UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE PRÓ-REITORIA DE … · ensino da Semelhança de Triângulos a...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DEPARTAMENTO DE FÍSICA Programa de Pós-Graduação Profissional em Ensino de Física MIQUELINE ARAGÃO SILVA CÂMARA ESCURA DE ORIFÍCIO COMO CONTEXTO PARA O ENSINO DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS São Cristóvão - SE 2017
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Programa de Pós-Graduação Profissional em Ensino de Física
MIQUELINE ARAGÃO SILVA
CÂMARA ESCURA DE ORIFÍCIO COMO CONTEXTO PARA O ENSINO
DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
São Cristóvão - SE
2017
i
MIQUELINE ARAGAO SILVA
CÂMARA ESCURA DE ORIFÍCIO COMO CONTEXTO PARA O ENSINO DA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação Profissional em Ensino
de Física, da Universidade Federal de
Sergipe como requisito para a obtenção
do título de Mestre em Ensino de Física.
Orientador: Prof. Dr. Samuel Rodrigues de
Oliveira Neto
São Cristóvão - SE
2017
ii
MIQUELINE ARAGÃO SILVA
CÂMARA ESCURA DE ORIFÍCIO COMO CONTEXTO PARA O ENSINO
DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação Profissional em Ensino
de Física, da Universidade Federal de
Sergipe como requisito para a obtenção
do título de Mestre em Ensino de Física.
Banca Examinadora:
_______________________________________________
Prof. Dr. Samuel R. de Oliveira Neto- Orientador
Universidade Federal de Sergipe
_______________________________________________
Prof. Dr
Universidade Federal
_______________________________________________
Prof. Dr.
Universidade Federal de Sergipe
São Cristóvão - SE
2017
iii
DEDICATÓRIA
A minha família
iv
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela vida e por todas as graças alcançadas;
Ao Prof. Dr. Samuel R. de Oliveira Neto pela orientação e paciência;
Ao Prof. Dr. Sergio Scarano Jr. pela atenção para com a turma do MNPEF 2015;
Aos meus pais, em especial a minha mãe, Margarida pelo apoio incondicional;
Ao meu esposo, Vagner pelo companheirismo;
Aos meus colegas de curso, em especial a Edigênia pela cumplicidade e orientação e a
Walter pela parceria de sempre;
A minha amiga Rosângela pelo pensamento sempre positivo;
À professora Idelcacia Ribeiro pela disponibilidade;
Aos alunos do 9º ano E da Escola Municipal Tiradentes pela colaboração;
Aos funcionários da Escola Municipal Tiradentes pela cordial atenção;
A CAPES pelo apoio financeiro;
A todos aqueles que, de alguma forma contribuíram e, cujos nomes possam ter caído no
esquecimento, também o meu agradecimento.
v
EPÍGRAFE
Valeu a pena? Tudo vale a pena
Se a alma não é pequena.
Quem quer passar além do Bojador
Tem que passar além da dor.
Deus ao mar o perigo e o abismo deu,
Mas nele é que espelhou o céu.
Fernando Pessoa
vi
RESUMO
CÂMARA ESCURA DE ORIFÍCIO COMO CONTEXTO PARA O ENSINO DA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Miqueline Aragão Silva
Orientador:
Prof. Dr. Samuel Rodrigues Oliveira Neto
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação da Universidade
Federal de Sergipe no Curso de Mestrado Profissional de Ensino de Física (MNPEF),
como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ensino de
Física.
Sabemos que existe uma relação mútua entre a Física e a Matemática e que muitos
professores atribuem à falta de entendimento dos conceitos Físicos as dificuldades
resultantes da não apropriação da Matemática. A extensa cobrança de resolução
matemática de exercícios pode resultar nessa atribuição e gerar no aluno uma difícil
distinção entre as duas áreas. É fato que a Matemática é indispensável ao estudo da
Física, mas para que ela seja significativa e possa levar o aluno a uma melhor
compreensão dos fenômenos é preciso que seu ensino se dê de forma contextualizada
para além dos muros da própria Matemática. Desta forma, propomos a contextualização
de conteúdos da Geometria a partir da Óptica Geométrica no Ensino Fundamental. Mais
especificamente apresentamos como produto roteiros de atividades investigativas para o
ensino da Semelhança de Triângulos a partir da Câmara Escura de Orifício e do
Teorema de Tales a partir da medição de altura de forma indireta através da sombra. O
ensino destes tópicos se deu dentro de uma sequência didática que permitiu apresentar
aos alunos conceitos de Óptica Geométrica e explorar seus esquemas sobre temas mais
básicos da Geometria. Desta forma, as investigações trabalhadas anteriormente a elas
foram um forma de ancorá-las para melhor avaliar seu uso. Os resultados se mostram
satisfatórios dentro dos objetivos traçados de avaliar uso da Câmara Escura como
situação potencialmente contextualizadora para o ensino da Semelhança de Triângulos e
avaliar a abordagem e as atividades da sequência como propicia a propor situações onde
os alunos usassem e aprimorassem seus esquemas cognitivos sobre Geometria e
criassem subsunçores úteis para a formalização posterior dos conteúdos geométricos e
também para o ensino de Física no Ensino Médio.
Palavras-chave: Ensino de Física, Câmara Escura de Orifício, Óptica Geométrica,
Geometria Plana.
vii
ABSTRACT
DARK HOB OF ORIFICE AS CONTEXT FOR THE TEACHING OF THE
SIMILARITY OF TRIANGLES
Miqueline Aragão Silva
Supervisor:
Dr. Samuel Rodrigues Oliveira Neto
Master's Dissertation submitted to the Post-Graduation Program of the Federal
University of Sergipe in the Professional Master's Degree Course in Physics Teaching
(MNPEF), as part of the requirements necessary to obtain the Master's Degree in
Physics Teaching.
We know that there is a mutual relationship between Physics and Mathematics and that
many teachers attribute to the lack of understanding of Physical concepts the difficulties
resulting from the non-appropriation of Mathematics. The extensive collection of
mathematical resolution of exercises can result in this assignment and generate in the
student a difficult distinction between the two areas. It is a fact that Mathematics is
indispensable to the study of Physics, but for it to be meaningful and can lead the
student to a better understanding of the phenomena, it is necessary that its teaching be
given in a contextualized way beyond the walls of Mathematics itself. In this way, we
propose the contextualization of Geometry contents from the Geometric Optics in
Elementary School. More specifically, we present as a product of research activities for
teaching the Similarity of Triangles from the Dark Orifice Chamber and the Tales
Theorem from indirectly measuring height through shadow. The teaching of these
topics took place within a didactic sequence that allowed to present to the students
concepts of Geometric Optics and to explore their schemes on more basic subjects of
Geometry. In this way, the investigations previously worked on them were a way of
anchoring them to better evaluate their use. The results are satisfactory within the
objectives outlined to evaluate the use of the Dark Chamber as a potentially
contextualizing situation for teaching the Similarity of Triangles and to evaluate the
approach and activities of the sequence as propitious to propose situations where the
students used and improved their cognitive schemata on Geometry and create useful
subsumes for the later formalization of the geometric contents and also for the teaching
of Physics in High School.
Keywords: Physics Teaching, Orifice Dark Chamber, Geometric Optics, Flat
Geometry.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1:Forças atuando no objeto deslizante sobre o Plano Inclinado. ................................. 17
Figura 1.2: Derivação da aceleração centrípeta a partir de um objeto em movimento circular
uniforme. ..................................................................................................................................... 18
Figura 3.1: Fachada da Escola Municipal Tiradentes. ............................................................... 25
Figura 3.2: Localização geográfica da escola. ........................................................................... 26
Figura 3.3: Alunos durante a aplicação do produto. .................................................................. 26
Figura 3.4: Alhazen utilizando uma câmara escura de orifício .................................................. 28
Figura 3.5: Câmara Escura de Orifício construída. .................................................................... 29
Figura 3.6: Representação da pirâmide e da estaca ................................................................... 31
Figura 3.7: Maquete utilizada na aplicação. .............................................................................. 32
Figura 3.8: Materiais utilizados nas investigações. a) material da investigação 1. b) material da
investigação 2. c) material da investigação 3. ............................................................................. 35
Figura 3.9: Materiais utilizados nas investigações.a) material da investigação 4. b) material da
investigação 5. ............................................................................................................................. 36
Figura 4.1: Alunos durante a aplicação da investigação 1. ........................................................ 38
Figura 4.2: Alunos durante a aplicação da investigação 2. ........................................................ 41
Figura 4.3: Alunos durante a realização da investigação 5. ....................................................... 44
Figura 5.1: Ilustração feita por um aluno do comportamento de um feixe de luz proveniente de
uma caneta laser. Ele tentou representar de forma literal o que viu durante a prática, trecho onde
o caminho do laser ficou aparente devido à presença do pó. ...................................................... 48
Figura 5.2: Esboço feito pelo aluno B na questão 5 da investigação 2. .................................... 52
Figura 5.3: Esboços feitos por alunos na questão 5 da investigação 2. ..................................... 53
Figura 5.4: Esboço feito pelo aluno B para a questão 5 da investigação 4. ............................... 58
Figura 5.5: Esboço feito pelo aluno Y para a questão 5 da investigação 4. ............................... 58
Figura 5.6: Esboço feito pelo aluno V para a questão 5 da investigação 4. ............................... 59
Figura 5.7: Esboços feito pelos alunos R ( esboço de cima) e S (esboço de baixo) para a
questão 5 da investigação 4 ......................................................................................................... 59
Figura 5.8: Esboços feitos pelos alunos T (esboço de cima) e aluno AH (esboço de baixo) para
a questão 5 da investigação 4. ..................................................................................................... 60
Figura 5.9: Esboço feito por um aluno para a questão 5 da investigação 4 ............................... 60
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 1.1: A evolução do Brasil no Pisa (pontuação e posição no ranking mundial). ........ 15
x
LISTA DE QUADROS
Quadro 3.1: Atividades e objetivos pretendidos. .................................................................. 34
Quadro 4.1: Distribuição das atividades durante as aulas. ................................................... 37
xi
LISTA DE SIGLAS
PEC: Projeto de Ensino de Ciências
PREMEM: Programa de Expansão e Melhoria do Ensino Médio
PCN: Parâmetros Curriculares Nacionais
SEED/SE: Secretaria de Estado da Educação de Sergipe
PISA: Programa Internacional de Avaliação dos Estudantes
OCDE: Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico
PNLD: Programa Nacional do Livro Didático
MEC: Ministério da Educação
ZDP: Zona de Desenvolvimento Proximal
UNESCO: United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization/
Organização das Nações Unidas para a Educação, Ciência e Cultura.
AA: Caso de semelhança de triângulos quando os dois triângulos possuem dois ângulos
correspondentes congruentes.
LAL: Caso de semelhança de triângulos quando os dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos formados entre eles são congruentes.
LLL: Caso de semelhança de triângulos quando os dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
xii
Sumário
Capítulo 1 .............................................................................................................................. 14
Introdução............................................................................................................................. 14
Capítulo 2 .............................................................................................................................. 20
Fundamentação Teórica ...................................................................................................... 20
Capítulo 3 .............................................................................................................................. 25
Metodologia .......................................................................................................................... 25
3.1. Local da pesquisa ............................................................................................................ 25
3.2. Sujeitos pesquisados: população e amostra ..................................................................... 26
3.3. Desenvolvimento dos Produtos ....................................................................................... 27
3.3.1 Roteiros de atividade investigativa com a Câmara Escura de Orifício ................. 27
3.3.2 Roteiros de atividade investigativa para medição de alturas. ................................ 31
3.3.3 Sequência Didática ................................................................................................ 33
Capítulo 4 .............................................................................................................................. 37
Procedimentos para Aplicação do Produto ....................................................................... 37
4.1. Primeira Aula .................................................................................................................. 38
4.2. Segunda Aula .................................................................................................................. 39
4.3. Terceira Aula ................................................................................................................... 40
4.4. Quarta Aula ..................................................................................................................... 41
4.5. Quinta Aula ..................................................................................................................... 42
4.6. Sexta Aula ....................................................................................................................... 43
4.7. Sétima Aula ..................................................................................................................... 43
Capítulo 5 .............................................................................................................................. 45
Análise de Dados e Discussão .............................................................................................. 45
5.1. Investigações 1,2 e 3 ....................................................................................................... 46
5.2. Investigações 4 e 5. ......................................................................................................... 55
Capítulo 6 .............................................................................................................................. 65
Conclusões e Perspectivas Futuras ..................................................................................... 65
Capítulo 7 .............................................................................................................................. 68
Referencias Bibliográficas ................................................................................................... 68
xiii
Capítulo 8 .............................................................................................................................. 71
Apêndices- Produto Educacional ........................................................................................ 71
14
Capítulo 1
Introdução
Há aproximadamente cinquenta anos, a pesquisa em Ensino de Ciências
começou a ganhar relevância no Brasil abrindo diálogos de reflexão acerca da
importância do ensino de Ciências na Educação Básica, estimulando o surgimento de
vários projetos com esse objetivo, como O Projeto de Ensino de Ciências – PEC e o
Programa de Expansão e Melhoria do Ensino Médio – PREMEM. Apesar dos avanços
conquistados na época, ainda enfrentamos vários problemas no ensino de Física, como a
falta de motivação e de interesse por parte dos alunos. Os alunos não encontram
significado no que estudam, não associam os conhecimentos científicos que veem na
escola com sua vida diária. Nesse contexto, as aulas tradicionais são insuficientes para
atender as demandas atuais onde se espera que o estudo de ciências contribua para a
formação de cidadãos críticos, participativos e conscientes das mudanças e necessidades
tecnológicas além de contribuir para o desestímulo dos alunos.
Associado a esta falta de motivação, temos recorrentemente a reclamação dos
professores que colocam a razão dos alunos não conseguirem aprender Física no seu
frágil domínio da linguagem Matemática para expressar as soluções de problemas. O
que pode acabar por apresentar a Matemática, erroneamente, como sendo unicamente
uma ferramenta da Física. Isso é identificado no aluno como a pouca distinção entre as
duas disciplinas. Um ensino muito centrado na resolução matemática de exercícios, a
abordagem dos temas e o material didático escolhido corroboram com essa situação.
O ensino da Matemática, por sua vez, também compartilha dos mesmos
problemas quando se trata de dar significado ao que é ensinado e motivar os alunos a
aprender. Isso acaba por se refletir nos resultados obtidos pelos alunos, por exemplo,
nas provas internacionais como o PISA.
O Programa Internacional de Avaliação dos Estudantes-PISA promovida pela
OCDE (Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico) avalia
conhecimentos em Leitura, Matemática e Ciências de alunos de 70 países na sua última
edição. Os resultados de 2015 colocam o Brasil numa posição ainda mais longe quando
15
comparada com as duas últimas edições (2009 e 2012) como pode ser visto na tabela
1.1.
Tabela 1.1: A evolução do Brasil no Pisa (pontuação e posição no ranking mundial).
Brasil Pisa 2000 Pisa 2003 Pisa 2006 Pisa 2009 Pisa 2012 Pisa 2015
Matemática 334 356 370 386 (57ª) 391 (58ª) 377 (66ª)
Leitura 396 403 393 412 (53ª) 410 (55ª) 407 (59ª)
Ciências 375 390 390 405 (53ª) 405 (59ª) 401 (63ª)
Média
geral 368 383 384 401 402 395
Fonte: PISA 2015.
Apesar do progresso apresentado quando comparado às pontuações do ano de
2000, nosso país tem o segundo maior número de estudantes com baixo desempenho
nas áreas avaliadas, o que significa que nossos alunos demonstram dificuldade para
compreender o que leem e nos conhecimentos essenciais de Matemática e Ciências
(Portal-R7, 2016). Para todos os exames de proficiência, Sergipe está abaixo da média
nacional e se insere nesse quadro como 21º colocado em proficiência em Matemática
com média de 354 pontos e 23° colocado em Ciências e em Leitura com uma média de
375 e 379 pontos, respectivamente, segundo os resultados do PISA 2015 (PISA, 2015).
Esses resultados nos mostram que uma mudança de atitude se faz necessária. A
melhoria no desempenho dos alunos passa por uma melhoria no ensino da Matemática e
implicará também na melhoria da compreensão dos conceitos Físicos. É inegável a
relação mútua entre as duas disciplinas e que apesar da Matemática não ser unicamente
a ferramenta para a compreensão dos fenômenos físicos, o bom entendimento e
aplicação passam pelo domínio desta.
Mas o ensino da Matemática apenas dentro de seu contexto não é suficiente para
que ela sirva de estrutura para os conhecimentos físicos. O que se observa, até mesmo
nos cursos de formação de professores de Física, é a tentativa de assentar o
conhecimento físico sobre sólidas bases matemáticas.
Diante da dificuldade conceitual que os alunos apresentam em relação ao
modelo físico, prevalecendo o modelo alternativo, prévio e espontâneo, da falta dos
conteúdos matemáticos que lhes dão significado e sob a perspectiva apresentada por
Pietrocola (2002) sobre a necessidade de se trabalhar a matemática como estruturante do
saber físico. Tendo em vista a íntima relação de dependência entre os conhecimentos
16
geométricos e a Óptica Geométrica, propomos o ensino da Geometria contextualizado
por meio de problemas físicos.
Entendendo a necessidade de ambas as áreas para conseguir romper as barreiras
conceituais dos alunos e sabendo que o ensino da Matemática é mais bem aproveitado
quando contextualizado, este trabalho tem como objetivo apresentar uma proposta para
o ensino de temas da Geometria no contexto da Óptica Geométrica para o Ensino
Fundamental, mas que propicie ganho mútuo para essas duas áreas. A escolha dos dois
temas se justifica pelo fato de Óptica Geométrica se basear na trajetória descrita pela
luz, fundamentada na ideia de raio de luz, e que permitem a construção geométrica de
imagens.
No Ensino Fundamental, o aluno tem o primeiro contato com os conceitos
ópticos ao mesmo tempo em que estuda Geometria. Desta forma, apresentar aos alunos
os dois temas em conjunto pode ajudar a construir subsunçores para ancorar seus
estudos no Ensino Médio. A Geometria Plana é conteúdo disposto em todas as séries do
Ensino Fundamental, do 6º ao 9º ano, segundo o Referencial Curricular da Secretaria de
Estado da Educação de Sergipe. Já conteúdos introdutórios de Óptica Geométrica são
abordados no 9º ano do Ensino Fundamental e o Referencial Curricular da Rede
Estadual de Sergipe (SEED/SE, 2011) prevê que os alunos, nessa etapa, aprendam a
reconhecer os diversos tipos de fenômenos ópticos e que sejam capazes de diferenciar e
relacionar os tipos de espelhos e lentes considerando suas aplicações práticas. No
Ensino Médio, espera-se que os alunos tenham um contato mais profundo com os
conteúdos de Física, inclusive, os conteúdos de Óptica.
Dentre a gama de conteúdos geométricos, escolhemos trabalhar com a
Semelhança de Triângulos, devido a sua inegável aplicabilidade e ao fato de seu
entendimento propiciar uma melhor avaliação dos fenômenos decorrentes da
propagação retilínea da luz, e também com o Teorema de Tales.
Diante da utilização tão frequente desses temas para a resolução de problemas da
óptica ou para construir relações de proporcionalidade podemos nos questionar se:
Ao somente afirmar, por exemplo, que certos triângulos são semelhantes
e apresentar em seguida uma relação de proporcionalidade pode-se gerar dificuldades
conceituais nos alunos? E se o aluno não souber analisar a semelhança, quão
comprometido fica a aprendizagem?
17
Uma abordagem onde há a apresentação de uma fórmula ou propriedade
como um produto acabado pode induzir no aluno a ideia de que basta somente decorar
as fórmulas sem entender seu significado?
Explorar melhor os detalhes da construção matemática não tornaria o
ensino desses tópicos mais significativo e compreensível aos alunos já que se trata de
uma matemática acessível e uma ferramenta importante?
Será que se certos conteúdos da geometria fossem contextualizados em
demonstrações dos fenômenos ópticos, não ajudaria na compreensão do próprio
fenômeno?
A proposta aqui apresentada tenta mostrar uma solução para esses
questionamentos ao propor o ensino da Matemática no contexto da Física. A ideia é dar
significado aos conteúdos matemáticos ao mostrar sua aplicação na resolução de
problemas físicos. Ao tempo em que a melhor apropriação deles pode contribuir para
um entendimento mais amplo do fenômeno físico.
O campo de aplicação destes conteúdos não se restringe apenas ao estudo da
Óptica, pois vemos seu uso nas mais diversas áreas da Física. Podemos citar alguns
exemplos como o Plano Inclinado no qual se usa a Semelhança de Triângulos para
deduzir a intensidade da força normal e da força resultante sobre o objeto deslizante
quando o plano inclinado for completamente liso.
