SBI-IFUSP

Universidade de So Paulo

Instituto de Fsica

Aspectos dos Fundamentos da Mecnica Quntica:

Processos Estocsticos e Analogia com Turbulncia

La Ferrera dos Santos

Orientador: ProL Dl'. Carlos O. Escobar

Tese apresentada ao Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo para a obteno do ttulo de Doutora em Cincias.

Banca e,.'\:amjnadora: ProL Dl'. Carlos Ourivio Escobar (UNICAMP - orientador) ProL Dl'. 'Nalter Felipe 'Nresz;nski (IFUSP) Prof. Dl'. MHed Hassan Yousscf Moussa (UFSCar ) ProL Dl'. Salamon Sylvain Mizrahi (UFSCar) Prof. Dl'. Vicente Piei tez (1FT IUNESP)

So Paulo 2000

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FICHA CATALOGRFICA Preparada pelo Servio de Biblioteca e Informao do Instituto de Fsica da Universidade de So Paulo

Santos, Ls Ferreira dos Aspectos dos Fundamentos da Mecnica Quntica:

Processos Estocslicos e Analogia com Turbulncia. So Paulo, 2000.

Tese (Doutorado) - Universidade de So Paulo. Instituto de Fsica - Departamento de Fsica Nuclear.

Orientador: Prof. Df. Carlos Ourivio Escobar

rea de Concentrao: Fsica Clssica e Fsica Quntica: Mecnica e Campos

Unitermos: 1. Fundamentos de Mecnica Quntica; 2. Processos Eslocslcos; 3. Turbulncia; 4. Modelos de Reduo Dinmica.

USP/IFIS81-030/2000

, I

.. AgradecimentosI

Agradeo ao meu orientador c amigo Professor Carlos O. Escobar pela tima e dedicada orientao) aos Professores P. Pende e G. Sotkov pelas lmcressantes discusses c ao CKPq pelo apoio financeiro.

I ,

ii

\

Resumo

Nesta tese apresentamos algumas possveis interpretaes para a descrio dos fenmenos qunticos. Fazemos uso da interpretao estocstica de Nelson para descrever uma corda bosnica aberta e mostramos que os resultados coincidem com aqueles obtidos via primeira quantizao. Combinamos ainda esta interpretao, que lida com a posio da partcula, com um particular modelo de localizao da funo de onda conhecido como CSL, o que nos permite analisar a influncia da evoluo da funo de onda sobre o movimento da partcula. A funo de onda desses modelos de reduo realiza um movimento estocstico no espao de Hilbert devido adio de um rudo multiplicativo na equao de Schr6dinger. Mostramos que a partcula, por sua vez, sofre movimento turbulento, o que motiva uma analogia entre sistemas qunticos abertos e turbulncia, de forma semelhante que j havia sido realizada entre sistemas qunticos isolados e movimento brawniano.

Abstract

In this thesis we present some possible interpretations for the description of quantum phenomena. \Ve make use of Nelson's stochastic interpretation to dcscribe an open bosonic string and show that the results coincide with thosc obtained fram the first quantization. J\lloreover, we combine this interpretation, which deals with the particle position, with a particular 10calization modcl for the wave function known as CSL, which allows us to analyse the influence of the wave function evolution on the movcmcnt of the particlc. Thc wave fllnction af thcsc redllction modcls performs a stochastic motion in Hilbert space due to thc addition of a mllltiplicative noise in the Schrdinger cquation. \Ve show that the particle, on the other hand, suffers a tnrbulent motion, which motivates an analogy between open quantum systems and turbulence, similarly to what had already been done betwecll isolatcd qllantum systems and brownian mation.

III

I

Contedo

1 Introduo 1

2 O Problema da Medida 4

2,1 Von Ncumann ... , 5

2.2 Decoerncia" 7

2.3 Interpretao causal 1.0 2.4 Convergncias 12

3 Mecnica Estocstica 14

3.1 !vlodelo estocstico de Nelson .. , , , 15

3.2 Colchete de Poisson estocstico e comutador quntlco 17

3.3 l\'lovimento estocstico de uma corda bosnica aberta 20

3.3.1 Corda hosnica aberta 20

3.3.2 Covarincia de Lorentz 26

3.3.3 Funo de correlao . 26

4 Modelos de reduo dinulica da funo de onda 28

4.1 Modelo de locali?:ao espontnea contnua 29

4.2 Interpretao de beables . . . . . . , 31

4,3 Dinmica microscpica do modelo eSc. 35

4.3.1 Duas gaussians ...... " . " ;')6 4.3.2 Uma nica. gaussiana ... , , . :37

4.4 Distribuio de \Vigncr para sistemas qunticos abertos. 40

5 Turbulncia de Burgers e modelo CSL 44

5.1 Dicionrio para KPZ, Bllrgers e CSL 49

5.2 Difuso acentuada .,..",.", 50

iv

5.2.1 Equaes diferenciais e equao d{~ Fokker-Planck 53

5.2.2 Conees de intermitncia 54

5.2.3 Escalas de tempo . . . ... , ... 00

6 Crticas aos modelos de reduo dinmica 59

6.1 Criticas passadas aos DR.i'vl 61

6.2 Nossas crticas. . " . , , , , , " . 63

6.2.1 O papel da massa nos DRM 63

6.2,2 Beables como clementos de realidade 64

6.2.3 A natureza do rudo .. . , . . . . 65

7 Concluso 67

A Condio de von Neumann e base de ponteiro 68

A.I Condio de vou Neumann , 68

A.2 Base de ponteiro ..... ,... ""'" 69

B Elementos da Teoria de Processos Estocsticos 72

B.I Clculo de It . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 Equao de Fokkcr-Planck e equao diferencial es

tocstica . . . . . . . . . .. . .. ,.......... 74

B.2 Clculo de Stratonovich 76

C Clculos do captulo 4 77

C.I Equao cstocstica de Nelson via mtodo de Vink ...... 77

C.2 Probabilidade transo pata a equao de Schrdillger modi

ficada ............................... 78

C.2J Espao de configurao. 78

C.2,2 Espao de momento 81

C.3 Distribuio de Wigner . 82

D Simu1ao numrica 84

y

Captulo 1

Introduo

H duas tendncias bsicaR e opostas na teoria quntica moderna. Uma mals pragmtica e para a qual o problema da medida no existe, pois defende: que basta para uma teoria prever c descrever os resultados experimentais, no que de fato a menka quiintica e extremamente bem sucedida; e outra mais realista e liderada principalmente por Enstelll, Bohm e BeU, que deseja uma descrio completa da realidade fsica.

De acordo com a interpretao ortodoxa da mecnica quntica, a funo de onda representa um conjunto de potencialidades (potentialities) e evolui de acordo com a equao de Schrdingct, que reversvel , linear e determinista. A potencialidade para uma propriedade fsica muito mais que apenas uma indefinio dessa propriedade) pois inclui tambm as superposies (entanfllements), o que constitui uma caracterstica exclusiva da mecnica quntica e diferena fundamental entre a teoria quntica e a clssica. Entretanto, no ato de medida ocorre a perda das superposies qunticas e emergem os fatos (actualities). O problema da medida consiste na ausncia de uma boa descrio para essa transio de potencialidades para fatos [1]. O mundo fica assim dividido em uma parte descrita pela evoluo da funo de onda (mundo quntico) microscpico) e outra descrita pela evoluo de variveis clssicas como posio (mundo clssico~ macroscpico), da interao desses dois mundos m a medida m que oeorre o colapso da funo de andai mas essa pa.~sagem apenas ditada por regras e postulados. Onde est o corte micro/macro?) o quc distinguc o sistema do aparelho?, o que medida e como descrev-la matematicamente? so algumas das perguntas que perseguem os insatisfei toS com a interpretao ortodoxa.

1

Para BeU [2] a mecnica quntica ortodoxa uma teoria que serve apenas para descrever resultados experimentais. Ele propunha o desenvolvimento de uma nova teoria que no fosse fundamentalmente sobre medida, o que eliminada a necessidade de um corte. c que no fosse COnSNjUCmemente sobre grandezas observadas {obseroablcs), mas sobre propriedades objetivAS (beabler.), da sua. simpatia pela interpretao causal de de Broglie-Bohnl [:~J que trata posjo como bcablc. R'>Sa teoria deveria ser capar. tambm de c.'Xw plicar a no existncia de superposies macroscpicas e de apresentar uma dinmica para o colapso da funo de onda e foi isso que o levou a propagandoar 14] o modelo de colapso de Ghirardi, Rimini e Weber (GRW) 15],

Bohm fOI talvez quem mais tenha se empenhado no sentido de tentar d('~~envolver melhores interpretaes para a mecnica quntiea e vrias interpretaes foram de alguma forma nfluenciadas pelo Su trabalho. Sua primeira e mais famosa interpretao, apresentada em 1952 e cnhc as pscalns. A dinmica dada pela equao de Schrodnger e pela cqua;10 da partcula, que guiada pela funo de onda. Dois anOS mais tarde, numa tentativa de justificar a suposio anterior de Bohm, e criticada por Palll, que a distribuio de um conjunt.o de partculas estivesse rdaci01lada com o mdulo quadrado da funo de onda 11,12, ele e Vgier propmiCram a interpretao causal -estocstica [71. Nesta nova interpretao a pmtcula, imersa em um fluido descrito pela equao de Schrdingcr, realiza um movimento estocstico e sua equao de movimento a meSma da mecnica cstocstica de Nelson [8]. Existe ainda uma terceira interpretao desenvolvida por Bohm juntamente com Bub [9]. Ao cont.rrio das duas anteriores l no h nesta meno posio, toda a descrio feita em termos da funo de onda, Eles sugerem uma equao para a funo de onda que descreve o acoplamento do sistema observado com o aparelho (ou amhicnteL que assim incorporado na dnmica da teoria, c explica o colapso da funo de onda durante a m(xlida de forma contnua e causal. Esta ltima interpretao influenciou fortemente o modelo de colapso desenvolvido por Pearle 110J e mais tarde usado no aperfeioamento do modelo de GR\;Y IBIt o que levou ao atual moddo de localizao pspontnea contnua (CSL) [111.

Um dos problemas das duns interpretaes causais de Bobm reside no uso da equao de SchrdingerJ que no consegue e..xplicar o repentino desapare

2

cimento da onda vazia durante o processo de medida (conforme discutimos no captulo 2). Os modelos de dinmica de reduo, por outro lado, omitem por completo qualquer descrio do que ocorre com o movimento da partcula durante o colapso, mas claramente no tm nenhum problema com a funo de onda vazia. lvIesmo aps o colapso, devido s caudas da funo de onda, a posio da partcula permanece indefinida. O que propomos nesta tese uma combinao dessas duas interpretaes. Atribumos realidade partcula e funo de onda e lidamos conjuntamente com as equaes que descrevem a evoluo de cada uma delas. A equao para a funo de onda no mais linear e reversvel, mas envolve um rudo multiplicativo que responsvel pelo colapso. Este rudo introduz um novo termo na equao de movimento da partcula, o qual a conduz para o local onde ocorre o colapso. Esse novo termo faz com que a partcula realize um movimento turbulento, o que nos permitiu desenvolver urna analogia entre o modelo de colapso e turbulncia.

A tese est dividida da seguinte maneira. No captulo 2 comentamos a interpretao ortodoxa da mecnica quntica e algumas semelhanas entre decoerncia e interpretao causal de de Broglie-Bohm. No captulo 3 apresentamos a interpretao de Nelson e mostramos que com ela podemos descrever o movimento de uma corda bosnica aberta obtendo os mesmos resultados da primeira quantizao. Os captulos 4 e 5 so dedicados combinao a qual nos referimos anteriormente e analogia com turbulncia. O captulo 6 trata das crticas as quais esto sujeitos os modelos de reduo dinmica como o CSL. Os detalhes tcnicos de clculos e simulao esto distribudos pelos quatro apndices.

