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Através de um programa comercial, é possível simular o comportamento de novos materiais.

Neste trabalho, utiliza-se o programa comercial MSC Marc Mentat para implementar o modelo

constitutivo baseado em superfícies de resposta NURBS, para o estado plano de tensão. Este

modelo é utilizado para representar o comportamento de materiais que não obedecem

às leis constitutivas clássicas.

Orientadora: Marianna Ansiliero de Oliveira Coelho

Coorientador: Pablo Andrés Muñoz-Rojas

Joinville, 2016

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

MODELO MATERIAL BASEADO EM SUPERFÍCIES NURBS APLICADO AO PROGRAMA COMERCIAL MSC MARC MENTAT

ANO 2016

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

PRISCILA WARSCH

JOINVILLE, 2016

PRISCILA WARSCH

MODELO MATERIAL BASEADO EM SUPERFÍCIES NURBSAPLICADO AO PROGRAMA COMERCIAL MSC MARC

MENTAT

Dissertação de Mestrado apresentada

ao Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Mecânica do Centro de

Ciências Tecnológicas da Universidade

do Estado de Santa Catarina como parte

dos requisito para a obtenção do Título

de Mestre em Engenharia Mecânica.

Orientadora: Marianna Ansiliero de

Oliveira Coelho

Coorientador: Pablo Andrés Muñoz-

Rojas

JOINVILLE, SC2016

W295m Warsch , Priscila

Modelo material baseado em superfícies NURBS aplicado ao programa comercial

MSC Marc Mentat / Priscila Warsch . – 2016.

106 p. : il ; 21 cm

Orientadora: Marianna Ansiliero de Oliveira Coelho

Bibliografia: 93-97.

Dissertação (mestrado) – Universidade do Estado Santa Catarina, Centro de

Ciências Tecnológicas, Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Mecânica,

Joinville, 2016.

1. Engenharia mecânica. Modelo Material. Superfície NURBS. MSC Marc

Mentat. I. Coelho, Marianna Ansiliero de Oliveira. II. Universidade do Estado Santa

Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Mecânica. III. Título.

CDD 620.1 – 23.ed.

Agradecimentos

Este trabalho é a realização de um sonho! Pela oportunidade, ori-entação, paciência e amizade, meus sinceros agradecimentos à ProfessoraMarianna Ansiliero de Oliveira Coelho. Agradeço também ao professor Pa-blo Andrés Muñoz-Rojas por todas as sugestões e empenho.

Aos demais professores do Programa de Pós-Graduação em Enge-nharia Mecânica agradeço pelos conhecimentos transmitidos, em especialao Professor Eduardo Lenz Cardoso por estar sempre disposto a ajudar.Agradeço ao Cleomir Waiczyk por sua eficiência e apoio.

Agradeço a todos os colegas da Griffith University, principalmenteao Professor Andreas Oechsner pelo suporte e ao Zia Javanbakht peloauxílio e paciência.

Agradeço à CAPES e à UDESC pelo suporte financeiro e institu-cional destinados a esta pesquisa.

Aos amigos do LAMEC, agradeço pela motivação constante du-rante o desenvolvimento científico. Em especial, ao grande amigo que fiznessa caminhada, Bruno Guilherme Christoff.

Agradeço aos meus amigos e a todos que de forma direta ouindireta participaram dessa conquista.

Agradeço, imensamente, à minha família por todo carinho, com-preensão, incentivo e amor.

Resumo

WARSCH, Priscila. Modelo material baseado em superfícies NURBSaplicado ao programa MSC Marc Mentat. 2016.

Novos materiais são criados para atender diversas áreas da indústria emuitas vezes a análise numérica utilizando um programa computacionalé necessária para simular o comportamento destes materiais. Para isso, énecessário a utilização de modelos constitutivos que consigam representaro comportamento destes materiais. Neste trabalho, utiliza-se o programacomercial de elementos finitos MSC Marc Mentat para implementar ummodelo de material que não é representado por leis constitutivas clássicas.O programa é reconhecido como um dos principais programas para análisenão-linear de elementos finitos desde a década de 70, e disponibiliza aousuário diversas subrotinas que possibilitam a implementação de novosmodelos constitutivos. A fase inicial deste trabalho começou na GriffithUniversity, onde há o dominio do uso de subrotinas no MSC Marc Mentat,sob a orientação do professor Andreas Öchsner. O modelo de materialde Ogden baseado nas direções principais, utilizado para materiais comcomportamento não-linear, é implementado e, os resultados encontradosestão de acordo com exemplos consolidados na literatura. Propõe-se aimplementação do modelo constitutivo baseado em superfícies de respostaNURBS para o estado plano de tensão. As superfícies NURBS são utilizadaspara representar a interação entre as tensões principais e as deformaçõesprincipais. O modelo é implementado e aplicado para diferentes exemploscom o objetivo de validar a análise numérica. Os resultados encontradoscom a subrotina implementada apresentaram-se muito satisfatórios.

Palavras-chave: Modelo Material. Superfície NURBS. MSC Marc Mentat.Método dos Elementos Finitos.

Abstract

WARSCH, Priscila. Material model based on NURBS surface applied toMSC Marc Mentat program. 2016.

New materials are created to attend several industry areas and it is oftenrequired a numerical analysis using a software in order to simulate the be-havior of these materials. To represent the behaviour of these materialsa constitutive model is necessary. This work is applied in a finite elementsoftware, called MSC Marc Mentat, in which a material model that is notrepresented by classical constitutive laws is implemented. The MSC MarcMentat is known as one of the main software for nonlinear analysis of fi-nite element methods since the decade of the 70’s, and it provides the usersome subroutines that enable the implementation of new constitutive mod-els. This work began at Griffith University, where the use of subroutines inthe MSC Marc Mentat is well established, under the guidance of Profes-sor Andreas Öchsner. The Ogden’s material law is implemented, which isformulated in terms of the principal values of right stretch tensor and isused for materials with nonlinear behaviour. The results obtained are thesame showed in consolidated examples in the literature. The implementa-tion of a constitutive model based on NURBS surfaces for plane stress isproposed. NURBS surfaces are used to represent the interaction betweenstresses and strains. This model is implemented and applied on differentexamples for numerical analysis validation. The results obtained with thesubroutine implementation show a good agreement with the literature.

Key-words: Material Model. NURBS Surface. MSC Marc Mentat. FiniteElement Method.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Ensaios de tração biaxial . . . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 2 – Deformação de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . 22Figura 3 – Elemento bilinear isoparamétrico de quatro nós . . . . 27Figura 4 – Curva B-spline e pontos de controle . . . . . . . . . . 32Figura 5 – Superfície B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 6 – Pontos de controle e curva NURBS . . . . . . . . . . . 38Figura 7 – Rede de pontos de Controle . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 8 – Superfície NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Figura 9 – Relação Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Figura 10 – Características do comportamento tensão-deformação

de um material elástico linear . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 11 – Características do comportamento tensão-deformação

de um material elástico não-linear . . . . . . . . . . . . 47Figura 12 – Fluxograma para obter o tensor constitutivo para estado

plano de tensões e as tensões baseado em superfíciesNURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 13 – Subrotinas utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 14 – Subrotina para calcular os parâmetros locais, u e v. . . 56Figura 15 – Subrotina para avaliar um ponto específico na superfície

NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 16 – Subrotina para avaliar o gradiente de uma superfície

NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 17 – Sequência dos procedimentos para a obtenção dos re-

sultados utilizando subrotinas no programa comercialMSC Marc Mentat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 18 – Subrotina HOOKLW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 19 – Geometria, discretização da malha, condições de con-

torno e aplicação da carga . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 20 – Deslocamento versus Carregamento . . . . . . . . . . 63Figura 21 – Resultados da tensão na direção x, S11 . . . . . . . . 64Figura 22 – Resultados da tensão na direção y, S22 . . . . . . . . . 65Figura 23 – Fluxograma da implementação do modelo de Ogden . . 67Figura 24 – Subrotina HYPELA2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Figura 25 – Geometria, discretização da malha, condições de con-

torno e aplicação da carga . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 26 – Deslocamento versus Carregamento . . . . . . . . . . 70Figura 27 – Resultados da tensão na direção x, S11 . . . . . . . . 71Figura 28 – Resultados da tensão na direção y, S22 . . . . . . . . . 71Figura 29 – Superfícies NURBS para o modelo linear elástico . . . . 73

Figura 30 – Modelo de viga longa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 31 – Deslocamento na direção y versus Carregamento para

o exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Figura 32 – Resultados da tensão na direção x, S11, na região pró-

xima ao engaste para o exemplo 1 . . . . . . . . . . . 75Figura 33 – Resultados numéricos da tensão na direção x, S11 para

o exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Figura 34 – Modelo de membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Figura 35 – Deslocamentos versus Carga para o exemplo 2 . . . . . 77Figura 36 – Resultados da tensão na direção x, S11, para o exemplo 2 78Figura 37 – Resultados da tensão na direção y, S22, para o exemplo 2 79Figura 38 – Modelo de membrana com carga biaxial . . . . . . . . 80Figura 39 – Deslocamento versus Incremento para o exemplo 3 . . 81Figura 40 – Resultados da tensão na direção x, S11 para o exemplo 3 82Figura 41 – Resultados da tensão na direção y, S22 para o exemplo 3 83Figura 42 – Resultados numéricos da tensão na direção x, S11 para

o exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Figura 43 – Resultados numéricos da tensão na direção y, S22 para

o exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Figura 44 – Modelo de barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Figura 45 – Deslocamento versus Carregamento para o exemplo 4 . 87Figura 46 – Resultados das tensões na direção x, S11, para o exem-

plo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Figura 47 – Resultados das tensões na direção y, S22, para o exem-

plo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Figura 48 – Superfícies NURBS para material Neo-Hookeano . . . . 90Figura 49 – Modelo discretizado em elementos finitos . . . . . . . . 91Figura 50 – Selecionar diretório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Figura 51 – Adição de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Figura 52 – Selecionar subrotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 MECÂNICA DO CONTÍNUO . . . . . . . . . . . . 212.1 CINEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 MEDIDA DE DEFORMAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . 222.3 MEDIDA DE TENSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 LINEARIZAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL . . . . . . 242.5 DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS . . . . 262.6 ELEMENTO QUADRILATERAL . . . . . . . . . . . . 27

3 NURBS - B-SPLINE RACIONAIS NÃO-UNIFORMES 293.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 PRODUTO TENSORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 FUNÇÃO DE BASE B-SPLINE . . . . . . . . . . . . . 313.4 DEFINIÇÃO DE CURVA B-SPLINE . . . . . . . . . . . 313.5 DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE B-SPLINE . . . . . . . . 343.6 DEFINIÇÃO DE CURVA NURBS . . . . . . . . . . . . 373.7 DERIVADAS DAS CURVAS NURBS . . . . . . . . . . 383.8 DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE NURBS . . . . . . . . . 393.9 DERIVADAS DAS SUPERFÍCIES NURBS . . . . . . . 41

4 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL . . . . . . 454.1 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL LINEAR ELÁS-

TICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL HIPERELÁS-

TICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1 Modelo de Mooney-Rivlin . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Modelo Neo-Hookeano . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.3 Modelo de Ogden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL BASEADO EM

SUPERFÍCIES DE RESPOSTA NURBS . . . . . . . . . 504.3.1 Modelo Baseado em Superfícies NURBS para as

direções principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 PROGRAMA MARC MENTAT . . . . . . . . . . . 595.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: LEI DE HOOKE . . . . . 615.2.1 Subrotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14 SUMÁRIO

5.2.3 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO DE OGDEN . 655.3.1 Subrotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.2 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3.3 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO BASEADO EM

SUPERFÍCIES DE RESPOSTA NURBS . . . . . . . . . 725.4.1 Subrotina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.2 Linear Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.2.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4.2.2 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.2.3 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4.2.4 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.2.5 Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4.2.6 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.2.7 Exemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4.2.8 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.4.3 Hiperelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.4.3.2 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

APÊNDICES 101

APÊNDICE A – DEDUÇÃO DA COMPONENTEdS12

2dE12

. . . . . . . . . . . . . . . . 103

APÊNDICE B – TUTORIAL PARA COMPILAR UMASUBROTINA NO MARC MEN-TAT . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

15

1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento de novos materiais para aplicações diversas é oobjetivo de muitos pesquisadores em todo o mundo. Para que seja possívela aplicação de um material, é importante conhecer o seu comportamentona função para a qual ele foi desenvolvido. Para isso, pode-se realizar umasimulação numérica com as condições em que o material será submetido.

Neste processo é necessário a classificação do material em umalei constitutiva que represente corretamente seu comportamento. Porém,novos materiais, normalmente, não obedecem a leis constitutivas clássi-cas. Sendo assim, apresenta-se o estudo realizado a fim de obter umametodologia para incluir modelos materiais não convencionais, que pos-sam representar o comportamento de novos materiais, em um programacomercial.

Muitos estudos dentro da mecânica computacional têm sido re-alizados com o amparo de programas comerciais, por exemplo ANSYS,Manual (1998), ABAQUS, Hibbitt, Karlsson e Sorensen (2001), e os quepertencem a empresa MSC Software, NASTRAN, MacNeal (1970) e MSCMarc Mentat, Mentat (2013).

