UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - Portal Saber Livre · Poisson O ponto arbitrário se possível no...

Sumário

Capítulo – I ................................................................................................................................. 5 Capítulo – II .............................................................................................................................. 25 Capítulo – I(b) .......................................................................................................................... 32 Capítulo – II(b) ......................................................................................................................... 59

Capítulo – III ............................................................................................................................ 78 Capítulo – IV ............................................................................................................................ 88

Capítulo – V ........................................................................................................................... 106 Capítulo – VI .......................................................................................................................... 117 Capítulo – VII ......................................................................................................................... 124

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Lista de Figuras

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema realErro! Indicador não

definido.

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Lista de Tabelas

Tabela - V. 1. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do ContornoErro! Indicador

não definido.

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Capítulo – I

O Campo Eletrostático

1. 1 – Lei de Coulomb – Vetor Campo Elétrico – Lei de Gauss

Lei de Coulomb Discreta

Teorema da

superposição Campo Elétrico Discreta

Contínua

Prova de que n=-2 para força ou n=-1 para potencial.

Lei de Gauss-

Primeira Equação de Maxwell-

Analise do DIV e GRAD de várias funções de r (derivadas integrais).

Rotacional do campo elétrico.

. . 0rot grad F (1. 1)

Logo definimos:

E (1. 2)

d dr (1. 3)

Potencial d E dr (1. 4)

Energia Potencial B A E r dr (1. 5)

Poisson O ponto arbitrário se possível no infinito.

Laplace 0A Arbitrário

Potencial B

B E dr

(1. 6)

Energia Potencial B

U B F dr

(1. 7)

Objetivo: traduzir à eletrostática e magnetostática nestas 4 equações e resolver as

equações diferenciais.

Integral: Soma entre todos os pontos.

Derivada: Trata de apenas um ponto local.

Lei de Coulomb.

Verificação experimental.

Qual o valor da força se uma das cargas tiver aceleração?

Se aceita por fé, com comprovação.

Postulado I(Coulomb): Lei física, comparação experimental sem demonstração.

Postulado II (P. Superposição): Comparação experimental.

dq dV

Física Geométrica

XXX Não pode

ser integrada.

XXX

Coordenador.

Pode ser

integrada XX.

(densidade) Mudança de volume.

Carga de prova – pequeno q (fraca) e puntiforme.

0t (limite) Repetir a experiência várias vezes nas mesmas condições.

.iQ cte (1. 8)

1 212 21

12

q qF k r

r (1. 9)

P

W F d s

(1. 10)

Figura - 1. 1. Teorema da Superposição.

1 0

1

2

Nj k

j k jk

q qU

r

(1. 11)

1 0

Njj

j j

q rE

r

(1. 12)

2

dVE r

r

(1. 13)

j jE Q (1. 14)

S

EdQX (1. 15)

I. Eletrostática

1 212

2

12

¨q q

F rr

(1. 16)

I. 1. Campo Elétrico:

F qE (1. 17)

I. 2. Fluxo de Campo Elétrico:

4S

E dQX q (Lei de Gauss) (1. 18)

S V

E dQ divE dV (Lei de Gauss) (1. 19)

4divE (1. 20)

I. 3. Potencial eletrostático:

2

1

12

p

p

E d S (1. 21)

c

E dS rotE dQ (Teorema de Stokes) (1. 22)

0rotE (1. 23)

II. Eletrodinâmica.

III. Magnetostática.

IV. Magnetodinâmica.

qF qE v B

c (1. 24)

IV. 1.Campo Magnético

IV. 2.Experiência de Oested (corrente gerar campo magnético).

2

Idl rd B

cr

(Lei de Bio-Savoit) (1. 25)

4

e

B d S Ic

(Lei de Ampére) (1. 26)

Teorema de Stokes:

4rotB j

c

(1. 27)

j Independe do tempo.

0divB (1. 28)

Eletromagnetismo.

1 2

12

EB

q qF k r

r (1. 29)

Definindo EB como sendo:

20lim EB

qP

F qEB k r

q r (1. 30)

Figura - 1. 2

2

qnEB

R (1. 31)

E nd S (1. 32)

2EB R qR (1. 33)

24 41

nRE nR q (1. 34)

24 4E R q (1. 35)

4 q (1. 36)

Figura - 1. 3

Princípio da Superposição.

Como discreto1

4n

E i

i

q

. Toma o limite quando 0q caso contínuo:

4e dq (1. 37)

Figura - 1. 4

Nós definimos:

dq

dV (1. 38)

Fica:

4E

V

dV (1. 39)

Lei Física Lei Geométrica

Mas o fluxo foi definido como:

4E

S V

E ndS dV (1. 40)

Pelo teorema de Gauss podemos tornar a equação integral acima numa equação

diferencial.

Definição:

0lim E

VE

V

Fonte do campo (1. 41)

0

1limV

S

E E ndSV

(1. 42)

V S

E dV E ndS Teorema de Gauss (1. 43)

Igualando temos:

4V V

E dV dV (1. 44)

Tomando o mesmo volume temos que os integrados coincidem, portanto:

4E (1. 45)

1ª equação de Gauss.

No caso do campo magnético, nós temos:

Figura - 1. 5

4 4B n sq q (1. 46)

4B n sq q (1. 47)

n sq q (1. 48)

Então:

Figura - 1. 6

0B (1. 49)

0B ndS (1. 50)

0B dv (1. 51)

0B (1. 52)

3ª Equação de Maxwell.

1. 2– Campos Elétricos e Magnéticos

Figura - 1. 7

Dividimos a energia dado a configuração da carga. Carga conservativa.

Figura - 1. 8

Fdl

q q

(1. 53)

EB dl = potencial elétrico (1. 54)

B

AB

A

EB dl E E r (1. 55)

0C

EB dl (1. 56)

B A

B A

A B

EB dl EB dl A A (1. 57)

Usando o Teorema de Stokes, Definição:

0

limS

AEB

S

(1. 58)

0

limS

dEB EB dl EB dl

dS (1. 59)

EB ndS d EB dl (1. 60)

EB ndS d EB dl (1. 61)

EB ndS EB dl (1. 62)

Igualando temos:

0EB ndS (1. 63)

Portanto:

0EB (1. 64)

2ª Equação de Maxwell.

1. 3 – Teorema de Melmholtz

Um campo vetorial é completamente especificado se conhecermos o divergente e

o rotacional deste campo.

Tabela 1. 1. Teorema de Melmholtz

Eletro Magnético

Estática

Temporal

4

0

E r

E r

0

0

B r

B r

Dinâmica

Temporal

Estacionaria

4

0

E r r

E r

0

4

B r

B r jc

Dinâmica

Espacial

4

1

E t t

BE t

c t

0

1

B r

EB r

c t

, 4 ,

1

E r t r t

BE t

c t

, 0

4 1,

B r t

EB r t j

c c t

Eletricidade- Propriedade dos corpos de exibir fenômenos elétricos (eletricidade).

Eletromagnetismo- É a parte da Física que estuda os fenômenos das cargas elétricas sob o

ponto de vista de suas interações e efeitos estáticos e dinâmicos.

Eletrificação- É a viabilização da eletricidade.

Eletromagnetismo- estuda as cargas e correntes elétricas, e suas ações mútuas, como se todas

as grandezas envolvidas pudessem ser medidas independentemente com precisão ilimitada.

1. 4 – O Campo elétrico

1.4.1 – Carga elétrica.

Tales de Mileto (640 – 546 a.C.) observou que o âmbar quando atritado adquiria a

propriedade de atrair corpos de pequena dimensão, como pedacinhos de palhas e de penas.

William Gilbert (1540 – 1603), inglês, estudou mais sistematicamente este efeito,

e foi o primeiro a reconhecer com clareza que atrações elétricas e magnéticas não eram a

mesma.

Elétrico vem do âmbar – elektron em grego;

Magnético vem de magnésia – onde se encontra o minério ferro magnético.

Stephen Gray, em 1729 descobriu que atração e repulsão elétricas podem ser

transferidas de um corpo para outro quando eles estão ligados entre si (condução elétrica).

Benjamin Franklin, em 1747, concluiu de suas experiências que dois corpos

quando atritados um contra o outro, resultam em quantidades iguais de “espécies opostas” (lei

da conservação da carga). Em outras palavras, um deles ficaria com excesso de eletricidade

(sinal positivo, por exemplo) e o outro com deficiência de eletricidade (sinal negativo) a

eletricidade não seriam, portanto gerada, mas transferida.

Joseph Priestley (1773-1804) concluiu que a força entre duas cargas variava com

o inverso do quadrado da distância entre elas.

Charles Coulomb (1736 -1806) confirmou a lei do inverso do quadrado da XXX.

J. J. Thompson em 1897 confirmou experimentalmente a existência de elétrons.

Robert Millikan em 1909 realizou uma célebre experiência com uma câmara

pulverizada com gotículas de óleo eletricamente carregadas e provou que a carga elétrica era

quantizada.

Unidade de carga elétrica 11,602 10 C

Massa do elétron 319,1095 10 Kg

Massa do próton 271,673 10 Kg

1.4.2 – Lei de Coulomb

„A força que uma carga puntiforme exerce sobre outra é diretamente proporcional

ao valor de cada uma das cargas, inversamente proporcional ao quadrado da distância que as

separa, e orienta-se segundo a reta que as une. “A força é repulsiva quando as cargas têm o

mesmo sinal e atrativa quando elas têm sinais opostos.”

1 212 12

2

12

q qF k r

r (1. 65)

A representação vetorial dos vetores posições das cargas envolvidas na equação

acima é mostrada na figura XXX. O valor de k é determinado experimentalmente,

9 2 28,99 10 Nm C (sistema MKS).

Figura - 1. 9

1.4.3. Campo elétrico.

A força F sobre uma carga de prova q , resultante de sua interação com um

conjunto de cargas puntiformes q , será a soma vetorial das forças exercidas pelas cargas

individuais.

O campo elétrico E no ponto P , onde se encontra q , é definido como sendo

igual à força F dividida por q .

FE

q (1. 66)

A unidade do campo elétrico é no sistema MKS Newton por Coulomb [N/C].

A força F devido a uma única carga 1q é,

1

2

q qF k r

r (1. 67)

Logo o campo devido à 1q será:

1

2

qE k r

r (1. 68)

Se a carga 1q se desloca, a modificação do campo em r não é instantânea, mas

se propaga com velocidade da luz c .

Para uma distribuição de cargas puntiformes,

1

20

n qE k r

r (1. 69)

1.4.4. Linhas de Força.

Uma representação ilustrativa do campo elétrico bastante útil é a feita com as

linhas de campo. O vetor campo elétrico é tangente à linha que passa pelo ponto e indica a

direção da força elétrica que sofre uma carga de prova positiva colocada no ponto. A figura

XXX de linhas de campo geradas por uma carga positiva.

Figura - 1. 10

O número de linhas (mais tarde falaremos em fluxo) por unidade de área da

superfície esférica que emerge da carga é inversamente proporcional à área da superfície

24 r . Então, a densidade de linhas decresce com o inverso do quadrado da distância, isto é,

com 21 r exatamente como decresce como decresce o módulo do campo elétrico.

A figura XXX mostra as linhas de força de duas cargas negativas puntiformes de

mesmo módulo q e próximas uma da outra. Pode-se verificar que nas proximidades de cada

carga as linhas são quase perfeitamente radiais, enquanto que para distâncias muito maiores

que aquela entre as cargas o campo também será radial, porém o valor aproximadamente ao

gerado por uma carga.

Obs. Ver no livro as “regras para traçar as linhas de força.”.

Figura - 1. 11

A figura XXX mostra as linhas de força de um dipolo elétrico. Um dipolo elétrico

é constituído por duas cargas elétricas puntiformes de sinais opostos separadas por uma

pequena distância.

Para uma carga Q distribuída sobre uma superfície esférica de raio R , podemos,

através da análise intuitiva do conceito de linha de campo, chegar à conclusão que de para as

distâncias bem maiores que o raio da esfera, o campo é igual ao de uma carga puntiforme

localizada no centro da esfera. No interior da esfera, o campo é nulo. A figura XXX ilustra

este resultado.

Figura - 1. 12

1.4.5. Calculo do Campo elétrico.

O campo elétrico causado por uma distribuição de cargas pode ser calculado

diretamente com a lei de Coulomb. Vamos considerar situações onde a separação entre uma

carga e a outra é muito pequena, de tal forma que podemos considerar uma distribuição

contínua de cargas. Definimos então três grandezas que nos ajudará muito,

- distribuição volumétrica de carga Q

V (V volume );

- distribuição superficial de carga Q

A ( A Área );

- distribuição linear de carga Q

L ( )L comprimento .

Como exemplo vamos calcular o campo elétrico devido a uma distribuição

superficial de cargas numa casca esférica de raio R .

Em primeiro lugar vamos calcular o campo num ponto P fora da esfera, isto a

uma distância r , maior que R , do centro O da casca esférica, como mostra a figura XXX.

Definimos então uma carga infinitesimal dQ associada a um elemento infinitesimal de

superfície dA .

dQ dA (1. 70)

Figura - 1. 13

A figura XXX nos ajuda a definir o elemento de área dA em coordenadas

esféricas.

1 2dA dl dl , e 2dl Rsen d (1. 71)

2dA R sen d d e 2dQ R sen d d (1. 72)

Pela figura XXX vemos que

2

2 2cos cos

dQ R sen d ddE k k

s s

(1. 73)

Onde 2 2 2 2 coss r R rR e

2 2 2

cos2

s r R

sr

. Integrando-se

tem,

2

2

2 2

0 0

cos2 cos

sen dE k R d

r R r

(1. 74)

Ou usando sds

sen drR

,

2 2 2 2 2

2 2 21

r Rr R

r R r R

k R r R k R r RE ds s

r s r s

(1. 75)

Finalmente

2

2 2

4k R kQE

r r

(1. 76)

Para um ponto interior a casca esférica, o calculo é o mesmo, somente muda os

limites de integração que agora variam de R r a R r , e então.

2 2

2

R r

R r

k R r RE s

r s

(1. 77)

1.4.6. Movimento de cargas.

Uma carga q num campo elétrico sofre uma força elétrica F , que é igual a

qE . Sendo m a massa da carga, sua aceleração será qE m . Se o campo elétrico for

conhecido pode-se obter a razão entre a carga e a massa da partícula, sendo esta quantidade

denominada carga específica da partícula.

1.4.7. Dipolos elétricos em campos elétricos

Átomos e moléculas são eletricamente neutros, mas devido ao fato de serem

constituídos por partículas carregadas, podem sofrer interação com campo elétrico. Em

algumas moléculas o centroide da carga negativa, mas em presença de campo elétrico o

centroide positivo se desloca para um lado e o negativo para o lado oposto, gerando um dipolo

elétrico. Estes dipolos são chamados induzidos. Em moléculas onde naturalmente não há

coincidência entre os centroides, existe um dipolo permanente, e a molécula é denominada

molécula polar.

A figura XXX mostra o esquema de uma molécula polar, onde os centroides estão

separados pela distância 1. O momento de dipolo p é definido pelo produto da carga positiva

(que tem o mesmo valor da carga negativa) q com a distância 1.

Figura - 1. 14

O diâmetro de um átomo ou de uma pequena molécula é da ordem de 0,1nm .

Uma unidade então conveniente para o momento de dipolo será o produto de uma carga

eletrônica e pela distância 1nm .

A figura XXX mostra um dipolo elétrico cujo momento de dipolo faz um ângulo

com um campo elétrico uniforme.

Figura - 1. 15

1F qE e 2F qE (1. 78)

A resultante de forças sobre um dipolo é zero, mas ele sofre, mas ele sofre um

torque dado por,

1Flsen qElsen ou p E (1. 79)

A energia potencial de um dipolo num campo elétrico uniforme será,

dU Fdl qElsen d pEsen d (1. 80)

Integrando-se,

0cosU pE U (1. 81)

Escolhe-se energia potencial nula para 2 , logo,

U p E (1. 82)

1. 5. Carga Elétrica.

O conceito de carga elétrica não é tão intuitivo quanto o conceito de massa em

mecânica, embora o homem já se desse conta dos efeitos elétricos desde a antiguidade. Os

relâmpagos e trovões em modo parecia se relacionar com atração elétrica ou magnética dos

corpos, como a magnética, por exemplo. Porém como a ideia de carga elétrica esta relação

passou a existir no sentido de que toda a matéria apesar de neutra na sua forma natural é

comporta (podendo exibir) de cargas elétricas. A observação dos fenômenos da atmosfera

passava despercebida dos fenômenos elétricos e magnéticos mais remotos da história. A

obtenção de eletricidade estática por meio de atrito, contato, ou indução passou-se por muitos

séculos como instrumentos de magia e misticismo.

Podemos dizer que no princípio o homem só conhecia a eletrostática e a

eletrodinâmica ainda não apresentava suas manifestações devido à falta de tecnologia

suficiente XXXX o fenômeno atmosférico. E o magnetismo não fazia parte da família da

eletricidade.

Primeiras Leis da Eletricidade.

De posse da eletrostática, o homem passou a enunciar as primeiras leis da atração

e repulsão elétrica e as leis da eletrização.

Eletrização dos corpos.

Observa-se que os corpos na natureza podem ser eletrizados de três formas

diferentes: atrito, contato e indução. Onde se entende que eletrização é a capacidade de fazer

os corpos manifestar cargas elétricas. É certo que o princípio o homem não sabia que se

tratava de cargas, mas eles chamavam de eletricidade negativa ou positiva conforme a lei de

Du Fay.

Lei de Du Fay- Corpos de eletricidade igual se repelem e de eletricidade diferente se atraem.

