1

2

Índice Eletrostática 07 O Campo Eletromagnético 10 O Voltímetro 16 O Amperímetro 22 A Lei de Ohm 27 Força Eletromotriz e Fontes 29 Teste de Qualidade de uma Pilha 35 Circuito RC: Processo de Carga e Descarga de Capacitores 39 O Campo Magnético 47 Lei de Indução 49

3

Plano de Curso do Laboratório de Física III

Objetivos do curso: 1) Despertar o interesse para os fenômenos eletromagnéticos. 2) Introduzir os alunos nas leis básicas do eletromagnetismo através de experimentos. 3) Habilitar os alunos para efetuar medidas elétricas. 4) Desenvolver a capacidade de analisar e interpretar resultados experimentais e compará-los

com modelos teóricos de forma quantitativa. 5) Desenvolver a capacidade de documentação de experimentos. 6) Desenvolver a capacidade de redação de relato de experimentos. 7) Desenvolver a capacidade de uso consciente de critérios para decisões.

Unidades programáticas: Na primeira semana de aulas será dada as orientações sobre o funcionamento do curso.

I Experiências qualitativas de eletrostática

experiênca Descrição

1 Atração de objetos neutros, eletroscópio

2 Linhas de força

II Medidas elétricas quantitiativas

experiênca Descrição

3 O Voltímetro

4 O Amperímetro

5 A lei de Ohm

6 Força Eletromotriz e Fontes

7 Carga de uma Pilha

8 Circuito RC

9 Campo Magnético

10 Lei de Indução

11 O Osciloscópio (opcional) Avaliação: 1) A nota será composta da seguinte forma: CD-Caderno de Laboratório 05% MR-Média de relatórios em grupo de no máximo 4 alunos 25% PP-Prova prática (individual) com elaboração de um pequeno relatório 30% PE-Prova escrita* (todas as turma) 40% * será marcada para uma 4a feira às 12 hs no final das experiências para todas as turmas. OBS. Os alunos dos cursos diurno farão a prova escrita às 12 hs.

4

A nota final será NF CD MR PP PE= + + +

Se NF 60 aprovadoNF 60 reprovado

≥<

2) Não haverá prova opcional. 3) Na prova escrita é permitido o uso de calculadoras e material de desenho.

O Caderno de laboratório: A documentação de uma experiência é parte essencial da atividade de um físico experimental. Os físicos experimentais costumam usar para esta finalidade um caderno no qual eles anotam idéias sobre novas experiências, desenhos, dados de medidas, nomes de arquivos do computador de laboratório, número de telefones de contato para emergências etc. O caderno de laboratório serve como instrumento de memória, instrumento de comunicação entre membros de uma equipe de trabalho e como documento que pode eventualmente até ser usado como prova numa disputa jurídica sobre prioridade de autoria intelectual. É estritamente proibido apagar anotações no caderno de laboratório! As anotações devem ser feitas com tinta. Anotações erradas devem ser riscadas mas não apagadas. É estritamente proibido passar anotações de um papel solto a limpo! Não importa a beleza do caderno ou da letra de mão nem os erros ortográficos, mas importa que toda informação essencial esteja registrada e, de preferência, de tal forma que seja fácil encontrá-la rapidamente. Não é fácil fazer um bom caderno de laboratório, mesmo físicos muito experientes às vezes deixam escapar uma informação importante. Engenheiros que desenvolvem tecnologias novas usam técnicas de documentação parecidas e o exercício de fazer um caderno de laboratório será útil também para alunos que não pretendem ser físicos experimentais.

Neste curso de Laboratório cada grupo usa um caderno brochurado para a documentação das experiências. Falta do caderno leva à perda de pontos na avaliação! Para poder atribuir notas para os alunos, mesmo em casos de alterações dos grupos é importante que os nomes dos integrantes dos grupos estejam escritos nas anotações de cada semana. Fora disso valem as mesmas regras do caderno de laboratório profissional: é proibido passar a limpo, é proibido apagar texto, as anotações devem ser feitas com tinta, não pode faltar informação essencial.

Os relatórios: A atividade de física experimental culmina na publicação dos resultados, isto é na comunicação dos resultados à comunidade científica. Os relatórios devem ser encaradas como pequeno exercício para esta atividade. Para alunos que não pretendem ser futuros cientistas a comunicação de resultados é também uma tarefa essencial, qualquer que seja a futura profissão. É fundamental para qualquer tipo de comunicação que o autor da comunicação tenha plena consciência das informações e conhecimentos que as pessoas alvo (isto é, os leitores ou a platéia) possuem.

Na redação dos relatórios os alunos devem supor que o leitor do relatório conheça física mas ele não sabe de que experiência o relatório trata. O aluno não deve supor que o leitor conheça o roteiro da experiência. Relatórios que seriam ininteligíveis para um físico que não leu o roteiro levam a nota ZERO!

O relatório deve explicar para cada experiência ou tarefa experimental qual é o objetivo da tarefa. Esta explicação deve ser sucinta. Introduções teóricas não devem ultrapassar meia página.

A experiência deve ser descrita e acompanhada de desenhos de circuitos (se for o caso).

A análise quantitativa de dados deve buscar, sempre que for possível, a comparação com um modelo teórico. Nesta tarefa a avaliação de erros experimentais é fundamental. Vale lembrar que a avaliação de erro experimental é sempre imprecisa. Portanto não faz sentido especificar um erro experimental com mais de dois algarismos significativos. Relatórios que declaram um erro

5

experimental com mais de dois algarismos significativos no resultado final perdem 10% do valor do relatório.

A grande maioria de grandezas físicas não são números adimansionais (sem unidade). Erros formais na notação que igualam números com grandezas dimensionais ou a soma de números com grandezas dimensionais, recebem uma perda de pontos de no mínimo 10% da nota do relatório. Exemplos de expressões erradas:

• smv /5,225

== errado: 5/2 é número e não pode ser igual a 2,5 m/s. O certo é

smsmv /5,2

25

==

• errado: 10,0 é número e não pode ser somado com 0,1 m/s. O certo é ou

smv /1,00,10 ±=( ) smv /1,00,10 ±= smsmv /1,0/0,10 ±= ou também %1/0,10 ±= smv . Esta última

expressão fornece o erro em termos relativos ao valor principal e portanto a dimensão está incluída.

Para cada tarefa deve constar uma conclusão no relatório. No caso que se trata de comparações com um modelo teórico, deve-se discutir se os resultados são compatíveis com o modelo dentro do erro experimental. Em caso de discordância, as possíveis fontes da discrepância devem ser discutidas. A Prova de Bancada Na prova de bancada o aluno mostra que sabe montar circuitos simples e fazer medidas elétricas básicas. Ele fará também no local da prova um mini-relatório dos resultados. A Prova Escrita A prova escrita averigua conhecimentos de técnicas de medidas elétricas e análise de dados relacionados com as experiências feitas. A prova escrita é unificada para todos as turmas diurnas.

Os roteiros:

Os roteiros serão disponibilizados (na XEROX do ICE) para os alunos com pelo menos uma semana de antecedência. Espera-se do aluno que ele leia o roteiro pelo menos dois dias antes da experiência e tire dúvidas antes da aula de laboratório.

Freqüentemente os roteiros não dão instruções completas sobre quais valores de certos parâmetros experimentais devem ser usados. Cabe ao aluno decidir sobre estes valores. Perguntas do tipo “Professor, para que valores de voltagem devemos medir isto” têm a resposta: “Um pesquisador que descobre um efeito novo não tem ao lado dele um mestre que manda medir para esta e aquela voltagem”. Literatura: Livro Texto: Tipler: Física Livros recomendados: Halliday, Resnick Walker: Fundamentos de Física The Feynman Lectures on Physics Vol.II

6

Experiência 1: Eletrostática

MATERIAL UTILIZADO: Tubos de PVC, algodão, tubos ou bastões de vidro, eletroscópio, pedacinhos de papel e de folha de alumínio. 1. Introdução:

Qualquer corpo material é composto de uma quantidade muito grande de átomos constituídos por partículas subatômicas denominados prótons, elétrons e neutrons. Na perda ou aquisição de cargas um átomo ou molécula em situação de neutralidade, isto é, quando o número de prótons é igual número de elétrons, pode tornar-se um íon positivo ou negativo, dependendo da quantidade de prótons ou de elétrons que passa a possuir em excesso. Como são os elétrons que podem se locomover de um átomo para outro, um corpo só fica eletrizado se ganhar ou perder elétrons. A carga elétrica do corpo como um todo relaciona-se ao excesso de elétrons, quando carregado negativamente, ou ao excesso de prótons, quando carregado positivamente.

ELETRIZAÇÃO DE CORPOS

A eletrização de um corpo pode ser conseguida por atrito, contato ou indução. No primeiro caso, atrito, os corpos são mutuamente esfregados para que haja a transferência de elétrons de um para o outro e assim provocar uma eletrização dos dois corpos com cargas de sinais opostos. Na eletrização por contato, um corpo previamente carregado entra em contato com outro eletricamente neutro. Parte da carga do primeiro é transferida para este último que passa assim a ficar eletrizado com carga de mesmo sinal que aquela. Já na eletrização por indução o corpo carregado é colocado próximo ao corpo neutro, porém sem qualquer contato com ele. Mantendo-o nesta posição liga-se um fio terra ao corpo que se deseja carregar, cortando em seguida a ligação e afastando o que está carregado. O corpo neutro ficará então eletrizado com carga de sinal contrário ao do corpo previamente eletrizado. Por exemplo, ao atritar papel e seda, o papel adquire cargas positivas e a seda cargas negativas. Porém, ao atritar lã e papel, o papel adquire cargas negativas e a lã, cargas positivas.

CONDUTORES E ISOLANTES

Sabe-se que a maioria dos metais são condutores de eletricidade e que, por exemplo a borracha não é um bom condutor de eletricidade. Nos metais, elétrons das órbitas mais externas não estão fortemente ligados ao núcleo. Essa fraca força que os liga permite aos elétrons uma movimentação no interior do sólido. Esses elétrons recebem o nome de elétrons livres e são responsáveis pelo transporte de carga elétrica de um ponto a outro. Se o material possui esta característica ele recebe o nome de condutor. Por outro lado, existem sólidos em que os elétrons estão fortemente ligados ao núcleo. Esse tipo de material, além de não possuir elétrons livres, não permite que a carga elétrica se transporte de um ponto a outro. Essa limitação os torna um mau condutor, ou então, um isolante.

LEI DE COULOMB

Ao aproximar um bastão carregado de uma esfera eletricamente neutra ocorrerá uma atração entre ambos, isto devido à indução eletrostática, separação de cargas na esfera. Quanto mais o bastão se aproxima da esfera, mais esta se sente atraída. Em determinado instante, a força de atração entre a esfera e o bastão chega a um máximo, quando ocorre o contato entre bastão e esfera.

7

Quando se dá o contato, instantaneamente, uma quantidade de cargas do bastão é transferida para a esfera. Essa quantidade se recombina com a mesma quantidade de cargas de sinal oposto separadas pelo processo de indução. Como bastão e esfera, após o contato, ficam com cargas de mesmo sinal, ocorre a repulsão. A observação feita por Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) em que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais contrários se atraem, levou-o a construir uma balança que permitiu-lhe medir as forças elétricas com enorme precisão. Coulomb colocou duas cargas Q1 e Q2, de sinais opostos a uma distância r. Coulomb verificou que duplicando, triplicando e assim sucessivamente o valor da carga Q1, o valor da força também acompanhava a proporção de crescimento, mantendo o valor da segunda carga fixa. A seguir, inverteu o processo. Aumentou o valor da carga Q2 e observou o mesmo resultado com a força. Como o valor da força cresce com o aumento do valor das cargas, então a força é diretamente proporcional à carga. Assim, Coulomb pode escrever que a força aumentava com o produto das cargas. Coulomb então fixou o valor das cargas e colocou mais uma variável para ser estudada: a distância entre elas. Ele verificou que duplicando a distância entre as cargas, a força reduzia-se de quatro vezes de seu valor inicial. Aumentando a distância para o triplo do valor inicial, a força se tornava nove vezes menor. Pelo resultado obtido, Coulomb chegou a conclusão de que a força é inversamente proporcional ao quadrado da distância. De posse destes resultados, Coulomb relacionou as grandezas do seguinte modo:

Para tornar esta relação uma equação matemática é necessário um fator de proporcionalidade. Esse fator de proporcionalidade é uma constante. Essa constante está relacionada com o "meio" em que as cargas estão colocadas. Esse "meio" pode ser ar, óleo, etc. Esse fator também influencia no resultado da força. Então, obtem-se a seguinte relação matemática:

A Lei de Coulomb é válida apenas para corpos carregados de dimensões muito menores que a distância entre elas. Costuma-se dizer que é verdadeira apenas para cargas puntiformes. A unidade de carga no sistema MKS é o Coulomb (símbolo C). Um coulomb é a quantidade de carga que atravessa, em um segundo, a secção reta de um fio percorrido por uma corrente constante de um Ampère.

