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MATEMÁTICA

2

Curso Colegial Moderno

Luiz Mauro RochaRuy Madsen Barbosa

Scipione Di Pierro Neto

Luiz Mauro RochaRuy Madsen Barbosa

Scipione Di Pierro Neto

MATEMÁTICACurso Colegial Moderno

volume 2

APRESENTAÇÃO

Neste segundo volume do nosso curso, damos prosseguimento ao plano didátido de acordo com as modernas técnicas e tendencias observadas em países e autorres pioneiros na renovação no ensino da matemática.

Inicialmente é apresentado um estudo bastante completo de sequências, incluindo as porgressoes e noções sobre séries numericas, com o emprego do símbolo somatório e do princípio de indução matemática.

O estudo das matrizes no curso secundário constitui novidade nos nossos programas, sendo no entanto justificável a sua introdução, em nível elementar dada as suas amplas aplicações, principalmente nos sistemas lineares.

Na parte de geometria, introduzimos as primeiras nições de transformações goemétricas e na parte métrica, usamos o princípio de Cavalieri.

No terceiro volume, completaremos o curso com os capítulos sobre combinatória, Binômio de Newton, estruturas, numeros reais e complexos, polinômios e equações ALgébricas, noçõpes de caulculo infitesimal e geometria Analítica.

Esperamos dos estudantes e professores a mesma acolhida que dedicaram ao 1º volume.

As crítica favoráveis ou contrárias, nos serão igualmente valiosas para futura orientação.

São Paulo, janeiro de 1968.

Os autores

ÍNDICEPRIMEIRA PARTE Capítulo I: Sequências e Séries

O conceito de sequência......................................................................8Operações com sequências.................................................................12Convergência de sequências...............................................................13 O conceito de série..............................................................................21 Somatórios..........................................................................................22O método de indução completa.............................................................28

Capítulo II: Progressões AritméticasDefinição de P.A..................................................................................44Termo geral........................................................................................45Produto dos termos.............................................................................48

Capítulo II: Progressões GeométricasDefinição de P.G.................................................................................61Termo geral .......................................................................................62Produto dos termos.............................................................................63Séries geométricas.............................................................................66

SEGUNDA PARTE Capítulo IV: Logaritmos Decimais

A função do logaritimo decimal............................................................90Característica e mantissa.....................................................................91Uso das tábuas...................................................................................93Anti-logaritmo.....................................................................................95

TERCEIRA PARTE Capítulo V: Matrizes

Elementos das matrizes.....................................................................105Igualdade de matrizes.......................................................................106Matriz diagonal − escalar −transposta...............................................108Operações com matrizes ..................................................................109Adição de matrizes............................................................................112Multiplicação de matrizes..................................................................116

Capítulo VI: Sistemas LinearesSistemas lineares 2x2 ......................................................................131Determinantes .................................................................................136Sistemas lineares nxn - por determinantes..........................................145Inversão de matrizes ........................................................................147Sistemas lineares - por triangulação ..................................................150

Capítulo VII: Sistemas não linearesSistemas do 2º grau .........................................................................159Elipse e hipérbole .............................................................................168Sistemas com exponenciais e logarítmicas .........................................176

QUARTA PARTE Capítulo VIII: Geometria

Segmentos orientados - Vetores ........................................................193Transformações geométricas ............................................................197Simetria ..........................................................................................198Rotação ..........................................................................................200Homotetia .......................................................................................201Produto escalar de vetores ...............................................................209

Capítulo IX: SuperfíciesSuperfícies cilíndricas ......................................................................213Superfícies cônicas ..........................................................................214Superfícies de rotação ......................................................................215

Capítulo X: Prismas e PirâmidesPrismas ..........................................................................................224Paralelepípedos ...............................................................................226Pirâmides ........................................................................................229Tetraedro regular .............................................................................232Troncos de pirâmides.........................................................................233Volumes ..........................................................................................242O princípio de Cavalieri .....................................................................247Volume do tronco de pirâmide ...........................................................251

PRIMEIRA PARTE

SEQUÊNCIAS E SÉRIESPROGRESSÕES ARITIMÉTICASPROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

CAPÍTULO ISEQUÊNCIAS E SÉRIES

•Oconceitodesequência •SérieseSomatórios •OmétododeInduçãoCompleta

8Matemática − Curso Colegial Moderno − II

Scipione − Luiz Mauro −Ruy Madsen

A. Introdução de Sequências.

1.ConceitodeSequências

O aluno aprendeu na série anterior o conceito de função; assim, lembra-se que uma função é um conjunto de pares ordenados, tais que ao primeiro elemento do par associa ou põe em correspondência o segundo elemento, e somente esse elemento. Estudou também que o domínio da função é o conjunto dos primeiros elementos dos pares, e contradomínio da função é o conjunto dos segundos elementos.

Recordando, dados os conjuntos:A= {1, 0, -1}B= {2, 1 ½, 1, ½}

a função ou aplicação f de A em B, que associa aos valores x ∈ A o valor (x² + ½ ) B, possui por domínio o próprio conjunto A e por contradomínio o conjunto C = {1 ½ , ½}, e indicaríamos:

f: A Bx x² + ½

ou dada pory = x² + ½

Dentre as funções , um tipo merece especial atenção pelas suas grandes aplicações, São aquelas em que o domínio é o próprio conjunto dos naturais* e o contradomínio é contido no conjunto dos números reais, às vezes num conjunto mais amplo, o dos complexos estudaremos mais tarde.

Uma função nessas condições é Sequência ou Sucessão.

* Neste capítulo, quando nos referimos aos naturais, em geral trata-se do conjunto ℕ* (sem o zero).

Exemplos:Ex.1: A função que associa aos números naturais os seus dobros

1 2 3 4 5 .......... 2 4 6 8 10

é sequência bastante conhecida, a sequência dos números pares (excluindo o zero).

Ex.2: A função que associa aos números naturais os seus dobros menos uma unidade

1 2 3 4 5 6 .......... 1 3 5 7 9 11 ..........

é também usual, é a sequência dos ímpares.

2.Definição

Uma sequencia real é uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais e cujo contradomínio é o contido no conjunto dos reais.

Os valores do contradomínio dão em geral indicados por uma letra com índices numéricos indicativos dos números naturais a que correspondem. Dessa maneira, o correspondente do natural 1 poderá ser a1, o do natural 2 poderá ser a2 ; e, de uma maneira geral, o correspondente do natural n será indicado por an, ou com outra letra qualquer, afetada do índice n. O contradomínio será então o conjunto:

{a1, a2, a3, . . . . . .an, . . . }

Costuma-se dizer qua a sequencia é o próprio contradomínio, mas os seus elementeos sevem ser considerados a ordem da correspondência.Indicamos com:

<an> = ( a1, a2, a3, . . . . . .an, . . . )

Observação:As vezes usa-se no domínio também o zero, e nesse caso o primeiro termo da sequência será a0.

3.FormasdesedarumaSequência Da definição, resulta que uma sequencia é um conjunto ordenado, pois sabemos qual é o primeiro, o segundo etc, por isso quando fornecemos valores de uma sequencia (do contradomínio) devemos dispô-los na ordem dessa correspondência.Três são as formas de se dar uma sequência, dizemos Formas de Definir uma Sequência.

FORMA I – PELA LISTAGEM Dispondo alguns elementos na ordem da correspondência, desde que a regra de formação seja evidente. A essa ordem, denominamos ordem natural de sequência. É o caso da sequência:

2, 4, 6, 8, . . . . .em que só com esses elementos é evidente a lei de formação, e conseguiríamos continuá-la. Essa forma não é rigorosa.

FORMA II – PELO TERMO GERAL Dar uma fórmula que para qualquer valor natural n forneça o correspondente, essa formula é denominada expressão do termogera, da sequencia, ou expressão do enésimo termo. É o caso, por exemplo, da sequência <an>, com an=3n, onde fazendo: n = 1 obtemos a1 = 3.1 = 3 n = 2 obtemos a2 = 3.2 = 6, etc.Isto é: <an> = <3n> = (3, 6, 9, 12, . . . ) FORMA III – FORMA INDUTIVA Indicando o primeiro elemento e um método (ou fórmula) para se obter qualquer termo conhecendo-se o anterior. Para esta forma é necessário: a) O valor de a

1;

b) Uma relação de recorrência, que possibilite determinar-se qualquer termo recorrendo-se ao anterior (ou as vezes dois ou mais anteriores).

Exemplos:Ex 1.

a) a1 =3b) an+1 = 2an + 1 para n ≥ 1

Fazendo na relação recorrente:n = 1, temos a2 = 2a1 + 1 = 2.3 + 1 = 7n = 2, temos a3 = 2a2 + 1 = 2.7 + 1 = 15n = 3, temos a4 = 2a3 + 1 = 2.15 + 1 = 31, etc <an> = (3, 7, 15, 31, . . . . . )

Ex 2.O exemplo de sequencia dado na Forma I, na indutiva seria dado por:

a) a1 = 2

b) an+1 = an + 2, n≥ 1

Ex 3.

Complete a lei de recorrência abaixo, para o explo dado para a Forma II:

a) a1 = 3

b) an+1 = . . . . . . . .+.. . . . . . . , n ≥ 1

Ex 4.

a) a1 = 1

b) an+1 = an + 1, n ≥ 1,

que fornece a sequencia <an> = (1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . .n. . . ) isto é, o conjunto dos naturais, quando ordenado, é uma sequencia denominada sequencia ou sucessão dos naturais.

4.Crescimentodeumasequencia

Uma sequencia <an> na qual cada termo é menos ou igual ao sucessor, é chamada monótona não-decrescente; portanto, devemos ter: an ≤ an+1 , para todo n ≥ 1

Caso se verifique somente a desigualdade:

an < an+1 , para todo n ≥ 1

diremos que a sequencia é monótona crescente, ou estritamente crescente. Analogamente quando cada termo é maior ou igual ao sucessor, chamamos sequencia monótona não crescente.Da mesma maneira se verificarmos a desigualdade

an > an+1 , para n ≥ 1

diremos que a sequencia é monótona decrescente ou estritamente decrescente.

Quando an+1 = an, para todo n ≥ 1, a sequencia é dita estacionária ou constante. Existem ainda sequencias interessantes nas quais cada termo é maior alternadamente e menor que o sucessor, são oscilantes. Nas sequências oscilantes, que possuem várias vezes um mesmo valor, diz-se que esse valor é ponto de repercussão. Nos exemplos seguintes indicamos o tipo, e deixamos para o leitor verificar a definição:

< 2n + (-1)n > monótona não decrescente< 4 > estacionária< ( - 1) n/n > oscilante< 3n > monótona crescente.

5.OperaçõescomSequências

As operações com sequencias se obtém operando com os termos de mesmos índices.Ilustração:

<an> = (1, 3, 5, 7, 9, . . . )<bn> = (1, ½, ¼,1/8, . . . . )

teremos: <an> + <bn> = (2, 3 ½, 5 ¼, 7 1/8, . . . . . . . . ) <an> – <bn> = (0, 2 ½, 4 ¾ , 6 7/8, . . . . . . . . ) <an> . <bn> = (1, 3/2, 5/4, 7/8, . . . . . . . . ) <an> : <bn> = (1, 6, 20, 56, . . . . . . . . )

—1 <an> = —<bn> = (—1,— ½ ,—¼, —1/8, . . . . . . . . )

6.Convergência

1. Algumas sucessões <an> gozam de uma importante particularidade: os valores de an, conforme aumentamos o natural n, aproximam-se de um determinado valor finito, o que podemos ver por exemplo na sequência abaixo:

n+2 5 6 7

<——> = (3, 2, —, —, —, .....) n 3 4 5

O leitor observa que os termos dessa sequência são números racionais dados por frações em que o numerador e o denominador vão aumentando, mas cujo número vai diminuindo, aproximando-se da unidade, conforme aumentamos o natural n, o que mostram os cálculos seguintes, e que nunca será menor que 1 pois 0 numerador é maior que o denominador.

5— = 1,666....

3

6— = 1,5 4

7— = 1,4 5

8— = 1,333.... 6

Dizemos que a seqüência é convergente e que converge ao limite 1.

10— = 1,25 8

11— = 1,222.... 9

12— = 1,210

.........

1002

n = 1000 [ ——— = 1,002 1000

10002

n = 10000 [ ——— = 1,0002 10000

......

É importante ainda verificarmos que essa aproximação ao limite 1 é tal que a diferença entre o limite e o termo considerado é pequena e cada vez menor. De fato:

e aumentando n, a fração é cada vez menor.

Em outros exemplos o limite é maior que an; ou ainda nos casos de oscilantes,

an é ora menor ora maior que o limite. Usamos portanto para a convergência a seguinte

7.Definição

Uma sequência < an > é convergente e possui limite L se a diferença em valor absoluto entre o limite L e o têrmo a

n, se aproxima de zero, ou se toma igual a zero,

quando aumentamos o número natural n.

A definição diz que para uma sequência convergir a um limite L é necessário que

|L - an|

seja bem pequeno, quando n é grande; dizemos que a diferença se possa tornar menor que um número ∈ arbitrariamente pequeno, isto é:

|L - an| < ∈

a partir de certo índice n0

Indicamos:

lim an = Ln ∞

e lemos “limite de an quando n tende ao infinito é igual a L".

2. Outras seqüências <an>, conforme aumentamos o natural n, os valores a

n

aumentam indefinidamente, ultrapassando qualquer número escolhido, como é o caso da seqüência:

<3n2> = (3,12, 27, 48, . . . )

Dizemos que a sequência é divergente, e que tem por limite o infinito positivo.

n+2 n+2-n 2

an -1 = —— = ——— [ a

n - 1 = —

n n n

2 — n

Indicamos:

lim an = + ∞n + ∞

3. Analogamente, algumas sequências <an>, possuem valores negativos e

aumentam indefinidamente em valor absoluto, conferme aumentamos o natural n, como é o exemplo da sequência:

<2-n3> = (1, -6, -25, -62, . . . )Dizemos que a sequnência é divergente e tem por limite o infinito negativo.Indicamos:

lim an = - ∞n + ∞

Outro caso bastante interessante é o de algumas sequências oscilantes, cujos valores podem se aproximar alternativamente de dois valores L e L´, como é o caso da sequência:

= (5, 7 1/3, 4 1/2, 7 3/5, 4 1/3, 7 5/7, 4 1/4,. . . )cujos valores oscilam, e se os separássemos nas sequências:

(5, 4 1/2, 4 1/4, . . . ) e(7 1/3, 7 3/5, 7 5/7, 7 7/9, . . . . )

observaríamos que os valores da primeira vão diminuindo aproximando-se de 4, e os da segunda vão aumentando aproximando-se de 8. Dizemos que os valores 4 e 8 são pontos-limites da sequência. Algumas sequências oscilantes ainda apresentam outra particulariedade iteressante; elas podem assumir um mesmo valor uma infinidade de vezes; diz-se que esse valor é ponto de repercussão, que é também um ponto-limite da sequência.

Quando duas sequências <an> e convergem aos limites A e B, então

fazendo-se a soma (ou a diferença, ou o produto, etc) a sequência obtida também converge, e o limite

2n

< 6 + (-1)n ——— >

n+1

é a soma A+B dos limites (ou a diferença, etc) *; esse resultado vale em alguns casos para sequências divergentes. Sejam as sequências:

a)

Fazendo n assumir os valores do conjunto dos naturais, teremos:

que nos indica que o valor de qualquer termo é igual a 1/3, adicionado com uma parcela que diminui indefinidamente tendendo a zero; ou de

podems escrever:

portanto |an - 1/3| fica menor que uma quantidade ∈ arbritariamente pequena, bastando

para isso escolher um n suficiente grande. Portanto: lim a

n = 1/3

n ∞

b)

<bn> = (2+1, 2+1/2, 2+1/3, 2+1/4, 2+1/5, . . . . )

e com o mesmo raciocínio: lim b

n = 2

n ∞

* As provas serão tratadas na terceira série com teoremas mais gerais para funções quasiquer e não só sequências.

n+1 2n+1

<———> e <———>

3n n

n+1 n 1 1 1a

n = —— = — + — = — + —–

3n 3n 3n 3 3n

2n+1 2n 1 1

bn = —— = —– + — = 2 + —

n n n n

1

an = 1/3 + —

3n

1

an - 1/3 = —–

3n

1 1 1 1 1 1 1 1( — + —, — + —, — + —, — + —–, . . . ) 3 3 3 6 3 9 3 12

c) Cálculo da sequência soma

<cn> = (7/3+4/3, 7/3+4/6, 7/3+4/9, 7/3+4/12, . . . . )

l im Cn = 7/3 = 2+1/3 = l im a

n + l im b

n n ∞ n ∞ n ∞

8.RepresentaçãoGráfica

Como se fez na primeira série, sendo as sequências particulares funções, podemos fazer o gráfico de uma sequência usando a representação cartesiana, bastando para isso marcar os pares (n;a

n) .

Por ser n um número natural, os pares possuem por imagem pontos isolados, portanto não se ligam os pontos com um traço contínuo, mas é costume utilizar uma linha interrompida, o que auxilia para se observar o crescimento e a convergência da seqüência. Daremos alguns exemplos:

Fig. 1: <2n + (-1)n> F ig. 2: <4>

n+1 2n+1 7n+4

<cn> = ——– + ——– = ———

3n n 3n

7n+4 7n 4 7 4

cn = ——— = —— + —– = —– + —–

3n 3n 3n 3 3n

1 2 3 4 5

+1

+5

+9

1 2 3 4 5

+4

Fig. 3: Fig. 4: <3n>

Fig. 5: F ig. 6:

Exercícios–Sequência1

1. Dar mais quatro elementos das sequências abaixo:<a

n> = (1, 5, 9, 13, 17, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

<bn> = (1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

(-1)n

<——–> n

n+2<——–> n

2n<6+(-1)n —––> n+1

3 4 5<c

n> = (2, —, —, —, .. . . . . . . . . . . . . .. . )

2 3 4

+1

-1

+1/2

+1/4

-1/3

1 2 3 4 5

+3

+6

+9

1 2 3 4 5

+1

+2

+3

4

5

6

7

8

2. Dê as sequências-finitas de 5 termos das sequências:a) <4n> b) <2n+3> c)

d) <2+(-1)n> e) <2n + (-1/2)n>

3. Calcule o quinto, o sexto e o décimo termos das sequências:

a) <2n> b)

4. Dê as sequências finitas de quatro termos, definidas por:a) a

1 = 3 c) a

1 = 1

an+1

= 4an + 2, n ≥ 1 a

n+1 + 3a

n = 0, n ≥ 1

b) a1 = 1/2 d) a1 = 1

an+1

= 4a + 2, n ≥ 1 an+1

+ an = 0, n ≥ 1

5. Indique com (V) para verdadeiro ou com (F) para falso.a) ( ) a sequência <3i+2> é convergente.

b) ( ) a sequência é divergente.

c) ( ) a sequência é convergente.

6. Indique nos quadros a letra correspondente do termo geral (teste de associação):a) <2i -3> a´) (-1, 0, 1/3, 1/2, 3,5, .......)b) b´) (-1, 0, 3, 8, ....................)

c) c´) (-1, 1, 3, 5, ....................)

d) d´) (2, 2, 32/15, ..................)

e) e´) (1/2, 2/3, 3/4, ................)

1<4 - —–> 2n

2n-1<——–> 2

n+3 ——– 2n

n<——–> n+1

n-2<——–> n

3n 1<—–– + —> n+2 n

3n 1—— - –— 2 2

{

{ {

{

7. Indicar quanto ao crescimento os tipos das sequências:

a) d) <4n + (-1)n 2>

b) e)

c) <5n + 1> f)

8. Dadas as sequências:

<an> = <3n + 2>, = , <c

n> = ,

dê as sequências finitas de seis termos, dadas por:

a) <an> + d) 3 

b) <an> - e) : <a

n>

c) <bn> x <a

n> f ) <c

n> : 2

9. Verifique a convergência das sequências seguintes:

a) <an> = f) <f

n> =

b) <bn> = g)

c) <cn> = h)

d) <dn> = i ) <(-1)n 8 + 2>

e) <an> = <5n + 2>

10. Faça as representações cartesianas das sequências dos exercícios 7, 8 e 9 (use de preferência papel quadriculado).

n+1 n-1<—— + (-1)n ——> 2 2

(-1)n <—— + 3> n+1

3n 3<—— + ——> n+1 n+1

n+2 <——> 3n

3n+1 <——–> n

3n+2 <——–> n

n2+1 <——–> n

n2-9 <——–> n

n+3 <——–> n2

2n+1 <——–> 5n

1 <3 - —–> n2

3n <5 + (-1)n —–—>

n+2

n+3 <——> n

11. Indique qual das recorrências propostas fornece a sequência dada (teste de múltipla escolha): I a

1 = 3 II a

1 = 3 III a

1 = 4

a) <3n> an+1

= 3an

an+1

= an+ 3 a

n+1 = a

n + 6

I a1 = 5 II a

1 = 6 III a

1 = 6

b) <2i +4> an+1

= an+ 2

a

n+1 = a

n+ 4 a

n+1 = a

n + 2

I a1 = 1 II a

1 = 3 III a

1 = 1

c) <2i +4> an+1

= -

an+1

. an = a

n+1 =

B. Séries e Somatórios.

9)IntroduçãodoConceitodeSérie

Consideremos uma sequência qualquer, por exemplo a dos ímpares:<a

n> = <2n-1> = (1, 3, 5, 7, 9, . . . . . . )

e fornecemos uma outra sequência <sn>, obtida utilizando o seguinte processo:

s1 = a

1 = 1

s2 = a

1 + a

2 = 1 + 3 = 4

s3 = a

1 + a

2 + a

3 = 1 + 3 + 5 = 9

s4 = a

1 +a

2 + a

3 + a

4 = 1 + 3 + 5 + 9 = 16

A essa nova sequência <sn>, denominamos série da sequência <a

n>; portanto,

uma série possui para termos as somas das sequências finitas de uma outra sequência. Os valores a

n são os termos da série e as somas parciais s

n são as reduzidas da série.

10)DefiniçãoRecorrentedeSérie

Dada uma sequência <an>, chama-se série da sequência à sequência <s

n>,

definida pela recorrência:s

1 = a

1

sn+1

= sn + a

n+1 , n ≥ 1

{

{

{

{

{

{

{

{

{

{ 1 —–—– n(n+1)

n —–– n+1

n —–– a

n

n+1

Quando consideramos somente uma sequência finita, dizemos que temos uma série finita. Para as séries, como são sequências, valem todas definições e explicações dadas para as sequências em geral, assim pode-se estudar o crescimento, convergência, representação grafica etc. Quando a série <s

n > converge ao limite s , dizemos que o s é a soma da série.

Entretanto, como para as séries usamos sempre adições, e que em geral possuem uma lei de formação, é conveniente o estudo de uma notação simbólica mas adequada.

11)Somatórios

Para facilitar os estudos das séries, e também para outras adições, introduz-se a notação simbólica denominada "somatório". ∑ (letra grega sigma maíuscula). Assim, a adição

a1 +a

2 + a

3 + a

4 + ...........a

20

indicamos com i = 20 20 ∑ a

i ou ∑ a

i ou ∑ a

i (i = 1, 2, ... 20)

i = 1 i = 1 i e lemos: "o somatório de a

i, i variando de 1 a 20".

Os indíces 1 e 20 do somatório são denominados rescpectivamente limite inferior e superior do índice. Mais precisamente, o somatório é dado pela definição recorrente:

i = 1 ∑ a

i = a

1

i = 1

i = n+1 i = n ∑ a

i = ∑ a

i + a

n+1i = 1 i = 1

Com a notação ∑, uma série é uma sequência em que cada termo é um somatório, e em que os limites superiores vão aumentando sucessivamente. Para a soma da série escreve-se ∞ para limitesuperior do índice de somação.

∞ i = n n ∑ a

i ou lim ∑ a

i = a

i + a

2 + .... + a

n + ....

i = 1 n ∞ i = 1

{



Exemplos: 1) Seja a

i = 3i - 2

∑ ai = i = 6

i = 1

∑ (3i - 2) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51 i = 6 i = 1

i = 8 i = 8 ∑

a

i = ∑ (3i - 2) = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 = 51

i = 1 i = 1

2) seja bi = 12

3 3 ∑

b

i = ∑ i2 = 1 + 4 + 9 = 14

i = 1 i = 1

1 1 ∑

b

i = ∑ i2 = 1

i = 1 i = 1

12.Generalização

Pela grande utilidade, generaliza-se o somatório para o caso em que o limite não é a unidade; para isso coloca-se por definição:

n n k - 1 ∑

a

i = ∑ a

i - ∑ a

i =

i = k i = 1 i = 1= (a

1+a

2+a

3+...+a

k+1+a

k+...+a

n – (a

1+a

2+a

3+...+a ) = a

k+a

k+1+...+a

n

Observamos que o número de termos do desenvolvimento de um somatório com

limite superior n e limite inferior k é dado por n - k + 1.

Exemplo: 8 ∑

a

i = a

3 + a

4 + a

5 + a

6 + a

7 + a

8i = 3 8 - 3 + 1 = 6 termos Também generaliza-se para a variável com um qualquer valor inferior (positivo, nulo ou negativo).



Exemplo:i = 5 i = 8 ∑

ai = ∑ 2i = (-2) + 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 28

i = -2 i = -2

13.PropriedadesP. 1.

n n ∑

Aa

i = A ∑ a

i

i = k i = k

De fato : Aa

i = Aa

k + Aa

k+1 + Aa

k+2 + ... + Aa

n

= A (ak + Aa

k+1 + Aa

k+2 + ... + Aa

n) =

= A ∑ an

Exemplo: 20 20 ∑

3i = 3 ∑ i

i = 1 i = 1P. 2.

n ∑

A = (n - k + 1) A (somatório de uma constante)

i = k

De fato, para cada valor de i o correspondente termo ai é A; obtemos uma soma

de parcelas iguais: n ∑

A = A + A + A + ... + A

i = k

e, como o número de parcelas é n - k + 1, temos a propriedade.

Exemplo: 10 ∑

5 = (10 - 3 + 1) 5 = 8 . 5 = 40

i = 3

P. 3. n n n n ∑ (a i+bi+ci . . . ) = ∑ a

i + ∑ b

i + ∑ c

i + ....

i = k i = 1 i = 1 i = 1 (distributividade de somatório em relação a uma adição)

n ∑ i = k



De fato: n ∑

(a

i+b

i+c

i+.. . ) = (a

1+b

1+c

1+... ) + (a

2+b

2+c

2+... ) + (a

3+b

3+c

3+... )

i = 1e usando a associatividade e a comutatividade, podemos agrupar as parcelas de uma outra maneira: n n = (a

1+a

2+a

3+...+a

n) + (b

1+b

2+...+b

n) + ............ = ∑ a

i + ∑ b

i + ............

i = 1 i = 1

Exemplo: 10 10 10 ∑ (3i+12) = ∑ 3i + ∑ i2i = 1 i = 1 i = 1

14.Observação

Essa propriedade pode ser ainda escrita na forma de duplo somatório:

facilmente verificada pensando-se uma tabela retangular de valores e dois porcessos de se adicionar todos os valores: 1) Adicionando-se em coluna e depois em linha. 2) Adicionando-se em linha e depos em coluna.

15.TransformaçãodosLimitesdeumSomatório(Optativo)

Em várias situações é conveniente substituir a expressão do termo genérico de um somatório por outro; isso acarreta modificação nos limites, o que aprederemos neste parágrafo. Seja, para explicação, o somatório:

10 ∑ (2i+5) i = 3

Supomos que se pretenda substituir i por j+2, então o termo geral do somatório ficará:

2i + 5 = 2 (j + 2) + 5 = 2j + 9ficando no entanto a variável i substituída pela variável j.

n m m n ∑ ∑ a

j, i = ∑ ∑ a

j, i

i = 1 j = 1 j = 1 j = 1 ( () )



Como i=j+2, o valor de j é dado por j=i-2, portanto, os limites inferiores devem ser substituídos por:

i = 3 j = 1i = 10 j = 8

O Somatório ficará substituído por: 8 ∑ (2j+9) j = 1

Exercicíos-Sequência21) Desenvolva os somatórios:

a) b) c)

2) Quantas parcelas possuem os somatórios seguintes:

3) Calcule:

4) Desenvolva, aplicando as propriedades:

a) b) c) d)

5) Efetue as trocas indicadas nos somatórios (optativo):

a) com i por j - 5

b) com i por j + 3

c) com i por j - 3

5 ∑ a

ii = 1

20 ∑ ,i = 1

10 ∑ 3,i = 1

9 ∑ (2i + 6)i = 1

20 ∑ (5i – 2)i = 6

8 ∑ (4i + 6)i = 1

30 ∑ (i + 3)i = 1

12 ∑ (5i - 2)j = 3

7 ∑ (312+2I+4)i = 1

20 ∑ 7ii = 6

30 ∑ , j = 5

10 ∑ 6, j = 4

50 ∑ ,i = 8

100 ∑ 10r = 1

200 ∑ i = 40

8 ∑ b

ij = 3

9 ∑ c

rj = 5

6. Escreva com a anotação somatório:a) 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 64b) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... c) 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/20d) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100

e)

f) 0 + 3 + 8 + 15 + 24 + ... + 99g)1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 41

h)

7) Prove que: (Optativos)

a)

Lei da comutatividade do duplo somatório

b)

Sugestão: Utilize

C. Indução.

Para a determinação de somas e somas séries, existem vários métodos aplicáveis conforme os tipos de cada sequência. Existe, entretanto, um método muito bom que serve para comprovar uma fórmula, que é geral, e pode ser aplicado tambpem em muitas outras questões que não sejam somas; é o método da Indução Completa, também chamado de Indução Finita ou da Demonstração por Recorrência.