Neste caso a eletricidade ou a propriedade elétrica dos corpos está subdividido em

duas partes, eletricidade negativa e positiva. Decidir qual era o negativo ou positivo era um

problema justamente pela falta de uma referencia mais simples. Esta ideia só aparece depois

com a descoberta de que a eletricidade podia ser quantificada.

Leis da eletrização- Com a quantificação das cargas elétricas pode-se enunciar as três leis

básicas da eletrização.

[três Leis]

Vemos que em síntese estas leis não passam de um princípio de conservação, que

é a conservação da carga elétrica total que implica na conservação da energia. Com a

descoberta da carga elementar, ou seja, o elétron, o homem pode XXXX os corpos

eletrizados.

Observações de eletrização de objetos são as mais remotas possíveis.

Observa-se que os corpos na natureza podem ser eletrizados de três formas

diferentes:

1- Atrito – Quando atritamos um corpo no outro (ex: bastão de barrilha atritado por uma lã)

rompimento de ligações químicas.

2- Contato – transferência de elétrons.

3- Indução – Deslocamento de cargas.

Nestes três processos acima a carga líquida é conservada desde que o sistema

esteja isolado, pois não há criação ou aniquilação de cargas, mas apenas um rearranjo dos

mesmos.

Capítulo – II

O Campo Magnético

I – Eletrostática

É a parte do eletromagnetismo que estuda os efeitos elétricos das cargas imóveis

(fixas no espaço), ou melhor, em repouso.

2. 1 – Lei de Coulomb

Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806) descobriu empiricamente que duas

cargas elétricas interagem entre si por meio de uma força proporcional ao produto das cargas

e inversamente proporcional ao quadrado distâncias que os separa com linha de ação na

direção reta as XXX e com sentido de afastamento ou aproximação conforme as cargas têm o

mesmo sinal ou sinais opostos.1 Esses fatores experimentais são expressos pela relação.

2

i jïj ij

ij

q qF r

r (2. 1)

Vemos, portanto que esta lei de força é muito parecida (do tipo 21

r) com a lei

da gravitação universal, descoberta por sir Isaac Newton (1642 – 1727) para a força de

interação entre duas massas. Podemos dizer que estamos diante da mesma lei, mas apenas

1 Lei de Du Fay.

mudamos a natureza envolvida nas partes interagentes, numa é entre massas e outra é entre

cargas elétricas, os quais sãos conceitos fundamentais da física clássica.

Figura - 2. 1. Lei de Coulomb para a) duas cargas de sinais iguais, b) duas cargas de sinais

opostos.

Coulomb conhecia os trabalhos de Newton e influenciado pela descrição

geométrica da mecânica dada por Newton e outros, ele admitiu que esta lei pudesse ser válida

não apenas para massas, mas também para cargas elétricas, cujas suspeitas, ele conseguiu

constatar não através de uma previsão teórica matemática (por que nessa época nada se sabia

a respeito da natureza das cargas), mas através de uma verificação experimental.

Concluímos que esta lei é neste caso puramente empírica, e isto significa dizer

que não existem considerações antecedentes para uma precisão teórica desta lei. Mas isto não

impede que a sua forma seja analisada em relação às considerações geométricas, a fim de que

se alcance uma melhor compreensão de sua formulação matemática.

Rigorosamente falando a lei de Coulomb fica:

2

i jïj ij

ij

q qF k r

r (2. 2)

Onde k é uma constante de proporcionalidade e vale:

1

4k

(2. 3)

Cujas unidades são: (CGS), (CGS2) e (MKS).

E é a constante dielétrica do meio, que no caso do vácuo é 0 . A lei de

Coulomb vale no vácuo ou num meio dielétrico homogêneo e isotrópico (mesmas

propriedades em todas as dimensões). Tomaremos como ponto de partida a lei de Coulomb no

vácuo e procuraremos deduzi-la depois para esse meio dielétrico. Trabalharemos no sistema

de unidades CGS Gaussiano. Neste sistema a constante dielétrica é unidimensional, com valor

no vácuo 0 1 .

Quando, no vácuo, 1r cm e 1dina para cargas iguais i jq q , o valor

comum das cargas é chamado de 1 statcoulomb.

Desenhado um sistema de coordenadas num ponto “o” qualquer do espaço, o

sistema de cargas fica:

Figura - 2. 2- Sistema de duas cargas num sistema de coordenadas cartesianas.

A lei de Coulomb pode ser escrita de forma explicita como sendo:

2 Gaussiano

2

i ji j

ij

i ji j

r rq qF k

r rr r

(2. 4)

Onde o termo i j

ïj

i j

r rr

r r

é o versor do vetor ïj i jr r r . Podemos ver que

qualquer que sejam as cargas (positivas ou negativas) a Lei de Coulomb contém a 3ª Lei de

Newton, que diz que as forças de ação e reação sobre um ponto de aplicação, são iguais em

módulo e oposto em sentido. Para verificar isto basta trocar escrevendo j ir r ao invés de

i jr r .

Se chamarmos de ïjF a força que a carga iq faz em jq e de jiF a força que a

carga faz jq em iq teremos:

3

ï ji j

ïj

ï j

q q r rF k

r r

(2. 5)

3

j ij i

ji

j i

q q r rF k

r r

(2. 6)

Podemos escrever (2. 5) conforme (2. 6) e ficando com:

3

j ij i

ïj

j i

q q r rF k

r r

(2. 7)

Mas tomando o módulo do denominador temos:

3

j ij i

ïj

j i

q q r rF k

r r

(2. 8)

Comparando (2. 8) com (2. 6) concluímos que:

¨ïj jiF F (2. 9)

Pois 3 3

j i i jr r r r .

Observamos também que existe uma singularidade na expressão da força em (2.

4) quando i jr r temos que ijF para uma carga pontual.

A Lei de Coulomb é válida em qualquer situação, basta que se tenham cargas

elétricas, mas no caso das cargas não serem fixas, as forças provocarão o movimento destas

cargas, e ai aparecem efeitos de campo magnético que só serão estudados posteriormente, esta

parte do eletromagnetismo chama-se Eletrodinâmica.

2. 2 – Sistema discreto de Cargas fixas distribuídas no espaço.

Para uma distribuição discreta de cargas no espaço, vale o princípio da

superposição linear.

Figura - 2. 3

Ou seja, a força resultante sobre uma das cargas é o ponto vetorial das forças

devido às outras cargas, ou seja:

3

1

N ï ji j

Rï

jï j

q q r rF k

r r

(2. 10)

2. 3 – Distribuição contínua de cargas fixas.

Para uma distribuição contínua ainda vale o princípio da superposição só que a

somatória (do caso discreto) passa a ser uma integral do tipo:

Figura - 2. 4

3'

'Q

qdQF r r

r r

(2. 11)

Se a distribuição for volumétrica, num volume V’ passamos da integral sobre

cargas para uma integral volumétrica, sobre a densidade volumétrica das cargas:

' 'dQ

rdV

(2. 12)

Escrevemos então a integral ainda como:

3

'

'' '

'V

rF q r r dV

r r

(2. 13)

No caso de uma distribuição superficial escrevemos:

' 'dQ r dS (2. 14)

Definindo deste modo a densidade superficial , de cargas e a integral fica:

3

'

' ''

'S

r r rF q dS

r r

(2. 15)

E no caso de uma distribuição linear de cargas definimos:

' 'dQ r dl (2. 16)

Definimos deste modo à densidade linear de cargas, e a integral fica:

3

'

' ''

'l

r r rF q dl

r r

(2. 17)

Capítulo – I(b)

Eletrostática

(b)1. 1. Lei de Coulomb

Coulomb verificou experimentalmente que duas cargas puntiformes exercem uma

sobre a outra forças com direção da reta que as une, de repulsão ou de atração conforme as

cargas têm o mesmo sinal ou sinais contrários e com intensidades proporcionais às cargas e ao

inverso do quadrado da distância entre elas.

Figura- 1(b). 1. A B

Chamando a constante de proporcionalidade de 1 e acompanhado as Figura- 1(b).

1., tem-se, conforme Q está na origem ou em Qr ,

2

1 QqF r

r (1b. 1)

Ou

2

1 QqF R

R , QR r r (1b. 2)

Este resultado, conhecido como Lei de Coulomb, vale no vácuo ou num dielétrico

homogêneo e isotrópico (mesmas propriedades em todos os pontos e direções

respectivamente) extenso, com variando de meio para meio. é chamada constante

dielétrica do meio. Tomaremos como ponto de partida a lei de Coulomb no vácuo e

procuraremos deduzi-la depois para esse meio dielétrico. Trabalharemos no sistema de

unidades CGS gaussiano. Neste sistema, a constante dielétrica do vácuo é adimensional, como

valor um no vácuo, 0 1 . No vácuo escrevemos então

2

QqF r

r (1b. 3)

Quando, no vácuo, 1r cm e F dyne , para cargas iguais, Q q , o valor

comum das cargas é chamado 1 stat coulomb.

Outro fato experimental é que a força em q devido a uma distribuição de cargas é

a soma (vetorial) das devidas a cada uma destas cargas. (Princípio da superposição).

Figura- 1(b). 2. A. B.

Para uma distribuição discreta de cargas qQ (Figura- 1(b). 2. A) tem-se então

2

a

a

a a a

qQF F R

R , a aR r r (1b. 4)

Para uma distribuição contínua (Figura- 1(b). 2.B) temos

2

Q

qdQF d F R

R , 'R r r (1b. 5)

Se a distribuição for volumétrica, num volume 'V , passamos da integral sobre as

cargas para uma integral volumétrica sobre o volume, introduzindo a chamada densidade

volumétrica de carga, ' 'r dQ dV . Escrevendo então a (1b. 5) sob a forma

2 3

' '

' '' ' '

'V V

r rF q RdV q r r dV

R r r

(1b. 6)

No caso de uma distribuição superficial escrevemos ' 'dQ r dS , definindo

desse modo a densidade superficial , e no caso de uma distribuição linear escrevemos

' 'dQ r ds , definindo deste modo a densidade linear .

(b)1. 2. O Campo Elétrico.

Dividindo F por q obtemos uma quantidade vetorial que só depende da

distribuição de cargas e da posição considerada. Tal quantidade é chamada vetor campo

elétrico.

F r

E rq

(1b. 7)

Esta carga q deve ser entendida como uma carga de prova, isto é, suficientemente

pequena para não perturbar a distribuição (por fenômenos de indução) para qual queremos

definir E .

No caso de uma fonte Q puntiforme, resulta da (1b. 1) e (1b. 2), conforme Q está

ou não na origem,

2

QE r r

r (1b. 8)

Ou

2

QE r R

R , QR r r (1b. 9)

Figura- 1(b). 3.A B C

De (1b. 4) e (1b. 5) vemos que no caso de uma distribuição discreta domamos

sobre todas as aQ e no caso de uma distribuição contínua (Figura- 1(b). 3.C) somamos

(integramos) sore todos os 'dQ s . No caso de uma distribuição volumétrica resulta de (1b. 6)

3

'

' ''

'V

r r rË r dV

r r

(1b. 10)

Duas propriedades importantes do campo que não nos deteremos em demonstrar é

que o campo devido a uma distribuição volumétrica r é sempre finito e sempre contínuo.

Vemos que a integral acima possui uma singularidade para o caso particular onde

o ponto P r está dentro do volume 'V considerado. Isolando a singularidade a integral

acima pode agora ser dividida em duas integrais, ou seja, uma em ' 'V v e outro em 'v , logo:

3 3 3

' ' ' '

' ' ' ' '' ' ' '

' '

Q

V V v v Q

r r r r r r r r rË r dV d V v dv

r r r r r r

(1b. 11)

Conforme mostra a figura abaixo

Figura- 1(b). 4.A B

A expressão em 'v reduz-se à (1b. 9) por um processo limite, considerando o

campo devido a uma distribuição com carga Q , no volume 'v pequeno em torno de um ponto

Qr . Neste caso todos os 'r diferem muito pouco de Qr e a (1b. 11) pode ser escrita, no limite

' 0v como:

3 3

' '

'' '

Q Q

v vQ Q

r r r r rE r r dv

r r r r

(1b. 12)

3

Q

Q

r rE r Q

r r

onde ' 0

'

lim 'v

v

r dv (1b. 13)

Figura- 1(b). 5

Notemos que se a distribuição ocupa uma região finita o campo longe é idêntico

ao que teríamos se a carga total estivesse concentrada na origem. De fato, neste caso, na

região distante tem-se 'r r para todo 'r , que pode então ser desprezado frente a r . Da (1b.

10) resulta no infinito,

3 3

'

'

V

r r rE r Q

rr

(1b. 14)

No caso de uma distribuição superficial ou linear tem-se a (1b. 10) com ' 'r dS

ou ' 'r ds , respectivamente, em vez de ' 'r dV . Não nos deteremos em exemplos de

calculo direto do campo em situações simples, o que o leitor já deve conhecer do curso

anterior.

(b)1. 3. A Lei de Gauss.

O calculo de (1b. 10) para uma dada distribuição de cargas é em geral muito

difícil ou praticamente impossível de ser efetuado. Uma fórmula de interesse prático nos

problemas com certo tipo de simetria vem do calculo do fluxo de E . Este cálculo será

também útil para o cálculo do divergente de E via o teorema de Gauss. O fluxo de E através

de uma superfície S é a integral sobre essa superfície da componente normal do campo.

Consideremos primeiro o caso de uma fonte puntiforme.

Figura- 1(b). 6

Acompanhando a Figura- 1(b). 6 o fluxo elementar é

2

QE dS r ndS Qd

r (1b. 15)

Onde d é o ângulo sólido sub-entendido por dS ,

2 2 2

cos ndSr n dSd dS

r r r

(1b. 16)

O sinal vale quando o fluxo é por trás (frente) da superfície.

Integrando na superfície tem-se o fluxo total,

S

E d S Q d (1b. 17)

A integral em d é o ângulo sólido subentendido pela superfície. De particular

interesse é o caso de uma superfície fechada. Se Q for interno a essa superfície o ângulo cobre

o espaço todo e a integral é igual a 2 , cobrindo um semi-espaço delimitado pelo plano

tangente e se Q é externo o ângulo sólido é nulo.

Figura- 1(b). 7

Se tivermos mais cargas puntiformes o campo é a soma dos campos e o fluxo é a

soma dos fluxos devido a cada uma dessas cargas. As internas contribuem com 4 , as

superficiais com 2 e o fluxo total é então:

4 2I SE d S Q Q (1b. 18)

Onde IQ é a soma das cargas internas e SQ é a soma das superficiais. A (1b. 18) é

a lei de Gauss.

Como aplicação simples vamos reobter a partir de (1b. 18) a expressão do campo

elétrico devido a uma carga puntiforme Q . Por simetria o campo em P deve ser radial e o

seu módulo só pode depender da distância r do ponto P à carga Q , isto é, E r tem que ser

da forma

E r E r r (1b. 19)

Escolhemos então como superfície fechada a superfície esférica de raio r e centro

Q . Nesta superfície r coincide com n e E r é constante. Logo, o fluxo é

24S S S

E ndS E r dS E r dS E r r (1b. 20)

Outra superfície conveniente é uma semi-superfície esférica com a base plana

passando por Q . Como parte do fluxo através da base é nulo, o fluxo total cai pela metade.

Como a carga agora está na superfície E r terá mesmo valor.

Um caso de particular interesse é o de uma esfera uniforme carregada, r ,

constante.

Figura- 1(b). 8

Novamente por simetria vale a (1b. 18) dentro, em r a , e fora da esfera.

Escolhendo como superfície fechada superfícies esféricas concêntricas com a distribuição e

passando por P externo ou interno os fluxos são iguais a (1b. 20) onde 0r P .

Se P ou em r a a carga interna é a total Q e se P interno é parcial

3 3 34 3Q r r Qr a . A lei de Gauss nos dá o seguinte resultado:

2

QE r r

r , r a (1b. 21)

3

4

3

QE r r r

a

,

3

3

3 4

34

Q r

a

(1b. 22)

Dentro da esfera o campo é proporcional a distância.

Note que para r a o campo tem valor 2E a Q a , por fora ou por dentro: o

campo é contínuo. É também finito em todo o espaço. Isto ilustra as propriedades

fundamentais enunciadas depois de (1b. 10).

Outros casos simples são o do plano e da linha uniformemente carregados, com

e constantes. No caso do plano (Figura- 1(b). 8B) E nulo sobre o plano pois por simetria

E não pode estar para cima ou para baixo; para a esquerda ou direita. Fora do plano E ele é

normal, pois por simetria pode estar para a direita ou para a esquerda, para frente ou para trás.

Usemos a Lei de Gauss para uma superfície cilíndrica reta com base dS apoiada no plano. O

fluxo é igual a EdS na base superior, zero na lateral e zero na base inferior.

Logo, chamando dQ a carga na base inferior, tem-se 2EdS dQ e, portanto,

2E . Abaixo do plano E tem por simetria, esse mesmo módulo e está orientada para

baixo. Portanto, acima da superfície, sobre ela e abaixo temos

1 2E n , 0SE , 2 2E n (1b. 23)

Como superfície gaussiana podemos também considerar uma superfície cilíndrica

reta com bases equidistantes do plano. O fluxo dobra, mas o resultado é o mesmo, pois

dQ agora é interna.

Notemos que o campo é descontínuo, aliás, duplamente descontínuo: tem valores

diferentes logo acima e abaixo do plano e ambos diferentes do valor do plano. Tem-se:

1 2 4E n E n , 1 2SE n E n (1b. 24)

Como veremos mais tarde esses resultados valem para qualquer.

No caso do fio escolhemos como superfície gaussiana a superfície cilíndrica reta

com eixo no fio, pois por simetria E é radial, E r E r r , com r ortogonal ao fio. A

parte do fluxo através das bases é nula e através da superfície lateral é 2E r rdl onde dl

é a altura da superfície. Esse fluxo é então igual a 4 dq onde dq é a carga interna. Portanto,

o campo tem módulo 2E r r .

