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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática
Prof: Lauro Cesar Galvão Cálculo Numérico Entrega: junto com a 1a parcial
DATA DE ENTREGA: dia da 1a PROVA (em sala de aula)
Atividades Práticas Supervisionadas (APS)
(EXERCÍCIOS: 10% da 1a parcial)
Conteúdo: Noções básicas sobre Erros, Zeros reais de funções reais, Resolução de
sistemas de equações lineares e Interpolação.
Imprimir esta lista FRENTE/VERSO.
Entregar os exercícios com preenchimento manual.
Escrever de forma clara e objetiva.
De preferencia, utilizar lapis ou lapiseira.
Aluno: .....PROFESSOR..... Número: ..XX.. Turma: ..XX..
Curitiba – PARANÁ
1a APS: Exercícios Cálculo Numérico
Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO
2
1 Exercícios da apostila Nos exercícios a seguir, determinar o valor de :
Exercício 1 10112 .
Resolução: 10112 0,1011 2111
10112 1110 11.
Exercício 2 11,012 .
Resolução: 11,012 0,1101 21 3,25
11,012 3,2510 3,25.
Exercício 3 403,125 .
Resolução: 403,125 0,40312
4 03 10030,20,08103,28
403,125 103,2810 103,28.
Exercício 4 0,187510 .
Resolução:
0,1875 0,375 0,75 0,5
2 2 2 2
0,3750 0,750 1,50 1,0
0,187510 0,00112.
Exercício 5 0,610 .
Resolução:
0,6 0,2 0,4 0,8 0,6
2 2 2 2 2
1,2 0,4 0,8 1,6 1,2
0,610 0,100110012.
x
10x
42
2
122
032
1
42
1 42 32
x
10x
22
2
122
132
0
42
1 2222
1
x
10x
35
5
425
035
345
1
55
2 35
255
125
2
x
2x
2x
1a APS: Exercícios Cálculo Numérico
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3
Exercício 6 13,2510 .
Resolução:
a) 1310 ? 13 e 2
13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
1310 11012.
b) 0,2510 ?
0,25 0,5
2 2
0,50 1,0
0,2510 0,012.
Logo: 13,2510 1310 0,2510 11012 0,012 1101,012.
Exercício 7 100101,10012 .
Resolução: 100101,10012 0,1001011001
1 32410,50,062537,5625
100101,10012 37,562510 37,5625.
Exercício 8 19,3867187510 .
Resolução:
a) 1910 ? 19 e 4
19 4
3 4 4
0 1
1910 1034.
b) 0,3867187510 ?
0,38671875 0,546875 0,1875 0,75
4 4 4 4
1,54687500 2,187500 0,7500 3,00
0,3867187510 0,12034.
Logo: 19,3867187510 1910 0,3867187510 1034 0,12034 103,12034.
2x
N N
10x
62
2
122
032
042
152
062
172
182
092
0
102
1 62
52 222
142
1
x
4x
N N
1a APS: Exercícios Cálculo Numérico
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4
Exercício 9 Transforme a medida 35 48 18 para minutos.
DICA: 35:48,1860 .
Resolução: 35:48,1860 0,35:48:18 3560 48
2100 48 0,3 2148,3
35:48,1860 2148,310.
35 48 18 = 2148,3 .
Exercício 10 Transforme 35,805 horas para horas, minutos e segundos.
DICA: 35,80510 .
Resolução:
a) 3510 ? 35 e 60
3510 3560.
b) 0, 80510 ?
0,805 0,3
60 60
48,300 18,0
0, 80510 0,48:1860.
Logo: 35,80510 3510 0, 80510 3560 0,48:1860 35,48:1860.
35,805 35 48 18 .
Exercício 11 11000112 .
Resolução: 11000112 0, 1100011
21 99
11000112 9910 99.
Exercício 12 11111112 .
Resolução: 11111112 0, 1111111
21 127
11111112 12710 127.
Exercício 13 10101012 .
Resolução: 10101012 0, 1010101
1 85
10101012 8510 85.
h min seg
10x min
260
60
35260
48
360
18 26060
18
h min seg min
60x
N N
h h min seg
10x
72
2
122
132
042
052
062
1
72
1 72
62 52
x
10x
72
2
122
132
142
152
162
1
72
1 72
62 52 42 32 22
x
10x
72
2
122
032
142
052
162
0
72
1 72
62 42 22
x
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5
Exercício 14 101,00112 .
Resolução: 101,00112 0, 1010011
1 5 0,125 0,0625 5 0,1875 5,1875
101,00112 5,187510 5,1875.
Exercício 15 0,01111112 .
Resolução: 0,01111112 0, 111111
0,25 0,125 0,0625 0,03125 0,015625 0,0078125 0,4921875
0,01111112 0,492187510 0,4921875.