As subrotinas disponíveis nesses programas oferecem ao usuário apossibilidade de implementar condições diferentes das oferecidas nas inter-faces dos programas. Neste trabalho, utiliza-se o programa comercial MSCMarc Mentat.

Este programa tem sido reconhecido como um excelente programapara análise não linear de elementos finitos a partir de meados da década de70. O programa contém um sistema de programas integrados que facilitama análise de problemas de engenharia nos campos de mecânica estrutural,transferência de calor e magnetismo.

Ambroziak (2005) apresenta o uso de subrotinas no programa deelementos finitos MSC Marc Mentat e, aponta a vantagem de trabalharcom subrotinas num problema particular, podendo-se alterar somente asequações constitutivas. O objetivo principal do artigo é propor um procedi-mento para a análise estática e dinâmica de estruturas de engenharia civil,como treliças, vigas e estruturas espaciais. Para essas estruturas, o autoraplica o modelo constitutivo elastoviscoplástico de Chaboche, Chabocheet al. (1989), para mensurar dano.

Um problema com membranas de cobertura submetidas à vari-ações climaticas é apresentada no trabalho de Ambroziak (2006). Neste

16 Capítulo 1. INTRODUÇÃO

estudo, o autor aplica sua implementação através de uma subrotina ao pro-grama MSC Marc Mentat para simular o comportamento desta membranacom cargas climáticas, cargas de vento e forças de protensão. Esta subro-tina, será apresentada e empregada neste trabalho para a implementaçãodo exemplo da Lei de Hooke.

Outro exemplo com a aplicação de subrotinas é apresentado notrabalho de Lu et al. (2008). Os autores utilizam uma subrotina que podedesativar qualquer elemento da estrutura com algum critério de falha de-finido pelo usuário. No problema proposto, toda a estrutura analisada éafetada em partes distintas, com isso, os elementos estruturais que fa-lham, quando excedem o critério de deformação, são desativados. Após ocolapso, verifica-se o estado da estrutura.

Outros trabalhos que utilizam subrotinas do programa comercialMSC Marc Mentat são: Tao e Nie (2015), Demirci e Tönük (2014), Sch-mocker et al. (2010) e Fiedler, Oechsner e Grácio (2006).

Para simular o comportamento de uma estrutura, é necessário co-nhecer as não linearidades que podem ocorrer. Uma importante fonte denão linearidade é o efeito de grandes deslocamentos na configuração geo-métrica das estruturas. Quando estruturas sofrem grandes deslocamentospodem ter mudanças significativas em sua geometria que podem fazer comque a estrutura responda de maneira não linear, como descrito em Reddy(2014).

Outra fonte importante de não linearidade é a não linearidadedo material, e surge da relação não linear entre tensão e deformação,reconhecida em vários materiais. Diversos fatores podem fazer com queo comportamento do material seja não linear. A dependência da relaçãotensão-deformação no histórico de cargas em problemas de plasticidade, aduração da carga em análises de fluência, e a temperatura na termoplasti-cidade, são alguns desses fatores, segundo Weber e Verma (2015). Nestetrabalho, as não linearidades geométricas e não linearidades do materialsão consideradas.

As NURBS, Non Uniform Rational Basis Spline (B-spline Racio-nais Não Uniformes), são um modelo matemático usado para gerar e re-presentar curvas e superfícies. Oferece grande flexibilidade e precisão paraa manipulação de formas, seja de maneira livre ou analítica. Seu desen-volvimento teve início na década de 50 por engenheiros que precisavamde uma representação matemática para superfícies. Inicialmente, NURBSforam utilizadas em pacotes de CAD, Computer Aided Design, utilizadosem diversas áreas, para facilitar o projeto e desenhos técnicos. Atualmente,

17

as vantagens de trabalhar com NURBS deve-se à eficiência computacionalda formulação, à sua capacidade para representar as funções não-linearese oferecer um método conveniente para a fusão de dados.

Aplicar as NURBS como funções de base para a análise de ele-mentos finitos foi introduzida por Hughes, Cottrell e Bazilevs (2005), eé nomeada de análise isogeometrica. O autor aplica as funções de baseNURBS para construir o modelo geométrico com exatidão e realiza a aná-lise nos pontos de controle das NURBS. A partir disto, tornou-se possívelanalisar estruturas utilizando a geometria exata do modelo de design CAD(Computer Aided Design), independentemente da densidade da malha. Hámuitas semelhanças com o método dos elementos finitos, mas a principaldiferença entre eles é conseguir representar a geometria exata por meiode elementos NURBS. Os exemplos numéricos apresentados tem ótimastaxas de convergência para problemas de elasticidade linear em soluçõesde cascas finas.

No trabalho de Sanchez, Serna e Morer (2006), a utilização dasNURBS é aplicada para obter a representação final do projeto de umamembrana estrutural submetida a tração. É possível modificar o tamanhoda malha, os parâmetros de ajuste das superfícies NURBS e os pontos decontrole. A principal vantagem deste método é o tempo necessário paraconseguir qualquer forma geométrica, pois o processo é realizado de formasimples e em tempo real.

Aplicações utilizando NURBS em problemas de vibração estrutu-ral, são apresentados em Cottrell et al. (2006). O artigo expõe uma revisãodos fundamentos da análise isogeometrica e a aplicação das NURBS é feitapara vários modelos estruturais, como vigas finas, membranas e placas fi-nas. Um modelo geometricamente exato é construído onde frequências emodos de vibração são calculados e comparados com os resultados expe-rimentais.

No presente trabalho, utiliza-se as superfícies NURBS como super-fícies de resposta. Essas superfícies contêm uma nuvem de pontos com asinformações das tensões e deformações obtidas em ensaios de tração biaxialem membranas. Um exemplo de ensaio biaxial em membrana é apresen-tado na figura 1. Com esses dados e a implementação de uma subrotina emlinguagem Fortran 77 no programa comercial MSC Marc Mentat, pode-secalcular a matriz constitutiva e as tensões do material ensaiado.

A principal vantagem do modelo material baseado em superfíciesde resposta é utiliza-lo em novos materiais e conhecer o seu comporta-mento sem precisar classifica-lo em uma lei constitutiva. Este método foi


desenvolvido para o estado plano de tensão, podendo ser aplicado em mem-branas, vigas e placas finas (COELHO; ROEHL; BLETZINGER, 2016).

Figura 1 – Ensaios de tração biaxialFonte: Dinh et al. (2014)

OBJETIVO

O objetivo deste trabalho é implementar modelos constitutivosnão convencionais em subrotinas disponibilizadas pelo programa comercialde elementos finitos MSC Marc Mentat.

Para alcançar o objetivo principal deste trabalho, aplica-se ao pro-grama comercial exemplos já estabelecidos na literatura com o modelomaterial de Ogden baseado nos alongamentos principais e o modelo ma-terial baseado em superfícies de resposta NURBS. Após isto, os mesmosexemplos são simulados através de subrotinas, com os cálculos do ten-sor constitutivo e atualização das tensões implementados pela autora eprocessados pelo mesmo programa comercial.

A implementação computacional é efetuada através de algoritmosrobustos e estáveis, para evitar problemas numéricos associados à não line-aridade envolvida. As subrotinas estão escritas em linguagem Fortran 77 e,são interpretadas pelo programa de análise não linear MSC Marc Mentat.

19

Objetivos Específicos

A fim de alcançar o objetivo geral acima citado, propõe-se atingiros seguintes objetivos específicos:

• Estudo e domínio do uso de subrotinas aplicadas ao programa co-mercial MSC Marc Mentat;

• Estudo dos modelos constitutivos convencionais e não convencionais;

• Implementação e validação do modelo de Ogden baseado nos alon-gamentos principais;

• Implementação do modelo material baseado em superfícies de res-posta NURBS;

• Validação do modelo linear elástico aplicado ao modelo material ba-seado em superfícies de resposta NURBS.

Estrutura do Trabalho

O presente trabalho está dividido em cinco capítulos. No capítulo1, a cinemática, as medidas de deformação e tensão de sólidos utiliza-das neste trabalho, são apresentadas com base na teoria da mecânica docontínuo. O elemento utilizado, a discretização em elementos finitos e alinearização do trabalho virtual também é demonstrada neste capítulo.

O capítulo 2, contém uma breve introdução sobre as B-splinese sobre as NURBS. Os conceitos envolvidos na formulação do produtotensorial, das funções de base para B-splines e para as NURBS, a defini-ção de curvas e superfícies NURBS, o cálculo das derivadas, também sãoapresentados neste capítulo.

No capítulo 3, realiza-se uma descrição dos modelos constitutivosmateriais abordados neste trabalho. Neste capítulo, descreve-se a formu-lação a ser utilizada para a implementação do novo modelo de materialbaseado em superfícies NURBS.

O funcionamento do programa MSC Marc Mentat, as subrotinase a implementação computacional são apresentados no Capítulo 4, ondeos modelos constitutivos são incorporados ao programa comercial atravésde subrotinas. Os resultados obtidos com a implementação dos modelosconstitutivos não convencionais são expostos.


Finalmente, no Capítulo 5 encontram-se as conclusões, conside-rações finais do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.

———————————————————

21

2 MECÂNICA DO CONTÍNUO

Neste capítulo, apresenta-se uma revisão dos principais conceitosde mecânica do contínuo. O estudo detalhado para a aplicação da mecânicado contínuo na engenharia pode ser encontrado em Malvern (1969), Bonete Wood (1997), Shabana (2011), Neto, Peric e Owen (2011), Chaves(2013), entre outros.

O presente trabalho deu ênfase ao caso particular de estado planode tensão. Portanto, toda a formulação será desenvolvida para essa condi-ção, bem como os exemplos de validação.

2.1 CINEMÁTICA

Cinemática é o estudo da deformação e do movimento de umcorpo, como definido em Bonet e Wood (1997). As grandezas associadasa um corpo em movimento podem ser descritas por um campo material,denominado Lagrangeano, e por um campo espacial, denominado Euleri-ano.

Conforme a configuração do sistema de referência adotado, a des-crição Lagrangeana pode ser realizada usando três formulações particula-res. Na descrição Lagrangeana Total, para qualquer passo incremental, aconfiguração inicial é adotada como a referência. Para a descrição Lagran-geana Atualizada, no n-ésimo passo incremetal, a referência é a configu-ração no estado de equilíbrio anterior. Por fim, na descrição LagrangeanaCorrente, no n-ésimo passo incremental, a referência adotada é a mesman-ésima configuração. Neste trabalho, a formulação será baseada na des-crição Lagrangeana Total.

A configuração Euleriana foi introduzida por McMeeking e Rice(1975), no qual é aplicada em problemas com grandes deformações emanálises elastoplásticas. Segundo Crisfield (2012), a formulação "Euleri-ana", utilizada entre parênteses pois a terminologia tem origem discutível,é frequentemente utilizada em dinâmica computacional de fluídos, no qualo material se move através de uma malha. Aplicado aos sólidos, o proce-dimento Euleriano acompanha o percurso de uma partícula específica domaterial e, nesse sentido, o método é Lagrangeano Corrente, em que aconfiguração de referência é a configuração atual.

Apresenta-se na figura 2 um corpo em um estado inicial e apósa aplicação de deformações. Na configuração Lagrangeana Total, confi-

22 Capítulo 2. MECÂNICA DO CONTÍNUO

guração de referência é definida no estado 1 e os estados 2 e 3 são asconfigurações atuais. Para a descrição "Euleriana", a configuração de refe-rência é atualizada, ou seja, após aplicar a primeira deformação, o estado1 será a inicial e a configuração atual é o estado 2. Quando aplica-se a de-formação novamente, o estado 2 torna-se a configuração inicial e o estado3 a configuração atual.

X2

X3

X1

x1

x2

x3

1

23

F21

F32

Figura 2 – Deformação de um corpoFonte: A autora baseada em Neto, Peric e Owen (2011)

Utiliza-se o gradiente de deformação F para transformar a con-figuração de referência para a configuração atual, onde x é a posição dereferência e X é a posição atual,

F =∂x

∂X. (2.1)

2.2 MEDIDA DE DEFORMAÇÃO

Qualquer corpo não-rígido deforma quando ele está submetido aforças externas. A deformação é chamada elástica se é reversível e indepen-dente do tempo, ou seja, quando as forças são removidas a deformaçãodesaparece instantaneamente. A deformação reversível e dependente dotempo é conhecida como viscoelástica. Neste caso, a deformação aumentacom o tempo após aplicação de carga e diminui lentamente depois que acarga é removida. A deformação plástica é irreversível ou permanente.

2.2. MEDIDA DE DEFORMAÇÃO 23

Deformação, na mecânica do contínuo, é a transformação de umcorpo a partir de uma configuração de referência para uma configuraçãocorrente. Pode-se expressar um campo de deformação em relação à confi-guração inicial ou em relação a configuração final do corpo.

