente, o que é ‘natural’ depois de tantos
anos de vida em âmbito escolar. Quando se discutia quais eram seus interesses de
pesquisa e eles eram orientados para a pesquisa exploratória, os alunos entendiam
que isso seria “matar” aula, quando na verdade a principal ideia era, a partir dos
seus interesses, incentivá-los à autonomia. Consideramos que essa visão dos
alunos prejudica o trabalho cooperativo e em grupo, pois este se torna difícil quando
os participantes não têm clareza do seu papel de ser ativo ou passivo no processo.
Para o ensino de Matemática, Biembengut (1999, p. 36) explicita que a
modelagem pode ser “um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos
33
matemáticos que ele ainda não conhece, e ao mesmo tempo se aprende a arte de
modelar, matematicamente”. Mas, no viés assumido pela própria autora, o professor
já “sabe” onde tem de chegar. Assim, não se geram muitos desafios, nem para ele,
nem para os alunos, já que o docente sabe de antemão quais serão os conteúdos
matemáticos a serem ministrados.
A ideia de modelagem matemática como estratégia de ensino defendida por
Bassanezi (2004) é a de que os alunos devem agrupar-se e escolher um
tema/assunto de acordo com interesses e afinidades e, a seguir, sob a orientação do
professor, cada grupo elabora questões sobre o tema/assunto, coleta dados para a
pesquisa e então formula um modelo matemático. O professor só ensina os
conteúdos matemáticos que emergirem e no momento em que é necessário.
Segundo Bassanezi (1994a) e Blum e Niss (1991), podem-se destacar cinco
argumentos para o uso de Modelagem no currículo: o formativo, que desenvolve
habilidades gerais de exploração, de criatividade e de resolução de problemas; o da
competência crítica, que habilita os alunos a reconhecer, compreender, analisar e
avaliar exemplos de uso da Matemática na sociedade; o da utilidade, que prepara os
alunos para utilizar a Matemática em diferentes áreas; o intrínseco, que permite aos
alunos perceber uma das facetas da Matemática; o da aprendizagem, que promove
a motivação e a relevância do envolvimento e da aprendizagem dos alunos nas
tarefas escolares de Matemática.
Barbosa (2001) concebe a Modelagem Matemática como uma oportunidade
para os alunos investigarem diferentes situações por intermédio da Matemática, sem
procedimentos fixados previamente e os conceitos e as ideias matemáticas surgem
de acordo com o desenvolvimento das atividades, que devem focar situações da
realidade e não situações fictícias. Segundo ele, nem Matemática nem Modelagem
são “fins”, mas sim “meios” para questionar a realidade vivida e os alunos são
convidados a utilizar seu conhecimento e suas experiências para chegar à
formulação de um modelo. Com isso, a Modelagem Matemática traz o potencial de
gerar algum nível de crítica, por meio das discussões produzidas no
desenvolvimento das atividades e que ele classifica em três tipos.
34
Discussões matemáticas: referem-se aos conceitos e às ideias
integralmente pertencentes à disciplina matemática.
Discussões técnicas: referem-se ao processo de matematização da
situação em estudo.
Discussões reflexivas: referem-se à conexão entre os pressupostos
utilizados na construção do modelo matemático e os resultados, bem como à
utilização desses últimos na sociedade.
Ele aponta que essas discussões são produzidas a partir da heterogeneidade
de vozes no ambiente de Modelagem Matemática, algumas mais ou menos
privilegiadas. Do ponto de vista dos objetivos didáticos, diferentes propósitos para a
Modelagem Matemática privilegiam diferentes tipos de discussão, sintetizados na
tabela1.
PROPÓSITO DA MODELAGEM TIPOS DE DISCUSSÃO PRIVILEGIADAS
Desenvolver conceitos/ideias
matemáticas MATEMÁTICAS
Desenvolver habilidades de
resolução de problemas
matemáticos aplicados
TÉCNICAS
Analisar a natureza dos modelos
matemáticos REFLEXIVAS
Tabela 1. Relação entre os propósitos de Modelagem e o tipo de discussão privilegiada. (BARBOSA,
SANTOS, 2007 apud Barbosa 2009)
Em 2009, Barbosa assinala a possibilidade de surgimento de um quarto tipo
de discussão, as Discussões Paralelas, que não têm relação clara com a produção
35
do modelo matemático em questão e podem remeter os alunos à reflexão sobre
aspectos da vida em sociedade.
Figura 3. Esboço de um framework3 para a prática dos alunos no ambiente de Modelagem
Matemática (BARBOSA, 2009)
No cenário internacional da Modelagem Matemática, citamos os trabalhos de
Kaiser e Sriraman (2006), que tiveram um importante papel na promoção de um
debate internacional. Estes pesquisadores apresentam várias perspectivas, no
âmbito da discussão sobre Modelagem Matemática, de acordo com seus objetivos
centrais.
1) Perspectiva Realística: com objetivos pragmáticos, como resolver problemas
reais, compreender o mundo real e promover competências de modelização.
2) Perspectiva Contextual: com objetivos psicológicos e relacionados a um
conteúdo, como resolver problemas escritos em língua materna.
3) Perspectiva Educacional: com objetivos pedagógicos e relacionados a um
conteúdo, como estruturar processos de aprendizagem e aplicá-los ou
introduzir e desenvolver conceitos.
3 Barbosa (2009) entende como framework um conjunto de conceitos relacionados que explicam um determinado fenômeno. Uma tradução possível “quadro teórico”.
Prática de Modelagem Matemática
Espaço de Integração
Rotas de Modelagem Discussões Paralelas
Discussões matemáticas
Discussões técnicas
Discussões reflexivas
36
4) Perspectiva Sócio-crítica: com objetivos pedagógicos, como compreender
criticamente o mundo em que se vive.
5) Perspectiva Epistemológica: com objetivos orientados para a teoria, como
promover teorias de desenvolvimento da própria Modelagem Matemática.
Estas diferentes perspectivas classificam a Modelagem Matemática de
acordo com os objetivos a que se propõe.
Dessas leituras, decidimos utilizar, em nossa pesquisa, a Modelagem
Matemática segundo Barbosa (2001, 2009) na perspectiva Sócio-critica, pois
consideramos ser a que melhor se adapta a uma atividade didática em sala de aula
da Educação Básica (no nosso caso, Ensino Médio), com vistas à formação de um
cidadão preparado para ser inserido na vida social e profissional, com uma visão
critica do mundo que o cerca. Em razão destas escolhas, a Modelagem Matemática
segundo Barbosa (2001, 2009), na perspectiva Sócio-crítica, será melhor descrito no
capítulo 3, “Fundamentação teórica e metodológica”.
Como acreditamos que a Modelagem Matemática prestigia situações na
aprendizagem que estejam centradas na construção de significados, na elaboração
de estratégias e na resolução de problemas, também fomos buscar respaldo para
sua utilização nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino
Médio (PCNEM, 1998). Destacamos uma observação, que julgamos importante.
O estimulo à capacidade de ouvir, discutir, escrever, ler idéias matemáticas, interpretar significados, pensar de forma criativa, desenvolver o pensamento indutivo/dedutivo, é o caminho que vai possibilitar a ampliação da capacidade para abstrair elementos comuns a varias situações, para fazer conjecturas, generalizações e deduções simples, como também para o aprimoramento de representações, ao mesmo tempo em que permitirá aos alunos irem se conscientizando da importância de comunicar suas idéias com concisão. (Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Médio, 1998, p.63).
Os PCNEM (1998) destacam ainda que, na relação entre o professor que
ensina Matemática e o aluno, o primeiro atua como mediador e esta atuação deve
apresentar as seguintes características:
37
I. Ser o organizador da aprendizagem. Conhecedor da realidade, selecionará as situações-problema que possibilitem a construção de conceitos e procedimentos, além de estimular os processos próprios de resolução que surgirem dos alunos. Além de estabelecer as condições em que as atividades se realizarão, devera fixar os prazos para isso, considerando o ritmo de cada aluno.
II. Ser o facilitador nesse processo. Não é mais o expositor de conteúdos, mas sim aquele que fornece as informações necessárias para o que o aluno não consegue obter sozinho.
III. Considerar o aluno como protagonista da construção da sua aprendizagem.
IV. Atuar na promoção da análise das respostas dos alunos e sua comparação, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para expor sua solução, questionar, contestar, etc.
V. Ser um incentivador da aprendizagem, estimulando a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação professor-aluno.
VI. Atuar como avaliador do processo. Procurar identificar e interpretar, mediante observações, diálogos e instrumentos apropriados, sinais e indícios das competências desenvolvidas pelos alunos, reorganizando o processo, quando necessário.
VII. Buscar a interação entre professor-aluno e aluno-aluno, o que é fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitiva, afetiva e de inserção social.
Ao trabalhar coletivamente, favorece aos alunos o desenvolvimento de capacidades como:
- cooperação; - consenso na busca de soluções para uma atividade proposta; - explicitar o próprio pensamento e procurar compreender o do outro; - discutir as dúvidas, aceitando as soluções dos outros e buscar suas próprias
soluções; - incorporar soluções alternativas, reestruturando e ampliando a compreensão
acerca dos conceitos envolvidos e, desse modo, aprender.
Essas aprendizagens somente serão possíveis, quando o professor proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o aluno a aceitar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar idéias. (Adaptado pelo autor, dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática para o Ensino Médio, 1998).
Portanto, julgamos que a Modelagem Matemática, da forma proposta por
Barbosa (2001, 2006), na perspectiva Sócio-crítica, é uma abordagem de ensino que
atende essas recomendações e pode propiciar uma atmosfera na qual ocorram
ambos os processos, de ensino e de aprendizagem de Matemática, particularmente
nas aulas de Álgebra.
Neste capitulo, apresentamos nossa revisão de literatura, com o intuito de
situar nossa pesquisa na área da Educação Matemática, mais precisamente na linha
de Educação Algébrica, justificando nossas escolhas e a própria pesquisa.
38
CAPÍTULO 3
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA E
METODOLÓGICA
39
3.1 Introdução
Como já observamos anteriormente, nossa pesquisa tem caráter interventivo,
é realizada na linha Educação Algébrica, com os Multisignificados de Equação
(RIBEIRO, 2007), com o objetivo de analisar quais são as contribuições que uma
abordagem com os Multisignificados de Equação, num ambiente de Modelagem
Matemática (BARBOSA, 2001, 2009), pode trazer para a construção e/ou ampliação
do conhecimento equação e será desenvolvida junto a alunos do Ensino Médio, num
ambiente de Modelagem Matemática.
Assim, neste capitulo, apresentamos a fundamentação teórica e metodológica
que pretendemos utilizar em nossa pesquisa, quais sejam, os Multisignificados de
Equação (RIBEIRO, 2007) e a Modelagem Matemática (BARBOSA, 2001, 2009) na
perspectiva sócio-crítica.
3.2 Multisignificados de Equação
Neste parágrafo, apresentamos os Multisignificados de Equação (RIBEIRO,
2007), que foram o ponto de partida para a elaboração das questões de nossa
atividade de intervenção.
Os processos de ensino e de aprendizagem de equação são, atualmente,
objetos de pesquisa da área Educação Matemática (ver capítulo 2, Revisão de
literatura), dentro da qual idealizamos a nossa, a partir dos resultados da tese de
Doutorado em Educação Matemática de Ribeiro (2007), sob o título “Equação e seus
multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo
epistemológico”.
Ribeiro (2007), considerando, por um lado, a noção de equação como objeto
de estudo – como aparece ao longo da História da Matemática – e, por outro, a
noção de equação como um conjunto de regras e técnicas – como aparece em livros
didáticos e artigos científicos - concebeu o que chamou de multisignificados de
equação.
Este pesquisador percebeu que diferentes povos, com diferentes culturas,
entendiam e tratavam equação de formas diferentes. Os babilônios e os egípcios
40
concebiam-nas a partir de problemas do dia a dia, de ordem prática. Como não
existia uma linguagem simbólica, nem métodos algébricos, esses povos tratavam as
equações de um ponto de vista aritmético. Os gregos, por sua vez, concebiam-nas a
partir de situações geométricas, que eram tratadas de um ponto de vista geométrico.
Os árabes e os hindus concebiam-nas a partir de sua estrutura, procurando resolvê-
las do ponto de vista algébrico.
Além desse estudo epistemológico, Ribeiro (2007) desenvolveu um estudo
didático, pois investigou também como as equações aparecem em livros didáticos de
Matemática e em dicionários de Matemática. Com isso, pôde perceber outras
formas, diferentes daquelas observadas em seu estudo epistemológico, de conceber
e tratar as equações.
A partir desses dois estudos, o epistemológico e o didático, Ribeiro (2007)
concebeu seis diferentes significados de equação, que denominou Multisignificados
de Equação e que buscam contemplar, de forma sistêmica, os diversos significados
apresentados pelos mais diferentes povos ao longo da história. São eles (RIBEIRO,
2008, pp. 123-127)
Intuitivo-Pragmático: por esse significado a noção de equação é concebida como uma noção intuitiva, ligada à idéia de igualdade entre duas quantidades. Sua utilização está relacionada à resolução de problemas de ordem prática, os quais são originários de situações do dia-a-dia. Exemplo: como os Babilônios e Egípcios concebiam a noção de equação, relacionando-a a problemas de origem prática envolvendo questões da agricultura.
Dedutivo-Geométrico: por esse significado a noção de equação é concebida como uma noção ligada às figuras geométricas, aos segmentos. Sua utilização está relacionada à situações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medida de lados de figuras geométricas, com intersecções de curvas. Exemplo: como os Gregos concebiam a noção de equação, relacionando-a com situações envolvendo área de figuras ou proporções e medidas de segmentos.
Estrutural-Generalista: por esse significado a noção de equação é concebida como uma noção estrutural definida e com propriedades e características próprias. A equação aqui é considerada por si própria, operando-se sobre ela mesma na busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza. Exemplo: como os Árabes concebiam a noção de equação, procurando soluções gerais para a equação de 2º grau.
Estrutural-Conjuntista: dentro dessa visão, a noção de equação é concebida dentro de uma perspectiva estrutural, que está diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma
41
ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos. Exemplo: como Bourbaki concebia a noção de equação, relacionando-a com situações que envolvem diretamente a noção de conjunto e/ou funções.
Processual-Tecnicista: concebe equação como a sua própria resolução – como os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático sobre o qual as operações e manipulações que são realizadas atendem à regras bem definidas. Exemplo: como aparece em resultados de pesquisa, onde se constata que a noção de equação é vista somente como um processo, um algoritmo.
Axiomático-Postulacional: concebe equação como uma noção da Matemática que não precisa ser definida, uma idéia a partir da qual outras ideias, matemáticas e não matemáticas são construídas. Por essa concepção, a noção de equação é utilizada no mesmo sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.
Para cada um deles, apresentamos um exemplo simples, que pode ser
considerado como um representante do multisignificado, se olharmos a forma como
pode ser resolvida a equação correspondente, numa tentativa de ilustrar as
definições dadas.
Exemplo Intuitivo-Pragmático: um pai possui uma propriedade com 1500 m2 e
tem 6 filhos. Quanto caberia para cada filho, em m2, uma partilha homogênea dessa
propriedade?
Exemplo Dedutivo-Geométrico: um pai possui uma propriedade com 1500 m2,
dividiu-a entre seus 6 filhos e cada um ficou com um terreno de 10mx25m. Um deles
quer construir uma casa com 200 m2 bem no centro do terreno. Qual a distância
entre as paredes da casa e os muros do terreno?
Exemplo Estrutural-Generalista: perceber que, para resolver uma equação do
segundo grau do tipo , basta procurar dois números cujo produto
é n e a soma –m.
Exemplo Estrutural-Conjuntista: perceber que, para calcular o imposto de
renda na fonte, podemos relacionar o conjunto dos rendimentos líquidos com o
conjunto de alíquotas de retenção na fonte e os descontos respectivos para chegar a
uma equação (ver tabela no apêndice A)
42
Exemplo Processual-Tecnicista: associar a equação
imediatamente com e não perceber que poderia achar as
soluções sem desenvolver os parênteses.
Exemplo Axiomático-Postulacional: não temos exemplos, porque a noção de
equação, neste multisignificado, é primitiva e não tem uma definição.
Os Multisignificados de Equação serviram de base para as questões que
propusemos em nossa intervenção e também para a análise dos protocolos dos
alunos.
3.3 Perspectiva Sócio-crítica de Modelagem Matemática
A escolha pela Modelagem Matemática, como ambiente de aprendizagem
para o desenvolvimento de nossas atividades, deu-se pela “característica aberta”
que tal abordagem pode propiciar. O aluno pode se sentir à vontade para expor suas
idéias e, conseqüentemente, suas concepções, colocando em prática, durante o
desenvolvimento das atividades, argumentos e ferramentas, o que, esperávamos,
deveria contribuir com a construção do conhecimento equação.
