UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

O ESTÍMULO DA INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA

Por: Larissa Guimarães Falleiros

Orientador

Profª. Dayse Serra

Rio de Janeiro

2012

1

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

O ESTÍMULO DA INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA

Apresentação de monografia à AVM Faculdade

Integrada como requisito parcial para obtenção do

grau de especialista em Psicopedagogia.

Por: Larissa G. F.

2

AGRADECIMENTOS

Que sempre seja Deus quem presida suas

horas de alegria, oferecendo a Ele, do mais

íntimo do coração, sua gratidão por tudo

quanto você lhe deve e possui: em felicidade,

em conhecimento, em comodidade, em

triunfos.

LOGOSOFIA

Agradeço primeiramente a Deus que me proporcionou a vida e saúde

para chegar até o dia de hoje.

Agradeço à minha família, que eu tanto amo, pelos conselhos, pela

presença em todos os momentos, pela compreensão, afeto e amor

incondicional.

Agradeço a meu namorado pelo companheirismo e pelo seu exemplo de

determinação.

Agradeço às minhas colegas de curso pela parceria, por

proporcionarem momentos de alegria e por fazerem com que as manhãs de

sábado fossem ainda mais prazerosas e produtivas.

Agradeço aos professores por serem os guias na minha caminhada

dentro do curso de Psicopedagogia através de seus conhecimentos e

experiências e por diretamente ou indiretamente colaboraram com a

construção deste trabalho.

3

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à

minha família que tanto me apoia em

minha caminhada pela busca do

conhecimento.

4

RESUMO

Grande parte dos alunos que apresenta alguma dificuldade de

aprendizagem traz queixa na área da Matemática. O educador deve, portanto,

em sua atuação, seja em sala de aula, escola ou consultório, buscar formas de

estimular a inteligência lógica-matemática de seus alunos. Para isso, é

necessário que se compreenda tal inteligência, como ela é desenvolvida e

quais são as dificuldades e barreiras para este desenvolvimento. Dessa

maneira, o educador poderá atuar com o objetivo de atender às necessidades

e interesses das crianças e adolescentes e um desses caminhos é a utilização

dos jogos.

5

METODOLOGIA

A metodologia utilizada para a produção deste trabalho de conclusão de

curso (TCC) foi, inicialmente, a leitura de livros, jornais e revistas sobre a

matemática e a Educação de uma maneira geral, para ter um embasamento e

ideias para o foco do trabalho. Após esta coleta de dados e escolha do tema a

ser trabalhado, foi feita uma pesquisa bibliográfica em livros e artigos

especializados em desenvolvimento humano e inteligência lógico-matemática.

6

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 07

CAPÍTULO I - O desenvolvimento do sujeito segundo Piaget 08

CAPÍTULO II - A inteligência lógico-matemática e suas implicações na

educação

2.1. Habilidades matemáticas e aritméticas 16

2.2. Discalculia – um problema real 22

CAPÍTULO III – Jogos e atividades para o estímulo da inteligência lógico-

matemática 25

CONCLUSÃO 31

ANEXOS 32

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 78

ÍNDICE 81

7

INTRODUÇÃO

Segundo Antunes (1999), Howard Gardner e uma equipe da

Universidade de Harvard desenvolveram a ideia da existência de inteligências

múltiplas no ser humano. São elas: linguística, lógico-matemática, espacial,

musical, cinestésico-corporal, naturalista, intrapessoal e interpessoal.

Todas essas inteligências podem ser desenvolvidas na vida do ser

humano do início ao fim (principalmente no início) e são cabíveis de

estimulação.

Este trabalho de conclusão de curso tratará de apenas uma dessas

inteligências: a inteligência lógico-matemática. E para melhor compreende-la e

contextualizá-la, o trabalho foi dividido em três capítulos.

O primeiro capítulo trata das etapas do desenvolvimento do sujeito

segundo Piaget descrevendo-as e trazendo um instrumento utilizado para

verificação do estágio atual do indivíduo (provas operatórias).

O segundo capítulo traz referências a respeito do conhecimento lógico-

matemático e suas implicações na vida escolar dos alunos, como por exemplo,

dificuldades e sugestões aos educadores. Neste capítulo considerou-se a

importância de tratar também de um problema, relacionado às habilidades

matemáticas, denominado Discalculia do Desenvolvimento.

O último capítulo discorre sobre a importância do jogo para a

aprendizagem e desenvolvimento do sujeito e traz exemplos de jogos e

atividades que propiciam o estímulo do conhecimento lógico-matemático.

Ao final deste Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) fez-se uma

conclusão que abrange as ideias essenciais sobre o conteúdo tratado.

8

CAPÍTULO I

O DESENVOLVIMENTO SEGUNDO PIAGET

O desenvolvimento cognitivo, de acordo com a teoria de Piaget, seria a

aquisição sucessiva de estruturas lógicas. Estas estruturas são cada vez mais

desenvolvidas e evoluídas, portanto mais complexas e atuam nas diferentes

áreas e situações que os sujeitos vivenciam, ajudando-os a resolver problemas

que venham a surgir. Este desenvolvimento, portanto, acontece a partir de

estágios que, por sua vez, atuam como se fossem estratégias executivas.

Dessa maneira, cada estágio tem sua característica particular, mas ele só

existe porque foi integrado aos estágios anteriores. A cada estágio, portanto,

novas aquisições são agregadas às anteriores através de uma ordem

hierárquica. (CARRETERO, 1997)

De acordo com Carretero (1997), ao longo do desenvolvimento as

estruturas mudam, porém o mecanismo básico de aquisição de novos

conhecimentos não muda. Este mecanismo básico é a equilibração e seus dois

componentes inter-relacionados: assimilação e acomodação. A equilibração

conforme Fosnot (1998) seria, como o nome já diz, um processo dinâmico que

equilibra a assimilação e a acomodação. Ao organizarmos nossas experiências

e vivências com nossos novos conhecimentos, estamos assimilando, ou seja, a

assimilação é compreender o mundo através do que já foi visto. Neste

momento o indivíduo sai de um estado de equilíbrio e se desequilibra para

assimilar um novo conhecimento. Porém, para reconstruir seu estado anterior

de equilíbrio e conservar seu funcionamento normal, o individuo se acomoda.

Fosnot (1998, p. 30) continua esta ideia trazendo a seguinte explicação: “A

acomodação é constituída por um comportamento reflexivo, integrador, que

serve para mudar o nosso próprio eu e explicar o objeto para que funcionemos

em relação a ele com equilíbrio cognitivo.”

9

Gomes e Bellini (2009, p. 4) descrevem os quatro estágios do

desenvolvimento segundo Piaget da seguinte maneira:

Estágio sensório-motor (pré-verbal): dura, aproximadamente, os 18

primeiros meses de vida. É neste estágio que o conhecimento prático

é desenvolvido, constituindo-se a sub-estrutura do conhecimento

representativo ulterior. Por exemplo, para um bebê, um objeto não

tem permanência, ao desaparecer de seu campo visual, não mais

existe. A construção do objeto permanente virá quando o bebe tentar

achá-lo e encontrá-lo por sua localização espacial. Logo, a

construção do objeto permanente vem acompanhada da construção

do espaço pratico ou sensório-motor, alem da construção da

sucessão temporal e da causalidade sensório-motora elementar. Ou

seja, será construída uma serie de estruturas que serão

indispensáveis para o pensamento representativo do próximo estagio.

Estágio da representação pré-operacional (início da linguagem e da

função simbólica): desenvolve-se a capacidade de substituir o objeto

pela sua representação simbólica. Mas, as ações sensório-motoras

não são imediatamente transformadas em operações.

Estágio das operações concretas: ocorrem operações sobre os

objetos concretos e não sobre hipóteses expressadas verbalmente.

Por exemplo, há as operações de classificação, ordenamento, a

construção da idéia de número, operações espaciais e temporais e

todas as operações fundamentais da lógica elementar de classes e

relações, da matemática elementar, da geometria elementar e até da

física elementar.

Estágio das operações formais ou hipotético-dedutivas: cria-se a

possibilidade de raciocinar com hipóteses e não só com objetos. A

criança tem a capacidade de construir operações de lógica

proposicional, e não simplesmente as operações de classes, relações

e números.

Sobre o estágio sensório-motor, Carretero (1997) acrescenta que a

criança inicialmente não tem a capacidade de representação, pois ela ainda

não tem a noção de objeto permanente, ou seja, se um objeto sai de seu

10

campo de visão ela acha que ele não existe mais. Posteriormente a criança

adquire a noção de objeto permanente e isso acontece aproximadamente aos 2

anos de idade. Esta aquisição fará com que a criança consiga compreender e

utilizar os símbolos e mais tarde a linguagem.

Carreteo (1997) nos diz também que um dos aspectos iniciais mais

importante da inteligência humana seria a utilização de novos caminhos ou

meios para a obtenção de um fim desejado. Isso seria exemplificado pela

utilização de um objeto que não tem a função de pegar um segundo objeto, ser

utilizado para isso (como uma régua ser utilizada para pegar uma caneta que

caiu embaixo da mesa). Essa habilidade a criança adquire mais ou menos

entre os 8 e doze meses de idade e se consolida uns 6 meses mais tarde.

Sobre o estágio pré-operatório, Carretero (1997) afirma que é um

período de inteligência intuitiva, pois as crianças ainda não possuem a

capacidade lógica. Nesta fase, a linguagem se desenvolve de maneira

significativa. Isto segundo Piaget, é explicado também pela função semiótica

que seria a capacidade de representar objetos por seus signos e símbolos

(linguagem verbal e não-verbal, desenhos, imitação, jogo simbólico, etc.). Outra

característica apontada pelo autor é que estas crianças ainda não conseguem

realizar operações mentais (conservação e reversibilidade, seriação e

classificação), mas conseguirão apresentar tais capacidades no estágio das

operações concretas. O autor apresenta o seguinte exemplo sobre a

importância e interdependência de um estágio para o desenvolvimento de outro

posterior:

(...) a permanência do objeto (...) e a conservação são duas noções

que implicam o mesmo conceito, mas com conteúdos diferentes. Isto

é, em ambos os casos se trata de entender que um objeto é o mesmo

ainda que mude seu aspecto externo. Num caso, o copo de leite, ou

qualquer outro objeto, foi só coberto por um lenço e, no outro, seu

conteúdo passou de um recipiente em forma de copo a outro, com

forma de xícara. Portanto, podemos dizer que a estrutura das duas

situações é a mesma em ambos os casos; o que muda é o conteúdo.

Dessa maneira, quando o aluno compreende a conservação da

matéria, no estágio das operações concretas, o que está realizando é

11

uma reestruturação da capacidade que adquiriu no estágio sensório-

motor. (CARRETERO, 1997, p.33)

Quando se trata do nível de construção operatória da criança ou do

adolescente, existem testes ou provas chamadas de provas piagetianas ou

provas operatórias que podem diagnosticar o nível em que a criança se

encontra. Estas provas são geralmente aplicadas por psicopedagogos clínicos

e psicólogos especializados na área da educação. O objetivo principal é

segundo Weiss (2007, p.107) “(...) determinar o grau de aquisição de algumas

noções-chave do desenvolvimento cognitivo, detectando o nível de

pensamento alcançado pela criança, ou seja, o nível de estrutura cognoscitiva

com que opera.”

As provas operatórias são aplicadas de forma semelhante. São

utilizados materiais concretos e feitas perguntas para que se possa conhecer o

pensamento da criança através de suas respostas, argumentações e ações.

Para isso, a pessoa que aplica as provas deve estar sempre atenta ao sujeito e

fazer registros de suas observações e percepções. (WEISS, 2007)

As provas listadas pela autora são as seguintes:

I. Conservação

a) Conservação de pequenos conjuntos discretos de elementos

(aproximadamente 6/7 anos): com moedas ou fichas, o

educador faz duas fileiras contendo a mesma quantidade de

peças e pede para a criança contar e dizer quantas tem.

Depois, na frente da criança ele reorganiza as fichas de uma

das fileiras de forma a aumentar o espaço entre elas. Em

seguida, a examinadora pergunta se a quantidade de fichas na

fileira mais comprida é a mesma ou se houve alguma

alteração;

12

b) Conservação de quantidades de líquidos (aproximadamente

6/7 anos): primeiramente, o educador mostra dois recipientes

com a mesma quantidade de líquidos em cada um. Em

seguida ele coloca o líquido de um dos recipientes em um

recipiente diferente (que tenha o diâmetro maior ou menor)

fazendo com que o líquido mude a altura de alcance, mas

mantendo o mesmo volume. O examinador fará perguntas do

tipo “Em qual recipiente eu tenho mais líquido agora?”;

c) Conservação de quantidade de matéria (aproximadamente 6/7

anos): com massa de modelar, o examinador (ou a criança)

faz duas “bolinhas” de mesmo tamanho e com a mesma

quantidade de massa de modelar. Neste momento, o

examinador pergunta algo do tipo ‘As bolinhas têm o mesmo

tamanho ou tem alguma que é maior que a outra?’. Depois,

com uma das “bolinhas” o examinador (ou a criança) fará uma

cobra ou salsicha e perguntará para a criança se as duas têm

a mesma quantidade de massa ou se em uma tem mais

massa do que na outra;

d) Conservação de comprimento (aproximadamente 8/9 anos):

com duas correntes ou barbante de diferentes tamanhos, o

examinador irá fazer dois caminhos e perguntar qual é o

maior. Depois, ele irá fazer um ziguezague com a corrente

maior para ela ter o mesmo ponto de partida e de chegada que

a outra corrente e perguntará algo do tipo “Em qual dos dois

caminhos o objeto terá que andar mais para chegar no ponto

final?”;

e) Conservação do peso (aproximadamente 8/9 anos): utilizando

uma balança com dois pratos, o educador pede para a criança

13

fazer duas bolas de massa de modelar com o mesmo peso,

verificando os valores na balança. O examinador faz uma

salsicha com uma das bolas e antes de colocar na balança

pergunta para a criança se agora as duas têm o mesmo peso

ou uma pesa mais que a outra. O examinador poderá

transformar a bola em outras formas e fazer a mesma

pergunta e poderá também dividir uma das bolas em vários

pedaços para fazer a mesma pergunta;

f) Conservação do volume (aproximadamente 10/12 anos):

utilizando dois recipientes iguais com água até o mesmo nível

em ambos e duas bolas de massa de modelar com mesmo

tamanho e peso, o examinador irá perguntar algo do tipo “Se

eu colocar essa bola no recipiente, o que acontecerá com a

água?”. O examinador pergunta a mesma coisa sobre a outra

bolinha, neste caso, ele quer saber se a água vai subir mais,

menos ou a mesma coisa. Depois o examinador irá

transformar uma das bolas em salsicha e perguntar a mesma

coisa. O examinador pode continuar com a prova a partir de

outros formatos que ele pode dar para a mesma bola.