1 1 1 1 1—– + —– + –— + —– + ... + ——–1.3 2.4 3.5 4.6 90.92

1 1 1 1 —— + —— + —— + —— + ... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6

m m n m m n ∑ x

i ∑ y

j = ∑ ∑ (x

i y

j) = ∑ ∑ (x

i y

j)

i = 1 j = 1 j = 1 i = 1 i = 1 j = 1

k 2 k k ∑ x

i ∑ x

i2 + 2 ∑ x

i x

j

i = 1 i = 1 i < j

k k k k ∑ x

i ∑ y

j = ∑ x

i y

j + ∑ x

i y

j

i = 1 j = 1 i = j i ≠ j 1 1

(

(

[ [

(

(

(

)

)

] ]

)

)

)



16.UmaQuestãoIntrodutória Considere uma fileira de pedras de dominó colocadas em pé com indica a figura,

Caso alguém os empurre , será que cairão todos? Vários são os modos de se empurrar, vamos pensar um. Pensemos a condição inicial: *Empurramosoprimeirodafilaeelecai Será que a queda do primeiro derruba o segundo? Somente se o intervalo for pequeno, de tal forma que o primeiro bata no segundo com suficiente força para derrubá-lo; e, assim por diante, o segundo poderá derrubar o terceiro etc.? Ora, podemos pensar uma condição de passagem, isto é, que entre dois quaisquer consecutivos exista o intervalo conveniente. Portanto: *Caindoodeordemk,elederrubaodeordemk+1 Com essas duas condições existindo, podemos garantir de uma maneira simples que cairão todos os dominós, pois: pela 1ª condição : empurramos o primeiro e ele cai, pela 2ª condição : caindo o primeiro, cairá o segundo pela 2ª condição : caindo o segundo caira o terceiro,e assim sucessivamente, cairão todos, para qualquer n de dominós.

17.OMétododeInduçãoCompleta

A questão anterior servirá para entendermos mais facilmente o método de demonstração seguinte. Admita-se que queremos mostrar que uma propriedade (uma fórmula etc.) é válida para todo numero natural n.

1 k nk+1

?



Seja P(n) a propriedade P para o número natural n. Procuramos depois provar que do fato de ser P(n) válida para um número inicial que em geral é o 1, o que denominamos Condição Inicial. Procuramos depois provar que do fato de ser P(n) válida para um natural k, também será válida para o natural seguinte k+1, o que denominamos Condição de Passagem ou Recorrente. Em símbolos, admita-se que conseguimos provar:( I ) P(1)( I I ) P(k) P (k+1), Vk

, k pertencendo ao conjunto dos naturais. Ora, pela (I), temos P(n) é verdadeira para n = 1, Ora, pela (II), temos que P(n) é verdadeira para n = 2, pois P(1) P(2), Ora, pela (II), temos que P(n) é verdadeira para n = 3, pois P(2) P(3) e assim sucessivamente. Desta maneira concluimos que P(n) será verdadeira para qualquer natural n.

18.OsNomesdoMétodo(Leitura)

a) Indução completa Quando se estuda alguns casos particulares e se pretende tirar desses casos alguma regra ou propriedade geral, diz-se que se faz uma indução. Assim, quem conclui que odo fato de ser: 1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 32

«deverá ser» a soma de n ímpares igual a n2, fez uma indução, mais precisamente , uma indução simples (ou vulgar). Entretanto, pode ser que uma regra obtida por observação de casos particulares seja falsa, pois pode não convir para um outro caso particular não estudado. No método fornecido, faz-se uma indução porque estuda-se um caso particular, o de n=1, e passa-se para o geral afirmando para um n qualquer, mas essa afirmação é correta, é completa, é valida para todos , pois com a segunda parte da demosntração, podemos garantir para todo n, não simplesmente julgarmos ser correto, como fizemos no exemplo, dizendo «deverá ser» .

b) Indução Finita Diz-se também que a indução é finita, pois estuda-se a propriedade para números naturais, portanto para quantidades fínitas, de um em um, pela segunda condição.

c) Demonstração por Recorrência Essa denominação é visível, pois paras se procar para o natural k+1 recorre-se à validade da propriedade para o natural k. Observação: O método de indução completa prova se uma fórmula dada é válida ou não; mas se a desconhecemos, o método não a fornece; enttão se a intuição nos indica através do estudo de alguns casos particulares qual a possível fórmula, o método dirá se é correta ou não a indução simples.

Exemplos: a) Soma de sequência de ímpares Consideremos a sequência dos ímpares dada: <2i - 1> = (1, 3, 5, 7, ......) Da análise das somas particulares, percebemos quea afórmula da soma de uma sequencia finita de n termos deve ser:

Provemos que ela é correta pelo método da indução completa.Condição inicial11 façamos n=1 na fórmula:

portanto P(1) é verdadeira.Condição recorrente Consideremos a fórmula verdadeira para k, isto é:

e procuremos a fórmula para k+1 usando essa hipótese (denominada hipótese de indução):

n ∑ (2i - 1) = n2

i = 1

k ∑ (2i - 1) = k2

i = 1

k + 1 ∑ (2i - 1) = ?i = 1

1 ∑ (2i - 1) = 12 mas 1 = 12,i = 1



mas:

portanto, a fórmula é a mesma para k+1.Conclusão: A fórmula é corretaAplicação numérica Cálculo da soma dos 20 primeiros ímpares:

o que o leitor poderá verificar por cálculo direto, desenvolvendo o somatório.

b) Verificação de uma desigualdade Na primeira série colegial o aluno aprendeu a resolver desigualdades, como as lineares e as quadráticas; mostraremos que o método de indução de aplica em outras situações a provar desigualdades. Seja provar que 3n2 - n > 8a partir de um certo natural n.Casos particulares: n = 1 3n2 - n = 3.1 - 1 = 2 n = 2 3n2 - n = 3.4 - 2 = 10 > 8 Admitamos verdadeira a desigualdade para um natural k ≥ 2. 3k2 - k > 8e provemos que desta tiramos a desigualdade para o natural k+1, fazendo n = k+1: 3(k+1)2 - (k+1) = 3k2 = 6k - k - 1 = (3k2 - k) + 6k + 2e pela hipótese de indução: 3 . (k+1)2 - (k+1) > 8 + (6k + 2) > 8

Conclusão: 3n 2 - n > 8 todo natural n ≥ 2.

k + 1 k ∑ (2i - 1) = ∑ (2i - 1) + [ 2 (k+1) - 1] i = 1 i = 1

20 ∑ (2i - 1) = 202 = 400i = 1

= k2 + 2k + 1

= (k + 1)2

19.Verificaçãodeumasócondição(Leitura)

O leitor poderá pensar que uma indução feita com base na observação de varios casos particulares se não um ou dois casos somente, seria correta; isso nunca pode ser afirmado; o método de indução simples não nos dá lementos para garantirmos a veracidade de uma propriedade. Um exemplo célebre na história da matemática é o da expressão sugerida por lheonard Euler: n2+n+41, para a obtenção de números primos. Dando a n valores desde 0 a 39, obtém-se números primos, mas dando a n o valor 40 se obtém um número composto; o que é um fabuloso caso, pois se verifica a propriedade para quarenta casos particulares como é fácil mostrar, pois teremos: 402 + 40 + 41 = 40 x (40+1) + 41 = 40 x 41 + 41 = (40+1) x 41 = 41 x 41que é divisível por 412, 41 e 1, ou que não forneceu número primo. No ano de 1941, o matemático russo Ivanov destruiu um conjectura antiquissíma, também baseado em casos particulares: «As expressões do tipo xn -1 são fatoráveis em polinômios em que todos os coeficientes são unitários», como esclarece os casos particulares: n = 2, x2 - 1 = (x-1) (x+1) n = 3, x3 - 1 = (x-1) (x2+x+1) n = 4, x4 - 1 = (x-1) (x+1) (x2+1), etc O matemático contemporâneo encontrou um caso em que não vale a propriedade, e esse se deu só para n = 105 ! Do estudo feito, o aluno observou qu eé necessário no método a verificação das duas condições : a inicial e a de recorrência. A falha de uma delas já invalida a fórmula para todo natural n.Exemplos para elucidação: a) Considere o caso da sequência dos quadrados dos naturais <i2> = (1, 4, 9, 16, .........)e que se busca a fórmula para a soma dos termos da sequência finita de n termos:

n ∑ i2 = ?i = 1

Admita-se que foram observados os dois casos particulares seguintes:

n = 1

n = 2

e também valores da expressão n2 + n - 1 n = 1 n2 + n - 1 = 12 + 1 - 1 = 1 n = 2 n2 + n - 1 = 4 + 2 - 1 = 5 Poder-se-ia desses dois casos particulares (ou só do primeiro) fazer indução:

Vejamos a segunda condição: P(k) P(k+1) ? Consideremos a fórmula veraddeira para o natural k:

Procuremos o valor da soma para k+1:

e, pela hipótese da indução:

que não é a mesma fórmula, pois deveríamos ter obtido para k+1 a expressão: (k+1)2 + (k+1) - 1 ou k2 + 3k + 1 Em conclusão, podems afirmar que a fórmula não é verdadeira. (Ver a fórmula verdadeira no parágrafo : Duas Fórmulas Importantes) b) Consideremos o caso da sequência dos pares (excluido-se o zero): <2i> = (2, 4, 6, 8, ........)e que propôs a fórmula de soma:

Vejamos a segunda condição: P(k) P(k+1)

n ∑ i2 = 12 = 1i = 1

n ∑ i2 = n2 + n - 1i = 1

k ∑ i2 = k2 + k - 1i = 1

n ∑ 2i = n2 + n + 1i = 1

k + 1 ∑ i2 = k2 + k - 1 + (k+1)2 = 2k2 + 3ki = 1

k + 1 k ∑ i2 = ∑ i2 + (k+1)2i = 1 i = 1

n ∑ i2 = 12 = 1 + 2 = 1 + 4 = 5i = 1



Consideremos verdadeira a fórmula para o natural k:

e procuremos a soma para k+1:

Pela hipótese de indução:

ou que , a mesma fórmula é a mesma para k+1. Entretanto, para este caso, a condição inicial não se verifica, pois desenvolvendo-se o somatório:

e, pela fórmula: n =1 n2 + n + 1 = 12 + 1 + 1 = 3 Conclusão: A fórmula proposta não é correta.

20.DuasFórmulasImportantes

I. Soma dos n primeiros naturais: Seja

a) Procuremos por indução completa:Condição inicial: P (1)

e pela fórmula, o resultado é o mesmo:

k ∑ 2i = k2 + k + 1i = 1

nn =1 ∑ 2i = 2.1 = 2 i = 1

nn =1 ∑ i = 1 i = 1

n (n+1) 1.2n =1 ——— = —– = 1 2 2

n n (n+1) ∑ i = 1 + 2 + 3 + . . .+ n = ———i = 1 2

k +1 ∑ 2i = k2 + k + 1 + 2(k+1)i = 1 =(k2 + 2k + 1) + (k + 1) + 1 =(k + 1)2 + (k + 1) + 1

k + 1 k ∑ 2i = ∑ 2i + 2(k+1)i = 1 i = 1



Condição de recorrência: P(k) P(k+1) Seja válida para k:

Procuremos a soma de k+1 primeiros naturais:

Pela hipótese de indução , podemos escrever:

que é a mesma fórmula para k+1. Conclusão: A fórmula é correta para todo natural n. b) Dedução usando a expansão de (i+1)2 (optativo):

pelas propriedades do somatório:

de onde obtemos:

k k (k+1) ∑ i = ———i = 1 2

k (k+1) + 2 (k+1)= ——————— 2

(k+1) (k+2)= —————— 2

(k+1) (k+1+1)= —————— 2

k (k+1)= ——— + (k+1) ou 2

k +1 k ∑ i = ∑ i + (k+1)i = 1 i = 1

n ∑ (i+1)2 = i = 1

n= ∑ i2 + 2 i = 1

n2 ∑ = 1 i = 1

n ∑ (i2 + 2i + 1)i = 1

n ∑ (i +1)2 - i = 1

n ∑ i +i = 1

n ∑ 1i = 1

n ∑ 1i = 1

n ∑ i2 - i = 1



Mudando no primeiro somatório do segundo membro i+1 por j, teremos os limites alterados para j=2 e j=n+1:

II. Soma dos quadrados dos n primeiros naturais: Seja

a) Prova por indução completa:Condição Inicial: Pelo desenvolvimento do somatório:

Pela fórmula proposta:

Condição de recorrência: Seja válida para o natural k:

Procuremos a soma dos k+1 quadrados:

n2 ∑ i = i = 1 n2 ∑ i = (n+1)2 - 12 - n i = 1 n2 ∑ i = n2 + n i = 1

n+1 ∑ j2 –j = 2

n ∑ i2 - ni = 1

n ∑ i =i = 1

n = 1

n ∑ i2 = 12 = 1i = 1

n (n+1)——— 2

n (n+1) n (2n+1) ∑ i2 = 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 = ——————i = 1 6

k (k+1) k (2k+1) ∑ i2 = ——————i = 1 6

(n+1) n (2n+1) 2.1.3 n = 1 —————— = ——— = 1 6 6

k+1 ∑ i2 =i = 1

k ∑ i2 + (k+1)2i = 1



Pela hipotese de indução:

que é a mesma fórmula para n igual a k+1. Conclusão: fórmula é correta para todo natural n. b) Por expansão de (i+1)3 (optativo):

ou:

k+1 (k+1) k (2k+1) ∑ i2 = —————— + (k+1)2i = 1 6

(k+1) [2k2 + k + 6k + 6]= —————————— 6

(k+1) [2 (k+1) +1] [(k+1) + 1]= ———————————— 6

[(k+1) + 1] (k+1) [2(k+1) + 1]= ———————————— 6

(k+1) [k (2k+1) + 6(k+1)]= —————————— 6

n ∑ (i+1)3 = i = 1

n ∑ (i+1)3 = i = 1

n3 ∑ i2 = i = 1

n3 ∑ i2 = i = 1

n 3n ∑ i2 = (n+1) . (n+1)2 – 1 – —–i = 1 2

n ∑ i3 +3 = i = 1

n ∑ (i +1)3 – i = 1

n+1 ∑ j3 – j = 2

n ∑ i2+2 = i = 1

n ∑ i3 – 3 = i = 1

n ∑ i3 – 3 i = 1

n ∑ i + i = 1

n ∑ i – i = 1

n (n+1)———– – n 2

3n (n+1)———– – n 2

3n (n+1)= (n+1)3 – (n+1) – ———– 2

n ∑ 1i = 1

n ∑ 1i = 1

n ∑ (i3 + 3i2 + 3i + 1) i = 1

n3 ∑ i2 = (n+1)3 – 13 – i = 1



21.Aplicações

1. Soma sos 300 primeiros naturais:

2. Soma dos quadrados dos 40 primeiros naturais:

3. Calcular a soma dos 30 primeiros termos da sequência de pares: 2+4+6+....+ = 2.1 + 2.2 + 2.3 + .... 2.30

Pela propriedade do somatório:

Aplicando a fórmula da soma dos naturais:

n3 ∑ i2 = (n+1) . i = 1

n ∑ i2 = i = 1

n (2n+1)———– 2

(n+1) n (2n+1)—————– 6

300 (300+1) 300 . 301 = —————– = ———— = 45 150 2 2

30 . 31 = 2 . ———– = 930 2

40 (40+1) . 40 .(80+1) 41 . 40 . 81 = —————––——— = ————— = 22 140 6 6

30 ∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + 300 = ?i = 1

30 ∑ 2i = 2 i = 1

30 ∑ i i = 1

30= ∑ (2i) i = 1

40 ∑ i2 = 12 + 22 + ... + 402 = ?i = 1

4. Calcular a soma de 40 termos da sequência: <3i2 + 1> = (4, 13, 28, .....) Aplicando as propriedades do somatório:

e usando a fórmula da soma de quadrados:

5. Calcular a soma dos 30 termos da sequência: = (0, 2.1, 3.2, 4.3, .....)a partir do quadragésimo primeiro.

Fazemos:

Resposta: (116 795 – 22 140) – (2 485 – 820) = 96 320

40 ∑ (3i2 + 1) = i = 1

70 ∑ [(i (i + 1)] = i = 41

70 ∑ i2 = i = 1

40 ∑ i2 i = 1

70 ∑ i2 i = 1

40 ∑ i i = 1

40 ∑ 3i2 + i = 1

40 ∑ 1 = 3i = 1

40 ∑ i2 + 40.1i = 1

70 ∑ i2 –i = 41

70 ∑ i 41

41 . 40 (2 . 40+1) = 3 ———–———— + 40 6

71.70 (2 . 70+1) = ———–———— = 116 795 6

41 . 40 (2 . 40+1) = ———–———— = 22 140 6

70 . 71 = ——— = 2 485 2

40 . 41 = ——–– = 820 2

41 . 40 . 81 = 3 ————— + 40 = 66 460 6

70 ∑ (i2 + 1) =i = 41

1. Provar por indução completa as fórmulas de somas: a) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n2

b)

c)

d)

e)

f)

2. Definido o fatorial de um número natural n pela recorrência 1! = 1 (n+1)! = n! (n+1) n ≥ 1

Demonstre por indução completa: a) 1!1 + 2!2 + 3!3 + ... + n!n = (n+1)! - 1

b)

3. prove por indução completa as desigualdades: a) 3n - 8 > 10 a partir de n = 7 b) 2n > 2n + 1 para n > 2 c) 2n > n2 para n = 1 e n < 4 d) 2n > n3 para n > 9 e) 3n2 - n > 20 para n > 2

4. Calcule as somas abaixo com uso das propriedades do símbolo somatório:

a) c)

b) d)

1 1 1 1 n—– + —– + –— + ... + ——– = ——1.2 2.3 3.4 n(n+1) n+1

1 1 1 1 n—– + —– + –—– + ... + ——––—— = ——–1.5 5.9 9.13 (4n-3) (4n+1) 4n+1

n (n+1) 2

13 + 23 + 33 + ... + n3 = ——– 2

n (2n -1) (2n+1)12 + 32 + 52 + ... + (2n-1)2 = ——–———– 3

n (n+1) (n+2)1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) = ——–———– 3

1 1 1 n 1—– + —– + –— + ... + ——– = 1 - ——– 2! 3! 4! (n+1)! (n+1)!

50 ∑ (2i-1) i = 1

40 ∑ (3i+1) i = 1

20 ∑ (3i2+2) i = 1

60 ∑ i (1-2)i = 1

{

[ ]



5. Considerando a seguinte definição recorrente: a1 = a an+1 = an . a Prove por indução completa que: a) ak . an = ak+n b) (ak )n = ank

6. Prove por indução que dado um conjunto de n números ai tais que:

a2 = log

an a

1, a

3 log

a1 a

2, a

4 = log

a2 a

3, etc

temos sempre: a1 . a

2 . a

3 . a

4 . ... . a

n = 1

SequênciaeSéries-RespostasExercícios-Sequência1

2. a) (4, 8, 12, 16, 20) d) (1, 3, 1, 3, 1) b) (5, 7, 9, 11, 13) e) (1 1/2, 4 1/4, 5 7/8, 8 1/16, 9 31/32) c) (3 1/2, 3 3/4, 3 5/6, 3 7/8, 3 9/10)

3. a) 32, 64, 1024 b) 31/2, 63/2, 1021/2

4. a) (3, 10, 38, 150) c) (1, -4, 11, -34) b) (1/2, 4, 18, 74) d) (-1, 1,-1, 1)

5. a) F b) V c) V

6. a com c´, b com b´c com e´, d com a´, e com d´

7. a) oscilante, b) oscilante, c) crescente, d) não-decrescente, e) estacionária, f) decrescente

8. a) (9,10 1/2, 13, 15 3/4, 18 3/5, 21 3/6) d) (12, 15/2, 6, 21/4, 24/5, 27/6) b) (1, 5 1/2, 9, 12 1/4, 15 2/5, 18 1/2 ) e) (4/5, 5/16, 2/11, 1/8, 8/85, 9/120) c) (20, 28, 110/3, 91/2, 272/5, 380/6) f) (2, 7/4, 10/6, 13/8, 16/10, 19/12)

9. a) convergente, limite 3 d) convergente, limite 0 g)convergente, limite 3 b) divergente e) divergente h) pontos limites 8 e 2 c) convergente, limite 1 f) convergente, limite 2/5 i) pontos de repercussão - 6 e 10

11. a) II b) III c) III




1. a) a1+a

2+a

3+a

4+a

5 b) b

3+b

4+b

5+b

6+b

7 c) c

5 + c

6 + c

7 + c

8 + c

9

2. 20, 26, 43, 161

3. 30, 66, 1 000

4. a) 2 (1 + 2 + ... + 9) + 54 c) 3 (1+ 4 +... + 49) + 2 (1 + 2 + ... + 7) + 38 b) 5 (3 + 4 + ... + 12) - 20 d) 7 (6 + 7 + ... + 20)

5. a) b) c)

6. a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Exercícios-Sequência3

4. a) 2

b) 3

c) 3

d)

25 ∑ (5j-27) j = 11

8 ∑ i2 i = 1

50 50 ∑ i - ∑ 1 = 2 550 - 50 = 2 500 1 1

90 1 ∑ —— i = 1 i(i+2)

∞ ∑ i(i+1) i = 1

20 20 ∑ i2 - ∑ 2 = 8 610 + 40 = 8 650 1 1

10 ∑ (12-1) i = 1

20 ∑ 1/i i = 1

40 40 ∑ i + ∑ 1 = 2 460 + 40 = 2 500 1 1

21 ∑ (2i-1) i = 1

100 ∑ i i = 1

60 ∑ i2 - 2 i = 21

60 ∑ i = 21

60 ∑ i2 - 1

60 ∑ i + 2 1

20 ∑ i2 - 2 1

20 ∑ i = 67 700 1

∞ 1 ∑ ——–—– i = 1 i(i+1)(i+2)

5 ∑ (4j+18) j = -2

33 ∑ j j = 4

CAPÍTULO IIPROGRESSÕES ARITMÉTICAS •CONCEITO •TERMOGERAL •SÉRIESGEOMÉTRICAS

Introdução Dentre as várias sequências, estudaremos duas delas em separado, em vista da vantagem em se reter alguns resultados que lhes são peculiares, pelas suas mais variadas aplicações. Estudaremos as sequências denominadas: progressões aritiméticas e progressões geométricas.

22.Definição

Denominamos progressões aritiméticas as sequências dadas pela forma recorrente:

Da definição, temos que:

Ao valor r denomina-se razão da Progressão Aritinética; e o seu valor fornece o sentido de crescimento da sequência:r > 0 a

n+1 > a

n (Progressão Crescente)

r = 0 an+1

= an (Progressão Estacionária)

r < 0 an+1

< an (Progressão Decrescente)

Para as progressões aritiméticas usa-se uma indicação tradicional: : a

1 . a

2 . a

3 . ... . a

n . ....

Ilustrações: a) a

1 = 2

r = 4 > 0 (Progressão Crescente) a

2 = 2 + 4 = 6, a

3 = 6 + 4 = 10, a

4 = 10 + 4 + 14, ...

de onde a indicação: : 2 . 6 . 10 . 14 . 18 . 22 . ....

a1=aa=an+rparan>1 n+1

Uma progressão aritimética é uma sequência em que cada termos é obtido do anterior adicionando-se uma quantidade fixa.

{

b) a1 = 10

r = 0 (Progressão Estacionária) : 10 . 10 . 10 . 10 . ....

c) a1 = 8

r = -3 < 0 (Progressão Decrescente) : 8. 5 . 2 . -1 . -4 . -7 . ....

d) a1 = 1

r = 1 > 0 (Progressão Crescente) : 1. 2 . 3 . 4 . 5 . ....

23.FórmuladoTermoGeral

É muito útil, especialmente para problemas, o conhecimento da fórmula do termo geral (do enésimo termo). Pela definição recorrente; temos: a

2 = a

1 + r

a3 = a

2 + r = a

1 + r + r = a

1 + 2r

a4 = a

3 + r = a

1 + 2r + r = a

1 + 3r

cálculos que nos mostram que qualquer termos "deve ser" igual ao primeiro termo mais tantas razões quanto é o seu índice, menos uma unidade. Isto é, para a

5 devemos encontrar a

1 + 4r, e a

6 = a

1 + 5r, e de uma maneira geral:

an = a

1 = (n-1)r

Provemos por indução completa:Condição Inicial: n = 1 a

n = a

1 + (1-1)r = a

1 + 0 = a

1

Condição recorrente:a

k = a

1 = (k-1)r Hipótese de indução.

ak+1

= ak + r Pela definição recorrente.

ak+1

= a11

+ (k-1) r + r Usando a hipótese de indução.a

k+1 – a

1 + [(k+1) - 1] r Que é a mesma fórmula de n para o natural k+1

{

{

{



24.RepresentaçãoGráfica

Como a fórmula para qualquer termo é a

n = a

1 + (n-1)r

ou a

n = nr + a

1 - r

ela é do tipo : Y = ax + bcom a = r b = a

1 - r

x um número natural (x ∈ N) Do que foi visto na primeira série colegial sobre a função inear, podemos afirmar que a representação gráfica de uma progressão aritmética é um conjunto de pontos isolados, mas em linha reta. A reta possui por coeficiente linear o valor b=a

1-r, e que dá o ponto em que a reta

corta o eixo das orientadas, e por coeficiente angular, o valor a=r, que fornece a inclinação.

Exemplo:

a1 = 3 a

1 = 8

r = 2 b + 3 - 2 = 1

r = -1,5 b = 8 - (-1,5) = 9,5} }

} b=a -r1

a =a +(n-1).r1n

{ Fig. 8

}b=1

a =31

r=2

a =81

r=1,5

a=1,5

b=9,5

1

Fig. 9 Fig. 10



25.ExercíciosResolvidos

a) Cálculo do oitavo termo da progressão aritimética em que o primeiro é 4 e a razao é 3.

an = a

1 + (n-1) r

a8 = 4 + (8-1) 3 = 4 + 7 . 3 = 4 + 21 = 25

Nota: É interessante o aluno escrever a progressão até o oitavo termo e verificar o resultado.

b) Cálculo do décimo termo da progressão aritimética em que o primeiro é 3 e ela é estacionária.

Pelo próprio conceito, podemos responder que a10

=3, mas o leitor verificará esse

resultado pela fórmula que é geral , fazendo r=0.

c) Calcular o vigésimo termo de progressão aritimética, conhecendo-se o primeiro igual

a 10 e a razão igual a -2.

an = a

1 + (n-1)r

a20

= 10 (20-1) (-2) = 10 - 38 = -28

d) Uma progressão aritimética possui razão 3 e o sétimo termo é 24. Qual é o primeiro?

an = a

1 + (n-1)r

24 = a1 + (7-1) 3

24 = a1 + 18 a

1 = 24 -18 = 6

e) Uma progressão aritimética possui o primeiro termo igual a 11 e o vigésimo é 87. Qual

é a razão?

an = a

1 + (n-1)r

87 = 11 + (20-1)r

87 = 11 + 19r 19r = 76 r = 4

f) Uma progressão aritimética possui o primeiro termo igual a 5 e a razão é 6. Quantos

termos são necessários escrever para se obter 191?

an = a

1 + (n-1)r

191 = 5 + (n-1)6

191 = 5 + 6n - 6 6n = 192 n = 32

g) Uma progressão aritimética possui o sexto termo igual a 6 e o 13 igual a (-15). Qual é

o valor do vigésimo?

an = a

1 + (n-1)r

Para n = 6:

6 = a1 + 5r

Para n = 13:

-15 = a1 + 12r



Resolvendo o sistema de 2 equações nas duas icógnitas a1 e r, obtém-se:

a1 = 21 e r = -3

Usando novamente a expressão do termo geral:

a20

= a1 + 19r = 21 - 57 = -36

h) Numa progressão aritimética a soma do terceiro com o sexto é 55, e a soma do quarto

com o nono é 67. Determinar o primeiro e a razão.

Pela fórmula do termo geral, temos:

Para n = 3: a3 = a

1 + 2r

Para n = 6: a6 = a

1 = 5r

a3 + a

6 = 2a

1 + 7r 2a

1 + 7r = 55 (1)

Para n = 4: a4 = a

1 + 3r

Para n = 9: a9 = a

1 = 8r

a4 + a

9 = 2a

1 + 11r 2a

1 + 11r = 67 (2)

Resolvendo o sistema de duas equações nas icógnitas a1 e r=, encontra-se:

a1 = 17 e r =3

26.FórmuladaSomadotermosdeUmaProgressãoAritiméticaFinita

Com o que aprendemos sobre o símbolo somatório, podemos calcular somas de progressões aritiméticas finitas, como veremos no exemplo seguinte: Seja a progressão aritimética de primeiro termo 5 e razão 3. Temos: a

1 = 5 + (i-1) 3 = 3i + 2

Seja calcular a soma dos trinta primeiros termos:

e, usando a fórmula da soma dos n naturais:

Entretanto, podemos usar unma fórmula especial para soma na progressão aritimética.