3

Captulo 2

o Problema da Medida

Embora incontestvel que sistemas atmicos e subatmicos devam ser tratados quanticamente, o fsico de partculas experimental por exemplo, em sua atividade diria no laboratrio, raramente faz uso da mecnica quntica, determinando trajetrias e vidas mdias via mecnica clssica relativstica. Bohr sempre enfatizou a necessidade do uso de uma linguagem clssica na descrio de resultados experimentais, argumentando que essa necessidade cra fruto da natureza clssica dos observadores e seus instrumentos de medida [12]. Com isso, ele estabeleceu uma distino fundamental entre sistemas qunticos e clssicos e a incluso de um corte separando os dois parecia inevitvel [12[:

In the system to which the quantulll lllcchanical formalism is applicd, it is of coursc possible to include any intermediate auxiliary agency cmploycd in the measuring process [but] some ultimate measuring instrumcnts must always be described entirely on classical tines, and consequcntly kept outsidc the system subjcct to quantum mcchanical treatment.

Essa diviso, tida como deveras arbitrria, tem sido um dos maiores focos de crticas sua interpretao e levou a tentativas de elimin-la, tal como feito por von Neumann [13] ou de Broglie e Bohm [3]. Em um artigo recentc [14], argumcntamos que essas duas interpretaes e tambm o modelo de decocrncia (uma verso moderna da descrio do processo de medida de VOIl Ncumann) precisam lidar com idias obscuras que so evitadas ao se fixar um cortc.

4

A posio de Bohr parece fi de algum que antecipa e evita 05 problemas que precisariam ser encarados ao tentar-se analisar em detalhe o process:o de medida e ljmta~se a form.'ccr uma interpretao que proteja o j bem sucedido formalismo da meSA= I;cnISn(O) > IAn(O) >, (2.1) n

de modo que qualquer resultado c)fff'.spondcndo ao primeiro inferido da leitma do segundo,

Agora porm, os estados do aparelho tambm esto sujetS ao princpio de superposio c no importa quantos aparelhos sejam adidoHi.dos as superposif'J'l pennanecem present('~.... Vou Neumann faz ento uma distino entre dis tipos de processos em mecnica quntica. Isso feito em termos do operador densidade, um conceito introduzido pelo prprio VOn Numann l16J. Ooperador densidade definido como

5

p =I:w;j q;i >< 4>'1, (2.2)

onde Wj a probabilidade de encontrar no ensemble o estado 14./ >. Para um ensernble puro, 10; = 1 para um certo 14i > e Wj = O para

qualquer outro estado. O ensemble puro uma coleo de sistemas fsicos, tal que todo membro caracterizado pelo mesmo estado e tTp2 = 1. J para um mistura, ou ensemble misto, uma frao dos membros est no estado ItjJl > com probabilidade 101, outra em 1t,h2 > com probabilidade W2 e assim por diante.

Os dois tipos de processos so ento: a evoluo temporal unitria dada pela equao de Schrdinger, que um processo reversvel e mantm as indesejveis superposies macroscpicas,

pp",,,(t) = e-'f.' prOle';;' = I: c"c;"ISn(t) > IAn(t) >< Am(t)1 < Sm(t)1 nm

(2.3) e o processo de medida, que irreversvel e transforma a matriz de densidade pura acima em uma mistura,

Pmi,'"m(t) = I: ICil'lsi(t) > IAi(t) >< Ai(t)1 < Si(t)1 (2.4)

o carter irreversvel do processo de medida, que j havia sido mencionado por Bohr [17],

it is also essential to remember that alI unambiguous informatioll COllcerning atomic object is derived from the penllanent marks ... left on the bodies which define the experimental conditions. Far from involving any special intricacy, the irreversible amplification cffects on which the recording of the presence of atomic objects rests rather remind us of thc csscntial irrcversibility inhcrcnt in the very concept af observation,

foi formalizado por von Ncumann atravs do postulado do colapso da funo de onda 1. Em uma tentativa de justificar fisicamente esse postulado,

'Observe entretanto, que VOH Neumann lida com ensembles e portanto usa matrizes de densidade em seu formalismo.

6

o observador introduzido e sua percepo subjetiva passa a ser fundamental. Um resultado s realmente conhecido aps a conscincia de um observador t-la registrado [13]. O corte continua presente, mas foi transferido para uma posio entre o sistema composto e o observador, o que claramente enfraquece a interpretao.

Alm do problema epistemolgico acima, esta interpretao tambm nccessita de uma particular relao de comutao. O processo de medida, deve ser instantneo, de modo que o estado do sistema no seja alterado devido a evoluo unitria, ou seja

i/f= IS(t + '" cteIS(t) >, (2.5) onde E o intervalo de tempo para a realizao da medida. Desse modo a hamiltoniana total do sistema composto deve comutar com o observvel que se deseja medir IH, Os] = o. Ora, o aparelho um sistema de muitos graus de liberdade e assim, improvvel que possamos ter controle sobre essa hamiltoniana. Veja o apndice A para uma breve discusso sobre esse tema.

2.2 Decoerncia

Uma verso mais elaborada da interpretao de von Ncumann o modelo de decoerncia [18, 19, 20], o qual alega que a interao do sistema composto com o ambiente no pode scr negligenciada. Seguindo a unificao de von Neumann, sistema, aparelho e ambiente so todos tratados quanticamente, acarretando as inevitveis superposies macroscpicas. Entretanto, como o observador no tem acesso ao imenso nmero de graus de liberdade do ambiente, ignora-os fazendo o trao sobre eles. O trao torna a matriz de densidade diagonal, removendo as superposies macroscpicas.

pr Tr l L ana:nl3n > IAn > ln>< ml < Aml < 3ml n,m

L lad21Si > IAi >< Ail < S;I. (2.6)

Note que o observador ainda exerce um papel crucial, j que ele quem faz o trao e o corte tambm mantido, agora entre os graus de liberdade que

7

so ignorados e aqueles que no o so, conforme afirma um dos proponentes desse modelo [21]:

[the rcsolution} ofthc mcasurement problem ... tbrough the appeal of dccohercncc requirc[s] a uni verse split into ::>ystems

Decoernda a verso dinmica do postulado de von Neumann, mas a subjetividade permanece, uma vez que no so sabe at onde vai o ambiente. Perceba que distinguir um sistema clssico do seu ambiente trivial, vide a facilidade com que acompanhamos uma partcula browniana imersa em um banho trmico, mas distinguir um sistoma qllntico de seu ambiente no simples, se que possvel. Por exemplo, na interao de um eltron (constituindo o sistema) com ftons (que representam o ambiente) no podemos ignorar o fato do lctron estar cercado por uma nuvem de ftons. Como separar estes ftons do ambientc parece uma tarefa impos.."'iveL C-ollforme Prigogine [22]

we gencraIly start using a. Hamiltonian involving thc lbarc' pa.rtides (clcetrons. and photons) rutd au intcractioll. Tltesc 'baw' partides cannot be t-hc 'physicaF om;s. Becauw of the electronw.gnetic interacton bctwccn cJcctrons and pbotons, an olectron 1s always surrouuded by lI. cloud of pllotons. The blU"e electl"On (without pllOLons) Is only a formal conccpL

Um outro problema fi condio de comutatividade. Alm da relao j introdmddu por vou Neumann, agora preciso que a hamltoniana do aparelho e da sua interao com o ambiente comutem com um observvel do aparelho, [HA + [fAc,OAI = O (Veja mais sobre esse assunto no apndice A). S esse observvel no perturbado pelo ambiente [23J, apenas a oase consistindo dos auto-cstarlos des.

Como esse critrio nem sempre obedecido, ainda podemos optar por um procedimento conhecido como 'predictability sieve' [24J. Segundo ele o experimental deve recorrer a uma lista para decidir quais observveis podem ser medidos. Estes correspondem aos observveis que j foram monitorados pelo ambiente e portanto no sero perturbados pela medida. A maneira para classificar os elementos na lista consiste em preparar o aparelho em todo estado puro concebvel, deix-lo evoluir por um tempo fixo e ento determinar seu estado final. A entropia final da matriz de densidade do aparelho seria uma boa medida da perda de predictabilidade. Os observveis que podem ser medidos com impunidade estariam no topo desta lista. De acordo com Zurek [211

the observer can know bcforehand what (limited) set af observables can be measured with impunity. He will be able to select meastlrement obscrvables that are alrcady monitored by the enviranment.

o modelo de decoerncia introduz uma srie de procedimentos que esto distantes da realidade dos experimentos em laboratrio e marcante a ambigidade no tratamento do ambiente: ns o conhecemos bem o suficiente para decidir qual observvel pode ser medido, mas ao mesmo tempo temos to pouco controle sobre ele, que o trao sobre seus estados precisa ser realizado.

!vIais um comentrio relevante o fato de tanto decoerncia como VOIl Neumann usarem matriz de densidade, o que reflete uma interpretao em termos de ensembles 2. Esse consiste num outro ponto de crtica, como bem mostra a afirmao seguinte [2, 25J

If one were not actually on the look-out for the probabilities, I thinkI the obviom illterpretatioll of even [the butchered density matrix] would be that the system is in a statc in which the various [wave functions] I somewhat eo-cxist ... This is not at aU a probability interpretatioll, in which the different terms are seen 1l0t as co-existing, but as alternatives.

2Uma descrio de sistemas abertos em termos de funes de onda tambm existe e referimo-nos a ela no captulo 4.

9

2.3 Interpretao causal

A interpretao causal de ele Broglie e Bohm descreve eventos individuais e no ensembles. A funo de onda '1/), que soluo da equao de Schrodinger, funciona como um campo que guia a partcula 3. A trajetria da partcula obtida da equao,

VS(x, t) (2.7)x= M

onde S/h a fase da funo de onda escrita na forma polar,

'j;(." t) = R(x, t) exp [iS(;.' t)1 (2.8) e i\1 a massa da partcula

chamado de potencial quntico. fcil verificar que a equao (2.7) leva a

Mi = -\7(li + Q). (2.12) A partcula agora est sujeita no s fora clssica, mas tambm uma fora quntica.

Esta teoria parece corresponder dualidade de Bohr - uso de conceitos qunticos numa escala e clssicos em outra - levada ao extremo. A funo de onda e a posio da partcula so agora usadas sempre e em todas as escalas. Isso elimina a diviso qunticojclssico e aparentemente resolve o problema da medida, j que a partcula tem sempre uma posio bem definida. Entretanto, h vrios problemas com essa teoria, entre eles citamos o fato de ser matematicamente mais complexa; ser no-local; tratar de maneira assimtrica posio e momento; prever resultados estranhos como o eltron parado no tomo de hidrognio; ter a funo de onda influenciando o movimento da partcula, enquanto que a partcula no tem nenhum efeito sobre ela e vrios outros tratados em detalhe na referncia [27]. Uma crtica mais recente foi levantada por Englert et ai [28]. Na experincia de duas fendas com detectores de um bit, os quais so capazes de determinar o caminho do tomo sem perturbar o movimento do centro de massa, eles mostraram que h trajetrias de Bohm indo por uma fenda, enquanto que o tomo passa de fato pela outra, da referirem-se s trajetrias de Bohm como trajetrias surrealistas. Existe uma grande discusso em torno deste tema [29, 30, 31, 32, 33], mas nosso interesse aqui outro: limitamo-nos apenas a analisar o ato de medida.

Sempre que a funo de onda divide-se em partes que no se sobrepem espacialmente, tal como no experimento de duas fendas, uma parte da onda acompanha a partcula e a outra fica vazia, embora ainda possa influenciar a partcula. A onda vazia carrega informao sobre os estados de superposio, mas logo que uma medida realizada essa informao perde qualquer efeito sobre a partcula. Segundo Hiley [34],

[p]erhaps we shouldn't talk abaut it actually disappearing fram the ulliverse. RatheI' the illformation in the 'empty' wave packet no IOllger ha

I

Graas ao ato de medida, que identifica qual ramificao correspondc a onda vazia, as superposies so repentinamente destrudas. Hilcy menciona a idia de informao passiva,

wc've tricd to introducc a distinction between active information and inactivc informatioll. That is, when an apparatus ha.

quntico/c1ssico, anlise esta cuidadosamente evitada por Bohr ao assumir uma separao radical. Ao contrrio do que se poderia esperar aps tantos anos de discusses, o prohlema da medida em mecnica quntica continua em aberto. As novas interpretaes sugerem apenas regras de procedimento e no explicaes fsicas para o que ocorre no ato de medida, como bem expressa Boll na afirmao 135)

TIto lProblom1 thcn s t1115: how exactly is tho world to be divdcd luto speakllble appaI'atus ... t,hat we can talk about ... anel unspealmble quantulU system that VIC cau not talk about'? HO\\I many ClcctWIlS, OI' atoms, OI' mleculcs l mnke nu 'appal'atu~/? The mathematics of the ol'dimlry theory rcquire.~ "uch a division, but says notbing about how it is made, In pI'acticc Lhe qucsLion is rcsolvcd by pragmatic rer:ipes which bavc stood the tcst of time, appJied witll discretion and good taste bom of experience. But should Dot fundamental theory pcrmit exact mathernatk.al formulation!