Um instrumento interessante para estudar os processos de eletrização é o eletroscópio, mostrado na figura abaixo:

8

Roteiro da Experiência: Tarefas 1) Friccione o bastão de PVC com algodão e aproxime o bastão aos pedacinhos de papel e de

folha de alumínio.

Atenção: Toque nos bastões de PVC com a mão APENAS na extremidade marcada com fita adesiva! O suor da mão contém íons de sódio que formam um filme condutor na superfície do bastão e levam as cargas elétricas embora, prejudicando as experiências. !Explique:

• Por que os pedaços são atraídos pelo bastão (apesar de serem eletricamente neutros –utilize a lei de Coulomb e acompanhe a explicação com desenhos)?

• Por que alguns pedaços são repelidos ao tocar no bastão? • Por que alguns permanecem presos ao bastão?

2) Por que, ao se aproximar o bastão do eletroscópio, o ponteiro se movimenta?

3) Por que, ao tocar o bastão no eletroscópio, o ponteiro sofre deflexão que permanece mesmo depois de afastar o bastão e tocando-se com o dedo no eletroscópio o ponteiro volta ao normal?

4) Faça o item a, se não funcionar experimente o b (no item b analise o procedimento)

a Toque brevemente no eletroscópio com o bastão de PVC friccionado com algodão. Depois friccione um bastão de vidro com algodão e aproxime este ao eletroscópio. Depois afaste o Bastão de vidro Observe, descreva e explique o comportamento do eletroscópio.

b Aproxime do eletroscópio o bastão de PVC friccionado com algodão, mantendo-o a aproximadamente uma distância de 5 a 10 cm (para obter uma boa deflexão). Depois friccione um bastão de vidro com algodão, aproxime-o e afaste-o sucessivamente do eletroscópio. Observe e explique o comportamento do eletroscópio.

5) Aproxime o bastão de PVC friccionado ao eletroscópio (sem transferir carga – mantenha uma distância de 5 ou 10 cm), depois toque brevemente no eletroscópio com a mão e logo depois afaste o bastão. Observe, descreva e explique o comportamento do eletroscópio.

9

Experiência 2: O Campo Eletromagnético

O eletromagnetismo é uma teoria de forças, que permite calcular as forças que atuam sobre uma determinada classe de corpos. No caso mais simples pode-se verificar uma força entre partículas puntiformes que é descrita pela lei de Coulomb:

21312

12

012 4

1 qqrrrr

F rr

rrr

−

−πε−

= (1)

Nesta equação é a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1. 12Fr

1rr

e 2rr são os vetores posição das partículas e os fatores de proporcionalidade e resultam ser propriedades das

partículas. Esta propriedade de uma partícula é chamada sua carga elétrica. O fator 1q 2q

041

πε tem a

ver com a escolha do sistema de unidades e no momento não deve nos preocupar.

Tarefa de casa: verifique que o módulo de 12Fr

da equação (1) cai quadraticamente com a distância entre as cargas.

Na prática da aula anterior vimos que a força de Coulomb pode fornecer uma força resultante não nula para corpos compostos de várias partículas com carga elétrica, mesmo que a carga total do corpo composto seja nula.

A lei de Coulomb é apenas um caso extremamente simples das forças eletromagnéticas. No caso de cargas em movimento teremos também forças magnéticas. Em geral, as forças eletromagéticas constituem um fenômeno complexo. O intuito do estudo destas forças é completar a teoria de Newton da mecânica, especificando o lado direito da equação Fam

rr= . No entanto, no decorrer

deste estudo, descobre-se que ao invés de completar a mecânica Newtoniana, alguns dos pilares da mecânica são derrubados pelos fatos observados.

Figura 1 Problemas com a Terceira Lei de Newton

Veremos um caso onde as forças eletromagnéticas derrubam um dos princípios da mecânica de Newton. Imagine duas partículas puntiformes com cargas e em repouso nas posições

1q 2q

1rr

e 2rr . A força que atua sobre a partícula 1 seria dada pela equação (1). Com a terceira lei de Newton a força que atua sobre a partícula 2 seria o negativo desta mesma expressão. Agora imagine que damos um

peteleco na partícula 1. Então a partícula 1 é rapidamente deslocada para uma nova posição r ′

r1

r1'

r2

F12

F21

F12

r como mostra a figura 1. Nesta nova posição a força que atua sobre a partícula 1 seria ligeiramente diferente, devido ao fato que a direção da linha que une as partículas mudou e que a distância entre as partículas mudou. Esta mudança de força apareceria na partícula 1 imediatamente. Por outro lado, para a partícula 2 não haverá mudança de força até que a informação que o peteleco foi aplicado na partícula 1 chegue no local da partícula 2. Esta informação viajaria da partícula 1 até a partícula 2 com a velocidade da luz. Esta velocidade é alta comparada com as velocidades que experimentamos cotidianamente, mas ela não é infinita. Desta forma as mudanças nas forças ocorrerão na partícula 2 um pouquinho após o peteleco, enquanto para a partícula 1 elas ocorrerão

10

imediatamente. Isto significa que a terceira lei de Newton será violada durante um curto intervalo de tempo!

A Terceira Lei de Newton não vale! Mas não está tudo perdido. A conseqüência mais importante da terceira lei, isto é, a lei de conservação de momento linear, pode ser salva. Lembremos rapidamente da conservação do momento linear. Vamos pegar um exemplo simples, um sistema de três partículas com massas , , . As massas 1 e 2 podem por exemplo ser as partículas da figura 1 e a partícula 0 seria aquele corpo que aplicou o peteleco na massa 1. As equações diferenciais da mecânica de Newton deste sistema seriam

0m 1m 2m

020100 FFrmrr

&&r += (2)

121011 FFrmrr

&&r += (3)

212022 FFrmrr

&&r += (4)

onde é a força que a partícula k exerce sobre a partícula j. Somando as três equações obtemos jkFr

212012100201221100 FFFFFFrmrmrmrrrrrr

&&r&&r&&r +++++=++≡≡≡≡≡−−−−−≡≡≡≡≡−−−−−

(5)

Se valesse a terceira lei de Newton os termos sublinhados com traços iguais iriam cancelar-se e teríamos a lei de conservação

( )0221100 =

++dt

rmrmrmd &r&r&r

(6)

isto é, a grandeza 221100 rmrmrmP &r&r&rr

++= não mudaria no tempo. Mas, como vimos acima, durante curtos intervalos de tempo a terceira lei de Newton perde sua validade. Então não podemos mais afirmar que 221100 rmrmrmP &r&r&r

r++= fica inalterado. Mas quando uma grandeza, da

qual esperamos uma lei de conservação, não fica constante no tempo, podemos ter esquecido uma contribuição. Exemplo: imagine um recipiente de água com uma entrada e uma saída de água. Esperaríamos uma lei de conservação de água. Mas se fizermos a contabilidade da água no recipiente considerando com precisão tudo que entra e que sai notaríamos uma perda de água. Por que? Simplesmente esquecemos da água que evapora. Acrescentando esta parcela daria tudo certo e a lei da conservação da água continua valendo. Será que a lei de conservação de momento linear pode ser consertada da mesma forma? A resposta é sim. Para consertar a conservação de momento linear temos que aceitar que além das partículas existe um outro sistema físico, tão real quanto as partículas, porém invisível, que possui momento linear. Seria este sistema o responsável pela transmissão da informação do peteleco da partícula 1 para a partícula 2. A lei de conservação de momento linear seria então

( ) 0221100 =+++ EMPrmrmrmdtd r

&r&r&r (7)

onde EMPr

seria o momento linear deste novo sistema físico. Este novo sistema físico é o campo eletromagnético.

As propriedades do campo eletromagnético são fundamentalmente diferente das propriedades das partículas. A experiência imaginada do peteleco na partícula 1 pode nos indicar algo sobre a natureza deste novo sistema físico. A partícula 1 é sujeita à nova força logo que ela ocupa sua nova posição. Isto indica que existia, já antes da partícula chegar neste novo lugar, uma condição no espaço que provocaria determinada força sobre uma partícula eletricamente carregada se ela estivesse no local. Por outro lado, a partícula 2 continua com a força anterior enquanto as

11

condições no local dela não mudaram. Isto indica que o sistema campo eletromagnético não é localizado como as partículas, mas trata-se de um sistema que preenche o espaço todo. O movimento repentino da partícula 1 modificaria o estado do campo na vizinhança da partícula, esta mudança modificaria o estado do campo na vizinhança da vizinhança, esta mudança modificaria o estado na vizinhança da vizinhança da vizinhança etc. até a mudança chegar no local da partícula 2. Esta visão de força é fundamentalmente diferente do conceito de força introduzido por Newton. Na mecânica de Newton a força que uma partícula exerce sobre outra é uma ação à distância. Na visão eletromagnética não devemos mais falar em “força que uma partícula exerce sobre outra”. A condição local do campo na posição da partícula exerce a força e reciprocamente as partículas modificam as condições locais do campo. As modificações locais propagam-se e desta forma transmitem força de uma partícula para outra.

Podemos dizer que na mecânica de Newton o mundo era feito de partículas locais que interagiam globalmente. No eletromagnetismo o mundo é feito de partículas locais e um campo global que interage com as partículas de forma local.

Temos que formalizar estas idéias para poder descrever experiências de forma quantitativa. Para uma descrição formal do campo eletromagnético, temos que atribuir a cada ponto rr do espaço e para cada instante t um valor de uma determinada grandeza. Resulta que precisamos, para uma descrição completa do eletromagnetismo, não apenas uma grandeza mas logo duas grandezas vetoriais. Desta forma o campo eletromagnético seria descrito por duas funções vetoriais de rr e t , isto é, uma função chamada campo elétrico, ( )trE ,r

r e uma chamada campo magnético,

( trB , )rr .1 É importante notar que o vetor posição rr nestas expressões não depende do tempo! Os campos existem em todo o espaço independente da presença de uma partícula no local rr . Mas se uma partícula estiver no local rr então o conhecimento dos valores dos campos permite calcular a força que atua sobre a partícula. Esta força é

( ) ( )trBvqtrEqF ,, rrrrrr×+= (8)

onde v é a velocidade da partícula e q sua carga. r

Linhas de força do campo elétrico Este novo objeto físico "campo eletromagnético" parece ser demasiado sublime e incompreensível para nossa mente; não podemos vê-lo nem tocá-lo com as mãos. Mas há meios de visualizar o campo elétrico experimentalmente. A primeira experiência desta aula tem como objetivo conhecer um método para tornar um campo elétrico visível e para conhecer então algumas configurações de campo. Na experiência vamos gerar um campo elétrico forte com ajuda de um gerador de alta tensão. A região de campo alto ficará numa vasilha que contém um líquido não condutor e disperso no líquido grãos de poeira de um material não condutor. No caso usamos óleo e farinha de fubá. Para entender o que acontece vamos desenhar alguma configuração do campo elétrico e alguns grãos de poeira. Neste desenho representamos os vetores ( )rE rr (vamos supor um campo que não dependa do tempo) por setas desenhadas em diversas posições rr . A seta desenhada representa o vetor

( )rE rr para o ponto rr que corresponde à base da seta. É bom lembrar que este tipo de desenho é naturalmente apenas uma representação simbólica parecida com um diagrama de forças da Física I. Afinal o vetor ( )rE rr não é um deslocamento no espaço físico e portanto não é uma seta, mas simbolicamente pode ser representado por uma seta. 1 De fato B

r é pseudo-vetor (vetor axial).