II. Classificação

a) Mudança de critério ou dicotomia (aproximadamente 6/7

anos): utilizando fichas de figuras geométricas de cores

diferentes para cada tipo, por exemplo, o examinador irá

dispô-las de forma desorganizada em cima da mesa e irá pedir

para a criança agrupá-las utilizando algum tipo de critério.

Após a primeira etapa, o examinador irá perguntar se a criança

consegue agrupá-las utilizando outro critério e assim por

diante. Nesta atividade podem ser utilizados diferentes

materiais que podem ser classificados de diferentes maneiras;

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b) Quantificação da inclusão das classes (aproximadamente 6/7

anos): utilizando, por exemplo, um ramo de flores com 10

margaridas e 3 rosas, o examinador fará diferentes perguntas

para perceber se a criança percebe e diferencia as partes

(rosas e margaridas) do todo (flores);

c) Interseção de classes (aproximadamente 6/7 anos): utilizando

a imagem de dois círculos conectados entre si (formando uma

interseção no centro), o examinador irá dispor fichas formando

conjuntos. Um conjunto será o de peças amarelas o outro de

peças redondas, sendo que a interseção será formada por

peças amarelas e redondas. As outras peças amarelas serão

de outros formatos e as outras peças redondas serão

vermelhas (ou outra cor desde que esta seja diferente de

amarelo). O examinador terá que fazer perguntas para

perceber se a criança percebe os dois conjuntos e o porquê da

interseção.

III. Seriação

a) Seriação de bastonetes (aproximadamente 6/7 anos):

utilizando uma série de bastonetes de tamanhos diferentes, o

examinador fará 3 tipos de solicitações para a criança.

Primeiramente ele pedirá que a criança faça uma seriação a

descoberto, ou seja, ordená-los de forma crescente ou

decrescente. Depois, o examinador pede para a criança

verificar onde colocar um bastonete que foi retirado da série

(verificação de exclusão). Por último, pede-se que a criança

junte todos os bastonetes e os entregue ao examinador na

ordem decrescente ou crescente, sendo que o examinador irá

15

organizá-los atrás de algum anteparo (seriação oculta atrás

do anteparo).

IV. Provas do pensamento formal:

a) Combinação de fichas duplas (aproximadamente a partir dos

12 anos): com 6 fichas de cores diferentes, o examinador pede

para o sujeito formar o maior número possível de duplas sem

repeti-las. O examinador irá observar a compreensão da tarefa

e o método utilizado para realizá-la;

b) Permutações possíveis com um conjunto determinado de

fichas (aproximadamente a partir dos 12 anos): com as

mesmas fichas da prova anterior, o examinador pede que o

sujeito faça o maior numero possível de combinações usando

sempre as 6 fichas. O examinador irá verificar se o sujeito

compreendeu o que foi pedido e irá perceber qual foi o método

que ele utilizou para realizar tal prova;

É importante ressaltar, que em todas as provas, o examinador deverá

fazer perguntas e contra-argumentações para desestabilizar a criança e

estimulá-la a refletir e demonstrar certeza ou não de sua resposta. Tais

perguntas devem ser feitas para atingir o objetivo da prova. Para isto, deve-se

prestar atenção à linguagem utilizada que deve ser clara, objetiva e acessível à

idade da criança.

A criança pode variar suas respostas e desenvolturas nas provas,

segundo Weiss (2007), em 3 níveis: nível 1 – ausência total da noção avaliada;

nível 2 ou nível intermediário – instabilidade e incompletude ou vacilações nas

respostas e nível 3 – aquisição da noção avaliada sem demonstrar

instabilidades.

16

CAPÍTULO II

A INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA E SUAS

IMPLICAÇÕES NA EDUCAÇÃO

“Quando compreendermos que as crianças devem

elaborar sua própria maneira de raciocinar poderemos,

então, parar de atrapalhá-las e, ao invés disso, facilitar

seu processo construtivo.”

Kamii (1995, p. 38).

2.1. Habilidades matemáticas e aritméticas

Santos, Ribeiro, Kikuchi e Silva apud Haskell (p.20, 2010) trazem a

seguinte explicação de habilidades matemáticas e aritméticas:

As habilidades matemáticas estão associadas à capacidade de

compreensão conceitual de quantidades e raciocínio lógico

necessários à resolução de problemas, enquanto a aritmética,

especificamente, se relaciona ao entendimento de fatos numéricos:

contagem, classificação ordinal, leitura e manipulação dos símbolos e

o conhecimento das regras subjacentes às quatro operações básicas.

Sobre o conhecimento lógico-matemático, Kamii (1995) apresenta a

ideia de que as crianças o desenvolvem de forma construtiva e ativa;

interagindo com o meio (de dentro para fora) e não por um processo de

internalização (de fora para dentro). Esta autora (1995, p. 20) afirma que: “As

crianças elaboram seu inteligência lógico-matemática à medida que constroem

relações mais complexas sobre outras mais simples que elas mesmas

criaram.”.

17

Segundo Kamii (1995) existem três tipos de conhecimento: físico, lógico-

matemático e social. Estes três conhecimentos estão interligados de forma que

o conhecimento lógico-matemático permite a construção dos outros dois

conhecimentos, assim como os outros são necessários para o conhecimento

lógico-matemático; há, portanto, uma relação de interdependência entre eles.

O conhecimento físico é empírico; é basicamente o que pode ser

observado a olho nu nos objetos. O conhecimento social é o que se aprende

culturalmente com os outros e tem natureza arbitrária, pois, por exemplo, as

coisas do mundo são nomeadas de forma arbitrária. Já o conhecimento lógico-

matemático é o que permite fazer relações (por semelhanças ou diferenças)

entre os objetos. E de acordo com Kamii (1995), a abstração é a principal

estratégia que a criança tem para fazer relações entre objetos.

De acordo com Geary, citado por Santos, Ribeiro, Kikuchi e Silva (2010),

as crianças desenvolvem as habilidades matemáticas, mais especificamente as

habilidades quantitativas, desde os primeiros anos de vida. As crianças têm

capacidade de progressivamente, nos anos pré-escolares, compreender a

numerosidade, a ordinalidade, a aritmética simples e a fazer contagem. Nesse

período da infância, os sujeitos desenvolvem também as estruturas da

linguagem que variam de acordo com a geração e com a cultura. Existe,

portanto, uma relação de interdependência do desenvolvimento destas

habilidades que fazem com que os fatores linguísticos, culturais e pedagógicos

influenciem e produzam efeitos positivos ou negativos nos elementos que

compõem a inteligência lógico-matemática.

Dessa maneira, um bom desenvolvimento de uma habilidade influencia

no bom desenvolvimento da outra ou inversamente dizendo, um mau

desenvolvimento de uma, provavelmente, implicará no mau desenvolvimento

da outra. Um exemplo disso é o de que para compreender a lógica de um

problema é necessário interpretá-lo. A interpretação depende de um bom

domínio da linguagem, já a resolução do problema depende do raciocínio

lógico-matemático. É muito comum situações escolares de crianças que ao

resolver um problema matemático, confundem-se na utilização das operações

18

matemáticas. Isso acontece, na maioria das vezes, devido a uma interpretação

errônea.

Quando se trata de sequência numérica, se esta não tem sentido para a

criança, pois ela ainda não tem noção de quantidade, ela irá tratá-la como uma

simples sequência de palavras e estará sujeita ao funcionamento de sua

memória. Segundo Carraher (1986), a memória tem suas próprias tendências

tais como, memorizar com mais facilidade o início e o fim de uma sequência e

a de ser inconstante quando aquilo não faz muito sentido para quem memoriza.

A autora explica essa inconstância afirmando que a compreensão ajuda a

pessoa a memorizar frases, versos ou sequências.

Uma dificuldade que pode surgir no início do aprendizado dos números,

de acordo com Carraher (1986), é a da diferenciação do número que

representa quantidade do que representa um nome. Por exemplo, quando

dizemos que a casa onde moramos é a 6, não se trata de quantidade, mas sim

de um nome que se deu a ela por questão de identificação. Já quando dizemos

que aquela rua tem 20 casas, estamos tratando da quantidade delas naquela

rua. Um exemplo trazido por Carraher (1986) da confusão que muitas crianças

na faixa de 3 anos de idade fazem é o de mostrar com os dedos sua idade

quando alguém pergunta. A criança, na maioria das vezes, vê essa idade

como uma identificação de si mesma e não ainda como quantidade de anos de

vida.

A contagem tem um papel muito importante no desenvolvimento do

conceito de número. Para que uma criança possa contar, ela precisa, conforme

Rangel (1992), de passar por algumas etapas. Primeiramente, a criança irá

separar o que entrará na contagem do que não será contado, ou seja, ela irá

classificar os objetos. Após classificar, a criança terá que ser capaz de colocar

os objetos em ordem, para que ela não deixe de contar algum deles. Agora

entra a etapa de saber os nomes dos números e saber ordená-los na

sequência convencional, sem pular e nem repetir nenhum. Passadas essas

três etapas, a criança terá que desenvolver a capacidade de estabelecer uma

correspondência biunívoca e recíproca nome-objeto, ou seja, ela terá que

19

perceber que aquele objeto que está sendo contado naquele momento

corresponde ao número falado e não outro e que, de maneira recíproca, o

nome do número falado corresponde ao objeto apontado. Por fim, a criança

entenderá que a quantidade total de elementos daquele conjunto de objetos

poderá ser representada por um único nome ou número. Após ter desenvolvido

todas essas capacidades e, consequentemente, ter feito uma correta utilização

da contagem, a criança terá adquirido o conceito de número.

Segundo Carraher (1986, p. 64):

(...) a criança desenvolve gradualmente sua capacidade de trabalhar

com sistemas de representação numérica. A criança desenvolve

primeiro uma noção intuitiva da existência de dois tipos de valor.

Depois torna-se capaz de combinar com elementos concretos os dois

tipos de valor para obter uma determinada quantidade. Finalmente,

torna-se capaz de utilizar sistematicamente uma representação mais

abstrata de quantidades com lápis e papel. No entanto, deve ser

salientado que o processo de representação mental, ou seja, a

compreensão do sistema numérico é anterior à sua utilização efetiva

com lápis e papel não pode, portanto, ser um resultado do simples

treino em leitura e escrita de números.

O símbolo é um conceito importante para o aprendizado da Matemática,

já que, primeiramente, o número em sua forma escrita nada mais é do que um

símbolo. De acordo com Carraher (1986) os símbolos apresentam um valor

absoluto e um valor relativo. O valor absoluto é quando o símbolo está

representado “sozinho” e o valor relativo é quando um símbolo está

acompanhado de outro(s) símbolo(s). A autora em questão apresenta os

seguintes exemplos: 4, 42, 44, 4 + 4 e 4 – 4. É importante que a criança

compreenda que o 44 não é “quatro e quatro” ou “quatro mais quatro” e, sim,

“quarenta e quatro”.

Outra relação da matemática com o símbolo é a interpretação de textos

para resolução de questões, atividades e problemas. Todas as atividades de

comunicação são, por sua natureza, simbólicas. A leitura, portanto, tem esta

20

natureza, pois nesta atividade, conforme explicitado por Pavanello, Lopes e

Araujo (2011, p.129):

os signos interagem com os componentes culturais envolvidos em um

determinado texto para permitir sua apreensão e compreensão pelo

leitor. (...) trata-se de um processo de interação entre o leitor e o

texto, com ele estabelecendo algum tipo de diálogo. Configura-se,

portanto, como um processo no qual o pensamento e a linguagem

estão envolvidos em trocas contínuas.

Nos primeiros anos do ensino Fundamental, quando a criança já sabe

ler, ela terá na disciplina de matemática problemas matemáticos escritos para

resolver. Nesta fase, para Piaget, é quando a criança entra no estágio das

operações concretas. O enunciado do problema para Schliemann (1986) é algo

que necessita da compreensão da criança em sua totalidade: conhecimento

das expressões verbais utilizadas, capacidade de tradução dos dados verbais

em dados concretos, e saber utilizar as operações necessárias para solucionar

o problema. Isso nem sempre acontece pelo fato das capacidades necessárias

para esta compreensão ainda não terem se desenvolvido ou estarem em

desenvolvimento, porém chegará um momento em que a criança, depois de um

processo de maturação, será capaz de compreender de fato tais enunciados.

Para Schiliemann (1986), portanto, o educador ao apresentar ou formular um

problema precisa ficar atento a três aspectos: linguagem utilizada, nível de

representação dos dados fornecidos e lógica do problema.

Caso a criança não conheça algumas palavras ou expressões utilizadas

no problema, este, segundo Schiliemann (1986) se tornará uma questão de

adivinhação, pois para a criança ele não terá sentido para ser solucionado

através de raciocínio lógico. Muitas crianças também não perguntam o

significado do que desconhecem por medo de errar ou por vergonha de não

saber aquilo e acabam tentando deduzir por elas mesmas, fazendo com que,

na maioria das vezes, caiam no erro. Esta autora afirma que alguns termos

comparativos, tais como “a mais”, “a menos”, “maior que”, “menor que”, são

21

compreendidos de forma gradativa e dependem da capacidade de utilização da

lógica que é algo adquirido no estágio das operações concretas.