Na descrição Lagrangeana, o tensor deformação de Green-Lagrangeé dado por

E =1

2(C − I). (2.2)

C, é denominado tensor direito de Cauchy-Green e, definido como

C = F T F = UT RT RU , (2.3)

onde, R é o tensor de rotação ortogonal. Sendo,

RT R = I, (2.4)

obtém-se

C = UU = U2, (2.5)

onde, U é simétrico e denominado o tensor alongamento.

O tensor direito de Cauchy-Green pode ser escrito na representa-ção espectral como

C =2∑

i=1

λiMi, (2.6)

onde, λi são os alongamentos principais e Mi as autoprojeções que estãorelacionadas com os autovetores.

Com os autovetores é possível calcular os valores de sen2φ, cos2φ

e senφcosφ:

M1 =

[cos2φ cosφsenφ

cosφsenφ sen2φ

](2.7)

M2 =

[sen2φ −cosφsenφ

−cosφsenφ cos2φ

], (2.8)

onde, φ é o ângulo entre a posição atual e a posição inicial. Portanto, aequação 2.2 pode ser reescrita como

E =1

2(

2∑

i=1

λiMi − I). (2.9)


2.3 MEDIDA DE TENSÃO

Na mecânica dos meios contínuos, a medida de tensão é definidacomo a intensidade das forças internas agindo entre as partículas de umaseção transversal imaginária em um corpo de material deformável. Essasforças internas são forças de reação contra as forças externas aplicadasno corpo. Como o corpo deformável carregado é admitido como contínuo,as forças internas são distribuídas continuamente pelo volume do corpomaterial, ou seja, a distribuição de tensões é expressa com uma funçãocontínua de coordenadas espaciais e temporais (REDDY, 2010).

A medida de tensão pode ser definida com relação à configuraçãodeformada ou indeformada. Na medida Euleriana é baseada na configu-ração deformada, utilizando-se o tensor tensão de Cauchy baseado emcoordenadas espaciais. Neste trabalho, considera-se a configuração inde-formada como referência. Com isto, pode-se utilizar um dos tensores dePiola-Kirchhoff.

A relação do Primeiro tensor de Piola-Kirchhoff, P , com o tensorgradiente de deformação, F , e o tensor tensão de Cauchy, σ, é dada por

P = JσF −T , (2.10)

onde, J é o jacobiano da deformação, que é dado pela relação entre ovolume do corpo antes e depois da deformação, definido pelo determinantedo tensor gradiente de deformação.

O primeiro tensor de Piola-Kirchhoff é um tensor não-simétrico,desta forma não é muito aplicado no método dos elementos finitos.

Devido à dificuldade de se trabalhar com um tensor assimétrico,utiliza-se o Segundo tensor de Piola-Kirchhoff, S, no qual a força sofre umatransformação de direção assim como a área, sendo um tensor consistentecom a configuração inicial (BONET; WOOD, 1997). O Segundo tensor dePiola-Kirchhoff é definido por

S = JF −1σF −T , (2.11)

e, é o par conjugado do tensor deformação de Green-Lagrange.

2.4 LINEARIZAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL

O principio dos trabalhos virtuais é usado para estabelecer as con-dições de equilíbrio nas analises estáticas. Como apresentado em Zienki-

2.4. LINEARIZAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL 25

ewicz e Taylor (2000), esse princípio estabelece o equilíbrio de um corpopara quaisquer pequenos deslocamentos impostos ao corpo em seu estadode equilíbrio, ou seja, o trabalho interno total é igual ao trabalho externototal:

δWint = δWext (2.12)

Na abordagem Lagrangeana Total, apresentada em Mentat (2013),o equilíbrio pode ser expresso pelo princípio dos trabalhos virtuais como

∫

V0

SijδEijdV =

∫

V0

b0i δηidV +

∫

A0

t0i δηidA, (2.13)

onde, Sij é o segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff, Eij é a deformaçãode Green-Lagrange, b0

i é a força aplicada no corpo na configuração dereferência, t0

i é o vetor tração na configuração de referência, e ηi é odeslocamento virtual.

Decompõe-se a deformação total em incrementos, durante t = n

e t = n + 1, como

En+1ij = En

ij + ∆Eij , (2.14)

onde, ∆Eij é composto pela parte linear, ∆Elij , e não linear, ∆Enl

ij ,

∆Eij = ∆Elij + ∆Enl

ij . (2.15)

O incremento de deformação linear é definido como

∆Elij =

1

2

[∂∆ui

∂Xj

+∂∆uj

∂Xi

]+ (2.16)

+1

2

[(∂un

k

∂Xi

) (∂∆uk

∂Xj

)+

(∂un

k

∂Xj

) (∂∆uk

∂Xi

)],

e, o incremento de deformação não linear é definido como

∆Enlij =

1

2

[(∂∆uk

∂Xj

) (∂∆uk

∂Xj

)]. (2.17)

A linearização da equação de equilíbrio 2.13 resulta em

{K0 + K1 + K2} δu = F − R (2.18)

onde, K0 é a matriz rigidez de pequenos deslocamentos, K1 é a matrizrigidez do deslocamento inicial e K2 é a matriz rigidez da tensão inicial,definidas como


(K0)ij =

∫

V0

β0imnDmnpqβ0

pqjdV (2.19)

(K1)ij =

∫

V0

{βu

imnDmnpqβupqj + βu

imnDmnpqβ0pqj + βu

imnDmnpqβupqj

}dV

(2.20)

(K2)ij =

∫

V0

Ni,kNj,lSkldV, (2.21)

onde, δu é o vetor de correção do deslocamento, β0imn e βu

imn são asconstantes e deslocamentos dependentes da função de forma, Dmnpq éa matriz tangente do material, Skl é o segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff e, Nik e Njl são gradientes da matriz função de forma.

A taxa do segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff pode ser es-crito como

Sij = Sij(Ekl, Smn, Epq

), (2.22)

logo, a equação trabalho virtual de Lagrange diferenciada em relação aotempo é dada por

∫

V0

[SijδEij + Sij

∂vk

∂Xi

∂δηk

∂Xj

]

]dV =

∫

V0

biδηidV +

∫

V0

tiδηidA. (2.23)

O segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff para materiais elás-ticos e hiperelásticos é uma função da deformação de Green-Lagrange,definido por

Sij = Sij(Ekl). (2.24)

2.5 DISCRETIZAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS

A discretização em elementos finitos é desenvolvida com as fun-ções de forma em termos das coordenadas isoparamétricas (ξ1, ξ2) paraa formulação Lagrangeana Total. Portanto, os vetores das configuraçõesreferente e corrente são expressos por

X(ξ1, ξ2) =Nnos∑

i

Ni(ξ1, ξ2)Xi (2.25)

x(ξ1, ξ2) =

Nnos∑

i

Ni(ξ1, ξ2)xi. (2.26)

2.6. ELEMENTO QUADRILATERAL 27

2.6 ELEMENTO QUADRILATERAL

Os elementos finitos são caracterizados pelas funções de forma,que definem a interpolação do campo deslocamentos dentro do elemento.O elemento isoparamétrico de quatro nós é utilizado para discretizar osmodelos estruturais neste trabalho, com integração de Gauss em quatropontos, apresentado na figura 3. A formulação utilizada pode ser encon-trada em Zienkiewicz e Cheung (1965), Hughes (1987) e Mentat (2013).

ξ2

(-1,-1) (1,-1)

(1,1)(-1,1)

ξ1

ξ1

ξ2

Figura 3 – Elemento bilinear isoparamétrico de quatro nósFonte: A autora baseada em Vázquez (2007)

As funções de forma e as derivadas das funções de forma parao elemento de coordenadas ξ1 e ξ2, são apresentadas na sequência. Asequações são utilizadas para calcular a matriz de rigidez, as forças inter-nas e externas, deslocamentos, deformações e tensões. O elemento linearquadrilátero é apresentado na figura 3, com quatro nós e quatro pontosde Gauss. As funções de forma são dadas por

N1 =1

4(1 − ξ1)(1 − ξ2)

N2 =1

4(1 + ξ1)(1 − ξ2)

N3 =1

4(1 + ξ1)(1 + ξ2)

N4 =1

4(1 − ξ1)(1 + ξ2).

E, as derivadas das funções de forma serão:

dN1

dξ1= −

1

4(1 − ξ2)

dN1

dξ2= −

1

4(1 − ξ1)


dN2

dξ1=

1

4(1 − ξ2)

dN2

dξ2= −

1

4(1 + ξ1)

dN3

dξ1=

1

4(1 + ξ2)

dN3

dξ2=

1

4(1 + ξ1)

dN4

dξ1= −

1

4(1 + ξ2)

dN4

dξ2=

1

4(1 − ξ1).

29

3 NURBS - B-SPLINE RACIONAIS NÃO-UNIFORMES

3.1 INTRODUÇÃO

O desenvolvimento das NURBS, Non Uniform Rational Basis Splineou B-spline Racionais Não Uniformes, começou na década de 50 para repre-sentação matemática de superfícies livres. No início, NURBS foram apenasutilizadas em pacotes de CAD para empresas automotivas, segundo Rogers(2000). Mais tarde elas se tornaram parte de pacotes de programas gráfi-cos, representando formas arbitrarias, mantendo a exatidão, e aplicadas nométodo dos elementos finitos, visto que, os algoritmos NURBS são rápidose numericamente estáveis, segundo Cárdenas et al. (2009).

A necessidade de elementos curvos para melhorar a qualidade dadiscretização em elementos finitos se fez necessária e os elementos isopara-métricos foram a primeira abordagem introduzida para tratar de forma efici-ente as formas curvas. O objetivo era empregar as funções polinomiais paraaproximar a solução e a geometria. Esta abordagem foi rapidamente ado-tada para aplicações em mecânica dos sólidos devido à sua implementaçãodireta e seu desempenho relativamente bom, (ZIENKIEWICZ; CHEUNG,1965).

No estudo realizado por Schramm e Pilkey (1993), apresentam-securvas e superfícies NURBS para a formulação da geometria do modelo deelementos finitos e para a parametrização de um problema de otimização.Um problema de torção de seção transversal é utilizado para demonstraras técnicas de mapeamento. A seção transversal e o eixo longitudinal doelemento finito são totalmente descritos por curvas e superfícies NURBS.

A teoria de parametrizações do tipo B-spline racionais não-uniformefoi condensada por Piegl e Tiller (1996), no livro The NURBS Book. Ou-tros tipos de parametrização foram desenvolvidas, como as T-splines, quesão uma generalização não uniforme das superfícies B-spline. O autor, Se-derberg et al. (2003), propõe uma parametrização a partir das NURBS,com o objetivo de melhorar os refinamentos locais.

NURBS são uma representação puramente geométrica, porém aschamados D-NURBS, Dynamic NURBS, propostas no trabalho de Terzo-poulos e Qin (1994), são modelos baseados em propriedades físicas quelevam a distribuição de massa, energia de deformação interna, e outrasgrandezas físicas em consideração na formulação das NURBS. Os pontosde controle D-NURBS e pesos associados tornam-se coordenadas generali-

30 Capítulo 3. NURBS - B-SPLINE RACIONAIS NÃO-UNIFORMES

zadas nas equações de Lagrange. O método garante que as funções de baseNURBS dependam da massa, Com isto, D-NURBS são geralmente não-lineares e, a massa, amortecimento e matriz rigidez devem ser recalculadasa cada passo de tempo da simulação.

Para solucionar a falta de precisão na análise por elementos fini-tos nas fronteiras de um modelo, foi proposta por Cárdenas et al. (2009)uma nova abordagem nomeada NEFEM, NURBS Enhanced Finite ElementMethod. Esta abordagem mostra-se eficiente para tratar limites curvos numcontexto de elementos finitos. O método clássico de elementos finitos, uti-lizando o elemento linear, precisa de malhas extremamente refinadas paracapturar corretamente geometrias complexas e NEFEM consegue trabalharcom modelos geométricos exatos sem depender da discretização espacial.A utilização da aproximação polinomial clássica é mantida, preservando aspropriedades de convergência da análise elementos finitos e permitindo umacoplamento perfeito no interior dos elementos que não foram afetadospela representação NURBS.

O conceito de curva e superfície NURBS utilizados nesse estudobaseia-se na obra de Piegl e Tiller (1996). Inicia-se o estudo das NURBScom uma breve apresentação das B-Splines, pois NURBS são construídasa partir de B-Splines. Na sequência alguns pontos importante que definemas curvas e superfícies B-spline e NURBS são apresentados.

3.2 PRODUTO TENSORIAL

A curva C(u) = (x(u), y(u), z(u)) é um mapeamento de um seg-mento de reta em espaço euclidiano tridimensional. Uma superfície é umafunção vetorial de dois parâmetros, u e v, e representa um mapeamento deuma região no plano uv em um espaço euclidiano tridimensional. Assim,tem a forma S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

O método mais usado para modelagem geométrica é o produtotensorial, que será empregado neste trabalho. Este é definido basicamentecomo uma curva bidirecional que utiliza funções de base e coeficientesgeométricos. As funções de base são funções de u e v, que são construídascomo produtos de funções de base. Uma superfície do tensor produto tema seguinte forma:

S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) (3.1)

=

n∑

i=0

m∑

j=0

fi(u)gj(v)bi,j ,

3.3. FUNÇÃO DE BASE B-SPLINE 31

onde, fi(u) é função do parâmetro u, gj(v) é função do parâmetro v,bi,j = (xi,j , yi,j, zi,j), u ≥ 0 e v ≤ 1.