13

http:mathernatk.al

Captulo 3

Mecnica Estocstica

Assim como a interpretao causal, li mecnica estocstica tambm lida com trajetrias, mas trajetrias estocsticas. A motivao para essa interpretao parece basear-se na forte semelhana entre a equao de Schrdingcr para partcula livre)

8.p = il V'1/J at 2M

(3.1 )

e a equao clssica de difuso,

!g = vV'g,IJt

(3.2)

onde v correspollcle a uma constante de difuso c l! a dcn~dade de probabilidade do processo.

A natureza probabilstica da mecnica quntica seria assim fruto do seu carAtcl:" cstocstico, Schrdioger foi o prllncro a estudar esta analogia [361, sendo seguido por vrios fsicos e matemticos [7; 8, 37, 38].

A mecnica cstoclistta dcscnvolvlda por Nelson [8, 39J uma ferramenta matemtica poderosa, mas no est imune crticas. O meio que causa esse movimento aleatrio no geralmente identificado e o carter no local da interpretao chega a ser acetu por vrios tericos, mas j a necessidade de uma condio de quantizao colocada a mo parece mais grave. \Vallstrom [,jO: mostrou que as equaes hidrodinmcas de r\'ladelullg, as quais so obtid;lS da equa~o eSLOcstica para a partcula, s so equivalentes equao de

14

I

Schrdinger se uma condio de quantizao, como a existente para a antiga teoria quntica, for imposta.

Em um artigo recente [41], fizemos uso de tal interpretao e mostramos que o movimento estocstico de uma corda bosnica aberta leva aos mesmos resultados obtidos via primeira quantizao do sistema. Nosso objetivo era obter uma interpretao clssica na escala de Planck) conforme explicamos na ltima seo deste captulo. Nas outras duas sees apresentamos um pouco do formalismo da mecnica estocstica.

3.1 Modelo estocstico de Nelson

No modelo estocstico de Nelson a partcula est sujeita a um movimento estocstico dado por [8, 39]

dx(t) = "+(x, t)dt + J2,;'7(t)dt, (3.3)

Na equao acima, ry(t) um rudo branco

(ry(t)) = O, (3.4)

(ry(th(t')) = (t - t') (3.5)

e v uma constante de difuso que especificaremos adiante. O primeiro termo no lado direito corresponde a um campo de velocidade para propagao para frente (dt > O) e est relacionado com uma funo escalar S+ da seguinte forma,

"+(x, t) = '\75+(." t) (3.6)i\1

Dada a natureza no diferencivel da equao (3.3), Nelson introduz as derivadas de transporte para frente e para trs

D+x = lim (x(t + L'>t) - x(t)) (3.7)~I"-'O+ tJ.t = V+

D_x = lim (x(t) - x(t - L'>t)) (3.8)..1..-,O+ tJ.t = v_

15

Analogamente s duas equaes acima, com a mdia, obtemos que para uma funo geral F, as derivadas de transporte so escritas como [42]

(DF)(x, t) = (,F) (x, t) + v(x, t)(V'F)(x, t) ,,(V'2F)(., t) . (3.9)

As equaes (3.3), (3.4) e (3.5) implicam na equao de FokkerPlanck (veja apndice B, subseo B.l.l)

,p(x, t; Xo, to) = -V'(v+(x, t)p(x, t;xo, to)) + "V"p(x, t;xo, to), (3.10)

onde p a probabilidade de transio, que, por definio, propaga a densidade de probabilidade de um ensemble de partculas

p(x, t) = f p(x, t; Xo, to)p(xo, to)dxo . (3.11) A densidade de probabilidade satisfaz portanto uma equao com a mes

ma forma da equao (3.10). Nelson define ainda as velocidades de corrente e osmtica

1 V'S v = -(v+ + v.) = - (3.12)

2 iH

1 V'p u= -(v+-v.) =v- (3.13)

2 p

e obtm assim a equao de continuidade [42]

,p(x, t) = -V'(p(x, t)v(", t)) . (3.14)

Das equaes (3.12) e (3.13) e definindo p(1:, t) = R2(1:, t) podemos escrever a equao de movimento da partcula na seguinte forma

V'R(x, t) + V'S(x, t)] dt + V2Vry(t)dt, (3.15)dx = [2v R(x,t) iH a qual ser til no prximo captulo.

A segunda lei de Newton formulada neste modelo da seguinte forma

1 1 -[(D+D. + D.D+)x] = -'f (V'V) (x) . (3.16)2 11'

16

da qual segue a equao de Madelung [42]

(VS)'

1 ,L., (x, t) = 2Mv+(x, t)v_(x, t) - H.r) (3,18)

.4" (to , t; 1'; v+) ~II 12,,(J:,t)p(x,t)dxdt. (319) onde Po a distribuio iniciaL Com essa ao mostraram que, via princpio variacional j deve existir uma funo S, tal que

v(x, t) = \181M (3.20)

(\18)' \1' rp&,S + - 2Mv' VI' = -V(x), (:l.21)

2M .,fii

que juntamente cOm a equao de contnuidade, levam a equao de Sthrdil1~ ger (cabe aqui as crticas de \Vallst.rom).

Atrays das definies (3.12) e (3.13), a mdia cstocstica da lagrangiana em um tempo fixo pode ser cscrta da seguinte forma

L.,(p,S) = I GMv2 - ~M1t2 - v) p(x),b:. (3,22) Guerra e Marra [47] introduziram assim uma humiltQuiann como funo do espao de fuse especificado pelos campos p e S

H,,(p, S) = ! GMv2 +~M't2 +]1) p(x)d" (3,23) e concluram que p c S so as variveis cannicas e a." equaes cannicas so obtidas de

IiHst,p(x, t) = {p(x, t), H"l." ~

6S(,,, t) Hd{),S(.~,t) = {S(x,t),ll"},, ~ (3.24)

&p(x. t)'

onde {,} o colchete de Poisson. Para duas varives dnmicas B e C: funcionais de {J c S, escrevem

18

1

{B C} -I liB liC /iB liC) d . (3.25) , ,,- \/ip(x)S(x) - S(x)15p(x) x.

Uma representao equivalente pode ser introduzida atravs da funo de onda

1j; = ,fPc."p(SIIi) (3.26)

de modo que o coldlCtc de Poisson passa fi ser escrito como

1 1(OB C B liC) (3.27){B,C}", = ih 151j;(x)J,p.(x) - tjl'(x)6w(x) d.%. A vantagem dessa represent.ao que podemos introduzir um operador

hamiltoniano

H, = -(r,' /2M)!:' + li (3.28) c mostrar que a hamiltoniana hidrodinmica H st dada como uma mdia qul1tica da hamiltoniana qul1tica Hq

H" = H,,(1j;, ,p') = (ti), Hqt/) = 1,;,'(x)H"v)(,r)dx. (3.29)

Assim .as equaes hamiltollianas para 'li; e w" so lineares e coinddcm com a equao de Schrodillger

1 si = 1r 'H 1 ~Hqr.j; (3.S0),V! = (ti), 11"),, = ih 1j;'(x) ,r,

D maneira semelhante podemos definir observveis B fuucionaiN de (p, S) como

B(p, S) = (V), B.1/) = 1'/J'lx)B,1j;(x)dx (3.31)

e usando (3.27) obter a conespndlJ:da entre os colchetes de Poisson e os comutadores qunticos

{B,C}" = i < [B"Cq! >, (3.32) onde Bq and Cq 5o operadores qunticos e B e C so variveis clssicas.

19

o valor mdio da lado direito da equao acima definido como I < [E" C.l >= J~"[B" C"l~)(lx . (3.33)!

Note que apresentamos o modelo stocstico para uma partcula no re

I lativstica, mas na seo seguinte, ao lidarmos com uma corda, uma generalizao relativstica do processo de Markov necessrio, o que foi feito por Dohrn 1 Guerra e Ruggiero [48]. I 3.3 Movimento estocstico de uma corda bo

snica aberta

A teoria de cordas, forte candidata a fornecer uma tooria de unificao de todas as foras) descreve a fsica na escala de Planck. No temos ainda uma viso clara dos fenmenos em escalas to diminutas) apesar dos esforos recentes de vrios autores [49, 50, 51, 52], que chegam a afirmar que a unificao da relatividade geral com a mecnica quntiea s ser possvel se o deLerminismo for restaurado nesta ltima. Smolin{52] acredita que nesta escala as flutuaes qunticas e trmicas sejam indistinguveis e e Hooft especula que os graul;; fundamentais de liberdade da natureza no devam ser qunticos, mas clssicos. Devido a perda de informao estes graus de liberdade primrios evoluiriam para um conjunto de classes de equivalncia, as

, quais formariam o espao de Hilbert 153: 54].i :Motivadas por (,lJtas consideraes, tentamos desenvolver uma formulaoi objetiva da fsica na escala de Planck. Assim examinamos uma corda clssica

sujeita ao movimento estocstico de maneira semelhante ao que havia sido feito por Nelson para uma partcula. Consideramos uma corda hosntca aberta por ser o caso mais sImples.

3.3.1 Corda bosnica aberta

A a~'o de :N'ambu-Goto para uma corda [55, 56:

_(8x")' (8X")' + (a:"I' ax")' (3.34)s = ---1 1"

proporcional a rea da superfcie de duas dimenses (embebida no espaotempo de D dncnscs) v.;lrrida por ela. Os parmetros (J e T so adimensionais e caracterizam os pontos xtt{O', T) na superfciE' e O" a constante de Hegge. que na teoria de cordas est relacionada com um comprimento fundamental [57]- Tomamos T como um parmetro de evoluo e a como mn parmetro cintico.

O movimento da corda determinado pelo princpio de Hamilton S = 01 o que nos leva s equaes para o movimento clssico da corda ~581

(J (JC a (JC---+--- =0 (3.35)ar ai!. ao 8:t;~

c condio de contorno

BC ' I -= Oem (J -= OI ]f (3.36)

,cl /

onde

[ = 2:(t1 J_X2X '2 + (i;z;'}2. (3.37) " - ax e Xl _ OI,C X - ar ..... ao'

O quadri-momcllto total da corda dado por

11" = 1(P"dcr + lI"d7) = 1 'P"dcr (3.38) C rJixfI

onde C qualquer curva que corta a superfice de evoluo e

'P" = (JC = -l--r:::ih~~~~ (3.39)Xjl 21fa' " lli;: _ 812 ..__1_ .'l:"ttj;2 - j;fl{:i:XI )

(3.40) - x~ - 21l'ce J_;i;2x'Z+ (X:c')2

A condio de contorno (3.36) implica que aC/x;.,'.i:ti = Ocm (J = 0,11', ou seja nos extremos a corda move-se com velocidade da luz .1;2 = Jl,

A ao invariante sob as transformat;es

x"(a,7) -, x"(a, 7) = x"(U(", r), f(O', 7)) (3.41)

21

induzidas pelas reparametrizaes da superfcie: -t a = a(1 1)1 f -t 'r = r{u,f), Essas transformaes formam um grupo contnuo, chamado grupo de gauge da corda, O objetivo final quantzar as t::qua.cs de movimento da corda e para isso precisamos estabelecer um formalismo cannico, Porm a liberdade de gauge na teoria gera dificuldades j a nvel clssica) pois existe uma dependncia entre momentos e coordenadas. O momento conjugado A coordenada xfi{a)

PI'(,,) =

1J;I) x JJ XX (3.47)

v'2 - _ '" X D ..X 1 - {o.i} - {".! .. H" 2 } (3.48)....

