Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos ...3.3.2 Teorema de Thévenin-Norton...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I – EEL420

Módulo 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Willem_Einthoven

Conteúdo

3 – Teoremas e análise sistemática de redes...............................................................................1

3.1 – Revisão de definições....................................................................................................1

3.2 – Análise de nós e malhas................................................................................................1

3.2.1 – Análise de nós........................................................................................................1

3.2.2 – Análise de malhas..................................................................................................3

3.3 – Teoremas de rede e transformações de fontes...............................................................5

3.3.1 – Teorema da superposição......................................................................................6

3.3.2 – Teorema de Thévenin-Norton................................................................................7

3.3.3 – Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes..........................................9

3.4 – Grafos de rede e teorema de Tellegen.........................................................................11

3.4.1 – Conceito e definições de grafos...........................................................................11

3.4.2 – Cortes e lei das correntes de Kirchhoff................................................................12

3.4.3 – Teorema de Tellegen...........................................................................................14

3.5 – Grafos de rede aplicados a análise de nós...................................................................14

3.6 – Grafos de rede aplicados a análise de malhas..............................................................19

3.7 – Exercícios....................................................................................................................20

3.8 – Soluções.......................................................................................................................24

Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 2

https://archive.org/stream/FundamentalsOfElectricCircuits4thEdition/Fundamentals%20of%20Electric%20Circuits%20(Alexander%20and%20Sadiku),%204th%20Edition#page/n111/mode/2up

3 Teoremas e análise sistemática de redes

3.1 Revisão de definições

Revisando os conceitos anteriores podemos classificar os circuitos como: Circuitos

Lineares, onde cada elemento do circuito é linear ou uma fonte independente; Circuito

Invariante, onde cada elemento do circuito é invariante ou uma fonte independente; Circuito

Linear e Invariante, onde cada elemento do circuito é linear e invariante ou uma fonte

independente; além dos Circuitos Não Lineares ou dos Circuitos Variantes, que não são

lineares ou não são invariantes.

Nestas definições as fontes independentes precisam ser tratadas separadamente pois

elas exercem um papel diferente dos demais elementos da rede. Além disto todas as fontes

independentes são elementos não lineares (suas características v × i correspondem a uma linha

reta que não passa pela origem).

3.2 Análise de nós e malhas

A solução de problemas de pequeno tamanho pode ser feita facilmente obtida

empregando-se sistematicamente as duas leis de Kirchhoff. Destes métodos resultam um

sistema de equações de tamanho igual ao número de nós ou malhas independentes da rede.

Por esta razão este método é apropriado para o cálculo computacional da solução ou para

análise de problemas pequenos.

3.2.1 Análise de nós

Para ilustrar esta técnica de resolução sistemática de circuitos considere a figura

abaixo.



Primeiro deve-se contar os nós essenciais (nós A, B e C). Como as tensões VAC VBC e

VAB se relacionam pela lei das tensões de Kirchhoff, apenas duas destas tensões são

independentes, a terceira é uma combinação linear das anteriores. Sendo assim, é possível

escrever duas equações independentes para as tensões de nós. Quaisquer duas tensões podem

ser utilizadas, mas, normalmente, se escolhem as tensões com relação ao nó de referência

(terra). Assim, chamamos de tensão de nó a diferença de potencial entre um determinado nó e

a referência. No exemplo, as tensões dos nós serão VA e VB. Assim, para uma rede com n nós

essenciais existe n-1 equações de tensões independentes. Resolvendo o problema para as

tensões dos nós todas as tensões de braço também ficam determinadas. As correntes de braço

podem ser especificadas em função das equações de braço impostas pelos elementos

individualmente ou pelas leis de Kirchhoff (para o caso das fontes).

Para escrever as equações dos nós usamos a lei das correntes de Kirchhoff. Assim para

o exemplo em questão temos

para o nó A

i1i 2is1=0

v A−0

R1

v A – v B

R2

is1=0 , e

para o nó B

i3i 4i5=0

vB−v A

R2

vB−v1

R4

vB−0

R3

=0 .