Pode-se também escrever o tensor produto S(u, v) na forma dematriz, como

S(u, v) = [fi(u)]T [bi,j ][gj(v)], (3.2)

onde, [fi(u)]T é um vetor linha((1) x (n + 1)), [gj(v)] é um vetor coluna((m + 1) x (1)) e [bi,j ] é uma matriz (n + 1) x (m + 1).

3.3 FUNÇÃO DE BASE B-SPLINE

Definem-se as funções de base B-spline como sendo U = u0, ..., um

uma sequência de números reais crescentes, ou, ui os nós e U o vetor denós. Com isto, a i-ésima função de base B-spline de grau p (ordem p + 1),denotada por Ni,p(u), é definida como

Ni,0(u) =

{1 if ui ≥ u < ui+1

0 caso contrário(3.3)

Ni,p(u) =u − ui

ui+p − ui

Ni,p−1(u) (3.4)

+ui+p+1 − u

ui+p+1 − ui+1Ni+1,p−1(u).

As derivadas das funções de base, são dadas por

N ′

i,p(u) =p

ui+p − ui

Ni,p−1(u) −p

ui+p+1 − ui+1Ni+1,p−1(u)

. (3.5)

A prova da equação 3.5 é apresentada em Piegl e Tiller (1996).

3.4 DEFINIÇÃO DE CURVA B-SPLINE

Curvas B-spline em Rd são construídas tomando uma combinaçãolinear de funções de base B-spline. Os coeficientes das funções de base são


chamados de pontos de controle e a curva B-spline é composta por umasérie de segmentos polinomiais definidos por estes pontos de controle. Nafigura 4 pode-se observar os segmentos polinomiais e os pontos de controle.

P0

P1

P2

P3

P4

P5

Figura 4 – Curva B-spline e pontos de controleFonte: A autora

Define-se uma curva B-spline como

C(u) =

n∑

i=0

Ni,p(u)CPi a ≤ u ≤ b, (3.6)

onde, CPi são os pontos de controle, e Ni,p(u) são as funções base dasB-spline de grau p, definidas sobre um vetor de nós1 não-periódicos e não-uniformes

U =

a, ..., a︸︷︷︸p+1

, up+1, ..., um−p−1, b, ..., b︸︷︷︸p+1

, (3.7)

com n + 1 o número de pontos de controle e m + 1 o número de nós. Arelação entre o número de pontos de controle e número de nós pode serescrita como

m = n + p + 1. (3.8)

1 Os nós das curvas e superfícies B-spline e NURBS não são os mesmos nós doselementos finitos.

3.4. DEFINIÇÃO DE CURVA B-SPLINE 33

Diferenciando a curva B-spline de grau p, definida sobre um vetorde nós u, tem-se

C′(u) =

n∑

i=0

N ′

i,p(u)CPi, (3.9)

substituindo 3.5 na equação 3.9, tem-se:

C′(u) =

n∑

i=0

(p

ui+p − ui

Ni,p−1(u)+

−p

ui+p+1 − ui+1Ni+1,p−1(u)

)CPi (3.10)

= p

n−1∑

i=−1

Ni+1,p−1(u)CPi+1

ui+p+1 − ui+1+

−p

n∑

i=0

Ni+1,p−1(u)CPi

ui+p+1 − ui+1(3.11)

= pN0,p−1(u)CP0

up − u0+

+p

n−1∑

i=0

Ni+1,p−1(u)CPi+1 − CPi

ui+p+1 − ui+1+

−pNn+1,p−1(u)CPn

un+p+1 − un+1. (3.12)

O primeiro e último termo possuem denominador zero, por definição estequociente resulta zero. Logo,

C′(u) = p

n−1∑

i=0

Ni+1,p−1(u)CPi+1 − CPi

ui+p+1 − ui+1. (3.13)

Define-se Qi como

Qi = pCPi+1 − CPi

ui+p+1 − ui+1, (3.14)


então,

C′(u) =

n−1∑

i=0

Ni+1,p−1(u)Qi. (3.15)

Sendo U ′ o vetor de nós obtido pela subtração do nó inicial e final de U ,tem-se

U ′ =

a, ..., a︸︷︷︸p

, up+1, ..., um−p−1, b, ..., b︸︷︷︸p

, (3.16)

resultando em m−1 nós. Assim é possível verificar que a função Ni+1,p−1(u)avaliada em U é igual a função Ni,p−1(u) avaliada em U’. Assim, pode-seafirmar que

C′(u) =

n−1∑

i=0

Ni,p−1(u)Qi, (3.17)

com C′(u) de grau p − 1 da curva B-spline.

3.5 DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE B-SPLINE

Uma superfícies B-spline é obtida a partir de uma rede bidirecionalde pontos de controle, dois vetores de nós, e o produto das funções de baseB-spline:

S(u, v) =

n∑

i=0

m∑

j=0

Ni,p(u)Nj,q(v)CPi,j , (3.18)

com

3.5. DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE B-SPLINE 35

U =

0, ..., 0︸︷︷︸p+1

, up+1, ..., ur−p−1, 1, ..., 1︸︷︷︸p+1

(3.19)

V =

0, ..., 0︸︷︷︸q+1

, uq+1, ..., us−q−1, 1, ..., 1︸︷︷︸q+1

. (3.20)

O vetor de nós U tem r + 1 nós, e o vetor de nós V tem s + 1nós. Assim,

r = n + p + 1 e s = m + q + 1. (3.21)

Na equação 3.18, CPi,j são os pontos de controle que formam o controleda rede, e Ni,p(u) e Ni,q(v) são as funções não racionais de base da B-spline de grau p e q na direção u e v.

Na figura 5 é possível visualizar um exemplo de superfície B-spline.

Figura 5 – Superfície B-splineFonte: Piegl e Tiller (1996)


A derivada de uma superfície B-spline, assim como para uma curvaB-spline, é obtida a partir da derivada da função de base. Logo

Su(u, v) =∂S(u, v)

∂u(3.22)

=

m∑

j=0

Nj,q(v)∂

∑ni=0 Ni,p(u)CPi,j

∂u(3.23)

=

m∑

j=0

Nj,q(v)∂Cj(u)

∂u, (3.24)

onde, Cj(u) =∑n

i=0 Ni,p(u)CPi,j para j = 0, ..., m são as curvas B-splines. Logo, aplicando a equação 3.17 em 3.22, tem-se:

Su(u, v) =n−1∑

i=0

m∑

j=0

Ni,p−1(u)Nj,q(v)CP(1,0)i,j , (3.25)

onde,

CP(1,0)i,j =

CPi+1,j − CPi,j

ui+p+1 − ui+1

U (1) =

a, ..., a︸︷︷︸p

, up+1, ..., ur−p−1, b, ..., b︸︷︷︸p

V (0) = V.

Igualmente para Sv(u, v), temos:

Sv(u, v) =

n∑

i=0

m−1∑

j=0

Ni,p(u)Nj,q−1(v)CP(0,1)i,j , (3.26)

onde,

3.6. DEFINIÇÃO DE CURVA NURBS 37

CP(0,1)i,j =

CPi,j+1 − CPi,j

vj+q+1 − vj+1

V (1) =

a, ..., a︸︷︷︸q

, uq+1, ..., ur−q−1, b, ..., b︸︷︷︸q

U (0) = U.

3.6 DEFINIÇÃO DE CURVA NURBS

Combina-se os conceitos já apresentados para criar curvas e su-perfícies B-spline. Estas duas entidades geométricas são mapeadas para oespaço Euclideano, e assim, tornam-se racionais. Deste modo, são criadasB-spline racionais não-uniformes (NURBS).

Uma curva NURBS de grau p é definida por

CNURBS (u) =

∑ni=0 wiCPiNi,p (u)∑n

i=0 wiNi,p (u)a ≤ u ≤ b, (3.27)

onde, wi são os pesos, CPi são os pontos de controle e Ni,p(u) são asB-splines normalizadas de grau p na direção u, definidas ao longo do vetorUNURBS , dado por

UNURBS =

a, ..., a︸︷︷︸

p+1

, up+1, ..., um−p−1, b, ..., b︸︷︷︸p+1

. (3.28)

Assume-se, a = 0, b = 1, e wi > 0 para todo i. Sendo Ri,p(u) as funçõesbase, tem-se

Ri,p (u) =Ni,p (u) wi∑n

j=0 Nj,p (u) wj

, (3.29)

com isto, a equação 3.27 pode ser escrita como

CNURBS (u) =

n∑

i=0

Ri,p (u) CPi. (3.30)

Na figura 6 é possível visualizar os pontos de controle e as curvasNURBS formadas a partir deles.


Figura 6 – Pontos de controle e curva NURBSFonte: Piegl e Tiller (1996)

3.7 DERIVADAS DAS CURVAS NURBS

As derivadas das curvas NURBS são obtidas com as derivadas dascurvas B-spline. Considerando CNURBS(u) como

CNURBS (u) =w (u) CNURBS (u)

w (u)=

A (u)

w (u), (3.31)

onde, A(u) é o numerador da equação 3.27. Diferenciando a equação 3.31,tem-se

CNURBS (u) =w (u) A′ (u) − w′ (u) A (u)

w (u)2

=w (u) A′ (u) − w′ (u) w (u) C (u)

w (u)2

=A′ (u) − w′ (u) C (u)

w (u), (3.32)

3.8. DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE NURBS 39

onde,

A′ (u) =

n∑

i=0

wiCPiN′

i,p (u) (3.33)

w′

i (u) =n∑

i=0

wiN′

i,p (u) , (3.34)

e N ′

i,p(u) é dada pela equação 3.5.

3.8 DEFINIÇÃO DE SUPERFÍCIE NURBS

Uma superfície NURBS é descrita por seu vetor de nós, U e V ,seu grau, p e q, seus pontos de controle, Pi,j , e seus pesos, wi,j , que nestetrabalho são unitários.

Uma superfície NURBS de grau p na direção u e de grau q nadireção v é uma função vetorial bivariante racional, definida por:

SNURBS (u, v) =

∑ni=0

∑mj=0 wi,jCPi,jNi,p (u) Nj,q (v)

∑ni=0

∑mj=0 Ni,p (u) Nj,q (v)

(3.35)

0 ≤ u, v ≤ 1,

onde, wi,j são os pesos, a CPi,j são os pontos de controle que formama rede de controle e Ni,p(u) e Ni,q(v) são as funções de base B-spline degrau p e q nas direções u e v definidas ao longo dos vetores nós UNURBS

e V NURBS que são definidos como

UNURBS =

0, ..., 0︸︷︷︸

p+1

, up+1, ..., ur−p−1, 1, ..., 1︸︷︷︸p+1

(3.36)

V NURBS =

0, ..., 0︸︷︷︸

q+1

, uq+1, ..., us−q−1, 1, ..., 1︸︷︷︸q+1

. (3.37)

A função base racional por partes é dada por

Ri,j (u, v) =Ni,p (u) Nj,q (v) wi,j∑n

k=0

∑ml=0 Nk,p (u) Nl,q (u) wk,l

, (3.38)


assim, a equação 3.35 pode ser reescrita como

SNURBS (u, v) =

n∑

i=0

m∑

j=0

Ri,j (u, v) CPi,j . (3.39)

Na figura 7 é possível visualizar a formação da rede de pontos decontrole que formarão a superfície NURBS.

Figura 7 – Rede de pontos de ControleFonte: Piegl e Tiller (1996)

Após a interpolação dos pontos de controle, obtém-se a superfícieNURBS, como pode ser visto na figura 8.

3.9. DERIVADAS DAS SUPERFÍCIES NURBS 41

Figura 8 – Superfície NURBSFonte: Piegl e Tiller (1996)

3.9 DERIVADAS DAS SUPERFÍCIES NURBS

Assim como para as curvas, estas derivadas são obtidas a partirdas derivadas das funções de base,

SNURBS (u, v) =w (u, v) SNURBS (u, v)

w (u, v)=

A (u, v)

w (u, v), (3.40)

sendo A(u, v) o numerador da equação 3.35, a derivada da superfícieNURBS pode ser calculada como

SNURBSα (u, v) =

Aα (u, v) − wα (u, v) SNURBS (u, v)

w (u, v), (3.41)

onde, α indica a derivada em relação a u ou v. Aα(u, v) é dado por


Aα (u, v) = w(u, v)∂

∂αSNURBS(u, v)

= w(u, v)

∂

∂α

m∑

j=0

Nj,q(v)n∑

i=0

Ni,p(u)CPi,j

.

(3.42)

Assim, tem-se a expressão para as derivadas de uma superfície NURBS nadireção u,

∂

∂u

n∑

i=0

Ni,p(u)CPi,j =

n−1∑

i=0

Ni,p−1(u)CP(1,0)i,j

SNURBSu (u, v) =

n−1∑

i=0

m∑

j=0

Ni,p−1(u)Nj,q(v)CP(1,0)i,j ,

(3.43)

onde,

CP(1,0)i,j = p

CPi+1,j − CPi, j

ui+p+1 − ui+1

UNURBS(1) =

0, ..., 0︸︷︷︸

p

, up+1, ..., ur−p−1, 1, ..., 1︸︷︷︸p

V NURBS(0) = VNURBS .