30 ∑ a

1 =

i = 1

30 ∑ 3i +i = 1

30 ∑ 2 = 3 .i = 1

30 ∑ i + 30 . 2 i = 1

30 . 31 = 3 . ——— + 60 = 1 395 + 60 = 1 455 2



O aluno já deve ter observado que a fórmula da sima dos naturais, que contitui uma especial progressão aritimética

pode ser interpretada como " metade do produto do número de termos pela soma do último considerado com o primeiro". Aplicando essa regra, portanto induzindo para qualquer Progressão Aritimética, teríamos para soma a fórmula:

Provemos por indução completa:Condição Inicial:

Pela fórmula também obtemos esse resultado, pois:

Condição recorrente:

n (n+1) 1 + 2 + 3 + ... + n = ——–— 2

n (an+a

1) 1 (a

1+a

1) 2a

1n = 1 ——–— = ——–— = —— = a

1 2 2 2

n n(an+a1) ∑ a1=–———i=1 2

n ∑ a

i = a

1i = 1

n = 1

k k (an+a

1)

∑ a1 = ——–—

i = 1 2

k +1 k ∑ a

1 = ∑ a

i + a

k+1i = 1 i = 1

k (ak+a

1)

= —–—— + ak+1

2

k (ak+a

1) + 2a

k+1

= ————–—— 2

k (ak+1

- r + a1) + a

k+1 + a

k+1

= ————–—————— 2

Hipótese de indução para k

Soma para k+1 termos.

Usando a hipótese de indução.

Operando.

Pela definição recorrente ak = a

k+1 - r



que é a mesma fórmula proposta para o natural k+1. Em conclusão, podemos garantir a veracidade da fórmula.

Outra demonstração: O aluno poderá fazer outra demonstração usando a representação gráfica, lembrando que as ordenadas são os próprios termos a

1, a

2, a

3, ... a

n da progressão.

Pelos pontos imagens A1, A

2, A

3 ... A

n, tracemos paralelas ao eixo x até encontrar os

prolongamentos da ordenada anterior formando desse modo retângulos de alturas a1,

a2, a

3,..., a

n e bases iguais à unidade, bem como n triângulos retângulos com dimensões

iguais. Observemos que a área de cada triângulo é igual numéricamente ao valor da própria ordenada, pois a base é unitária; portanto, "somar os termos da progressão é somar as áreas os retângulos".

k +1 ∑ a

i =

i = 1

k (ak+1

+a1) + (a

k+1+a

1)

—–——————— 2

(k+1) + (ak+1

+ a1)

= ————–—— 2

k (ak+1

- r + a1) + a

k+1 + a

k+1 - kr

= ————–———————– 2

Pela propriedade distributiva.

Pela fórmula geral: ak+1

= a1 + kr

a1 = a

k+1 - kr

Pela propriedade distributiva.

1 2 3 N

A

A1

A2

A3

An

O x

y

a1

a2

a3

an

Fig.11



A soma das áreas dos retângulos é igual a área do trapézio OAAnN mais a soma

das áreas dos triângulos retângulos, que são:

Conclusão:

27.ExercíciosResolvidos

a) Calcular a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética (P.A) cujo o primiro temor é 5 e a razão 3. a

1 = 5 a

n = a

1 = (n - 1)r

n = 30 r = 3 a

30 = 92

b) A soma de 13 termos de uma P.A. é 26. Sendo a razão -2, qual é o primeiro? S

13 = 26

r = -2

mas a13

= a1 + 12r = a

1 - 24

portanto, substituindo: a

1 + a

1 - 24 = 4 2a

1 = 28 a

1 = 14

c) a soma de n termos de uma P.A. é n(n+4) para qualquer n.Determinar a progressão.

OA + AnN a

1 - r + a

nÁrea do trapézio = ———— ON = ———— n 2 2

1. r rÁrea de um triângulo = —— = —– 2 2

a1 - r + a

n nr

S = —––—— n + —– 2 2 (a

1 + a

n) n - rn + nr

S = —––——–——— 2

(a1 +an)nS=—––——– 2

(a1 + a

n) n

S = —––——– 2

(a1 + a

n) n

Sn = —––——–

2

(a1 + a

13)13

26 = —––——– 4 = a1 + a

13

2

(5 + 92) 30

S30

= —––——– 2

S

30 = 1455

{

{



Temos para qualquer n:

a2 = a

1 + 5 7 = 5 + r r = 2


1. Calcular o sexto, o sétimo e o oitavo termos de cada P.A. abaixo, recorrente: a) a

1 = 2 b) a

1 = -3

an+1

= an+6 a

n+1 = a

n+5

c) a1 = 12 d) a

1 =

an+1

= an-3 a

n+1 = a

n+

e) a1 = 3 f) a

1 = 2,2

an+1

= an - a

n+1 = a

n+1,6

2. Calcular os termos pedidos no exercício 1, mas usando a fórmula do termo geral

3. Calcular o primeiro termo de cada P.A. abaixo fornecida: a) a

8 = 12 b) a

20 = 35 c) a

12 = 3

r = 3 r = 4 r = -

d) a10

= 32,6 e) a100

= 1000 f) a3 = x

r = 1,3 r = 10 r = 3x 4. Calcular o trigésimo termo de cada P.A. sabendo-se que: a) a

7 = 12 b) a

10 = 21 c) a

7 = 42

a6 = 7 a

12 = 31 a

10 = 63

d) a10

= 72 e) a9 = 4 f) a

3 = 0,01

r = 42 r = 5 r = 0,016

{ {

{

{

{

{

{

n ∑ a

i = n(n+4)

i = 1 1 n = 1 ∑ a

i = 1.5 = 5 a

1 = 5

i = 1 2 n = 2 ∑ a

i = 2.6 = 12 a

1 + a

2 = 12 a

2 = 7

i = 1

{ {

{

{

{{

{

{

1 — 3

1 — 2

1 — 2 1 — 2

1 — 4

2 — 5

1 — 4 1 — 2

{ { {



5. Calcular o terceiro termo das progressões aritiméticas, dadas pelas somas: a) a

2 + a

6 = 20 b) a

3 + a

7 = 30

a2 + a

8 = 30 a

4 + a

8 = 26

c) a10

+ a13

= 52 d) a3 + a

6 + a

9 = 60

a8 + a

18 = 53 a

2 + a

8 + a

12 = 61,2

6. Calcular a soma dos n termos indicados em cada progressão, usando o símbolo somatório: n = 12 n = 40 n = 100 a) a

1 = 6 b) a

1 = 6 c) a

1 = -80

r = 4 r = 2 r = 67. Calcule a soma dos 25 primeiros termos de cada P.A. indicada: a) a

1 = 3 b) a

1 = 7 c) a

1 = 6

r = 4 r = 2 a2 = 9

d) a4 = 5 e) a

7 = 6 f) a

8 = 7

a5 = 9 a

9 = 14 a

12 = -9

g) a3 + a

5 = 20 h) a

1 + a

2 + a

3 = 12

a4 + a

9 = 40 a

2 + a

3 + a

4 = 30

8) Represente graficamente as progressões aritiméticas d exercício 1.

9) Calcule a soma dos 10 termos de cada P.A. a começar pelo vigésimo primeiro: a) a

1 = 3 b) a

1 = 4 c) a

7 = 5

r = 7 r = 3 a9 = 15

1ª sugestão: Calcule a soma de 20 e de 30 termos. 2ª sugestão: Calcule o 21º e use-o como 1º.

10) Calcule a soma dos n primeiros termos das progressões aritiméticas:

a) :

b) : x . 3x+y . 5x+2y . 7x+3y . ........

c) :

{ { {

{ {

{{

{

{{{

{

{{{

{

{{

1+a 3+a 5+a 7+a—— . —— . —— . —— . ........ a a a a

a a2+2b2 a2+4b2 — . ——— . ——— . ........ b ab ab




1) Prove a fórmula da soma dda sequência de n naturais: Sugestão: P.A. com o primeiro termo 1 e razão 1.

2) Determine a fórmula da sequência finita de ímpares: n2. Sugestão: Use o fato que é uma P.A. de primeiro termo igual a 1 e razão 2

3) Determine a fórmula da sequência finita de pares (exceto o zero): n(n+1) Sugestão: P.A. de primeiro termo igual a 2 e razão 2.

4) Determine a fórmula da soma dos múltiplos de 3 (exceto o zero): Sugestão: P.A. de primeiro termo igual a 3 e razão 3

5) Prove que dados três termos consecutivos de uma P.A o intermediário é média aritmética dos outros dois:

1ª Sugestão: Use que ai = a

i+1 + r, e que a

i = a

i+1 - r

2ª Sugestão: Use a respresentação cartesiana e a prorpiedade que num trapézio a base mediana é a média aritmética das bases.

6) Prove para uma P.A. finita a propriedade de qua a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos: a

i+1 + a

n-1 = a

1+a

n

Verifique também em particular para uma progressão de um número ímpar de termos para o termo intermediário. Sugestão: Use a fórmula do termo geral para a

i+1 e a

i-1 e adicione.

7) Prove novamente a fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita. Sugestão: Escreva S = a

1 + a

2 + ... + a

i 1 + ... + a

n i + a

n 1 +a

n

e S = an + a

n 1 + ... + a

n i + ... a

i 1 + a

2 + a

1

Adicione membro a membro e substitua cada soma de duas parcela pela soma dos extremos.

3n(n+1)—–—— 2

n(n+1)—–—— 2

ai-1

+ ai+1

a

i = ————

2




1. Calcular três números em P.A. sabendo-se que sua soma é 78 e seu produto é 16 640. Sugestão: use x-r, x e x+r que facilita.

2. Calcular cinco números em P.A. sabendo-se que a soma é 70 e que o produto é 483 840. Sugestão: Use x-2r, x-r, x+r e x+2r e encontrará x=14 e uma biquadrada em r (redutível a 2ªgrau)

3. Um número de 3 algarismos , em P.A. possui pro soma 12 dos númeors representados pelos 3 algarismos. Duplicando o número e adicionando 150, obtém-se o números com os algarismos em ordem inversa. Quais são os algarismos? Sugestão: represente o número por 100a+10b+c.

4. Determine o valor x de modo que se tenha a P.A. finita:

a) : (x+4) . (4x+1) .

b) : (x+2)2 . [(x-3)2+16] . [(3x+1)(x+2)-118]

5. Os lados de uma quadrilátero de 38 m de perímetro estão em P.A. Calculá-los, sabendo-se que a soma dos quadriláteros é 406 m2.

6. Um triangulo retângulo possui por área 54 cm2. Calcular os lados, sabendo que estão em P.A.

7. Um triângulo retângulo possui pro área √39 m2 e o perímetro é 21 m.

Calcular os lados se estão em P.A. Sugestão: Lembrar que a área de um triângulo é dada por √ p(p-a)(p-b)(p-c) onde p é o semi-perímetro e a, b e c, os lados.

8. Qual relação deve existir entre os numeros a, b e c para que sejam respectivamente o quarto, o sétimo e o décimo-segundo termos de uma P.A ?

9. Generalizar o exercício 8 para a, b e c serem respectivamente o i-ésimo, o j-ésimo e o k-ésimo termos de uma P.A.

10. Determinar o vúmero de diagonais de um polígono convexo de 10 vértices.Sugestão: Do primeiro vértice temos 9 segmentos, do segundo, 8, e assim sucessivamente; lembrando que ao número de segmentos precisamos subtrair o número de lados.

3x+29—–—— 2 ( )

1 — 3



11. determine a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de n vértices.

12. Provar que num triângulo retângulo que possui os lados em P.A então a razão é igual ao raio do círculo inscrito. Iguale a área obtida pelo semiproduto dos catetos e a área obtida pelo semiproduto do perímetro pelo raio do círculo inscrito, obtendo que o cateto menor é o triplo do raio. Encontre expressão análoga usando o teorema de Pitágoras.

13. Numa P.A finita de número ímpar de termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 60, a soma dos de ordem par é 50. Calcular o número de termos.

1ª sugestão: Observar, usando a propriedade da soma dos equidistantes, que a diferença das somas é o valor do termo mediano ; e usar a propriedade particular e depois a formula da soma.

2ª sugestão: Observar que as sequências de ordem ímpar e a de ordem par são também progressões aritméticas e fazer o quociente das duas somas.


1. Prove que se existe a P.A finita: : a . b . c Também existe a P.A finita: : (a2 + b2 + ab) . (a2 + c2 + ac) . (b2 + c2 + bc)

2. Idem ao exercício 1: :

3. Idem, se existe a P.A finita: : a

1 . a

2 . a

3 . ....

4. provar a recíproca do exercício 3.

5. Provar que se existe a P.A: : a

1 . a

2 . a

3 . ....

Também existe a P.A: : (a

22 - a

1 2 ) . (a

32 - a

22) . (a

42 - a

32) . ...

6. Idem ao exercício 5, para um número real k qualquer, teremos; : ka

1 . ka

2 . ka

3 . ....

7. Idem ao exercício 5, para um número real d qualquer: : a

1+d . a

2+d . a

3-d . ... e

: a1-d . a

2+d . a

3-d . ...

1—–—— √b + √c

1—–—— √c + √a

1—–—— √a + √b

8. Provar que, dadas duas progressões aritiméticas <ai> e teremos a P.A <a

i+b

j>

e também a <ai-b

j>.

9. Prove o exercício 7 como consequência do exercício 8.

10. Provar que se <ai> é uma P.A, também <ka

i+d> é uma P.A.

11. Prove que, se <ai> é uma P.A com elementos não nulos, exiuste a igualdade para

qualquer n: 1/a

1a

2 + 1/a

2a

3 + ... + 1/a

n-1.a

n = (n-1)/a

1a

n

12. E, no caso de não serem negativos: 1/(√a

1+√a

2) + 1/(√a

2+√a

3) + ... + 1(√a

n-1+√a

n) = (n-1)/ (√a

1+√a

n)

13. Prove que, se existe a P.A finita: : a . b . c Existirá a igualdade: 3(a+b+c) (ab+bc+ca) = 21abc + 2 (a3+b3+c3)

14. Prove que, se existe a P.A finita: : 1/a . 1/b . 1/c Teremos a igualdade: 2(b-a) (b-c) = (b+a) (b-c) + (b+c) (b-a)

15. Prove que, se existe a P.A do exercício 14, temos também a P.A finita:


1. Um corpo, quando cais no vácuo, percorre 4,9m durante o primeiro segundo de queda e , em cada segundo, percorre 9,8m a mais do que no anterior. Calcular o percurso em 10 segundos.

2. Deduxir a fórmula da queda livre.

3. Deduzir a fórmula do espaço no movimento uniformemente variado (aceleração w).Sugestão: Lembrar que, com a velocidade inicial V

0, na primeira unidade de

tempo o móvel percorre V0+w/2, pois móvel percorre uma distância igual à que

um móvel fictício em unifrme percorreria se tivesse a média da delocidade inicial e da final no intervalo.



4. Determinar os ângulos de um triângulo, sabendo-se que estão em P.A e que um mede 100º.

5. Determinar os ângulos de um triângulo retângulo, sabendo-se ue estão em P.A.

6. Um polígono convexo de n lados possui os ângulos em P.A. Calcular n, sabendo-se que o terceiro mede 120º e o quinto vale 140º. Sugestão: Lembrar que a soma é (n-2) 180º.

7. Um relógio bate as meias horas e as horas; quantas pancadas dará em um dia.?

8. Os ângulos externos de um triângulo estão em P.A . Provar que os internos também estão.

9. O menor ângulo externo de um triângulo mede 100º. calcular os internos, sabendo-se que os externos estão em P.A.

ProgressõesAritiméticas-RespostasSequência4

1.a) 32, 38, 44 b) 22, 27, 32 c) -3, -6, -9 d) 35/15, 41/15, 47/15 e) 9/4, 2, 7/4 f ) 10,2 . 11,8 . 13,4

3. a) -9 b) -41 c) 9 d) 10 e)-5x

4. a) 127 b) 121 c) 203 d) -28 e) 9 1/2 f) 0,064

5. a) 5 b) 19 c) 23 1/6 d) 19,1

6. a) 300 b) 1 800 c) 21 700

7. a) 1 875 b) 775 c) 1 050 d) 1025 e) 750 f) -325 g) 1 150 h) 1 750

9. a) 1 745 b) 775 c) 975

10. a) b) n2x + c) n.a2(n-1) b2

——–—— a . b

n2

—– + n a

n(n-1)—–— y 2



Sequência6

1. 20, 26 e 32

2. 10, 12, 14, 16 e 18

3. 2, 4 e 6

4. a) 3 b) 6 ou -13,5

5. 5, 8, 11 e 14

6. 9, 12 e 15

7. 4, 7 e 10

8. 8b-3c—–— = a 5

9. (k-i)b - (j-1)ca = —–———— k-j

10. 35

11. n(n-3)—–— 2

13. n=11

Sequência8

1. 490

2. e = gt2

—– 2

3. e = Vot + wt2

— 2

4. 20º, 60º e 100

5. 30º, 60º e 90º

6. n = 8

7. 180

9. 80º, 60º e 40º

CAPÍTULO IIIPROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

•CONCEITO •TERMOGERAL •SÉRIESGEOMÉTRICAS

Progressões Geométricas

28.Elementos

Definem-se progressões geométricas as sequências dadas pela forma recorrente:

Da definição, temos que:

Ao valor q denomina-se, como para as progressões aritiméticas, razão; e, conforme o seu valor, fornece o sentido de crescimento da sequência.

1) q > 1 a1 > 0 a

n+1 >

a

n (P.G Crescente)

a1 < 0 a

n+1 < a

n (P.G Decrescente)

2) q = 1 an+1

= an (P.G Estacionária)

3) 0 < q < 1 a1 < 0 a

n+1 >

a

n (P.G Crescente)

a1 > 0 a

n+1 < a

n (P.G Decrescente)

a

1 > 0 (P.G Não-crescente)

4) 0 < q < 1 a1 = 0 a

n =

0 (n>1) (P.G Estacionária)

a1 < 0 (P.G Não-decrescente)

5) q < 0 (P.G Oscilante) Para as progressões geométricas usa-se também uma indicação tradicional: : a

1 . a

2 . a

3 . ... . a

n . ....

a1=aa=an+q,n>1 n+1

Progressão geométrica é uma sequência em que cada termo (a partir do segundo) é obtido do anteior multipicando-se por uma quantidade fixa.

{

{

{

Ilustração:a) a

1 = 3 > 0

q = 2 > 1 (crescente) a

2 = 3.2 = 6, a

3 = 6.2 = 12, etc.

: 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : .... b) a

1 = 3

q = 1 (estacionária) : 3 : 3 : 3 : ... : 3 : ...c) a

1 = 18 > 0

q = 1/3 (decrescente) : 18 : 6 : 2 : 2/3 : 2/9 : 2/27 : ....d) a

1 = 5

q = 0 (não-crescente, estacionária a partir do segundo) : 5 : 0 : 0 : 0 : ... : 0 : ...e) a

1 = 8 > 0

q = -1/4 (oscilante) : 8 : -2 : 1/2 : -1/8 : 1/32 : -1/28 : ...f) a

1 = -6 < 0

q = 2 > 0 (decrescente) : -6 : -12 : -24 : -48 : ... g) a

1 = -18 < 0

q = 1/3 (crescente) : - 18 : - 6 : - 2 : -2/3 : -2/9: ...h) a

1 = -2 < 0

q = 0 (não-decrescente, estacionária a partir do segundo.) : -2 : 0 : 0 : 0 : ... : 0 : ...

29.FórmuladoTermoGeral

Pela definição recorrente temos sucessivamente, para n=1, n=2 e n=3: a

2 = a

1.q

a

3 = a

2 . q = a

1 . q . q = a

1q2

a

4 = a

3 . q = a

1 . q2 . q = a

1q3

{

{

{

{

{

{

{

{



de onde induzimos que qualquer termo "deve ser" igual ao primeiro multiplicado pela razão elevada a um expoente igual ao seu índice de ordem menos uma unidade. Assim, para o termo a

5, "deveremos" encontrar:

a5 = a

1q4

e também a

6 = a

1q5, etc.

e, de , maneira geral: a

n = a

1qn+1

fórmula que o aluno provará ser verdadeira, por indução completa (ver exercícios).

Exemplo:

a1 = 3 a

n = a

1qn-1

q = 2 a6 = 3.25

a6 = ? a

6 = 3.32 = 96

Nota: A representação cartesiana de uma P.G é dada por pontos isolados de uma exponencial.

30.Correspondência(Leitura)

Julgamos no momento, mais útil convidá-lo a observar e comparar as duas fórmulas do termo geral: P.A: a

n = a

1 + (n-1) r

P.G: an = a

1 . q n-1

e concluirá conosco que : I. a adição na P.A , corresponde à multiplicalção da P.G, o que concorda também com a definição dessas sequências. II. a multiplicação na P.A : (n-1)r, corresponde na P.G à pontenciação qn-1. Tiremos em cada uma o valor da respectiva razão:

P.A: r = a

n-a

1—— n-1

, (n≠1) P.G: q = , (a

1≠1)

{

n-1√ an—

a1



Observermos nessa formulas das razões que: III. a subtração na P.A dada por a

n-a

1, corresponde na P.G à divisão dada por a

n/a

1.

IV. a divisão da P.A dada pela fração corresponde na P.G a radiciação, cujo índice é igual ao divisor (n-1). Em resumo, existem nas correspondências:

Essas observações se forem sempre corretas (o que de fato são) para todos cálculos de P.A e os correspondentes de P.G, deverão levar imediatamente o aluno a imaginar que se: 1. Na progressão aritmética finita existe a fórmula da soma (+):

Sn =

n(a1+a

n)

———– 2

então, na progressão geométrica finita existe a fórmula do produto (x):

Pn = √(a

1a

n)n

onde simplesmente se faz a transferência das operações, conforme a tabela anterior de correspondências; e, de fato, essa fórmula é correta e fornece o produto dos n primeiros termos de uma P.G.

Exemplo:

Seja P.G : 4 : 12 : 36 : ......

Calculemos o produto dos 8 primeiros:Cálculo de a

8 Cálculo do produto

a8 = a

1 . q7 P

8 = √ (a

1 . a

8)8

a8 = 4 . 3 7 P

8 = √(4x8 748)

a8 = 4 . 2 187 P

8 = √34 9928

a8 = 8 748 P

8 = 34 992 4

P.A + x – :

P.G x potenciação : radiciação



2. Na P.A existe a propriedade: "Entre três termos consecutivos, o mediano e a média aritimética dos outros dois".

ai =

ai-1

+ai+1———–

2então, na P.G existirá a propriedade:

Exemplo:

Na P.A: : 3 . 5 . 7 . 9 . 11 . 13 ......

9+13 22 ——– = —– = 11, que é o mediano. 2 2

Na P.G: : 3 : 6 : 12 : 24 : 48 : 96

√12.48 = √576 = 24, que é o mediano.

3. Na P.A finita existe a propriedade : A soma dos termos equisdistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. a

i+1 + a

n-1 = a

1 + a

n

então, na P.G finita existe a propriedade:

{{

Entre três termos consecutivos, o mediano é a média geométrica dos outros dois. a

i = √a

i-1 . a

i+1

O produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. a

i-1 . a

n-1 = a

i . a

n



Exemplo:

Na P.A temos as somas: : 4 . 7 . 10 . 13 . 16 . 19 | | — 23 — | | ——– 23 ——– | | ———— 23 ————–

Na P.G temos os produtos: : 4 : 12 : 36 : 108 : 324 : 972 | | —– 23 —– | | ——–– 23 ——–— | | ————– 23 ————––

O leitor entenderá que esses resultados obtidos por indução simples, deverão num segundo estudo, serem comprovados, por indução completa ou outro método de demonstração (ver exercícios).

Muitas das grandes descobertas científicas foram obtidas pela intuição ou indução dos pesquisadores, que depois foram sancionadas pela experiência ou teoricamente.

De onde a importância que o estudante deve dar à observação e comparação dos fenômenos e fórmulas, formando seu "espírito científico".

A demonstração tem por seu escopo sancionar as conquistas da intuição.

31.EstudosdassériesGeométricas

Fórmula da Soma de uma P.G Finita Consideremos a P.G Finita : a

1 : a

2 : a

3 : ... : a

i : ... a

n

Consideremos a soma e multipliquemos por q:



n ∑ a

i = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

i + ... + a

n-1 + a

ni = 1

n q ∑ a

i = a

1q + a

2q + a

3q + ... + a

iq + ... + a

n-1q + a

nq

i = 1

ou pela definição recorente de uma P.G : n

q ∑ ai = a

1 + a

2 + a

3 + ... + a

i+1 + ... + a

n + a

nq

i = 1 n n

q ∑ ai = ∑ a

i – a

1 + a

nq

i = 1 i = 1

n n q ∑ a

i – ∑ a

i = a

nq - a

1

i = 1 i = 1

n (q - 1) ∑ a

i = a

nq - a

1

i = 1

Caso seja q≠1, podemos escrever a fórmula: n a

nq - a

1 ∑ ai = ———

i = 1 (q - 1)

Ilustração : Cálculo da soma da P.G. finita de dez termos, cujo primeiro termo é 7 e a razão é 2. Cálculo de a

n: Soma:

a10

= a1 . q9

a10

= 7 . 29 n 3 587 . 2- 7 ∑ a

i = ————— = 7 161

i = 1 2 - 1 a

10 = 3 584

Caso Particular: É muito frequente a progressão geométrica com o primeiro termo unitário por isso tiraremos uma fórmula particular; fazendo a

1=1, obtemos em a

n= a

1qn-1 e para

fórmula particular:

n qn - 1 ∑ a

i = ——–

i = 1 q - 1

( )



ou: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn =

qn - 1——– q - 1

Umproblemahistóricocurioso: Conta a história que há muito tempo na ìndia (ou num outro país do Oriente), um calculista salvou a filha de um rei, e este em agradecimento ofereceu-lhe qualquer prêmio que pedisse: o calculista solicitou que lhe entregassem um grão de trigo pela primeira quadrícula de um tabuleiro de xadrez (8 por 8), dois grãos pela segunda, quatro pela terceira, e assim sucessivamente, dobrando as quantidades de grãos até a quadrícula 64.

O rei riu do pedido, julgando-o uma "ninharia"; a história não nos narra como fez o rei para cumprir a promessa, pois os cálculos indicam que isso seria impossível, pois o que o calculista pediu corresponde à P.G finita:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263

cuja soma sabemos ser:

S = 264 - 1——– 2 - 1

= 264–1

que é aproximadamente igual a 18 quinquilhões, mais que todo trigo do globo, durante anos e anos!

CASO q = 1 No caso da P.G possuir a razão igual a unidade, ela é estacionária e todos termos são iguais a um valor a, portanto: n n

∑ ai = ∑ a = n . a

i = 1 i = 1

Ilustração: : 3 : 3 : 3 : ...

20 20 ∑ a

i = ∑ 3 = 20 . 3 = 60

i = 1 i = 1

CASO q = 0 A progressão evidentemente terá por soma o valor do 1º termo, pois todos os outros são nulos; resultado que pode ser obtido da própria fórmula.

Convergência da Série Geométrica Tomemos primeiramente a fórmula

n an.q - a

1 ∑ ai = ——–—

i = 1 q - 1

válida para qualquer n e a escrevamos na forma:

n q a1

∑ ai = a

n . ——– + ——–

i = 1 q - 1 1 - q Só estudaremos os casos q>1, 0<q<1 e q<0. 1) q > 1 a) Para as Progressões Geométricas crescentes (a

1>0), o valor de a

n aumenta

indefinitivamente com o aumentar de n, portanto , por ser

an . q——–

q - 1 > a

n

o valor da primeira parcela da soma tende ao infinito positivo. Acrescentando-se a esse valor infinito a segunda parcela, que é finita e constante, a soma simplesmente aumenta mais um pouco, de onde podemos concluir que nesse caso:

∞ ∑ a

i = ∞

i = 1

ou: lim S

n = ∞

n ∞

Exemplo:

A série 4 + 4 .3 + 4 . 32 + 4 . 33 + ......tem pro limite o infinitivo positivo, é portanto divergente. b) Para as Progressões Geométricas descresntes (a

1 <0), os valores de a

n são

negativos, portanto podemos escrever: a

n = - | a

n |

e a fórmula se trasnforma em:

n q a1

∑ ai = |a

n| . ——– + ——–

i = 1 q - 1 1 - q

O termo |an| q—–– q - 1

, como no estudo anterior, aumenta indefinidamente tendendo

ao infinito, portanto o termo.

- | an |

q——– q - 1

tende ao infinito negativo e como o acréscimo da parcela dinita de valor constante influi pouquíssimo, podemos escrever que:

∞ ∑ a

i = - ∞

i = 1 ou: lim S

n = - ∞

n ∞

Exemplo:

A série (-4) + (-4)2 + (-4)22 + (-4)23 + ...tem por limite o infinito negativo.

2) 0 < q < 1 a) Para as Progressões geométricas descrescentesa (a

1>0), os valores de a

n vão

diminuindo com o aumentar de n, mas como a1 e q são positivos, todos os termos são

sempre positivos, logo, an diminue indefinitivamente permanecendo sompre positivo, isto

é aproxima-se indefinitivamente de zero.

Com a fração q——– q - 1

é negativa e contante, o termo an q——– q - 1

aprozima-se de zero , mas é negativo. Por consequência , a fórmula da soma quando fazemos n tender ao infinito se reduz à segunda parcela:

∞ a1 ∑ a

i = –——

i = 1 1 - q

ou: lim S

n =

n ∞

a1——–

1 - q

mas sabemos que se aproxima desse valor pro valores inferiores, já que a outra parcela é negativa.Ilustração: a

1 = 2

q = 1/2

: 2 : 1 : 1/2 : 1/4 : 1/8 : ....

∞ 2 2 ∑ a

i = –—— = —–— = 4

i = 1 1-1/2 1/2

e neste exemplo é fácil observar a aproximação ao valor 4 pro valores inferiores: 2 + 1 = 3 2 + 1 + 1/2 = 3 1/2 2 + 1 + 1/2 + 1/4 = 3 3/4 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 3 7/8 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 3 15/16, etc

b) Para as Progressões Geométricas crescentes (a1<0), os valores de a

n são

negativos, portanto podemos escrever: a

n = - |a

n|

e a fórmula se transforma em :

n q a1

∑ ai = -|a

n| . ——– + ——–

i = 1 q - 1 1 - q Como q<1, os valores de |a

n| vão diminuindo, aproximando-se também de zero,

logo, como no caso anterior , o termo -|an| q——–

q - 1se aproxima indefinidamente de zero

mas é positivo pois a fração q——– q - 1

é negativa.

