UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ...bdm.ufmt.br/bitstream/1/618/1/TCC_2014_José...

Furasté, P. A. (2008).Normas Técnicas Para o Trabalho Científico. (14ª ed.). Brasil

Gráfica e Editora. Porto Alegre.

JOSÉ WELLINGTON SANTOS DE VARGAS

POSICIONAMENTO OTIMIZADO DE ESTACAS EM FUNDAÇÕES DE RADIER

ESTAQUEADO

CUIABÁ

2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

FACULDADE DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TECNOLOGIA

COORDENAÇÃO DE ENSINO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

TRABALHO DE GRADUAÇÃO



ESTAQUEADO

Trabalho de Graduação submetido ao corpo

docente da Faculdade de Arquitetura,

Engenharia e Tecnologia da Universidade

Federal de Mato Grosso em 25 de fevereiro de

2014, como requisito para a obtenção do

bacharelado em Engenharia Civil.

Prof. D.Sc. Claudio Cruz Nunes

Orientador

CUIABÁ

2014

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ESTAQUEADO

Trabalho de Graduação submetido ao corpo docente da Faculdade de Arquitetura,

Engenharia e Tecnologia da Universidade Federal de Mato Grosso em 25 de fevereiro de

2014, como requisito para a obtenção do bacharelado em Engenharia Civil.

Banca examinadora:

______________________________________________

Prof. D.Sc Claudio Cruz Nunes – Orientador

_____________________________________________

Prof. D.Sc. João de Deus Guerreiro Santos

_____________________________________________

Prof. D.r Milton Soares Filho

Data de aprovação: 25 de fevereiro de 2014.

Aos meus pais, que me ensinaram no caminho direito.

Ao Criador, que me deu a vida.

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Valdir e Erica, e às minhas irmãs Itaibeli e Valérika, pela

compreensão e pelo incentivo. Amo muito vocês!

Aos colegas e amigos que fiz ao longo dessa jornada, em especial à turma que me

acolheu tão gentilmente.

Aos meus professores, pelo conhecimento que me transmitiram, principalmente ao

meu orientador, professor Claudio Cruz Nunes, pela atenciosa instrução.

Ao Senhor Deus, por ter me dado graça em todos os momentos.

RESUMO

O trabalho apresenta um método de posicionamento otimizado de estacas em

fundações de radier estaqueado com base nas distorções angulares, por meio de um algoritmo.

A interação solo-fundação é descrita pela Hipótese de Winkler e a fundação é calculada por

meio do programa SALT utilizando-se o método de placa sobre molas. Os coeficientes de

reação vertical do solo e das estacas são obtidos, respectivamente, por correlações e por

ensaio de carregamento estático. São realizados exemplos de verificação para os casos de

cargas concentradas e linhas de carga, incluindo um caso real de edifício em alvenaria

estrutural, nos quais comparam-se os resultados obtidos por meio da ferramenta desenvolvida

com aqueles apresentados em outros textos. O método mostrou-se eficiente, principalmente

nos casos de fundação submetida a cargas concentradas e com radier mais espesso.

Palavras-chave: Radier estaqueado, otimização, distorções angulares

ABSTRACT

This work presents a method of optimized pile positioning in piled raft foundations

based on angular distortions, using an algorithm. The soil-foundation interaction is described

by the Winkler’s Hypothesis and the foundation is analyzed with the software SALT, using

the method of plate on springs. The vertical reaction modules for the soil and the piles are

obtained, respectively, by correlations and static load test. Examples are conducted for the

cases of concentrated loads and line loads, including a real case of structural masonry

building, in which the results obtained by the developed tool are compared to those presented

in other papers. The method proved itself efficient, especially in the cases of foundation

submitted to concentrated loads and with thicker raft.

Key words: Piled raft, optimizing, angular distortions.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Esquema de funcionamento de: (a) estaca isolada; (b) bloco sobre estacas e (c)

radier estaqueado 14

Figura 2 – Curvas carga-recalque para radier (curva 0), abordagem convencional (curva 1),

“Creep piling” (curva 2) e controle de recalques (curva 3) 17

Figura 3 – Modelo de placa sobre molas 20

Figura 4 – Diferenças de comportamento da fundação considerando-se a Hipótese de Winkler

ou o meio contínuo para os casos extremos de rigidez 25

Figura 5 – Ensaio de prova de carga estática 28

Figura 6 – Valores limites ou admissíveis de distorção angular 30

Figura 7 – Curva carga-recalque de estaca 32

Figura 8 – Diagrama de processamento 34

Figura 9 – Radier estaqueado com cargas concentradas 36

Figura 10 – Arranjos de estacas segundo: (a) o autor e (b) Kim et al. (2001) 37

Figura 11 – Radier estaqueado com cargas distribuídas 38

Figura 12 – Arranjos de estacas segundo: (a) o autor e (b) Kim et al. (2001) 38

Figura 13 – Planta arquitetônica do pavimento-tipo do edifício de alvenaria estrutural 40

Figura 14 – Layout do carregamento no radier 40

Figura 15 – Arranjo de estacas a partir do radier sem estacas (a) até a 12ª iteração (m) 42

Figura 16 – Diferentes arranjos de estacas para comparação dos resultados: (a) distribuição

otimizada segundo Silva (2007), (b) distribuição otimizada neste trabalho e (c)

distribuição uniforme 43

Figura 17 – Deslocamentos do radier nas seções (a) A-A’ e (b) B-B’ 44


Figura 19 – Variação dos recalques totais da fundação com o número de estacas 47

Figura 20 – Variação das relações entre os recalques totais máximos e mínimos 48


Figura 22 – Variação do recalque diferencial máximo com o número de estacas 50

Figura 23 – Variação das relações entre recalques diferenciais máximos 51

Figura 24 – Variação das distorções angulares no radier 52

Figura 25 – Variação das relações entre distorções angulares 53

Figura 26 – Variação dos momentos fletores máximos em função do número de estacas 54

Figura 27 – Variação das relações entre os fletores máximos 54

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 11

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................... 13

2.1 FUNDAÇÕES EM RADIER ESTAQUEADO .............................................................. 13

2.1.1 Considerações sobre o emprego do radier estaqueado .............................................. 15

2.2 ABORDAGENS DE PROJETO ..................................................................................... 16

2.3 MÉTODOS DE ANÁLISE ............................................................................................. 18

2.3.1 Métodos simplificados ................................................................................................... 18

2.3.2 Métodos computacionais aproximados ........................................................................ 20

2.3.3 Métodos computacionais mais rigorosos ..................................................................... 21

2.4 POSICIONAMENTO DAS ESTACAS .......................................................................... 22

2.5 INTERAÇÃO SOLO-FUNDAÇÃO ............................................................................... 23

2.6 ENSAIOS CORRELATOS ............................................................................................. 26

2.6.1 Ensaio de carga sobre placa .......................................................................................... 26

2.6.2 Ensaio de prova de carga estática em estaca ............................................................... 27

2.7 RECALQUES TOTAIS, DIFERENCIAIS E DISTORÇÕES ANGULARES ............... 28

2.8 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ......................................................................... 30

3 MATERIAL E MÉTODO ............................................................................................ 32

3.1 ANÁLISE DA FUNDAÇÃO .......................................................................................... 32

3.2 PARÂMETRO-BASE PARA O PROBLEMA DE POSICIONAMENTO .................... 33

3.3 FERRAMENTA DE ORIENTAÇÃO DO POSICIONAMENTO ................................. 33

3.4 EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO .................................................................................. 35

3.4.1 Exemplo 1 – Radier com cargas concentradas ........................................................... 36

3.4.2 Exemplo 2 – Radier com cargas distribuídas .............................................................. 37

3.4.3 Exemplo 3 – Radier de um edifício de alvenaria estrutural ...................................... 39

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................. 44

4.1 EXEMPLO 1 – RADIER COM CARGAS CONCENTRADAS .................................... 44

4.2 EXEMPLO 2 – RADIER COM CARGAS DISTRIBUÍDAS ........................................ 45

4.3 EXEMPLO 3 – RADIER DE EDIFÍCIO DE ALVENARIA ESTRUTURAL .............. 47

4.3.1 Recalques totais ............................................................................................................. 47

4.3.2 Recalques diferenciais ................................................................................................... 50

4.3.3 Distorções angulares ...................................................................................................... 52

4.3.4 Momentos Fletores ........................................................................................................ 53

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES ................................................................................. 56

5.1 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 56

5.2 SUGESTÕES .................................................................................................................. 57

6 REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 58

11

1 INTRODUÇÃO

A utilização de estacas em radier com o objetivo de diminuir os recalques é a

abordagem que conduz a soluções mais econômicas para esse tipo de fundação. Na maioria

das vezes, entretanto, os projetistas alocam essas estacas por meio de uma distribuição

uniforme, isto é, um grupo retangular de elementos com espaçamento definido em função de

diversos critérios. Essa metodologia pode conduzir à subutilização das estacas, elevando

desnecessariamente os custos da fundação.

Por meio do posicionamento estratégico das estacas, baseado na própria resposta da

fundação ao carregamento imposto e possível graças à disponibilidade de recursos

computacionais, pode-se maximizar a eficiência na redução dos recalques e utilizar as estacas

de maneira mais racional, o que conduz à diminuição dos custos da obra.