E na direção v, a superfície NURBS é definida como

SNURBSv (u, v) =

n∑

i=0

m−1∑

j=0

Ni,p(u)Nj,q−1(v)CP(0,1)i,j , (3.44)

3.9. DERIVADAS DAS SUPERFÍCIES NURBS 43

onde,

CP(0,1)i,j = q

CPi,j+1 − CPi, j

vj+q+1 − vj+1

V NURBS(1) =

0, ..., 0︸︷︷︸

q

, uq+1, ..., us−q−1, 1, ..., 1︸︷︷︸q

UNURBS(0) = UNURBS .

45

4 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL

As leis constitutivas de um material são usadas para estabelecerou descrever matematicamente a relação entre as grandezas tensão e de-formação, ou entre as forças de contato interno e a mudança de forma domaterial. Além disso, o comportamento de toda a estrutura depende daresposta mecânica de cada um de seus materiais constituintes. Assim, aescolha das relações constitutivas é fundamental para que se possa prever ocomportamento mecânico dos componentes, bem como o comportamentode toda a estrutura. Na figura 9, é apresentado um exemplo de respostade tensão versus deformação para uma lei constitutiva pré-determinada.

FORÇA TENSÃO

DESLOCAMENTODEFORMAÇÃO

RELAÇÃO CONSTITUTIVA

ε

σ

Figura 9 – Relação ConstitutivaFonte: A autora baseado em Chaves (2013)

Agrupam-se o comportamento dos materiais em modelos consti-tutivos que incluem um ou mais comportamentos, como elasticidade, plas-ticidade, viscoelasticidade, viscoplasticidade e outros. O modo como asgrandezas se relacionam evidencia qual é o material ou classe do material.

O efeito de estado de deformação anterior e o efeito do tempo écontemplado através de leis constitutivas plásticas, viscoplásticas, elasto-plásticas, entre outras. Quando os materiais têm comportamentos destetipo, em geral não-lineares, após o processo de descarga o material não re-toma o estado inicial. O efeito do tempo quando se manifesta em materiais

46 Capítulo 4. MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL

elásticos denomina-se o comportamento do material como viscoelástico.

Neste capítulo, será apresentado uma revisão das leis constitutivasaplicadas no presente trabalho. Estas, serão utilizadas para a base teóricados exemplos propostos neste trabalho. Esse conteúdo é clássico e estábaseado nos trabalhos de Bonet e Wood (1997), Shabana (2011) ,Neto,Peric e Owen (2011) e Chaves (2013).

4.1 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL LINEAR ELÁSTICO

O modelo elástico é o mais utilizado nos cálculos de previsão decomportamento de sólidos de vários materiais. O modelo elástico tem duaspossibilidades, linear ou não-linear, como apresentado nas figuras 10 e 11.

Robert Hooke, é referido como percursor da Teoria da Elasticidadeestabelecida, em 1678, com base na existência de linearidade na relaçãoentre as tensões e deformações. Porém, segundo Love (2013), foi em 1807que Thomas Young estabeleceu o famoso módulo de proporcionalidadeentre tensões e deformações, conhecido por módulo de Young.

ε

σ

Figura 10 – Características do comportamento tensão-deformação de ummaterial elástico linear

Fonte: A autora

4.1. MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL LINEAR ELÁSTICO 47

ε

σ

Figura 11 – Características do comportamento tensão-deformação de ummaterial elástico não-linear

Fonte: A autora

Para o modelo linear, utiliza-se a Lei de Hooke generalizada, Cha-ves (2013), apresentda na equação 4.1, onde B são tensões iniciais, corres-pondentes às deformações iniciais, e C é o tensor para o modelo elásticolinear,

σ = B + C : ε. (4.1)

A matriz C é expressa em função de 36 coeficientes, onde 6 com-ponentes são independentes de tensão e 6 de deformação. Contudo, ao seconsiderar a energia armazenada em um corpo elástico quando deformado,pode-se demonstrar que esta matriz é simétrica, assim seus coeficientessão reduzidos a 21. Adicionando o conceito de isotropia, assume-se que omaterial possui eixos e planos de simetria em todas as direções, possibi-litando assim representar a matriz C somente em função de 2 variáveis,que são: Módulo de Young (E), Coeficiente de Poisson (υ) e Módulo deCisalhamento (G), sendo que esta última pode ser relacionada com o E

e υ pela seguinte expressão:

G =E

2 · (1 + υ). (4.2)

A grande maioria dos materiais exibem um comportamento bemmais complexo que o representado por este modelo, porém o modeloelástico-linear foi amplamente utilizado pois não existiam outras formu-lações matemáticas mais realistas. Na elasticidade não-linear não existe aproporcionalidade entre a tensão e a deformação, porém existe uma funçãoque dá o valor da tensão para em função do estado de deformação.


4.2 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL HIPERELÁSTICO

As leis constitutivas para materiais hiperelásticos são utilizadaspara modelar materiais que respondem elasticamente, quando submeti-dos a grandes deformações. Estes apresentam comportamento de materialnão-linear e grandes mudanças na forma. As formulações utilizadas nestetrabalho são baseadas na função densidade de energia de deformação, w,uma função escalar que relaciona a energia de deformação de um mate-rial com o gradiente de deformação do mesmo, Bonet e Wood (1997). Afunção w é usada para descrever um material usualmente hiperelástico apartir do princípio de que a tensão no material pode ser obtida atravésda derivada da função densidade de energia em relação à deformação domaterial. Para um material hiperelástico e isotrópico esta função relaci-ona a energia potencial elástica armazenada apenas com a deformação domaterial.

4.2.1 Modelo de Mooney-Rivlin

O modelo Mooney-Rivlin foi proposto inicialmente por Mooney(1940) e posteriormente expresso em termos invariantes por Rivlin (1948).É um modelo que caracteriza a relação tensão-deformação em materiaishiperelásticos onde a densidade de energia de deformação w é descritacomo uma combinação linear de dois invariantes,

W = C1(I1 − 3) + C2(I2 − 3), (4.3)

onde, C1 e C2 são constantes do material determinadas experimentalmentee I1 e I2 são respectivamente o primeiro e segundo invariantes do tensorde Cauchy-Green, dados por

I1 = λ21 + λ2

2 + λ23, I2 = λ2

1λ22 + λ2

2λ23 + λ2

3λ21. (4.4)

4.2.2 Modelo Neo-Hookeano

Este é um dos modelos mais simples, envolvendo apenas um pa-râmetro do material e um invariante de deformação, o qual descreve ocomportamento de deformação não-linear de um material isotrópico.

A função de energia de deformação para o modelo Neo-Hookeanopode ser obtida a partir da equação do Modelo de Mooney-Rivlin, definindoC2 = 0,

W = C1(I1 − 3), (4.5)

4.2. MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL HIPERELÁSTICO 49

onde, C1 é a constante do material e I1 é o primeiro invariante do tensorde deformação, dado por

I1 = λ21 + λ2

2 + λ23. (4.6)

4.2.3 Modelo de Ogden

Este modelo foi descrito por Ogden (1972), como isotrópico, in-compressível e baseado nas deformações principais, ao invés dos invariantesde deformação:

W (λγ) =∑

r

µr

αr

[λαr

1 + λαr

2 + (λ1λ2)−αr − 3]

γ = 1, 2, (4.7)

onde, λγ são os alongamentos principais, µr e αr são constantes relacio-nadas com as propriedades do material.

O modelo de material de Ogden inclui os modelos de material Neo-Hookeano e Mooney-Rivlin. A implementação utilizada no presente traba-lho é baseada na obra de Gruttmann e Taylor, apresentada em Gruttmanne Taylor (1992). Para esta formulação é necessário o cálculo e linearizaçãodos alongamentos principais, que são os autovalores da raiz quadrado dotensor direito de Cauchy-Green.

De acordo com a equação da energia de deformação, as tensõesprincipais (S1 e S2) do segundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff são dadaspor

Sγ = λ−1γ

∂W

∂λγ

= γ−2γ

∑

r

µr[λαr

γ − (λ1λ2)αr ], γ = 1, 2, (4.8)

onde, γ é a direção, λ1 e λ2 os alongamentos principais, α e µ parâmetrosdo material.

A matriz tangente CT é calculada através da relação

CT = T T CT =

∂S11

∂E11

∂S11

∂E22

∂S11

∂E12

∂S22

∂E11

∂S22

∂E22

∂S22

∂E12

∂S12

∂E11

∂S12

∂E22

∂S12

∂E12

, (4.9)


sendo C definida como

C =

λ−41 (λ1

∂σ1

∂λ1

− 2σ1) λ−21 λ−2

2 (λ2∂σ1

∂λ1

) 0

λ−21 λ−2

2 (λ1∂σ2

∂λ1

) λ−42 (λ2

∂σ2

∂λ2

− 2σ2)

0 0 (S1−S2)cos(2φ)C11C22

,(4.10)

onde, as derivadas do tensor tensão de Cauchy em relação a λγ são dadaspor

1

λ1

∂σ1

∂λ1=

∑

r

µrαr

[λαr

1 + (λ1λ2)−ar

]

1

λ2

∂σ2

∂λ2=

∑

r

µrαr

[λαr

1 + (λ1λ2)−ar

](4.11)

1

λ1

∂σ2

∂λ1=

1

λ2

∂σ1

∂λ2=

∑

r

µrαr(λ1λ2)−ar ,

e a matriz rotação T dada por

T =

cos2φ sen2φ cosφsenφ

sen2φ cos2φ −cosφsenφ

−2cosφsenφ 2cosφsenφ cos2φ − sen2φ

. (4.12)

4.3 MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL BASEADO EM SUPERFÍ-CIES DE RESPOSTA NURBS

As superfícies NURBS serão utilizadas para representar a interaçãoentre tensões e deformações nas direções principais. A fim de obter otensor constitutivo, considera-se as superfícies NURBS como superfíciesde resposta, as quais, estão baseadas em dois eixos de deformação e umeixo de tensão. O tensor constitutivo será calculado com as derivadas dassuperfícies NURBS.

4.3.1 Modelo Baseado em Superfícies NURBS para as direçõesprincipais

O modelo material baseado em superfícies NURBS, nesta seção, éaplicado para o estado plano de tensão e materiais de comportamento não-linear. A matriz constitutiva do material baseado nas direções principais é

4.3. MODELO CONSTITUTIVO MATERIAL BASEADO EM SUPERFÍCIES DE

RESPOSTA NURBS 51

definida como

dS

dE=

dS1

dE1

dS1

dE2

dS1

2dE12

dS2

dE1

dS2

dE2

dS2

2dE12

dS12

dE1

dS12

dE2

dS12

2dE12

. (4.13)

Nas demais direções, a matriz constitutiva pode ser obtida com a rotaçãoda matriz tangente nas direções principais,

T T dS

dET , (4.14)

assim, a matriz constitutiva do material nas direções correntes é dada por

dS

dE=

dS11

dE11

dS11

dE22

dS11

dE12

dS22

dE11

dS22

dE22

dS22

dE12

dS12

dE11

dS12

dE22

dS12

dE12

. (4.15)

O tensor constitutivo do material nas direções principais é dadopor:

dS

dE=

dS1

dE1

dS1

dE2

0dS2

dE1

dS2

dE2

0

0 0 dS12

2dE12

. (4.16)

O cálculo da componente dS12

2dE12

é realizado através de

dS12

2dE12

=dS12

dφ·

dφ

2dE12

=−(S2 − S1)cos2φ

C11 − C22.

Os cálculos detalhados são apresentados no apêndice A.

O tensor constitutivo material nas direções principais com as de-rivadas das superfícies NURBS, é dado por

[dS1

dE1

dS2

dE1

dS1

dE2

dS2

dE2

]=

([dE1

dudE2

dudE1

dvdE2

dv

])−1

·

[dS1

dudS2

dudS1

dvdS2

dv

], (4.17)

onde, dE1

due dE2

dusão as derivadas das deformações principais com rela-

ção ao parâmetro u das superfícies NURBS, dE1

dve dE2

dvsão as derivadas


das deformações principais com relação ao parâmetro v das superfíciesNURBS, dS1

due dS2

dusão as derivadas das tensões principais com relação

ao parâmetro u das superfícies NURBS e, dS1

dve dS2

dvsão as derivadas das

tensões principais com relação ao parâmetro v das superfícies NURBS.

Na figura 12 é apresentado o fluxograma com o processo paraobtenção do modelo constitutivo e das tensões baseado em superfíciesNURBS.


RESPOSTA NURBS 53

Figura 12 – Fluxograma para obter o tensor constitutivo para estado planode tensões e as tensões baseado em superfícies NURBS

Fonte: A autora


Para obter as informações necessárias referentes às superfíciesNURBS, como, os parâmetros u e v, as funções de base, as derivadasdas funções de base e, por fim, as derivadas das superfícies NURBS,implementam-se subrotinas auxiliares que estão descritas na seção 4.3.1.A partir dos parâmetros u e v das superfícies NURBS, pode-se calcular amatriz constitutiva e as tensões nas direções principais, S1(u, v) e S2(u, v).As subrotinas são executadas conforme o fluxograma apresentado na figura13.