Schiliemann (1986) relata que existem crianças que podem ter um

vocabulário pouco desenvolvido em função de seu contexto social. Neste

momento é importante salientar que algo essencial para que a criança seja

capaz de compreender cada vez mais novos termos e expressões é o estímulo

da leitura desde cedo. Quanto mais a criança lê, mais ela terá contato com sua

língua materna e mais palavras ela irá conhecer. Isso é algo até mesmo muito

comum de se dizer, mas é ainda um problema para muitas pessoas: a

ausência do hábito de leitura. Para as crianças menores, que ainda não lêem.

Uma forma de estimular o vocabulário é a conversa com os adultos e a

oportunidade de atividades culturais.

Sobre o nível de representação dos dados de um problema de

matemática, Schiliemann (1986) afirma que o ideal seria que primeiro a criança

realize problemas de forma concreta sem escrever; desenhando, fazendo

recortes de revistas, fazendo tracinhos. Aos poucos essa forma de resolver

problemas pode ir sendo substituída pela escrita e pelos números; porque

senão a representação escrita vai ser uma dificuldade adicional e será o foco

da criança ao invés dela se concentrar em compreender o problema. Sobre isto

Schiliemann (1986, p.74) acrescenta:

Essa passagem gradual de representação concreta à representação

escrita é que vai permitir também que, diante de um problema

apresentado verbalmente e sob forma de símbolos matemáticos, a

criança procure entendê-lo como representando dados do mundo real

os quais deverão ser relacionados para que se encontre a solução.

É importante acrescentar, que não basta o aluno ter um pleno

conhecimento de sua língua materna para saber solucionar problemas

matemáticos, pois estes demandam que se saiba decodificar os termos

matemáticos contidos e criar estratégias para chegar até a solução.

(PAVANELLO; LOPES; ARAUJO, 2011)

22

A compreensão da lógica do problema é algo que também depende do

nível de desenvolvimento da criança. De acordo com Schiliemann (1986)

quando a criança não sabe ainda fazer a inclusão de classes (classificar

objetos de diferentes maneiras e incluí-los como parte de um conjunto maior:

cachorro, gato; animais) ela terá dificuldades de resolver determinados

problemas como os que necessitam da operação de subtração, já que a

subtração nada mais é do que uma relação de parte-todo.

Como vimos cada área do conhecimento dentro da matemática, exige

um nível de compreensão ou um nível de desenvolvimento operatório. É

necessário que se perceba se aquela criança já apresenta as estruturas de

daquele nível exigido ou, caso ainda não tenha, que sejam estimuladas as

estruturas do nível em que ela está para que ela desenvolva novas estruturas.

Os educadores devem levar em consideração estes níveis de exigência das

atividades elaboradas e tornar o conhecimento possível de forma construtiva.

Para isso, existe a necessidade de que se conheça seu grupo de alunos

considerando as aprendizagens que eles possuem e as dificuldades existentes.

2.Discalculia – uma dificuldade real

Existe uma visão atual que se trata do mau desempenho escolar. Este

conceito está relacionado com os sujeitos que apresentam um rendimento

escolar abaixo do esperado para a faixa etária em que se encontram. Este mau

desempenho pode ter variadas etiologias e resulta em indivíduos que

normalmente apresentam problemas emocionais, tais como desmotivação e

baixa autoestima nos diversos ambientes sociais em que frequentam. Existe a

necessidade de que se busque o motivo ou a causa para esse desempenho

que pode ser ou por fatores do ambiente em que o sujeito está inserido ou por

fatores individuais. (SIQUEIRA e GURGEL-GIANNETTI, 2011).

Diante deste contexto, Siqueira e Gurgel-Gianetti (2011) trazem os

termos dificuldade escolar e transtorno de aprendizagem. O primeiro trata dos

problemas e dificuldades de origem pedagógica e/ou sociocultural onde não

23

existe nenhum problema orgânico no individuo que o atrapalhe na

aprendizagem, ou seja, o problema está na forma como o professor ou

educador apresentou determinado conteúdo, nos métodos utilizados, nas

lacunas, etc; e/ou nas condições socioculturais desfavoráveis. Este é um

problema que está extrínseco ao sujeito. Por sua vez, o transtorno de

aprendizagem acontece no individuo e está relacionado com problemas de

origem orgânica. Aprender exige conexões e funções cerebrais que precisam

ser desenvolvidas. Quando existe algum problema neste processo, estamos

falando de algo que pode ocasionar transtornos de aprendizagem. Exemplos

disto são a dislexia, a discalculia e o transtorno da escrita.

O problema da discalculia do desenvolvimento (DD) não está tão em

evidência na sociedade nos dias de hoje quanto o Transtorno do Déficit de

Atenção e Hiperatividade (TDAH), mas ele é real e merece a mesma atenção.

Este problema também tem denominação nos manuais médicos, de acordo

com Santos, Ribeiro, Kikuchi e Silva (2010), de Transtorno da Matemática ou

Transtorno específico de habilidades aritméticas.

Os autores acima citados, afirmam que a DD apresenta fator genético,

base neurobiológica e na maioria dos casos se apresenta juntamente com

outros transtornos tais como TDAH e Dislexia. Santos, Ribeiro, Kikuchi e Silva

(2010) complementam o conceito da DD como sendo uma falha específica no

processamento quantitativo e afirmam que as crianças que têm discalculia do

desenvolvimento apresentam prejuízos na aprendizagem que persistem ao

longo dos anos, diferente, portanto das crianças que apresentam

desenvolvimento típico que recuperam o processo de aprendizagem através de

mediação ou reforço escolar.

Garcia (1998, p.43) aponta diferentes tipos de discalculia:

Discalculia Verbal – dificuldade para nomear as quantidades

matemáticas, os números, os termos, os símbolos e as relações.

Discalculia Practognóstica – dificuldade para enumerar, comparar e

manipular objetos reais ou em imagens matemática.

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Discalculia Léxica – Dificuldades na leitura de símbolos matemáticos.

Discalculia Gráfica – Dificuldades na escrita de símbolos

matemáticos.

Discalculia Ideognóstica – Dificuldades em fazer operações mentais e

na compreensão de conceitos matemáticos.

Discalculia Operacional – Dificuldades na execução de operações e

cálculos numéricos.

Para cada tipo de discalculia, existem estratégias e intervenções

específicas que podem ser aplicadas pelo educador ou pelo próprio aluno para

auxiliarem no processo ensino-aprendizagem tomando como base as

necessidades individuais do sujeito. (Santos; Ribeiro; Kikuchi; Silva, 2010)

Seguem exemplos de estratégias pontuais trazidos pelos autores acima

citados:

ü Se a discalculia é do tipo verbal, é recomendada a leitura em voz

alta pelo menos duas vezes do problema para uma posterior

resolução.

ü Caso seja discalculia do tipo léxica e/ou gráfica, uma das

recomendações é que o educador auxilie o sujeito a montar

contas adequadamente e que reforce os sinais aritméticos de

“menos”, “mais”, “vezes” e de “dividir” de maneira a reforçar

também as palavras sinônimas, como “adição” e “mais” e seus

significados.

ü Quando a dificuldade é do tipo operacional, caso a criança erre,

ela deve ser incentivada a refazer a atividade ou exercício, porém

o educador deve ser específico em dizer quais os aspectos que a

criança precisa alterar no cálculo executado para facilitar a

memorização da sequência de procedimentos necessários.

25

CAPÍTULO III

JOGOS E ATIVIDADES PARA O ESTÍMULO DA

INTELIGÊNCIA LÓGICO-MATEMÁTICA

“(...) a importância do jogo está nas possibilidades

de aproximar a criança do conhecimento científico,

levando-a a vivenciar “virtualmente” situações de solução

de problemas que a aproximem daquelas que o homem

“realmente” enfrenta ou enfrentou.”

(Moura, 2000, p. 85)

Para que a criança se sinta estimulada a aprender, o educador precisa

facilitar o processo de ensino-aprendizagem e pode dessa maneira se

transformar, segundo Antunes (1998), num gerador de situações estimuladoras

eficazes. Neste momento, o jogo e as atividades lúdicas aparecem como

ferramentas importantes para a aprendizagem significativa.

O jogo é um instrumento de motivação na medida em que faz com que

as crianças estejam mais ativas mentalmente e queiram utilizar sua inteligência

para se saírem bem em relação ao(s) outro(s) participante(s). Nesse sentido,

as crianças se esforçam para vencer desafios e superar os obstáculos do jogo

sejam eles de natureza cognitiva ou emocional. Além disso, o jogo é mais livre

de pressões e avaliações do que atividades pedagógicas formais. Existe

também a função de propiciar experiências de êxito, descobertas, reflexão e

integração com o mundo que o jogo tem. (Ide, 2000)

Emerique (1999) aponta os ganhos decorrentes do jogo a partir de três

pontos de vista: afetivo (como regular o ciúme, a inveja e a frustração, adiar o

prazer imediato, subordinar-se a regras, abrir-se para o outro, para o

imprevisível), social (necessidade da linguagem, de códigos, da cooperação,

26

da solidariedade, das relações interpessoais) e cognitivo (necessidade e

possibilidade de construção de novos conhecimentos e procedimentos, de

descobrir erros e de imaginar formas de superá-los, dentre outros desafios).

Quando o educador, seja ele professor, pedagogo ou psicopedagogo

quer trabalhar com o jogo com seu aluno, ele deve ter alguns cuidados

importantes para que este não seja apenas uma simples atividade ocasional e

sem propósito ou pensamento crítico. Sobre isso, Antunes (1998, p. 37) traz a

seguinte recomendação ao educador:

“(...) jamais pense em usar os jogos pedagógicos sem um

rigoroso e cuidadoso planejamento, marcado por etapas muito nítidas e

que efetivamente acompanhem o progresso dos alunos, e jamais avalie

sua qualidade de professor pela quantidade de jogos que emprega, e

sim pela qualidade dos jogos que se preocupou em pesquisar e

selecionar.”

Percebe-se, portanto que existem os jogos com finalidades ou objetivos

pedagógicos e psicopedagógicos e os jogos com simples intuito recreativo ou

de lazer. Ambos têm a sua importância, mas nos ateremos neste trabalho aos

primeiros, já que estamos tratando do jogo como ferramenta de aprendizagem

significativa e de desenvolvimento de habilidades operatórias. Antunes (1998,

p.38) traz o seguinte conceito de habilidade operatória: “(...) aptidão ou

capacidade cognitiva e apreciativa específica, que possibilita a compreensão e

a intervenção do indivíduo nos fenômenos sociais e culturais e que o ajude a

construir conexões.”

As habilidades são, portanto, inúmeras: observar, comparar, relatar,

interpretar negociar, discriminar, sintetizar, etc. Os jogos e atividades lúdicas

despertam, estimulam e propiciam variadas habilidades operatórias e o

educador pode adaptar cada jogo e suas regras para trabalhar mais uma ou

outra habilidade que ele considere coerente para cada grupo ou aluno

específico. O jogo deve ter um propósito específico e deve estar de acordo com

o nível de desenvolvimento da criança. Existe, então, a hora certa de utilizá-lo,

pois será a hora em que o aluno demonstrará interesse e se sentirá desafiado,

27

já que sabe que é capaz de realizá-lo. Caso contrário, o aluno sentirá cansaço

ou tédio e demonstrará que aquela atividade não serve para ele naquele

momento seja por ser fácil ou difícil demais para ele. O educador deve estar

atento a estes sinais para não atrapalhar o desenvolvimento do sujeito.

No que diz respeito aos estímulos lógico-matemáticos, o educador deve

organizar, de acordo com Ide (2000), jogos voltados para a classificação,

seriação, sequência, espaço tempo e medida. Inicialmente, são interessantes

os jogos que trabalham com a comparação entre grandezas (grande e

pequeno, alto e baixo, maior e menor, fino e grosso, largo e estreito, etc.). Os

jogos para trabalhar esta habilidade da noção de tamanho são aqueles que

utilizam objetos concretos de diferentes tamanhos ou espessuras e que a

criança irá ordenar, identificar, enfileirar, comparar, agrupar, classificar, separar

em conjuntos para aprender os conceito trabalhados.

Para que seja possível a compreensão do sistema de numeração, com

os algarismos de 1 a 9, pode-se fazer algumas atividades indicadas por

Antunes (1998). Uma delas é colar em cartolina algarismos de 1 a 9 separados

para que seja possível transformá-los em quebra-cabeças de duas a quatro

peças (para cada algarismo). As crianças poderão montar os quebra-cabeças e

identificar os algarismos. Posteriormente ela poderá fazer sequências de ordem

crescente ou decrescente. Partindo da mesma idéia da cartolina, é possível

fazer numerais de 1 a 9 vazados para que a criança com os olhos vendados

possa identificá-los. Com estes números vazados, a criança pode contorná-los

no papel e também enfileirá-los em ordem crescente e decrescente.

Para que a criança compreenda o sistema decimal são interessantes

materiais que utilizam símbolos concretos para diferenciar os valores. Um

símbolo para uma unidade, outro para dez unidades e outro para cem

unidades. Dessa maneira a criança poderá representar valores de 1 a 1000

sem ter de utilizar a posição para a decodificação como nos números escritos.

Isso evita a confusão também de valores com números repetidos como o 11,

22, 33, 44 e etc. Carraher (1986) traz o exemplo do que para ela foi chamado

de Dinheiro Chinês. Este matéria consiste em fichas; 9 amarelas, 9 vermelhas

e 9 azuis. Cada ficha amarela correspondia, na época, a 1 cruzeiro; cada

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vermelha a 10 cruzeiros e cada azul a 100 cruzeiros. Este material pode, no

entanto ser adaptado para o sistema monetário atual (neste caso o Real). O

educador poderá fazer problemas matemáticos de situações do dia-a-dia que

podem se respondidos utilizando o material.

