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Universidade Federal FluminenseMétodos Matemáticos I

Equação do CalorEngenharia Mecânica

Jaguarê Smith Gonzaga Filho1UFF, Niterói – RJ, Brasil. [email protected]

RESUMO

O estudo dos Métodos Matemáticos tem como objetivo fornecer um conjunto de

ferramentas essenciais à compreensão e aplicação dos conteúdos fornecidos nas ciências

exatas. Os métodos matemáticos em si só representam uma base no raciocínio analítico e na

compreensão das aplicações tecnológicas na vida de um engenheiro. Para tal, devem-se

fortalecer os alicerces do domínio teórico por detrás dos métodos para a recriação de soluções

e inovação na resolução de novos problemas.

O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado

matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos

físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O

estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental

em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas

cilíndricas oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.

Palavras-chave: Calor, Bessel, Laplaciano, Cilindro.

INTRODUÇÃO

Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas,

matemáticos debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas.

D’Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e

aproximaram do que é hoje conhecido como Série de Fourier.

Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho

a Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu

trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema.

Em 1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez

resolveu não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu

mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.

1


Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos

problemas surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos

conjuntos foram algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria

de Fourier.

APLICAÇÃO

Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais

conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não

possua fontes de calor, e é escrita:

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos

campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por

antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento

browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais

geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de

difusão química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios.

É aplicada em matemática financeira por esta razão.

É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada

por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por

Grigori Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.

O OPERADOR LAPLACIANO

Em Matemática e Física, o operador de Laplace ou Laplaciano é um operador

diferencial de segunda ordem. Denotado por ∆ ou∇2, o operador Laplaciano, nome dado em

homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas

parciais que modelam problemas físicos.

∇2= ∂2

∂ x2 + ∂2

∂ y2 + ∂2

∂ z2

2


LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por

∆=∇2= ∂2

∂ x2 + ∂2

∂ y2

Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar

em coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De

acordo com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a

obtenção da solução.

As coordenadas polares são dadas por

{x=r cos (θ)y=r sen (θ)

Ou ainda

{ r=√ x2+ y2

θ=arctg( yx )

Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-

se u utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter

ux=ur r x+uθθx

Derivando-se novamente

uxx=(u¿¿ r )x rx+ur r xx+(u¿¿θ)x θx+uθ θxx ¿¿

Utilizando novamente a regra da cadeia

uxx=(u¿¿ rr r x+u rθθx)rx+ur r xx+(u¿¿θr r x+uθθ θx)θx+uθθxx ¿¿

Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz

urθ=uθr

Logo, podemos escrever uxx como

uxx=urr (r x )2+2urθr x θx+uθθ (θx )2+ur r xx+uθθxx

Analogamente se obtém uyy como

uyy=urr (r y )2+2urθ r y θ y+uθθ (θ y )2+ur r yy+uθ θyy

Segundo a definição do Laplaciano

∆ u=uxx+uyy=¿( (r x )2+ (r y )2 )urr+2 (r x θx+r y θy ) urθ+((θ y )2+(θy )2 )uθθ+(r xx+r yy )ur+(θxx+θyy ) uθ

Agora basta resolver as derivadas

3


(r x )2+ (r y )2=( x√x2+ y2 )

2

+( y√ x2+ y2 )

2

=1

r x θx+r y θ y=x

√ x2+ y2 ( − yx2+ y2 )+ y

√x2+ y2 ( xx2+ y2 )=0

(θ y )2+ (θy )2=( − yx2+ y2 )

2

+( xx2+ y2 )

2

= 1r2

r xx+r yy=x2+ y2

( x2+ y2 )32

=1r

θxx+θyy=2 xy−2 xy( x2+ y2 )2

=0

Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a

∆ u=∇2u=urr+1r

ur+1r2 uθθ

LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas

para as cilíndricas é dada por

{x=r cos (θ)y=r sen (θ)

z=z

Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer

transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas

fica como

∆ u=∇2u=urr+1r

ur+1r2 uθθ+uzz

4


FUNÇÕES DE BESSEL

Equação diferencial de Bessel

As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial

x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 n≥0 (1)

chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por

y=c1 J n ( x )+c2 Y n (x ) (2)

A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de

Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-

limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n,

ou função de Neumann.

Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação

resultante é

x2 y ' '+ x y '+ ( λ2 x2−n2 ) y=0 (3)

com solução geral

y=c1 J n ( λx )+c2Y n ( λx ) (4)

A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace

expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).

O Método de Frobenius

Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais

como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma

y= ∑k=−∞

∞

ck xk+β (5)

Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que

se supõe diferente de zero.