Por tais razões, acreditamos que a Modelagem Matemática proposta por
Barbosa (2001), é uma abordagem de ensino que combina com o objetivo de nossa
pesquisa e com os Multisignificados de Equação, pois dá oportunidade ao aluno de
explorar aspectos que envolvem o lado intuitivo, criativo e crítico, na construção do
conhecimento matemático.
Barbosa (2001) traz aspectos e características de muita relevância para o
desenvolvimento do ambiente de aprendizagem com Modelagem Matemática, no
qual professor e aluno ficam à vontade em relação ao desenvolvimento dos
conteúdos de Matemática, sem que o aluno se sinta pressionado a ter uma visão
tecnicista, em virtude de querer chegar a um resultado final pré-determinado,
contrapondo o modelo de ensino tradicional. Conseqüentemente, a absorção daquilo
que ele deve compreender e assimilar fica mais fácil. Em particular, na perspectiva
sócio-crítica (BARBOSA, 2001), o aluno fica livre não somente para ouvir e acatar
aquilo que é colocado pelo professor, mas também é incentivado a argumentar,
43
socializar e criticar, condições importantes se queremos formar cidadãos sócio-
críticos.
A organização e a formulação das atividades para o ambiente de Modelagem
Matemática, segundo Barbosa (2001), dependem das possibilidades do contexto
escolar, da experiência do professor, dos interesses dos alunos e de outros fatores.
De acordo com essas características, cada forma escolhida pode ser vista em
termos de casos que, tomando em conta as experiências relatadas na literatura,
Barbosa (2001) classificou em três casos principais.
• Caso 1. O professor apresenta a descrição de uma “situação-problema”, com
as informações necessárias à sua resolução e o problema formulado,
cabendo aos alunos o processo de resolução. No caso 1, o professor fica
encarregado da elaboração da situação problema, da simplificação e dos
dados, sejam qualitativos e/ou quantitativos e a resolução da situação é
concluída em parceria com o aluno.
• Caso 2. O professor traz para a sala um problema de outra área da realidade
e os ficam encarregados da coleta das informações necessárias à resolução
do problema proposto.
• Caso 3. A partir de temas não-matemáticos, os alunos formulam os
problemas e os resolvem. Também são responsáveis pela coleta de
informações e pela simplificação das situações propostas.
44
Tabela 2. O aluno e o professor nos casos de Modelagem. (BARBOSA, 2001, p.40)
Nossa pesquisa tem objetivo pedagógico, pois queremos analisar quais são as
contribuições que uma abordagem com os Multisignificados de Equação pode trazer
para a construção e/ou ampliação do conhecimento equação. Por outro lado,
elaboramos atividades com problemas e situações correntes da realidade de nossa
sociedade, que serão resolvidas em duplas, num ambiente de Modelagem
Matemática que propicie a discussão, a troca de informações e uma compreensão
crítica do mundo em que se vive. Assim, escolhemos trabalhar com o caso 1, numa
perspectiva Sócio-critica, pois queremos “focar” as discussões e resoluções das
atividades de forma a conseguir responder duas de nossas questoes de pesquisa:
“Como os alunos concebem a noção de equação?”, “Quais significados eles
atribuem à noção de equação?”.
Com todos essas colocações, acreditamos que fica justificado o emprego da
Modelagem Matemática defendida por Barbosa (2001), na perspectiva Sócio-crítica,
como a abordagem de ensino escolhida para a aplicação das atividades de nossa
pesquisa interventiva.
45
3.4 Metodologias e Procedimentos Metodológicos 3.4.1 Nossa Pesquisa
Nesta secção, indicamos e justificamos nossa opção por utilizar a
metodologia de pesquisa Qualitativa Experimental. Iniciamos definindo Metodologia
de pesquisa, para posteriormente definir também metodologia de pesquisa com
análise qualitativa dos dados.
É preciso esclarecer que metodologia é entendida aqui como o conhecimento
crítico dos caminhos do processo científico, indagando e questionando acerca de
seus limites e possibilidades (Demo, 1989).
A pesquisa com análise qualitativa dos dados evita números e lida com
interpretações das realidades sociais e pode ser caracterizada como uma
tentativa de compreender, em detalhes, os significados e as características
apresentados pelos sujeitos da pesquisa. A pesquisa com análise quantitativa
dos dados é aquela que mede quantitativamente esses significados e
características, mas antes dessa quantificação tem que haver uma categorização
do mundo social, pois as atividades sociais devem ser distinguidas, antes que
qualquer frequência ou percentual possa ser atribuído a essas distinções.
Entendemos ainda que a pesquisa com análise qualitativa dos dados é vista
como uma maneira de dar poder ou voz às pessoas, em vez de tratá-las como
objetos, cujo comportamento deve ser quantificado e estatisticamente modelado.
Segundo Filstead (1979)
Métodos quantitativos e qualitativos são mais que apenas diferenças entre
estratégias de pesquisa e procedimentos de coleta de dados. Esses enfoques
representam, fundamentalmente, diferentes referenciais epistemológicos para
teorizar a natureza do conhecimento, a realidade social e os procedimentos para
se compreender esses fenômenos (FILSTEAD, 1979, p. 45).
Assim, para nossa pesquisa, optamos por utilizar a metodologia qualitativa
experimental, que nos permite trabalhar as nossas idéias, no sentido de formular
nossas perguntas, respeitando as experiências que os sujeitos de pesquisa nos
trazem e funcionando como condutor que nos leva a alcançar nossos resultados,
permitindo uma reflexão, para que até mesmo surjam novos questionamentos que
46
servirão para alcançar uma contribuição ainda maior, no que diz respeito aos
objetivos a serem alcançados na pesquisa.
3.4.2 Procedimentos
Nesta secção, vamos relatar como foram as escolhas feitas, no que diz
respeito ao local e aos sujeitos de pesquisa e também como ocorreu a aplicação da
pesquisa, desde o seu início.
Do ponto de vista metodológico, desenvolvemos uma pesquisa de caráter
qualitativo experimental, que produziu protocolos escritos e material áudio-gravado.
Nosso foco é o trabalho com alunos do Ensino Médio e a escolha pela escola
que foi utilizada em nossa coleta de dados deveu-se a alguns fatores.
Primeiramente, pelo perfil geográfico e social no qual essa escola se insere, uma
região da periferia da cidade de São Paulo, em um bairro constituído em maior parte
por favelas, trazendo consequentemente uma grande quantidade de alunos que
habitam essas favelas, o que atende ao esperado na perspectiva Sócio-crítica
(BARBOSA, 2001), no sentido da contextualização das atividades que foram criadas
e da necessidade de formar cidadãos críticos, capazes de analisar e criticar o mundo
em que vivem, em busca de melhores condições de vida. Em segundo lugar, porque
trabalhamos nessa escola durante dois anos, como professor de Matemática para as
séries do Ensino Médio e o perfil tanto da escola como dos alunos me deixou seguro
quanto à questão do comprometimento com a execução da totalidade das Atividades
que seriam conduzidas por mim.
Para iniciar o processo de coleta de dados, procuramos a diretora da escola e
explicamos a ela quais eram as nossas intenções e pretensões, relativas a este
projeto de trabalho. De posse do consentimento da direção da escola, passamos
para a próxima etapa da coleta de dados, que foi a escolha dos alunos que iriam
participar das sessões de intervenção. A opção por alunos do 2º ano do Ensino
Médio se deu por se tratarem de alunos mais amadurecidos e, assim, mais
comprometidos e de maior discernimento ao assumir a responsabilidade de
participar de nossa pesquisa. Outro motivo para a opção por alunos do segundo ano
47
é que, por estarem numa faixa etária mais elevada, já existe uma preocupação maior
no que diz respeito às posturas assumidas na convivência em sociedade.
Procuramos a professora de Matemática e pedimos que ela que nos ajudasse
a escolher doze alunos, dentre as cinco salas de 2º ano do Ensino Médio do período
da manhã, naquela escola. A professora de Língua Portuguesa dessas turmas
também nos ajudou nessa decisão, cujo único critério para a escolha era o de
alunos mais comprometidos com os assuntos relacionados à educação e de maior
responsabilidade para assumir a tarefa.
Escolhidos os alunos, procuramos a vice-diretora para acertar os detalhes,
como dias possíveis, horários e um espaço que pudéssemos utilizar para as sessões
da pesquisa. Assim, iniciamos nossa intervenção com dez dos doze alunos. Falamos
a eles sobre nosso trabalho, a importância dele para a Educação Matemática em
geral e perguntamos se gostariam de participar. Todos os alunos consultados
aceitaram o convite e levaram o termo de compromisso, o qual foi devolvido
devidamente assinado pelo responsável.
Diante das respostas afirmativas, demos início à primeira das quatro sessões
programadas para a coleta de dados, cada sessão com previsão inicial de cem
minutos. Esta primeira sessão ocorreu conforme o planejado e teve um bom
rendimento, pois os alunos conseguiram trabalhar os itens A, B e C da Atividade 1.
Como fato negativo, a sala do laboratório de química, que estávamos utilizando, era
bem ao lado da quadra esportiva da escola e durante todo o período da manhã
ocorrem aulas de Educação Física, o que acarretou um de excesso de barulho
constante, advindo da quadra.
No dia seguinte, conseguimos realizar a Sessão 2; porém, além do barulho
proveniente da quadra, só compareceram sete dos alunos e conseguimos finalizar o
item D, último da Atividade 1. Diante da insistência dos alunos, aproveitamos para
mostrar uma estratégia de resolução para o item A da Atividade 1 e, em seguida,
distribuímos o texto da Atividade 2 e fizemos uma leitura desse texto até o final da
sessão.
Nas Sessões 3 e 4, as coisas não ocorreram tão bem como nas duas
primeiras. Devido a um período de provas, tivemos que encurtar o tempo de
48
realização da Sessão 3 e participaram desta sessão oito alunos. Mesmo com o
tempo mais curto, conseguimos trabalhar com os alunos os itens A e B da Atividade
2.
Para a Sessão 4, última realizada, os problemas já foram mais complicados.
Devido a trabalhos, feriados e avaliações finais que envolviam a vida escolar desses
alunos, só pudemos marcar a Sessão 4 para quinze dias depois da aplicação da
Sessão 3.
Ao longo das quatro sessões realizadas, pudemos observar momentos
distintos de discussão, nos quais os alunos trocaram informações, não somente com
os membros do próprio grupo, como também interagiram com os demais grupos, em
momentos oportunos. Nossa avaliação é que essas interações só ocorreram porque
foram propiciadas pelo ambiente de aprendizagem ter sido o de Modelagem
Matemática (BARBOSA, 2001), na perspectiva Sócio-Crítica.
Vamos agora descrever como conduzimos as sessões realizadas. Ao iniciar
as atividades, distribuímos uma folha para cada grupo de alunos, contendo a
problemática da atividade e demos um tempo para que os alunos lessem o
problema. Em seguida, lemos em voz alta para os alunos o problema proposto no
item A da Atividade 1 e solicitamos que cada grupo começasse a discutir e a
elaborar a resolução deste primeiro item.
Durante o desenvolvimento das discussões e das resoluções das atividades,
fui circulando pelos grupos e discutindo as ideias e as estratégias colocadas pelos
alunos. À medida que todos os grupos terminavam a resolução de um item, como
interventores, sugeríamos que começassem uma explanação grupo a grupo de
quais conclusões e observações cada grupo teve, compartilhando assim as próprias
ideias com os demais colegas.
Ao final do item D da Atividade 1 e após ter recolhido todos os protocolos de
resolução, atendendo a pedidos dos alunos, mostramos na lousa uma possível
estratégia de resolução para o item A.
Nossa ideia inicial era propor duas atividades, cada uma contendo quatro
itens, que seriam trabalhados em quatro sessões de cem minutos; porém, conforme
49
já relatamos, tivemos alguns contratempos, que dificultaram nosso cronograma
inicial e o que realmente ocorreu foi:
Sessão 1 – Trabalhamos Atividade 1, itens A, B e C.
Sessão 2 – Trabalhamos Atividade 1, item D.
Sessão 3 – Trabalhamos Atividade 2, itens A e B.
Sessão 4 – Trabalhamos Atividade 2, itens C e D.
Neste capítulo, descrevemos e justificamos as nossas escolhas da escola,
dos alunos e como foi a aplicação das atividades, para dar uma idéia de como foi
nossa coleta de dados. Definimos também o que consideramos uma pesquisa com
análise qualitativa de dados, que escolhemos para realizar a análise dos dados.
50
CAPÍTULO 4
AS ATIVIDADES
51
4.1 Introdução
No capítulo anterior, descrevemos as fundamentações de nossa pesquisa
interventiva, justificando a escolha teórica pelo Multisignificados de Equação
(RIBEIRO, 2007) e a metodológica pela Modelagem Matemática na perspectiva
Sócio-crítica (BARBOSA, 2001), como abordagem de ensino e pela pesquisa
Qualitativa Experimental, para a análise dos dados. Também explicitamos nossos
procedimentos metodológicos, com uma justificativa pela escolha da Escola e dos
alunos, incluindo uma breve descrição de como foram as sessões interventivas que
realizamos.
4.2 Análises Preliminares das Atividades Desenvolvidas
Foram utilizadas duas atividades na coleta de nossos dados e, neste
parágrafo, apresentamos as principais características de cada uma delas, tais como
objetivos, justificativas, referencial téorico e algumas possíveis estratégias de
resolução, procurando relacionar tanto os itens de cada uma das atividades entre si,
como em relação ao instrumento de coleta de dados como um todo.
Atividade 1
Esta primeira atividade tem como objetivo contemplar os Multisignificados de
Equação (RIBEIRO, 2007), utilizando como ambiente de aprendizagem a
Modelagem Matemática, na perspectiva Sócio-crítica (BARBOSA, 2001), pois
queremos verificar que estratégias os alunos utilizam para perceber quando um
plano é mais vantajoso do que o outro, em situações específicas.
Plano de Telefonia
Nos últimos anos houve uma popularização das linhas telefônicas
residenciais. Isto foi possível graças à expansão do mercado, o que acabou gerando
uma forte concorrência entre as diferentes operadoras.
O valor a ser pago em uma determinada conta telefônica é calculado
considerando-se os minutos (tempo) utilizado, mais o valor fixo da franquia escolhida
52
pelo cliente. Na tabela abaixo são apresentados quatro planos de telefonia
residencial
Plano Mensalidade Horário Normal – minuto
excedente
Franquia Linha Clássica Linha Clássica
250 47,62 0,20457
350 58,17 0,19321
450 68,55 0,18184
550 79,37 0,18184
Fonte: http://www.telefonica.com.br/portal/site/on/menuitem
a) Uma família fez uma expectativa de gastar 390 minutos por mês. Neste caso
qual é o plano mais vantajoso para eles? Justifique sua resposta.
b) Após algum tempo utilizando o serviço telefônico esta família percebeu que
estava consumindo, em média 490 minutos. Ainda é vantagem para esta
família permanecer com o plano do item anterior? Justifique sua resposta
(Procure utilizar uma estratégia diferente daquela que você utilizou na item a)
c) Você deve ter percebido que à medida que o consumo aumentou um plano
passa a ser mais vantajoso que o anterior. Imagine então, que esta mesma
família está pensando em contratar o último plano, a partir do próximo mês.
Quanto deve ser o consumo dessa família para que este plano se torne mais
vantajoso? Justifique sua resposta.
53
d) Através deste gráfico, mostre a partir de quantos minutos um plano é mais
vantajoso que o outro.
Para o item A da atividade 1
a) Uma família fez uma expectativa de gastar 390 minutos por mês. Neste caso
qual é o plano mais vantajoso para eles? Justifique sua resposta.
Os alunos poderão identificar, dentre os planos, algumas características
envolvendo relações entre dois ou mais conjuntos de dados, como por exemplo:
conjunto de valores monetários; conjuntos de minutos envolvendo franquias.
54
Traduzido em uma forma de linguagem que represente uma comparação entre
possíveis valores oriundos destes conjuntos, como por exemplo, uma expressão do
tipo:
X = Y , ou
Franquia = Minutos gastos
Desta forma, espera-se que os alunos percebam e consigam estabelecer
relações entre conjuntos, caracterizando o surgimento do Significado
ESTRUTURAL-CONJUNTISTA.
Outra possível estratégia de resolução é a ideia de estabelecer uma
generalização dos dados apresentados, levando à formulação de uma lei de
generalização, explicitada por uma expressão algébrica do tipo:
F (x) = a.(x – k) + b , onde
x = Minutos gastos
a = Valor dos minutos excedentes
k = Minutos da franquia
b = Valor da franquia
Caso surja algo desta forma, poderemos identificar o surgimento do
Significado ESTRUTURAL GENERALISTA.