Exercício 16 1,0100112 .
Resolução: 1,0100112 0, 10100112 2
1 1 0,25 0,03125 0,015625 1,296875
1,0100112 1,29687510 1,296875.
Nos exercícios seguintes, converter os números para a base binária, determinando o
valor da variável :
Exercício 17 3710 .
Resolução: 37 e 2
37 2
1 18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 3710 1001012
10x
32
2
122
032
142
052
062
1
72
1 32
2232
142
1
x
10x
12
2
122
132
142
152
1
62
1 12
22
132
142
152
162
172
1
x
10x
2
122
032
142
052
062
1
72
1
22
152
162
1
x
x
2x
N N
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6
Exercício 18 234510 .
Resolução: 2345 e 2
2345 2
1 1172 2
0 586 2
0 293 2
1 146 2
0 73 2
1 36 2
0 18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 234510 1001001010012
Exercício 19 Determine com 36 dígitos: 0,121710 .
Resolução:
0,1217 0,2434 0,4868 0,9736 0,9472 0,8944 0,7888 0,5776 0,1552
0,2434 0,4868 0,9736 1,9472 1,8944 1,7888 1,5776 1,1552 0,3104
0,3104 0,6208 0,2416 0,4832 0,9664 0,9328 0,8656 0,7312 0,4624
0,6208 1,2416 0,4832 0,9664 1,9328 1,8656 1,7312 1,4624 0,9248
0,9248 0,8496 0,6992 0,3984 0,7968 0,5936 0,1872 0,3744 0,7488
1,8496 1,6992 1,3984 0,7968 1,5936 1,1872 0,3744 0,7488 1,4976
0,4976 0,9952 0,9904 0,9808 0,9616 0,9232 0,8464 0,6928 0,3856
0,9952 1,9904 1,9808 1,9616 1,9232 1,8464 1,6928 1,3856 0,7712
0,121710 0,0001111100100111101110110010111111102.
2x
N N
x 2x
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7
Exercício 20 Determine com 8 dígitos: 2,4710 .
Resolução:
a) 210 ? 2 e 2
2 2 210 102.
0 1
b) 0, 4710 ?
0,47
0,94
0,88
0,76
0,52
0,04
0,08
0,16
0,32
0,94 1,88 1,76 1,52 1,04 0,08 0,16 0,32 0,64
0, 4710 0,011110002.
Logo: 2,4710 210 0, 4710 102 0,011110002 10, 011110002.
Exercício 21 Utilizando o método da bissecção, determinar um valor aproximado para ,
com erro inferior a .
Resolução: Determinar é equivalente a obter o zero positivo da função = 5.
Sabe-se que o intervalo [2,3] contém este zero e a tolerância neste caso é = . Assim,
a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão exigida é:
6,643856. Como deve ser intero, tem-se 7.
( ) ( ) ( ) ( )/2
1 2,0 2,5 3,0 0,5
2 2,0 2,25 2,5 0,25
3 2,0 2,125 2,25 0,125
4 2,125 2,1875 2,25 0,0625
5 2,1875 2,21875 2,25 0,03125
6 2,21875 2,234375 2,25 0,015625
7 2,234375 2,2421875 2,25 0,0078125
Portanto 2,24218750,0078125
x 2x
N N
5210
5 )(xf 2x210
n2log
log)log( abn
2
1023 2
log
log)log( n
2
1021
log
loglog n
2
120
log
n n n
n a x b f a f x f b b a
5
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8
Exercício 22 Um tanque de comprimento tem uma secção transversal no formato de um
semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do topo, o
volume V da água é: 𝑉 = 𝐿 ∙ [0,5 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟2 arcsen (ℎ
𝑟) − ℎ√(𝑟2 − ℎ2)]. Supondo que L10 ft,
r1 ft e V12,4 ft3, encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,01 ft.
Resolução: Para calcular a profundidade rh da água, substitui-se os valores de r, L e V na
expressão anterior para obter a equação arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 + 1,24 − 0,5𝜋 = 0 cuja
raiz é h. Assim, deve-se calcular o zero da função 𝑓(ℎ) = arcsen(ℎ) + ℎ√1 − ℎ2 +1,24 − 0,5𝜋, com precisão de 𝜀 = 10−2. Para isto, primeiramente isola-se o zero desta
função num intervalo da seguinte forma.
Pode-se construir uma tabela de valores para 𝑓(ℎ) e analisar os sinais:
h 1 0 1
𝑓(ℎ)
Como , conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de 𝑓(ℎ)
no intervalo [0,1].
Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão exigida:
6,643856
Logo são necessárias = 7 iterações.