Figura 1.1:Forças atuando no objeto deslizante sobre o Plano Inclinado.
Fonte: Só física- Plano Inclinado.1
Ou para auxiliar decisivamente na dedução da relação matemática para a
aceleração centrípeta
. Esta dedução não foi descrita por nenhum dos diversos
1 Disponível em: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/pi. php. Acesso em julho
de 2017.
18
livros didáticos analisados, o que pode contribuir para a incompreensão e desmotivação
dos alunos frente ao ensino de Física.
Figura 1.2: Derivação da aceleração centrípeta a partir de um objeto em movimento circular
uniforme.
Fonte: adaptada de Phy 201: General Physics I. Chapter 5: Uniform Circular Motion Lecture
Notes.2
Desta forma, no capítulo 1 apresentamos nosso Referencial Teórico de forma a
justificar e corroborar para a escolha do tema e do enfoque tomado. Ela está estruturada
de forma a esclarecer sobre a importância de se contextualizar o ensino da Matemática e
como o contexto a partir de problemas físicos pode ser benéfico às duas áreas.
A necessidade de se trabalhar com Óptica Geométrica argumentando sobre sua
importância para a explicação de fenômenos cotidianos e para entender e acompanhar o
progresso tecnológico pode servir de base para a apresentação de conteúdos da
Geometria e provocar, a partir do melhor entendimento matemático, uma estruturação
do conteúdo físico.
No capítulo 2, na Metodologia, apresentamos o local da aplicação e os alunos
participantes. Explicamos a escolha e montagem do produto usado para atender a
finalidade de contextualizar a abordagem dos temas geométricos e justificamos sua
escolha.
O capitulo 3 trata da aplicação do produto. Nele, apresentamos a vivência
durante a aplicação, observações a respeito do andamento das atividades,
comprometimento e participação dos alunos bem como as dificuldades enfrentadas.
Após a aplicação e suas considerações, no capítulo 4 tratamos da análise dos
dados colhidos a partir da metodologia escolhida e dos referencias teóricos adotados.
Fazemos consideração sobre a apreensão do conhecimento por parte dos alunos e da
possibilidade de criação de conflitos cognitivos.
2 Disponível em: http://slideplayer.com/slide/7780713. Acesso em julho de 2017.
19
No último capitulo apresentamos nossas conclusões sobre o produto aplicado e
sua validade para atender aos objetivos pretendidos.
20
Capítulo 2
Fundamentação Teórica
O ensino de Física é, ainda hoje, um desafio para professores e alunos. De um
lado temos os alunos que frequentemente se encontram desmotivados a estudar por não
encontrarem significado no que lhes é apresentado, e do outro lado temos professores
que tentam desenvolver estratégias para atacar esse problema em meio às adversidades
comuns ao ambiente escolar, principalmente em relação à infraestrutura. Uma das
causas da dificuldade da construção e assimilação do conhecimento não somente em
Física, mas também em outras áreas como a Matemática, por exemplo, é a falta de
contextualização dos temas. De acordo com os PCN,
“O tratamento contextualizado do conhecimento é o recurso que a
escola tem para retirar o aluno da condição de espectador passivo. Se
bem trabalhado permite que, ao longo da transposição didática, o
conteúdo do ensino provoque aprendizagens significativas que
mobilizem o aluno e estabeleçam entre ele e o objeto do conhecimento
uma relação de reciprocidade.” (BRASIL, 2000, p. 78)
Os alunos sentem que o que eles veem na escola só se aplica neste ambiente e
desta forma desvinculam os conhecimentos científicos do seu cotidiano. Isto ocorre
porque não se dá a devida relevância aos conhecimentos prévios dos alunos, que
constituem o conhecimento implícito e que, a partir deles, dever-se-ia realizar a
transformação para a consolidação do conhecimento explícito. Citando David Ausubel,
“Se tivesse que reduzir toda a psicologia educacional a um só
princípio, diria o seguinte: o fator isolado mais importante que
influencia a aprendizagem é aquilo que o aprendiz já sabe. Averigue
isso e ensine-o de acordo.” (MOREIRA, 2006, p.13)
Para buscar essa meta, o ensino deve partir de situações dotadas de significado e
que leve em conta a vivência do aluno a fim de promover a percepção intuitiva pela
conexão do seu conhecimento implícito. Desta forma, a aprendizagem poderá se dar de
forma significativa. Os PCN recomendam esta metodologia quando afirma
“Quando se recomenda a contextualização como princípio de
organização curricular, o que se pretende é facilitar a aplicação da
experiência escolar para a compreensão da experiência pessoal em
níveis mais sistemáticos e abstratos e o aproveitamento da experiência
pessoal para facilitar o processo de concreção dos conhecimentos
abstratos que a escola trabalha.” (BRASIL, 2009, p. 82)
21
A comparação entre as duas áreas, Física e Matemática, é pertinente uma vez
que esses dois campos do conhecimento estão intimamente relacionados. Tão
relacionados que a pesquisa de Ricardo e Freire (2007) sobre as concepções dos alunos
com relação à Física aponta para a distinção pouca clara que os alunos fazem entre as
duas áreas citando como causa para tal a formação dos professores, o material didático e
as estratégias de ensino utilizadas. Os professores amiúde colocam a razão dos alunos
não conseguirem aprender Física no frágil domínio da linguagem matemática para
expressar as soluções dos problemas. De acordo com a teoria de mediação semiótica de
Lev Vygotsky, a linguagem é um instrumento que utiliza um conjunto de signos para se
expressar (PRÄSS, 2012). Quando não ocorre uma adequada internalização do
instrumento, nesse caso a linguagem matemática, torna-se impossível a sua correta
utilização ou leitura, ou seja, nesse caso fica comprometida a compreensão e a
expressão de resolução de problemas quantitativos no ensino de Física.
Apesar da distinção entre essas duas áreas do saber, existe uma relação muito
mais complexa entre ambas as disciplinas para além do uso da Matemática como mera
ferramenta e que faz dela um estruturante do conhecimento físico. Esta relação possui
profundas implicações para o ensino de Física. (PIETROCOLA, 2002).
A dependência entre as duas áreas pode ser historicamente comprovada. Têm-se
áreas da Matemática que foram desenvolvidas para atender a necessidade de se
responder a problemas físicos como é o caso do desenvolvimento do Cálculo
Diferencial por Newton. O contrário também se mostra válido, como no caso de
Maxwell que buscou através de relações matemáticas já existentes modelos para
descrever problemas físicos do Eletromagnetismo (RICARDO e FREIRE, 2007).
Pietrocola (2002) aponta a matemática como sendo a “linguagem que permite ao
cientista estruturar seu pensamento para apreender o mundo” e desta forma, “o ensino
de ciência deve propiciar meios para que os estudantes adquiram esta habilidade”. Mas
alerta para o fato de que apenas o domínio operacional dos conteúdos matemáticos não
seja suficiente para incorporar esta habilidade. Desta forma, o ensino da Matemática
isolada em seu próprio contexto não permite que o aluno consiga criar um pensamento
estruturado sobre o comportamento da natureza. Isso fica claro em seu relato de
experiência.
“A minha experiência como professor de Física do Ensino Médio e
universitário tem me mostrado que não basta ao aluno conhecer a
Matemática no seu campo próprio de validade para obter um bom
desempenho em Física. Isto é, não é suficiente conhecê-la enquanto
22
“ferramenta” para poder utilizá-la como estruturante das ideias físicas
sobre o mundo.” (PIETROCOLA, 2002, p. 106 )
Podemos apontar como sendo um dos campos de íntima relação entre a Física e
a Matemática a Óptica Geométrica. Ela é um campo importantíssimo da Física e seus
conceitos estão imersos e embasam aplicações tecnológicas diversas que servem de
aporte para o desenvolvimento de outras ciências como a biologia, a medicina, a
astronomia além das comunicações. Nesse contexto, o ensino da Óptica contribui para
uma percepção significativa da realidade, como previsto nos Parâmetros Curriculares
Nacionais. Eles preveem que uma das funções do ensino da Física seja o de propiciar ao
aluno a chance de “perceber o papel desempenhado pelo conhecimento físico no
desenvolvimento da tecnologia e a complexa relação entre ciência e tecnologia ao longo
da história” (BRASIL, 2009) de forma que sejam capazes de acompanhar o
desenvolvimento tecnológico contemporâneo.
Segundo Aguiar (2009) a Óptica Geométrica deveria ser fácil de aprender. Para
ele, de forma bem simplista, para que isso aconteça seria necessário apreender alguns
conceitos e um pouco de Geometria, além de ser um tema facilmente relacionável com
o cotidiano dos alunos e possuir várias aplicações práticas.
Mas apesar do simplismo apontado por Aguiar, há de se lembrar de que a
aprendizagem de qualquer conteúdo pode esbarrar no modelo alternativo ou
conhecimento prévio do aluno. Dentro da Teoria da Aprendizagem Significativa de
Ausubel o conhecimento prévio, especificamente relevante, pode ser entendido como
subsunçor, um conceito crucial para essa teoria. Os subsunçores são conhecimentos já
estabelecidos na estrutura cognitiva do aluno e que lhe permite, a partir da interação, dar
significado a outros conhecimentos. (MOREIRA, 2010)
Para Ausubel, a aprendizagem significativa só poderá ocorrer com a satisfação
dos seguintes itens: (i) o aluno precisa ter conhecimentos prévios relevantes para dar
suporte cognitivo à nova informação; (ii) o material precisa ser potencialmente
significativo; e (iii) o aluno tem que estar com disposição para aprender. (MOREIRA,
2006)
Por material potencialmente significativo entende-se aquele que tenha
significado lógico e que seja relacionável com a estrutura cognitiva do aluno. Vale
ressaltar que o material não pode ser por si só, significativo, mas apenas potencialmente
23
significativo uma vez que quem dá significado ao material é o aluno. (MOREIRA,
2010)
Gonzaga defende que
“a geometria é uma peça fundamental para a demonstração dos
fenômenos ópticos, ou seja, a matemática tem que andar ao lado da
física para haver um crescimento da comprovação de acontecimentos
físicos que ocorrem em nosso redor. A óptica geométrica ao tratar de
raios que se propaga em linha e desviam-se por ângulos bem
definidos, representa um campo em que as leis da geometria podem
ser aplicadas diretamente, levando as muitas conclusões físicas
importantes.” (GONZAGA, n.d. p. 18)
Portanto, o ensino de Geometria influencia direta e indiretamente a compreensão
e representação dos conceitos de Óptica Geométrica. O entendimento dos conceitos de
segmento de reta, o paralelismo, a noção ângulos, por exemplo, são subsunçores
elementares para as aulas de Óptica e fazem parte da sua representação. As noções de
proporcionalidade, semelhanças de triângulos e alguns teoremas da geometria, como o
Teorema de Tales, também formam um conjunto relevante de subsunçores para a
promoção da aprendizagem significativa em Óptica Geométrica. Sendo assim, a
geometria e suas propriedades são de fundamental importância para se trabalhar a
Óptica de forma significativa.
Apesar de serem essenciais para a promoção da aprendizagem significativa, os
subsunçores também podem, ocasionalmente, servir de empecilhos para a
aprendizagem. Às vezes, uma concepção alternativa está tão bem enraizada na estrutura
cognitiva do aluno que se torna praticamente impossível superá-la. Harres (1993)
concebeu um levantamento das principais concepções alternativas mais frequentes sobre
tópicos introdutórios de Óptica Geométrica e, de forma, geral seu trabalho mostrou que
grande parte dos alunos apresenta dificuldades consideráveis nos tópicos introdutórios
da Óptica Geométrica e que essa dificuldade inicial se reflete nos tópicos seguintes
levando a uma perpetuação do erro. Ele comenta que:
“Uma provável causa destas dificuldades talvez resida no fato de que
as concepções alternativas relativas aos tópicos introdutórios da óptica
geométrica ainda não tenham recebido a devida atenção, tanto pelos
autores de livros didáticos como também, e, talvez, até por
consequência disso, pelos professores. ” (HARRES, 1993, p. 221)
24
Mas, mesmo levando em conta as concepções alternativas e usando um
material potencialmente significativo que possibilite o aluno ser protagonista do
processo ensino- aprendizagem, há de se lembrar que, segundo Vergnaud, o
conhecimento é proporcional à amplitude dos campos conceituais e o domínio deste
acontece de forma progressiva, podendo levar até anos. A definição de campo
conceitual dada por Vergnaud é a de que ele é, antes de tudo, um conjunto de situações
e que seu domínio requer o domínio de vários conceitos de naturezas distintas
(VERGNAUD apud MOREIRA, 2002, p. 9). Os campos conceituais não são
independentes, um pode ser importante para o entendimento de outro e assim por diante,
mas é necessária a distinção entre eles.
Arbach (2002), sobre a importância de se estudar geometria, ressalta que “o
campo da geometria foi e é decantado como privilegiado para propiciar condições
favoráveis de apropriação de competências essenciais (...) na medida em que possibilita
o desenvolvimento de habilidades lógicas”.
Mas pesquisas sobre o ensino de matemática como as de Arbach (2002) e a de
Lobo e Bayer (2004) deixam claro que este conteúdo, apesar de sua relevância para a
Matemática e para outras disciplinas, tem sido, ao longo dos anos, negligenciado. Os
fatores responsáveis por esse descaso vão desde material didático mal estruturado,
currículos falhos, falta de preparo dos professores e a própria falta de tempo.
A negligência dos temas da Geometria é justificada, por alguns professores, pelo
fato de os livros didáticos geralmente apresentarem estes conteúdos nos capítulos finais
das obras. Seguindo a ordem adotada pelo material didático, seria comum não sobrar
tempo no final do ano para ministrar esses conteúdos. Outro fator importante relatado
pelos professores é a falta de segurança em apresentar o conteúdo, o que se deve a uma
formação insuficiente e que acaba por refletir em suas escolhas de currículo.
Quando regidas, as aulas de geometria acontecem de forma tradicional contrário
ao que sugerem os PCN de matemática que apontam para contextualização como
ferramenta facilitadora da compreensão.
“A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e
não a definição. No processo de ensino aprendizagem, conceitos,
ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a
exploração de problemas, ou seja, de situações que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las.” (BRASIL,
1998, p. 40)
25
Capítulo 3
Metodologia
3.1. Local da pesquisa
A aplicação deste trabalho se deu na Escola Municipal Tiradentes situada na
Avenida Lourival Batista S/N, no bairro Divineia na cidade de Nossa Senhora da
Glória, interior do estado de Sergipe. A imagem 3.1 mostra a fachada da escola em
questão.
Figura 3.1: Fachada da Escola Municipal Tiradentes.
Fonte: a autora (2017).
O estabelecimento de ensino conta com 11 salas de aula, secretaria, diretoria,
sala de professores, laboratório de informática, biblioteca, cozinha e depósito.
Atualmente funciona em três turnos e oferece Ensino Fundamental Menor e
Maior de caráter regular, com uma capacidade de matrícula em 2017 de 1881 alunos em
sala de aula, sendo 555 alunos matriculados no ensino fundamental menor e 1326
matriculados no ensino fundamental maior. A escola atende a alunos residentes na sede
do município e dos povoados, que deslocam até a escola através de transporte escolar. A
localização geográfica da escola é mostrada na figura 3.2.
26
Figura 3.2: Localização geográfica da escola.
Fonte: print screen do Google Maps (2017).
3.2. Sujeitos pesquisados: população e amostra
O trabalho foi aplicado em uma turma de 9° ano do ensino regular noturno
durante as aulas de Ciências.
Com uma matrícula inicial de mais de 50 alunos, no período da aplicação
frequentavam regularmente as aulas uma média de 28 alunos devido a uma significativa
evasão dos alunos do turno noturno nessa escola. Esse número flutua de acordo com o
dia da semana. Ao todo participaram das atividades, em algum momento, 28 alunos. A
figura 3.3 mostra alguns alunos durante a aplicação do trabalho.
Figura 3.3: Alunos durante a aplicação do produto.
Fonte: a autora (2017).
Observamos que a maioria significativa dos alunos não estão regulares na faixa
etária para a série que frequentam e cursam o ensino noturno por trabalharem durante o
dia ou terem outras ocupações.
27
3.3. Desenvolvimento dos Produtos
3.3.1 Roteiros de atividade investigativa com a Câmara Escura
de Orifício
A Geometria constitui um conjunto fundamental de ferramentas para a
demonstração dos fenômenos estudados na Óptica Geométrica. Portanto, o seu uso
torna-se imprescindível no ensino de Óptica então nos questionamos sobre como ela era
trabalhada nos livros de Física do Ensino Médio. Para responder a esse questionamento,
analisamos livros didáticos que foram aprovadas no Programa Nacional do Livro
Didático-PNLD de 2011 e 2014 pelo MEC, num total de 10 livros destinados ao 2º ano
do Ensino Médio.
Para nortear a análise, nos concentramos nos tópicos referentes ao
funcionamento da câmara escura de orifício e espelhos planos e em como os livros
analisavam as relações entre as dimensões de um objeto e da imagem gerada por ele e a
simetria como propriedade do espelho plano. Essas características ou relações são
sempre justificadas ou provadas utilizando a semelhança entre os triângulos formados
pelos raios de luz e/ou os prolongamentos destes então analisamos qual a profundidade
com que os livros trabalhavam estes conteúdos.
Dos 10 livros analisados, apenas dois comentam com mais detalhes sobre as
características que permitem afirmar que os triângulos citados são semelhantes. Sendo
que a abordagem mais completa é dada em apenas um livro que prova a congruência
dos triângulos formados entre os feixes refletidos no espelho e seus prolongamentos
para verificar a Propriedade Fundamental dos Espelhos Planos.
Diante desse cenário, vimos na Câmara Escura de Orifício uma boa
contextualização para o ensino da Semelhança de Triângulos com turmas do Ensino
Fundamental, mais precisamente no 9° ano quando os alunos têm contato com este
conteúdo da Geometria e também são apresentados ao ensino da Óptica Geométrica nas
aulas de Ciências.
Optamos por trabalhar o tema de forma investigativa, ou seja, o aluno deveria
tomar contato com o tema a partir de um experimento, fazer observações e então
especular a partir de um roteiro de questões, como sugere os PCN de Ciências da
Natureza.
28
“elaborar individualmente ou em grupo relatos orais, escritos e
suposições acerca do tema em estudo, estabelecendo relações entre as
informações obtidas por meio de trabalhos práticos e de textos,
registrando suas próprias sínteses mediante tabelas, gráficos,
esquemas textos ou maquetes.” (BRASIL, 1998, p. 61)
A câmara escura de orifício é uma ferramenta óptica muito antiga. Alguns
historiadores indicam o aparecimento da câmara aproximadamente por volta do século
V a.C. Os créditos de sua criação ficaram com o árabe Alhazen. Ele descreveu na sua
obra, Livro sobre Óptica (1011-1021), o mecanismo da visão aproveitando-se dos
princípios da câmara escura combinando provas geométricas com demonstrações
experimentais (OLIVEIRA, 2015). A figura 3.4 ilustra a utilização de uma câmara
escura ou quarto escuro por Alhazen.
Figura 3.4: Alhazen utilizando uma câmara escura de orifício
Fonte: Famous Psychologist- Alhazem3.
Ao longo da história já se construíram câmaras escuras de vários tamanhos
inclusive do tamanho de quartos inteiros, as chamadas salas escuras, mas só no final do
século XVII foram construídas as primeiras câmaras escuras portáteis. Uma câmara
escura de orifício é basicamente uma caixa ou sala completamente escura onde a
comunicação com o meio exterior se dá apenas por um pequeno orifício, daí vem o seu
nome. Na parede oposta é fixado um tecido ou papel branco para funcionar como uma
espécie de tela onde eram projetadas as imagens.
Uma vez que iriam trabalhar com a Câmara Escura de Orifício de forma
investigativa, precisávamos construir um bom exemplar dela, algo que instigasse e que
fosse o mais dinâmico e interativo possível. Como já se construiu Câmaras Escuras de
3 Disponível em: http://www.famouspsychologists.org/alhazen. Acesso em julho 2017.
29
todos os tamanhos, optamos por uma que os alunos pudessem se sentir fazendo parte do
experimento estando dentro, como na câmara escura usada por Alhazen.
Optamos por usar a proposta de câmara produzido no canal Manual do Mundo
por conter todos os aspectos desejados e ser de fácil construção. Ela é construída a partir
de uma caixa de papelão grande (máquina de lavar, fogão) onde o aluno pode observar a
formação da imagem de dentro da caixa.
Figura 3.5: Câmara Escura de Orifício construída.
Fonte: a autora (2017).
Construímos para servir de base a Investigação dois roteiros, um roteiro dirigido
ao professor e outro ao aluno.