Reescrevendo as equações para os nós A e B, respectivamente, temos

vA⋅ 1R1

1R2 −v B⋅ 1

R2 =−is1

−vA⋅ 1R2 vB⋅ 1

R2

1R3

1R4 =v1⋅ 1

R4



Desta forma obtemos um sistema de equações com duas incógnitas e duas equações

que pode ser resolvido sem maiores problemas. Como solução para o problema obteremos as

tensões em cada nó. As correntes de cada ramo ficam definidas pela tensão e pelo valor da

resistência, ou pelo valor da fonte de corrente. As correntes nas fontes de tensão podem ser

determinadas pela LCK.

Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações obtido. Isto significa

que ele poderia ter sido obtido por inspeção da rede. Para um determinado nó N a equação é

obtida da seguinte forma: A tensão do nó N multiplicada pelo somatório das condutâncias que

vão do nó N aos nós J. Esta parcela é subtraída das tensões nos nós J multiplicadas pelas

condutâncias que interligam os nós J ao nó N. O resultado é igual a soma das fontes de

correntes que saem do nó N multiplicadas por –1.

v N⋅∑GNJ –∑ v J⋅G JN =−∑ iN

onde GXY é a condutância que liga o nó X ao nó Y.

3.2.2 Análise de malhas

Um outro método de analisar uma rede genérica é o método das malhas. Para ilustrar

sua aplicação considere a figura a seguir.

Inicialmente contamos o número de malhas essenciais (malhas M1, M2 e M3). Para

cada malha estipula-se uma corrente com sentido de referência arbitrário (IM1, IM2 e IM3). A



partir do sentido de referência arbitrado os sentidos das tensões de referência também ficam

bem definidos. A partir dos sentidos de tensão e utilizando a lei das tensões de Kirchhoff

podemos escrever as equações que regem as correntes de cada malha. Em elementos que

pertencem a mais de uma malha, a corrente resultante será a soma algébrica das correntes de

cada malha, levando-se em conta o sentido de cada corrente. Para o circuito acima,

percorrendo as malhas no sentido horário, com ponto de partida inferior esquerdo, temos

para a malha 1

−v1vR2vR3v2vR1=0

−v1R2⋅ IM1−IM3R3⋅ IM1− IM2v2R1⋅ IM1=0 ,

para a malha 2

−v2vR3vR4v R5v R6=0

−v2R3⋅ IM2− IM1R4⋅ IM2−IM3R5⋅IM2R6⋅IM2=0 ,

e para a malha 3

v R7−v3vR4v R2=0

R7⋅ IM3−v3R4⋅ IM3− IM2R2⋅ IM3−IM1=0 .

Reescrevendo as equações temos

IM1⋅R1R2R3−IM2⋅R3−IM3⋅R2=v1−v2

−IM1⋅R3IM2⋅R3R4R5R6− IM3⋅R4=v2

−IM1⋅R2−IM2⋅R4IM3⋅R2R4R7=v3

Que resulta num sistema com três equações e três incógnitas que pode ser resolvido de

forma simples. As correntes de ramo podem ser determinadas por uma simples relação

algébrica entre correntes de malha.

i1=−IM1 , i2=IM2



i3=−IM3 , i4=IM1− IM2

i5=IM2−IM3

As tensões de ramo podem ser obtidas a partir dos valores das fontes de tensão e das

quedas de tensão sobre os resistores. As tensões sobre as fontes de corrente deve ser

determinada pela LTK.

Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações que determinam as

correntes de malha de modo que ele poderia ter sido obtido por simples inspeção da rede. Para

uma determinada malha M a equação é obtida da seguinte maneira: A corrente da malha M

multiplica o somatório de todas as resistências que compõe a malha. Esta parcela deve ser

subtraída das demais correntes de malha multiplicas pelas resistências em comum com a

malha M. O resultado é igual ao somatório das fontes de tensão da malha multiplicado por –1.

iM⋅∑ RMJ –∑ i J⋅RJM =−∑ v M

onde RXY é a resistência da malha X que também pertence a malha Y.