{

Em resumo, a soma se reduz também à segunda parcela:

∞ a1 ∑ a

i = –——

i = 1 1 - q

ou: lim S

n =

n ∞

a1——–

1 - q

mas sabemos que se aproxima desse valor por valores superiores, já que a outra parcela é positiva.Ilustração: a

1 = -4

q = 1/3

: -4 : -4/3 : -4/9 : -4/27 : ....

∞ a1 -4 -4

∑ ai = –—— = —–— = —— = - 6

i = 1 1 - q 1-1/2 2/3

e podemos observar a proximação por valores superiores.

3) q < 0

a) | q | > 1

A Progressão Geométrica osclia entre os valores positivos e negativos e cada vez maiores em valor absoluto, pois com o crescer de n, cresce |qn| e também |a

1qn|,

portanto |a1qn+1| > |a

1qn|, ou que a soma vai assumindo valores alternadamente positivos

e negativos, aumentando em valor absoluto. Em resumo, para n ∞, a soma oscila entre +∞ e -∞.Ilustração: Seja P.G: : 4 : -8 : 16 : -32 : 64 : -128: ....

{

As somas serão : S

1 = 4 = 4

S2 = 4 - 8 = - 4

S3 = 4 - 8 + 16 = 12

S4 = 4 - 8 + 16 - 32 = -20

S5 = 4 - 8 + 16 - 32 + 64 = 44

S6 = 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - 128 = -84

b) 0 < |q| < 1 A Progressão Geométrica oscila entre valores positivo e negativo, e cada vez menores em valor absoluto, pois com o crescer de n, decresce |qn| e também |a

1qn|,

portanto |a1qn+1| < |a

1qn|, ou |a

1| > |a

2| > |a

3| > |a

4| > ....

Temos as conclusões I) quando se junta um termo positivo não se soma mais do que se subtraiu na vez anterior. II) quando se junta um termo negativo não se subtrai mais do que se adicionou na vez anterior. Portanto a série é convergente e:

Se o primeiro termo é positivo, as somas serão positivas e

menores que ele.

Se o primeiro termo é negativo, as somas serão negativas e maiores que ele.

Calculemos então, em separado, a soma positiva e a negativa, desdobrando em duas progressões de razão q2<1: : a

1 : a

1q2 : a

1q4 : .....

: a1q : a

1q3 : a

1q5 : .....

usando a a fórmula da soma para a razão positiva inferior a 1.

e

a1——–

1 - q2

a1q

——– 1 - q2



Adicionando os resultados:

a1 a

1q a

1(1+q) a

1–—— = —–— = ———– = —— 1 - q2 1 - q2 1 - q2 1 - q

isto é, a fórmula é mesma:

Observação(Optativo)

Podemos chegar ao mesmo resultado, adicionando cada dois termos da progressão: : a

1 : a

1q : a

1q2 : a

1q3 : ....

a1 + a

1q = a

1 (1+q)

a1q2 + a

1q3 = a

1 (1+q)q2

a1q4 + a

1q5 = a

1 (1+q)q4

....................................obtendo uma nova P.G cujo primeiro termo é a

1(1+q) e a razão é q2 (positiva menor q 1).

Também é conveniente observar que esse resultado é válido, pois independedos pares, e podíamos agrupá-los de outra maneira:

: a1 : a

1q : a

1q2 : a

1q3 : a

1q4 : ......

a1

a1q + a

1q2 = a

1 (q+q2)

a1q3 + a

1q4 = a

1 (q+q2)q2

a1q5 + a

1q6 = a

1 (q+q2)q4

e temos a transformado na soma de a1 com a P.G de primeiro termo a

1(q+q2) e razão q2,

portanto usando a fórmula temos:

a1(q+q2) a

1(1+q)q a

1q a

1a1+ –——— = a

1—–—— = a

1+ –—–– = ——

1 - q2 1 - q2 1 - q2 1 - q

Ilustração: Seja a P.G: : 4 : -2 : +1 : -1/2 : 1/4 : -1/8 : ....

∞ 4 4 ∑ a

i = –—— = —–— = 8/3 = 2 2/3

i = 1 1+1/2 3/2

e podemos observar a aproximação fazendo :



4 = 4 4 - 2 = 2 4 - 2 + 1 = 3 4 - 2 + 1 - 1/2 = 2 1/2 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 = 2 3/4 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 = 2 5/8 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 = 2 11/16 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 = 2 21/32 4 - 2 + 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + 1/64 = 2 43/64 .................................................................................................Ex. b) Seja a P.G com a1

= -6 e q = -1/3 : -6 : 2 : -2/3 : 2/9 : -2/27 : ...... ∞ -6 -6 18

∑ ai = –—— = —–— = – —– = - 4 1/2

i = 1 1+1/3 4/3 4

e podemos observar a aproximação fazendo : -6 = - 6 -6 + 2 = - 4 -6 + 2 - 2/3 = - 4 2/3 -6 + 2 - 2/3 + 2/9 = - 4 4/9 -6 + 2 - 2/3 + 2/9 - 2/27 = - 4 14/27 -6 + 2 - 2/3 + 2/9 - 2/27 + 2/81 = - 4 40/81 ........................................................................ 32.ExercíciosResolvidos

a) Cálculo do oitavo termo da P.G em que o primeiro é 4 e a razão é 3: a

n = a

1qn-1

a8 = 4 . 37 = 4 . 2 187 = 8748

b) Cálculo do décio termo da P.G em que o primeiro é 40 e a razão é -1/2: a

n = a

1qn-1

a10

= 40 (1/2)9 = 40 (- 1 –— 512

) = - 5 –— 64



c) Uma P.G possui razão igual a 3 e o sétimo igual a 162. Qual é o 1º? a

n = a

1qn-1

162 = a136 162 = a

1729 a

1 =

162 —— 729

= 2 –– 9

d) Uma P.G Possui o primeiro igual a 4 e a razão é 3. Quantos termos são necessários escrever para se obter 324? a

n = a

1qn-1

324 = 4 . 3n-1 3n-1 = 324 —— 4

3n-1 = 81 Fatorando 81, obtemos 34, logo 3n-1 = 34, comparando obtemos n-1= 4 n=5. e) Uma P.G possui o terceiro termo igual a 3 e o sétimo igual a 3/16. Qual é o primeiro e a razão? a

n = a

1qn-1

n = 3 fornece 3 = a1q2 ( I )

n = 7 fornece 3/16 = a1q6 ( II )

Dividindo membro a membro a II pela I, obtemos: 3/16 a

1q6

—— = —— 3 a

1q2

ou

1 1—– = q4 q = ±√—– 16 16

Fatorando 16, obtemos q = ± 4 1√—– 24 q´´ = - 1/2

q´ = 1/2

Substituindo na equação I : 3 = a

1 (± 1/2)2 a

1 . 1/4 a

1 = 12

f) Numa P.G a soma do quarto com o sexto termo é a soma de sétimo com o nono é 1280. Calcular a soma dos 10 primeiros. a

4 + a

6 = 160 a

1q3 + a

1q5

= 160

a7 + a

9 = 1 280 a

1q6 + a

1q8

= 1 280

{

{ {



a1q3(1 + q2) = 160 (I)

a1q6(1 + q2) = 1 280 (II)

Dividindo membro a membro a II pela I:

a1q6(1 + q2) 1 280

————— = ——— q3 = 8 q = 2 a

1q3(1 + q2) 160

Cálculo do 1º: a

10 = a

1q9

a10

= 4.29 = 4 . 512 = 2 048Cálculo da soma:

n anq - a

1

∑ ai = –———

i = 1 q - 1

10 2 048 . 2 - 4 ∑ a

i = –————– = 4 092

i = 1 2 - 1 g) Numa P.G a soma do segundo com o terceiro e com o o quarto é

171 –– 4

, e a diferença do terceiro e o segundo é 9––

2. Calcular a razão.

a2 + a

3 + a

4 = 171

––– 4

a1q+ a

1q2+ a

1q3=

171––– 4

a3 – a

2 = 9––

3 a

1q2 – a

1q = 9––

2

a1q+ a

1q2+ a

1q3=

171––– 4

a1q2 – a

1q = 9––

2

Dividindo membro a membro, obtemos:

1+q+q2 171 2———— = —— . —– q – 1 4 9

e resolvendo a equação do 2º grau, obtemos duas soluções

q´ = 3––– 2

e q´´ = 113––– 9

{

{

{



h) (Aplicação às geratrizes de dízimas periódicas) Consideremos a dízima: d = 0,2454545 ...... = 0,2 + 0,045 + 0,00045 + ......

= 2 45 45 1 45 1 2

––– + –—— + –—— . —— + —–— —— + ..... 10 1000 1000 100 1000 100

portanto , a partir da 2ª parcela, temos uma série-geométrica de soma:

45 45 —— —— a

1 1000 1000 45

—— = ——— = ——— = ——1 - q 1 - 1 99 990 —— —— 100 100

Adicionando com a 1ª parcela:

2 45 243d = ––– + —–— = —— 10 990 990

que é a geratriz da dízima.


1. Calcular o quarto, o oitavo e o décimo termo de cada progressão, operando recorrentemente: a) a

1 = 3 b) a

1 = -2

an+1

= a . 5 an+1

= an . 3

c) a1 = 60 d) a

1 = 20

an+1

= an . 1/2 a

n+1 = a

n . -3/4

e) a1 = 4 f) a

1 = 7

an+1

= a an+1

= -a

2. Calcular os termos pedidos no exercício 1, mas usando a fórmula do termo geral.

( )

{ {

{ {

{ {



3. Calcular o primeiro termo de cada progressão geométrica abaixo: a) a

10 = 6 c) a

7 = 5/32

q = 2 q = -1/2 b) a

5 = 32/3 d) a

8 = - 2 187

q = 4/3 q = - 34. Calcular a razão e o quarto termo, sabendo-se que : a) a

5 = 30 b) a

8 = 7 c) a

5 = 6

a6 = 10 a

10 = 63 a

8 = 384

d) a

6 = 1 e) a

2 = 6

a10

= 16/81 a5 = 1024/27

5. Calcular o primeiro termo e a razão das progressões geométricas dadas pelas somas: a) a

2 + a

5 = 336 b) a

1 + a

4 = 1 152

a3 + a

6 = 1 008 a

3 + a

6 = 228

b) a2 + a

3 + a

4 = 70 d) a

4 + a

5 = 96

a2 - a

3 = 20 a

3 + a

5 = 80

6. Calcular o produto dos n termos indicados em cada P.G, usando a fórmula do produto: a) n = 4 b) n = 6 c) n = 10 a

1 = 3 a

1 = 20 a

1 = 800

q = 5 q = 2 q = 1/27. Calcular a soma dos n termos indicados em cada P.G: a) n = 12 b) n = 20 c) n ∞ a

1 = 3 a

1 = 256 a

1 = 4

q = 5 q = 1/2 q = 1/3 d) n ∞ e) n ∞ f) n ∞ a

1 = 7 a

1 = -4 a

1 = -2

q = 3 q = 2 q = 1/4 g) n = 30 h) n ∞ i) n ∞ a

1 = 6 a

1 = 6 a

1 = -2

q = -2 q = -1/3 q = -1/5 j) n = 40 k) n = 60 l) n ∞ a

1 = 2 a

1 = 5 a

1 = 6

q = 1 q = 0 q = -3

8. Represente graficamente as progressões geométricas do exercício 1.

{

{

{

{

{

{

{{{{{

{{{{{

{{{{{

{

{

{{

{

{

{




1. Prove por indução que o termo geral de uma P.G é dado pela fórmula:

an = a

1qn-1

2. Prove que numa PG. para quaisquer três termos consecutivos, o mediano é média

geométricados outros dois.

1ª sugestão: Escreva as expressões de ai-1

e de ai+1

pela fórmula do termo geral e

multiplique-as

2ª sugestão: Utilize a definição recorrente

3ª sugestão: Prove por indução completa.

3. Prove que numa P.G finita, o produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao

produto extremos.

1ª sugestão: Escreva as expressões de ai+1

e de ai-1

pela fórmula do termo geral e

multiplique-as.

2ª sugestão: Prove por indução completa.

4. Prove a fórmula do produto do stermos de uma P.G finita.

1ª sugestão: Escreva : P = a1 . a

2 . .... . a

i+1 . ... . a

n-1 . ... . a

n-1 . a

1

Escreva : P = an . a

n-1 . .... . a

n-1 . ... . a

i+1 . ... . a

2 . a

1

Multiplique e utilize a propriedade dos equidistantes.

2ª sugestão: por indução completa

5. Prove a fórmula da sima dos termos de uma P.G finita.

1ª sugestão: Por indução completa.

2ª sugestão: Pela definição, recorrente, se an≠0, pode-se escrever a

n+1: a

n = q;

aplique a propriedade das razões iguais: "a soma dos antecedentes está para a

soma dos consequentes assim como qualquer razão"


1. Prove que se existe a P.G : a

1 : a

2 : a

3 : ....

também existe a P.G: : ka

1 : ka

2 : ka

3 : ....

2. prove que se existem as progressões geométricas: : a

1 : a

2 : a

3 : ....

: b1 : b

2 : b

3 : ....

com razões iguais, então existem: : (a

1 + b

1) : (a

2 + b

2) : (a

3 + b

3) : ....

: (a1 - b

1) : (a

2 - b

2) : (a

3 - b

3) : ....

3. Prove que o produto de duas progressões geométricas é uma P.G.

4. Prove que o quociente (se possível) de duas progressões geométricas é uma P.G.

5. Porve que se os números m, n e p estão em P.G, então: (m+n+p) (m-n+p) = m2 + n3 + p3

6. Prove que se os números m, n e p estão em P.G, então :

n2p2 m2p2 m2n2

—— + —— + —— = m3 + n3 + p3 m n p

7. Prove que de <ai> é uma P.G, então <a

i2> é uma P.G

8. Prove que de <ai> é uma P.G , então é uma P.G com b

i = a

i+1- a

i.

9. Prove que se existe: : a : b : c : dentão, tem-se a igualdade. (a2 + b2 + c2) (b2 + c2 + d2) = (ab + bc + cd)2

10. Prove que se existe : : a : b : c : d então, ac + bd - 2ad = (b-c)2

11. Prove que se <ai> é uam P.G, então <

1–– a

i

> é uma P.G

12. Prove que se <ai> é uma P.G então <a

ik> é uma P.G.

13. Prove que se existe : : a : b : c : d :e então, (b+d)2 = (a+c) (c+e)

14. Prove que se a, b e c são os termos de ordem 4, 10 e 12 de uma P.G, então: b8 = c6a2

15. Generalize o exercício 14.

16. Provar que se Sk é a soma dos k primeiros termos de uma P.G, então:

(S2k

- Sk)2 = S

3kS

k – S

2kS

k

Exercícios - Sequência 12

1. Calcule a geratriz das dizimas periódicas simples, indicadas:a) 0,2 b) 0,36 c) 0,528

2. Calcule as geratrizes das dízimas periódicas compostas, indicadas:a) 0,452 b) 0,38 c) 0,7136d) 0,054 e) 0,00213 f) 0,0802

3. Resolva as equações

a) x x xx + –– + — + — + ...... = 60 3 9 27

b) 3y 9y 27yy + ––– + –— + —— + ..... = 200 4 16 64

4. Calcular as somas:

a) b b2 b3 ba + ––– + –— + —— + ..... = com a > — 3 9a 27a2 3

b) d d2 d3

8c – ––– + –— + —— + ..... = com | d | < 2c2

4c 8c3 16c5


1. É dado um quadrado de lado a; une-se os pontos médios, obtendo-se outro quadrado (prove); un-se os pontos médios do segundo quadrado , ontendo-se um terceiro quadrado; e assim sucessivamente. Calcular a soma das áreas.

2. Resolver o exercício 1 no cado da figura ser um triêngulo equilátero.

3. Tem-se um círculo de raio R, inscreveose um quadrado, no quadrado inscreve-se um círculo; assim sucessivamente. Calcular:a) A soma dos raiosb) A soma dos ladosc) A soma das áreas dos círculosd) a soma das áreas dos quadrados.



4. Tem-se um círculo de raio R, inscreve-se um triângulo equilátero, no triângulo inscreve-se um círculo; e, assim sucessivamente. Calculara) A soma dos perímetros das circunferênciasb) A soma dos perímetros dos triângulosc) A soma das áreas dos círculosd) A soma das área dos triângulos

5. Tem-se cubo de aresta a, iscreve-se uma esfera, na esfera isncreve-se um cubo; e, assim sucessivamente. Calculara) A soma de todas as arestasb) A soma dos raiosc) A soma dos volumes dos cubosd) A soma das áreas totais dos cubose) A soma das áreas das esferas.

6. tem-se um retângulo de lados a e b, traça-se uma diagonal, marca-se os pontos médios na diagonal, e, em dois lados, une-se, obtendo-se um novo retângulo, traça-se a sua diagonal; e, assimsucessivamente. Calcular:a) A soma das diagonaisb) A soma dos perímetrosc) A soma das áreas

7. Tem-se um quadrado de lado a, constroe-se 4 círculos tangentes de raios iguais; em cada círculo inscreve-se um quadrado, em cada quadrado repete-se a construção dos 4 círculos. Calcular:a) A soma das áreas dos quadradosb) A soma das áreas dos círculos.

8. Tem-se um quadrado de lado a, marca-se em cada lado (no mesmo sentido) um ponto que divida os lados em dois segmentos tais que um seja 1/4 do todo, une-se esses pontos, obtendo-se um novo quadro (provar); e, assim sucessivamente, Calcular:a) A soma das áreas dos quadradosb) A soma das diagonais




1. Largando -se uma bola de uma altura qualquer, ela bate no chão e sobe a um altura 2/3 da anterior; tendo-se largado inicialmente da altura h, quanto percorrerá a bola?

Sugestão: Observar que o total é a primeira queda h mais o dobro de uma P.G de primeiro 2/3 e razão 2/3.

2. De dois pontos A e B, distantes de d km, partem simultêneamente dois móveis X e Y, um ao encontro do outro, com velocidade iguais a k/2 km/h. No mesmo instante, um terceiro móvel Z sai de A, com a velocidade 3k/2, caminha até encontrar Y, voltando imediatamente até encontrar Y, voltando imediatamente até encontrar X; e, assim sucessivamente.Quantos km percorrerá?

Sugestão: Com a velocidade de Z é o triplo da velocidade de X e de Y, a peimira disyandica percorrida por Z é 3/4 d; o problema de repente, mas a distancia adora 1/2 d (pois o móvel X já andou 1/4 d ).

3. Calcular a soma:

3 4 5 61 + 1 + –– + — + —– + —– + ...... 4 8 16 32

Sugestão: Observar que a soma pode ser substituída pelas somas: x x xx + –– + — + — + ...... = 60 3 9 27

x x xx + –– + — + — + ...... = 60 3 9 27

x x xx + –– + — + — + ...... = 60 3 9 27

4. Provar que se os lados de um triângulo formam uma sequência em P.G, etão as alturas também.

5. provar que se em um triângulo ABC temos a progressão: : tg A : tg B : tg C

então cos 2b = cos (A+C)———— cos (A-C)

6. Provar que se os lados de um triângulo estão em P.G então:sen2B = sen A sen C.



33.Respostasdosexercíciosdassequências9a14

Sequência9

1. a) 375, 234 375 e 5859375 b) -54, -4 374 e -39 366

c) 1 15 157 –– , –— e —— 2 32 128

d) 135 10.935 98.415- ––— , ——— + ——— 16 4 096 65 504

e) 4, 4 e 4 f) -7, -7 e -7

3. a) 3/256 b) 27/8 c) 10 d) 1

4. a) 1/3 e 90 b) 3 ou -3 e 7/81 c) 4 e 3/2 d) 2/3 ou - 2/3 e -5 e) -4/3 e - 256/9

5. a) 4 e 3 b) 1024 e 1/2 ou 9216/7 e - 1/2c) 80 e 1/2 ou -2/3 e -5 d) 4 e 2 ou 8/9 e 3

6. a) 1 265 625 b) 227 x 56 c) 32 x 520

7. a) 3 (512 - 1)———— 4

b) 29 - 2 -11 c) 6

d) ∞ e) - ∞ f) - 8/3 g) - 2 . (415 - 1) h) 4,5 i) - 25/6 j) 80 k) 5 l) ∞ e -∞ (oscila)

Sequência12

1. a) 2/9 b) 36/99 c) 528/999

2. a) 224/495 b) 7/18 c) 7065/9900 d) 49/900 e) 211/99000 f) 794/9900

3. a) 40 b) 50

4. a) 3a2

–––— 3a - b

b) 32c2 + 15cd–––———— 4c2 + 2d



Sequência13

1. 2a2

2. a2 √3–––— 3

3. a) R (2 + √2) b) 2R (√2 + 1) c) 2πR2 d) 4R2

4. a) 4πR b) 6R√3 c) 4πR2

–––— 3 d)

R2√3–––— 2

5. a) 6a (3 + √3) b) a(3+√3)–––—— 2

c) 3√3a3

–––— 3√3-1

d) 9a2 e) 3πa2

–––— 2

6. a) 2√a2+b2 b) 4(a+b) c) 4ab–––— 3

7. a) 2a2 b) πa2

––– 2

8. a) 8–– 3

a2 b) 2a— 3

(4 √2 + √20)

Sequência14

1. 5h

2. 8–– 3

d

3. 4

4. Se b = aq e c =aq2, então : h2 = h

3q e h

1 = h

3q2

SEGUNDA PARTE

LOGARITMOS DECIMAIS USO DAS TÁBUAS

CAPÍTULO IVLOGARÍTMOS DECIMAIS

•AFunçãoLogaritimo-Decimal •CaracterísticaeMantissa •Usodastábuas •Anti-Logarítimo



34.Introdução

No primeiro ano colegial você, que vem estudando com interesse o nosso CURSO MODERNO DE MATEMÁTICA, ficou situado num plano um pouco abstrato de conhecimentos. Encontrou no primeiro livro, principalmente, um conjunto de noções que tiveram por intuito dar a você um intrumento teórico, um simbolismo e uma terminologia capazes de o habilitar a melhor formular e resolver os problemas da Matemática aplicada. A Matemática pura ou teórica não constitui, pois, um passa-tempo para diletantes: ela visa obter processos mais eficientes para a solução das questões concretas que deparamos em toda atividade humana. Você sabe que o progresso industrial e a crescente complexidade dos problemas práticos do comércio, da industria e mesmo da administração pública vem exigindo novas técnicas de cálculo numérico e que, por esse motivo, já entramos na era da cibernética, isto é, dos COMPUTADORES , ou "cérebros eletrônicos". Felizmente, para o prestígio da inteligência do homem, o computador não resolve nenhum problema – apenas executa, com incrível rapidez, os cálculos indicados na PROGRAMAÇÃO feita pelo matemático. Neste segundo livro, apoiados na linguagem e nos conceitos básicos que você aprendeu, estamos dirigindo o nosso CURSO MODERNO no sentido de guiá-lo nos primeiros passos para a Matemática aplicada. Aprendendo a álgebra das matrizes e a resolução de sisyemas linearres, voce está se preparando para poder dar ordens aos computadores. No sentido das sequências, você tomou um primeiro contato com as séries numéricas e mais tarde irá aplicar tudo isso nos programas de computação. Mas ... nem todos dispões de um computador sempre à mão . E mesmo que isso ocorresse, é claro que há problemas da atividade fdiária que o bancário, o comerciante, o físico, o engenheiro ou o sociólogo pode e debve resolver "na ponta do lápis" ou complusando tabelas de juros, a Tabela Price, tábuas de logarítmos ou usando réguas de cálculo. A preocupação de tornar mais rápidos os cálculos com a elaboração de tábuas numéricas surgiu no século XVI, em consequência, do desenvolvimento da navegação e do comércio. Surgiram então as primeira tábuas de navegação e de juros compostos.



As tábuas de logarítmos foram inventadas na mesma época (fins do século XVI) pelo escocês John Napier (ou Neper) e pelo suiço J. Burgi, trabalhando independentes um do outro, mas coube ao inglêns W. Briggs a ideia da tábua de base decimal, que se mostrou mais conveniente para cálculos. A palavra logaritmo foi um neologismo criado pro J. Napier, das palavras gregas aritmos (números) e logos (razão, relação). Neste capítulo você vai ficar amigo das tábuas de logarítmos; vai dominar um intrumento capaz de auxíliá-lo, por exemplo, no cálculo rápido de potências e raízes, tais como 2,35672 , 3√54,87

Mas você precisa ajudar o livro e o professor na tarefa de lhe ensinarem a técnica do uso das tábuas. Como? Fazendo antes uma revisão completa das definições, propiredades e gráficos das funções exponenciais e logarítimicas, estudadas no primeiro ano. Experiemente Fazer um resumo, numa folha de papel, para ter sempre à am~eo as noções que deverá usar.

35.AFunçãoLogarítmo-Decimal

A função y=log10

x é, como vimos no primeiro volume, definida como inverso da função exponencial de base 10:

y = log10

x x = 10y

NOTA: Neste capítulo, vamos usar o símbolo log no lugar de log10 ou Log para os logarítimos decimais ou vulgares.

Atribuindo à variável x valores iguais as potências de 10, para os quais é mais fácil calcular as imagens, obtemos a seguinte tabela:

x ... 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 ...

y ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...

NOTA: log 10n = n (por que?).



Representando alguns pares ordenados (x, log x) no plano cartesiano e unindo-se por uma curva contínua, obtemos o gráfico seguinte (onde x>0):

NOTA: Observermos que, em cada intervalo relativamente pequeno a curva dá impressão de ser uma segmento de reta. Na verdade, em nenhuma trecho é um segmento , pois a única função cujo gráfico é retilíneo é função linear: y=ax+b. Entretanto, quando substituimos, entre dois pontos próximos, a curva por um segmento de reta, isto não afeta, práticamente, a precisão dos cálculos correspondentes.

A tabela acima dá os logaritmos apenas das potências de 10, mas as tábuas de logaritmos, construídas por processos especiais que não podemos descrever neste curso, dão os logaritmos de todos os números inteiros , de 1 a 1.000 ou até 10.000 ou mesmo 100.000. As tábuas indicam apenas as MANTISSAS ou "partes decimais" dos logaritmos (que em geral são números irracionais), com aproximação de 4, 5 ou mais "casas decimais". Usaremos a tábua de 4 decimais, inserida no fim deste volume, para os números de 1 a 999. A aproximação é suficiente para a maioria das aplicações.

36.CaracterísticaeMantissa

O logaritimo de uma potência de 10 é número inteiro , ao passo que os logaritmos deos outros números positivos são representados na forma decimal: log A = c,m = c + 0,m

1

1

10 a bx

y

y=log x10



onde c é um número inteiro (positivo, sero ou negativo) que se denomina caracte´ristica e 0,m pe um número decimal menor do que 1, que se denomina mantissa do logaritmo. Na tábua, que encontramos apenas os algarismos que representam as casas decimais de mantissa, com aproximação de 4 ou mais ordens decimais. O Cálculo de logaritmos pelas tábuas obedece às propriedade seguintes.

36.PropriedadeI—(Damantissa)

Se o logaritmo de um número A tem característica c e mantissa 0,m, o logaritimo do produto de A por uma pot}encia de 10 tem a mesma mantissa.

Vamos justificar inicilamente a propriedade por meio de um exemplo: log 371 = 2,5682 Temos: log 371.104 = log 371 + log 104

= log 371 + 4 = 2,5682 + 4 = 6,5682 log 371.10-2 = log 371 + log 10-2

= 2,5682 - 2 = 0,5682NOTA: A demostração, de modo geral pode ser feita assim? Seja log A = c,m Então : log (A.10n) = log A + log 10n

= c,m + n = = c+n+0,m = = (c+n) , m. O número n é um inteiro qualquer (n ∈ Z). A propriedade I se interpreta praticamente dizendo que "o deslocamento da vírgula do número para a direntira ou para a esquerda não altera a mantissa.

38.PropriedadeII—(Dacaracterística,paranúmeromaiorque1)

A característica do logaritmo de um número maior do que 1 é igual ao número de algarismos da sua parte inteira, menos um.

Ilustração: 1º) Seja 0,m a mantissa do logaritmo de 73. Na tabela do § B, temos: log 10 = 1, log 100=2. Como o número 73 está entre 10 e 100, e a função é estritamente crescente, o seu logaritmo é um número compreendido entre 1 e 2: .: log 73 = 1,m 2º) log 261,43 = 2,m porque 100 < 261,43 < 1000 log 100 = 2, log 1000=3 3º) log 7,45 = 0,m porque 1 < 7,45 < 10 log 1 = 0, log 10 = 1

39.PropriedadeIII—(Dacaracterística,paranúmeropositivomenorque1)

A característica do logaritmo de numero positivo menor do que 1 é igual ao oposto do número de zeros existentes `a esquerda do primeiro algarismo significativo (contando inclusive o que vem antes da vírgula).

Ilustração: 1º) log 0,75 = log

75—— 100

= log 15 - log 100 = 1,m - 2 = (1 - 2) + 0,m = = (-1),m = 1,mNOTA: A soma algébrica de um número inteiro negativo (-c) com um decimal positivo 0,m se escreve na forma c,m que se chama forma mista.

2º) log 0,0043 = log 43—–— 10000

= log 43 - log 10000 = = 1,m - 4 = = 3,m.