Diante disso, propôs-se como tema da pesquisa, a otimização do posicionamento de

estacas em fundação do tipo radier estaqueado por meio de ferramenta computacional. Essa

otimização não envolve a aplicação de funcionais e rotinas de maximização ou minimização,

mas está referida à indicação de posições ótimas para as estacas, com base num parâmetro

específico, por meio de um processo semi-automático.

O objetivo geral do trabalho foi desenvolver matemática e computacionalmente o

processo de posicionamento estratégico de estacas em radier com vistas para a redução dos

recalques na fundação. Os estudos geotécnicos correlatos não foram objeto do trabalho, senão

pela consideração da ação do solo por uma propriedade elástica. Idem para o concreto

armado, constituinte do radier e das estacas, sendo que esses elementos foram representados,

respectivamente, por propriedades mecânicas elásticas e por coeficiente de mola obtido em

ensaio de prova de carga realizado por outro autor.

Como objetivos específicos, teve-se:

a) o estudo das fundações em radier estaqueado;

b) a obtenção de um parâmetro para guiar o processo de posicionamento das estacas;

c) a análise estrutural do radier por meio de software de cálculo;

d) o desenvolvimento e o aprimoramento de uma ferramenta computacional de orientação

ao posicionamento das estacas;

e) a análise dos resultados obtidos por meio da validação das hipóteses e

f) a comparação com outros trabalhos sobre o tema.

12

O problema que se buscava solucionar pode ser sumarizado pela seguinte questão: É

possível obter redução significativa nas distorções angulares de um radier estaqueado por

meio do posicionamento otimizado das estacas?

Foram propostas como hipóteses iniciais as seguintes:

a) Um radier com estacas posicionadas de forma otimizada tem uma redução da ordem de

50% nas distorções angulares se comparado a outro com uma distribuição uniforme das

estacas, considerando-se o mesmo número de estacas nos dois casos e

b) Um radier com um número menor de estacas, porém posicionadas de forma otimizada,

tem uma redução da ordem de 30% nas distorções angulares se comparado a outro com

uma distribuição uniforme de estacas.

O arcabouço teórico recorrido durante o desenvolvimento da pesquisa é apresentado

no capítulo 2, onde são estudados as fundações de radier estaqueado e suas particularidades,

as abordagens de projeto para esse tipo de fundação, os métodos de análise, o posicionamento

das estacas, os modelos de interação solo-fundação e os ensaios de campo usualmente

recorridos, além de breves discussões sobre os recalques das fundações e o Método de

Elementos Finitos.

Apresenta-se no capítulo 3 o método empregado no desenvolvimento do trabalho,

que inclui o desenvolvimento do algoritmo de orientação do posicionamento de estacas e

experimentos numéricos (exemplos) para comparação de resultados e verificação das

hipóteses.

Os resultados obtidos são mostrados e discutidos no capítulo 4, sendo que os mesmos

foram separados por exemplo. Já as conclusões e as sugestões do trabalho são apresentadas no

capítulo 5 e as referências bibliográficas no capítulo 6.

13

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 FUNDAÇÕES EM RADIER ESTAQUEADO

Constituem-se num tipo de fundação mista, composta por elementos dispostos na

horizontal (radier) e na vertical (estacas), em que a transferência de cargas ao solo se dá por

meio do contato do radier com o solo e pelo fuste e ponta das estacas (BACELAR, 2003).

O radier é uma laje de concreto armado, geralmente retangular ou circular, sendo um

tipo de fundação rasa empregada onde o solo apresenta baixa capacidade de carga, tal que

necessite de grande área de contato para a transmissão das cargas.

São diversos os tipos de radier que podem ser executados: lisos (lajes maciças),

nervurados, com pedestais ou cogumelos, em caixão etc. Podem ser ainda totais, abrangendo

toda a extensão da obra, ou parciais.

Geralmente este tipo de fundação é indicado para edificações com grande densidade

de pilares, de maneira que ocorre a sobreposição das sapatas isoladas ou necessita-se de uma

grande quantidade de escavações individuais, o que causa grandes dificuldade de obstrução do

canteiro de obras (TOMLINSON; BOORMAN, 1995).

Por meio da experiência dos projetistas, os autores que discorrem sobre o tema

recomendam que se considere a utilização do radier ao invés das sapatas quando a área destas

exceder 50% da área da construção (VELLOSO; LOPES, 2010; TOMLINSON; BOORMAN,

1995).

As estacas são elementos verticais de fundação profunda que podem ser de concreto

armado, aço ou madeira, executadas das mais diversas formas. Uma classificação interessante

relacionada à interação da estaca com o solo é a denominada clássica de Terzaghi e Peck

(1967 apud VELLOSO; LOPES, 2010), que agrupa as estacas em três tipos:

a) estacas de atrito em solos granulares muito permeáveis, que transferem a maior parte da

carga por atrito lateral; o processo de cravação destas estacas reduz a porosidade e a

compressibilidade do terreno adjacente, por isso são denominadas estacas de

compactação;

b) estacas de atrito em solos finos de baixa permeabilidade, que também transferem carga

por atrito lateral, porém não produzem compactação notável no solo, sendo

denominadas estacas flutuantes e

14

c) estacas de ponta que, por se apoiarem sobre horizontes rígidos de solo, transferem a

maior parte da carga pela sua extremidade inferior.

A associação das estacas ao radier justifica-se quando ocorrem recalques excessivos

neste. Dessa forma, os elementos de fundação profunda são adicionados com o objetivo de

controlar os recalques para que a fundação atenda aos valores limites de deformação para o

Estado Limite de Serviço (ELS).

Diferentemente das fundações em blocos sobre estacas, onde considera-se que o bloco

não contribui na transferência direta de cargas ao solo, o radier estaqueado leva em conta a

contribuição do elemento horizontal (veja-se Figura 1) conduzindo, evidentemente, à

elaboração de projetos mais econômicos. Segundo Randolph (1994 apud BACELAR, 2003), a

redução no número de estacas se comparada à fundação estaqueada convencional é da ordem

de 65-75%.

Figura 1 - Esquema de funcionamento de: (a) estaca isolada; (b) bloco sobre estacas e (c)

radier estaqueado

(a) (b) (c)

(Fonte: BEZERRA, 2003)

No que se refere à quantidade de estacas a serem utilizadas na fundação, o número delas

varia em função da porcentagem do carregamento total que será suportada pelas estacas (ou

pelo radier), que está intimamente relacionada à abordagem ou filosofia de projeto, conforme

será comentado no item 2.2.

15

Deve-se ressaltar a conveniência de não se apoiar as estacas em horizontes muito

rígidos de solo para que a fundação em radier estaqueado possa funcionar adequadamente,

caso contrário, exigir-se-á do radier uma rigidez muito grande (traduzida pelo aumento na sua

espessura), fazendo com que o sistema funcione como um bloco sobre estacas. Assim, é

recomendado que sejam utilizadas estacas de atrito lateral para radier estaqueado e estacas de

ponta para fundações de bloco sobre estacas.

2.1.1 Considerações sobre o emprego do radier estaqueado

Conforme elucidado no mecanismo de funcionamento deste tipo de fundação,

autores como Poulos (1991 apud CASTILLO, 2013) recomendam o emprego do radier

estaqueado em locais onde o radier possa receber uma porção representativa do carregamento

e as estacas possam trabalhar com o objetivo principal de melhorar o desempenho do mesmo

frente às deformações, como é o caso dos solos constituídos de argilas relativamente rijas ou

areias mais compactas.

Dessa maneira, o aumento da capacidade de carga da fundação não é a preocupação

primordial, fazendo com o que o uso de estacas seja limitado a um número estritamente

necessário para a redução dos recalques a níveis aceitáveis.

Ainda segundo o mesmo autor, alguns solos são desfavoráveis para a aplicação,

como:

a) perfis que contenham argilas moles próximas à superfície;

b) perfis que contenham areias fofas próximas à superfície;

c) camadas compressíveis a pouca profundidade;

d) solos sujeitos à expansão e

e) solos sujeitos a recalques por consolidação.

O objetivo é evitar que a consolidação ou a expansão do terreno influencie na

pressão de contato da fundação, modificando o seu comportamento.

Franke et al. (2000 apud CASTILLO, 2013) apresentam situações de projeto nas

quais o uso de radier estaqueado é vantajoso:

a) edifícios com relação altura/largura (H/B) maior que 4, indicando sensibilidade ao

deslocamento lateral;

16

b) elevadas pressões de contato no radier (em média 500 a 600 kPa) e deformação

excessiva;

c) superestrutura carregada excentricamente;

d) proximidade com estruturas adjacentes etc.

Algumas localidades, em função das suas características geotécnicas, tem sido palco

da aplicação extensiva das fundações em radier estaqueado, como é o caso da cidade de

Frankfurt, na Alemanha, onde altos edifícios foram construídos fazendo uso da técnica, a

respeito dos quais foram desenvolvidos estudos que contribuíram para o avanço da fronteira

científico-tecnológica na área, conforme descrito por Hemsley (2000).