3.3 Teoremas de rede e transformações de fontes

Apesar das leis de Kirchhoff se aplicarem a todas as classes de problemas que serão

estudados nesta disciplina nem sempre seu uso é simples. Algumas vezes é necessário montar

grandes sistemas de equações para solucionar um determinado circuito. Computacionalmente

falando isto não representa uma dificuldade, porém para análise manual de circuitos a solução

de sistemas de equações com ordem superior a três pode se tornar bastante trabalhosa.

Adicionalmente, durante o projeto de circuitos estas técnicas podem não ser de muita

utilidade.

Para nossa sorte, muitas vezes é possível calcular uma determinada variável de rede

simplificando a rede original. Isto pode ser realizado utilizando-se alguns teoremas,

associações e transformações de elementos. Estas simplificações podem ser aplicadas sem

medo desde que a resposta desejada não se encontre junto aos elementos simplificados.

Quando as simplificações forem realizadas eliminando ou modificando a resposta desejada

deve se ter o cuidado de retornar ao problema original para desfazer as simplificações iniciais.



3.3.1 Teorema da superposição

Seja uma rede linear, que apresente apenas uma resposta para o conjunto de excitação

(conjunto de fontes independentes que excita o circuito), independente dos elementos serem

variáveis ou não com o tempo, então a resposta da rede causada por várias fontes

independentes é a soma das respostas devidas a cada fonte independente agindo sozinha.

Em outras palavras, se desejarmos analisar um circuito que contenha muitas fontes

independentes podemos analisar a resposta da rede (circuito) para cada fonte em separado

(considerando que as demais fontes têm valor nulo – curto circuito para as fontes de tensão e

circuito aberto para as fontes de corrente) e depois somar todas as respostas.

Exemplo: Calcular V 1 e V 2 .

Considerando como nó de referência o nó de baixo e equacionando o nó de cima (2)

v2−v sR1

– is+v2R2

=0

v2=(is+ vsR1)⋅R1⋅R2R1+R2

=143V , v1=vs−v2=−

23V

Por superposição temos que

v2(vs , i s)=v2(v s , is=0)+v2(vs=0,i s) e

v1v s , is=v1vs ,i s=0v1vs=0, i s

então



v2=[ v s

R1R2

⋅R2][ i s⋅REQ ]=43⋅23⋅

23=

143

V e

v1=[ vs

R1+R2

⋅R1]+[−i s⋅REQ ]=43⋅1 – 3⋅

23=−

23

V

3.3.2 Teorema de Thévenin-Norton

Seja uma rede linear ligada a uma carga por dois de seus terminais de forma que a

única interação entre rede e carga se dá através destes terminais, então o teorema de Thévenin-

Norton afirma que as formas de onda de tensão e corrente nestes terminais não se afetam se a

rede for substituída por uma rede Thévenin equivalente ou Norton equivalente.

Para se obter esta rede equivalente basta determinar a relação v × i nos terminais da

rede. Isto pode ser realizado de forma genérica aplicando-se uma fonte de corrente de valor I

nos terminais da rede e determinando a equação da tensão V sobre esta fonte.

Qualquer outra forma de determinar a reta v × i pode ser utilizada. Por exemplo,

quando a rede em análise apresenta apenas elementos lineares e fontes independentes

podemos obter os equivalentes Thévenin ou Norton da seguinte maneira: 1) A determinação

da tensão de Thévenin corresponde a tensão entre os terminais para os quais estamos

buscando o equivalente (os terminais devem ser mantidos em circuito aberto). 2) A

determinação da corrente de Norton corresponde a corrente que circularia pelos terminais para

os quais se deseja determinar o equivalente caso eles estivessem curto circuitados. 3) A

resistência pode ser calculada substituindo as fontes independentes pela sua resistência interna

( R=0 para fonte de tensão e R=∞ para fonte de corrente) e determinando a resistência

equivalente nos terminais para os quais se deseja determinar o equivalente. Alternativamente a

resistência poderia ser obtida pela divisão da tensão de Thévenin pela corrente de Norton.

Exemplo: Determinar os equivalentes Thévenin e Norton entre os terminais A e B da

rede abaixo.



Considerando o nó de baixo como a referência e aplicando uma corrente de teste de

valor I entrando no terminal A podemos calcular a tensão V sobre a fonte de corrente (VAB).