(b)1. 4. As equações diferenciais de campo.

Vamos agora traduzir em equações diferenciais os fatos experimentais expressos

na lei de Coulomb e no princípio da superposição, que deram origem a expressão do campo

E escrita na equação (1b. 10).

Calcularemos então o divergente e o rotacional de E que, como sabemos,

caracterizam o campo (teorema de Helmholtz). Existem duas maneiras de fazer o calculo.

Faremos primeiro o calculo direto a partir de (1b. 10). No calculo de E P e E P é

preciso cuidado na passagem das derivadas (na variável r ) para dentro da integral, pois o

integrando torna-se infinito no ponto 'r r . Isto ocorre quando o ponto P for interno à

distribuição. Se P for externo, 'r r para todo r , o integrando não tem polos e não há

perigo na passagem das derivadas. Obtemos:

3 3

' '

' ' '' ' '

' 'V V

r r r r rE P dV r dV

r r r r

(1b. 25)

No caso do rotacional obtemos uma expressão análoga com em vez de .

Usamos agora as seguintes identidades;

3

'0

'

r r

r r

; 'r r (1b. 26)

3

'0

'

r r

r r

(1b. 27)

A demonstração dessas relações podem serem feitas por cálculo direto em

coordenadas cartesianas na variável 'R r r , notando que as derivadas em relação às

componentes desses dois vetores são iguais, isto é, R . O cálculo em coordenadas

polares na variável R é o mais simples. Neste caso a função em questão é

3 2F R R R R Logo as componentes polares de F são 2

RF R , 0F F . Portanto

2

3 2 2 2

' 1 10

'R

r r R dR

dRR R Rr r

; 0R ;2

0R

R

R (1b. 28)

A (1b. 27) segue também da identidade;

3

' 1

' '

r r

r r r r

ou3

1R

RR (1b. 29)

E do fato de que 0rotgrad . A demonstração da (1b. 29) em coordenadas

polares na variável R é imediata: 1 1 1 2 3RR R R R R RR RR .

Com (1b. 26) e (1b. 27) concluímos então que se P for externo à distribuição o

divergente e o rotacional do campo nessa posição P serão nulos.

Quando P for interno o integrando torna-se infinito em 'r r e não é mais claro

que as derivadas possam passar pelo sinal da integração. Neste caso subdividimos o volume

'V em duas partes sento uma delas uma esfera infinitesimal 2'v que contém P com centro

num ponto 0P como o ilustrado na figura XXX. O resto do volume é 1 2' ' 'V V v .

Referimo-nos a esta construção dizendo que estamos isolando a singularidade do integrando

de (1b. 10). No fim dos cálculos passamos ao limite em que 2' 0v em torno de P , isto é,

colapsando em P .

Figura- 1(b). 9

Chamando 1E e 2E os campos devidos a cada uma das partes temos;

1 2E P E P E P (1b. 30)

A contribuição 2E P pode ser calculada exatamente pois como 2'v é

infinitésima a densidade pode ser tornada constante nessa região, com o valor 0 0P que

tem no centro. Tem-se (1b. 22) com o vetor posição r de P em relação ao centro substituído

aqui por 00

P P r r .

Tem-se então

2

2 00 03

'

' 4'

3'v

r rE P dV P r r

r r

(1b. 31)

O campo total em P é então:

1

003

'

' ' 4'

3'V

r r rE P dV P r r

r r

(1b. 32)

Como P é externo a

0E P (1b. 33)

o seu integrando não tem polos e as derivadas presentes no divergente e rotacional de E

podem passar livremente pela integral. Obtemos então:

1

003

'

' 4' '

3'V

r rE P r dV P r r

r r

(1b. 34)

Pela (1b. 26) o primeiro termo do lado direito dessa equação é nulo. Como

3r obtemos:

04E P P (1b. 35)

No calculo do rotacional temos uma expressão semelhante à (1b. 34) com em

vez de . Usando (1b. 27) e notando que 0r resulta:

0E P (1b. 36)

Passamos agora ao limite em que 2'v colapsa em P . Na (1b. 35) 0P P e a (1b.

36) não se altera. Temos então;

4E r r (1b. 37)

0E r (1b. 38)

Essas são as equações diferenciais do campo. A primeira nos diz que o campo

emana de cargas e a segunda nos diz que esse campo não tem “rodamoinhos”. De outro modo

a primeira nos diz que as linhas de força do campo iniciam-se ou terminam em cargas ou no

infinito e a segunda nos diz que estas linhas de força nunca se fecham sobre si mesmas.

Uma segunda maneira de calcular o divergente é através do teorema de Gauss.

Segundo este teorema se V é um volume delimitando por S e 2E r é uma função regular

(finita e contínua, junto com as suas derivadas primeiras) nesse volume, tem-se a relação:

V S

EdV E ndS (1b. 39)

Em palavras essa relação nos diz que a integral volumétrica de divergente do

campo é igual ao fluxo desse campo através da superfície que o delimita.

Pela lei de Gauss esse fluxo está relacionado com as cargas internas a S e as

superficiais. Como o objetivo de converter a integral de superfície noutra também de volume

consideremos o caso de uma distribuição volumétrica de carga com densidade r . S é

uma superfície qual quer que pode conter toda a distribuição ou não.

Figura- 1(b). 10

A carga total contida em S é:

I

V

Q r dV (1b. 40)

Claro, fora da distribuição se anula e essa integral se reduz a uma integral

sobre a parte da distribuição contida em S .

A lei de Gauss nos diz então que

4S V

E ndS r dV (1b. 41)

De (1b. 39) e (1b. 40) resulta:

4V V

EdV r dV (1b. 42)

Como o volume V é arbitrário (isto é fundamental) segue que os integrandos são

iguais;

4E (1b. 43)

Reobtemos então a equação do divergente. A equação do rotacional pode também

ser obtida da demonstração que E deriva de uma função escalar, como analisaremos mais

tarde.

Antes de finalizarmos este parágrafo lembremos que o teorema de Stokes nos diz

que se f é uma curva fechada e S é uma função regular, tem-se:

f S

E dr E ndS (1b. 44)

Figura- 1(b). 11

Em palavras, a (1b. 44) nos diz que a integral de linha da componente tangencial

de E (que é chamada circuitação do campo) ao longo de uma curva fechada é igual ao fluxo

do rotacional através de uma superfície nela apoiada.

Como pela (1b. 38) o campo elétrico estático é irrotacional segue que a sua

circuitação ao longo de uma linha fechada qualquer é nula,

0f

E dr (1b. 45)

Podemos dizer desta equação que tudo o que ganharmos em E dr até certo

ponto da curva será perdido no retorno ao ponto de partida.

B. Condições de Contorno.

A densidade superficial (que é um conceito bidimensional) não entra nas

equações diferenciais (que envolvem considerações tridimensionais). entra nas condições

de contorno. Como já analisamos antes o campo devido a distribuições volumétricas é

contínuo. Vamos agora analisar o comportamento do campo no caso superficial. Já esperamos

que E seja descontínuo através da superfície como ficou patente no caso particular do plano.

Para estudar o comportamento de E utilizamos o teorema de Gauss para

obtermos informações sobre a sua componente normal e o de Stokes para a componente

tangencial.

Figura- 1(b). 12.A B C

Acompanhando a Figura- 1(b). 12.A consideremos como superfície gaussiana a

superfície de um cilindro reto elementar envolvendo o ponto SP da superfície com o eixo ao

longo da normal, de base S e altura 1 2h PP . Chamando Q a carga da superfície S

contida nessa superfície cilíndrica e indicando por LF o fluxo através da superfície lateral, a

lei de Gauss nos dá a relação;

1 2 4LE n S E n S F Q (1b. 46)

Ou

1 2 4LF QE n E n

S S

(1b. 47)

Passando ao limite 0h com S fixo o fluxo lateral LF se anula. Nesse

limite 1 SP P e 2 SP P . Passando depois ao limite 0S obtemos, com a indicação

nE E n ,

1 2 4n n SE E P (1b. 48)

Repetimos que 1E e 2E em (1b. 48) são os limites do campo em pontos 1P e 2P

que tendem ao ponto SP da superfície, por cima e por baixo respectivamente. Dizemos que

1E é o campo logo acima da superfície e 2E o campo logo abaixo.

Consideremos agora a superfície gaussiana apoiada na superfície com altura

1' Sh P P . Como Q está nessa superfície, a lei de Gauss nos dá, com 'LF designando o

fluxo lateral,

1 ' 2S LE n S E P n S F Q (1b. 49)

Passando ao limite 0h ( 1P P ) com S fixo 'LF se anula. Dividindo por

S e passando ao limite 0S obtemos;

1 2n Sn SE E P P (1b. 50)

Esta equação nos dá a descontinuidade da componente normal do campo: esta

descontinuidade é igual à metade da anterior. Vemos então que o campo é duplamente

descontínuo, isto é, os seus limites por cima e por baixo são diferentes entre si e diferentes do

valor do campo da superfície.

Para analisar a componente tangencial construímos os dois caminhos retangulares

infinitesimais desenhados na Figura- 1(b). 12.B. A circuitação é nula. Chamaremos dE e eE

os campos nos trechos verticais da direita e da esquerda respectivamente. Para o trecho maior

temos

1 2 0d eE r E u E r E u (1b. 51)

No limite 1 SP P e 2 SP P tem-se 0u e obteremos, com a indicação

tE E t ,

1 2 0t tE r E r (1b. 52)

Daqui segue que

1 2t tE E (1b. 53)

Concluímos então que a componente tangencial do campo é contínua através da

superfície. Considerando o circuito fechado apoiado na superfície temos

1 ' ' 0d eE r E u E r E u (1b. 54)

No limite 1 SP P tem-se ' 0u e obtemos

1 0t tE r E r (1b. 55)

Segue daqui que

1t t SE E P (1b. 56)

A componente tangencial do campo é então contínua na superfície.

Os resultados de (1b. 50) a (1b. 56) estão ilustrados na Figura- 1(b). 12.C.

Como exemplo de solução das equações diferenciais vamos resolvê-las no caso da

esfera uniformemente carregada com

0 3

3

4

Q

a

(1b. 57)

Figura- 1(b). 13

A geometria do problema indica o uso das coordenadas polares. Por simetria o

campo dentro e fora é radial e seu módulo não depende dos ângulos e , isto é, só depende

da coordenada r ,

rE r E r r (1b. 58)

As coordenadas polares de E são então

rE r E r , 0E E (1b. 59)

Como é fácil de verificar a (1b. 56) já satisfaz a equação do rotacional, 0E .

Em outras palavras, só com argumentos de simetria já resolvemos a equação do rotacional.

E r deverá vir agora da equação do divergente, junto com o fato de que E deve ser finito e

contínuo (distribuição volumétrica). Explicitando o divergente em coordenadas polares

resulta, notando que a derivada em relação a r (que é única) torna-se derivada total,

2

2

14

dE r E r r

drr (1b. 60)

Dentro e fora teremos então

2

02

14

dr E r

drr , r a (1b. 61)

2

2

10

dr E r

drr , r a (1b. 62)

A (1b. 61) nos dá

2 2

04d

r E r rdr

, 3

2

043

rr E r C (1b. 63)

Logo

0 2

4

3

CE r r

r

, r a (1b. 64)

Ao escrever que essa relação vale também para r a usamos a continuidade de

E . Como E deve ser finito (não há cargas puntiformes) segue que 0C , pois caso contrário

não teríamos E infinito na origem. Logo

0

4

3E r r

, r a (1b. 65)

Na região externa vale a (1b. 62), que nos dá 2

1r E r C . Logo

1

2

CE r

r , r a (1b. 66)

Claro, aqui não há perigo de aparecer um infinito, pois 0r está fora do campo

de definição do campo externo.

Só falta determinar 1C , cujo valor segue da continuidade do campo. De (1b. 65) e

(1b. 66) em r a resulta

1

0 2

4

3

Ca

a

, 3

1 0

4

3C a Q

(1b. 67)

Substituindo (1b. 65) e (1b. 67) em (1b. 56) reobtemos o resultado já conhecido

em XXXX

0 3

4

3

QE r r r

a

, r a (1b. 68)

2 3

Q QE r r r

r r , r a (1b. 69)

Como segundo exemplo, consideremos o campo produzido por uma superfície

uniformemente carregada com:

0 24

Q

a

(1b. 70)

Figura- 1(b). 14

Novamente por simetria o campo tem que ter a forma

E r E r r (1b. 71)

Com as mesmas considerações anteriores vemos que essa equação já é solução da

equação do rotacional. E r vem agora da equação do divergente junto com o fato que E

deve ser finito em todo o espaço (não há cargas puntiformes) e é descontínuo (a distribuição é

superficial). Como agora 0 a equação do divergente torna-se;

2

2

10

dE r E r

drr , r a , r a (1b. 72)

Logo 2 0d r E dr ou 2r E C . Portanto,

2 'r E r C , r a (1b. 73)

2 ''r E r C , r a (1b. 74)

Na região interna temos então

2

'CE r

r , r a (1b. 75)

Nesta região 0r é permitido e, portanto, devemos ter ' 0C pois caso contrário

o campo seria infinito na origem. Logo

0E r , r a (1b. 76)

Na região externa temos

2

''CE r

r , r a (1b. 77)

A descontinuidade de nE através da superfície nos dará "C e a descontinuidade

na superfície nos dará o campo nessa superfície.

Como r coincide com a direção – sentido da normal segue que E n E r .

Daqui resulta que 1nE E a onde E a é o limite de E r para r a por fora e

2nE E a onde este é o limite do campo para r a por dentro da superfície. A (1b. 48)

torna-se então

04 4E a E a (1b. 78)

De (1b. 77) 2"E a C a e de (1b. 76) 0E a .

Logo

02

'4

C

r ou 2

0" 4C a Q (1b. 79)

Levando este resultado em (1b. 77) vem

2

2

QE r

r , r a (1b. 80)

Só falta agora o campo na superfície. De (1b. 50) vem

02E a E a (1b. 81)

Portanto, com 2E a Q a

22

QE a

a (1b. 82)

Concluímos então que

0E r , r a (1b. 83)

22

QE r r

a , r a (1b. 84)

2

QE r r

r , r a (1b. 85)

Reobtemos então os resultados que podem ser obtidos , no caso de um modo

simples, usando a lei de Gauss.

Notemos que (1b. 48) e (1b. 53) podem ser condensados na relação

1 2 4E E n (1b. 86)

E o (1b. 50) e (1b. 56) em

1 2 2E E n (1b. 87)

Dividindo a primeira equação por dois e subtraindo da segunda resulta

1 2

1

2E E E

(1b. 88)

Vemos então que o campo na superfície é a média de valores logo acima e logo

abaixo da superfície.

(b)1. 5. O potencial eletrostático. Equação de Poisson.

a. A função potencial através da expressão do campo.

O calculo do campo através de XXX ou das correspondentes a distribuições

lineares é em geral muito complicado, pois envolve em qualquer caso uma integral vetorial.

Uma primeira simplificação resulta do emprego da identidade XXX.

3

' 1

' '

r r

r r r r

(1b. 89)

Onde envolve as componentes de r .

Essa identidade pode ser verificada por calculo direto em coordenadas cartesianas

por exemplo. De fato a componente x do lado direito da equação é

2 2

1 1 1 ''

'' ' '

x xr r

x x r rr r r r r r

(1b. 90)

O valor da segunda derivada vem por derivação de

2 2 2 2

' ' ' 'r r x x y y z z . Procedendo de maneira análoga para y e z resulta

a (1b. 89).

Outro modelo mais simples vem da observação de que as derivadas em relação às

componentes de r e de 'R r r são iguais e usar depois coordenadas polares , ,R . Tem-

se

2 3 3

1 1 1 1 '

' 'R

d R r rR

R dr R R Rr r r r

(1b. 91)

Com (1b. 89) a XXX pode ser escrita

' '

1 1' ' ' '

''V V

E r r dV r dVr rr r

(1b. 92)

Vemos daqui que E é o gradiente de uma função escalar. Temos

'E r r (1b. 93)

Onde, com C indicando uma constante arbitrária,

'

''

rr dV C

r r

(1b. 94)

Esta função é chamada potencial eletrostático. Com (1b. 93) dizemos que E

deriva de uma função escalar. Em componentes cartesianas a (1b. 93) é

XE xyz xyz x etc.

Figura- 1(b). 15

Para distribuições localizadas, isto é, para as quais 'r é limitado, a integral (1b.

94) tende a zero quando r . Para tais distribuições segue então que C é o valor do

potencial no infinito, C . Escolhendo como de hábito 0 tem-se 0C . Com

esta escolha a XXX é escrita

'

'' '

'V

rr dV

r r

(1b. 95)

Para distribuições superficiais e lineares resultam, respectivamente,

'

'' '

'S

rr dS

r r

(1b. 96)

E

'

'' '

'L

rr dL

r r

(1b. 97)

Claro, em qualquer caso tem-se

'

''Q

dQ rr

r r

(1b. 98)

Duas propriedades fundamentais do potencial que não nos deteremos em

demonstrar é que o potencial devido a , ou é sempre contínuo e é sempre finito.

No caso de uma carga puntiforme Q localizada em ar a (1b. 98) torna-se, sempre

a menos de uma constante,

Q

Qr

r r

(1b. 99)

Se a carga estiver a origem tem-se

Q

rr

(1b. 100)

Claro esta relação vem direto de XXX se usarmos a relação (1b. 89) com ' 0r .

Para uma distribuição de cargas aQ em ar tem-se;

a

a a

Qr

r r

(1b. 101)

Vemos que, como o campo elétrico, o potencial torna-se infinito na posição de

cargas puntiformes.