40.ComoseConsultaaTábua

Para calcularmos o logaritimo de um número positivo dado, procedemos do seguinte modo:



1º) Determinamos a característica, pelas propriedades II ou III. 2º) Como primeiro recurso para a determinação da mantissa, podemos deslocar a vírgula para a direita ou para a esquerda: pode ser que encontremos um número entre 00 e 999, cuja mantissa está na tábua. 3º) Quando a condição anterior não se verifica, temos que fazer um cálculo auxiliar, denominado INTERPOLAÇÃO LINEAR.

Ilustração: 1º Calcular log 7,86 Pela propriedade II, a caracteristica é 0. Para o cálculo da mantissa, podemos considerar o número 786,. Na tábua, procuramos o número de dezenas. 78, na coluna N e o algararismo das unidades, 6, na coluna 6, à direita de N. Os algarismos da mantissa são encontrados na interseção da linha 78 com a coluna 6, onde encontramos 8954. Portanto: 0,m = 0,8954. Temos então? log 7,86 = 0,8954

2º) Calcular log 3320000. Característica: c = 6 Mantissa correspondente a 332 = 0,5211 Portanto log 3320000 = 6,5211

3º) Calcular log 0,00301 Característica: c = -3 mantissa para 301 = 0,7486 (na linha 30 e coluna 1). Portanto: log 0,00301 = 3,7486.

INTERPOLAÇÃO: Suponhamos que você queira calcular o logaritmo de 345,8. (Consulte também a fórmula de interpolação no livro do 1º ano colegial - pag 185.) A caraterística é 2 e a mantissa deve estrar entre as mantissas correspondentes ao snúmeros inteiro mais próximos, 345 e 346. 345 5378 (0,5378) 346 5391 (0,5391) Admitindo que entre dois pontos próximos um do outro o grpafico da função logaritmo-decial pode ser substituído por um segmento de reta, podemos fazer a interpolação por regra-de-três, como se as variações de y fossem proporcionais às de x (o que só ocorre realmente na função linear).



Adotaremos a seguinte disposição para o cáculo do acréscimo a ser à mantissa menor, correspondente ao acréscimo 0,8 do número: 345 0,5378 + 0,0010 = 0,5388 345,8 346 0,5391 1 0,0013 0,8 k k = 0,0010

Portanto: log 345,8 = 2,5388.

NOTA: — Quando, no cálculo do acréscimo k, encontramos mais um número decimal com mais de 4 casa decimais, fazemos o arrendodamtendo, poelo seguinte critério: desprezamos as unidades seguintes quando o quinto algarismo é 0, 1, 2, 3 ou 4 e aumentamos uma unidade de quarta ordem quando o quinto algarismo depois da virgula é 5, 6, 7, 8 ou 9. Exemplos: 0,00104 0,0010 0,00127 0,0013

41.CálculodoAnti-Logaritmo

Nas aplicações dos logaritmos decimais, precisamos sempre resolver o problema inverso do anteriores; conhecido o logaritmo de um número A, achar esse número. Dizemos que A é o anti-logaritimo do logaritmo dado.NOTA: No primeiro ano para os casos bem simples, este problema era resolvido passando da forma logaritmica para exponencial: log

2 A = 3 A = 23 = 8

A solução deste problema é inverso, de modo geral, para logaritmos decimais, pelas tábuas .

{



Vejamos alguns exemplos: 1) Achar o anti-logaritmo de 1,6839 Queremos achar A tal que log A = 1,6839.

Primeira pergunta: Qual a ordem de grandeza de A?

Resposta: Se a característica de seu logaritmo é 1, pela propriedade II, o número A tem dois algarismos antes da vírgula:

A = , Segunda pergunta: A mantissa 0,m é encontrada na interseção de uma linha com uma coluna, na tábua?

Resposta: No exemplo dado, encontramos o número 6839 no cruzamneto da linha 48 com a coluna 3. Portanto, o logaritmo do número 483 tem mantissa 0,6839. Mas, pela propriedade I, todos os números que se obtém multiplicando 483 por potências de 10 com expoentes inteiros (isto é, deslocando a vírgula) tem essa mesma característica: {...; 0,483; 4,83; 48,3; 483; 4830; ... } 0,6839.

Conclusão: O representante desta classe de números que deve ser escolhido é o que também satizfaz à primeira resposta: A = ,

2º) Achar o anti-logaritmo de 2,5320. log A = 2,5320.

Primeira pergunta: Qual a ordem de grandeza de A?

Resposta: A característica -2 indica: A = 0, 0 ... Segunda pergunta: A mantissa 0,3520 se encontra na tábua?

Resposta: Não. Mas encontramos duas mantissas aproximadas, por falta e por excesso. 0,5315 340 0,5328 341

4 8 3



Conclusão: Se quisermos o número A com uma primeira aproximação, consideramos na classe de representante 340 o número que satisfaz à primeira resposta: A = 0,0340 (aproximadamente) Interpolação: Se o problema concreto exigir mais casas decimais exatas, fazendo a interpolação linear: 0,5313 340 + 0,4 = 340,4 0,5320 0,5328 341 13 1 5 k h = 5/3 ≅ 0,4

Portanto: A = 0,03404.


Calcular os logaritmos dos números da tabela I e os anti-logaritmos dos logaritmos da tabela II. As respostas correspondentes a uma tabela estão na outra, mas em linhas diferentes.

I II 1 0,431 a 4,7501 2 0,0124 b 4,3695 3 0,05642 c 1,6317 4 34524 d 0,0152 5 23417 e 6,5682 6 42,823 f 1,7353 7 0,5436 g 2,0071 8 1,035 h 1,6345 9 0,1086 i 1,0358 10 3700200 j 4,3581 11 101,7 k 0,0017 12 1,004 l 2,0934 13 10000 m 4,0000



42.AplicaçõesdoLogartimos Vamos mostrar como se aplicam os logaritimos nos cálculos numéricos, através de alguns exemplos. Voce deve estar em dia com as propriedades fundamentais : log (A . B) = log A + log B

log A— B

= log A - log B

log Ar = r . log A

log n√A = 1— n

. log A

1ª questão – Você quer saber qual a dimensão de uma caixa de forma cúbica, que deverá conter 3.000 litros de água. O volume é de 3m3. Indicando por x a aresta, e lembrando como se calcula o volume do cubo, temos: x3 = 3 x = 3√3 Você não aprendeu a extrair a raiz cúbica. Então deve recorrer aos logaritmos. log x = log 3√3 = 1/3 . log 3 Usando a tábua : log 3 = 0,4771 (linha 30, coluna 0) log x = 1/3 . 0,4771 = 0,5190. Como estamos interessados no valor x e não no seu logaritmo, temos que achar o anti-logaritmo: x = 1,44m (aproximadamente) ou x = 1,442m (com interpolação).

2ª questão – Em qualquer livro de Matemática Comercial, você encontra as fórmulas que dão o montante do capital acumulado com os juros, quando estes são capitalizados (juntados ao capital) no fim de cada ano ou de cada semestre: M = C (1+r)t (para capitalização anual)

M = C (1+ r— 2

)2t (para capitalização semestral)

Nas duas fórmulas, C é o capital inicial, r = i—— 100

é a centésima parte da taxa ao ano e t é o número de anos.



Se você depositar R$ 1,00 à taxa de 12% ao ano, quanto terá no banco no fim de 10 anos? 1º) Se o banco paga juros simples (sem capitalização) você ganhará de juros:

j = Cit—— 100

= 1,00 . 12 . 10—————— 100

= 1,20

Terá no banco: R$ 1,00 + R$ 1,20 = R$ 2,20 2º) Se o banco fizer a capitalização anual, você terá a quantia total M: M = 1,00 . (1+0,12)10 = 1,1210

log M = 10.log 1,12 = 0,4920 M = 3,10 (aproximadamente) Resposta: R$ 3,10. 3º) Verifique você agora qual será o montante com a capitalização semestral. NOTA: Seria possível ao matemáttico calcular o montante admitindo a capitalização instantânea calculando o juro «em cada instante» e juntando-o ao capital? O cálculo infinitesimal mostra que: M = C.ert

onde e é o número de Eule-Napier cujo valor é aproximandamente 2,718 e cujo logaritmo é 0,4343. Pela capitalização instantânea você teria M = 1,00 . 2,7180,12 . 10

log M = 1,2 . log 2,718 = 0,5212 de onde: M = R$ 3,32 (aproximadamente)

43.CálculodeExpressõesNuméricas

1º) Calcular A = 8,34 . 65,2————— 376

temos : log A = log 8,34 + log 65,2 - log 376



A = 1,45 (aproximadamente)

2º) Calcular A = √456——— 73,22

Procedendo como no exemplo anterior,você encontra: log A = -2,3995 Para podermos calcular o antilogaritmo, usamos transformação "+1-1": -2-0,995 = (-2-1) + (1-0,3995) = = (-3) + (0,6005) = 3,6005 temos então : log A =3,6005 e achando o antilogaritmo: A = 0,00398NOTA: Denominamos COLOGARITMO de um número o oposto do seu logaritmo. Exemplo: log874 = 2,9415 colog 874 = -2,8415. Vamos transformar pelo artifício «(+1-1)»: colog 874 = (-2-1) + (1-0,9415) = 3,0585.

3º Resolver o exercício anterior, usando cologaritmo.

Temos: log A = 1— 2

log 456 + 2 . colog 73,2

1— 2 log 456 =

1— 2

. 2,6590 = 1,3295

2 . log 73,2 = 2 . 2,1355 = 4,2710

log A = 3,6005 log A = 0,00398

Sendo c e 0,m a característica e a mantissa do logaritmo de um número, a característica e a mantissa do seu cologaritmo são calculadas rapidamente pelas regras: c´ = - (c+1) = (c+1) 0,m´ = 1 - 0,m

log 8,34 = 0,9212log 65,2 = 1,8152 (+) 2,7354log 376 = 2,5752 (–)log A = 0,1602



4º) Calcular A = 5√0,468

Temos: log A = 1— 5

log 0,468 = 1,6702——— 5

Para efetuarmos esta divisão, vamos adicionar e subtrair um número conveiente, no dividendo para que a parte interia fique divisível por 5: 1,6702 = -1-4+4+0,6702 = -5 + 4,6702 e dividindo a expressão por 5, obtemos: log A = -1+0,9340 = 1,9340 A = 0,859


I. Sabendo que

log 2 = 0,3010 log 3 = 0,4771 log 5 = 0,6990 log 7 = 0,8451 log π = 0,4971 log e = 0,4343

calcular somente com esta tabela, os logaritmos das expressões seguintes:

1) log (16.e) 2) log 7000 3) log π2 4) log √π5) log 3√2 6) log 15√625 7) log √3√2

II. Calcular por logaritmos as expressões seguintes:8) 4√35246 9) 3√1881 10) 0,8774

11) 8,095-3 12) √428—–— 3√7,45

13) 5√ 1–— . 0,5142375

14) 0,5021 . 0,4116————–—— 0,01413

15) 3√ 0,25125 . 4,3162

——————– 1,0654

III. Calcular os logaritmos seguintes, em base não decimais, usando a fórmula de mudança de base (estudada no primeiro ano):

log b A = log

a A

—–— log

a b

e tomando a=10, para usar a tábua:

log b A = log

a A

—–— log

a b

16) log7 42 17) log

e 15,5 18) log

12 120

19) log1/3

0,04 20) log5 625 21) log

2 1024

IV. 22) O metal radium se desintegra de acordo com a fórmula, m = mo. e-0,038t, onde m

o é

a massa inicial (correspondente a t=0), e t é o tempo em séculos e m é massa existente no fim do tempo t. Calcule em quanto tempo a massa fica reduzinda à metade. Sugestão: 1/2 m

o = m

o e-0,038t

Aplicando logaritmo você resolve a equação em t. Esse tempo é a vida-média do rádium.

23) Sabendo que uma substância radioativa tem a vida média de 10 minutos. Determinar a constante k da equação: m = m

o e-k . t

Sugestão: para t=10 temos m = 1/2 mo

V. Resolver, usando logaritmos decimais, as equações : 24) (3/4)x = 51,5 25) 3x/2 = 76826) 243x-2 = 10000 27) 414/x = 7/3528) 3252x+1 . 75x-2 = 2853x-1 29) 7x + 7x+1 + 7x+2 = 5x + 5x+2 + 5x+3

30) 100x2+2x-0,855 = 6,166

VI. Calcular os valores aproximados dos números irracionais:31) 2√2 32) √2 √3

VII. Problemas propostos em vestibulares:33) Calcular o menor valor de n para o qual se tem: 1.2.3....n 1

—–—–—– < —– 2.4.6....(2n) 104

34) Achar o máximo valor de n para o qual a1, a

2, ..., a

n são números reais, verificando as

igualdades: log 12345 = a

1 (log = logaritmo decimal)

log a1 = a

2 Resolver sem usar a tábua.

log an-1

= an

35) O número de bactérias numa determinada cultura é y = Noe3t.

Qual o número no instante t=0? Em quanto tempo dobra o número de bactérias?

36) Calcule 101,2 + e0,5.

{



Respostas-Sequência16

1) 1,63832) 3,84513) 0,99424) 0,24865) 0,10036) 0,18647) 0,31398) 13,79) 12,3410) 0,591611) 0,00188512) 10,5913) 0,267614) 7372415) 1,53816) 1,920817) 2,718) 1,925919) 2,920) 421) 1022) 18,25 séculos23) 0,0693624) -13,725 12,0926) 1,63327) 9,2328) 2,6129) 2,8930) {0,5; -2,5}31) 27432) 1,8233) 1434) 335) N

o, 1/3 log

e2

36) 31,3

TERCEIRA PARTE

MATRIZESSISTEMAS LINEARESDETERMINANTESINVERSÃO DE MATRIZESSISTEMAS NÃO LINEARES

CAPÍTULO VMATRIZES •ElementosdeMatrizes •OperaçõescomMatrizes •Propriedades



44.Introdução

Aprenderemos neste capítulo um dos mais importantes ramos da Matemática, de grande aplicações no mais cariados setores científicos, que é o estudo das Matrizes. No próprio curso colegial o aluno tomará contato com algumas das aplicações elementares.

A. Elementos de Matrizes.

45.ElementosPrincipais

Quando dispomos números numa tabela retangular, colocando-os ocupando o cruzamento de uma linha e uma coluna, dizemos que formamos uma MATRIZ, como no exemplo abaixo: 2 3 0 1 4 9 8 6 Usa-se, no entanto, colocar a tabela entre colchetes [ ], outros usam parênteses ( ) ou duas barras verticais de cada lado || || : 2 3 0 1 4 9 8 6 Os números da matriz são seu selementos, e, como são dispostis os numerais em linhas e colunas, ficam formadas linhas e colunas da matriz; no exemplo temos duas linhas e quatro colunas; e, dizemos que a matriz é de ordem 2x4, e lemos ordem dois por quatro. Quando a matriz possuir o mesmo número de linhas e colunas diz-se que ela é MATRIZ QUADRADA, em geral ela é MATRIZ RETANGULAR. Para as matrizes quadradas indica-se a ordem fornecendo apenas o número de linhas: assim, uma matriz de duas linhas e duas colunas, que é quadrada, dizemos que é de ordem dois ou de segunda ordem. A matriz que possui só um alinha, denomina-se MATRIZ LINHA; idem, caso a matriz possuir só uma coluna, chamar-se-á MATRIZ COLUNA. [ 2 1 3 ] 2 matriz linha 1x3 5 matriz coluna 2x1

[

[

]

]



Para estudo, é conveniente usar matrizes com elementos genéricos, com letras representativas , como as abaixo indicadas: a b c x y d e f z u [ w ]

Representa-se tambpém todos os elementos com uma só letra, mas indicando a posição na matriz com índices numéricos inferiores; o prieiro indicando a linha e o segundo indicando a coluna a que pertence o elemento:

b11

b12

b13

a

11 a

12 a

13 b

21 b

22 b

23 c

11 c

12

a

21 a

22 a

23 b

31 b

32 b

33 c

21 c

22

Onde, por exemplo, a13

ocupa a primeira linha e a terceira coluna. Com essa notação, de uma maneira geral, o elemento a

rs é o elemento genérico

que ocupa a r-ésima linha e s-ésima coluna. Outra vantagem, é permitir escrever uma matriz de uma modo compacto bastante simplificado; assim, as matrizes anteriores seriam representadas por: [ a

rs ]2x3

[ brs ]

3x3 [ c

rs ]

2x2

46.MatrizescomIndicações

Em muitas questões aplicadas, e mesmo para auxiliar o estudante, é conveniente colocar ao redor da matriz, indicações a respeito das linhas e colunas como no exemplo seguinte:

[

[ [ [

[]

] ] ]

]

ATENÇÃO

O leitor observa que a cada posição da tabela, a matriz associa aos pares ordenados (r;s) os valores ars; e, onde r e s são inteiro positivos tais que r é o menos ou igual ao número de linhas e s é o menor ou igual ao número de colunas. lembramos também que existe matriz com um elemento, mas não matriz sem elementos, portanto vazia; e, que ela pode ter valores repetidos para os elementos.



Numa classe X existem 3 rapazes louros, 6 morenos e um negro; 2 moças louras, 9 morenas e uma ruiva. Podemos formar entre outras matrizes, as seguintes: Matriz: Sexos x Tipos Matriz linha: Classe x tipos L M P R (ou coluna) R 3 6 1 0 L M P R M 2 9 0 1 X [ 5 15 1 1 ] Matriz coluna: Sexos x classe (ou linha) X R 10 M 12

47.IgualdadedeMatrizes

Resulta que só existe igualdade de matrizes que possuem a mesma ordem; assim uma matriz 2x3 só poderá ser igual a uma matriz 2x3. As matrizes A e B abaixo só serão iguais se x=7 e se y=5; então , podemos escrever A=B. A = 3 5 B = 3 y x 6 7 6 Podemos afirmar que 3 1 3 5 4 2 4 2

48.MatrizNula

Entre a s matrizes, um tipo merece especial atenção, a MATRIZ NULA; é a que possui todos elementos nulos, e indicamos com 0 e se necessário a sua ordem. 0 0 0 0 0 0 indicamos com 0

2x3

[

[

[[

]

]

]]

Duas matrizes são iguais quando e somente quando os elementos que ocupam posições iguais são iguais.

[[

[

]]

]

≠



49.MatrizDiagonal

Uma matriz quadrada que possui todos os elementos nulos exceto aqueles de ídices iguais, é denominada MATRIZ DIAGONAL. Exemplos: x 0 0 3 0 0 y 0 -2 0 0 5 0 0 z 0 1/3

50.MatrizEscalar

Uma matriz que é matriz diagonal e que possui os elementos não nulos iguais, é uma MATRIZ ESCALAR. Quando o valor não nulo é h, indicamos a matriz com h, ou se necessário, como índice de ordem da matriz. Exemplos: k 0 0 h

2 = h 0 3

2 = 3 0 k

3 = 0 k 0

0 h 0 3 0 0 k

51.MatrizTransposta Consideremos as matrizes A e B: 3 5 A = 3 4 6 B = 4 8 5 8 2 6 2 Verificamos que as matrizes dadas possuem uma particulariedade curiosa, o que é linha numa é coluna na outra, e vice-versa; dizemos que B é transposta de A ou que A é transposta de B. Indicamos a transposta de uma matriz com A com At, portanto At = B, e também Bt = A. Portanto:

[

[

[

[

[]

]

]

]

][

[

[

]

]

]

A transposta de uma matriz A é uma matriz em que o elemento que ocupa a posição (r; s) é igual ao elemento da matriz A que ocupa a posição (s; r).




1. Forme as matrizes para as seguintes questões: a) Na 1ª, 2ª e 3ª semanas do mês de abril os preços médios dos ovos foram R$ 800,00, R$ 900,00 e R$ 870,00 (matriz: semanas x preços). b) Uma fábrica produziu em quatro dias as seguintes quantidades: 100, 80, 120 e 73 quilos de malas de caramenlos, de frutas, de mel e de hortelâ, respectivamente (matriz: dias x tipos). c) Uma editora imprimiu no ano de 1966 as seguintes quantidades de livro: 2 romances de adolescentes, 4 romances e 3 policiais (matriz: ano x espécie de livros).

2. Escreva as ordem das matrizes anteriores e respectivos nomes.

3. Dona X e Dona W foram ao supermercado e adquiriram respectivamente: 3 e 5 dúzias de ovos, 2 e 1 dúzias de laranjas, 2 e 2 dúzias de bananas, 4 e nenhum quilo de feijão. forme a matriz: Donas x mercadorias adquiridas.

4. No jogo treino da seleção de futebol experimentaram-se três extremas exquerdas A, B e C. Verificou-se que A recebeu 10 bolas, perdeu 2, passou 3, defendidas 3, na trave 1 e fora 1; B recebeu 8, perdeu 3, passou 2, defendidas 1, marcou 1, na trave 1; C recebeu 15 bolas, perdeu 7 , passou 1, defendidas 1, marcou 2. Forme a matriz: Jogadores x resultados.

5. Uma industria possui 3 fábricas: I, II e III, que fabricam por mês 30, 40 e 60 unidades respectivamente do produto A e 15, 20 e 10 unidades do produto B. Forme a matriz: Fábricas x Produtos.

6. Quantos elementos possui uma matriz: a) 3x2? b) 4x4? c) m x n? d) linha de 5 colunas? e) quadrada de terceira ordem? f) coluna de 2 linhas?

7. Forme as matrizes transpostas de: 3 6 3 1 3 5 7 A = 7 8 B = 2 4 0 C = 7 5 [ [[] ]]



8. Calcule x, y, z e w para que tenhamos:a) x+2 3 7 3 7 8 5 2y+3

b) 2x+3 y+2 3 4 z+1 2w-1/2 6 3/4

c) 2x+3y z+w 11 8 x-4y 2z-w -11 7

9. Calcule x, y, z e w para que as matrizes sejam diagonais, e escreva as matrizes obtidas: 2x+1 x y+3 x+2w 2x+3y 0A = 0 x-y z-2 B = 3x-9 4x+y 3z-w 0 0 x+y+z 0 6z-24 y+3z

10. Calcule x, y e z para que as matrizes sejam escalares, e escreva as matrizes obtidas: 3x-9 0 0 A = 0 12 z-6 B = x+z 2y+6 0 0 4y-8 x+6 2z-y

11. Dadas as matrizes A, B, C e D, indique com V (verdadeiro) e F (falso), conforme o sejam as afirmações seguintesA) 3 6 B) x+1 0 C) 2x+y y D) 3 x 2 8 0 8 0 x+7 2 8 a. A é igual a D ( ) b. B pode ser igual a C ( ) c. B é diagonal ( ) d. B pode ser escalar ( ) e. C não é igual a D ( ) f. C é diagonal ( ) g. C pode ser escalar ( ) h. A é matriz quadrada ( ) i. C pode ser matriz nula ( )

12. Escreva na forma explícita as seguintes matrizes dadas na forma compacta.a) [ai j

]2x2

b) [bi j]3x4

c) [cr s

]4x1

d) [dm-n

]1x2

[

[

[

[

[

[

[ [[ [

[

]

]

]

]

]

]

] ]] ]

]

=

=

=

[

[

[]

]

]



B. Operações com Matrizes.

52.Adição

Dadas duas matrizes, A=[ars]mxn

e B=[brs]mxn

chamamos SOMA das matrizes, a matriz C=[c

rs]mxn

tal que: crs=a

rs+b

rs, para quaisquer valores dos índices r e s, e indicamos

A+B+C.

Ilustração:a) a

11 a

12 b

11 b

12 a

11+b

11 a

12+b

12

a21

a22

b21

b22

a21

+b21

a22

+b22

b) 3 4 1 6 4 10 5 1 0 4 5 5

c) -1 2 1 -4 -2 3 -5 0 4 6 0 1/8 7 0 3/4 13 0 1 1— 12

d) Considere uma indústria que possui três fábricas I, II e III, e que elas fabricam por mês as unidades dos produtos A, B, C e D, conforme a matriz: A B C D I 30 10 5 20 Matriz de Produção Mensal :M = II 20 12 8 0 Fábricas x Tipos III 15 16 4 40 Admita-se que num certo mês a indústria possui estoque conforme os depósitos das fábricas dado pela matriz E: A B C D I 62 31 3 12 Matriz Estoque: M = II 15 8 4 0 Fábricas x Tipos III 0 12 6 20

AVISO IMPORTANTE

Observe que a adição de matrizes é definida para matrizes de ordens iguais.

[[

[ [ [

[ [[ [

[

[

]

]

]]

] ] ]

] ]] ]=

=

=

+

+

+



Não havendo pedidos, o novo estoque será dado pela matriz soma: 92 41 8 32 E´ = E + M = 35 20 12 0 15 28 10 60

Propriedades

53.PropriedadeI-AAdiçãoéComutativa

Esta propriedade o aluno poderá observar facilmente efetuando vários cálculos com ordem diferente das parcelas; ou mesmo, no exemplo d), é óbvio que adicionando ao estoque a produção, obtém-se mesmo resultado que adicionar à produção o estoque; entretanto, daremos a seguir a prova dessa pririedade que é também fácil: Sejam A = [a

rs]mxn

e B = [brs]mxn

Por definição: [a

rs]

mxn + [b

rs]

mxn = [ a

rs + b

rs ]

mxn

Por definição: [b

rs]

mxn + [a

rs]

mxn = [ b

rs + a

rs ]

mxn

Mas:

brs + a

rs = a

rs + b

rs

pois a adição de números reais goza da proriedade comuntativa, portanto:

A + B = B + A

54.PropriedadeII-AAdiçãoéAssociativa

No exemplo d), admita-se que a produção Mj no mês de janeiro é dada pela matriz

de produção do exemplo, mas, que em fevereiro houve fatores influindo na produção, como corte de energia elétrica, quebra de máquinas, etc. e que a matriz de produção é M

f:

10 8 2 10 Matriz de produção de fevereiro:M

f = 7 10 4 0 Fábricas x Tipos

5 6 0 20

[ ]

[ ]



Caso não tenha havido pedidos, o novo estoque será dado adicionando ao estoque primitivo as produções de janeiro e de fevereiro: 62 31 3 12 40 18 7 30 E´ = E + ( M

j+M

f ) = 15 8 4 0 27 22 12 0

0 12 6 20 20 22 4 60 Mas é claro que podíamos ter encontrado esse novo estoque adicionando ao estoque em janeiro a produção de fevereiro: 92 41 8 32 10 8 2 10 E´ = ( E + M

j ) + M

f = 35 20 12 0 7 10 4 0

15 28 10 60 5 6 0 20 Em qualquer caso, encontraremos o mesmo resultado, o que é intuitivo, isto é: 102 49 10 42 E + (M

j + M

f) = (E + M

j ) + M

f = 42 30 16 0

20 34 10 80 mas isto mostra que a adição de matrizes deve gozar da propriedade associativa; procuraremos provar: Sejam as matrizes: A = [a

rs]mxn

B = [brs]mxn

C = [crs]mxn

Teremos: A + (B + C) = [a

rs]mxn

+ ([brs]mxn

+ [crs]mxn

)por definição de soma: = [a

rs]

mxn = [ b

rs + c

rs ]

mxn

e ainda por definição de soma: = [a

rs + (b

rs + c

rs)]

mxn

Temos também: (A+B) + C = ([a

rs]mxn

+ [brs]mxn

) + [crs]mxn

= [a

rs+ b

rs]mxn

+ [crs]mxn

= [(a

rs+ b

rs) + c

rs]mxn

Mas,

ars+ (b

rs+ c

rs) = (a

rs+ b

rs) + c

rs

pois adição de números reais goza da propriedade associativa, portanto:

A + (B + C) = (A + B) + C que é uma importante propriedade, pois permite prescindirmos do sinal ( ) e escrevermos simplesmente A+B+C.

[

[[

[

[

]

]]

]

]

+

+



55.PropriedadeIII-AAdiçãogozadaExistênciadoElementoNeutro

No elemento d), admita-se que houve greve geral dos operários da industria, a matriz de produção será a matriz nula 3x4; teremos para nova matriz estoque a matriz E´´ mas, como não houve produção, ela é igual ao outro estoque E: E´´ = E + O = E Mas isto mostra que a matriz nula O é indiferente na adição, ou que a adição de matrizes goza da existência do elemento neutro. Provemos: Seja a matriz: A = [ars

]mxn

e O = [0]mxn

Teremos:

A + O = [ars] + [0] = [a

rs+0]

Mas, a

rs + 0 = a

rs

porque o número real zero é elemento neutro na adição; portanto: A + 0 [a

rs] = A

e como a adição é comutativa, podemos concluir: A + 0 = 0 + A = A

56.PropriedadeIV-AAdiçãogozadaExistênciadooposto

Dada uma matriz A = 3 72 -4 , a ela podemos sempre considerar a matriz

A´= -3 -7-2 4

, bastando para isso multiplicar os seus elementos por -1. Fazendo a adição

de A e A´, teremos: 3 7 -3 -7 0 0 A + A´ = 2 4 -2 4 0 0 = 0o que nos mostra que na adição qualquer matriz possui inversa aditiva ou oposta. De uma maneira geral, dada a matriz possui A = [a

rs]

mxn ela possui por oposta (ou

que é simetrizável) a matriz A´ = [-ars]mxn

pois A+A´= [Ars]mxn

+ [ars+(-a

sr)]

mxn = [0]

mxn

ou: A + A´ = A´ + A = 0

[

[ [[

[]

] ]]

]+ =



57.Subtração

No exemplo d), admita que se tem o estoque dado pela matriz E, e que aindústria recebeu um pedido distribuído pelas fábricas, dado pela matriz P: I A B C D P = II 16 14 3 7 Matriz Pedido: 8 3

2 0 Fábricas x Tipos

0 6 4 10

o estoque resultante será dado subtraído do estoque anterior E o pedido P; mas, no caso, subtraindo os elementos das matrizes que ocupam a mesma posição, teremos o estoque dado por Fábricas x Tipos, que é uma importante informação: 62 31 3 12 16 14 3 7 46 17 0 5E - P = 15 8 4 0 8 3 2 0 7 5 2 0 0 12 6 20 0 6 4 10 0 6 4 10 De uma maneira geral, dadas as matrizes A = [ars

] e B = [brs] de ordens iguais,

define-se difernrença das matrizes A e B nessa ordem, à matriz emm que cada elemento é a

rs - b

rs:

[ars]mxn

- [brs]mxn

= [ars

- brs]

mxn

ou então, define-se diferença das matrizes A e B à soma da matriz A com a oposta de B.