Para este problema, duas superfícies NURBS são necessárias, onde,a superfície de resposta 1 fornece as informações necessárias para os cál-culos da tensão na direção principal 1 e, a superfície de resposta 2 forneceas informações necessárias para os cálculos da tensão na direção principal2.

4.3.M

OD

EL

OC

ON

ST

ITU

TIV

OM

AT

ER

IAL

BA

SE

AD

OE

MS

UP

ER

FÍC

IES

DE

RE

SP

OS

TA

NU

RB

S55

Start

CalculaosparâmetrosdaNURBS,u ev

Encontrao parâmetrou localizado nasuperfícieNURBS

CalculaasfunçõesdebasedaB-Spline

CalculaeavaliaaenésimaderivadadasuperfícieNURBSparao parâmetro u

Avaliaas funçõesdebasedaB-Spline, esuasderivadasparaoparâmetro local u

Encontrao parâmetro v localizado nasuperfícieNURBS

CalculaasfunçõesdebasedaB-Spline

CalculaeavaliaaenésimaderivadadasuperfícieNURBSparao parâmetro v

Avaliaas funçõesdebasedaB-Spline, esuasderivadasparaoparâmetro local v

CalculaeavaliaaenésimaderivadadasuperfícieNURBSparaosparâmetrosu ev

Avalia todasasfunçõesdebasedaB-Spline, esuasderivadasbaseadasnosparâmetros locaisu ev

Encontraascoordenadasglobaisparaumponto específ co localizado nasuperfícieNURBS

Obtémovalor datensão emumadasdireçõesprincipais

End

Figura

13–

Subrotinasutilizadas

Fonte:

Aautora


Para implementar a subrotina com o modelo material baseado emsuperfície NURBS, utilizam-se subrotinas auxiliares.

A subrotina que calcula os parâmetros locais, figura 14, tem comoobjetivo retornar os parâmetros locais u e v, com base nas componentes dovetor posição. As entradas são: vetor de deformação de Green-Lagrange[E11, E22, E12], vetor das coordenadas do vetor de deformação, valoresiniciais de u e v, número máximo de iterações e tolerância. Com isso, asubrotina gera a saída, que são os parâmetros locais u e v, [u v].

Figura 14 – Subrotina para calcular os parâmetros locais, u e v.

Na sequência, a subrotina que avalia o ponto, u ou v, localizadona superfície NURBS é chamada. Esta subrotina, retorna as coordenadasglobais deste ponto específico, [x y z]. As entradas solicitadas são: parâ-metro local nas direções u e v. O fluxograma desta subrotina é apresentadona figura 15, e no item A4.3 do livro de Piegl e Tiller (1996) encontra-seo algoritmo para a determinação das coordenadas globais.


RESPOSTA NURBS 57

Figura 15 – Subrotina para avaliar um ponto específico na superfícieNURBS

Após isto, avalia-se o gradiente da superfície NURBS. As entra-das desta subrotina são os parâmetros locais na direção u e v, e a saídaé um vetor com as derivadas da superfície em relação aos parâmetros,[dSdu dSdv]. Na figura 16 é possível visualizar o fluxograma da subrotina.

Para avaliar o gradiente, é necessária a enésima derivada da su-perfície NURBS. A subrotina que calcula a enésima derivada da superfícieNURBS, para u e v, foi implementada com base no algoritmo A4.4 apresen-tado no livro Piegl e Tiller (1996). As entradas são os parâmetros locais nadireção u e v, e a ordem da derivada. Assim, a saída gerada é uma matrizde vetores,

dSdudv =

S dSdv ... (dSdv)l

dSdu dSdudv ......

......

...(dSdu)k ... ... dSk + l(dukdvl)

. (4.18)

Algumas subrotinas, listadas na sequência, auxiliam as subrotinasapresentadas anteriormente, e estas se encontram no livro de Piegl e Tiller(1996):


Figura 16 – Subrotina para avaliar o gradiente de uma superfície NURBS

• Algoritmo A2.1: Retorna os índices do vetor de nós correspondentepara as direções u e v.

• Algoritmo A2.2: Calcula todas as funções de base da B-Spline, dife-rentes de zero, baseado em u e v.

• Algoritmo A2.3: Calcula todas as funções de base não nulas da su-perfície NURBS e sua enésima derivada com base em valores de u ev especificados.

59

5 PROGRAMA MARC MENTAT

5.1 INTRODUÇÃO

O programa MSC Marc Mentat é reconhecido como um dos princi-pais programas para a análise de elementos finitos não-linear desde meadosda década de 70. Este sistema contém uma série de programas integradosque facilitam a análise de problemas de engenharia nas áreas de mecâ-nica estrutural, transferência de calor e eletro-magnetismo. Foi o primeirosoftware de elementos finitos não-linear comercial, desenvolvido por MarcAnalysis Research Corporation. Em 1999, a MSC Software Corporationadquiriu o programa.

A resposta não-linear pode ser causada por inúmeras caracte-rísticas de um sistema, como grandes deformações, comportamento domaterial, efeito de contato e/ou outras não-linearidades de condição decontorno. O programa MSC Marc Mentat fornece soluções para ajudara simular de forma eficiente e com resultados satisfatórios sistemas comnão-linearidades.

O Marc é utilizado para realizar análises na estática, dinâmicae transferência de calor. Problemas físicos em uma, duas ou três dimen-sões podem ser modelados utilizando uma variedade de elementos. Esseselementos incluem treliças, vigas, cascas e sólidos.

O Mentat é um programa de computador interativo que preparae processa dados para o método dos elementos finitos. Isto pode reduzirsignificativamente o esforço humano necessário para análise pelo métododos elementos finitos. A apresentação gráfica de dados reduz ainda maiseste esforço, fornecendo uma forma eficaz de avaliar a grande quantidadede dados tipicamente associados com a análise de elementos finitos.

Esses programas funcionam em conjunto para:

• Gerar informações geométricas que definem a estrutura, propriedadesdo material, condições de contorno, entre outros itens referentes aconstrução do modelo (Mentat);

• Analisar a estrutura (Marc);

• Representar graficamente os resultados (Mentat);

Um aspecto importante do Mentat é que se pode interagir dire-tamente com o programa. O Mentat verifica a entrada de dados e retorna

60 Capítulo 5. PROGRAMA MARC MENTAT

recomendações ou avisos quando ele detecta quando esta entrada é questi-onável. Também verifica o conteúdo dos arquivos de entrada e gera avisossobre a sua interpretação dos dados, caso o programa identifique que possaestar processando os dados da maneira diferente que o usuário deseja. Alémdisto, processa malhas de duas e três dimensões, gera e exibe uma malha,exibe as condições de contorno e cargas, e executa o pós-processamento.

No presente trabalho, o programa será utilizado para simular ocomportamento de estruturas com material linear e não-linear. A subrotinaé chamada para cada ponto de integração a cada incremento de carga oudeslocamento. O trabalho começa com a validação da Lei de Hooke. Nafigura 17 está descrita cada etapa.

SUBROTINA

Nestaetapa,

a formulação

domodelomaterial

é implementada na

linguagemFORTRAN 77

(linguagemcompatível

comoMarc-Mentat).

MARC -MENTAT

Defini-segeometria,

propriedadesdomaterial,

condiçõesdecontorno

eparâmetrosdeanálise.

RESULTADOS

Análisedosresultados

obtidosevalidação do

modelo constitutivo.

Figura 17 – Sequência dos procedimentos para a obtenção dos resultadosutilizando subrotinas no programa comercial MSC Marc Men-tat

Fonte: A autora

O programa MSC Marc Mentat permite aos usuários desenvolvere substituir suas próprias subrotinas no pacote. Este recurso fornece aosusuários uma maneira poderosa de resolver problemas não usuais, como aimplementação de um modelo material baseado em superfície de respostaNURBS.

Diversos trabalhos, utilizam o programa comercial MSC MarcMentat para a implementação de modelos constitutivos não convencionais.Porém, nestes trabalhos ((TAO; NIE, 2015), (DEMIRCI; TÖNÜK, 2014),(SCHMOCKER et al., 2010), (FIEDLER; OECHSNER; GRÁCIO, 2006),(AMBROZIAK, 2006), (AMBROZIAK, 2005)) pouco é apresentado sobrea implementação da subrotina. O manual do usuário, MSC.Marc Mentat

5.2. EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: LEI DE HOOKE 61

(2013), contém informações sobre as subrotinas disponíveis, os casos queelas são indicadas, as variáveis fornecidas pelo programa, as variáveis quesinalizam cada etapa realizada pela subrotina, as variáveis que devem serfornecidas pelo usuário, entre outros detalhes. Porém, algumas informaçõesnecessárias para a implementação não estão descritas.

A partir disto, iniciou-se com um problema de fácil implementação,o modelo constitutivo linear elástico. Esta etapa foi realizada na GriffithUniversity, onde há o dominio do uso de subrotinas, principalmente paraa implementação de modelos materiais não convencionais, sob orientaçãodo professor Andreas Öchsner. Posteriormente, implementa-se um modelohiperelástico, utilizando outra subrotina, um pouco mais abrangente. Porfim, o modelo constitutivo baseado em superfícies de resposta NURBS éimplementado.

Neste capítulo, as subrotinas utilizadas, os modelos implementa-dos, e a análise dos resultados obtidos são apresentados. A formulaçãoutilizada para a implementação dos modelos constitutivos já foi apresen-tada nos capítulo anteriores, capítulo 4, como também, a formulação demecânica do contínuo, capítulo 2.

5.2 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: LEI DE HOOKE

5.2.1 Subrotina

A subrotina utilizada para esta implementação foi a HOOKLW.Nessa subrotina, o modelo constitutivo linear elástico é fornecido pelousuário. Esta relação deve ser simétrica, e a subrotina é chamada paracada ponto de integração dos elementos.

A subrotina pode ser utilizada para a formulação elasto-plásticacom decomposição aditiva ou pequenas deformações de elasticidade incom-pressível. Para a formulação F eF p esta subrotina não é indicada. Tambémnão é indicada para comportamento viscoelástico.

Quando as propriedades do material são dependentes da tempe-ratura, a subrotina é chamada duas vezes para cada ponto de integração.Primeiramente, para avaliar a relação constitutiva no início do incremento,e posteriormente, avalia-se a temperatura no final do incremento.

Para a presente validação, além da subrotina HOOKLW, tambémutilizou-se a subrotina ELEVAR. Esta subrotina dá ao usuário a opçãode salvar os valores de uma variável qualquer, nos pontos de integração


e no final de cada incremento, de uma forma conveniente para o pós-processamento.

A subrotina HOOKLW, fornecida pelo programa MSC Marc Men-tat, pode ser visualizada na figura 18. Com as variáveis fornecidas peloprograma é possível implementar o modelo constitutivo desejado.

Figura 18 – Subrotina HOOKLWFonte: MSC.Marc Mentat (2013)

5.2.2 Modelo

O objetivo deste exemplo é compreender o funcionamento de su-brotinas que permitem a implementação de modelos constitutivos no pro-grama comercial MSC Marc Mentat, e validar o processo com a aplicaçãoda Lei de Hooke. O modelo 2D foi discretizado com 200 elementos quadri-laterais isoparamétricos e as condições de contorno aplicadas. O modelo éapresentado na figura 25.

O módulo de elasticidade, E, é igual a 1.106 e coeficiente dePoisson, ν, é igual a 0, 3. O exemplo é apenas para validação da subrotina,os valores não correspondem a um material real. Foi utilizado controlede carga com incremento de carga feito em 10 passos, como carga totalaplicada igual a 90N.

5.2. EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: LEI DE HOOKE 63

D

Figura 19 – Geometria, discretização da malha, condições de contorno eaplicação da carga

Fonte: Coelho (2012)

5.2.3 Resultados obtidos

Os resultados para deslocamentos versus carregamento, para onó D destacado na figura 25, obtidos com subrotina e com o programacomercial MSC Marc Mentat são apresentados na figura 20.

Figura 20 – Deslocamento versus CarregamentoFonte: A autora

Os resultados para tensão, na direção 11 e 22, obtidos através dasubrotina e com o programa comercial MSC Marc Mentat, são apresenta-dos nas figuras 21 e 22.


(a) Resultado sem subrotina

(b) Resultados com subrotina

Figura 21 – Resultados da tensão na direção x, S11Fonte: A autora

5.3. EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO DE OGDEN 65



Figura 22 – Resultados da tensão na direção y, S22Fonte: A autora

5.3 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO DE OGDEN

O modelo de material de Ogden é aplicado em materiais hipere-lásticos, como borrachas, polímeros e tecidos biológicos, e utilizado paradescrever modelos de materiais com comportamento não-linear. A funçãoenergia de deformação de Ogden descreve uma ampla classe de materi-ais isotrópicos incompressíveis com deformações finitas, incluindo os casosespeciais Neo-Hookeano e de Mooney-Rivlin.