Outro Significado que acreditamos que poderá aparecer, dentre as estratégias
de resolução para este item, é o INTUITIVO-PRAGMÁTICO. Neste, os alunos
55
tentam por métodos aritméticos encontrar a resposta para a atividade, utilizando
conhecimentos previamente adquiridos, em relação a cálculos aritméticos.
Pensando agora no questionamento do item B da Atividade 1
b) Após algum tempo utilizando o serviço telefônico esta família percebeu que
estava consumindo, em média 490 minutos. Ainda é vantagem para esta família
permanecer com o plano do item anterior? Justifique sua resposta (Procure
utilizar uma estratégia diferente daquela que você utilizou).
Para este item, imaginamos que os alunos irão, de imediato, utilizar a mesma
estratégia do item A, na intenção de chegar rapidamente a uma resposta para este
item B. Logo após se certificarem da resposta, irão aí sim se preocupar em encontrar
uma nova estratégia ou, quem sabe, justificar o porquê de não utilizarem uma outra
estratégia Matemática.
Como os itens A e B foram elaborados por nós em conjunto, prevemos que
possam surgir, como significados esperados, os mesmos mencionados no item A, ou
seja: ESTRUTURAL-CONJUNTISTA, ESTRUTURAL-GENERALISTA e INTUITIVO-
PRAGMÁTICO.
Atividade 1, item C
c) Você deve ter percebido que à medida que o consumo aumentou um plano
passa a ser mais vantajoso que o anterior. Imagine então, que esta mesma
família está pensando em contratar o último plano, a partir do próximo mês.
Quanto deve ser o consumo dessa família para que este plano se torne mais
vantajoso? Justifique sua resposta.
Como estratégia de resolução, acreditamos que os alunos possam chegar à
conclusão que uma estratégia possível é a da construção de um gráfico que
represente o comportamento de cada plano para que, por meio deste, o aluno
consiga perceber a partir de qual momento o último plano passa a ser mais
vantajoso. É importante salientar que o item D, traz o gráfico já construído, no
56
sentido de verificar se estes alunos conseguem efetuar uma leitura do que esta
ocorrendo com os respectivos planos, conseguindo desta forma, equacionar o
problema. Portanto esperamos que no item C e D, emerja o Significado DEDUTIVO-
GEOMÉTRICO.
Outra estratégia que poderá ser utilizada para o item C é a construção de uma
lei de formação, utilizando os dados do enunciado para, por intermédio de
Inequações, fazer uma comparação plano a plano e decidir em qual momento o
último plano passa a ser mais vantajoso.
Imaginando que os alunos possam utilizar pelo menos uma dessas
estratégias de resolução, o que poderá emergir é o Significado DEDUTIVO-
GEOMÉTRICO ou o Significado ESTRUTURAL-GENERALISTA.
Elaboramos o item D desta primeira atividade pensando em complementar o
item C. Trouxemos o gráfico já construído e solicitamos ao aluno a interpretação do
mesmo:
d) Através deste gráfico, mostre a partir de quantos minutos um plano é mais
vantajoso que o outro.
57
Esperamos que este item da atividade leve ao aparecimento do Significado
DEDUTIVO-GEOMÉTRICO, pois o aluno utilizará argumentos geométricos para
justificar em que momento um plano é mais vantajoso que outro.
Atividade 2
Esta segunda atividade tem como objetivo, assim como a Atividade 1,
contemplar os Multisignificados de Equação (RIBEIRO, 2007) na perspectiva Sócio-
crítica (BARBOSA, 2001), como ambiente de aprendizagem, pois acreditamos que o
assunto abordado nesta atividade prestigia não só o que diz respeito ao aprendizado
de conteúdos matemáticos, mas também trata de um problema de muita
importância, no que diz respeito às relações de convívio em sociedade destes
alunos. Assim sendo, propiciará ao aluno um momento de reflexão sobre a realidade
social em que está inserido.
Uma favela na cidade de São Paulo ocupa um terreno de 30 metros de
largura por 100 metros de comprimento, e abriga em barracos 240 famílias.
a) De que forma, poderíamos aproveitar este terreno, a fim de abrigarmos essas
mesmas famílias, com uma moradia mais digna?
58
b) Pensando em utilizar prédios com apartamentos, seria possível acomodarmos
todas essas famílias? Como?
c) Se pensarmos em prédios de 4 andares com 4 apartamentos por andar,
sendo cada prédio medindo por volta de 200 metros quadrados. Quantas
famílias poderíamos acomodar?.
d) O que poderíamos mudar na estrutura dos prédios para que pudéssemos
acomodar mais de 300 famílias? Justifique.
Vamos explorar o que esperamos em nossa pré-análise, do que possa surgir
dentre os Multisignificados de Equação, nesta Atividade 2.
a) De que forma, poderíamos aproveitar este terreno, a fim de
abrigarmos essas mesmas famílias, com uma moradia mais
digna?
59
Com o item A desta segunda atividade, propiciamos um momento de reflexão
ao aluno, no qual ele pode tentar interpretar a problemática que envolve a atividade,
refletindo e debatendo com os colegas, tanto em seu grupo em um primeiro
momento, como logo em seguida com os demais grupos participantes e com o
professor que conduziu a intervenção, com o objetivo de estabelecer qual o melhor
encaminhamento para o desenvolvimento da atividade; portanto, neste item não se
espera o surgimento de algum dos Significados de Equação. O que realmente é
esperado dos alunos é que cheguem a um consenso. Nós, como pesquisadores,
esperamos que surja a ideia de trabalhar com prédios, daí a elaboração do item B.
b) Pensando em utilizar prédios com apartamentos, seria possível
acomodarmos todas essas famílias? Como?
Após a discussão e a decisão da ocupação por prédios, acreditávamos que os
alunos poderiam partir para uma estratégia de resolução do item B, que envolvesse
relações entre conjuntos. Eles poderiam perceber as características dos dados
apresentados e organizar os dados em forma de conjuntos, como por exemplo:
conjunto de dimensões (medidas); conjunto de contagem (número de famílias ou
apartamentos), partindo assim para um equacionamento envolvendo esses
conjuntos.
O Significado ESTRUTURAL-CONJUNTISTA poderá emergir das resoluções
ou nas discussões dos alunos.
c) Se pensarmos em prédios de 4 andares com 4 apartamentos
por andar, sendo cada prédio medindo por volta de 200 metros
quadrados. Quantas famílias poderíamos acomodar?.
60
Acreditamos que os alunos poderão utilizar as dimensões propostas para a
construção de um desenho geométrico. Com esse encaminhamento, emerge o
significado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO, no qual o aluno justifica sua estratégia, para
chegar à solução, por meio de desenhos que contenham formas geométricas.
Outro Significado que pode surgir é o INTUITIVO-PRAGMÁTICO, no qual o
aluno utilizará cálculos aritméticos, envolvendo os dados e equacionando, com a
idéia de igualar possivelmente duas quantidades, como número de famílias e
número de edificações, ou número de edificações e tamanho do terreno.
d) O que poderíamos mudar na estrutura dos prédios para que
pudéssemos acomodar mais de 300 famílias? Justifique.
Neste item D da Atividade 2, esperamos que os alunos pensem em aumentar
o número de andares de cada prédio, no sentido de acomodar um número ainda
maior de famílias por prédio. Imaginamos que esses alunos utilizarão os
dimensionamentos pré-estabelecidos no item C desta Atividade 2 e, com esses
parâmetros, formulem uma generalização sobre as estruturas desses mesmos
parâmetros, chegando a uma equação. Emergiria, assim, o Significado
ESTRUTURAL-GENERALISTA, no qual o aluno apresenta uma lei de formação para
justificar a alocação do espaço do terreno.
Neste parágrafo, apresentamos os objetivos, as justificativas e possíveis
estratégias de resolução de cada um dos itens das duas atividades propostas,
procurando relacioná-los entre si e com os objetivos de nossa pesquisa, destacando
possíveis Multisignificados de Equação que podem aparecer na resolução dos
alunos. Esperamos que os alunos discutam entre si e com os demais participantes e
o pesquisador as ideias e estratégias que surgirem, justificando assim nossas
escolhas: pela Escola, pelos alunos, pelo assunto equação, pelas atividades
propostas e pelo ambiente proporcionado pela Modelagem Matemática numa
pesrpectiva Sócio-crítica.
61
CAPÍTULO 5
ANÁLISE DOS DADOS
62
5.1 Introdução
No capítulo anterior, apresentamos nossas fundamentações, teórica e
metodológica, bem como os procedimentos metodológicos que adotamos para o
desenvolvimento de nossa pesquisa.
As análises que apresentamos a seguir foram realizadas item a item das
Atividades 1 e Atividade 2, propostas nessa referente pesquisa, e teve como
preocupação a elucidação dos questionamentos colocados dentre as nossas
questões de pesquisa. Com esse objetivo, utilizamos o referencial teórico
Multisignificados de Equação de Ribeiro (2007), para identificar a emersão ou não
de algum dos Significados.
Para enriquecer ainda mais a análise, fizemos também uma relação com as
nossas análises preliminares referentes à emersão de alguns dentre os Significados.
O material que está sendo analisado é oriundo dos protocolos e transcrições
produzidos no ambiente de aprendizagem Modelagem Matemática sob a perspectiva
de Barbosa (2001).
Apresentamos inicialmente os resultados somente do Grupo 4, pois ao
analisarmos as transcrições e os protocolos dos demais grupos, percebemos que
dentre os registros envolvendo os protocolos e principalmente o material áudio-
gravado, os pertencentes ao Grupo 4, estão mais completos no que diz respeito, a
produção escrita e principalmente a qualidade do material áudio-gravado.
Em uma segunda parte da apresentação das análises dos dados coletados,
iremos apresentar as analises dos demais grupos. Mas somente dos protocolos, pois
devido às condições do ambiente, foi inviável a transcrição áudio gravada.
Apresentamos nessa análise, trechos que julgamos relevantes das
transcrições do áudio. E para representar os alunos nessas transcrições, adotamos
a seguinte simbologia: aluno 1 de A1, o aluno 2 de A2 e o aluno 3 de A3. Nas
discussões onde não conseguimos diferenciar a fala dos alunos dos diferentes trios,
chamaremos os alunos de A e o pesquisador que fez as intervenções, de P.
63
5.2 Análise das atividades do Grupo 4
Nesse processo de análise iremos começar com a apresentação do item da
atividade, exibiremos o protocolo produzido pelos alunos, e iremos mesclando as
análises dos protocolos com trechos das transcrições das análises que julgamos
trazer contribuições com a leitura da estratégia envolvendo a resolução do item.
5.2.1 Atividade 1
Plano de Telefonia
Nos últimos anos houve uma popularização das linhas telefônicas
residenciais. Isto foi possível graças à expansão do mercado, o que acabou
gerando uma forte concorrência entre as diferentes operadoras.
O valor a ser pago em uma determinada conta telefônica é calculado
considerando-se os minutos (tempo utilizado), mais o valor fixo da franquia
escolhida pelo cliente. Na tabela abaixo são apresentados quatro planos de
telefonia residencial
Plano Mensalidade Horário Normal – minuto
excedente
Franquia Linha Clássica Linha Clássica
250 47,62 0,20457
350 58,17 0,19321
450 68,55 0,18184
550 79,37 0,18184
Fonte: http://www.telefonica.com.br/portal/site/on/menuitem
64
Para a aplicação da Atividade 1, adotamos a seguinte metodologia:
entregamos para os alunos, a folha contendo o item a ser apreciado, ou seja,
primeiro entregamos o item A, e após a resolução e discussões do mesmo,
passamos a entregar o item , B e assim sucessivamente até o termino da atividade.
Escolhemos iniciar as sessões de coleta de dados, pela Atividade 1, a qual é
composta por questões mais “fechadas”, isso porque pretendíamos acalentar o
impacto sobre os alunos, pois os mesmos não tinham experiência com o ambiente
de aprendizagem escolhido.
Primeiramente deixamos os grupos lerem a atividade e discutirem entre eles a
problemática a ser apreciada. Os alunos tiveram um tempo para resolver o item A da
atividade e, logo após todos os grupos assinalassem que haviam terminado o item A
da atividade, abrimos as discussões entre os grupos, para fazer um levantamento do
que cada grupo fez, ou seja, as estratégias por eles utilizadas para responder
nossos questionamentos.
Nossa escolha para a elaboração e aplicação dessa atividade, fundamenta-se
no Caso 1 de Modelagem Matemática proposta por Barbosa (2001).
a) Uma família fez uma expectativa de gastar 390 minutos por
mês. Neste caso qual é o plano mais vantajoso para eles?
Justifique sua resposta
65
Figura 1.
Ao analisarmos a figura 1, o grupo relata em texto, que está fazendo uma
comparação de valores entre o plano de 350 minutos e o de 450 minutos, Eles
concluem que, apesar do plano de 450 minutos cobrar um valor fixo, devido ao fato
de não ser ultrapassado o limite de minutos que a família utiliza, o plano de 350
66
minutos é mais vantajoso, pois mesmo ultrapassando em 40 minutos o limite que
pode ser utilizado, ainda assim, se tem um valor a pagar inferior ao do plano de 450
minutos. Isto fica bem evidenciado nos cálculos utilizados pelos alunos, os quais
serviram de subsídios para essa conclusão.
O motivo pelo qual o grupo, logo de inicio, eles descartam os planos, de 250 e
550 minutos, fica esclarecido pela discussão que está na transcrição 1.
Transcrição 1
A1: Lembrando.
Existem duas possibilidades, uma de 350 e outra de 450. Porque a de 550 e
fora da realidade.
A2: E a outra é abaixo demais.
A1: E outro é muito baixo. Com isso ela paga o que.
A1: Pela logica o certo seria 350.
Analisando a transcrição 2, pudemos observar que aparece a formulação e as
relações em funções, onde existe um equacionamento dos dados para uma
expressão matemática envolvendo uma possível incógnita x, que igualada a uma
resposta que é esperada y.
Transcrição 2
A3: Ai da x
A3: Ai a gente pega esse aqui, menos o valor desse aqui vai dar 60 né e multiplicar
por esse aqui vai dar y, ai (...) a resposta é maior ai (...), o maior ai maior a gente vai
tira, ai vamos pegar o menor.
67
A1: Na realidade a gente vai somar e sim vai acrescentar a mensalidade disso e vai
multiplicar no final.
Durante a transcrição 3, os alunos tentam de alguma forma encontrar uma
relação lógica entre os planos, e tentam relacionar o valor de 390 minutos que
consta do enunciado do item A, em algum desses planos.
A2: Claro de 390 é maior.
A1: Apesar de que o 390 não têm vai ter que encaixar num plano, ou de 350 ou de
450.
A1: Na verdade esse plano deles é de cem em cem, de 350, 450 e 550.
Transcrição 3
Na Atividade 1 item A, identificamos o significado ESTRUTURAL-
CONJUNTISTA, “(equação como uma ferramenta para resolver problemas que
envolvam relações entre conjuntos)” conforme havíamos previsto em nossa análises
preliminares. Nas transcrições 2 e 3, se percebe que os alunos elaboraram relações
envolvendo conjuntos, e formulam mesmo que verbalmente uma expressão
algébrica que leva ao equacionamento das informações desses conjuntos.
Observamos também o significado INTUITIVO-PRAGMÁTICO devido a
utilização de cálculos aritméticos, mostrando que os alunos utilizam conhecimento
previamente adquiridos, para a sua aplicação como ferramenta na estratégia de
resolução de problemas de ordem prática.
Não é identificado o Significado ESTRUTURAL GENERALISTA.
68
Para a aplicação do item B, o processo foi o mesmo, Primeiro os grupos
discutiam entre si e depois de terem resolvido, abrimos para as discussões que
envolveram os grupos em conjunto.
b) Após algum tempo utilizando o serviço telefônico esta família percebeu
que estava consumindo, em média 490 minutos. Ainda é vantagem
para esta família permanecer com o plano do item anterior? Justifique
sua resposta (Procure utilizar uma estratégia diferente daquela que
você utilizou no item A)
69
Figura 2.
A justificativa pela escolha por outro plano é inicialmente identificada nas
transcrições. Observamos que o grupo escolhe o plano de 450 minutos (conforme a
transcrição 4). Entretanto, mesmo tendo respondido corretamente a questão, o que é
70
identificado no protocolo, é o emprego da mesma estratégia de resolução utilizada
no item A, o calculo aritmético.
Transcrição 4
A1: A nova alternativa é a de 550.
A1: A gente fez daquela vez entre o que podia ser entre 350 e 450.
A2: É então de 450 mais 40 minutos, Porque é 490 né.
A1: Não gente é a de 450 mesmo.