(3A5) e (3.46} podem agora ser escritas como

dx~(a)11J = O (3.49)

P+(a) = p- In, (3.50) as quais inseridas nas equaes de vnculo implicam que as componentes .~ l das coordenadas e momentos so variveis dependentes. As variveis dinmicas independente..s no gauge transverso so x1{o), piCa}, p+ c x;;, onde

x; = - dax"(O')dO'. (3.51)11' 1f "

A necessidade de adicionar a coordenada x; lista de variveis independentes vem do fato das equaes de vnculo conterem apenas .T---(a)/f)a _

A hamiltol1iaua passa a ser escrita como

H = ~ f' dO' [2O:'(1f'Pif + (xiF] , (3.52)2t' lo 2a'

qne leva seguinte equao de movimento

Xi~x7=O (i=1, ... ,D-2) (3.53)

Ao invs de pros..'icguirmos agora com o mtodo de quautizao, iniciamos o tratamento cstocstico do sistema descrito por (3.53). Para isso expandimos xj(a, r) em modos normais

Xi L00

Xtlj cos na (3.54) li=!}

e obtemos

- 2Xni + n x"'. = O_ (3.55)

23

Os modos normais so agora promovidos a um processo estocstico, semelhante ao que foi feito por Guerra e Ruggiero no tratamento estocstico de campos [59]. A equao diferencial estocstica que cada modo 1:n (T) satisfaz

dx~(r) = 1J~TldT + rl1dr ! (3.56) onde 1]~ o rudo brancot

< v~(r) > o (3.57) < 1J~(T) ,r",(T) > 2 lIn .lij 6nn' &(r - 7'). (3.58)

e r o parmetro de evoluo, Seguindo os passos da seo anteriOl'l derivamos a equao de continui

dade

8rPIX!II! r] = -- 2.: V'~(P[-~ml r]1J:.rx!n' rJ) (3.59) n

onde i : J 1- 4 ,~i SI"; 1Vu,Xm:T - CI: V n "m)7 (3.60)

c para o modo zero

vb[xtn' TI = 20:' V~S{xJml TJ . (3.61) De acordo com a mecmca estocstica de Nelson a segunda derivada na

(':{juno (3.55) deve agora ser escrita como

1 . 2 . 2{D+D- + D+D_):J:~ = -n X!I . (3.62)

onde as derivadas de transporte so

D = 8.. + 2:: 'v~nv~ 2:(V':.)2 (3.63) " "

Obtemos assim a equao de l\Aadclullg

24

ars :::: -a:\'V~S)2 + /It)//n ('\7~r2 R (3.64)20:' R +

L 2,,'(\7:,,8)' + V"V" '" (\7;")'R m#O 2/ k..J R +

m#O

~ '" ",'(x:.}'4a'L, 2 =0.

m

Esta, juntamente com a equao de continuidade, leva a equao funcional de onda para a corda [60],

i,V' = [_a'(\7~)2 + L(-2,,'(\7~)2 + n2~.1:::1' )]l/}, (3.65) n#O '

desde que as constantes de difuso sejam

1/.. -= 2n' n:f: O (3.66)

, vo=cv. (3.67)

Obtivemos assim o espectro padro de uma corda bOSllica aberta, dado por um conjunto infinito de osciladol'r'5' hannnicos, conforme esperado.

A diferena entre Vil anel Vo vem da conveno usada para Reparar o modo zero dos demais.

Por razes de oonsistf:ncia, obtivemos que a constante de difuso pro porcional fi a'. Isso est de acordo com a posio defendida por Venezano de que na escala de Planck apenas as constantes c c so relevantes, e fi ltirna relacionada a e/ segundo a relao 2 = 20" [.57]. Se, induzidos pela constante de difuso de Nelson) que depende da massa! esperssemos que 1J estivesse relacionada com a energia dos sistema, ela variaria de acordo com o estado da corda, Cada partcula l c portanto cada estado da corda, teria uma constante de difuso diferente. O valor fixo da constante de difuso parece encorajar as especulaes de indistinguibilidadc entre as flutuaes qunticas e clssicas na escala de Planck.

25

3.3.2 Covarincia de Lorentz

Voltamos agora a questo da covarincia de Lorcntz. Para isso usa.mos a correspondncia entre os colchetes de Poisson c os comutadores qunticos [47].

{B, C}., = i < [Bq, Cq] >= i f 'V [B., Cql;) d" . (3.G8) Substituindo dx por TIi.m dx~ podemos estendor este resultado para o

nosso caso, de modo que examinamos o problema da covarim:;la de Lorcntz atravs ele uma linguagem estocstica, calculando os colchetes de Poisson para os geradores do grupo de LOl'entz. Com

lH/H' = f du(xP pv ~:rtPJl} (3.69) o elemento critico da lgebra

pr,M'~} = i < [Mr,M;-] > (:170)

Para fechar a lgebra a nvel clssico; porm cstocstico, preciso que D = 261 o Que est de acordo com os resultados conhecidos da teoria. de corda [55].

3.3.3 Funo de correlao

Podemos calcular tambm a funo de correlao de dois pontos usando mtodo cstocst.ico. Exclumos o modo zero dos clculos para evitar a divergncia infravermelha (551. Para o estado fundamental

"

.;,

Em resumo, mostramos que o movimento estocstico dssico de uma corda bosnica aberta leva a mesma equa.o funcional de onda obtida atravs da primeira quanti'l.ao da corda e que a corda cstocstica clssica. tambm vive em 26 dimenses. A concordncia da funo de correlao calculada pelo mtodo estocstico com aquela calculada pejo tra.tamento padro; refor~ nossa formulao.

A idia de que flutuaes estocsricas possam se: manifestar na escala de Planck fortalece-se com a relao entre a constante da corda c a constante de difuso do processo estocstico.

27

Captulo 4

Modelos de reduo dinmica da funo de onda

Conforme j visto no captulo 2, a interao do sistema com o ambiente ,-ia decoerucja consegue eliminar os termos de superposo, mas lida com matrit:. de densidade e portanto pressupe um cllscmbie. Para descrever um sistema individual a decoerncia precisa recorrer a uma interpretao de mundos paralelos, os quais no se comunicam entre eles [18, 61].

Cma outra maneira para dcscrc\'cr o colapso da funo de onda consiste em modificar a equao de Schrdinger, adicionando a ela um termo e.."itocstico [11, 62, 63~ 64j. Qualquer evoluo temporal para o operador densidade pode ser obtida atravs da mdia no enscrnble da equao de difuso para a funo de onda correspondente) porm a vantagem desses modelos lidar com a funo de onda, SUlft de um conjunto dessas partculas.

Bohm c Bub [9]j figuram entre os primeiros a questionar a imposio do uso de cnscmbit>,s na mecnica qulltica e a tentar descrever o colapso da funo de onda atravs de uma modificao da equao de Schl'odinger, associando assim a funo de onda a um sistema individual. Orna boa justificativa para a necessidade de descrio p.ara os elementos de um cnsernblc

28

I

i

provm da difrao de um nico ftoIl por duas fendas, por exemplo. Ao ser aooorvido! o fton est localizado em urna pequena regio do aparelho e portanto a funo de onda deve ser negligencivel em qualquer outra regio que no essa [651.

A localizao espacial da funo de onda para um sistema individual descrita atrays dos modelos de reduo dinmica. Um modelo particular) que apresentamos neste captulo j conhecido como localizao espontu('u contnua {CSL} !11\ 66, 67] e corresponde a um aperfeioamento do modelo de coh~pso descnvol\'ido por Ghirardi, Rimini e \'Veber (GHVV) [5] em associao com PoarIe [lOL este fortemente influenciado pelo trabalho de Bohm e Bub.

Porm, os modelos de reduo dinmica no esto livres de criticas. No captulo 6 mencionamos algumas que geraram polmicas e apresentamos crticas novas. J as discusses entre defensores dos modelos de reduo da funo de onda e dos defensores de dcooerncia aparecem nas referncias [61,68, 691.

4.1 Modelo de localizao espontnea cont nua

o modelo de localizao espontnea contnua (CSL) corn: ..sponde a um possvel modelo de reduo da funo de onda e foi desenvolvido por Ghirardi, PearJc e Rimini (GPR). Nele a funo de onda est sujeita a um processo estocstico no espao de Hilhert. Em uma dimenso a equao de evoluo para uma lnica partcula livre na forma de Stratonovich : dada por [11, 66]

d1!(x, t) = {~H'1/J(X. t) ~ 4~ I dz[y9(z, t) - 2'IG(X - z)j'1/J(1:, t)} dt, (4.1)

a qual no preserva a norma da funo de onda e onde H J = p2/2i\Ut. Para preservar a norma a equao precisa ser escrita da seguinte forma [11, 65]

dq,(x, t) = {-H' - '{I dzIx, z) + y9 [j dz((z,t)L(x, z)]} 1>(x, t)dt, (4.2)

onde

29

Ix, z) 21/ dyG(y - z)P(y, t) Jdy'G(tl - z)P(y', t) (4,3) G(x - z) JdyG(y - z)P(y, t)],

L(x, z) = G(x - z) - JdyG(y - z)P(y, t), (4.4) e

P(x, t) = 14>(", t)l'. (4,5) I\n. equaes acimn ( um rudo branco (z, t)) = O e ((z, t)(z', t')) =

8(2 - z')6(t - t') ) e

[ (x - z)'I]G(x '" z) = - exp -a--'- (4,6)Hi2" 2 caracteriza a localizao da funo de onda. O parmetro de comprimento 1/fo c o parmetro de freqncia>. esto relacionados com l' de acordo COm 'Y = >'(41fn)!. Eles so escolhidos de tal forma que a nova equao de evoluo leva aos mesmos resultados obtidos atravs da evoluo unitria de Schrdinger quando tratamos sistemas microscpicos com poucos graus de liberdade, porm) quando o sistema tratado macroscpico: a nova equ,o destreve o rpido decaimento das superposies macroscpicas j que so transformadas em misturas estatsticas [5, 11] I,

Um problema com essa interpretao j bastante discutido, c que mencionamos no captulo 61 correspolldc s caudas (tils) da funo de onda clpSda. O processo de localizao no pode levar a pacotes de onda infini~ t,amente estreitos, pois isso causaria um ganho infinito de energia no sistema. A gaussiana G{x - z) introduzida para evitar esse pl'obiema~ mas acaba causando o aparecimento de caudas. Por

pela (.>voluo da funo de onda, Queremos assim examinai' o modelo de reduo sob o ponto de vista microscpico [72L semelhante ao que foi fcito pela interpretao causal de Bohm, mas dessa vez seUl sofrer (;Ollstnmgimen~ tos com a funo de onda vazia. Um mtodo sistemtico para a obteno das trajetria.s de: Bohm e Nelson a partir da equao de Schrodinger, bem como trajetrias para quaisquer observveis, foi desenvolvido por Vink, O mtodo de Vink difere da proposta de Nelson, pois este pretendia derivar a equao de Schi'dingcr das equaes de difuso para a partcula, mas Vink obtm as equae_>; diferenciais estcsticas partindo da equao de Schl'dngcr, de forma que as crticas de \'Vallstrom no so vlidas aqui 144]. Apresentamos este mtodo na seo seguinte,

4.2 Interpretao de beables

BeU figura entre aqueles que nunca estiveram satisfeitos apenas com a ptfeta capacdade operativa da mecnica qllntica, mas que quedam uma descrio completa da realidade fsica, do que acontece durante o processo de medida. 1ncomodava-se com a arbitrariedade do corte de mundo de Bohr c a prescrio de von Neumaun para unir as teoria."i quntica c dHsica. Simpatizante da interpretao causal de Bohm, que atribui sempre uma posjo bem definida para a partcula, props uma interpretao em termos de 'beables' em oposio a observveis 173j. 'Beables' correspondem a quantidades que existem independentemente da observao, de modo que lhes so atribudos valores bem definidos.

Vink f74J mostrou que tanto a interpretao de Bohm quanto a de Nelson so na verdade casos particulares da interprctaiio de 'beablcs', Props ainda que todos os observveis, mesmo aqueles que no comut.am, podem assumir o carter de 'beable' simultaneamente.