12

Figura 2 grãos de poeira no campo elétrico Os grãos de poeira contém cargas elétricas positivas e negativas em igual quantidade. Conforme a equação (8), estas cargas sofrerão forças na direção do campo e com sentidos opostos para as cargas de sinais opostos. Estas forças deslocarão então as cargas, induzindo uma polarização dos grãos como está indicado na figura 2. Este fenômeno de polarização já foi objeto

de estudo na nossa primeira experiência. Com a formação de polos positivos e negativos nos grãos, aparecerá uma interação entre os grãos que tem a tendência de alinhar os grãos em fileiras de tal forma que o lado positivo de um grão sempre toca no lado negativo do grão vizinho da mesma fileira.

Figura 3 Formação de fileiras de grãos pela interação elétrica dos grãos polarizados

Como o vetor que separa os polos do grão tem a direção do campo elétrico, as curvas formadas pelas fileiras de grãos terão a propriedade curiosa de terem em todos os pontos da curva o campo elétrico como vetor tangente da curva (compare a figura (3)). Este tipo de curva que tem os vetores de um campo vetorial como vetores tangentes é chamado

linha de força do campo.

Um sistema de linhas de força permite visualizar o campo elétrico de forma bastante completa. As direções dos vetores ( )rE rr são evidentes pelas curvas. Podemos até avaliar os módulos destes vetores num desenho de linhas de força se, ao desenhar as linhas, adotarmos a convenção de desenhar as linhas com uma densidade proporcional ao módulo do vetor ( )rE rr . Nesta convenção densidade de linhas significa número de linhas por área transversal às linhas. Pode-se mostrar com as leis que governam os campos elétricos que em regiões do espaço onde não há cargas esta convenção significa que uma linha de campo não nasce nem morre. A única informação que falta para caracterizar o vetor ( )rE rr é a orientação. Esta podemos indicar num desenho com uma pequena seta nas linhas. Tanto a convenção da densidade como a da seta de orientação é restrita aos desenhos. As fileiras de grãos não mostram setas. Será que as fileiras de grãos obedecem a convenção da densidade? Quem gostaria de responder esta pergunta pode fazer um trabalho de pesquisa à respeito. Acredito que a validade desta convenção nas fileiras de grãos é precária. Mesmo assim podemos concluir apenas pela forma das curvas qual seria a densidade num desenho, supondo espaços livres de carga e usando a regra que nestas regiões as linhas não morrem nem nascem.

Na experiências veremos certas imperfeições das fileiras de grãos. Estas imperfeições tem duas origens: a) existe interação entre fileiras vizinhas b) grãos que tocam nos eletrodos (placas metálicas eletricamente carregadas) podem adquirir carga elétrica e subseqüentemente serão repelidos violentamente dos eletrodos. Este movimente arrasta o líquido e perturba as fileiras de

13

grãos. É uma questão de habilidade do experimentador minimizar estos defeitos escolhendo adequadamente: a) a intensidade do campo, b) a quantidade adequada do óleo lubrificante, c) a densidade dos grãos d) a viscosidade do óleo, e) o tipo de grão de poeira. Mesmo com todas as imperfeições é fantástico que podemos “ver” o campo elétrico.

Tarefa 1: Vamos visualizar o campo elétrico para as seguintes configurações:

Configuração1:Eletrodo ligado ao capacete do gerador de alta tensão.

Configuração2:Eletrodos com cargas de sinais opostos

Configuração3:Eletrodos com cargas de mesmo sinal.

Configuração4:Eletrodos com cargas de sinais opostos.

14

Configuração5:Eletrodos com cargas de sinais opostos.

Configuração6:Eletrodos com cargas de sinais opostos.

Tarefa 2: a) Desenhe as linhas de campo para cada configuração observada. b) Observe, descreva e explique com que ângulos entram as linhas de campo nos corpos

metálicos. c) Utilizando a regra da densidade das linhas e sabendo que num espaço sem cargas as linhas não

nascem nem morrem, conclua uma regra sobre a intensidade do campo elétrico perto de pontas metálicas carregadas que têm um raio de curvatura muito pequeno.

d) Observe o efeito que a proximidade de uma ponta metálica carregada tem sobre uma chama de vela e tente explicar o observado.

e) Observe o comportamento de um torniquete carregado com pontas finas que pode rodar livremente e tente explicar o observado.

f) Observe a demonstração de um filtro eletrostático de fumaça.

15

Experiência 3: O Voltímetro

Nesta prática vamos conhecer o voltímetro, um instrumento de medida de fundamental importância para qualquer engenheiro, cientista ou técnico. O voltímetro mede uma integral de caminho do campo elétrico

( ) rdrEVV

COM

r

r

rrrr

r⋅−= ∫ (1)

onde COMrr e Vrr são as posições das entradas "COM" (= Comum) e "V" (=Voltagem) do

voltímetro e o caminho de integração percorre o interior do circuito do voltímetro. No caso de não termos campos magnéticos variáveis na experiência, a integral de caminho é de fato independente da escolha do caminho e neste caso a voltagem V é uma diferença de potencial elétrico.

Voltímetros analógicos e digitais A maioria dos voltímetros mede a voltagem através de uma medida de corrente. Este tipo de voltímetro comporta-se eletricamente como um resistor de resistência (chamada resistência interna do voltímetro). A voltagem aplicada nos terminais "COM" e "V" provoca então uma corrente

IR

IRVI /= (1)

no voltímetro, cujo valor é registrado por um medidor de corrente chamado galvanômetro e que compreende a peça principal do voltímetro. O galvanômetro usa geralmente o fato que uma corrente elétrica numa espira condutora, se exposto a um campo magnético, resulta num torque sobre a espira. Num galvanômetro este torque é mostrado como deflexão de um ponteiro, usando a lei de Hook com uma mola acoplada no condutor. Este tipo de voltímetro é chamado voltímetro analógico. O nome expressa o fato que a medição da voltagem acontece estabelecendo uma série de analogias entre grandezas físicas: uma analogia entre voltagem e corrente (usando a lei de Ohm

), uma analogia entre corrente e força (lei da força de Lorentz) e uma analogia entre força e deflexão de um ponteiro (lei de Hook).

IRVI /=

Fig. 1 Esquema de um galvanômetro

Hoje encontramos freqüentemente voltímetros digitais. O nome digital vem de dedo porque o processo digital usa números inteiros, aqueles que podemos contar com os dedos. Nestes instrumentos a voltagem nos terminais COM e V é primeiramente amplificada para ficar dentro de uma certa faixa de valores. Depois esta voltagem amplificada V é comparada com voltagens padrão. Esta comparação pode ocorrer de diversas formas. Aqui daremos um

exemplo que não necessariamente corresponde ao procedimento real nos voltímetros do nosso laboratório. Suponha que as voltagens amplificadas fiquem todas na faixa de -1V a 1V. Dentro do voltímetro há um circuito que gera uma voltagem padrão

A

( )tV dependente do tempo de tal forma que varre o intervalo -1V a 1V num determinado tempo T. No momento do início da varredura um contador começa a contar pulsos de um relógio. Um circuito comparador compara a

P

( )tVP

16

voltagem com a voltagem . No momento que a voltagem padrão ultrapassa o valor o número do contador é lido. Este número é então processado de forma lógica e transformado em códigos numa tela de cristal líquido. A figura 2 mostra um esquema deste tipo de voltímetro:

AV ( )tVP AV

Fig. 2 Esquema de um voltímetro digital.

A maioria dos voltímetros digitais pode medir voltagens de ambas as polaridades. Se o terminal "V" for positivo em relação ao terminal "COM" - isto é, o campo elétrico aponta do terminal "V" para o terminal "COM" - a voltagem é registrada como voltagem positiva. Se "COM" for positivo em relação ao terminal "V", a voltagem é contada como negativa e isto é indicado no mostrador do instrumento.

A maioria dos voltímetros analógicos só permite medir voltagens de uma única polaridade. Para estes deve-se tomar muito cuidado de ligar o voltímetro sempre de tal forma que o terminal "V" fique positivo em relação ao terminal "COM" . No caso contrário pode-se danificar o instrumento.

A resistência interna e o fundo de escala Imagine que você queira medir a diferença de potencial entre os pontos A e B do circuito da figura 3a. Você deve ligar os terminais do voltímetro nestes pontos. Com o voltímetro ligado o circuito passa a ser diferente correspondendo ao esquema da figura 3b.

Será que esta modificação do circuito não altera a diferença de potencial entre os pontos A e B ? Isto, de fato, pode acontecer. Então a própria intervenção da medida altera a grandeza a ser medida e consequentemente obtemos um resultado falso. O erro cometido depende da resistência interna do

Fig. 3a Fig. 3b

voltímetro. Se a resistência interna for da mesma ordem de grandeza das resistências , e do circuito, ou até menor que estas, a introdução do voltímetro no circuito vai alterar a

corrente que percorre o resistor e, com a lei de Ohm, a voltagem entre os pontos A e B será

IR 1R 2R

3R

3R

17

alterada. Para obter uma boa medida de voltagem precisamos um voltímetro cuja resistência interna seja muito maior que as resistências típicas do circuito. Para se construir um bom voltímetro deve-se usar um galvanômetro bem sensível, capaz de registrar correntes bem baixas e ligar em série com este galvanômetro uma resistência bem alta. Desta forma o voltímetro corresponde ao esquema da figura 4.

VR

Fig. 4

Suponha que o galvanômetro tenha uma resistência interna e que uma corrente do valor leva o ponteiro do

galvanômetro à deflexão máxima da escala do instrumento. Qual será a voltagem máxima que este voltímetro é capaz de medir? A resistência interna do voltímetro é a soma da resistência interna do galvanômetro e a resistência . Então, segundo a equação (1), temos

GR MAXI

VR

( )GVMAXMAX RRIV (2) = +

Este valor, que corresponde à deflexão máxima do ponteiro de um voltímetro analógico, é chamado fundo de escala. Muitos voltímetros possuem uma chave rotatória que permite escolher vários fundos de escala. Atrás da chave rotatória existem diversos resistores que são ligados em série com o galvanômetro, dependendo da posição da chave.

VR

Vimos acima que a resistência interna de um bom voltímetro deve ser grande em comparação com resistências típicas do circuito a ser medido. Como podemos saber qual é o valor da resistência interna de um voltímetro? Nos instrumentos analógicos vem escrita uma informação, por exemplo na seguinte forma: V/20 Ωk . Desta informação calcula-se a resistência interna multiplicando este valor com a voltagem do fundo de escala. Por exemplo, se rodarmos a chave rotatória numa posição de 10 V, o voltímetro trabalha como um instrumento que pode medir no máximo 10 V e cuja resistência interna é ( ) Ω=⋅Ω= kkRI 200V10V/20 . Se medirmos com este instrumento uma

voltagem de 3V, a corrente que atravessa o instrumento será A15200

V3/ μ=Ω

==k

RVI I .

Os voltímetros digitais costumam ter resistências internas bem altas. No manual dos instrumentos usados no nosso laboratório encontramos a informação que a Impedância de entrada é de ΩM10 para todas as faixas. Isto significa que a resistência interna vale 10 independente do fundo de escala.

Ω7

Os aparelhos digitais que utilizamos no laboratório são chamados de multímetros digitais. Isso se deve ao fato de que podem ser usados como voltímetro, amperímetro e ohmímetro, medindo respectivamente tensões, correntes e resistências. Alguns multímetros possuem até mais funções, como por exemplo: medidor de capacitância, termômetro, medidor de fator de amplificação de transistores, freqüencímetro etc..