A3: Por quê?
A1: Porque é a gente ia escolher a de 350 anteriormente não é, mesmo dando 99
minutos dando 40 minutos de diferença não é.
A1: 450 minutos quantos minutos têm exatos?
A3: 40 minutos.
A1: Então dá a mesma coisa.
Assim como no item A, os alunos decidem escolher os planos que ficam no
entorno da expectativa de gasto da família, para compararem qual deles é o mais
vantajoso. Os alunos descartaram os planos de (250 e 350 minutos), e comparam os
planos C e D.
Outro motivo pela escolha do plano de 450 minutos se dá pelo fato de que
existe uma lógica que envolve o acréscimo de 100 minutos na expectativa de gasto,
do item A para o item B, que de forma coincidente, acaba acarretando a mesma
distância de 40 minutos na relação entre 490 minutos e a franquia do plano que é de
450 minutos. Essa discussão dos alunos é identificada na transcrição 4.
71
No final da sessão envolvendo a resolução deste item B, pedi para que o
Grupo 4, falasse para mim e os demais grupos, qual a solução por eles imaginada.
Eles informaram que a melhor opção seria o plano de 550 minutos, pois apesar de
ficar mais caro, valeria a pena para esta família. Pois teriam um pequeno acréscimo
de 3,65 centavos em relação a uma possível escolha pelo plano de 450 minutos. Em
compensação, eles teriam a possibilidade de ter mais 60 minutos para gastar sem
que tivessem de pagar algum valor excedente. E ainda também o questionamento
da atividade não deixa claro, a real intenção de gasto desta família, assim não
sendo, um valor de minutos, gastos exatos, e sim uma perspectiva de gasto. Este
raciocínio fica evidenciado na Transcrição 5.
Transcrição 5
P: E vocês optaram por qual?
A1: A gente escolheu o de 550.
A1: A gente viu que quanto menor a mensalidade maior o valor de excedente.
A1: Anteriormente a gente tinha escolhido o de 450, só que ai ele começou a gastar
490 minutos agora, só que agora ele vai estar gastando noventa e dois reais e
noventa e três centavos, ele vai estar passando de um valor que nem se quer consta
da tabela. Ai a gente colocou o de 550, pois ai ele acaba gastando três reais e
sessenta e cinco centavos a mais que esse aqui que tem cem minutos a mais, como
anteriormente ele já tinha passado, agora pode ser que ele passe mais ai ele tem
mais sessenta minutos a mais para gastar sem ter que pagar minutos excedentes.
Apesar de ter sido solicitado uma nova estratégia de resolução, o grupo uso
da mesma estratégia matemática para a resolução. E tentam justificar a nova
estratégia, quando envolvem a incerteza da família em optar por um gasto maior ou
menor. Isso fica referenciado na transcrição 5.
A estratégia utilizada é a mesma apresentada no item A, consequentemente
apresentado às mesmas ideias quanto a sua elaboração. Portanto caracterizando
72
assim a identificação do Significado ESTRUTURAL-CONJUNTISTA, pois os alunos
elaboraram relações envolvendo conjuntos. E também a identificação do Significado
INTUITIVO-PRAGMÁTICO, pois na estratégia de resolução elaborada, utiliza de
conhecimento previamente adquiridos, o cálculo aritmético, para resolução do
problema.
c) Você deve ter percebido que à medida que o consumo aumentou um
plano passa a ser mais vantajoso que o anterior. Imagine então, que
esta mesma família está pensando em contratar o último plano, a partir
do próximo mês. Quanto deve ser o consumo dessa família para que
este plano se torne mais vantajoso? Justifique sua resposta.
Figura 3.
O resultado apresentado pelo Grupo 4 na figura 3, não deixa claro em
momento algum, como eles conseguiram chegar ao resultado deste valor de “maior
de 390 minutos”.
73
Apesar de não ficar totalmente claro a estratégia utilizada pelo Grupo 4, eles
chegam a conclusão que a resposta é “maior que 390 minutos”.
Analisando o material áudio-gravado referente ao item C, não fica claro em
nenhum momento, o porquê da escolha pelo valor maior de 390.
Neste item não fica evidenciado nenhuma estratégia de resolução que possa
ser analisada, e consequentemente não emerge nenhum dentre os Significados de
Equação de Ribeiro (2007).
d) Através deste gráfico, mostre a partir de quantos minutos um plano é
mais vantajoso que o outro.
74
Figura 4
75
Analisando a figura 4, os alunos não chegam a um encaminhamento correto
da solução, e não demonstram compreensão do real questionamento da atividade,
que pede uma comparação entre o gráfico de cada plano, com o intuito de perceber,
a partir de qual momento um plano passa a ser mais vantajoso que outro.
Porém ao analisarmos a transcrição 6, percebe-se que os alunos conseguem
efetuar a leitura do gráfico apresentado. Apesar de demonstrarem pouca
familiaridade com interpretação de gráfico, eles conseguem perceber, por exemplo:
que a mudança de direção da curva é associada a coordenadas, e conseguem a
partir dai comparar momentos em que determinado plano é mais vantajoso que
outro.
Transcrição 6
A1: Aqui na lilás a partir de 250, aqui ele mantém.
é a de 350.
A3: Aqui em 300 ele já muda.
A1: Em 350 ele já começa há ser mais vantajoso.
A3: 300 ó.
A3: Porque aqui ele começa a se curvar ó, depois ele começa a andar em linha reta.
A1: Então a partir de 300 então.
A2: Mas não é em 350 aqui não. Há não.
A1: É 350.
A2: Ai ele muda aqui ó, muda aqui.
A3: Então, em que momento ele começa a ser mais vantajoso?
A1: Ó a partir de 350 aqui, e aqui vai fazendo o que? O numero de reais vai estar
250, setenta reais.
76
A1: 250, setenta reais.
A3: Puxa o lugar mais baixo, o que mais compensa é este b.
A1: É mesmo o b de 350.
A2: Como assim mais baixo.
A1: É que ele está em oitenta, oitenta reais.
A3: Não, já começa a compensar o de 550.
A3: Porque ai ele fica mais baixo.
Durante as discussões apresentada na transcrição 7, o grupo consegue
estabelecer relações de comparações de forma correta, utilizando a interpretação de
curvas eles conseguem relacionar valores, e associa-los a quantidade de minutos.
Transcrição 7
A1: O cara não vai querer mil reais, novecentos reais, ele vai pagar 220, 200 minutos
ele vai querer pagar duzentos reais, se ele pode ter um plano de 550 minutos, e
pagar cento e cinquenta reais.
O plano mais vantajoso seria o D.
A3: A variação dele é pouca.
A2: Seria o D.
Neste item D, emerge de acordo com a nossa análise preliminar, o Significado
DEDUTIVO-GEOMÉTRICO. Os alunos utilizam o gráfico para fazerem relações de
posicionamento de curvas no plano cartesiano para analisarem e determinarem em
qual momento um plano se torna mais vantajoso que o outro.
77
5.2.2 Atividade 2
Uma favela na cidade de São Paulo ocupa um terreno de 30 metros de
largura por 100 metros de comprimento, e abriga em barracos 240 famílias.
a) De que forma, poderíamos aproveitar este terreno, a fim de abrigarmos
essas mesmas famílias, com uma moradia mais digna?
b) Pensando em utilizar prédios com apartamentos, seria possível
acomodarmos todas essas famílias? Como?
c) Se pensarmos em prédios de 4 andares com 4 apartamentos por
andar, sendo cada prédio medindo por volta de 200 metros quadrados.
Quantas famílias poderíamos acomodar?.
78
d) O que poderíamos mudar na estrutura dos prédios para que
pudéssemos acomodar mais de 300 famiíias? Justifique.
Para a aplicação da atividade 2, procedemos de forma semelhante aos
procedimentos da Atividade 1. Entregamos para os alunos cada item da atividade 2
separadamente, ou seja, primeiro entregamos o item A, e após a resolução e
discussões do mesmo, entregamos o item B e assim sucessivamente até o termino
das atividade.
Para a escolha desta atividade 2, procuramos criar uma atividade que
trouxesse uma temática que fosse capaz de envolver os alunos, motivando-os a
produção de estratégias, indo ao encontro da proposta do ambiente de
aprendizagem escolhido, a perspectiva Sócio-Crítica de Barbosa (2001).
Escolhemos inicialmente um texto, que proporcionava aos alunos a possibilidade de
refletirem sobre a temática que iria posteriormente envolver a problemática da
Atividade 2. O texto está apresentado em seguida como anexo 1, e após a leitura
procedemos conforme descrito no parágrafo anterior.
Este texto está como anexo 1, e foi entregue aos alunos ao final da segunda
sessão de aplicação da coleta de dados. Após eles efetuarem a leitura, eu
apresentei o enunciado do item A da atividade 2 e em seguida solicitei a eles que
pensassem nas possíveis alternativas para o encaminhamento da Atividade. Na
sessão 3, começássemos com os trabalhos envolvendo o item A.
Da falta de saneamento básico à ausência de asfalto, os obstáculos variam - até a
localização do assentamento pode ser um problema. "As favelas costumam surgir em
regiões que outros empreendimentos imobiliários não ocuparam: sob pontes e viadutos,
à beira de córregos ou em encostas de morros", diz Alex Abiko, professor de
engenharia civil da USP. A urbanização de favelas no Brasil é recente. Nos anos 60, os
moradores eram simplesmente removidos. Depois, por volta dos anos 80, programas do
governo passaram a resolver questões pontuais, como redes de água. Hoje, os projetos
79
incluem não só infraestrutura mas também melhora na qualidade de vida. Veja aqui os
principais problemas que afetam as favelas e vire a página para entender como elas
são urbanizadas.
Ricardo
Benichio
CIDADE SITIADA
Falta de infraestrutura, condições precárias de saúde e problemas sociais afetam
favelas
LADEIRA ABAIXO
Nas grandes cidades, em geral, os únicos terrenos livres são as áreas de risco, como
encostas de morros e barrancos. É justamente nesses vazios urbanos que surgem as
favelas. Improvisadas, as moradias à beira de morros correm risco de sofrer
solapamento e deslizamentos de terra. Quanto mais inclinado o terreno, maior o risco
CURTO-CIRCUITO
Muitas favelas não têm redes de energia elétrica oficiais e recorrem a gatos para
desviar energia. As ligações clandestinas, feitas com material velho e inadequado, são
perigosas: podem provocar desde choques em quem passar perto de um fio
desencapado a incêndios e curtos-circuitos
SEM DOCUMENTO
80
Quem mora na favela não tem CEP. Entre becos e vielas sem nome, os carteiros ficam
perdidos e as correspondências não chegam. Para piorar, os moradores não
conseguem comprovante de residência, documento necessário para conseguir
emprego, por exemplo. Como as moradias são ilegais, sem escritura, os moradores
correm o risco de despejo o tempo todo
E A CHUVA LEVOU
Sem valetas ou canaletas, a água da chuva não tem por onde escorrer. Quando chove,
a água pode empoçar e virar ninho para o Aedes aegypti, mosquito transmissor da
dengue. A água pluvial arrasta o que está no caminho, além de transformar as ruas de
terra batida em lamaçal
ERA DAS TREVAS
Sem postes de iluminação pública, a população fica desprotegida da violência durante
as noites. Afinal, fica mais fácil para ladrões e traficantes sumir no escuro... Só sobra a
iluminação vinda de dentro das residências
QUESTÃO DE SAÚDE
Como os barracos ficam colados uns aos outros, a luz do Sol não entra. A umidade
aumenta, prato cheio para o crescimento de fungos, que podem causar doenças. Isso
sem falar nos males causados pela falta de saneamento básico, como cólera, disenteria
e esquistossomose
BECO SEM SAÍDA
A densidade demográfica é alta - há muita gente por metro quadrado. Sem espaço livre,
falta lugar para ruas - no máximo, há becos e vielas. Isso impede não só o acesso de
carros mas também a entrada de serviços importantes, como caminhões de lixo e
ambulâncias
ENTRANDO PELO CANO
Improvisadas, as casas não estão ligadas à rede de água nem à rede de esgoto oficial
da cidade. Os moradores dão um jeitinho, fazendo gatos que roubam água de casas
vizinhas ou da própria prefeitura, e despejam o esgoto a céu aberto, principal problema
81
ambiental do país, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)
Ô DE CASA
Pesquisa* mostra quem são os moradores das favelas de SP
Fontes: Urbanização de favelas em foco: Experiências de seis cidades; Urbanização de
favelas – A experiência de São Paulo;
João
Urban/Divulgação
CIDADE RESTAURADA
Além de redes de água e luz, área de lazer e geração de emprego dão nova cara à
região
A PRAÇA É NOSSA
As famílias que moravam à beira das áreas de risco também são removidas. Para
acomodá-las, são erguidos prédios - na horizontal, não há para onde crescer. Praças
são construídas nas encostas, cumprindo duas funções: melhoram a qualidade de vida
da comunidade, com esporte e lazer, e evitam que as áreas de risco voltem a ser
ocupadas por barracos
82
ÀS CLARAS
Os gatos dão lugar à rede oficial de energia elétrica. A favela também ganha postes de
iluminação pública, que, além de aumentar a segurança de quem passa por ali à noite,
ajudam o trânsito noturno de veículos e embelezam os novos prédios e praças
construídos com a urbanização
DESTINO DA CHUVA
A água da chuva escorre por valetas, grelhas e bueiros, feitos de material durável e
sem valor comercial, como concreto. Raramente empregam-se materiais como cobre ou
ferro - os metais têm valor comercial e poderiam ser roubados para revenda em sucatas
e ferros-velhos
CHECK-UP
A urbanização também deve acabar com as moradias insalubres - úmidas e sem luz
natural. Os barracos de madeira, mais frágeis, são substituídos por construções de
alvenaria, que protegem melhor de chuvas e ventos. Com o espaçamento maior entre
as casas, elas ganham janelas, o que já melhora a circulação de ar, a umidade e a
entrada de luz
LAR, DOCE LAR
A etapa final da urbanização da favela é a regularização fundiária. De uma área
ocupada ilegalmente e sujeita a despejos, a favela passa a ser um bairro dentro da lei.
Além de uma casa para chamar de sua, os moradores ganham documentos que evitam
que eles sejam expulsos de seu imóvel
VIAS DE FATO
As ruas ganham pavimentos permeáveis - os espaços entre os blocos deixam a água
passar. Os antigos becos e vielas viram ruas largas, em que passam ambulâncias e
caminhões de lixo. O problema é que algumas casas podem ser removidas para abrir
espaço
SALVO PELO CANO
83
Para regularizar o abastecimento de água, as tubulações clandestinas são substituídas
por ramificações da rede oficial de água. O esgoto é canalizado, evitando a poluição de
córregos e rios. Segundo o IBGE, a mortalidade infantil cai de 44,8 mortes por mil
crianças de até 5 anos de idade em residências sem saneamento básico para 26,1 por
mil crianças com a medida
DINDIN POR DINDIN
A urbanização melhora a qualidade de vida, mas traz um problema prático: como pagar
as contas de água e luz, que antes eram "grátis"? Favelas como a de Sacadura Cabral,
em Santo André (SP), criaram programas sociais no entorno, para gerar empregos e
renda aos moradores da região
Consultoria – Alex Abiko, Professor de engenharia civil da POLI – USP; Anderson
Kazuo, arquiteto do Instituo Pólis
a) De que forma, poderíamos aproveitar este terreno, a fim de abrigarmos essas
mesmas famílias, com uma moradia mais digna?
84
Figura 5.
85
Logo no inicio da sessão 3, nós perguntamos a todos os grupos qual seria a
melhor opção para a resolução do item A, e eles foram todos unanimes em
responder que a melhor alternativa seria a construção de prédios no terreno.
Quando perguntei a eles o porquê desta escolha, eles me responderam que casa
ocuparia mais espaço no terreno e caberiam menos pessoas.
E analisando a figura 5, eles descrevem claramente a opção por prédios e
justificam argumentando que em uma casa caberiam apenas 5 pessoas, número
estimado por família. Enquanto que em um prédio, caberiam mais pessoas e ainda
sobraria um espaço para área de lazer.
b) Pensando em utilizar prédios com apartamentos, seria possível acomodarmos
todas essas famílias? Como?
86
Figura 6.
87
Durante a resolução do item B da Atividade 2, começou uma discussão que
envolveu todos os grupos, pois os alunos perceberam que se tratava de um
problema que envolvia conceitos geométricos, e a partir dai começaram a me
questionar sobre informações que envolviam o conteúdo de geometria, como área
do quadrado. Conforme as discussões surgiam, a curiosidade dos alunos
aumentava, trazendo o debate a outras características envolvendo o padrão que o
apartamento deveria ter. Esse questionamento foi respondido pelos próprios alunos.