No capítulo 2, vimos que os números têm valor absoluto e valor relativo

e que no início, algumas crianças fazem confusão em relação à posição dos

números. Para melhor compreender o valor posicional dos números, no anexo

4 existem dois exemplos de jogos que facilitam tal aprendizado: a Batalha

Simples e a Batalha de Composição. No jogo Batalha Simples, as crianças

poderão perceber, através de comparações, que quanto mais algarismos o

número tiver, maior ele será; que se forem números com a mesma quantidade

de algarismos, mudando apenas o da dezena, o primeiro é que o que definirá

se é maior ou menor e etc. No anexo 9, constam mais atividades para a

compreensão da posicionalidade do número, inclusive um jogo de Bingo e a

coleção de álbum de figurinhas.

O jogo “pega-varetas é uma interessante ferramenta para trabalhar com

operações matemáticas e, como cada cor de vareta tem um valor específico, o

jogo pode ser adaptado para a compreensão de conceitos que dizem respeito à

interseção, como por exemplo, o conceito de divisibilidade como pode ser visto

no anexo de número 1. Outro exemplo de jogo que vai trabalhar com

operações e que pode ser adaptado tanto para pré-escola quanto para as

séries iniciais do Ensino Fundamental é o “Vaga Certa” que esta detalhado no

anexo 2.

No anexo 3 há um exemplo de uma atividade interessante para a

compreensão do conceito de ângulo que é a do Caça ao tesouro. Este conceito

de ângulo é bastante abstrato e pode ser melhor explorado quando se percebe

o ângulo através do corpo, do movimento e da direção. A reportagem deste

anexo traz adaptações que podem ser feitas para alunos desde a pré-escola

até a 4ª série.

O jogo da senha é interessante, pois promove o raciocínio dedutivo, já

que a combinação a ser descoberta tem que levar em conta as jogadas

anteriores (antecipações) no que diz respeito aos acertos e erros que o sujeito

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cometeu. Além disso, o sucesso no jogo depende do realizar e do interpretar

que se tornam interdependentes, já que é necessário compreender as

informações que foram disponibilizadas e realizar as jogadas de forma

consciente. (MACEDO, et. al., 2003)

Os jogos de regras são importantes aliados para o estímulo dos vários

processos cognitivos que são requeridos para a compreensão de problemas

matemáticos. Isso porque o pensamento que se constrói quando se resolve

problemas é semelhante ao utilizado para jogar de forma operatória. Dessa

maneira, quando o jogador tenta atingir o objetivo do jogo, isto se configura

numa situação desafiadora que proporciona conflitos cognitivos que serão

solucionados e elaborados através do amadurecimento do pensamento. Neste

contexto, é interessante que o jogador crie suas próprias estratégias através da

percepção do adversário. Para que isso seja estimulado, são interessantes

perguntas, de quem observa ou está mediando a situação (educador), do tipo

“Conforme percebido durante o jogo, o que você acha que seu adversário vai

fazer?”, “Você entendeu qual foi a intenção do seu adversário ao fazer isso?”.

Além disso, existe algo relevante que é o desenvolvimento de estratégias mais

aprimoradas a partir de experiência adquirida através de partidas anteriores.

Isso pode ser explicado pelo fato de que depois de jogar mais vezes o mesmo

jogo, o sujeito poderá desenvolver novas estratégias e aprimorar sua maneira

de jogar tonando-a cada vez mais eficiente a partir de seus erros e acertos

anteriores e da observação de seus adversários. (SILVA, 2008)

De acordo com Ide (2000), quando o assunto é medida, são indicados

jogos que propiciem vivenciar situações concretas que levem à construção de

conceitos relacionados à capacidade, peso, comprimento, altura, distância,

temperatura, espaço e tempo. É interessante que se estimule que a criança

crie instrumentos de medida, tais como tiras de papel, pegadas, dentre outros,

para que ela perceba a importância dos instrumentos de medida utilizados no

dia-a-dia. Já, para trabalhar o conceito de jogo, existem jogos que trabalham

com o próprio corpo. Um desses jogos é o Twister que consiste em um tapete

com bolas de cores diferentes e uma roleta. As crianças têm a oportunidade de

trabalhar a noção de lateralidade colocando os pés ou as mãos nas bolas do

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tapete de acordo com o que foi solicitado pela roleta (exemplo: pé direito na

bola amarela, mão esquerda na bola vermelha). No anexo 7, encontra-se um

projeto, desenvolvido por uma educadora que ganhou o Prêmio Victor Civita

Educador Nota 10, que consiste em atividades diferenciadas para o trabalho

das unidades de medidas mais usuais baseando-se em problemas concretos,

relacionados ao consumo de água.

No anexo 8, existe uma ideia interessante que parte do princípio de que

sejam trabalhados em sala de aula temas do interesse pessoal dos alunos, no

caso é o tema do futebol. Sobre esse assunto, é possível que sejam utilizadas

as tabelas de pontos, as regras do jogo, números de gols para resolver

problemas de matemática, entre outras estratégias.

São inúmeros os jogos e atividades existentes no mercado, na internet,

nas revistas sobre educação, entre outras fontes. O educador precisa recorrer

a essas fontes e perceber que utilizando a criatividade, é possível criar vários

tipos de jogos e atividades que tenham objetivos de trabalhar com variadas

áreas do conhecimento lógico-matemático e além desses jogos criados, os

jogos já existentes, podem ser adaptados de acordo com o objetivo desejado.

Tendo como princípio temas que estejam relacionados com as necessidades e

os interesses das crianças, estas irão se sentir muito mais à vontade para

aprender e as aulas se tornarão prazerosas e produtivas.

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CONCLUSÃO

“Quando compreendermos que as crianças devem

elaborar sua própria maneira de raciocinar poderemos,

então, parar de atrapalhá-las e, ao invés disso, facilitar

seu processo construtivo.” Kamii (1995, p. 38).

O conhecimento lógico-matemático faz com que a criança obtenha

ferramentas cognitivas que a ajudam a atuar sobre a realidade em que vive.

Enfrentar situações-problema e discutir estratégias para sua resolução são

recursos preciosos para que elas possam lidar com os desafios escolares

tendo melhores condições de superarem dificuldades.

A questão da aprendizagem da matemática tem diferentes faces que

podem estimular ou desestimular o sujeito quando está em período escolar. Os

aspectos emocionais devem sempre ser levados em consideração para um

vínculo positivo ou negativo com a matemática. Neste contexto, os educadores

têm o papel fundamental de estimular o vínculo positivo com esta disciplina e

isso pode ser feito através de jogos e atividades planejados, adequadas e

instigantes. O que tem que ser feito é um trabalho em busca constante da

autonomia dos indivíduos. Estes devem ser sempre levados a pensar, refletir e

buscar novos caminhos para chegar a um determinado resultado.

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ANEXOS

Conteúdo de revistas online especializadas

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1. Revista Nova Escola – Março de 2000.

A Matemática do pega-varetas

Um jogo simples e divertido para ensinar o conceito de divisibilidade

Silvianne Neno

Pega-varetas: bom para desenvolver a habilidade motora e afiar o raciocínio lógico. Foto: Massao Goto Filho

Se algum pai desavisado entrasse de surpresa em uma aula de Matemática da 5a série do Colégio Visconde de Porto Seguro II, em Valinhos (SP), levaria um susto ao ver a turma brincando de pega-varetas. E isso sob o olhar aprovador da professora Maria José de Castro Silva! Na aula é usado o conceito de divisibilidade -- noção segundo a qual um número natural pode ser dividido por outro número natural não nulo, sendo a divisão do primeiro pelo segundo exata, isto é, com resto igual a zero. Para fazer os alunos descobrirem isso na prática, a professora deu pontuação às varetas. Ao final das jogadas os pontos de cada vareta eram multiplicados uns pelos outros (veja o quadro Regras do trabalho). O resultado era decomposto pela divisão sucessiva por 2, por 3 e assim por diante, até alcançar números primos, que são aqueles divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos.

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Do debate nascem idéias

Jogo e trabalho em grupo: comprovados ganhos na aprendizagem.Foto: Massao Goto FIlho

Para Maria Sueli C. S. Monteiro, consultora do site da Nova Escola, "Maria José fez uma adaptação criativa e eficaz do pega-varetas, um jogo fácil de encontrar e de preço bastante acessível". Outra vantagem do material é ser utilizado em equipe. "Quando jogam em grupo, os alunos debatem e, do confronto de idéias, surgem diferentes respostas para um problema matemático", avalia. Ao fim de uma semana de muitos lances e descobertas, o bom aproveitamento da classe ficou evidente. Quando ela retomou o tema da divisibilidade, três meses depois, percebeu que os alunos entendiam com mais facilidade os conceitos matemáticos do que os do ano anterior, quando havia seguido o método tradicional. "É melhor trocar varetas do que fazer contas no papel", concorda Hélio Pazinetto, de 11 anos, confirmando que aprender brincando é mais divertido. Exemplos colhidos na sala de aula - Você tirou três varetas azuis. Que outras poderiam substituí-las, de modo que o total de pontos continuasse o mesmo? E quais alterariam o resultado final? Resposta: as três azuis somam 216 pontos (6 x 6 x 6 = 216). Para descobrir outras combinações que resultariam nesse número, é preciso fatorar (decompor) 216 em números primos. Você vai encontrar 2³ x 3³. Isso mostra que as varetas azuis poderiam ser trocadas por três amarelas e três vermelhas (2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 216). As verdes e as pretas não teriam utilidade, pois não há nenhum número que, multiplicado por 5 ou 30, resulte em 216. É possível fazer 80 pontos numa jogada sem tirar nenhuma vareta verde?

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Resposta: fatorando o número 80, conseguimos 2 x 2 x 2 x 2 x 5. Como a verde vale 5 e o número só é formado pelos números primos 2 e 5, seria impossível fazer 80 pontos sem tirá-la. Em determinada jogada, você alcança 72 pontos tirando três varetas de cores diferentes. Que cores foram essas? Há possibilidade de haver mais de uma vareta com a mesma cor? Resposta: o número 72 é formado pelos fatores 2³ x 3². Portanto, por três varetas amarelas e duas vermelhas. Mas como você tirou três cores diferentes, vai ter de trocar varetas para conseguir a terceira cor. A solução é tirar uma amarela e uma vermelha e substituí-las por uma azul. No final, ficam duas amarelas, uma vermelha e uma azul (2 x 2 x 6 x 3 = 72). O produto vale 180 pontos. Encontre pelo menos duas combinações possíveis que correspondam a esse mesmo número de pontos. Resposta: várias possibilidades foram encontradas pelos alunos de Maria José, sempre calcadas nos divisores de 180: uma preta e uma azul; duas amarelas, duas vermelhas e uma verde; ou, ainda, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma verde. Regras do trabalho

Pontuação das varetas

1. A pontuação das varetas é a que aparece acima. 2. A classe é dividida em grupos de três ou quatro. Todas as equipes recebem um pega-varetas. Os alunos e o professor combinam quantas rodadas terão as partidas. Tirando no par ou ímpar, cada grupo escolhe quem vai começar. 3. O vencedor lança as varetas sobre uma mesa ou outra superfície plana. Depois, tenta pegá-las uma a uma do monte, sem fazer as outras se mexerem. Enquanto conseguir isso, continua a jogar. Se não, a partida é interrompida e

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os valores de cada vareta retirada são multiplicados uns pelos outros, obtendo-se o número de pontos daquela jogada. A partir daí, o professor estimula o grupo a sugerir outras combinações que levariam ao mesmo produto. O número de sugestões oferecidas pela equipe é anotado num papel. A partida recomeça com a criança da vez. 4. Vence o grupo que conseguir propor mais opções. Quando um jogo vira estudo (sem deixar de ser brincadeira)

Maria José: "Quem aprendeu com o jogo lembrou-se mais facilmente da matéria". Foto: Masao Goto Filho

Problemas O jogo das varetas permite que se trabalhem vários problemas matemáticos envolvendo a ideia da divisibilidade, como fez a professora Maria José da Silva Fatoração Para chegar às cores das varetas, é necessário fatorar o produto. No exemplo abaixo o número 360 equivale à três varetas amarelas, duas vermelhas e uma verde Pontuação A professora mudou a pontuação original do pega-varetas, de modo que pudesse trabalhar com decomposição em números primos (são os casos de 2, 3 e 5).

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2. Revista Nova escola – maio de 2000.

Manobra bem calculada

Um jogo com carrinhos e garagens vai divertir os alunos e ajudá-los

a aprimorar sua capacidade de raciocínio

Denise Pellegrini

Cada carro em sua vaga: jeito divertido de aprender operações. Foto: Laureni Fochetto

Conheça aqui o Vaga Certa, jogo que permite aos alunos treinar o cálculo mental e melhorar o raciocínio. O princípio é simples: os jogadores devem resolver contas escritas sobre carrinhos e depois estacioná-los nas vagas que correspondem aos resultados corretos. "O material é produzido com sucata, e as crianças podem ajudar na confecção", sugere sua criadora, a pedagoga Suad Nader Saad.

Para Sergio Lorenzato, professor aposentado da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e coordenador do Centro de Orientação e Produção em Educação Matemática, o Vaga Certa pode ser adotado a partir da pré-escola.

Para iniciar a brincadeira, divida a classe em grupos de quatro. Até a 1a série, proponha apenas contas de subtração e adição e distribua de oito a dezesseis carros e garagens. "Primeiro, apresente o raciocínio de maneira verbal, usando palavras como 'tirar' em vez de 'subtrair' ou 'colocar' no lugar de 'somar' ",

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recomenda Lorenzato. "Só depois ensine os sinais." De acordo com os PCN, a compreensão da operação deve sempre vir antes de sua escrita.

Variação para os maiores Se sua turma for de 2ª série, inclua a multiplicação e a divisão. Nesse caso, construa um jogo diferente para cada equipe, com quatro carros e quatro garagens. Em cada carrinho coloque uma operação diferente (adição, subtração, multiplicação e divisão) envolvendo os mesmos algarismos. Por exemplo: 6 - 2, 6 : 2, 6 + 2 e 6 x 2. Nas garagens, escreva os resultados. Lance uma questão. Por exemplo: Paulo colocou 6 litros de gasolina em seu fusca. Foi à casa da namorada e gastou 2. Quantos litros ficaram no tanque? Os alunos devem descobrir qual carrinho se refere à operação indicada e efetuá-la para, em seguida, guardá-lo na vaga correta. Como construir a frota e o estacionamento

Passo 1. Foto: Laureni Fochetto

Para que os carrinhos de seu Vaga Certa fiquem idênticos aos mostrados acima, utilize potes de petit suisse Chambinho. (Na falta desse material, crie outro tipo de carro, com caixas de fósforos, por exemplo.)