No roteiro do professor constam os objetivos dentro da Óptica Geométrica que
pretendem ser explorados com a atividade, os elementos da Geometria trabalhados, o
roteiro para a construção da Câmara Escura de Orifício e o desenvolvimento da
Investigação.
No desenvolvimento, colocamos a apresentação da Câmara Escura os
procedimentos e atitudes que devem ser tomadas pelo professor durante a investigação,
o que esperar das questões propostas e a parte fenomenológica que deve ser transmitida
ao aluno. Incluímos a parte geométrica sobre Semelhança de Triângulos, que deve ser
trabalhada com os alunos durante o andamento da investigação, no corpo do roteiro,
situada no momento (entre quais questões) em o professor deve trabalha-la, para
facilitar a logística da atividade e o trabalho do professor. Desta forma a atividade pode
ser dividida em dois momentos, antes e depois da explanação por parte do professor do
conteúdo da semelhança de triângulos.
O roteiro do aluno é mais simples, consta da apresentação da Câmara Escura de
Orifício e as questões com campos a serem respondidas.
30
A investigação foi ser realizada em grupo, mas a construção das respostas se deu
individualmente. Para explorar a comunicação entre o grupo e a troca de saberes
incluímos uma questão sobre as respostas construídas pelos colegas.
Aliado ao material, o professor deve agir como mediador buscando fazer
questionamentos dentro da Zona de Desenvolvimento Proximal a chamada ZDP média
dos alunos que é “uma região psicológica hipotética que representa a diferença entre as
coisas que a criança pode sozinha e as coisas para as quais necessita de ajuda” (PRÄSS,
2012). A proposta é que o aluno não se comporte como um mero receptor de
informações, mas como protagonista que busca autonomia instigado pelo espírito
investigativo de forma a otimizar o processo de ensino-aprendizagem. Embora
autônomo, ele não atua sozinho. A metodologia central da atividade proposta é a
“aquisição de conhecimentos pela interação social” enfatizando o processo histórico-
social e o papel da linguagem (PRÄSS, 2012). Segundo ele, atuando dentro da ZDP e
com o auxílio de um adulto, o aluno é capaz de adquirir conhecimentos que seriam
inatingíveis se estivesse sozinho. Segundo Vygostky, o desenvolvimento cognitivo
ocorre em duas etapas: a primeira é a interpessoal, em que acontece o compartilhamento
de informações (signos, instrumentos e significados) mediante a interação com um
adulto ou alguém que tenha mais experiência podendo ser inclusive um colega; a
segunda é a intrapessoal, em que cada indivíduo busca realizar a internalização das
informações previamente compartilhadas procurando relacioná-las com os seus
conhecimentos prévios. (PRÄSS, 2012). Isso é premissa para uma boa aprendizagem
segundo Vygostky. Quando no aluno ocorre somente a primeira etapa (interpessoal),
dizemos que houve uma aprendizagem mecânica, ao passo que se a segunda etapa
também foi bem trabalhada (intrapessoal), ocorre uma aprendizagem significativa.
No ambiente de sala de aula, as teorias de Vigotsky e Ausubel estão implícitas
na interação social entre os alunos e entre alunos e professores, nas atividades atrativas
e instigantes para serem trabalhados em grupos. Nos grupos os diálogos podem servir
de motivação para aprender, além de propiciar a troca de experiências através da
exposição oral ou escrita de ideias.
As questões presentes no roteiro da investigação partem da observação do
fenômeno indo para a especulação quanto a sua explicação e posterior teste de aplicação
e uso dos conceitos trabalhados a partir dos esquemas montados, troca significados e
quem sabe, conflitos cognitivos.
31
3.3.2 Roteiros de atividade investigativa para medição de
alturas.
Para complementar o trabalho com Semelhança de Triângulos montamos a
atividade para a medição de altura a partir da sombra de objetos para introduzir o
Teorema de Tales.
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que
viveu no século de 624 ou 625 a.C. e é apontado como um dos sete sábios da Grécia
Antiga.
Conta a lenda que Tales usou de seus conhecimentos sobre Geometria e
proporcionalidade para determinara altura da pirâmide de Quéops que era a mais alta
das pirâmides do Egito a partir do tamanho de sua sombra e da sombra de uma estaca.
Como ilustrado na figura 3.6.
Figura 3.6: Representação da pirâmide e da estaca
Fonte: (PAULA e FERNANDES, ANO, p. 3)
Segundo Bongiovanni (2007), a pergunta que paira no ar é se os textos
existentes que tratam da medida da pirâmide descrevem apenas uma aplicação do
teorema de Tales ou, pelo contrário, a sua origem?
O Teorema de Tales encontra a sua origem na resolução de problemas práticos
envolvendo paralelismo e proporcionalidade. Estes dois conceitos estão no cerne da
32
relação entre o geométrico e o numérico e se trata de um dos teoremas centrais no
estudo da geometria plana. (BONGIOVANNI, 2007)
Para trabalhar com esse tema, também optamos por explorar o problema prático
de se medir a altura. Mais precisamente de medir a altura de uma árvore (em uma
maquete) de forma indireta a partir do tamanho de sua sombra. Aproveitamos também
para ampliar o campo conceitual da propagação retilínea da luz explorando o fenômeno
de produção da sombra.
A figura 3.7 ilustra a maquete utilizada.
Figura 3.7: Maquete utilizada na aplicação.
Fonte: a autora (2017).
A construção dos roteiros desta atividade se dão nos mesmo termos da
construção do roteiro da atividade da Câmara Escura de Orifício.
Desta forma, no roteiro do professor constam os objetivos dentro da Óptica
Geométrica que pretendem ser explorados com a atividade, os elementos da geometria
trabalhados, o roteiro para a construção da Maquete e o desenvolvimento da
Investigação.
No desenvolvimento, colocamos a apresentação do problema falando sobre
Tales e a necessidade de fazer a medida da altura de forma indireta, os procedimentos e
atitudes que devem ser tomadas pelo professor durante a investigação, o que esperar das
questões propostas e a parte da formalização geométrica que deve ser transmitida ao
aluno.
As questões envolvem basicamente a investigação da explicação dos alunos para
a formação das sombras para a apresentação do Teorema de Tales e a partir deste fazer a
diferenciação entre retas paralelas e transversais.
33
Esta atividade é mais simples e serve para aprofundar a semelhança de
triângulos e trabalhar de forma algébrica a relação de proporcionalidade entre as
grandezas. Mas não é um dos objetivos deste roteiro avaliar o desempenho dos alunos
na resolução algébrica e sim promover o seu uso.
O roteiro do aluno consta da apresentação do problema da medição indireta da
altura da árvore e as questões com campos a serem respondidas.
As ideias sobre a participação dos alunos e o papel do professor durante esta
atividade são as mesmas já citadas para os roteiros da atividade com a Câmara Escura
de Orifício.
3.3.3 Sequência Didática
Como o intuito era trabalhar a Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales
dentro do contexto da Óptica Geométrica precisávamos fornecer aos alunos os conceitos
necessários para o entendimento do funcionamento da Câmara Escura de Orifício e da
formação das Sombras.
Entendendo sequência didática como sendo um conjunto de atividades
articularmente desenvolvidas para atender a objetivos específicos que visam alcançar
com êxito um objetivo principal, precisávamos utilizar recursos que pudessem ser
potencialmente significativos aos alunos a fim de promover a aprendizagem
significativa e modificar os subsunçores relevantes para as atividades seguintes.
Apresentar os conteúdos da Óptica Geométrica através de uma aula tradicional de
quadro e giz não seria condizente com as indicações dos PCN de Ciências que afirmam
que “a problematização busca promover o confronto das vivências e conhecimentos
prévios dos estudantes com o conhecimento científico e, com isso, o desenvolvimento
intelectual dos estudantes” (BRASIL,1998) e nem com a proposta deste trabalho.
Como o Ensino Fundamental é a primeira etapa para o ensino da Óptica, que
será mais bem formalizada no segundo ano do Ensino Médio, uma apresentação
significativa desse tópico tem a pretensão de criar subsunçores nos alunos ou provocar
modificações naqueles já existentes através da interação com o novo conhecimento.
Esses subsunçores, criados ou modificados, seriam acionados novamente durante os
próximos níveis de escolarização dos alunos dando uma eficiência melhor para a
aprendizagem significativa.
34
Roberto (2009), em seu trabalho sobre aprendizagem ativa em Óptica
Geométrica, comenta sobre os ganhos de se trabalhar com atividades práticas que
despertam a curiosidade dos alunos e provocam seu envolvimento durante o trabalho.
Seu trabalho consistiu na elaboração de roteiros de experimentação e demonstração para
o ensino da Óptica Geométrica além de pesquisas de campo envolvendo alunos de
Ensino Médio e Superior.
De posse das atividades sugeridas por Roberto, escolhemos aquelas que são
factíveis, parte inicial do estudo da óptica, e fizemos alterações para atender as nossas
necessidades.
Outro material usado foi o Active Learning in Optics and Photonics
(UNESCO,2006) que é um manual desenvolvido pela Organização das Nações Unidas
para a Educação, Ciência e Cultura - UNESCO para treinamento de professores em
aprendizagem ativa. Novamente, alteramos a proposta inicial para que atendessem as
nossas expectativas.
A sequência final ficou composta por cinco atividades as quais chamamos de
atividades investigativas. As três primeiras tratam de fenômenos da Óptica Geométrica
e foram usadas também para averiguar os subsunçores dos alunos sobre alguns
conceitos geométricos para poder reforçá-los, como os conceitos de reta, segmento de
reta, ângulos e medidas de ângulo. O reforço dos conteúdos geométricos acontecia
posteriormente a investigação assim como a formalização do conteúdo óptico a partir do
que era trabalhado em cada atividade.
As duas últimas investigações tratam da apresentação dos temas de Semelhança
de Triângulos e Teoremas de Tales a partir de fenômenos ópticos, formação da imagem
da Câmara Escura de Orifício e formação de Sombras. O quadro 3.1 indica quais foram
os objetivos pretendidos para cada investigação explorada.
Quadro 3.1: Atividades e objetivos pretendidos.
Atividade Objetivos
Óptica geométrica Geometria
Investigação
1: Como a luz
pode ser
representada por
raios.
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, diferenciar feixes divergentes,
convergentes e paralelos.
Explorar o conceito de reta,
segmento de retas e retas
paralelas.
35
Investigação
2: Você sempre
vê as reflexões em
espelhos?
Explorar a propagação retilínea da
luz, mostrar o princípio da
reversibilidade dos raios de luz,
mostrar a reflexão em espelhos
planos e motivar o surgimento de
ideias sobre o fenômeno.
Explorar a ideia de segmento
de reta.
Investigação
3: Como a luz é
refletida em um
espelho?
Identificar que o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de
reflexão e perceber o princípio da
independência dos raios de luz.
Trabalhar com segmentos de
retas, verificar e reforçar a
noção de ângulo e como
medir ângulos.
Investigação
4: Câmara Escura
de Orifício.
Inferir o princípio de propagação
retilínea da luz e o princípio da
independência dos raios luminosos,
contextualizar a semelhança de
triângulos e comprovar a
propriedade fundamental dos
espelhos planos.
Explorar a ideia de figuras
semelhantes, construir a
semelhança de triângulos e
verificar a semelhança dos
triângulos na câmara e
classifica-la e no espelho
plano.
Investigação
5: Medindo
alturas
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, explorar o Teorema de Tales.
Diferenciar retas paralelas e
retas transversais, explorar a
semelhança de triângulos,
trabalhar a noção de
proporções e apresentar
Teorema de Tales. Fonte: a autora (2017).
Todas as atividades de Investigação dispõem de estruturas semelhantes nas quais
são apresentados os objetivos pretendidos, os elementos geométricos que podem ser
explorados, materiais utilizados e desenvolvimento com instruções da aplicação e
comentários sobre o que esperar das respostas dos alunos. Para os alunos foram
montados roteiros similares no quais constam as perguntas a serem respondidas.
Os materiais utilizados nas Investigações são mostrados nas figuras 3.8 e 3.9.
Figura 3.8: Materiais utilizados nas investigações. a) material da investigação 1. b)
material da investigação 2. c) material da investigação 3.
Fonte: a autora (2017).
36
Figura 3.9: Materiais utilizados nas investigações.a) material da investigação 4. b) material
da investigação 5.
Fonte: a autora (2017).
37
Capítulo 4
Procedimentos para Aplicação do Produto
Como o produto para o trabalho com os temas da Geometria estão inseridos em
uma sequência didática que explora a Óptica Geométrica, temos que sua utilização pode
se dar em separado da sequência de ensino. A aplicação de toda a sequência se deu num
total de sete aulas de 45 minutos, sendo que duas delas, quinta e sexta aula, foram
usadas para aplicar o roteiro sobre Semelhança de Triângulos e uma aula para o
Teorema de Tales.
A sequência da aplicação está disposta no quadro 4.1.
Quadro 4.1: Distribuição das atividades durante as aulas.
Atividade
Primeira Aula Texto de apresentação/ Investigação 1
Segunda Aula Continuação da Investigação 1
Terceira Aula Discussão/ Investigação 2
Quarta Aula Investigação 3
Quinta Aula Discussão/ Investigação 4
Sexta Aula Continuação da Investigação 4
Sétima Aula Discussão e Investigação 5
Fonte: a autora (2017).
As atividades foram realizadas em grupos pequenos montados pelos alunos por
afinidade. A instrução inicial era que as atividades deveriam ser discutidas em grupo,
mas cada aluno deveria construir suas respostas de forma individual. A troca de ideias e
significados entre o grupo era parte importante da metodologia empregada ao mesmo
tempo em que a construção individual também deveria ser buscada. Neste contexto, o
papel do professor era o de mediador durante as investigações e no final delas o de
conciliador de significados com o intuito de formalizar os conceitos explorados.
Nos itens que se seguem apresentamos a vivência de toda a aplicação.
38
4.1. Primeira Aula
A primeira aula não foi o primeiro contato com a turma. O primeiro contato se
deu anteriormente para a apresentação do projeto e aviso de que as próximas aulas
seriam atípicas e ministradas por uma professora diferente.
A apresentação dos conteúdos que seriam trabalhados, Óptica geométrica e
Geometria, se deram a partir de um texto em formato de entrevista. A leitura foi feita
pelo professor acompanhado dos alunos. Após a leitura situou-se a área de estudo e a
justificativa para tal.
Dando início a primeira parte da atividade, foi distribuído o questionário para os
alunos e dispostos os materiais necessários. Os materiais para essa prática foram canos
de PVC com barbantes fixos, uma lâmpada com suporte e fita adesiva. Em seguida, foi
explicado que eles deveriam responder as questões individualmente após a discussão
coletiva seguindo as orientações do professor.
Pediu-se inicialmente que 5 alunos, um de cada grupo, distribuídos em diferentes
pontos da sala se colocasse como voluntário para a prática. E a partir de suas posições
relatassem suas observações para que se seguisse o roteiro. Depois dos comentários dos
primeiros voluntários, os demais alunos dos grupos também participaram. Vale ressaltar
que a prática foi feita usando a lâmpada acessa e apagada para que eles diferenciassem
entre ver a lâmpada e identificar a luminosidade gerada por ela. A figura 4.1 mostra os
alunos durante a aplicação.
Figura 4.1: Alunos durante a aplicação da investigação 1.
Fonte: a autora (2017).
Os alunos se mostraram bem participativos e interessados em opinar no grupo e
alguns chegaram a propor outras situações e outras posições para teste. Interagiram
bastante com o material, o que foi bastante proveitoso para tornar a aula significativa.
Mas já nas primeiras questões um problema se mostrou pertinente: a dificuldade ou falta
39
de hábito de ler as perguntas e problemas para entendê-las. Amiúde alguns alunos
perguntavam o que deviam fazer, mesmo sem ter lido a pergunta, ou como deveriam
responder. Para intervir o mínimo possível, questionava se haviam lido, quando a
resposta era “não”, pedia que lessem e caso a resposta fosse “sim”, insistia para que
lessem novamente e somente após 10 a 15 minutos, fazia uma leitura com eles de forma
compassada. De forma geral, pode-se dizer que eles gostam de participar da parte
prática, lúdica, mas não mantém o mesmo entusiasmo na hora de escrever, responder,
construir suas respostas.
Nesta aula, não foi possível concluir a atividade. Então o roteiro foi recolhido
para ser concluído na aula seguinte.
4.2. Segunda Aula
Dando prosseguimento a atividades da investigação 1, o primeiro passo era
certificar-se que todos os grupos e alunos tinham chegado ao mesmo item para se dar
seguimento ao roteiro.
Para a segunda parte da atividade, foi usada uma caneta laser. Antes de iniciar a
atividade, foi discutido sobre os riscos que seu mau uso poderia ocasionar e sobre os
cuidados necessários. Dando seguimento ao roteiro, era o momento avaliar a
propagação da luz oriunda do laser. Questionados sobre o contato com a caneta laser,
muitos afirmaram que sim, que já haviam visto ou brincado com uma delas. No
momento de visualizar a luz do laser quando perguntados como melhorar a visualização
muitos sugeriram apagar as luzes da sala e depois de apagada, quando notaram que não
era suficiente, sugeriram apagar as luzes da escola inteira para tornar possível a
visualização. Um aluno chegou a comentar que seria útil que faltasse luz na cidade
porque isso acabaria com qualquer luz proveniente de fora da sala o que ajudaria. Como
sugestão para a visualização foi usado talco, poderia ser também pó de giz. Um dos
alunos saiu salpicando talco por sobre o feixe e isso causou um impacto positivo nos
alunos e uma sujeira por toda a sala também.
Novamente os alunos se mostraram bem participativos durante a parte prática e
o problema com a leitura e entendimento das questões continuou aparecendo e foi
possível notar certa apreensão por parte dos alunos sobre quem iria ler o que eles
haviam escrito. Para combater esse sentimento, sempre que questionavam sobre o que
40
deveriam responder (na tentativa de não errar) dizia-lhes para não se preocupar com o
erro, mas que não fossem relapsos e fizessem o melhor que podiam.
4.3. Terceira Aula
Nesta aula, tivemos a participação de um número maior de alunos. O início da
aula foi utilizada para formalizar alguns conceitos explorados nas práticas das aulas
anteriores. Alguns alunos participaram da discussão respondendo às perguntas e
pontuando sobre suas observações, mas a maioria se mostrou retraída para as respostas.
Já tinha ficado claro, como esperado, o medo de errar na frente dos colegas. Eles
estavam mais inquietos e agitados, o que indicava que manter o controle iria me exigir
um pouco mais.
Passada a discussão, deu-se início a segunda investigação. Após distribuir os
questionários e dispor os materiais, que neste caso eram um espelho, a lâmpada no
soquete e um tecido preto, foi explicada a situação que eles deveriam avaliar e pedido
que três alunos, de pontos diferentes da sala, se colocassem a disposição para serem
voluntários. Escolhidos os voluntários deu-se prosseguimento ao roteiro da atividade.
Durante a discussão entre os grupos para a escolha de quem iria ver o reflexo da
lâmpada no espelho foi possível testemunhar algumas das estratégias usadas por eles
para chegar a uma conclusão, uma delas foi associar com a situação com a vivida por
um motorista quando tenta ver o trânsito pelo retrovisor. Nas palavras deles, não dá para
enxergar pelo retrovisor da esquerda o que está do lado direito do carro. Essa discussão
se estendeu e deve ter servido de base para a construção das respostas desse grupo e de
outros já que era inevitável, por mais que fossem coibidos, que eles tentassem visualizar
as atividades de outros colegas.
Na figura 4.2 são mostrados os alunos durante a aula.
41
Figura 4.2: Alunos durante a aplicação da investigação 2.
Fonte: a autora (2017).
De forma recorrente, percebe-se a dificuldade e a falta de interesse em construir
suas respostas. Mesmo sendo instigados, os alunos precisavam ser chamados ao foco da
atividade. Outro fator que dificultou o desenvolvimento das atividades foi o hábito dos
alunos não assistirem todas as aulas e por isso ficarem impacientes e tentando sempre
dar um jeito de sair da sala.
4.4. Quarta Aula
A aula iniciou dando indícios de se tratar de um dia atípico, era sexta-feira à
noite e os alunos estavam agitados e em menor número, o que seria um problema a ser
adicionado aos já recorrentes.
Para começar a atividade, foram distribuídos os materiais nos grupos sem
explicar para que seriam usados. Como eles trabalhariam novamente com a caneta laser,
as considerações sobre a segurança do manuseio foram refeitas. Dando seguimento ao
roteiro, foi solicitado que respondessem as questões iniciais e só depois foi dito como
usar os materiais.