58.MultiplicaçãoporNúmeroReal

A operação de multipicação para matrizes apresenta dois casos, primeiro o que estudaremos agora, multipicação por número real e multiplicação por outra matriz. Dada uma matriz A=[a

rs]mxn

e um número real x , chamamos o produto do número x pela matriz A à matriz [x . a

rs]mxn

:

x . [ars] = [a

rs]. x = [x . a

rs]

[

[ [ [

]

] ] ]– =

AVISO

Como para os números reais, a sutração não goza de comutatividade, associatividade e da existência do elemento neutro, exceto da existência do neutro pela direita (A - O = A).



Portanto, para se multiplicar uma matriz por um número, multiplica-se todos os seus elementos pelo número.lustração: 4 2 12 6a) 3 . 5 -7 15 -21

b) k . a11

a12

ka11

ka12

a

21 a

22 ka

21 ka

22

c) 1/3 18 12 36 6 4 12 15 -14 0 5 -14/3 0

d) No exemplo d) das fábricas, caso a indútria desejasse triplicar a produção mensal, a mesma forma razoável seria a de triplicar a produção em cada fábrica, e teríamos exatamente a operação definida acima (idem, se desejasse reduzir a produção): 30 10 5 20 90 30 15 60 3 . 20 12 8 0 60 36 24 0 15 16 4 40 45 48 12 120

58.MultiplicaçãodeMatrizes

Aprenderemos a opreação estudando uma questão bastante frequente em álgebra, que é a da transformação de variáveis: Consideremos um problema em que as variáveis x e y são obtidas das variáveis z e w pelas seguintes transformações: x = 3z + 2w y = 9z + 4wonde observamos que a transformação depende de determinados valores dispostos como coeficientes, isto é, depende da matriz de coeficientes: 3 2 A =

8 4

[

[

[

[

[

[

]

]

]

]

]

]

=

=

=

[ [] ]=

[ ]



Pensemos ainda, que outras variáveis, por exemplo t e u, são obtidas de x e y por uma transformação algébrica semelhante: t = 5x + 9y

5 9

u = 6x + 7y determinada pela matriz B = 6 7 Substituindo nesta trasnformação os valores de x e y dads pela transformação de matriz A, obtemos: t = 5(3z+2w) + 9(8z+4w) = (5 . 3 + 9 . 8)z + (5 . 2 + 9 . 4)w u = 6(3z+2w) + 7(8z+4w) = (6 . 3 + 7 . 8)z + (6 . 2 + 7 . 4)wou que podemos fazer diretamente as transformações por uma só transformação dada pela matriz C: 5.3+9.8 5.2+9.4 87 46 C = 6.3+7.8 6.2+7.4 74 40 A transformação de matriz C chama-se TRANSFORMAÇÃO PRODUTO da transformação de matriz B pela transformação de matriz A, e indica-se com C=B.A. À matriz C, denominamos produto da matriz B pela matriz A. Observermos a formação da Matriz Produto:

1. O elemento 87 que ocupa a primeira linha e primeira coluna é igual a 5.3+9.8; portanto é igual à soma dos produtos do elementos da primeira linha de B pelos elementos da primeira coluna de A, e na mesma ordem;

2. O elemento 46 que ocupa a primeira linha e segunda coluna é igual a 5.2+9.4; portanto é igual à soma dos produtos dos elementos da primeira linha de B pelos elementos da segunda coluna de A, e na mesma ordem;

3. Os elementos 74 e 40 seguem uma lei de formação semelhante a que o estudante poderá observar.

De uma maneira geral definimos:

O produto interior da linha i pela coluna j indica-se com: Li | C

j, e a leitura é : linha

i, interior (ou barra) coluna j; portanto: L

i | C

j =

n ∑ r = 1

airb

rj

[

[[

]

]] =

PRODUTO INTERIOR (ou ESCALAR) de uma linha de uma matriz B por uma coluna de uma matriz A é a soma algébrica dos produtos dos elementos correspondentes.



onde n é o número de colunas da orimeira e de linhas da segunda.

Exemplos: Dadas as matrizes 3 2 8 2 5 7 7 0 1 3 4 8 4 6 5 Temos: L

1C

1 = 2 . 3 + 5 . 7 + 7 . 4 = 69

L1C

2 = 2 . 2 + 5 . 0 + 7 . 6 = 46

L1C

3 = 2 . 8 + 5 . 1 + 7 . 5 = 56

L

2C

1 = 3 . 3 + 4 . 7 + 8 . 4 = 69

L2C

2 = 3 . 2 + 4 . 0 + 8 . 6 = 54

L2C

3 = 3 . 8 + 4 . 1 + 8 . 5 = 68

Assim, dada a matriz B = [brs]mxn

e A = [ars]pxn

, teremos produto da matriz B por A à matriz C = [c

rs]mxn

, onde crs = L

r | C

s; isto é:

[brs]mxp

x [ars]pxn

= [Lr|C

s]mxn

Ilustração: 3 5 3 7 1 9+20 21+30 3+40 29 51 43a) 2 1 4 6 8 6+4 14+6 2+8 10 20 10 b

11 b

12

a11

a12

a13

b21

b22

L1|C

1 L

1|C

2

b) a21

a22

a23

b31

b

32

L

2|C

1 L

2|C

2

c) [4 5] . 3 6 01 3 7

= [17 39 35]

[ ] [ ]e

PRODUTO de uma matriz por outra é a matriz cujos elementos são os Produtos Interiores correspondentes às suas posições.

AVISO

Pela definição, conclui-se qie para se ter a operação de multiplicação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

[

[[

[

[ [[]

]]

]

] ]]x =

=x

=

[ ]



No exemplo d) das fábricas, admita-se que os preços de fabricação de cada um dos produtos A, B, C e D sejam , num certo mês dados pela matriz coluna de preços em unidades monetárias: P A 6 B 3 C 2 D 4Para saber os custos de produção pelas fábricas, bastará fazer a multiplicação abaixo: 30 10 5 20 300 20 12 8 0 172 15 16 4 40 306

Propriedades

60.PropriedadeI-Multiplicaçãodematrizesénão-comutativa

A multiplicação de matrizes é das operações em que não vale a tradicional propriedade: "a ordem dos fatoras não altera o produto", como é fácil mostrar utilizando contra-exemplos: Sejam as matrizes:

3 7 2

8

A = 2 1 e B = 4 6 Teremos: 2 8 3 7 22 22 B . A = 4 6 2 1 24 34 mas: 3 7 2 8 22 22 A . B = 2 1 4 6 24 34ou que : B . A ≠ A . B

Desta propriedade resulta necessário afirmarmos se estamos multipilcando pela esquerda (pré-multiplicando) ou pela direita (pós-multiplicando).

[[

]]63

2 4

[ [] ]=

=

.

=

.

x

[

[

[ [ [

[ [

[]

]

] ] ]

] ]

]



61.PropriedadeII-Amultiplicaçãodematrizeséassociativa

Faremos a demosntração, para facilitar ao aluno, usando matrizes de ordens não elevadas: Sejam as matrizes: A = [a

rs]2x2

= a11

a12

b

21 b

22

B = [b

rs]2x2

= b11

b12

b

21 b

22

C = [c

rs]2x3

= c11

c12

c13

c

21 c

22

c

23

Teremos: A x (BxC) = [a

rs] x ([b

rs] x [c

rs]) =

a11

a12

b11

c11

+b12

c11

b11

c12

+b12

c22

b11

c13

+b12

c23

a21

a22

b21

c11

+b22

c11

b21

c12

+b22

c22

b21

c13

+b22

c23

(a11

b11

+a12

b21

)c11

+(a11

b12

+a12

b22

)c21

(a11

b11

+a12

b21

)c12

+(a11

b12

+a12

b22

)c22

(a11

b11

+a12

b21

)c13

+(a11

b12

+a12

b22

)c23

(a

21b

11+a

22b

21)c

11+(a

21b

12+a

22b

22)c

21 (a

21b

11+a

22b

22)c

12+(a

21b

12+a

22b

22)c

22 (a

21b

11+a

22b

21)c

13+(a

11b

12+a

22b

22)c

23

Mas, ainda por definição de produto, podemos escrever que a matriz anterior é igual a: a

11b

11+a

12b

21 a

11b

12+a

12b

22 c

11 c

12 c

13

a

21b

12+a

22b

21 a

21b

12+a

22b

22 c

21 c

22

c

23

e novamente, por definição de produto, podemos desdobrar a primeira matriz: a

11 a

12 b

11 b

12 c

11 c

12 c

13

a

21 a

22 b

21 b

22 c

21 c

22

c

23 = (A x B) x C

Em resumo:

A x (B x C) = (A x B) x C

[

[[

[

[[

[[

[( )[ [

]

] ]]

]]

]]

] ] ]

x

x

x x

==

=



62.Observação:

A demonstração rigorosa é feita com uso do símbolo somatório: A x B x C = [a

ti]mxn

x ([bir]nxp

x [crj]pxk

)

= [ati]mxn

x p ∑ r = 1

birc

rj nxk

e ainda por definição de produto:

= n ∑ i = 1

ati p ∑ r = 1

birc

rj

mxk

pela proriedade distributiva dos reais em relação ao somatório:

= n ∑ i = 1

p ∑ r = 1

ati (b

irc

rj)

mxk

pela associatividade do produto dos reais e pela comutatividade do somatório:

= p ∑ r = 1

n ∑ i = 1

(ati b

ir) c

rj mxk

pela distributividade dos reais em relação ao somatório:

= p ∑ r = 1

n ∑ i = 1

ati b

ir c

rj mxk

e pela definição do produto de matrizes:

= n ∑ i = 1

ati b

ir x [c

rj]pxk

mxp

e ainda pela definição de produto de matrizes:

= ([ati]mxn

x [bir]nxp

) x [crj]pxk

= (A x B) x C

63.PropriedadeIII-Amultiplicaçãodematrizesgozadaexistênciadoelementoneutro.

Consideremos uma matriz qualquer A = 3 7

9 2

e a multipliquemos pela matriz escalar cujo elemento não nulo é a unidade:

[[

[

[

[

[

(

]]

]

]

]

]

)

[ ]



12 x A = 1 0 x

3 7 =

3 7 = A

0 1 9 2 9 2idem, se multiplicarmos pela direita; o que nos motra que esse tipo especial de matriz deve ser o elemento neutro da multiplicação. De uma maneira geral, dada a matriz quadrada A= [a

rs]nxn

multiplicando-a pela esquerda ou direita pela matriz escalar com elemento não nulo igual à unidade, obtemos a oprópria matriz; essa matriz escalar é então denominada matriz identidade e a indicamos com I, portanto:

I x A = A x I = A

Ilustração: 1 0 0 4 2 7 4 2 7a)

0 1 0 x 3 1 6 = 3 1 6

0 0 1 4 3 2 4 3 2

4 2 7 1 0 0 4 2 7e:

3 1 6 x 0 1 0 = 3 1 6

4 3 2 0 0 1 4 3 2

b) 1 0 3 7 9 3 7 9 0 1 x 4 2 5 = 4 2 5

mas: 3 7 9 1 0 0 3 7 9 4 2 5

x 0 1 0 = 4 2 5

0 1 1

onde a indentidade pela esquerda é 2x2 e pela direita é 3x3.

[

[[ [

[ [

[ []

]] ]

] ]

] ]

AVISO

Observemos que toda matriz retangular possui uma matriz identidade pela esquerda e uma pela direita; só as quadradas que possuem uma matriz identidade igual para a esquerda e direita.

[[

[[

[

[[

]]

]]

]

]]



Ilustração: 2 3 4 3 0 4 35 15 38 5 1 6 x 7 1 2 = 34 19 58 7 4 10 2 3

6

69 34 96

controle de cálculo


Dadas as matrizes: 2 5 7 9 -5 0 0 2 3 A =

3 7 B = 0 3 C =

4 -2 D = 1 0 0

0 7 3 3 6 7 4 -2 1/3 E = 9 1 2 F = 2

3 1/6 G = [4 3] H = [3 2 -4]

4 4 8 6 -7 -1

5 6

I = 3 J = 7

-2 Calcule:1. a) A + B 2. a) B + A b) (D + E) + F b) D + (E + F) c) 2 . A c) 3 . B d) A x B d) B x A e) D x (E+F e) D x E + D x F f) H x K + 2.G x J

f) J x G - 3 . C g) I

2 x A g) I

3 x (D - E)

ATENÇÃO:ControledeCálculo

Para verificar se os cálculos numa multiplicação de matrizes estão corretos, acrescente na primeira matriz uma linha extra das somas dos elementos de cada coluna; a matriz produto deverá ter também uma linha extra que será também de somas de colunas.

[

[

[

[ [

[]

]

]

] ]

][

[[

[[

]

]]

]]



3 . a) (A + B) + C 4. a) A + (B + C) b) A - C b) C - B c) 4 . E + 2 . D c) 5 . F - 2 . E d) A x (B x C) d) (A x B) x C e) 2 . E x (3 . E - D) e) G x J f) E x K

f) H x D

g) A x I2

g) B + O

5. Duas senhoras X e Y foram à feira e compraram respectivamente: 3 e 2 dúzias de bananas, 4 e 8 dúzias de laranjas, 3 e 0 abacaxis. Sabendo-se que os preços eram: R$ 300, R$ 240 e R$ 250 para a dúzia de banana, dúzia de laranja e um abacaxi, calcule matricialmente as despesas.

6. Um farmacêutico sabe que: para a obtenção de dois tipos de remédios precisa os seguintes ingredientes: Para o remédio I: 30 unidades do ingrediente A, 12 do ingrediente B e 3 do ingrediente C; para o remédio II precisa: 40 unidades do A, 10 do B e 8 de um tipo D.

a) Forme a matriz: Remédios x Ingredientes;b) Sabendo-se que os preços são R$ 7 para cada unidade de A, R$ 9 de B, R$ 5 de C e R$ 3 de D, forme a matriz-coluna: Ingredientes x Preços;c) Calcule a matriz-coluna: Remédios x Preços;d) O farmacêutico quer ganhar 20% em cada remédio, calcule a matriz-coluna: Remédios x Lucro;e) Calcule a matriz-coluna: Remédios x Preços de venda

7. Uma firma constrói uma certa máquina em dois tipos diferentes (modelo A e modelo B). O modelo A utiliza, entre outros produtos, as peças: 4 condensadores, 3 interruptores e 7 válvulas; enquanto o modelo B utiliza desses produtos: 3 condensadores, 2 interruptores mas 9 válvulas.

a) Forme a matriz: Modelos x Peças;b) A firma pretende fabricas no próximo mês 12 máquinas do modelo A e 10 do modelo B, forme a matriz: Modelos x Meses;c) Calcule matricialmente as quantidades de peças de cada tipo necessárias, disponíveis para esses dois meses, matriz Peças x Meses (sugestã: trasnponha a matriz modelos x peças tornando-a peças x modelos e multiplique);d) Sabendo-se que os preços das peças são: R$ 12 para cada condensador, R$ 5 para interruptores, R$ 20 para válvula, calcule os custos de fabricação de cada modelo.



8. Uma seção produz peça do tipo A e do tipo B; a do tió A gasta no torno 2 horas e na furadeira 3 horas; a peça B gasta somente 1 hora no torno mas gasta 5 na lixadeira. Sabendo-se que foram fabricadas 42 peças do tipo A e 30 do tipo B, calcule matricialmente quantas horas foram gastas em cada máquina. Multiplique a matriz Máquinas x Peças pela matriz Peças x Quantidades (matriz - coluna).

9. Sabendo-se que se passa das variáveis x, y e z às variáveis t, u e v pela transformação de matriz. 2 4 0 3 -2 0 5 1 -2 Calcule t, u e v para: a) x = 3, y = 2 e z = -5 b) x = 1, y = 0 e z = 4

10. Sabendo-se que as variáveis p e q são obtidas das variáveis t, u e v do exercício 6, pela transformação de matriz 4 1/3 2 3 1 -6a) Calcule a matriz de trasnformação que leva diretamente x, y e z nas variáveis p e q.b) Calcule p e q para o caso de ser x=3, y=-2 e z=1.

11. Mostre que para a multiplicação de número real por matriz valem as propriedades: a) associativa dos reais: x(y . A) = (x y). A, b) distributiva da matriz em relação à adição dos reais: (x+y).A = x . A+ y . Ac) distributiva do real em relação à adição (ou subtração) de matrizes: x.(A ± B) = x . A ± x . B

12. Mostre, com exemplos, que um produto de matrizes pode ser nulo (matriz nula) sem que as matrizes fatores sejam a matriz nula.

13. Prove que a multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição.

14. Teste verdadeiro-falso:A ordem do produto matricial:a) (2x4) por (4x6) é 8x24b) (5x2) por (4x2) é 5x4c) (6x3) por (3x2) é 6x2d) (6x1) por (1x6) (é impossível)

[ ]

[ ]



15. Calcule o produto da matriz coluna 1 1 1 1pela matriz linha [1 1 1 1]16. Calcule o produto anteriorm trocando a ordem.

17. mostre que pós-multipicando uma matriz pela matriz coluna só de 1, obtemos as somas das linhas.

18. Mostre que pré-multiplicando uma matriz pela matriz linha só de 1, que obtemos as somas das colunas.

19. Mostre que pré-multiplicando uma matriz or uma amtriz diagonal, cada linha ficará multiplicada pelo elemento correspondente da matriz diagonal.

20. Mostre que pós-multiplicando uma matriz por uma matriz diagonal, cada coluna ficará multiplicada pelo elemento correspondente da matriz diagonal.

Matrizes-Respostas

Sequência17

1 800 c f m h a r p

1. a) 2 900 b) 4d [100 80 120 73] c) 1966 [2 4 3] 3

870

2. a) 3x1 (coluna) b) 1x4 (linha) c) 1x3 (linha)

O L B F3. Z 3 2 2 4 W 5 1 2 0 R Pe Pa D M T F4. A 10 2 3 3 0 1 1 B 8 3 2 1 1 1 1 C 15 7 1 1 2

0 0

[ ]

[

[

]

][ ]



A B 5. I 30 15 II 40 20

III 60 10

6. a) 6 b) 16 c) mxn d) 5 e) 9 f) 2

3 27. At = 3 7 Bt = 1 4 Ct = 5 7 = C 6 8 3 0 7 5

8. a) x=5, y=-5 b) x=0, y=2, z=5, w=5/8 c) x=1, y=3, z=5, w=3

1 0 0 27 0 0

9. A = 0 3 0 B = 0 10 0 0 0 -1 0 0 10

12 0 0 10. A = 0 12 0 B = -15 0 0 0 12 0 -15 x=7, y=5, z=6

11. F V V V V F V V F

Sequência18

1. a) 9 14 b) 7 6 10 1/3 c) 4 10 d) 14 33 3 10 12 4 2 1/6 6 14 21 48 10 4 10

e) 52 -1 152/6 f) [98] g) A 7 4 22/3 107 19 217/6

2. a) 9 14 b) 7 6 10 1/3 c) 21 21 d) 41 98 3 10 12 4 2 1/6 0 9 9 21 10 4 10

e) 52 -1 152/6 f) 35 15 g) -3 -4 -4 12 4 22/3 0 15 -8 -1 -2 107 4 217/6 -4 3 -5

[

[

[

[

[[

[

[

[[

]

]

]

]

]]

]

]

]]

[

[

[

[ [

[

[

[

[

[]

]

]

] ]

]

]

]

]

]



3. a) 4 14 b) 7 5 c) 12 28 34 d) 62 -66 7 8 -1 9 38 4 8 87 -96 16 30 38

e) 524 202 474 f) 46 g) A

262 314 420 57 472 232 528 36

4. a) 4 14 b) -12 -9 c) 14 -22 -37/3 d) 62 -66 7 18 4 -5 -8 13 -19/6 67 -96 22 -43 -21

e) [29] f) [2 -22 -31] g) B

D5. X 2610 Y 2520 P

A B

C D A 7 P L V

6. a) I 3 12 3 0 b) B 9 c) I 333 d) I 66,6 e) I 399,6 II 40 10 0 8 C 5 II 394 II 78,8 II 472,8 D 3

C I V 1º 2º 1º 2º P

7. a) A 4 3 7 b) A 12 20 c) I 102 110 d) A 203 B

3 2 9 B 18 10 I 72 80

B 226

V 246 230

t8. T 114 F 126 L 150

9. a) t = 14, u = 5, v = 27 b) t = 2, u = 3, v = -3

10. a) 19 17 1/3 -4 b) p = 55/3, q = -59

-21 4 12

11. a) F b) F c) V d) F

12. [1]4 x

4, denominada matriz universal, indica-se com J.

13. [4]

[[

[[

]]

]]

[ [

[[[

[[

[

[

[

[

[ [

[

[] ]

]]]

]]

]

]

]

]

] ]

]

]

[ ][

[]

]

CAPÍTULO VI

•SistemasLineares •Determinantes •InversãodeMatrizes



65.Elementos

Consideremos uma matriz A de ordem nxm e uma matriz B de n linhas. É frequente, nas várias ciências, o problema da ontenção de uma matriz X tal que

A . X = Bisto é, tem-se a equação matricial: a

11 a

12 ... a

1n x

1 b

1

a

21 a

22 ... a

2n x

2 b

2

........................... .... ....

........................... .... .... a

n1 a

n2 ... a

nn

x

n b

n

Fazendo o produto das matrizes, e lembrando que duas matrizes iguais implicam a igualdade dos elementos correspondentes, obtemos o conjunto de equações denominado Sistema de Equações Lineares nxm (n equações a n variáveis): a

11x

1 + a

12x

2 + ... + a

1nx

n = b

1

a

21x

1 + a

22x

2 + ... + a

2nx

n = b

2

............................................

an1

x1 + a

n2x

2 + ... + a

nnx

n = b

n

A. Sistemas Lineares 2 x 2

Seja a matriz A = 3 2 e B = 14 5 -4 -6 Procuremos X =

xy

tal que AX = B.

Teremos o sistema linear 2x2:

y = - 3–— 2

x + 7 3x + 2y = 14 5x - 4y = -6 y =

5–— 4

x + 3––– 2

(((

{

{

)) )

[ [] ][ ]



O aluno reconhece, do estudo feito na série anterior, duas funções lineares, cujos gráficos são duas retas, r e s, portanto, a interseção das retas r e s fornecerá lineares, e será a solução do sistema.

r ∩ s = [(2;4)]

Controle:3.2+2.4 = 145.2-4.4 = -6

Podemos ter: r concorrente com s r ∩ s = [(a;b)], o sistema possui uma só solução, é determinado.

r coincidente com s r ∩ s = r = s, o sistema possui infinitas soluções, é indeterminado.

r ⫽ s r ∩ s = Ø, o sistema é impossível.

No curso ginasial o aluno já resolveu alguns desses sistemas, agora, no colégio, procuraremos encontrar processos mais gerais e melhores, por uma forma matricial: a

11 a

12 x

1 b

1

a21

a22

x2 b

2

Teremos:

a11

x1 + a

12x

2 = b

1

a11

x1 + a

22x

2 = b

2

-a

21a

11x

1 - a

21a

12x

2 = -a

21b

1

a11

a21

x1 + a

11a

22x

2 = a

11b

2

(a

11a

22 - a

21a

12)x

2 = a

11b

2 -

a

21b

1

{{

{

[ [ [] ] ]=

Efetuando o produto e considerando a igualdade de matrizes.

Adicionando-as, obtemos a equação que chamaremos (I ).

Multiplicando a primeira por -a21

e a segunda por a

11.



a

22a

11x

1 - a

22a

12x

2 = a

22b

1

-a12

a21

x1 + a

12a

21b

2 = a

22x

2

(a

22a

11 - a

12a

21)x

1 = a

22b

1 -

a

12b

1

Caso tivermos a11

a22

- a12

a21

≠ 0, as equações I e II poderão ser divididas por esse valor, obtemos as fórmulas que determinam os valores de x

1 e de x

2, solução do

sistema: a

22b

1 - a

12b

2x

1 = —————–

a11

a22

- a12

a21

a11

b2 - a

21b

1x

2 = —————–

a11

a22

- a12

a21

Caso o valor de a11

a22

-a21

a22

seja nulo, não podemos dividir, isto é , é impossível encontrar valores para x

1e x

2; as igualdades só serão corretas se os segundos membros também

forem nulos, pois teríamos, por exemplo, na I: 0 . x

1 = 0

então , qualquer valor poderia ser escolhido para x1, haveria indeterminação.

Observermos que esse número (a11

a22

- a21

a12

), de tão grande importância, é obtido justamente por cálculos com elemnetos só da matriz dos sistema; chamamos a esse número determinante da matriz, e indicamos com barras verticais de cada lado da disposição retangular ou pelo símbolo Det.: | A | = a

11 a

12 = Det. A

a21

a22

portanto: | A | = a

11a

22 - a

21a

12

que se obtém subtraindo os produtos dos elementos da diagonal principal e os da outra diagonal. Consideremos as matrizes B

1 e B

2 seguintes:

B1 = b

1 a

12 B

2 = a

11 b

1

b2 a

22 a

21 b

2

obtidas da matriz A do sistema, sendo que para B1 trocamos a coluna dos coeficientes

da primeira variável pelos valores da matriz coluna B, e para B2 trocamos a coluna dos

coeficientes da segunda variável pelos mesmos valores da matriz coluna B.

{

Adicionando-as, obtemos a equação que chamaremos (II ).

Multiplicando a primeira por a22

e a segunda por -a

12.

[ [] ]



Calculemos os seus determinantes: | B

1 | = b

1 a

12 = b

1a

12 - b

2a

12

b

2 a

22

| B

2 | = a

11 b

1 = b

2a

11 - b

1a

21

a

21 b

2

valores que são os numeradores da fórmulas, isto é :

| B

1 |

x1 = ——–

| A |

| B2 |

x2 = ——

| A |

Ilustração:

Exemplo1:

Seja o sistema : 2 3 x

1 9

1 5 x2 8

| A | = 2 31 5

= 10 - 3 = 7 ≠ 0,

o sistema possui dois únicos valores para x1 e x

2, que o satisfazem:

| B1| =

9 38 5

= 45 - 24 = 21

| B2| =

2 91 8

= 16 - 9 = 7

Substituindo nas fórmulas, obtemos:

| B

1 |

21

x1 = ——– = —– = 3 e

| B

2 |

7

x2 = ——– = —– = 1

| A | 7 | A | 7

Controle: 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9 1.3 + 5.1 = 3 + 5 = 8

[ [ [] ] ]=

{



Exemplo2:

Seja o sistema: 2 5

x

1 17

4 10 x2 34

| A | = 2 54 10

= 20 - 20 = 0

| B1| =

17 534 10

= 170 - 170 = 0

Portanto, teremos 0.x1 = 1, podemos escolher qualquer valor de x

1, por exemplo, x

1 = 3;

sbstituindo numa equação (seja na primeira), obtemos: 6 + 5x

2 = 17 5x

2 = 11 x

2 = 11/5

Controle (pela segunda equação): 4 . 3 + 10 . 11/5 = 12 + 22 = 34

[ [ [] ] ]=

1. Quando o sistema é determinado, a interseção dos conjuntos verdades das sentença é um conjunto unitário.

2. Quando o sistema é indeterminado, a interseção é o conjunto verdade comum.

3. Quando o sistema é impossível a interseção é vazia.



B. Determinantes

66.Elementos

O conceito de determinante é estendido para matrizes quadradas de ordem qualquer, e sua utilização não se restinge só aos sistemas, mas a vários outros setores, de onde o interesse de estudá-lo um pouco mais, com suas propriedades.Definição recorrente: Dada uma matriz A = [a

ij]nxn

, definimos: a) pana n = 1 | A | = a

11

b) para n >1 | A | = a

11 |A1;1| -a

21|A2;1|+a

31|A3;1|. . .(-1)n+1a

n1|An;1|

onde |Ai;j| significava determinante da matriz A, quando se suprime a linha i e a coluna j, denominada Matriz Reduzida em Cruz.Ilustração: Seja:

3 1 2

A = 2 3 4

5

0 1

| A | = 3. 3 40 1

- 2 . 1 20 1 + 5 .

1 23 4

| A | = 3.3 - 2.1 + 5 +(-2) = -3 O estudante observa que a definição dada, fornece o mesmo resultado para o determinante de segunda ordem. Pela parte b) da definição, temos: a

11 a

12

a

21 a

22 = a

11 | a

22 | -a

11 | a

12 |

mas, pela parte a) da definição, |a22

|=a22

e |a12

| = a12

, pois as matrizes reduzidas possuem um só elemento, logo: a

11 a

12

a

21 a

22 = a

11a

22 -a

21a

12

[ ]



resultado que obteríamos pelos produtos dos elementos das diagonais.