Notemos agora que em XXX o integrando torna-se infinito para fora do sinal de

integração precisa ser analisada com cuidado. Na realidade o procedimento usado até agora só

é valido quando o ponto P onde queremos calcular é externo a distribuição, como na

figura XXX, pois nesta situação 'r r para todo 'r e o integrando é então sempre finito.

O problema se coloca agora em saber se a (1b. 94) ainda nos dará E através de

(1b. 93) quando P foi interno à distribuição. Em outras palavras o problema é saber se o

gradiente pode sair da integral de E ou passar através da de quando P for interno.

A resposta final é que mesmo com P interno o gradiente pode passar através da

integral de . Mas isto deve ser demonstrado. Como ficará claro a seguir o estudo dessa

questão necessita o conhecimento da expressão de (1b. 94) para P interno, no caso simples

de uma esfera uniformemente carregada 0 .const . Por completeza faremos o calculo

direto de também para P externo.

Temos então, com a escolha 0C

0

'

1'

V

r dVR

, 'R r r (1b. 102)

Pela geometria é conveniente o emprego de coordenadas polares.

Figura- 1(b). 16

O elemento de volume é

2 2' ' ' ' ' ' ' ' cos ' 'dV r sen d d dr r dR d d (1b. 103)

Para 'R r r temos

2

2 2 2' ' 2 'cos 'R r r r r rr (1b. 104)

Portanto, para P externo, em r a , ou interno a esfera temos;

2

02 2

0 0

' ' cos ' '

' 2 'cos '

a r dr d dP

r r rr

XXX (1b. 105)

2

02 2

0 0

cos '2 ' '

' 2 'cos '

a dP r dr

r r rr

XXX (1b. 106)

Temos

2 2

2 200

cos ' 1' 2 'cos '

'' 2 'cos '

dr r rr

rrr r rr

XXX (1b. 107)

21' '

'r r r r

rr

2

r se 'r r (1b. 108)

2

'r se 'r r (1b. 109)

A última passagem decorre do fato de que as raízes são todas positivas e, portanto,

a última raiz é igual a 'r r ou 'r r conforme r é maior ou menor que 'r .

Devemos agora substituir (1b. 109) e (1b. 108) em (1b. 106).

Quando P for externo teremos sempre 'r r e, usando a (1b. 108), resulta:

3

04 1

3

aP

r

, r a (1b. 110)

Capítulo – II(b)

O Campo Eletrostático

2b. 1– Lei de Coulomb

A experiência mostra que a força elétrica numa carga puntiforme q em presença

de outra Q tem a direção da reta que as tem um sentido de afastamento ou aproximação

conforme as cargas têm o mesmo sinal ou sinais opostos e tem módulo diretamente

proporcional as cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância. Esses fatos

experimentais são expressos pela relação:

Figura- 2(b). 1.

2

QqF k r

r (2b. 1)

Se Q em r , fora da origem:

Figura- 2(b). 2

2

QqF k R

R (2b. 2)

'R r r (2b. 3)

Observação: singularidade quando 'r r , F .

Na chamada forma racionalizada dos sistemas a constante de proporcionalidade k

é colocada sob a forma:

0

1

4k

(2b. 4)

Na forma não racionalizada colocamos 0

1k

, sem o fator 4 .

0 é chamado constante dielétrica do vácuo.

Sistemas de unidades: CGSES, MKS ou gingi, CGSEM e CGS Gaussiano.

Unidades de carga elétrica:

a) No CGSES é o statcoulomb (statC): 1statc é a carga que colocada em presença de outra

igual no vácuo e a 1 cm de distância espera sobre ela a força de 1 dyna.

Figura- 2(b). 3

b) No MKS é o Coulomb (C): 1 C é a quantidade de carga que em um segundo atravessa a

secção de um fio percorrido por uma corrente continua de 1 Ampère.

Figura- 2(b). 4

1 1 1C A seg (2b. 5)

O Ampère é definido pelas ações magnéticas entre correntes.

c) No CGSEM é o abC (Ab de absoluto): 1abC é a quantidade de carga que em um segundo

atravessa a secção de um fio percorrido por uma corrente contínua de 1 abA.

Figura- 2(b). 5

O abA é definido pela ação magnética entre correntes.

Relações entre as unidades:

91 3 10C statC 1 10ab A (2b. 6)

(Demonstrações mais tarde)

d) No sistema CGS Gaussiano é o statC mas como unidade derivada das unidades mecânicas,

tomando 1k adimensional na forma não racionalizada, 14

k

adimensional na forma

racionalizada.

Lei de Coulomb:

2

QqF r

r (não racionalizada) (2b. 7)

1F dyn , 1r cm , 21Q q statC dyn cm (2b. 8)

Unidades de 0 .

0 2

1

4

Qq

Fr

(2b. 9)

a) No CGSES: 1 un CGSES

2

2

1

4

statC

dyncm

.

b) No MKS: 1 un MKS 2

9 2

1 1

4 9 10

C

Nm

.

c) No CGSEM: 1 un CGSEM

2

20 2

1 1

4 9 10

abC

dyncm

.

Valores correspondentes de k :

a)

2

2

0

1

4

dyncmk

stat .

b) 2

9

2

0

19 10

4

Nmk

C .

c)

220

2

0

19 10

4

dyncmk

abC .

A força em q devido a uma distribuição de carga obtida pela superposição da

devido a cada elemento de carga. Por uma distribuição discreta de cargas aQ tem-se:

3

0

1'

4 '

aa a

a aa

qQF F r r

r r

(2b. 10)

Para uma distribuição contínua em volume 'V ;

2 3

0 0' '

1 1'

4 4 'V V

qdQ qQF d F R r r

R r r

(2b. 11)

Conforme o caso dQ é expresso em termos de uma densidade volumétrica de

carga dQdV

ou superficial ddV

ou linear dQdl

. No caso de uma

distribuição espacial em 'V , ' 'dQ r dV e a (2b. 11) nos dá:

3 3

0 0 0

' ' '' '

4 4 4 '

r dV rq q qF R r r dV

R r r

(2b. 12)

Figura- 2(b). 6

2b. 2– O Vetor Campo Elétrico.

Dividimos F por q obtemos uma quantidade vetorial que só depende da

distribuição de cargas e da posição considerada. Tal quantidade é chamada vetor campo

elétrico, E ;

F

E rq

(2b. 13)

Esta carga q deve ser entendida como uma carga de prova, isto é, suficientemente

pequena para não perturbar a distribuição para a qual queremos definir E . A distribuição é

chamada fonte de campo E .

No caso de uma fonte puntiforme Q resulta de (2b. 1) e (2b. 2), conforme Q está

na origem ou em r ‟:

2

0

1

4

QE r r

r (2b. 14)

Ou

2 3

0 0

1 1'

4 4 '

Q QE r R r r

R r r

(2b. 15)

Figura- 2(b). 7

No caso de uma distribuição volumétrica de carga com densidade como em

[FIGURA-C] acima, resulta de (2b. 10);

3

0 '

'1' '

4 'V

rE r r r dV

r r

(2b. 16)

Considerando o comportamento do campo no infinito, isto é, para r .

Estando a distribuição de cargas numa região finita do espaço temos, no infinito, 'r r para

todo 'r . Se (2b. 16) resulta então:

3 2

0 0'

'1 1'

4 4T

V

r r rE r dV Q

r r

r (2b. 17)

TQ é a carga total da distribuição,

'

' 'T

V

Q r dV (2b. 18)

A (2b. 17) nos diz que no infinito o campo comporta-se como se toda a carga

estivesse concentrada na origem ou em outro ponto XXXX. Esta é a condição de contorno

para o campo elétrico devido a uma distribuição limitada de cargas.

No caso de uma distribuição superficial linear tem-se a (2b. 16) com ' 'r dS ou

' 'r dl em vez de ' 'r dV .

O cálculo de (2b. 16) para uma dada distribuição de cargas é em geral muito

difícil ou praticamente impossível de ser efetuado. Uma fórmula de interesse prático nos

problemas com certo tipo de simetria da distribuição de cargas, e de utilidade no cálculo do

divE vem do calculo do fluxo de E .

Consideramos primeiro o caso de uma fonte puntiforme.

Figura- 2(b). 8

O fluxo elementar através de dS é:

2

d AE

QE ndS k r ndS kQd

r

(2b. 19)

Onde d é o ângulo sólido algébrico sub-entendido por dS ,

2 2 2

cosrndS dS dSnd

r r r

(2b. 20)

O sinal de menos vale quando o fluxo é o “pela frente” da superfície.

Integrando na superfície S vem;

S

E ndS kQ d (2b. 21)

A integral d é o ângulo solido sub-entendido pela superfície inteira.

Consideremos agora o caso de uma superfície fechada. Se Q for interna à superfície a integral

é igual a 4 e se for externa é zero. Se Q estava na superfície a integral de d é 2 , XXX

um semi-espaço delimitado pelo plano tangente.

Quando Q é interno temos então:

4S

E ndS kQ (2b. 22)

Figura- 2(b). 9

Ou

0S

QE ndS

(2b. 23)

Quando Q está na superfície o resultado é 02

Q

.

Se tivermos mais cargas internas ou superficiais, o campo total é a soma dos

campos devidos a cada carga, e a contribuição de fluxo de cada um é 4 k vezes a carga em

questão. O fluxo total é então:

int sup.

0 0

1 1

2ernas

S

E ndS Q Q

(2b. 24)

Com aplicação simples dessa formula vamos reobter a expressão de campo

elétrico devido a uma carga puntiforme Q . Por simetria o campo deve ser radial e o seu

módulo só deve depender da distância a Q , isto é;

Figura- 2(b). 10

E r E r r (2b. 25)

Escolhemos então XXX superfície fechada a superfície esférica que passa por P

com centro em Q .

Nessa superfície r coincide com n e E r é constante. De (2b. 24) temos então:

2

0

4Q

E r dS E r r

(2b. 26)

Portanto

2

0

1

4

QE r

r (2b. 27)

Outra superfície XXXXX é uma semi-superfície esférica com uma base plana

passando por Q .

Outros casos interessantes são fio uniformemente carregado, esfera

uniformemente carregada e plano uniformemente carregado. Os resultados, cuja verificação

deixamos a cargo do leitor estão nas figuras abaixo:

Figura- 2(b). 11

0

1 2

4E r

r

2

0

3

0

1( )

4

( )4

QE r fora

r

QE r dentro

R

02

E n

(2b. 28)

No caso (FIGURA A) a superfície convenientemente é a cilíndrica com eixo no

fio. Em (FIGURA B) são superfícies esféricas e em (FIGURA C) uma superfície cilíndrica

com base equidistante do plano, ou apoiada no plano.

Neste a partícula, fato de que o campo dentro da esfera carregada é proporcional à

distância. O mesmo ocorrerá então com a força que atrairá uma carga entro da distribuição. Se

as cargas têm sinais opostos à força é então atrativa e proporcional à distância, isto é, é uma

força tipo mola ou oscilador harmônico.

Outros resultados importantes são:

a) A carga (líquida) de um condutor eletrizado em equilíbrio esta na sua superfície,

Basta notar que no interior o campo deve ser nulo (caso contrário haverá

movimento de carga) e, portanto, o fluxo de campo através de qualquer superfície fechada

interna ao condutor é nulo.

b) O campo na superfície de um condutor carregado em equilíbrio e um ponto externo

próximo valem:

Figura- 2(b). 12

02E r

na superfície (2b. 29)

0

E r

na vizinhança (2b. 30)

Para a demonstração desses resultados basta tomar superfícies fechadas passando

por P com base XXXX na superfície ou XXX XX ela paralela e o sistema no interior do

condutor.

2b. 3– Tensão Eletrostática.

Num condutor carregado, em equilíbrio, o campo na superfície é normal à mesma

e, portanto, cada elemento de carga fica sujeito a uma força uniaxial e dirigida para fora. Se

dQ é a carga situada em torno do ponto P da superfície e a força que sobre ela atua é:

02P

dqd F dqE n

(2b. 31)

A tensão se pressão (negativa) eletrostática é a força dividida pela área dS da

superfície, seu valor é então:

2

02

d FT

dS

(2b. 32)

Podemos também escrever, de 02 E ;

2

02T E (2b. 33)

A tensão é então quadrática no campo elétrico. Voltaremos a este assunto mais

tarde.

2b. 4– O Potencial Eletrostático.

Uma primeira simplificação para o cálculo de E em (2b. 16) resulta das seguintes

considerações. Olhamos o caso simples de uma carga puntiforme temos o fator 2r

r.

Pensando em coordenadas polares é fácil inferir que tal XXXX é o gradiente de 1r

:

2

1r

rr (2b. 34)

Para analisarmos agora a (2b. 16) fazemos em (2b. 34) a substituição

'r R r r . Notando que gradiente não se altera pois 'xR dxx x

etc

obtemos:

3

' 1

''

r r

r rr r

(2b. 35)

Daqui concluímos que E é o gradiente de uma função escalar. Temos:

'

1' '

'V

E k r dVr r

(2b. 36)

Podemos então escrever, com um conveniente sinal de menos;

E (2b. 37)

Onde

0 '

1'

4 'V

rr dV

r r

+cte (2b. 38)

Ou

0 '

1

4 'V

dQr

r r

+cte (2b. 39)

As expressões de r estão escritas a XXXX de uma constante aditiva sem

importância, que pode ser escolhida igual a zero. No caso puntiforme resulta de (2b. 14) e (2b.

34);

0

1

4

Qr

r +cte=0 se

0

0

0r

r

(2b. 40)

Esta expressão resulta de (2b. 38) e (2b. 39) por um processo limite. No caso de

uma distribuição localizada numa pequena região V em volta da origem só o entorno de

' 0r é XXXX no integrando de (2b. 39). Com o propósito de depois de fazer 0v

podemos tornar ' 0r no denominador do integrando e com 0v resulta a (2b. 40).

Em vez do cálculo de uma integral vetorial nosso problema fica agora reduzido ao

calculo de uma integral escalar e um posterior calculo XXX de um gradiente.

A condição no infinito para devido a uma distribuição localizada é obtida

como no caso do campo elétrico. De (2b. 38) temos:

0

1

4

Qr

r (2b. 41)

O cálculo de integral em (2b. 38) também não é fácil de ser executado em geral.

Mais ainda em muitos problemas a distribuição de cargas não é dada, é uma incógnita de

problema, sendo dado em vez disso o valor do potencial em certas regiões. Isto nos leva a

procurar pela equação diferencial satisfeita por . Como veremos adiante, esta equação

resulta de uma equação satisfeita por E .

Para finalizar este parágrafo notemos que o trabalho da força elétrica quando uma

carga elétrica q é transportada de A a B é a integral de:

d Fdr eE dr e r dr ed (2b. 42)

Temos então:

d dV (2b. 43)

Onde V é a função:

V e r (2b. 44)

De (2b. 43) vemos que o trabalho é independente do caminho, só dependendo dos

pontos inicial e final.

B B

A A

Fdr dV V A V B (2b. 45)

Se F é a única força a mecânica nos diz que F mdv dt . Logo, temos também:

21

2

dvd m dr mdv v d mv

dt

(2b. 46)

De (2b. 43) e (2b. 46) resulta:

21

2dV d mv

se 21

02

d mv V

(2b. 47)

Logo a soma é uma constante de movimento.

2 21 1

2 2E mv V mv q constante (2b. 48)

Como 2 2mv é chamada energia cinética, V é denominada energia potencial

elétrica e E energia total. Por isto é chamado de função potencial ou potencial escalar.

Note que sem o conveniente sinal de menos em (2b. 37) E apareceria como

diferença entre duas parcelas em (2b. 48).

De (2b. 44), a força elétrica é expressa pela relação:

F V (2b. 49)

No caso particular de uma fonte puntiforme Q a energia eletrostática de q é, de

(2b. 39):

0

1

4

QqV

r (2b. 50)

Esta é, por exemplo, a situação de XXXX no campo de XXXX no átomo de

hidrogênio, onde q e e 0Q e . Para passar ao sistema gaussiano, que é preferido em

física atômica fazemos 0 1 4 ,

QqV

r (2b. 51)

Reforcemos o fato que a (2b. 44) dá a energia eletrostática de q no campo externo

, que não contém a contribuição do campo da própria carga q . Mais tarde discutiremos a

questão da energia da carga q devida ao seu próprio campo (Teoria da Relatividade).

2b. 5– As Equações Diferenciais para E .

Com o intuito de encontrarmos meios mais eficazes para calcular E r e com o

propósito de generalizarmos os fatos experimentais estáticos para campos dependente do

tempo, ,E r t , vamos obter as equações diferenciais satisfeitas pelo campo, isto é, vamos

calcular rotE e divE .

O rotacional é imediato, pois já descobrimos que E é o gradiente de um escalar.

Resulta:

0E (2b. 52)

Não tivéssemos nós percebido a identidade (2b. 34), que nos leva a conclusão que

E deriva de uma função escalar, teríamos partido para um cálculo direto focalizando primeiro

o caso simples de uma fonte puntiforme. De (2b. 14), devemos calcular 2rot r r . Temos,

notando que 3 43r r e que 0r ,

430

3 3 3

1 10

r r

rr

r r r

(2b. 53)

Concluímos daqui que E é irrotacional. No caso geral temos a (2b. 16) e

chegamos à mesma conclusão, pois substituindo r por 'R r r em (2b. 53) e notando que

não altera por esta substituição resulta:

3

'0

'

r r

r r

(2b. 54)

Para o cálculo do divE começamos com o caso simples de uma fonte puntiforme.