Foi perceptível a dificuldade de alguns para interpretar o que seria o ângulo,
onde começava e até onde ia. Para usar o transferidor também houve dificuldade. Os
alunos que já sabiam ou já tinham usado o transferidor acabaram dando suporte aos
outros colegas, mas como já era previsto, foi necessário retomar o tema e ensiná-los a
medir ângulos. Ainda assim notou-se que a falta de prática e dificuldade para executar a
medida acabou interferindo em suas respostas.
42
4.5. Quinta Aula
Como planejado, a aula iniciou-se com a discussão sobre o que foi visto nas
últimas, para em seguida iniciar o roteiro da quarta atividade de investigação. Foi
apresentada a câmara escura para eles e como ela foi construída. Sem dúvida essa foi a
prática que mais os instigou por se tratar de uma coisa que eles nunca tinham tido
contato e pela possibilidade de interagir com a câmara.
A câmara havia sido testada e estava se mostrando satisfatória para utilização,
mas por garantia e por saber que poderia encontrar dificuldades para sua utilização em
sala como, por exemplo, pouca iluminação e o fato de nem todo mundo caber dentro da
caixa foi apresentado para a turma um vídeo da construção e utilização da câmara
escura (vídeo do experimento Cinema na Caixa produzido pelo canal Manual do
Mundo4). E a partir das duas experiências construíram suas respostas.
A primeira parte das questões era sobre apontar as características observadas e
argumentar sobre como era formada e por que era invertida. Isso rendeu muitos
comentários entre os grupos e muitas especulações foram feitas e hipóteses levantadas.
Mas a maioria tentava explicar a inversão pelo tamanho do orifício da caixa e
especulando sobre o que aconteceria se ele fosse aumentando chegando até o ponto de
todo o lado da caixa está aberto e neste momento a conclusão foi que não se teria mais
uma caixa.
Como o tempo de duração de uma aula não foi suficiente para concluir a
atividade, os roteiros foram recolhidos para serem finalizados na aula seguinte. Apesar
de curiosos para ver e interagir com a caixa, a fadiga entre os alunos já era evidente,
pois já era a quinta aula respondendo a questionários. O problema não era observar,
discutir e sim a necessidade de se construir respostas.
Um grupo de alunos em particular parecia desinteressado, sentaram-se mais ao
fundo da sala e demoraram mais do que o necessário para responder por estarem
envolvidos em conversas paralelas ao tema. Não que isso não tenha acontecido nas
outras aulas, vez ou outra era necessário cobrar que retomassem o foco, mas desta vez
foi um indicador de desgaste.
4 Disponível em: http://www.manualdomundo.com.br/2012/05/cinema-na-caixa-camara-escura.
Acesso em agosto 2016.
43
4.6. Sexta Aula
Continuando a prática sobre câmara escura, chegou-se ao objetivo central da
prática que era construir o conceito de semelhança de triângulos. Antes de discutir qual
seria a função do orifício e como a imagem se formava dentro da caixa foi pedido aos
alunos que não alterassem suas respostas após ouvirem ou terem contato com as
imagens que iriam receber.
Durante a explanação sobre o que seriam ângulos e lados correspondentes foi
usado apenas o quadro e giz e foi perceptível que seria mais fácil o entendimento se os
alunos tivessem contato com algo palpável como figuras geométricas sólidas. Dando
seguimento ao roteiro e em posse dos casos de semelhança trabalhados, era o momento
dos alunos analisarem dois triângulos resultantes da formação da imagem em um
espelho plano. A ideia era que eles analisassem o que os triângulos tinham em comum e
justificassem suas escolhas, mas mesmo durante a aplicação foi perceptível que eles
acabaram por classificar os triângulos seguindo os casos de semelhança vistos.
4.7. Sétima Aula
A sétima aula iniciou com a discussão e comentários sobre a última questão da
atividade anterior, para justificar a simetria no espelho iniciou-se a última atividade. Os
alunos tiveram contato com a maquete e foi explicado qual era o intuito de tal prática,
medir indiretamente a altura da árvore. A sugestão inicial proposta pelo roteiro era
marcar o tamanho das sombras ao colocar a maquete ao Sol, mas como se tratava de
uma aula noturna usou-se a sombra gerada por uma das lâmpadas da sala. Por isso,
foram feitas considerações entre as diferenças entre as fontes de luz Sol e lâmpada e o
porquê de tal alteração já que os esboços presentes no questionário levavam em conta as
características dos raios solares.
Escolhida a fonte de luz que seria adotada e após os alunos responderem as duas
primeiras questões, um aluno foi chamado para ser voluntário para marcar, na maquete,
as sombras da árvore e do palito. Feito a marcação, foi colocado o barbante para
representar os raios solares ou, neste caso, de forma hipotética, os raios de luz
provenientes da lâmpada. Quando questionados sobre qual figura o conjunto (árvore,
marcação da sombra e barbante) formavam, não titubearam e falaram que eram
triângulos. Pediu-se então que comentassem entre eles quais as semelhanças entre os
triângulos formados.
44
Resolver o problema de medir a altura da árvore foi apresentado como estratégia
histórica que levava em conta o Teorema de Tales que foi apresentado no quadro para
os alunos. E depois de apresentado o teorema construiu-se, também no quadro, com os
alunos a relação de proporção que seria usada na medida. Feito isso eles deram
continuidade com as respostas no questionário e o mesmo aluno que havia marcado as
sombras ficou incumbido de medi-las bem como o tamanho do palito.
Como novamente era sexta-feira, o número de alunos foi reduzido, mas desta
vez a turma estava bem mais calma e não houve nenhum problema significativo de
disciplina apesar dos problemas para manter o interesse em responder o questionário
tenha estado presente como nas outras práticas. Na figura 4.3 são mostrados os alunos
durante a aula.
Figura 4.3: Alunos durante a realização da investigação 5.
Fonte: a autora (2017).
45
Capítulo 5
Análise de Dados e Discussão
Para a análise dos dados obtidos, optamos por seguir um caráter qualitativo
analisando o discurso dos alunos a partir das respostas dadas durante a realização das
atividades.
Entendo que a construção do conhecimento não é um processo linear e que as
dificuldades conceituais dos alunos são superadas na medida em que são encontradas,
além de que as concepções alternativas podem servir de empecilhos para a
aprendizagem. Desta forma, procurou-se avaliar não somente se as respostas dadas
estavam certas ou erradas e sim se foram capazes de propor situações que
possibilitassem o surgimento de conflitos cognitivos que poderiam auxiliar na posterior
assimilação.
Da análise dos questionários, algumas dificuldades mostraram-se recorrentes,
comuns à boa parte da turma. Dentre elas podemos citar:
Dificuldade para ler e interpretar o enunciado. Alguns alunos erravam
por não entender o que a questão pedia. Isso fica evidente em respostas construídas sem
nexo ou que façam referência a outros momentos da atividade. A insistência em
perguntar o que deveriam fazer sem ler a pergunta ou o que era a resposta certa também
demonstra dificuldade de interpretação e o pouco hábito de leitura;
Dificuldade para a construção de resposta e o uso correto de alguns
termos. Por exemplo, usar a palavra direção quando todo o contexto da resposta leva ao
entendimento de que a ideia era usar a palavra ângulo;
Dificuldade em escrever corretamente;
Insistir em explicar algo simplesmente relatando o que foi observado.
Apresentamos a seguir a análise das Investigações que compõem a sequência didática.
Para a identificação dos alunos atribuímos para cada um uma letra, por exemplo, aluno A, ou
um conjunto de letras, por exemplo, aluno AB.
46
5.1. Investigações 1,2 e 3
Essas investigações fornecem a base para a formalização dos conceitos da
Óptica Geométrica para o entendimento da formação da imagem da Câmara Escura de
Orifício e para a formação das Sombras. Além de servirem para avaliar o entendimento
dos alunos de alguns conceitos de Geometria para reforçá-los.
Ao analisar a Investigação 1, buscou-se por indícios da construção de ideias
referentes à propagação retilínea da luz, do uso de raios de luz para representar a
trajetória descrita pela luz e o entendimento das características e diferenças entre raios
de luz divergentes e paralelos, além de averiguar o domínio conceitual de reta e
segmento de reta. Vinte e um alunos participaram desta atividade.
A questão de número 3 explora a conceitualização da propagação retilínea da
luz. Nesta questão, todos os alunos possuem os esquemas de assimilação que a luz
propaga em linha reta.
3. Com base na questão anterior, como a luz se propaga, como uma reta
acompanhando o cordão esticado ou uma curva?
Uma das justificativas usadas para reforçar essa conclusão pode ser vistas na
resposta do aluno Q transcrita abaixo:
“Em linha reta, pois seguindo o barbante que esta[sic] em linha reta conseguimos
ver a luz. ”
Vale ressaltar que os alunos empregam a palavra luz para se referir à lâmpada
utilizada na investigação. Isso denota que a internalização dos instrumentos luz e
lâmpada ainda estão incompletos, não permitindo a clara distinção entre eles.
Quanto a internalização ao uso dos raios como signos para representar a
trajetória descrita pela luz, usamos como referência as questões 4 e 9.
4. No diagrama da figura 1.2 esboce 5 raios de luz que começam no bulbo da
lâmpada e vão até os pontos de 1 a 5. Compare com o de seus colegas.
47
Figura 1.2: Esquema de disposição da lâmpada e dos alunos.
9. Com base em suas observações, esboce alguns raios deixando o laser no esquema
da figura 1.3.
Figura 1.3: Esquema de disposição do laser e dos pontos.
Na questão 4, apenas um aluno não fez o esboço condizente com trajetória
esperada para a luz.
Já na questão 9, seis alunos (correspondente a 28,6%) não ilustraram o pedido,
ao invés disso desenharam feixes de luz indo para todos os pontos o que pode indicar o
não entendimento da questão como mostra a justificativa dada pelo aluno X:
“Encontramos raios de luz em qualquer ponto depende em qual posição você
coloca o laser. ”
Outro fato interessante sobre a questão é que sete alunos foram bem literais em
seus desenhos. Um artifício usado para visualizar o feixe de luz do laser foi o uso de
talco por sobre o feixe para elucidar sua trajetória através da reflexão causada pelas
partículas suspensas. O talco foi salpicado, por assim dizer, por um aluno e não se
distribuiu uniformemente por todo o feixe deixando trechos em que o caminho do laser
era visto e outros não. Alguns alunos representaram isso em seus desenhos.
48
Figura 5.1: Ilustração feita por um aluno do comportamento de um feixe de luz proveniente de
uma caneta laser. Ele tentou representar de forma literal o que viu durante a prática, trecho onde
o caminho do laser ficou aparente devido à presença do pó.
Fonte: aluno J (2017).
A partir destas questões e das discussões, durante e posterior à prática, percebeu-
se que eles não tiveram dificuldade em utilizar os segmentos de reta para representar o
caminho da luz. Desta forma, pode-se que os alunos demonstraram evidencias de
assimilação do conceito trabalhado.
As questões 5, 7 e 11 ampliam os campos conceituais ao incrementar a diferença
entre feixes divergentes e paralelos.
Na questão número 5, o foco se dá em como se comportam os feixes
divergentes.
5. Descreva esses raios em palavras. Como eles são desenhados à medida que a
distância ao filamento aumenta?
Mesmo sem saber que se tratava de feixes divergentes, os alunos deveriam
apontar como eles se comportavam. Apenas 6 alunos (correspondente a 28,6%)
conseguiram apresentar, a partir do esboço construído, características pertinentes como
o espalhamento e aumento progressivo da distância entre os raios de luz, indicando um
progressivo domínio dos signos de feixes divergentes. A resposta dada pelo aluno P,
transcrita abaixo, ilustra essa situação.
“Diacordo com a distancia que cada ponto vai ficando do bulbo os raios vai
ficando cada vez mais distante um do outro.”[sic]
Alguns alunos parecem não conseguir usar corretamente termos ou palavras para
expressar o que querem. No trecho citado abaixo o aluno X usa palavra “sintonia” para
expressar umas das características observadas.
“Ficam sempre em reta apesar da distancia de um para outro ficam totalmente em
sintonia.”[sic]
49
Parece que quer expressar que, apesar do espalhamento do feixe (apesar da
distancia de um para o outro), ele ainda forma um todo. Para a maioria, ainda percebe-
se uma dificuldade no domínio da linguagem escrita para expressar os significados do
fenômeno observado.
Mas a maioria dos alunos se prendeu a apontar como característica o fato de
cada ponto marcado ao redor da lâmpada ter uma distância diferente até o bulbo e,
portanto, os raios desenhados por eles, até esses pontos, também terem tamanhos
diferentes como pode ser visto na resposta do aluno Q abaixo.
“São desenhados em linha um ta mais próximo outro ta médio e outro mais
distante.”[ sic]
O significado distância correspondente ao tamanho do signo segmento de reta
parece que foi inicialmente estabelecida.
Já na questão 7, o intuito era explorar a diferença entre a luz do laser e da
lâmpada.
7. Aponte as diferenças que você identificou entre a luz do laser e a da lâmpada e a
forma como elas atravessam a sala.
Treze alunos (correspondente a 61,9%) usaram como diferenciação o uso do pó
para visualizar o feixe. O aluno M foi um deles.
“São poucas diferenças entre uma conseguimos vê os raios diretamente se pressisa
de pó e a outra para enxegamos pressisa do pó.”[sic]
Ao comentar que consegue ver os raios diretamente da lâmpada, podemos inferir
que seus esquemas de assimilação associam a visão desses raios à possibilidade de
detectar a luminosidade no ambiente gerada pela lâmpada, o que ele não observou com
o laser.
Oito alunos (correspondente a 38,1 %) diferenciaram usando a forma como eles
atravessavam a sala, o que de fato foi pedido, atribuindo ao laser um comportamento
mais local e para a lâmpada um caráter mais expansivo que ocupa toda a sala o que
pode ser percebido nas respostas dos alunos O e Y mostradas, respectivamente, abaixo.
“O do laser fica em linha reta e a da lâmpada expande suas raios.”[sic]
“A do laser fica em linha reta as partículas do giz juntasse formando uma reta e a
luz forma um circulo em torno dela espandindo a luz ao seu redor”[sic]
50
Na questão de número 11, os alunos são questionados se os feixes de luz solar
que atingem a Terra se assemelhariam mais aos raios oriundos da lâmpada ou do laser.
Isto serviria para introduzir aos alunos, posteriormente, o paralelismo dos raios solares
que eles usariam na última atividade de investigação.
11. Você acha que existem outras situações nas quais os raios podem ser
representados como os saídos de um laser? Imagine um feixe de luz solar que
atinge a Terra, ele seria constituído de raios luminosos semelhantes aos da
lâmpada ou do laser?
Como esperado a maioria dos alunos, 16 deles (correspondente a 76,2%), disse
que o feixe de luz solar se assemelharia aos da lâmpada. Os que justificaram sua escolha
disseram ser pela forma como a luz se espalha como, por exemplo, na transcrição do
aluno Y abaixo:
“Sim, o da lâmpada por se espandir [sic] como os raios locais.”
Quando o aluno usa “raios locais” dá a entender que se trata dos raios
observados durante a prática com a lâmpada. Esse termo ad-hoc juntamente com a
percepção da divergência dos feixes, nos permite concluir que ele foi utilizado como um
esquema de assimilação para a expansão do seu campo conceitual promovendo um
notório domínio conceitual.
Aqueles que optaram pelo laser, 5 alunos (correspondente a 23,8%), apontaram
motivos como a luz do laser conseguir percorrer uma distância maior. Essa percepção
de alcance de maiores distâncias foram os esquemas de assimilação utilizados por esse
grupo de alunos do qual faz parte o aluno X cuja resposta é mostrada abaixo.
“Sim saidos [sic] do laser porque a luz do laser é quem consegue ir mais longe
mesmo sendo diferente da luz que clareia em geral.”
Percebe-se que ele tenta conciliar a ideia de que a luz do Sol se expande a partir
dele, como na lâmpada, com a de que laser consegue percorrer grandes distâncias.
Provavelmente este aluno já deve ter brincado com uma caneta laser e usando-a para
apontar coisas distantes e por isso conhece seu poder de alcance. Ao mesmo tempo em
que associa o alcance da lâmpada ser menor com a observação de que sua intensidade
diminui com a distância. A ideia de que o alcance da luz depende da intensidade da
fonte que a gerou é uma das concepções apontadas como recorrentes entre os alunos.
51
Na Investigação 2 continuamos a explorar a propagação retilínea da luz
construindo situações-problemas gradativamente complexas e introduzindo novos
conceitos. Esta investigação induz no aluno a percepção do princípio da reversibilidade
dos raios de luz, além de tentar desconstruir a ideia de que não existe formação da
imagem de um objeto que não esteja na frente do espelho. Nesta investigação o total de
participantes foi de 24 alunos.
A questão 1 investiga a concepção dos alunos sobre se o espelho reflete a luz.
Todos os alunos disseram que a luz reflete no espelho justificando de diferentes formas.
1. Você acha que a luz reflete no espelho? O que te faz achar isso?
Dentre as justificativas, algumas se destacam por apresentar observações
interessantes sobre o espelho e o comportamento da luz como, por exemplo, o do aluno
X cuja transcrição se segue:
“Sim porque o espelho também é uma fonte de luz que em contato com outra luz
ele ajuda a refletir.”
Nesta transcrição o aluno identifica o espelho como uma fonte de luz e relata
uma interação entre a luz emitida pelo espelho e a que vem do objeto refletido por ele.
O aluno P explorou outros conceitos como campo visual.
“Sim, por que nós conseguimos enxergar as imagens ao redor dentro de seu
campo de visão. Se não refletisse nós não veríamos nada.”
Outros tentam explicar a reflexão a partir de suas experiências, identificando a
reflexão a partir do clarão do flash refletido no espelho como o aluno B.
“Sim. Quando você tira uma foto na frente do espelho com o fleche [sic] ligado
aquela luz do celular bater no espelho o reflexo bate.”
A questão de número 5 pretende que o aluno seja capaz de elaborar o esquema
que representa a trajetória da luz partindo da lâmpada e chegando ao observador. Desta
forma, o que queríamos era que o aluno mostrasse a luz sendo emitida pela lâmpada
seguindo em linha reta até o espelho, lá sendo refletida e continuando o trajeto até o
observador.
5. Desenhe os raios de luz que expliquem o que foi observado.
52
Figura 2.3: Esquema de montagem.
Apenas três alunos (correspondente a 13,5%) não fizeram o esboço segundo o
esperado mostrando descontinuidade do raio de luz e não a visão da lâmpada e sim entre
observadores. A fragilidade na representação dos signos da reflexão do feixe de luz
demonstra que o seu significado não está bem internalizado para estes alunos. Como
foram apenas três alunos que não obtiveram êxito, podemos descartar a hipótese do
material não ter sido potencialmente significativo, mas provavelmente pela falta dos
subsunçores relevantes ou desmotivação para aprender durante a prática. A figura 5.2
ilustra essa situação.
Figura 5.2: Esboço feito pelo aluno B na questão 5 da investigação 2.
Fonte: aluno B (2017).
Outros dois esboços que merecem destaque são mostrados na figura 5.3. Na
figura 5.3 em (a) um o aluno Y dá indícios de compreensão da reversibilidade. Já na
figura 5.3 (b) diferentemente dos demais, o aluno K constrói raios que ilustram a visão
direta da lâmpada e a visão do reflexo no espelho.
53
Figura 5.3: Esboços feitos por alunos na questão 5 da investigação 2.
Fonte: a) aluno Y; b) aluno K (2017).
Na questão de número 6, é explorada a construção da ideia da reversibilidade
dos raios de luz. O intuito da prática era fazer com que os alunos dessem conta do
fenômeno, algo tão corriqueiro e cotidiano, para posterior formalização.
6. Ao trocar de posição a lâmpada (objeto) e o aluno (observador) você observou
que ainda é possível ver o reflexo da lâmpada? E o reflexo da lâmpada está
novamente circunscrita? Como você explicaria isso?
Doze dos alunos não construíram uma explicação para o observado ou
restringiram-se a apontar o que foi visualizado
Seis alunos (correspondente a 25%) justificaram usando a ideia de ângulo.
Disseram ser possível continuar vendo a lâmpada por manterem o mesmo ângulo ou por
estarem no melhor ângulo. Este ângulo deve ser o mesmo ponto de incidência do raio de
luz no espelho. Podemos tomar como exemplo disto as respostas dos alunos AE e AF,
transcritas baixo, respectivamente.
“Isso é possível, porque o reflexo transmite o mesmo ângulo.”
“Ver [sic] porque está no ângulo da visão anterior.”
Na investigação 3 o intuito era oportunizar os alunos a identificar que no
fenômeno da reflexão da luz o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão e
perceber o princípio da independência dos raios de luz, e a partir disso identificar se os
subsunçores para trabalhar ângulos e medida de ângulos estavam presentes. Identificar
os esquemas dos alunos para a medição e delimitação de um ângulo era importante para
as demais atividades. Nesta atividade tivemos a presença de 18 alunos.