67.RegraPráticaparaoDeterminantede3ªOrdem

Façamos a expansão do determinante de terceira ordem, primeiro recorrendo aos de segunda ordem, e depois calculando-os:a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

= a11

a22

a23

– a21

a12

a13

+ a31

a12

a13

a31

a32

a33

a32

a33

a32

a33

a22

a23

= a11

a22

a33

- a11

a23

a32

- a12

a21

a33

+ a13

a21

a32

- a13

a22

a31

Desta expansão, verificamos que temos três produtos com sinal positivo e três com sinal negativo, os quais são fáceis de serem memorizados, adotando-se a disposição abaixo, onde colocamos ao lado da terceira coluna, as duas primeiras.a

11 a

12 a

13 a

11 a

12

a21

a22

a23

a21

a22

a

31 a

32 a

33 a

31 a

32

1. Quando estamos indicando o cálculo, diz-se que o determinante está desenvolvido ou expandndo.

2. Como os elementos da primeira coluna tem destaque na definiçã, dizemos que a expansão é pela primeira coluna.

3. Diz-se também que a ordem do determinante é a ordem da matriz.

4. O determinante é um número real associado à matriz e de maneira alguma poderá ser confundido com ela.

5. Um elemento ocupa posição par na matriz se a soma das ordens da linha e coluna a que pertence é par e a posição é impar se a soma é impar.

6. Os sinais + ou - da expansão são dados alternadamente, conforme a posição dos elementos da primeira coluna seja par ou ímpar.

7. O estudante observa que para resolver determinantes de terceira ordem, recorremos aos de segunda, para os de quarta recorremos aos de terceira e assim sucessivamente.

++––– +

NOTA: Os termos positivos são obtidos da diagonal principal e das paralelas; idem, os negativos são obtidos da outra diagonal (secundaria) e das suas paralelas.



Ilustração: Seja a matriz

5 -2 6

A = 3 1 0

4 3 2 5 -2 6 5 -23 1

0 3 1 = 10 + (-8) + 54 - 24 - 0 (-12) = 44

4 3 2 4 3

Propriedades

Estudaremos algumas propriedades dos determinantes, que, em alguns casos, poderão facilitar o cálculo. Procuraremos, de preferência, mostrá-las com determinantes de terceira ordem, pois são os mais usados.

68.PropriedadeI-Expansãoporqualquercoluna

De fato, expandindo pela segunda coluna: a

11 a

12 a

13

a21

a22

a23

= -a12

|A1;2| +a22

|A2;2|-a32

|A3;2| a

31 a

32 a

33

= -a

11 a

21 a

23 + a

22 a

11 a

13 - a

32 a

11 a

13

a

31 a

33 a

31 a

33 a

21 a

23

= a12

a21

133

+ a12

a23

a31

+ a11

a22

a33

+ a13

a22

a31

- a11

a23

a32

+ a13

a21

a32

que é igual à expansão pela primeira coluna.

[ ]+ ++–––

Deixamos a cargo do leitor verificar que essa regra prática pode também ser usada de maneira análoga, colocando abaixo da terceira linha, as duas primeiras.

A expansão de um determinante pode ser feita por qualquer coluna desde que se adote a mesma atribuição de sinal positivo ou negativo, conforme a posição dos elementos seja par ou ímpar.

Deixamos para o leitor verificar a igualdade da expansão pela terceira coluna.



Ilustração: Pela terceira coluna2 3 1 4 -2 0 = 1. 4 -2 -0 . 2 3 + 3 . 2 3 = -12 + 0 - 48 = -60 4 -5 3

4 -5 4 -5 4 -2

69.PropriedadeII-Damatriztransposta

Dada a matriz a

11 a

12 a

13

A = a21

a22

a23

a

31 a

32 a

33

trocando as linhas pelas colunas, temos a matriz transposta

a

11 a

21 a

31

At = a12

a22

a32

a

13 a

23 a

33

Expandindo pela primeira coluna:

|At| = a11

a22

a32

- a12

a21

a31

+ a13

a21

a31

a

23 a

33 a

23 a

33 a

22 a

32

= a11

a22

133

- a11

a23

a32

- a12

a21

a33

+ a12

a23

a31

+ a13

a21

a32

- a13

a22

a31

que é igual ao determinante de A. Como a matriz transposta tem como colunas as linhas da matriz A, resulta que :

Ilustração: (Expandindo pela terceira linha)3 2 52 -1 0 = 0 . 2 5 -4 . 3 5 + 2 . 3 2 = 0 + 40 - 14 = 260 4 2 -1 0 2 0 2 -1

O determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais.

O determinante de um determinante pode ser feita por qualquer linha.

AVISO

O aluno deverá aproveitar essas propriedades para economizar cálculos; assim poderá efetuar a expansão escolhendo convenientemente a linha ou coluna com elementos mistos.

[[

]]



70.DemonstraçãoporInduçãodaPropriedadeII-(Optativa)

Seja A a matriz e B = At, sua transposta Condição inicial: n = 1 A = [a

11] | B | = b

11

Pela parte a) da definição recorrente: | A | = a

11 e | B | = b

11

logo, | A | = | B |. Condição Recorrente: Seja válida a propriedade para n=k, e provemos para n=k+1. Temos: b

11 b

12 b

13. ..... b

1k b

1,k+1

b

21 b

22 b

23 ..... b

2k b

2,k+1

B =

..............................................................

.............................................................. b

k+1,1 b

k+1,2 b

k+1,3 b

k+1,k b

k+1,k+1

Fazendo a expansão de |B| por todas as colunas, obtemos: |B| = b

11|B1;1| -b

21|B2;1|......................(-1)k+2b

k+1,1|Bk+1;1|

|B| = -b12

|B1;2|+b22

|B2;2|.....................(-1)k+3bk+1,2

|Bk+1;2| ................................................................................. |B| = (-1)k+2b

1,k+1|B1;k+1|+(-1)k+3b

2,k+1|B2;k+1|....(-1)2k+2b

k+1,k+1|Bk+1,k+1|

As matrizes reduzidas Bi;j de B, são as transpostas das matrizes reduzidas Aj;i de A, portanto, por serem de ordem k, por hipótese de indução: |Bi;j| = |Aj;i|e, considerando que pela transposta, b

i,j = a

j,i:

|B| = a11

|A1;1| -a12

|A1;2|......................(-1)k+2a1,k+1

|A1;k+1| |B| = -a

21|B2;1|+a

22|A2;2|.....................(-1)k+3a

2;k+1|A2;k+1|

................................................................................. |B| = (-1)k+2a

k+1,1|Ak+1;1|+(-1)k+3a

k+1,2|Ak+1;2|....(-1)2k+2a

k+1,k+1|Ak+1,k+1|

Considerando que as somas das primeiras parcelas, das segundas parcelas, etc, das igualdades anteriores, são respectivamente as expansões de |A| pela primeira coluna, segunda coluna, etc, temos adicionando:

( )



(k+1) |B| = |A| + |A| + ... + |A| (k+1) |B| = (k+1) |A| |B| = |A|

71.PropriedadeIII-Doselementosnulos

De fato , fazendo a expansão por essa fila de elementos só nulos, todos produtos são nulos.Ilustração: 3 1 4 0 0 0 5 1 6

3 1 4 0 0 0 = 0 . 1 4 - 0 . 3 4 + 0 . 3 1 = 0 5 1 6 1 6 5 6 5 1

72.PropriedadeIV-Datrocadefilas

CASO 1 : As filas são sucessivas

Fazendo-se a expansão pela primeira das filas, obtemos um certo resultado; troando-se as filas paralelas sucessivas e efetuando-se novamente a expansão pela mesma fila, agora, na nova posição, os produtos obtidos são os mesmo, pois usamos os mesmo elementos da fila e as matrizes reduzidas tambpem serão as mesmas. Entretanto, agora, as posições mudaram, se era par passou a ser ímpar, e se era ímpar passou a par, já que de uma unidade; e se fossem colunas paralelas, é o índice de coluna que fica aumentado de uma unidade. Em concluão, todos produtos terão sinais opostos.

Toda matriz com uma fila (linha ou coluna) com todos elementos nulos, possui determinante nulo.

Trocando-se duas filas paralelas, o determinante tem sinal ioposto e eé igual em valor absoluto.

[ ]



CASO 2: As filas não são sucessivas Seja a fila de ordem r e a fila de ordem s, com s>r e, e seja m o número de filas intermediárias. Podemos pensar a troca das filas paralelas indiretamente: a) trocando a fila de ordem r sucessivamente com as m intermediárias, b) trocando-a como a fila de ordem s, c) trocando a de ordem s com as m anteriores. Dessa maneira, realizamos m+1+m=2m+1 trocas de filas paralelas sucessivas, portanto um número ímpar. Como, pelo caso 1, para cada troca temos uma mudança de sinal, ao final do número ímpar de trocas teremos sinal oposto ao inicial.

Ilustração: 2 3 1 0 1 5 A = 0 1 5 A´ = 2 3 1 4 0 6 4 0 6 Pela primeira linha de A: |A| = 2. 1 5 -3 . 0 5 +1 . 0 1 = -2.6+3(-20)-1(-4) = -68 0 6 4 6 4

0

Pela segunda linha de A´: |A´| = -2. 1 5 +3 . 0 5 -1 . 0 1 = -2.6+3(-20)-1(-4) = -68 0 6 4 6 4

0

73.PropriedadeV-Dasfilasiguais

SUGESTÃO

Sugerimos provar o teorema em particular para um determinante genérico de terceira ordem.

[ [] ]

Toda matriz com linhas paralelas iguais, possui determinante nulo.



De fato, trocando as filas paralela iguais, pela propriedade IV deveríamos obter determinante com sinal oposto; mas como são iguais as filas, o determinante deverá ser o mesmo, isto é: |A| = - |A| |A| = 0Ilustração: 6 8 1 6 8 1 = 0 3 4 2

74.PropriedadeVI-Damultiplicação

De fato, fazendo a expansão por essa fila, todos os produtos terão esse fator comum.Ilustração: 2 5 3 6 = 12 - 15 = -3Multiplicando-se a segunda coluna por 4, obtemos: 2 20 3 24 = 48-60 = 4.12 - 4.15 = 4(-3)

Ilustração: 2 3 5 2 3 5 12 20 48 = 4. 3 5 12 1 -2 3 1 -2 3

75.PropriedadeVII-Adiçãodefilas

Multiplicando-se todos elementos de uma fila por um número o determinante fica multiplicado por esse número.

O valor de um determinante de uma matriz não se altera se adicionarmos aos elementos de uma fila os elementos correspondentes de uma fila paralela, multipilicados por um mesmo número.

AVISO

O estudante deve aproveitar essa propriedade para simplificar os seus cálculos.

e agora trabalhará com números menores!



Seja a matriz a

11 .....

a

1r ......

a

1s ..... a

1n

A =

A

21 .....

a

2r ......

a

2s ..... a

2n

..............................................

an1

.....

anr ......

a

ns .....

a

nn

e, a mariz B, obtida de A, adicionando aos elementos da coluna r os elementos das coluna s multipicados pelo número k: a

11 .....

a

1r+ka

1s .....

a

1s ..... a

1n

B =

a

21 .....

a

2r+ka

2s ..... a

2s ..... a

2n

..............................................

an1

...... a

nr+ka

ns ..... a

ns ..... a

nn

Calculando |B|, expandindo peloa coluna r (constituída de duas parcelas), cada termo poderá ser desdobrado em dois, pela propriedade distributiva. Teremos com as primeiras aprcelas a expansão |A|, e com as segundas, o determinante de uma matriz obtida de A, onde a coluna de ordem r é igual à de ordem s multiplicada por k. Pela propriedade VI, o determnante de uma matriz é igual ao produto do número k pelo detereminante com as duas filas paralelas iguais, que é nulo, pelo Propriedade V. Resulta que |B| é igual a |A|.

Ilustração: 3 4 2 3+2.4 4 2 11 4 2 2 -3 1 = 2+2(-3) -3 1 = -4 -3 1 1 5 6 1+2.5 5 6 11 5 6

3 6 1 3 6-2.3 2 3 0 1 2 4 3 2 4-2.2 1 2 0 3 = 5 3 1 = 35 5 5 7 5 5-2.5 7 5 -5 7

2 3

((

))

SUGESTÃO

Sugerimos mostrar a propriedade para um determinante genérico de terceira ordem.

AVISO

O estudante poderá aproveitar essa propriedade para obter zeros, o que facilita os cálculos.



C. Resolução de Sistemas Lineares

76.Métodosderesolução

I. REGRA DE CRAMER Consideremos o sistema linear AX=B, tomemos o determinante |A| da matriz do sistema e multipliquemos por x

1 (Propriedade VI):

a11

a12

... a1n

a11

x1 a

12 ... a

1n

x1|A| = x

1 a

21 a

22 ... a

2n = a

21x

1 a

22 ... a

2n

........................... ........................... a

n1 a

n2 ... a

nn a

n1x

1 a

n2 ... a

nn

Adicionaremos à primeira coluna, a segunda multiplicada por x2, a terceira por x

3, etc.

(Propriedade VII): a

11x

1+ a

12x

2 +...+a

2nx

n a

12 ... a

1n

x1|A| = a

21x

1+ a

22x

2 +...+a

1nx

n a

22 ... a

2n

......................................................

an1

x1+ a

n2x

2 +...+a

nnx

n a

n2 ... a

nn

b1 a

12 ... a

1n

x1|A| = b

2 a

22 ... a

2n x

1|A| = |B

1|

........................... b

n a

n2 ... a

nn

onde, B1 é obtida da matriz A do sistema, trocando a coluna dos coeficientes da primeira

variável pelos valores da matriz coluna B, dos termos independentes. Análogamente, encontraríamos: x

2|A| = |B

2|

x3|A| = |B

3|

................ x

n|A| = |B

n|

resultados que generalizam o que já tínhamos encontrado para sistemas lineares 2x2. Esse conjunto de igualdade permite encontrar os valores das raízes do sistema e constitue a chamada REGRA DE CRAMER.



Exemplo: 2 3 5 x

1 4

1 2 -1 x2

=

11 4 1 -2 x

3 12

2 3 5 2 -1 3 5 3 5 |A| = 1 2 -1 =2 -1 +4 = -47 ≠ 0 4 1 -2 1 -2 1 -2 2 -1 o sistema é determinado. 4 3 5 2 -1 3 5 3 5 |B

1| = 11 2 -1 =4 -11 +12 = -47

12 1 -2 1 -2 1 -2 2 -1

x1|A| = |B

1| x

1 (-47) = -47 x

1 = 1

2 4 5 2 3 4 |B

2| = 1 11 -1 = 188 e |B

3| = 1 2 11 = 94

4 12 -2 4 1 12

x2|A| = |B

2| x

2(-47) = -188 x

2 = 4

x3|A| = |B

3| x

3(-47) = 94 x

3 = -2

Solução : {(1; 4; -2)}Controle: 2 3 5 1 4 1 2 -1 4

=

11

4 1 -2 -2 12

II. POR INVERSÃO DE MATRIZES Dada uma matriz qualquer, por exemplo: A = 2 3

5 9

[

[

[

[

[

[

[

]

]

]

]

]

]

]SUGESTÃO

Sugerimos ao estudante resolver alguns sistemas fazendo as passagens e utilizando as propriedades que usamos para chegar à Regra.



a matriz C = 9/3 -1 -5/3 2/3é chamada MATRIZ INVERSA da matriz A, pois pré-multiplicando a matriz A pela matriz C, e também pós-multiplicando, obtemos a matriz identidade I: C . A =

9/3 -1 2 3 = 1 0 = I

-5/3 2/3 5 9 0 1

A . C = 2 3 9/3 -1 = 1 0 = I

5 9 -5/3 2/3 0 1

e por isso, indicamos com A-1, por analogia com potência de expoente negativo: 5 x 5-1 = 5 x 1/5 = 1 ou 5-1 x 5 = 1/5 x 5 = 1 A inversa de uma matriz possui várias aplicações (ver exercício 17), veremos que ela se aplica muito bem para os sistemas lineares:Seja : A . X = B Sistema linear na forma de equação matricial

A-1 (A.X) = A-1 . B Caso A possua inversa A -1, podemos multiplicar (A-1 .A)X = A-1 . B Pela associatividade da multiplicação de matrizes

I . X = A-1 . B Pela definição de inversa

X = A-1 . B Porque a matriz identidade é elemento neutro na multiplicação

Este resultado nos mostra que se soubermos calcular a matriz inversa A-1 da matriz do sistema, a reolução do diste,a linear será obtida pela multiplicação A-1 . B. Existem vários processos para se inverter uma matriz; veremos dois, um baseado em determinantes (que corresponde à regra de Cramer), e outro baseado no próprio processo de resolução numérica de um sistema.

77.InversãodeMatrizeseAplicação

I. Por Determinantes Consideremos uma matriz A de terceira ordem, para falicitar as explicações e sua transposta B:

[

[

[

[

[

[

[

]

]

]

]

]

]

]



a11

a12

a13

b11

b12

b13

A = a21

a22

a23

B = b21

b22

b23

com bij = a

ji

a31

a32

a33

b31

b32

b33

Formemos a matriz cofator de B, constituída pelos determinantes das matrizes

reduzidas em cruz, com sinal positivo ou negatico, conforme as posições sejam par ou ímar, denominados então determinantes cofatores.

|B1,1| - |B1,2| +|B1,3|

Cof. B = -|B2,1| +|B2,2| - |B2,3|

|B3,1| - |B3,2| +|B3,3|

Multiplicando a matriz A pela matriz Cof.B, lembrando que |Bi,j| = |Aj,i|, o aluno obterá, efetuando os cálculos em separado, a igualdade: |A| 0 0 1 0 0 A.(Cof. B) = 0 |A| 0 = |A| 0 1 0

0 0 |A| 0 0 1

ou A.(Cof.B) = |A| . I

e análogamente:

(Cof.B).A = |A| . I

Caso |A| ≠ 0, podemos escrever:

Cof.B Cof.BA . ——– = ——– . A = I | A | |A|

Portanto, comparando , chegamos ao seguinte resultado, importante para nossos cálculos:

Cof.BA-1 = ——– |A|

Ilustração: 2 3 5 x

1 4

1 2 -1 x2

=

11 4 1 -2 x

3 12

2 3 5 2 1 4A = 1 2 -1 B = 3 2 1 4 1 -2 5 -1 -2

[

[ [

[

[]

] ]

]

]

[[ [

[[]] ]] ]



-3 11 -13 Cof.B = -2 -24 7 -7 10 1 O cálculo de |A| pode ser feirto aproveitando a cofator: multiplicando uma linha de A pela coluna correspondente da Cof. B: |A| = 2(-3) + 3(-2) + 5(-7) = -47

-3 11 -13 A-1 =

1 —–-47

-2 -24 7 -7 10 1

x1 -3 11 -13 4 -47 1

x2 =

1—–-47

-2 -24 7 11 = 1—–-47

-188 = 4 x

3 -7 10 1 12 94 -2

II. Por Transformações Consideremos a equação atricial A.X=B, e sejam t

1,t

2,t

3 ...t

n, transformações

sobre matrizes, por exemplo, multiplicção dos elementos de uma fila por um n[umero, adição de fila paralelas, etc.

A.X = B A.X = I.B Porque I é neutro na multiplicação.

(t1.A)X = (t

1.I)B Aplicando a transformação t

1

[t2(t

1.A)]X = [t

2(t

1.I)]B Aplicando a transformação t

2

.............................. .................................................. [t

k ... t

2(t

1.A)]X = [t

2(t

1.I)]B Aplicando sucessivamente até a a transformação t

k

I.X = [tk...t

2(t

1.I)]B Admitindo que consigamos transformar A na matriz I

X = [tk...t

2(t

1.I)]B Porque I é neutro na multiplicação.

Comparando com X=A-1.B, concluimos que se conseguirmos transformar a matriz A na matriz identidade, aplicando as mesmas trasnformações na matriz I, obtemos a matriz inversa.

[

[[ [ [[[

]

]] ] ]]]



Ilustração:

C. Resolução de Sistemas por Triangulação

Veremos um processo de cálculo para resolver sistemas lineares sem o uso de determinantes ou de inversão de matrizes. Adota-se um dispositivo parecido com o que empregamos para inversão de matrizes por transformação. O processo procura anular os coeficientes das variáveis, de tal maneira que se obtenha a matriz do sistema triangular, isto é, abaixo da diagonal os elementos são nulos, e depois, por processo retroativo determina-se por subtituição os valores das variáveis. O aluno poderá utilizar, como fizemos da coluna de somas para controle de cálculo, com o qual efetuamos as mesmas transfomações e deverá continuar a ser soma.

A I Transformações

2 3 51 2 -14 1 -2

1 0 00 1 00 0 1

(1)(2)(3)

1 2 -10 -1 70 -7 2

0 1 01 -2 00 -4 1

(4) = (2)(5) = (1) - 2(2)(6) = (3)-4(2)

1 0 130 1 -70 0 -47

2 -3 0-1 2 0-7 10 1

(7) = (4)+2(5)(8) = -(5)(9) = (6)+7(8)

1 0 130 1 -70 0 1

2 -3 0-1 2 07/47 -10/47 -1/47

(10) = (7)(11) = (8)(12) = (9): (-47)

1 0 00 1 00 0 1

3/47 -11/47 13/472/47 24/47 -7/477/47 -10/47 -1/47

(13) = (10)-13(12)(14) = (11)+7(12)(15) = (12)

A-1

ATENÇÃO

O estudante deverá observar que as trasnformações as fará conforme lhe concier procurando ganhar em cálculo.



Ilustração: 2 3 4 x

1 3

1 1 1 x2

= 2 5 -2 -3 x

3 5

Pela (9) -12x3 = 24 x

3 = -2

Pela (8) (-x2 - 2x

3 = 1)

-x2+4 = 1 x

2 = 3

Pela (7) 2x1 + 3x

2 + 4x

3 = 3

2x1 + 9 - 8 = 3 x

1 = 1

Solução: {(1; 3; -2)} Controle: o controle já foi feito com a coluna de somas, salvo se houve engano nos cálculos posteriores.


1. Resolva graficamente os sistemas:a) { y = 2x - 3 b) { y = -3x C) { 2x + y = 8 y = -2x + 17 2y - 3x = 18 4x + 2y = 12

[ [[

AVISO IMPORTANTE

O estudante deverá utilizar na prática para as transformação o esquema que é de determinante de segunda ordem.

] ]]x

1 x

2 x

3b S Transformações

2 3 41 1 15 -2 -3

325

1255

(1)(2)(3)

2 3 40 -1 -2 0 -19 -26

31-5

12-2

-50

(4) = (1)(5) = 2(2) - 1(1)(6) = 2(3)-5(1)

0 3 130 -1 -20 0 -12

3124

12-212

(7) = (4)(8) = (5)(9) = -1(6)+19(5)

0 0 0 0– +



d) { 3x + y = 12 e) { x + 2y = 10 f ) { 4x + 7y = -3 9x + 3y = 36 3x + 4y = 8 7x + 4y = 36

2. Resolva os sistemas do exercícios 1 pelas fórmulas.

3. Calcule os determinantes da matrizes, utilizando a definição:

1 0 2 3 4 3 5 2 3 4a) -1 1 0 b) 2 5 1 c) 1 2 1 2 2 -1 3 1 -1 -2 1 1 2 3 -5 3 2 14. Calcule os determinantes de terceira ordem, usando a regra prática:

1 3 7 0 2 3 1 3 -4a) 2 5 16 b) 1 0 -3 c) 3 2 6 -3 9 15 -1 3 6 1 3 -45. Calcule os determinantes dos exercícios 3 e 4, expandindo : a) pela segunda coluna, b) pela terceira coluna.

6. Escreva as matrizes transpostas do exercício 3 e calcule seus determinantes. O que encontrou?

7. Calcule os determinantes do exercício 4, fazendo as expansões por linha.

8. Calcule os determinantes das matrizes, fazendo as expansões pelas filas que julgar mais conveniente:

3 2 0 4 3 0 1 2 3 4a) 0 0 4 b) 1 0 1 c) 2 0 0 5 1 5 6 2 1 2 6 0 3 0 1 0 0 -49) O que pode ser afirmado (e por que) a respeito dos determinantes das matrizes abaixo, sem resolver? 2 3 5 2 3 2 3 2 5 2 6a) 0 0 0 b) 1 5 1 1 c) -1 0 1 3 2 1 4 2 -2 2 5 3 0 0 2 4 0 4 6 4 10 4 12

3 1 4 4 1 3d) 0 -3 -4 e) -4 -3 0 5 6 1 1 6 5

[

[

[

[[ [

[

[

[

[ [

[[ [

]

]

]

]] ]

]

]

]

] ]

]] ]



10. Resolva os sistemas (por determinantes):

x + y - z = 4 8x + 5y +3z = 35a) { 2x - 3y - 4z = 0 b) { 7x + 3y + z = 23 2x - y - z = 1 x - 8y - 3z = -23

x1 + x

2 + x

3 - x

4 = 4

x1 + x

2 - x

3 + x

4 = 3 3x + y + 2z = 1

c) { x1 - x

2 + x

3 + x

4 = 2 d) { -3x - 2y + z = -1

-x1 + x

2 + x

3 + x

4 = 1 3x -y + z = -2

11. Mostre, utilizando as propriedades, que: b+c a-b a a b c a-b-c 2b 2ca) c+a b-c b = b c a b) 2b b-c-a 2b = (a+b+c)3 a+b c-a c c a b 2a 2c c-a-b x y z y b w b+c a+c a+b a b cc) u w t = x a u d) y+z z+x x+y = 2 x y z a b c z c t q+r r+p p+q p q r

13. Calcule os sistemas:a) {rx + ry = r b) {αx + y = 3 rx + y = 2r x + 3y = β

αx - y + z = 3 2x - 3y + z = λc) { x + αx + z = α d) { x + y + 3z = -5 x + y + αz = 1 3x + ρy + 4z = 0

14. Discuta os valores dos parametros para que os sistemas possuam soluções diferentes das triviais (x=0, y = 0)a) {mx+(m-1)y = 0 b) {ax + 8y = 0 2x + 7y = 0 ax - 9y = 0

15. Inverta as matrizes (pela matriz cofator e depois por transformação):a) { 1 2 1 b) {2 4 c) { 3 0 1 0 -2 0 1 4 6 -2 2 -2 1 3 -3 1 0 2 -3 2 -1 1 -2 1

d) 3 6 e) 0 1 f) α β α d) 1 -2 4 8 -1 0 β 0 -α 2 1/2 α -α α[ [ [] ] ][ ]



16. Resolva os sistemas do exercício 10 por inversão de matrizes.

17. Determine (usando sistemas) as funções lineares que são satisfeitas pelos pontos: a) (-3; -3) e (1; 5) c) (2; 3) e (5; 4) b) (3; 1) e (5; 2) d) (0; -5) e (3; 1)

18. Determine (usando sistemas) as funções quadráticas qiue são satisfeitas pelos pontos:a) (0; 10), (5; 0) e (6; 4) c) (4; -9), (1; 0) e (7; 0) b) (-2; 5), (-1; 8) e (2; 5 d) (0; -98), (1; -96) e (4; -66)

19. Sabendo-se que x, y, z são obtidos das variáveis t, u, v, pela matriz de transformação. 1 0 2 0 -1 3 2 1 4

20. Resolva graficamente os sistemas de inequações lineares:a) {3x + y ≤ 9 b)

{ 2x + 3y ≤ 15

2x - 3y ≤ 6 4x ≤ 20 x ≥ 0 y ≥ 0

21. Um criador deseja criar pato, perú e galinha num total de 400 aves. As condições de sua chacára não permitem criar mais que 300 patos e mais que 200 perús. Determine graficamente o conjunto de possibilidades para o criador.

Sugestão: Indique com x e y os patos e peúrs, de onde 400-x-y serão as galinhas. Forme todas inequações; lembre-se que os números de cada ave são não-negativos.

22. Uma indústria produz máquinas do tipo I e tipo II que necessitam passa respectivamente: 11 e 9 minutos pela estamparia, 7 e 12 minutos pela galvânica e 6 e 16 minutos pela montagem. Sabendo-se que essas seções estão disponíveis por mês só 9.900 minutos, 8.400 minutos e 9.600 minutos respectivamente, determine graficamente o conjunto de possibilidades.