Ao contrrio da aproximao de Bc11, que lida com mlmera de frmions - uma quantida.de discreta - Vnk mostrou que conceito de 'bcable pode ser estendido a qualquer observvel, desde que assuma valores discretos em escalas diminutas.

Para (mcontrar as trajetrias de um conjunto de variveis dinmicas que cmutam O, cada uma com m autovalores discretos, eSCrevemos a equao de continuidade na representao O como

31

http:quantida.dehttp:comut.am

"I

tPm = L .Jmn (4.7) "

onde a densidade de probabilidade Pm c a matriz de fonte Jnll1. so definidas da seguinte maneira

Pm(t) =. < Oml\l'(!) > I', (4.8)

Jm,,(t) = 2fm{< !j;(t) 10m >< Om;H'IO" >< O"lvl(t) >}, (4.9)

Nas equaes a notao de GPR est sendo llsada: Ri = p1/21\1t~ + 11(x)fh.

Note que (4.7) vem da. equao de Schrdinger

itl1/:(t) >= H'IV)(t) >, (4.10)

pois

o,Pm(t) = (a, < !j;(t)IOm < 0",11/1(1) > + < ;\(1)10", > (, < Oml1/1(t) - 'i < 1/1(t)IH'IOm >< Oml1/:(t) > < 'J(t)IO", >< OmlH'iif)(t) > = i 2:: < 1/1(t)IO" >< O"IH'IOm >< Oml!j;(t) > +

" 2:: < 1/1(t)IO", >< OmIH'IO" >< O"I1/1(t) > " 21mO::: < ";(t)IO,,, >< OmIH'IO" >< O"I'/1(t) >} (4.11)

"! '1, Queremos interpretar esse sistema em termoS de 'beables', l.e. em cada , illstante de tempo o observvel tem de fato o valor Om. Como a trajetria

para uma quantidade discreta no pode ser contnua, natural esperar uma. dinmica estocstica. Seguindo Bell. a distribuio de probabilidade Pm(t) dos valores Om deve satisfazer a equao mestre

8,Pm = L:(TnmPn M_ Tt/1It Pm), (4.12) "

32

I

onde Tmndt a probabilidade de transio e expressa matematicamente a ))l'obabiHdade para saltos do estado n para o estado m. Para condJiat as vises quntica e sLotstica, igualamos (4.7) c (4.12):

JtJtn = (TmnP', - TnmPm), (4.13)

onde Tmn .:2: O c .Jmn = -JmTl' H grande liberdade na busca de solues para a equao (4.13). Bell

escolhe uma particular para fi =/:- m,

Jmn > OT,nn = { ~mnlP" JTm1 ::.;; O.

Restringindo a posio da partcuLa em uma dimenso para os stios de uma rede x = un, onde n = I, o , N c fi a distncia da rede n, a verso discreta da equao de Schrdinger

i8,(x + a, t) + ",(x - a, t) - 2",(x, t)]. (4.14)

Dessa forma Jm,t

Ju", = 2Im{[

[S(an)l' nm+Tttm = .... Aia ' (4.18)"1

I H IIsso mostra que a leva a transies apenas entre stios vizinhos. A partcula pode 1'ialtar do stio n para o stio n+1 com probabilidade IS(an)Ydt/l11a. Como cada salto sobre uma distncia a, o deslocamento mdio num intervalo de tempo dt dx = S{.1:YdtjlH. No limite do contnuo, como a ~ 0, fi partcula tem uma vcl(jcidade dada por

_i

\75(,,). - , (4.19)x - 1~J qne COlTcsponde ao resultado da interpretao ca.usal (veja ffjuno 2.7).

I Poderamos entretanto, adicionar a Tmn a soluo da equao homognea,

'I 1'"mn T,~n Pu - ~7mPm = O; (4.20)

para a qual podemos escolher urna gaussiana com largura a

2111n(Pm/Pn)]' }~ncxcxp - m-n~ 4(m-n) /2(1, (4.21){ [

. ; O que lc\'a a saltos entre stios distantes.

Assumindo que O' seja suficientemente pequena: aproximamos

[ln(P.,/Pn):J(m - n) - 2a[R(an)1'1R(an), (4.22)

o que nos leva li seguinte equao de Langevn para li posio da partcula . no limite do continuo [74]. I dx = [(13110 2) VR(x) + VS(X)] dt + V3aa'fJ(t)dt (4.23) . R(x) M '

onde /3 um parmetro livre, (Veja os clculos no apndice C), Esta equao coincide com li equao cstocstica de Nelson se tomarmos

p(J'()."1. 7::: 21/. A constante de difuso novamente v = h/21H e 1}{t) um rudo branco: (1)(t = O e (l/(t)ry(t' = o(t - t'). Note que quando 11 = O recuperamos li interpretao causal.

3,1

4.3 Dinmica microscpica do modelo CSL

Formulamos agora o modelo CSL em termos de 'beables', A equao (4,13) para o modelo CSL

T:'"dt = J;:l.dt + /3Tr~lx.,dt. (4.24) Para a equao de Sdu(idinger modificada (4.2) c movimento para frente, J;m Z dado por (os clculos aparecem nO apndice C, subseo C.2.1)

J;" A:a [S(an)yP"A~,m.' l

+ ,11' [I: G'(an - ap)Pp - I: G'(ap ..- GV')PpPp,] P"o,.,,, + p p)f

+ 2 ~ [G(aq - an) - ~G(a'l - aplPp ] (,(t)P"6,,,,... (4.25) Observe que tendo discretzado o espao, identificamos

Consideramos agora dois casos p.articulares para a funo de onda inicaI ~ uma superposio de duas gaussianas bem separadas c urna nica gaussiana ~ c interpretamos estes dois casos sob () ponto de vista de 'beahle'. '1 ,

I 4.3.1 Duas gaussianasi Vamos supor que a funo de onda inicial COfresponda a uma superposio de duas gaussialHls localizadas em torno de Xl c X2 respecUvamcntc c a..sumir I que elas estejam to distantes uma da outra, i.e. X2 - :Cj > > O, que os dois , estados sejam praticamente ortogonais

I v;(:r,O) = (2"A)l{expl-A(.

, 1 i

No segundo caso a funo de onda aproxima-se assintoticamente da gaussian centrada em X2.

Suponha que o colapso ocorra em torno de Xl, em outra.s palavras, que () rudo escolhido seja 2')'tG(z - xd. Gostariamos de analisar os efeit,os de:>te colap,."o no movimento da partcula e portanto precisamos da equao diferenciai estocstica no espao de configurao. Das equap.s (4.23) e (4.29) obtemos

I f'yf>/_.MT - xd2Jdt-4v(x-xd -"~"j, --, 'J T.1 dx exp[-A(x _. Xl)', + exp[.-2.\t]exp [-A(;, - x,)-]

cxp[-2.\t] cxp [-A(x - ;",)'1 dt ---4tl(x - 3:2 ) +

. exp!- A(x ~ X, )'1 + cxp[.- 2t] exp [-A(x - x,Fl + ~(t)dt. (4.32)

Observe que (no esquecendo que Xz - :1:1 > > O) as contribuies do segundo termo so negligenciveis: esteja a partcllta inicialmente prximR de Xl (x "V Xl) Oll em torno de .1:2 (x ;-.,) X2). o primeiro termo que indica que a partcula segue os passos da funo de onda, Se a partcula estivor inicialmente em torno de Xl, ela tender a permanecer a j que no h contribuio para o seu deslocamento. Ao contrrio) se estiver inicialment,e prxima de X2, este primeiro termo ir empurr-la na direo de XI, como pode ser visto da contribuio negativa para o destacamento.

4.3,2 Uma nica gaussiana

Escolhemos agora como fum;o de onda inicial uma (mica gaussiana paramet.rizada da mesma manejra feita por GR\V [5J

eHx~(z))'i('AE)1 {i [(>; - x(x)Vb.xb.p - h'/'l. l}~}(x, O) = 1 exp -" A T (p)x ,

(2r;b.x) , t :.:.." (4.33)

onde L3.X = {x2) - {x}2 e (;1;) o valor mdio de.'f (o mesmo vlido para p). Aqui no estamOS to interessados nos efeitos do colapso da funo de on

da sobre a partcula] mas nos efeitos que tem {) rudo introduzido na equao

37

http:f'yf>/_.MT

de Schrdnger sobre esta partcula. Como veremos no prximo capitulo, esta anlise muito ttil na analogia entre a dinmica microscpica do modelo de CSL e turbulncia.

A quao diferencial estocstica para (l partcula livre agora

dx = Dsdt + 2v {f.' dt' [v'If dz(z, t') aG(~x- z)]} dt + (2J1)!~(t)dt (4.34)

Na equao acima1 o primeiro termo do lado direito descreve a evoluo determinista da partcula livre e escolhemos Ds como uma notao abreviada para o termo derivado da funo de onda inicial Ds = [2v\7 Rs(.", 0)(Rs(,", O) + \7Ss (x,Ol/M] = [(x) - x}[v/"x - J"x"P - n'/4/MiJ.x] + (p)/M, Os dois outros termos descrevem os proc('~s..,os cstocsticos, onde 1J e ( so rudos brancos independentes, O lltimo termo corrcsponde a difuso padro e vem da soluo da equao homognea para a probabilidade de transio, como feito para obter a equao de Nelson. O segundo termo uma difuso no padro, que vem da parte real dos no....os termos na funo de onda c tem um pape] importante na nossa futura analogia com turbulncia,

Considerando agora momento como (beablc\ repetimos o procedimento feito para posio e rcstringimo~lo aos stios de uma rede p = Im, onde 11 = 1, ... , N e b a distncia da rede,

A equao de evoluo que preserva a norma na representao de momento

a~(p, t) = -iH'(p)~(p, t) + (4.35)iJt

1 f ' [ (p - p')xj'2,,/ dp ri~dz7f{(X, z) exp -i li

{e[-"lP',~'"1< OnlOm' >< ~(p, t)IOm > + [ih!'" ,~h"1 _

+ e .. J < Oml$(P, t) >< O"",IOn > }m,,,>

A probabilidade de transio para saltos em momento

T-' dt - J::'" d c~p d (4.37)mn - Pn t + ",-t um t.

Como &m,1I no contribuI para os saltos, a soluo homognea

T-,"' {[ 2wn(Pm/Pnl]'/}

/Il.n ocexp - ln-n- ( ) 2n, (4.38)4 m~n

dar a variao para () momento. Assumindo que n seja pequeno j apro,-ximamos [in(P,n/Pn}]J(m - n) por

2&[~'(bn)~(&nl:'/IJ'(&nl~(bn)] c obtemos para dp

dp = [(n&2) \I'[~'(Pl~(p)J] dt + (nb2 )lry(t)dt. (4.39) ,p"(P)

i DW(x,p, t) (P) 8W(,7:, p, t) (4.41)

Dl 111 dx

h ' J"'O! (1' li'o' 1)' ] + [2lI'Ilh" + 211'I'xOp +-4-l)p2 W(x,p,t),

o que discutimos melhor na seo seguinte.

4.4 Distribuio de Wigner para sistemas qunticos abertos

1, A evoluo da distribuiiio de ''''''igner para um sistema quntico aberto descrito por uma equao de Schrdinger estocstica enfntza a necessidade de uma equao cstoestica no s para posio como tambm para momouto. Conforme mostramos abaixo, a equao de Fokker-Planck obtida atravs das equaes diferenciais para posio e tambm momento coincide com a equao de evoluo para a distribuio de \Vigncr, desde que uscmos uma nova definio para a velocidade para frente da particu)a [78].