(ba)/2
1 0 0,5 1 0,5
2 0 0,25 0,5 0,25
3 0 0,125 0,25 0,125
4 0,125 0,1875 0,25 0,0625
5 0,125 0,15625 0,1875 0,03125
6 0,15625 0,171875 0,1875 0,015625
7 0,15625 0,1640625 0,171875 0,0078125
Assim, 0,16406250,0078125 e a profundidade da água solicitada é
aproximadamente 1(0,1640625) .
L
h h
r
010 )()( ff
2log
log)log(
abn
2
101 2
log
loglog n n
n
n a h b )(af )(hf )(bf
h r h
ft
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9
Exercício 23 Encontrar o zero de com precisão , utilizando o
método do ponto fixo.
Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para ( ) e analisar os sinais:
x 3 2 1
Como , conclui-se, de acordo com o Teorema 1, que existem zeros de
no intervalo [3,2].
Procurando uma função de ponto fixo adequada pode-se fazer:
0
Procura-se agora, o extremo do intervalo I=[3,2] mais próximo do zero de 𝑓(𝑥): Para
isto, calcula-se o ponto médio do intervalo I=[3,2]: 2,5 e
2,02042. Como < , isto é 2,5 <
2,02042, então está entre 2,5 e 2, ou seja, 2 é o extremo de mais próximo de
. Desta forma, iniciando o processo recursivo pelo ponto 2, garante-se que todos
os termos da seqüência aproximadora pertencerão ao intervalo =[3,2].
Logo, utilizando a partir de 2, gera-se uma seqüência
convergente para o zero de .
0 2 2,0335524 0,0335524 > 10-6
1 2,0335524 2,0324541 0,0010983 > 10-6
2 2,0324541 2,0324895 0,0000354 > 10-6
3 2,0324895 2,0324884 0,0000011 > 10-6
4 2,0324884 2,0324884 0 < 10-6
Portanto, = 2,0324884.
Exercício 24 Encontrar a solução para a equação x = com precisão utilizando
o método de Newton-Raphson.
Resolução:
Tome 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥 e considere que o zero da função está no intervalo fechado [0,𝜋
2].
A fórmula recursiva de Newton para este caso fica: 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −cos(𝑥𝑛)−𝑥𝑛
− sen(𝑥𝑛)−1 para 𝑛 ≥ 0.
Agora deve-se escolher 𝑥0 convenientemente: Pode-se verificar que o ponto médio
ou 0,785398163398 e 0,739536133515. Pela observação 5 concluímos que
𝑥0 = 0, pois < .
n
0 0 1 1 > 10-6
1 1 0,750363868 0,249636132 > 10-6
2 0,750363868 0,7391128909 0,011250978 > 10-6
3 0,7391128909 0,7390851333 0,000027757 > 10-6
4 0,7390851333 0, 7390851332 0,0000000001 <10-6
Portanto, = 0,739085133.
)(xf 42 xe x 610
f x
)(xf
023 )()( ff
)(xf
42 xe x 442 xx exex 4 xex)(
x̂2
23 ))(( )ˆ(x
452 52 ,),( e x̂ )ˆ(x x̂ )ˆ(x ),( 52
x̂ I
0x
I
4)( xex 0x
)(xf
nnx 1nx nn xx 1
x
xcos610
xxxfxxxx cos)(0coscos
x̂4
x̂ x̂
x̂ x̂
nx 1nx nn xx 1
x
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10
Comparação entre os métodos
Nos exercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma
aproximação para o zero da função.
Exercício 25 Pelo método da Bissecção, determine uma aproximação para (1,2) da
função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que ( )/2 .
Resolução:
f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2
1 1 1,5 2 - + + 0,5
2 1 1,25 1,5 - - + 0,25
3 1,25 1,375 1,5 - - + 0,125
4 1,375 1,4375 1,5 - - + 0,0625
5 1,4375 1,46875 1,5 - + + 0,03125
6 1,4375 1,453125 1,46875 - + + 0,015625
7 1,4375 1,4453125 1,453125 - - + 0,0078125
8 1,4453125 1,44921875 1,453125 - + + 0,00390625
9 1,4453125 1,447265625 1,44921875 - - + 0,001953125
10 1,447265625 1,448242188 1,44921875 - + + 0,000976563
11 1,447265625 1,447753906 1,448242188 - + + 0,000488281
12 1,447265625 1,447509766 1,447753906 - + + 0,000244141
13 1,447265625 1,447387695 1,447509766 - - + 0,00012207
14 1,447387695 1,44744873 1,447509766 - + + 6,10352E-05
Logo, 1,44744873
x
1410 b a 1
n a x b
x
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11
Exercício 26 Pelo método do Ponto Fixo ou Aproximações Sucessivas, determine uma
aproximação para �̅�(1,2) da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação 𝜀1 = 𝜀1 = 10−4
tal que |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1 ou |𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.