2.2 ABORDAGENS DE PROJETO

Randolph (1994 apud POULOS, 2001) apresenta uma definição das abordagens de

projeto possíveis no caso de radier estaqueado:

a) abordagem convencional;

b) “Creep piling” e

c) controle de recalques.

Na abordagem convencional as estacas são projetadas para suportar a maior parte do

carregamento, enquanto o radier contribui com determinada parcela da carga total. Essa

metodologia leva a fundações com alto fator de segurança e comportamento

preponderantemente linear, sendo que o comportamento do sistema é ditado pelo

comportamento do grupo de estacas, que por sua vez trabalham em regime distante da sua

capacidade última.

Nessa abordagem, são utilizados métodos simplificados de cálculo que, em geral,

desconsideram os efeitos causados pela interação dos diversos elementos da fundação, além

de usualmente adotarem uma distribuição uniforme de estacas sob o radier (BEZERRA,

2003).

A abordagem denominada “Creep piling” é caracterizada pela utilização de um

menor número de estacas, sendo que estas trabalham muito próximas da sua capacidade

última (70-80%), quando apresentam-se deformações (creep na língua inglesa) significativas e

regiões de plastificação nas proximidades das estacas.

17

Diferentemente da abordagem anterior, nesta são incluídas estacas apenas em

número suficiente para que a pressão de contato sob o radier não exceda a pressão de pré-

consolidação do solo.

Já na abordagem de controle de recalques, as estacas são projetadas para trabalharem

na sua capacidade última, além de serem alocadas estrategicamente sob o radier com o intuito

de reduzir os recalques (diferenciais, preferencialmente, mas sem desconsiderar a

possibilidade da redução nos recalques totais, caso estes também sejam limitações de projeto).

Apesar de contribuírem de alguma maneira para o acréscimo da capacidade de carga da

fundação global, este não constitui-se no objetivo principal, já que o radier em si satisfaz os

critérios de Estado Limite Último (ELU).

Quando as estacas trabalham como redutoras de recalques é possível a ocorrência de

plastificações no solo mesmo para cargas de serviço. Entretanto, segundo Poulos (2001), o

sistema ainda apresenta adequada margem de segurança e satisfaz os critérios de projeto.

A Figura 2 apresenta, para efeito comparativo, as curvas carga-recalque para as

diferentes abordagens de projeto em fundações de radier estaqueado.

Figura 2 – Curvas carga-recalque para radier (curva 0), abordagem convencional (curva 1),

“Creep piling” (curva 2) e controle de recalques (curva 3)

(Fonte: adaptado de POULOS, 2001)

18

Fica evidenciado que as fundações projetadas pelo critério de controle (ou redução)

de recalques são as mais econômicas, uma vez que utilizam mais racionalmente os elementos

do sistema.

2.3 MÉTODOS DE ANÁLISE

O tema das fundações em radier estaqueado tem ganhado atenção nos últimos anos,

principalmente por ter sido alavancado pelo desenvolvimento das ferramentas numéricas

recentes. Com esse ganho de importância, diversos autores procuraram estudar e desenvolver

métodos para a análise dessas fundações.

Poulos et al. (1997 apud POULOS, 2001) apresentaram um apanhado dos métodos

de análise disponíveis, que podem ser divididos em três classes:

a) métodos de cálculo simplificado;

b) métodos computacionais aproximados e

c) métodos computacionais mais rigorosos.

O autor apresenta também um estudo comparativo desses métodos, apontando as

respostas possíveis de se obter por meio de cada um deles, bem como as suas limitações e

capacidades.

2.3.1 Métodos simplificados

São métodos que envolvem simplificações na modelagem do perfil de solo e nas

condições de carregamento do radier. Dois exemplos podem ser citados: o método Poulos-

Davis-Randolph (PDR) e a abordagem de Burland (POULOS, 2001).

O primeiro faz a consideração da capacidade de carga total da fundação como sendo

a soma das capacidades dos elementos individualmente e a determinação da rigidez do

sistema é feito levando-se em conta um fator de interação radier-estaca que depende da

geometria do sistema.

A rigidez do radier estaqueado, Kpr, é dada pela Equação 1 (POULOS, 2001 ):

prcp

cprp

prKK

KKK

/1

1

2

(1)

19

onde Kp e Kr são a rigidez do grupo de estacas e do radier, respectivamente, e αcp é um fator

de interação radier-estaca. As rijezas do grupo de estacas e do radier podem ser obtidas por

meio de teoria elástica.

Na abordagem de Burland, o radier é analisado isoladamente depois de computada a

contribuição das estacas, isto é, assume-se que as estacas, com capacidade total mobilizada,

carregam um excesso do carregamento correspondente à sua capacidade e o radier estaqueado

pode ser então analisado, para a determinação dos momentos fletores, como sendo um radier

simples submetido a um carregamento reduzido, Qr, conforme a Equação 2.

sur PQQ 9,0 (2)

Psu na Equação 2 corresponde à capacidade de carga das estacas e o fator 0,9 é um

fator de mobilização da estaca, sugerido por Burland (1995 apud POULOS, 2001) com o

objetivo de estimar conservadoramente a capacidade da estaca. Ressalta-se que este método é

válido para radier submetido a cargas concentradas e estacas posicionadas sob essas cargas,

além do fato de as estacas serem do tipo redutoras de recalque, funcionando por atrito lateral.

Poulos (2001) sugere que a estimativa dos recalques na fundação analisada segundo

a abordagem de Burland seja feita segundo a Equação 3.

pr

rrpr

K

KSS (3)

onde Spr é o recalque no radier estaqueado e Sr o recalque do radier sem estacas submetido ao

carregamento total (Q).

De acordo com Bezerra (2003), os métodos simplificados constituem-se ferramentas

úteis no estágio inicial do projeto, quando necessita-se de uma rápida caracterização do

desempenho e das dimensões da fundação. Alerta, entretanto, para o fato desses métodos

terem sido desenvolvidos para carregamentos isolados, isto é, apenas cargas verticais,

horizontais ou momentos, o que pode não vir ao caso num projeto mais complexo.

20

2.3.2 Métodos computacionais aproximados

São dois os métodos mais tradicionais incluídos aqui: o método de faixa sobre molas

e o método de placa sobre molas. Ambos os métodos baseiam-se na consideração da interação

solo-fundação por meio de molas de Winkler, conforme será abordado mais adiante.

O método de faixa sobre molas consiste na discretização do radier em faixas

apoiadas sobre molas. Este tipo de análise foi sugerida por Poulos (1991 apud BEZERRA,

2003) e apresentou resultados condizentes com aqueles obtidos por métodos mais elaborados.

Por outro lado, o modelo de faixa sobre molas pode oferecer resultados equivocados se

analisado considerando-se a não linearidade do solo em dois planos diferentes.

O método de placa sobre molas consiste numa forma muito versátil de análise dessas

fundações onde o radier é tratado como uma placa elástica (em função das suas dimensões)

apoiada sobre molas que representam um meio idealizado como elástico contínuo e isotrópico

(solo) e as estacas modeladas como molas interativas. A Figura 3 apresenta um esquema do

modelo.

Figura 3 – Modelo de placa sobre molas

(Fonte: NODA, 2006)

A placa elástica pode ser analisada por qualquer método numérico, sendo que o mais

comum é o Método dos Elementos Finitos (MEF). Geralmente são utilizados elementos

finitos bidimensionais para a modelagem da placa.

21

A análise de placa pode ou não levar em consideração os efeitos da força cortante. A

teoria proposta por Kirchhoff não leva em consideração as distorções na seção e é mais

adequada às placas finas. Já a teoria de Reissner e Mindlin leva em conta esses efeitos e é

recomendada para o caso de placas espessas ou semi-espessas (SORIANO, 2003).

Em geral, para os casos tradicionais de radier, não ocorrem diferenças significativas

entre os resultados das diferentes teorias de placa. Entretanto, Poulos (2001) chama a atenção

para o fato de a modelagem por placa delgada fornecer valores mais altos de tensão no solo, o

que pode ser problemático se a plastificação do mesmo devido à aplicação de cargas

concentradas for significativa.

A obtenção dos coeficientes de mola do solo e das estacas pode ser feita por meio de

ensaios de prova de carga em placa e estaca, que serão discutidos no item 2.6. A

representação do solo por meio de molas será comentada no item 2.5.

2.3.3 Métodos computacionais mais rigorosos

Esses métodos constituem-se em análise mais complexas do problema de fundação,

que envolvem a modelagem de um espaço semi-infinito de solo por métodos como o MEF.

Essa modelagem pode ser feita em duas ou três dimensões, dependendo das características de

simetria do problema.

A análise em duas dimensões consiste na representação do sistema como uma faixa

equivalente, cujas propriedades geométricas, de resistência e de deformação representem o

caso real.

Prakoso e Kulhawy (2001) apresentam uma análise detalhada das influências das

diversas propriedades geométricas envolvidas num problema com fundações em radier

estaqueado utilizando a modelagem no plano (estado plano de deformação). Os autores

defendem que a abordagem apresenta resultados satisfatórios, além de possibilitar a

modelagem de grandes sistemas sem demandar muita complexidade e tempo de

processamento.

