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Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano

Por que utilizar vetores?

Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido.

deslocamentovelocidadeforçaaceleraçãotorque

Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade.

comprimentomassatempotemperaturapressão

Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais.


O que são vetores?Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS

Dois pontos no espaço definem:A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; A

B

B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B;

A

B

C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. A

B


SEGMENTOS ORIENTADOSOs segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem:

Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada.

u.m.A B

Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção

A

B

C

DDireções diferentesNão podemos comparar sentidos

XY

P QMesma direçãoSentidos contrários M

N L

K

Mesma direçãoMesmo sentido


SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTESDois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido.

A

B

C

D

OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes.

AB CDPodemos escrever:

A

B C

D

Propriedades:

A B

1) Se AB CD então AC BD

DC

Propriedades:

E

BA


C D

F

2) Se AB CD e CD EF então AB EF

AB CDCD EFAB EF

3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD

BA

C

AB CD

D

= outro vetor

B


Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si.

VETORES: Definição

A = 1 vetor

A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto.

Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB.Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre.

Nomenclatura: AB ou v ou (B-A)


VETORES

Vetores iguaisDois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD

Vetor nuloOs segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0 .

Vetores opostosDado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v .

|AB|=|CD|;

AB e CD tem mesma direção;

AB e CD tem mesmo sentido.

Vetores unitários ou versoresÉ um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1.O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta mesma direção e sentido de v . v

v


OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES

1) Produto de um número real por um vetorDado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características :

Exemplos:

p

v

p = 2 v r = -3 w

w r

A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real “a” ;

se a > 0, p e v tem mesmo sentido

se a < 0, p e v tem sentidos contrários

O sentido do vetor p depende do sinal do número real “a”:

u.m.d = - 4,5 e

de


2) Soma de vetoresUma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último.

p

v

s = v + p

s

v


Propriedades

v + p = p + v (propriedade comutativa)a)

p s

s = v + p = p + v


v w

p

Propriedades

s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa)a)

s


Propriedades

s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa)b)

v w

p

s

v + p

p + w

2) “Subtração” de vetoresNão se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo


d = v – p = v + ( – p )

v

– p

p d

d

2) “Subtração” de vetores


d = r – u = r + ( – u )

r

d

u

u

DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO

Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma?É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

A = v + h

Av

h

h

v

| v |=| A | sen

| h |=| A | cos

| v |=| A | cos

| h |=| A | sen

Podemos escrever que: E também que:


A = ax + ay

B

A

ax

ay

bx

by

B = bx + by

ax = A cos ay = A sen

bx = B cos by = B sen

S = A +BS = ( ax + ay ) + ( bx + by )

S = ( ax + bx ) + ( ay + by )


B

A

ax

ay

bx

by

S = Sx + Sy

S Quem é o vetor S ?

módulodireçãosentido

Sx = ax + bx

Sy = ay + by

S = ( Sx )2 + ( Sy )2

Sx

Sy

Módulo:Direção e Sentido:

= tg – 1 (Sy / Sx)

= tg – 1 (Sx / Sy)

S = A +BS = ( ax + ay ) + ( bx + by )

S = ( ax + bx ) + ( ay + by )


B

A

i

j

ax i

ay j

bx i

by j

S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j )

S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) jS = Sx i + Sy j

S = ( Sx )2 + ( Sy )2 = tg – 1 (Sy / Sx)

S = ( ax + ay ) + ( bx + by )S = A +B

Vamos determinar:

Definindo os versores das direções horizontal e vertical:

S

Sx

Sy

B

A

60°

EXEMPLO 1: S = A +BVamos determinar

30°

| A |= A = 12 cm

| B |= B = 6 cm

ij

Lembrando que:

bx ( -i )

by j

ax i

ay j

ax = 12 cos(60°) = 6 cm ay = 12 sen(60°) = 10,4 cm

bx = 6 cos(30°) = 5,2 cm by = 6 sen(30°) = 3 cm

S = A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j

S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j

S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j

S

Sx

Sy

= tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6°

S = ( Sx )2 + ( Sy )2S = (0,8)2 + (13,4)2S = 13,42 cm

EXEMPLO 2:Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida?

N

S

O L

22,5° DDy

Dx | D |= D = 209 Km

D = Dx + Dy

Dx é a distância que o avião viajou ao leste

Dy é a distância que o avião viajou ao norte

Dx = 209 sen(22,5°) = 80 Km Dy = 209 cos(22,5°) = 193 Km

O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida.RESPOSTA:

EXEMPLO 3:Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro

N

S

O L

D Dy

Dx

D = Dx + Dy

| Dx |= Dx = 32 Km

| Dy|= Dy = 47 Km

D é o vetor que indica a localização do carro

Quem é o vetor D ?

módulodireçãosentido

D = ( Dx )2 + ( Dy )2D = (32)2 + (47)2D = 56,9 Km

tg = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593

= tg –1 (0,593)= 30,7°

ay j

az k

ax i ij

k

x

y

zEm três dimensões

Podemos dizer que: A = ax i + ay j + ay k

A

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