Considerando o nó de cima como o nó X temos

Vx−(2⋅ix−vs)R3

+VxR4

+Vx – VR5

=0 (equação da LCK)

ix=VxR4

(equação auxiliar)

Substituindo a equação auxiliar na equação da LCK temos

VxR3–2⋅VxR3⋅R4

+vsR3

+VxR4

+VxR5–VR5

=0

0,1Vx –0,066Vx+1,5+0,333Vx+Vx –V=1,366Vx+1,5−V=0

Vx=V−I⋅R5=V−I (equação auxiliar para escrever V em função de I)

1,366Vx+1,5−V=1,366V−1,366 I+1,5−V=0

V=3,73 I – 4,098

Para o modelo Thévenin temos V=Rs⋅I +vo . Por comparação



Rs=3,73Ω e vo=−4,098V

3.3.3 Explosão (transformação ou deslocamento) de fontes

Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras,

pois isto pode simplificar a análise do restante do circuito. Quando isto é feito chamamos de

explosão, transformação (pode ser usado com outro significado) ou deslocamento de fontes.

Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de

um elemento de circuito pode ser desmembrada removendo este nó, desde que cada elemento

permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade. A

figura a seguir ilustra o fato. Uma fonte v se conecta aos resistores R1 e R2 . Ela pode ser

desmembrada em duas fontes em paralelo de mesmo valor e polaridade e, finalmente,

separadas de forma que cada uma fique em série com um dos resistores R1 ou R2 . Do ponto

de vista do resto do circuito as formas de onda de tensão e corrente nos terminais A, B e C

permanecem inalteradas.



Um procedimento semelhante pode ser realizado com as fontes de corrente. Neste caso

uma fonte que interligue dois pontos de um circuito pode ser substituída por outras tantas

desde que elas formem um caminho fechado que comece e termine nos mesmos nós da fonte

original. A figura abaixo ilustra esta situação. Uma fonte de corrente faz circular uma corrente

i1 do nó B para o nó A. Em paralelo com esta fonte há um outro caminho, formado pelos

resistores R1 , R2 e R3 , interligando o nó B ao nó A. Então, a fonte de corrente original

pode ser removida e outras podem ser colocadas em paralelo com estes resistores. Observe

que a corrente i1 movimentada pela fonte em paralelo com R3 e deslocada pela fonte em

paralelo com R2 e esta corrente é deslocada pela fonte em paralelo com R1 de forma que

toda a corrente que saiu do nó B chegou ao nó A, sem alterar o restante do circuito.

Exemplo de aplicação: No circuito abaixo deseja-se calcular o valor da corrente I, mas

sem montar um sistema de equações pela LCK nem LTK. Mostre uma forma de fazer.

Explodindo as fontes V 1 e I 1 e redesenhando o circuito obtemos



deste ponto em diante basta fazer transformações sucessivas de modelos Thévenin e Norton

além de algumas associações de resistores. I =0,332 A

3.4 Grafos de rede e teorema de Tellegen

Toda a análise de nós e malhas pode ser sistematizada ainda mais se for utilizada a

teoria e grafos e notação matricial. As próximas secções apresentam esta abordagem

mostrando como esta sistematização pode simplificar e muito a análise de redes. Como será

visto todos as redes podem ser resolvidas a partir de uma só equação entretanto todo o

trabalho de análise passa a ser um problema matemático. Esta abordagem, portanto, se aplica

muito bem a simulação e análise computacional de redes.

3.4.1 Conceito e definições de grafos

Um grafo é um conjunto de braços e nós com a condição de que cada braço comece e

termine em um nó. Circuitos elétricos também são formados por braços e nós e por isso

também podem ser representados por grafos.

Como as leis de Kirchhoff não fazem exigência quanto a natureza dos elementos da

rede, é natural desprezar a influência dessa natureza ao reduzir a rede a um grafo. Ideias

teóricas de grafos são então usadas para formular de modo preciso a LTK e LCK. Isto é

realizado para obter uma forma sistemática de análise de circuitos que sirva para redes de

qualquer complexidade e tamanho e possa ser simulada em computadores.