Erros de medida

Um resultado experimental sem avaliação de erro não tem valor algum. Então é importante saber como avaliar o erro numa medida de voltagem. Os fabricantes de voltímetros fornecem informação no manual referente à precisão do instrumento. Nos voltímetros analógicos costuma-se especificar um erro percentual. Esta percentagem refere-se ao fundo de escala usado. Então se medirmos a voltagem de uma pilha de 1,5 V usando o fundo de escala de 10V e o erro

18

especificado pelo fabricante for de 5% o erro da medida será V5,0%5V10 =⋅=δV e não . V075,0%5V5,1 =⋅=δV

Para os voltímetros digitais do nosso laboratório encontramos no manual a informação que o erro para todos os fundos de escala de voltagem DC ("Direct Current" = voltagem constante no tempo e não alternada) é de 0,5% da leitura mais o valor que corresponde à cifra 1 no dígito menos significativo. Então veremos um exemplo. Suponha que você mediu a voltagem de uma pilha com o fundo de escala de 2 V. O resultado foi a leitura no mostrador 1.500. Este valor significa 1,500 V. Então o erro seria

V0,0085V0,0010,005V500,1 =+⋅=δV

e o resultado da medida pode ser escrito como

( )V0,0091,500 ±=V .

Neste resultado arredondamos o erro, adequando a representação ao número de dígitos disponível na leitura.

Para efeito de cálculo de erros nas medidas, as leituras feitas nos aparelhos devem ser consideradas em módulo.

Tarefas: 1) Monte o circuito da figura 5.

2) Transforme o multímetro em um voltímetro adequando a escala e a ligação dos terminais.

3) Ajuste a voltagem da fonte regulável com o voltímetro digital no valor de 10 V.

4) Meça as voltagens entre os pontos A e B, B e C, C e D, D e E, E e A. Use para cada medida o fundo de escala que permita maior precisão da medida.

5) A lei das malhas afirma que a soma destas voltagens é zero. Verifique com as suas medidas se esta afirmação é válida. Nesta tarefa é indispensável usar a avaliação de erro do resultado experimental. Cada uma das voltagens

ABV , , , , tem um erro experimental e a soma

BCV CDV DEV EAV

EAVDECDBCAB VVVVV ++++=Σ tem um erro correspondente. Verificar se o valor teórico da soma, TEORVΣ=0 , coincide com o experimental, significa verificar se o valor teórico fica dentro do

intervalo de valores estendido pelo valor do erro em torno do valor experimental (compare a figura 6).

Fig. 5

19

Fig. 6a Caso de concordância entre modelo teórico e resultado experimental

-0,1 V 0,3 V

0,1 V

Volts

0 V

Ex: Se o resultado experimental for : VΣexp = (0,1 ± 0,2) V temos que a faixa de valores possíveis vai de – 0,1 V até 0,3 V e portanto o valor

experimental está em concordância com o resultado teórico.

Fig. 6b Caso de discrepância entre modelo teórico e resultado experimental.

0,1 V 0,3 V

Volts

0,2 V

0 V

Ex: Se o resultado experimental for: VΣexp = (0,2 ± 0,1) V temos que a faixa de valores possíveis vai de 0,1 V até 0,3 V e portanto o valor experimental não está em concordância com o resultado teórico.

No caso de discrepância entre teoria e experimento deve-se discutir se o erro foi avaliado erroneamente ou se o modelo teórico por alguma razão não é aplicável ao experimento.

Fig. 7 Divisor de voltagem

6) Monte o circuito de um divisor de voltagem (figura 7).

Use a lei das malhas e a lei de Ohm para calcular a voltagem que deveria aparecer entre os pontos A e B. Neste valor teórico entram parâmetros experimentais: a voltagem de 10 V e as resistências de Ωk12 e Ωk1 . Portanto, neste caso, o valor teórico também tem erro experimental. Para determinar este erro você pode supor que o erro do

resistor de é de 5% e o do resistor de Ωk12 Ωk1 é de 1%. Mostre suas contas com detalhes.

Meça a voltagem entre os pontos A e B e compare este valor com o valor teórico.

O divisor de voltagem é um circuito muito usado na eletrônica para fornecer uma dada voltagem. Inclusive é possível fornecer uma voltagem ajustável. Para esta finalidade pode-se montar um divisor de voltagem com ajuda de um reostato. O reostato ou potenciômetro é um resistor que possui um contato móvel, capaz de percorrer a superfície condutora do resistor. Este contato tem o papel do ponto B da figura 7.

20

7) Substitua agora os dois resistores do circuito da figura 7 por um reostato como mostra a figura 8.

Fig. 8 Divisor de voltagem variável.

Meça a voltagem entre os pontos A e B e observe os valores variando a posição do contato móvel (ponto B).

8) Os circuitos das figuras 5 e 7 eram combinações de resistores em série. Agora vamos investigar uma combinação em paralelo. Monte o circuito da figura 9 e meça as voltagens entre os pontos A e A' , B e B' , C e C'. Explique o resultado.

Figura 9

21

Experiência 4: O Amperímetro

O amperímetro mede uma corrente elétrica, isto é, uma taxa de passagem de carga elétrica através da seção de um fio condutor. Portanto, uma medida de corrente refere-se a uma determinada seção. Quando falarmos de uma corrente elétrica num circuito, devemos especificar o ponto no circuito que corresponde à seção. Além disso devemos especificar a orientação da superfície da seção. O sinal da corrente é definido em relação a esta orientação. Por convenção adotamos o seguinte critério: se as cargas positivas passam no sentido da orientação da seção contamos a corrente como positiva. A figura 1 mostra uma seção orientada num condutor e a figura 2 um exemplo, como se define uma corrente I num esquema de circuito elétrico.

Fig. 1 Fio condutor com uma seção imaginada, à qual se refere uma definição de corrente elétrica. A seta indica a orientação da seção. Se os elétrons do metal (partículas negativas) fluírem no sentido oposto à seta, a corrente é contada como positiva. Este resultado está de acordo com a convenção adotada, uma vez que cargas negativas se deslocando em um dado sentido

equivalem a cargas positivas se deslocando em sentido contrário.

Fig. 2: Exemplo de um circuito com definição de uma corrente I num ponto do circuito. A seta faz parte da definição de I . Ela não indica em que direção flui a corrente! Ela indica a orientação da seção do fio.

Como medir com um amperímetro ? Poder-se-ia medir a corrente num ponto de um circuito aproveitando o fato que a corrente elétrica provoca um campo magnético em torno

do fio. Poderíamos, por exemplo, no circuito da figura 2 colocar um detetor de campos magnéticos na posição onde está escrito o símbolo I na figura. De fato existem amperímetros que trabalham com este tipo de princípio. Mas a grande maioria dos amperímetros usa outro método. No amperímetro comum a corrente a ser medida tem que atravessar o próprio amperímetro. Conseqüentemente, temos que abrir o circuito no ponto da medida e inserir o amperímetro no lugar do corte. A figura 3 ilustra como se faria então a medida da corrente I no circuito da figura 2.

Fig. 3 Como inserir um amperímetro no circuito.

22

O amperímetro tem dois terminais "COM" e "A". Para que o instrumento indique o sinal da corrente de acordo com a convenção descrita acima, deve-se inserir o amperímetro de tal forma que o terminal COM fique na ponta da seta e o terminal A na base da seta de orientação da seção. Se o sinal indicado no amperímetro for positivo, significa que a corrente (de cargas positivas) está no sentido indicado pela seta.

Resistência interna e fundo de escala Inserindo o amperímetro num circuito alteramos o circuito e consequentemente

introduzimos um erro na medida. Para evitar isso deveríamos usar um amperímetro que eqüivale eletricamente ao pedaço de condutor que retiramos para inserir o amperímetro. Então podemos concluir que um bom amperímetro deve ter uma resistência interna baixa (contrário ao bom voltímetro).

Fig. 4 Amperímetro composto de galvanômetro e resistência Rs.

Com os galvanômetros, que conhecemos como parte dos voltímetros analógicos, temos um exemplo de um amperímetro. Normalmente estes galvanômetros são instrumentos para medir correntes na faixa de dezenas de micro-Ampère. Um artifício utilizado para medir correntes maiores usando o galvanômetro, consiste em colocar uma resistência Rs muito pequena (comparada com a resistência do galvanômetro) em paralelo com o galvanômetro, conforme mostra a figura 4.

A corrente que percorre o amperímetro é dividida no ponto D numa corrente , que percorre o galvanômetro, e numa corrente , que percorre o resistor . O índice “ S ” refere-se ao nome “Shunt” (inglês "to shunt" = desviar) que é usualmente dado ao resistor paralelo ao galvanômetro. A regra das malhas e a dos nós nos fornece as equações (1) e (2) respectivamente:

GI

SI SR

SSGG IRIR = (1)

III GS =+ (2)

Eliminando a variável obtemos de (1) e (2): SI

GS

G IRR

I ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1 (3)

Então, a corrente que percorre o amperímetro é maior que a corrente indicada pelo galvanômetro

pelo fator ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

S

G

RR

1 . A capacidade do amperímetro (fundo de escala) pode ser modificada com a

escolha apropriada de Rs. Como é sempre muito menor que RSR G podemos garantir que a resistência interna do instrumento (amperímetro) será muito pequena. Nos amperímetros digitais temos um amplificador especial na entrada do instrumento que converte uma corrente numa voltagem, que é subseqüentemente processado como num voltímetro digital.

Erros do amperímetro

23

Como no caso dos voltímetros analógicos, o erro nos amperímetros analógicos é dado em termos de percentagem do fundo de escala. Para os nossos amperímetros digitais temos no manual a informação que o erro é p% da leitura mais a corrente que corresponde à cifra n do dígito menos significativo mostrado, onde p e n dependem do fundo de escala:

Fundo de Escala Erro 20 μA ± (2% Leitura +3 no dígito menos significativo) 200 μA 2mA 20mA

± (0,8% Leitura +1 no dígito menos significativo)

200 mA 2A ±(1,2% Leitura +1 no dígito menos significativo)

Veremos um exemplo: suponhamos que estamos medindo na faixa de A20 μ e temos a leitura 10.25. Isto significa .Então o erro seria: A25,10 μ

A235,0A0,030,02A25,10 μ=μ+⋅μ=δI

e o resultado da medida ( A24,025,10 ) μ±=I . Como adotamos como critério, arredondar o erro para um algarismo significativo, teremos δI=0,2 μA e portanto nosso resultado final será:

( ) A2,03,10 μ±=I

Se a medida for com sinal negativo, usamos o módulo da medida para o cálculo do erro, conforme visto na experiência 3 (Voltímetro).

Cuidados especiais com amperímetros É de suma importância nas medidas de corrente ter plena consciência do fato que o amperímetro eqüivale eletricamente a um pedaço de fio de cobre!!!! Então fazer o que está indicado na figura 5 é eletricamente equivalente ao circuito da figura 6 !!!!!, dado que a resistência interna do amperímetro é muito baixa. Para evitar danos aos amperímetros, especialmente no caso de amperímetros analógicos, é importante escolher a polaridade e o fundo de escala apropriadamente. Recomenda-se fazer estimativas da ordem de grandeza da corrente que se espera numa medida. Para facilitar estas estimativas é bom ter na mente que 1/quilo = mili. Então, por exemplo, 10V em resulta numa corrente de 10mA, e não precisamos de calculadora ou papel e lápis para chegar neste resultado.

Ωk1

Fig. 5 Fig. 6

O Ohmímetro O princípio do ohmímetro é simples: dentro do instrumento existe uma fonte de voltagem

bem determinada que é ligada ao resistor a ser medido e o amperímetro determina a corrente resultante. Com os valores da voltagem e da corrente pode-se determinar a resistência. O valor da resistência é indicado diretamente no mostrador do instrumento.

24

É importante obedecer a seguinte regra na hora de medir com um ohmímetro: nunca

conecte um ohmímetro num circuito ligado na fonte de tensão. A medida num circuito ligado geralmente resulta em valores completamente errados e pode até danificar o instrumento. É necessário retirar do circuito o resistor a ser medido.