Poulos (2001), por meio de análise comparativa com outros métodos, demonstrou

que e o modelo de estado plano levou a previsões significativamente mais altas para os

recalques e sugeriu extrema cautela nesse tipo de abordagem.

22

Outro método incluído nesta classificação é a análise numérica tridimensional, que

possibilita análises muito mais complexas do problema. Em princípio, este é o método mais

completo, pois dispensa todas as simplificações e aproximações necessárias para os métodos

descritos anteriormente e, portanto, conduz a resultados os mais próximos possíveis da

realidade.

Tanto o método bidimensional, quanto o tridimensional são realizados por programas

profissionais específicos. Esses programas são onerosos para o usuário e por isso esse tipo de

análise é efetuada em projetos mais complexos e inovadores.

2.4 POSICIONAMENTO DAS ESTACAS

Quando a abordagem de projeto preconiza o uso de estacas como redutoras de

recalque, o problema do posicionamento das mesmas sob o radier ganha uma importância

significativa.

Em geral, os projetos são desenvolvidos sem que esse problema seja analisado mais

profundamente. Dessa forma, as estacas são alocadas na fundação seguindo-se um arranjo

retangular com espaçamento uniforme entre elas, ou, em casos mais específicos, posicionadas

na região central ou nas bordas do radier.

Kim et al. (2001), no entanto, sugerem que essas metodologias baseiam-se em

julgamentos empíricos ou levam em conta no máximo a distribuição das pressões de contato

sob o radier, quando, na verdade, outros fatores devem ser analisados simultaneamente, como

as propriedades mecânicas e a geometria da fundação, condições de carregamento e a rigidez

relativa solo-fundação.

Os referidos autores apresentaram uma ferramenta computacional para o

posicionamento otimizado de estacas. Essa ferramenta se baseia numa função objetivo que

minimiza os recalques diferenciais por um processo iterativo de análise da fundação e arranjo

de estacas. Alguns exemplos numéricos foram apresentados e demonstraram a eficácia do

processo de otimização, sendo que foi possível chegar a reduções nos recalques diferenciais

da ordem de 94% e nos momentos fletores de 60% em comparação com valores obtidos para

distribuição uniforme de estacas.

23

Já Silva (2007), ao estudar uma fundação de radier estaqueado para um edifício em

alvenaria estrutural, efetuou um posicionamento de estacas manualmente, seguindo as

sugestões presentes na literatura no processo. Esse exemplo foi estudado e comparado com os

resultados obtidos nesta pesquisa.

2.5 INTERAÇÃO SOLO-FUNDAÇÃO

De acordo com Velloso e Lopes (2010), a análise da interação solo-fundação objetiva

fornecer os deslocamentos reais da fundação e pode ser feita de maneira direta, como

procedem os métodos descritos em 2.3 ou indiretamente por meio das pressões de contato.

Opcionalmente a estrutura como um todo pode ser incluída na análise, o que é

desejável já que ela pode contribuir significativamente na rigidez da fundação e,

simultaneamente, ter seu comportamento dependente da mesma.

Velloso e Lopes enumeram os fatores que afetam as pressões de contato na fundação:

a) características das cargas aplicadas, que constituem-se o fator de maior significância,

visto que a distribuição de pressões tem resultante de igual intensidade e oposta a elas;

b) rigidez relativa fundação-solo, significa dizer que quanto mais flexível for a fundação,

mais as pressões de contato espelharão o carregamento, ao passo que o enrijecimento do

sistema leva a uma distribuição uniforme de pressões;

c) propriedades do solo, que governam as pressões máximas nas bordas dos elementos de

fundação e

d) intensidade das cargas, isto é, à medida que as cargas crescem em magnitude as

pressões na região central aumentam.

Dentre os modelos disponíveis para a representação do solo nas análises solo-

fundação, os principais são a Hipótese de Winkler e o meio contínuo.

Na Hipótese de Winkler, as pressões de contato (q) são proporcionais aos recalques

(w) e o solo pode ser representado por meio de molas , conforme a Equação 4.

wkq v (4)

24

O coeficiente kv é denominado coeficiente de mola do solo, ou ainda coeficiente de

reação vertical, coeficiente de recalque ou módulo de reação, e o modelo de molas é também

conhecido por modelo do fluido denso, por assemelhar-se em comportamento, a uma

membrana assente sobre fluido denso (VELLOSO; LOPES, 2010).

Para se obter o valor do coeficiente de mola do solo pode-se recorrer a ensaio de

placa, tabelas ou correlações e cálculo do recalque da fundação real.

Por meio do ensaio de placa, pode-se obter o valor do coeficiente de mola utilizando-

se a Equação 4, que fornece um valor secante. A Equação 5 fornece um valor de kv,B corrigido

em função da geometria da fundação:

Bs

bsbvBv

I

I

B

bkk

,

,

,, (5)

onde b e B são, respectivamente, os menores lados da placa e da fundação e Is,b e Is,B são

fatores de forma.

Dentre as correlações, pode-se citar a que Vesić (1961 apud KIM et al., 2001)

sugere, (Equação 6):

)1(

2

B

Gkv (6)

onde G é o módulo de elasticidade transversal do solo; ou, segundo Velloso e Lopes (2010), a

Equação 7:

s

vIB

Ek

1

)1( 2 (7)

sendo E o módulo de elasticidade do solo e Is um fator de forma da fundação, análogo a Is,B. É

possível ainda obter valores de kv por correlações que relacionam o Nspt do solo.

25

Na análise pelo modelo de meio contínuo o maciço de solo sob a fundação é

considerado por meio das suas propriedades de deformação, podendo ser elástico ou

elastoplástico. Como existem apenas algumas soluções para vigas e placas sobre meio

contínuo, geralmente faz-se uso de métodos numéricos (conforme 2.3.3) para a obtenção das

soluções.

Conforme demonstrou Poulos (2001), tanto os métodos de meio contínuo como os

métodos de molas fornecem valores condizentes de recalques e solicitações na fundação.

Velloso e Lopes (2010) comentam que as diferenças nos resultados passam a ser

notáveis nos casos extremos de rigidez nula ou infinita. Quando a fundação é muito flexível

as diferenças aparecem nos recalques, e quando a fundação é muito rígida, aparecem nas

pressões de contato, conforme mostra a Figura 4.

Figura 4 – Diferenças de comportamento da fundação considerando-se a Hipótese de Winkler

ou o meio contínuo para os casos extremos de rigidez

(Fonte: VELLOSO; LOPES, 2010)

26

Vale ressaltar que, nas análises do meio contínuo, é possível de ser modelada até

mesmo a interação do fuste da estaca com o solo, por meio de elementos de interface,

podendo-se observar fenômenos bastante complexos como o desenvolvimento de fricção

significativamente maior ao longo do fuste das estacas dispostas em grupo se comparadas

com as estacas isoladas (KATZENBACH et al., 1998 apud POULOS, 2001).

2.6 ENSAIOS CORRELATOS

Os ensaios de placa e de estaca podem ser utilizados na determinação dos

coeficientes de reação vertical do radier e das estacas da fundação, por meio da Equação 4.

No caso de placa, deve-se fazer uma correção que é necessária em função das

características geométricas da fundação real. Quanto ao valor do coeficiente de mola da

estaca, este pode não expressar fielmente o comportamento da mesma, visto que as estacas de

redução de recalque trabalham na sua capacidade última, e podem estar sofrendo

plastificações mesmo para as cargas de serviço.

Outro ponto importante é que o comportamento de uma estaca isolada é diferente do

comportamento de uma estaca contida em um grupo, isto é, os valores de k obtidos no

primeiro caso são mais conservadores.

2.6.1 Ensaio de carga sobre placa

Segundo Velloso e Lopes (2010), o ensaio de placa pode ser classificado quanto: a) à

posição de aplicação (superfície, cava ou furo); b) ao tipo de placa (convencional ou screw-

plate) e c) ao modo de carregamento (carga controlada ou deformação controlada ).

Os autores ainda descrevem que a interpretação do ensaio dependerá do que se deseja

obter, podendo ser parâmetros de deformação (E, ν etc.), parâmetros de resistência,

coeficiente de reação vertical (kv) ou previsão do recalque de uma fundação por extrapolação

direta.

A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) (1984) regulamenta o ensaio

de prova de carga direta, ou ensaio de placa. Dentre as recomendações, citam-se as mais

importantes:

27

a) a placa deve ser rígida, com área não inferior à 0,5 m² e ter relação geométrica igual à

da fundação real;

b) deve-se aplicar o carregamento em incrementos de, no máximo, 20% da taxa admissível

suposta para o solo e os recalques devem ser medidos em intervalos de tempo dobrados

(1, 2, 4, 8, 15 min ...) até que se estabilizem;

c) o ensaio deve ser conduzido até que se observe, no mínimo, um recalque total de 25 mm

ou o dobro da taxa admissível do solo;

d) não podem haver trepidações e outras interferências durante o ensaio;

e) o solo da cava deverá ser mantido nivelado e não deverá ser amolgado;

f) manter a carga máxima do ensaio durante 12 h, pelo menos, e o descarregamento deve

ser incremental, com reduções não superiores a 1/4 da carga total e leitura dos

recalques.