Passo 2. Foto: Laureni Fochetto

Recorte duas embalagens de petit suisse para que fiquem com 1 centímetro de altura . Coloque uma contra a outra e cole com fita adesiva. Recorte os pneus em cartolina e cole-os nas laterais. Desenhe as janelas e as portas.

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Passo 3. Foto: Laureni Fochetto

Escreva os cálculos em papéis e cole cada um num carrinho. As garagens são feitas com embalagens de lâmpada encapadas. Escreva sobre elas os resultados das contas que estão nos fuscas.

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3. Revista Nova Escola - Outubro de 2004.

Caça ao tesouro ajuda a ensinar ângulos

Ao se movimentar pela escola em busca de pistas, o aluno aguça o

senso de direção e compreende que cada giro de seu corpo forma

um ângulo

Raquel Ribeiro

Foto: Sam hart

O clássico desenho de duas semi-retas unidas por um arco, de maneira geral, é o que apresenta um ângulo a alunos de 5ª série. Dali para a frente eles aprendem a identificar os que são retos, agudos e obtusos, e logo partem para os cálculos. Há aqueles que até se tornam bambambãs em geometria, mas outros tantos aprenderiam o tema com mais tranqüilidade se ele fosse introduzido de forma diferente. Especialistas recomendam que se ensine ângulo à garotada - ainda na pré-escola — como uma idéia de giro, sem que seja necessário representá-lo de maneira formal. E isso não é difícil. Afinal, o ângulo está na direção de cada passo que damos. O trabalho feito desse modo evita problemas futuros. "Muitos jovens chegam à 6ª, à 7ª e até à 8ª série achando que ângulo é um par de semi-retas. Para medi-lo, usam a régua, pois o transferidor para eles não faz sentido", afirma Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, pesquisadora do Mathema, empresa de consultoria em educação matemática, de São Paulo. Estudar o ângulo somente por meio de desenhos no livro e no caderno não é

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suficiente para que a turma compreenda e utilize o conceito na resolução de problemas matemáticos e no dia-a-dia. Segundo Luiz Márcio Imenes, professor de Matemática e autor de livros didáticos, se o professor leva a criança a usar o próprio corpo fica mais fácil para ela compreender o que é ângulo. "O conceito tem tudo a ver com direção." E não andamos apenas em linha reta, não é mesmo? "Quando o adolescente entende que a medida do giro que faz para um lado ou para o outro é o grau, o conteúdo faz sentido", atesta Maria Sueli Monteiro, consultora em Matemática de São Paulo e selecionadora do Prêmio Victor Civita. Caça ao tesouro A construção do conceito de ângulo é um processo lento. Por isso, é preciso propor aos estudantes vários tipos de atividade em diferentes momentos da escolaridade. A caça ao tesouro é um bom mote, já que pode ser aplicada da pré-escola à 4ª série. O grau de dificuldade aumenta progressivamente, mas a proposta é a mesma para todos: aprender na prática como é o ângulo que se forma com o movimento. Assim, o aluno compreende o ângulo que está nos livros. No início da brincadeira, conte ou leia alguma história sobre caça ao tesouro para que a turma entre no clima. As pistas

Determine um trajeto a ser percorrido em sala de aula ou no pátio. Escreva num papel indicações como "a partir da mesa do professor", "faça um quarto de volta à direita", "dê dois passos para a frente", "vire à direita e ande três passos". Desse modo, o estudante chega a uma pista — papel com novas instruções — que será seguida pelo colega. Você estipula a quantidade de pistas que a atividade vai conter e qual será o tesouro. Pré-escola

Para crianças de até 6 anos, expressões do tipo "um quarto de volta" ainda não fazem sentido. Como elas não têm fluência na leitura, as instruções da caça ao tesouro devem ser orais e numa linguagem bem acessível. Exemplos: "fique de costas para a lousa" e "vire à direita". 1ª série

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Cada grupo recebe uma folha de papel Kraft com o desenho do mapa de uma cidade. O tamanho das ruas deve ser grande o suficiente para que um bonequinho movimentado pela garotada passeie por elas em busca do tesouro. Nessa versão, as instruções de trajeto devem usar as referências apresentadas no mapa. 2ª série

Enquanto uma criança segue as ordens escritas, as demais a observam e registram seus movimentos em um papel quadriculado - cada quadradinho corresponde a um passo. A linguagem escrita é, assim, transformada em imagem. O vocabulário pode ser mais complexo à medida que o estudo de frações tiver início. Exemplos: "partindo da mesa da professora, ande dois passos para a frente"; "vire um quarto de volta à direita e ande um passo"; "vire um quarto de volta à esquerda e ande dois passos". 3ª série

Se a classe passou pelo aprendizado do ângulo formado pelo movimento, já entende o que significa a abertura ou o grau. Assim, as pistas que levam ao tesouro podem ser: "vire 90° à esquerda", em vez de "faça um quarto de volta à esquerda". 4ª série

Aqui, as instruções da caça ao tesouro são apresentadas em um mapa desenhado. Para interpretá-lo, as crianças devem cumprir uma tarefa: construir um transferidor de papel (abaixo). O material será usado para medir os ângulos no mapa e depois demarcá-los no chão usando giz. Dessa forma, os estudantes se guiam até as pistas ou o tesouro. Transferidor de papel

Os alunos desenham um círculo e o cortam ao meio. A meia-lua vai ser dobrada ao meio, formando um ângulo de 90°, e novamente ao meio, formando "fatias" de 45°. Em seguida, dividem a mesma meia-lua em três partes. Cada "fatia" de 60o é dobrada ao meio (30°) e mais uma vez ao meio (15°). As dobras são pintadas e os graus escritos nas divisões.

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O grande prêmio

Quando a meninada encontrar o tesouro, você também terá ganho um prêmio: uma turma craque em ângulos e com uma boa noção de direção. "O ângulo é um conceito central na geometria e está presente na leitura de mapas, na navegação, na astronomia e na engenharia", explica Imenes. Ele lembra, porém, que o tema deve ser trabalhado ao longo de todo o Ensino Fundamental e o Médio. Caso contrário, o professor estará abandonando as pistas pelo caminho e desistindo do tesouro.

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4. Revista Nova Escola – Agosto de 2006.

Batalhas numéricas

Estes jogos de baralho geram partidas animadas, em que turmas de

pré-escola aprendem sobre a posição dos números

Bartira Betini

QUEM GANHOU? Em números de vários algarismos, o primeiro determina qual é o maior.

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Muito antes de frequentar a escola, a garotada tem contato com o sistema numérico: em agendas de telefones, porta das casas, preços de produtos e painel de elevadores. Essa familiaridade permite elaborar hipóteses sobre eles e criar teorias próprias para entendê-los. Porém, nem sempre elas estão corretas. Por exemplo: qual é o maior, 99 ou 101? Algumas crianças de 4 a 6 anos podem comparar apenas os primeiros algarismos e deduzir que 99 é maior, pois tem algarismos de valor absoluto superior aos algarismos de 101. Para que elas entendam o valor posicional, proponha dois jogos que suscitam a reflexão e o aprendizado. Os jogos Batalha Simples e Batalha de Composição vão ajudá-las a descobrir a resposta com facilidade.

Não use o baralho tradicional, pois ele traz as figuras correspondentes ao número e não é interessante que os pequenos contem esses elementos para chegar à resposta. Confeccione as cartas numeradas de 0 a 9 com cartolina e encape-as com plástico adesivo transparente.

Durante a disputa, os grupos comparam os números e discutem qual é o maior para saber quem ganhou. Para Emelisa Sebastiana de Castro Monteiro, orientadora pedagógica da EMEI Luiz Sundfeld, em São José dos Campos, a 94 quilômetros de São Paulo, o importante é o debate que todos fazem antes de chegar a um consenso. Na maioria das vezes, eles alcançam sozinhos a solução. Para não interromper a partida, anote os problemas que você detectar para comentar depois. Ajuda no aprendizado ter na sala uma tabela com números de 0 a 100 ou um calendário. Ambos podem ser utilizados como referência na busca pela ordenação.

Na EMEI Luiz Sundfeld, a Batalha Simples é apresentada às turmas de 4 e 5 anos e a de Composição, às de 6. Aumentamos as possibilidades de agrupamento numérico ao perceber que o jogo fica fácil para os participantes, conta a professora Maria de Fátima Silva Piacesi. É importante conhecer as estratégias que os pequenos geralmente já utilizam para comparar números de mais de um algarismo. A mais simples: quanto maior a quantidade de algarismos, maior é o número. Quando ele tem igual quantidade de algarismos, alguns já deduzem que o maior é aquele que tem o primeiro algarismo maior (ou seja, se baseiam na posição que eles ocupam). Contraditoriamente, às vezes, as crianças afirmam que é maior o número que tem algarismos mais altos, independentemente da posição. Exemplo: ao comparar 89 e 122, afirmam que 89 é maior porque tem números maiores. Elas

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se apóiam no conhecimento oral da série numérica, afirmando que é maior o que vem depois. Durante o jogo, você vai perceber que todos esses conhecimentos virão à tona e poderão ajudar a turma avançar fazendo intervenções e questionando as respostas dadas por elas.

Plano de Aula

Objetivos • Dominar progressivamente a leitura e a ordem dos números. • Comparar e ordenar números com diferentes quantidades de algarismos.

Conteúdo • Ordenação de números. • Regularidades do sistema numérico. Tempo estimado 30 minutos, uma vez por semana. Organização da sala Dois, três ou quatro jogadores. Materiais necessários Batalha Simples: cartas numeradas em sequência, com intervalos variados (de 1 a 30, de 100 a 150 ou até com centenas e milhares).

Batalha de Composição: cinco jogos de cartas numeradas de 0 a 9 (50 cartas). Desenvolvimento • Atividade 1

Comece com a batalha simples. Distribua as cartas e explique as regras: cada um faz um monte com as faces numeradas para baixo. Todos viram ao mesmo tempo a que está por cima e discutem qual é a maior. O vencedor leva as cartas e as junta ao monte. O jogo termina quando apenas um jogador tiver cartas. • Atividade 2

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Depois de várias partidas, escreva numa folha: "Observe as cartas dos participantes de um jogo de batalha: Pedro (21), Giovanna (9). Quem ganhou? Como decidiu?". Entregue uma cópia para cada criança e, depois das respostas, promova um debate. • Atividade 3

Você pode bolar diversas variações para a atividade anterior, com números que permitam analisar outros critérios de comparação: 2345 e 57 - diferentes quantidades de algarismos (quanto mais algarismos, maior o número). 34 e 74 - igual quantidade de algarismos, mudando apenas o da dezena (o primeiro é que manda). 57 e 53- igual quantidade de algarismos, mudando apenas o da unidade (se o primeiro da dezena é igual, o segundo manda). 67 e 76 - mesmos algarismos e na mesma quantidade, mudando apenas a posição (valor posicional). 121 e 89 - quantidades diferentes de algarismos, sendo que o que tem mais apresenta os de menor valor (relação entre o valor absoluto dos algarismos e a posição ocupada por eles). • Atividade 4

Quando esse jogo ficar fácil sugira a Batalha de Composição: forme um monte de cartas no centro da mesa deixando as faces numeradas para baixo. Cada jogador vira três e tenta montar o maior número possível. Com os arranjos prontos, o grupo discute qual é o maior. O ganhador leva as cartas. Vence quem finalizar com a maior quantidade delas quando acabarem as da mesa. Avaliação

Observe se a turma utiliza critérios de comparação válidos para produzir ordenamentos e peça sempre que justifiquem as respostas.

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5. Revista Nova Escola - Setembro de 2006.

Todas as contas num punhado só

Com jogos simples e divertidos, crianças gaúchas de 1a série são

estimuladas a realizar ao mesmo tempo as quatro operações

matemáticas

Ricardo Falzetta

Foto: Tamires Kopp

O jogo do repartir é poderoso. Envolve, de cara, a divisão, uma conta que, no ensino tradicional da Matemática, aparece na escola somente a partir da 3a série. Mais do que isso: ao ser jogado, ele também pede o uso das outras três operações (leia as regras no quadro abaixo). Divertido e montado com recursos simples e atraentes - copos de plástico, sementes e dado -, ojogo é indicado para turmas da 1a série em diante. A atividade pode ser realizada várias vezes ao ano. Com ela, você consegue diagnosticar e estimular as habilidades para a contagem e para processar as quatro operações. Acompanhado de outras atividades e brincadeiras lúdicas, como rouba-monte ou jogo da memória (leia os quadros), o jogo do repartir favorece a compreensão do conceito de número e das contas sem que para isso seja

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necessário ensinar, pela ordem, soma, subtração, multiplicação e divisão. Não há mágica: os alunos não terminam a¿1ª série sabendo armar uma conta de divisão nem começam o ano craques no jogo. De início, poucos vão percorrer corretamente os passos da atividade, o que não é problema, pois não se trata de medir erros e acertos. O objetivo é conseguir uma progressão - nem sempre linear - do raciocínio. O algoritmo da divisão (os passos para montar a continha armada) continua a ser sistematizado na 3ª série. Mas até lá a garotada vai estar muito mais à vontade com as noções das operações. Assim, o momento de aprender a receita mais econômica para fazer a conta acaba sendo muito menos traumático.