Resolução:
( )
( )0 0
1( ) ( )1 em (1,2)
2( ) ( )1 em (1,2)
𝜙(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑒−𝑥2+ 𝑥 𝑥𝑛+1 = 𝜙(𝑥𝑛)
| | | ( )| Parada
0 1,5 1,465337977 0,034662023 0,01154599
1 1,465337977 1,453791987 0,01154599 0,004075472
2 1,453791987 1,449716515 0,004075472 0,001466938
3 1,449716515 1,448249577 0,001466938 0,000531683
4 1,448249577 1,447717894 0,000531683 0,000193187
5 1,447717894 1,447524708 0,000193187 7,02578E-05 |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀1
Logo, 1,447524708.
Exercício 27 Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para �̅�(1,2)
da função 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2− cos 𝑥 com aproximação tal que | ( )| ou
|𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛| < 𝜀2. Utilize 𝑥01,5.
Resolução:
( ) ( )2
( ) ( ) ( )
| | | ( )| Parada
0 1,5 1,4491235 0,0508765 0,001088623
1 1,4491235 1,447416347 0,001707153 1,32044E-06 |𝑓(𝑥𝑛+1)| < 𝜀1
Logo, 1,447416347.
f x2xe xcos
f x2xe xcos x x
x xcos2xe x '1 x
x xcos2xe x '2 x
n nx 1nx 1nx nx f 1nx
x
1 2410 f 1nx 1
f x2xe xcos 'f x x
2xe xsen
x x)('
)(
xf
xfx x
xxe
xe
x
x
sen
cos
2
2
21nx nx
n nx 1nx 1nx nx f 1nx
x
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12
Exercício 28 Resolver o sistema com arredondamento em duas casas decimais na matriz
aumentada, utilizando eliminação de Gauss.
Resolução:
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40
(2) = -( 24,50 )/( 8,70 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70
(3) = -( 52,30 )/( 8,70 ) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80
(4) = -( 21,00 )/( 8,70 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30
(2) 0,00 -17,25 -14,69 -76,08 -95,88
(3) = -( -102,03 )/( -17,25 ) 0,00 -102,03 -79,41 -54,73 -179,39
(4) = -( -88,24 )/( -17,25 ) 0,00 -88,24 -35,65 -5,05 -145,89
(3) 0,00 0,00 7,48 395,27 387,72
(4) = -( 39,49 )/( 7,48 ) 0,00 0,00 39,49 384,13 344,57
(4) 0,00 0,00 0,00 -1702,66 -1702,36
Então [ ] [ ].
Logo: .
4S
4S A x b
3106521213081021
880411523084352
74914551188524
416011390378
4321
4321
4321
4321
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
0B
)(021m
)(031m
)(041m
1B
)(132m
)(142m
2B
)(243m
3B
A x b U x c A b U c
U x c
361702661702000
723872739548700
88950876691425170
416011390378
4
43
432
4321
,,
,,,
,,,,
,,,,,
x
xx
xxx
xxxx
x T001011012011 ,,,,
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13
Exercício 29 Resolva com arredondamento em duas casas decimais na matriz
aumentada, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo.
.
Resolução:
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) = -( 3,00 )/( -84,00 ) 8,70 3,00 9,30 11,00 16,40
(2) = -( -8,80 )/( -84,00 ) 24,50 -8,80 11,50 -45,10 -49,70
(3) 52,30 -84,00 -23,50 11,40 -80,80
(4) = -( -81,00 )/( -84,00 ) 21,00 -81,00 -13,20 21,50 -106,30
(1) = -( 11,41 )/( -46,29 ) 10,57 0,00 8,46 11,41 13,51
(2) 19,02 0,00 13,96 -46,29 -41,24
(4) = -( 10,51 )/( -46,29 ) -29,43 0,00 9,46 10,51 -28,39
(1) = -( 15,26 )/( -25,11 ) 15,26 0,00 11,90 0,00 3,34
(4) -25,11 0,00 12,63 0,00 -37,75
(1) 0,00 0,00 19,58 0,00 -19,60
Então [ ] [ ].
Com o cálculo retroativo de para , obtém-se: .