O operador densidade de um sistema expresso como a mda sobre uma distribuio de operadores projeo de estados puros [11, 62]

p = O1/> >< 1/>1), (4A2) Para obter ti evoluo da. matriz de densidade para um sistema aberto

como o descrito pelo modelo de GPR, partimos da equao de Schrdnger modificada na notao de It, onde ignoramos o termo quadrtico do rudo conforme feito em [66J'I

d1/>(x,l) = [-iH' - ~ + f dZ(Z,tlG(X,Z)] w(x,t)dt. (4.43) Como estamos na forma de It (veja apndice B, seo B.2), temos

d < ylpl" >= "Iv; >< d'>lx > + < vldvl >< 1/;lx > + < vld'lb >< dJI:, >k (4.44)

40

., , o que leva a

ir, [iJ' iJ' 1 ["',-,1'1t < ylplx >= 2M iJy' - x' < ylp!x > - 1-C' < ylplx >, (445)

Note (jue o termo novo o ltimo, que representa a interao COIn o ambiente e que causa o rpido docaimento dos termos fora da diagonal da matriz de dcnsdadc, com sso as superposies macroscpicas so eliminadas c obtemos uma mistura estatstica,

Calculamos agora a distribuio de \Vigner no espao de fase i79]

,1'(' )-~Jd . II (- 2il!1J )H :t,p ~ ntt ycxP" ti . (4.46)

Aps expandir o termo de interao c mantendo apenas o termo de pri~ mera ordem t a equao de evoluo para a funo de \.Vigner pode ser escrita como (veja apndice C, seo C.3)

=-l:.;.V",,'(;;:x:-"P"-',,-t) = __1' H!' (x, p, t) + "_I'_Q_ 8'W' (x, 1', t) . (4.47)t M x 4 81"

Dada uma funo de distribuio de Wigner para um sistema, sabemos que a mdia de um operador (i;,p)

( ), = Tr(p) = Jd.' dp A(x,p)W'(x,p) (4.48) MosLramos agora que os mesmos resultados podem sel' obtidos atravs de

uma aproximao estocstica, onde posio e momento satisfazem equaes diferenciais cstocsticas.

Considere

(li)dx = v+eSL di" VJij'/(t dt, (4.'19)

!h'2n ).dp = V-2~q(t)dt. (4.50)

Attav-s de um rudo branco para posio l'\elson foi capaz de reproduzir a equao de Schrdinger para um sistema isolado. O processo estocstico

41

para momento motivado pela existncia de um termo de difuso no espao de momento na equao (4.47).

Introduzindo uma funo clssica geral no espao de fase A{:r,p) c definindo valores mdios atravs de uma funo de densidade HI(X,p) como

(A(x,p" = Jdx dp A(x,JW(x,p), (4,51) obtemos, seguindo 180, 81) 82] (veja t.ambm apndice B, subseo Rl.l), 11 equao de Fokkcr-Planck para HI(X,p)

W(x,p, t) -! [v;'SL W(x,p, t}] (4,52), ~at 82fi P !l.3(J';\ n2a a2 ]

+ [ 2M x' + 2M IJx8p + -4-ijp' W(:r,p, t),

Se csttevermos

CSf -- aw J"''' 1 iJW u , = 11 + fI + ----, (4,53)i + AI 2MW I)x 2M W I)p , a equao (4.52) torna-se idntica fi equao para a funo de vVigner (4.47).I ! Note que essa relao para a velocidade para frente, que nos permite obter a

evoluo para a distribuio de \~'igner atravs da equao de Fokker~Planckl semelhante definio usada por Nelson (v+ = v+v'Vplp)! que lhe permite obter a equao de continuidade a partir da equao de Fokker-Planck no espao de configurao, s que ao lidarmos com sistemas (lunticos abertos precisamos considerar tambm a der vada em momento.

Alm disso, desligando a interao com o ambiente (u: 1\ -t D) obtemos,-I, como apcrado j a equao de vVigner para uma partcula livre i~olada. , Comparando a.'i equaes (4.51) e (4.48) fazemos a identificao I ,

((i,)i)), = (A(x,p)", (4,54)

I Assim, os valores mdios dos observveis no espao de fase obtidos usando a distribuio de 'Wigner so equivalentes as mdias feitas sobre os processos ! cstocsticos nos espaos de coordenada e momento.

l\:ote que as equaes estocsticas obtidas nesta seo corrcspondcm ao caso geral, enquanto que aquelas obtidas na seo anterior (;orrespolldcm a i

I I 42

casos particulares. Compare por exemplo as equaes (4.34) com (4.49) c (4.40) com (4.50), a identidade das duas primeims equaes vlida quando lI~SL = Ds + 2" {I~ dt' [,fY I dz((z, t')8G; ,)]},

43

I,

Captulo 5

Turbulncia de Burgers e modelo CSL

Antes de iniciar nossa analogia entre turbulncia de BUl'gcrs e o modelo CSL, vamos fazer uma rpida introduo sobre a turbulncia hidrodinmka. Embora este ainda seja um problema no bem resolvido da fsica clssica, sua equao bsica, a equao de Navier~Stokes, j cra conhecida desde 1823 [83, 84]

av-a +v:VV = -'Vp + v'V'v + f (5,1)t

'V,v = 0, (5,2) o movimento de vrios fluidos comuns pode ser descrito atravs dessas

duas equaes. A equao (5.2) vem da equao de continuidade c do fato ", de estarmos lidando com um Buido incompressvel, ou seja: sua densidade

pcrmanez:e constante. A equao (5.1) uada maiR do que a segunda ICl de Kcwton aplicada a um fluido contnuo. Ela obtida igualando-se a taxa de variao do momento de uma poro selecionada do fluido com todas as foras agindo nesta poro ~85]. Supondo 11 o volume do fluido, p a densidade do fluido e v sua velocidade. ternos

taxa de variao do momento:

f

i

.,

onde o segundo termo da acelerao COlTcsponde a um elemento COllvectlvo.

qualquer fora externa.

f f,pdV, (504) onde fi a fora de volume por unidade de massa do fluido

fora total na poro selecionada excrdda pela matria ao redor

f 8Ui} .--dI, (5.5)x} t pois a fora de contato ou superfcie !JijlljS

A parte normal de (71j a presso ~PPij c a parte tangencial ou cisaIhamcnto; quando \1.v = 0, proporcional taxa de variao espacial da velocidade: JJp8v;J8xj) onde 11 a viscosidade do fluido. Juntando tudo isso obtemos a equao (5,1).

Uma boa maneira para compreender a fora tangencial imaginar um fluido num tanque fechado. onde a tampa superior mOve-se a uma certa veloddadc Vo e a tampa inferior permanece fechada, um fato experimental que a cantada de fluido em contato com o slido permanece em repouso em relao superfcie de contato, Assim, li camada superior do fluido possui uma celta velocidade '/in, enqua.nto que a camada inferior pennaueCl; parada e portanto) a velocidade \

atrs do cilindro, at um ponto em que o escoamento nessa regio torna-se turbulento: o movimento ext.remamente irregular e aparentemente catico.

O critrio para determinar a transio de um nuido quase perfeito para um turbulento dado pelo nmero de Reynolds1 um parmetro adimcnsional derivado puramente de anlise dimensional

vLRe = -, (5.6)

j

v

onde v e L so respectivamente escalas de velo{:idade c de compdmento. :-./um fludo em movimento atravs de um cano por exemplo, v a velocidade mdia do volme e L o dimetro do cano.

Conforme o nmero de Reynolds vai cre5eendo todas as simetria.") permitidas pela equao de Navier-Stokes vo sendo sucessivamente quebradas. Quando ele se torna muito grande, aparece ento uma tendncia a restaurar

, as simetrias, mas apenas no sentido estatstico. Keste limite eStamos com fichamada turbulncia completamente desenvolvida (fully developed turbulen~

I ce). At hoje no h nenhuma teoria que, partindo da equao de NayierStokes, obtenha, entre outras l as seguintes leis experimentais:

i) quando o nmero de Reynolds muito grande, o incremento da velocidade quadrtica mdia ((,~h;(l))2) entre dois pOntos separados pela distncia l cresce com [2/J;

ii) se todos OS parmetros de controle so mantidos constantes: exceto fi viscosidade, que obtm valores to pequenos quanto possveis, a energia de dissipao mdia por unidade de tempo c por unidade de massa (E) tem um limite finito c positivo.

Porm em 1941, I

Segundo a K41, a energia inj-ctada no sistema na escala lo na taxa de (t:) e dissipada numa escala muito m-cnor, a escala de dissipao de Kolmogorov

I, = (,,'/(t:t. (5.8) Na escala intermediria l (que correspondc ao regime inercial: ld l la), energia apenas transferida para escalas cada vez menores. Este fenmeno conhecido com cascata de Richardson.

Definindo VI"" jf}v)' e I rv j(x2:) temos que no regime inercial o campo de velocidade

VI "'" (&)!l~ (5.9)

ou ainda

i,-(,WM. (5.10) Como couseqncia~ duas partculas lanadas num fluido tmbulcuto separadas uma distncia I tm o quadrado de sua distncia aumentando com t ao cubo

(x'(t ~ ()tt (5.11)

A descoberta experimental desta lei foi feita por Richardson em 1926 [87]. Bem no comeo do regime inerciall ...., 101 usando a equao para o campo

de velocidade (5.9) em termos de lo e a. escala de dissipao de Kolmogorov) obtemos uma nova relao para o numero de Rcynolds,

Rerv lovo l

Alm da equao hidrodinmica de Navier-Stokes, uma outra equao comum no estudo de turbulncia a equao de Bnrgcrs. Esta equao no usada par descrever fluidos turbulentos reais] mas serv apenas para testar idias teric'ls. Ela uma equao de difuso no lnear para o campo de velocidade do fluido em IV dimenses,

I)v I)t + (v.v)v = vv'v + f(x, t). (5.14)

A eorrela da fora externa [89J,

(f"(x, t)fV(x, ti)) = (E)6(I-t') [li"" _(x - >:')'(x - X')"] [ (x - X')']Nf& c.,xp 2Nl . (5.15)

Vale mencionar que atravs da relao v = -'VII, 1:1 equao de Burgcl's pode ser transformada em uma outra; conhecida como c{Juao de Khadar Parisi c Zhang) ou simplesmente equao de KPZ. A equao de KPZJ originalmente criada para descrever o crescimento de cristais [90], tem tido desde ento uma ampla gama de aplicaes: de crescimento de bactrias [91, 92, 93] a polmero..;:; direcionados [94]. Uma de suas caraterstica..

na descrio de sistemas qunticos abertos do captulo anterior. Acreditamos que esse tipo de analogia possa levar a contribuics importantes cru ambas as reas, conforme mencionamos na referncia (96).

Na primeira seo abaixo vamos introduzir uma espcie de dicionrio entre o mod(~lo CSL e a equao de Burgers, o que nos permite introduzir um nmero de Reynolds para o modelo CSL. Na seo seguinte COllectmnos fi. nossa viso microscpica do modelo CSL, apresentada no captulo a.nterior, com a equao de Bllrgcrs e assim introduzimos as correes de intermitncia e uma eqnao de Fokker-Planck lF~El. A anlise dessas equaes 110S permite introduzir uma escala de tempo que caracteriza o domnio da difuso acentuada sobre fi difuso de Wiener padro.

5.1 Dicionrio para KPZ, Burgers e CSL

Conforme j foi visto no captulo anterior j o modelo CSL modifica a equao de Schrdinger introduzindo um rudo multiplicativo na evoluo da funo de onda. Podemos escrever a equao (4,1) em uma dimenso na forma de Stratollovich ignorando o termo quadrtico no rudo1 como feito em [66, 67).

011;(1:, t} {, [)' , ri (}G( l} '( )at = UI x2 _. /\+ y"'l rJz( 2 1t x - z ",fi x,! : (5,19) A equao modificada de Schrdingcr acima equivalente h equao

(5.18) na continuao anaHtica. DCRta analogia o termo de rudo deve ser escrito como :;;; 4/) Ao t - t exp -11'----;, (5,20)4 ' Comparando esta equao (~om (5,17): identificamos fi oscala de comprimen

to de injeo de energia lo com J2/a: e energia injetada por unidade de tempo e por unidade de massa (e) com 2112Q", Atravs da relao (5.12), podemos calcular o nlmero de Reynolds para o modelo CSL Re :;;; (8)'luv) 1/3 , Quando o nmero de Reynolds grande estamos no domnio da turbulncia completamente desenvolvida, o (IUC cOlTCRpondc no caso CSL a um sistema sofrendo freqentes colapsos j (lHe grande.