Durante a resolução da questão 3, percebeu-se que nem todos alunos dominavam
o conceito de ângulo ou nem possuíam organizadores para medi-los. Essa situação foi
54
amenizada pelo trabalho em grupo onde através da troca de experiência os alunos que já
tinham esquemas para tal ajudaram os demais colegas.
3. Incida um feixe de luz com um ângulo de 45° com o espelho. O que você
observou? Aconteceu o que você imaginava?
Podemos inferir que desta forma o trabalho em grupo ajudou os alunos a se
desenvolverem dentro de sua ZDP. Podemos supor que esses alunos podem nunca ter
tido contato com situações capazes de dar significado para o conceito de ângulo e então nunca
precisaram de esquemas para medi-los.
Seis alunos chegaram a ângulos diferentes do esperado. Além da dificuldade
com o uso do transferidor pode-se apontar outra causa: a insuficiência de ferramentas
para limitar a linha de passagem do laser.
Dos seis alunos que afirmaram ter encontrado um ângulo diferente de 45°, em
geral 40° ou 50°, quatro afirmaram não esperar que o ângulo desse o valor medido.
Na questão 4, o intuito era que os alunos construíssem em uma frase como a luz
se reflete no espelho.
4. Como a luz se reflete no espelho? Explique com uma frase.
Um grupo de quatro alunos afirmou que a luz se reflete do lado oposto. A
dificuldade está em entender a que se refere o oposto dentro das concepções dos alunos.
Quais os esquemas usados por eles para justificar que a luz estaria se refletindo do lado
oposto?
Analisando as demais respostas do grupo atrás de um entendimento percebe-se
que eles afirmam, nas questões 3 e 5, que o ângulo do feixe refletido é igual ao do
incidente, o que nos leva a crer que o oposto faz referência ao sentido. Então pode-se
chegar à conclusão de que eles concordam que a luz é refletida segundo o mesmo
ângulo, mas no sentido oposto.
Outros alunos construíram melhor suas respostas levando em conta o
comportamento retilíneo da luz e a manutenção do ângulo de incidência como o aluno Q
cuja resposta está transcrita abaixo.
“Em linha reta so que em outra posição mais so que mantendo o mesmo
ângulo.”[sic]
55
Na transcrição acima podemos especular que “posição” poderia ser substituída
por “sentido”. O que nos leva a conclusão de que a assimilação do conceito de sentido
não está bem estrutura atuando ainda e pode agir como uma barreira para o
entendimento e verbalização de situações.
A independência dos raios e a igualdade entre o ângulo de incidência e o de
reflexão era o que esperava ser visto no esboço pedido na questão 6.
6. Na imagem abaixo quatro raios de luz incidem em quatro espelhos. Como são os
raios refletidos? Desenhe sua ideia.
Figura 3.3: Esquema para reflexão de feixes de luz incidente em espelhos planos.
Mas esta questão não se mostrou satisfatória. A maioria dos alunos fizeram os
esboços sem muito critério. Apesar de manter o comportamento retilíneo e independente
dos raios, os alunos não exploraram devidamente a questão do ângulo de reflexão.
Mostrando-se insatisfatória para promover uma situação que leve a construção do
conceito desejado.
5.2. Investigações 4 e 5.
Depois dos alunos terem sido colocados no contexto da Óptica Geométrica
através das investigações anteriores e após serem feitas avaliações de seus domínios
conceituais sobre alguns temas da Geometria como segmento de reta, tipos de reta,
ângulos e medidas de ângulos e sua melhor formalização, chegamos as atividades que
tinham uma finalidade geométrica mais marcantes por apresentar Semelhança de
Triângulos e o Teorema de Tales.
Na investigação 4, explorou-se o uso da propagação retilínea da luz para
justificar a formação de imagens invertidas Câmara Escura de Orifício e sua utilização
56
para contextualizar a Semelhança de Triângulos. Participaram desta investigação 24
alunos.
Na questão de número 2 era pedido que os alunos explicassem como a imagem
era projetada na folha dentro da câmara.
2. Tente explicar como a imagem é projetada na folha.
Ao responder esta questão, três alunos apontaram características da imagem
vista, mas não tentaram explicar como ele era formada. Pode-se especular que esses três
alunos pertenciam ao mesmo grupo e que lhes faltaram esquemas para o entendimento
que possibilitassem uma interpretação do enunciado da questão.
Sete alunos (correspondente a 29,2 % dos alunos) se limitaram justificativas a
existência do buraco. Mas 9 alunos (correspondente a 37,5 % dos alunos) foram mais
detalhistas em suas explicações descrevendo o comportamento da luz. Exemplificamos
isso com a transcrição dos alunos P, Y e AB mostradas abaixo respectivamente.
“Quando a luz entrou pelo buraquinho e taou na folha a folha refletiu a luz
projetou a imagem do lado externo.” [sic]
“através dos raios de luzes presentes e as linhas retas da luz refletida sob o papel
diretamente invertida por ter a rotação alterada.”
“por causa dos raios de luz que passava no buraco”
Nota-se o uso de mais de um conceito para atender a construção do esquema
necessário para construir a resposta.
Já na questão 3, quando se deveria explicar por que a imagem se apresentava
invertida, 10 alunos (correspondente a 41,6%) associaram a inversão da imagem ao
tamanho do buraco ou a forma como a luz o atravessa, dentre eles podemos citar os
alunos Q, Y, T e M.
3. Para você o que explica o fato de a figura projetada ser semelhante ao corpo
considerado na forma e em colorido, mas apresentar-se invertida em relação ao
corpo?
As transcrições abaixo mostram, respectivamente, são as respostas dadas pelos
alunos Q, Y, T e M.
57
“Pela forma como os raios de luz passam pelo buraquinho da caixa”
“Por vir em retas quando ela e refletida vira de baixo pra cima e de cima pra
baixo, ocorre por a presença elevada da luz naquele local posto a caixa.”
“Por que a imagem quando passa pelo buraquinho ela fica invertida pelo tamanho
do buraco um tao próximo se ele fosse maior a forma de ver a figura estaria normal.”
[sic]
“Por conta do furo cer tão pequeno e a caixa escura por dentro” [sic]
Podemos dizer que a situação apresentada fez os alunos buscarem por seus
esquemas para que pudessem justificar a formação da imagem confrontando-os com a
situação mostrada. Isso pode ser visto quando dizem que se o orifício “fosse maior a
forma de ver a figura estaria normal. ”
Na questão 5, exploramos a construção geométrica da imagem na qual se
esperava que os alunos desenhassem raios de luz que se propagassem de forma
independente, atravessassem o orifício e gerassem a imagem.
5. Cada ponto de um objeto emite luz em todas as direções, mas para determinar a
posição da figura da vela projetada na câmara é suficiente traçar apenas alguns
raios de luz que partem do objeto, passam através do orifício incidindo na parede
oposta. Desenhe, na figura 4.2, alguns raios de luz que partam da vela, atravessem
o orifício e que formem a projeção segundo sua previsão.
Percebeu-se que todos os alunos empregaram um caráter retilíneo para a
propagação da luz, embora alguns deles tenham construídos raios que não formariam a
imagem vista.
Eles já tinham previsto e ilustrado nas questões anteriores que a imagem
formada deveria ser invertida e apesar de alguns afirmarem que essa imagem seria
menor não houve por parte de todos a ilustração desse fato. Apenas 9 alunos
desenharam a imagem como sendo menor que o objeto (correspondente a 37,5%). Ao
que parece os alunos julgaram o fato de a imagem ser invertida mais relevante do que
ela se apresentar de um tamanho menor.
Na construção do esboço da questão 5, nota-se que a construção partiu da
ilustração da imagem invertida. Ou melhor, os alunos primeiro desenharam a figura
58
invertida, alguns do mesmo tamanho e outros menores, e depois disso criaram os raios
partindo do objeto. Por isso, nem todos os raios desenhados iriam formar a imagem.
Apesar de usarem a sequência errada para a formação da imagem isso demonstra que
tentaram estabelecer estratégias de forma a tentar organizar o comportamento mediante
determinada situação.
Um exemplo é o caso em que os raios se cruzam no caminho entre o objeto e a
caixa e não parecem entrar pelo orifício como mostra a figura 5.4.
Figura 5.4: Esboço feito pelo aluno B para a questão 5 da investigação 4.
Fonte: Aluno B (2017)
Outra situação observada foi a ilustração de raios descontínuos que indicam que
o conceito de propagação da luz ainda não foi bem assimilado e nem os esquemas para
representação de retas e segmentos de retas para esse fim.
Figura 5.5: Esboço feito pelo aluno Y para a questão 5 da investigação 4.
Fonte: aluno Y (2017).
No esboço da figura 5.5 fica evidente a não preocupação com o tamanho da
imagem formada. Pelo contrário, a imagem desenhada é maior que a do objeto. Outro
exemplo do uso de raios não contínuos é mostrado da figura 5.6. Embora ele apresente
uma figura menor que o objeto os raios não são compatíveis com a figura desenhada.
59
Figura 5.6: Esboço feito pelo aluno V para a questão 5 da investigação 4.
Fonte: aluno V (2017).
Os casos mais graves de raios que não poderiam gerar raios, feitos pelos alunos
R e S, são mostrados na figura 5.7:
Figura 5.7: Esboços feito pelos alunos R ( esboço de cima) e S (esboço de baixo) para a
questão 5 da investigação 4
Fonte: alunos R e S (2017).
Podemos quantificar como alunos que conseguiram representar raios capazes de
gerar imagens um total de 11 alunos (correspondente a 45,8%) representando os raios de
luz que de forma atravessam o orifício e projetam a imagem. Bons exemplos desse
grupo são os esboços dos alunos T e AH apresentadas abaixo na figura 5.8.
60
Figura 5.8: Esboços feitos pelos alunos T (esboço de cima) e aluno AH (esboço de baixo)
para a questão 5 da investigação 4.
Fonte: alunos AH e T (2017).
No esboço do aluno AO, mostrado na figura 5.9, nota-se o cuidado em adequar o
tamanho da figura projetado apesar de os raios se cruzarem após o orifício.
Figura 5.9: Esboço feito por um aluno para a questão 5 da investigação 4
Fonte: aluno AO (2017).
As questões 8 e 9 foram respondidas depois de os alunos terem visto o que eram
triângulos semelhantes e as condições de semelhança.
Na questão 8, o intuito era averiguar as estratégias usadas pelos alunos para
classificar a semelhança entre os triângulos formados pelos raios de luz na câmera
escura em um dos casos de semelhança visto.
61
8. Em qual dos casos de semelhança, apresentados pelo professor, você classificaria
os triângulos da figura 4.4?
Nove alunos (correspondente a 37,5%) afirmaram que os triângulos tinham os
três lados proporcionais afirmando que eles se classificariam no caso LLL (quando os
triângulos possuem os três lados proporcionais). Já cinco alunos (correspondente a
20,8%) apontaram que os triângulos tinham um ângulo igual e dois lados proporcionais
e desta forma atenderiam ao caso LAL (quando os triângulos possuem dois lados
proporcionais e o ângulo entre eles congruente). Dois alunos (correspondente a 8,3%)
apontaram dois dos ângulos como iguais atendendo ao caso de AA (quando os
triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes).
Vemos que para resolver a essa nova situação, eles precisaram reestruturar os
seus esquemas de assimilação além de recorrerem aos esquemas já montados para retas
e segmentos de retas e os esquemas para ângulos também. Podemos dizer também que a
questão apresentou uma nova situação-problema favorecendo o processo de
acomodação dos esquemas de assimilação.
Os demais alunos ou não responderam ou somente apontaram a relação entre os
tamanhos dos triângulos como na citação abaixo do aluno AB.
“Quando um triângulo é menor”
A questão 9 pede apenas que os alunos apontem o que os triângulos formados
pelo cruzamento dos raios refletidos em um espelho e pelos prolongamentos destes
raios tinham em comum.
9. Na figura 4.7 a imagem de P é P’ que é obtida pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Observando os dois triângulos formados PQR
e P’QR, aponte o eles tem em comum. Explique.
Figura 4.7: Espelho plano.
62
Um problema com esta questão é que alguns alunos acabaram por classifica-los
segundo os casos de semelhança e voltamos então ao problema recorrente da
dificuldade em entender o enunciado das questões. Outro problema é que a maioria não
explicou o porquê de suas colocações, como foi pedido. Através dos porquês seria mais
fácil analisar as estratégias montadas por eles e quais esquemas foram acionados.
Nove alunos (correspondente a 37,5%) identificaram que os triângulos teriam
dois lados semelhantes e um ângulo igual. Cinco alunos (correspondente a 20,8%)
afirmaram que os triângulos teriam os 3 lados proporcionais e 3 alunos (correspondente
a 12,5 %) apontaram dois dos ângulos como sendo iguais.
Podemos afirmar que a investigação 4 se mostrou uma boa situação-problema
para que os alunos reforçassem seus esquemas sobre ângulos e representações
geométricas além de reestruturarem seus esquemas para o entendimento da Semelhança
de Triângulos. As concepções sobre a propagação retilínea da luz também foram usadas
e se mostraram bem consolidadas para a maioria dos alunos, indicando uma perspectiva
de equilibração majorante em relação a esses conceitos.
A Investigação 5 tinha por objetivo averiguar a compreensão dos alunos sobre a
formação das sombras como consequência da propagação retilínea da luz, a
diferenciação entre retas paralelas e transversais e avaliar a medida da altura de uma
árvore numa maquete como contexto para o ensino do Teorema de Tales. Nesta
investigação contamos com a presença de 17 alunos.
Na questão 2 era explorada a formação das sombras.
2. Antes de fazer qualquer medida, explique o que justifica a formação das
sombras da árvore e da vareta?
Sete alunos (correspondente a 41,2 %) não foram conclusivos em suas
respostas. Explanaram que o motivo da existência era a luz, mas sem argumentar ou
explicar como isso ocorria. Isso pode ser visto na resposta dado pelo aluno AJ:
“Por causa da luz”
Desta forma podemos concluir que lhes faltaram esquemas para ajudar na
proposição de uma resposta que levasse em conta as propriedades da luz.
Os demais alunos foram mais claros em suas explicações apontando para a
forma como a luz se propaga e a forma como os materiais interagem com a luz. Como
por exemplo, o aluno Y cuja transcrição da resposta se segue.
“Pelo fato da luz se propagar em linha reta tocando o objeto opaco formando uma
reta por trás do objeto e não o atravessando assim formando seu reflexo.”
Percebe-se na transcrição acima que o aluno Y fez o emprego errado do signo
reflexo. Dentro do contexto da frase esperar-se-ia que ele usasse a palavra sombra.
63
Contudo ele trabalha conceitos como opaco o que leva a crer que assimilou bem a forma
como esse tipo de material se comporta quanto a passagem da luz.
Outros exemplos são as respostas dadas pelos alunos A e T transcritas,
respectivamente, abaixo.
“As luzes vão em linha reta e não conseguem passar objetos solido e não
transparente e formando a sombra.”
“Por que cem o reflexo da luz cuando bate na arvore a sombra fica em linha reta
por isso em um lado da árvore fica escura por causa dos raios que vão em direção da
árvore.”[sic]
A última transcrição revela uma confusão de conceitos com o intuito de explicar
a formação da sombra. Ele argumenta que a sombra seria causada pela falta do reflexo
da luz. Existe uma confusão com o conceito reflexo que ele parece empregar como
sendo uma propriedade da luz. O provável é que em algum momento, alguma situação
ele passou a associar a luminosidade ou brilho de uma fonte de luz ao conceito de
reflexo da luz e até o momento esses esquemas atendiam as suas necessidades. Espera-
se que esta atividade crie um conflito cognitivo capaz de causar a diferenciação. Outro
ponto é que ele afirma que a sombra fica em linha reta, isso foi construído com base nas
sombras da vareta vistas na maquete.
A terceira questão trata da distinção entre retas paralelas e transversais.
3. Na figura abaixo, tente identificar quais retas formam o feixe de retas paralelas
e quais são as retas transversais mencionadas na definição do Teorema de Tales.
Figura 5.4: Maquete com raios solares.
Nesta questão 13 alunos (correspondente a 76,5%) fizeram a previsão esperada
para as retas. O que mostra que o conceito de reta e segmento de reta foi bem explorado.
Através das discussões com a turma para se chegar a relação de proporção
identificou-se que eles usaram novamente a situação para explorar e dar significado ao
conceito de ângulo.
64
Podemos dizer que a atividade foi satisfatória para fornecer uma situação para
contextualização do Teorema de Tales e a relação de proporcionalidade presente nele e
na Semelhança de Triângulos.
A quarta questão dessa atividade usava as relações de proporcionalidade para se
chegar a altura da árvore, e como todos os alunos usaram os mesmos valores para sua
obtenção e a análise da habilidade em álgebra não era o foco da atividade, ela não foi
avaliada.
4. Realize os cálculos de proporções com os valores medidos e depois compare com
a altura verdadeira da árvore representada.
65
Capítulo 6
Conclusões e Perspectivas Futuras
Neste trabalho, nós propomos a apresentação de conteúdos da Geometria a partir
do contexto da Óptica Geométrica. Mais precisamente, apresentamos roteiros de
atividade (roteiros do professor e do aluno) com o uso da Câmara Escura de Orifício
como contexto para o Ensino da Semelhança de Triângulos e a medição indireta da
altura a partir da sombra para apresentar o Teorema de Tales. Inserimos essas atividades
num contexto maior de uma sequência de atividades que visavam servir de base para a
apresentação dos conceitos iniciais da Óptica situando o aluno dentro desse contexto e
lhes fornecendo situações para servir de base para entender a formação da imagem na
câmara e a formação da sombra como consequências da propagação retilínea da luz. O
intuito também era averiguar a assimilação dos alunos sobre conteúdos mais básicos da
Geometria como reta e ângulo.
Para definir os conteúdos geométricos a serem trabalhados, recorremos a uma
pesquisa nos livros do 2º ano do Ensino Médio de Física aprovados no PNLD 2011 e
2014. A partir dela escolhemos por trabalhar com Semelhança de Triângulos por sua
enorme aplicação aos conteúdos ópticos e nos demais campos da Física e também com
o Teorema de Tales.
As ferramentas de avaliação que usamos foram as respostas aos roteiros
destinadas aos alunos e o monitoramento durante as aulas. Não utilizamos pré-teste uma
vez que as principais concepções alternativas dos alunos sobre Óptica já são informados
na literatura (como por exemplo no trabalho de Harres, 1993) e as atividades
introdutórias da sequência didática já servia para indicar algumas das dificuldades
geométricas dos alunos. O uso de pós-testes foi questionado de acordo com metodologia
usada. Como todas as atividades envolviam questionário, num total de 5 questionários,
incluir mais um no final da proposta poderia ser maçante.
Os resultados indicaram um bom envolvimento por parte dos alunos, o trabalho
em grupo se mostrou proveitoso e permitiu a troca de saberes e negociação de
significados onde os alunos precisavam ser ativos na aprendizagem, fazendo
observações e propondo explicações. Deparamo-nos com problemas básicos como
dificuldade na leitura e escrita o que acaba por refletir nos resultados. Mas a dificuldade
66
no uso dos signos e da linguagem só pode ser superada a partir de situações que exijam
do aluno o uso desta ferramenta. Aprende-se a escrever, escrevendo e a ler, lendo.
Podemos então concluir que, nesse aspecto, a aplicação do produto foi proveitosa por
pelo menos tirá-los da zona de conforto, instigando que eles transmitissem para o papel
seu pensamento e/ou externalizasse-o para os colegas. Isso foi especialmente
significativo para a turma onde o produto foi aplicado, uma turma de nono ano noturno
que apesar de regular conta com muitos alunos fora faixa etária esperada.
As conclusões que se chega quanto o uso do produto é que ele se mostrou
potencialmente útil para a contextualização dos conteúdos matemáticos por trabalha-los
fora do ambiente unicamente matemático. As situações propostas permitiram que os
alunos conflitassem seus conhecimentos prévios na tentativa de construir esquemas para
respondê-las ou, em alguns casos, reforçassem os já existentes fortalecendo-os. Então
podemos dizer que a contextualização foi válida e capaz de gerar benefícios mútuos
para a Física e Matemática.
Como o produto foi aplicado e é destinado ao Ensino Fundamental podemos
dizer que ele conseguiu oferecer situações aos alunos que lhes permitiram criar
subsunçores importantes para o estudo da Óptica no Ensino Médio nas aulas de Física,
mas também se mostraram úteis para averiguar os domínios conceituais e esquemas dos
alunos sobre alguns assuntos como reta e ângulo. Como os alunos foram apresentados a
mais de uma situação em que precisavam recorrer a esse conceito e seus esquemas para
eles e sabendo que os conceitos vão se tornando mais consistentes e se consolidando a
partir de novas situações, nos arriscamos a dizer que as atividades propiciam essa
consolidação.