O mecanismo de aplicação da carga sobre a placa é geralmente constituído de um

atuador hidráulico que utiliza como carga de reação um peso (e. g. uma plataforma carregada

de algum material) ou um sistema de tirantes ancorados no terreno.

2.6.2 Ensaio de prova de carga estática em estaca

O ensaio de prova de carga em estaca é efetuado quando se deseja verificar se o

elemento já instalado apresenta a resistência prevista ou quando objetiva-se definir uma carga

de serviço e não se dispõe de uma previsão de comportamento. No primeiro caso as provas de

carga são feitas a posteriori e, no segundo, anteriormente à execução das fundações por meio

de estacas-teste ou piloto (VELLOSO; LOPES, 2010).

A norma brasileira em vigor, NBR 6122:2010, estabelece a obrigatoriedade de serem

realizadas provas de carga estáticas sempre que o número de estacas utilizadas ou a tensão

admissível empregada excederem um valor limite, sendo este dado em função do tipo de

estaca (ABNT, 2010, p. 30).

28

Para realizar-se o ensaio de compressão em estaca (há o de tração, mas não será

discutido), analogamente ao ensaio de placa, aplica-se o carregamento por meio de um

atuador hidráulico cuja carga de reação pode ser construída de peso, vigas apoiadas em outras

estacas ou um sistema de ancoragem no próprio terreno. Deve-se tomar o cuidado de executar

a ancoragem de maneira que esta não interfira no comportamento da estaca. A Figura 5

apresenta um ensaio de prova de carga em execução.

Figura 5 – Ensaio de prova de carga estática

(Fonte: MORETTI ENGENHARIA CONSULTIVA, 2013)

Assim como no ensaio de carga sobre placa, o ensaio de estaca possibilita a obtenção

de uma curva carga-recalque. Essa curva pode ser utilizada para a determinação do

coeficiente de mola da estaca, por meio de uma reta secante, desde que seja garantido que a

estaca trabalhe no nível de carga correspondente.

A norma brasileira que regulamenta as provas de carga estáticas é a NBR

12131:2006.

2.7 RECALQUES TOTAIS, DIFERENCIAIS E DISTORÇÕES ANGULARES

O fator de segurança da fundação à ruptura não é o único problema a ser contornado

pelos engenheiros, mas existe outra grande preocupação que está relacionada aos recalques da

estrutura, uma vez que os mesmos determinam as condições de funcionamento da mesma,

além de influenciarem outros aspectos como o estético, por exemplo.

29

Os recalques podem ser distinguidos em dois tipos, a saber, recalques totais ou

absolutos e recalques diferenciais. O recalque total pode ser entendido como o deslocamento

vertical de um elemento de fundação. O recalque diferencial é a diferença de recalques entre

dois pontos do elemento de fundação. Como um elemento de fundação pode ser flexível (é o

caso do radier), as definições também valem para pontos internos a esse elemento.

Há ainda o recalque diferencial específico (δ), ou distorção angular, que consiste no

recalque diferencial entre dois pontos ponderado pela distância entre eles, conforme Equação

8:

2,1

21

r

ddtg

(8)

onde θ é o ângulo em relação à horizontal da reta que une os pontos 1 e 2, d1 e d2 são os

recalques absolutos dos pontos e r1,2 é a distância no plano entre os pontos. A distância entre

os pontos após o recalque não é a mesma que no plano, mas o erro cometido na interpretação

é pequeno e pode ser desprezado.

Apesar de os recalques absolutos em si não serem problemáticos para a estrutura (e.

g. se uma fundação descende por igual alguns centímetros) eles podem ocasionar problemas

de funcionamento como ruptura de tubulações, ressaltos de terra na periferia da construção

etc. Já os recalques diferenciais impõem distorções na estrutura que acarretam solicitações

adicionais e podem levar ao aparecimento de fissuras e trincas, comprometendo o sistema. Por

isso, necessita-se estabelecer recalques admissíveis para que a estrutura permaneça cumprindo

satisfatoriamente a finalidade do seu uso (ALONSO, 1991).

A Figura 6 apresenta valores de distorções angulares limites para alguns usos ou

características de edificações.

30

Figura 6 – Valores limites ou admissíveis de distorção angular

(Fonte: adaptado de ALONSO, 1991)

2.8 MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Soriano (2003) define o Método de Elementos Finitos (MEF) como uma eficiente

ferramenta numérica de resolução de problemas de meio contínuo, baseada na divisão deste

em um número discreto de subdomínios ligados entre si por pontos (ou nós) em seu contorno

de forma que o conjunto desses subdomínios apresente comportamento semelhante ao do

meio contínuo original.

Esse método tem sido largamente utilizado na solução de problemas de engenharia,

principalmente pela disponibilidade de microprocessadores de alto desempenho a baixo custo.

A utilização do MEF na solução de problemas de fundações em radier estaqueado

pode ser feita quando considera-se a interação solo-estrutura pela Hipótese de Winkler ou

pelo modelo de meio contínuo. No primeiro caso, analisar-se-á a placa (radier) apoiada sobre

molas. No segundo caso, o sistema é analisado como um todo (solo, estacas e radier), sendo

necessária a modelagem da interface dos elementos que compõem a fundação.

De acordo com Soriano (2003), os pioneiros na utilização do MEF para a solução de

problemas de interação solo-fundação foram Cheung e Zienkiewicz, em 1965.

31

Segundo Velloso e Lopes (2010), se comparado ao Método das Diferenças Finitas, o

MEF oferece mais possibilidades de se acompanhar geometrias mais complexas na

modelagem do radier e também a variação do solo num plano horizontal.

Os tipos de elementos finitos existentes são os elementos bidimensionais e os

elementos tridimensionais. A proximidade entre a solução exata e a solução por MEF é tanto

maior quanto maior for a quantidade de elementos utilizados na discretização do modelo, ou

quanto mais robusto e eficiente for o elemento utilizado. Há também melhoria nos resultados

utilizando-se elementos finitos de ordem superior como os quadráticos.

32

3 MATERIAL E MÉTODO

3.1 ANÁLISE DA FUNDAÇÃO

O modelo de interação solo-fundação adotado para o desenvolvimento do trabalho é

a Hipótese de Winkler, em função da sua versatilidade e facilidade de implementação. O

método de análise escolhido foi o de placa sobre molas principalmente pela sua

disponibilidade nos programas de cálculo estrutural comumente utilizados.

A obtenção dos coeficientes de mola do solo deu-se tanto por meio da utilização da

correlação proposta por Vesić (1963 apud KIM et al., 2001), dada pela Equação 6, como por

correlação com o NSPT do solo, conforme Silva (2007). A opção por uma ou outra deu-se em

função de que este trabalho reproduziu os exemplos dos autores supracitados, sendo então

necessária a adoção dos mesmos coeficientes.

Dimensionalmente, as correlações de kv tem unidade kN/(m.m²), que equivale a uma

mola por unidade de área. Essa unidade de área é correspondente à região de influência de um

nó do modelo discreto de placa.

Para chegar-se ao coeficiente de mola da estaca, recorreu-se a um ensaio de prova de

carga realizado por Mendes, Barbosa e Conciani (2005 apud NUNES; SILVA, 2007), cuja

curva carga-recalque é mostrada na figura 7.

Figura 7 – Curva carga-recalque de estaca

(Fonte: MENDES; BARBOSA; CONCIANI, 2005 apud NUNES; SILVA, 2007)

33

Já para o cálculo da placa, recorreu-se à resolução via MEF por meio do programa

profissional de cálculo SALT, desenvolvido na Universidade Federal do Rio de Janeiro

(UFRJ). O elemento de placa utilizado no programa foi o isoparamétrico misto, recomendado

para a análise de placas finas e semi-espessas.

3.2 PARÂMETRO-BASE PARA O PROBLEMA DE POSICIONAMENTO

O parâmetro escolhido para comandar o processo de posicionamento é a distorção

angular, na forma de somatório de distorções nos nós do radier.

A razão da escolha pelo somatório de distorções ao invés do valor máximo de

distorção é justificada pelo fato de que uma estaca, ao ser posicionada, influencia uma região

de recalques e não um recalque em particular, exceto para um caso hipotético de rigidez nula

do radier. Dessa forma, o somatório de distorções angulares (Equação 9), avalia o poder de

influência da estaca em um ponto, isto é, quanto maior a distorção acumulada em um nó i da

placa (Δi) , mais influência tem uma estaca sobre as distorções da placa se posicionada no

referido ponto.

m

jjii

1, (9)

onde δi,j é a distorção entre os pontos i e j, e m é o número total de nós da placa

discretizada. Cabe ressaltar que os valores não são absolutos, pois a distorção acompanhada

do sinal indica a posição relativa dos pontos na estrutura.

3.3 FERRAMENTA DE ORIENTAÇÃO DO POSICIONAMENTO

Utilizando-se o parâmetro acima descrito, elaborou-se uma ferramenta

computacional, utilizando a linguagem Fortan e o compilador gratuito Force 2.0, capaz de

calcular o somatório de distorções angulares nos nós da placa, ordenar esses valores de

maneira decrescente e apresentar ao usuário um vetor de nós que devem receber estacas.