49

Essa analogia tambm pcunitc um esdarecmnto a respeito da qucsto dc no couservao de energia levantada no modelo original do colapso da funo de onda proposto por Ghirardi , Rimilli e Vlebcr [GR\V] [5j. Por ana logia com o efeito cascata, deduzimos que no modelo de colapso a energia deve ser injetada na escala de localizao 1/.,j., que multo maior do qu a escala sub-atmica. O sistema no deve portanto ganhar energia indefinida mente, mas da deve ser dis.qipada na escala sub-atmica ou talve: na escala de Planck A dsparidade entre as escalas fez com que esse fat.o pa&1ffiSSC desapercebido pelos proponentes do modelo de colapsol que discutem a no conservao de energia devjdo ao colapso em termos da magnitude do efeit.o e escolhem as constantes de modo a fazer com que essa no conservao seja praticamente no observada.

Note que podemos ainda estender essa COJwxo. Do mtodo de Vink no captulo anterior, mostramos que a equao da nssa anlise micl'Oscpica do modelo CSL tem a mesma forma da equao de Nelson

(5.21)

onde

( . ) _ [" vR(x,t) vS(x,t)1 v J., t - _lI R(x, t) + - MJ

1\0 t.empo imaginrio S(x, t) = O e transformando x em -;); tcmos (lHe v = ~211(VR) / R, o que corresponde a transformao de Hopf-Coc. A concxo entre a equaiio de bcable do CSL (' a equao de Burgers agora direta. A velocidade satisfa% assim a equao de BlIl'gcl's se assumirmos a relao entrc a fora aJeatria c o potendal a]entrio sem snalncgativo f = V cp (um ponto que j havia sido percebido por Garbaczewski et al l07}).

5.2 Difuso acentuada

Conforme visto no apndice B, no movimento bmwniauo a partcula segue uma trajetria aleatria, cuja mdia () ,rarincia so bem definidas e obtidas atravs de uma distribuio de probabilidade gaussialla

1 (-",\p(x) = . exp - - I J4r.vt 4vl I

! 50 I~

I

e portanto (x) = OC (X2) = 2M/. Entretanto, existem distribuies de probahilidades, chamadas distribui

es de Lvy, que le\'am a varincias infinitas e s \"C'tes at mdias infinitas 1981. Estas distribuies esto relacionadas com as t.rajetrias aleatrias fractais, que so trajetrias compostas por salLos auto-similares, Lc. em escalas diferentes, embora seus detalhes possam diferir, elas tm as tnC8mas caractersticas e so assim estatisticamente idnticas. Essas trajetrias so denominadas vo;;; de Lvy.

Lv)' considerou li soma X = X j +X2 ..... ,.,XN de N variveis aleat.rias Xl' todas elas com a mesma distribuio dG probabilidade p(x). Cada uma dessas variveis corresponde a um passo em um passeio aleatrio para X, cuja djstri~ huio de probabilidade PN(X). Ele queria saber quando PN(.1:) seria igual distribuio p(x) a menos de um fator de escala, o que corrcspondc a pergunta bsica de fractais: ~quando o todo parece com sas partes?' A rosposta mais simples que p(x) deveria ser uma gausshluU p{x} = lfv'2iroxp(-x2 /2) C JI;v{x} seria obviamente 11 j21r N exp(_x2 !2N), j:.llas Lv)' mo..

o processo original de Lvy alm de ter (x2 ) = 00 no possui dependncia no tempo. Para que o vo de Lvy possa descrever processos dinmicos reais o tempo para completar cada salto precisa ser considerado, Isso fOI feito por Shlcsinger et ai (99) 100, 101), que mantiveram as propriedades de escalonamento dos vos de Lvy, mas introduziram o tcmpOt de modo que longos passos possuem menor probabilidade de ocorrer e assim o problcrna da divergncia fica resolvido, Esse novo tipo de processo denominado passeio de Lvy. O passeio caracterizado por uma distribuio de probabilidade (T, t) dada por

Q'(1, t) = ;/>(tI1)p(r). (5.28)

o fator p(r) li funo de probabilidade discutida acima para um mco salto e portanto responsvel pela natureza autcrsimilar das trajetrias, Quando T muito grande ele aproximado por per) "-' 11'1-1-#. O fator rp(tlr) a densidade de probabilidade para que () salto leve um tempo t dado que seu comprimento r, O caso mais simples dado pela funo delta ,p(tlr) = 6(t -11'I/v(1)). este acoplamento entre espao e tempo que evita as divergncias do vo de Lvy. O passeio de Lvy visita todos os pautos do salto no trecho entre O e 1', enquanto que o vo visita apenas os dois extremos, assim no passeio os saltos no ocorrem instantaneamente, rnas exste um atraso no tempo antes do prximo salto.

Turbulnda um exemplo de difuso acentuada c alguns de seus aspecto8 podem ser descritos pelo passeio de Lvy. Nesse caso li velocidade v em rb(tlr) daramente no constante, mas depende do tamanho do salto (veja 5.9), Porm, conforme mencionado anteriormente) as correes de intermitnCIa precisam ser consideradas. Aps o efeito cascata, a turbulncia tcnnina em dissipao, ou seja a energia de movimento transformada em calor. :vias essa dissipao no uniforme no espao~ em algumas regies ela elevada c em outras, quase inc.,is1.ente, da a necessidade das correes de intermitncia, lv!esmo a lei de Rchardson necessita de uma pequena correo e isso tambm feito na referncia [99] atravs de uma modificao na relao (5.9).

sabido que a dependncia com t ao cubo para o deslocamento quadrtico medio tambm obtdo no contexto do modelo de colapso tal como intl'Odudo por Ghr;u'di, Rimini e \Veher [5]. Na nossa anlise microscpica do modelo CSL tambm obtemos essa dependncia para (;t2), conforme d,M cutlmos abaixo. Ainda sob este ponto de vista, detvamos a energia mdia

52

J "

njctada no meio turbulento) uma equao de Fokker-Planck para a densidade de probabilidade no espao de fase e as correes de intermitncia atravs da introduo de um rudo afim.

5.2.1 Equaes diferenciais e equao de Fokker-Planck

Conforme obtivemos no captulo anterior) a equao diferencial cstocstica para posio

ri.' = Dsdt + 2" {1' dI' [Vi Jdz(z. 1') 8G(;~- z) l} dt + (21,)!,/(t) t', (5,31) Para calcularmos a equao de Fokker-Plullck precisamos de equaes

envolvendo rudos brancos, conscquent.emente, alm da equao l)ura rlx, precisamos tambm de uma equao de evoluo para que leve mp'sma funo de correlao obtida acima [81]. Como c tem dirnenso de velocidade, a equao para conesponde equao diferencial estocstica para momento

Ic:); ri)! = h{T,/(t)dt, (5.32)

onde usamos o mesmo rudo branco l}(t) que em d.x equao (5.29), o que ser importante para a obteno de uma equao de Fokker-Planck mais geral possvel, como foi visto na seo 4.4.

De (5.29) e (5.32) temos a equao de Fokkel'-Planck do capitulo nnterior {4.41). ema boa caracterstica do nosso modelo poder obter a equao de evoluo no espao de fase, Ao contrrio de Rkhardson [99]\ ns partimos de nrgumcnt.os puramente terlcos e pudemos explicar a natureza. descontnua da

53

http:nrgumcnt.os

velocidade da partcula. O processo estoc.

(dB(z, I) dB(z', O)) = tA-1dt (z - Z'). (5.36)

Quando este rudo dB usado na equao (5.29), o termo de difuso anmala torna~sc

t ,1(x'(t)) ~ - 1+'. (5.:37)

Isto cOTrespolldc a uma das correes de intermitncia obtidas por Shlesinger et ai [991 desde que identifiquemos.4 - 1 com 31'/(4 -I'), onde IJ = E - di, E a dimenso euclidiana c dj, a dimenso fractal.

Para a varivel momeuto o rudo colorido fornece

(p2) ~ tA, (5,38)

o que leva relao de escalonamento obtida por Shlesnger el al [991 para a raiz da velocidade quadrtica mdia. Observe que ao contrrio do que feito por eles; obtivemos a correo de intermitncia na posio sem usar fi. de momento.

5.2.3 Escalas de tempo

Ignorando o termo determinstico na equao (5.29), obtemos o deslocamento quadrtico mdio (.7:2 )

, 2 2 " (X ) = 2//t + 3").// t", (5.39)

que tem duas contribuies: o browniano usual, vindo do termo com 11(t} c fi difuso acentuada, vindo do rudo multiplicativo da equao de Sdudllgero )la figura 5.1 HHstrillllos\ atra\s das trajetria.,. calculadas da equao (5.29), a difuso aeentuada vis--vis com a difuso browniana. Vemos que a simulao numrica exibe o comportamento de difuso acentuada, como l'Spcrarlo.

Da comparao dos dois termos na equao (5.39) podemos dcLcnninar uma escala de tempo alm da qual a difuso acentuada domina sobre a bmwniana.

t,",,>J3 (5.40)Y a:I/

55

Usando os parmetros de GRW [5]: Q = lO lOcm-2 , "(micro) = 1O .. WS~11 .>.(macl'o) = 1Q7s-l, M(micro) = lO-"'g, M(macro) = 19, estimamos essa escala de tempo, que aproximadamente 2Ax105s, independentemente da natureza lnacroscpica ou microscpica do sistema.

~ t~ , " ' '''', 'T' ',1

"" c,, c c

f

:' .. ,~ , ... ,

c c

.. 15rJ

, f ~ -I"" " ,f j , c, ,o; I

50 '"s. para uma partcula mncl'ORcplca c os intervalos de tempo so tlt = Itrs.

56

lJma segunda c-5Cala de tempo dada pelo tempo caracterstico de colapso te, que da ordem de -1, A figura 5.2 mostra as duas escalas de tempo. A linha pontilhada indica a evoluo livre de Schrdinger no perturbada pelo termo de colapso Para o sistema microscpico a difu...

sistemas quntkos abel"tos como em turbulncia, dois assuntos ainda em aberLo.

58

I Captulo 6 I

Crticas aos modelos deI reduo dinmica

A evoluo unitria de Schrdinger no capaz de eliminar as superposies da mcdinca quntica. H duas maneiras para descrever dinamicamente o colapso da funo de onda, lidando assim com evolues no unitrias: atravs da decoernciu, que considera a interao entre o sistema e o ambiente, mas rcalb:a o trao dos diversos graus de liberdade aos quais no temos acesso, e os modelos de reduo dinmica (DRlvI), que lidam com sistemas individuais e modificam a equao de Schrdinger. A origem do rudo adicionado nos modelos de reduo no identificada e poderia ser1 como em detoerncia, o banho trmico1 porm, no decorrer da evoluo desses modelos, tem havido uma tendncia cada vez maior a associ-la com gravitao. O fenmeno de reduo do estado quntico seria assm um fenmeno gravtncional [50] c s podera ser observado em sistemas e..xtremamente isolados.

Uma linha de aperfeioamento para o modelo de reduiio nicia-:>c com o modelo propo...:;to por Ghirardi, Rimini e \Veber [5]. Segundo esta proposta, o estado de um sistema de IV partculas evolUI normalmente de acordo com a equao de Schrdinger, mas dc vez em quando uma partcula i do sistema sofre uma pancada e toda a funo de onda colapsa. Esse salto espontneo e alcatrio da funo de onda de:>crito pela equao

w'(t, r) = G(x ~ r,)w(t, r) (G.l)R;(x)

onde G uma galll:;siana normalizada de largura 1O~5 ~m, Ri(X) um farol'

59

I ,

de reuonnalizao e o centro X da pancada eescolhido aleatoriamente com 11 seguinte distribuio de probalidadc: 1R;(xW~dx. A freqncia de golpes em uma partcula qualquer 10~wIs, de modo que urn sistema microscpico tem ponca chance de sofrer colapso, enquanto que um sist(~ma macroscpico, com, por exemplo, 1023 partitulas. sofre 107 colapsos por segundo. Kenhuma justificativa para a escolha desses parmetros (! dada alm da necessidade de coincidncia, para sistema microscpicos, dos resultado:;; com a mecnica

! , quntica padro. ~Ias esse modelo s consistente para casoS de sistemas de partculas I

distingufveis, pois o colapso descrito pela equao acima no preserva as i propriedades de simetria da funo de onda. Este problema l resolvido com

I um outro modelo j o de localizao espontnea continua (CSL)j do qual fi"emos uso no capitulo 4. O modelo de CSL usa um coujunto do densidades em torno de todos os pontos do espao discriminando assim as difcn:mtPS configuraes. Um operador densidade definido

N(z) = I:J(lyG(y - z)a+(y, s)a(y, s), (6.2) ,

onde a+ e a so os operadores de criao c aniquilao de uma partcula no ponto y com componente de spin s e G(y - z) a gaussnutl

G(y - z) = (",;21f)1 exp [_ a(y; Z)'] , (6.3) A equao de Schl'odnger modificada na forma de Strntonovich escrita

como [11]I I, dl/;(x, t) = {-H'I/;(x, t) + [fiJdzN(z)(z, t) - -r JdzN'(z)1Vi(X, n} dt I, (64)

onde ~i tem a mesma dcflnio do captulo 4, mas em trs dimenses 1.