Os erros dos nossos ohmímetros seguem na tabela:

Fundo de escala Erro Ω200 ± (0,5%Leitura + 3 no dígito menos significativo)

Ωk2 Ωk20 Ωk200

ΩM2 ± (0,5%Leitura + 1 no dígito menos significativo)

ΩM20 ± (0,5%Leitura + 2 no dígito menos significativo)

Tarefas:

Tarefa 1: com a polaridade da bateria indicada na figura 2, determine teoricamente se ou .

0>I0<I

Tarefa 2: Monte o circuito da figura 2 (usando resistores de Ωk1 e de e com 10 V na fonte). Use a figura 3 como base para a inclusão do amperímetro, verificando experimentalmente se você resolveu a tarefa 1 corretamente.

Ωk12

Tarefa 3: Monte o circuito da figura 7 e meça as correntes , , e . Ligue o amperímetro, observando a direção das setas indicadas na figura.

AI BI CI

Fig. 7 De acordo com a regra dos nós a soma destas correntes deveria ser zero. Verifique se esta previsão teórica é válida dentro do erro experimental. É bom lembrar que o erro intrínseco do amperímetro não é necessariamente a única fonte de erro no experimento. Quais outras fontes de erro podem existir neste experimento?

Tarefa 4: Meça a corrente que a fonte de tensão está fornecendo ao circuito da figura 7. Pense antes de medir!

25

Tarefa 5: Desmonte o circuito da Fig 7

1) Temos resistores na mesa cujos valores nominais (isto é valores declarados mas não necessariamente certos) são

Ω= 1001R , Ω= 3002R , Ω= 1503R . Meça a resistência de cada resistor (o resistor a ser medido deverá estar sozinho na placa) e calcule, com os valores obtidos, qual deveria ser a corrente no circuito da fig. 8 (determinando também a incerteza da corrente). Considere que a tensão da fonte contem o erro do voltímetro com o qual foi regulada: V ± δV. Mostre suas contas em detalhes.

Fig.8

2) Monte o circuito da Fig. 8 Meça a corrente I. Compare com o valor calculado.

Tarefa 6:

Monte o circuito da figura 9 com os resistores da tarefa 5 e meça as correntes I, , e . Calcule os valores dessas correntes com seus respectivos erros, usando os valores medidos para R

1I 2I 3I

1, R2 e R3 e compare com as correntes medidas. Considere que a tensão da fonte contem o erro do voltímetro com o qual foi regulada: V ± δV.

Fig. 9

26

Experiência 5: A lei de Ohm A lei de Ohm afirma que o quociente V/I da voltagem aplicada num condutor e da corrente que se estabelece nele independe da voltagem aplicada.

Lei de Ohm: V/I independente de V.

Para verificar esta lei experimentalmente podemos aplicar várias voltagens num condutor, medir os valores de V e I e representar os dados obtidos num gráfico I versus V. Os pontos experimentais devem então cair sobre uma reta que passa pela origem. Neste procedimento outros parâmetros experimentais como temperatura do condutor, campos magnéticos, estresse mecânico etc. devem ser mantidos constantes.

Frequentemente podemos encontrar ainda outra formulação da lei de Ohm: “o quociente V/I = R é constante”. Esta afirmação não é clara; o que significa constante? constante em relação a que? A resistência de um condutor, R = V/I, certamente depende de muitos fatores, por exemplo, da temperatura do condutor.

A dependência da resistência com a temperatura torna, na prática, a verificação da lei de Ohm difícil. Se aumentarmos a voltagem suficientemente gera-se tanta energia térmica que fica difícil manter a temperatura constante no experimento. A elevação da temperatura provoca então um aparente desvio da lei de Ohm para altas voltagens. Em princípio este desvio seria evitável esfriando o condutor.

A lei de Ohm não é uma lei fundamental como a segunda lei de Newton ou as equações de Maxwell. Ela descreve razoavelmente bem o comportamento de uma grande classe de condutores num intervalo de campos elétricos entre 0 e 108 V/m. Mas existem também condutores que definitivamente não obedecem a lei de Ohm, por exemplo os díodos e as lâmpadas de néon.

Tarefas:

1) Monte o circuito da figura abaixo, que será usado para as tarefas 2 e 3:

V

A

2) Insira um resistor de 1kΩ no circuito e verifique a lei de Ohm, medindo a corrente e a

tensão no resistor. Use pelo menos 21 voltagens entre -10V e + 10V. Faça um gráfico de tensão x corrente do resistor.

3) Troque o resistor por uma lâmpada incandescente de 12V e repita o procedimento da Tarefa 1 ( Cuidado com a escala do amperímetro, a escala usada para o resistor não serve para a lâmpada ) . Você encontrará um desvio perceptível da lei de Ohm neste caso. Supondo que a lei de Ohm vale para o filamento da lâmpada, o que você pode concluir a partir dos dados sobre a dependência da resistência com a temperatura? Faça o gráfico desta medida na hora para poder julgar se você escolheu os valores da voltagem adequadamente! Este procedimento é aconselhável em geral na física experimental.

27

4) Verifique que a lei de Ohm definitivamente não vale para um diodo. Use voltagens entre –1,0V e + 0,7 V. Faça um gráfico para julgar se você usou um número adequado de pontos de medida. A voltagem será contada como positiva se o diodo estiver ligado na fonte como na figura. O traço horizontal na ponta do triângulo corresponde ao anel prateado que está desenhado no corpo do díodo. É altamente recomendável começar com a voltagem 0V e aumentar a voltagem cautelosamente!

Sugestão de montagem: Para tensões entre –1 V a 0 V, variar de 0.1 em 0.1 V, conforme a figura abaixo: Varie a tensão variando a posição do reostato.

A

V 2V

COM

COM

Para tensões entre 0 V a 0.7 V, variar de 0.05 em 0.05 V, conforme a figura baixo:

COM A

V 2V

COM

Observações: - Se o voltímetro indicar ddp’s altas, verifique o fusivel do amperímetro. - Pergunte o seu professor sobre aplicações de diodos. - Traga folhas de papel milimetrado (linear – linear)! - Quando o fusível do amperímetro queima o voltímetro marca valores estranhos.

28

Experiência 6: Força Eletromotriz e Fontes

As fontes de alimentação elétrica são de fundamental importância em qualquer circuito elétrico. A experiência desta semana explora os seguintes conceitos: força eletromotriz, resistência interna de uma fonte e fontes ideais de voltagem e corrente.

Lembremos da lei de Ohm, que dizia que a corrente num condutor é proporcional à voltagem . Poderíamos encarar esta lei ainda de outra forma: a corrente que se estabelece num condutor vai depender de alguma forma da voltagem que existe no condutor

VI ∝( )VFI = . Se

esta função for matematicamente bem comportada deve ser possível desenvolvê-la numa série de Taylor, ou seja, deve ser possível escrevê-la como uma série de potências de V:

( ) ......44

33

2210 +++++= VaVaVaVaaVI (1)

A lei de Ohm simplesmente diz que, para as voltagens normalmente empregadas no laboratório, os termos quadráticos, cúbicos , etc. são desprezíveis. Então ficamos com uma dependência linear. - Cuidado! - Vamos pensar melhor: argumentamos de forma um pouco generosa demais. Desprezar os termos quadráticos, cúbicos , etc. não significa que a corrente seja proporcional à voltagem. Ainda tem o termo de ordem zero que denominamos de na expansão (1). Bem, poderíamos dizer: o é naturalmente zero, pois este termo corresponderia a uma corrente que flui mesmo não tendo voltagem alguma no condutor. Sem voltagem os portadores de carga não teriam motivo para fluir. Então com esta suposição natural teríamos a lei de Ohm .

0a

0a

( ) VaVI 1=

Será que a suposição é mesmo sempre válida? A resposta é não! Além de campos elétricos existem outras causas para um fluxo de carga elétrica. Uma causa não elétrica de corrente elétrica é chamada de força eletromotriz. Este nome é um tanto infeliz porque na maioria dos casos não se trata de forças no sentido da segunda lei de Newton. Um nome mais apropriado seria causa eletromotriz.

00 =a

Vejamos alguns exemplos de força eletromotriz: imagine que você deixa uma gota de ácido clorídrico cair numa das extremidades de uma canaleta cheia de água.

Fig. 1 Força eletromotriz numa canaleta de água.

Na água, o ácido dissocia-se em H+ e Cl- . Estes íons sofrem a ação da agitação térmica e com isto se espalharão pela água da canaleta. Acontece que este processo de difusão é muito mais rápido para os

íons de H+ do que para os íons Cl- . Nos primeiros minutos após ter deixado a gota de ácido cair na água, poderíamos até desprezar a difusão do Cl- completamente. A difusão dos íons de H+ constitui uma corrente cuja causa não seria um campo elétrico, mas a simples agitação térmica junto com a condição inicial que todos os íons estavam inicialmente localizados numa extremidade da canaleta. Este exemplo de força eletromotriz tem duas caraterísticas em comum com muitas outras forças eletromotrizes: 1) o sistema está fora do equilíbrio termodinâmico e 2) há dois processos que levam o sistema para o equilíbrio (a difusão de H+ e a difusão de Cl- ) e um dos dois é muito mais lento que o outro.

29

Vejamos um outro exemplo, o da pilha comum. Imagine que você joga um pedacinho de zinco (Zn) num recipiente de ácido, tampa o recipiente e guarda-o por muito tempo, digamos alguns anos. Após um tempo suficiente o zinco teria desaparecido, teríamos íons de zinco na solução Zn2+, encontraríamos hidrogênio e o número de íons de hidrogênio do ácido teria diminuído. Teria acontecido a seguinte reação química:

222 HZnHZn +→+ ++ (2)

Esta reação consiste de duas partes: −+ +→ eZnZn 22 (2a)

e

222 HeH →+ −+ (2b)

Acontece que a segunda parte (2b) é lenta, devido ao fato que os elétrons do zinco teriam que vencer uma barreira de energia potencial antes de se ligar nos prótons H+. O segredo da pilha é um agente que acelera a segunda parte, isto é, a transformação de H+ numa espécie eletricamente neutra, e que este agente é colocado espacialmente separado da região onde acontece a reação (2a). Este agente é um eletrodo de grafite, que fornece os elétrons, junto com a substância oxidante MnO2, que fica em torno do eletrodo. A reação seria a seguinte:

OHOMneHMnO 2322 222 +→++ −+ (2c)

O ácido usado é o NH4Cl, e a reação (2c) seria mais precisamente

323242 2222 NHOHOMneNHMnO ++→++ −+ (2d)

Se ligassemos um fio grosso de cobre entre grafite e zinco poderíamos observar uma corrente elétrica saindo do grafite, que corresponde a um fluxo de elétrons passando do cobre para o grafite, aqueles que entram no lado esquerdo da equação (2d). No lado do zinco observaríamos uma corrente entrando na pilha que corresponde a elétrons do lado direito da reação (2a). Estas correntes iriam parar em pouquíssimo tempo, sendo freadas por campos elétricos, se não existisse uma corrente elétrica no seio do eletrólito. Esta corrente seria uma corrente de difusão dos íons Zn2+ e . Na medida que a reação (2a) joga íons de zinco na solução e com isto cria uma concentração alta destes íons perto do zinco, a agitação térmica tem mais probabilidade de afastar um íon Zn

+4NH

2+ do zinco do que aproximar um destes íons do metal. Com os íons de acontece algo análogo: na medida que a reação (2d) elimina íons de na região perto do carbono, a agitação térmica tem mais probabilidade de aproximar um íon do grafite do que afastar um. A figura 2 mostra estes processos simbolicamente:

+4NH

+4NH

+4NH

30

Fig. 2 Processos na pilha comum na situação de curto circuito. Os íons negativos Cl- , que garantem a neutralidade do eletrólito, não são desenhados.

Para evitar que o saia da região do eletrodo de grafite e para evitar problemas de vazamentos de líquidos, todo eletrólito é misturado com amido formando uma massa pastosa. Esta pilha foi inventada por George Laclanché, em 1865. A tabela mostra ainda outras pilhas usadas.