A representação de um circuito por um grafo pressupõe a substituição dos elementos

de braço por um segmento de reta que pode estar orientado (grafo orientado) e que é



chamado de braço (ou ramo). Os nós do circuito são os nós do grafo e também podem ser

chamados de vértices ou junções. Os nós delimitam o início e o fim de um braço. A

orientação dos braços coincide com a orientação dos sentidos de referência associados de

tensão e corrente, adotados pela convenção passiva. Definidos assim, grafos mais simples

possuem apenas um nó ou um ramo e um nó. Os grafos também podem ser divididos em

subgrafos (subconjunto de elementos do grafo) sendo o menor deles chamado de grafo

degenerado (um grafo formado apenas por um nó). A figura abaixo apresenta um exemplo de

grafo.

1

5 4

321

5

4

3

2

Os grafos também podem ser ligados se existir ao menos um braço entre quaisquer

dois nós. Um grafo ligado é chamado de uma parte separada, assim os grafos não ligados

possuem ao menos duas partes separadas. Um corte é um conjunto de braços que quando

removidos do grafo original resultam em um grafo com uma parte separada a mais, porém, se

um dos braços do conjunto for mantido, o grafo resultante mantém o mesmo número de partes

separadas do grafo original.

Um percurso fechado em um grafo é todo subgrafo ligado onde cada nó deste

subgrafo está conectado a apenas dois braços.

3.4.2 Cortes e lei das correntes de Kirchhoff

Usando a nomenclatura de grafos a lei das correntes de Kirchhoff pode ser enunciada

como “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus cortes, e a

qualquer instante, a soma algébrica de todas as correntes através dos braços do corte é

zero”.



A figura abaixo mostra um grafo ligado onde uma superfície S corta o grafo em duas

partes separadas. Os braços 1, 2 e 3 formam este corte. Se ao menos um destes três braços não

forem removidos então o grafo continua ligado.

1

4

325

3

8

21

8 7

S

Se adotarmos um sentido de referência associado a superfície S podemos aplicar a

LCK. Adotaremos a seguinte convenção: positivo são as correntes cujos sentidos são do

interior para o exterior da superfície.

Neste caso, aplicando a LCK para os braços do corte temos

i1 t −i2 t i3 t =0

Se fossemos aplicar a LCK a todos os nós dentro da superfície S teríamos

Nó 1: i1i5−i6=0

Nó 2: −i2−i5−i7i8=0

Nó 3: i3−i8=0

Nó 4: i6i7=0

A soma de todas estas equações resulta em



i1−i2i3=0

Da mesma forma podemos definir lei das tensões de Kirchhoff usando a nomenclatura

de grafos: “Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus

percursos fechados, e a qualquer instante, a soma algébrica das tensões de braço ao longo

de qualquer percurso fechado é zero”.

3.4.3 Teorema de Tellegen

Para uma rede de parâmetros concentrados cujo grafo tenha b braços e n nós.

Arbitremos para cada braço do grafo uma tensão de braço vK e uma corrente de braço iK e

suponhamos que vK e iK sejam medidos a partir de um sentido de referência associado. Se as

tensões e as correntes de braço satisfazem a LTK e a LCK respectivamente então:

∑K=1

b

vK⋅iK=0

ou seja, toda a potência fornecida pela rede é consumida na própria rede. Em outras palavras

as leis de Kirchhoff implicam em conservação de energia.

3.5 Grafos de rede aplicados a análise de nós

Dado um determinado grafo orientado é possível descrevê-lo listando todos os braços

e nós e indicando qual braço está entrando e saindo de qual nó. Isto pode ser feito por uma

matriz chamada matriz de incidência, onde os elementos aik desta matriz podem assumir

valores +1 se o braço k sai do nó i; –1 se o braço k entra no nó i; 0 se o braço k não é incidente

(não se conecta) com o nó i. Assim, para o grafo abaixo

1

5 4

321

5

4

3

2

a matriz que o descreve é



A=[1 1 0 0 0 0

−1 0 1 −1 0 00 0 0 1 −1 00 0 0 0 1 10 −1 −1 0 0 −1

]onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.

Considerando a matriz incidência reduzida (a matriz A sem a linha correspondente ao

nó de referência do circuito) é possível escrever a LCK matricialmente como

A⋅ j=0

e pela LTK a tensão v em cada braço da rede pode ser obtida matricialmente como

v=AT⋅e

onde e é um vetor com tensões de cada nó.

