UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ CAMPUS ITAJUBÁ

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

POSSIBILIDADES E LIMITES DO USO DE JOGOS COMO

RECURSO PARA A APRENDIZAGEM MATEMÁTICA

Patrick Eduardo da Conceição

Orientadora: Profa. Dra. Eliane Matesco Cristovão

UNIFEI – Itajubá

2017

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ CAMPUS ITAJUBÁ

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

POSSIBILIDADES E LIMITES DO USO DE JOGOS COMO

RECURSO PARA A APRENDIZAGEM MATEMÁTICA

PATRICK EDUARDO DA CONCEIÇÃO

Orientadora: Profa. Dra. Eliane Matesco Cristovão

Trabalho de Conclusão de Curso submetido à banca

identificada na página seguinte como parte dos requisitos

para a conclusão do Curso de Matemática Licenciatura da

UNIFEI.

Área de Concentração: Educação Matemática

UNIFEI - Itajubá

2017

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ CAMPUS ITAJUBÁ

CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA

POSSIBILIDADES E LIMITES DO USO DE JOGOS COMO

RECURSO PARA A APRENDIZAGEM MATEMÁTICA

Trabalho de Conclusão de Curso aprovado pela banca examinadora

abaixo especificada na data de 28 de Novembro de 2017.

Banca examinadora:

UNIFEI - Profa. Dra. Eliane Matesco Cristovão

UNIFEI - Profa. Dra. Flávia Sueli Fabiani Marcatto

UNIFEI - Profa. Dra. Denise Pereira de Alcântara Ferraz

UNIFEI - Itajubá

2017

iv

"Ninguém ama o que não conhece": então fica explicado

porque tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a

eles não foi dado conhecer a matemática, como podem vir

a admirá-la?

(LORENZATO, 2006, p. 34)

v

Dedicatória

À memória de minha mãe, que se faz presente em

todos os dias de minha vida.

vi

Agradecimentos

Ao meu pai Carlos e minha mãe Rosa (em memória), que mais do que me

proporcionar uma boa infância e vida acadêmica, formaram os fundamentos do meu caráter e

me apontaram para a vida.

Aos meus irmãos e familiares, por entenderem minhas ausências, pela companhia

constante, orações, palavras, abraços e aconchego.

Aos meus professores da graduação, em especial aos de educação, pelas trocas de

conhecimento e experiências que foram tão importantes na minha vida acadêmica e pessoal.

À minha professora Eliane. Orientadora desta pesquisa, por sua sabedoria, incentivo,

apoio e, principalmente, pela paciência com todas as minhas falhas enquanto orientando.

À todos os meus colegas, amigos e companheiros do Pibid Matemática, que de uma

forma ou de outra me incentivaram nessa batalha. Quero agradecer de forma especial ao

professor Paulo, pelo exemplo, incentivo e companheirismo nestes quatro anos de projeto.

Aos amigos de perto e de longe. Obrigado, pela paciência, pela mão que sempre se

estendia quando eu precisava. Foram vocês que aliviaram minhas horas difíceis, me

alimentando de certezas, força e alegria.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

À Deus, que mais do que me criar, deu propósito à minha vida.

vii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 1

2. OS JOGOS NA VIDA E NO ENSINO .............................................................................. 6

2.1 – Definição e tipos de Jogos ......................................................................................... 6

2.2 – O Jogo no contexto da sala de aula e o papel do professor ....................................... 8

2.3 – O jogo no contexto da aprendizagem do aluno ......................................................... 9

2.4 – Etapas do jogo ......................................................................................................... 10

3. O CAMINHO JÁ PERCORRIDO POR OUTRAS PESQUISAS ....................................... 12

3.1. Trabalhos que investigaram crenças, concepções, saberes e apropriações de

professores e licenciados .................................................................................................. 14

3.2. Trabalhos que investigaram práticas com jogos ........................................................ 17

4. PERCURSO METODOLÓGICO ........................................................................................ 19

5. ANÁLISES E RESULTADOS ........................................................................................... 22

5.1. Mandala Trigonométrica .......................................................................................... 22

Identificando dificuldades e analisando o domínio dos conceitos ........................... 24

Familiarização com o a proposta de intervenção, o jogo e suas regras. .................. 26

Intervenção pedagógica e registro do jogo .............................................................. 31

Formalização dos conceitos ..................................................................................... 36

5.2. Torre de Hanói .......................................................................................................... 43

Familiarização com o jogo e reconhecimento das regras ........................................ 45

Intervenção pedagógica verbal e apresentação das situações-problema .................. 46

Formalização e apresentação dos relatórios ............................................................. 51

Alguns levantamentos quantitativos ........................................................................ 57

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................................................................................. 59

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................... 61

APÊNDICES ............................................................................................................................ 64

ANEXOS .................................................................................................................................. 75

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Tabuleiro do jogo Mandala Trigonométrica ............................................................ 23 Figura 2 - Fila de cores ............................................................................................................. 24 Figura 3 - Resolução do aluno JL. ............................................................................................ 24

Figura 4 - Fotos de algumas equipes durante o jogo. ............................................................... 30 Figura 5 – Registro de uma jogada da dupla PR ...................................................................... 30 Figura 6 - Registro de uma jogada da dupla SJ ........................................................................ 31 Figura 7 - Rascunho das jogadas da dupla BJ durante o primeiro momento de jogo .............. 33 Figura 8 - Rascunho das jogadas da dupla BJ durante o segundo momento de jogo ............... 34

Figura 9 - Rascunho das jogadas da dupla CV durante o primeiro momento de jogo ............. 34 Figura 10 - Rascunho das jogadas da dupla CV durante o segundo momento de jogo............ 35

Figura 11 - Tabela da primeira atividade.................................................................................. 36

Figura 12 - Rascunho da dupla LS ........................................................................................... 37 Figura 13 – Atividades da dupla TJ. ......................................................................................... 39 Figura 14 - Atividades da dupla ED. ........................................................................................ 40 Figura 15- Atividades da dupla VE. ......................................................................................... 41

Figura 16 - Gráfico da função seno. Dupla TJ ......................................................................... 42 Figura 17 – Gráfico da função seno. Dupla ED. ...................................................................... 42

Figura 18 - Alunos reunidos no pátio durante a apresentação do material. ............................. 46 Figura 19 - Solução apresentada pela equipe CRH .................................................................. 52

Figura 20 - Solução apresentada pela dupla FB. ...................................................................... 53 Figura 21 - Solução apresentada pela equipe CRH .................................................................. 53 Figura 22 - Esquema de uma jogada com quatro peças. .......................................................... 54

Figura 23 - Resolução da terceira questão apresentada pela dupla TT. ................................... 56

ix

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Vantagens e desvantagens da utilização de jogos. ................................................... 8

Quadro 2 - Pesquisas que contemplam o levantamento bibliográfico ..................................... 13 Quadro 3 - Primeira questão do teste........................................................................................ 24 Quadro 4 - Segunda questão do teste........................................................................................ 25 Quadro 5 - Terceira questão do teste. ....................................................................................... 25 Quadro 6 - Excerto retirado de um portfólio ............................................................................ 38

Quadro 7 - A lenda da Torre de Hanói ..................................................................................... 44 Quadro 8 - Excerto do portfólio da bolsista PB........................................................................ 45 Quadro 9 - Primeira questão do roteiro de atividade. ............................................................... 48 Quadro 10 - Segunda questão do roteiro de atividade. ............................................................. 49

Quadro 11 - Excerto do portfólio do bolsista BK. .................................................................... 49 Quadro 12 – Terceira, quarta e quinta questão do roteiro de atividade. ................................... 50

x

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

EJA Educação de Jovens e Adultos

LABFOR Laboratório de Formação Docente

LEM Laboratório de Ensino de Matemática

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PIBID Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência

PUC Pontifícia Universidade Católica

UFMS Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

UFRPE Universidade Federal Rural de Pernambuco

UMESP Universidade Metodista de São Paulo

UnB Universidade de Brasília

UNESP Universidade Estadual Paulista

UNIFEI Universidade Federal de Itajubá

USS Universidade Severino Sombra

xi

RESUMO

Desde 2014 participo do Programa de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) da Unifei.

Como integrante do subprojeto de Matemática, tenho trabalhado com diferentes abordagens

de ensino nas aulas de uma escola pública da cidade de Itajubá em Minas Gerais. Diante das

experiências já vividas, sou consciente de que a matemática trabalhada de maneira muito

focada em aulas expositivas, na qual os alunos são passivos e muitas vezes tem uma visão

fragmentada dos conteúdos, gera desmotivação, e consequentemente, fracassos e insuficiência

na aprendizagem. A construção do conhecimento acontece por meio de ações que alimentam

as estruturas mentais e uma maneira de proporcionar estas ações é por meio do uso de jogos

que podem ser um facilitador na aprendizagem dos alunos, desenvolvendo sua capacidade de

pensar, refletir, analisar, compreender conceitos, levantar hipóteses, testá-las e avaliá-las. Para

possibilitar uma visão mais ampla sobre “Jogos”, suas possibilidades e limites foi realizado

um levantamento bibliográfico de pesquisas sobre a temática, buscando identificar caminhos e

propostas bem sucedidas. De forma concomitante foram desenvolvidas intervenções com

jogos em duas turmas de ensino médio acompanhadas por bolsistas do Pibid. Desta forma,

esta pesquisa visou investigar as contribuições e limitações do uso de jogos pedagógicos para

a compreensão do ciclo trigonométrico e para a apreensão do comportamento da função

exponencial. Durante a intervenção, realizada em parceria com colegas bolsistas, anotações

em portfólios do PIBID ajudaram a compor um diário de campo, cujas informações foram

complementadas com audiogravações. O material produzido pelos alunos também foi objeto

de estudo. Para analisar os estes dados foram estabelecidos os seguintes eixos: (1) a

manifestação do pensamento matemático emergente em cada jogo; (2) a participação e o

envolvimento dos alunos durante os momentos de intervenção; (3) a presença de habilidades

como criar hipóteses, desenvolver resoluções e construção de estratégias a partir do uso dos

jogos. Percebemos que o jogo auxilia na interação do aluno com o conhecimento e por ter um

caráter motivador ele permite maior socialização, criatividade e cognição. Assim, uma

atividade bem estruturada e planejada, faz com que os jogos sejam um recurso pedagógico

que estrutura o pensamento e o raciocínio dos alunos, o que permite uma aprendizagem mais

efetiva.

Palavras-chave: Jogos; Pibid; Matemática; Trigonometria; Função exponencial.

1

1. INTRODUÇÃO

Apesar do avanço das discussões teóricas acerca de como ensinar matemática de

forma a propiciar a construção do conhecimento pelo aluno, na prática este é um desafio ainda

a ser vencido por professores preocupados com uma educação de qualidade. Ao adentrar a

sala de aula, tanto na posição de futuro professor (como bolsista do Pibid1 e como estagiário)

quanto atuando como professor de matemática da Educação Básica, pude perceber que o

trabalho com metodologias que despertam o interesse do aluno consegue motivá-los mais, e

consequentemente, ao promover uma aula mais dinâmica e eficiente, propiciam uma

aprendizagem mais significativa por parte desse aluno.

Enquanto aluno da Educação Básica, tive professores memoráveis por sempre nos

incentivarem a estudar e continuar buscando conhecimento, mas as vivências como estagiário

e como bolsista de iniciação à docência (ID) permitiram algumas mudanças de concepções.

Hoje vejo que a matemática aprendida nessa fase, na qual o objetivo principal era fazer com

que atingíssemos uma “nota”, era baseada no ensino de técnicas e em repetições que pouco

significado traziam aos conceitos estudados. O material utilizado se limitava ao livro didático,

não havendo espaço para a exploração de outras formas de aprender.

Na graduação, me deparei com um mundo diferente. Apesar da difícil adaptação em

relação às exigências das disciplinas que abordavam os conteúdos tidos como mais complexos

da matemática, tive experiências que mudaram o meu olhar em relação ao que imaginava “Ser

Professor”. Atuando ao mesmo tempo como professor na Educação Básica2, como estagiário

e também como bolsista do Pibid, pude sentir algumas das dificuldades diárias enfrentadas

para se trabalhar com determinados conteúdos em sala de aula. Muitas vezes, a falta de

compreensão por parte dos alunos gera desmotivação e consequentemente uma antipatia pela

Matemática, desta forma torna-se necessário propor alternativas que resgatem a motivação e

que apoiem o processo de construção do conhecimento. Como afirmam Fiorentini e Miorin

(1990),

Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um 'aprender' mecânico,

repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito menos um 'aprender'

que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo do qual o aluno

participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente

produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade.

(p. 60).

1 Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência

2 Atuando no programa Mais Educação.

2

Esta inserção no ambiente escolar, paralela ao aprendizado propiciado pelas

disciplinas da graduação, por um lado permitiu que eu refletisse sobre os problemas causados

pela limitação ao uso de metodologias de cunho mais tradicional. Por outro lado, possibilitou

que eu conhecesse e vivenciasse metodologias alternativas, a partir das quais pude

compreender o meu papel enquanto formador de futuros cidadãos.

O contato com aulas expositivas, embora tenha causado muitas vezes o desejo de

desistir, foi também uma fonte de aprendizagem, especialmente sobre como não deve agir um

professor. O método de aula expositiva, que coloca o professor como centro de atenção, é o

procedimento mais frequentemente utilizado. Muitos professores continuam “[...] com suas

aulas de matemática com as mesmas abordagens de décadas anteriores: ênfase em cálculos e

algoritmos desprovidos de compreensão e de significado para os alunos.” (NACARATO,

MENGALI & PASSOS, 2009, p.18).

No âmbito das disciplinas de Prática de Ensino de Matemática, obrigatórias para a

graduação, pude conhecer novas tendências em Educação Matemática, as quais contribuíram

para a mudança de minha percepção sobre o papel do professor. Inicialmente, conhecemos a

investigação matemática, a qual, aliada à resolução de problemas, pode auxiliar no

desenvolvimento do raciocínio e mobilização de saberes dos alunos, além do

desenvolvimento de inúmeras habilidades. O uso de tecnologias, assim como os materiais

concretos e jogos podem aumentar o interesse dos alunos em construir seu próprio

conhecimento, não tomando estes métodos como simples motivadores, mas sim como uma

forma de apresentar conteúdos, muitas vezes abstratos, de forma mais clara. Além disso,

houve contato com a modelagem matemática, a etnomatemática e a história da matemática,

com as quais ainda não pude vivenciar experiências próprias.

A disciplina optativa Tópicos Especiais em Educação Matemática nos apresentou a

metodologia de jogos educacionais para o ensino e aprendizagem de matemática. Durante a

mesma foi realizado um estudo da prática de atividades matemáticas em contextos de jogos,

além disso, proporcionou uma reflexão sobre os procedimentos utilizados na elaboração de

estratégias e resolução de situações-problema presentes no jogo.

Em resumo, para tornar o aluno protagonista do processo de construção de seu próprio

conhecimento, pode-se utilizar de um contexto histórico (história da matemática), instigar seu

pensamento (investigação matemática), valorizar seu conhecimento natural (etnomatemática),

buscar relações com o cotidiano (modelagem) ou partir de problemas (resolução de

3

problemas), os quais podem estar associados a formas concretas (materiais concretos e jogos)

ou ainda fazer uso de artefatos tecnológicos (novas tecnologias).

Diante destas experiências percebi que o desinteresse e a dificuldade dos alunos em

atribuir significado aos conceitos matemáticos podem ser algumas das consequências de uma

visão fragmentada e descontextualizada do conteúdo e, que o uso de novas metodologias,

capazes de propiciar um ensino que relaciona mais os conteúdos entre si e com o cotidiano,

precisa ser uma busca constante de quem se torna professor, desde a sua formação inicial.

O interesse pela ludicidade foi despertado pelas disciplinas citadas, e pôde ser

vivenciado na prática tanto por meio das experiências como bolsista do Pibid quanto ao

assumir uma sala de aula de Educação Básica como professor no ensino integral. A

construção de um Laboratório de Ensino de Matemática (LEM), na escola em que atuei como

bolsista, fez com que eu buscasse estudos teóricos, os quais me fizeram refletir sobre a

importância da ludicidade. Nestes dois espaços, um de atuação profissional e outro de

formação, busquei desenvolver projetos e intervenções que utilizavam materiais concretos e

jogos, apoiados na metodologia da resolução de problemas. Neste contexto, os materiais

concretos e os jogos são instrumentos que possibilitam e facilitam a mediação entre os alunos

e o conhecimento.

Na ação do jogo o aluno pode se conhecer, estabelecer limites de suas habilidades e

aprender a avaliar o que é preciso para ganhar, desenvolvendo sua capacidade para evitar uma

possível derrota. Portanto, os jogos se apresentam como um instrumento ao professor,

servindo como um facilitador na aprendizagem de estruturas matemáticas, muitas vezes de

difícil assimilação ao aluno, desenvolvendo sua capacidade de pensar, refletir, analisar,

compreender conceitos, levantar hipóteses, testá-las e avaliá-las (GRANDO, 2000).

Experiências com os jogos e materiais construídos para o acervo do LEM, os quais

foram amplamente utilizados em intervenções em sala de aula, me ajudaram a entender o

quão importante é despertar a motivação dos alunos durante o processo de construção do

conhecimento. Estas intervenções faziam com que os alunos se movimentassem e se

mostrassem mais ativos, mais presentes, propiciando uma melhor qualidade na aprendizagem

e possibilitando um novo modo de ver a matemática, tanto para eles, quanto para mim, como

professor.

Entretanto, o fato de atuar na prática e não apenas estudar na teoria, me permitiu

refletir também sobre os erros cometidos durante o processo. Como exemplo desse tipo de

4

reflexão, optei por apresentar o relato de uma intervenção realizada em uma turma de 2º ano,

na qual utilizamos do jogo General3 como disparador do estudo de probabilidade.