2MnO

Nome Reações Voltagem

Pilha Alcalina −− ++→+ eOHZnOOHZn 22 2 −− +→++ OHOMneOHMnO 222 3222

1,5V

Bateria de Chumbo

−− +→+ ePbSOSOPb 2424

OHPbSOeHSOPbO 24242 224 +→+++ −+−

2V

Pilha de Mercúrio −− ++→+ eOHZnOOHZn 22 2 −− +→++ OHHgeOHHgO 222

1,5V

Bateria de Níquel-Cádmio

( ) −− +→+ eOHCdOHCd 22 2

( ) ( ) −− +→++ OHOHNieOHOHNiO 22222 22

1,4V

Pilha de Lítio −+ +→ eLiLi 222 −− →+ IeI 222

2,8V

Célula de Combustível

−− +→+ eOHOHH 4442 22 −− →++ OHeOHO 442 22

1V

31

Como podemos ver, a maioria destas células eletroquímicas emprega substâncias altamente tóxicas e poluentes. Com exceção das pilhas comuns, como regra geral não devemos desmontar baterias. Baterias de telefones celulares, calculadoras, filmadoras etc. não devem ser jogadas no lixo e muito menos no mato, nos rios ou outros lugares fora do nosso controle!!!!

Discutimos a pilha comum numa situação de curto circuito, isto é, com um fio condutor ligado entre grafite e zinco. Se tirarmos este fio, os movimentos dos íons descritos acima carregarão o grafite positivamente e o zinco negativamente. O campo elétrico gerado por estas cargas atuaria sobre os íons com uma força elétrica (força no sentido da segunda lei de Newton) e esta força se opõe ao fluxo químico. Rapidamente se estabelece um equilíbrio no qual a corrente elétrica será zero. Com a equação (1) e desprezando os termos de ordem superior teríamos para este equilíbrio

.100 EQUILVaaI +== (3)

e a voltagem entre zinco e grafite seria

1

0. a

aVEQUIL −= (4)

O negativo da voltagem de equilíbrio é chamado de valor da força eletromotriz ou simplesmente força eletromotriz, geralmente escrito com o símbolo ε .

Quando queremos verificar a lei de Ohm ou medir, no caso geral, a função para um condutor, usamos o seguinte circuito:

( )VFI =

Fig. 3 Circuito para medir as caraterísticas de um condutor.

O mesmo circuito pode ser usado para medir a dependência da corrente com a voltagem no caso em que o condutor é uma pilha. Basta substituir o resistor da figura 3 pela pilha. Se nos limitarmos a voltagens no intervalo [ podemos até simplificar o circuito e substituir a fonte de alimentação por um resistor, pois a própria pilha vai fornecer a corrente. Para obter vários pontos de medida pode-se variar o valor deste resistor utilizando um reostato, como indicado na figura 4. Esta figura mostra também um interruptor que permite limitar a passagem de corrente a intervalos de tempo curtos para evitar que a pilha se gaste na experiência.

]0,ε−

Fig. 4 Circuito para determinar a relação entre corrente e voltagem de uma pilha.

Tarefa 1: a) Monte o circuito da figura 4. Use o próprio fio

com “conector banana” como interruptor. Mantenha o circuito aberto enquanto não estiver fazendo medidas, para não gastar a pilha.

b) Meça a voltagem com o interruptor aberto (isto é, com I = 0).

32

c) Meça as voltagens e correntes para várias posições do reostato começando com grandes valores de R. Em cada medida feche o circuito apenas por poucos segundos para não gastar a pilha. Termine com um R que corresponde apenas à resistência dos fios e da resistência interna do amperímetro. (use valores de R formando aproximadamente uma seqüência geométrica , , totalRR =1 2/2 totalRR = 4/3 totalRR = , 8/4 totalRR = .....)

d) Faça agora as medidas do item c) em ordem inversa, começando com e terminando com

0≈R∞=R .

e) Represente os dados das medidas do item c num gráfico V versus I.

Comentário sobre a escolha das orientações dos instrumentos de medida:

A orientação do amperímetro e voltímetro no circuito da figura 4 é escolhida tal que as correntes medidas serão positivas enquanto as voltagens serão negativas, dando origem a um gráfico no segundo quadrante (como o da figura 5). Por que esta escolha estranha? Tratamos aqui a pilha como um condutor qualquer e devemos adotar a mesma convenção que usamos na experiência da lei de Ohm. Num resistor o produto de voltagem e corrente mede a potência transferida para o condutor. No caso de uma pilha (no uso comum dela como fonte) esta potência é negativa, pois o fluxo de energia é do condutor para o campo eletromagnético, inverso do caso do resistor. Consequentemente o produto VI deve ser negativo no caso da pilha e V e I tem sinais opostos.

Você encontrará que a aproximação de desprezar os termos de ordem superior da equação (1) no caso da pilha não é uma aproximação excelente. Além disso pode ocorrer que as medidas do item d) não fiquem na mesma linha das do item c). Isto indica que a pilha mostra efeitos de memória. O fato que a pilha já fora usada em medidas, altera as medidas subsequentes. Isto significa que neste caso a corrente não é apenas uma função da voltagem mas depende também da história da pilha. No entanto, como uma aproximação grosseira, podemos ajustar uma reta nos pontos. O inverso da inclinação desta reta seria um valor aproximado da resistência interna da pilha.

dVdI

RPILHA1

= (5)

f) Determine a resistência interna da pilha a partir da reta de ajuste dos seus dados.

A figura 5 mostra as relações I versus V de uma pilha de resistência interna baixa e de uma pilha de resistência interna alta. Como podemos ver, na pilha de resistência interna baixa a corrente pode variar muito sem alterar a voltagem apreciavelmente. Esta é certamente uma propriedade de uma boa pilha. O caso idealizado de uma bateria de resistência interna nula chama-se uma fonte ideal de voltagem. Usa se o símbolo

para este tipo de fonte. Uma fonte de voltagem ideal mantêm sempre a mesma voltagem nos seus terminais independente da corrente.

Pode-se pensar ainda num caso ideal oposto a este: uma fonte que fornece sempre a mesma corrente independente da voltagem. Este tipo de força eletromotriz idealizada é chamada fonte de corrente ideal. O símbolo usado é

33

Fig 5 Curvas de I versus V de duas pilhas, uma com resistência interna baixa e outra com resistência interna alta.

Uma maneira de construir uma fonte de corrente quase ideal é usar uma fonte de voltagem muito alta e colocar um resistor muito grande em série.

Hoje em dia pode-se chegar bem perto dos casos ideais com fontes eletronicamente estabilizadas. O nosso laboratório de Física III usa fontes que podem funcionar como fontes de voltagem ou fontes de corrente. Com

os botões da esquerda podemos escolher a voltagem desejada da fonte de voltagem. Um medidor interno verifica se a voltagem nos terminais corresponde ao valor escolhido e um circuito regula esta voltagem para eliminar um possível desvio. Se ligarmos um resistor na fonte, fluirá a corrente V/R . Se diminuirmos o valor do resistor cada vez mais esta corrente sobe até chegar num valor limite. A partir deste valor uma diminuição do resistor não alteraria mais o valor da corrente. Isto significa que, a partir deste ponto, a fonte funciona como uma fonte de corrente. O valor da corrente limite pode ser escolhido com os botões da direita. Na tarefa 2 você pode conhecer um pouco melhor as nossas fontes reguladas do laboratório.

Tarefa 2: a) Regule a fonte numa voltagem de 10V e coloque o botão da direita (limitação de corrente)

numa posição entre 0 e 0,2 A que corresponde aproximadamente ao valor de 0,1A.

b) Sem alterar as posições dos botões da fonte, monte o circuito da figura 6.

Fig. 6

c) Meça a corrente I e tensão V para 8 posições igualmente espaçadas do reostato, sem alterar os botões da fonte. Faça o gráfico I versus V para a fonte e indique as regiões nas quais a fonte opera como uma fonte ideal de voltagem e como uma fonte ideal de corrente.

34

Experiência 7: Teste de qualidade de uma pilha

Na aula anterior conhecemos as características principais de uma fonte elétrica. Por

exemplo vimos que uma boa pilha deve ter uma resistência interna baixa. Alem da resistência interna interessa naturalmente quanta carga pode ser aproveitada numa pilha. A tarefa desta semana consiste exatamente na determinação da carga elétrica que podemos deixar circular num circuito até “descarregar” a pilha. Descarregar não é, na verdade, a palavra mais correta, pois não vamos gastar a pilha a tal ponto que a força eletromotriz dela desapareça por completo. Vamos usar uma pilha até o ponto que ela seria considerada para muitas aplicações uma pilha gasta. Arbitramos que vamos chamar a pilha de gasta quando a voltagem dela no circuito usado cai abaixo de 1,4 V. Esta determinação não corresponde necessariamente a um julgamento adequado. Nossa “norma” é mais motivada pelo fato que nossa experiência deve ser factível dentro da duração de uma aula experimental. Também a escolha do circuito é determinado por este critério e não corresponde necessariamente a melhor maneira de avaliar uma pilha. A idéia da experiência é simples: vamos ligar um resistor R numa pilha até o momento que a voltagem caia até 1,4 V. A corrente que circula no circuito durante este tempo é monitorada e depois integrada no tempo. Alguns grupos devem fazer esta medida com uma pilha comum e outros com uma pilha alcalina. Depois podemos comparar os resultados e ver se o preço do “Coulomb alcalino” é mais caro ou mais barato que do “Coulomb comum”. Tarefa 1:

a) Monte o circuito da figura 1 com uma pilha nova. Não feche o interruptor (pino banana) por enquanto, para não gastar a pilha.

b) Meça o valor do resistor.

c) Meça a voltagem ainda com o interruptor aberto, para não gastar a pilha.

d) A experiência será feita medindo o tempo após fechar o circuito e a ddp correspondente da pilha. A ddp deve ser medida de 10 em 10 segundos no primeiro minuto e

depois basta medir a cada minuto ou até com menos freqüência. Antes de fechar o interruptor, tenha certeza de que o procedimento adotado está claro, uma vez que o processo de descarga da pilha é irreversível. É bom preparar no seu caderno de laboratório a tabela das medidas antes do início das medidas. A coleta de dados começa no tempo t = 0 s, que corresponde ao instante em que o interruptor foi fechado, e termina quando a voltagem cai abaixo de 1,4V. Não comece o experimento se ainda tiver alguma dúvida.

Figura 1

e) Feche o interruptor, dê início na contagem de tempo no cronômetro e meça simultaneamente a voltagem da pilha. Termine quando a voltagem cai abaixo de 1,4V.

f) Queremos determinar a carga elétrica que circulou no circuito nesta experiência. Então temos

que determinar a integral a partir dos dados. Isto pode ser feito a partir de um

gráfico I versus tempo, onde I é obtido dividindo as voltagens por R ou a partir do gráfico V

( ) dttIQFIMt

t∫=0

35

versus tempo, determinando primeiramente a integral e dividindo este valor por R.

O segundo método é menos trabalhoso por que não precisa converter dados os dados em corrente. Elabore então um gráfico I versus t (ou se preferir V versus t).

( ) dttVFIMt

t∫0

g) Integre esta função para achar a carga total que circulou no circuito. Esta integração deve ser feita da seguinte maneira: recorte com uma tesoura um retângulo do seu gráfico (como na figura 2) com os lados e tΔ IΔ (ou VΔ ) conhecidos. Meça a massa deste retângulo numa balança de precisão, para estabelecer uma proporcionalidade entre massa de papel do gráfico e carga elétrica (ou no caso do gráfico Vxt, seria uma proporção entre massa e Vs). Depois recorte a área embaixo da curva e meça a massa deste recorte e determine a carga correspondente (ou número de Vs correspondente).

It ΔΔ

h) Com o valor da carga desta experiência calcule quantos miligramas de zinco foram dissolvidas durante esta experiência. ( ) −+ +→ eZnZn 22

Dados: , , .