Deveria ser de padrão popular, ou seja, para famílias de baixa renda. Mas a escolha
por apartamento apresentava um novo questionamento, de quantos metros
quadrados se tratava um apartamento para famílias de baixa renda. Nós então
perguntamos aos alunos se eles já teriam visto alguma propaganda em jornal,
televisão ou panfleto que oferecia esse tipo de apartamento. Como eles não
lembravam especificamente de nenhum tipo de empreendimento, eu perguntei se
eles já teriam visto ou ouvido falar de conjuntos habitacionais do tipo CDHU ou
Cingapura. Os alunos nos responderam que sim e nos disseram que os
apartamentos tinham um tamanho pequeno.
Definido então, que teria que ser apartamentos de padrão para baixa renda,
de tamanho pequeno. Os alunos começaram então, a discutir quantos prédios
poderiam ocupar este terreno e, consequentemente, dependendo do tamanho,
quantos andares poderiam ter estes prédios. Uma aluna então falou que se fossem
prédios do tipo conjunto do CDHU, teriam que ser no máximo de cinco andares, pois
se tivessem mais do que cinco, teriam que ter elevador, e ela comentou que não
conhecia nenhum conjunto do tipo CDHU que tivesse elevador. Eu informei a ela
que existem sim, prédios do CDHU com mais de cinco andares, e citei um exemplo
de conjunto habitacional do CDHU, que fica as margens da AV Radial Leste, na
zona leste de São Paulo, e que possui mais de 18 andares.
Durante as discussões com os grupos definimos que os prédios teriam quatro
apartamentos por andar.
Analisando a figura 6 e as transcrições referentes a Atividade 2 item B. Eles
admitem a ideia de acomodar estas famílias em prédios com apartamentos, e
trabalham com a ideia de quatro apartamentos por andar. Então começaram uma
88
discussão entre eles, de quantos andares e quantos prédios teria a ocupação do
terreno.
Na figura 6, eles deixam especificado que será 18 andares por prédio com 4
apartamentos por andar. Números esses que seriam capazes de acomodar 288
famílias. Assim dessa forma conseguindo acomodar as 240 famílias mencionadas no
enunciado.
Analisando as transcrições, percebe-se que durante a discussão um dos
alunos do grupo já apresenta a sugestão de 4 prédios de 18 andares cada um.
Transcrição 8
A1: A gente pode supor apartamentos com 18 andares, ai você tem lá 18 andares, caso
cada andar ocupa, se lá, 4, 4 apartamentos.
A3: Temos que fazer a conta pra ver tipo, sei lá quantos andares de 4 vai precisar.
A1: Então.
A2: Ah tem que saber a medida do tamanho do apartamento.
A1: É melhor colocar um de 18 Andares.
Os alunos conseguem estabelecer o tamanho da área do terreno em metros
quadrado, conforme o que demonstra a transcrição 9.
Transcrição 9
A1: Ai você tem lá três mil metros,tá.
A2: É vezes quantos?
A1: Trinta vezes cem - três mil.
89
O grupo assinala na figura 6 e nas transcrições, uma preocupação com o
número de pessoas em média que possuem as famílias, apesar desse parâmetro
não ser a preocupação da atividade.
Durante a discussão apresentada na transcrição 10, fica evidenciado o uso de
cálculos aritméticos na estratégia.
Transcrição 10
A2: Só que são 18 andares concorda?
Agora tem que fazer este por quantos apartamentos tem por andar.
A1: Por exemplo, aqui.
A2: Aqui, você fez 18 andares vezes 4 apartamentos.
Percebemos na transcrição 11, que os alunos se envolvem com o tema
abordado. Demonstrando interesse em discutir características sobre a construção de
prédios. Como por exemplo: o fato de que o tamanho do apartamento, não é o único
componente na composição das dimensões que um prédio irá ocupar no terreno.
Transcrição 11
A2: Gente, a gente tem que saber o ponto médio, quatro apartamentos por andar, tem
corredor e tal.
A1: Na verdade nós teríamos que saber as dimensões de um prédio.
Durante as suas discussões conseguiram compreender que o número de
prédios construídos no terreno, não poderia ocupar o limite total da área, porque
dessa forma, os prédios teriam que ser colados um no outro, formando somente um
bloco, sem espaço para o deslocamento das famílias que ali iriam habitar. Essa
observação pode ser percebida na transcrição 12.
90
Transcrição 12
A3: Três mil metros para quatro prédios.
A2: Exatamente três mil por 4.
A3: Mas ai vai ter o espaço que ela perde.
A2: Ai dependendo do espaço tem que ver quanto mede cada apartamento.
A2: Porque aqui a gente tá falando sobre prédio.
A3: Então 750 metros para cada apartamento, é quer dizer prédio.
A1: Vamos lá, se cada prédio ocupa 750 metro.
A2: Ai vai ocupar o espaço todo.
A1: Na verdade ele vai pegar pertinho.
A2: Vai ser um colado no outro. Ai Vai fazer assim quatro apartamentos. Ai não vai poder
sair.
Dentre os Significados emerge o INTUITIVO PRAGMÁTICO, que fica
caracterizado pelo uso de cálculos aritméticos. E surge na figura 6 e na transcrição
10.
Não emergem os Significados, ESTRUTURAL GENERALISTA e DEDUTIVO
GEOMETRICO.
c) Se pensarmos em prédios de 4 andares com 4 apartamentos por andar, sendo
cada prédio medindo por volta de 200 metros quadrados. Quantas famílias
poderiam acomodar?
91
Figura 7.
92
Transcrição 13
A1: Você tem quatro andares
E você tem quatro apartamentos por andar, então cada prédio vai dar dezesseis.
Agora a gente vai ter estes três mil e dividir por duzentos metros.
O uso de cálculos aritméticos surge claramente na figura 7 e na transcrição
13.
Os membros do grupo analisam e definem quais as variáveis que deverão
utilizar na estratégia adotada:
Transcrição 14
P: Quantos prédios, vocês imaginam que poderia ser colocado dentro deste terreno?
A1: Quinze.
P: Quinze, por quê?
A1: Porque você tem três mil metros, certo.
P: sim.
A1: E ele está colocando que cada prédio ocupara por volta de seus duzentos
metros.
Ai ele vai pegar os três mil e dividir por duzentos.
Logo ele vai dar o que?
A2: Quinze.
93
A1: Certo, ele deu quinze apartamentos, e a gente sabe que a gente tem, quatro
andares com quatro apartamentos cada andar, isso vai dar dezesseis. Dentro
desses dezesseis, a gente vai ter que multiplicar de novo pelo numero de
apartamentos.
Quando nós pedimos que nos explicassem a estratégia adotada para o item
C, eles nos explicaram exatamente os cálculos aritméticos contidos na figura 7.
Pela conclusão apresentada pelo grupo caberiam quinze prédios no terreno.
Então eu argumentei com o grupo que se fossem quinze prédios, o terreno seria
todo ocupado pelos prédios. Ai eu questionei, Como fica o acesso de entrada e
saída de cada prédio, pois se forem quinze, não iria sobrar espaço para este acesso;
como ficaria a questão da ventilação dentro dos prédios, pois teríamos apartamentos
sem janelas. A solução que eles me apresentaram foi de diminuir o numero de
prédios.
Nós aproveitamos o momento da discussão e instigamos os alunos a lembrar
de alguns conceitos matemáticos, como o de área, no intuito de que eles pudessem
relacionar a disposição dos prédios dentro das dimensões do terreno, pensando em
laterais, agrupamentos.
Sugeri aos alunos que considerassem a estrutura dos prédios, como
quadrada, e que encontrassem o valor aproximado da lateral do prédio.
Os alunos fizeram o calculo e descobriram que daria por volta de quatorze
metros de lateral. Dai por diante fomos deduzindo que a largura do terreno é de
trinta metros, portanto daria para colocar dois prédios lado a lado, e entre eles
sobraria um vão de dois metros. Então utilizando essa lógica sugeri aos alunos que
verificassem para todo o terreno, na finalidade de encontrar o numero de prédios
ideal, e consequentemente o numero de famílias que poderíamos acomodar.
Transcrição 15
94
A1: Você consegue seis prédios na horizontal, sendo que tem um vao de dois
metros cada.
Se eu tenho seis aqui, é só multiplicar por dois, que vai dar doze.
A2: Vai ser doze prédios então, eram quinze prédios e agora, são doze.
Os alunos resolvem utilizar essa estratégia de utilizar a lateral de quatorze
metros para os prédios, e usam a medida de dois metros entre um prédio e o outro,
inclusive para enfileira-los pelos cem metros de comprimento. Chegando a
conclusão que seria uma fila de seis prédios. Com o número de prédios
estabelecidos de um lado do terreno, então era somente multiplicar o seis por dois
para chegar ao numero de doze prédios do total para este terreno.
Novamente utilizando cálculos aritméticos, multiplicaram o valor doze pelo
numero de apartamentos por prédio, que é dezesseis, chegando à conclusão que
daria para acomodar 192 famílias no total. Este raciocínio é evidenciado pela
transcrição 15.
Em relação aos Multisignificados de Equação, emerge o significado
INTUITIVO-PRAGMÁTICO, devido ao uso das quatro operações como ferramenta
de estratégia de resolução.
Emerge também o significado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO, quando os alunos
utilizam de desenhos geométricos para estabelecer relações de medidas.
a) O que poderíamos mudar na estrutura dos prédios para que
pudéssemos acomodar mais de 300 famílias? Justifique.
95
‘
Figura 8
96
Como estratégia de resolução, os alunos decidem aumentar o número de
andares dos prédios, podendo dessa forma, serem acomodadas mais famílias.
E utilizando novamente cálculos aritméticos, chegam à conclusão que devem
acrescentar mais dois andares em cada prédio.
Novamente emerge o Significado INTUITIVO-PRAGMÁTICO.
O grupo também apresenta na figura 8, desenhos de forma geométrica, no
objetivo de representar o equacionamento concebido em sua estratégia de
resolução, emergindo do Significado DEDUTIVO GEOMÉTRICO.
Ao final da resolução da atividade 2, perguntei aos alunos do grupo 4, Se na
opinião deles, eles chegaram a utilizar algum conteúdo de matemática, aprendido
anteriormente?. Eles nos responderam que usaram um pouco de lógica e aritmética.
5.3 Apresentação dos resultados dos demais grupos
Agora iremos apresentar os resultados das análises referentes aos protocolos
dos Grupos 1, 2 e 3.
Atividade 1 – item A
Grupo 1
97
Figura 9.
Este grupo utiliza cálculos aritméticos. Somam o valor da franquia de 350
minutos, com o resultado da multiplicação dos 40 minutos pelo valor dos minutos
excedente cobrado nessa franquia. Chegando a conclusão que esse é realmente o
plano mais barato. Mas porem, através de discussões realizadas entre os seus
integrantes, chega à conclusão que o plano de 450 minutos é o mais vantajoso, pois,
apesar de ficar dois reais e setenta e oito centavos mais caros, a família ganha o
direito de usar sessenta minutos a mais por esse valor, que segundo o grupo 1 é um
valor pequeno a se pagar pelo direito de utilização desses minutos.
Surge o Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO quando os alunos tentam por
cálculos aritméticos estabelecer os valores a serem gastos, enquadrando com a
intenção de gasto desta família.
Grupo 2
98
Figura 10.
Analisando a figura 10 desta atividade resolvida pelo grupo 2, não fica claro
qual estratégia utilizada. Não evidenciando de forma lógica o porquê da escolha do
plano de 550 minutos.
99
Portanto não surge nenhum Significado de Equação.
Grupo 3
Figura 11.
Analisando a figura com a resolução, é apresentado um cálculo aritmético
envolvendo os minutos excedentes do plano de 350 minutos, e identificação desse
plano como o mais vantajoso. O que caracteriza o entendimento e a compreensão
das relações entre os dados fornecidos na problemática. Eles acertam sobre o plano
mais vantajoso. Fica caracterizado o surgimento do Significado INTUITIVO
PRAGMÁTICO.
Atividade 1 – item B
Grupo 1
100
Figura 12.
A figura mostra o uso da mesma estratégia concebida no item A, ou seja,
ainda continuam executando cálculos aritméticos para chegar ao resultado.
Novamente como no item A, fica caracterizado o surgimento do Significado
INTUITIVO PRAGMÁTICO.
Grupo 2
101
Figura 13.
102
Eles respondem que ainda é mais vantajoso utilizar o plano de 550 minutos,
conforme foi para o item A. Não é identificada na figura13 uma estratégia
matemática, sugerindo como o grupo chegou a esta escolha. Existem apenas
algumas contas feitas de multiplicação e soma envolvendo valores que aparecem na
tabela de planos, mas que também não levam a equacionamento algum.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não fica caracterizado o
surgimento de algum dentre os Significados.
Grupo 3
Figura 14.
Na figura não aparece nenhum tipo de estratégia para justificar a escolha pelo
plano de 550 minutos. Há justificativa apontada para a escolha deste plano é o fato
da família não ter a certeza de quanto irá gastar.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não fica caracterizado o
surgimento de algum dentre os Significados.
103
Atividade 1 – item C
Grupo 1
Figura 15.
Pela figura 15 o grupo não apresenta nenhum tipo de estratégia matemática,
que justifique a resposta apresentada. Mas afirma que o consumo deve estar entre
490 e 550 minutos.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não fica caracterizado o
surgimento de algum dentre os Significados.
Grupo 2
104
Figura 16.
Pela figura o grupo não apresenta nenhum tipo de estratégia, mas afirma que
o consumo deve estar entre 500 e 530 minutos para justificar a escolha pelo último
plano.
Pela transcrição não é identificado durante as discussões nenhuma estratégia
válida que consolide a resposta apresentada na figura16.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não fica caracterizado o
surgimento de algum dentre os Significados.
Grupo 3
105
Figura 17.
A figura 17 não apresenta nenhum tipo de estratégia matemática.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não fica caracterizado o
surgimento de algum dentre os Significados.
Atividade 1 – item D
Grupo 1
106
Figura 18.
107
Na figura 18 os alunos conseguem perceber a relação entre as coordenadas
envolvendo, o número de minutos e os valores em reais gastos, e conseguem
também perceber algumas características de continuidade das retas formadas para
cada plano.
Fica caracterizado dessa forma o surgimento do significado DEDUTIVO
GEOMÉTRICO.
Grupo 2
Figura 19.
108
Analisando a figura 19, percebe-se que os alunos conseguem identificar
alguns comportamentos das retas estabelecidas para cada plano, como por
exemplo, quando identificam mesmo não com muita exatidão que o comportamento
da reta a partir de 550 minutos a torna mais vantajosa dentre os planos.
Analisando a transcrição percebe-se que os alunos conseguem acompanhar
o comportamento da curva de cada plano, identificando as variações em relação ao
crescimento dos gastos em minutos, e ainda conseguem também estabelecer
algumas comparações quando existe a intersecção entre as retas, percebendo a
relação entre dois ou mais planos quanto ao gasto em reais e os minutos utilizados.
Fica caracterizado dessa forma o surgimento do significado DEDUTIVO-
GEOMÉTRICO.
109
Atividade 2 – item A
Grupo 1
Figura 20
Pela figura 20 e pela transcrição, fica claro que os alunos estabelecem que a
melhor forma de aproveitar o terreno é a construção de prédios.
110
Grupo 2
Figura 21.
111
Pela figura 20 e pela transcrição, fica claro que os alunos estabelecem que a
melhor forma de aproveitar o terreno é a construção de prédios.
Atividade 2 – item B
Grupo 1
Figura 22.
Na figura 22, os alunos descrevem as medidas propostas para justificar o
número de andares e de apartamentos por prédios, e propõem a construção de
quatro prédios e determinam ainda o espaço que provavelmente sobraria dentro do
112
terreno para a construção de área de lazer. Completam a sua resposta esboçando
um desenho da representação da ocupação do terreno.
Surge então o Significado DEDUTIVO-GEOMÉTRICO, quando os alunos
através de um desenho geométrico modelam a disposição dos prédios em relação à
área do terreno.
113
Grupo 2
Figura 23.
114
Os alunos propõem a construção de seis prédios de dez andares, sendo cada
andar composto de quatro apartamentos, mas erram nos cálculos, onde estimam
que cada prédio ira ocupar uma área de 750 metros quadrado, sendo dessa forma
impossível a construção destas seis unidades propostas.
Dentre os Multisignificados de Equação, surge o Significado INTUITIVO
PRAGMÁTICO quando os alunos se utilizam de cálculos aritméticos em sua
estratégia de resolução.
Atividade 2 – item C
Grupo 1
Figura 24.
115
Os alunos apresentam uma estratégia envolvendo cálculos aritméticos.
Caracterizando assim o surgimento do Significado INTUITIVO PRAGMATICO.