O jogo em questão é uma variação conhecida dos jogos Bozó, Yam e Yatzee,

utilizando algumas regras e conceitos dos mesmos. Ele foi objeto de uma intervenção sobre o

estudo de probabilidade, a qual foi dividida em duas partes. Inicialmente os alunos se

familiarizaram com o material e as regras do jogo, buscando entender o raciocínio e jogar

com estratégias mais elaboradas. Para realizar o estudo de probabilidades foi necessário fazer

uma adaptação, devido à dificuldade de se desenvolver o conteúdo utilizando o material

próprio do jogo, porém, isto fez com que os alunos não mostrassem o mesmo interesse

percebido anteriormente, apesar de terem trabalhado de forma conjunta na resolução das

situações propostas.

Embora esta intervenção tenha me permitido entender o quanto uma abordagem que

faz com que os alunos busquem uma participação mais ativa, raciocinando e elaborando

estratégias, pode contribuir para a sua aprendizagem, por meio das discussões realizadas em

reuniões do Pibid e em momentos de aula da disciplina Tópicos Especiais em Educação

Matemática, pude entender que o encaminhamento tomado poderia ter sido feito de uma

maneira diferente.

Percebi que a intervenção poderia ter sido iniciada com a atividade adaptada,

dificultando as jogadas à medida que os alunos fossem entendendo as situações apresentadas,

pois, desta maneira o interesse estaria presente durante todo o processo. Além disso, poderia

ter instigado os alunos de forma mais eficiente, buscando desenvolver conceitos envolvidos

com o conteúdo a ser estudado. Seguindo as mudanças sugeridas, em uma nova oportunidade

pude tornar muito mais significativa à aprendizagem dos alunos, fazendo com que tivessem

uma melhor percepção da ligação do jogo com o conteúdo estudado.

Este tipo de oportunidade é uma das contribuições mais impactantes do Pibid. E

mediante a necessidade de escolher o objeto de estudo do Trabalho de Conclusão de Curso,

tendo em vista que poderia realizar novas intervenções com jogos por meio do Pibid, optei

por analisar as potencialidades dos jogos na aula de matemática, tomando como sujeitos duas

turmas do Ensino Médio.

Devido ao planejamento anual do professor regente e da necessidade de realizar as

intervenções ainda no 1º semestre de 2017, decidi trabalhar com o ciclo trigonométrico em

3 Apêndices E e F, Anexo 1.

5

uma turma de 2º ano e um material que permitia explorar a noção da função exponencial em

uma turma de 1º ano.

Desta forma, esta pesquisa buscou investigar as contribuições e limitações do uso de

jogos pedagógicos para a compreensão do ciclo trigonométrico e para a apreensão do

comportamento da função exponencial, utilizando para isso, respectivamente, o jogo

“Mandala Trigonométrica” e uma atividade com a “Torre de Hanói”.

Para atingir a este objetivo geral, foram traçados os seguintes objetivos específicos:

Compreender o que outras pesquisas apontam com relação às potencialidades

do jogo como recurso para a aprendizagem mais significativa de determinados

conceitos matemáticos;

Analisar a presença de habilidades como criar hipóteses, desenvolver

resoluções e construção de estratégias a partir do uso dos jogos;

Analisar a participação e envolvimento dos alunos durante as duas

intervenções.

Para relatar o caminho percorrido e os resultados obtidos o trabalho foi estruturado em

seis capítulos. Após esta breve introdução, no capítulo 2 é apresentado o aporte teórico da

pesquisa, baseado nas contribuições de Muniz (2001, 2010), Grando (1995, 2000), Macedo,

Petty e Passos (2000, 2005).

Buscando descrever o que pesquisas anteriores já investigaram sobre as contribuições

dos jogos no ensino, o capítulo 3 apresenta uma revisão bibliográfica realizada a partir de

teses e dissertações defendidas entre os anos de 2001 e 2016, focando em trabalhos que

apontam os jogos como metodologia.

O capítulo 4 é dedicado a uma descrição dos procedimentos metodológicos e o

contexto no qual a pesquisa foi desenvolvida. O capítulo 5, por sua vez, busca apresentar,

detalhes do desenvolvimento das intervenções em cada turma, constituindo assim uma análise

baseada tanto em minhas próprias observações quanto naquelas realizadas por outros colegas

bolsistas, além das produções dos alunos.

Por fim, o capítulo 6 é dedicado às considerações finais sobre a pesquisa e seus

desdobramentos para a minha aprendizagem docente.

6

2. OS JOGOS NA VIDA E NO ENSINO

Brincadeiras e jogos estão presentes em nossa vida desde a infância até a juventude,

permanecendo também na vida adulta de muitas pessoas. São momentos de descontração,

planejamento e levantamento de estratégias com o objetivo de ganhar ou atingir determinado

objetivo, e estes momentos geram muitas aprendizagens. Porém, ao adentrarmos o ambiente

escolar, parece que quanto mais se avança nos níveis escolares, menos este recurso é utilizado

como ferramenta de aprendizagem.

Se observarmos uma criança no desenvolvimento de um jogo, por mais simples que

seja, podemos perceber o quanto de conhecimento elas utilizam em simples atos, o tempo que

levam formulando hipóteses, refletindo sobre suas jogadas, ou seja, estão submetidas em um

processo de investigação. Desta forma, estes materiais podem servir como meio de

desenvolvimento do conhecimento, sendo que cabe ao professor atuar como mediador neste

processo, pois o jogo deve ser entendido como um recurso que demanda planejamento, não

sendo um objeto para ser trabalhado apenas para ocupar tempo (GRANDO, 1995).

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1997) o uso de

materiais concretos e jogos têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem,

desde que estejam integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão. “Por

isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e

avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja

desenvolver” (BRASIL, 1997, p.36).

2.1 – Definição e tipos de Jogos

Mas afinal o que é jogo? Responder a esta questão é uma tarefa desafiadora, pois

existe uma “variedade de concepções e definições sobre o que seja jogo e as perspectivas

diversas de análise filosófica, histórica, pedagógica, psicanalista e psicológica, na busca da

compreensão do significado na vida humana” (GRANDO, 2000, p. 1).

Na busca por uma definição, Macedo (2006) destaca os autores Huizinga e Caillois,

que traçam características para definir atividades como “jogo”, as quais devem ser livres,

delimitadas, incertas, improdutivas, regulamentadas e fictícias. Buscando essa definição,

temos que

7

Numa tentativa de resumir as características formais do jogo, poderíamos considerá-

lo uma atividade livre, conscientemente tomada como não-séria e exterior à vida

habitual, mas ao mesmo tempo capaz de absorver o jogador de maneira intensa e

total. É uma atividade desligada de todo e qualquer interesse material, com a qual

não se pode obter qualquer lucro, praticada dentro dos limites espaciais e temporais

próprios, segundo uma certa ordem e certas regras. (HUIZINGA,1990, p.16).

Muniz (2010), apoiado em Brougère, aponta que "não existe na literatura um conceito

pronto e acabado da definição de jogo, exigindo um trabalho de construção conceitual por

parte daqueles que o tomam como objeto de pesquisa" (p. 33). Desta forma, no âmbito desta

investigação, os jogos desenvolvidos estão ligados ao ensino de Matemática, pois,

O ambiente é a sala de aula, o instrumento é o jogo e a investigação surge da

necessidade de compreensão dos aspectos envolvidos na utilização deste

instrumento no processo ensino-aprendizagem da Matemática. (GRANDO, 2000, p.

3).

Sabendo da existência de uma infinidade de jogos, é necessário definir agrupamentos

que considerem características comuns entre eles. Grando (1995), através de estudos teóricos,

apontou a seguinte classificação, levando em consideração a função que o jogo pode assumir

em determinado contexto. A autora afirma que estas classificações não são excludentes, ou

seja, um mesmo jogo pode estar inserido em dois ou mais grupos.

Jogos de azar: jogos em que o jogador depende apenas da “sorte”;

Jogos de quebra-cabeça: jogos de solução, em que, na maioria das vezes se

joga sozinho;

Jogos de estratégias: são jogos que dependem exclusivamente do jogador, o

qual deve elaborar estratégias para vencer;

Jogos de fixação de conceitos: tem objetivo de “fixar conceitos”, são jogos

utilizados após a exposição de determinado conteúdo;

Jogos computacionais: são jogos projetados e executados no ambiente

computacional;

Jogos pedagógicos: desenvolvidos com objetivos pedagógicos de modo a

contribuir no processo ensino-aprendizagem.

É interessante observar que os jogos pedagógicos podem englobar todos os outros.

Porém, a intervenção do professor pode ser um fator determinante na transformação de um

jogo tido como espontâneo em um jogo pedagógico. (GRANDO, 2000)

Neste trabalho utilizamos dois jogos, os quais podem ser classificados como jogos

pedagógicos, devido ao contexto no qual foram utilizados. Além disso, podemos considerar

que:

A Mandala Trigonométrica é um jogo de fixação de conceitos; os alunos

8

devem conhecer os conceitos envolvidos com o ciclo trigonométrico e as razões

trigonométricas básicas para que possam resolver as situações envolvidas;

A Torre de Hanói pode ser classificada como um jogo quebra-cabeça e de

estratégia, além disso, pode ser executado em ambiente computacional. É um

jogo de solução, no qual a criação de estratégias facilita as jogadas futuras.

2.2 – O Jogo no contexto da sala de aula e o papel do professor

É comum associarmos a ideia de jogo a um material manipulável, o qual muitas vezes

são utilizados apenas por seu caráter motivacional, sem que exista um exercício de reflexão de

seu papel diante dos conceitos matemáticos envolvidos. Trata-se de uma prática bastante

comum entre professores da Educação Básica, os quais buscam nesses materiais uma forma

de facilitar o ensino desta disciplina, embora o façam sem considerar todas as suas

potencialidades e limites. (GRANDO, 2007)

Da mesma forma, Muniz (2010) aponta que o professor ao fazer uso do jogo como um

método de ensino, não deve fazê-lo como uma simples brincadeira, mas é fundamental saber

utilizá-lo para o desenvolvimento do raciocínio matemático do aluno.

O quadro 1, apresenta vantagens e desvantagens da utilização dos jogos pedagógicos

no ensino de matemática, o mesmo foi elaborado por Grando (2000).

Quadro 1 - Vantagens e desvantagens da utilização de jogos.

Vantagens Desvantagens

fixação de conceitos já aprendidos de uma

forma motivadora para o aluno;

introdução e desenvolvimento de conceitos

de difícil compreensão;

desenvolvimento de estratégias de

resolução de problemas (desafio dos jogos);

aprender a tomar decisões e saber avaliá-

las;

significação para conceitos aparentemente

incompreensíveis;

propicia o relacionamento das diferentes

disciplinas (interdisciplinaridade);

o jogo requer a participação ativa do aluno

na construção do seu próprio

conhecimento;

o jogo favorece a socialização entre os

alunos e a conscientização do trabalho em

equipe;

a utilização dos jogos é um fator de

motivação para os alunos;

quando os jogos são mal utilizados, existe o

perigo de dar ao jogo um caráter puramente

aleatório, tornando-se um "apêndice" em

sala de aula. Os alunos jogam e se sentem

motivados apenas pelo jogo, sem saber

porque jogam;

o tempo gasto com as atividades de jogo em

sala de aula é maior e, se o professor não

estiver preparado, pode existir um sacrifício

de outros conteúdos pela falta de tempo;

as falsas concepções de que se devem

ensinar todos os conceitos através de jogos.

Então as aulas, em geral, transformam-se em

verdadeiros cassinos, também sem sentido

algum para o aluno;

a perda da "ludicidade" do jogo pela

interferência constante do professor,

destruindo a essência do jogo;

a coerção do professor, exigindo que o aluno

jogue, mesmo que ele não queira, destruindo

9

dentre outras coisas, o jogo favorece o

desenvolvimento da criatividade, de senso

crítico, da participação, da competição

"sadia", da observação, das várias formas de

uso da linguagem e do resgate do prazer em

aprender;

as atividades com jogos podem ser utilizadas

para reforçar ou recuperar habilidades de que

os alunos necessitem. Útil no trabalho com

alunos de diferentes níveis;

as atividades com jogos permitem ao

professor identificar, diagnosticar alguns

erros de aprendizagem, as atitudes e as

dificuldades dos alunos.

a voluntariedade pertencente à natureza do

jogo;

a dificuldade de acesso e disponibilidade de

material sobre o uso de jogos no ensino, que

possam vir a subsidiar o trabalho docente.

Fonte: GRANDO, 2000, p.35.

As considerações colocadas no quadro nos fazem entender a importância do professor

como mediador em uma atividade com jogos, devendo estar preparado ao assumir uma

proposta didática com estes materiais, pois demanda planejamento com base em uma reflexão

metodológica, prevista em seu plano de ensino, vinculada a uma concepção coerente e

presente no plano escolar como um todo. Além disso, a autora aponta que

[...] a justificativa da utilização de jogos na sala de aula não pode se restringir ao

caráter motivacional, mas que depende de uma ação intencional, planejada,

executada, registrada, avaliada e compartilhada pelos alunos e professores. (2007, p.

49).

Portanto, o professor deve se comprometer a criar um ambiente favorável à

aprendizagem, lembrando que os jogos servem como um instrumento auxiliador, o que faz

com que exista a necessidade de mediação durante todos os momentos, afim de que os alunos

atinjam o objetivo pretendido. Porém, a intervenção deve ser ponderada, de modo que não

interfira nas ideias formuladas pelos alunos, o que pode fazer com que se perca o sentido da

construção de conhecimentos envolvidos com as ações do jogo.

2.3 – O jogo no contexto da aprendizagem do aluno

Para Muniz (2001) a “construção do conhecimento matemático constitui um longo e

complexo processo, que por vezes não é trabalhado pela escola de forma plena” (p. 22). O

autor defende que a aprendizagem matemática deve contemplar a valorização de ideias

ligadas à intuição e percepção, o estabelecimento de várias formas de representação de um

mesmo objeto matemático e a troca e confronto de saberes, buscando a construção do

conhecimento. Desta forma, podemos perceber que os jogos podem ser utilizados para

10

auxiliar nestes três pontos, ou seja, ele é uma ferramenta que pode contribuir para a

aprendizagem.

Macedo, Petty e Passos (2005), apontam que o jogo proporciona um contexto cujo

significado tem sentido imediato para os alunos e os mobiliza integralmente. A situação de

jogo permite ao aluno enfrentar desafios, trabalhar sua autodisciplina, reconhecer a autoridade

da regra e comportar-se adequadamente. Além disso, “viabiliza aprendizagens que podem ser

aplicadas em diferentes situações (escolares ou não), como saber tomar decisões, antecipar,

coordenar informações e comunicar ideias” (p. 66).

Praticar jogos, e principalmente refletir sobre suas implicações, “pode ajudar a

recuperar o ‘espírito de apreender’ que está escondido nos conteúdos escolares” (p. 106). Em

um trabalho anterior, Macedo, Petty e Passos (2000), apontam que o ato de jogar favorece o

processo de aprendizagem do aluno, uma vez que este é levado a refletir, fazer previsões e

inter-relacionar objetos e eventos.

Mas quando percebemos “erros” durante uma situação com jogos? Em situações

escolares, valoriza-se muito o acerto, nas quais os erros dos alunos na obtenção da resposta

correta são totalmente desprezados. Mas, tomando como exemplo estudos matemáticos,

sabemos que após a constatação de uma ideia, os erros obtidos durante o processo são

repensados, reformulados e abolidos, dando lugar ao rigor na apresentação (GRANDO, 2000).

Com isso pode-se perceber que as situações de “erro” podem ser importantes na busca por

uma estratégia correta, fazendo com que os alunos possam testar, validar e reformular suas

hipóteses em determinadas situações.

Macedo, Petty e Passos (2000), da mesma forma, afirmam que a busca por apenas um

resultado final durante uma atividade não faz com que o aluno compreenda ou supere suas

limitações. Fazendo-se necessário que ele entenda a situação, a partir de diferentes

explicações para um mesmo resultado.

2.4 – Etapas do jogo

Pensando em uma melhor maneira de realizar as intervenções e para auxiliar

posteriormente na análise, utilizamos os “momentos de jogo” apresentados por Grando

(2000), que englobam:

1º - Familiarização com o material do jogo;

11

2º - Reconhecimento das regras;

3º - O “jogo pelo jogo”: jogar para garantir as regras;

4º - Intervenção pedagógica verbal;

5º - Registro do jogo;

6º - Intervenção escrita;

7º - Jogar com competência.

A autora apresenta estes momentos apontando a importância de cada um no processo

do jogo. Inicialmente os alunos devem ter uma familiarização com o material do jogo,

havendo um primeiro contato, manipulando e identificando cada parte. O reconhecimento das

regras acontece quando os alunos conhecem a dinâmica do jogo, podendo ocorrer por

intervenção do professor, que pode explicar as ações ou, ainda, identifica-las a partir de

exemplos de jogadas.

O “Jogo pelo jogo” é o jogar de forma espontânea, o que possibilita a compressão das

regras por parte dos alunos. Quando eles se mostram confiantes e dominando as estruturas

presentes no jogo, deve-se instiga-los a novas descobertas, o que caracteriza a intervenção

pedagógica. Neste momento, cabe ao professor questionar e realizar observações acerca do

pensamento sobre o jogo, fazendo com que os alunos analisem as suas próprias jogadas.

É importante que o aluno registre os procedimentos que foram utilizados, de forma a

ter uma base que auxilie na análise de suas próprias jogadas, porém, é preciso que este

momento seja planejado para que não seja algo sem sentido, um registro sem objetivo para a

situação proposta.

O momento de intervenção escrita acontece com a apresentação das situações-

problema, elaboradas com intuído de auxiliar no objetivo inicial. Aqui percebe-se a resolução

de problemas, a qual propicia uma análise mais específica sobre o jogo.

O objetivo principal da situação-problema é focar o olhar do jogador para alguns

pontos que podem ser melhorados e para as boas estratégias que adotou, às vezes

sem perceber, proporcionando a tomada de consciência das ações. É interessante,

portanto, criar situações que provoquem o olhar numa determinada direção.

(MACEDO; PETTY; PASSOS, 2000, p. 74).

O retorno à situação de jogo é o último momento, no qual o aluno pode jogar com

competência, verificando se as estratégias e hipóteses definidas e analisadas durante a

resolução dos problemas são validadas.