1molg37,65zinco domolar massa −= -123 mol10022,6Avogadro de número ⋅=As10602,1elementar carga 19−⋅=

Alguns grupos de alunos devem fazer esta experiência com uma pilha de marca e outros com uma pilha barata. j) Compare os valores de carga de uma pilha comum com uma alcalina e determine o preço do Coulomb.

Sugestões para tarefas opcionais em casa: Qualquer estudante que pretende um dia ser um engenheiro ou cientista deveria ter em casa um multímetro. Caso você não tenha um, compre um pequeno voltímetro digital. É um eletrodoméstico útil e não custa caro (15 a 25 reais para um instrumento simples). Pesquise então as seguintes questões:

1) Se tivéssemos usado um resistor de Ωk1 na tarefa 3 no lugar de a experiência teria

levado muito mais tempo e as correntes teriam sido menores. Será que o valor da integral teria sido o mesmo?

Ω15

Figura 2

2) Determine para os dois casos Ω= 15R e Ω= kR 1 qual é a energia total dissipada no resistor durante a experiência.

3) Repita estas experiências com pilhas de tamanho maior e diferentes marcas.

4) Meça a resistência interna de diferentes marcas e de vários tamanhos.

5) Compare todos os resultados com os correspondentes para pilhas alcalinas.

6) Elabore critérios mais adequados para testar pilhas.

Use a escala graduada abaixo!

36

37

38

Experiência 8:

Circuito RC: Processo de Carga e Descarga de Capacitores

Na experiência da próxima semana vamos conhecer a dinâmica de uma combinação de resistor e capacitor chamada circuito RC. O circuito RC é de fundamental importância em circuitos eletrônicos. Isto se deve ao fato que tal combinação fixa uma constante de tempo e com isto determina a rapidez do circuito eletrônico. Além disso é interessante estudar o comportamento de um capacitor que está sendo carregado ou descarregado, pois o tipo de comportamento encontrado no circuito RC pode ser encontrado em inúmeras outras áreas das ciências exatas e engenharias. Por exemplo: a deformação lenta de concreto devido a um carregamento permanente (fluência do concreto) mostra um comportamento temporal semelhante ao da voltagem de um capacitor quando é carregado através de um resistor.

Primeiramente devemos estudar um pouco a teoria do circuito RC antes de começar com os experimentos. Vamos analisar o circuito da figura 1:

Figura 1 Circuito RC

Para entender o comportamento deste circuito devemos escrever a lei das malhas:

CQRI +=ε (1)

Nesta equação Q é a carga do capacitor (a carga na placa superior da figura, a carga na outra placa será igual mas com sinal oposto). Podemos notar que a equação (1) contem duas incógnitas: a corrente I e a carga Q .

Portanto esta equação sozinha não é suficiente para entender o circuito. Precisamos de uma relação entre Q e I . Pela própria definição de corrente (I = taxa de passagem de carga) podemos escrever:

ε V 12 V

dtdQI = (2)

Combinando as equações (1) e (2) obtemos:

QCdt

dQR 1+=ε (3)

Esta é uma equação muito especial, uma equação diferencial. Primeiramente podemos notar que a equação difere das equações que conhecemos na escola de segundo grau (do tipo

) pelo fato que a incógnita, Q , não é um número mas uma função desconhecida; . Segundo, a equação impõe uma condição sobre esta incógnita envolvendo valores da

incógnita e valores da derivada da mesma. Terceiro, t não é fixo, a equação deve valer para todo t. Quarto, todos os valores

01042 =−+ xx( )tQQ =

39

da incógnita e das derivadas são tomados no mesmo ponto da variável independente t, isto é

( )tQCdt

dQRt

1|

+=ε para todo t.

É notável que na física e química quase todas as leis básicas podem ser formuladas como equações diferenciais. Em ciências que tratam de sistemas mais complexos, como por exemplo biologia, economia e história, isto geralmente não é o caso.

Vamos ver como podemos resolver a equação (3). Esta equação é de fato tão simples que não vale a pena utilizar as técnicas dos matemáticos. Podemos adivinhar facilmente a solução e com isto adquirir um pouco de compreensão do problema. Para facilitar vamos resolver primeiramente o problema sem a presença da bateria (circuito da figura 2).

Fig. 2 Circuito de descarga

Na equação (3) isto significa simplesmente igualar a força eletromotriz da bateria a zero:

01=+ Q

CdtdQR (4)

ou escrevendo em outra forma:

QRCdt

dQ 1−= (4)

Então estamos procurando uma função que é proporcional à própria derivada dela. Sabemos

que a função exponencial tem esta propriedade. Verificamos facilmente que as funções

( ) RCt

eQtQ−

= 0 (5)

são soluções da equação da equação (4). Na expressão (5) Q é uma constante arbitrária. Para qualquer valor de Q temos uma solução. Esta é uma característica geral das equações diferenciais; elas têm um número infinito de soluções. O fato que a solução não é única não é defeito mas é vantagem. Desta forma uma única equação é capaz de descrever um número infinito de situações físicas. Por exemplo, a equação (4) descreve todos os possíveis comportamentos do circuito da figura 2. Qual situação física é realizada num experimento depende das condições iniciais. Isto significa que o valor da carga do capacitor no instante t = 0 vai determinar a solução. é a carga do capacitor no instante t =0. Como podemos ver pela expressão (5), para poder observar algum comportamento interessante no circuito RC sem bateria, é necessário termos uma carga inicial , pois de outra forma teríamos apenas a solução trivial

0

0

0Q

00 ≠Q ( ) 0=tQ para todo t. Então no circuito da figura 2 só podemos observar o processo de descarga do capacitor. A figura 3 mostra um gráfico deste tipo de processo.

40

Fig. 3 Descarga de um capacitor

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

τ = RC

Q0/e

Q0=5μC

Carga de um capacitor em função do tempopara um processo de descarga

Car

ga

[μC

]

Tempo [s]

Podemos agora entender a afirmação que um circuito RC define uma constante de tempo. O expoente na expressão (5) deve ser uma grandeza adimensional. Portanto o produto RC deve ter a dimensão de tempo. De fato podemos verificar que

sF 111 =⋅Ω (6)

A constante é chamada tempo característico do circuito ou constante de tempo do circuito. é o tempo no qual a carga do capacitor se reduz por um fator e , onde e é o número

de Euler:

RC=ττ

718,2!

10

≈= ∑∞

=n ne . Isto significa: se a carga do capacitor num instante tinha o valor

, no instante

1t

1Q τ+= 12 tt ela terá o valor . Conhecendo este fato, é fácil determinar a constante de tempo a partir de um gráfico Q versus t (compare a figura

eQ /1

3). Na prática não usaríamos um gráfico Q versus t mas um gráfico da voltagem do capacitor em função do tempo. Já que á voltagem do capacitor é proporcional a sua carga, podemos determinar τ deste tipo de gráfico da mesma forma. A figura 4 mostra um circuito que pode ser usado para determinar a constante de tempo de um circuito RC:

12 V

Fig.4 Circuito de descarga

41

O capacitor seria primeiramente carregado fechando o interruptor. Depois o interruptor é aberto e o capacitor é descarregado através do resistor. Um voltímetro paralelo ao capacitor permite acompanhar a voltagem do capacitor durante o processo de descarga.

Para poder medir a voltagem do capacitor em função do tempo e gerar um gráfico V versus t com medidas com um voltímetro e cronômetro comum, é necessário que a constante de tempo do circuito seja suficientemente grande de tal forma que nossa capacidade de ler o voltímetro e cronômetro permita acompanhar o processo. Constantes de tempo na ordem de 5 ou 10 segundos são adequadas. Não é fácil realizar um valor RC = 10s . A resistência não deve ultrapassar algumas dezenas de kΩ para garantir a condição de uma boa medida da voltagem (lembre que a resistência interna do voltímetro deve ser muito maior que a resistência do circuito). Por exemplo, com R = 10 kΩ a capacitância teria que ser C = 1000 μF. Este valor é bastante grande e geralmente só seria realizável em laboratório com capacitores eletrolíticos.

Agora vamos resolver a equação (3) com a presença da bateria:

QCdt

dQR 1+=ε

Uma solução podemos adivinhar facilmente: se o capacitor estiver com a mesma voltagem da bateria não haverá diferença de potencial no resistor e consequentemente não haverá corrente. Não tendo corrente a carga do capacitor deve ficar constante. A função constante ( ) ε= CtQP é obviamente uma solução. Botamos um índice P nesta solução para indicar que se trata apenas de uma única solução, logo de um caso Particular. Para encontrar uma solução geral da equação (4) podemos somar as equações (3) e (4):

( ) ( )55

_____________________________________________

55

1

10

1

QQCdt

QQdR

QCdt

dQR

QCdt

dQR

PP

PP

+++

=

+=

+=

ε

ε

(7)

onde é a solução dada na expressão (5). A terceira linha do cálculo (7) nos informa que a função

5Q( ) ( ) ( )tQtQtQ P 5+= é solução da equação (4). Então temos como solução:

( ) RCt

eQCtQ−

+= ε 0 (8)

A constante é o parâmetro livre que permite adaptar a solução à condição inicial (ao contrário do caso sem bateria, não tem mais a interpretação da carga inicial).

0Q

0Q

Vamos supor que o capacitor estava inicialmente descarregado; ( ) 00 =Q . Neste caso teria o valor , e a solução seria

0Qε−= CQ0

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ε=

−RC

t

eCtQ 1 (9)

42

A Figura 5 mostra um exemplo deste comportamento:

Fig 5. Processo de carga de um capacitor

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

5 μC /e

τ = RC

Q

[μC

]

t [s]

Compare esta figura com a curva de cura da fluência do concreto (figura 6):

Fig. 6 Fluência de Concreto (Dados tomados do livro: Concretos massa, estrutural, projetado e compactado com rolo, Ensaios e Propriedades. Atores: Equipe da FURNAS. Editor: Walton Pacelli de Andrade)

Podemos determinar a constante de tempo RC também do gráfico 5, mas esta tarefa requer o conhecimento exato da carga final (no caso do gráfico 5 seriam ). Neste aspecto o gráfico da descarga (Fig. 3) é mais prático. No caso da descarga podemos determinar a constante RC com boa precisão

representando o logaritmo da carga (ou da voltagem) do capacitor em função do tempo. Usando a equação (5) (caso de descarga) e dividindo por 1 μC, escolhido arbitrariamente,

Cμ50 10 20 30 40 50 60 70

560

580

600

620

640

660

680

700

Pontos = deformação lenta de concreto devido a um carregamento permanente Curva = curva de um circuito RC equivalente

Fluência de Concreto

Fluê

ncia

Esp

ecifi

ca x

10E

-6 [

MPa

-1]

Tempo após aplicação da carga [ dias ]

( ) tRCe

CQ

CtQ 1

0

11−

=μμ

(10)

Calculando os logaritmos Neperianos obtemos:

( ) tRCC

QCtQ 1

1ln

1ln 0 −

μ=

μ ou (11)

43

( ) tRC

VtV 1V1

lnV1

ln 0 −= (12)

Então, se a teoria da descarga do capacitor for verídica, devemos obter uma reta desta

representação. A inclinação desta reta vale RC1

− e permite determinar a constante de tempo.

Sabendo o valor exato da resistência podemos desta forma determinar o valor da capacitância. OBS: O capacitor tem polaridade definida, não podendo ser ligado com a polaridade trocada

Tarefas: 1) Verifique experimentalmente, montando o circuito adequado, se as equações (5) e (9) descrevem corretamente os processos de descarga (Figura 4) e carga (Figura 1) de um capacitor. No caso da carga verifique apenas visualmente se o gráfico V x t tem o aspecto da figura 5. No caso da descarga use além da representação voltagem versus t também a do logaritmo da voltagem versus t. Este gráfico deveria resultar numa reta. Aviso: nas medidas use apenas um único fundo de escala do voltímetro (20 V). Para o processo de carga, meça o tempo para a ddp no capacitor variar de 0V a 1 V, 0V a 2 V, 0V a 3 V, ... , 0V a 10 V. Para a descarga, meça o tempo para a ddp variar de 10V a 9V, 10V a 8 V, 10V a 7 V, ..., 10V a 1V.

