UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Lista de Sequências e Séries Complexas

1. Veri�que se as sequências abaixo são limitadas e/ou convergentes e determine, se possível,seus limites. Justi�que suas a�rmações.

(a) zn = e−nπi/4 (b) zn =(−1)n

n+ i(c) zn = (1 + i)n (d) zn = (

1 + 3i√10

)n

2. Decida se as séries abaixo convergem ou divergem e justi�que.

(a)+∞∑n=0

in

n2 − 2i(b)

+∞∑n=1

1√n

(c)+∞∑n=1

in

n(d)

+∞∑n=1

n− i3n+ 2i

(e)+∞∑n=1

(n!)3

(3n)!(1+i)n

3. Determine o centro e o raio de convergência das seguintes séries de potências e justi�que.

(a)+∞∑n=1

(z + i)n

n2(b)

+∞∑n=0

nn

n!(z + 2i)n (c)

+∞∑n=0

2100n

n!zn (d)

+∞∑n=0

(−1)n

22n(n!)2z2n

(e)+∞∑n=0

(n− i)nzn (f)+∞∑n=0

(2z)2n

(2n)!(g)

+∞∑n=2

n(n− 1)(z − 3 + 2i)n (h)+∞∑n=0

2nz4n

(i)+∞∑n=0

(2 + 3i

5− i

)n(z − π)n (j)

+∞∑n=0

(4n)!

2n(n!)4(z + πi)n

4. Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo, usando derivação ouintegração de séries.

(a)+∞∑n=1

n

2n(z + 2i)n (b)

+∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1

(z

π

)2n+1

(c)+∞∑n=k

(nk

)(z

4

)n

(d)+∞∑n=1

(−7)n

n(n+ 1)(n+ 2)z2n (e)

+∞∑n=0

(n+mm

)zn

5. Determine a série de Taylor ou de MacLaurin da função f dada, no centro z0 dado, edetermine o raio de convergência da mesma.

(a) f(z) = e−2z, z0 = 0 (b) f(z) =1

1− z3, z0 = 0 (c) f(z) =sen z, z0 = π/2

(d) f(z) =1

z, z0 = 1 (e) f(z) =

1

1− z, z0 = i (f) f(z) =Ln (1− z), z0 = i

(g) f(z) = z6 − z4 + z2 − 1, z0 = 1 (h) f(z) = e−z2/2, z0 = 0