12

3. O CAMINHO JÁ PERCORRIDO POR OUTRAS PESQUISAS

Definidos o objetivo desta pesquisa e o tema das intervenções, foi iniciado um

levantamento bibliográfico, o qual constituiu na busca de teses e dissertações que

investigaram o uso de “Jogos” como metodologia e/ou como objeto de pesquisa, com o

propósito de alcançar uma visão mais ampla sobre o tema, especialmente para compreender as

potencialidades do jogo como recurso para a aprendizagem mais significativa de

determinados conceitos matemáticos. Devido a percepção de um número maior de trabalhos

relacionados a este tema, produzidos a partir do ano de 2000, optei por analisar pesquisas

entre 2001 e 2016. Este período abarcaria os trabalhos de um mapeamento nacional4 que que

visou mapear as pesquisas que tomam como foco o Professor que Ensina Matemática,

realizadas no período de 2001 a 2012, sendo complementando com uma busca dos trabalhos

mais atuais no Banco de Teses e Dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal

de Nível Superior (CAPES).

Inicialmente, tendo em vista que a orientadora deste trabalho participou do referido

mapeamento, pude iniciar minhas buscas em uma planilha elaborada pelos pesquisadores

envolvidos neste projeto. Esta planilha me levou tanto aos textos completos quanto aos

fichamentos dos 858 trabalhos mapeados. O critério utilizado para a escolha dos trabalhos foi

buscar por aqueles que utilizavam a palavra “Jogo” no próprio título. Foram localizados nessa

busca 13 trabalhos. Ao iniciar a análise destes trabalhos, através da leitura dos resumos,

detectei que poucos se aproximavam da perspectiva de pesquisa que seria adotada neste TCC,

ou seja, a maioria não retratava práticas de sala de aula, o que delimitou esta parte da amostra

em seis trabalhos.

Para localizar os trabalhos realizados a partir de 2013, realizei então uma busca no

Banco de Teses e Dissertações da CAPES. Inicialmente busquei, em programas de Educação,

utilizando a palavra “Jogo”, as pesquisas realizadas de 2013 a 2016. Um novo refinamento foi

necessário, tendo em vista que o jogo é utilizado para muitas finalidades, além do ensino de

matemática, gerando um número excessivo de títulos a serem analisados. Assim, o critério

adotado foi limitar a busca apenas em programas de Educação Matemática, o que permitiu

definir outras três pesquisas como corpus, totalizando as nove pesquisas do quadro 2 a seguir.

4 Mapeamento e Estado da Arte de pesquisas colaborativas ou em grupos colaborativos ou em comunidades de

prática sobre o professor que ensina matemática, desenvolvido na Faculdade de Educação da Universidade

Estadual de Campinas (UNICAMP). O referido projeto visou mapear as pesquisas produzidas em programas de

Pós-Graduação stricto sensu que tem como foco de estudo o professor que ensina matemática e constituiu um

corpus de 858 trabalhos.

13

Quadro 2 - Pesquisas que contemplam o levantamento bibliográfico

Autor Natureza Título da Pesquisa Instituição Ano

MENDES,

Márcia Aparecida Dissertação

SABERES DOCENTES SOBRE JOGOS NO

PROCESSO DE APRENDER E ENSINAR

MATEMÁTICA

PUC/MG 2006

FONSECA,

Rossana Carla da Dissertação

MATEMÁTICA SE APRENDE BRINCANDO?!

JOGOS ELETRÔNICOS COMO UMA

POSSIBILIDADE DE ENSINO

UMESP 2007

SULEIMAN,

Amal Rahif Dissertação

O JOGO E A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

UM ESTUDO SOBRE AS CRENÇAS E

CONCEPÇÕES DOS PROFESSORES DE

MATEMÁTICA QUANTO AO ESPAÇO DO

JOGO NO FAZER PEDAGÓGICO

UNESP

Araraquara 2008

SOARES, Milene

de Fátima Dissertação

O JOGO DE REGRAS NA APRENDIZAGEM

MATEMÁTICA: APROPRIAÇÕES PELO

PROFESSOR DO ENSINO FUNDAMENTAL

UnB 2009

SPADA, Arlenes

Buzatto Delabary Dissertação

A CONSTRUÇÃO DE JOGOS DE REGRAS NA

FORMAÇÃO DOS PROFESSORES DE

MATEMÁTICA

UnB 2009

SANTOS

JÚNIOR, Valdir

Bezerra dos

Dissertação

A MOBILIZAÇÃO DE CONTEÚDOS

MATEMÁTICOS EM ATIVIDADES

PRÁTICAS EM CONTEXTO DE JOGO COM

LICENCIANDOS DE MATEMÁTICA

UFRPE 2011

SANTO

BARRETO,

Dosilia Espirito

Dissertação

JOGOS E APRENDIZAGEM MATEMÁTICA

DE ALUNOS DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E

ADULTOS – EJA

ANHANGU

ERA SP 2015

TONÉIS,

Cristiano Natal Tese

A EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA NO

UNIVERSO DOS JOGOS DIGITAIS: O

PROCESSO DE JOGAR E O RACIOCÍNIO

LÓGICO E MATEMÁTICO

ANHANGU

ERA SP 2015

DE AZEVEDO

NETO, Leonardo

Dourado

Dissertação

“VEM JOGAR MAIS EU1”: MOBILIZANDO

CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS POR

MEIO DE ADAPTAÇÕES DO JOGO

MANKALA AWALÉ

UFMS 2016

Fonte: Elaborado pelo autor

Durante a análise, percebi que seis trabalhos, embora tenham sido desenvolvidos em

sala de aula, não focavam em intervenções, mas sim nas concepções, crenças, apropriações,

saberes de professores e licenciandos relativos ao uso de jogos. Dessa forma, é apresentada a

seguir uma breve análise dos objetivos, objeto de estudo, aporte teórico e resultados destes

trabalhos, subdivididos em dois grupos, os quais ajudaram a ampliar meu conhecimento sobre

o uso de jogos na prática de sala de aula de matemática.

14

3.1. Trabalhos que investigaram crenças, concepções, saberes e apropriações de

professores e licenciados

O trabalho de Soares (2009) intitulado “O jogo de regras na aprendizagem

matemática: apropriações pelo professor do ensino fundamental” objetivou investigar a

apropriação do jogo de regras pelo professor das séries iniciais do Ensino Fundamental para o

favorecimento da aprendizagem Matemática. Para isso foi realizada uma pesquisa de campo,

na qual a pesquisadora acompanhou uma professora de 3º ano durante atividades envolvendo

jogos, desenvolvidas e elaboradas por ela.

Para fazer a análise foram adotadas três categorias que correspondem a momentos e

situações associados à apropriação do jogo: 1) a necessidade de noção de imprevisibilidade;

2) os processos suscitados pelo jogo na aprendizagem matemática; e, 3) a reflexão do

professor sobre sua prática pedagógica a partir do jogo. Soares (2009) aponta que no inicio da

pesquisa a professora fazia uso de jogos como meio de recreação e fixação de conteúdos

matemáticos e, ao logo do processo de participação na investigação, passou a observar a

construção do pensamento matemático das crianças, passando a refletir sobre seu fazer

pedagógico. Com isso a apropriação dos jogos se efetivou a partir do momento que a

professora assumiu-os como instrumentos de mediação pedagógica, utilizando-os de modo a

garantir certas aprendizagens na matemática.

Spada (2009) realizou a pesquisa “A construção de jogos de regras na formação dos

professores de matemática” com dois licenciandos em Matemática que atuavam como

professores na Educação Básica. O referencial utilizado procurou levantar pontos do processo

de formação de professores baseada nos autores D”Ambrósio, Delabary e Fiorentini.

A pesquisa propunha analisar como se dá o processo de inclusão de jogos de regras,

voltados aos anos finais do ensino Fundamental, nas práticas lúdicas dos estudantes-

professores. Para realizar a investigação, foi construído um jogo, denominado “Varal

Matemático”, categorizado como “jogos de conceito” (MUNIZ, 1999), pela necessidade do

uso de conceitos formais relacionados ao seu sistema de regras. A atividade foi aplicada a

alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola pública de Tocantins.

Com o material coletado a análise foi feita a partir de quatro categorias: 1) ensino de

matemática: décadas diferentes, concepções iguais; 2) formação para o jogo: uma necessidade

observada; 3) do conceito de jogo ao jogo de conceito; e 4) a apropriação do jogo de conceito:

o caso dos estudantes do sétimo ano. Por meio destas categorias a autora assume que foi

15

possível entender como os estudantes-professores compreendem o processo de ensino da

matemática, observando as bases fundamentais nas quais foram formados, a concepção de

jogo e suas implicações no seu processo de formação e a apropriação dessa atividade pelos

estudantes da escola.

“Como os professores de Matemática constroem seus saberes relativos ao uso de jogos

nas 5ªs as 8ªs séries do ensino fundamental?”. Esta pergunta serviu como ponto central para a

pesquisa de Mendes (2006) intitulada “Saberes docentes sobre jogos no processo de aprender

e ensinar matemática”, a qual busca compreender os processos desencadeados na construção

e/ou resgate de saberes docentes relativos ao trabalho com jogos de quinta a oitava séries do

ensino fundamental. A autora realizou entrevistas com professores que trabalham com jogos

em sala de aula. O texto foi organizado em dois eixos de análise: 1) constituição e

desenvolvimento profissional dos professores, suas experiências com os jogos em sala de

aula; 2) o processo de produção de saberes docentes em diferentes aspectos, por ocasião da

utilização de jogos matemáticos no ensino. Dessa forma, a autora conclui que a utilização de

jogos para o ensino de Matemática é uma estratégia que gera muitas possibilidades,

observando que existem aspectos positivos e negativos, que podem ocorrer ao longo do

tempo. Em relação aos saberes docentes, esses são produzidos e socializados no ambiente

escolar e, às vezes fora dele, uma vez que a experiência de vida do aluno e do professor se

constrói e reconstrói na ação pedagógica cotidiana.

Santos Júnior (2011) em sua pesquisa, “A mobilização de conteúdos matemáticos em

atividades práticas em contexto de jogo com licenciandos de matemática”, investigou que

conteúdos de matemática foram mobilizados a partir de dois jogos específicos (salto de rã e

troca-peças). Para isso fez uma revisão de literatura sobre trabalhos recentes com este tema e

se baseou na Teoria da Aprendizagem Significativa de David Ausubel. A pesquisa foi

realizada com alunos do curso de Licenciatura em Matemática da UFRPE do 2º e 6º períodos.

Como resultado, os alunos remeteram a conteúdos matemáticos previamente conhecidos que

atuaram como subsunçores5, porém, houve dificuldades em reconhecer estratégias de vitória

associada ao conteúdo esperado. Por fim o autor pondera sobre a necessidade de aprofundar

pesquisas onde se associe teoria à prática em situações de jogo vivenciadas por estudantes de

licenciatura em matemática.

5 Termo utilizado na Psicologia, pela Teoria da Aprendizagem Significativa-David Ausubel, para uma estrutura

cognitiva existente, capaz de favorecer novas aprendizagens.

16

Fonseca (2007) buscou analisar a própria ação docente em suas aulas de matemática,

que implicaram na utilização de dois tipos de jogos eletrônicos num ambiente informatizado.

A autora observou as ações e reações dos educandos ao utilizarem os jogos eletrônicos, a

manifestação do pensamento, do raciocínio e de estratégias para a solução dos problemas

encontrados. A coleta dos dados foi realizada por meio de entrevista semiestruturada aplicada

a nove sujeitos pertencentes a duas classes de 5ª série do ensino fundamental. Após a análise

dos resultados e das observações em sala de aula, a autora conclui que os jogos, de uma

maneira geral, e os eletrônicos, de forma específica, podem ser utilizados como ferramentas

úteis no ensino da Matemática, proporcionando um aprendizado prazeroso, sob a orientação

criteriosa do professor.

Com o objetivo de conhecer as crenças e concepções dos professores de Matemática

quanto ao espaço do jogo no seu fazer pedagógico, a pesquisa de Suleiman (2008), “O jogo e

a educação matemática: um estudo sobre as crenças e concepções dos professores de

matemática quanto ao espaço do jogo no fazer pedagógico”, desenvolveu um trabalho

articulado a partir de duas bases. Com a primeira o autor tratou da caracterização de crenças e

concepções da Educação Matemática como ciência em formação e da relação entre o jogo

como recurso metodológico e a Educação Matemática. A segunda parte consistiu na coleta de

dados, por meio de entrevistas semiestruturadas, com 20 professores de Matemática da rede

pública estadual de ensino da região de São José do Rio Preto, no estado de São Paulo.

Utilizando de pressupostos da teoria construtivista de Piaget, foi realizada a análise

dos dados, que permitiu considerar que os professores desta pesquisa utilizam o jogo em sua

prática pedagógica, alguns dando-lhe um espaço periférico, outros num espaço mais amplo e

de forma sistematizada. No entanto, é observado que falta a eles maior consistência teórica

que permite garantir ao jogo o papel de mediador entre o conhecimento matemático e a

aprendizagem do aluno.

Todas as pesquisas apontam o uso de jogos como um instrumento positivo para

promover a aprendizagem matemática, porém, alertam que ao se adotar esta metodologia de

ensino deve-se compreender também que existem dificuldades. Os professores, no decorrer

das atividades com o jogo, passam a ter um olhar mais criterioso, buscando despertar além da

motivação, a construção do conhecimento.

17

3.2. Trabalhos que investigaram práticas com jogos

A investigação de Azevedo Neto (2016), “‘vem jogar mais eu’: mobilizando

conhecimentos matemáticos por meio de adaptações do jogo mankala awalé”, visou analisar a

mobilização de conhecimentos matemáticos por alunos do 5º e do 6º ano do ensino

fundamental por meio de adaptações do jogo Mankala awalé, que é um jogo milenar na África

abrangendo nos movimentos de captura e defesa das peças, bem como conceitos matemáticos,

práticas religiosas, filosóficas e culturais africanas. O autor utilizou da Teoria das Situações

Didáticas proposta por Brousseau como referencial teórico, e, a Engenharia Didática descrita

por Artigue como referencial metodológico.

Foi realizada uma sequência de atividades contendo jogadas que, para a captura ou a

defesa no jogo, envolve situações de divisão de naturais. Os sujeitos da pesquisa foram alunos

do 5º e do 6º ano do ensino fundamental de uma escola pública do Mato Grosso do Sul. Como

resultado foi observado que com a utilização do jogo Mankala awalé, os alunos desenvolvem

habilidades de realizar divisões utilizando o cálculo mental, reconhecer os divisores de

determinados números, bem como de elaborar estratégias exitosas de captura e defesa diante

de uma grande variedade de possibilidades de jogadas.

A investigação de Santo Barreto (2015) intitulada “Jogos e aprendizagem matemática

de alunos da educação de jovens e adultos – EJA” buscou analisar sobre as possibilidades da

aprendizagem matemática de alunos da EJA envolvidos em atividades de resolução de

problemas com o uso de jogos. A autora realizou uma oficina de atividades aplicada a oito

alunos do Ensino Fundamental na modalidade EJA (6º e 7º anos), de uma escola da rede

municipal de São Paulo. A análise da oficina de jogos foi feita por meio de duas categorias:

linguagem/regras dos jogos e processos matemáticos propiciados pelo jogo.

Como resultados a autora ressalta que os participantes utilizaram a linguagem oral

como instrumento de interação, cooperação e regulação de suas próprias ações e a dos

colegas. Além disso, os participantes estabeleceram um relacionamento afetivo entre si,

elevaram a autoestima e demostraram maior autonomia. Através das análises a autora

confirma que os jogos são instrumentos de aprendizagem matemática que podem ser

utilizados em todas as modalidades de ensino, sendo que o fator lúdico aumenta a interação

entre os participantes nos processos de ajuda e intervenção.

Toneis (2015) em sua pesquisa “A experiência matemática no universo dos jogos

digitais: o processo de jogar e o raciocínio lógico e matemático”, buscou elaborar um jogo,

18

além de identificar e analisar as ações de 6 participantes do 3º ano do Ensino Médio ao

jogarem e solucionarem puzzles. O autor investigou se e quais experiências matemáticas

emergem deste ato de jogar. Para isso foi elaborado e implementado um game (Wind

Phoenix: Tales of Prometheus), o qual, na perspectiva do autor, oferece possibilidades de

desenvolver e produzir conhecimentos matemáticos pelo raciocínio lógico e matemático na

superação de puzzles e exploração dos espaços do game.

Como resultado Toneis (2015) aponta que os desafios proporcionaram aos

participantes encontros com uma Matemática que se apresenta em sua forma para vida.

Percebendo um significativo aumento na capacidade de concentração nas ações dos

participantes dada à atenção e observação aos detalhes do game, além disso, os jogadores

assumiram um papel no jogo e constituíram um processo de enunciação de problemas lógicos.

Assim o desenvolvimento de jogos epistemológicos mostrou uma possibilidade para novos

paradigmas na produção de conhecimentos e a produção de conhecimentos matemáticos

mediante o raciocínio lógico e matemático que transpassa nossas experiências pessoais.

A partir do estudo dos trabalhos que investigaram a ação do jogo em situações

práticas, pude perceber que este material propicia novas maneiras do aluno desenvolver seu

conhecimento. Os jogos facilitam a interação, desenvolvendo a cooperação e instigando os

alunos a terem uma postura mais afetiva entre si. Além disso, ao estarem relacionados com a

resolução de problemas, os jogos fazem com que os alunos busquem estratégias, elaborando

hipóteses e auxiliando na produção de conhecimentos matemáticos.

3.3. Principais referenciais utilizados

Alguns autores citados nos trabalhos estudados se mostraram como importantes

referências sobre a temática de jogos. Brougere (1998, 2002), Huizinga (1954, 2007), Caillois

(1967), Kishimoto (1998, 2002, 2005, 2008) e Piaget (1964) foram utilizados para referenciar

sobre as categorias de ludicidade, assim como brincadeiras e jogos. Além disso, ao falar da

aprendizagem os trabalhos utilizaram os referenciais de Piaget (1964), enquanto Vygotsky

(1933, 1935) foi utilizado para referenciar a aprendizagem matemática e o processo de

mediação. Além desses autores, Bruner (1972, 1996) e Benjamin (1928) são apontados para

destacar as potencialidades da criança.