Para concluir o equacionamento das tensões dos nós de uma rede será definido um

braço genérico contendo uma resistência e um modelo Thévenin ou Norton conforme

apresentado na figura abaixo. Para a continuidade da análise é imprescindível que haja ao

menos uma resistência no ramo, mas se isto não ocorrer, o circuito original pode sr

modificando utilizando-se explosão de fontes, por exemplo.

A corrente no ramo genérico que está sendo definido nesta secção pode ser

equacionado como



j k= j sk – G k⋅vskG k⋅v k

onde o índice k denota o k-ésimo ramo da rede.

A mesma equação pode ser reescrita matricialmente para todos os ramos, assim a

equação acima pode ser reescrita como

j=G⋅v j s – G⋅vs

Se ambos os lados da equação forem multiplicados por A a esquerda então

A⋅ j=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs

0=A⋅G⋅vA⋅j s – A⋅G⋅vs

e substituindo v por AT⋅e obtemos

0=A⋅G⋅AT⋅eA⋅ j s – A⋅G⋅v s , ou

A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s

Exemplo: No circuito da figura abaixo foram numerados os nós e os braços sendo

arbitrado um sentido para cada ramo. Os ramos foram escolhidos de tal forma que pudessem

ser equacionados de acordo com o modelo acima. As fontes não são deixadas em ramos

isolados.

A LCK pode ser escrita como



A⋅ j=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[

j 1

j 2

j 3

j 4

j 5

]=[000]

e as tensões de braço como

v=AT⋅e=[

1 0 01 −1 00 1 00 1 −10 0 1

]⋅[e1

e2

e3]

O equacionamento das correntes em cada ramo é dado por

j=G⋅v j s−G⋅vs

[j1

j 2

j3

j 4

j5

]=[2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

]⋅[v1

v2

v3

v4

v5

][20000]−[

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

]⋅[00001]

e as tensões de nó podem ser obtidas por

A⋅G⋅AT⋅e=A⋅G⋅vs – A⋅ j s

que pode ser reescrito como

Y n⋅e=i s

onde Y n=A⋅G⋅AT e i s=A⋅G⋅v s – A⋅ j s .

Assim



Y n=[1 1 0 0 00 −1 1 1 00 0 0 −1 1]⋅[

2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 3 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

]⋅[1 0 01 −1 00 1 00 1 −10 0 1

]Y n=[

3 −1 0−1 5 −10 −1 2 ] e

i s=[−201 ]

Logo, as equações de nó, que podem ser obtidas diretamente pelas técnicas descritas

no capítulo anterior, são

[3 −1 0

−1 5 −10 −1 2 ]⋅[

e1

e2

e3]=[

−201 ] .

Portanto

e=125

⋅[−17−112 ]

Com estas informações pode-se calcular as tensões e correntes de cada ramo

v=AT⋅e=

125

⋅[−17−16−1−1312

]e

j=G⋅v j s−G⋅vs



j=1

25⋅[

16−16−3−13−13

]3.6 Grafos de rede aplicados a análise de malhas

Alternativamente é possível descrever um grafo orientado, ligado, inseparável e planar

listando todos os braços e malhas e indicando os braços que pertencem a cada malha. Isto

pode ser feito por uma matriz onde os elementos aik desta matriz podem assumir valores +1 se

o braço k pertence a malha e tem o mesmo sentido estabelecido para ela; –1 se o braço k

pertence a malha e tem sentido contrário ao estabelecido para a malha; 0 se o braço k não

pertence a malha. Assim, para o grafo acima teríamos

M =[1 −1 1 0 0 00 0 −1 −1 −1 11 −1 0 −1 −1 1]

onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós.

Considerando a matriz M reduzida (matriz m sem a inclusão da malha externa –

apenas com malhas essenciais), podemos escrever a LTK como

M⋅v=0

e pela LCK as correntes de ramo podem ser obtidas pelas correntes de malha como

j=M T⋅i

onde i corresponde ao vetor de correntes de malha.