Um dos problemas para a aplicação deste produto é o tempo total de aplicação.
Mas precisamos deixar bem claro que as atividades que tem por finalidade a
apresentação do conteúdo geométrico da Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales
podem ser aplicadas em separado usando para isso um tempo bem menor. As atividades
anteriores a elas foram usadas como estratégia para contextualiza-las da forma mais
significativa possível. Uma boa utilização do material poderia se dá em turmas da
Educação de Jovens e adultos já que a turma da aplicação tinha características bem
próximas destas.
67
Futuramente podemos propor a construção de exercícios potencialmente
significativos e também contextualizados para dar suporte a formalização dos conceitos
de Semelhança de Triângulos ou a construção de materiais palpáveis como triângulos
que atendessem aos diferentes tipos de casos de semelhança e que os alunos pudessem
investigar. Esta vontade surgiu da necessidade encontrada de usar este tipo de material
durante a aplicação em especial dos exercícios.
68
Capítulo 7
Referencias Bibliográficas
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71
Capítulo 8
Apêndices- Produto Educacional
SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O USO DA CÂMARA ESCURA COMO
CONTEXTO PARA O ENSINO DA SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Material do Professor
INTRODUÇÃO
Apresentamos como produto educacional roteiros de atividades investigativas
para o ensino da Semelhança de Triângulos a partir da Câmara Escura de Orifício e do
Teorema de Tales a partir da medição de altura de forma indireta através da sombra. O
ensino destes tópicos se dá dentro de uma sequência didática que permite apresentar aos
alunos temas iniciais de Óptica Geométrica e explorar seus esquemas sobre temas mais
básicos da Geometria.
Desta forma, podemos dividir a sequência didática em dois momentos: no
primeiro momento, são trabalhadas investigações que tratam d os princípios da óptica
geométrica e das leis da reflexão a fim de fornecer um contexto para o ensino da
Geometria bem como as ideias e subsunçores que os alunos usarão para explicar a
formação da imagem na Câmara Escura de Orifício e a formação das Sombras. Estas
investigações servem também para avaliar as concepções dos alunos sobre temas como
retas, segmentos de retas, ângulos e medidas de ângulo a fim de avaliar se esses
conceitos estão bem estruturados e reforçá-los através de situações onde o uso de seus
esquemas sobre eles são necessários, como por exemplo, representar a trajetória descrita
pela luz através de raios de luz que são segmentos de reta orientados ou avaliar a lei da
reflexão através da medida do ângulo entre o feixe refletido e o espelho, no segundo
momento, são apresentados temas da Geometria, como Semelhança de Triângulos e
Teoremas de Tales, a partir do contexto criado pela Óptica, mais especificamente das
consequências dos princípios desta.
72
Essas atividades são voltadas ao Ensino Fundamental, momento em que os
alunos devem ter contato com os temas da Geometria Plana. No 9º ano do Ensino
Fundamental, está prevista a apresentação da Semelhança de Triângulos e o Teorema de
Tales na grade das aulas de Matemática no mesmo ano em que os alunos têm aulas de
introdução à Óptica nas aulas de Ciências, o que torna o 9º ano um bom momento para
apresentação conjunta e interdisciplinar dos temas. Outra oportunidade seria trabalhar
com alunos da Educação de Jovens e Adultos onde o trabalho harmonicamente
articulado dos dois temas tornaria o ensino-aprendizagem mais dinâmico e significativo.
As atividades promovem o envolvimento dos alunos através das situações
propostas e da interação com os equipamentos usados. Os roteiros prezam pelo trabalho
em grupo de forma a permitir a troca de saberes e negociação de significados onde os
alunos precisavam ser ativos na aprendizagem, fazendo observações e propondo
explicações. Propõem situações em que os alunos usam e aprimoram seus esquemas
cognitivos sobre Geometria e fortalecem subsunçores úteis para a formalização
posterior dos conteúdos geométricos e também para o ensino de Física no Ensino
Médio. Então podemos dizer que é capaz de gerar benefícios mútuos para a Física e a
Matemática.
As vantagens do uso do produto estão em contextualizar os conteúdos
matemáticos trabalhando-os fora do ambiente unicamente matemático ao tempo em que
apresenta tópicos inicias da Óptica Geométrica permitindo que criem esquemas para os
conceitos que serão reforçados durante o Ensino Médio. Mas um empecilho ao seu uso
seria o tempo de uso. A previsão de uso de toda a sequência é de sete aulas, mas vale
ressaltar que os roteiros em que são trabalhados a Semelhança de Triângulos e Teorema
de Tales podem ser usados separadamente a depender da necessidade e tempo
disponível do professor.
Como os roteiros são construídos para que os alunos observem o fenômeno e
então escrevam suas observações, façam previsões ou expliquem o observado, um dos
obstáculos com qual o professor pode se deparar é a dificuldade para interpretar as
questões e para construir respostas. Nas questões em que se pedem para explicar o
observado, é comum que alguns alunos respondam o efeito como sendo a causa. A
quantidade e a necessidade de se construir respostas a todo momento pode gerar
desânimo entre os alunos, mas é uma ferramenta crucial para que externalizem suas
ideias e para que sejam avaliadas suas dificuldades e progresso.
73
1. Sobre a estrutura das aulas e a avaliação
As atividades de investigação devem ser realizadas em grupo para promover a
troca de conhecimento e discussão entre os alunos, mas é importante que eles construam
as respostas de forma individual. O professor deve assumir o papel de mediador durante
as atividades guiando a sequência da atividade e orientando sobre quando e quais
questões os alunos devem responder ou em que momento só observar ou interagir e
manipular os equipamentos. O professor deve acompanhar e verificar o preenchimento
dos questionários buscando, quando convir, a interferência dialógica para a construção
dos conhecimentos e dos significados com os alunos.
Após a realização das investigações, depois dos alunos terem contato com as
situações, feito suas observações, proposto explicações, o professor deve formalizar os
conteúdos trabalhados. Tanto os conteúdos trabalhados da Óptica Geométrica como os
da Geometria devem ser passados ou reforçados para os alunos. Principalmente nas
investigações 1, 2 e 3. Sugere-se que a primeira formalização de parte do conteúdo se dê
após a primeira investigação que podemos chamar de um momento de discussão, a
segunda depois da investigação 3. Para as investigações 4 e 5, serão apresentadas a
Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales durante as atividades pois são
necessárias para a conclusão da atividade e por elas poderem ser usadas
independentemente do restante da sequência.
A sequência didática inteira está composta de cinco roteiros de atividades
investigativas em que são apresentados os objetivos buscados com a investigação, os
elementos da geometria trabalhados, os materiais necessários, roteiros para a construção
do equipamento usado (investigações 1, 4 e 5) e como deve se dá o desenvolvimento da
atividade. O tema da Óptica Geométrica que é o contexto para o trabalho com a
Geometria é introduzido por um texto de entrevista da luz.
A tabela 1.1 abaixo ilustra a sequência das atividades a ser seguida.
Atividade Objetivos
Óptica geométrica Geometria
Texto de
Apresentação. Apresentar aos alunos o tema de estudo
Investigação
1: Como a luz
pode ser
representada por
raios.
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, diferenciar feixes divergentes,
convergentes e paralelos.
Explorar o conceito de reta,
segmento de retas e retas
paralelas.
74
Discussão
Formalizar e/ou revisar os conteúdos explorados na investigação 1.
Investigação
2: Você sempre
vê as reflexões em
espelhos?
Explorar a propagação retilínea da
luz, mostrar o princípio da
reversibilidade dos raios de luz,
mostrar a reflexão em espelhos
planos e motivar o surgimento de
ideias sobre o fenômeno.
Explorar a ideia de segmento
de reta.
Investigação
3: Como a luz é
refletida em um
espelho?
Identificar que o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de
reflexão e perceber o princípio da
independência dos raios de luz.
Trabalhar com segmentos de
retas, verificar e reforçar a
noção de ângulo e como
medir ângulos.
Discussão
Formalizar e/ou revisar os conteúdos explorados nas investigações
2 e 3.
Investigação
4: Câmara Escura
de Orifício.
Inferir o princípio de propagação
retilínea da luz e o princípio da
independência dos raios luminosos,
contextualizar a semelhança de
triângulos e comprovar a
propriedade fundamental dos
espelhos planos.
Explorar a ideia de figuras
semelhantes, construir a
semelhança de triângulos e
verificar a semelhança dos
triângulos na câmara e
classifica-la e no espelho
plano.
Investigação
5: Medindo
alturas
Explorar a propagação retilínea da
luz, usar os raios de luz para
representar a trajetória descrita pela
luz, explorar o Teorema de Tales.
Diferenciar retas paralelas e
retas transversais, explorar a
semelhança de triângulos,
trabalhar a noção de
proporções e apresentar
Teorema de Tales.
Tabela 1.1: Sequência de atividades.
Para a avaliação do aproveitamento do aluno, deve-se levar em conta sua
organização em grupo, participação das discussões, respostas dadas por escrito e
esboços montados. O que se deve avaliar é de certa forma, o percurso cognitivo durante
a situação ou situações na tentativa averiguar uma melhora conceitual, o que não
necessariamente significa compreensão total do tema.
Primeiro contato: aquecendo a turma!
O que vamos fazer?
Explique aos alunos que através de investigações simples vamos construir
conceitos de geometria e óptica geométrica. Vamos explorar temas como a propagação
da luz, espelhos planos, a semelhança de triângulos e o teorema de Tales que são muito
usados para construir relações métricas.
Mas antes vamos ter uma conversa...
75
Peça que os alunos imaginem um diálogo com a luz. Pode-se construir o diálogo
como se fosse uma entrevista onde os alunos fazem as vezes do entrevistador e os
alunos de entrevistado (a luz).
- Como você se chama?
- Luz, somente luz; no entanto, tenho vários apelidos...
- Que apelidos você tem?
- Essa é uma história um pouco longa... Mas vou tentar contá-la.
- Conte-me então.
- Tudo começou no primeiro dia, aliás, em plenas trevas... Já no final desse mesmo
dia, fui criada. Desde esse momento, sai por aí, refletindo, refratando, espalhando e
fazendo muito mais...
-Mas como você é capaz disso tudo, se é invisível?Quem é você? O que você é?
- Pois é... Já alaram bastante a meu respeito. Muitos, inclusive, discordam da minha
invisibilidade. Mas há uma verdade: só é possível acompanhar o meu rastro quando
existe algo no meu caminho.
- Como assim?
- É simples: quando saio do farol de um carro, num dia de chuva, só se vê o meu
facho porque as gotículas de água me refletem, isto é, me atrapalham. Só é possível ver
meu trajeto quando parto do farol de uma torre porque as partículas de poeira, em
suspensão, se colocam no meu caminho, desviando-me para todos os lados.
-Ah, entendi... Continue sua história.
- No inicio, os homens pré- históricos não estavam muito interessados nisso. Depois,
no século XVII, travou-se uma grande discussão acerca da minha natureza. Uns diziam
que eu constituiria em pequenas partículas porque, ao incidir em um espelho, era
refletida como uma bola de bilhar em uma mesa. Outros diziam que eu era onda, pois
alguns fenômenos luminosos apresentam características de ondas, como o som
produzido por cordas e membranas.
- Quer dizer então que você é uma onda?
-Bem, essa foi a conclusão dos cientistas até o final do século passado. Na verdade,
as pesquisas no início desse século apontaram novamente para a minha natureza
corpuscular.
-E, no final das contas, o que você é?
-Não posso responder, pois só é possível ao homem penetrar minha essência através
dos conceitos e das teorias que ele cria. A natureza representa um grande desafio à
capacidade humana de compreensão. Os debates e as discussões entre os cientistas são
decorrência dessa tentativa de entender minha essência.
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-Isso quer dizer que a Ciência não chegou a uma conclusão definitiva sobre sua
natureza? Algumas vezes é vista como onda, outras como partícula?
-É, parece que você entendeu o espírito da situação. Hoje, para a Ciência, sou algo
com duas faces: uma ondulatória e outra particular. Talvez amanhã cheguem a outra
imagem sobre minha natureza. Por enquanto, me apresento com essa dupla identidade,
como um agente secreto.
Fonte do texto: FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado,
FTD, São Paulo, 2000.
Após a leitura do texto peça que os alunos comentem sobre o que leram, sobre o
que é a luz e como se comporta. Esse é o momento de apresentar a luz como tendo um
comportamento dual- onda e partícula- e apresentar a Óptica como a área de estudo
voltada aos fenômenos relacionados à luz. Explique que iremos explorar temas
abordados pela Óptica geométrica, ramo que estuda os fenômenos ligados à propagação
da luz.
Depois da leitura do texto e da discussão inicie a Investigação 1.
Investigação 1: Como a luz pode ser representada por raios.
Fonte: adaptado de Active Learning in optics and photonics, 2006.
Objetivo: explorar a propagação retilínea da luz, usar os raios de luz para representar a
trajetória descrita pela luz, diferenciar feixes divergentes, convergentes e paralelos,
classificar as fontes de luz como puntiforme ou extensa.
Elementos da geometria: segmentos de reta e retas paralelas.
Equipamentos: 6 banquinhos idênticos, caneta laser, lâmpada pequena, suporte para
lâmpada, 5 tubos de PVC de ½” e 30 cm de comprimento, 10 m de barbante, fita
adesiva e pó de giz.
Montagem dos Tubos: Para usar os tubos prepare-os fixando com fita adesiva 2 metros
de barbante. Enrole o barbante no tubo para que os alunos usem durante a atividade
apenas o tamanho necessário.
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Figura 1.1: materiais utilizados
Desenvolvimento: Delimite uma área de no mínimo 25 m² (sugestão de 5 × 5, em
metros). Monte e posicione o suporte e a lâmpada em um ponto central dessa área sobre
um banquinho. Distribua os demais banquinhos em posições aleatórias, como no
esquema da figura 1, sobre os quais repousam os tubos de PVC com o barbante
enrolado. Peça, então, que os alunos observem a lâmpada através do tubo. Em seguida,
peça-lhes que gire levemente o tubo para a direita e depois para a esquerda e pergunte-
lhes se eles conseguem ainda ver a lâmpada. Peça-lhes então que coloque os tubos nas
posições angulares em que se pode observar a lâmpada e fixe-o no banquinho através de
fitas adesivas. Feito isso nos 5 banquinhos, peça-lhes que estique o cordão a partir do
tubo até a extremidade do bulbo da lâmpada e averigue se o cordão é paralelo ao eixo
do tubo quando o cordão passa por cima deste. Fixe o barbante no suporte da lâmpada
com fita adesiva. Peça então que os alunos respondam as questões 1,2 e 3.
1. Que figura geométrica o cordão faz nesse momento? Uma reta ou uma
curva?
2. Se o tubo for girado levemente para a direita ou para esquerda, mudaria a
forma do cordão? Neste caso é possível observar a luz proveniente da
lâmpada?
3. Com base na questão anterior, como a luz se propaga, como uma reta
acompanhando o cordão esticado ou uma curva?
Em seguida, peça que olhem esquema da figura 1.2 e respondam a questão 4 e 5. Dê
uma volta pela sala e observe os esboços, mas sem interferir.
4. No diagrama da figura 1.2 esboce 5 raios de luz que começam no bulbo da
lâmpada e vão até os pontos de 1 a 5. Compare com o de seus colegas.
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Figura 1.2: Esquema de disposição da lâmpada e dos alunos.
Nesse momento espera-se que o aluno seja capaz de formalizar sua resposta quanto
ao tipo de propagação da luz, desta forma, espera-se que eles desenhem retas ligando a
lâmpada aos pontos.
5. Descreva esses raios em palavras. Como eles são desenhados à medida que
a distância ao filamento aumenta?
Espera-se que eles descrevam que os raios são representados por retas que partem
do objeto (no caso a lâmpada) se tornam mais afastadas entre si com a distância. Isso
propicia a formação da ideia de uma fonte divergente.
Com os alunos de volta a suas posições, peça que eles observem agora a luz de um
laser que brilha através da sala.
Pode ser útil suspender pó de giz na sala de forma a melhor visualizar o caminho do
laser. Peça que eles respondam a pergunta 6. Novamente, peça que discutam, troquem
ideias e em seguida respondam a questão 7 e 8.
6. Você pode ver o feixe de laser bem sem o pó de giz no ar? Por que o pó de
giz torna o feixe mais visível? O que você viu foi a luz proveniente
diretamente do laser ou tem mais alguma coisa acontecendo?
7. Aponte as diferenças que você identificou entre a luz do laser e a da
lâmpada e a forma como elas atravessam a sala.
As duas últimas perguntas deve-se esperar respostas que revelem que o aluno já
começa a associar o fato de ver um objeto com a reflexão da luz, no caso da questão 6,
e que eles percebam que tanto na lâmpada e no laser, a luz se propaga em linha reta,
mas no caso do laser os raios são sempre em uma única direção, enquanto na lâmpada
os raios vão e várias direções.
8. Quais as diferenças entre as respostas de seus colegas e a sua?
Agora aponte o foco para o esquema como o da figura 2 e peça que respondam as
pergunta 9,10 e 11.
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9. Com base em suas observações, esboce alguns raios deixando o laser no
esquema da figura 1.3.
Figura 1.3: Esquema de disposição do laser e dos pontos.
10. Você espera que o feixe do raio laser passe pelo ponto 1, 2, 3 ou em
nenhum? Qual a diferença entre os raios que você desenhou neste esboço e
no anterior?
Caso o aluno não consiga responder essa questão, peça-lhe que esboce os raios de
luz como se fosse trocado o laser por uma lâmpada incandescente como o da figura 1 e
depois compare com a do laser.
11. Você acha que existem outras situações nas quais os raios podem ser
representados como os saídos de um laser? Imagine um feixe de luz solar
que atinge a Terra, ele seria constituído de raios luminosos semelhantes aos
da lâmpada ou do laser?
Para finalizar a atividade peça que eles pesquisem como acontece um eclipse solar.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação os alunos podem
apresentar dificuldades em ler e interpretar as perguntas, necessidade de perguntar o
que deve ser feito mesmo antes de ler o material, dificuldade em construir respostas,
tentar explicar o fenômeno observado apenas relatando-o, desenhar apenas um raio de
luz saindo do laser.
Bibliografia utilizada na Investigação 1:
UNESCO. Active learning in optics and photonics (ALOP): training manual. 2006
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Após a conclusão da Investigação 1 é hora de formalizar os conceitos
trabalhados comece falando sobre fontes de luz:
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Fontes de luz
Se observarmos os objetos que nos rodeiam, verificamos que alguns deles emitem luz,
isto é, são fontes de luz, tais como o Sol, uma lâmpada acesa, a chama de uma vela.
Mas outros, apesar de não emitirem a luz podem ser vistos porque são iluminados pela
luz de alguma fonte de luz.
As fontes de luz podem ser:
Fonte de luz primário: corpo luminoso. Aquele que emite luz própria.
Fonte de luz secundária: corpo iluminado. É aquele que reenvia a luz recebida de
outros corpos luminosos.
Fonte de luz pontual: quando as suas dimensões são desprezíveis em relação a
distância que o separa do observador.
Fonte de luz extensa: quando suas dimensões não podem ser desprezadas em
relação a distância que o separa do observador.
Em seguida formalize o conceito de raio de luz para o aluno. Lembre-se que para
eles esse conceito não é tão trivial quanto possa parecer.
Raios de luz
Para representar graficamente a direção e o sentido de propagação da luz a partir de uma
fonte luminosa usamos segmentos de reta orientados. A esses segmentos de reta
chamamos de raios de luz.
Esses raios irão representar a trajetória da luz da fonte até o seu destino. Chamamos um
conjunto de raios de luz de feixe de luz.
Um feixe pode ser classificado como:
Se estivermos em um ambiente desprovido de partículas materiais não poderemos
enxergar um feixe de luz. Isso acontece porque só somos capazes apenas os objetos
iluminados, ou seja, o que vemos é a interação da luz com a matéria que ela iluminou.
Relembrando a geometria:
Retas: são figuras geométricas primitivas formadas por conjuntos de
pontos. O fato de serem primitivas significa que não existe uma definição para elas,
contudo, aceitamos que retas são linhas que não fazem curva.
Segmentos de reta: Um segmento de reta é apenas uma parte da reta.
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Classificação das retas:
Paralelas: não tem nenhum ponto em comum.
Transversais: possui só um ponto em comum. Um exemplo de retas transversais
são as retas perpendiculares.
Coincidentes: possuem dois pontos e comum.
Diferencie os meios de propagação para que os alunos sejam capazes de melhor
avaliar as diferentes situações onde podem ou não ver um objeto.
