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FNC0376 - Fisica Moderna 2 Aula 6

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Física Moderna II - FNC376

Profa. Márcia de Almeida Rizzutto1o. Semestre de 2008

Universidade de São PauloInstituto de Física


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Interação spin-órbita

Definimos o momento angular total do átomo, pela soma dos vetores momento angular orbital e de spin:

SLJrrr

+=

Queremos olhar:momento de dipolo magnético de spin eletrônico

interação entre o

o campo magnético interno de um átomo de um elétron (momento angular do elétron)

interação spin-órbita relativamente fraca relativamente fraca e responsável em parte pela estrutura fina dos estamos excitados dos átomos de um elétron.Mas é relativamente forterelativamente forte para átomos com muitos elétrons

Lr

Sr


3

Interação entre o momento de dipolo magnético intrínseco do elétron (spin) e o campo magnético produzido pelo movimento orbital.

Elétron

Núcleo

⇒

⇒

Referencial do e- o núcleo carregado se movimenta em torno do e- e esta dentro de um anel de corrente que produz B

Campo que o e- sente


4

lembrando que⇒

Voltando à expressão para o campo magnético:

Ou seja, um campo magnético é gerado, na posição do elétron, pelo seu movimento orbital. Como o elétron tem um momento de dipolo magnético de spin, aparece uma energia de interação entre eles. A energia potencial magnética é:

Substituindo os valores para µs e de B, teremos:

Substituindo os valores de µB e gs

e

onde:

rvmvmrLrrrrr

×−=×=

hme

B 2=µ gs = 2 fator g do spin

Sg Bss

r

h

r µµ −==∆E

=∆E


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Podemos também escrever em termos do potencial coulombiano:

2220

2

21

4 cmrrZeVE

eSL

LS ⋅==∆

πε LS ⋅=dr

rdVrcme

)(12

12

Bons números quânticos:

Estado com ℓ = 1 emℓ = 1, com os vetores L e S orientados ao acaso e no qual mℓ e mssão bons números quânticos.

Energia da interaEnergia da interaçção spinão spin--óórbitarbita

Se não existisse a interação spin-órbita, os momentos angulares orbital, L, e de spin, S, do elétron seriam independentes. Isto é, ambos os vetores precessariam aleatoriamente em torno do eixo z, mantendo constantes suas intensidades e componentes (L,Lz,S e Sz).

=∆E

Aí temos que voltar para o referencial do CM e isso requer mais uma transformação relativística para a velocidade, que introduz um fator ½ (precessão de Thomas). Assim, ficamos:


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No entanto existe a interação spin-órbita. O campo magnético forte (orientação dada por L) atua sobre o elétron e produz um torque sobre seu momento de dipolo magnético de spin. Este torque não muda a intensidade de S, mas faz uma força de acoplamento entre L e S fazendo a orientação de um depender do outro.

O acoplamento spin-órbita faz com que os vetores L e S precessionem em torno de J (que é a soma de S e L). Nesse caso, os bons números quânticos passam a ser j e mj.

23=j

j = 5/2

Estado com ℓ = 2 e s = ½ temos: j = ℓ + s =5/2mj = -5/2,-3/2,-1/2,1/2,3/2,5/2 ouj = ℓ - s =3/2mj = -3/2,-1/2,1/2,3/2


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No caso quântico, a combinação é entre vetores que têm módulo e orientação quantizados. O vetor soma resultante, J, também é um momento angular quântico, portanto as grandezas J2 e Jz devem obedecer as mesmas regras que suas similares L e S obedecem. Assim:

( ) jz mJjjJ hh =+= e 122

A adição dos 2 vetores quantizados, L e S, para produzir J, fornece apenas 2 possibilidades para j: j = ℓ + ½ ou j = ℓ – ½

Representação simbólica da soma . Os desenhos simbolizam os 2 possíveis resultados: ℓ + ½ou ℓ – ½

SLJrrr

+=


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Energia de interação spin-órbita e os níveis de energia do HVimos que:

Lembrando da constante de estrutura fina: podemos reescrever:

Lembrando também que:

Temos: , de forma que o valor esperado dessa grandeza, para um estado , fica:

jjmnlΨ

Vimos também, que:Lembrando que o raio de Bohr pode ser escrito em termos da constante de estrutura fina, ficamos com:

s=s(s+1)=1/2(1/2+1)