De (2b. 14) devemos calcular 2div r r . Resulta:

2

3 3 3 3 2

1 1 3 30

r rr r

r r r r r 0r (2b. 55)

Daqui concluímos que o divE é nulo fora da posição da fonte Q ;

0E ; 0r (fora de Q ) (2b. 56)

Note que esta equação só pode dar o valor de E a menos de uma constante

multiplicativa. Quando complementada a condição de contorno (2b. 17) ter-se-a E

completamente determinado. Como exemplo, tentaremos reobter E para o campo da fonte

puntiforme. Por simetria o campo é central, isto é, é da forma E r E r r . A (2b. 52) está

evidentemente satisfeita. Usando o divergente em coordenadas polares, obtemos de (2b. 56),

2

2

10

dr E r

drr ; 0r (2b. 57)

Logo

2r E r C ou 2

CE

r (2b. 58)

Fazendo r a condição de contorno (2b. 17) nos dá o valor da constante,

04C Q .

No caso de uma distribuição discreta de cargas tem-se um resultado idêntico.

Temos:

3'

'

aa

a a

QE k r r

r r

(2b. 59)

E

2

3 5

330

a

a

a a a

r rE kQ

r r r r

; ar r (2b. 60)

Logo, fora da carga o divergente é nulo.

0E ; Fora das cargas (2b. 61)

Passemos agora ao caso de uma distribuição contínua de cargas. Para o calculo do

divergente usaremos o Teorema de Gauss.

Figura- 2(b). 13

Considerando uma superfície 1S que contém a distribuição de cargas temos, de

(2b. 24), e notando que é nulo fora de V ;

1 1 1

0 0

1 1

S V V

E ndS r dV r dV

(2b. 62)

Pelo teorema de Gauss resulta:

1 1

1

0

1

V V

EdV r dV

(2b. 63)

Da arbitrariedade do volume V , concluímos que:

0

1E r r

(2b. 64)

Como no caso discreto, 0E fora da distribuição de cargas. Dentro da

distribuição o divergente é proporcional á densidade de cargas no ponto considerado.

Estão então determinados o rotacional e o divergente de E . De (2b. 52)

concluímos que E deriva de uma função escalar.

E (2b. 65)

Isto já havia inferido antes. Da expressão do divergente em (2b. 64), a função

está determinada pela seguinte equação diferencial:

2

0

1

(2b. 66)

Esta equação é chamada equação de Poisson. Poisson estabeleceu a equação para

o potencial gravitacional newtoniano num ponto dentro de uma distribuição contínua de

massa com densidade , com o resultado 2 4 G . Esta equação é a generalização da

equação 2 0 , que foi estabelecida por Laplace fora da distribuição de massa. Os

resultados dessas XXX para a XXX eletrostática.

Como mostraremos a seguir uma solução de (2b. 66) é justamente a (2b. 38), que

inferimos da igualdade (2b. 34).

Para isso usaremos o chamado lema de Green: se F e G são duas funções

regulares (finitas, contínuas e com derivadas contínuas) num volume 'V , tem-se:

1

2 2

'

' 'V S

F G G F dV Fn G Gn F dS (2b. 67)

Essa relação decorre da aplicação do teorema de Gauss à função F G . Temos:

1 '

' 'V S

F G dV n F GdS (2b. 68)

Desenvolvendo o integrando no primeiro membro tem-se

2F G F G F G . Logo, trocando em (2b. 68) F por G e subtrairmos

resulta a (2b. 67). Consideremos agora o caso em que 1

'F r r

e G , integrando na

variável 'r . Resulta:

1

2

2

'

' ' 1 ' ' 1' ' ' ' '

' ' ' 'V S

r nr dV n dS

r r r r r r r r

(2b. 69)

Como 1

'r r

é infinito para 'r r esta relação não se aplica se 'V contiver o

ponto P de vetor posição r . Tomaremos então como volume 'V o;

Figura- 2(b). 14

Espaço todo excluindo uma pequena esfera centrada em P : 'V será tomado como

o volume da região entre duas superfícies esféricas e S centradas em P . Uma com raio

, que faremos depois tender a zero, e a outra com raio a , que faremos depois tender ao

infinito. A superfície desse volume é S . Por um calculo direto obtemos:

2 1'

'r r

; 'r r (2b. 70)

E

2

1 ''

' '

r r

r r r r

(2b. 71)

A (2b. 70) segue da (2b. 55) notando que 3 1r r r e substituindo r por

'r r . Usando (2b. 70) e (2b. 71) em (2b. 69) e lembrando a (2b. 65) obtemos:

3

0 '

'1 ' '' '

'V S

r dV n n RdS

R Rr r

(2b. 72)

Em temos n R , R e 2'dS d . Em S temos n R , R a e

2'dS a d . Portanto:

0 '

'1' ' ' ' ' '

'V S

r dVR r d R a r d

r r

(2b. 73)

Passemos agora ao limite 0 e a . Da condição de contorno para e

vemos que a integral em S se anula. A integral em se reduz a 4r r .

Concluímos então que:

0 '

'1

'V

r dVr

r r

(2b. 74)

Onde 'V agora inclui também o ponto P . Essa relação coincide com a (2b. 38).

Capítulo – III

O CAPÍTULO A SEGUIR É MONTADO COM TRECHOS SEM REFERENCIA DE

ORDEM ENCONTRADOS NO TRABALHO.

Com um número 2n teremos:

[Figura]

cos cos

yx

i i ir r x r y

(3. 1)

Que a força resultante sore uma carga será a soma das forças que as outras cargas

fazem sobre a carga considerada. Desta forma fica estabelecido o princípio da superposição

linear.

31

ni j

Ri

j i j

kq qF

r r

(3. 2)

Mas a expressão acima é uma soma vetorial que possuem termos que se somados

escalarmente em x (somatório das coordenadas em x ) e termos que se somam escalarmente

em y (somatório das coordenadas em y ).

1 1ij ij

N N

Ri x y

j j

F r F x F y

(3. 3)

Com cosij ij ix r e ij ijy r sen , onde:

3

cosi ji j i

xij

i j

kq q r rF

r r

(3. 4)

E

3

i ji j i

yij

i j

kq q r r senF

r r

(3. 5)

3 2

cos cosi j ij i i j ixij

ij ij

kq q r kq qF

r r

(3. 6)

3 2

i j ij i i j iyij

ij ij

kq q r sen kq q senF

r r

(3. 7)

Onde o módulo de RiF é igual a:

1/22 2

2 21 1

cosN Ni j i i j i

Ri

j jij ij

kq q kq q senF

r r

(3. 8)

No caso de termos uma única carga:

2

kqE r

r (3. 9)

Cujas componentes são:

x x y yE E E

(3. 10)

2 2cos

kq kqE x sen y

r r (3. 11)

[Figura]

Para um sistema de coordenadas de posição genérica teremos:

0

3

0

'

'

kq r rE

r r

(3. 12)

Para uma distribuição de cargas com XXXX 2n teremos:

3

'

'

i i

R

i i

kq r rE

r r

(3. 13)

Com componentes xi y j

E E E ;

3

'cos

'

i i

x

i i

kq r rE

r r

(3. 14)

3

'

'

i i

i i

kq r rE sen

r r

(3. 15)

O módulo do campo elétrico resultante RE num ponto P qualquer do espaço será:

1/2

2 2

3 3

' 'cos cos

' '

i ii i

i ii i

kq r r kq r rE

r r r r

(3. 16)

Colocando kq em que evidencia teremos:

1/2

2 2

3 3

' 'cos cos

' '

i ii i

i ii i

r r r rE kq

r r r r

(3. 17)

3. 1- Campo elétrico de uma distribuição contínua de cargas.

Para tratarmos o caso contínuo, ou seja os casos onde as cargas estão distribuídas

em formas geométricas não pontuais teremos, que definir:

0

1

limN

i i iV

i

q r V

(3. 18)

Quando 0V , N tenderá ao infinito e o somatório acima se transformará

numa integral onde cada ponto da distribuição de cargas contido num volume V haverá uma

função do tipo:

, ,i i i i ir x y z (3. 19)

Chamada densidade de carga, portanto:

V

q r dV (3. 20)

Onde

dV dxdydz elemento de volume (3. 21)

Logo a equação (3. 12) fica:

3

'

'V

r dV r rE k

r r

(3. 22)

Figura- 3. 1.

Para casos onde a densidade de cargas é constante temos:

3

'

'V

r rE k dV

r r

(3. 23)

A integral só dependerá da geometria da distribuição e nos casos geométricos

como cartesianos, polares, cilíndricos e esféricos teremos:

i) Cartesianas

Figura- 3. 2

3/2

2 2 2' ' '

dxdydzE k r

x x y y z z

(3. 24)

ii) Polares

2

r d rdrE k

r

(3. 25)

E k d dr (3. 26)

2E k drd (3. 27)

Figura- 3. 3

iii) Cilíndricas

Figura- 3. 4

3/2

2 2'

rd drdzE k

r r z

(3. 28)

iv) Esférica

2

2

r sen d drdE k

r

(3. 29)

3. 2- Campo elétrico ou Campo eletrostático.

Podemos definir uma grandeza a partir da força coulombiana que não depende da

carga, mas apenas do ponto no espaço distando da carga iq que produz o campo de forças.

Então passamos de um conceito físico de forças para um conceito matemático de campo que é

uma grandeza abstrata cisto que a interação não é uma propriedade do espaço como acredita

Maxwell, Mas sim uma propriedade das cargas. Deve-se observar que Maxwell acreditava na

existência do éter sem qual não poderiam se propagar, daí surgiu o conceito de “linhas de

força” ou “linhas de campo”.

Mas sabemos hoje em dia que o éter não existe e que nunca foi provado sua

existência por meio de experiências físicas. Mas persistiu o conceito de campo, como uma

propriedade do espaço gerado por uma distribuição de cargas. Esta definição é mais do que

uma forma matemática para se facilitar os cálculos (que veremos mais adiante).

Em todo caso define-se campo elétrico como sendo a força por unidade de carga

que uma distribuição espacial produz no limite quando a carga de prova3 0q tende a zero.

0lim

p

ipi

qp

FE

q

(3. 30)

Ou seja:

30lim

p

i ji i p

qi p

kq qE k r r

r r

(3. 31)

Para o caso do campo provocado pela existência de uma única carga temos:

Figura- 3. 5

3 Suficientemente pequena para não perturbar o campo que se quer medir.

3

ii i p

i p

kqE k r r

r r

(3. 32)

Ou ainda:

3

ikqE k R

R (3. 33)

Onde:

i pR r r (3. 34)

3. 3- Distribuição Discreta de Cargas Fixas.

Para uma distribuição discreta de cargas no espaço, segue o caso análogo ao das

forças (caso discreto).

Figura- 3. 6

Ou seja, o campo resultante num ponto do espaço é a soma vetorial dos capôs

devido a outras cargas naquele ponto.

31

Nj

i j

j j

kqE k r r

r r

(3. 35)

Ou ainda:

31

Nj

i

j

kqE k R

R

(3. 36)

3. 4- Distribuição Contínua de Cargas Fixas.

Para uma distribuição contínua ainda vale o princípio da superposição linear do

campo, só que o somatório do caso discreto passa a ser uma integral do tipo:

Figura- 3. 7

3'

'Q

dQE r r

r r

(3. 37)

1) Se a distribuição for volumétrica, num volume 'V passamos da integral sobre as cargas

para uma integral volumétrica, sobre o volume 'V , introduzindo a densidade volumétrica de

carga.

' 'r dQ dV (3. 38)

Escrevemos então a integral acima como:

3

' ''

'Q

r r rE dV

r r

(3. 39)

Duas propriedades importantes do campo que podem ser demonstradas são:

- O campo devido a uma distribuição de carga volumétrica 'r é sempre finito e contínuo.

- O campo devido a uma distribuição de carga Q num volume 'V pequeno em torno de um

ponto rQ para os outros 'r que diferem muito pouco de rQ a expressão do campo pode ser

no limite quando ' 0V , como sendo:

3 3

' '

'' ' '

Q Q

V VQ Q

r r r r rE r dV r dV

r r r r

(3. 40)

Figura- 3. 8

Logo:

3

Q

Q

r rE r Q

r r

(3. 41)

Notamos que se a distribuição ocupa uma região finita o campo XXX é idêntico

ao que se encontra se XXX se a carga total estivesse concentrada na origem. De fato, neste

caso, na região distante tem-se 'r r para todo 'r , que pode ser então desprezada frente a

'r , resultando no infinito.

3 3

'

''

V

r r rE r dV Q

r r

(3. 42)

Observe que não especificamos a forma do volume 'V nem a forma da função

'r , portanto concluímos que este resultado é bastante geral. Bastante apenas termos

' 0V ou r .

2) No caso de termos uma distribuição superficial escrevemos:

' 'dQ r dS (3. 43)

Definindo deste modo a densidade superficial , de cargas e a integral ( ) fica:

3

'

' ''

'S

r r rE dS

r r

(3. 44)

3) No caso de uma distribuição linear de cargas definimos:

' 'dQ r dl (3. 45)

Definindo deste modo a densidade linear , de cargas e a integral fica:

3

'

' ''

'l

r r rE dl

r r

(3. 46)

Capítulo – IV

O Fluxo do Campo Elétrico

4. 1 - O Fluxo de um vetor:

Uma grandeza vetorial é aquela que precisa ser especificada por uma intensidade,

uma direção e um sentido para que seja completa sua descrição.

Suponhamos que esta grandeza se propaga no espaço, e não esta apenas situada

num ponto de aplicação, mas tenhamos um campo vetorial onde cada ponto do espaço é

atuado por esta grandeza, possuindo uma particular intensidade, direção e sentido.

Figura 4. 1. Campo Vetorial

Imaginamos agora que numa dada região do espaço existe uma superfície S de

área A a qual é atravessada por este campo vetorial, e que esta superfície não interage com o

nosso campo vetorial de forma a blindar ou atenua-lo.

Figura 4. 2

Agora estamos interessados em saber o número total de vetores que atravessa esta

superfície. Sabemos que a cada ponto sobre a superfície existe um vetor que atravessa com

intensidade, direção e sentido, portando subdividimos esta superfície em mini superfícies,

cada uma com área ia onde cada miniárea é designada por um vetor normal a superfície

naquele ponto.

Figura 4. 3

E para cada mini superfície fizemos o produto i iE a e XXXX para todas as

miniáreas teremos:

( )

i i

todas s

E a (4. 1)

Onde iE é o valor da grandeza vetorial que atravessa cada mini superfície ia.

Portanto será chamado de fluxo total do vetor E que atravessa a superfície S . Veremos

que existe uma distribuição contínua de vetores iE sobre a superfície A logo podemos tomar

o limite de 0ia

e a somatória passará a uma integral.

S

E da (4. 2)

Ou mais explicitamente

S

E nda (4. 3)

Concluímos portando que é uma medida do número total de vetores E

(intensidade, direção e sentido) que atravessa uma área A onde não é uma medida pontual,

mas sim uma medida superficial total.

Todas estas considerações valem para qualquer campo vetorial, e um particular

para o campo elétrico que no nosso caso é considerado estacionário.

Fluxo-

Vetorialmente, podemos definir o fluxo como sendo:

Suponhamos N partículas cada uma delas com velocidade iv atravessando um

elemento de área da .

Figura 4. 4

Fluxo é o número de partículas com velocidade iv atravessando um elemento de

área da .

id Nv nda (4. 4)

Chamando iF Nv teremos:

d F nda (4. 5)

Mas cada partícula possui uma direção para sua velocidade, mas como a definição

do fluxo é dada por um produto escalar, podemos decompor a velocidade J na direção do

vetor n normal ao elemento de área da .

Figura 4. 5

cosi iv n v n (4. 6)

Mas o vetor nominal é unitário, logo:

cosi iv n v (4. 7)

Ou

cosi iv n v (4. 8)

Como N é escalar e F tem a mesma direção de divergência:

0

1limv

S

divF F ndav

(4. 9)

S

ddivF F nda

dv (4. 10)

Logo

S

divFdv F nda (4. 11)

cosiv n da (4. 12)

Figura 4. 6

4. 2 – Desenho das linhas de fluxo de campo elétrico para duas

cargas quaisquer.

1) Vamos estudas como se comportam as linhas de fluxo do campo elétrico para apenas uma

carga pontual.

Figura 4. 7

Partindo da lei de Coulomb temos que:

1 212 12

12

q qF k r

r (4. 13)

O vetor campo elétrico para uma carga de prova 2q q a uma distância 1r de

1q será:

112 12

1

qF k r

r (4. 14)

Para uma distância 1r o campo se comporta da seguinte forma:

Figura 4. 8

Agora vamos calcular o fluxo para que seja possível desenhar as suas linhas.

Pela definição de fluxo do campo elétrico temos:

TOTAL

S

E nda (4. 15)

Para uma única carga 1q podemos substituir a expressão (4. 14) na (4. 15) como

segue:

1

2

1

TOTAL

S

kqnda

r (4. 16)

Escolhendo uma superfície esférica em torno da carga temos:

Figura 4. 9

1r n (4. 17)

Logo 1 cosr n (4. 18)

Como 10 1r n (4. 19)

O elemento de superfície da casca esférica é dado por:

1dS r sen d (4. 20)

Figura 4. 10

2

1 1 1 1d r dSd r r sen d d r sen d d (4. 21)

Como o campo elétrico só depende de 1r temos:

21

12

10

TOTAL

kqr sen d d

r

(4. 22)

Podemos tirá-lo para fora das integrais em e um , pois ele é constante para

um dado 1r e ângulo quaisquer:

1

0

TOTAL kq sen d d

(4. 23)

14TOTAL kq (4. 24)

Se definirmos o número das linhas de fluxo como sendo:

N c (4. 25)

Logo teremos:

14N c kq (4. 26)

Como c é arbitrário podemos definir c como:

1

4c

k (4. 27)

Tal que:

1N q (4. 28)

Assim podemos desenhar as linhas de fluxo para uma única carga 1q de valor

qualquer como, por exemplo:

1) 1q = 8 Coulomb. 2) 1q = 16 Coulomb.

