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Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1
7.0 Representação Matricial de Redes
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b rE N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3
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1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
7. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, Zbarra);
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
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Equivalência entre Fontes de Tensão e Corrente
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
3
As fontes de tensão e corrente são equivalentes
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Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
4
Equações Nodais da Rede quando Modelada por Admitância:
Figura 2.2: Sistema exemplo, onde E3 representa um motor.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
5
Utilizando-se o modelo de cada elemento:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
6
Cada fonte de tensão em série com uma impedância foi transformada em umafonte de corrente em paralelo com uma admitância e as impedâncias das linhas foram transformadas em admitâncias.
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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7
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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8
Equações nodais do circuito:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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9
Agrupando-se os termos das equações para as barras 1, 2 e 3 vem:
Colocando-se as equações na forma matricial:
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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10
Equações Nodais da Rede: Exemplo 7.0.1
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Generalizando
� 1ª Lei de Kirchhoff
� Reescrevendo em função de Y e V
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
11
iniiii IIIII ++++= ...210
ii
n
jjiiji VyVVyI 0
1
)( +−=∑=
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Representação Matricial de uma Rede
� Sendo:
� Desenvolvendo:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
12
( ) ( ) ( ) nini
n
jijiiii VyVyyVyVyI −++
+++−+−= ∑
=
......1
02211
ii
n
jjiiji VyVVyI 0
1
)( +−=∑=
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Representação Matricial de uma Rede
� Portanto, para um SEP com N barras, todas as tensões e correntes nodais são relacionadas pelo seguinte sistema matricial:
� Vetor I� Vetor com as injeções de corrente em cada um dos nós da rede
� Vetor V� Vetor com as tensões nodais da rede
� Matriz Ybus (Ybarra)� É a matriz admitância nodal da rede.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
13
=
NNNNN
N
N
N V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
.
[ ] [ ] [ ]VYI . BUS=
[ ] [ ] [ ]VYI . BARRA=
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Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
14
=
NNNNN
N
N
N V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
21
22221
11211
2
1
. [ ]
21
22221
11211
=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
∑=
+=n
jijiii yyY
10
ikik yY −=
� Elemento da Diagonal Principal:� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra
� Elemento Fora da Diagonal� Negativo da admitância entre barras
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� Contribuição de Elemento Série em Ybus:
� Na posição PP e QQ (diagonal)
� Na posição PQ e QP (fora da diag.)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
15
Formação da Matriz Admitância
pqpqpq VyI && =
pqpqpq IzV && =
[ ]
21
22221
11211
=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSYpqy+
pqy−
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� Contribuição de Elemento em Derivação em Ybus:
� Na posição PP (diagonal)
� Nas demais posições
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
16
Formação da Matriz Admitância
000 ppp VyI && =
000 ppp IzV && =
[ ]
21
22221
11211
=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY0py+
0
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Matriz Admitância Nodal (Ybarra, Ybus)
� A matriz Ybus em SEP:� Simétrica;
� Complexa;
� Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.);
� Esparsa (>95%);
� Diagonal principal dominante
� Elementos da diagonal principal Ykk
são o somatório das admitâncias diretamente ligadas à barra;
� Elementos fora da diagonal principal Ykj: soma das admitâncias que ligam as barras k e j (sinal contrário).
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17
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Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
18
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IZIYV . . 1 BUSBUS == −
[ ]
21
22221
11211
-1
21
22221
11211
=
=
NNNN
N
N
NNNN
N
N
ZZZ
ZZZ
ZZZ
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
K
MOMM
K
K
BUSZ
� Obs.: A obtenção direta dos elementos de Zbus não é prática, sendo a seu cálculo através da inversa de Ybus mais conveniente.
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Matriz Impedância Nodal (Zbarra, Zbus)
� A matriz Zbus em SEP:� Simétrica;
� Complexa;
� Quadrada de dimensão n, onde n é o número de barras (exceto ref.);
� Matriz cheia.
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20
Exemplo 7.0.2
Escrever as equações nodais da rede na forma matricial, ou seja, escrever I = Ybarra * V para o sistema abaixo:
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21
Escrever o diagrama unifilar de impedâncias do circuito:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
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Cálculo dos parâmetros:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
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23
Transformar todas as fontes de tensão em fontes de corrente:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
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Montagem da Ybarra:
O sistema de equações com a matriz admitância de barras:
Exemplo 7.0.2 (Solução)
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25
Interpretação Física dos Elementos de Zbarra
Seja a equação que descreve o circuito:
Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaio em circuito aberto onde:Zkk: impedância própria de circuito aberto da barra k;Zik: impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k;
Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0
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26
Interpretação Física dos Elementos de Zbarra
Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortas em todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0
A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o efeito à causa e é:
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27
Interpretação Física dos Elementos de Ybarra e Zbarra
• Se a corrente I1 (injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu:
ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.
• Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência com as demais fontes de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância do equivalente de Thèvenin:
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28
Exemplo 7.0.3
Resolva as equações nodais do Exemplo 7.0.2 para encontrar a matriz impedância de barra pela inversão da matriz admitância de barra.Calcule as tensões de barra.
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29
Invertendo-se a matriz Ybarra:
O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada:
Exemplo 7.0.3 (Solução)
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30
Exemplo 7.0.4
Um capacitor com reatância de 5 pu nas bases do sistema é conectado entre a barra 4 e a referência do circuito.
Calcular a corrente que passa pelo capacitor e a nova tensão da barra 4.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
31
Exemplo 7.0.4 (Solução)
Z44 é a impedância equivalente da rede vista da barra 4.
V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado
Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
32
Exemplo 7.0.4 (Solução)
Z44 é a impedância equivalente da rede vistada barra 4.
V4 é a tensão da barra 4 antes do capacitor ser colocado
Equivalente de Thèvenin por elemento de Zbarra
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Exercício 1 para Aluno
� Calcule a Corrente de Curto Trifásico de todas as barras do exemplo 7.0.2.� Do exemplo 7.0.3 tem-se:
� Tensão Pré-falta
� Matriz Zbus
� Lembrando que:
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33
1
13 Z
EI curto
k
&& =φ
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Sistema Matricial Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
34
=
abcN
abc
abc
NNNN
N
N
abcN
abc
abc
V
VV
YYY
YYY
YYY
I
II
&
M
&
&
K
MOMM
K
K
&
M
&
&
2
1
abc
21
22221
11211
2
1
. [ ]
=ci
bi
ai
abci
I
I
I
I&
&
&
&
[ ]
=ccij
cbij
caij
bcij
bbij
baij
acij
abij
aaij
abcij
YYY
YYY
YYY
Y[ ] [ ]∑
=
+=n
j
abcij
abci
abcii yyY
1
Prim Prim
0
[ ] Primabcik
abcik yY −=
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Formação da Matriz Ybus Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
35
A
B
C
Z’A
Z’B
Z’C
Z’AB
Z’BC
Z’AC
A
B
C
P Q
=
PQC
PQB
PQA
CCBCA
BCBBA
ACABA
PQC
PQB
PQA
I
I
I
zzz
zzz
zzz
V
V
V
&
&
&
&
&
&
.
'''
'''
'''
[ ] [ ] [ ]abcpq
abcpq
abcpq z IV .
Prim=
[ ] [ ]( )1
1PrimPrim
'''
'''
'''−
−
==CCBCA
BCBBA
ACABA
abcpq
abcpq
zzz
zzz
zzz
zy
� Elemento Série Trifásico:
[ ] [ ] [ ]abcpq
abcpq
abcpq y VI .
Prim=
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Formação da Matriz Ybus Trifásica
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
36
� Elemento em Derivação Trifásico:� Conectado em Estrela (Y):
� Conectado em Triângulo (Delta)
[ ]1
Prim
'
−
+−−−+−
−+=
BCCABCCA
BCABBCAB
ACABCAABabcpq
yyyy
yyyy
yyyy
y
[ ]
=
=−
−
−
1
1
1
Prim
C
B
A
C
B
Aabcpq
z
z
z
y
y
y
y
1−= ABAB zy
1−= BCBC zy
1−= CACA zy
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Formação da Matriz Admitância Nodal
� Montagem da Matriz Ybus� Montagem Direta
� Através do Grafo da Rede
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
37
[ ]
21
22221
11211
=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
![Page 38: UNIVERSIDADE FEDERAL J F Análise de Sistemas … · 1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência; 2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência; 3. Revisão de Circuitos](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022081401/5b7d9aaf7f8b9a73728e22be/html5/thumbnails/38.jpg)
Montagem Direta da Ybus (Ybarra)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
38
[ ]
21
22221
11211
=
NNNN
N
N
YYY
YYY
YYY
K
MOMM
K
K
BUSY
∑=
+=n
jijiii yyY
10
ikik yY −=
� Elemento da Diagonal Principal:� Somatório de todas as admitâncias conectadas à barra
� Elemento Fora da Diagonal� Negativo da admitância entre barras
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Montagem de Ybus Através do Grafo da Rede
� A matriz Ybarra pode ser obtida, também, através das matrizes de impedância primitiva e de incidência:
� Matriz de Incidência A: Obtida através de um grafo orientado das correntes.