Grando (1995, 2000, 2004) e Muniz (1999, 2001, 2010), os quais são utilizados como

aporte teórico deste TCC, auxiliam em relação à classificação e utilização dos jogos e do

brincar no processo de ensino e aprendizagem.

19

4. PERCURSO METODOLÓGICO

Esta pesquisa buscou investigar as contribuições e limitações do uso de jogos

pedagógicos para a compreensão de conteúdos da disciplina de matemática por alunos de duas

turmas de Ensino Médio de uma escola pública de Itajubá, Minas Gerais.

Para poder observar, relatar e refletir sobre as contribuições e limitações do uso de

jogos optou-se pela realização de uma intervenção no ambiente de salas de aula regulares,

assim “a coleta de dados é realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno

acontece” (FIORENTINI e LORENZATO 2006, p. 106). Por se tratar de um processo no qual

o pesquisador estará inserido em sala de aula, tendo papel ativo durante as intervenções, essa

pesquisa pode ser classificada, segundo Fiorentini e Lorenzato (2006), como uma Pesquisa-

ação. Para os autores

Trata-se de um processo investigativo de intervenção em que caminham juntas

prática investigativa, prática reflexiva e prática educativa. Ou seja, a prática

educativa, ao ser investigada, produz compreensões e orientações que são

imediatamente utilizadas em sua própria transformação, gerando novas situações de

investigação. (p.112-113).

A Pesquisa-ação é uma modalidade de pesquisa na qual o pesquisador investiga

situações vivenciadas no ambiente de sala de aula, não apenas como observador, mas,

também, como mediador do que precisa ser mudado, de forma a permitir melhoria das

práticas e maior liberdade de ação e aprendizagem dos participantes (FIORENTINI;

LORENZATO, 2006, p. 109).

A vivência como bolsista no Pibid, espaço que funcionou como cenário para o

desenvolvimento desta pesquisa teve um importante papel durante as etapas desde o

planejamento até os resultados finais. As reuniões com a equipe me ajudaram a refletir e

direcionar o caminho das atividades e os seus objetivos e, além disso, o planejamento das

ações e o plano de aula contendo atividades específicas foram desenvolvidos com apoio do

professor regente, de acordo com as necessidades de cada uma de suas turmas. Estas ações

vivenciadas junto ao grupo do Pibid se caracterizam como práticas da pesquisa-ação, pois

segundo Cortesão (2004)

Numa Investigação-acção desenvolve-se um conjunto de práticas de pesquisa

visando produzir um conhecimento, que se admite ser necessário, pois que permitirá

intervir melhor num problema social e/ou educativo que se pensa ser importante

enfrentar. E esse conjunto de práticas usa sempre os resultados obtidos da análise do

que acontece em conseqüência da intervenção para produzir novo conhecimento (e

assim sucessivamente) (p. 1).

20

Durante as intervenções, realizadas com o apoio do grupo de bolsistas, pedi para que

estes destacassem pontos que julgassem relevantes em relação ao desenvolvimento de cada

atividade, assim suas anotações em portfólio6 junto aos meus registros escritos serviram como

fonte para a elaboração de um diário de campo, cujas informações foram complementadas

com audiogravações e imagens.

Esses dados e também o material produzido pelos alunos, como os roteiros7de

atividades que instigavam a resolução de situações-problema com conceitos envolvidos nos

raciocínios e estratégias de cada jogo, compuseram o corpus de análise da pesquisa.

A análise dos resultados também teve um caráter colaborativo, sendo dedicada uma

das reuniões do subprojeto de Matemática do Pibid para que os bolsistas auxiliassem neste

processo, tendo em vista que todos conheciam a proposta e alguns acompanharam o

desenvolvimento da intervenção. Após um estudo inicial, em que busquei retratar de forma

geral momentos importantes do desenvolvimento das intervenções, foi realizada uma

apresentação ao subprojeto, na qual mostrei os materiais produzidos pelos alunos, que

serviram como objeto de debate sobre as aprendizagens e o papel do jogo mediante as

situações envolvidas.

Este processo, junto com a leitura dos portfólios, permitiu a construção de uma visão

mais informada e ampla para as situações vivenciadas pelos alunos e para suas produções,

além de me permitir aprofundar a análise partindo dos diferentes pontos de vista apresentados.

Após a coleta dos dados, a realização de um estudo inicial e o debate com a equipe do

subprojeto, de forma conciliada com o aporte teórico, foram identificados os seguintes eixos

de análise:

Eixo 1 – A manifestação do pensamento matemático emergente em cada jogo;

Eixo 2 – A participação e o envolvimento dos alunos durante os momentos de

intervenção;

Eixo 3 – A presença de habilidades como criar hipóteses, desenvolver resoluções

e construção de estratégias a partir do uso dos jogos.

Os sujeitos desta pesquisa foram 72 alunos de duas turmas de Ensino Médio de uma

escola pública de Itajubá, Minas Gerais. Para preservar sua identidade, optamos por

identificar as produções das equipes por anagramas formados pelas iniciais de cada integrante,

6 Forma de registro obrigatório a todos os bolsistas do PIBID, o qual tem objetivo de retratar as situações

vivenciadas. 7 Apêndice B e D

21

quando for preciso citar um aluno individualmente utilizaremos as iniciais do nome e

sobrenome. Nos momentos de diálogo com os alunos utilizarei esta mesma simbologia para

representar meu nome (PE).

A escolha do ambiente, em particular, aconteceu devido ao contato que tenho com a

escola desde 2014 como bolsista do Pibid. A mesma se mostra aberta a novas propostas,

porém, mediante situações vivenciadas pude perceber que parte dos professores utiliza de

métodos tradicionais, não fazendo uso de metodologias alternativas.

Os alunos participantes constituem duas turmas de Ensino Médio, 1º e 2º ano. Os

alunos de 2º ano têm uma experiência maior com projetos e atividades diferenciadas, pelo

contato com o Pibid desde anos anteriores e por participarem de atividades promovidas pela

escola, já a turma de 1º ano é composta por alunos oriundos de outras escolas, ou seja, não

tiveram a mesma vivência. Ambas as turmas apresentam dificuldades em matemática básica,

as quais são amenizadas por intervenção do professor regente, que busca instigar os alunos,

apresentando revisões, quando percebe a necessidade de algum conteúdo anterior.

Com a intenção de realizar a pesquisa no primeiro semestre de 2017, inicialmente foi

feita uma análise do planejamento curricular de cada turma buscando conteúdos que

pudessem auxiliar no objetivo da pesquisa. Dessa forma, foram escolhidos dois jogos

pedagógicos com o objetivo de apoiar os alunos na compreensão do ciclo trigonométrico e

para a apreensão do comportamento da função exponencial, utilizando para isso,

respectivamente, o jogo “Mandala Trigonométrica” e uma atividade com a “Torre de Hanói”.

Como forma de instigar os alunos foi elaborado um roteiro de atividades para cada

intervenção. Com o objetivo de expor situações-problema acerca dos movimentos e regras do

jogo em questão, além de apresentar conceitos relacionados ao conteúdo envolvido. Foi

previsto um número de cinco aulas para cada jogo, sendo um deles em uma turma de 1º e o

outro em uma turma de 2º ano. Estas aulas levavam em consideração a necessidade de um

momento de socialização e apresentação de ideias, finalizando com uma formalização do

conceito matemático que há por traz de cada jogo.

22

5. ANÁLISES

Diante do objetivo de investigar as contribuições e limitações do uso de jogos

pedagógicos para a compreensão do ciclo trigonométrico e para a apreensão do

comportamento da função exponencial, neste capítulo são apresentadas as análises e os

principais resultados e discussões acerca do desenvolvimento de cada etapa das intervenções.

Optamos por apresentar as intervenções em ordem cronológica, devido às reflexões

referentes ao primeiro momento, que nos auxiliaram no planejamento do segundo momento,

promovendo um movimento de ação-reflexão-ação. Durante o processo, além do pesquisador

e do professor regente, estiveram presentes dois bolsistas do Pibid que auxiliaram nos

momentos de intervenção.

Para auxiliar no processo de análise, serão discutidos separadamente cada um dos dois

jogos, utilizando os sete “momentos de jogo” definidos por Grando (2000):

1º - Familiarização com o material do jogo;

2º - Reconhecimento das regras;

3º - O “jogo pelo jogo”: jogar para garantir as regras;

4º - Intervenção pedagógica verbal;

5º - Registro do jogo;

6º - Intervenção escrita;

7º - Jogar com competência.

Os momentos não serão utilizados como subdivisão, mas os tópicos da análise

agrupam diferentes momentos em cada uma das intervenções, as quais não necessariamente

passaram por todas as etapas.

5.1. Mandala Trigonométrica

O jogo Mandala Trigonométrica tem como objetivo incentivar que os alunos

identifiquem arcos notáveis e valores de seus senos e cossenos, por meio de movimentações

em um tabuleiro, sobre uma circunferência trigonométrica disposta sobre os eixos cartesianos.

A escolha deste material se deu devido ao seu caráter lúdico, no qual as imagens e

cores chamam a atenção, e por estar relacionado ao conteúdo planejado para o segundo

bimestre da turma de 2º ano do Ensino Médio. É um jogo cooperativo, entre jogador e

23

adversário, podendo ser jogado por dois ou mais jogadores, desde que formem duas equipes.

Utilizando das classificações apresentadas por Grando (1995), consideramos que é um jogo de

“fixação de conceitos”, pois seu objetivo remete ao estudo de conceitos relacionados ao ciclo

trigonométrico, não exigindo necessariamente uma estratégia para ganhar.

Figura 1 - Tabuleiro do jogo Mandala Trigonométrica

Fonte: Adaptado de Silva e Salvi (2011).

Os materiais necessários para o jogo são: um tabuleiro de Mandala Trigonométrica,

dois peões, um dado, um conjunto de fichas (uma cor por equipe), lápis e papel. Para iniciar o

jogo os peões dos jogadores partem do mesmo lugar, representado pelo ponto (1,0), e se

movimentam na circunferência trigonométrica usando sempre a mesma orientação, sentido

anti-horário. Ao jogar o dado, o valor obtido representa o número de círculos coloridos,

desenhados na circunferência, entre os quais o peão irá se movimentar. Ao chegar a um ponto,

a equipe deve responder quatro questões: (1) Qual o valor do arco em graus? (2) Qual o valor

do arco em radianos? (3) Qual o valor do seno? (4) Qual o valor do cosseno? Conforme

apresentam Silva e Salvi (2011).

Após apresentar um resultado é necessário que ocorram negociações entre as equipes,

pois o jogo não apresenta respostas para as questões. Assim, a solução deve ser aceita pela

equipe adversária, que também precisa saber resolver a situação. Em caso de erro, nenhuma

equipe faz a marcação. Se houver divergência no resultado das equipes, pode-se pedir auxílio

ao professor. O jogo continua até que uma das equipes consiga fazer o preenchimento total da

fila de cores (figura 2) correspondente à sua cartela. Existe uma segunda fase, na qual o

objetivo seria trabalhar equações trigonométricas, porém, o foco aqui apresentado se limita

apenas a primeira fase.

24

Figura 2 - Fila de cores

Fonte: Adaptado pelo autor.

Identificando dificuldades e analisando o domínio dos conceitos

A Mandala Trigonométrica é um jogo que exige dos participantes a noção de

conceitos relacionados ao estudo do ciclo trigonométrico e sua aplicação aconteceu após o

professor regente ter apresentado este conteúdo, ou seja, os alunos já haviam estudado os

conceitos de arcos, senos e cossenos, ângulos notáveis e ciclo trigonométrico. Desta forma,

buscando identificar o que os alunos lembravam sobre este tema, foi realizado um teste antes

do início do jogo, com questões ligadas a estes conceitos.

Ao analisar as respostas dos alunos, pude perceber que muitos não conseguiram

responder as questões de forma correta, deixando várias delas em branco. A seguir,

apresentamos cada questão do teste com um estudo das respostas produzidas pelos 28 alunos

presentes no dia do teste.

A primeira questão foi escolhida por fazer parte do jogo e obteve um pequeno número

de respostas corretas. Dos 28 alunos que responderam, 15 deixaram a questão em branco e 3

alunos acertaram, apresentando de forma correta o raciocínio utilizado. Como exemplo,

apresentamos na figura 3 uma das resoluções considerada como correta. É importante

observar que inicialmente os alunos não associaram o ângulo 180º a π, o que poderia auxiliar

no desenvolvimento da atividade.

1. Quanto vale em radianos os ângulos 180º e 30º?

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 3 - Primeira questão do teste.

Figura 3 - Resolução do aluno JL.

Fonte: Produção dos alunos.

25

Nesta questão 10 alunos não responderam, sendo que entre os demais, 9 acertaram,

porém todos apresentaram de forma direta o resultado. Além disso, 4 destes alunos

apresentaram a resposta em valor decimal, o que nos faz acreditar que podem ter utilizado

calculadora ou decorado estes valores. Nesta questão os alunos não recorreram à

representação do ciclo trigonométrico para localizar o ângulo e nem utilizaram a regra de três

para calcular a proporção da medida em radianos e em graus.

Com a terceira e última questão nosso objetivo era analisar a percepção dos alunos

sobre o ciclo trigonométrico. Houve 15 respostas em branco e entre os demais apenas 10

alunos responderam o item A apresentando o raciocínio utilizado. Somente 3 alunos

conseguiram responder a questão B, e destes, 2 utilizaram do desenho do ciclo trigonométrico

para justificar suas respostas.

Além da grande quantidade de respostas em branco, pelos erros analisados notamos

que os alunos ainda apresentavam dificuldades em realizar mudanças de graus para radianos,

além disso, não souberam associar os ângulos ao ciclo trigonométrico, o que parece mostrar

que não assimilaram a redução ao 1º quadrante trabalhada pelo professor regente.

Nascimento (2013) aponta que o ensino da trigonometria apresenta inúmeras

aplicações concretas, porém destaca que, apesar do uso destas aplicações, ainda é comum a

2. Quanto vale o seno de 45º e 240º?

Quadro 4 - Segunda questão do teste.

Fonte: Elaborado pelo autor.

3. A) É verdade que o seno e o cosseno de 240º são negativos?

B) É verdade que o seno de 135º é igual ao de 45º?

Fonte: Elaborado pelo autor.

Quadro 5 - Terceira questão do teste.

Figura 5 - Resolução da aluna RL. Fonte: Produção dos alunos.

Figura 4 - Resolução

da aluna GA. Fonte: Produção dos alunos.

26

ênfase na repetição das regras, tornando o ensino mecanizado, o que dificulta a compreensão

pelo aluno. O autor afirma que

As maiores dificuldades apresentadas pelos alunos dá-se no estudo analítico da

trigonometria, e uma delas é a não diferenciação que antes, no triângulo retângulo

tinha um significado e agora apresenta outro foco. Evidencia-se exercícios

mecânicos nas resoluções de equações e inequações com nenhuma contextualização,

não familiarização com as fórmulas, dificuldade na interpretação de situações

problemas, como também ênfase em atividades relacionadas a identidades

trigonométricas. (p. 8).

Silva e Salvi (2011), ao trabalharem com este mesmo jogo, utilizaram um pré-teste

para perceber o que os alunos recordavam sobre o ciclo trigonométrico e um pós teste para

analisar os resultados do jogo. Nesta pesquisa um teste inicial foi aplicado, com questões

similares as do jogo, buscando compreender o que os alunos lembravam sobre os conceitos

necessários. Porém, diferente dos autores, não foi realizado um teste após a intervenção.

Optou-se por avaliar a aprendizagem dos alunos por meio de uma situação proposta no roteiro

de atividades, a qual buscava fazer com que os alunos utilizassem os conceitos ligados ao

jogo no preenchimento de uma tabela.

Nesta atividade final de avaliação os alunos ficaram livres para fazer consultas. O

motivo desta opção foi fazer com que tivessem maior liberdade durante o jogo, e também pela

percepção de dificuldades ao estudar o ciclo trigonométrico, apresentadas durante a atividade

inicial. Assim, a proposta do jogo serviu como um motivador para o resgate e ressignificação

dos conteúdos, fazendo com que os alunos pudessem superar as dificuldades apresentadas e a

avaliação entendida também como um momento de aprendizagem.

Grando (2000) destaca este papel dos jogos como recurso para estimular os alunos, por

ser “uma atividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do

jogo, e mais, envolve a competição e o desafio que motivam o jogador a conhecer seus limites

e suas possibilidades.” (p. 26).

Familiarização com o a proposta de intervenção, com o jogo e suas regras.

Por acompanhar as aulas de matemática da turma desde o início de 2017, atuando

como bolsista (ID), auxiliando o professor nas atividades cotidianas e desenvolve

intervenções junto à turma, minha presença era comum aos alunos. Isso fez com que não

houvesse nenhum estranhamento quando foi anunciada esta nova proposta de intervenção.

27

Além disso, esta vivência permitiu conhecer a realidade da turma, a qual apesar de se

mostrar disposta e participativa, tem alguns alunos que apresentam dificuldades em conceitos

da matemática básica. Assim, inicialmente, fiz uma síntese sobre a pesquisa e expliquei aos

alunos como aconteceriam os momentos da intervenção.

Eles pareceram interessados e também empolgados com a ideia de trabalhar com

jogos, uma novidade na rotina das aulas. De maneira espontânea, formaram grupos com

quatro componentes, os quais deveriam trabalhar em duplas, disputando entre si. Esta turma

estava acostumada com trabalhos em grupos, pois este formato já havia sido utilizado em

outras intervenções. Formaram-se sete grupos, os quais receberam os materiais necessários

(tabuleiro8, peças e um roteiro) e juntos fizemos o reconhecimento de cada item. Além disso,

solicitei que registrassem todos os cálculos e raciocínios durante o jogo.

Com os grupos e materiais organizados, expliquei as regras de forma geral, realizando

a simulação de uma jogada na lousa, e após isso pedi para iniciarem o jogo. Durante esse

momento inicial, eu e os bolsistas presentes auxiliamos as equipes quanto à formalização das

regras, observando e corrigindo de forma coletiva os erros comuns a mais de uma equipe.