Grupo 2
Figura 25
116
Os alunos partem para cálculos aritméticos, caracterizando o surgimento do
Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
Atividade 2 – item D
Grupo 1
Figura 26.
Os alunos propõem o aumento dos andares de quatro para sete, mostrando
assim uma relação entre número de apartamentos e número de prédios.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não emerge nenhum dentre os
Significados.
117
Grupo 2
Figura 27.
Os alunos não conseguem compreender a relação entre o item C e o item D,
desta atividade, pois ao invés de pensar em mudar a estrutura do prédio já
determinada no item anterior, eles começam já propondo a alteração no número de
prédios já previamente estabelecidos no item anterior.
Em relação aos Multisignificados de Equação, não emerge nenhum dentre os
Significados.
118
CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES, RESPOSTAS ÀS
QUESTÕES DE PESQUISA E
CONSIDERAÇÕES FINAIS
119
6.1 Conclusões
Nesta pesquisa, procuramos investigar contribuições que uma abordagem
com problemas envolvendo os Multisignificados de Equação (RIBEIRO, 2007), num
ambiente de Modelagem Matemática (BARBOSA, 2001), pode trazer, para a
construção ou ampliação do conhecimento equação.
Neste capítulo, vamos elaborar algumas conclusões de como foi a
experiência de trabalhar com atividades envolvendo o conceito equação, em um
ambiente de ensino com a Modelagem Matemática, com um grupo de alunos do 2º
ano do Ensino Médio.
Este experimento permitiu que este grupo de alunos se desvinculasse do
método de aula tradicional, do tipo lousa e giz. Logo no inicio da primeira sessão,
pudemos perceber na observação feita por um dos alunos pertencente ao Grupo 1,
mas que infelizmente não temos esse relato transcrito, devido péssima qualidade do
material áudio-gravado. O seguinte comentário:
“Mas o que ele quer que a gente faça? o que ele quer saber?”. (Aluno pertencente
ao grupo 1)
Isso demonstra o impacto que os alunos tiveram com o fato de não se ter
relatado qual o conteúdo iria ser trabalhado, e principalmente por eu não ter no inicio
da primeira sessão, demonstrado previamente nenhuma técnica de resolução,
conforme é feito em uma aula do tipo tradicional. Essa forma tradicional de se
trabalhar o ensino, é citada em nossa revisão de literatura, por Fiorentini, (1993), que
nas suas concepções sobre Educação Algébrica, aponta para esse aspecto de se
trabalhar com modelos prontos e artificiais, o que leva o aluno ao tecnicismo
mecanizado, treinando-o a resolver apenas alguns tipos de problemas em particular.
Conforme havíamos previsto em nossa análise preliminar, os alunos de nossa
pesquisa encontraram uma grande dificuldade em relacionar com a atividade, o
conteúdo equação, já estudado durante a sua trajetória educacional.
Essa dificuldade é novamente demonstrada logo na Atividade 1, quando
alunos pertencentes ao Grupo 2, me perguntaram o que eu queria que eles
120
colocassem como resposta, infelizmente devido a má qualidade da áudio-gravação,
houve a impossibilidade da transcrição desse diálogo. Por vários momentos flagrei
os alunos discutindo entre si, de que maneira eu professor, gostaria que eles
resolvessem as atividades propostas. Essa dificuldade percebida demonstra ao meu
entender que os alunos estão acostumados a que se diga a eles logo no inicio da
atividade proposta, qual conteúdo se está trabalhando, e o que queremos como
resposta, para que a partir dai ele possa se munir de ferramentas para elaboração
de sua estratégia de resolução.
Conforme os alunos haviam solicitado, ao termino da Atividade 1, eu
professor mostrei uma maneira de resolver o item A da Atividade 1, formulando uma
equação conforme foi feira nas análises preliminares, que esta na pagina 47 dessa
dissertação. Eu em nenhum momento falei a palavra equação, entretanto, os alunos
conseguiram perceber e disseram que se tratava do conteúdo de equações.
Agora vamos tirar conclusões dos protocolos produzidos em nossa coleta de
dados, com o intuito de mostrar um panorama dos Significados que eram esperados
e os que efetivamente surgiram durante a realização das atividades. Podemos partir
de um quadro como este para tirar algumas conclusões:
121
ATIVIDADES
SIGNIFICADO
ESPERADO
GRUPO 1 GRUPO 2 GRUPO 3 GRUPO 4
ATIVIDADE 1A
EST CONJ
EST GEN
INT PRAG
INT PRAG
N.S.P. INT PRAG EST CONJ
INT PRAG
ATIVIDADE 1B
EST CONJ
EST GEN
INT PRAG
INT PRAG N.S.P. N.S.P. EST CONJ
INT PRAG
ATIVIDADE 1C
DED GEOM
EST GEN
N.S.P. N.S.P. N.S.P. N.S.P.
ATIVIDADE 1D
DED GEOM DED
GEOM
DED
GEOM ----------- DED GEOM
ATIVIDADE 2ª
N.E.S. N.E.S. N.E.S. ----------- N.E.S.
ATIVIDADE 2B
EST CONJ DED
GEOM INT PRAG ----------- INT PRAG
ATIVIDADE 2C
DED GEOM
INT PRAG INT PRAG INT PRAG -----------
DED GEOM
INT PRAG
ATIVIDADE 2D
EST GEN N.S.P. N.S.P. ----------- DED GEOM
INT PRAG
Legendas:
DED GEOM – Dedutivo Geométrico
EST CONJ – Estrutural Conjuntista
122
EST GEN – Estrutural Generalista
INT PRAG – Intuitivo Pragmático
N.S.P. – Nenhum dos Significados Percebido
N.E.S. – Não era esperado Significado
-------- – Não participou do item da atividade
Utilizando o quadro ilustrativo, faremos agora primeiramente, uma explanação
do que ocorreu item a item nas Atividades 1 e 2. Logo em seguida faremos também
relacionando ao quadro ilustrativo, uma leitura do que ocorreu grupo a grupo do que
surgiu em nossas análises. Essas leituras do quadro ilustrativo irão servir logo na
sequencia, como suporte para as repostas aos nossos questionamentos, e as
considerações finais que eventualmente tiraremos desse nosso trabalho de
pesquisa.
Os itens A e B da Atividade 1 foram concebidos em conjunto, no intuito de
criar uma possível estratégia comum de resolução, ou seja, proporcionar ao aluno
que no item A reconheça a estrutura dos dados que eram informados e seja capaz
de generaliza-los, apresentando uma expressão algébrica conforme as
características dos dados. Para o item B, o aluno poderia utilizar a mesma estrutura
do item A e chegar a um equacionamento geral para o problema dos planos de
telefonia. Com isto, no nosso entender, apareceria o Significado ESTRUTURAL
GENERALISTA; entretanto, isto não ocorreu e essa forma de estratégia não aparece
nos protocolos de resolução dos quatro grupos que participaram da atividade
envolvendo os itens A e B, nem nas transcrições de áudio efetuadas apenas do
Grupo 4. Acreditamos que os alunos não conseguiram reconhecer e expressar em
forma de equação a estrutura dos dados colocados tanto no item A como no item B,
por não estarem acostumados, em seu dia a dia escolar, com um trabalho com
problemas contextualizados. Os alunos que foram sujeitos de nossa pesquisa estão
acostumados com o tipo de aula tradicional, na qual, no inicio da aula, o professor já
informa qual o conteúdo matemático que vai ser apresentado e logo em seguida
passa às definições com as respectivas fórmulas e mostra, às vezes de forma
123
exaustiva, exemplos que têm, em seu enunciado, uma expressão algébrica pronta.
Este tipo de abordagem acarreta, em nossa opinião e na de Fiorentini (1993) uma
espécie de treinamento baseado em um modelo previamente imposto, que envolve
um processo mecanizado repetitivo.
Outro significado que também esperávamos (ver análise preliminar, página
51), para os itens A e B, era o INTUITIVO PRAGMÁTICO, que surgiria na forma de
uma estratégia de resolução que envolvesse o entendimento da problemática dos
dois itens e do uso dos dados informados, para chegarem, por meio de cálculos
aritméticos, a valores que pudessem ser comparados e que possibilitassem chegar a
uma conclusão, tanto para o item A como para o item B, de qual seria o melhor
plano de telefonia. O Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO surgiu nos Grupos 1, 3
e 4. O Grupo 2 não conseguiu formular nenhum tipo de cálculo, nem qualquer outro
tipo de operação, com os quais pudéssemos interpretar como relativos ao
Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO, ou a qualquer outro tipo de Significado de
Equação, em suas tentativas de resolução. Concluímos que duas podem ser as
causas: os alunos do Grupo 2 não se sentiram confiantes para responder, por não
terem o costume de trabalhar conteúdos matemáticos com problemas
contextualizados, antes da “explicação” do professor; ou não se envolvera com tema
abordado no problema, pois nos demais itens dessa atividade também não
conseguimos perceber um interesse maior para o equacionamento da atividade.
Ainda para os itens A e B da Atividade 1 apontamos, em nossa análise
preliminar (ver página 50), o possível surgimento de uma estratégia ligada ao
Significado ESTRUTURAL CONJUNTISTA, na qual o aluno reconheceria dois
conjuntos, no que diz respeito aos valores dados e, a partir daí, apresentaria um
equacionamento que levasse a comparações entre os elementos desses dois
conjuntos. Nos protocolos dos Grupos 1, 2, 3 e 4 percebemos a compreensão das
relações entre os conjuntos de valores monetários e de contagem de minutos,
embora não apresentem nenhuma expressão algébrica que nos permitiria afirmar
que o Significado ESTRUTURAL CONJUNTISTA realmente surgiu. Apenas na
análise do Grupo 4, referente à transcrição 2, percebemos, no diálogo entre os
integrantes, as relações que justificariam o surgimento do significado ESTRUTURAL
CONJUNTISTA.
124
Transcrição 2
A3: Ai da x
A3: Ai a gente pega esse aqui, menos o valor desse aqui vai dar 60 né e multiplicar
por esse aqui vai dar y, ai (...) a resposta é maior ai (...), o maior ai maior a gente vai
tira, ai vamos pegar o menor
A1: Na realidade a gente vai somar e sim vai acrescentar a mensalidade disso e vai
multiplicar no final.
Mesmo com o surgimento do Significado ESTRUTURAL CONJUNTISTA
observado nesta transcrição, o que parece claro para nós é a insegurança, por parte
dos alunos, de tentarem escrever, de uma forma simbólica, aquilo que conseguem
perceber no enunciado proposto. Esta insegurança, em alunos da 2ª série do Ensino
Médio, tem, no nosso entender, pelo menos três causas muito séria: a falta de
confiança no próprio potencial para resolver matematicamente um problema novo
(BARBOSA, 2001); a dificuldade da passagem da Aritmética para a Álgebra, já
ressaltada por Lins e Gimenez (2001); a falta de motivação e de interesse em
matematizar, de alguma maneira formal, conteúdos matemáticos (o saber), sem que
o professor interfira diretamente, apresentando fórmulas e sugestões, o que
auxiliaria o crescimento da relação entre o ensino (professor) e a aprendizagem
(aluno).
Queremos ressaltar ainda, em relação aos itens A e B, o não surgimento de
nenhum dos Significados de Equação no protocolo analisado do item B do Grupo 3
(ver página 96). Neste caso, a resposta dada no protocolo não envolve Matemática,
pois os alunos decidem apontar o plano de maior franquia, “... devido a família não
ter certeza de quanto irá gastar”. Assim, fica para nós uma pergunta “Será que eles
se interessaram pelo assunto abordado?... ou simplesmente deram uma resposta a
um exercício proposto pelo professor?”.
125
Os itens C e D foram elaborados, assim como os itens A e B, de forma
conjunta. Inicialmente imaginamos que o questionamento do item C traria uma
estratégia que envolvesse a construção de gráfico, dessa forma caracterizando o
surgimento do Significado DEDUTIVO GEOMETRICO. Caso os alunos não
construíssem um gráfico no item C, colocamos, no item D, o gráfico já construído, o
que poderia possibilitar ao aluno interpretar as curvas pertencentes a cada uma das
franquias e apontar em quais pontos do gráfico um plano se torna mais vantajoso
que o outro. Para o item C, ainda previmos uma possível estratégia por meio de
Inequações, o que poderíamos interpretar como relativo ao surgimento do
significado ESTRUTURAL GENERALISTA.
Com relação ao item C, nem nos protocolos dos Grupos 1, 2, 3 e 4, nem na
transcrição do Grupo 4, aparece algum dos Significados de Equação. Os alunos não
conseguem conceber nenhum tipo de estratégia para equacionar matematicamente
o problema e apegam-se à argumentações referentes à incerteza da família quanto
à expectativa de gasto em minutos. Concluímos que a não generalização, por meio
de uma expressão algébrica, das respostas dadas nos itens A e B, impediu-os de
construir um gráfico que pudesse representar os modelos das possíveis situações
dadas e, a partir do qual, pudessem responder o item C. Nossa avaliação é que
estes alunos não tiveram - ou pelo menos não o foi de forma a se tornar relevante -
experiências que envolvessem gráficos como uma ferramenta para resolver
problemas de Matemática. O que consideramos muito negativo, pois os gráficos
podem trazer uma nova visão de um modelo matemático, tanto no caso de equação,
como no de inequação ou qualquer outro conteúdo relacionado à Matemática e
podem contribuir para a compreensão do modelo em pauta.
No item C podemos concluir que não houve o surgimento nem do Significado
DEDUTIVO-GEOMÉTRICO e nem do ESTRUTURAL-GENERALISTA.
Fizeram o item D os Grupos 1, 2 e 4 e, pelas análises dos protocolos destes
grupos, percebemos o surgimento do Significado DEDUTIVO GEOMÉTRICO. Nos
protocolos 4, 18 e 19 (respectivamente nas páginas 69, 100 e 101), vemos que eles
conseguem reconhecer as curvas pertencentes a cada plano e conseguem
estabelecer relações entre elas e comparar determinados pontos dessas curvas. Isto
mostra que é possível trabalhar o conceito equação utilizando gráficos, não somente
126
a partir de um gráfico pronto, para o aluno interpretar, mas também por meio da
utilização de problemas contextualizados para a construção dos mesmos. Também
achamos possível o uso dos gráficos para conseguir uma relação entre o que
chamamos pensamento algébrico (FIORENTINI, 1993; LINS e GIMENEZ, 2001) e
uma linguagem algébrica simbólica formal.
Para terminar nossas conclusões, relativas à Atividade 1, é importante relatar
que, em vários momentos, principalmente durante a primeira sessão de aplicação,
os alunos demonstraram grande preocupação sobre qual seria o conteúdo
matemático implícito na atividade, ou em relatos em forma de diálogo, como o
ocorrido entre integrantes do grupo 2, em que uma aluna questiona os colegas
perguntando “Qual será o conteúdo que ele quer ver se nós sabemos?”. Ou em
forma direta de pergunta para nós, como é o caso dos alunos do Grupo 4, que nos
questionam da seguinte forma: “Que conteúdo está sendo perguntado nesta
atividade?”. Infelizmente não temos a transcrição do áudio para estas solicitações.
Devido à curiosidade excessiva demonstrada por estes alunos, fomos à lousa
e mostramos uma possível estratégia de resolução e, prontamente, quatro dos
alunos disseram tratar-se do conteúdo equação.
Apesar de nossa intervenção, podemos concluir que na continuidade, com a
aplicação da Atividade 2, não houve influência, nem positiva nem negativa, nos
resultados que obtivemos. Pois não é percebida qualquer menção, tanto nos
protocolos quanto nas transcrições, ao fato de se tratar de equação o conteúdo
implícito nas atividades.
Atividade 2 item A: Este item da Atividade propiciava, logo após a leitura do
texto referente à problemática, uma reflexão para gerar uma discussão entre nós e
todos os alunos sobre qual seria a melhor forma de ocupar o terreno para acomodar
as famílias que ali iriam habitar. Não esperávamos nenhuma forma de
equacionamento e, portanto, nenhum dos Significados de equação. Queríamos que
os alunos chegassem a um consenso, de qual seria a melhor forma de ocupação do
terreno e acreditávamos que eles iriam se decidir pela construção de prédios,
expectativa esta confirmada.
127
Atividade 2 item B: O que era esperado para este item era que os alunos
conseguissem interpretar as características de cada informação referente à
problemática e pudessem criar relações entre esses dados distintos, que os
levassem a conceber e formular uma expressão algébrica para os valores propostos,
relacionando espaço e número de famílias, o que poderia trazer à tona o Significado
ESTRUTURAL CONJUNTISTA.