2) Meça as capacitâncias de dois capacitores de sua escolha, medindo RC=τ e R. Aproveite os dados obtidos na descarga do capacitor do item anterior.

3) Mostre experimentalmente que a capacitância equivalente de dois capacitores em paralelo é a soma das capacitâncias Cequiv=C1+C2.

Determinação de erro dos valores de C: o erro de C=τ/R é determinado com o erro de R e de τ. A resistência R deve ser medida com o ohmímetro e o erro é determinado como no roteiro do Amperímetro. O erro do τ deve ser determinado graficamente. Desenhe nos seus gráficos do ln(V/1V) versus t, além da melhor reta, uma segunda reta (reta alternativa) que se adapte razoavelmente bem aos dados mas que tenha uma inclinação maior ou menor que a melhor reta. Estime então o erro de t como τmelhor – τalternativo.

44

0 10 20 30 40 50 60 70 801

10

100

45

46

Experiência 9: O Campo Magnético

O campo magnético pode ser definido a partir da força que atua sobre uma carga elétrica em movimento:

BvqFmagnética

rrr×= (1)

Podemos observar qualitativamente esta força aproximando um imã de um feixe de partículas carregadas, observando o desvio do feixe causado pela presença do imã. Também podemos observar a força sobre um condutor com corrente num campo magnético. 1. Observe o comportamento de um feixe de partículas carregadas na presença de um imã. 2. Observe o comportamento de um balanço metálico cuja haste horizontal fica acima de um imã

quando ligamos o balanço numa fonte de corrente. A equação (1) é a base de muitos métodos para medir campos magnéticos. Por exemplo:1) as sondas Hall, 2) medição de B

r pela freqüência angular de um movimento circular de uma

partícula carregada 3) medição de Br

pelo torque exercido numa espira de corrente etc. Na experiência desta aula vamos medir a componente horizontal do campo magnético da Terra utilizando ainda um outro método. O método usado é a comparação do campo desconhecido da Terra com um campo conhecido. Para poder comparar o campo desconhecido com o conhecido precisamos de um indicador da direção e sentido do campo. Uma simples bússola serve para esta finalidade. Primeiramente determina-se a direção do campo da Terra com a bússola, depois adiciona-se um campo conhecido numa direção diferente (por exemplo, ortogonal ao campo da Terra) e observa-se a direção do campo resultante com a bússola. A mudança de direção da bússola permite determinar o campo da Terra. Na nossa experiência vamos gerar o campo conhecido por um solenóide comprido. Lembramos que o

campo dentro de um solenóide infinitamente comprido é

nIeBs 0ˆμ=r

(2) onde e é um vetor unitário apontando na direção do eixo de simetria do solenóide, μ , a constante n é a densidade linear de espiras e I é a corrente no fio do solenóide. Nosso solenóide tem 80cm de comprimento e um diâmetro de pouco mais de 10cm. A equação (2) fornece uma boa aproximação para o campo no centro deste solenóide. A expressão exata para o campo no centro do solenóide é

ˆAmVs /104 7

0−⋅π=

α

Bs

Bh

φμ= senˆ 0nIeB

r (3) onde o ângulo φ está definido na figura 2. Considerando que Bs seja o campo conhecido do solenóide, dado pela

equação (2) e que Bh seja o campo desconhecido, que neste caso, é a componente horizontal do campo magnético da Terra, podemos escrever que:

φ

tg α=Βs/Βh Usando a equação 2, temos que: tg α= (μοn /Bh) I (4)

47

Do gráfico da Figura 2 temos:

0.h

ntgCoef angularI B

μαΔ= =

Δ

O procedimento experimental para medir a componente horizontal do campo terrestre é o seguinte: 1) Coloque o solenóide numa posição perpendicular à direção da bússola. Observe a bússola dentro do solenóide. Dê toques leves no solenóide para agitar a bússola garantindo que esta se encontre numa orientação de equilíbrio. 2) Ligue uma fonte elétrica com um reostato em série na bobina e meça a corrente, conforme mostra a figura 1. Cuidado, nunca deixe a corrente ultrapassar 1,5A !! Regule a corrente para obter um desvio da bússola de α = ±10o, α = ±20o, α = ±30o, .... até α = ±60o.. 3) Determine o módulo da componente horizontal do campo da Terra a partir do gráfico αtan versus módulo da corrente I (figura 2). Note que o coeficiente angular da reta mostrada nesta figura é o mesmo da eq. 2. É importante incluir barras de erro nos pontos experimentais deste gráfico. Há duas formas de colocar barras de erro neste gráfico ou na abscissa ou na ordenada. Você pode optar por medir cada ângulo várias vezes e com o conjunto de valores de I construir uma barra de erro para o eixo das correntes ou medir cada ângulo só uma vez, estimar um erro do ângulo e calcular uma barra de erro dos αtan com propagação de erro. Para a determinação do erro do campo da Terra desenhe duas retas que passem pela origem, uma que se adapte melhor aos pontos experimentais e uma reta alternativa, que se adapte razoavelmente mas que tenha uma inclinação maior ou menor que a melhor reta. 4) Compare o seu resultado do módulo da componente horizontal do campo magnético com dados da literatura e com os resultados de outras equipes da sua turma. Se houver discrepância maior que o seu erro experimental comente sobre a possível origem desta discrepância. Avalie os erros das medidas e discuta se, frente aos erros da medida, é necessário usarmos a fórmula exata (3) ou seria suficiente usar a expressão válida para um solenóide infinito. Observe também o comportamento de uma bússola posta sobre o solenóide (ao lado da janela redonda). Para um solenóide infinito o campo gerado pelo solenóide seria zero nesta posição. A

Solenóide

Resistor

220Ω

I

tg α

tgαΔ

I Δ

Figura 1 Figura 2

48

Experiência 10: Lei de Indução

Em situações não-estacionárias e na presença de campos magnéticos aparece na lei das malhas, além das forças eletromotrizes químicas, um termo de indução magnética

Φ−=⋅−= ∫∫ dtdSdB

dtdV

malhaind

rr (1).

indV é a voltagem induzida que atua na lei das malhas como se fosse uma força eletromotriz. A

integral de superfície, , é calculada sobre uma superfície que tem a malha como beirada.

Em palavras podemos formular esta lei da seguinte forma: numa malha existe uma força eletromotriz que é o negativo da taxa de variação do fluxo magnético através da malha.

∫∫malha

Caso a maior parte da malha seja formada pelas espiras de uma bobina enrolada em torno de uma superfície S, esta integral pode ser aproximada pela integral do campo magnético sobre a superfície S multiplicada pelo número N de espiras da bobina:

∫∫∫∫ ⋅≈⋅=ΦSmalha

SdBNSdBrrrr

(2).

Neste caso a equação (1) toma a forma

SdBdtdNV

Sind

rr⋅−= ∫∫ (3).

Nesta aula vamos verificar esta lei. Esta tarefa é difícil porque não podemos manter uma taxa de variação de fluxo por muito tempo. Há três maneiras de resolver este problema: 1) medir

com muita rapidez (então não precisaria de um

indV

0≠⋅∫∫ SdBdtd

malha

rr por muito tempo), ou 2) usar

uma variação periódica do fluxo magnético que poderia ser observada com relativa facilidade ou 3) integrar a voltagem induzida no tempo. Aqui vamos utilizar o terceiro método. Dispomos de um circuito eletrônico que calcula a integral temporal de uma voltagem aplicada na entrada do circuito. Se a voltagem na entrada for a voltagem na saída será INV

( ) ( ) tdtVtVt

tINOUT ′′

τ= ∫

0

1 (4)

onde é uma constante caraterística do circuito. Se aplicarmos a operação τ tdt

t

′τ ∫ ⋅

0

1 na equação

(1) obtemos

( ) ( ) ( ) 01 tttVOUT Φ−Φ τ

−= (5)

49

Então, mesmo que a alteração do fluxo magnético tenha ocorrido apenas num intervalo de tempo muito curto, podemos verificar a lei de indução com medidas lentas. Pois agora basta ler a voltagem na saída do integrador depois da alteração de fluxo ter ocorrido.

A tarefa desta aula é verificar a equação (5) para as seguintes três situações:

1) A bobina de indução fica em volta de uma bobina que gera um campo conhecido e a variação de fluxo é causada desligando a corrente da bobina que gera o campo (figura 1).

2) A bobina de indução fica dentro de uma bobina que gera um campo conhecido e a variação de fluxo é causada desligando a corrente da bobina que gera o campo (figura 2).

3) A bobina de indução é virada por 180o dentro do campo magnético da Terra.

Para poder medir com o circuito integrador é preciso entender um pouco como este instrumento funciona. O integrador converte primeiramente a voltagem da entrada numa corrente através de um resistor R. Esta corrente é usada para carregar um capacitor C , cuja carga seria

e cuja voltagem Q/C é o sinal da saída do circuito. Desta forma temos

RVI IN /=

∫= IdtQ

∫= dtVRC

V INOUT1 (6)

e a constante do integrador τ vale RC. Quando ligamos o integrador a voltagem da saída terá geralmente algum valor sem significado. Este valor pode ser encarado como uma constante de integração. Podemos eliminar esta constante descarregando o capacitor pouco antes da medida. Para esta finalidade existe um botão no integrador que zera a voltagem de saída.

Todo tipo de circuito tem pequenos erros. No caso do integrador a voltagem de entrada é registrada com um pequeno erro . Desta forma o sinal da saída é de fato igual a ERROV

dtVRC

dtVRC

V ERROINOUT ∫∫ +=11 (7)

Mesmo que a voltagem de erro seja extremamente pequena (por exemplo ), com o passar do tempo a voltagem de saída vai acumular um erro considerável. Este acúmulo de erro pode ser notado se deixarmos o integrador ligado na bobina de indução sem nenhuma variação de fluxo magnético. Os valores da saída vão mudar lentamente. Esta deriva da saída perturba as medidas. O integrador possui um botão de ajuste que permite minimizar a voltagem de erro. Antes de medir é necessário fazer este ajuste até chegar numa deriva menor que 0,001 V/s. Na medida, zeramos o integrador antes da mudança de fluxo, logo depois provocamos a mudança de fluxo e imediatamente depois lemos a voltagem de saída. Se entre o instante de zerar o integrador e ler o resultado passam por exemplo 2 segundos teríamos um erro de medida de 0,002V se a deriva fosse 0,001V/s. Os resultados das medidas ficam na faixa de 0,5V e um erro de 0,001V/s seria tolerável. A voltagem de erro (chamado "offset" na linguagem dos especialistas de eletrônica) depende da temperatura. Se a temperatura do integrador mudar, fica praticamente impossível controlar a deriva. Por isso evite tocar na caixa do integrador com a mão.

Vμ1

50

Nas tarefas 1) e 2) ligue uma corrente de 1A na bobina comprida (a mesma bobina que foi utilizada na determinação do campo magnético da Terra). Depois zere o integrador, desligue a corrente para provocar a variação do fluxo e leia a voltagem de saída imediatamente depois. Compare o resultado com um cálculo teórico, considerando devidamente todos os erros de medida. Analise a equação 5, levando em conta separadamente dados de entrada e de saída.

Na tarefa 3) oriente uma bobina de grande área tal que a normal da superfície S aponte na direção de uma bússola. Depois zere o integrador, gire a bobina de 180o. Calcule com este resultado e com os dados geométricos da bobina o campo da Terra. Compare o resultado com o da medida da semana passada.

Na verdade o campo magnético da Terra não é horizontal. Na experiência da semana passada medimos apenas a componente horizontal. Agora pode-se medir também o campo completo começando com a bobina de indução inclinada, procurando uma inclinação que resulte num sinal máximo no integrador.

Dados do integrador: Ω±= k)04,000,4(R ( )nF39954 ±=C

Integrador V

A

Figura 2 Integrador

A

V

Figura 1

51