Um exemplo de erro comum a várias equipes ocorreu em relação ao prosseguimento

das jogadas. Percebendo interpretações equivocadas dessa regra, solicitei a atenção de todos e

busquei explicar novamente de forma mais clara. Quando uma equipe não conseguia

responder corretamente as quatro questões propostas (Qual o valor do arco em graus?; Qual o

valor do arco em radianos?; Qual o valor do seno?; Qual o valor do cosseno?), a equipe

adversária dava continuidade, iniciando uma nova jogada. Expliquei que este procedimento

não era correto, pois uma nova jogada só poderia ser iniciada quando todas as questões

fossem respondidas pela dupla que lançou o dado ou, caso não soubessem, pela dupla

adversária.

Após esta explicação comum a todos, o jogo foi retomado. Depois de algum tempo de

jogo, conseguimos perceber que as maiores dificuldades não estavam na maneira de jogar em

si, mas no entendimento dos conceitos necessários para responder às questões, o que

significava realizar uma boa jogada.

Conversando com a equipe SJEV percebi que os alunos não lembravam como

representar o valor de um ângulo em radianos, o que fez com que eu interferisse, buscando

auxiliar no entendimento deste conteúdo.

8 Anexo 2.

28

PE - Vocês sabem qual o valor desse ângulo?

SH - é 120°.

PE - Isso, e lembra o que o professor ensinou para transformar

em radianos?

SH - Não.

PE - Ok. Olha o 180°. Quanto ele vale em radianos?

JA - Vale π.

PE - Isso, e agora o que a gente faz? Vocês sabem que 180° vale

π, e o 120°?

Esta intervenção permitiu que uma aluna se lembrasse da relação de proporção entre a

medida do ângulo em graus e em radianos, e da explicação em relação ao procedimento da

regra de três simples, proposto pelo professor quando apresentou o assunto. Com isso a

equipe conseguiu resolver a questão. Este episódio retrata o principal objetivo do jogo de

“fixação de conceitos”, o qual pode ser utilizado para sistematizar, generalizar ou treinar a

aplicação de conhecimentos construídos fora do jogo. (MUNIZ, 2010).

Como mediador entre os alunos, o jogo e o conteúdo, busquei auxiliar as equipes de

forma a não dar “respostas prontas”, indagando com outras perguntas e instigando a

descobrirem relações que auxiliassem na superação das dificuldades apresentadas. Sobre essa

postura, Grando (2000) destaca que é importante que “o professor não se isole do processo,

mas que seja elemento integrante, ora como observador, juiz e organizador, ora como

questionador, enriquecendo o jogo, mas evitando interferir “muito” no seu desenrolar.” (p.

36).

Apresento alguns diálogos nos quais pode-se perceber dificuldades referentes ao

conteúdo e destacar o papel do jogo como apoio no processo de apropriação dos conceitos

necessários à compreensão do referido conteúdo. Além disso, é notável a participação e o

envolvimento dos alunos, o que caracteriza o eixo 2 de análise, sendo uma das vantagens

apontadas por Grando (2000) ao realizar atividades com jogos.

EH - O certo é ou ? Na tabela do 45º é .

JL - É porque aqui é a direita, ai é a esquerda.

PE – Isso. A setinha aponta o sentido, então aqui é positivo e

aqui negativo. Certo?

PE - O seno tá vindo nessa parte. Aqui é positivo ou negativo?

JL - Positivo.

PE - O cosseno tá vindo nessa parte. Aqui é positivo ou

negativo?

29

EH - Negativo.

PE - Agora esse ângulo é semelhante a qual ângulo aqui?

JL - 60º.

PE - Isso. Certo? Agora é só vocês associarem na tabela.

Ao apontarem um ângulo no segundo quadrante, os alunos estavam analisando o valor

de seu seno e cosseno. Apesar de pedirem minha ajuda, eles próprios conversavam e

apresentavam o raciocínio utilizado, sendo assim, eu apenas confirmava o que eles já haviam

respondido e apresentava uma ideia que auxiliaria nas próximas jogadas. Este momento

retrata a presença do pensamento matemático (eixo 1) além da construção de estratégias (eixo

3) pelos alunos. Voltando a equipe SJEV, percebi que estavam pensativos e conversando

sobre uma das questões.

SH - Não sabemos quanto vale o seno de 180°.

PE - Ok. Qual é o eixo dos senos?

A aluna JA me respondeu apontando para o eixo vertical e concordei. Expliquei que ao

ter um ângulo na circunferência trigonométrica deveríamos projetá-lo no eixo vertical para

descobrir o seno, sendo assim 180° estaria projetado exatamente na metade do eixo dos senos.

PE - Se aqui é -1 e aqui é 1, quanto vale o seno aqui? –

apontando para o ponto (0,0).

JA - 0 né? – após um tempo pensando.

Apesar de terem concordado com minha explicação, se mostraram pensativas quando

perguntei qual seria o cosseno de 180º. Isso me fez refletir sobre a dificuldade de assimilação

deste conceito, pois não conseguiam realizar a análise geométrica, que seria uma noção

importante para o estudo de funções trigonométricas que iria suceder a intervenção.

Busquei apresentar o conceito de outra forma, relacionando o ciclo trigonométrico ao

plano cartesiano, utilizando a ideia de pontos ordenados.

PE - Qual é o ponto que o 180º representa no plano cartesiano?

- Não houve resposta

PE - Tá. O valor aqui é 0? – apontando para o 180º e mostrando

a reta dos cossenos.

SH - Não.

PE - Quanto é?

SH - Aqui é 1 ai é -1.

PE - Isso. Qual é o ponto então?

30

PE - Lembra a representação de um ponto? Aqui é o x e aqui o

y. – representando o ponto e apontando.

JA - É -1.

SH - O outro é 0.

PE - Agora olha pra esse ponto, o seno é aqui e o cosseno aqui.

É possível observar que os conceitos envolvidos com o ciclo trigonométrico não são

de fácil assimilação pelos alunos. Entendemos que vários são os fatores que dificultam esta

aprendizagem, nos quais se percebe muita preocupação, inclusive dos próprios alunos, em

“saber resolver” e não em “compreender” os conceitos estudados (Grando, 1995). Mas o jogo,

nesse caso, teve o papel de trazer à tona estas dificuldades e permitir que intervenções

positivas fossem feitas.

Figura 4 - Fotos de algumas equipes durante o jogo.

Fonte: Acervo do autor.

Ao final do tempo previsto para este momento os bolsistas presentes relataram que

haviam percebido que os alunos haviam assimilado as regras do jogo, porém existia

dificuldade na resolução das questões envolvidas. As figuras 5 e 6, apresentam os registros

das jogadas de duas duplas, nas quais podemos perceber que apesar de conseguir fazer a

correspondência do seno e cosseno de um ângulo com sua redução no primeiro quadrante, as

equipes não se atentavam a análise da posição do ângulo, ou seja, acabavam respondendo com

o valor do ângulo correspondente sem observar o sinal.

Figura 5 – Registro de uma jogada da dupla PR

Fonte: Produção dos alunos

31

Figura 6 - Registro de uma jogada da dupla SJ

Fonte: Produção dos alunos

Mediante a percepção destas dificuldades comuns as equipes e sabendo que os alunos

haviam se envolvido com a atividade, conversei com o professor regente e alterei o

planejamento inicial, o qual previa apenas duas aulas de jogo, acrescentando mais um

momento.

Intervenção pedagógica e registro do jogo

Foi necessária uma retomada de conceitos devido às dificuldades presentes durante o

primeiro momento de jogo. Desta forma, inicialmente conversei com os alunos sobre as

estratégias que estavam utilizando, reforçando as regras e o objetivo principal de cada rodada.

Na sequência, desenhei uma mandala (ciclo trigonométrico) no quadro e representei uma

jogada aleatória marcando uma casa, com isso comecei a fazer perguntas aos alunos.

PE - Qual é este ângulo?

JL - 225º?

PE - Tá, mais como a gente vê que é 225º?

VM- Ele tá na linha do 45º, então é 180º + 45º.

PE - Ok, todos conseguem identificar o ângulo?- A turma deu a

entender que sim

PE - E como fazemos pra descobrir o valor dele em radianos?

Este movimento, embora feito de maneira diretiva serviu como suporte para esclarecer

a dificuldade apresentada pela turma durante o primeiro momento de jogo, relativa a estrutura

do ciclo trigonométrico. Dando sequência, ao perguntar o valor de 225º em radianos um aluno

explicou seu raciocínio (utilizando regra de três) e os demais concordaram com sua resposta.

Analisando hoje, percebo que poderia ter explorado outras formas de se encontrar o valor do

ângulo em radianos, mas naquele momento me atentei apenas neste tipo de resolução.

PE - Agora me digam, quanto vale o seno de 225º?

VM- Vale .

ER - Não, ali é negativo.

32

PE - Tá, mas como eu sei que aqui vai ser , independente do

sinal?

VM- Ele tá na linha do 45º, ai vai ser tudo igual.

PE - Certo, mas porque é negativo?

JL - Porque a parte de cima da linha é positivo e embaixo é

negativo.

Este diálogo possibilitou que os alunos assimilassem melhor a noção geométrica do

seno e cosseno, além de fazer com que entendessem a representação das linhas esboçadas no

jogo com a redução ao primeiro quadrante. Apesar de apenas alguns alunos participarem deste

momento respondendo às perguntas, esta reflexão sobre a estrutura do ciclo fez com que

realizassem as jogadas de forma mais segura, auxiliando na superação das dificuldades.

Conforme afirma Muniz (2001), algumas interferências servem para ajudar o aluno a dar

sentido à sua ação e a criar ligações com saberes anteriores.

Ao retomar o jogo, percebemos maior agilidade em relação ao primeiro dia. A equipe

SJEV, que inicialmente havia apresentado dificuldade ao trabalhar com as orientações dos

eixos seno e cosseno, pediram por ajuda várias vezes, porém, apenas para validar se o que

haviam feito estava correto.

Uma das equipes, VEIJ, se mostrava vibrante e animada com uma nova regra que

criaram para a competição. Eles mesmos estipularam um tempo mínimo para resolver as

quatro questões, sendo que ao jogar o dado a equipe adversária controlava este tempo.

PE - Tá dando tudo certo?

VM- Ahan. Tá, não precisa de ajuda não.

VM- É 300. Multiplicando por π e dividindo por 180.

ER - Simplifica né? Dá por 60.

VM - É, dá .

VM - O seno é . - olhando para a tabela.

ER - O cosseno é ½? É ½ mesmo?

VM - É, mas aqui é negativo.

ER - Então é - . Terminou?

VM- Terminou.

JH - Menos de um minuto véio.

ER - Quer conferir? - risos

JH - Ó, graus certo, radiano ele tá fazendo pra ver.

IS - Vocês acertaram. Cadê o seno? É negativo, tá certo.

VM - Marca ai então.

33

No diálogo acima, observa-se o trabalho conjunto entre os membros da equipe,

existindo uma participação efetiva e crítica de todos, o que caracteriza também o eixo de

análise 2. Desde a resolução das questões à aceitação da resposta pela equipe adversária, os

alunos se entendiam e se auxiliavam fazendo questionamento uns aos outros. Houve uma

alteração nas regras de forma a tornar a dinâmica mais desafiadora, o que caracteriza uma

situação “imprevista”, mas que pode acontecer durante um jogo. É importante estar aberto a

novas possibilidades e imprevisibilidade, pois estamos lidando com o conhecimento e a

construção dos alunos a partir de desafios, a qual dispõe do anseio de ganhar e da imaginação

(SOARES, 2009).

Este segundo momento permitiu aos alunos realizarem as jogadas de forma a validar o

que havíamos debatido no início da aula, o que provocou uma diferenciação nos registros em

relação ao primeiro dia. Apesar de ainda existirem alguns equívocos comuns, foi perceptível

uma melhora no desenvolvimento das resoluções. Apresentamos nas figuras 7 e 8 uma

perspectiva do que foi apresentado nos rascunhos das equipes BJ e CV nos dois momentos de

jogo.

Figura 7 - Rascunho das jogadas da dupla BJ durante o primeiro momento de jogo

Fonte: Produção dos alunos

34

Figura 8 - Rascunho das jogadas da dupla BJ durante o segundo momento de jogo

Fonte: Produção dos alunos

Figura 9 - Rascunho das jogadas da dupla CV durante o primeiro momento de jogo

Fonte: Produção dos alunos.

35

Figura 10 - Rascunho das jogadas da dupla CV durante o segundo momento de jogo

Fonte: Produção dos alunos.

Nas Figuras apresentadas percebe-se que houve uma preocupação maior com o estudo

do sinal do seno e do cosseno no segundo momento, o que se mostrou comum entre as

equipes. Entendo que o jogo despertou o interesse dos alunos durante a explicação em relação

a estrutura do ciclo trigonométrico, gerando uma atenção que pode não ter sido tão efetiva

quando o professor explicou o conteúdo de forma tradicional. Assim, as situações de jogo

fizeram emergir o pensamento matemático dos alunos em seus registros, configurando o eixo

de análise 1. Eles passaram a expor sua forma de pensar para conseguir chegar aos resultados,

cirando hipóteses, desenvolvendo resoluções e construindo estratégias a partir do uso dos

jogos, conforme esperado no eixo de análise 3. Esta é uma postura muito diferente daquela

apresentada no teste inicial, dessa forma, é possível conjecturar que as questões presentes nas

regras do jogo funcionaram como um

elemento que facilitou o processo de sistematização e formalização do conhecimento

matemático trabalhado ludicamente na situação de jogo. O momento de escrever

sobre as suas formas de pensar, fez com que o sujeito refletisse sobre o seu próprio

processo de pensamento [...]. (GRANDO, 2000, p. 125)

Spada (2009) ao trabalhar com um jogo de conceito aponta dificuldades semelhantes

às enfrentadas no decorrer desta intervenção. Em sua pesquisa os conceitos matemáticos

estavam inseridos nas regras do jogo, as quais tiveram de ser repetidas várias vezes antes que

o jogo pudesse ser executado corretamente, sendo que a apropriação pelos alunos ocorreu

após diversas intervenções da pesquisadora. Desta forma, pude perceber que o jogo de

“fixação de conceitos” exige que os participantes busquem compreender o conteúdo

36

envolvido, sendo que as dificuldades emergentes podem ser mediadas pelo professor, o qual

deve fazer uma ligação entre o jogo e saberes anteriores dos alunos.

Ao final do tempo da aula expliquei a turma que daríamos continuidade ao trabalho

realizando uma atividade com o objetivo de ajuda-los a ver o conteúdo de uma forma que

facilitasse o entendimento.

Formalização dos conceitos

Ao chegar a sala de aula no terceiro dia de intervenção com os alunos, iniciei a

conversa explicando como aconteceria este momento, o qual seria mediado por um roteiro de

atividades9 que deveria ser desenvolvido em duplas, conforme a divisão feita durante os

momentos de jogo. Cada dupla recebeu o material impresso, o qual deveria ser preenchido de

forma clara, podendo-se recorrer aos bolsistas presentes em caso de dúvida. A primeira

atividade consistia no preenchimento de uma tabela (Figura 11) utilizando os conceitos

revisados durante o jogo.

Figura 11 - Tabela da primeira atividade.

Fonte: Elaborado pelo autor

Notei que algumas duplas que haviam apresentado dificuldade com as questões do

jogo, ainda pediam por ajuda, mas em menor intensidade. A maioria destas dificuldades

estava associada agora a situações que envolviam ângulos que não estavam no primeiro

quadrante.

Ao caminhar pela sala observando as duplas, notei duas alunas paradas, dupla VE. Ao

questionar o motivo, me disseram que haviam terminado, o que me fez desconfiar devido ao

tempo. Ao analisar a tabela percebi que existiam alguns valores equivocados nas linhas dos

senos e cossenos, mas os ângulos em radianos estavam preenchidos de forma correta.

9 Apêndice B.

37

Questionei qual foi o raciocínio que utilizaram e me admirei, pois me apresentaram uma

maneira interessante de raciocinar, sobre a qual eu não havia pensado. Elas fizeram a seguinte

associação, apresentada na Figura 12.

30º = ; 60º = ; 90º = 3 ;

120º = ; 150º = ; 180º = ;

Da mesma forma, explicaram que, para os ângulos múltiplos de 45º, simplificaram os

valores antes de colocar na tabela. O motivo de ter me admirado é que eu considerava este

raciocínio abstrato, porém observando a maneira como me explicaram pude notar que é uma

forma interessante de se trabalhar a construção dos radianos de forma intuitiva, sem recorrer à

regra de três para cada situação. Este envolvimento dos alunos, superando as expectativas do

professor, retrata a motivação que o jogo provoca ao propiciar momentos em que os alunos

elaborem hipóteses e criem conjecturas que auxiliam no entendimento do conteúdo, o que

também configura o eixo de análise 3.

Analisando esta estratégia, me percebo aprendendo com os alunos, e concluo que

poderia ter explicado de forma mais simples, o que geraria menos dúvidas. Assim, o jogo

possibilitou aos alunos tomar decisões e construir caminhos próprios. Além disso, exigiu que

os alunos avaliassem as estratégias adotadas, propiciando uma significação para conceitos de

difícil compreensão (GRANDO, 2000). Devemos valorizar os

[...] processos desencadeados na utilização de jogos no ensino de Matemática, a fim

de que possa ocorrer uma aprendizagem Matemática significativa, útil para o aluno

no processo de “fazer matemática”, e na compreensão desse processo pelo

pesquisador, como também, conferir ao ensino da matemática momentos de alegria,

descontração, paixão e envolvimento pela atividade lúdica que o jogo representa.

(p.209)

Apesar do tempo dedicado ao jogo, às revisões e explicações na lousa, alguns alunos

ainda apresentavam dificuldades referentes aos conceitos do ciclo trigonométrico, o que fez

com que o preenchimento da tabela demandasse mais tempo do que havia planejado. No

quadro 6 é apresentado uma passagem do portfólio de uma bolsista, a qual comenta sobre as

dificuldades dos alunos e a necessidade de investir mais tempo para promover a construção do

conhecimento.