Figura 4. 11

3) 1q = -8 Coulomb. 4) 1q = -16 Coulomb.

Figura 4. 12

2) Vamos agora calcular o centro de cargas da seguinte forma:

O campo calculado para uma distância r de 1q e 2q é dado por:

1 212 1 2

2 2

1 2

kq kqE r r

r r ; 1 2r r (4. 29)

Figura 4. 13

Mas 2 1 1 cosr r l r d e 22

2 1 cosr r d . Expandindo este termo para

1r temos:

0

2 22 2 2 2 2

2 1 1 1 2

1 1

2 cos cos2 cos cos 1

d dr r r d d r

r r

(4. 30)

E 1

11

xx

logo

1

1

1 2 cos1

2 cos1

d

rd

r

.

Portanto o campo elétrico será:

1 212

2 2

11 1

2 cos1

kq kq dE

rr r

(4. 31)

Agora queremos determinar qual é o lugar onde podemos colocar uma carga

1 2q q equivalente parar ter o mesmo efeito no infinito do campo elétrico acima.

1 2

2

11

2 cos1eq

k q q xE

rr

(4. 32)

x corresponderá a coordenada deste lugar sabendo-se que esta carga equivalente

deve-se situar na mesma reta que liga 1q e 2q , ou seja, a coordenada x do centro de cargas.

Igualando as cargas para 1r temos:

12 eqE E (4. 33)

1 21 2

2 2 2

1 11 1 1

2 cos 2 cos1 1

k q qkq kq d x

r rr r r

(4. 34)

1 2 1 2 1 22

2 2 2 2

1 11 1 1 1

2 cos 2 cos1

k q q k q q k q qkq d x

r rr r r r

(4. 35)

1 22

2 2

1 11 1

2 cos 2 cosk q qkq d x

r rr r

(4. 36)

2 1 22 cos 2 cosq d q q x (4. 37)

Logo:

2

1 2

q dx

q q

(4. 38)

3) Calculo do fluxo parcial de uma carga.

Já vimos que o fluxo é proporcional ao número de linhas, portanto se tomarmos

um ângulo sólido menor que 4 o fluxo também será proporcional ao número de linhas, mas

não proporcional a carga total como no caso anterior do cálculo do fluxo total.

11

S

E nda (4. 39)

Partindo da equação (4. 39) o raciocínio será o mesmo das expressões (4. 15)

até a (4. 21). Somente que agora nós tomaremos um ângulo sólido menor que 4 . Então a

integral (4. 16) fica:

211 12

10

kqr sen d d

r

(4. 40)

1 1 1 00

2 2 coskq sen d d kq

(4. 41)

1 1 12 ( cos cos(0)) 2 1 coskq kq (4. 42)

1 12 1 coskq (4. 43)

Agora para sabermos as linhas de fluxo do campo de duas cargas basta somar os

fluxos (Teorema da superposição) das duas cargas. Porque o número de linhas é proporcional

ao fluxo e podemos definir c como na equação (4. 25) e (4. 27) feita anteriormente.

1 2 (4. 44)

1 1 1 2 22 1 cos 1 cosk q q (4. 45)

Figura 4. 14

As linhas de fluxo de duas cargas 1q e 2q no plano são dispostas da seguinte

forma:

Figura 4. 15

Vamos, em primeiro lugar colocar o sistema de coordenadas sobre uma das

cargas, como 1q por exemplo.

Figura 4. 16

As coordenadas das cargas 1q e 2q são 0,0 e 2 ,0x respectivamente.

Em um ponto de coordenada x e y do plano com valor de fluxo 1 2 pode

ser expresso como:

Figura 4. 17

1cosx r e 1y rsen (4. 46)

Queremos encontrar uma função y f x tal que de as linhas de carga no plano

diretamente para cada considerado.

Da expressão de temos:

1 1 1 2 22 1 cos 1 cosk q q (4. 47)

1 2 1 1 2 2cos cos2

q q q qk

(4. 48)

2 1 2 1 1

2

1cos cos

2q q q

k q

(4. 49)

2

1 2 1 1

2 2

1cos

2

x xq q q

r k q

(4. 50)

2 2

2

1 2 1 1cos2

q x xr

q q qk

(4. 51)

Mas 22 2

2 2r x x y XXXX temos:

222 2 22

2 2

1 2 1 1cos2

q x xx x y

q q qk

(4. 52)

22

22 22

22

1 2 1 1

1

cos2

q x xy x x

q q qk

(4. 53)

Esta é a relação y R x no plano que mapeia as linhas de fluxo de duas cargas

1q e 2q de valores quaisquer separadas por uma distância 2x uma da outra.

Fizemos um programa para mapear as linhas através da relação acima conforme

mostra os exemplos seguintes.

Vamos calcular agora o ponto onde o fluxo de uma carga é compensado pelo

fluxo da outra, ou seja, conde o campo elétrico total é nulo. Para isto basta igualar o fluxo

0 teremos:

1 1 2 20 2 1 cos 1 cosk q q (4. 54)

1 1 2 21 cos 1 cos 0q q (4. 55)

1 2 1 21 cos cos 0q q (4. 56)

1 21 cos cos 0 (4. 57)

1 2cos 1 cos (4. 58)

[Checar exercícios]

4. 3 – Divergência.

A divergência de um vetor F (ou em um campo vetorial F ) é definido como o

limite do fluxo que atravessa uma dada superfície S por unidade de volume cujo volume

V é aquele subentendido pela superfície quando esta vai de pró zero. Isto é:

Divergente de F ou divF ou F .

0

1lim SV

Fluxo

F V VolumeV

S Superfície

(4. 59)

Figura 4. 18

Mas como o limite pode ser tomado como uma derivada. Então podemos

escrever:

S

dF

dV (4. 60)

Divergente é um conceito pontual, mas podemos estender esta ideia para todo o

espaço (ou seja, o volume V ) e obter uma relação entre fluxo e divergente. Expressa em

termos do campo vetorial F e da superfície S do volume total V .

Integrando a equação (4. 60) dos dois lados temos:

S

V V

dFdV dV

dV (4. 61)

Invertendo:

S

V

FdV (4. 62)

Pois a integral é o operador inverso da diferencial.

Sabemos que o fluxo é definido como:

S

S

F nda (4. 63)

Substituindo a definição acima na equação (4. 62) temos:

S V

F nda FdV (4. 64)

Que é o teorema da divergência onde relacionamos uma grandeza pontual

(divergente) e uma grandeza espacial (fluxo).

4. 4 – A Lei de Gauss.

O cálculo direto da expressão do campo elétrico para uma dada distribuição de

cargas é em geral muito difícil ou praticamente impossível de ser efetuado um método

relativamente fácil e de interesse prático nos problemas com certo tipo de simetria decorre do

calculo do fluxo do campo elétrico e do teorema da divergência.

Tomaremos o caso mais simples. Suponhamos que o campo de uma carga

puntiforme q atravessa uma superfície S , e o fluxo de E através desta superfície S é a

integral sobre essa superfície XXX componente normal do campo. Onde o fluxo elementar

vale:

d E dS E ndS (4. 65)

Onde dS ndS .

Figura 4. 19

Substituindo a expressão do campo para uma carga puntiforme temos:

2 2cos

q qd r ndS dS

r r (4. 66)

Mas

cos ndS dS (4. 67)

E por definição:

2

ndS r d (4. 68)

Logo

2

2

qd r d

r (4. 69)

Portanto

d qd (4. 70)

Vemos que este resultado não depende da forma nem do tamanho da superfície

S , pois esta não foi especificada. E concluímos que o fluxo total vale:

qd (4. 71)

É bastante desvio que o fluxo através de qualquer superfície que envolva

totalmente q é independente do tamanho e forma da superfície, pois é justamente o número

total XXXX por unidade de tempo. A propriedade comum responsável por isso, é o

comportamento da intensidade do campo elétrico cariando com o inverso do quadrado. Pois o

fluxo é calculado porque se sabe que ele não depende consequentemente da distância,

conforme vemos o cancelamento de 2r em (X). O que não valeria se a lei da força variasse,

por exemplo, com o inverso do cubo.

Explicitando a expressão do fluxo temos:

S

E da qd (4. 72)

A integral em d é o ângulo sólido subentendido pela superfície, que no caso de

uma superfície fechada vale 4 , se q for interno a superfície, porém se q está na superfície

a integral de d é igual a 2 , pois esta cobre apenas o semi-espaço delimitado pelo plano

tangente a superfície.

Figura 4. 20. Superfície Fechada, carga interna.

Figura 4. 21

E se q é externo o ângulo sólido é nulo.

Figura 4. 22

Logo concluímos que:

Er ndS

4

2

0

q

q

Carga interna

Carga Superficial

Carga externa

(4. 73)

Se tivermos mais cargas puntiformes o campo é a soma dos campos e o fluxo é a

soma dos fluxos dividido a cada uma dessas cargas. As internas contribuem com 4 e as

superficiais com 2 logo o fluxo total será:

1 1

4 2N N

i s

i i

E d S q q

(4. 74)

Agora imaginando o caso de uma distribuição contínua de cargas q onde

q dV (4. 75)

O fluxo ainda pode ser escrito com base no resultado anterior porque o princípio

da superposição garante a aditividade dos fluxos.

Aonde:

1 2 n

Total

S S S

E da E da E da

(4. 76)

A integral da soma é a soma da integral, logo

1 2 nTotal

S

E E E da (4. 77)

Portanto

4 .2S

V

E da dV dS (4. 78)

Capítulo – V

O capítulo inicia em C, já que as duas primeiras partes são copias digitadas, as

quais o professor disse não haver necessidade de digitá-las, somente escanea-las.

C. O potencial eletrostático. Equação de Poisson.

O calculo do campo através de (8) ou das correspondentes a distribuições

superficiais ou lineares é em geral muito complicado, pois envolve qualquer caso uma integral

vetorial ou soma vetorial no caso de uma distribuição discreta. Uma simplificação decorre do

fato de que E pode ser escrito como o gradiente (e dizemos que deriva de uma função escalar

).

E r r (5. 1)

Com determinado . Esta função é chamada função potencial (o sinal de menos

é a derivação serão justificados mais tarde).

Como veremos depois a (5. 1) é consequência da equação 0E (a

proposição inversa é imediata pois 0rotgrad ), sendo depois determinado pela outra

equação de campos, 4E , que dá origem a equação diferencial satisfeita por

(equação de Poisson, 2 4 ).

Além de vida analise das equações diferenciais o potencial pode também ser

introduzido por analise da própria expressão de E ou através do calculo de sua circuitação.

Estes dois últimos processos nos dão a (5. 1) e a expressão de automaticamente e serão

analisadas primeiro.

C.1 – O potencial através do campo.

Comecemos então por analisar a expressão do campo E . Em vez de partir da

expressão geral (8) ou das correspondentes distribuições superficiais ou lineares comecemos

com o caso mais simples, o de uma carga puntiforme. Quando Q está na origem o campo é

expresso pela (7a), 2E Q r r . Como 21 r é a derivada de 1 R inferimos que

2

1r

rr (5. 2)

Isto é fácil de ser verdade em coordenadas polares: 1 1 2r r dr dr r r . De

(5. 2) vemos que o campo pode ser escrito

QE

r (5. 3)

Concluímos então que de fato E é o gradiente de uma função, isto é, é da forma

escrita em (5. 1) com

Q

r Cr

(5. 4)

Onde C é uma constante. Para r tem- se C , isto é, C é o valor do

potencial no infinito. Temos então ou r Q r . Vemos que não o potencial mas

somente a diferença de potencial é que está determinada. Isto é reflexo do fato que (5. 1) ou

(5. 3) define a menos de uma constante. Como hábito (mas somente para distribuições

limitadas que não se estendem ao infinito) escolheremos 0 e, portanto, 0C .

O potencial de Q referido ao valor zero no infinito é então

Q

rr

(5. 5)

Para passar ao caso geral consideremos ainda o caso da carga puntiforme Q agora

fora da origem. A expressão de E está em (7b). Trocando r por QR r r em (5. 2) e

mostrando que R ( 1 1 1

x x xR x R R R x R R ) tem-se:

2

1R

RR (5. 6)

De (7b) temos então novamente (5. 1) agora com

Q

Qr

r r

(5. 7)

Referido ao potencial zero no infinito.

Por repetida utilização de (5. 6) para todos os aR de (7c) resulta a (5. 1) com

a a

Qr

r r

(5. 8)

Figura 5. 1

A menos da constante C .

O potencial é então uma função (escalar) aditiva, reflexo do fato que E é uma

função (vetorial) aditiva e a relação entre E e é linear (não entra 2 por exemplo). Para

uma distribuição contínua com carga total Q somaremos (XXX) as contribuições de cada

elemento de carga 'dq r , em r ,

Figura 5. 2

'

''

aQ

dq rr dV

r r

(5. 9)

Se a distribuição for volumétrica num volume 'V podemos introduzir a densidade

espacial 'r e escolhendo o potencial zero no infinito (desde que a distribuição não se

estenda ao infinito) teremos

'

'aV

rr dV

r r

(5. 10)

Para distribuições superficiais e lineares resulta, respectivamente

'

'S

rr dS

R

; 'R r r (5. 11)

e

'

'L

rr dl

R

(5. 12)

A (5. 9) ou a (5. 10) que foi inferida pela superposição das cargas elementares

pode também ser obtida diretamente da expressão do campo como fizemos para a distribuição

discreta. Usando a identidade (5. 6) com 'R r r o campo E na equação (8) pode ser

escrito

'

'

1'

'

''

V

V

E r r dVr r

rdV

r r

( atua só em r )

(5. 13)

Onde é dado pela expressão (5. 10). Neste raciocínio surge uma dificuldade

no que diz respeito a passagem da derivada ( de ) para fora da integral na segunda

igualdade em (5. 13). Tal dificuldade aparece também na passagem de para dentro da

integral ao se tentar calcular E através de (5. 10) ou (5. 9) que foi inferida de (5. 8). Se o

ponto P onde se calcula E for externo à distribuição está tudo bem, pois como 'r não pode

coincidir com r oi integrandos em (5. 13) são sempre finitos. Entretanto, quando P for

interno esses integrandos tornam-se infinitos para 'r r e coloca-se então o problema de

saber se o procedimento ainda é correto. Resumindo o problema é saber se o gradiente pode

sair da integral de E ou entrar na de quando o ponto P for interno à distribuição. A

resposta é que pode. Mas isto deve ser demonstrado. A demonstração está feitas nas páginas

seguintes ( itens a serem escaneados).

[Aqui há a presença de outro trecho de xerox, referente a equação de Poisson também.]

2C. O potencial através da circuitação do campo.

Uma segunda maneira de introduzir a função potencial é através do cálculo direto

da circuitação do campo.

Comecemos com o caso de uma fonte puntiforme Q . Tomando a origem em Q

(figura abaixo) o campo está em (7a). Usando a relação (80), r dr rdr a circuitação

elementar é

3 2

Q Q QE dr r dr dr d

rr r

(5. 14)

[Figura]

Vemos então por cálculo direto que E dr é uma diferencial exata. Como

sequência a circuitação entre dois pontos A e B não dependerá do caminho escolhido, pois

só as coordenadas desses pontos é que estarão presentes na resposta final. Temos, qualquer

que seja o caminho,

BB B

A A BA A

Q Q Q QE dr d

r r r r

(5. 15)

Voltando à (5. 14) vemos que E dr é a igual a menos a diferencial da função

Q

r Cr

(5. 16)

Isto é,

E dr d (5. 17)

Integrando entre A e B ao longo de um caminho qualquer têm-se:

B

A B

A

E dr (5. 18)

Vamos mostrar agora que a (5. 17) e, portanto, a (5. 18) valem no caso geral

com apropriado.

Para uma distribuição discreta (figura 17.B) têm-se:

3

aa

a a a

QE dr E dr R dr

R ; a aR r r (5. 19)

Como no caso anterior, P é um ponto que não coincide com uma das cargas, isto

é, ar r para todo A . Trocando r por aR em (X) e notando que ad R dr (pois ar são

fixos) obtemos

a a aR dr R dR (5. 20)

Tal relação vem também por diferenciação de 2a a ar r r r R . Usando (5.

20)

2

a aa

a a aa

Q QE dr d R d

RR

(5. 21)

Obtemos então novamente a (5. 17) onde agora

a a

a a aa

Q Qr

R r r

(5. 22)

Este é a soma (escalar) dos devidos a cada uma das cargas. Isso era de se

esperar, pois E é a soma (vetorial) dos campos devido a cada uma das cargas e d r é o

mesmo para todos.

Consideremos agora uma distribuição contínua, volumétrica (figura 17C). Neste

caso o campo está escrito na Eq.(8). Obtemos então

3

'

'V

rE dr dV R dr

R

; 'R r r (5. 23)

Trocando r por R em (80), ou diferenciando 2' 'r r r r R em relação a

r , têm-se

R dr RdR ; 'R r r (5. 24)

Substituindo na relação anterior vem

2

' ' '

' '1' ' ' '

'V V V

r rE r dr dV dr dV r d d dV

RR r r

(5. 25)

Onde d significa diferencial em relação a r .

Surfe aqui a questão de saber se a diferencial(em r ) pode sair para fora da

integral. Se P for externo à distribuição, como desenhado na figura (17C), não há problema,

pois os denominadores presentes em (5. 25) nunca se anulam. Obtemos, neste caso,

'

''

'V

rE r dr d dV

r r

(5. 26)

Logo, vale novamente a (5. 17)

E dr d r (5. 27)

Onde d r é agora

'

''

'V

rr dV

r r

(5. 28)

é a soma (integral) das contribuições devidas a cada elemento de carga

' ' 'r dV dq r . Se P for interno à distribuição tem-se um polo em 'r r e surge então

a questão de saber se (5. 27) continua válida com dado em (5. 28). Para estudar esta

questão devemos isolar a singularidade em P partindo o volume 'V em duas partes 1 'V e 2 'V

infinitésimo que contém P , como o fizemos anteriormente. A (5. 28) divide-se em

1 2 , o campo também, 1 2E E E , e deve-se demonstrar se vale a relação

1 21 2d d d E dr E dr E dr a resposta é sim e deixamos o detalhe da

demonstração a cargo do leitor.