5


Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β

(constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para

determinar as constantes ck.

Funções de Bessel de primeira espécie

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como

Jn ( x )= xn

2n Г (n+1) {1− x2

2(2 n+2)+ x4

2 × 4(2n+2)(2n+4 )−…} (6)

Ou

Jn ( x )=∑r=0

∞ (−1)r( x2 )

n+2 r

r ! Г (n+r+1)(7)

onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se

torna

J0 ( x )=1− x2

22 + x4

22 42 −… (8)

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar,

Jn(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J -n(x) n>0,

substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que

J−n ( x )=(−1)n J n ( x ) (9)

Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução

geral de (1) é

y=A J n( x)+B J−n(x) n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)

Funções de Bessel de segunda espécie

Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como

Y n ( x )=¿ J n ( x ) cosnπ−J−n(x )sennπ

n ≠0,1,2,3,... (11)

6


limp→ n

J p ( x )cos pπ−J− p(x )sen pπ

n =0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

Y n ( x )= 2π {ln( x

2 )+γ}J n (x )−1π ∑

k=0

n−1 (n−k−1 )!( x2 )

2k −n

k !−

1π ∑

k=0

∞

(−1 ) k {ϕ (k )+ϕ (n+k ) }( x

2 )2k−n

k ! ( n+k ) !(12)

onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.

ϕ ( p )=1+ 12+ 1

3+…+ 1

p ϕ (0 )=0 (13)

Função Geratriz de Jn(x)

A função

eπ2 (τ −1

t )= ∑n=−∞

∞

J n ( x ) tn (12)

é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande

utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n –

propriedades que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de Recorrência

Os resultados abaixo valem para todo n:

Jn+1 ( x )=2nπ

Jn ( x )−J n−1 ( x )

J 'n ( x )=12 [J n−1 ( x )−J n+1 (x ) ]

x J ' n ( x )=n Jn ( x )−x J n+1 (x )

x J ' n ( x )=x J n−1 ( x )−n Jn ( x )

ddx [ xn J n ( x ) ]=xn J n−1 ( x )

ddx [ x−n J n(x)]=−x−n J n+1(x)

7


Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz.

Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo

Jn(x).

Funções relacionadas com as funções de Bessel

As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por

H n1 ( x )=J n (x )+i Y n ( x )

(15)H n

2 ( x )=J n (x )−iY n ( x )

Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira

espécie de ordem n como

I n ( x )=i−n Jn (ix )+e−n π i

2 Jn (ix ) (16)

Se n é inteiro,

I−n (x )=I n ( x ) (17)

mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.

A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como

Kn ( x )=¿

π2 [ I−n ( x )−I n ( x )

sennπ ] n ≠0,1,2,3,...

(18)limp →n

π

2 [ I−p ( x )−I p ( x )sen pπ ] n =0,1,2,3,...

Essas funções verificam a equação diferencial

x2 y ' '+ x y '+ ( x2−n2 ) y=0 (19)

e a solução geral desta equação é

y=c1 I n ( x )+c2 K n ( x ) (20)

8


ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,

y=A I n ( x )+B I−n ( x ) (21)

Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes

real e imaginária de Jn(i32 x ), onde

i32=e

3 πi4 =√2

2(−1+i ) , i . e ,

(22)Jn(i¿¿

32

x)=Bern(x )+ i Bein(x )¿

As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de

e−nπi

2 Kn(i

12 x ), onde i

12=e

πi4 =√2

2(−1+i ) , i .e ,

e−nπi

2 Kn(i

12 x )=Kern(x )+ i Kein( x) (23)

Essas funções são úteis em relação à equação

x2 y ' '+ x y '+ (ix2−n2) y=0 (24)

que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta

equação é

y=c1 J n( i

32 x)+c2 K n

(i12 x ) (25)

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x),

Ker(x), Kei (x), respectivamente.

Equações transformáveis na equação de Bessel

A equação:

x2 y ' '+(2 k+1)x y '+( α2 x2r−β2 ) y=0 (26)

9


onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral

y=x−k [ c1 J k /r ( α xr /r )+c2Y k / r (α xr /r ) ] (27)

onde k=√k2−β2. Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como solução

y=x−k [ c3 xk+c4 x−k ] (28)

Fórmulas assintóticas para funções de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:

Jn ( x ) √ 2πx

cos (x−π4−

nπ2 ) ,

(29)Y n ( x ) √ 2

πxsen(x− π

4−

nπ2 ) ,

Zeros das funções de Bessel

Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A

diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de valor.

Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de Jn(x)

= 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações

análogas valem para Yn(x).

Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie

Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que

∫0

1

x J n ( λx ) J n (μx ) dx=μ J n ( λ ) J ' n ( μ )−λJn ( μ ) J ' n ( λ )

λ2−μ2 (30)

enquanto que

∫0

1

x J n2 ( λx ) dx=1

2 [J ' n2 ( λ )+(1−n2

λ2 )J n2 ( λ )] (31)

De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação

10


R J n (x )+Sx J 'n ( x )=0 (32)

onde R e S são constantes, então

∫0

1

x J n ( λx ) J n (μx ) dx=0 (33)

o que equivale afirmar que as funções √ x Jn ( λx )e √ x Jn ( μx ) são ortogonais em (0,1). Notes-se

como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0.

Pode-se dizer também que as funções Jn ( λx )e Jn ( μx ) são ortogonais em relação à função

densidade (função peso) x.

Séries de funções de Bessel de primeira espécie

Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são

seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1

existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma

f ( x )=A1 Jn ( λ1 x )+A2 J n ( λ2 x )+…=∑p=1

∞

Ap Jn ( λp x ) (34)

onde λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e

Ap=2 λp

2

(λp2 −n2+ R2

S2 )J n2(λp)

∫0

1

x Jn ( λ p x ) f ( x ) dx(35)

Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para

12 [ f ( x+0 )+ f (x−0)], expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de (34).

Se S = 0, de modo que λ1,λ2,λ3,λ4,λ5, ... são as raízes de Jn(x) = 0,

Ap=2

Jn+12 (λp)

∫0

1

x J n ( λ p x ) f ( x ) dx (36)

Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante

11


A1=2∫0

1

x f ( x )dx (37)

Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.

Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie

Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser

estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.

EQUAÇÃO DO CALOR

Em física, a equação do calor é um modelo matemático para a difusão de calor em

sólidos. Este modelo consiste em uma equação de derivadas parciais que muitas vezes é

também chamada de equação da difusão (térmica).

A equação do calor prediz que se um corpo a uma temperatura T é submerso em um

recipiente com água a menor temperatura, a temperatura do corpo diminuirá, e finalmente

(teoricamente depois de um tempo infinito, e sempre que não existam fontes de calor

externas) a temperatura do corpo e a da água serão iguais (estarão em equilíbrio térmico).

∇2u=α ∂ u∂t

u=u (x , y , z , t ) representa o campo de temperaturase é a funçãoincógnita

Suponha que se tenha uma função u a qual descreve a temperatura em uma

determinada posição (x, y, z). Esta função irá alterar-se com o tempo na medida em que o

calor se dissipa através do espaço. A equação do calor é usada para determinar a alteração na

função u no tempo.

A equação do calor na maioria das aplicações é definida em uma região limitada U e é

completada com condições no contorno ∂ U desta região. As três condições de contorno mais

freqüentemente estudadas são:

Condição de contorno de Dirichlet: O valor de temperatura é dado na fronteira.

u ( x , t )=g ( x , t ) ,∀ x∈∂ U parauma função g dada .

Condição de contorno de Neumann: A taxa de condução de calor é dada na fronteira (a derivada normal é dada).

12


∂∂ υ

u ( x , t )=g ( x , t ) ,∀ x∈∂ U para uma função g dada .

Condição de contorno mista: A taxa de calor conduzido através da fronteira é proporcional à diferença de temperatura na fronteira com relação a temperatura dada.

α (x , t ) ∂∂υ

u ( x ,t )−β ( x , t )u ( x ,t )=g ( x ,t ) ,∀ x∈∂ U para funções α , β eg dada

PROBLEMA PROPOSTO

Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno a e raio externo b,é feito com

material condutor com difusividade α . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à

temperatura de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é f (r ) (sendo r o raio).

Determine a temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário t .

A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever

a temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função

u(r , θ , z ; t )

Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do

calor, o que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo

entre os raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto a≤ r ≤b.

SOLUÇÃO

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Denotemos por f (r ) a função que determina a temperatura inicial de um ponto

qualquer no instante inicial t=0 dentro de a≤ r ≤b. Pela simetria do problema, observa-se que

a temperatura jamais varia com as variáveis z ou θ.

Utilizando a equação do Calor

∇2u−α ∂ u∂t

=0

Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias

u=u (r ,t )

∂u∂ t

=α (1r

∂∂ r (r ∂u

∂ r )) (1 )

Onde as condições de contorno são

u (a , t )=0 °C

u (b , t )=100℃u (r ,0 )=f (r )

|u (r , t )|< M

Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante

arbitrário pode ser escrita como uma combinação de

u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )

Onde u0 (r , t ) é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do

cilindro são 0° C, e u100 (r ) é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100°

C e independe do tempo t.

Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para u0 (r , t ) homogênea associada.

Pela separação de variáveis

Façamos u=R (r )T ( t )=RT , em (1)

∂ RT∂t

=α ( ∂2 RT∂r 2 +1

r∂ RT∂ r )

R T '=α(T R' '+ 1r

T R' )(÷ αRT )

T }} over {αT} = {{R} ^ {''}} over {R} + {1} over {r} {{R} ^ {'}} over {R} = - {λ} ^ {2 ¿¿

Então

T '

αT=−λ2⇒T '+α λ2 T=0 (2 )

R ' '

R+ 1

rR'

R=−λ2

14


R' '+ R'

r+R λ2=0 (3 )

Que resultam em

T=c1 e−αt λ2

, R=A1 J 0 ( λr )+B1Y 0 ( λr )

Como u=RT ,temos

u (r , t )=∑λ

e−αt λ2

[a1 J 0 ( λr )+b1 Y 0 ( λr ) ] ( 4 )

Aplicando-se as condições de contorno para u0 (r , t ) em que u (a , t )=0 eu (b , t )=0,

obtem-se

a1J 0 ( λa )+b1 Y 0 ( λa )=0 ,a1 J0 ( λb )+b1Y 0 ( λb )=0 (5 )

Estas equações nos levam à

Y 0 ( λa ) J 0 ( λb )−J0 ( λa ) Y 0 ( λb )=0 (6 )

De (5) b1=−a1 J 0 ( λa )

Y 0 ( λa )

Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:

u (r , t )=∑λ

C e−αt λ 2

[Y 0 ( λa ) J 0 ( λr )−J0 ( λa ) Y 0 ( λr ) ]

λ=λm

u (r , t )=∑m=1

∞

Cm e−α tλm2

u0 ( λm r ) (7 )

e

u0 ( λmr )=Y 0 ( λm a ) J 0 ( λm r )−J 0 ( λm a ) Y 0 ( λm r )

Do fato, de que u (r , 0 )= f (r ) e utilizando a eq. (7):

f (r )=∑m=1

∞

Cmu0 ( λm r )

Cm=∫

a

b

rf (r ) u0 ( λm r ) dr

∫a

b

r [ u0 ( λm r ) ]2 dr

Logo, a solução é

u (r , t )=∑m=1

∞ (∫ab


∫a

b

r [u0 ( λm r ) ]2dr )e−α tλm2

u0 ( λmr )

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Quanto à solução particular u100 (r ), tem-se a equação

0=α (1r

∂∂ r (r ∂u

∂ r ))Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois

as derivadas são apenas com respeito a r. Com isso

ddr (r du

dr )=0

r dudr

=c1

∫ du=∫c1drr

u=c1 ln (|r|)+K=¿

Como r ≥ 0, tem-se como solução

u100 (r )=c1 ln (c2r )

Aplicando-se as condições de contorno para u100 (r ) em que u (a )=0 °C e u (b )=100° C

u100 ( a )=0=c1 ln (c2a )

Ou que

c2 a=1∴ c2=1a

E a segunda condição

u100 (b )=100=c1 ln( ba )

Portanto

c1=100

ln( ba )

Com as constantes determinadas, pode-se escrever

u100 (r )= 100

ln ( ba )

ln( ra )

Para escrever a solução final basta lembrar que

u (r , t )=u0 (r ,t )+u100(r )

Ou seja, a solução final do problema proposto é

16


u (r , t )= 100

ln( ba )

ln( ra )+∑

m=1

∞ (∫ab


∫a

b

r [u0 ( λm r ) ]2 dr )e−α tλm2

u0 ( λm r )

É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco

com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para qualquer

instante de tempo t ≥ 0. O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a

distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja

limt → ∞

u (r , t )=¿u100(r )¿

Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando

dessa forma a irreversibilidade desse processo.

Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no

problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o

gráfico foi traçado com raios interno a=2 e externo b=5 e o eixo z significa u100 (r ).

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CONCLUSÃO

Conforme analisado nesta obra, a equação do calor é de suma importância para a

Física e a Engenharia. Visto que é ferramenta para solucionar inúmeros problemas.Neste

artigo foi exposta a teoria que embasa,a referida equação,como também um exemplo prático.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na

realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos

conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.

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REFERÊNCIAS

1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do

Brasil Ltda,1976

2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear,

Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley

& Sons Inc., 1982.

4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.

5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010

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