Figura 12 - Rascunho da dupla LS

Fonte: Produção dos alunos

38

É importante destacar que o jogo auxilia na dinâmica da intervenção, resgatando

conceitos e fazendo com que os alunos desenvolvam o conteúdo de uma maneira diferente, o

que pode preencher algumas lacunas de conhecimento deixadas anteriormente. Porém, ele não

é uma solução instantânea, e devemos tomar cuidado com “falsas concepções de que se

devem ensinar todos os conceitos através de jogos” (GRANDO, 2000, p.35). Assim como a

experiência de Silva e Salvi (2011), percebemos que a mandala trigonométrica:

(a) permite a emergência de dúvidas básicas e abre oportunidades de

dissipá-las pois o processo repete-se seguidas vezes, favorecendo a

construção do conhecimento. Com a vantagem de o momento encorajar

o estudante a expor sua dúvida, pois o ambiente favorece o riso e a

descontração […].

(b) confere ao estudante confiança em seu raciocínio na medida em que

acerta e isto pode desenvolver lhe o prazer de aprender.

(c) estimula a aprendizagem solidária. As intervenções que os colegas

fazem durante as jogadas têm uma eficiência no alcance, muitas vezes

superior à explicação do professor […]. (p. 35)

Após o preenchimento da tabela, devido ao tempo reduzido, fiz uma revisão de pontos

no plano cartesiano e logo em seguida expliquei a proposta da última atividade, que consistia

em representar os pontos correspondentes a função seno e cosseno graficamente, utilizando os

dados tabelados. Para isso, eles deveriam utilizar o eixo vertical representando o seno ou o

cosseno e o eixo horizontal representando os ângulos.

Durante a realização da atividade, a maior dificuldade apresentada foi em relação a

adaptação das escalas, mas os alunos demonstraram confiança ao realizar o exercício e o

fizeram sem demandar muito tempo. Um empecilho constante desde o início da aula foram

conversas aleatórias de algumas equipes, o que em determinado momento precisei intervir

pedindo para se atentarem a atividade. Isso mostra que embora o jogo motive, a passagem

para o conteúdo não é uma tarefa fácil e requer intervenção constante do professor.

Nas figuras 13, 14 e 15 são apresentadas as tabelas e os gráficos produzidos pelas

duplas TJ, ED e VE. Estas produções revelam um “panorama geral” das atividades entregues

pelas duplas. Os “erros” apresentados se limitaram, em sua maior parte, ao estudo do sinal do

Mesmo com as revisões, mesmo com os jogos eles ainda tiveram dificuldade e demoraram

para terminar essa atividade. Imagina se apenas tivesse tido exercícios e explicações?

Acho que eles teriam ainda mais dificuldade ou não saberiam fazer.

Fonte: Portfólio da bolsista GJ.

Quadro 6 - Excerto retirado de um portfólio

39

seno e cosseno, existindo alguns casos que demonstravam dificuldade ao associar um ângulo

a sua redução ao primeiro quadrante.

Figura 13 – Atividades da dupla TJ.

Fonte: Produção dos alunos

A dupla TJ (Figura 13) apresentou dificuldade durante os momentos de jogo e foi

auxiliada quando possível, embora não solicitassem minha ajuda e nem a dos bolsistas

presentes. Analisando a tabela e o gráfico, podemos observar que os “erros” apresentados

aconteceram devido a uma interpretação equivocada dos ângulos que não estão no primeiro

quadrante, o que inicialmente foi comum a maior parte dos alunos, no entanto, os resultados

apresentados nesta última atividade mostram uma evolução.

40

Figura 14 - Atividades da dupla ED.

Fonte: Produção dos alunos.

41

Figura 15- Atividades da dupla VE.

Fonte: Produção dos alunos.

42

Como forma de concluir a intervenção, busquei instigar os alunos a pensarem sobre a

atividade realizada no momento anterior, para isso, escolhi cinco gráficos, três representando

a função seno e dois a função cosseno, os quais apresentavam diferenças na representação dos

pontos.

Com o auxílio de slides, apresentei os gráficos da função seno de maneira aleatória e

então perguntei o que haviam notado na passagem de um para o outro. Uma aluna alegou que

tinha um gráfico errado (Figura 16), então perguntei o motivo e ela apontou para a localização

dos pontos a partir de 180° dizendo que estavam “jogados”.

Figura 16 - Gráfico da função seno. Dupla TJ

Fonte: Produção dos alunos

Dei continuidade a conversa explicando que realmente haviam pontos localizados de

maneira incorreta, o que poderia ser resultado de uma interpretação errada na hora de

descobrir os valores da tabela. Ao questionar sobre o segundo gráfico (Figura 17),

perguntando se ele estava com todos os pontos corretos vários alunos apontaram que não, o

motivo seria um ponto localizado simetricamente contrário ao correto.

Figura 17 – Gráfico da função seno. Dupla ED.

Fonte: Produção dos alunos.

43

Esta produção foi escolhida pelo motivo de apresentar um erro comum, que ocorria

nas primeiras aulas quando os alunos descobriam o valor (em módulo) do ângulo, porém não

faziam o estudo do quadrante em que ele estava. Durante a discussão com os alunos busquei

explicar os conceitos de maior dificuldade, utilizando do ciclo trigonométrico e de

representações que auxiliaram na compreensão.

Este momento serviu para esclarecer o motivo da escolha do jogo Mandala

Trigonométrica, fazendo com que os alunos pudessem entender o “porque” de utilizarmos o

ciclo trigonométrico e o objetivo das questões trabalhadas. Apesar de ter realizado este último

momento de forma interativa, no qual busquei instigar os alunos a descobrirem desacertos nos

gráficos criados por eles próprios, acredito que a mudança no planejamento e o tempo extra

de jogo fez com que a formalização e apresentação das funções trigonométricas fosse feito de

maneira breve, mas os alunos haviam construído os gráficos sem que o conteúdo formal fosse

apresentado antes, assim puderam interagir, de forma ativa, na construção desse novo

conhecimento.

Grando (2000) ressalta que ao assumir uma proposta de trabalho com jogos, o

professor “deve assumi-la como uma opção, apoiada em uma reflexão com pressupostos

metodológicos, prevista em seu plano de ensino, vinculada a uma concepção coerente com o

projeto pedagógico da escola” (p. 36). Desta forma, podemos compreender que o papel do

professor como mediador em uma atividade com jogos pedagógicos é essencial, então ele

precisa estar preparado para intervir na atividade e para lidar com as situações imprevistas.

5.2. Torre de Hanói

O jogo Torre de Hanói, criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883,

consiste em uma base contendo três torres, em uma das quais são dispostos discos em ordem

crescente de diâmetro, de cima para baixo. O problema principal consiste em transportar os

discos de uma torre para outra. As regras básicas são: movimentar uma peça de cada vez e;

não colocar uma peça maior acima de uma menor, não sendo possível movimentar uma peça

que esteja abaixo de outra.

Muitas lendas são contadas a respeito da criação da Torre de Hanói, sendo a mais

conhecida a que o coloca como o “jogo do fim do mundo”. Em 1947, Northrop publicou o

texto intitulado “A lenda”:

44

Quadro 7 - A lenda da Torre de Hanói

Conta à lenda que no tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcava

o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamante, cada uma

com um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha.

Durante a criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior

deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre

foi chamada de Torre de Brahma.

Dia e noite, incessantemente, os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra,

de acordo com as leis imutáveis de Brahma, que dizia que o sacerdote do turno não poderia

mover mais do que um disco de cada vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de

maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos

tivessem sido transferidos da agulha que Deus colocou, no dia da criação para outra agulha, o

mundo deixaria de existir.

Fonte: Northrop, 1947.

A escolha do jogo Torre de Hanói aconteceu devido à possibilidade de sua aplicação

no desenvolvimento do raciocínio estratégico e do pensamento dedutivo dos alunos. Por

possuir regras simples e de fácil assimilação, ele tem um caráter motivador, fazendo com que

os alunos se envolvam na busca destas estratégias. O jogo pode ser classificado, segundo

Grando (2000), como um jogo quebra-cabeça e de estratégia, além disso pode ser executado

em ambiente computacional. É um jogo de solução, no qual a criação de estratégias facilitam

as jogadas futuras.

O principal interesse nesta pesquisa foi expor uma possibilidade de trabalho com

alunos do 1º ano do ensino médio, induzindo-os a perceberem relações do jogo com a

matemática, em especial uma ideia inicial da função exponencial.

Por não ter o quantitativo de tabuleiros necessários, optei por realizar a intervenção

utilizando um aplicativo, instalado em tablets disponibilizados pela universidade para a

utilização por alunos dos cursos de licenciatura, tanto em projetos desenvolvidos no próprio

campus quanto em escolas públicas, sob a supervisão de um docente. Estes equipamentos

pertencem ao Laboratório de Formação Docente (LABFOR10

), o qual possui outros

equipamentos tecnológicos com finalidades pedagógicas, adquiridos a partir do Programa de

apoio a Laboratórios Interdisciplinares de Formação de Educadores (LIFE), da Capes.

10

Segundo o Regimento do Centro de Educação da Unifei, único documento disponível no site da universidade

que cita o LabFor, este Laboratório de Formação Docente constitui-se como um espaço de uso preferencial dos

cursos de Licenciatura para o desenvolvimento de atividades de formação docente, inicial e/ou continuada,

congregando atividades de programas institucionais de docente, sob responsabilidade de um coordenador

indicado pelo Comitê Gestor Institucional de Formação Inicial e Continuada de Profissionais da Educação

Básica (COMFOR).

45

Dentre alguns aplicativos encontrados, o Hanói Ziggurat11

, disponível apenas para

dispositivos com o sistema Android12

, foi o que mais se assemelhava ao jogo físico, além de

não registrar os números de jogadas, o que seria importante durante os momentos de

intervenção.

Familiarização com o jogo e reconhecimento das regras

Ao perceber que a sala de aula dos alunos era limitada fisicamente, aproximadamente

12 m2 de área, não favorecendo uma situação de jogo, o professor regente deu a sugestão de

trabalharmos em um espaço do pátio da escola, o que permitiria circular com mais facilidade

entre os alunos. Desta forma, foi feito um acordo com a turma, no qual ficou estabelecido que

continuaríamos neste ambiente apenas se a turma apresentasse um bom comportamento.

Inicialmente essa mudança no cenário me fez ter insegurança, porém, após o início da

atividade a disposição dos alunos e a localização das equipes facilitou a comunicação e fez

com que os alunos se mostrassem mais interessados na dinâmica da atividade. Podemos

perceber esta reflexão no portfólio de uma bolsista, conforme Quadro 8.

Inicialmente, apresentei o material aos alunos e entreguei um tablet por dupla. Eu e o

professor regente reforçamos sobre a responsabilidade que havíamos assumido, pedindo para

que manuseassem o material de forma responsável. As equipes iniciaram o aplicativo e foram

se familiarizando com a dinâmica do jogo. Foi interessante observar que mesmo não sendo

apresentadas as regras e o aplicativo ter “menus” na língua inglesa, os alunos iniciaram o jogo

de maneira natural, despertados pela curiosidade e manuseando as ferramentas de forma a

descobrir cada função.

11

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.ufonurkka.hanoi&hl=pt 12

Android é um sistema operacional (SO) desenvolvido pela empresa de tecnologia Google LCC.

Apesar de ser uma turma bastante agitada e falante, o fato de desenvolver a atividade

fora da sala de aula não atrapalhou em nada. Em nenhum momento senti que os alunos

estavam dispersos ou enrolando para não fazer, muito pelo contrário, se esforçavam para

resolver o que era proposto e sempre nos solicitavam para tirar dúvidas. Acredito que os

tablets tenham prendido a atenção deles e resolver a torre se tornou mais interessante do

que qualquer distração. Me surpreendi com o comportamento da turma.

Quadro 8 - Excerto do portfólio da bolsista PB.

Fonte: Portfólio da bolsista PB.

46

Figura 18 - Alunos reunidos no pátio durante a apresentação do material.

Fonte: Portfólio da bolsista PB.

Esta é uma potencialidade interessante das tecnologias, que pode ser explorada em

sala de aula. Os alunos possuem muita facilidade em lidar com jogos e orientações visuais,

pois elas fazem parte do seu mundo. E talvez tenha sido um fator decisivo para manter o

envolvimento deles, mesmo num espaço mais amplo, no qual, a princípio, eu temia perder o

controle.

Após apresentar o jogo, realizamos a leitura da lenda da origem da Torre de Hanói, na

sequência perguntei a turma quais as regras que deveríamos seguir ao trabalhar com o jogo.

Durante esta dinâmica utilizei um tabuleiro físico, representando a ideia de cada regra

conforme iam apontando. Comentei que o jogo tinha um caráter simples e com poucas regras,

as quais incluíam: (1) movimentar uma peça de cada vez; (2) não colocar uma peça maior

acima de uma menor e; (3) não movimentar uma peça que esteja abaixo de outra.

Familiarizados com o material e com as regras os alunos iniciaram a etapa do "jogo

pelo jogo", ou seja, jogaram de forma livre buscando garantir as regras. Durante este

momento observamos que as dúvidas apresentadas estavam, em maior parte, ligadas ao

manuseio do equipamento e aos comandos do aplicativo escolhido, desta forma, podemos

constatar que o jogo tem um caráter intuitivo, de fácil assimilação. Grando (2000) afirma que

a partir das “atividades de livre exploração da situação de jogo [...] surgem as

conceitualizações destas ações, marcadas pela abstração (“pensar fora do objeto”) e

determinadas pelo tipo de intervenção pedagógica que é proposta com a atividade” (p.56).

Intervenção pedagógica verbal e apresentação das situações-problema

47

No dia seguinte os alunos tinham se adiantado e estavam se arrumando no pátio,

porém, devido ao horário da aula ser após o intervalo havia tumulto por parte de outras turmas

que estavam seguindo para suas salas. Com a turma organizada e percebendo que o barulho

havia diminuído entreguei o equipamento pedindo que já iniciassem o uso do aplicativo.

Retomamos as regras de modo conjunto, as quais fui exemplificando no tabuleiro e

repetindo quando algum aluno demonstrava não ter entendido. O objetivo deste momento era

fazer com que jogassem de forma consciente, buscando analisar a estratégia que estavam

utilizando. Desafiei os alunos a descobrirem o número mínimo de jogadas para cada nível do

jogo (quantidade de peças), observando e anotando o que encontrassem.

Por utilizar um equipamento por dupla, apesar dos participantes se mostrarem

cooperativos durante o jogo, pude notar que em alguns casos apenas um aluno realizava os

movimentos. Desta forma, precisei pedir para que os integrantes de cada dupla se alternassem

durante a atividade, afim de que com isso houvesse maior participação.

Juntamente com os bolsistas ID presentes, busquei transitar entre as duplas

conversando e observando o que estavam descobrindo. Na maior parte das vezes queriam

saber se a quantidade encontrada estava correta, então eu pedia para que o colega de equipe

confirmasse. Esta dinâmica fez com que observassem que para se obter uma quantidade

mínima era preciso jogar de forma correta, ou seja, ter uma estratégia.

YS - Deu 13.

LS - O meu deu 9.

PE - Tem como ter um número menor?

LS - Tem que fazer de novo?

PE - Olha o jeito que vocês jogaram. Tem algum jeito certo?

LS - Tem?

Podemos perceber no diálogo acima o meu papel como mediador, no qual procurei

auxiliar a dupla de modo a desencadear raciocínios, porém sem apresentar soluções. Este

processo é caracterizado como intervenção pedagógica, a qual pode vir a garantir o processo

de formulação de hipóteses pelos alunos no caminho de um dado objetivo. Caso contrário, a

dupla poderia continuar jogando no caráter do “jogo pelo jogo”, sem definição clara de

objetivos (GRANDO, 2000).

48

No momento seguinte apresentei aos alunos o roteiro com as situações-problema,

explicando que elas estavam interligadas ao jogo e deveriam ser respondidas de acordo com o

que vivenciassem durante as partidas.

Pedi a atenção da turma para que pudéssemos descobrir o número mínimo de jogadas

de forma conjunta, expliquei que o motivo de estar fazendo isso era para não serem

prejudicados quando precisassem destes valores, pois, caso utilizassem valores equivocados a

interpretação poderia apresentar resultados diferentes, ou não conseguiriam perceber os

padrões buscados nas atividades.

O controle do registro do jogo feito pelos alunos, em ambas as intervenções, foi um

ponto falho, e impediu uma análise mais profunda. Grando (2000) comenta que

Em situações escolares normais, nas quais o professor se detém quase que

exclusivamente nos registros realizados pelos alunos, ele perde muito do processo

ocorrido na obtenção de uma resposta. Quando o aluno traduz seu raciocínio através

de um registro, ele depura seu próprio raciocínio e não explicita esse processo no

registro. (p. 85)

E realmente isso aconteceu. Muitos alunos apagavam o que haviam feito quando

indagados ou percebendo algum equívoco. Uma estratégia poderia ter sido solicitar que

fizessem tudo à caneta, para que nada fosse perdido. Este é um aprendizado importante para

minhas próximas atuações como professor ao adotar os jogos como uma estratégia de

trabalho.

As situações propostas no roteiro foram elaboradas pensando em auxiliar os alunos na

construção de uma função que expressasse a relação do número de peças com o número de

jogadas. Desta forma, foram colocadas cinco situações-problema, as quais estavam

interligadas de forma a contribuir na generalização esperada.

A primeira situação, inicialmente se mostrou abstrata aos alunos, mas, analisando cada

jogada de modo detalhado conseguiram observar o que acontecia.

PE - Olha, joga pra eu ver. O que você percebe?

RV - A primeira move mais.

PE - Tá, mas qual é a que menos se movimenta?

PE - Joga de novo.

RV - É a quinta né.

PE - Sempre vai ser a quinta?

1º) Quais as peças que mais se movimentam? E as que menos se movimentam?

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 9 - Primeira questão do roteiro de atividade.

49

PE - Imagina um jogo com cem peças. Qual vai se movimentar

menos?

RV- A de baixo.

PE - Como vocês podem escrever isso de forma geral?

Este episódio apresenta a maneira que encontrei de conversar com as duplas

auxiliando nas dificuldades, mas buscando interferir o mínimo possível na construção de

ideias. Este contato com os alunos fez com que notasse que as situações se mostravam

desafiadoras exigindo que elaborassem várias hipóteses.