O presente trabalho utiliza o artigo de Gruttmann e Taylor (1992)como base para a implementação do modelo de Ogden aplicado à mem-branas. Neste artigo, é discutida a análise não-linear de membranas finascom geometria arbitrária, submetidas a grandes deslocamentos e grandesdeformações.

A formulação proposta para as membranas exige o cálculo da raizquadrada dos alongamentos principais. Os alongamentos principais estãorelacionados aos autovalores do tensor de deformação direito de Cauchy-Green. Com base na teoria apresentada na seção 4.2.3, na figura 23 éapresentado um fluxograma para a implementação do modelo.


Figura 23 – Fluxograma da implementação do modelo de OgdenFonte: A autora


5.3.1 Subrotina

A implementação do modelo material de Ogden é realizada como auxílio da subrotina HYPELA2, mostrada na figura 24. Esta subrotinapossui variáveis pré-definidas que auxiliam a implementação do modelo deOgden como os alongamentos e o tensor gradiente de deformação.

Figura 24 – Subrotina HYPELA2Fonte: MSC.Marc Mentat (2013)

O programa fornece ao usuário o deslocamento total, o desloca-mento incremental e outras informações obtidas através do modelo discre-tizado na interface. Deve-se fornecer como saída da subrotina o valor dastensões atualizadas e o tensor constitutivo do material.

Outra exigência para o funcionamento correto desta subrotina é oparâmetro específico. O usuário define este parâmetro para que as informa-ções passadas a subrotina sejam interpretadas corretamente pelo programa.Com o parâmetro LARGE DISP, o programa entende que a deformaçãode Green-Lagrange e o segundo tensor de Piola-Kirchhoff serão utiliza-dos. Com o parâmetro LARGE STRAIN, o programa utiliza a deformaçãologarítmica e o tensor tensão de Cauchy.

Quando a opção ORIENTATION é utilizada, as componentes detensão e deformação são armazenadas no eixo de orientação local. Os veto-res de base rotacionam com o tensor de rotação (R) e, com isto, a tensãoe deformação já estão armazenadas no eixo de orientação rotacionada, oeixo global, antes de HYPELA2 ser chamada.

O número de componentes de tensão e deformação é compostopor número de componentes diretas, NDI, e número de componentes de


cisalhamento, NSHEAR. NDI e NSHEAR são definidos para cada elemento.Para elementos 3D sólidos, NDI=3 e NSHEAR=3, para cascas finas emembranas, NDI=2 e NSHEAR=1. Os valores de NDI e NSHEAR paratodos os elementos disponíveis no programa são encontrados na tabela3-2 do volume D do manual do usuário do MSC Marc Mentat, MSC.MarcMentat (2013).

Sugere-se no manual do usuário, MSC.Marc Mentat (2013), queantes de usar esta subrotina para grandes problemas, o usuário aplique asubrotina em um problema de um elemento com controle das condições decontorno. Assim, é possível verificar a precisão do procedimento de atuali-zação de tensão e a precisão da matriz tangente. A taxa de convergência deum problema não-linear depende da matriz tangente correta, que forneceráa convergência do deslocamento ou norma residual.

5.3.2 Modelo

O modelo analisado consiste em uma membrana quadrada comuma abertura circular, com comprimento de 20 metros, raio de 3 metrose espessura de 1 metro. Este exemplo é encontrado no trabalho de Grutt-mann e Taylor (1992) e em Neto, Peric e Owen (2011).

Devido à simetria, um quarto da membrana foi analisada. O do-mínio foi discretizado em elementos finitos, contém 200 elementos quadri-laterais lineares e 231 nós. O modelo com a geometria, discretização damalha, condições de contorno e aplicação da carga, pode ser visualizadona figura 25.

O modelo material é Ogden, com as constante do material µ1 =50MPa, µ2 = -14MPa e α1 = 2, α2 = -2. A análise foi realizada sobcondições de controle de carga em dez passos, como carga total aplicadaigual a 90 Newtons. A convergência foi alcançada com tolerância iguala 1.10−6 para deslocamentos, através do processo iterativo de Newton-Raphson completo.


D

Figura 25 – Geometria, discretização da malha, condições de contorno eaplicação da carga

Fonte: Coelho (2012)

5.3.3 Resultados obtidos

Na figura 26, apresentam-se os deslocamentos versus carrega-mento para os nós A, B e C, destacados na figura 25.

Figura 26 – Deslocamento versus CarregamentoFonte: A autora

Os resultados obtidos com esta aplicação são os mesmos resulta-dos de Gruttmann e Taylor (1992) e Coelho (2012).


Os resultados para as tensões obtidos com subrotina e com oprograma MSC Marc Mentat, são apresentados nas figuras 27 e 28.

(a) Modelo de Ogden sem subro-tina

(b) Modelo de Ogden com su-brotina

Figura 27 – Resultados da tensão na direção x, S11Fonte: A autora

(a) Modelo de Ogden sem subro-tina

(b) Modelo de Ogden com subro-tina

Figura 28 – Resultados da tensão na direção y, S22Fonte: A autora


5.4 EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO BASEADO EM SUPERFÍ-CIES DE RESPOSTA NURBS

A teoria envolvida neste exemplo de validação está fundamentadano trabalho de Coelho (2012), no qual, um modelo material baseado emsuperfícies NURBS é proposto e validado com resultados experimentais emodelos de materiais clássicos. O modelo tem como objetivo obter paracada valor de deformação o correspondente valor de tensão, através deuma superfície de resposta NURBS e, também, a sua matriz constitutiva.

Observa-se que, as deformações e tensões contidas nas superfíciesde resposta NURBS devem contemplar as deformações e tensões que serãoalcançadas pela análise numérica, visto que, caso os valores analisadosestejam fora da superfície de resposta, o método não conseguirá forneceruma resposta.

A partir disto, deseja-se implementar as subrotinas necessáriaspara a aplicação deste modelo constitutivo no programa comercial MSCMarc Mentat. O modelo de material será aplicado a exemplos com diver-sos comportamentos para que a aplicação deste modelo de material noprograma comercial seja validada.

5.4.1 Subrotina

Para aplicar o modelo constitutivo no programa comercial MSCMarc Mentat, implementam-se os passos descritos no fluxograma apre-sentado na figura 12, utilizando as variáveis disponíveis na subrotina HY-PELA2, figura 24.

5.4.2 Linear Elástico

Conforme a teoria apresentada no item 4.3.1, o modelo e os re-sultados obtidos com a aplicação do modelo constitutivo baseado em su-perfícies NURBS para materiais com comportamento linear elástico sãoapresentados nesta seção.

As superfícies NURBS para material linear elástico, obtidas porCoelho (2012), foram geradas através da Lei de Hooke. Na figura 29, épossível visualizar que para cada tensão principal há uma superfície e, nestecaso, as superfícies são planas. Dois eixos representam as deformações nas

5.4. EXEMPLO DE VALIDAÇÃO: MODELO BASEADO EM SUPERFÍCIES DE

RESPOSTA NURBS 73

direções principais e um a tensão principal. Estas superfícies são compostaspor 9 pontos de controle e curvas definidas por polinômios de grau 1.

(a) Tensão na direção x

(b) Tensão na direção y

Figura 29 – Superfícies NURBS para o modelo linear elásticoFonte: Coelho (2012)

5.4.2.1 Exemplo 1

Para validar este método para grandes deslocamentos e pequenasdeformações, propõe-se este exemplo que representa uma viga longa, figura30, com comprimento de 5m e altura de 0, 1m. A carga total aplicada nonó superior direito igual a 5N e, os nós da esquerda têm deslocamentosrestritos na direção x e na direção y.

As propriedades do material utilizadas são: módulo de Young, E,igual a 55MPa, e o coeficiente de Poisson, ν, igual a 0, 499. Estas pro-priedades foram retiradas de um exemplo apresentado no livro de Bathe(2006) na página 283.

O domínio foi discretizado em elementos finitos composto por


1005 nós e, 800 elementos quadrilaterais isoparamétricos lineares. A aná-lise foi realizada sob condições de controle de carga em cinco passos. Aconvergência foi alcançada com tolerância igual a 1.10−6 para desloca-mentos, através do processo iterativo de Newton-Raphson completo.

F

2

Figura 30 – Modelo de viga longaModelo discretizado em elementos finitos

5.4.2.2 Resultados obtidos

Os deslocamentos na direção y, sem subrotina e com subrotina,para o nó 2, destacado na figura 30, são apresentados na figura 31.

Figura 31 – Deslocamento na direção y versus Carregamento para o exem-plo 1

Fonte: A autora

A distribuição das tensões para a componente de tensão S11 doSegundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff, são apresentadas nas figuras32(a) e 32(b). Nas figuras 33(a) e 33(b) são apresentados os valores nosnós das tensões na direção x e na direção y na região de interesse.


RESPOSTA NURBS 75



Figura 32 – Resultados da tensão na direção x, S11, na região próxima aoengaste para o exemplo 1

Fonte: A autora




Figura 33 – Resultados numéricos da tensão na direção x, S11 para oexemplo 1

Fonte: A autora

5.4.2.3 Exemplo 2

Para validar este método com um campo de tensões não unifor-mes, direções das tensões principais não constantes, componentes normaise cisalhantes, propõe-se este exemplo que consiste em uma membrana qua-drada, com lado igual a 1 metro, sendo os nós inferiores fixos na direçãoy e, os nós da lateral esquerda fixos na direção x.

O domínio foi discretizado em elementos finitos com 4 elementosquadrilaterais isoparamétricos, totalizando 9 nós. O modelo com a geome-tria, discretização da malha, condições de contorno e aplicação da carga,pode ser visualizado na figura 34.

Uma carga de 7,525.103N é aplicada no nó superior direito. Aanálise foi realizada sob condições de controle de carga em cinco passos.


RESPOSTA NURBS 77

A convergência foi alcançada com tolerância igual a 1.10−6 para deslo-camentos, através do processo iterativo de Newton-Raphson completo. Aspropriedades do material utilizadas para o procedimento sem subrotina são:E = 750MPa e ν = 0, 5.

F3

Figura 34 – Modelo de membranaModelo discretizado em elementos finitos


Os resultados para deslocamento versus carregamento obtidoscom a subrotina e com o programa comercial MSC Marc Mentat são apre-sentados na figura 35.

Figura 35 – Deslocamentos versus Carga para o exemplo 2Fonte: A autora

Os resultados númericos das componentes de tensão S11 e S22 doSegundo tensor tensão de Piola-Kirchhoff nos nós, obtidos com a subrotina


e através do programa comercial, são apresentados nas figuras 36 e 37.



Figura 36 – Resultados da tensão na direção x, S11, para o exemplo 2Fonte: A autora


RESPOSTA NURBS 79



Figura 37 – Resultados da tensão na direção y, S22, para o exemplo 2Fonte: A autora


5.4.2.5 Exemplo 3

Para validar este método para deformações angulares com distor-ção, propõe-se este exemplo que consiste em uma membrana quadradade lado igual a 1 metro, sendo os nós inferiores e os nós da lateral es-querda fixos na direção x e y respectivamente. A carga é aplicada nos nóssuperiores e nos nós da lateral direita.

O domínio foi discretizado em elementos finitos com 256 elemen-tos quadrilaterais isoparamétricos e, 289 nós. O modelo com a geometria,discretização da malha, condições de contorno e aplicação da carga, podeser visualizado na figura 38.

As propriedades do material utilizadas são: módulo de Young, E,igual a 75GPa, e o coeficiente de Poisson, ν, igual a 0,5. A análise foirealizada sob condições de controle de carga em cinco passos, com a cargatotal aplicada igual a 33.103N. A convergência foi alcançada com tolerân-cia igual a 1.10−6 para deslocamentos, através do processo iterativo deNewton-Raphson completo.

F

F

�

Figura 38 – Modelo de membrana com carga biaxialModelo discretizado em elementos finitos


RESPOSTA NURBS 81


Os deslocamentos a cada incremento, sem subrotina e com su-brotina, para o nó 3, destacado na figura 38, são apresentados na figura39.

Figura 39 – Deslocamento versus Incremento para o exemplo 3Fonte: A autora

Os resultados das componentes de tensão S11 e S22 do Segundotensor tensão de Piola-Kirchhoff, são apresentados na figura 41. O resul-tado obtido com o programa MSC Marc Mentat também é apresentado.Os resultados das tensões na direção y, S22, são apresentados na figura41. O fator de escala utilizado nas imagens é igual a 10.




Figura 40 – Resultados da tensão na direção x, S11 para o exemplo 3Fonte: A autora


RESPOSTA NURBS 83



Figura 41 – Resultados da tensão na direção y, S22 para o exemplo 3Fonte: A autora

Nas figuras 42 e 43 são apresentados os resultados nos nós locali-zados na parte superior deste modelo de membrana, com resultados para atensão na direção x. E, na parte inferior deste modelo de membrana, comresultados para a tensão y.