Aprendizagem em rede O ensino da Matemática que se propõe nessa abordagem considera que a aprendizagem inicial da disciplina pode se dar de forma mais enredada, sem que os conceitos apareçam isoladamente, um após o outro. Em vez disso, leva-se em conta todo o caos de relações entre eles e a capacidade que cada estudante tem de estabelecer as conexões. Essa maneira de ensinar considera ainda que a criança traz de seu meio cultural uma série de procedimentos no trato com os números, formados corriqueiramente nas situações em que é preciso fazer cálculos para tomar decisões: o pagamento de uma conta na padaria, a repartição de doces e a contagem ou a troca de figurinhas, para citar apenas alguns exemplos. A você, cabe descobrir em que mundo cada aluno está sintonizado - como está pensando, que procedimentos está adotando, com que objetivos. Consegue-se isso dando chance a ele de verbalizar e registrar as descobertas numéricas - é recomendável que cada jogo seja acompanhado por uma ficha didática preenchida pelos pequenos. De acordo com a atividade, um tipo de informação é solicitado. No caso do jogo do repartir, o estudante registra em colunas os dados numéricos da jogada e é desafiado a calcular a quantidade de sementes do punhado inicial - o que se consegue fazendo a operação inversa da divisão. Pode-se começar a preencher essas tabelas com desenhos ou garatujas que, para muitos, simbolizam os números. São essas manifestações que permitirão entender a evolução da turma. Analisando as fichas, você terá condições de estabelecer

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os níveis de conhecimento dos alunos e planejar outras ações formando grupos heterogêneos, para que crianças mais e menos avançadas interajam entre si.

O tripé do campo conceitual Situações (que podem ser questões de solução matemática), procedimentos (os caminhos para resolvê-las) e representações simbólicas (como a criança descreve o problema e a solução, seja por meio de números, palavras, seja por meio de desenhos) formam o que os teóricos chamam de campo conceitual. Na base desse campo estão as convicções da criança. Um exemplo é quando ela considera a multiplicação apenas uma soma de parcelas iguais. Essas certezas vão sendo confirmadas ou derrubadas. Mas esse movimento só acontece quando você propõe atividades que a façam entrar em conflito. Suponha que você tem duas calças e três blusas diferentes. De quantas formas pode se vestir? A resposta - seis possibilidades - vem de uma multiplicação (2 x 3), mas está longe de ser um caso de soma de parcelas iguais. A idéia de campo conceitual foi proposta na década de 1990 pelo pesquisador francês Gérard Vergnaud, diretor do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS), em Paris. No Brasil, seguem a linha de Vergnaud os pesquisadores do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia de Pesquisa e Ação (Geempa), de Porto Alegre, que propõem o ensino da Matemática relatado nesta reportagem. Sob orientação do Geempa, a professora Maristela Maciel vem aplicando as idéias do campo conceitual com uma 1ª série do 1º ciclo na EMEI Vale Verde, na capital gaúcha. "São crianças de 6 anos, portanto ainda na fase de alfabetização, tanto nas letras quanto nos números. No início do ano, algumas mal sabiam relacionar o numeral à quantidade representada", descreve. Por isso, atividades como as aqui descritas devem ser tratadas como parte de um processo. Ao mesmo tempo que realiza o trabalho com os jogos, a professora propõe tarefas como a construção do calendário, a contagem dos presentes e dos que faltaram, a leitura do relógio e exercícios com o quadro numérico. Não menos importante é o fato de que todos os jogos e suas formas de registro são exaustivamente praticados com antecedência pelos professores que participam com Maristela do grupo de pesquisas gaúcho.

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Regras do jogo do repartir

Divisão, multiplicação, subtração e adição na mesma rodada 1. Sementes para todos

O jogo do repartir faz parte da rotina na 1a série do 1o ciclo da EMEI Vale Verde, em

Porto Alegre. Organizados em grupos de no máximo quatro, os alunos recolhem para

si um punhado de sementes, sem contá-las. As jogadas podem ser coletivas (como

ocorria no início do ano) ou individuais (como no final do primeiro semestre).

2. Sorte no dado

Foto: Tamires Kopp

Um jogador lança o dado (feito de papelão e montado pela garotada): o número obtido na sorte determina quantos copinhos plásticos cada um deles deve pegar. Observe que o punhado de sementes equivale ao dividendo e o número de copos ao divisor. Mas você não deve explicar esses conceitos nesse instante. 3. Pode ter resto

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Foto: Tamires Kopp

A tarefa seguinte é distribuir as sementes igualmente nos recipientes, ou seja, dividi-las. Mas coloque para a garotada a seguinte condição: no final da distribuição, não pode sobrar mais sementes do que o número de copinhos. Essa sobra é o resto da divisão. Faça com que todos do grupo confiram esse resultado.

4. Hora das contas

Foto: Tamires Kopp

Cada um deve anotar ou desenhar numa folha os números da jogada em quatro colunas: A = sementes em cada copo, B = copos, C = sementes que sobraram, D = quantas sementes havia no início. Preencher a última coluna é o mais complicado, pois é necessário multiplicar o número de copos pelo de sementes dentro de cada um e ainda somar as restantes.

Algumas dicas - Nas primeiras rodadas, use sementes maiores para evitar que as crianças peguem muitas, o que dificulta a repartição. - Comece com um dado que tenha apenas 2, 3 e 4 e vá trocando-o conforme a turma avança. Você pode usar até um dodecaedro (sólido com 12 faces). - O jogo tem uma variação. Nela, cada aluno determina uma quantidade fixa de sementes e joga o dado várias vezes. Experimenta-se, nesse caso, a divisibilidade de cada número. - A criança percebe que, em alguns casos, a quantidade de restos zero é maior.

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Diversão e cálculos

Foto: Tamires Kopp

Jogos com baralhos numéricos são indicados para o reconhecimento dos numerais e também para somas de números pequenos (até 12), com cálculo mental. A classe é convidada a jogar rouba-monte, memória ou bate-bate, entre outros. As fichas pedem os mais variados registros: no rouba-monte, quantas cartas cada jogador reuniu ao final da rodada; no bate-bate, qual o número em que a rodada terminou e quantas cartas o vencedor levou.

Roda pião

Foto: Tamires Kopp

Para trabalhar noções de dentro, fora e fronteira, Maristela propõe um jogo de formas geométricas. Numa folha de papel, ela desenha, por exemplo, dois quadrados com os cantos sobrepostos (foto). Cada área do desenho recebe uma pontuação: 1, na parte externa; 2, sobre a linha; 3, no interior dos quadrados; e 4, na área comum entre os dois. A jogada consiste em rodar um pião sobre o papel e acumular pontos conforme a área onde ele pára. Na ficha de registro, são totalizados os pontos e descritos os locais do desenho em que o pião parou de rodar.

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Mariolas para todos

Foto: Tamires Kopp

A professora distribui aos grupos mais barras de mariola (doce de banana servido na merenda) do que integrantes e pede que dividam igualmente entre eles. As soluções apontam caminhos para Maristela. Uma equipe de quatro - que distribuiu uma barra inteira para cada um, dividiu ao meio as duas restantes e fez nova repartição - respondeu que cada um recebeu duas barras, e não uma e meia. Outro grupo quebrou todas as barras em pedaços menores e dividiu o grande punhado de forma que, visualmente, cada um ficasse com uma quantidade parecida.

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6. Revista Nova Escola - Outubro de 2008.

O que ensinar em Matemática

Pesquisas sobre a didática da disciplina mostram como os alunos

pensam e reforçam estratégias de ensino centradas na resolução

de problemas

Amanda Polato

SITUAÇÃO-PROBLEMA Professora propõe questões desafiantes para que a turma busque possíveis soluções

É cada vez maior o conhecimento sobre como as crianças aprendem conceitos matemáticos. Pesquisas sobre a didática da disciplina aos poucos chegam aos cursos de formação e começam a difundir uma nova maneira de ensinar. O que antes era considerado erro do aluno ou falta de conhecimento do conteúdo agora se revela como a expressão de diferentes formas de raciocinar sobre um problema, que devem ser compreendidas e levadas em consideração pelo professor no planejamento das intervenções, como se pode acompanhar nas fotos que ilustram esta reportagem.

No decorrer do século 20, as discussões se intensificaram, motivadas pelas descobertas da psicologia do desenvolvimento e da abordagem socioconstrutivista, feitas principalmente pelo cientista suíço Jean Piaget(1896-1980) e pelo psicólogo bielo-russo Lev Vygotsky (1896-1934).

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"No Brasil, foi nas décadas de 1950 e 60 que os educadores passaram a se preocupar com a baixa qualidade do desempenho dos estudantes.Em diversos países, propostas para enfrentar as dificuldades começaram a ser construídas e, da busca de soluções, surgiu um novo campo de conhecimento", explica Célia Maria Carolino Pires, do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Na França, essa área do saber é chamada de didática da Matemática e os principais pesquisadores são Guy Brousseau, Gérard Vergnaud, Régine Douady e Nicolas Balacheff. No Brasil, ela também é conhecida como Educação Matemática.

"As pesquisas francesas deram aporte a investigações que concebem o aluno como sujeito ativo na produção do conhecimento e considera as formas particulares de aprender e pensar", resume Cristiano Alberto Muniz, coordenador adjunto do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade de Brasília (UnB). Essa abordagem tem implicações didáticas, pois coloca o professor como conhecedor do processo de aprendizagem, da natureza dos conteúdos e das intervenções mais adequadas para ensinar.

Aulas em que se expõem conceitos, fórmulas e regras e depois é exigida a repetição de exercícios, tão usadas até hoje, têm origem no começo do século 20. Porém sabe-se que elas não são a melhor opção para a Educação Matemática. "Procedimentos clássicos podem ser utilizados desde que tenham coerência com os objetivos do planejamento e estejam acompanhados de tempo para a reflexão e a discussão em grupo", observa Muniz.

TROCA E REGISTRO Crianças elaboram maneiras próprias de resolver os problemas e discutem as hipóteses

Entender como as crianças aprendem é fundamental

Os conhecimentos sobre como as crianças aprendem Matemática têm mais de 30 anos, mas ainda não constam dos currículos dos cursos de licenciatura. Aos

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poucos, aparecem em programas de formação continuada, mostrando maneiras eficientes de ensino da disciplina.

O foco dessa tendência que coloca o aluno no centro do processo de aprendizagem é apresentar a ele situações-problema para resolver. "O docente tem o papel de mediador, ajudando a construir os conceitos e fazendo com que o estudante tenha consciência do que faz na hora de responder as questões", afirma Sandra Baccarin, do Compasso, grupo de pesquisa em Educação Matemática da UnB.

No livro Didática da Matemática, Roland Charnay afirma: "O aluno deve ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de ressignificar diante de novas situações, adaptando e transferindo seus conhecimentos para resolver desafios".

Guy Brousseau, ao construir a teoria sobre o contrato didático, descreveu as relações entre o professor, o saber e o aluno. O docente tem a função de criar situações didáticas em que nem tudo fica explícito (são os obstáculos). À criança cabe pensar em possíveis caminhos para resolvê-las, formulando variadas hipóteses sem ter a necessidade de dar nenhuma resposta imediata. Esse segundo momento é chamado de adidático. É aí que o aluno usa a própria lógica para produzir. "Assim, começamos a preparar os jovens para pensar de forma autônoma", destaca Cristiano Muniz. Depois disso, é tarefa do professor retomar o planejado, para analisar as hipóteses da turma e sistematizar o aprendizado.

Para compreender melhor as condições de ensino, Gérard Vergnaud elaborou a teoria dos campos conceituais. Ao estudar como as crianças resolvem problemas de soma e subtração, o francês percebeu que elas procuram a resposta usando procedimentos diversos do tradicional, com base em vivências e aprendizados anteriores. Foi assim que ele classificou os problemas do campo aditivo em seis tipos: - dois de transformação (alteração do estado inicial por meio de uma situação inicial, positiva ou negativa); - combinação de medidas (junção de conjuntos de quantidades preestabelecidas); - comparação (confronto de duas quantidades para achar a diferença); - composição de transformações (alterações sucessivas do estado inicial); e

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- estados relativos (transformação de um estado relativo em outro estado relativo). Da mesma forma, ele classificou as questões relativas ao campo multiplicativo em três: proporcionalidade, organização retangular e combinatória.

SISTEMATIZAÇÃO Idéias surgidas no debate devem ser retomadas pelo professor para garantir o aprendizado

Descobrir estratégias e socializá-las com os colegas

Ciente da capacidade dos pequenos de criar hipóteses, é possível elaborar problemas com diferentes enunciados, variando o lugar da incógnita, e propor discussões em grupo e momentos nos quais os estudantes justifiquem a escolha. "Ao refletir sobre como pensou para chegar à resposta e comunicar isso aos colegas, o aluno organiza o próprio pensamento e compartilha a estratégia, permitindo que ela seja socializada", afirma Daniela Padovan, selecionadora do Prêmio Victor Civita Educador Nota 10. A justificativa pode ser feita oralmente ou por escrito. Nesse caso, é possível que ele inicie com representações pessoais - como riscos e desenhos - antes de chegar ao registro formal da linguagem matemática. É esse processo que leva à aprendizagem efetiva.

Um aspecto muito disseminado da abordagem socioconstrutivista - base da didática da Matemática da escola francesa - é a visão da aprendizagem como um processo social. Isso significa considerar a articulação dos saberes escolares com a realidade das crianças. A ideia, contudo, costuma gerar muitos equívocos. Um deles ocorre quando o professor privilegia a vivência de situações do cotidiano para introduzir um conteúdo, esquecendo-se, posteriormente, de sistematizar o aprendizado.

Outro engano é a ideia de que contextualizar é ensinar apenas a Matemática usada no dia a dia, como a aritmética de uma compra de supermercado. Contudo, somente em momentos de descontextualização é possível construir

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conhecimentos para que possam ser usados em outras circunstâncias. Questões internas da disciplina, como a propriedade distributiva da multiplicação, não estão explícitas no que se faz diariamente, mas devem ser objeto de discussão da turma. "A contextualização é importante, mas não pode ser usada o tempo todo", diz Daniela Padovan.

Erondina Barbosa da Silva responde a 5 perguntas

Erondina Barbosa da Silva

Erondina Barbosa da Silva, professora de Matemática de 7ª série do CE 3 do Guará, em Brasília, 19 anos de profissão, nunca parou de aperfeiçoar a forma de ensinar.