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Podemos também usar a energia de Rydberg:

E obtermos:

A diferença de energia entre estados com j = ℓ + ½ ou com j = ℓ - ½ é:

Que me dá o alargamento em função de E0 e pode ser aplicada para ℓ 0≠

me dá aberturaspin-órbita


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Níveis de energia Enj para um átomo mono-eletrônico. Cada escolha de n e j dá um par de estados degenerados nLj com 2 valores diferentes de ℓ. Deslocamentos exagerados! As regras de seleção devem satisfazer as seguintes condições:

ou

ou e

n ℓj = ℓ + ½

j = ℓ - ½

j=0 para j´ = 0 viola a conserv.

de momento angular e não é

permitida


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Vamos calcular os desvios dos níveis devido a interação spin-órbita para o estado 2p do átomo

estado 2p ⇒ n=2 e ℓ =1

j = ℓ - ½ = 1/2

j = ℓ + ½ = 3/2 483.2.180

24432

415

0

24 EZEZVSLαα

==−−

243.2.180

24432

43

0

24 EZEZVSLαα

−==−−

para o H (Z=1)

JeVxeVEEESL235

20

2

02 101053.4

)137(166.13

16241

481 −− ≈===

+=

ααδ


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Estamos percebendo que o valor deste desvio entre os níveis de energia é pequeno, mas como

depende de Z, veremos que a energia de interação spin-órbita aumenta rapidamente com valores crescentes de Z

veremos isto quando trabalharmos com átomos complexos

Percebemos que o valor de ~10-5 eV~10-23J esta de acordo com a separação necessária para explicar a estrutura fina das linhas do espectro de H.

=∆E223

B .10 mAmps−≈≈ µµ

(J/T) mA 109274,0 223−×=Bµ

E quanto é o campo interno devido ao movimento do núcleo( e-)???

TeslamAmp

JB 1.10

10223

23

≈≈ −

−


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Efeito Zeeman – finalVimos que um campo magnético externo interage com o momento de dipolo magnético do átomo: BVM

rr⋅−= µ

Mas tanto o momento de dipolo magnético orbital quanto o de spin contribuem para o total:

( )SLbs

rr

h

rrrl 2+−=+=

µµµµ O deslocamento em energia de um particular estado atômico é dado pelo valor esperado:

BV zM µ−= Essa expressão assume a escolha usual para o eixo zcoincidindo com B, mas isso exige que se avalie nesse referencial. Aí aparecem os problemas.

zµ

Precessão em torno de J

Precessão em torno de B

µ e J não são colineares!

gℓ=1 e gs =2 são diferentes!

Br

SLJrrr

+=

sµµµ rrrl +=

θcosJJ z =

h

r

h

rr SgLg bsbl µµµ −−=

θµµµµ cosBJJz ⊥⊥ ++=


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2p3/2

1s1/2

2s1/2 2p1/2

Transições elétricas dipolares ocorrem de 2p3/2 e 2p1/2 para 1s1/2 obedecendo regra de

seleção:

1±0=∆ jm ou


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Se os átomos de H foram excitados para níveis de energia mais altos (através de colisões com elétrons energéticos num tubo de descarga de gás), eles espontaneamente farão transições para níveis de energia mais baixo.Cada transição entre dois níveis, será emitido um fóton

hEE 12 −=ν

As freqüências discretas emitidas por todas as transições que ocorrem constituem as “linhas” do espectro, mas a emissão de fótons apenas ocorrem entre transições com níveis de energia cujos números quânticos obedecem as regras de seleção:

1,01±=∆

±=∆jl


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Para compararmos os níveis de energia experimentais do átomo de H com as previsões do modelo é preciso ainda fazer as correções relativísticas da interação spin-órbita e da dependência da massa com a velocidadeTeoria de Dirac

( )

+

++−=

njnneE

43

2/111

24

2

2220

4 απε

µh

µ massa reduzida do elétron α constante de estrutura fina (1/137)

Na realidade estes níveis de energia do H para Sommerfeld e Dirac foram deslocados em relação aos níveis de Bohr e foram ampliados de um fator (137)2

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