� Matriz YPrimitiva: Formada pelos elementos da rede.
� Procedimento:� Montagem do grafo da rede adotando-se uma orientação (“aleatória”) em função do fluxo das
correntes na rede;
� Montagem da Matriz de Incidência A;
� Montagem da Matriz YPrimitiva;
� Cálculo da Matriz YBus.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
39
[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS
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Montagem do Grafo da Rede
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
40
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Matriz de Incidência A
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
41
+1 ; se a corrente no ramo j sai do vértice i
-1 ; se a corrente no ramo j entra no vértice i
0 ; se a corrente no ramo j não incide no vértice i
Matriz Incidência (nº de ramos x nº de vértices)
=jia
=jia
=jia
+−−+
−+
0
0
0
321
C
B
A
[ ]
101
110
011
+−−+
−+=A
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Matriz de Incidência A (reduzida)
� Como a matriz incidência é linearmente dependente, deve-se eliminar um vértice o de referência do sistema (vértice 1). Assim, tem-se:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
42
[ ]
101
110
011
+−−+
−+=A
[ ]
10
11
01
+−+
−=A
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Matriz YPrimitiva
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
43
C
B
A
y
y
y
00
00
00
C
B
A
CBA
[ ]
00
00
00Pr
=
C
B
A
imitiva
y
y
y
Y
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Matriz Ybus
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
44
[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva . .T =BUS
C
B
A
y
y
y
00
00
00
C
B
A
CBA
+−−+
−+
0
0
0
321
C
B
A
[ ]
10
11
01
00
00
00
110
011
+−+
−
+−+−
=
C
B
ABUS
y
y
y
Y
[ ]
+−−+
=CBB
BBABUS
yyy
yyyY
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Exercício 7.0.7
� Determine a matriz incidência e a matriz admitância nodal do sistema abaixo:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
45
A B C
D
6
4 5
1 2 3
Grafo Orientado
y6
y4 y5
y3y2y1
31
2
Ref
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Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
46
Seja um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entre alguns elementos do sistema elétrico.
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Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
47
A polaridade da tensão induzida é importante.
Onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
48
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
Passando-se para admitância vem:
A matriz Y é chamada de matriz admitância primitiva do elemento.
Expandindo-se a equação acima vem:
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
49
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
Sabendo-se que e colocando-se a equação acima em forma matricial tem-se:
Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Ybarra sem mútua.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
50
Montagem da Matriz Ybarra com Elementos Acoplados
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
51
Exemplo 7.0.5
Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
52
Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.
1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua:
2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva
Exemplo 7.0.5 (Solução)
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
53
Exemplo 7.0.5 (Solução)
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados:
Acrescentar +ym em (1,3), (2,4), (3,1) (4,2)Acrescentar –ym em (1,4), (2,3), (3,2) , (4,1).
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
54
Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.Determinar a matriz admitância de barra do circuito da figura abaixo.
Exemplo 7.0.6
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
55
Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.
Exemplo 7.0.6 (Solução)
1) Matriz de impedâncias primitiva: 2) Matriz de admitância primitiva:
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
56
Exemplo 7.0.6 (Solução)
3) Montar a matriz Ybarra sem considerar a admitância mútua (sem acoplamento):
4) Incluir o efeito das mútuas somando-se ym aos elementos da matriz referentes aos terminais igualmente marcados e subtraindo-se ym dos elementos da matriz referentes aos terminais diferentemente marcados:
Acrescentar +ym em (3,3), (1,2), (3,3), (2,1).Acrescentar –ym em (3,2), (1,3), (2,3), (3,1).
y13 = y23 = -j6,25 pu. ym = j3,75 pu.
ym = j3,75 pu.
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
57
A seguir os cálculos que comprovam a exatidão da matriz Ybarra encontrada com a utilização da regra acima:
Exemplo 7.0.6 (Solução b)
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An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
58
Em forma matricial vem:
que confere com o exercício.
Exemplo 7.0.6 (Solução b)