34

Para a entrada de dados do programa são necessários o número de nós da placa, as

coordenadas no plano dos nós, os deslocamentos verticais dos mesmos após as análises, os

nós que possuem estaca posicionada e a distância mínima entre estacas.

As coordenadas e os deslocamentos são utilizados no cálculo das distorções

angulares, por meio da Equação 8, e o número de nós orienta o dimensionamento das matrizes

e vetores que o programa processa.

Na primeira análise, o radier é calculado sem estacas, mas à medida que as mesmas

vão sendo adicionadas, o algoritmo as considera. Dessa forma, o usuário deve informar o

número de estacas que já foram posicionadas, bem como os nós nos quais elas estão situadas,

juntamente com a distância mínima entre os seus baricentros, que servirá para eliminar os nós

que estiverem muito próximos das estacas já posicionadas.

A Figura 8 apresenta um diagrama do processamento dos dados para o

posicionamento das estacas por meio da ferramenta desenvolvida.

Figura 8 – Diagrama de processamento

(Fonte: o autor)

35

Apesar de poderem ser posicionadas mais de uma estaca de cada vez, é preciso que o

usuário faça as iterações manualmente, isto é, calcular a fundação e posicionar algumas

estacas, até que as deformações da fundação atinjam os valores preestabelecidos pelo

projetista. Isto é necessário porque os deslocamentos da fundação apresentarão mudanças à

medida que estacas vão sendo posicionadas, e neste trabalho não se dispõe de um processo

completamente automatizado, que seria recomendável.

Outro aspecto importante a ser observado que pode reduzir a quantidade de iterações

a serem efetuadas pelo usuário é a simetria do problema, assim o usuário deve tomar partido

da simetria sempre que possível.

3.4 EXEMPLOS DE VERIFICAÇÃO

Com o intuito de verificar a eficiência do método empregado, bem como submeter à

prova as hipóteses elaboradas no início deste trabalho, foram desenvolvidos três exemplos

numéricos de radier estaqueado, nos quais o posicionamento de estacas foi feito por meio do

algoritmo construído.

Os exemplos 1 e 2 reproduzem as análises efetuadas por Kim at al. (2001), onde foram

feitas otimizações no arranjo das estacas para os casos de carregamentos compostos por

cargas concentradas e cargas distribuídas, respectivamente. Vale ressaltar que esses exemplos

não puderam ser plenamente fiéis à referência, já que não se dispunha de todas as informações

necessárias para isso. Por exemplo, naquele trabalho as estacas não foram representadas por

uma mola, mas sim por uma matriz de rigidez, o que não poderia ser implementado neste

trabalho em função do método de análise adotado.

O exemplo 3 reproduz a análise de um radier estaqueado de um edifício em alvenaria

estrutural, desenvolvida por Silva (2007), onde o posicionamento das estacas foi feito

manualmente, em um processo bastante dispendioso.

Os resultados obtidos foram analisados por meio de planilha eletrônica, permitindo a

comparação dos resultados das análises em termos de recalques totais (máximos, mínimos e

médios), recalques diferenciais, distorções angulares e momentos fletores.

36

3.4.1 Exemplo 1 – Radier com cargas concentradas

Este exemplo consiste num radier estaqueado de dimensões 20m x 20m x 1m,

submetido a cargas concentradas, conforme a Figura 9. Os elementos que constituem a malha

da placa tem dimensões de 1m x 1m.

Utilizou-se no exemplo um solo com módulo de elasticidade (Es) igual a 700 MPa,

coeficiente de Poisson (νs) igual a 0,5 (sic), concreto armado do radier com módulo elástico

igual a 35 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,16. As estacas utilizadas são do tipo

apresentado por Mendes, Barbosa e Conciani (2005), apud Nunes e Silva (2007). Essas

estacas possuem 23 m de comprimento de 35 cm de diâmetro, concreto fck = 25 MPa e taxa de

armação ρ = 0,64%. As estacas utilizadas no trabalho de referência possuíam 20 m de

comprimento e 60 cm de diâmetro, todavia, conforme já mencionado, não foi possível

reproduzi-las, tomando-se assim outra fonte para a obtenção de coeficiente de mola.

Figura 9 – Radier estaqueado com cargas concentradas

(Fonte: adaptado de KIM et al., 2001)

37

O valor de kv para a estaca utilizada no exemplo foi de 2,75 x 105 kN/m, que

corresponde a uma valor secante do gráfico força versus deslocamento apresentado na Figura

7. Já as molas representativas do solo foram calculadas utilizando-se a Equação 6, sendo que

os valores obtidos foram:

a) molas de centro do radier: kv = 4,667 x 104 kN/m;

b) molas de borda do radier: kv = 2,333 x 104 kN/m e

c) molas de canto do radier: kv = 1,167 x 104 kN/m.

A Figura 10 apresenta a comparação do arranjo otimizado de estacas por meio das

ferramentas desenvolvidas neste trabalho e por Kim et al. (2001).

Figura 10 – Arranjos de estacas segundo: (a) o autor e (b) Kim et al. (2001)

(a) (b)

(Fonte: o autor e KIM et al., 2001)

3.4.2 Exemplo 2 – Radier com cargas distribuídas

Este exemplo consiste no mesmo radier utilizado no exemplo 1, para os mesmos

tipos de solo e estaca, entretanto, com um carregamento composto por cargas distribuídas em

forma de linha, na região central da fundação, conforme mostra a Figura 11. Note-se as seções

A-A’ e B-B’ que servirão de referência para a análise dos resultados.

38

Figura 11 – Radier estaqueado com cargas distribuídas

(Fonte: adaptado de KIM et al., 2001)

A Figura 12 apresenta a comparação do arranjo otimizado de estacas por meio das

ferramentas desenvolvidas neste trabalho e por Kim et al. (2001).

Figura 12 – Arranjos de estacas segundo: (a) o autor e (b) Kim et al. (2001)

(a) (b)

(Fonte: o autor e KIM et al., 2001)

39

3.4.3 Exemplo 3 – Radier de um edifício de alvenaria estrutural

Com o objetivo de comparar resultados bem como avaliar a implementação da

ferramenta em uma situação real de projeto, fez-se aqui uma reprodução do problema

estudado por Silva (2007), também apresentado por Nunes e Silva (2007). Esses autores

realizaram um estudo da influência da espessura do radier nos recalques, distorções,

puncionamento do radier e na distribuição dos esforços nas estacas.

O exemplo consiste na fundação de um edifício de 10 andares (térreo + 9

pavimentos) em alvenaria estrutural, cujo cômputo total de cargas é o seguinte:

a) Carga permanente = 18.390 kN

b) Sobrecarga = 4.850 kN

c) Carga do reservatório = 200 kN.

Os coeficientes de segurança utilizados foram os seguintes:

a) Estado Limite Último (ELU): γg = 1,4, γq = 1,4 e γres = 1,2 e

b) Estado Limite de Serviço (ELS): γg = 1,0, γq = 0,4 e γres = 0,3.

Os recalques e distorções angulares foram obtidos por meio de combinação de ELS,

já os momentos fletores foram obtidos por meio de combinação de ELU.

O radier utilizado tem dimensões de 22m x 16m, com 50 cm de espessura, sendo que

os elementos do modelo discretizado de placa tem dimensões de 1m x 1m. A distância

mínima entre as estacas adotada foi de 1m.

Apesar de não ter sido o enfoque direto do trabalho de Nunes e Silva (2007), os

autores realizaram uma otimização manual no posicionamento das estacas com o objetivo de

reduzir os seus recalques diferenciais. Para tanto, utilizaram 22 estacas, sendo que o processo

de otimização foi conduzido para um modelo no qual o radier possuía 50 cm de espessura.

Nesse processo não foram utilizados os coeficientes de segurança propostos, sendo que os

mesmos só foram aplicados por ocasião da obtenção dos resultados do trabalho (SILVA,

2007).

A Figura 13 apresenta a planta arquitetônica do pavimento-tipo do edifício.

40

Figura 13 – Planta arquitetônica do pavimento-tipo do edifício de alvenaria estrutural

(Fonte: SILVA, 2007)

O carregamento sobre o radier proveniente da ação do edifício foi determinado

utilizando-se o artifício das áreas de influência das paredes. A Figura 14 apresenta o layout do

carregamento na fundação.

Figura 14 – Layout do carregamento no radier

(Fonte: SILVA, 2007)

41

Para o posicionamento das 22 estacas por meio da utilização da ferramenta

desenvolvida foram necessárias 12 iterações. Fez-se também uma análise utilizando-se 22

estacas distribuídas uniformemente no radier com o objetivo de verificar as hipóteses iniciais

da pesquisa. A Figura 15 apresenta o arranjo de estacas após cada análise, partindo-se do

radier sem estacas.

O coeficiente de mola do solo foi obtido por meio de correlação com o NSPT do solo,

já os coeficientes de mola das estacas também foram obtidos por meio do ensaio realizado por

Mendes, Barbosa e Conciani (2005), sendo que para o ELS foi adotada a mola de 2,75 x 105

kN/m e para o ELU a mola de 2,6 x 105 kN/m, cuja secante é compatível com o nível de carga

aplicada para cada caso no diagrama carga versus recalque do ensaio da estaca.