4S
4S A x b
3106521213081021
880411523084352
74914551188524
416011390378
4321
4321
4321
4321
,,,,,
,,,,,
,,,,,
,,,,,
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
)(012m
)(022m
0B
)(042m
)(114m
1B
)(144m
)(211m
2B
3B
A x b U x c A b U c
U x c
3
2
1
0
B
B
B
B
60190581900
75370631201125
24412946961300219
880411523084352
3
31
431
4321
,,
,,,
,,,,
,,,,,
x
xx
xxx
xxxx
3B 0B x T001001002001 ,,,,
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14
Exercício 30 Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
{
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 10 4𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 = 5
Resolução:
A = (3 2 41 1 24 3 2
) e 𝑏 = (−1105
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
𝑚21(0)
=𝑎21
(0)
𝑎11(0) =
1
3 e 𝑚31
(0)=
𝑎31(0)
𝑎11(0) =
4
3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
𝐴(1) = (3 2 40 1/3 2/30 1/3 −10/3
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
𝑚32(1)
=𝑎32
(1)
𝑎22(1) = 1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 0
1/3 1 04/3 1 1
) e 𝑈 = (3 2 40 1/3 2/30 0 −4
)
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝐿𝑦 = 𝑏 → {
𝑦1 = −1 𝑦1
3+ 𝑦2 = 10
4𝑦1
3+ 𝑦2 + 𝑦3 = 5
𝑦 = (−1
31/3−4
)
𝑈𝑥 = 𝑦 → {
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = −1𝑥2
3+
2𝑥3
3=
31
3
−4𝑥3 = −4
𝑥 = (−21291
)
Exercício 31 Resolva o sistema linear a seguir usando a fatoração LU:
{
3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = −1,20,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = 7,8 0,3𝑥 − 0,2𝑦 + 10𝑧 = 3,5
Resolução:
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A = (3 −0,1 −0,2
0,1 7 −0,30,3 −0,2 10
) e 𝑏 = (−1,27,83,5
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0) = 0,0333 e 𝑚31 =
𝑎31(0)
𝑎11(0) = 0,1
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
A(1) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 −0,19 10,02
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
𝑚32 =𝑎32
(1)
𝑎22(1) = −0,0271
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 0
0,0333 1 00,1 −0,0271 1
) e 𝑈 = (3 −0,1 −0,20 7,0033 −0,29330 0 10,0120
)
Resolvendo o sistema L(Ux)=b, tem-se:
𝐿𝑦 = 𝑏 → {
𝑦1 = −1,2 0,0333𝑦1 + 𝑦2 = 7,8 0,1𝑦1 − 0,0271𝑦2 + 𝑦3 = 3,5
𝑦 = (−1,27,84
3,8327)
𝑈𝑥 = 𝑦 → {
3𝑥1 − 0,1𝑥2 − 0,2𝑥3 = −1,27,0033𝑥2 − 0,2933𝑥3 = 7,8410,0120𝑥3 = 3,8327
𝑥 = (−0,33661,13550,3828
)
Exercício 32 Considere a matriz.
A = (1 1 12 1 −13 2 5
)
a) Calcule a fatoração LU de A.
b) Usando a fatoração LU, calcule o determinante de A.
Resolução:
a) Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
1ª coluna
Multiplicadores:
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𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0) = 2 e 𝑚31 =
𝑎31(0)
𝑎11(0) = 3
Aplicando os multiplicadores, obtém-se a matriz A(1):
A(1) = (1 1 10 −1 −30 −1 2
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → −𝑚21 ∗ 𝐿1 + 𝐿2
𝐿3 → −𝑚31 ∗ 𝐿1 + 𝐿3
2ª coluna
Multiplicador:
𝑚32 =𝑎32
(1)
𝑎22(1) = 1
Aplicando o multiplicado, obtém-se a matriz A(2):
A(2) = (1 1 10 −1 −30 0 5
)
𝐿1 → 𝐿1 𝐿2 → 𝐿2 𝐿3 → −𝑚32 ∗ 𝐿2 + 𝐿3
Os fatores L e U são:
𝐿 = (1 0 02 1 03 1 1
) e 𝑈 = (1 1 10 −1 −30 0 5
)
b) Sabe-se que A = LU então:
det(A) = det(𝐿𝑈)
det(A) = det(𝐿) ∗ det(𝑈)
det(A) = (1 ∙ 1 ∙ 1) ∗ (1 ∙ (−1) ∙ 5)
det(𝐴) = −5
Exercício 33 Aplicando-se o método da decomposição LU a matriz:
A = (
?4
?−1
3 ?10 8
? −3 12 110 −2 −5 10
)
Obtiveram-se as matrizes:
𝐿 = (
?2
0?
??
??
30
0?
?1
0?
) e 𝑈 = (
??
−11
? 5? −2
? 0 3 −40 ? 0 10
)
Preencha os espaços pontilhados com valores adequados.
Resolução:
Iniciamos completando a matriz L com os elementos da diagonal principal, que são igual
a 1, e com os elementos acima da diagonal principal, que são nulos.
𝐿 = (
12
01
00
00
30
0?
11
01
)
Também podemos completar alguns elementos da matriz U, abaixo da diagonal principal,
que são nulos.