Mais uma vez a abordagem que está sendo apresentada requer a definição de um ramo

padrão de circuito como apresentado na figura abaixo.



A tensão sobre o ramo genérico pode ser equacionado como

vk=v sk−Rk⋅ j skR k⋅ jk

onde o índice k define o k-ésimo ramo da rede.

Esta equação pode ser reescrita para todos os ramos na forma matricial como

v=Rb⋅j – Rb⋅ j sv s .

Multiplicando por M dos dois lados da equação

M⋅v=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s

0=M⋅Rb⋅ j –⋅M⋅Rb⋅ j sM⋅v s

Substituindo j por M T⋅i obtêm-se

M⋅Rb⋅M T⋅i=M⋅Rb⋅ js−vs

3.7 Exercícios

1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .



2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com

emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin

equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.

3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o

circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.

4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e

eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?

5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.



6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X

apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .

7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,

simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o

método das correntes de malha.



8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e

B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela

fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo

com uma fonte de corrente de I Amperes.

9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos

das malhas e dos nós.



3.8 Soluções

1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R3 .

Por superposição (única solução possível)

Para I1: V I1=I 1⋅GEQ

G1GEQ

⋅1

G3G4=

I 1⋅G 2⋅G3G4

G 2G3G4

G1G 2⋅G3G4

G2G3G 4

⋅1

G3G4



Para V1: V V1=V 1⋅REQ

R4REQ

=

V 1⋅R1R2⋅R3

R1R2R3

R4R1R2⋅R3

R1R2R3

V =V I1V V1

2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com

emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin

equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga.

a) Transformando o circuito Norton (B4-R3) em Thévenin obtemos uma fonte

V 2=I⋅R3 em série com R3. O positivo da fonte se conecta a R1 e R2. Assim, V 2=100⋅i1 .

Substituindo a resistência dependente de tensão por uma fonte de tensão V ficamos

com um circuito de duas malhas. Estipulando as correntes de malha em sentido horário:

Malha da esquerda: −V 1R1⋅i1R2⋅i1−i =0 (1)

Malha da direita: R2⋅i – i1V 2R3⋅iV =0 (2)

De 1: i1=V 1+ R 2⋅i

R 1+ R 2(3)

e V 2=100⋅i1=100⋅V 1+R2⋅i

R1+R2

Substituindo 3 em 2:



R 2⋅(i –V 1+R 2⋅i

R 1+R 2 )+100⋅V 1+R 2⋅i

R 1+ R 2+R 3⋅i+V=0

V=( R 22

R1+R 2−

100⋅R 2R 1+R 2

−R 2−R 3)⋅i+( R 2⋅V 1

R1+R 2–100⋅

V 1

R 1+R 2)=−RTH⋅i+V TH

RTH=2,99Ω , V TH=−9,9V

b) O somatório de tensões no circuito equivalente Thévenin em série com a resistência

dependente de corrente é dado por

−V TH+i⋅RTH +26⋅i+10⋅i3=0 .

Determinar a corrente do circuito, 10⋅i3+26⋅i+RTH⋅i – V TH=0

ireal=−0,32919 A (as outras soluções são complexas)

e V=26⋅i+10⋅i3=−8,9157V

3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o

circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal.



Equacionando as 4 incógnitas ( V X , V DOWN , V UP e V O ) pelo método das tensões de

nós, bastaria resolver o sistema de equações abaixo.

V X

R2

V X−V DOWN

R1=0

V 2 – V DOWN

R3

V 2−V 1

R=0

V 1−V 2

R

V 1−V UP

R3=0

V X – V UP

R1

V X −V O

R2=0

4) Determine a tensão V sobre o resistor R2 para as seguintes situações: a) iS=4 A e

eS=10V e b) iS=10 A e eS=−10V . É possível resolver este problema por superposição?

Transformando o circuito Thévenin em Norton obtemos uma fonte de corrente

I ES=esR1

em paralelo com o resistor R1. O sentido da corrente I ES é para baixo.

a) iS=4A para cima e I ES=5A para baixo. O diodo estará cortado pois as correntes

por R1 e R2 só poderiam circular de baixo para cima. Logo, o diodo é uma chave aberta e

V =0V . Não é possível resolver por superposição, pois neste caso o diodo conduziria para iS

b) iS=10A para cima e I ES=5A para cima. O diodo estará conduzindo pois as

correntes por R1 e R2 circulam de cima para baixo. Logo, o diodo é uma chave fechada e a

corrente se divide entre as resistências.