Participaram deste item os Grupos 1, 2 e 4; o Significado ESTRUTURAL
CONJUNTISTA não surge nas análises dos protocolos nem nas transcrições do
Grupo 4. Os alunos até conseguem observar e apontar relações envolvendo o
conjunto de dimensões do terreno e o conjunto de prédios, mas em nenhum
momento formulam algum tipo de expressão algébrica que pudesse sugerir um
equacionamento. Essa dificuldade em expressar, em uma linguagem algébrica
simbólica, as relações entre conjuntos, já foi apresentada por nós nas conclusões
relativas à Atividade 1, onde apontamos três possíveis causas para essa
dificuldade: a falta de confiança no próprio potencial para resolver matematicamente
um problema novo; a dificuldade da passagem da Aritmética para a Álgebra; a falta
de motivação e de interesse em matematizar, de alguma maneira formal, conteúdos
matemáticos.
Porém, nas resoluções dos Grupos 2 e 4, surge o Significado INTUITIVO
PRAGMÁTICO, pelo uso de cálculos aritméticos como forma de equacionamento
dos dados apresentados.
Já o Grupo 1 traz, em sua resolução, um desenho geométrico representando
as dimensões envolvendo o terreno e a construção dos prédios, trazendo assim
dessa forma o uso da Geometria para o equacionamento do problema proposto.
Com isso caracteriza-se o surgimento do Significado DEDUTIVO GEOMÉTRICO,
embora acreditemos que isto ocorreu porque a atividade tem no seu enunciado do
item A, um desenho de um retângulo para representar os dados do terreno.
Para o item C da Atividade 2, esperávamos, como estratégia de resolução, o
uso de cálculos aritméticos envolvendo os dados propostos no enunciado deste
item, o que caracterizaria o surgimento do Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
Outro Significado esperado era o DEDUTIVO GEOMÉTRICO, que poderia surgir
128
quando os alunos utilizassem os dados apresentados para a construção de
desenhos de formas geométricas que pudessem expressar um equacionamento do
problema proposto.
Participaram do item C da Atividade 2 os Grupos 1, 2 e 4 e o Significado
INTUITIVO PRAGMÁTICO aparece nas resoluções dos protocolos dos três grupos,
na forma de cálculos com operações aritméticas, mostrando uma repetição do que
ocorreu na Atividade 1, qual seja, partir sempre, como estratégia principal de
resolução, para o calculo aritmético. Novamente concluímos que podem existir duas
causas para esse fato: a insegurança em trabalhar com problemas contextualizados,
devido ao fato de não terem o costume de trabalhar com esse tipo de atividade; e o
desinteresse pelo tema abordado na atividade, o que pode ter acarretado uma falta
de motivação no sentido de se empenhar mais na tentativa do equacionamento da
atividade.
Outro Significado esperado para este item era o DEDUTIVO GEOMÉTRICO,
que pudemos identificar nos protocolos dos Grupos 2 e 4, onde os alunos partem
para o uso de formas geométricas para representar o terreno e os prédios dentro
dele, embora não tenham feito uma representação proporcional disso. Esta falta de
proporcionalidade preocupa-nos, pois são alunos da 2ª série do Ensino Médio e, no
nosso entender, deveriam ter mais cuidado com a apresentação de soluções que
envolvem medidas em Matemática.
Atividade 2 item D: este item foi elaborado como uma continuação do item C,
ou seja, aproveitando a solução encontrada no item C, os alunos poderiam criar uma
lei, em forma de uma expressão algébrica simbólica, que preservasse as
características encontradas na solução do item C e chegasse a uma equação que
traria a generalização da estratégia.
Os Grupos 1 e 4 relacionam algumas informações concebidas na resolução
do item C e conseguem, com a ideia do aumento do número de andares,
estabelecer uma solução para o questionamento do item D; entretanto, não
apresentam nenhuma linguagem simbólica para mostrar essa generalização. O
grupo 2 não consegue nem mesmo preservar as características da estratégia
apresentada no item C e parte para uma solução desvinculada da dada no item C.
129
Assim, não surge, em nenhum dos grupos, o Significado ESTRUTURAL
GENERALISTA, pois os alunos não conseguem extrair e utilizar, dos dados do
problema, características que permitiriam a generalização. Como discutimos
anteriormente, na Atividade 1, o reconhecimento das informações e das relações
entre os dados fornecidos no problema e a dificuldade de apresentar uma forma de
equacionamento com uma linguagem algébrica simbólica, pode ser atribuída às
mesmas duas possíveis causas citadas em nossas conclusões do item C (ver página
121).
Ainda neste item surge o Significado DEDUTIVO GEOMETRICO, por meio de
formas Geométricas, identificadas nos protocolos do Grupo 4.
Terminamos aqui nossas conclusões, referentes ao surgimento ou não dos
Significados de Equação, item a item. A partir daqui, vamos olhar e analisar como
cada grupo em particular, concebe o conceito de equação, para verificar se o
conceito aparece e se se transforma, ao longo das duas atividades.
Vamos iniciar essas análises com o Grupo 1, que participou de todos os itens
envolvidos nas Atividades 1 e 2. Foram analisados desse grupo somente os
protocolos.
O Grupo1 usa como estratégia logo na Atividade 1 item a, o cálculo
aritmético, remetendo ao Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO. Para o item B, era
solicitada uma nova estratégia de resolução, e mesmo com essa solicitação, o grupo
utiliza novamente o calculo aritmético para chegar ao resultado. Novamente surge
no nosso entender, o Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
O protocolo referente ao item C mostra um desinteresse do grupo em tentar
chegar a um equacionamento para a atividade. Isso fica evidente quando os alunos
não produzem nenhum tipo de estratégia matemática. Consequentemente, não
surge nenhum Significado de Equação.
No item D, a atividade apresenta um gráfico e, com eles, procura-se identificar
se o aluno consegue perceber as relações nele contidos. O Grupo 1 consegue
estabelecer estas relações, caracterizando o Significado DEDUTIVO
GEOMÉTRICO. Isso demonstra que esses alunos conseguem interpretar a leitura do
130
gráfico, percebendo assim parâmetros que os permite efetuar comparações, no
sentido de equacionar problemas.
A Atividade 2, é de um caráter mais aberto, na qual os alunos tinham um
maior controle na condução da atividade. No item A, os alunos deste grupo
contribuem bastante para a discussão que leva à decisão pela construção de
prédios.
No item B, utilizam como estratégia de resolução um desenho geométrico que
demonstra a ocupação do terreno, mesmo sem usar as proporções corretas na
construção desse desenho, mas caracterizando equacionamento que leva à ideia
do Significado DEDUTIVO GEMÉTRICO.
No item C confirmou-se nossa expectativa do uso de uma estratégia
envolvendo cálculos aritméticos e surge assim o Significado INTUITIVO
PRAGMÁTICO.
A ideia para o item D era de aproveitar a estrutura dos dados da resolução do
item C, para que se fizesse uma generalização, por meio de uma expressão
algébrica simbólica, que caracterizaria o surgimento do Significado ESTRUTURAL
GENERALISTA, o que não ocorreu, pois novamente usaram cálculos aritméticos,
que caracterizariam o surgimento, novamente, do Significado INTUITIVO
PRAGMÁTICO.
O que podemos concluir é que não houve em nenhum momento,
preocupação em produzir um resultado com maior rigor na escrita matemática. Não
houve, também, uma preocupação na proporcionalidade referente aos desenhos
geométricos produzidos. Os alunos se apegaram, desde o principio, ao uso de
cálculos aritméticos e não demonstraram nenhuma evolução no que diz respeito à
apresentação de novas estratégias matemáticas que pudessem envolver novos
modelos. Acreditamos que duas são as causas possíveis: a falta de costume em
trabalhar com problemas contextualizados; e um provável desinteresse pelos temas
abordados.
Pensando nos Multisignificados de Equação, os alunos do Grupo 1 concebem
a ideia de equação por meio do Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
131
O Grupo 2 participou de todos os itens das duas atividades trabalhadas e
foram analisados apenas protocolos.
Desde o inicio, os alunos mostraram uma grande dificuldade em compreender
o que estava sendo solicitado no enunciado de cada uma das atividades.
Concluímos que esse é o motivo pelo qual não conseguiram mostrar nenhuma
estratégia matemática para os itens A, B e C da Atividade 1.
Somente no item D da Atividade 1 parecem ter compreendido as relações do
gráfico apresentado, caracterizando assim o surgimento do Significado DEDUTIVO
GEOMÉTRICO.
Na Atividade 2, nos itens B, C e D, os alunos do Grupo 2 tentam, por cálculos
aritméticos o equacionamento do problema. Mesmo com equívocos nos cálculos
aritméticos, há o surgimento do Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
Podemos concluir que os alunos desse grupo tiveram uma enorme dificuldade
em se envolver com esse tipo de atividade, possivelmente pela falta de costume em
se trabalhar com atividades contextualizadas, e sem terem sido informados, no inicio
da atividade, qual o conteúdo que estava em jogo. Isto fica evidente pois na
continuidade da Atividade 2, os alunos conseguiram evoluir para um
equacionamento por meio de cálculo aritmético.
O Grupo 3 participou apenas dos itens A, B e C da Atividade 1, sendo que no
item A conseguiram conceber uma estratégia de resolução por meio de cálculos
aritméticos. Para o item B, partiram para uma justificativa não matemática como uma
nova estratégia de resolução. E no item C, como os demais grupos participantes,
não conseguiram apresentar nenhuma solução Matemática para o problema
proposto.
Apesar da participação em menos da metade das atividades de nossa
pesquisa, o que podemos concluir é que esses alunos não se sentiram motivados a
se envolver nas atividades. Uma explicação para essa falta de motivação talvez se
dê pelo fato dos alunos deste grupo pertencerem a classes diferentes; e talvez por
isso, não se sentiram à vontade para trabalhar em conjunto para resolverem as
atividades.
132
O Grupo 4 no nosso entender, foi o que manifestou maior interesse nas
sessões desenvolvidas. Interesse esse demonstrado, por meio do maior número de
discussões entre seus integrantes e uma maior interação com o professor. Sempre
manifestando curiosidade sobre as possíveis soluções para as atividades.
Este grupo participou de todos os itens que envolviam as Atividades 1 e 2, e
foram analisados os protocolos e as transcrições nas quatro sessões realizadas.
Logo no item A da Atividade 1, os alunos mostram interesse no tema
abordado, questionando e discutindo a problemática. Similarmente aos demais
grupos, produzem uma estratégia, no protocolo, que envolve cálculos aritméticos,
caracterizando o Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO. Na análise das
transcrições, pudemos perceber que os alunos desse grupo conseguem conceber
equação de forma a emergir o Significado ESTRUTURAL CONJUNTISTA, pois
expressam e compreendem as relações dos dados em forma de conjuntos distintos,
e chegam a identificar uma forma de pensamento algébrico simbólico, conforme a
transcrição que está na página (62); mas não conseguem traduzir para o protocolo
essa linguagem. Na continuidade das atividades, no item B, repetem o mesmo tipo
de estratégia empregada no item A, como os demais grupos e não conseguem
elaborar nenhum tipo de estratégia para o item C, talvez pelos mesmos motivos que
apontamos para os demais grupos: No item D conseguem interpretar o gráfico
proposto, concretizando o surgimento do Significado DEDUTIVO GEOMÉTRICO.
Para a Atividade 2, devemos apontar dois aspectos: em primeiro lugar apesar
de termos mostrado ao final da Atividade 1, uma estratégia de resolução para o item
A e logo em seguida os alunos terem dito que se tratava de equação, isto não se
traduziu em uma influência nos resultados produzidos pelos grupos, pois não foi
apresentada a partir de então, nenhuma estratégia que pudesse expressar uma
forma diferente de equacionamento daquela apresentada até aquele dado
momento; um segundo lugar o desenho apresentado no enunciado do item A da
Atividade 2 pode ter influenciado os alunos do Grupo 4, pois nos protocolos C e D
utilizam desenhos de formas geométricas para representar o equacionamento da
problemática desses itens.
133
6.2 Respostas às Questões de Pesquisa
Vamos retomar cada uma de nossas questões de pesquisa, a fim de
respondê-las, a partir de nossas conclusões e reflexões, que estão fundamentadas
nas análises que fizemos dos protocolos e transcrições.
1) Como os alunos concebem a noção de equação?
Estes alunos apresentaram uma noção de equação por meio de cálculos
aritméticos, o que caracteriza o Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO. Vamos
justificar esta nossa resposta a partir das conclusões que temos de nossas análises
grupo a grupo.
Todos os quatro grupos envolvidos nessa atividade, demonstraram ter
capacidade para entender, agrupar e fazer comparações. A dificuldade que nós
percebemos está em transpor o que eles observam e compreendem dessas
relações para uma linguagem que possa ser manifestada por meio de uma
expressão algébrica. Essa dificuldade em transpor para uma linguagem algébrica
simbólica acaba acarretando um circulo vicioso, pois eles não conseguiram associar
o conteúdo equação, com as atividades propostas.
Essa dificuldade vai ao encontro das ideias de Fiorentini (1993), que aponta
que o pensamento algébrico não depende única e exclusivamente de uma
linguagem algébrica formal para se expressar, e sim que o pensamento algébrico
pode se manifestar por outros tipos de linguagem como: a linguagem natural,
linguagem aritmética, linguagem geométrica ou da criação de uma linguagem
específica para esse fim. Na pesquisa de Dorigo (2010), ele também observa essa
dificuldade do aluno em conceber a noção de equação, mesmo quando o aluno é
informado que o conteúdo implícito na atividade se trata de equação.
Então podemos entender que na tentativa de interpretar os questionamentos
propostos, eles conseguem conceber o conceito de equação, indo ao encontro do
Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
134
2) Quais significados eles atribuem à noção de equação?
Para responder esta questão, vamos utilizar nossas conclusões item a item.
Como não dissemos a este grupo de alunos, no inicio das atividades, que se
tratava de equação o conteúdo implícito, esses alunos não conseguiram relacionar,
de forma consciente, o conteúdo equação à atividade. Com isso esses alunos
partem como estratégia de resolução para os cálculos aritméticos, surgindo assim o
Significado INTUITIVO PRAGMÁTICO. Indo ao encontro dos resultados obtidos na
pesquisa de Dorigo (2010), que observa através de um diagnóstico, que os alunos
utilizam como estratégia de resolução o processo de tentativa, emergindo assim o
significado INTUITIVO PRAGMÁTICO.
Outro Significado que surge é o DEDUTIVO GEOMÉTRICO, na forma de
estratégias envolvendo dois aspectos: esses alunos demonstram a capacidade de
equacionamento quando é fornecido a eles um gráfico, entendem e estabelecem
relações entre os dados abstraídos da leitura do mesmo, para poderem a partir dai
expressar comparações; quando a problemática envolve dimensões como em forma
de medidas, estes alunos utilizam desenhos de formas geométricas para expressar
o equacionamento da problemática envolvida, entretanto não preservando o rigor
matemático no que diz respeito à proporcionalidade na construção desses
desenhos.
Para sermos mais rigorosos na resposta desta questão de pesquisa, temos
que relatar o Significado ESTRUTURAL CONJUNTISTA, que surge no item A da
Atividade 1, somente na transcrição analisada, onde é formulada uma expressão
algébrica que caracteriza o surgimento desse Significado na (pagina 62). O que
podemos perceber nos demais grupos é que eles conseguem até compreender e
estabelecer relações em forma de conjunto, mas talvez por insegurança não
consigam transpor isso para uma expressão algébrica.
3) Como à abordagem dos Multisignificados de Equação, por meio de
Modelagem Matemática, pode contribuir para a construção e/ou
ampliação do conhecimento equação?
135
O uso do ambiente de aprendizagem Modelagem Matemática permitiu que se
trabalhassem atividades mais contextualizadas. Com isso, as atividades elaboradas
em conjunto com o ambiente de modelagem, permitiram diversas discussões no
intuito de estabelecer estratégias Matemáticas de resolução, o que pode, embora
subliminarmente, contribuir com a construção e/ou ampliação do conhecimento
equação. Entretanto como professor e pesquisador, refletindo sobre a intervenção
realizada com esses alunos, acredito que a Modelagem Matemática pode contribuir
muito se aplicada paralelamente como ambiente de aprendizagem no dia-dia da sala
de aula, servindo como auxiliadora na compreensão dos conteúdos a serem
trabalhados junto com os alunos.
6.3 Considerações finais
Este trabalho científico de pesquisa partiu de uma problemática que envolvia
nossas inquietações como aluno e agora como professor, em relação à forma como
são apresentados e trabalhados os conteúdos de Álgebra na Educação Básica.