𝑈 = (
?0
−11
? 5? −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Com o multiplicador 𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎11:
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17
𝑚21 =𝑎21
(0)
𝑎11(0)
2 =4
𝑎11(0)
𝑎11(0)
= 2 Comparando a primeira linha das matrizes A e U, completamos a primeira linha dessas
matrizes:
A = (
24
−1−1
310
58
?0
−3−2
12−5
1110
)
𝑈 = (
20
−11
3 5? −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Com o multiplicador 𝑚31 =𝑎31
(0)
𝑎11(0), podemos calcular os elementos 𝑎31:
𝑚31 =𝑎31
(0)
𝑎11(0)
3 =𝑎31
(0)
2
𝑎31(0)
= 6 Assim, temos:
A = (
24
−1−1
310
58
60
−3−2
12−5
1110
)
Com os dados obtidos da matriz A podemos calcular o elemento 𝑎23(1)
:
𝑎23(1)
= 𝑎23(0)
− 𝑚21 ∗ 𝑎13(0)
𝑎23(1)
= 10 − 2 ∗ 3
𝑎23(1)
= 4
Assim, temos:
𝑈 = (
20
−11
3 54 −2
0 0 3 −40 0 0 10
)
Usando o processo de Gauss para triangular A, tem-se:
A(1) = (
20
−11
34
5−2
00
0−2
3−5
−410
)
Com os dados dessa matriz podemos calcular o multiplicador 𝑚42:
𝑚42 =𝑎42
(1)
𝑎22(1)
= −2
Assim, temos:
𝐿 = (
1 2
01
00
00
30
0−2
11
01
)
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18
Exercício 34 Resolva o sistema a seguir, utilizando o método de Gauss-Jacobi, com 𝑥0 = 0
e 𝜀 = 10−2 = 0,01.
Resolução:
e
Neste caso a fórmula de recorrência fica:
k
0 0 0 0 -
1 0,7 -1,6 0,6 1,6
2 0,96 -1,86 0,94 0,34
3 0,978 -1,98 0,966 0,12
4 0,9994 -1,9888 0,9984 0,0324
5 0,99792 -1,99956 0,99676 0,01076
6 1,000236 -1,998936 1,000284 0,003524
Com e 0,01, o processo convergiu com 6 iterações para:
.
xA b
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
x F x d
F
010
3
10
25
10
5
110
1
10
20
d
10
65
810
7
)( 1kx F)(kx d
10
3265
810
27
2113
3112
321
1
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
)(kx1)(kx2
)(kx3
)()(max 1
31
k
ik
ii
xx
)(0x T000
x T000284199893610002361 ,,,
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Exercício 35 Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,01.
Resolução:
k
0 0 0 0 -
1 0,7 -1,74 0,982 1,74
2 0,9498 -1,98636 1,005948 0,2498
3 0,9966772 -2,00052504 1,000822072 0,0468772
4 1,000022801 -2,000168975 1,000046132 0,003345601
.
Exercício 36 Resolva o sistema utilizando o método de Gauss-Seidel, com 𝜀 = 0,05.
Resolução:
k
0 0 0 0 -
1 1 0,75 -0,875 1
2 1,025 0,95 -0,9875 0,2
3 1,0075 0,99125 -0,999375 0,04125
.
xA b
61032
85
7210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10
3265
810
27
12
111
3
31
112
3211
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
)(kx1)(kx2
)(kx3
)()(max 1
31
k
ik
ii
xx
x T000046100016920000231 ,,,
xA b
0633
643
55
321
321
321
xxx
xxx
xxx
6
334
365
5
12
111
3
31
112
3211
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
kkk
kkk
kkk
xxx
xxx
xxx
)(kx1)(kx2
)(kx3
)()(max 1
31
k
ik
ii
xx
x T999375099125000075001 ,,,
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20
2 Exercícios diversos Exercício 37 Seja a equação )(xf x x )ln(x 0.
a) Isole o zero desta função em um intervalo [ ba, ] de extremos inteiros
consecutivos (garanta que o zero está realmente isolado no referido intervalo);
x 1 2 3 4
)(xf
)(xf x x )ln(x xxf ln)(' . Como )(' xf preserva o sinal no
intervalo [2, 3], isto é )(' xf 0, x [2 ,3], tem-se que o zero está realmente
isolado no referido intervalo ( )(xf é estritamente decrescente em [2, 3]).
O zero procurado está isolado no intervalo [ 2 , 3 ]
b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método da Bissecção e
a tolerância de 410
.
n a x b f ( a ) f ( x ) f (b ) (b a )/2
1 2 2,5 3 + + - 0,5
2 2,5 2,75 3 + - - 0,25
3 2,5 2,625 2,75 + + - 0,125
4 2,625 2,6875 2,75 + + - 0,0625
5 2,6875 2,71875 2,75 + - - 0,03125
6 2,6875 2,703125 2,71875 + + - 0,015625
7 2,703125 2,7109375 2,71875 + + - 0,0078125
8 2,7109375 2,71484375 2,71875 + + - 0,00390625
9 2,71484375 2,716796875 2,71875 + + - 0,001953125
10 2,716796875 2,717773438 2,71875 + + - 0,000976563
11 2,717773438 2,718261719 2,71875 + + - 0,000488281
12 2,718261719 2,718505859 2,71875 + - - 0,000244141
13 2,718261719 2,718383789 2,718505859 + - - 0,00012207
14 2,718261719 2,718322754 2,718383789 + - - 6,10352E-05
x 2,718322754
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21
c) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de Newton-Raphson
e a tolerância para nn xx 1 de 410
.