O que mostraremos em detalhe é o argumento que geral, com igual à soma ou

integral das contribuições de cada carga ou elemento de carga: diz-se, devido à distribuição é

a soma ou integral das contribuições devidas a cada carga a circuitação elementar de E é a

soma ou integral das contribuições individuais e a soma ou integral dessas diferenciais

parcelas é a diferencial da soma ou integral. Esta última parte, a integral (em 'V ) da

diferencial (em r ) é a diferencial da integral merece, entretanto, maiores cuidados quando P

for interno à distribuição.

Explicitanto a diferencial em (5. 27) obtemos

d r dr (5. 29)

Comparando com (5. 27) e lembrando que d r é arbitrário resulta

E (5. 30)

Tendo demonstrado por cálculo direto que a circuitação não depende do caminho

segue que a circuitação ao longo de um caminho fechado é nula. Isto decorre de (5. 18)

quando A e B coincidem.

A propriedade também pode ser demonstrada do seguinte modo: chamando A e

B dois pontos da curva fechada têm-se:

1 2 1 20

B A B A

f A B A B

E dr E dr E dr E dr

(5. 31)

De (5. 30) ou de (5. 31) junto com o teorema de Stokes vem a segunda equação

de campo 0E .

3C. A função potencial como consequência das equações de

campo.

Uma outra maneira de introduzir a função potencial é através da análise das

equações do campo., Eqs (26) e (27). O que queremos é demonstrar que essas equações

determinam o campo, que é o teorema de Helmhotz no caso particular em que o valor

conhecido ou rotacional é nulo. Na demonstração deste teorema a função surge logo no

começo.

Vamos começar demonstrando que como o campo é irrotacional ele deriva de

uma função escalar, isto é, vale o seguinte teorema:

Se 0E segue que E . (5. 32)

Notemos que o inverso dessa proposição é imediato, pois rotgrad é

identicamente nulo. O que queremos é demonstrar a proposição direta, (5. 32). Como o

campo é irrotacional, segue o teorema de Stokes que a circuitação do campo

0f

E dr (5. 33)

Daqui segue que a integral entre dois pontos A e B é independente do caminho.

De fato, considerando a figura (18a) sejam (1) e (2) dois caminhos de A e B e (2‟) i caminho

inverso de (2).

[Figura]

1 2' é um caminho fechado. Logo, de (5. 33),

Se A e B são dois pontos de uma curva fechada que separam dois trechos (1) e

(2) resulta

1 2 '0

B B

A A

E dr E dr ou 1 2 '

B B

A A

E dr E dr (5. 34)

Como (1) e (2) são arbitrários, concluímos que a integral não depende do

caminho: a integral só pode depender dos pontos A e B , isto é, qualquer que seja o caminho,

1,

B

A B

A

E dr f r r (5. 35)

Como o lado esquerdo se anula para A coincidindo com B concluímos que

, 0A Bf r r . A única maneira de circuitação só depende dos pontos inicial e final é que

E dr seja a diferencial de uma função, isto é, seja uma diferencial exata. De fato, da relação

E dr d r (5. 36)

Resulta

B B B

A BA

A A

E dr r r r r (5. 37)

Vemos então que f em (5. 35) é igual à diferença A B , que se anula

quando A e B coincidem.

Se E dr não for da forma (5. 36) não poderá depender somente de Ar e Br .

Vejamos como se chega à (5. 36). Se 0P um terceiro ponto (fig 18b). De (5. 33)

tem-se:

0

0

0

PB A

A B P

E dr

(5. 38)

Como 0

0

P B

B P

segue que

0

0

0 0, ,

PB A

A B P

P B P A

E dr E dr E dr

f r r f r r

(5. 39)

Com 0P fixo (ponto de referência) a função 0,Pf r r só dependerá de r e a

indicaremos por r ,

0,Pf r r r (5. 40)

Deste modo a integral anterior pode ser escrita

B

A

B

A

E dr A B

d

(5. 41)

Como A e B são arbitrários segue a (5. 36),

E dr d (5. 42)

Tendo demonstrado que E dr é uma diferencial exata, isto é, diferencial de uma

função r , segue que E é o gradiente dessa função . Para ver isto basta explicitar a

diferencial em (5. 36). Temos

d r dr (5. 43)

Comparando com (5. 36) e notando que d r é arbitrário resulta

E (5. 44)

Esta então demonstra a proposição (5. 32).

A função será agora determinada pelo conhecimento do divergente de E ,

4E . Substituindo nesta relação a (5. 44) e lembrando que divgrad é o laplaciano,

resulta a seguinte equação diferencial para ,

2 4r r (5. 45)

Esta equação é chamada equação de Poisson. Voltaremos a ela no próximo

parágrafo. Resolvendo-a teremos e tendo teremos E através da (5. 44). Conhecendo

então o valor do rotacional (no caso igual a zero) e o seu divergente ( 4 ) conseguimos

determinar o campo. Isto demonstra que o valor do rotacional é nulo.

Fora da distribuição 0 e a (5. 45) se reduz a 2

2 0 (5. 46)

Esta equação é chamada equação de Laplace.

Laplace (1777) obteve a equação para o potencial gravitacional g fora da

distribuição de massa com o resultado 2 0g . Poisson (1813) generalizou o resultado de

Laplace para um ponto dentro da distribuição, no caso da eletrostática.

Lembremos que a lei de Coulomb é semelhante (tem a mesma dependência com a

distância) da lei da gravitação de Newton, 2F GMmr r . O vetor campo gravitacional é

2K GM r r . Têm-se então gK onde /g GM r é o potencial gravitacional

devido a M . Com a substituição Q GM (e, portanto,

MdQ dV G dM dV G ) passamos dos resultados da eletrostática para os de

campo gravitacional. Logo, na gravitação a equação de Poisson é

2 4g MG (5. 47)

Capítulo – VI

Aqui um novo capitulo foi adotado devido ao salto de numeração de equações

presentes. Trata-se de um trecho digitado.

B. A equação de Poisson: Condições de contorno para .

Substituindo (53) na equação (26) e lembrando que div grad é o laplaciano 2

obtemos:

2 4r r (6. 1)

Esta equação é chamada equação de Poisson. Fora da distribuição temos

2 0 , que é chamado de Laplace. Ambas as equações foram estabelecidas no caso

gravitacional. Laplace (1777) obteve a equação para o potencial gravitacional fora da

distribuição volumétrica de massa com o resultado 2 0g . Poisson (1813) generalizou

esse resultado para um ponto dentro da distribuição com densidade de massa M dM dV ,

obtendo 2 4g MG . Esses resultados foram depois translados para a emergente

eletrostática. Lembramos que a lei de força da gravitação newtoniana é 2F GMm r r ,

sempre atrativa. Sem o fator –G e por troca de massa por carga essa força cai na da

eletrostática e a equação gravitacional de Poisson vai na (6. 1). O vetor campo gravitacional é

K F m e as equações de campo são 4 MK G e 0K . Em termos do potencial

gravitacional tem-se gK e 2 4G MG . Tudo isso foi depois translado para a

eletrostática, quando descobriu-se que a lei de força entre cargas é semelhante ao caso

gravitacional.

Outro modo de se obter a equação de Poisson é por calculo direto através da

expressão (54) do potencial.

Problema: Obter a equação de Poisson por calculo direto através da expressão

(54) do potencial.

Se P externo o integrando de (54) é sempre finito e as derivadas podem passar

livremente através do sinal de integração. Somos então levados ao calculo da 1

2 'r r

para

'r r . Um calculo simples mostra que essa quantidade é nula.

2 10

'r r

, se 'r r (6. 2)

A maneira mais simples de obter esse resultado é trabalhar em coordenadas

polares ( , ,R ) do vetor 'R r r . Temos

2 2 2

2

1 1 1 10

R

d dR

R R dr dR RR

, se 0R (6. 3)

A ( ) vem também como consequência de (19) e (17):

2 1 1

30

RR R

R

(6. 4)

De (6. 2) resulta então 2 0 para P externo, que é a equação de Laplace.

Para P interno o integrando torna-se infinito em 'r r e isolamos essa singularidade como

fizemos na FIGURA 7 para o campo. A contribuição 1 do potencial em P devido a 1'V

deixamos indicada e calculamos explicitamente a contribuição 2 . O resultado é a (83),

agora com 2

0 4 3Q P , raio e distância ao centro 0r r em vez de r . Temos então

1

2

20

0

'

'' 4

6 2'V

r r rP dV P

r r

(6. 5)

Como P é externo a 1'V o seu integrando é sempre finito e o laplaciano pode

entrar dentro da integral. Usando a (6. 3) obtemos

2

2 200 0

10 4 4

6P P r r P

(6. 6)

O ultimo passo decorre da igualdade

2 2 2

2 2 2 220 0 0 02 2 2

6r r x x y y z zx y z

(6. 7)

Em coordenadas polares em 0R r r é mais simples:

2 2 2 2

2

16

R

d dr r R R

dr dRR

(6. 8)

Fazendo o limite de (6. 6) para 2' 0V colapsando em P 0P P resulta a

equação de Poisson,

2 4r r (6. 9)

Vejamos agora as condições de contorno para . Como já assinalamos antes é

o finito e contínuo para distribuições volumétricas e superficiais. Como as derivadas de

estão relacionadas com o campo segue que essas derivadas são contínuas para distribuições

volumétricas e descontínuas para superficiais.

Em termos de a componente normal ao campo é E r n n .

Chamando ndr a variação do vetor posição r ao longo da normal e chamando ndS o

correspondente elemento de linha temos

n ndr dS n ou n

n

drn

dS (6. 10)

Portanto,

n

n n

dr dE n

dS dS

(6. 11)

Onde d é aqui a variação de ao longo da normal.

Analogamente, chamando tdS o elemento de linha ao longo da tangente temos

t

t t

dr dE t

dS dS

(6. 12)

Em palavras essas duas relações nos dizem que a componente no campo em dada

direção-sentido é igual a menos a derivada do potencial ao longo dessa direção.

No caso de distribuições volumétricas E é contínuo. Para tais distribuições temos

então as seguintes condições para as derivadas de ,

n

d

dS

e

t

d

dS

contínuas (6. 13)

No caso de distribuições superficiais tem-se de (35) a (38)

1 2

4n n

d dP

dS dS

(6. 14)

1

2n n P

d dP

dS dS

(6. 15)

1 2t t t P

d d d

dS dS dS

(6. 16)

Como exemplo de solução da equação de Poisson consideremos o caso da esfera

uniformemente carregada.

A simetria esférica da distribuição indica, uso de coordenadas polares.

[Figura]

Por simetria não pode depender dos ângulos. Logo r r . Expressando

o laplaciano em coordenadas polares resulta

2 2

2

1 d rdr r

dr drr

(6. 17)

Dentro da distribuição 0r e fora 0 . Logo

2

02

14

d rdr

dr drr

, r a (6. 18)

2

2

10

d rdr

dr drr

, r a (6. 19)

De ( ) vem

2 2

04d rd

r rdr dr

,

3

2

043

d rr C

dr

(6. 20)

Logo

0 2

4

3

d Cr

dr r

, r a (6. 21)

Portanto

2

0

4

3 2

r Cr D

r

, r a (6. 22)

Como deve ser finito devemos ter 0C . Logo

2

0

4

3 2

rr D

, r a (6. 23)

e

0

4

3

dr

dr

, r a (6. 24)

No exterior temos, de (6. 19),

2 'd

r Cdr

(6. 25)

Logo

2

'd C

dr r

, r a (6. 26)

e

'

'C

r Dr

, r a (6. 27)

Temos até agora três constantes arbitrárias. Fazendo uso das condições de

contorno teremos duas relações entre elas correspondentes à continuidade de e de sua

derivada direcional ao longo de r (que coincide com a direção-sentido da normal). De (6.

23) e (6. 27) em r a resulta, uma delas pode ser encolhida ( ' 0D por exemplo) e os

outras duas são determinadas pelas condições de contorno.

2

0

4 ''

3 2

a CD D

a

(6. 28)

De (6. 24) e (6. 25) em r a resulta

0 2

4 '

3

Ca

a

(6. 29)

Dessas equações resultam as igualdades

3

0

4'

3C a Q

(6. 30)

E

3

2 2

Q Q QD

a a a (6. 31)

3'

2

QD D

a (6. 32)

Podemos escolher D ou 'D igual a zero, mas não 'C .

Substituindo essas relações em (6. 23) e (6. 27) resulta

2

3

3'

22

Qr Qr D

aa , r a (6. 33)

'Q

r Dr

, r a (6. 34)

Como verificação, 'a Q a D nos dois ramos. As equações (6. 33) e (6.

34) reproduzem os resultados (66) e (68) ou (82) e (83) que foram obtidos por cálculo direto.

A escolha ' 0D corresponde a 0 e 0D a 0 0 .

Calculando d r dr r E teremos o campo dentro e fora da superfície e,

por continuidade, o campo na superfície.

Neste caso, 0 e a equação (6. 1) se reduz a de Laplace. Por simetria r

não pode depender de ângulos, só da distância r ao centro da superfície, r r .

Expressando o laplaciano em coordenadas polares, resulta em ambas as regiões

2 2

2

10

d rdr

dS drr

, r a , r a (6. 35)

Em ambos os casos temos r d dr C e, portanto,

2

d C

dr r

,

CD

r (6. 36)

Logo

1

1

CD

r , r a (6. 37)

2

2

CD

r , r a (6. 38)

Como deve ser finito devemos ter 1 0C , para impedir que se torne

infinito na origem 0r . Uma das duas constantes arbitrárias 1D ou 2D pode ser escolhida:

fixamos 2 0D , isto é, 0 . Logo

1D , r a (6. 39)

2C

r , r a (6. 40)

Essas duas constantes serão fixadas pela continuidade de e pela

descontinuidade de sua derivada direcional ao longo da normal, que aqui coincide com

direção-sentido de : nr d dS d dr . Temos, no exterior e no interior, e lembrando que

d dr é descontínuo,

0d

dr

, r a (6. 41)

2

2

Cd

dr r

, r a (6. 42)

As derivadas tangenciais são todas nulas e, portanto, não dão informação alguma.

De (6. 39) e (6. 40) em r a resulta

2

1

CD

a (6. 43)

Da descontinuidade (6. 14) obtemos, com (6. 41) e (6. 42),

2

02 20 4

C Q

a a (6. 44)

Portanto,

2C Q e 1

QD

a (6. 45)

Substituindo esses valores em (6. 39) e (6. 40) resulta

Q

ra

, r a (6. 46)

Q

rr

, r a (6. 47)

Como verificação, temos Qa

a nos dois ramos. Em (6. 41) e (6. 42)

temos as derivadas direcionais 9que nada mais são do que valor da derivada direcional na

superfície usamos a (6. 15). De (6. 42) obtemos, 22Q

d dra

, como esperado.

Problemas

Resolva a equação de Poisson nos seguintes casos:

1. esfera com densidade r Kr

2. esfera 0 envolvida por uma superfície 0 concêntrica.

3. cilindro 0 infinito.

4. Dos resultados acima calcule E e compare com as respostas obtidas

anteriormente.

Capítulo – VII

Outro capítulo sem referencia ou ordem, apresentado aqui como um novo

capítulo. Trecho xerocado escrito a mão.

6. Expansões em multipolos.

Vamos analisar em detalhe a estrutura do campo longe da distribuição de cargas e

também a estrutura do campo para determinadas distribuições em pontos quaisquer.

A) Dipolo elétrico.

Pela (10) vemos que se a carga total da distribuição foi diferente de zero o campo

se comporta como 2r . Vejamos o que acontece quando 0TQ . Para isto fizemos o sistema

simples de duas cargas puntiformes opostas q separadas por uma distância . Chamando r

o vetor posição de q e de o vetor que vai de q a q , o vetor posição de q é r .

[Figura]

O campo elétrico devido a esse sistema é

3 3

0

1

4

q rqrE r

r r

(7. 1)

Onde

0

1

4

q q

r r

(7. 2)

Quando r é fácil ver da figura 20A que

2

2

cos 0

1 cos 0 1 0

r r

rr r r

r r

(7. 3)

Para obtermos o inverso usamos 1 1 ????x temos

2

3

1 11 0r

r r rr

(7. 4)

Substituindo em (7. 2) obtemos:

2

2 3

0

10

4

q q

r r

(7. 5)

A grandes distâncias temos r , e só o primeiro termo é o importante. O

produto é

d q (7. 6)

chamado de momento de dipolo elétrico do sistema. Temos então, a grandes

distâncias;

2

0

1

4

d r

r

(7. 7)

Essa é uma expressão aproximada, sendo tanto mais correta quando mais afastado

estamos da fonte q .

Essa expressão torna-se exata e em qualquer ponto do espaço, no limite que

0 e q de tal modo que d q mantenha-se finito. De fato, nesse limite os termos

da ordem 2q e de ordem maior em (7. 5) se anulam, resultando apenas o primeiro termo. O

sistema XXXX nesse limite chama-se onipolo elétrico. Este é um sistema pontual com as

linhas de força desalinhadas na FIGURA 20C. e caracterizado tão somente pelo seu momento

de dipolo d .

De (7. 7) vemos que comporta-se como 2r . O campo comporta-se-á então

como 3r . Calculando o grad de (7. 7) resulta,

3

0

31

4

d r r dE r

r

(7. 8)

[Figura]

Se o dipolo (puntiforme) estiver fora da origem no ponto 1r , basta substituir r

por 1r r no lado direito de (7. 8).