V =iR2⋅R2 , iR2=iTOT

G1G2⋅G2=

150,50,5

⋅0,5=7,5 A , V =15V

5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo.

Simplificando o circuito:

a) R4 pode ser retirado pois está em paralelo com V1; b) R1 e R2 estão em paralelo;

c)R5 pode ser retirado pois está em série com I2; d) I2 e I3 ficam em paralelo e podem ser

associados; e) I4 está em curto e pode ser retirado.

Para calcular o equivalente Thévenin podemos colocar uma fonte de corrente I

(sentido para cima) entre os terminais A e B. Equacionando as tensões de nós:



Nó A: −IV A

R8I 23I V3=0

−IV A

R8I 23 I 5

V A−V 3

R12 =0

V A=R8⋅R12

R8R12⋅i

R8⋅R12R8R12

⋅ V 3

R12– I 23−I 5=RTH⋅iV TH

RTH=R8⋅R12R8R12

, V TH=R8⋅R12R8R12

⋅ V 3

R12– I 23−I 5

6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X

apresenta uma característica v x=10⋅i x5 .

O braço X corresponde a uma fonte de tensão de 5V em série com uma resistência de

10 ou uma fonte de corrente de 0,5A em paralelo com uma resistência de 10. R4 e R3

estão em série e podem ser associados. R6 e R5 estão em série e podem ser associados.

Equacionando por tensões de nós:



Nó B1: −I B1−I B2V B1V 2−−V R2

R34=0

Nó R2x: −I X −V R2

R2x

−V R2−V B1V 2

R34=0

Sabendo que I B1=0,5⋅V R2 , I B2=3⋅I R3 e I R3=V B1V 2−−V R2

R34

PB1=−V B1⋅I B1=−V B1⋅0,5⋅V R2

PB2=−V B2⋅I B2=V B1−2⋅I R3R56⋅3⋅I R3⋅3⋅I R3

7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R6. Para tanto,

simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o

método das correntes de malha.

A fonte B1 pode ser explodida sobre V1, R2, R3 e R5 (explosões menores sobre R6 ou

R4 podem ser realizadas mas é necessário mais atenção para não errar as reais correntes sobre

estes resistores). Após a explosão é possível converter todos os modelos Norton em Thévenin.

Assim, a fonte B1 e a resistência R1 em paralelo com V1 são simplificadas. B1 em paralelo

com I1 podem ser somadas. O circuito final pode ser visto abaixo.



Equacionando por malhas e considerando as correntes em sentido horário:

Malha da esquerda: −B1⋅R5ib⋅R5R4ib−i2 ⋅R3 I 1⋅R3 – B1⋅R3=0

Malha da direita: − I 1⋅R3 – B1⋅R3i2−ib⋅R3i2⋅R2B1⋅R2 – V 1i2⋅R6=0

PR6=R6⋅∣i2∣2

8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e

B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela

fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo

com uma fonte de corrente de I Amperes.

Aplicando uma fonte de tensão entre A e B. Positivo para cima. Correntes de malha

em sentido anti-horário.

Malha da esquerda: i1⋅R3R4– i2⋅R4V H1 – V S=0

Malha da direita: −V 1i2⋅R4R5– i 1⋅R4=0



Sabendo que V H1=2⋅iX , iX =i 2−i1 e V 1=RTH⋅i 2V TH , basta resolver o sistema de

equações.

Aplicando uma fonte de corrente entre A e B. Corrente de baixo para cima.

−i 2V R4

R4

V R4−V H1−V S

R3=0

e V H1=2⋅i X =2⋅V R4

R4

V 1=R5⋅i2V R4=RTH⋅i2V TH

9) Escreva os sistemas de equações que resolvem os problemas abaixo pelos métodos

das malhas e dos nós.



Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos ...3.3.2 Teorema de Thévenin-Norton...

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