A fórmula de recorrência é )(1 nn xxn
n
x
x
ln
n nx )(1 nn xxn
n
x
x
ln nn xx 1
0 2,5 2,72839167 0,22839167
1 2,72839167 2,718300513 0,010091157
2 2,718300513 2,718281829 1,86844E-05
3
x 2,718281829
Exercício 38 Seja a equação )(xf 24xex , e seu zero isolado no intervalo [0,1].
a) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método do Ponto Fixo,
com ( x ) 2
2
1x
e 0x 0,5 e a tolerância para nn xx 1 de 410
.
n nx 21
2
1x
nn exx )( nn xx 1
0 0,5 0,642012708 0,142012708
1 0,642012708 0,68925717 0,047244462
2 0,68925717 0,705732791 0,016475621
3 0,705732791 0,711570497 0,005837705
4 0,711570497 0,7136505 0,002080003
5 0,7136505 0,714393084 0,000742584
6 0,714393084 0,714658381 0,000265298
7 0,714658381 0,714753186 9,48049E-05
8
x 0,714753186
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22
b) Ache um valor aproximado para o mesmo, utilizando o método de Newton-
Raphson e a tolerância para nn xx 1 de 410
.
A fórmula de recorrência é )(1 nn xx )(
nx
nx
nxe
xex
n
n
8
4 2
n nx 1nx )(
nx
nx
nxe
xex
n
n
8
4 2
nn xx 1
0 0,5 0,775901475 0,275901475
1 0,775901475 0,717521703 0,058379773
2 0,717521703 0,71481186 0,002709843
3 0,71481186 0,714805912 5,94753E-06
4
x 0,714805912
Exercício 39 Mostre que a fórmula
kkk
x
axx
2
11 para determinar a , com a > 0 é um
caso especial da iteração de Newton.
axxf 2)( xxf 2)('
))('
)((
n
nnn
xf
xfxx 1 )(
n
nnn
x
axxx
2
2
1
n
nn
x
axx
2
2
1
)(n
nnx
axx
2
11
Exercício 40 Obtenha uma fórmula semelhante a do exercício anterior para calcular n a ,
com a > 0 e utilize esta fórmula para calcular 3 8 , com 0x 1,5 (preencha a tabela até n=3).
axxf n )( 1 nnxxf )('
))('
)((
n
nnn
xf
xfxx 1 )(
11
nn
nn
nnnx
axxx
111
nn
nn
nnx
axnx
)(
])[(11 1
1
nn
nnx
axn
nx
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23
n nx )( nn xx 1
0 1,5 2,185185185
1 2,185185185 2,015250336
2 2,015250336 2,000115115
3 2,000115115 2,000000007
x 2,000000007
Exercício 41 A função )(xf 2 x xcos possui um zero real isolado no intervalo
],[4
0
I . Consideremos o processo iterativo definido por )( nn xx 1 com 2
xx
cos)(
. Seja 0x o extremo de I mais próximo de .
a) Verifique se as condições (i), (ii) do teorema 2 estão satisfeitas, isto é:
(i) e ' são contínuas em I .
De fato, 2
xx
cos)( e
2
xx
sen)(' são contínuas em I .
(ii) ,)('max 1 xk x I .
2
4
2
)sen(sen
maxx
kIx
0,36 1
b) Determine o extremo do intervalo I mais próximo de .
O ponto médio do intervalo I é 8
x̂ e
)()ˆ(8
x 0,4620
8
0,3927.
Logo, 4
0
x é o extremo do intervalo I mais próximo de .
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24
c) Efetuando arredondamentos na 4a casa decimal obtenha um valor aproximado para
.
n nx )(1 nn xx 2
cos nx
0 0,7854 0,3536
1 0,3536 0,4691
2 0,4691 0,446
3 0,446 0,4511
4 0,4511 0,45
5 0,45 0,4502
6 0,4502 0,4502
x 0,4502
d) Utilizando a fórmula 11
nnn xxk
kx , obtenha um limitante superior
para o erro cometido na 6a iteração.
5661
xxk
kx
45000450203601
36045020 ,,
,
,,
0,0001125 0,0002.
Logo 0,4502 0,0002.
Exercício 42 Utilizando o usando o método de eliminação de Gauss (forma compacta),
resolver o sistema 4S abaixo com arredondamento em duas casas decimais, na matriz
aumentada.