Partindo dessa problemática, encontramos a possibilidade de realizar um trabalho
científico, que tem como principal preocupação, contribuir com o ensino e,
consequentemente, com o aprendizado do conceito equação. Baseamo-nos nas
ideias de Ribeiro (2007) de que existem pelo menos seis significados diferentes de
equação, caracterizados por ele a partir de um estudo histórico epistemológico. Não
tivemos a pretensão de quantificar ou de mostrar que determinado Significado é
melhor ou pior ou que apareceu mais ou menos vezes nos protocolos gerados pela
aplicação de duas atividades e em algumas áudio-gravações que conseguimos
transcrever.
A Problemática e o trabalho de intervenção - junto a um grupo de alunos de
uma 2ª série do Ensino Médio - e posteriormente as análises e conclusões que
apresentamos têm o intuito de contribuir com o que foi proposto inicialmente, dentro
de um projeto maior, no qual nosso trabalho de dissertação está inserido, que é
analisar quais são as contribuições que uma abordagem com os
Multisignificados de Equação, num ambiente de modelagem matemática, pode
trazer à construção e/ou ampliação do conhecimento equação junto aos alunos.
136
No nosso entender, conseguimos obter uma contribuição positiva, tanto pelo
ambiente de aprendizagem escolhido por nós, que é a Modelagem Matemática
(BARBOSA, 2001), como também pelo trabalho que foi desenvolvido envolvendo os
Multisignificados de Equação (RIBEIRO, 2007). Com a modelagem, o grupo de
alunos, sujeitos da pesquisa, pôde vivenciar uma forma não tradicional de ensino,
com problemas contextualizados, que não os induzisse a estratégias de resolução
previamente determinadas, portanto mecanizadas (FIORENTINI, 1993); esta forma
de abordagem conseguiu expor certas fragilidades no que diz respeito à abordagem
do conteúdo equação. Nós ficamos muito preocupados sobre a forma em que a
Álgebra em geral é trabalhada. Em conversa informal, pudemos perceber que alguns
dos alunos, manifestaram preocupações em relação ao conteúdo que já deveriam
ter sido “aprendidos”. Lanço como desafio a procura da resposta. Será que esta falta
de “autonomia” não merece uma reflexão mais profunda sobre a forma de ensino?
Com relação aos resultados, se os colocarmos numa “hierarquia”, do tipo
mais simples para mais sofisticado – INTUITIVO PRAGMÁTICO; DEDUTIVO
GEOMÉTRICO; ESTRUTURAL CONJUNTISTA; ESTRUTURAL GENERALISTA;
PROCESSUAL TECNICISTA; AXIOMÁTICO POSTULACIONAL – percebemos que
estes alunos, embora no 2º anos do Ensino Médio, partem de imediato para um
cálculo aritmético numérico.
Como acreditamos que uma abordagem de equação deveria permitir aos
alunos vivenciar em pelo menos 5 dos Multisignificados de Equação (Achamos que o
Significado AXIOMÁTICO POSTULACIONAL, não seria necessário na Educação
Básica, pois se trata de uma forma de perceber a equação como um ente primitivo,
que não necessariamente precisaria ser aprendido). Gostaríamos de deixar
registrado neste trabalho nossa preocupação com os resultados que obtivemos e
que mostram uma limitação naquilo que se espera de um grupo de alunos do Ensino
Médio, no que se refere não somente ao conteúdo equação, como também a
Álgebra. Fazendo uma avaliação dos componentes empregados nesta pesquisa,
lançamos alguns questionamentos que talvez nós mesmos devamos tentar
encontrar a resposta: Será que as atividade estavam bem elaboradas no que se
refere à pergunta e à resposta que esperávamos dos alunos?; Será que o nosso
desempenho na realização da intervenção, utilizando o ambiente Modelagem
Matemática, foi satisfatória e contribuiu com os alunos?; Por não termos realizado
137
nenhuma atividade antes com esses alunos, isso não afetou o seu desempenho?
Como se tratava de uma atividade que envolvia equação. Será que deveríamos
então dizer aos alunos logo no inicio da atividade que se tratava de equação?.
Esses questionamentos talvez só possam ser respondidos, com uma nova
sessão com esses mesmos alunos, talvez empregando novas atividades e
realizando uma entrevista com esses alunos.
Termino aqui as minhas considerações finais, deixando manifestada a
sugestão para futuros pesquisadores, que se utilizem desse trabalho, como mais
uma fonte inspiradora, no sentido de desenvolverem novos projetos, artigos, etc.
Tanto abordando trabalhos que possam envolver o conteúdo equações e o campo
Álgebra. Como também trabalhos envolvendo o ambiente de aprendizagem
Modelagem Matemática.
138
REFERÊNCIAS
139
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resolução de problemas: um apresentação contextualizada da obra de Krutetskii" de
2005. (Doutorado em Educação Matemática)
ZANCHET, BEATRIZ MARIA BOÉSSIO. “Desenvolvimento na perspectiva de
aprendizagem significativa” de 2000. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática).
143
ANEXOS
144
TERMO DE CONSENTIMENTO São Paulo, __ de _______ de 2010.
Prezado(a) Sr(a). Diretor(a) _________________________________
Diretor(a) da ______________________________________________.
Vimos por meio desta solicitar vossa autorização para o desenvolvimento e a
participação de alunos desta escola na pesquisa mestrado “Os Multisignificados
de Equação no ensino e aprendizagem de Matemática para o Ensino Médio.”,
vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo, a ser desenvolvida na
_____________________________, durante este mês de Novembro e Dezembro.
Gostaríamos de esclarecer que:
1) Estaremos solicitando autorização de participação dos alunos;
2) O aluno irá participar das seções de intervenção, onde ele irá trabalhar em
grupo para resolver algumas atividades envolvendo “Conhecimentos
Matemáticos”;
3) A identidade dos alunos assim como da escola serão mantidas em absoluto
sigilo;
4) Tanto o aluno e a escola podem solicitar informações adicionais, bem como
tomar ciência do andamento e dos resultados (parciais e finais) da pesquisa a
qualquer momento;
5) É facultado ao aluno deixar de participar da pesquisa a qualquer momento;
6) Não há qualquer vinculo financeiro entre o pesquisador, instituições de ensino
e alunos.
Esclarecemos ainda que os resultados desta pesquisa deverão ser publicados
em revistas cientificas e/ou congressos na área da educação, sempre mantendo
o anonimato dos alunos e da escola. Colocamos a disposição para quaisquer
esclarecimentos e necessidades, pelo telefone (11) 2972-9045, com Professor
Alessandro Jacques Ribeiro ou Professora Tânia Maria Mendonça Campos.
Atenciosamente,
_________________________________
Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro
Autorizado: __________________________________
Diretor(a) da Instituição
145
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
São Paulo, ____ de Novembro de 2010.
Prezado aluno_______________________________________________________,
Vimos por meio desta solicitar vossa concordância para participação, na
pesquisa de mestrado Silvio Antonio da Silva sob o título “Os Multisignificados de
Equação no ensino e aprendizagem de Matemática para o Ensino Médio..”,
vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante do Brasil, a ser desenvolvida durante este mês de
Novembro e Dezembro de 2010.
Gostaríamos de esclarecer que:
1) Você irá participar das seções de intervenção, onde você irá trabalhar em
grupo para resolver algumas atividades envolvendo “Conhecimentos
Matemáticos”;
2) Sua identidade será mantida em absoluto sigilo;
3) Você pode solicitar informações adicionais, bem como tomar ciência do
andamento e dos resultados (parciais e finais) da pesquisa a qualquer
momento;
4) É facultado a você deixar de participar da pesquisa a qualquer momento;
5) Não há qualquer vinculo financeiro entre o pesquisador, a instituição de
ensino, e a sua pessoa.
Esclarecemos ainda que os resultados desta pesquisa vão compor a
dissertação de mestrado de Silvio Antonio da Silva, assim como poderão ser
publicados em revistas cientificas e/ou congressos na área da educação, sempre
mantendo o anonimato dos alunos entrevistados e da escola. Colocamos a
disposição para quaisquer esclarecimentos e necessidades, pelo telefone (11)
2972-9045, com Profo. Alessandro Jacques Ribeiro ou Profa. Tânia Maria
Mendonça Campos.
Atenciosamente,
______________________________
Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro
Autorizado: __________________________________
146
Atividade 1
Plano de Telefonia
Nos últimos anos houve uma popularização das linhas telefônicas
residenciais. Isto foi possível graças à expansão do mercado, o que acabou gerando
uma forte concorrência entre as diferentes operadoras.
O valor a ser pago em uma determinada conta telefônica é calculado
considerando-se os minutos (tempo) utilizado, mais o valor fixo da franquia escolhida
pelo cliente. Na tabela abaixo são apresentados quatro planos de telefonia
residencial
Plano Mensalidade Horário Normal – minuto
excedente
Franquia Linha Clássica Linha Clássica
250 47,62 0,20457
350 58,17 0,19321
450 68,55 0,18184
550 79,37 0,18184
Fonte: http://www.telefonica.com.br/portal/site/on/menuitem
a) Uma família fez uma expectativa de gastar 390 minutos por mês. Neste caso
qual é o plano mais vantajoso para eles? Justifique sua resposta.
147
b) Após algum tempo utilizando o serviço telefônico esta família percebeu que
estava consumindo, em média 490 minutos. Ainda é vantagem para esta
família permanecer com o plano do item anterior? Justifique sua resposta
(Procure utilizar uma estratégia diferente daquela que você utilizou na item a)
c) Você deve ter percebido que à medida que o consumo aumentou um plano
passa a ser mais vantajoso que o anterior. Imagine então, que esta mesma
família está pensando em contratar o último plano, a partir do próximo mês.
Quanto deve ser o consumo dessa família para que este plano se torne mais
vantajoso? Justifique sua resposta.
d) Através deste gráfico, mostre a partir de quantos minutos um plano é mais
vantajoso que o outro.
148
Atividade 2
Uma favela na cidade de São Paulo ocupa um terreno de 30 metros de
largura por 100 metros de comprimento, e abriga em barracos 240 famílias.
a) De que forma, poderíamos aproveitar este terreno, a fim de abrigarmos essas
mesmas famílias, com uma moradia mais digna?
b) Pensando em utilizar prédios com apartamentos, seria possível acomodarmos
todas essas famílias? Como?
c) Se pensarmos em prédios de 4 andares com 4 apartamentos por andar,
sendo cada prédio medindo por volta de 200 metros quadrados. Quantas
famílias poderíamos acomodar?.
d) O que poderíamos mudar na estrutura dos prédios para que pudéssemos
acomodar mais de 300 famiíias? Justifique.
149
Da falta de saneamento básico à ausência de asfalto, os obstáculos variam - até a
localização do assentamento pode ser um problema. "As favelas costumam surgir em
regiões que outros empreendimentos imobiliários não ocuparam: sob pontes e viadutos,
à beira de córregos ou em encostas de morros", diz Alex Abiko, professor de
engenharia civil da USP. A urbanização de favelas no Brasil é recente. Nos anos 60, os
moradores eram simplesmente removidos. Depois, por volta dos anos 80, programas do
governo passaram a resolver questões pontuais, como redes de água. Hoje, os projetos
incluem não só infraestrutura mas também melhora na qualidade de vida. Veja aqui os
principais problemas que afetam as favelas e vire a página para entender como elas
são urbanizadas.
Ricardo
Benichio
CIDADE SITIADA
Falta de infraestrutura, condições precárias de saúde e problemas sociais afetam
favelas
LADEIRA ABAIXO
Nas grandes cidades, em geral, os únicos terrenos livres são as áreas de risco, como
encostas de morros e barrancos. É justamente nesses vazios urbanos que surgem as
150
favelas. Improvisadas, as moradias à beira de morros correm risco de sofrer
solapamento e deslizamentos de terra. Quanto mais inclinado o terreno, maior o risco
CURTO-CIRCUITO
Muitas favelas não têm redes de energia elétrica oficiais e recorrem a gatos para
desviar energia. As ligações clandestinas, feitas com material velho e inadequado, são
perigosas: podem provocar desde choques em quem passar perto de um fio
desencapado a incêndios e curtos-circuitos
SEM DOCUMENTO
Quem mora na favela não tem CEP. Entre becos e vielas sem nome, os carteiros ficam
perdidos e as correspondências não chegam. Para piorar, os moradores não
conseguem comprovante de residência, documento necessário para conseguir
emprego, por exemplo. Como as moradias são ilegais, sem escritura, os moradores
correm o risco de despejo o tempo todo
E A CHUVA LEVOU
Sem valetas ou canaletas, a água da chuva não tem por onde escorrer. Quando chove,
a água pode empoçar e virar ninho para o Aedes aegypti, mosquito transmissor da
dengue. A água pluvial arrasta o que está no caminho, além de transformar as ruas de
terra batida em lamaçal
ERA DAS TREVAS
Sem postes de iluminação pública, a população fica desprotegida da violência durante
as noites. Afinal, fica mais fácil para ladrões e traficantes sumir no escuro... Só sobra a
iluminação vinda de dentro das residências
QUESTÃO DE SAÚDE
Como os barracos ficam colados uns aos outros, a luz do Sol não entra. A umidade
aumenta, prato cheio para o crescimento de fungos, que podem causar doenças. Isso
sem falar nos males causados pela falta de saneamento básico, como cólera, disenteria
e esquistossomose
151
BECO SEM SAÍDA
A densidade demográfica é alta - há muita gente por metro quadrado. Sem espaço livre,
falta lugar para ruas - no máximo, há becos e vielas. Isso impede não só o acesso de
carros mas também a entrada de serviços importantes, como caminhões de lixo e
ambulâncias
ENTRANDO PELO CANO
Improvisadas, as casas não estão ligadas à rede de água nem à rede de esgoto oficial
da cidade. Os moradores dão um jeitinho, fazendo gatos que roubam água de casas
vizinhas ou da própria prefeitura, e despejam o esgoto a céu aberto, principal problema
ambiental do país, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)
Ô DE CASA
Pesquisa* mostra quem são os moradores das favelas de SP
Fontes: Urbanização de favelas em foco: Experiências de seis cidades; Urbanização de
favelas – A experiência de São Paulo;
João
Urban/Divulgação
152
CIDADE RESTAURADA
Além de redes de água e luz, área de lazer e geração de emprego dão nova cara à
região
A PRAÇA É NOSSA
As famílias que moravam à beira das áreas de risco também são removidas. Para
acomodá-las, são erguidos prédios - na horizontal, não há para onde crescer. Praças
são construídas nas encostas, cumprindo duas funções: melhoram a qualidade de vida
da comunidade, com esporte e lazer, e evitam que as áreas de risco voltem a ser
ocupadas por barracos
ÀS CLARAS
Os gatos dão lugar à rede oficial de energia elétrica. A favela também ganha postes de
iluminação pública, que, além de aumentar a segurança de quem passa por ali à noite,
ajudam o trânsito noturno de veículos e embelezam os novos prédios e praças
construídos com a urbanização
DESTINO DA CHUVA
A água da chuva escorre por valetas, grelhas e bueiros, feitos de material durável e
sem valor comercial, como concreto. Raramente empregam-se materiais como cobre ou
ferro - os metais têm valor comercial e poderiam ser roubados para revenda em sucatas
e ferros-velhos
CHECK-UP
A urbanização também deve acabar com as moradias insalubres - úmidas e sem luz
natural. Os barracos de madeira, mais frágeis, são substituídos por construções de
alvenaria, que protegem melhor de chuvas e ventos. Com o espaçamento maior entre
as casas, elas ganham janelas, o que já melhora a circulação de ar, a umidade e a
entrada de luz
LAR, DOCE LAR
A etapa final da urbanização da favela é a regularização fundiária. De uma área
ocupada ilegalmente e sujeita a despejos, a favela passa a ser um bairro dentro da lei.
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Além de uma casa para chamar de sua, os moradores ganham documentos que evitam
que eles sejam expulsos de seu imóvel
VIAS DE FATO
As ruas ganham pavimentos permeáveis - os espaços entre os blocos deixam a água
passar. Os antigos becos e vielas viram ruas largas, em que passam ambulâncias e
caminhões de lixo. O problema é que algumas casas podem ser removidas para abrir
espaço
SALVO PELO CANO
Para regularizar o abastecimento de água, as tubulações clandestinas são substituídas
por ramificações da rede oficial de água. O esgoto é canalizado, evitando a poluição de
córregos e rios. Segundo o IBGE, a mortalidade infantil cai de 44,8 mortes por mil
crianças de até 5 anos de idade em residências sem saneamento básico para 26,1 por
mil crianças com a medida
DINDIN POR DINDIN
A urbanização melhora a qualidade de vida, mas traz um problema prático: como pagar
as contas de água e luz, que antes eram "grátis"? Favelas como a de Sacadura Cabral,
em Santo André (SP), criaram programas sociais no entorno, para gerar empregos e
renda aos moradores da região
Consultoria – Alex Abiko, Professor de engenharia civil da POLI – USP; Anderson
Kazuo, arquiteto do Instituo Pólis