Meios de propagação da luz
Podemos classificar os materiais quanto à capacidade de deixar ou não a luz passar.
Transparente:conseguimos ver os objetos nitidamente através dele.
Translúcido: não conseguimos enxergar muito bem através dele, a visualização
não é nítida.
Opaco: não conseguimos ver através dele
Com base em como a luz se propaga e com o que eles observaram na
investigação comente que se pode concluir que:
A luz em um meio homogêneo e transparente a luz se propaga em linha reta.
Chamamos o fato da luz se propagar em linha reta de Princípio de Propagação
Retilínea da Luz.
Dando continuidade aos estudos vamos as Investigações 2 e 3.
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Investigação 2: Você sempre vê as reflexões em espelhos?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Objetivos: explorar o princípio de propagação retilínea da luz, mostrar o princípio da
reversibilidade dos raios de luz, mostrar a reflexão em espelhos planos e motivar o
surgimento de ideias sobre o fenômeno.
Elementos da geometria: segmentos de reta.
Equipamentos: espelho plano, suporte para montar o espelho em pé sobre uma
superfície horizontal (mesa), uma lâmpada com soquete e tecido preto.
Figura 2.1: materiais utilizados.
Desenvolvimento: monte o espelho plano sobre uma mesa e cubra-o com um tecido
preto e peça a três alunos voluntários para que se posicionem na frente do espelho como
mostra a figura 2.2.
Figura 2.2: Esquema de montagem.
Utilizando fita adesiva cada aluno deve marcar sua posição no chão ou local onde
estiverem como, por exemplo, a carteira. Posicione a lâmpada um pouco a direita e
ligue-a e depois a deixe desligada. Feito isso, os alunos devem se reunir em grupos e
responder as questões 1,2 e 3.
1. Você acha que a luz reflete no espelho? O que te faz achar isso?
2. O que o seu grupo acha? Escreva as ideias que o grupo elaborou que sejam
diferentes das suas.
Espera-se que os alunos consigam associar a imagem formada no espelho, e vista
por ele, ao fenômeno da reflexão dos raios de luz. Para facilitar a formação dessa ideia
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é importante a negociação de saberes e entendimentos com os colegas, por isso, a
questão 2 se faz relevante.
3. Após o espelho ser descoberto, qual dos três estudantes poderá ver o reflexo
da lâmpada no espelho?
Chame-os de volta e descubra o espelho. Peça que respondam as questões 4 e 5.
4. Qual dos estudantes foi capaz de ver o reflexo da lâmpada? O que
aconteceu está de acordo com o que você esperava? Se não, explique o
porquê?
5. Desenhe os raios de luz que expliquem o que foi observado.
As respostas devem caminhar para a formação da ideia de que para ver a imagem
de um objeto, ele deverá receber um feixe de luz, proveniente do objeto, depois refletido
no espelho. Traçando-se os raios que atingem a extremidade do espelho e obtendo um
raio refletido que chega ao observador, é previsto que se note essa limitação.
Agora circunscreva com um pincel para quadro branco a região no espelho onde um
dos estudantes vê o reflexo da lâmpada. Em seguida, troque-o de lugar com a lâmpada.
Questione-o sobre o que ele percebeu e peça que comente para os colegas. Para que
todos consigam visualizar o esperado, deixe o espaço aberto para que cada um dos
alunos tome a posição do colega e observe.
Em seguida peça que respondam a questão 6.
6. Ao trocar de posição a lâmpada (objeto) e o aluno (observador) você
observou que ainda é possível ver o reflexo da lâmpada? E o reflexo da
lâmpada está novamente circunscrita? Como você explicaria isso?
A sexta questão pretende explorar a visualização da reversibilidade dos raios
luminosos. O ideal é que eles comentem sobre o caminho percorrido pela luz para
chegar ao observador.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação pode acontecer de
os alunos alterarem a resposta dada na questão 3 após observar o que acontece quando o
espelho é descoberto, para coibir essa ação comente que essa questão nada mais é do
que uma previsão e que eles não devem se preocupar em errar, mas devem dar o melhor
de si. Alguns alunos também podem demonstrar dificuldade em construir respostas.
Tente que na questão 5 eles não se restrinjam a desenhar somente o raio de luz que
chega ao observador que conseguiu vê o reflexo da lâmpada, mas que no desenho
explorem mais de um raio que sai da lâmpada o que pode facilitar a entendimento de
porque o(s) outro(s) não viram.
Bibliografia utilizada na Investigação 2:
ROBERTO, E. V. Aprendizagem ativa em ótica geométrica: experimentos e
demonstrações investigativas. Dissertação de Mestrado, IFSC- USP, 2009, p. 70-72.
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LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Investigação 3: Como a luz é refletida em um espelho?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Objetivos: identificar que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão e
perceber o princípio da independência dos raios de luz.
Elementos da geometria: segmentos de reta, ângulos e medidas de ângulos.
Materiais : 4 espelhos planos, suportes, anteparos, 4 canetas-lasers, transferidores,
réguas e papel quadriculado.
Figura 3.1: materiais utilizados.
Desenvolvimento: Entregue os materiais listados para os grupos. A princípio peça que
eles observem a imagem da figura 3.2 e respondam as questões 1 e 2. Dê uma volta pela
sala e observe os esboços feitos pelos alunos sem interferir.
Figura 3.2: Esquema para um raio de luz incidindo sobre um espelho.
1. A figura 3.2 mostra um raio de luz incidindo com um ângulo de 45° em um
espelho plano. Como é o raio refletido? Desenhe a sua resposta.
2. O que os seus colegas de grupo acham? Quais ideias deles que são diferentes
da sua?
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O intuito da questão 1 é averiguar o entendimento dos alunos sobre a reflexão a fim
de construir a lei da reflexão, então, não responder corretamente não atrapalha o
entendimento da atividade. A troca de informações proposta na questão 2 auxilia nessa
construção.
A seguir, peça que eles reproduzam a figura 3.1 com os materiais que foram
distribuídos para responder a questão 3.
Para facilitar a montagem, marque no papel milimetrado a posição onde devem
colocar o espelho e a fonte de luz de forma que a luz incida fazendo um ângulo de 45°
com o espelho.
Para a verificação peça que eles usem o transferidor para medir o ângulo formado
entre o raio refletido e o espelho.
Verifique se existe dificuldade para reproduzir a situação da figura 3.1. Auxilie
sugerindo que um dos alunos segure o espelho, outro segure o laser e outro faça então a
medida .
3. Incida um feixe de luz com um ângulo de 45° com o espelho. O que você
observou? Aconteceu o que você imaginava?
Conclua esta etapa desenhando no quadro negro um esquema contendo o espelho, o
feixe incidente e o feixe refletido e apresente a ideia de reta normal.peça para ser
respondido a questão 4.
4. Como a luz se reflete no espelho? Explique com uma frase.
5. O que acontece se o ângulo de incidência for mudado? Por exemplo, quando
for 30° ou 60°?
6. Na imagem abaixo quatro raios de luz incidem em quatro espelhos. Como
são os raios refletidos? Desenhe sua ideia.
Figura 3.3: Esquema para reflexão de feixes de luz incidente em espelhos planos.
7. Os desenhos dos seus colegas de grupo são diferentes do seu? Em que?
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Na questão 6 o foco é a percepção do princípio da independência dos raios
luminosos. Se ao final das questões os alunos não chegarem ao entendimento correto o
professor pode complementar com a apresentação de imagens, mas espera-se que isso
não seja necessário.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação pode haver
dificuldade em manter o foco do aluno em realizar a atividade e não em “brincar com o
laser”, deve-se ficar atento a isso. Outra dificuldade consiste em utilizar a ferramenta
transferidor, se o aluno não souber usá-lo isso pode interferir no resultado, bem como
outras limitações inerentes aos materiais usados. Para reduzir estas dificuldades instrua
que o grupo coopere de forma a quem souber usar o transferidor ensinar a quem não
sabe.
Bibliografia utilizada na Investigação 3:
ROBERTO, E. V. Aprendizagem ativa em ótica geométrica: experimentos e
demonstrações investigativas. Dissertação de Mestrado, IFSC- USP, 2009, p. 70-72.
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
Após a realização das Investigações 2 e 3 e interessante discutir com os alunos a
fim de chegarmos a outras conclusões sobre o comportamento da luz chegando aos
outros princípios da Óptica Geométrica:
Quando um raio de luz atravessa o caminho de outro raio de luz ambos seguem
seus caminhos como se nada tivesse acontecido. Chamamos esse fato de Princípio
da Independência dos Raios de Luz.
O caminho que um raio de luz percorre não se modifica se invertermos as
posições da fonte e do observador, ou seja, a trajetória de ida e volta é a mesma.
Chamamos isso de Princípio da Reversibilidade dos Raios de Luz.
Relembrando a geometria:
Ângulo: podemos representar um ângulo da seguinte maneira:
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As semirretas AO e OB de mesma origem são os lados e o ponto O é o vértice.
Podemos indicar esse ângulo por . Para medir o ângulo utilizamos o grau (°) como
unidade de medida.
O instrumento usado para medir ângulos é o transferidor.
Quando dois ângulos são iguais dizemos que eles são congruentes.
Após rever os conteúdos geométricos, formalize os conceitos sobre a reflexão:
Espelho plano
Quando raio de luz incide sobre uma superfície refletora como um espelho acontece
algo interessante, ele é refletido com o mesmo ângulo que incidiu. Isso é o que
chamamos de Lei da Reflexão. Além disso percebemos que o raio incidente, o raio
refletido e o que chamamos de reta normal estão situados no mesmo plano.
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Em um espelho, as imagens parecem estar atrás do espelho. Isso acontece porque os
olhos e cérebro captam as imagens a partir dos raios luminosos que chegam até nos.
Então se prolongarmos os raios refletidos pelo espelho, veremos que tudo se passa
como se esses raios tivessem partido de pontos atrás do espelho. A imagem do objeto é
vista no ponto de encontro dos prolongamentos dos raios refletidos.
Fonte: www.educabras.com/enem/materia/fisica/optica/aulas/espelhos_planos
Depois dessa explanação vamos para a Investigação 4 e 5.
Investigação 4: Câmara Escura de Orifício
Objetivos: inferir o princípio de propagação retilínea da luz e o princípio da
independência dos raios luminosos, contextualizar a semelhança de triângulos e
comprovar a propriedade fundamental dos espelhos planos.
Elementos da geometria: retas, segmentos, propriedades métricas dos triângulos.
Materiais necessários: uma caixa de papelão grande o suficiente para uma pessoa
caber dentro (uma caixa de fogão ou máquina de lavar, por exemplo), fita adesiva ou
cola, papel madeira, lápis, grampeador, régua, papel cartão branco, tecido ou tnt preto,
figuras impressas.
Procedimento para a montagem da câmara escura: o primeiro passo é vedar, com a
fita adesiva, todas as possíveis entradas de luz da caixa como, por exemplo, as frestas do
fundo da caixa e possíveis furos, se a fita não for suficiente para vedar as frestas é
melhor recobri-las com o papel madeira. Depois, faça um furo com o lápis na caixa. O
furo deve estar no centro da caixa, horizontalmente, e verticalmente, a uns 10 cm do
fundo. A folha de papel cartão deve ser colada no lado oposto ao furo, pelo lado de
dentro da caixa usando a fita adesiva transparente ou a cola. O próximo passo é colocar
uma saia de tecido na borda da boca da caixa usando a fita adesiva ou grampeador. A
saia serve para impedir a entrada de luz. A câmara depois de montada deve ser
semelhante a mostrada na figura 4.1. O aluno deve se posicionar dentro da caixa e
observar o ambiente.
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Figura 4.1: Câmara escura montada.
Desenvolvimento:
Apresente a câmara escura de orifício:
A câmara escura de orifício é uma ferramenta óptica muito antiga desenvolvida pelo
árabe Alhazen para acompanhar eclipses solares, mas que ao longo da história ela
também foi usada por pintores e desenhistas para copiar paisagens. Ao longo da história
já se construíram câmaras escuras de vários tamanhos inclusive do tamanho de quartos
inteiros, as chamadas salas escuras, mas só no final do século XVII foram construídas
as primeiras câmaras escuras portáteis.
Uma câmara escura de orifício é basicamente uma caixa ou sala completamente
escura onde a comunicação com o meio exterior se dá apenas por um pequeno orifício,
daí vem o seu nome. Na parede oposta é fixado um tecido ou papel branco para
funcionar como uma espécie de tela onde eram projetadas as imagens.
Apresente então a câmara construída explicando como foi montada. Em seguida,
peça que os alunos escolham algum objeto ou local para observar e então direcionem o
furo da caixa para ele. Eles devem entrar na caixa se posicionar de forma a observar a
imagem projetada na folha de papel cartão. Diga para eles se atentarem para todos os
detalhes possíveis e em seguida respondam as questões 1, 2 e 3.
1. O que você poderia dizer sobre a imagem projetada dentro da caixa? Quais
as características você poderia citar?
2. Tente explicar como a imagem é projetada na folha.
3. Para você o que explica o fato de a figura projetada ser semelhante ao
corpo considerado na forma e em colorido, mas apresentar-se invertida em
relação ao corpo?
O ideal é que eles apontem que a imagem formada é semelhante ao objeto, mas
invertida e que comentem sobre o seu tamanho na questão 1. As outras questões estão
abertas para a especulação dos alunos. Se eles afirmarem que os raios de luz que partem
do objeto e passam pelo orifício já estaremos num bom caminho.
Depois de os alunos brincarem um pouco com a câmara construída, deve-se
continuar as atividades agora com o uso de ilustrações como a da figura 7. Para dar
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sequência, peça que eles respondam as questões 4 e 5. Certifique-se de que, a princípio,
façam seus esboços sozinhos e só depois troquem opiniões com os colegas e respondam
a questão 6. Dê uma volta pela sala e observe os esboços, mas sem interferir.
4. A figura 4.2 ilustra uma situação semelhante à presenciada no experimento
prático. Temos então, uma câmara escura de orifício direcionada para uma
vela. A imagem da vela será projetada na superfície oposta ao orifício.
Desenhe como seria a figura da vela projetada no lado oposto ao orifício da
câmara segundo sua experiência.
Figura 4.2: Ilustração de câmara escura de orifício.
5. Cada ponto de um objeto emite luz em todas as direções, mas para
determinar a posição da figura da vela projetada na câmara é suficiente
traçar apenas alguns raios de luz que partem do objeto, passam através do
orifício incidindo na parede oposta. Desenhe, na figura 4.2, alguns raios de
luz que partam da vela, atravessem o orifício e que formem a projeção
segundo sua previsão.
6. Todos os seus colegas desenharam a figura projetada e os raios da mesma
forma que você? Quais foram as diferenças?
Avalie se os alunos, ao desenhar, levaram em conta as propriedades da luz como a
propagação retilínea e a independência dos raios. Caso seja necessário, relembre essas
propriedades.
Espera-se que os alunos sejam capazes de usar o princípio de propagação retilínea da
luz e que percebam que de todos os raios emitidos pelos corpos, apenas alguns passam
pelo orifício e atingem a parede oposta. Mas de qualquer forma esse é o momento de
comentar seu funcionamento.
Explique que o funcionamento da câmara escura é consequência da propagação
retilínea da luz. Ressalte o fato de que os objetos reflete luz em todas as direções, mas
explique que somente aqueles raios que vinham na direção do orifício é que conseguirão
atravessá-lo e formar a imagem na parede. Então o orifício tem o papel de selecionar
alguns raios.
Depois dessa explanação é útil apresentar a imagem da figura 8 para que os alunos
comparem com seus esboços. Certifique-se que a figura 8 só seja apresentada aos alunos
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depois que eles tenham respondido a questão 6 para que ela não influencie nas
respostas.
Figura 4.3: Somente alguns raios de luz refletidos atingem o orifício da câmara.
Mostre a figura 4.4 e explique que, por exemplo, o raio de luz que partiu do ponto mais alto
da vela (ponto A) atingiu a região inferior da tela (ponto A’), o raio de luz que partiu da parte
inferior (ponto B) atingiu a parte superior da tela (ponto B’).
Figura 4.4: Representação da imagem B'A' do objeto AB obtida na câmara.
Reassalte para os alunos que os raios se cruzam ao passar pelo orifício, seguindo seus
trajetos retilíneos o que faz com que a imagem projetada seja invertida em relação ao
objeto que neste caso é a vela.
Em seguida vamos explorar as propriedades geométricas da situação. Para iniciar,
peça para os alunos respondam a pergunta 7.
7. Na figura 9 os raios de luz que emanam da vela e chegam até a parede da
câmara formam dois triângulos, o triângulo ABO e o triângulo A’B’O, você
tinha percebido? Você seria capaz de apontar o que esses dois triângulos
tem em comum?
Nessa questão espera-se respostas como: os dois triângulos possuem o mesmo
vértice, os dois são formados pela mesmas retas, se o tamanho AB for mudado o A’B’
também mudará, etc.
Mas afinal, quais seriam essas semelhanças?
Nesse momento devem ser explicitadas as condições de semelhanças para triângulos:
92
Dois triângulos são semelhantes caso três ângulos correspondentes sejam
congruentes e 3 lados correspondentes possuam a mesma razão de
proporcionalidade.
O primeiro passo para analisar a semelhança de dois triângulos é determinar a
correspondência dos lados e dos ângulos de cada triângulo. No quadro, desenhe
triângulos para fazer essa distinção.
Figura 4.5: Triângulos semelhantes.
Faça com que os alunos notem que todos os lados possuem a mesma razão de
proporcionalidade ½ e que os ângulos correspondentes são iguais ou congruentes.
Porém, é possível verificar a semelhança nos triângulos de uma forma mais simples
conhecendo apenas alguns de seus elementos. Basta observar se eles se enquadram
em alguns dos casos de semelhança particulares.
Caso 1- Ângulo Ângulo (AA): Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois
ângulos correspondentes congruentes.
Caso 2- Lado Lado Lado (LLL): Se dois triângulos possuem três lados proporcionais,
então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os
ângulos.
Caso 3- Lado Ângulo Lado (LAL): Dois triângulos que possuem dois lados
proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes.
Depois dessa explanação, peça que os alunos analisem novamente a figura 9 e
respondam a questão 8.
8. Em qual dos casos de semelhança, apresentados pelo professor, você
classificaria os triângulos da figura 4.4?
O próximo passo é construir a relação matemática para os lados correspondentes
proporcionais através da figura 4.6:
93
Figura 4.6: Representação da imagem B'A' do objeto AB, seus tamanhos H e h e das
distâncias D e d obtida na câmara.
Comente que, como eles perceberam, na câmara escura houve a formação de dois
triângulos semelhantes, que tem um vértice em comum que fica bem no orifício e que
quando dois triângulos são semelhantes existe uma proporcionalidade entre seus lados
correspondentes.
Então temos que os tamanhos H e h, que são lados dos triângulos, são proporcionais
e então D e d que são as alturas desses triângulos devem apresentar a mesma razão de
proporção. Desta
Para continuar exemplificando o trabalho com triângulos, considere agora o espelho
plano representado na figura a 11 diante do qual se situa um objeto luminoso pontual P.
os raios luminosos PR e PQ incidem no espelho, respectivamente, normal e
obliquamente. O raio PR se refletirá sobre si mesmo, enquanto PQ dará origem a um
raio refletido obliquo em relação ao espelho.
Com base nessa figura peça que os alunos respondam a questão seguinte.
Figura 4.7: Espelho plano.
94
9. Na figura 4.7 a imagem de P é P’ que é obtida pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Observando os dois triângulos
formados PQR e P’QR, aponte o eles tem em comum. Explique.
Busque por respostas do tipo: o lado QR é comum aos dois triângulos, tem ângulos
iguais e por aí vai.
Após as respostas comente com os alunos a figura apresentando suas características.
Como :
O lado QR pertence aos dois triângulos.
Q R = (alternos internos)
Q R = (correspondentes)
Mas como = (lei da reflexão) tem-se que Q R = Q R.
E Q P = Q P’ = ângulo reto.
Desta forma temos dois ângulos que são congruentes e um lado congruente. O que
garante que os triângulos são congruentes. Comente que quando dois triângulos são
congruentes são semelhantes e com razão de proporcionalidade um.
Lembre sempre de ressaltar que duas coisas (dois ângulos, dois lados) são
congruentes quando tem a mesma medida.
Como os triângulos são congruentes PR = P’R o que significa que a distância do
objeto ao espelho é igual a distância da imagem ao espelho.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação algumas
dificuldades podem ser encontradas como o fato de nem todos os alunos caberem dentro
da câmara, o que depende do tamanho de caixa for usada, quanto maior a caixa melhor.