Calculemos a energia do dipolo num campo externo . Para isto consideraremos

o sistema das cargas opostas separadas e passamos depois ao limite pontual.

[Figura]

Chamando r a posição de q , a posição de q é r . A força sobre o sistema

é

1 2F F F qE r qE r (7. 9)

Desenvolvendo E r em série de Taylor em torno de obtemos, para a

componente i ,

20i i iE r E r E (7. 10)

Substituindo em (7. 9) e passando ao limite 0 e q com d q finito

obtemos

i i iF q E d E (7. 11)

ou

F d E (7. 12)

(7. 13)

Como esperado a força é nula se o campo for uniforme, como acontece entre

placas de um condutor plano.

Sendo o campo externo estático ele é irrotacional, 0E , e isto permite

escrever F como o grad de uma função. Temos 0y xxE yE , etc.

Para a componente x resulta

x x x y zF x x y y z z E x xE y yE z zE (7. 14)

Logo

xF x d E (7. 15)

Valem relações análogas para yF e zF . Concluímos então que F tem a forma (

), isto é,

F V (7. 16)

Onde

V d E (7. 17)

Esta é a energia eletrostática num campo externo E . Se este é XXXX a uma fonte

puntiforme obtemos

3

0

1 '

4

Qd rV

r

(7. 18)

Se o campo é XXX a outro dipolo 'd obtemos de (7. 7)

3

0

3 ' '1

4

d r d r d dV

r

(7. 19)

A (7. 18) é a energia de interação carga-dipolo e a (7. 19) é a dipolo-dipolo.

Esta é a energia eletrostática entre sistemas neutros com momentos de dipolo, como ocorre

em moléculas.

B. Quadrupolo Elétrico.

Vamos em seguida considerar um sistema com carga nula e momento de dipolo

elétrico nulo. Um exemplo simples é o sistema constituído por quatro cargas puntiformes de

sinal alternado ocupando os vértices de um retângulo, como na FIGURA 22 (A).

[Figura]

Com a notação indicada na FIGURA 22 (A) temos

0

1

4

q q q qP

r r a r a b r b

(7. 20)

Vamos desenvolver 1

r

até ordem 3 . Temos

2

22 2

22 1 2

rr r r r r

r r

(7. 21)

Usando Taylor ou procurando direto por um polinômio que reproduza o indicado

obtemos

2

2 3

2 2 31 0

2 2

rrr r

r r r r

(7. 22)

Para obter o inverso basta procurar por um polinômio que multiplicado pelo que

está entre parênteses dê a unidade, até a XXX considerar. Obtemos

2

23

2 3

31 11 0

2

rr

r r r rr

(7. 23)

Usando essa expressão em (7. 20) concluímos que haverá o cancelamento do

termo de carga e do termo de dipolo: Obtemos

3 3 2 2

3 4

0

31 , , ,0

4

q a r b r qa b a b a b ab

r r

(7. 24)

A grandes distâncias, r a e r b o termo dentro do primeiro parênteses é o

dominante. Nessas condições vem que o potencial comporta-se como 3r e o campo

comporta-se-á então como 4r . Vamos condensar o primeiro termo em (7. 24) introduzindo

a quantidade

2 3ij i j ijQ q a b a b (7. 25)

Os ijQ são as componentes de um tensor de segunda ordem chamado tensor

momento de quadupolo ou sistema.

5

0

1 1

4 2ij i j

ij

Q x xr

(7. 26)

Esta expressão é aproximada para o nosso sistema de cargas. Ela é, entretanto,

válida em qualquer ponto do espaço no limite em que Q e 0b com q de tal

modo que abq se mantenha finito. Nesse limite o sistema chama-se quadrupolo elétrico. Suas

linhas de força estão na FIGURA 22(C).

Para obter E basta calcular o grad de (7. 26). Para obter a força sobre o

quadrupolo num campo externo procedemos como no caso do dipolo.

Notemos que ijQ é um tensor simétrico e traço nulo,

0ij

i

Q (7. 27)

È importante notar que o sistema de duas cargas opostas à distância finita tem

também momento de quadrupolo e todos os centros de ordem maior. De fato substituindo (7.

23) em (7. 2) obtém-se além do primeiro termo em (7. 5) um outro do tipo (7. 26) com

23ij i j ijQ q . Este é o quadrupolo do sistema finito relativo à origem O em q .

C) Distribuição Qualquer

Vamos agora considerar um sistema com carga total ou dipolo total etc. não

necessariamente nulos. Fixemos nossa atenção primeiro num sistema discreto e formado

apenas por duas cargas puntiformes 1q em 1r e 2q em 2r .

[Figura]

O potencial em P é

1 2

1 20

1

4

q q

r r r r

(7. 28)

A grandes distâncias temos 1r r , e 2r r . Usando a expansão (7. 23) obtemos

2

2 21 2 1 21 2 1 2 1 1 2 23

0

1 13 3

4 2

rq q q r q r q r r r q r r r

r r

(7. 29)

No caso geral temos

0

1

4

a

a a

q

r r

(7. 30)

E

2

5,0

1 13

4 2ij

a a a a ai aj a ij i j

a a a i

rq q r q x x r x x

r r

(7. 31)

Devido à forma da expansão do potencial é conveniente definir as seguintes

quantidades. A carga total é

a

a

Q q (7. 32)

Chama-se momento de dipolo de carga q relativo a origem O o vetor

d qr (7. 33)

A soma dessas quantidades para cada carga é o momento de dipolo da

distribuição, relativo a origem A, o momento de dipolo da distribuição, relativo à origem O,

aa

a

d q r (7. 34)

A quantidade com componentes

23ij i j ijQ q x x r (7. 35)

É chamada de tensor de quadrupolo da carga q , relativo a origem O. A soma

dessas quantidades é o quadrupolo do sistema

23a

ij ij a ai aj a ij

a a

Q Q q x x r (7. 36)

De maneira análoga definimos o octopolo (temos de 3ª ordem) e assim por diante.

Usando as definições (7. 32), (7. 34) e (7. 35) em (7. 29) ou (7. 31) obtemos

4

3

0

1 1. 0

4 2ij i j

ij

d rP Q Q x x r

r r

(7. 37)

Os momentos elétricos tem equivalentes de massas definidos na mecânica. Q é o

correspondente de massa total, d é o correspondente do centro de gravidade dividido ijQ é o

correspondente do momento de inércia.

De (7. 37) Vemos que no caso geral o campo é uma superposição dos devido à

carga do sistema, sem o dipolo elétrico, seu quadrupolo elétrico, do octopolo e assim por

diante.

Como os multipolos dependem em geral da origem de referência O vejamos

como eles se comportam por uma mudança de origem. Mudemos de O para 'O com vetor de

posição s em relação a O . O novo vetor posição de aq é então 'a ar r s . Os novos

momentos são

'i a ai a ai i i i a

a a a

d q x q x s d s q (7. 38)

Para o quadrupolo temos, subentendido o índice a ,

22

2 2

' 3 ' ' ' 3

' 3 3

ij i j ij i i j j ij

ij i j ij j i ij

a

Q q x x r q x s x s r s

Q q x x r qs qx s q

(7. 39)

De (7. 38) vemos que o novo dipolo é igual ao antigo menos o que resultaria da

concentração da carga em 'O . Considerações análogas valem para o quadrupolo.

De (7. 38) e (7. 39) vemos que se a carga do sistema for nula o seu dipolo é

independente do ponto de referência '̈d d . Se a carga foi nula e o dipolo for nulo o

quadrupolo é independente do ponto de referencia e é então uma grandeza intrínseca do

sistema.

Em particular para duas cargas opostas 1q q em 1r e 2q q em 2r temos,

com 2 1r r ,

1 2 2 1d qr qr q r r q (7. 40)

Este resultado é o que está em (7. 6). De maneira análoga com quatro cargas de

sinais alternados dispostas nos vértices de um retângulo obtemos o resultado (7. 25).

A expansão (7. 23) pode ser obtida por uma expansão de Taylor direta.

Lembremos que

21

2!f r a f r a f r a f r (7. 41)

Obtemos então

21 1 1 1 1

2r r Rr

(7. 42)

Calculando as derivadas obtemos

2 2

1 1 1 i

i i

i ii

x r

r x r rr r

(7. 43)

2

2

3 3 4 3

331 1 j ij j i

i j i j i j

ij ij iji j i

rx x x

r x x r x rr r r r

(7. 44)

Substituindo em (7. 42) vem a expressão (7. 23),

22

2 2

31 10 '

2

rr

r r rr

(7. 45)

Passemos agora ao caso de uma distribuição contínua, que é afinal uma extensão

do caso discreto.

O potencial em P devido a uma distribuição com densidade está em (51).

Escolhendo a origem perto ou dentro da distribuição como na FIGURA 23.c e expandindo

1

'r r

em série de potências de 'r r obtemos

22

2 3

0 '

3 ' '1 1 '' '

4 2V

r r rr rP r dV

r r r

(7. 46)

Os multipolos da distribuição correspondente a (7. 32) a (7. 36) são definidos

pelas relações abaixo.

A carga da distribuição é

V

Q r dV (7. 47)

O dipolo da distribuição é o vetor

i i

V

d x r dV (7. 48)

O quadrupolo é o tensor

23ij i j ij

V

Q x x r r dV (7. 49)

E assim por diante.

Com isto a (7. 48) é condensada na mesma expressão que está em (7. 37),

2 3

0 0 0

1 1 1 1

4 4 4 2i jij

ij

Q d rP Q x x

r r r

(7. 50)

Deixamos ao leitor a verificação de que se for constante ou se só depender da

distância r a certo ponto da referência O segue que são nulos o dipolo elétrico e o

quadrupolo. Todos os multipolos de ordem superior também são nulos.

0

1

!

n

n

f r a a f rn

(7. 51)

7. Expansão em multipolos da energia de uma distribuição num campo externo.

[Figura]

Consideremos uma distribuição de carga dentro de um campo externo, isto é,

produzido por uma outra distribuição. Focalizemos já o caso do continuo. Deslocando caso

uma das partes dq de um deslocamento d r o trabalho exercido pelo campo externo que atua

em dq , é da (28), 2d dqd e o trabalho total é

d dqd d dq dV (7. 52)

Onde V é a quantidade

V

V dq r r dV (7. 53)

Se o potencial não varia muito dentro da distribuição ele pode ser expandido em

série de Taylor até certa ordem. Escolhendo uma origem O dentro da distribuição temos

1

0 0 02

i j

ij i j

r r x xx x

(7. 54)

Lembrando que E podemos escrever

0

10 0

2

i

i j

ij j

EP r E x x

x

(7. 55)

Substituindo essa expressão em (7. 53) e lembrando (7. 47) e (7. 48) obtemos

0

10 0

2

i

i j

ij j

EV Q d E x x dV

x

(7. 56)

Para fazer aparecer o quadrupolo escrevemos

21 1 1

2 6 3i j ij ijx x dV Q r dV (7. 57)

A ultima integral é chamada de raio quadrático médio da distribuição, 2r ,

2 2

V

r r r dV (7. 58)

Substituindo (7. 57) em (7. 56) resulta

2

0

1 10 0 0

2 3

i

ij

ij j

EV Q d E Q r E

x

(7. 59)

Se, como em geral acontece, a distribuição de cargas não se superpõe à fonte tem-

se 0E e o ultimo termo escrito estará ausente.

8. Energia Eletrostática.

Chamamos de energia eletrostática de um sistema de cargas o trabalho gasto para

fazer o sistema a partir de cargas infinitamente separadas.

[Figura]

Suponhamos inicialmente que o sistema é discreto. O transporte de 1q não exige

trabalho algum. No transporte de 2q do infinito até a posição 2r o trabalho realizado pela

força elétrica é, de acordo com (30), (31) e (35)

2

2 1 221 22

1 2

rq q

F dr q r kr r

(7. 60)

Vejamos isto em detalhe. Segundo a FIGURA 25 temos 1R r r e , portanto,

dr d R . Usando coordenadas polares para R ou diferenciando 2

2R R temos

Rd R RdR . Logo

2 2

2 1 2 1 2

1 23 31 2

r rq q q qRdR

k R dr kq q kR R r r

(7. 61)

O trabalho fasto para a formação do sistema é 2 e, portanto, a energia potencial

do sistema é

1 2

12 2 2

1 2

q qV k q r

r r

(7. 62)

Onde 2r é o potencial em 2r devido a 1q .

No transporte de 3q para perto de 1q e 2q o trabalho do campo é

3

3 1 2 1 231 32

1 3 2 3

rq q q q

F F dr k kr r r r

(7. 63)

O trabalho total na formação do sistema 1q , 2q , 3q é a soma de (7. 61) com (7.

63). Portanto a energia desse sistema de três cargas é

1 2 1 2 1 2

1 2 1 3 2 3

q q q q q qV k k k

r r r r r r

(7. 64)

Para n cargas obtemos

a b

a b a a b

q qV k

r r

(7. 65)

De um modo mais simétrico temos

2

a b

a b a a b

q qkV

r r

(7. 66)

Introduzindo o potencial ar de todas as cargas b a temos

b

a

B a b

qr k

r r

(7. 67)

E (7. 66) pode ser reescrita sob a forma

1

2aa

a

V q r (7. 68)

É importante notar que não estamos levando em conta o trabalho necessário para

fazer as próprias cargas puntiformes. Esta energia é infinita para cada uma das cargas pois

envolve uma dimensão nula em cada caso. V é apenas a energia de interação entre as cargas.

Consideremos agora o caso de uma distribuição contínua de cargas. Calculando o

Trabalho envolvido no transporte de dada elemento dq de carga e somando obteremos o

trabalho necessário para fazer a distribuição toda. O resultado é o correspondente de (7. 66),

porém sem a restrição b a ,

'''

2 2' '

r rk dqdq kU dVdV

r r r r

(7. 69)

As integrais estendem-se ao volume total da distribuição. Como fora delas se

anula as integrais podem ser estendidas ao espaço todo.

Introduzindo o potencial r da distribuição, que está escrito em (25), obtemos

1

2U r r dV (7. 70)

Como exemplo calculemos a energia potencial de uma esfera de raio R e carga

Q unidormemente eletrizada. Fora o potencial é idêntico ao da carga Q concentrado no

centro e dentro é

322

3

rk R

(7. 71)

Substituindo em (7. 70) resulta

23

5

QU k

R (7. 72)

No caso puntiforme R tende a zero e, como adiantado antes, U diverge.

Consideremos agora o caso de duas esferas de raio 1 e 2 centradas em 1r e 2r .

Temos que calcular (7. 69) ou (7. 70) com 1 2V v v . No limite que 1 e 2 são bem

pequenos obtemos

2 2

1 2 1 2

1 21 2

3 3 3

5 5

q q q qU k k k

r r

(7. 73)

Os dois primeiros termos dão as energias de cada uma das esferas e o ultimo é a

energia de interação entre elas, que indicamos antes por V . No caso pintiforme os dois

primeiros termos divergem.

A (7. 69) ou a (7. 70) enfatizam as cargas do sistema e podemos dizer que a

energia está localizada na distribuição de cargas. Assim no caso de uma esfera carregada

diremos que a energia está na esfera. Se solta a si mesmo a repulsão entre os elemento de

carga dar-nos-á um trabalho igual ao que gastamos na fabricação dessa esfera carregada.

Outra possibilidade mais interessante e mais frutífera é salientar os campos em

vez das cargas e interpretar a energia como localizada na região que envolve as cargas e onde

se encontram, isto é, no campo.

Usando a (42) em (7. 70) podemos eliminar em favor de E . Obtemos

0

2U E dV

(7. 74)

Fazendo uma integração por partes obtemos

0

2U E dV E dV

(7. 75)

Pelo teorema de Gauss a primeira integral pode ser convertida numa integral de

superfície que se anula no infinito. De fato, nessa regição 2~E r , 1~ r e 2~ds r .

Lembrando (24) obtemos

20

2U E dV

(7. 76)

Daqui é apartente a interpretação de que a energia reside no campo todo.

A densidade de energia do campo é o integrando de (7. 76). Temos

U udV (7. 77)

Onde

20

2u r E

(7. 78)

Esta relação nos diz que as regiões com campos mais intensos contém mais

energia, como esperado.

Como exemplo, recalculemos a energia da esfera carregada. Partimos a integral

(7. 76) nas regiões r R e r R e usando as expressões do campo em cada uma delas, que

estão em (17), reobtemos o resultado (7. 72).

Como segundo exemplo consideremos duas cargas puntiformes 1q e 2q em 1r e

2r . O campo devido ao sistema é

1 21 2

3 2

1 2

3 3q r r q r rE k k

r r r r

(7. 79)

De (7. 78) a densidade de energia é

2 2 1 21 20 1 2

4 4 3 3

1 2 1 2

3 3

2

q q r r r rk q qu

r r r r r r r r

(7. 80)

A integral dos dois primeiros termos é divergente e a dos últimos dá o resultado

(7. 62).

9. Força eletrostática.

No ultimo parágrafo precedente expressamos as cargas que comparecem na

expressão da energia eletrostática em termos dos campos e fomos elevados à interpretação de

que sempre a energia reside no campo. Um procedimento análogo para a força entre cargas

levar-nos-á a interpretá-las como resultado de tensões no campo.

A força exercida sobre uma distribuição de cargas é resultante das forças

exercidas sobre cada elemento de carga. Chamemos d F a força sobre dq e vamos introduzir

a densidade volumétrica de força

d Ff

dV (7. 81)

A força total sobre a distribuição pode então ser escrita

F d F f dV (7. 82)

Sendo E o vetor campo elétrico onde está dq temos d F dqE e substituímos

em (7. 81) obtemos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ - Portal Saber Livre · Poisson O ponto arbitrário se possível no...

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