42

Figura 15 – Arranjo de estacas a partir do radier sem estacas (a) até a 12ª iteração (m)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k) (l)

(m)

(Fonte: o autor)

43

A Figura 16 apresenta a comparação entre o arranjo manual de Silva (2006), o

arranjo semi-automático efetuado neste trabalho e o arranjo uniforme de estacas, para o total

de 22 estacas posicionadas sob o radier. Note-se as seções A-A’ e B-B’, que servirão de

referência para a análise dos resultados (Figura 16 c).

Figura 16 – Diferentes arranjos de estacas para comparação dos resultados: (a) distribuição

otimizada segundo Silva (2007), (b) distribuição otimizada neste trabalho e (c) distribuição

uniforme

(a) (b)

(c)

(Fonte: o autor e SILVA, 2007)

44

4 RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1 EXEMPLO 1 – RADIER COM CARGAS CONCENTRADAS

Para este exemplo, foram escolhidos como referência, além da distribuição uniforme

de estacas, arranjos otimizados com 13, 25 e 30 estacas, com o objetivo de verificar a

influência do número delas nos recalques e distorções. Vale ressaltar que Kim et al. (2001)

utilizaram um total de 25 estacas na sua otimização. A Figura 17 apresenta os deslocamentos

do radier, para os arranjos citados, nas seções A-A’ e B-B’ (veja-se a figura 9).

Figura 17 – Deslocamentos do radier nas seções (a) A-A’ e (b) B-B’

(a)

(b)

(Fonte: o autor)

45

Conforme observado na Figura 10, as estacas foram posicionadas nas regiões onde

existem cargas aplicadas, assim como no arranjo do texto de referência. A distribuição

uniforme de estacas, entretanto, não diminuiu os recalques diferenciais do radier, reduzindo,

entretanto, os recalques totais em comparação com o radier sem estacas.

Avaliou-se ainda que 13 estacas (pouco mais que a metade de 25) posicionadas de

maneira otimizada reduziram o recalque diferencial máximo em 34,8%, a distorção angular

máxima em 20,9% e a distorção angular média em 33,3%, em relação ao arranjo de 25 estacas

uniformemente distribuídas no radier.

Por outro lado, 25 estacas com otimização forneceram uma redução de 45,4% nos

recalque diferencial máximo, 21,6% na distorção angular máxima e 49,4% na distorção

angular média, se comparado ao mesmo número de estacas posicionadas uniformemente.

Percebe-se ainda, na Figura 17, que a fundação praticamente não teve melhoria no

seu desempenho além do número de 25 estacas.

Para efeito de comparação, Kim et al. (2001) obtiveram uma redução de 78% no

recalque diferencial máximo para este exemplo, entretanto, reitera-se que não foi possível

reproduzir fielmente os dados do problema, além da diferença significativa no nível das

ferramentas computacionais comparadas.

4.2 EXEMPLO 2 – RADIER COM CARGAS DISTRIBUÍDAS

Neste exemplo, foram tomados como referência os arranjos de 25 estacas

uniformemente distribuídas e de 24 estacas com otimização, além do radier com estacas. A

Figura 18 apresenta os deslocamentos nas seções de interesse para os arranjos indicados.

Quanto ao posicionamento das estacas, verificou-se que as mesmas foram alocadas

num círculo inscrito ao carregamento, tanto neste trabalho como no de referência (Figura 12),

com exceção de algumas estacas que, pela limitação de serem posicionadas apenas nos nós da

malha do radier, foram posicionadas abaixo da linha de cargas. Essa, aliás, é uma limitação

que não estava presente no trabalho de referência, uma vez que a formulação matemática

proposta permitia a sua livre alocação em qualquer ponto do domínio físico do problema, isto

é, o radier.

46


(a)

(b)

(Fonte: o autor)

Observou-se neste exemplo que o arranjo com 24 estacas otimizadas reduziu o

recalque diferencial máximo em 33,9%, a distorção angular máxima em 31,4% e a distorção

angular média em 41,1%, se comparado a uma distribuição uniforme com 25 estacas. Por

outro lado, Kim et al. (2001) obtiveram uma redução de 83% no recalque diferencial máximo

para a otimização de 25 estacas.

47

4.3 EXEMPLO 3 – RADIER DE EDIFÍCIO DE ALVENARIA ESTRUTURAL

Neste exemplo, foram tomados como referência os seguintes casos: a) radier com 13

estacas otimizadas; b) radier com 22 estacas otimizadas – Figura16 b; c) radier com 22 estacas

otimizadas segundo Silva (2007) – Figura 16 a e d) radier com 22 estacas distribuídas

uniformemente – Figura 16 c. Para uma referência mais objetiva, serão os resultados obtidos

por Silva (2007) indicados pelo índice “ref. 1” e os resultados obtidos com uma distribuição

uniforme de estacas indicados pelo índice “ref. 2”. Os resultados sem índices de referência

são aqueles obtidos neste trabalho.

4.3.1 Recalques totais

A Figura 19 apresenta a variação dos recalques totais de acordo com o número de

estacas posicionadas, sendo que esse posicionamento é aquele cuja sequência é mostrada na

Figura 15.

Figura 19 – Variação dos recalques totais da fundação com o número de estacas

(Fonte: o autor)

48

Nota-se que o recalque total máximo decresceu com o aumento do número de estacas

até estabilizar-se após a alocação de 8 estacas. As 17ª e 18ª estacas foram posicionadas na

região central do radier, próximas a outras que já haviam sido posicionadas, o que justifica a

redução relativamente brusca do gráfico. Já o recalque total mínimo teve um acréscimo de

pouco menos de 50% após o posicionamento de 22 estacas, e o recalque médio sofreu uma

redução constante à medida que as estacas iam sendo posicionadas.

A Figura 20 apresenta a variação das relações entre os recalques máximos e mínimos

e os máximos e mínimos obtidos por Silva (2007) e numa distribuição uniforme de estacas.

Figura 20 – Variação das relações entre os recalques totais máximos e mínimos

(Fonte: o autor)

Nota-se aqui uma grande semelhança entre os valores de recalques totais obtidos nos

arranjos otimizados de Silva (2007) e deste trabalho, principalmente após a adição de 10

estacas no radier. Entretanto a distribuição uniforme de estacas, apesar de também apresentar

recalque total máximo muito semelhante, teve um recalque total mínimo muito menor, o que

não é favorável em termos de recalques diferenciais.

Por exemplo, a relação entre os recalques máximo e mínimo foi muito semelhante

para os casos a, b e c, em torno de 2,5. Já para o caso d, isto é, 22 estacas com distribuição

uniforme essa relação foi de 6,6.

49

A Figura 21 apresenta os deslocamentos do radier nas seções A-A’ e B-B’, indicadas

na Figura 16c.


(a)

(b)

(Fonte: o autor)

Observa-se que a introdução das estacas teve influência preponderante na redução

dos recalques totais e, na seção B-B’ em especial os recalques do radier com estacas

posicionadas de maneira otimizada, tanto 13 como 22 apresentaram uma maior uniformidade

dos recalques.

50

4.3.2 Recalques diferenciais

A Figura 22 apresenta a variação do recalque diferencial máximo da fundação em

função do número de estacas posicionadas.

Figura 22 – Variação do recalque diferencial máximo com o número de estacas

(Fonte: o autor)

A redução só foi expressiva até o arranjo de 8 estacas (Figura 15 e), tendo se

estabilizado a partir de então. Nota-se que adição de apenas 8 estacas no radier fez com que o

recalque diferencial máximo se reduzisse pela metade, o que evidencia o importante papel das

estacas de redução de recalque nos custos da fundação. Novamente aqui a adição das 17ª e 18ª

estacas implicaram numa interrupção do comportamento assintótico da função, isto é, da

estabilização do recalque diferencial máximo no valor igual a 2 mm.

A Figura 23 apresenta a variação da relação entre os recalques diferenciais máximos

e o número de estacas.

51

Figura 23 – Variação das relações entre recalques diferenciais máximos

(Fonte: o autor)

Nota-se acima que a partir de 6 estacas posicionadas com otimização, o recalque

diferencial máximo já era menor se comparado à distribuição uniforme de estacas. Por outro

lado, a otimização efetuada por Silva (2007) apresentou resultados muito similares aos

obtidos com a ferramenta computacional. Vale ressaltar também que 8 estacas com

otimização forneceram valores de recalque diferencial bastante próximos às configurações

com 22 estacas, sugerindo que, assim como no exemplo 1, o acréscimo no número delas não

acarreta uma melhoria proporcional no desempenho do radier.

Para comparação, a distribuição de 22 estacas com otimização semi-automática

forneceu uma redução de 36,3% no recalque diferencial máximo se comparada à distribuição

uniforme (ref. 2) e uma redução de 15,6% se comparada à otimização manual de Silva (2007).

Para o caso de 13 estacas, houve redução de 17% e um aumento de 10%, respectivamente.