Durante as respostas os alunos podem apresentar problemas para entender as perguntas
ou construir respostas, além de alguns, em seus esboços, terem dificuldade de
representar raios de luz que condizem com o tamanho da imagem desenhada. O
professor não deve interferir nas respostas, mas pode reforçar que leiam bem as
questões e discutam em grupo sobre elas antes de respondê-las, pois a própria pergunta(
nesse caso a questão 5) instrui como o aluno deve proceder o esboço e a ordem para
montá-lo. Após a explanação sobre a semelhança de triângulos e responder a questão 8
é comum que os alunos queiram, na questão 9, classificar os triângulos quanto aos casos
de semelhança e não apontar e explicar o que eles tem em comum como é pedido.
Bibliografia utilizada na Investigação 4:
LUZ, A. M. R., Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
OLIVEIRA, M. P. P., Física em contextos: pessoal, social e histórico: energia, calor,
imagem e som., 1ª ed., São Paulo, FTD, 2010, p. 313-318.
95
VILLAS BOAS, N., DOCA, R. H., BISCUOLA, G. J., Física 2, 2ª ed., São Paulo,
Saraiva, 2013, p. 218.
SOUZA, J. R., Vontade de saber matemática, 9º ano, 2ª ed., São Paulo, FTD, 2012, p.
139-143.
Cinema na caixa (câmara escura - experimento de Física)- Movie in a box. Manual do
Mundo. Disponível em: http://www.manualdomundo.com.br/2012/05/cinema-na-caixa-
camara-escura/, visto em 29 de agosto de 2016.
Semelhança de Triângulos. Brasil escola. Disponível em:
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/semelhanca-triangulos.htm.
Investigação 5: Medindo alturas
Objetivo: explorar a propagação retilínea da luz, usar os raios de luz para representar a
trajetória descrita pela luz, explorar o Teorema de Tales.
Elementos da geometria: retas paralelas, triângulos, semelhança de triângulos,
proporções, Teorema de Tales.
Equipamentos: isopor, cartolinas, tintas guache marrom, palitos de churrasco, palitos
de dente, barbante, papelão, papel ofício, dois tons de verde de papel crepom, pistola de
cola quente, bastão de cola de silicone, cola para isopor, réguas.
Construindo a maquete:
Para montar a base da maquete use uma placa de isopor de aproximadamente 50 cm
x 50 cm. Use o papel crepom mais claro para cobrir a placa de isopor usando a cola de
isopor. A base também poderia ser pintada com tinta guache de verde, mas o benefício
de usar o papel é a facilidade para reutilizar a placa de isopor.
Para a montagem da árvore:
Tronco: para montar o caule use o papelão. Desenhe no papelão 2 contornos
aproximados de um tronco de árvore com alguns galhos. Recorte-os. Em um dos
troncos faça um corte reto no meio do caule que começa na parte de cima e vai
até a metade do tronco. No outro tronco faça também um corte central só que
começando de baixo até o meio. Em seguida encaixe-os. Reforce o encaixe com
cola, espere secar e pinte o tronco com tinta guache marrom.
Copa da árvore: depois de o tronco secar, amasse o papel oficio deixando-o em
formato de bola. Cole a bola de papel no centro dos galhos do tronco. Recorte
algumas tiras de papel crepom dos dois tons de verde. Pegue as tiras de papel
crepom, amasse como se fosse formar bolinhas e cole com a cola de silicone
sobre a bola de papel do centro. Alterne entre os tons de verde para dar um
efeito bonito. Preencha toda a bola central e uma parte dos galhos até conseguir
um bom volume.
96
Fixando a árvore: para fixar árvore na base de isopor cole, com cola quente,
palitos de dente por entre os buraquinhos do papelão na parte de baixo da árvore.
Assim a árvore poderá ser colocada e removida com facilidade do isopor sem a
necessidade de colá-la.
Figura 5.1: Maquete montada. A foto foi tirada após a maquete ter sido usada, por isso as
marcas da sombra.
Desenvolvimento: Após confeccionar a maquete de uma árvore em uma superfície
plana como mostrada na da figura 5.1.
Figura 5.2: Maquete.
Escolher um dia de sol para marcar a sombra da árvore com palitos de churrasco
pintando com tinta guache a sombra projeta na superfície do isopor. Se possível faça
isso acompanhado dos alunos e peça que um deles marque a sombra.
Feito isso use barbantes para demonstrar os triângulos formados, como ilustrado na
figura 5.2.
Aproveite o momento para questionar aos alunos sobre o que os triângulos formados
teriam de semelhante.
Feito isso, o próximo passo é medir, juntamente com os alunos, com régua a sombra
da árvore, a altura da vareta e sua sombra. Ressalte que os raios de Sol que atinge a
Terra são paralelos.
Após essas etapas peça que os alunos respondam as questões 1 e 2.
1. É possível descobrir a altura da árvore da maquete sem medi-la
diretamente? Qual a sua sugestão?
97
2. Antes de fazer qualquer medida, explique o que justifica a formação das
sombras da árvore e da vareta?
Em seguida, apresente aos alunos o Teorema de Tales no quadro:
Figura 5.3: Retas paralelas a, b e c interceptadas pelas transversais r e r’. Fonte:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm.
Se um feixe de retas paralelas é intersectado por duas retas transversais então
os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais.
Agora, peça que eles respondam a questão de número 3, onde eles terão que
identificar quais são os feixes de retas paralelas e quais são as retas transversais.
Observe os desenhos dos alunos, mas não interfira.
Comente com os alunos que este teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e
matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
Conte a eles sobre a lenda de que Tales usou ou desenvolveu o teorema a partir de um
experimento realizado através da observação de uma sombra de uma das pirâmides do
Egito, pirâmide Quéops. A partir disso, ele conseguiu calcular sua altura com base na
sombra que ela projetava e da sombra projetada por uma estaca.
3. Na figura abaixo, tente identificar quais retas formam o feixe de retas
paralelas e quais são as retas transversais mencionadas na definição do
Teorema de Tales.
98
Figura 5.4: Maquete com raios solares.
Figura 5.5: Maquete com os raios solares.
A partir da imagem 5.5 peça que os alunos observem que os raios solares que
chegavam à Terra estão na posição inclinada e são paralelos. Então os triângulos
formados pelas alturas, tamanhos das sombras e os raios solares são semelhantes, dessa
forma, existe uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos
objetos:
Ou
99
Após isso, peça que respondam a questão 4.
4. Realize os cálculos de proporções com os valores medidos e depois compare
com a altura verdadeira da árvore representada.
Dificuldades mais prováveis: durante a realização da investigação uma dificuldade
possível de ser enfrentada está em conseguir marcar as sombras na maquete em um dia
de sol. Isso pode surgir pelo horário da aula da turma, como no caso de uma turma
noturna. Para combater esse empecilho o professor pode já levar a marcação da sombra
feita e explicar por que e como foi feito ou, usar uma outra fonte de luz como uma
lâmpada, mas neste caso é necessário explicar o porquê de se fazer isso e apontar as
diferenças entre a fonte de luz Sol e lâmpada já que as questões da atividade tratam de
raios solares.
Bibliografia utilizada na Investigação 5:
SOUZA, R. V. S., GOIS, A. M. D., Maquetes, o caminho para a compreensão do
teorema fundamental da semelhança de triângulos em situações problemas. Disponível
em:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde
/2012/2012_uenp_mat_artigo_rosangela_vitorino_de_souza.pdf.
PAULA, E., FERNANDES, F. C. R., Educação matemática pela contextualização com
a astronomia, XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e IX Encontro
Latino Americano de Pós- Graduação- Universidade do Vale do Paraíba. Disponível
em: http://www.inicepg.univap.br/cd/INIC_2009/anais/arquivos/RE_0976_1429_01.pdf
SOUZA, J. R., Vontade de saber matemática, 9º ano, 2ª ed., São Paulo, FTD, 2012, p.
126-134.
Teorema de Tales. Mundo Educação. Disponível em:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/teorema-tales.htm.
100
Bibliografia
FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado, FTD, São
Paulo, 2000.
GEWANDSZNAJDER, F. Projeto Teláris: Ciências- 9º ano, 1ª ed., Ática, São Paulo,
2012.
LUZ, A. M. R. Física em Contexto & Aplicações: ensino médio, 1ª ed., São Paulo,
Scipione, 2013.
SOUZA, J. R.de, Vontade de saber matemática, 8º ano, 2ª ed.,FTD, São Paulo, 2012.
Retas. Mundo Educação, Disponível em:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/retas.htm, acesso em: junho de 2017.
101
Material do Aluno
Com o intuito de facilitar as atividades do professor, montamos roteiros das
investigações destinadas aos alunos. Neles constam os questionários a serem
respondidos pelos alunos nas investigações.
O que vamos fazer?
Através de investigações simples vamos construir conceitos de geometria e óptica
geométrica. Vamos explorar temas como a propagação da luz, espelhos planos, a
semelhança de triângulos e o teorema de Tales que são muito usados para construir
relações métricas.
Mas antes vamos ter uma conversa...
Imaginem um diálogo com a luz e acompanhe a entrevista abaixo:
- Como você se chama?
- Luz, somente luz; no entanto, tenho vários apelidos...
- Que apelidos você tem?
- Essa é uma história um pouco longa... Mas vou tentar contá-la.
- Conte-me então.
- Tudo começou no primeiro dia, aliás, em plenas trevas... Já no final desse mesmo
dia, fui criada. Desde esse momento, sai por aí, refletindo, refratando, espalhando e
fazendo muito mais...
-Mas como você é capaz disso tudo, se é invisível?Quem é você? O que você é?
- Pois é... Já alaram bastante a meu respeito. Muitos, inclusive, discordam da minha
invisibilidade. Mas há uma verdade: só é possível acompanhar o meu rastro quando
existe algo no meu caminho.
- Como assim?
- É simples: quando saio do farol de um carro, num dia de chuva, só se vê o meu
facho porque as gotículas de água me refletem, isto é, me atrapalham. Só é possível ver
meu trajeto quando parto do farol de uma torre porque as partículas de poeira, em
suspensão, se colocam no meu caminho, desviando-me para todos os lados.
-Ah, entendi... Continue sua história.
- No inicio, os homens pré- históricos não estavam muito interessados nisso. Depois,
no século XVII, travou-se uma grande discussão acerca da minha natureza. Uns diziam
que eu constituiria em pequenas partículas porque, ao incidir em um espelho, era
102
refletida como uma bola de bilhar em uma mesa. Outros diziam que eu era onda, pois
alguns fenômenos luminosos apresentam características de ondas, como o som
produzido por cordas e membranas.
- Quer dizer então que você é uma onda?
-Bem, essa foi a conclusão dos cientistas até o final do século passado. Na verdade,
as pesquisas no início desse século apontaram novamente para a minha natureza
corpuscular.
-E, no final das contas, o que você é?
-Não posso responder, pois só é possível ao homem penetrar minha essência através
dos conceitos e das teorias que ele cria. A natureza representa um grande desafio à
capacidade humana de compreensão. Os debates e as discussões entre os cientistas são
decorrência dessa tentativa de entender minha essência.
-Isso quer dizer que a Ciência não chegou a uma conclusão definitiva sobre sua
natureza? Algumas vezes é vista como onda, outras como partícula?
-É, parece que você entendeu o espírito da situação. Hoje, para a Ciência, sou algo
com duas faces: uma ondulatória e outra particular. Talvez amanhã cheguem a outra
imagem sobre minha natureza. Por enquanto, me apresento com essa dupla identidade,
como um agente secreto.
Fonte do texto: FIGUEIREDO, A.; PIETROCOLA, M. Luz e cores- Física um outro lado,
FTD, São Paulo, 2000.
Investigação 1: Como a luz pode ser representada por raios.
Fonte: adaptado de Active Learning in optics and photonics, 2006.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Depois de visualizar a lâmpada através do tubo de PVC, responda:
1. Que figura geométrica o cordão faz nesse momento? Uma reta ou uma
curva?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
2. Se o tubo for girado levemente para a direita ou para esquerda, mudaria a
forma do cordão? Neste caso é possível observar a luz proveniente da
lâmpada?
103
________________________________________________________________
________________________________________________________________
3. Com base na questão anterior, como a luz se propaga, como uma reta
acompanhando o cordão esticado ou uma curva?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
4. No diagrama da figura 1 esboce 5 raios de luz que começam no bulbo da
lâmpada e vão até os pontos de 1 a 5. Compare com o de seus colegas.
Figura 1: Esquema de disposição da lâmpada e dos alunos.
5. Descreva esses raios em palavras. Como eles são desenhados à medida que
a distância ao filamento aumenta?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Depois de ver como a luz do laser se propaga, responda:
6. Você pode ver o feixe de laser bem sem o pó de giz no ar? Por que o pó de
giz torna o feixe mais visível? O que você viu foi a luz proveniente
diretamente do laser ou tem mais alguma coisa acontecendo?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
7. Aponte as diferenças que você identificou entre a luz do laser e a da
lâmpada e a forma como elas atravessam a sala.
________________________________________________________________
________________________________________________________________
104
________________________________________________________________
________________________________________________________________
8. Quais as diferenças entre as respostas de seus colegas e a sua?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
9. Com base em suas observações, esboce alguns raios deixando o laser no
esquema da figura 2.
Figura 2: Esquema de disposição do laser e dos pontos.
10. Você espera que o feixe do raio laser passe pelo ponto 1, 2, 3 ou em
nenhum? Qual a diferença entre os raios que você desenhou neste esboço e
no anterior?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
______________________________________________________________
11. Você acha que existem outras situações nas quais os raios podem ser
representados como os saídos de um laser? Imagine um feixe de luz solar
que atinge a Terra, ele seria constituído de raios luminosos semelhantes aos
da lâmpada ou do laser?
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Investigação 2: Você sempre vê as reflexões em espelhos?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
105
Após observar a situação montada, o espelho coberto e a lâmpada e depois de
escolher os colegas voluntários, vamos responder algumas questões:
1. Você acha que a luz reflete no espelho? O que te faz achar isso?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. O que o seu grupo acha? Escreva as ideias que o grupo elaborou que sejam
diferentes das suas.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Após o espelho ser descoberto, qual dos três estudantes poderá ver o reflexo
da lâmpada no espelho?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Depois de descobrir o espelho e observar o que acontece, responda:
4. Qual dos estudantes foi capaz de ver o reflexo da lâmpada? O que
aconteceu está de acordo com o que você esperava? Se não, explique o
porquê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. Desenhe os raios de luz que expliquem o que foi observado.
106
Figura 2.1: Esquema de montagem.
6. Ao trocar de posição a lâmpada (objeto) e o aluno (observador) você
observou que ainda é possível ver o reflexo da lâmpada? E o reflexo da
lâmpada está novamente circunscrita? Como você explicaria isso?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Investigação 3: Como a luz é refletida em um espelho?
Fonte: adaptado de ROBERTO, 2009.
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Seu grupo recebeu um conjunto de materiais, mas antes de usá-los responda as
questões 1 e 2.
1. A figura 3.1 mostra um raio de luz incidindo com um ângulo de 45° em um
espelho plano. Como é o raio refletido? Desenhe a sua resposta.
107
Figura 3.1: Esquema para um raio de luz incidindo sobre um espelho.
2. O que os seus colegas de grupo acham? Quais ideias deles que são diferentes
da sua?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Agora sim vamos usar aqueles materiais. Faça sua representação da figura 3.1
sobre o papel milimetrado, nele já existem as marcações necessárias. Meça o ângulo
usando o transferidor. Se sentir dúvida em como medir usando o transferidor
consulte seus colegas de grupo, caso eles não possam te ajudar chame então o
professor.
3. Incida um feixe de luz com um ângulo de 45° com o espelho. O que você
observou? Aconteceu o que você imaginava?
___________________________________________________________________
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. Como a luz se reflete no espelho? Explique com uma frase.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. O que acontece se o ângulo de incidência for mudado? Por exemplo, quando
for 30° ou 60°?
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___________________________________________________________________
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___________________________________________________________________
6. Na imagem abaixo quatro raios de luz incidem em quatro espelhos. Como
são os raios refletidos? Desenhe sua ideia.
Figura 3.2: Esquema para reflexão de feixes de luz incidente em espelhos planos.
7. Os desenhos dos seus colegas de grupo são diferentes do seu? Em que?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Investigação 4: Câmara Escura de Orifício
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
E aí, você viu a Câmara Escura de Orifício? Experimentou entrar nela?
A câmara escura de orifício é uma ferramenta óptica muito antiga desenvolvida pelo
árabe Alhazen para acompanhar eclipses solares, mas que ao longo da história ela
também foi usada por pintores e desenhistas para copiar paisagens. Ao longo da história
já se construíram câmaras escuras de vários tamanhos inclusive do tamanho de quartos
inteiros, as chamadas salas escuras, mas só no final do século XVII foram construídas
as primeiras câmaras escuras portáteis.
Uma câmara escura de orifício é basicamente uma caixa ou sala completamente
escura onde a comunicação com o meio exterior se dá apenas por um pequeno orifício,
109
daí vem o seu nome. Na parede oposta é fixado um tecido ou papel branco para
funcionar como uma espécie de tela onde são projetadas as imagens.
Agora responda algumas questões:
1. O que você poderia dizer sobre a imagem projetada dentro da caixa? Quais
as características você poderia citar?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2. Tente explicar como a imagem é projetada na folha.
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___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Para você o que explica o fato de a figura projetada ser semelhante ao
corpo considerado na forma e em colorido, mas apresentar-se invertida em
relação ao corpo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4. A figura abaixo ilustra uma situação semelhante à presenciada no
experimento prático. Temos então, uma câmara escura de orifício
direcionada para uma vela. A imagem da vela será projetada na superfície
oposta ao orifício. Desenhe como seria a figura da vela projetada no lado
oposto ao orifício da câmara segundo sua experiência.
Figura 4.1: Ilustração de câmara escura de orifício.
5. Cada ponto de um objeto emite luz em todas as direções, mas para
determinar a posição da figura da vela projetada na câmara é suficiente
traçar apenas alguns raios de luz que partem do objeto, passam através do
orifício incidindo na parede oposta. Desenhe, na figura abaixo, alguns raios
110
de luz que partam da vela, atravessem o orifício e que formem a projeção
segundo sua previsão.
Figura 4.1: Ilustração de câmara escura de orifício.
6. Todos os seus colegas desenharam a figura projetada e os raios da mesma
forma que você? Quais foram as diferenças?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Agora sua professora deve ter te entregue ou mostrado algumas figuras que
mostram como os raios de luz formam a imagem projetada na câmara. Essas figuras
são as figuras 4.3 e 4.4, com base nelas responda as questões 7 e 8.
7. Na figura 4.4 os raios de luz que emanam da vela e chegam até a parede da câmara
formam dois triângulos, o triângulo ABO e o triângulo A’B’O, você tinha
percebido? Você seria capaz de apontar o que esses dois triângulos tem em
comum?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
____________________________________________________________________
8. Em qual dos casos de semelhança, apresentados pelo professor, você
classificaria os triângulos da figura 4.4?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
9. Na figura 4.7 a imagem de P é P’ que é obtida pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Observando os dois triângulos
formados PQR e P’QR, aponte o eles tem em comum. Explique.
111
Figura 4.2: Espelho plano.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Investigação 5: Medindo alturas
Lembre: A investigação será realizada em grupo, mas as respostas deverão ser dadas
individualmente.
Temos um problema que precisamos resolver! Sabe essa maquete que o professor
mostrou, precisamos medir a altura daquela árvore, mas não podemos medi-la
diretamente com a régua. Mas antes responda:
1. É possível descobrir a altura da árvore da maquete sem medi-la
diretamente? Qual a sua sugestão?
2. Antes de fazer qualquer medida, explique o que justifica a formação das
sombras da árvore e da vareta?
O teorema que seu professor apresentou foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e
matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
Diz a lenda de que Tales usou ou desenvolveu o teorema a partir de um experimento
realizado através da observação de uma sombra de uma das pirâmides do Egito,
pirâmide Quéops. A partir disso, ele conseguiu calcular sua altura com base na sombra
que ela projetava e da sombra projetada por uma estaca.
Associando o que você do teorema de Tales com a figura 5.1, responda:
3. Na figura abaixo, tente identificar quais retas formam o feixe de retas
paralelas e quais são as retas transversais mencionadas na definição do
Teorema de Tales.
112
Figura 5.1: Maquete com raios solares.
Foi montada uma relação de proporção entre alturas da árvore e da vareta e o
tamanho da sombra da vareta, agora use essa relação para descobrir a altura da árvore.
4. Realize os cálculos de proporções com os valores medidos e depois compare
com a altura verdadeira da árvore representada.
Tamanho as sombra da árvore:______
Tamanho da sombra da vareta:______
Altura da vareta:______
Altura da árvore:______