Como eram suas aulas? Eu me formei com base na Matemática Moderna, que é voltada para a formalização de conceitos. Minhas aulas eram expositivas e os alunos faziam exercícios. Por que decidiu mudar? Como não me sentia preparada para ensinar, decidi fazer outros cursos, inclusive mestrado, nos quais conheci novos métodos. Que modificações foram adotadas na estratégia de ensino? Agora uso a proposição de problemas, oferecendo questões que fazem sentido para os estudantes. Como é feita a avaliação? Minhas provas são momentos nos quais as crianças refletem sobre o que aprenderam e percebem em que ponto precisam avançar.

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Seus alunos gostam de Matemática e de suas aulas? Sim. O pavor da disciplina só aparece quando o aluno não se sente ativo na aprendizagem.

Mitos pedagógicos

Algumas idéias sem fundamento prejudicam o ensino da disciplina: Só os mais inteligentes aprendem Qualquer aluno pode se engajar no processo de produção de conhecimentos matemáticos usando a própria lógica. Meninos têm mais facilidade do que meninas Não existe comprovação científica de que garotos são melhores (ou piores) do que as meninas em disciplinas que exigem raciocínio lógico, como as de exatas. É preciso dar um modelo A idéia de que os alunos só conseguem resolver problemas usando modelos ou seguindo instruções não é correta. Para haver avanço, é preciso que os jovens criem e experimentem diferentes estratégias. Jogos e softwares são a solução Ainda há muitas idealizações no sentido de que materiais como jogos e softwares resolverão os problemas de aprendizagem. Eles podem ser ferramentas importantes, mas dependem da exploração planejada pelo professor para dar resultados efetivos. Aprender sem perceber Interpretações equivocadas sobre a contextualização do ensino da Matemática levaram alguns autores de livros didáticos e professores a acreditar que seria possível aprender a disciplina sem perceber, apenas brincando e se divertindo. Se o estudante não sabe o que está fazendo, não há aprendizagem.

Linha do tempo do ensino de Matemática no Brasil

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1600 No início da colonização, os conteúdos de Matemática ministrados nos colégios jesuítas estavam atrelados aos de Física, seguindo uma tradição européia de ensino que tinha como base as humanidades clássico-literárias. 1824 Com a estruturação das primeiras escolas primárias, a elaboração do currículo da disciplina dá ênfase a conteúdos matemáticos relacionados, principalmente, ao sistema de numeração e à aritmética. 1837 Geometria, álgebra, trigonometria e mecânica começam a ser ensinadas no recém-criado ensino secundário do Colégio Pedro II. A Matemática deixa de ser conhecimento técnico e adquire um caráter preparatório para o Ensino Superior. 1856 Os primeiros livros didáticos de Matemática feitos no país e adotados pelas escolas de Educação Básica são os elaborados pelo militar, engenheiro e professor de Matemática mineiro Cristiano Benedito Ottoni. 1920 O Movimento da Escola Nova surge forte em outras áreas e começa a influenciar o ensino de Matemática, incentivando trabalhos em grupo e colocando a criança no centro do processo educativo. 1929 Com base nas idéias do alemão Felix Klein, Euclides Roxo, diretor do Colégio Pedro II, propõe a criação da disciplina de Matemática (até então, aritmética, álgebra e geometria eram ministradas separadamente). 1942 Gustavo Capanema promulga a Lei Orgânica do Ensino Secundário, em que o ensino da disciplina segue, em parte, as idéias propostas por Euclides Roxo, no livro A Matemática na Escola Secundária. 1955 É organizado o primeiro Congresso Brasileiro de Ensino da Matemática. O evento, realizado na Bahia pela professora Martha de Souza Dantas, tem o mérito de dar impulso às reflexões sobre essa área. 1960 O professor Oswaldo Sangiorgi lidera o Movimento da Matemática Moderna, que defende a disciplina como a principal via para os alunos acessarem o pensamento científico e tecnológico. 1970 A Etnomatemática, criada por Ubiratan D’Ambrosio, aparece como um movimento acadêmico e começa a ser usada em sala de aula. A idéia é analisar as práticas matemáticas em diferentes contextos sociais e culturais.

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1988 A criação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (Sbem) propicia o contato mais próximo com pesquisas internacionais por meio de participação em seminários e congressos.

Metodologias mais comuns

O ensino tradicional dominou a sala de aula durante séculos, até o surgimento de novas maneiras de ensinar. Tradicional Formada no início do século 20 com métodos clássicos que envolvem a repetição de algoritmos. Foco: Dominar regras da aritmética, da álgebra e da geometria. Estratégias de ensino: Aulas expositivas sobre conceitos e fórmulas, com os alunos copiando e fazendo exercícios para a fixação. Escola Nova A partir dos anos 1920, atingiu sobretudo as séries iniciais. Foi colocada em prática principalmente em escolas particulares, com o aluno no centro do processo de aprendizagem. Foco: Trabalhar o conteúdo com base na iniciativa dos estudantes em resolver problemas que surgem em um rico ambiente escolar. Estratégias de ensino: Jogos e modelos para aplicar em situações cotidianas. Matemática Moderna Surgiu como um movimento internacional na década de 1960. Foco: Conhecer a linguagem formal e ter rigor na resolução de problemas. Estratégias de ensino: Séries de questões para usar os fundamentos da teoria dos conjuntos e da álgebra. Didática da Matemática Começou nas décadas de 1970 e 80, com autores como Guy Brousseau e Gérard Vergnaud. Foco: Construir conceitos e estratégias para resolver problemas. Estratégias de ensino: Alunos devem discutir em grupo, justificar escolhas e

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registrar as hipóteses.

Etnomatemática Surgiu no Brasil em 1975 com os trabalhos de Ubiratan D’Ambrosio. Foco: Aprender usando questões dos contextos sociais e culturais. Estratégias de ensino: Mudam conforme o contexto e a realidade em que a disciplina é ensinada.

Expectativas de aprendizagem em Matemática do 1º ao 9º ano

As Orientações Curriculares de Matemática da prefeitura de São Paulo prevêem que, no fim do 5º ano, os alunos saibam:

- Compreender e usar as regras do sistema de numeração decimal para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais. - Utilizar estratégias pessoais para resolver problemas. - Ler mapas e plantas baixas simples e localizar-se nos espaços. - Identificar e representar semelhanças e diferenças entre formas geométricas. - Comparar, identificar e estimar grandezas (comprimento, massa, temperatura e capacidade) e iniciar o uso de instrumentos de medidas. - Saber ver as horas. - Utilizar o sistema métrico (convencional ou não) com precisão. - Realizar cálculos aproximados. - Reconhecer, usar, comparar e ordenar números racionais. - Utilizar o sistema monetário brasileiro. - Resolver problemas nas quatro operações, usando estratégias pessoais, convencionais e cálculo mental. - Usar porcentagens. - Explorar a idéia de probabilidade. - Reconhecer semelhanças e diferenças entre poliedros e identificar relações entre faces, vértices e arestas. - Utilizar unidades comuns de medida em situações-problema. - Usar unidades de medidas de área. - Interpretar e construir tabelas simples, de dupla entrada, gráficos de colunas, barras, linhas e de setor. O mesmo documento prevê que, no fim do 9º ano, os estudantes saibam:

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- Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema, compreendendo diferentes significados das operações com números reais. - Identificar e resolver problemas com grandezas direta ou indiretamente proporcionais. - Calcular juros simples e utilizar porcentagem para acréscimos e descontos. - Reconhecer números irracionais e construir procedimentos de cálculo com eles. - Identificar usos para as letras em situações que envolvem generalização de propriedades, incógnitas, fórmulas e relações numéricas e padrões. - Construir procedimentos de cálculo para operar com frações algébricas. - Usar os sistemas de equações. - Representar a variação de duas grandezas em um sistema de eixos cartesianos. - Fazer verificações experimentais e utilizar os teoremas de Pitágoras e Tales. - Construir procedimentos de cálculo de área e perímetro de superfícies planas, área total de cubos, paralelepípedos e pirâmides, volume de cubos e paralelepípedos. - Usar noções de cálculo de média aritmética e moda. - Usar noções de espaço amostral e de probabilidade de um evento. - Produzir textos escritos com base na interpretação de dados estatísticos.

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7. Revista Nova Escola - Maio de 2009.

Solução na medida

Desafios reais com unidades de comprimento, massa, capacidade e

tempo colaboram para explicar equivalências e relações entre

grandezas

Beatriz Santomauro, de Pirangi, SP

ENTENDENDO A VAZÃO Na EE Joaquim de Abreu Sampaio Vidal, a turma percebe a ligação entre tempo e capacidade. Fotos: Marcos Rosa.

Suponhamos que você, professor de Matemática, chegou ao ponto do currículo em que precisa ensinar quantos mililitros cabem em 1 litro. Qual estratégia é a mais eficaz: anotar no quadro a equivalência "1 l = 1.000 ml" e pedir que os alunos a memorizem? Ou levá-los a perceber qual é a relação entre as unidades por meio de uma atividade que envolva, digamos, copos de 250 militros e uma jarra de 1 litro? Nunca é demais lembrar que a melhor alternativa é aquela em que o aluno tem a oportunidade de testar hipóteses para construir o conhecimento. Só mostrar as regras sem considerar o raciocínio que levou à sua construção não ajuda a aplicar o que foi aprendido em outras situações.

Foi pensando na necessidade de mostrar como o conhecimento pode ser generalizado que a professora Elaine Terezinha Mattioli Coviello, da EE Joaquim de Abreu Sampaio Vidal, em Pirangi, a 390 quilômetros de São Paulo, desenvolveu uma sequência didática sobre grandezas e medidas para alunos de 3ª série. Baseando-se em problemas concretos, relacionados ao consumo

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de água, ela envolveu a turma em atividades que exigiam a comparação das unidades de medidas mais usuais - comprimento (metros, centímetros e quilômetros), massa (gramas e quilogramas) e capacidade (mililitros e litros) - e a análise de diversos procedimentos de cálculo - área, perímetro e vazão. O projeto, que mobilizou a classe e rendeu avanços no aprendizado do conteúdo, foi um dos vencedores do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10. "O trabalho indica que é interessante abordar um problema específico e depois propor outros usos para ampliar a abrangência do que foi aprendido", explica Priscila Monteiro, coordenadora da formação em Matemática da prefeitura de São Caetano do Sul, na Grande São Paulo, e formadora do projeto Matemática É D+, da Fundação Victor Civita. "Nesse sentido, ele pode ser replicado em outras salas de aula por todo o Brasil."

Um projeto que não fez água

POLIVALENTE ESPECIAL Com o curso de especialização em Matemática, Elaine mudou a prática em aula

Elaine Terezinha Mattioli Coviello nasceu em Vista Alegre do Alto, a 385 quilômetros de São Paulo. Casada e mãe de um filho, é docente há 20 anos. Formada em Pedagogia, atua como professora polivalente na EE Joaquim de Abreu Sampaio Vidal, mas aprofundou-se em matemática depois de cursar uma especialização na área. "Os conhecimentos que aprendi no curso e apliquei em minha prática certamente me ajudaram a conceber o projeto premiado", afirma. Objetivo A meta principal era fazer com que as crianças, em vez de apenas montar algoritmos e aplicar fórmulas sem compreender a questão, resolvessem problemas de grandezas e medidas entendendo o porquê dos cálculos. Um

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desafio impulsionou a investigação da turma de 3ª série: "Quanta água gastamos para lavar o pátio da escola?" Passo-a-passo Na primeira etapa, Elaine propôs que as crianças comparassem a quantidade de água presente em diversos recipientes, com e sem graduação de mililitros, e percebessem as relações de equivalência existentes entre eles. Na fase seguinte, incentivou que a turma usasse o mesmo processo para entender outras unidades de medida, como as de tempo e as de comprimento. O terceiro passo já envolvia cálculos que juntavam duas grandezas diferentes. Com relógio, baldes, mangueiras e canecas graduadas, os estudantes anotaram quanta água era despejada durante um minuto. Também aprenderam que, para encontrar a quantidade de litros acumulados em 3 minutos, precisariam multiplicar o valor encontrado por 3. Por fim, aplicaram os conhecimentos para avaliar a forma mais econômica de lavar o pátio. Enquanto um grupo media a quantidade de água usada com uma mangueira para lavar uma área de 4 metros quadrados, outro usava a mesma estratégia para aferir o gasto de água em baldes em uma área semelhante. No fim, todos perceberam que gastam mais com a mangueira, o que significa desperdício, e puderam mudar o comportamento no uso da água na escola e em casa. Avaliação Elaine acompanhou o desempenho de cada aluno tendo em mãos vários registros, o que permitiu a mudança de rumos nas propostas e a retomada de temas pouco compreendidos. Ao fim de cada etapa, as crianças produziram textos que formaram portfólios, cartazes que resumiram o aprendido, e gráficos construídos no computador para organizar os novos conhecimentos.

Copos, calendários e metros para apresentar as medidas

VER A EQUIVALÊNCIA Ao completar os copos com água, os alunos notam a relação entre os diferentes recipientes.

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Para a turma entender que é possível usar uma situação particular de estudo para generalizar e extrapolar o mesmo raciocínio para outros casos, a intervenção do professor é essencial. No bloco de conteúdo de grandezas e medidas, para introduzir o conceito de equivalência, por exemplo, uma opção é pedir que os estudantes levem diversos tipos de recipiente: copos de lanchonete, potinhos de supermercado, vasilhames com graduação de mililitros, baldes grandes e garrafas de refrigerante. Medir quantas garrafas cabem em um balde já permite a primeira aproximação com a ideia de comparação de capacidades. A familiaridade aumenta se a garrafa tiver, por exemplo, um rótulo que indique o conteúdo que suporta: a garotada descobre que é preciso examinar bem os recipientes para encontrar informações que possibilitem a comparação numérica. O mesmo processo vale para apresentar as unidades de tempo: trabalhar o uso do calendário e ensinar a ver horas são maneiras de entender as equivalências entre minutos, horas e segundos. Entre as atividades possíveis estão, por exemplo, localizar datas importantes dentro de um mês específico e calcular quanto tempo falta para chegar lá. Já para pensar nas medidas de comprimento, o professor contrapõe formas de estimar as distâncias até a escola. Enquanto um aluno pode ter a noção de que percorre 1 quilômetro, outro diz que são dez quadras, enquanto um terceiro dá a resposta em metros. Essa pode ser uma excelente ocasião para explicar a diferença entre medidas convencionais (nesse caso, metros ou quilômetros) e não convencionais (quadras). Mais que apenas fórmulas, a generalização exige desafios

REGISTRO DIGITAL Em programas de computador, a turma construiu gráficos das grandezas medidas.