11'\ote que, em uma dlm

Recentemente este modelo foi ainda mais: elaborado numa tentativa de incorporar em sua dinmica os efeitos da gravitao [75]. Para tal , ao invs de lidar com o operador densidade, o operador densidade de massa iutroduzido

M(r) = L lnkNk(r), (6.6) k

onde Nk(r) o operador nlmero c nLk a massa de cada partcula do tipo k.

Dcss forma, a equao modificada de Schrodingcr na forma de Stratonovch passa a ser dada por

"I,,-Vi.:c___ = [-~H + f ->/-'1drM(r)(r, t) - 2, f drM2(fl] 1'/;(1) >, di ft mo mj)

(6.7) onde, mo uma massa de referncia, a qual pode sei' identificada com a massa do mc1con e, seguindo a notao do capitulo 4, H = nH'.

A equao adma) conforme j discutido no captulo 4, no preserva a norma. Para que os rcsu1tados desse modelo estejam de acordo com O!i resultados da mecnica quntka padro, podemos usar a verso normalizada da equao) 011 adicionar . equao no normalizada urna distrbuio de probabilidade para o rudo dada por

P",dr,t)} = P,"w[r,t)j < lIJdt)I~)dt) > (6.8)

onde Pmw a distribuio de probabilidade para um rudo branco. H V,-tr1as crticas a esses modelos [111, 112, 113, 114~ 115J, algumas das

quais mencionamos. na seo seguinte, bem como as respostas fi elas [75, 116, 117, 118J e na seno posterior apresentamos nossaS prprias criticas [119].

6.1 Crticas passadas aos DRM

A primeira crtica correspondc ao problema das caudas [112], j menciollado no captulo 4. O processo de localizao no pode levar a um pacote de onda

tem, de

infinitamente st1'eito, o que causaria um ganho infinito de energia pelo sistema, por isso GR\V introduziram a gaussiana a fim de limitar o estreitamento

, do pacote. Assim, a funo de onda aps o colapso possui ctnidas e portanto o colapso no total. Ghlral'cli e colaboradores argumentam que os fenmenos

I associados s caudas 11l4, 115] tm probabilidades to pequenas que para ! fins prticos no ocorrem [118]. A falta de preciso desta resposta remove a

principal caracterstica desses modelos que havia levado Bell a dcfcnd-Ios) ou seja, a indicao de que eram capazes de substituir O carter vago da interpretao ortodoxa da menica quntica pela preciso matem.tica,

Alm das caudas no espao de configurao, h tambm caudas no t.empo, uma caracterstica compartilhada pelos modelos de decoerncia e veementemente critcada por Bell [120, 1211 (embora ele no parea ter percebido que tal critica aplicava-se tambm aos DRM). Vrios defensores desses modelos apegam-se a um axioma de Borel [122] para rcsolv(!r o problema,

Ulle should consder t;hl1t nu evcnt witll too smal( fi probnbilit.y wHl neveI' ocCUI',

e esqucccm~se da viso mais moderna, que substitui o uso de pequenas probabilidades para explicar fenmenos irreversveis por dinmicas intrinsecamente irreversveis 1123},

I Cm outro problema1 est relacionado com o conceito de percepo definida e foi primeiramentc analisado por Albcl't e Vaidman 1111J. A crtica

I bascia~se em sistemas de poucas partculas, para os quais a freqncia de colapso do modelo GR"\V no seria capaz de e.""\:plicar o colapso: embora um observador seria capaz de identificar um estado nico para o sistema s de olh-lo. Para Ghirardi et ai !117J este um caso especial, onde a localizao ocorre durante transmiss:o do sinal dentro do sist.ema vIsual do observador, mas antes dele atingir o sistema nmvoso e da a percepo do observador ser definida. Claro que este fi: um caso bastante particular e em geral o sistema macroscpico responSvel pela amplificao no ne

6.2 Nossas crticas

6.2.1 O papel da massa nos DRM

No modelo de Ghrardi, Grassi e Benatti (GGB) [751, que incorpora a massa na equao de Schrdnger modjfkada~ um sistema macroscpico equivale a um sistema com um grande nmero de constituintes e portanto, de acordo com a equao (6J3), grande massa e o processo de reduo o(;orre com a mesma freqncia alta

localizao ocorre numa escala trs vezes maior. Scra mais natural csperar que o mecanismo pudesse distinguir os constituintes na mesma escala em que os localiza, ou seja lO~s em, ou que o parmetro de reduo pudesse ser diminudo, o que no possvel devido aos prob1emas de localizao do centro de massa que sso acarretaria. Uma localizao mais precisa que 1O~$ nn causaria alteraes na estrutura interna de um corpo rgido [5]. Isto toma evidente a natureza teleoJgica deste modelo, que parte de fatos conhecidos sobre a estrutura da matria e os incorpora no formalismo. Note tambm que essa escala dc localizao escolhida de modo a garantir que um observador humano no seja capaz de ver superposies macl'oscpicas] j que ela e mellor que o comprimento de onda da luz visvel, 1O~4 em. 1Jas o que dizer de um dispositivo que usa

desaparecem no clculo da mdia.

6.2.3 A natureza do rudo

o rudo adicionado na equao de SchrOdinger modificada um campo clssico aleatrio. no mnimo frustrante que uma tentativa de ir alm da teoria quntica padro precise invocar uma fonte clssica para jllstificar o colapso, como se os proponentes desses modelos rendessem-se ao prindpio bsico de Bohl") que diz que o aparelho (fonte de reduo) precisa ser cls.

o pior aspecto do rudo sua dependncia na distribuio de probabilidade dada pela funo de onda. Isto implica que ao prepararmo,.'l o sistema preparamos tambm o rudo e que j a todo instante, os infinitos elementos do universo estejam ajustando seus rudos particulares. Os efeitos no locais 1 sempre prscntcs na mecnica quntica j assumem um 1101'0 carter nos DRiM 1 o rudo em torno de um componente de um sistema 'clltanglcd l tambm sofre as correlaes de EPR.

As constantes controvrsias que os DR~d incitam s podero ser de fato resolvidas quando a origem do rudo for finalmente explicada e os parmetros justificados e fixados.

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Captulo 7

Concluso

Nesta tese apresentamos uma interpretao que cumpre bem duas tarefas, a de fornecer uma dinmica para o colapso da funo de onda e a de descrever Q movimento de UlHa partcula subjacente ao colapso. 'lmbm mostramos uma analogia com turbulncia, a qual pode ser bastante til no futuro desenvolvimento das duas reas.

No procP~"so de formulao dessa interpretao, estudamos vrias O!ltras j inclusive a ortodoxa; c di::;cutimos seus problemas. Uma delas1 a interpretao cstocstica de Nelson) foi usada para descrever uma corda bosnica aberta Duma tentativa de formular classicamente os fenmenos na escala de Planck.

Conclumos que nenhuma interpretao da mecnica quntca est livre de crticas c quem sabe no resida em seus problemas os passos pafa a ela~ borao de uma nova teoria mais completa, menos subjetiva c que possa finalmente englobar a gravitao, notvel o rejuvenescido interesse pela mecnica quntica e no s par aqueles que lidam com sua aplicaes ( lnarcante o nmero de trabt,lhos em temas como tcleportao, computadores qunticos, etc) ou seus fundamentos, mas tambm por indivduos que trabalham em rt>.8s bastante distintas como gravitao (Pem-ose, Isham, 't Hooft), cordas e membranas (Susskind, Smolin), sistemas complexos (I

I

I

Apndice AI

I Condio de von N eumann e

base de ponteiro

A.I Condio de von Neumann Vamos dar um. exemplo concreto da relao de comutao introduzida por VOli Neumann {final da seo 2.1) para garantir que o cstado do sistema no mude durante {) processo de medida. Fazemos o tratamento na representao de Hcscnuerg e portanto queremos que o operador no mude durante o procp_"i."'O de medida. Seguimos a explc de Peres [1351.

Considere um sstema cuja hamittniana Hs(x,p) c suponha que quc~ remos medir um observvel Os(:r,p) n tempo tw Para realizar um mcdda ideal l acoplamos o sistema a um aparelho, que lima partcula livre (um ponteiro) de massa AI, coordenada Q c momento P. A hamiltoniuna total assim:

['2 H = Ho(x,p) + 2M +9(t - lo)Os(x,p)P, (A.1)

onde g(t - ta), O acoplamento, muito grande no interwtlo to < t < to +,( c negligendvel em qualquer outro tempo.

Definimos ainda

G = I 9(t - to)dt (;\.2) As equaes de movimento para o ponteiro so assim

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"

. 1 [ , p = -:- P, H = O, (A.3)l_h .

. 1 P Q = .,.[Q, HI = -\{ + 9(t - tojOs. (A.4)

Z/f f '

E a equao de movimento para o observ\'el do slstt>ma P

Os = 1, :Os, Hol. (A.5)ti/' ,

Note portanto que a mudana de Os durante a medida da ordem de f c pode ser negligenciada desde que a medida seja praticament.e instantnea.

Em relao ao obsernivel Q do aparelho, que ao que temos acesso, obtemos

Q(to + c) = Qo + GOs(to} + Ore). (A.6) Da H1(xHda de Q inferimos O valor de o'f:.'>

Claro que tudo isso representa uma idealizao extrema e bastante distante da realidade do laboratrio, As medidas no so instantneas e o aparelho um sjstmna complexo: de maneira que nem a sua hamiltonana c nem a sua hamiltoniana de interao com o sistema so triviais,

A.2 Base de ponteiro l;m outro problema com o sistema composto de 'von r\cumann que a correlao entre o sistema e o aparelho no suficiente para que possamos inferir) da medida feita no aparelho, o valor do observvel do sil)tcma que se deseja medir. O sistema (;omposto isolado no pode determinar qual obscl'vvd dD sistema medido.

Note que tanto podemo.') partir da correlao

LCsls> IA" > (A.7), e dizer que medimos no si$tema o observvel S ;;;;; 2:5,.:8 >< sI, como podemos expressar o estado do aparelho em termos de outra base ortonormal IA, >

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I 'I,

L c,15 > IA, >= L IA" > L c, < AIA, > 18 >= L d"IA" > :1' > (A8), , , , c dizer que medimos o observvel R = E .. !r!r >< ri,

O aparelho, devido correlao com o sistema) contm informao sobre o observvel S, mas tambm sobre o observvel R j que pode at mesmo no comut.ar com S - O que estaria em contradio com a mecnica qlll1tca, Como determinar ento a base de ponteiro (ou 'pointcr basis l ) nica, a base do aparelho que contm o observvel medido do sistema? O modelo de decoerncia [23~ recorre interao do aparelho com o ambient para responder essa pergunta.

Quando a hamiltoniana do aparelho Htl e a hamHtouiua de interao do aparelho com o ambiente Hi1!! comutam com o ob!mrvaveJ o.,.j do aparelho,

1 este particular observvel no pctturbado. Apenas a bHse consistindo dos amo-estados de OA - o 'pointcr basis' - conter nada mais alm de informao sobre o sistema. E aps fazer {) trao sobre o ambiente, a matriz dc dcnsidade di