Fui chamado pelo aluno HA que alegou ter “descoberto uma teoria” sobre a maneira

correta de se jogar, a qual implicava que as peças pares não deveriam ser colocadas acima de

outras peças pares, o que também seria válido para as ímpares, ou seja, ele buscou explicar

um algoritmo para se jogar de forma adequada e os colegas de equipe apoiaram sua resposta.

Essa explicação me deixou confuso, pois não havia imaginado esta hipótese, o que me

fez buscar compreender e pedir ao aluno que demonstrasse o que havia pensado, o que

realmente pode ser verificado. É necessário utilizar outras estratégias para realizar o jogo de

forma a obter o número mínimo de jogadas, mas essa “sacada” do aluno facilitou suas jogadas

com o número mínimo de passagens.

Os eixos de análise se fazem presentes nestes momentos, nos quais são perceptíveis a

presença do pensamento matemático (eixo 1), o que faz com que os alunos busquem elaborar

estratégias e verificar os resultados (eixo 3) além de estarem em constante debate (eixo1).

Percebo que à medida que o aluno encontra um espaço propício para desenvolver seu

pensamento, ele descobre que não está limitado a apenas o que não sabe, aprendendo que

pode construir seu próprio conhecimento. (MACEDO, PETTY e PASSOS, 2000, p. 27).

Em outro momento fomos surpreendidos quando um aluno disse ter conseguido

chegar ao nível 12 do jogo, explicando seu raciocínio aos colegas de equipe e mostrando-se

animado com as situações propostas. Esta situação é apresentada no portfólio de um dos

bolsistas (Quadro 11).

2º) Qual o segredo que permite jogar bem, sem desperdiçar movimentos, com três, quatro,

cinco, seis ou mais peças?

Fonte: Elaborado pelo autor.

Quadro 10 - Segunda questão do roteiro de atividade.

[...] muitos alunos vieram falar comigo que haviam baixado o aplicativo no celular, e que

inclusive estavam no nível 12/13, e fiquei pensando quantos movimentos foram

necessários para chegar a isso, então eles realmente gostaram mesmo, inclusive alguns

que normalmente não se interessam muito.

Fonte: Portfólio do bolsista BK.

Quadro 11 - Excerto do portfólio do bolsista BK.

50

Levando em consideração os episódios citados, é possível perceber o quanto a ação

com o jogo se mostrou válida, no que diz respeito a motivação e participação dos alunos, o

que configura o eixo de análise 2. Além disso, os alunos desenvolveram uma hipótese, se

preocupando em verificar se a mesma estava correta, caracterizando um pensamento lógico

esperado no eixo de análise 3. Este tipo de pensamento, segundo Toneis (2015), permite

estabelecer

[...] se uma conclusão está adequadamente justificada em vista das informações

disponíveis, ou seja, se uma conclusão pode ser aceita, válida a partir dos dados e

informação que se possui. Em outras palavras, ao avançarmos nos processos de

validação argumentativa de uma conjectura, estamos justificando nossas ações

prevendo os efeitos finais alcançados. (p. 68)

Na segunda situação, apresentada no quadro 10, alguns alunos questionaram como

deveriam responder. Expliquei que o intuito era a descoberta de alguma regra que pudesse ser

utilizada para se jogar com competência, ressaltando que não haveriam respostas certas ou

erradas. Esta situação fez com que as duplas refletissem sobre suas jogadas, analisando cada

movimento. Porém, houve dificuldades comuns, como exemplo apresento um diálogo no qual

tentei auxiliar uma equipe que não conseguia formular uma hipótese para esta questão.

PE - Pode jogar.- ao movimentar três peças pedi para pararem.

PE - O que você fez?

FB - Tirei as de cima.

PE - Tá. E agora? – após movimentar a última peça.

FB - A última.

PE - Isso. E o que vai fazer agora?

FB - Trocar essas.

PE - Isso. Observa a rodada com cinco.

Novamente, percebo que minha intervenção foi diretiva, o que poderia ter sido feita de

maneira diferente. Embora tenha auxiliado a dupla a compreender o objetivo da questão, não

me atentei a possibilidade de outras soluções. Macedo, Petty e Passos (2000) apontam

[...] a importância de se buscar diferentes soluções para vencer o mesmo desafio. Em

muitas situações de jogo, as crianças não percebem as diversas possibilidades de

resolução. Analisá-las portanto, amplia o olhar sobre o objeto, o que dá uma nova

dimensão para enfrentar situações-problema.

3º) Sem efetuar o jogo, é possível calcular o número mínimo de movimentos para, por

exemplo, dez peças?

4º) Tente descobrir uma regra que relacione o número de peças e o número mínimo de

movimentos.

5º) Descubra o número mínimo de movimentos que, segundo a lenda, seriam necessários

para que o mundo deixasse de existir.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Quadro 12 – Terceira, quarta e quinta questão do roteiro de atividade.

51

A maior parte da turma, ao ser questionada sobre uma regra para descobrir o número

mínimo de peças, chegou a uma fórmula de recorrência, a qual é mais fácil de ser

interpretada. Ou seja, eles sabiam que a cada peça adicionada, o número de passagens era o

dobro da quantidade de passagens anteriores mais um. Isto ocorre porque a nova peça vai

exigir que os movimentos feitos nas anteriores, sejam todos repetidos, após a sua própria

movimentação.

Porém, ao se depararam com a última questão, os alunos percebiam que a fórmula de

recorrência exigia o cálculo da quantidade anterior. Ela ainda não relacionava a quantidade de

movimentos diretamente com a quantidade de peças. Esta percepção mostra que os alunos

passaram a ter um rigor maior, testando suas conjecturas e buscando soluções adequadas aos

problemas propostos, conforme estabelecido no eixo de análise 3.

AM- Tá muito difícil.

PE - Por quê?

AM- Eu tive que fazer tudo ó.

PE - Certo. Mas você viu a questão anterior né? Agora olha a

regra que vocês descobriram. O que é esse x?

FH - É o do de 63.

PE - Então, vocês descobriram uma regra correta, mas ela usa

o número mínimo anterior.

FH - Tá errado?

PE - Não. Só que aqui você tem que descobrir uma regra que

usa o número de peças, olha.

Ao perceber a dificuldade de compreender a generalização e sabendo que este era um

processo difícil, busquei apresentar algumas ideias, indagando as equipes sobre o conteúdo

abordado anteriormente à intervenção (revisão de potências).

Formalização e apresentação dos relatórios

O momento de conversa com os alunos com o objetivo de formalizar as ideias

envolvidas no jogo precisou ser realizado de maneira diferente do planejamento inicial, o que

aconteceu devido a momentos extras de jogo e realização das situações propostas. A intenção

inicial previa uma socialização de cada dupla, as quais precisariam expor estratégias e ideias

envolvidas com a resolução do roteiro de atividades. Macedo, Petty e Passos (2000) ao

abordarem o “tempo” em uma situação com jogos comentam que

52

É preciso sempre considerar o tempo disponível em relação ao tempo necessário

para a realização da proposta. [...] Em geral, jogar toma um tempo maior do que o

previsto, principalmente quando as crianças aprovam o jogo. (p. 16)

No lugar da socialização das duplas, optamos por realizar um debate com os alunos

sobre as situações apresentadas no roteiro e uma apresentação da ideia de função exponencial.

A mudança exigiu que solicitássemos uma atenção maior da turma ao relatório final,

explicando e apresentando tudo que julgassem importante no desenvolvimento da atividade.

No quadro 13 são apresentadas as cinco situações propostas no roteiro, as quais foram

objeto de discussão no momento de formalização com os alunos. Além disso, também são

apresentados alguns trechos dos relatórios, pertinentes a cada situação.

Inicialmente, utilizando do tabuleiro do jogo, pedi a turma para que me auxiliasse na

contagem e refiz a tabela do número mínimo de jogadas. Ao pedir para alguém comentar

sobre a primeira questão, o aluno RV, que se mostrou participativo durante o jogo, mas que

normalmente mostrava apatia e indisciplina durante as aulas de matemática, se voluntariou e

respondeu de maneira séria e confiante que as peças menores sempre se movimentam mais

que as peças maiores, apesar da resposta simples, a turma compreendeu e concordou com seu

raciocínio. Nas figuras 19 e 20 são apresentadas as soluções de duas equipes.

Figura 19 - Solução apresentada pe la equipe CRH

Fonte: Produção dos alunos.

1º) Quais as peças que mais se movimentam? E as que menos se movimentam?

2º) Qual o segredo que permite jogar bem, sem desperdiçar movimentos, com três, quatro, cinco,

seis ou mais peças?

3º) Sem efetuar o jogo, é possível calcular o número mínimo de movimentos para, por exemplo,

dez peças?

4º) Tente descobrir uma regra que relacione o número de peças e o número mínimo de

movimentos.

5º) Descubra o número mínimo de movimentos que, segundo a lenda, seriam necessários para

que o mundo deixasse de existir.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Quadro 13 - Situações-problema do roteiro de atividades.

53

Figura 20 - Solução apresentada pela dupla FB.

Fonte: Produção dos alunos.

As respostas dadas pelas demais duplas foram semelhantes. Contudo, cada uma

explicou da maneira que haviam analisado durante o jogo, mostrando que apesar da ideia ser

comum a todos, conseguiram chegar a hipótese a partir de olhares diferentes, mas nem todas

elas justificando matematicamente a necessidade de mais mudanças das peças pequenas.

Ao perguntar se existia uma melhor forma de se jogar, a turma se manteve em

silêncio, o que fez com que eu direcionasse a questão ao aluno HA, que me apresentou a sua

teoria sobre o fato de as peças pares não deverem ser colocadas acima de outras peças pares.

Após a sua explicação, busquei ilustrar o pensamento do aluno registrando os movimentos no

tabuleiro e dando exemplos contrários à afirmação, o que fez com que os alunos

concordassem com o raciocínio. Apenas duas equipes apresentaram esta percepção, na figura

21 temos a solução apresentada pela equipe do aluno HA.

Figura 21 - Solução apresentada pela equipe CRH

Fonte: Produção dos alunos.

Ao perguntar se existiam outras estratégias, o mesmo aluno acrescentou que para se

jogar bem é necessário saber os movimentos com o número de peças anterior, pois assim é só

ir repetindo, retirando a última peça do jogo e repetindo os movimentos novamente. Esta

percepção, exposta pelo aluno, foi a que ajudou algumas equipes a deduzirem a fórmula de

recorrência. Nos relatórios foram apresentadas estas duas teorias, sendo que algumas equipes

se atentaram a detalhar o raciocínio e outras responderam de forma direta.

As últimas situações tinham por objetivo fazer com que os alunos buscassem descobrir

uma regra que relacionasse o número de peças ao número de jogadas, o que se apresentou

54

complexo durante os momentos de jogo. Ao solicitar a explicação dos alunos alguns já

apresentaram uma fórmula diretamente sem explicar o caminho que utilizaram. Devido ao

processo de generalização dessa regra ser abstrato, preferi indagar os alunos sobre a fórmula

de recorrência que algumas duplas haviam me apresentado.

Após o detalhamento do processo, o aluno IR, que apresentou sua descoberta

recorrendo diretamente a resposta da situação anterior, explicou que para se saber um número

de movimento qualquer é preciso saber o número mínimo de movimentos anterior, o qual

deveria ser multiplicado por 2 e somado ao movimento da última peça. O aluno deduziu que,

com isso, conseguia-se chegar a uma regra dada pela expressão 2n + 1, na qual n é o número

mínimo de movimentos da jogada anterior. A explicação foi esquematizada na figura 22,

pensando em uma jogada com 4 peças e considerando que sabemos o número mínimo de

movimentos com 3 peças.

Conforme explicado anteriormente, ao movimentar as três peças superiores para a

segunda torre, realizamos sete movimentos, ao mudar a última peça para a terceira torre

acrescentamos mais um movimento. Por fim repete-se o processo com as três peças, ou seja,

realiza-se mais sete movimentos. Este raciocínio foi trabalhado com a maior parte das

equipes, pois embora não seja o resultado esperado ele auxilia os alunos a compreenderem o

processo de generalização. Podemos considerar que o jogo Torre de Hanói

[...] é uma atividade produtiva, mas o que produz a atividade considerada como jogo

não é materialmente concreto e, por vezes, nem mensurável, nem visível. O que o

Figura 22 - Esquema de uma jogada com quatro peças.

Fonte: Elaborado pelo autor.

55

jogo pode produzir são elementos que pertencem ao espírito do ser que joga,

produtos de ordem psicológica/informativa, estruturas de pensamento, valores,

crenças, conhecimentos e metaconhecimentos. (MUNIZ, 2010, p. 36)

Como o objetivo desta questão estava relacionado a descoberta que motivou a escolha

da Torre de Hanói, questionei sobre o processo para encontrar a primeira regra apresentada,

explicando que deveria ser justificada, assim como o raciocínio que o aluno IR havia acabado

de explicar. Neste momento, o aluno RV reafirmou a regra que haviam encontrado. Ao ser

questionado por mim sobre o raciocínio para se chegar nesta fórmula, ele explicou que

fizeram tentativas com vários valores e percebendo que era válido com o 2 fizeram a

correspondência.

Nesse momento sua colega de equipe, CV, afirmou que eles também haviam percebido

que as potências de base dois levavam a um número a mais que os de movimentos das peças,

por isso concluíram a fórmula apresentada. Toneis (2015) aponta que as

simulações durante o processo de validação torna-se o fenômeno que nos permite

situar nossa ação, contextualizando-a. Neste constante processo [...] articulamos

conceitos, categorizamos ações produzindo instrumentos para resolução de

problemas em uma tentativa de validarmos nossa conjectura. (p. 29)

Ou seja, por não pensarem na possibilidade de acrescentar a uma fórmula o -1 como

uma solução para a diferença encontrada, eles a desprezaram, mas na verdade já haviam

encontrado a solução sem a necessidade de uma intervenção mais diretiva.

O quadro 14 ilustra a maneira que apresentei essa generalização, aproveitando a fala

da aluna, mas buscando explicar o raciocínio pausadamente e fazendo com que recorressem

ao estudo de potências visto anteriormente.

Quadro 14 - Esquema apresentado aos alunos durante a formalização do jogo.

Nº DE PEÇAS Nº MÍNIMO DE JOGADAS Nº DE JOGADAS +1

1 1 = 21

– 1 2 = 21

2 3 = 22- 1 4 = 2

2

3 7 = 23- 1 8 = 2³

4 15 = 24- 1 16 = 2

4

N 2n

-1 2n

Fonte: Elaborado pelo autor.

Apesar de existirem outros processos para se chegar a esta regra, devido a

complexidade, preferi manter as ideias que surgiram. Expliquei que por se tratar de uma

fórmula generalizada, era necessário um tratamento mais formal, ou seja, era necessário

trabalhar com o conceito de indução, afim de provar que era válido para qualquer valor,

porém iriamos aceitar sua veracidade.

56

Apesar de todas as duplas terem respondido a esta questão, apenas alguns relatórios

apresentaram um raciocínio bem estruturado, mostrando todo caminho, hipóteses e estratégias

utilizadas até se concluir uma regra, como exemplo apresentamos o material da dupla TT,

Figura 23. As alunas dessa dupla, embora tenham trabalhado de maneira retraída durante os

momentos de jogo, apresentou um raciocínio muito bem estruturado.

Figura 23 - Resolução da terceira questão apresentada pela dupla TT.

Fonte: Produção dos alunos.

Para concluir a discussão relembrei junto aos alunos alguns conceitos do plano

cartesiano e discutimos sobre a forma de se construir um gráfico da função que foi deduzida a

partir dos movimentos mínimos do jogo. Instigados a descrever o que percebiam na

representação, os alunos se mostraram admirados, e com isso pude explicar que a partir de

cada peça adicionada, o número mínimo de jogadas crescia de forma exponencial, ou seja,

rapidamente.

Motivado por um aluno que disse ter conseguido chegar ao nível 15 do jogo, e

instigado pelo professor regente desafiei a turma a descobrir o número mínimo de

movimentos para este nível. Logo em seguida transformamos este valor em tempo,

considerando que para cada jogada seriam necessários aproximadamente dois segundos.

Assim os alunos descobriram um tempo aproximado de 18 horas e 12 minutos, o que fez

perceberem a real dimensão deste número de movimentos, associando esse cálculo à lenda

apresentada.

57

Neste contexto, conseguimos perceber algumas das vantagens apontadas por Grando

(2000) ao se trabalhar com jogos. Os alunos buscaram entender as decisões tomadas e

souberam avaliá-las, conforme o eixo de análise 1 . Além disso, houve facilidade de

socialização das ideias, o que denota a participação e envolvimentos descritos no eixo de

análise 2, e o desenvolvimento de senso crítico ao serem confrontados com ideias diferentes

das suas, como esperávamos no eixo de análise 3.

Alguns levantamentos quantitativos

Cabe esclarecer que, embora não estejam ligados ao objetivo geral do trabalho, estes

dados quantitativos serão apresentados a título de curiosidade, como forma de acrescentar

algumas informações que surgiram no decorrer do trabalho.

Ao realizar a primeira intervenção com o jogo Mandala Trigonométrica não me atentei

a atribuir uma “nota” às atividades entregues pelos alunos e a dinâmica no geral. Porém, ao

apresentar o planejamento do jogo Torre de Hanói ao professor regente, ele sugeriu que eu

realizasse uma avaliação somativa, ou seja, atribuir uma pontuação aos relatórios e podendo

também avaliar os momentos de jogo. Dessa forma, foi preciso elaborar estratégias que

buscassem quantificar o registro dos alunos e a participação durante a intervenção.

Bigode & Gimenez (2009) apontam que o uso de jogos é considerado uma atividade

em grupo, a qual pode ser avaliada, não como uma prova tradicional, mas sim sobre objetivos

observáveis durante o jogo. Definimos então, cinco objetivos, os quais foram observados

durante toda a dinâmica da intervenção. No quadro 15 são apresentados os resultados da

participação dos 35 alunos que estiveram presentes.

Quadro 15 - Resultados da avaliação durante os momentos de jogo

ENTENDIMENTO

DAS REGRAS

COLABORAÇÃO

COM OS COLEGAS

ACEITA AS

REGRAS E SABE

PERDER

INTERPRETAÇÃO DAS

OPERAÇÕES

ENVOLVIDAS COM O

JOGO

ANTECIPAÇÃO

DE JOGADAS

SIM 35 15 33 21 18

NÂO - 20 02 14 17

Fonte: Elaborado pelo autor.