A redução nos recalques diferenciais não foi tão expressiva na seção A-A’, para

todos os casos de posicionamento, como o foi na seção B-B’ (veja-se a figura 21), além do

fato de os arranjos otimizados de 13 e 22 estacas também apresentaram maior redução dos

recalques diferenciais na seção B-B’, se comparados à distribuição uniforme.

52

4.3.3 Distorções angulares

A Figura 24 apresenta a variação das distorções angulares em função do número de

estacas no radier, pelo processo de otimização.

Figura 24 – Variação das distorções angulares no radier

(Fonte: o autor)

Nota-se que, apesar da distorção angular média ter reduzido à medida que estacas

iam sendo introduzidas na fundação, a distorção angular máxima não teve o mesmo

comportamento, pelo menos até o número de 11 estacas, quando o valor máximo se

estabilizou. Percebe-se também que o menor valor de máximo correspondeu a um arranjo de 2

estacas e, ao adicionar-se mais 2 obteve-se então a máxima distorção do sistema, sugerindo

talvez que o uso de estacas não é recomendado para placas muito finas, pois as mesmas geram

distorções consideráveis nas suas posições. O gráfico da Figura 21 mostra essa concentração

de distorções na posição das estacas.

Por outro lado, qualquer das configurações, inclusive o radier sem estacas, poderiam

ter sido utilizados no projeto, já que todos atenderam o valor máximo admissível de distorção

angular, 2/1000 (Figura 6).

A Figura 25 apresenta a variação das relações de distorções angulares com os valores

obtidos por Silva (2007) (ref. 1) e com um arranjo uniforme de estacas (ref. 2).

53

Figura 25 – Variação das relações entre distorções angulares

(Fonte: o autor)

Observa-se no gráfico acima que apesar de a otimização semi-automática ter

reduzido a distorção angular média da fundação em comparação com a distribuição uniforme

de estacas, ela foi menos eficiente que ambas, a distribuição uniforme e o arranjo manual de

Silva (2007) na redução da distorção angular máxima. Verifica-se também que o arranjo

uniforme foi aquele que proporcionou a menor distorção angular máxima, sendo que o arranjo

da referência 1 apresentou um valor 19,1% maior, e o arranjo com otimização pela ferramenta

computacional mostrou distorção máxima 43,8% e 52,1% maiores para 13 e 22 estacas,

respectivamente.

4.3.4 Momentos Fletores

Apesar de não serem o objeto central da pesquisa, os momentos fletores são de

notável importância no projeto do radier, já que determinarão a quantidade de armadura

necessária. Fez-se então uma verificação da variação desses momentos em função do número

de estacas posicionadas com otimização (Figura 15), bem como uma comparação com os

momentos obtidos por meio de um arranjo uniforme de estacas, conforme mostram os

gráficos das Figura 26 e 27, respectivamente.

54

Figura 26 – Variação dos momentos fletores máximos em função do número de estacas

(Fonte: o autor)

A Figura 26 indica que a intensidade dos momentos fletores não depende da

quantidade de estacas sob o radier, mas sim da suas posições. Note-se que o radier simples

apresenta os momentos fletores mínimos e iguais nos dois planos, que sugere uma maior

economia com armação. A partir de então, somente as configurações com 13 estacas ou mais

seriam viáveis nesse aspecto.

Figura 27 – Variação das relações entre os fletores máximos

(Fonte: o autor)

55

A Figura 27 mostra que a otimização das estacas forneceu valores menores de

momento fletor no plano xz em todas as configurações de estacas, se comparada à distribuição

uniforme de estacas. Já no plano yz isso não ocorreu. Nota-se ainda que as configurações mais

eficientes novamente foram o radier simples ou a configuração com 13 estacas.

56

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

5.1 CONCLUSÕES

Observou-se que a otimização do posicionamento de estacas efetuada por meio da

ferramenta desenvolvida apresentou resultados satisfatórios, principalmente para o caso de

cargas concentradas e radier mais espesso, onde conseguiu-se um melhor desempenho da

fundação em comparação com uma configuração uniforme de estacas.

Nos dois primeiro exemplos, as distorções angulares médias tiveram redução entre

30% e 50%, para um número menor e o mesmo número de estacas que a distribuição

uniforme, respectivamente. Já as distorções angulares máximas tiveram redução da ordem de

20-30%.

Por outro lado, no caso de cargas mais distribuídas e com radier menos espesso

(exemplo 3), a otimização não apresentou melhora notável no desempenho, senão pela

redução significativa dos recalques totais da fundação. As distorções angulares máximas

aumentaram em comparação com a distribuição uniforme de estacas e mesmo com o radier

simples. Este, por sua vez, pode ser a opção mais interessante para a fundação, já que

apresentou os menores valores de momentos fletores e dispensa a utilização das armaduras de

punção, pela ausência de estacas. Outra configuração interessante para esse exemplo é a de 13

estacas (Figura 15 h), que apresentou boa redução nos recalques totais e diferenciais, além de

menores momentos fletores em comparação com as configurações de 22 estacas.

A otimização realizada por meio do programa desenvolvido também apresentou

resultados bastante similares à configuração proposta por Silva (2007), mas também indicou

que pouco se ganhou em desempenho a partir da introdução de 13 estacas.

57

5.2 SUGESTÕES

Os exemplos 1 e 3 evidenciaram que, a partir de um certo número de estacas, a

fundação não apresenta ganho significativo no seu desempenho. Dessa forma, sugere-se que a

ferramenta seja empregada em um estudo do número ideal de estacas nas fundações de radier

estaqueado para os diversos casos de carregamento, como se fez neste trabalho.

Sugere-se também que seja introduzida no algoritmo uma sub-rotina de cálculo de

placa sobre molas, por meio do Método de Elementos Finitos, para a automatização completa

do processo de posicionamento das estacas. Nesse caso, poderia também ser refinado o

cálculo dos deslocamentos da fundação, por meio da consideração do comportamento não-

linear do solo e das estacas.

58

6 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6122: Projeto e execução de

fundações. Rio de Janeiro, 2010.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6489: Prova de carga direta

sobre terreno de fundação. Rio de Janeiro, 1984.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 12131:Estacas: Prova de

carga estática: Método de ensaio. Rio de Janeiro, 2006.

ALONSO, U. R. Previsão e controle de fundações. São Paulo: Edgard Blücher, 1991.

BACELAR, C. J. R. Análises de recalque em radiers estaqueados. 2003. 193 f. Tese de

doutorado – Programa de pós-graduação em Engenharia Civil, Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2003.

BEZERRA, J. E. Estudo do comportamento de fundações em radier estaqueado: conceitos e

aplicações. 2003. 213 f. Dissertação (Mestrado em Geotecnia) – Departamento de Engenharia

Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2003.

CASTILLO, D. J. A. Uso da técnica de radier estaqueado para pequenos edifícios assentes

sobre solo colapsível. 2013. 181 f. Dissertação (Mestrado em Geotecnia) – Departamento de

Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, 2013.

HEMSLEY, J. A. (Ed.). Design applications of raft foundations. London: Thomas Telford,

2000.

KIM, K. N.; LEE, S.; KIM, K.; CHUNG, C.; KIM, M. M.; LEE, H. S. Optimal pile

arrangement for minimizing differential settlemens in piled raft foundations. Cumputers and

Geotechnics, v. 28, p. 235-253, 2001.

MORETTI ENGENHARIA CONSULTIVA. Prova de carga estática - estaca raiz. 2013.

Altura: 360 pixels. Largura: 480 pixels. Formato jpg. Disponível em:

<http://www.morettiengenharia2.com.br/fotos/proj/0201102231207561.jpg>. Acesso em 16

out. 2013.

NODA, A. Y. Análise paramétrica da espessura de um radier estaqueado considerando

interação solo-estrutura por meio de molas de Winkler. 2006. 42 f. Trabalho de graduação –

Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 2006.

NUNES, C. C.; SILVA, M. dos S. P. Análise paramétrica da espessura de um radier

estaqueado submetido a cargas linearmente distribuídas. In: Simpósio sobre Solos Tropicais

e Processos Erosivos no Centro-Oeste / Norte, 3., Cuiabá, 2007.

POULOS, H. G. Methods of analysis of piled raft foundations. A report prepared on behalf of

Technical Committee TC18 on Piled Foundations – International Society of Soil Mechanics

and Geotechnical Engineering, jul. 2001.

59

PRAKOSO, W. A.; KULHAWY, F. H. Contribution to piled raft foundation design. Journal

of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, v. 127, n. 1, jan. 2001.

SILVA, M. dos S. P. Análise paramétrica da espessura de um radier estaqueado submetido a

cargas linearmente distribuídas. 2007. 42 f. Trabalho de conclusão de curso – Departamento

de Engenharia Civil, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 2007.

SORIANO, H. L. Método de elementos finitos em análise de estruturas. São Paulo: Editora da

Universidade de São Paulo, 2003.

TOMLINSON, M. J.; BOORMAN, R. Foundation design and construction. 6. ed. New York:

Longman Scientific & Technical, 1995.

VELLOSO, D. de A.; LOPES, F. de R. Fundações: critérios de projeto, investigação do

subsolo, fundações superficiais, fundações profundas. São Paulo: Oficina de Textos, 2010.

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