12234
42323
12
722
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
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25
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) 0B 2,00 2,00 1,00 1,00 7,00
(2) )(021m = -( 1,00 )/( 2,00 ) 1,00 -1,00 2,00 -1,00 1,00
(3) )(031m = -( 3,00 )/( 2,00 ) 3,00 2,00 -3,00 -2,00 4,00
(4) )(041m = -( 4,00 )/( 2,00 ) 4,00 3,00 2,00 1,00 12,00
(2) 1B 0,00 -2,00 1,50 -1,50 -2,50
(3) )(132m = -( -1,00 )/( -2,00 ) 0,00 -1,00 -4,50 -3,50 -6,50
(4) )(142m = -( -1,00 )/( -2,00 ) 0,00 -1,00 0,00 -1,00 -2,00
(3) 2B 0,00 0,00 -5,25 -2,75 -5,25
(4) )(243m = -( -0,75 )/( -5,25 ) 0,00 0,00 -0,75 -0,25 -0,75
(4) 3B 0,00 0,00 0,00 0,14 0,00
Assim, 1x 1 2x 2 3x 1 4x 0
Exercício 43 Utilizando a estratégia de pivoteamento completo (forma compacta), resolver
o sistema 4S abaixo com arredondamento em três casas decimais, na matriz aumentada.
12234
42323
12
722
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Linha Multiplicador m Matriz Aumentada
(1) )(011m = -( 2,00 )/( 4,00 ) 2,000 2,000 1,000 1,000 7,000
(2) )(021m = -( 1,00 )/( 4,00 ) 1,000 -1,000 2,000 -1,000 1,000
(3) )(031m = -( 3,00 )/( 4,00 ) 3,000 2,000 -3,000 -2,000 4,000
(4) 0B 4,000 3,000 2,000 1,000 12,000
(1) )(113m = -( 0,00 )/( -4,50 ) 0,000 0,500 0,000 0,500 1,000
(2) )(123m = -( 1,50 )/( -4,50 ) 0,000 -1,750 1,500 -1,250 -2,000
(4) 1B 0,000 -0,250 -4,500 -2,750 -5,000
(1) )(214m = -( 0,50 )/( -2,17 ) 0,000 0,500 0,000 0,500 1,000
(4) 2B 0,000 -1,833 0,000 -2,167 -3,667
(1) 3B 0,000 0,077 0,000 0,000 0,154
Assim, 1x 1,00002564 2x 2,00000000
3x 0,99971799 4x 0,00046147
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26
Exercício 44 Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de Gauss-
Jacobi, considerando )(0x (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:
5663
052
54
321
321
321
,xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 1,25 0 -1,08333333 1,25
2 1,520833333 0,716666667 -1,70833333 0,716666667
3 1,497916667 0,95 -1,96319444 0,254861111
4 1,503298611 0,991805556 -1,990625 0,041805556
5 1,499704861 0,999444444 -2,00028356 0,009658565
x [ 1,499704861 , 0,999444444 , -2,00028356 ].
Exercício 45 Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando o método de Gauss-
Seidel, considerando )(0x (0, 0, 0), 0,01 e ITMAX5:
5663
052
54
321
321
321
,xxx
xxx
xxx
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 1,25 0,5 -1,79166667 1,791666667
2 1,572916667 0,9875 -2,034375 0,4875
3 1,51171875 1,0115625 -2,00778646 0,061197917
4 1,49905599 1,001179688 -1,99972461 0,01266276
5 1,49963623 0,999799414 -1,99978468 0,001380273
x [ 1,49963623 , 0,999799414 , -1,99978468 ].
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Exercício 46 Dado o sistema abaixo:
376
26
13
321
321
321
xxx
xxkx
xxkx
a) Usando o critério de Sassenfeld, verifique para que valores positivos de k se
tem garantia de que o método de Gauss-Seidel vai gerar uma seqüência
convergente para a solução do sistema.
].[1
131211
1 aaa
]13.[1
k1
4
44
k k >4
].[1
2312122
2 aaa
]14
.[6
1
kk 1
6
5
].[1
23213133
3 aaa
]6
56
41.[
7
1
k1]5
4[
7
1
k k >2
Logo o critério de Sassenfeld é satisfeito para valores de k >4.
b) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k (dentre aqueles encontrados no
item a) e faça três iterações do método de Gauss-Seidel para o sistema obtido.
Assim, usando k 5
k )(kx1 )(kx2
)(kx3 )()(max 1
31
k
ik
ii
xx
0 0 0 0 -
1 0,2 0,166666667 0,257142857 0,257142857
2 0,048571429 0,25 0,207346939 0,151428571
3 0,008530612 0,291666667 0,17735277 0,041666667
x [ 0,008530612 ; 0,291666667 ; 0,17735277 ].