A colaboração entre os colegas foi algo que me chamou a atenção, alguns dos alunos

apresentavam características individualistas, muitas vezes, não auxiliando o próprio colega de

dupla nas situações propostas. Embora tenha conversado inicialmente sobre a dinâmica de

ambos trabalharem com o material e desenvolverem as ideias de forma conjunta. A

58

dificuldade de trabalhar com generalizações foi comum a parte dos alunos, o que vemos

retratado nas duas últimas colunas da tabela.

Para uma avaliação quantitativa dos relatórios entregues, a qual foi atribuída como

parte dos pontos do bimestre pelo professor regente, foram criados critérios que possibilitaram

gerar uma “nota”, dos quais destacamos: (1) participação durante as etapas da intervenção; (2)

situações-problema respondidas com clareza, demonstrando os raciocínios e ideias utilizadas;

(3) reflexão sobre problemas encontrados e; (4) considerações sobre o que foi aprendido. Com

isso, utilizando estas “notas” obtemos uma média de 6.6 em 10.

59

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nestas considerações, resgato alguns pontos da revisão de literatura, com ênfase na

importância dos jogos pedagógicos no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Além disso, destaco as principais conclusões a partir da análise feita após a aplicação das duas

atividades com as turmas de Ensino Médio, buscando apontar as contribuições e limitações do

uso de jogos pedagógicos para a compreensão do ciclo trigonométrico e para a apreensão do

comportamento da função exponencial.

O levantamento bibliográfico possibilitou uma visão mais ampla sobre o tema

“Jogos”, evidenciando suas potencialidades e limites. Através do estudo das pesquisas pude

perceber que fatores como a formação do profissional envolvido, o planejamento e a

infraestrutura são pontos importantes ao trabalhar com jogos. Além disso, apresentaram

caminhos, bem e malsucedidos, que auxiliaram durante o planejamento das intervenções. Isso

não impediu que algumas falhas fossem cometidas também nas intervenções que fiz, mas

mostrou a importância de revelá-las e refletir sobre elas, pois este é o caminho para melhorar

a nossa prática.

É importante destacar, ainda, que as pesquisas apontam para a necessidade da

valorização das atividades com jogos, as quais devem ser aprofundadas por estudos que

associem a teoria à prática em situações de jogo, e foi este o caminho que tentei trilhar.

Realizando as intervenções com os alunos, pude confirmar a importância de se

estabelecer um planejamento inicial de cada ação, além de uma organização prévia e

reavaliação constante, tendo em mente que existe a possibilidade de situações imprevistas que

podem decorrer de diversos fatores, fazendo com que o tempo seja um inimigo. Além disso, o

professor deve ter consciência de que o uso dos jogos possibilita atender diferentes perfis de

alunos, mas que este é apenas um dos recursos que podem ser utilizados em sala de aula.

O processo de intervenção pedagógica, apesar de parecer invasivo algumas vezes, se

mostrou importante na sistematização dos conceitos trabalhados nas situações de cada jogo.

Nos questionamentos realizados, pude observar que o uso de conceitos já construídos pelos

alunos, inclusive em outros momentos da sua escolaridade, foram sendo utilizados por eles

mesmos nas situações de jogo. Neste sentido, podemos perceber que fica demonstrada a

validade da atividade de jogo como um momento propício ao resgate e aplicação dos

conceitos matemáticos construídos anteriormente pelos alunos.

60

A Mandala Trigonométrica, caracterizada como um “jogo de fixação de conceitos”,

embora não utilizasse de estratégias elaboradas, se mostrou como uma ferramenta que

despertou interesse nos alunos, e a mudança na rotina fez com que ressignificassem o

conteúdo aprendido anteriormente de uma maneira diferenciada, possibilitando um novo

olhar, no qual poderiam entender um conceito que pareceu complicado anteriormente. Sendo

assim, o jogo de conceito pode ser uma ferramenta importante para auxiliar no preenchimento

de lacunas de conhecimento matemático deixadas durante um aprendizado anterior.

Quando estavam envolvidos com a Torre de Hanói os alunos pareciam ter descoberto

um mundo novo, conseguindo trabalhar conceitos matemáticos por outra perspectiva, esta

motivação fez com que a indisciplina e o desinteresse não estivessem presentes. Além disso,

foi possível perceber o desenvolvimento de habilidades como a elaboração de regras, o

levantamento e teste de hipóteses, a argumentação oral e escrita, as quais auxiliaram os alunos

na resolução das situações-problema.

Embora seja uma atividade que não conquiste a todos, da mesma forma que qualquer

abordagem proposta, os jogos ajudam a estruturar o pensamento e o raciocínio lógico

dedutivo, podendo ser um desencadeador da aprendizagem de novos conceitos assim como

um instrumento para resgatar e ressignificar conceitos já estudados.

Com esta pesquisa pude verificar que ensinar com situações que envolvam o ato de

jogar é uma maneira de tornar o ambiente mais acolhedor, fazendo com que a aula se torne

mais interessante, descontraída e dinâmica, permitindo uma melhor comunicação entre o

professor e os alunos e uma socialização entre eles próprios. O uso dos jogos desperta no

aluno a vontade e um senso de curiosidade, que pode levá-lo a buscar mais conhecimento,

promovendo uma autonomia na resolução de problemas, sejam matemáticos ou de outras

naturezas.

É importante destacar a relevância do subprojeto Matemática do Pibid, âmbito em que

as intervenções foram planejadas, desenvolvidas e analisadas em caráter colaborativo. Saio

desta experiência com minha crença renovada nas possibilidades dos jogos para promover a

aprendizagem matemática dos alunos do Ensino Médio, mesmo sendo esta uma estratégia

muito mais utilizada no ensino fundamental. Aprendi que há limitações sim, mas que quanto

mais ensinamos com jogos e refletimos sobre essa prática, melhor a desenvolveremos.

61

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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matemáticos por meio de adaptações do jogo MANKALA AWALÉ. 156f. 2016.

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TONÉIS, Cristiano Natal. A Experiência Matemática no Universo dos Jogos Digitais.

150f. 2015. Dissertação (Mestrado). Universidade Anhanguera de São Paulo. 2015

64

APÊNDICE A

INTRODUÇÃO À FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

1. Conteúdo e Série

O conteúdo deste plano de aula será uma introdução às funções senoe cosseno para a

turma de alunos do 2º ano do Ensino Médio. Em particular,trabalharemos com o jogo

intitulado Mandala Trigonométrica, a fim de se trabalhar na compreensão de alguns

conceitos relacionados ao ciclo trigonométrico.

2. Objetivos

2.1. Objetivo Geral

Refletir e compreender sobre a forma gráfica cartesiana das funçõessenoe cosseno.

2.2. Objetivos Específicos

Estreitar a relação entre a teoria e a prática no que diz respeito aos arcos notáveis e a

determinação dos valores de seus respectivos senos e cossenos;

Visualizar a correspondência entre arcos reduzidos ao primeiro quadrante e os arcos

notáveis;

Transitar de graus para radianos e vice-versa, de forma consistente, ou seja, por um

processo que demonstre segurança e compreensão no que se faz.

3. Problemática

Está cada vez mais difícil prender a atenção dos alunos nas aulas, principalmente nas aulas

de matemática. Contudo, a inserção de novos recursos didáticos pode ajudar a refletir

positivamente no processo de ensino e aprendizagem. Outros problemas encontrados são a

dificuldade que os alunos têm em esboçar gráficos de funções e a grande quantidade de tempo

demandada para que o professor consiga fazer diversas construções junto com a turma. Trazemos

nesta atividade uma proposta interativa de abordagem para as funções trigonométricas, apoiando-

se na utilização do jogo denominado Mandala Trigonométrica.

4. Recursos Necessários

Os recursos necessários para um bom desenvolvimento da aula são:

• Lousa para dar orientações,

quando necessário;

• Tabuleiro do jogo;

• Dado, peões e fichas para cada

equipe;

• Material impresso com as

atividades a serem realizadas; e

65

• Folhas de rascunho e material

para a escrita.

5. Previsão do número de aulas

Aula 1 – Apresentação do jogo e familiarização dos alunos;

Aula 2 – Jogar com mais competência;

Aula 3 e 4 –Realização das atividades do roteiro e socialização;

Obs.: A duração de cada aula será de 50 minutos.

6. Avaliação e análise dos resultados

Durante o jogo serão selecionados duas equipes, as quais terão todas as conversas gravadas

durante os momentos de jogo;

Portifólio detalhado do pesquisador;

Acesso ao portifólio dos pibidianos que estiverem presente durante a intervenção; e

Material coletado dos alunos.

66

APENDICE B

ESCOLA ESTADUAL MAJOR JOÃO PEREIRA - PIBID – UNIFEI - 2017

MANDALA TRIGONOMÉTRICA

Alunos:

____________________________________________________________________________________

INTRODUÇÃO AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

____________________________________

No jogo Mandala Trigonométrica, cada equipe, em cada jogada, relembrou o seno e o cosseno

de alguns ângulos notáveis. Vamos agora tentar completar a tabela a seguir, relacionando

todos os arcos assinalados às medidas de seus senos e cossenos.

Vamos tentar representar os dados tabelados através de pontos no gráfico cartesiano. Para

isso, utilize o eixo vertical respresentando o seno ou cosseno de cada caso e o eixo horizontal

representando os angulos.

1º) Se considerarmos a função y = Sen x, sendo que x é o valor do ângulo e y o valor de seu

Seno.

Escala

67

2º)Se considerarmos a funçãoy = Cos x, sendo que x é o valor do ângulo e y o valor de seu

Cosseno.

68

APÊNDICE C

INTRODUÇÃO À FUNÇÃO EXPONENCIAL – TORRE DE HANÓI

1. Conteúdo e Série

Este plano de aula destina-se a introduzir o estudo da função exponencial por meio de um

jogo, pautado no uso do material concreto "Torre de Hanói". Destina-se a alunos do 1º ano do

Ensino Médio ou de outras séries que ainda não tenham visto o conteúdo, ou até mesmo que

queiram problematizar os conceitos já dominados de exponencial.

2. Objetivos

2.1. Objetivo Geral

Analisar as potencialidades da Torre de Hanói para estimular os alunos na percepção de

regularidades e no desenvolvimento da habilidade de generalizar estas regularidades.

2.2. Objetivos Específicos

Aplicar o Jogo da Torre de Hanói;

Verificar se com o bom emprego do Jogo os alunos desenvolvem habilidades e

competências para resoluções de problemas matemáticos, especificamente para o estudo

das Funções;

Questionar, analisar e discutir como os alunos se sentiram em relação à utilização do

Jogo Torre de Hanói e a relação estabelecida com a disciplina de matemática.

3. Problemática

No contexto do PIBID, observa-se que as aulas de matemática desenvolvidas com a turma

escolhida para a aplicação desta intervenção não tem conseguido despertar o interesse dos

alunos, os quais mostram grandes dificuldades de aprendizagem e pouco domínio de

conhecimentos anteriores. Com o intuito de mudar esse cenário, o presente plano foi

elaborado de tal forma que o conteúdo Função Exponencial seja ensinado por meio de uma

metodologia diferenciada, no caso, por meio do uso de Jogos. Espera-se, portanto, que os

alunos se tornem mais ativos, interagindo durante as aulas, construindo o conhecimento e

desenvolvendo as habilidades esperadas.

4. Recursos Necessários

Os recursos necessários para um bom desenvolvimento da aula são:

Lousa para orientações, quando necessário;

Tablet com o jogo instalado;

Material impresso com as atividades a serem realizadas; e

Folhas de rascunho e material para a escrita.

5. Previsão do número de aulas

Aula 1 – Apresentação do jogo e familiarização dos alunos;

Aula 2 – Discussão sobre as regras e jogar com mais competência;

Aula 3 – Realização das atividades do roteiro;

Aula 4 e 5 – Socialização.

69

Obs.: A duração de cada aula será de 50 minutos.

6. Avaliação:

Observações escritas com relação ao envolvimento dos alunos com o jogo e com a

descoberta de regularidades;

Avaliação das produções feitas pelos alunos através de um relatório a ser entregue, a

partir do roteiro elaborado, e também das interações durante a socialização.

70

APÊNDICE D

ESCOLA ESTADUAL MAJOR JOÃO PEREIRA - PIBID – UNIFEI - 2017

TORRE DE HANÓI

Alunos:

____________________________________________________________________________________

A LENDA

“Conta à lenda que no tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que

marcava o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamante,

cada uma com um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha”.

Durante a criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o

maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta

torre foi chamada de Torre de Brahma

Dia e noite, incessantemente, os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para

outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma, que dizia que o sacerdote do turno não

poderia mover mais do que um disco de cada vez, e que o disco fosse colocado na outra

agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima.

Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha que Deus colocou, no

dia da criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir”.

O JOGOTORRE DE HANOI

OBJETIVO: Transportar os discos que se encontram na primeira torre para a terceira de maneira

que não se coloque uma peça maior sobre uma menor, podendo se usar as três torres para

jogar.

REGRAS:

Movimentar uma só peça de cada vez;

Uma peça maior não pode ficar acima de uma menor;

Não é permitido movimentar uma peça que esteja abaixo de outra.

ORIENTAÇÕES

Cada grupo deverá entregar um pequeno Relatório apresentando:

Registro escrito de todas as etapas da intervenção;

Teorias e ideias desenvolvidas pela dupla quanto às questões propostas neste roteiro;

Problemas encontrados, sugestões e considerações sobre o que foi aprendido.

As equipes devem eleger:

Relatores: farão a comunicação oral do trabalho para toda turma durante a socialização;

Redatores: serão responsáveis pela versão final do relatório, detalhando e organizando

todas as etapas do trabalho.

ETAPAS: Importante: Marque o número de movimentos em cada etapa

Inicie o jogo utilizando dois discos, tentando fazer o menor número de movimentos;

Agora com três discos; quatro discos; cinco discos; Por fim com seis discos.

Vamos agora tentar completar a tabela a seguir, relacionando a quantidade de peças com as

movimentações mínimas.

71

Nº DE PEÇAS Nº MÍNIMO DE JOGADAS

1

2

3

4

5

6

Vamos utilizar dos dados colocados na tabela para responder as questões seguintes:

1º) Quais as peças que mais se movimentam? E as que menos se movimentam?

___________________________________________________________________________

2º)Qual o segredo que permite jogar bem, sem desperdiçar movimentos, com três, quatro,

cinco, seis ou mais peças?

___________________________________________________________________________

3º)Sem efetuar o jogo, é possível calcular o número mínimo de movimentos para, por

exemplo, dez peças?

___________________________________________________________________________

4º) Tente descobrir uma regra que relacione o número de peças e o número mínimo de

movimentos.

___________________________________________________________________________

5º) Descubra o número mínimo de movimentos que, segundo a lenda, seriam necessários para

que o mundo deixasse de existir.

___________________________________________________________________________

Vamos tentar representar os dados tabelados através de pontos no gráfico cartesiano. Para

isso, utilize o eixo horizontal representando o numero de peças e o eixo vertical representando

o numero mínimo de jogadas.

72

73

APÊNDICE E

REGRAS DO JOGO

Materiais:

Dados e copo;

Tabela de pontuação;

Formas de pontuar:

Na seção superior, a pontuação é dada pela soma dos dados de cada valor;

Na seção Inferior temos:

TRINCA (15 pontos): Três dados de mesmo valor;

QUADRA (20 pontos): Quatro dados de mesmo valor;

FULL HOUSE (25 pontos): Uma trinca de dados de um valor + uma dupla de dados

de outro valor;

SEQUÊNCIA – (30 pontos): Cinco dados com os valores: 1-2-3-4-5

SEQUÊNCIA + (40 pontos): Cinco dados com os valores: 2-3-4-5-6

GENERAL: Todos os cinco dados com mesmo valor;

CHANCE: Soma dos dados de valores quaisquer.

Cada rodada ocorre da seguinte forma:

O primeiro jogador lança os dados uma vez, escolhe quais dados conservar, então joga os

demais dados novamente ou marca uma jogada, sendo que cada jogador pode, na sua vez,

fazer três lançamentos de dados. Então, tendo o primeiro jogador marcado sua jogada, o

jogador seguinte pode lançar os dados, uma, duas ou três vezes, conservando ou não dados

para o "lançamento" seguinte, e marcar sua jogada ao final. Caso o jogador não consiga, em

sua vez atual, marcar uma jogada das que ainda lhe restam, ele é obrigado a "queimar" uma

jogada (de sua escolha), que terá o valor de ZERO pontos. Quando um jogador conclui sua

jogada, a vez passa para o próximo, até que todos os jogadores tenham marcado todas as suas

jogadas.

Vencerá a partida o jogador que houver marcado a maior soma de pontos.

74

APÊNDICE F

INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE

__________________________________________

No jogo Mini-General, cada jogador, em cada jogada, poderá efetuar até dois lançamentos.

Para o primeiro lançamento, o jogador sempre utiliza os dois dados, o que corresponde ao

Experimento Aleatório jogar dois dados simultaneamente e observar as faces superiores.

Podemos considerar cada resultado possível desse experimento aleatório como sendo um par

ordenado de números (a, b). Assim, teremos o espaço amostral, denotado por S. Vamos

construí-lo:

PERGUNTA A: Quais são os pontos possíveis para a casa Full House?

PERGUNTA B: Se o jogador utilizar apenas o primeiro lançamento do jogo Mini-General,

quais são suas chances de marcar a casa Full House? Justificar sua resposta.

PERGUNTA C: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, quais são as chances do

Jogador marcar cinco pontos na casa Full House? Justificar sua resposta.

PERGUNTA D: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, quais são as chances do

jogador marcar sete pontos na casa Full House? Justificar sua resposta.

PERGUNTA E: Considerando-se apenas o primeiro lançamento, o jogador terá mais chances

em marcar a casa Sequencia do que o Duque? Justificar sua resposta.

75

ANEXO 1

Tabuleiro do jogo GENERAL

76

77

ANEXO 2

Tabuleiro do jogo Mandala Trigonométrica