Figura 42 – Resultados numéricos da tensão na direção x, S11 para oexemplo 3


RESPOSTA NURBS 85



Figura 43 – Resultados numéricos da tensão na direção y, S22 para oexemplo 3


5.4.2.7 Exemplo 4

Para validar este método com a direção das tensões principais nãoconstantes, próximo ao engaste, propõe-se este exemplo que consiste emuma barra, exibido na figura 44, com comprimento de 0, 2m e altura de0, 1m.

A carga total aplicada na direção x igual a 25.103N. Os nós daesquerda tem deslocamentos restritos na direção x e y. As propriedades domaterial utilizadas são módulo de Young, E, igual a 55MPa, e o coeficientede Poisson, ν, igual a 0,499. Estas propriedades foram retiradas de umexemplo apresentado no livro de Bathe (2006).

O domínio foi discretizado em elementos finitos composto por 66nós e, 50 elementos quadrilaterais isoparamétricos lineares. A análise foirealizada sob condições de controle de carga em cinco passos. A conver-gência foi alcançada com tolerância igual a 1.10−6 para deslocamentos,através do processo iterativo de Newton-Raphson completo.

F

1

4 5

2

6 7

8 9 10 11

12 1�

�

14 15

16 17 18 19

20 21

Figura 44 – Modelo de barraModelo discretizado em elementos finitos


RESPOSTA NURBS 87


Os resultados dos deslocamento versus carregamento para o nó3, destacado na figura 44, com a subrotina e com o programa comercialMSC Marc Mentat, são apresentados na figura 45.

Figura 45 – Deslocamento versus Carregamento para o exemplo 4Fonte: A autora

Os resultados das componentes de tensão S11 e S22 do Segundotensor tensão de Piola-Kirchhoff, para os nós destacados na figura 44, sãoapresentados nas figuras 46 e 47. Os erros relativos entre as tensões obtidaspelo programa comercial e as tensões obtidas através da subrotina tambémsão apresentados.


Figura 46 – Resultados das tensões na direção x, S11, para o exemplo 4Fonte: A autora


RESPOSTA NURBS 89

Figura 47 – Resultados das tensões na direção y, S22, para o exemplo 4Fonte: A autora

5.4.3 Hiperelástico

A teoria utilizada no modelo hiperelástico baseado em superfície deresposta NURBS está apresentada no item 4.3.1. O modelo foi propostoe validado no trabalho de Coelho (2012) e, tem como objetivo encon-trar o comportamento do material, através de uma superfície de respostaNURBS.

As superfícies NURBS para materiais hiperelásticos foram geradasatravés do modelo constitutivo de NeoHookean, com o auxílio dos mínimosquadrados. As superfícies apresentadas na figura 48, são compostas por 31pontos de controle e grau 3.


1

ε1

S (MPa)

2S (MPa)

ε1 ε2

ε2

Figura 48 – Superfícies NURBS para material Neo-HookeanoFonte: A autora

5.4.3.1 Exemplo

O exemplo para o caso hiperelástico consiste em uma membranaquadrada, com 1 metro de lado. O domínio foi discretizado em elemen-tos finitos e tem 100 elementos quadrilaterais isoparamétricos lineares,totalizando 121 nós. O modelo com a geometria, discretização da malha,condições de contorno e aplicação da carga, igual a 89, 44MN, pode servisualizado na figura 49.

As constante do material utilizadas são: µ1 = 96,1538462MPa eα2 = 2. A análise foi realizada utilizando o método de comprimento de arcode Riks-Ramm, descrito com detalhes em Mentat (2013), disponibilizado


RESPOSTA NURBS 91

na interface do programa comercial. A convergência foi alcançada comtolerância igual a 1.10−6 para deslocamentos.

F

Figura 49 – Modelo discretizado em elementos finitosFonte: A autora


Apresenta-se, para determinado incremento, a matriz constitutivado material nas direções correntes obtida através do programa MSC MarcMentat e, compara-se com a obtida através da subrotina utilizando assuperfícies de resposta NURBS para o caso hiperelástico.

Matriz constitutiva do material nas direções correntes obtida atra-vés do programa MSC Marc Mentat para o primeiro incremento, com cargaigual a 0.0446025MN e comprimento de arco igual a 5.08949.10−4:

dS

dE=

3.8573E + 02 1.9104E + 02 0.0000E + 001.9104E + 02 3.7863E + 02 0.0000E + 000.0000E + 00 0.0000E + 00 9.5560E + 01

(5.1)

Através da subrotina, para o primeiro incremento, obtem-se a ma-triz constitutiva do material nas direções correntes:

dS

dE=

3.9623E + 02 1.9214E + 02 −2.3182E − 071.9200E + 02 3.8969E + 02 1.2289E − 07

−2.3416E − 07 1.2055E − 07 9.5230E + 01

(5.2)

Matriz constitutiva do material nas direções correntes obtida atra-vés do programa MSC Marc Mentat para o sétimo incremento, com carga


igual a 0.496088MN e comprimento de arco igual a 2.58867.10−3:

dS

dE=

3.9823E + 02 1.7924E + 02 0.0000E + 001.7924E + 02 3.2282E + 02 0.0000E + 000.0000E + 00 0.0000E + 00 8.9655E + 01

(5.3)

Através da subrotina, para o sétimo incremento, obtem-se a matrizconstitutiva do material nas direções correntes:

dS

dE=

4.0072E + 02 1.8445E + 02 −2.3813E − 071.8367E + 02 3.5049E + 02 −1.3197E − 07

−2.4398E − 07 −1.3782E − 07 9.2226E + 01

(5.4)

————————————————————

93

6 CONCLUSÃO

Neste trabalho, realizou-se a análise numérica de um conjunto demodelos constitutivos. Estes modelos foram implementados em linguagemFortran 77 e aplicados ao programa comercial de elementos finitos MSCMarc Mentat.

A fim de esclarecer a utilização de subrotinas neste programa co-mercial, iniciou-se pela implementação da lei de Hooke. Esta lei constitutivafoi implementada dentro da subrotina HOOKLW, recomendada pelo pro-grama para a implementação de leis constitutivas elásticas. Os resultadosencontrados foram satisfatórios e equivalentes aos esperados.

A formulação desenvolvida para membranas incompressíveis, dis-ponível no trabalho de Gruttmann e Taylor (1992), é baseada no modelomaterial de Ogden e expressa em função dos alongamentos principais. Omodelo foi implementado utilizando a estrutura da subrotina HYPELA2,recomendada pelo programa comercial para a aplicação de leis constitutivasarbitrárias. A aplicação deste modelo no programa comercial, mostrou-secapaz de reproduzir os resultados esperados e equivalentes aos encontradospelo programa comercial sem o uso da subrotina.

Na sequência, o modelo material baseado em superfícies de res-posta NURBS para materiais de comportamento linear elástico foi imple-mentado. Para determinar o tensor constitutivo a partir das derivadas dassuperfícies NURBS, foi necessário implementar as subrotinas auxiliares en-volvidas neste processo.

É possível afirmar que estas subrotinas foram validadas neste exem-plo, pois os valores das tensões calculadas através das implementaçõesrealizadas nas subrotinas, HYPELA2 e auxiliares, foram análogas as cal-culadas pelo programa comercial MSC Marc Mentat utilizando o modelomaterial linear elástico.

Os valores nos nós para as componentes de tensão do Segundotensor tensão de Piola-Kirchhoff são exibidos. É possível verificar que os re-sultados obtidos através da subrotina são iguais aos obtidos pelo programacomercial, até a quarta ou quinta casa decimal.

Destaca-se que, nos exemplos apresentados para o comportamentolinear elástico, à medida que a deformação ocorre, os alongamentos e asrotações vão variando. Assim, a implementação da subrotina realizada notrabalho é confiável devido as validações apresentadas.

94 Capítulo 6. CONCLUSÃO

A implementação foi aplicada para o caso hiperelástico. Os re-sultados obtidos com a subrotina são próximos aos resultados alcançadospelo programa comercial e, representam o comportamento do material atéo sétimo incremento de carga.

Para trabalhos futuros, seria interessante realizar uma comparaçãodos dados obtidos com a aplicação das subrotinas no MSC Marc Mentatpara o modelo material baseado em superfície de resposta NURBS, comdados experimentais obtidos por meio de ensaios uniaxiais e biaxiais commembranas.

Além disso, em futuros desenvolvimentos, modelos elastoplásticose elastoviscoplásticos, considerando que só será possível aplicar carrega-mento monotônico, modelos com grandes deformações podem ser imple-mentados na subrotina HYPELA, entre outros modelos que não estejamdisponíveis na interface do programa comercial.

95

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Apêndices

103

APÊNDICE A – DEDUÇÃO DA COMPONENTE dS12

2dE12

Para deduzir a componente dS12

2dE12

, aplica-se a regra da cadeia e

obtém-se:

∂S12

2∂E12

=∂S12

∂φ·

∂φ

2∂E12

. (A.1)

Inicialmente, calcula-se ∂φ

2∂E12

. Com E = 12 (C − I), encontra-se

a igualdade:

∂φ

2∂E12

=∂φ

∂C12

. (A.2)

Define-se

C =[C11 C22 2C12

](A.3)

C =[C11 C22 2C12

](A.4)

T =

cos2(φ) sen2(φ) cos(φ)sen(φ)sen2(φ) cos2(φ) −cos(φ)sen(φ)

−2cos(φ)sen(φ) 2cos(φ)sen(φ) cos2(φ) − sen2(φ)

(A.5)

e com a relação C = T · C, é possível obter

C12 = −1

2(−C11 − C22)sen(2φ) + C12cos(2φ). (A.6)

Derivando a equação A.6 em relação a φ, tem-se:

∂C12

∂φ= −

1

2(C11 − C22)2cos(2φ) − (2C12sen(2φ)), (A.7)

onde, φ é dado por

φ =1

2arctg(

2C12

C11 − C22) (A.8)

tg(2φ) =2C12

C11 − C22(A.9)

2C12 = tg(2φ)(C11 − C22). (A.10)

104 APÊNDICE A. DEDUÇÃO DA COMPONENTE dS12

2dE12

Retomando em A.7,

∂C12

∂φ= [−(C11 − C22)cos(2φ) −

sen(2φ)

cos(2φ)(C11 − C22)sen(2φ)]

=−(C11 − C22)cos2(2φ)

cos(2φ)−

(C11 − C22)sen2(2φ)

cos(2φ)

=−(C11 − C22)

cos(2φ)[cos2(2φ) + sen2(2φ)]

=−(C11 − C22)

cos(2φ). (A.11)

Finalmente, conclui-se que

∂φ

∂C12

= −cos(2φ)

C11 − C22. (A.12)

Para calcular ∂S12

∂φ, utiliza-se a relação S = T T · S e obtém-se:

S12 = senφcosφ(S1 − S2) + S12(cos2φ − sen2φ), (A.13)

desenvolvendo o cálculo e sabendo que S12 = 0, neste caso, tem-se que

−1

2· 2cos2φ(S1 − S2) +

∂S12

∂φ· cos2φ − 2seneφS12 = 0. (A.14)

Derivando a equação A.14 em relação a φ e isolando o termo ∂S12

∂φ, é

obtém-se:

∂S12

∂φ= (S2 − S1) − 2tg2φ · S12, (A.15)

onde, S12 = 0. Logo,

∂S12

∂φ= (S2 − S1). (A.16)

Assim, é possível mostrar que:

∂S12

2∂E12

=∂S12

∂φ·

∂φ

2∂E12

=−(S2 − S1)cos(2φ)

C11 − C22. (A.17)

105

APÊNDICE B – TUTORIAL PARA COMPILAR UMASUBROTINA NO MARC MENTAT

Para a utilização das subrotinas definidas pelo usuário no programacomecial MSC Marc Mentat, recomenda-se que o usuário coloque todos osarquivos envolvidos no processo no mesmo diretório, e direcione o programapara este diretório. Caso contrário, o programa não achará a subrotinachamada e ocorrerá erro. Na figura 50, é possível visualizar onde alterar odirecionamento do programa.

Recomenda-se, também, colocar em um diretório diferente o mo-delo que será executado com a subrotina do modelo que será executadosem subrotina, para garantir que o programa não usará a solução errada.

No item Jobs, deve-se incluir os parâmetros necessários para autilização da subrotina escolhida pelo usuário, como mostrado na figura51. Estes parâmetros estão descritos no volume D do manual do usuário,MSC.Marc Mentat (2013), na seção da subrotina em questão.

Após isto, no item Run, será possível selecionar o arquivo, com aextensão ".f", com a subrotina implementada pelo usuário, como ilustradona figura 52.

Após a análise, com ou sem subrotina, o programa gera arquivos.No arquivo .dat, é possível obter toda a configuração do modelo, coorde-nadas, conectividades, condições de contorno, propriedades do material eoutros parâmetros. No arquivo .log, é possível visualizar o que ocorre emcada incremento, e outras saídas definidas na implementação da subrotina.Como também, verificar a convergência do problema.

106

APÊNDICE B. TUTORIAL PARA COMPILAR UMA SUBROTINA NO MARC

MENTAT

Figura 50 – Selecionar diretório

107

Figura 51 – Adição de parâmetros

108

APÊNDICE B. TUTORIAL PARA COMPILAR UMA SUBROTINA NO MARC

MENTAT

Figura 52 – Selecionar subrotina

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