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A partir desse ponto, você já pode estimular o desenvolvimento de outra competência bastante importante: identificar qual medida utilizar para estimar uma grandeza. Será quilograma? Metro? Litro? Minutos? Mostre que a resposta depende do que se deseja medir - massa, comprimento (ou cálculos como área e distância), volume ou tempo. Para cada uma dessas características, existe um instrumento adequado. É essencial deixar isso claro porque nem sempre é evidente para as crianças dessa faixa etária a maneira de usar cada instrumento de medida. Por outras palavras, não se trata apenas de saber que a quantidade de líquido se mede em litros, mas também que medir a capacidade de uma caixa- d’água, por exemplo, com baldes e não com xícaras, vai deixar o cálculo menos trabalhoso, embora menos preciso. Finalmente, chega a hora de generalizar a explicação, trazendo para um contexto mais amplo os exemplos particulares. Nesse ponto, é importante, sim, mostrar as relações de equivalência (coisas como 1 l = 1.000 ml, para voltar ao exemplo do início do texto) e os algoritmos que colocam as unidades em relação, caso das regras para o cálculo de área, perímetro, volume e vazão. Mas o que se espera, pelo próprio caminho de pesquisa propiciado pela sequência didática, é que esse conhecimento faça sentido e não seja apenas mais uma frase para decorar. A tarefa, agora, é abastecer a turma com novas situações problema para aplicar as fórmulas, mostrando sua vantagem principal: facilitar o cálculo, levando ao resultado correto independentemente dos números envolvidos e da questão proposta.

ECONOMIA CALCULADA A comparação da água usada para lavar o pátio revelou que a mangueira gasta mais que o balde.

Como último lembrete, vale dizer que, nesse percurso do particular ao geral, é preciso ficar atento para não cair na armadilha de que tudo que se ensina precisa ser aplicável no cotidiano. A verdade é que o conhecimento matemático não pode ser reduzido meramente a fins instrumentais - conteúdos como

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números primos e equações de 2º grau têm, em tese, pouca relação com a realidade concreta. Nem por isso devem ser abandonados: ao contrário, são essenciais ao desenvolvimento do pensamento matemático e lógico. Mas o caminho para trabalhar tanto as questões ligadas ao dia-a-dia como as abstratas é o mesmo: desafiar o aluno com situações problema, deixando-o pensar e encaminhando seu raciocínio de modo que ele possa encontrar a melhor solução.

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8. Revista Nova Escola – Maio de 2009.

Esportes, como futebol, podem ser usados para

ensinar Matemática?

Paula Sato

Campeonato Brasileiro pode ser tema das aulas de Matemática. Foto: Marcos Ribolli/Dedoc

Todas as competições esportivas têm sistemas de pontos e classificações que podem fazer parte das aulas de Matemática. Uma sugestão é discutir com os alunos o Campeonato Brasileiro de futebol, que está começando e pode render aulas bem animadas. Confira a seguir alguns conteúdos de Matemática que podem ser abordados a partir do futebol:

- Tratamento da informação O campeonato possibilita que os alunos utilizem dados de vários tipos de tabela. É interessante começar com uma tabela simples. A partir dos resultados da rodada (divulgados em jornais e na TV), peça que os alunos montem uma tabela que liste o nome do time e quantos gols fez (ou quantos pontos marcou). Também é possível pedir que eles relacionem os artilheiros e quantos gols cada um fez.

- Comparação numérica

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A partir dos dados da tabela, os alunos podem comparar os resultados de cada time ou jogador. Peça que, agora, eles organizem a tabela em ordem crescente - qual time ou qual artilheiro fez mais gols? Quem está em segundo e terceiro lugares?

- Multiplicação A organização da tabela de jogos pode render bons problemas de multiplicação (combinatória). Seguem dois exemplos que você pode propor: 1 - No Campeonato Brasileiro, 20 equipes disputam o título e cada time joga duas vezes contra todos os adversários. Quantos jogos cada time disputará? 2 - Se 20 equipes disputam o Brasileirão e cada uma delas joga 38 jogos, quantas vezes um time irá jogar contra cada adversário? No primeiro problema, a resposta imediata dos alunos pode ser 40 jogos. Nesse momento, é interessante discutir o resultado com as crianças, até que elas cheguem à conclusão de que o resultado deve ser 38, como os times não jogam contra eles mesmos. - Adição e subtração Com base na tabela da soma de pontos ou dos gols de cada artilheiro, é possível montar problemas de adição e subtração. Observe os exemplos: 1 - No Campeonato Brasileiro um time marca 3 pontos se vence o jogo, 1 ponto se empata e 0 se perde. O Flamengo, que está em primeiro lugar, tem 25 pontos e o Corinthians, 18. Quantos jogos o Corinthians precisa vencer para ser o primeiro colocado? 2 - Ronaldo, do Corinthians, marcou 12 gols e Washington, do São Paulo, 8 gols. Quantos gols Washington precisa marcar para ser o artilheiro do campeonato?

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9. Revista Nova Escola – Setembro de 2009.

Diversos jeitos de ensinar os números

Professoras de escolas de São Paulo e de Salvador lançam mão de

jogos e situações didáticas que mobilizam o conhecimento das

crianças para avançar no ensino das características dos números

NA PONTA DO GIZ Daniela, de São Paulo, propõe questões desafiadoras para gerar novos conhecimentos. Foto: Gustavo Lourenção / Ilustrações Carlo Giovani.

TIRA-DÚVIDAS Durante o ditado, um estudante anota as questões que não ficaram claras. Fotos: Fernando Vivas.

É JOGO, MAS É SÉRIO Dupla marca cartela de bingo em uma atividade para que os alunos discutam hipóteses.

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PASSANDO A RÉGUA Quando surgem dúvidas, Rita, de Salvador, usa a reta numérica para tirá-las.

Mudar a maneira de ensinar o sistema de numeração requer atenção sobre o raciocínio do aluno e muito preparo para interpretar as falas e notações feitas em sala de aula e na lição de casa. Daniela Padovan, hoje uma estudiosa da didática desse conteúdo e coordenadora pedagógica de EMEI Prof. Astrogilda de Abreu Sevilla, em São Paulo, observa sempre a maneira como a maioria da turma resolve os problemas e, com base no nível em que ela se encontra, escolhe as intervenções que façam mais sentido e sejam desafiadoras. Ela quer que a garotada entenda os conceitos básicos do sistema de numeração para que todos possam aplicá-los em outras situações: "Dependendo de como você ensina, pode obter aprendizagens muito diferentes, desde a mais mecânica até a mais significativa". A diferença é que, com a primeira, o aluno aplica técnicas sem compreendê-las e, com a outra, compreende o que faz e o porquê. Uma das atividades utilizadas por Daniela é o ditado de números. Pode parecer um procedimento simples e convencional, até mesmo tradicional, mas ele é muito eficiente para checar as hipóteses da turma e, com base nisso, ajudar a estabelecer novas conexões. Variando os números ditados, essa situação didática pode ser proposta desde o 1º ano até o 4º. Daniela pede que os estudantes trabalhem em grupos, sendo um deles destacado como anotador de dúvidas para que nenhuma passe despercebida. No fim do ditado, elas são socializadas. "Pelas dificuldades dos colegas, a turma toda se mobiliza para pensar e debater e, então, todos avançam, desde o que já sabem. Cada um tem de reorganizar os conhecimentos para se expressar, até quem começa a pensar no assunto depois da explicação dos colegas." Daniela ressalta que é preciso tomar cuidado para que essa atividade não se torne meramente quantitativa (saber quantos números a criança acertou ou errou). O objetivo é fazer avançar na compreensão das características "invisíveis" do nosso sistema de numeração. Após o ditado, ela pede ajuda dos pequenos para anotar no quadro as diferentes representações que apareceram.

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Em uma classe de 1º ano, por exemplo, a turma pode escrever 72 usando 702 ou 150 representado por 10050, entre outras muitas possibilidades. Isso mostra que ainda não está plenamente dominado o princípio de posicionalidade. Nesse caso, segue-se uma discussão na qual se comparam as diversas representações e todos podem justificar suas escolhas. Em geral, por volta de 6 ou 7 anos, alguns afirmam que "os números da 'família' do 10 - como 20, 30, 40- são sempre escritos com dois números" e "os números da família do 100 com três (algarismos)". O uso constante de diferentes portadores numéricos - numeração das páginas de um livro ou o quadro de um álbum de figurinhas - contribui para que as crianças cheguem a essas conclusões. No 4º ano, as dúvidas aparecem em cifras maiores ou nos decimais. Ao escrever 1 trilhão, certamente muitos se confundirão com a quantidade de zeros. Pode-se ainda pedir a escrita por extenso dos números grafados com algarismos para que o aluno faça uma espécie de leitura (ou releitura) e, com isso, recupere os nomes e reinterprete a escrita anterior. Para o 1º ano, ela aconselha ditar números que tenham de centena a milhar. Com o 4º ano, Daniela opta por decimais, frações e números que podem chegar até a ordem do trilhão. Andando pela sala de aula, ela verifica o grau de desafio - o suficiente para fazer todos pensarem - e vai adaptando a escolha: "A ideia é gerar um conflito cognitivo, senão não há avanço". Não é difícil imaginar que num ditado em que surgem 3/5, 1/10 e 2 milhões e meio, muitas interrogações aparecem na hora da notação. Aliás, como se escreve esse último? 2.500.000 ou 2.000.000,5? A discussão então deve focar a referência de "meio", que, nesse caso, é o milhão.

Números estranhos, mas que geram grande curiosidade Sandra Fialho Martins, professora do colégio Friburgo, em São Paulo, usa a seguinte atividade com o 3º ano para problematizar a escrita de números grandes: ela pede que a garotada liste o maior e o menor número conhecidos, individualmente. Em seguida, todos compartilham as anotações e discutem com os colegas, elegendo os resultados que serão apresentados à classe. Cada grupo anota os escolhidos no quadro-negro e justifica a escolha. "Um menino trouxe uma informação que eu mesma desconhecia: existe o nonilhão! Fomos ao dicionário e descobrimos: era o 1 seguido de 30 zeros!" Outro garoto inventou o "onzilhão", mostrando conhecer a regularidade da nomenclatura de números enormes, como bilhão, trilhão etc. E qual foi o menor

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que apareceu? Um grupo apontou o 0,1. Outro, o 0. Surgiram ainda números negativos (que eles nunca haviam estudado!), inclusive o tal do 1 nonilhão negativo! A discussão sobre o 0,1 levou a garotada a perceber que, apesar de esse número parecer menor que 0, na realidade não é. Sandra, então, pegou emprestado um exemplo do sistema monetário para questionar se 1 centavo é mais ou menos que "0 real"...

Outro modo de investigar a noção que a turma tem sobre grandezas é lançar perguntas desafiadoras. Sandra bolou as seguintes para a turma do 5º ano: - Quantas pessoas habitam a Terra? - Quantos anos você tem e quantos dias já viveu? Muitos não conseguiram estabelecer relação entre o que foi pedido e a grandeza usada na resposta, marcando números muito próximos para a quantidade de pessoas que viviam no planeta Terra. "Na questão sobre quantos habitantes há no mundo, alguns escreveram infinito porque as pessoas não param de nascer!", relembra a professora.

Para calcular os dias vividos, um estudante colocou 4 milhões. Na hora do debate, os colegas sugeriram que ele multiplicasse os dias de um ano pela sua idade. Essa estratégia fez com que a conta abaixasse para cerca de 3,6 mil dias. Jogo de bingo diverte e ensina regularidades Com base nas dúvidas que surgem na hora de marcar cartelas no jogo de bingo, Rita Brito, professora do Ciclo de Ensino Básico I da EM Barbosa Romeo, em Salvador, consegue ensinar o valor posicional dos algarismos e fazer com que a turma compreenda uma das regularidades do sistema (os números maiores são sempre os que vêm marcados posteriormente em uma escala). Ao montar a tabela, a professora escolhe os que geram dúvidas, como o 12 e o 21, o 79 e o 97 e o 105 e o 15 (trabalhando nesse caso também a posição do 0). A turma é então dividida em duplas, nas quais ela coloca um aluno que já escreve números convencionalmente com outro que não o faz. Para cantar os números, a professora faz um tipo de adivinha: "Fica entre 46 e 48", "Está depois de 50" ou "É maior que 99 e menor que 101". Há os que se valem da sequência oral, contando de um em um para buscar a localização exata na escala, o que também é válido. Mesmo assim, ela não deixa de

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intervir: caso uma criança pense que números com mesmos algarismos são iguais, ela questiona o posicionamento e o valor de cada um. Comparar os valores absolutos dos algarismos e lembrar as conclusões de atividades anteriores, como no nosso sistema numérico "manda quem está na frente", pode ser uma solução.

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INDICE

FOLHA DE ROSTO 1

AGRADECIMENTOS 2

DEDICATÓRIA 3

RESUMO 4

METODOLOGIA 5

SUMÁRIO 6

INTRODUÇÃO 7

CAPÍTULO I

O Desenvolvimento segundo Piaget 8

CAPÍTULO II

A inteligência lógico-matemática e suas implicações na educação

2.1. Habilidades matemáticas e aritméticas 16

2.2. Discalculia – um problema real 22

CAPÍTULO III

Jogos e atividades para o estímulo da inteligência lógico-matemática 25

CONCLUSÃO 31

ANEXOS 32

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 78

ÍNDICE 81