TESTES1. Verdadeiro - Falsoa) a b2 = 0 b) 5 0 3 8 ≠ 0 ac b2c 1 0 8 0 3 0 -2 1 0 0 6 0

[ ]



x 3 2c) 8 6 4 = 0 (x=4) V (x=1) 5 12 x

x 3 2d) 8 6 4 = 0 (x=5) V (x=1) 5 12 x

2. De associação:a) cos x cos y a´) cos (x+y) sen x sen y

b) sen x -sen y b´) cos (x-y) cos x cos y

c) cos x sen y c´) sen (y-x) sen x cos y

d) cos x sen x d ´) sen (x+y) -sen y cos y

3. Múltipla Escolha

a) A inversa de [ 4 51 2 ] é:

a1) [ 2/3 5/31/3 4/3] a2) [ 2/13 -5/3

1/13 4/3]a3) [ 2/3 -5/3

-1/3 4/3] a4) [ 2/3 -5/3-1/3 -4/3]

b) A inversa de [ 3 00 -5] é:

b1) [ 1/3 1/5-1/3 -1/5 ] b2) [ 0 1/3

-1/5 0 ]b3) [ -1/3 0

0 1/5] b4) [ 1/3 0 0 -1/5 ]

x 3 2e) 8 6 4 = 0 (x=8) V (x=0) 5 12 x

x 3 2f) 8 6 4 = 0 (x=8) V (x=4) 5 12 x



SistemasLineares,DeterminanteseInversãodeMatrizes

Respostas–Sequência19

1. a) {(5 ; 7)} b){(-2 ; 6)} c) Ø d) {(x ; y) | 3x+y=12} e) {(-12 ; 11)} f) {(8—5)}

3. a) 1 b) -28 c) -40

4. a) -72 b) 3 c) 78

6. As mesmas respostas

8. a) -52 b) -4 c) 78

9. a) nulo (Prop. III) b) nulo (Prop. V) c) multiplicando a 1ª linha (Prop. VI), é nulo (Prop. V) e) determinantes de sinais opostos (Prop. IV)

10. a) {(1 ; 2 ; -1)} b) {(2 ; 2 ; 3)} c) {(2 ; 3/2 ; 1 ; 1/2)} d) {(-8/21 ; 9/7 ; 3/7)}

12. a) x=6 b) x=2 OU x=6 c) x=4

13.a) r≠0 e r≠1, determinado r≠0, x é indeterminado e y=0 r≠1, impossível

b) α≠1/3, determinado; α≠1/3 e β≠9, impossível α=1/3 e β=9, indeterminado

c) α≠0, α≠-1, determinado; α=0 ou α=-1m impossível α=1, indeterminado, mas y=-1

d) 𝜌≠-2, determinado; 𝜌=-2 e λ=5, indeterminado; 𝜌=-2 e λ≠5, impossível

14. a) m=-2/5 b) a=0, mas y=0

15. a)[3/19 -5/19 2/19] b) [-3/2 1 ] 5/19 -2/19 -3/19 1 -1/2 6/19 9/19 4/19

c) 1 0 -1 2 d) não possui e) 0 -1 1 1 -1 1 1 0 -2 0 3 -6 -4 -1 6 -10

-α2-α -αβ -αβ 1/9 4/9 f)

-1————α(α+ β)2

-α2-αβ 0 α2-αβ g) -4/9 2/9 -αβ α2-αβ -β

[ ] ]

]

[

[][



17. a) y=2x+3 b) y=1/2 X -1/2 c) y=1/3x+7/3 d) y=2x-518. a) y=x2-7x+10 b) y=-x2+9 c) y=x2-8x+7 d) y=2x2-98

19. 7/3 -2 -2/3 -2/3 0 1/3 -2/3 1 1/3

20. a) b)

21. 22.

TESTES1. V F F F F V2. a com c´, b com d´, c com a´, d com b´3. a

3) , b

4).

][

CAPÍTULO VIISISTEMAS NÃO LINEARES •SistemasnãoLinearesdoSegundoGrau •SistemascomEquaçõesExponenciaise Logarítmicas •SistemasTrigonométricos



78.Introdução

O estudo de istemas não lineares não apresenta a mesma uniformidade que os lineares, em vista da variedadde de sistemas possíveis. Estudaremos alguns tipos a duas variáveis.

A. Sistemas Não Lineares do 2º grau.

Para esses sitemas em geral procura-se obter uma das variáveis dada em função da outra, por substituição, obtém-se uma equação a uma variável. Entretanto, podem às vezes serem resolvidos por artifícios elegantes. Também é interessante a resolução recorrendo-se às representações gráficas das relações.

79.RelaçãoLinear ∩ RelaçãoQuadrática

Sendo linear uma das relações, é possível obter uma das variáveis em termos da outra; portanto, por substituição na relação quadrática, obtemos uma sentença aberta numa só variável, o que será uma equação do 2ª grau.Ilustração:

a) {3x - y = 10 y - x2 + 6x = 8

3x - y = 10 y = 3x - 10 Tornando explicita em relação a y.

3x - 10 - x2 + 6x = 8 Substituindo na relação quadrática.

x2 - 9x + 18 = 0 Obtivemos equação do 2º grau.

(x = 3) V (x = 6) Resolvendo.



y = 3x-10 fornece para x=3 o valor y=-1e para x=6, o valor y=8. Solução do sistema: {(3 ; -1) , (6 ; 8)} Controle: Substituindo na relação quadráticax = 3 e y = -1 y - x2 + 6x = -1 - 9 + 18 = 8x = 6 e y = 8 y - x2 + 6x = 8 - 36 + 36 = 8 b) {x - y = 1 x2 + y2 = 25 x - y = 1 y = x - 1

Substituindo em x2+y2 = 25, obtemos: x2 + (x-1)2 = 25 2x2 - 2x - 24 = 0 x2 - x - 12 = 0 (x = 4) ou (x = -3)

Substituindo na linear, obtemos: x = 4 y = 3 x = -3 y = -4Solução: Conjunto verdade do sistema: {(4 ; 3), (-3 ; -4)}

Resolução GráficaEm vários sistemas é possível obter a solução satisfatóriamente, contruindo os gráfico de cada relação e procurando a interseção.

a) Na primeira ilustração o sistema é equivalente a: { y = 3x - 10 y = x2 - 6x + 8

cujos gráficos são nossos conhecidos do ano anterior, o promeiro é uma reta e o segundo é uma parábola.

Fig. 20



80.RelaçãoQuadrática ∩RelaçãoQuadrática

Para o caso de relações quadrática, algumas vezes ainda é possível utilizar o processo anterior, desde que se possa obter numa das relações o valor de uma das variáveis em termos da outra. a) {x2 + 2x - y = 8 x2 - y - 6x = -5 x2 + 2x - y = 8 y = x2 + 2x - 8

Substituindo na segunda relação : x2 - x2 - 2x + 8 - 6x = - 5 -8x = -13 x = 13

— 8

= 1 5— 8

Substituindo na primeira relação: x2 + 2x - y = 8

x = 13— 8

169—— 64

+ 26— 8

-y = 8

y = 169—— 64

+ 26–— 8

- 8

y = -3 7–— 64

b) Na segunda ilustração o sistema é equivalente a: {y = x - 1 x2 - y2 = 25

cujos gráficos são: uma reta e uma circunferência;

Fig. 21



Colocando x2 = z, teremos: z2 - 40z + 144 = 0 (z = 4) ou (z = 36)

Como x2 = z: Para z = 4 teremos x2 = 4 (x = 2) ou (x = -2) Para z = 36 teremos x2 = 36 (x = 6) ou (x = -6)

Substituindo em xy = 12: Para x = 2 teremos 2y = 12 y = 6 Para x = -2 teremos -2y = 12 y = -6 Para x = 6 teremos 6y = 12 y = 2 Para x = -6 teremos -6y = 12 y = -2

Solução: Conjunto verdade: {(2;6), (-2;-6), (6;2), (-6;-2)}

{(1 5— 8

; -3 7—64

)}

Resolução Gráfica { x2 + 2x - y = 8 x2 - y - 6x = 5

{ y = x2 + 2x - 8 y = x2 - 6x + 5

b) {xy = 12 x2 + y2 = 40 Se x≠0: xy=12 y = 12/xSubstituindo em x2 + y2 = 40

x2 + 144—— x2

= 40

x4 - 40x2 + 144 = 0

Fig. 22



Observação: Poderíamos ter resolvido multiplicando a primeira por obtendo 2xy=24 e por adição com a segunda, obtemos x+y=±8 (graficamente correspondem a duas retas secantes à circunferência e à hiperbole) e teríamos sistema de relação linear com quadrática.

Casos resolvíveis por artifício Alguns sistemas quadráticos podem por algum artifício especial serem resolvidos de maneira relativamente fácil; veremos alguns exemplos. a) {x2 + y2 - 12x - 18y + 67 = 0 x2 + y2 - 6x - 11 = 0

Resolução Gráfica

A representação gráfica de x2 + y2 = 40 é uma circunferência de centro na origem e raio √40 ≅ 6,3. A representação gráfica de xy=12 obtemos escolhendo vários valores de x e calculando os y correspondentes, e é uma curva denominada hipérbole.

x y

-12 -1

-6 -2-4 -3-3 -4-2 -6-1 -121 122 63 4



Substituindo, obtemos: -6 - 18y + 78 = 0 x + 3y - 13 = 0

y = - x— 3

+ 13— 3

Substituindo na segunda: x2 + (- x—

3+ 13

— 3

)2 - 6x - 11 = 0

10— 9

x2 - 80— 9

+ 70— 9

= 0

x2 - 8x + 7 = 0 (x=1) V (x=7)

Substituindo na relação linear obtida, teremos:

y = - x— 3

+ 13— 3

x = 7 y = - 7— 3

+ 13— 3

y = 2

x = 1 y = - 1— 3

+ 13— 3

y = 4

Solução: Conjunto verdade: {(7;2), (1;4)}

Resolução Gráfica Pelo que aprendemos na primeira série colegial, cada uma das relações quadráticas tem pro gráfico uma circunferência. Vejamos os elementos: x2 + y2 - 12x - 18 + 67 = 0 (x - 6)2 - 36 + (y - 9)2 - 81 + 67 = 0 (x - 6)2 + (y - 9)2 = (√50)2

Centro: (6;9) Raio: √50 ≅ 7



x2 + y2 - 6x - 11 = 0 (x-3)2 - 9 + (y-0)2 - 11 = 0 (x-3)2 + (y-0)2 = (√20)2

Centro: (3;0) Raio: √20 ≅ 4,5

b) {9x2 - 2y2 = -14 3x2 + y2 = 37sistemas como este em que as relações são do tipo ax2 + by2 = c, podem ser resolvidos inicialmente como se fossem lineares. {9x2 - 2y2 = -14 9x2 + 3y2 = 111 5y2 = 125 y2 = 25 y = 5 ou y = -5Substituindo na primeira relação 9x2 - 2y2 =14, obtemos:Para y = 5, 9x2 - 50 = -14 9x2 = 36 x2 = 4 x=2 ou x =-2

Para y = -5, obtemos também x = 2 ou x = -2 Solução: conjunto verdade: {(2;5), (2;-5), (-2;5), (-2;-5)}.

O estudante observará que a função linear y = -x/3 + 13/3 tem justamente pro gráfico a secante comum à circunferência.

Fig. 24

Multiplicando a segunda por 3.

Subtraindo.



Resolução Gráfica

O gráfico da primeira é uma hipérbole, e o da segunda é uma elipse.

c) {6x2 - 5xy + y2 = 0 x2 - xy = -2

A primeira relação é do tipo ax2+bxy+cy2=0, e é denominada quadrática homogênea. Este tipo de relação é sempre decomponível em fatores lineares: 6x2 - 5xy + y2 = 0 (3x-y) (2x-y)=0 (3x-y=0) ou (2x-y=0) (y=3x) ou (y=2x)

Substituindo na relação x2 - xy = -2, obtemos: 1) x2 - 3x2 = -2 -2x2 = -2 x2 = 1 (x=1) ou (x =-1) 2) x2 - 2x2 = -2 -x2 = -2 x2 = 2 (x=√2) ou (x =-√2)

x y

-3 ± √47,5

-2 ± 5

-1 ± √11,5

0 ± √7

1 ± √11,5

2 ± 5

3 ± √47,5

x y

√37/3 0

-1 ± √34

0 ± √37

1 ± √34

-√37/3 0



Voltando nas lineares correspondentes: Para x = 1 teremos y = 3 Para x = -1 teremos y = -3 Para x = √2 teremos y = 2√2 Para x = -√2 teremos y = -2√2

Solução: Conjunto Verdade: {(1;3), (-1;-3), (√2;2√2), (-√2;-2√2)} Observação: O mesmo resultado seria obtido decompondo de outra maneira, por exemplo: 6x2 - 5xy + y2 = 0 (6x-2y) (x - 1/2 y) = 0 (6x-2y=0) ou (x-1/2 y = 0) (y=3x) ou (y=2x)Resolução Gráfica Os pontos da primeira relação podem ser obtidos na relação ou, o que é mais fácil, pelas lineares (duas retas concorrentes).Pontos da primeira relação

Pontos da segunda (uma hipérbole)

x y

-2 -6 ou -4

-1 -3 ou -2

0 0

1 3 ou 2

2 6 ou 4

3 9 ou 6

x y

-4 -4,5

-3 -11/3

-2 -3

-1 -3

0 não existe ponto

1 3

2 3

3 11/3

4 4,5



81.ElipseeHipérbole(Optativo)

Na primeira série colegial aprendemos a definição, traçado geométrico e a relação da parábola; veremos agora mais duas curvas usuais, sendo que as três, e ainda a circunferência, podem ser obtidas seccionando-se um cone por um plano, de onde o nome de cônicas. circunferencia elipse

parábola hipérbole

DEFINIÇÕESElipse:A curva cuja a soma das distâncias de seus pontos a dois pontos fixos (focos) dos plano é constante, chama-se elipse.

AVISO

Quando uma relação é do tipo ax2+bxy+cy2=d, em alguns casos relacionando com a outra pode-se obter uma homogênea e usar a lineares equivalentes.



Hipérbole: A curva cuja diferença das distâncias de seus pontos a dois pontos fizos (focos) do plano é constante, chama-se hipérbole.

TRAÇADO GEOMÉTRICOElipse: Com centro num foco traça-se uma circunferência com raio arbritário inferior à constante 2a. Com centro no outro foco traça-se outra circunferência com raio igual à diferença de 2a e o raio da primeira que cortará em geral a primeira em dois pontos da elipse. Da mesma maneira, obtém-se outros pontos.

Hipérbole: Com o centro num foco traça-se uma circunferência com raio arbritário superior à contante 2a. Com centro no outro foco traça-se outra circunferência com raio igual à diferença do raio da primeira e a constante 2a, que cortará em geral a primeira em dois pontos da hipérbole, Da mesma maneira, obtém-se outros pontos.



82.Relações

a) Elipse Utilizando a expressão de definição PF + PF´ = 2a com centro na origem, F(c;o), F´(-c;o) e P(x;y), e as fórmulas das distância, encontra-se para a elipse:

x2 y2

–– + — = 1 a2 b2

b) Hipérbole Utilizando a expressão de definição PF – PF´ = 2a com centro na origem, encontra-se para a hipérbole a relação:

x2 y2

–– – — = 1 a2 b2

Quando os eixos são paralelos aos eixos coordenados e o centro da elipse é o ponto C(m;n), encontra-se para a elipse:

(x-m)2 (y-n)2–––— + –—— = 1 a2 b2 ou

(x-m)2 (y-n)2–––— + –—— = 1 b2 a2

conforme os focos esteja ou em horizontal ou em vertical. Para a hipérbole, encontra-se analogamente:

(x-m)2 (y-n)2–––— – –—— = 1 a2 b2 ou

(y-n)2 (x-m)2–––— – –—— = 1 a2 b2


1. Resolva algébrica e graficamente os sistemas:a) {x2-y2=-9 b){y=3x-5 c){y-x=-12 y-2x=3 x2-2y=0 x2+y2=74

d){9x2+16y2=144 e){x-y-18=0 f){16x2-25y2-400=0 3x+4y=12 x2+y2-xy=268 4x-5y=0



2. Resolva algébrica e graficamente os sistemas:a) {y+x2-3x+2=0 b){y-x2+4x=3 y+x2-x+1=0 x-y2+4y=3

c) {7x2+y2-37=0 d) {4x2-7y2-21=0 8x2+3y2-59=0 x2+2y2=99

e){25x2+2y2=88 f) {x2-y2=-7 25x2-y2=-20 x2+y2=25

g) {6x2-5xy+y 2=0 h){8x2+3xy-14=0 9x2-3yx-y2=-9 6x2+xy-2y2=0

i) {2x2+3xy-4y2-40=0 j) {8x2-7xy+10=0 6y2+xy-10=0 8y2-9xy-18=0

3. Calcule dois números, sabendo-se que o produto é -24 e a soma é -5.

4. Calcular as dimensões de um retângulo, sabendo-se que sua área é 13m2 e seu perímetro 17m2.

5. Em um triângulo retângulo a soma dos catetos é 102m e o quadrado da hipotenusa excede o dobro do quadrado de um dos catetos em 4284m2. Calcule os lados.

6. Um lado de um retângulo excede o outro em 6 unidade. Sabendo-se que a diagonal mede 30 unidades, calcule a área.

7. Calcule o valor de λ para que a reta y = λ x-4 seja tangente à hipérbole x2-y 2=9.

8. A soma dos quadrados de dois números é 676 e o seu produto é 240. Calcule-os.

9. Represente graficamente os sistemas de inequações:

a) {2x+3y≤6 b) {3x-4y≤12 x2+y2≤16 x2+y2-4x+≥5

c) {x+y≥3 d) {x2+y2-2x+1≤0 y≤-x2+6x-5 x2+y2+2x≥8

10. Resolver os sistemas:

a) {x2+y2+x+y-62=0 b) {2xy-3x-3=0 c) { x+y 3x+7y––— = –—— x-y 2x+2y

x2-y 2 +x-y-50=0 x2-4xy+15=0 x2+y2=90

d) {(x+6)(y+7)=80 e) {2x+3y=10 f) { x2-y2=98 x+y=5 xy=-4 x-y=2

g) {x2+y2=29 h) {1/x-1/y=1/36 xy=10 y-x=6



SistemasNãoLineares


1. a) {(0;3), (-4;-5)} b) Ø c){(5;-7), (7;-5)} d) {(4;-14), (14;-4)} e) {(4;0), (0;3)} f) Ø

2. a) {(1/2;-3/4)} b) {(3;0), (0;3), ( 5+√13 5+√13––——;——— 2 2 ), ( 5+√13 5+√13

––——;——— 2 2 )}

c){(2;3), (2;-3), (-2;3), (-2;-3)} d) {(7;5), (-7;5), (-2;3), (-2;-3)}

e) {(4/5;6), (4/5;-6), (-4/5;6), (-4/5;-6)} f) {(3;4), (3;-4), (-3;4), (-3;-4)}

g) {(), (), (), ()} h) {(), (), (), ()}

i) {(), (), (), ()} j) {(), (), (), ()}

3. 3 e -8 4. 2 e 6,5 5. 30, 72 e 78

6. 432u2 7. λ = 5/3 ou λ = -5/3 8. 10 e 24 ou -10 e -24

9. a) b)

c) d)

10. a) {(7;2), (-8;-3)} b) {(3;2)} c) {(9;3), (-9;3). (9;-3), (-9;-3)} d){(4;1), (2;3)}

e) {(-1;4), (6;-2/3)} f) {(25,5;23,5)} g) {(2;5), (-2;-5), (5;2), (-5;-2)} h) {(12;18), (-12;-18)}



B. Sistemas com Equações Exponenciais e Logarítmicas.

Os sistemas de equações exponenciais ou logarítmicas também não possuem processos especiais. Daremos alguns exemplos resolvidos, como nos estudos anteriores, onde o aluno observará que uma norma geral é procurar transformar em sistemas algébricos, lineares ou não.

83.PrimeiroTipo:

log x + log y = b Segunda equação.

log (xy) = b Propriedade do logaritmo do produto.

log (xy) = log N Colocando b em forma de logaritmo para igualar os números.

xy = N Formamos sistema do segundo grau.

{x + y = a xy = N

Ilustração: {x + y = 52 log x + log y = 2

Seguindo as equivalências, obtemos o sistema: {x + y = 52 { x = 2 {x = 50 xy = 100 y = 50 y = 2Observação: Análogamente, resolveríamos sistemas dos tipos: {x ± y = a {xy=a log x ± log y = b log x – log y = b

{x/y = a {mx2 + ny2 = b log x + log y = b log x ± log y = b

x + y = alog x + log y = b

ou



84.SegundoTipo

{mX + nY = p qX + rY = s [Colocando X = log

bx e Y=log

by]

Resolve-se o sistema linear em X e Y, com as substituições calcula-se x e y.Ilustração: {5 log

2x - 3 log

2y = 18

4 log2x + 2 log

2y = 32

Fazendo as substituições, encontramos o sistema linear: {5X - 3Y = 18 {X = 6 {log

2x = 6 {x = 64

4X + 2Y = 32 Y = 4 log2y = 4 y = 16

85.TerceiroTipo

{x log a + y log b = log c x log d + y log e = log fIlustração: {16x.8y = 128 8x:4y = 1/65536

Aplicando logaritmos, obtemos: {x log 16 + y log 8 = log 128 x log 8 - y log 4 = - log 65536

Observando que os números são potências de 2, podemos aplicar logaritmo de base 2: { 4x + 3y = 7 {x = -2 3x - 2y = -16 y = 5

Pode-se fazer com os logaritmos decimais,e a resposta dependerá do número de casas utilizadas (usaremos 4 para exemplo):

x + y = alog x + log y = b

axby = ccxey = f

Aplicando logaritmo transformando num

sistema linear em x e y.[



{1,2041x + 0,9031y = 2,1072 { x ≅ -3,08909––——— 1,5406

≅ - 2 0,9031x - 0,6021y ≅ - 4,8163 y ≅ 7,7023

––—— 1,5406

≅ 5

86.QuartoTipo:

{amx+ny = b aqx+ry = d {amx+ny = ap

cqx+ry = cs

{mx + ny = p qx + ry = s

Ilustração: Usaremos o mesmo sistema anterior: {16x.8y = 128 {(24)x.(23)y = 27

8x:4y = 1/65536 (23)x:(22)y = 2-16

{24x+3y = 27 {4x + 3y = 7 {x = -2 23x-2y = 2-16 3x - 2y = -16 y = 5Observação: O processo se aplica também a sistemas com quocientes de potências, e análogos.

87.QuintoTipo:

{log x log y = log 5 log x + log y = log b

{X . Y = a X + Y = b

amxany = bcqxcry = d

log x log y = axy = b

Multiplicando de potëncia da mesma base.

Colocando b=ap e d= c s; se não for simples, utiliza-se logaritmos.

Igualando os expoentes, de onde resolve-se o sistema linear.

Aplicando logaritmo na segunda.

Colocando X=log x e Y=log y, transformando em sistemas do segundo grau.



Ilustração: {log x log y = log 5 xy = 50

Utilizando as transformações, obtemos o sistema: {XY = log 5 X + Y = 1 + log 5

{X = 1 {X = log 5 {y = 10 y = 5 Y = log 5 Y = 1 x = 5 x = 10


1. Resolver os sistemas:a) {x+y=502 b) {x-y=9,9 log x+log y=3 log x+log y=0

c) {x+y=33 d) {xy=40 log x-log y=1 log x-log y=1

e) {x+y=90 f) {x2-y2=63 log

3x+log

3y=6 log

2x-log

2y=3

g) {5x2-3y2 = 6125 log x +log y = 3

2. Resolver os sistemas:a) {2log

3x+log

3y=1 b) {3 log x-2 log y = 0

2log3x-3log

3y=13 3 log x+5 log y = 21

c) {5 log(2x-y) + 3log(2x+y) = 19 d) {2 log x -2 log y = log M 2 log(2x-y) + log(2x+y) = 7 log x + log y = log N

3. Resolver os sistemasa) {2x.3y = 108 b) {5x.9y = 320 c) {2x.3y = 560 4x.2y = 128 2x.11y = 540 5x-7y = 0

ou ou



4. Resolver os sistemas:a) {3x:9y = 3 b) {5x:5y = 1/125 3x- 4y = 7 2x = 128.2-y

c) {mx = m2

––– m4y

d) {m7x:m6=m3y

mx.m5y=m28

x + 1 = y

e) {3√2x : √2-y = 27

4√2x : 3√22y = 1––––2048

5. Resolver os sistemas: a) {log x . log y = log 8 b) { log x= 6: log y xy = 80 y = 10x

c) {log4x . log

4y = 10 d) {xy = 300 e) { xy=72

xy = 16384 xlog y = 9 ylog4

x = 6

6. Resolver os sistemasa) {xy = yx b) {4x2-y = 100.25y-x2 c) {log√x - log√y = 1 x8 = y2 x = 3 - y x2+y2-xy=4

7. Resolver os sistemas:a) {22x-32y-1=-23 b) {xlog y = 81 22x-1+32y=83 xy = 900

8. Resolva o sistema:a) {log x + log y = 1 3x2 + y2 = 79



SistemascomEquaçõesExponenciaiseLogarítmicas


1. a) {(2;500)} b) {(10;0;1)} c) {(30;3)} d) {(20;2)} e) {(9;81)} f) {(8;1)} g) {(40;25)}

2. a) {(9;1/27)} b) {(100;1000)} c) {(275;450)} d) {(4√N2M;4√N2 /M)}

3. a) {(2;3)} b) {(0,0034;2,6228)} c) {(4,2812;3,0584)}

4. a) {(5;2)} b) {(2;5)} c) {(-2/5;3/5)} d) {(3;5)}

5. a) {(8;10)} b) {(100;1000)} c) {(16;1024)} d) {(100; 3)} e) {(2;36)}

6. a) {(9/4;27/8)} b) {( -1±√17–––—— 2 ;

7±√17–––––— 2 )}

7. a) {(1;2)} b) {(9;100) ; (100;9)}

8. {(5;2), (2√3/3; 5√3)}



C. Sistemas Trigonométricos.

Também para os sistemas de equações trigonométricas, pela sua enorme variedade de tipos, nos limitaremos a estudar alguns.

88.PrimeiroTipo

sen x + sen y = b

2 sen x - y–—— 2

cos x - y–—— 2

= b

2 sen a — 2

cos x - y–—— 2

= b

cos x - y–—— 2

= b–——–2 sen

a — 2

x - y = M

Ilustração: {x + y = 300º sen x + sen y = 1 Obtém-se : cos

x - y–—— 2

= 1–—–––— 2 sen 150º

= 1

x - y–—— 2

= K.360º x - y–—— 2

= K . 720º

Formamos o sistema linear: { x + y = 300º x - y = k.720º

x + y = asen x + sen y = b

Segunda equação.

Pela transformação em produto.

Pela primeira equação.

Caso sen a/2 ≠ 0.

Resolvendo a equação anterior, e forma-se sistema linear com a primeira equação.



Resolvendo-o, obtemos o conjunto verdade dado pelos pares: { x = k.360º + 150º y = 150º - k.360ºObservação: Procedimento análogo se empregará para sistemas nas formas: {x ± y = a {x±y=a {x±y=a sen x ± sen y = b cos x ± cos y = b sen x ± cos y = b

89.SegundoTipo

tg x + tg y = b

sen (x+y)–————– cos x . cos y

= b

sen(x+y) = b . cos x . cos y

sen (x+y) = b–– 2

[cos (x+y) = cos (x-y)]

sen a = - b–– 2

[cos a + cos (x-y)]

cos (x-y) = sen -

b — 2

cos a –——–————

b — 2

x - y = M

Ilustração: {x + y = 45º tg x + tg y = 2 Obtém-se pelas equivalências: cos (x-y) = 0 x - y = k.360º ± 90º

x + y = atg x + tg y = b{

Segunda equação.

Transformando a soma de tangentes em produto.

Operação inversa.

Pela fórmula de Werner.


b≠0, pois seria a = K.180º

Resolvendo a anterior, e forma-se sistema linear com a primeira.



{x + y = 45º x - y = k.360º ± 90º

Resolvendo o sistema linear, obtemos o conjunto verdade dado pelos pares: {x = k.180º + 67º30' {x = k.180º - 22º30' y = -22º30' y = 67º30' - k.180º

Observação: Procedimento análogo se empregará para sistemas nas formas: {x ±y = a {x ± y = a tg x ± tg y = b cotg x ± cotg y = b

90.TerceiroTipo

⇔

⇔

⇒

Ilustração: {x + y = 60º sen x . sen y = - 1/2

Fazendo as equivalêcias indicadas, obtemos:

cos(x - y) = -1/2

⇒ x + y = k.360º ± 120º

x + y = asen x + sen y = b{

sen x. sen y = b

cos (x-y) - cos (x+y) = 2b

cos (x-y) = 2b + cos a

x - y = M

Segunda equação

Pela fórmula de Werner


Resolvendo a equação anterior, e formamos sistema linear com a primeira.



Formamos o sistema linear: {x + y = 60º x - y = k.360º ± 120ºResolvendo-o, obtemos o coonjunto verdade dado peloa pares: {x = k. 180 + 90º {x = k.180º - 30º x = -k.180º - 30º y = -k.180º + 90ºObservação: Com procedimento análogo se resolverá sistemas das formas:

{x + y = a {x ± y = a {x ± y = a sen x . sen y = b cos x - cos y = b sen x . cos y = b

91.QuartoTipo

tg x. tg y = b ⇔

sen x . sen y –————— cos x . cos y

= b

⇔ cos (x-y) - cos (x+y) –——————— cos (x+y) + cos (y-x)

= b

⇔ cos (x+y) = 1+b–—1-b

cos a

⇒ x - y = M

Ilustração: {x + y = 75º tg x . tg y = √3/3

Usando as equivalências anteriores, chegaremos à equação:

cos (x-y) = 3 + √3 –——— 3 - √3

cos 75º

x + y = atg x + tg y = b{

Segunda equação.

Pela definição de tangente.

Pelas fórmulas de Werner.

Usando a primeira.

Resolvendo a equação anterior, e formamos sistema linear com a primeira.



⇒ cos (x-y) = √6 + √2–——— 4

⇒ x - y = k.360º ± 15º {x + y = 75º x - y = k.360º ± 15º Resolvendo o sistema linear, encontramos o conjunto verdade dado pelos pares: {x = k. 180º + 45º {x + y = 75º y = 30º - k.180º y = 45º - k.180º

Observação: De maneira análoga se resolverá sistemas das formas: {x - y = a {x ± y = a tg x . tg y = b cotg x. cotg y = b

92.QuintoTipo

⇔ sen x–—— sen y

= n — m

⇔ sen x - sen y–——–——sen y + sen y

= n-m—–— n+m

⇔ sen

x - y—— 2

cos x + y—— 2–——–——————

sen x + y—— 2

cos x - y—— 2

= n-m—–— n+m

⇔ tg x-y–— 2

= n-m—–— n+m

tg n — m

⇒ x - y = M

x + y = am sen x = n sen y {

Da segunda equação.

Propriedade das proporções.

Transformando em produto.


Resolvendo a equação anterior, e formando sistema linear com a primeira, encontra-se x e y.



Ilustração: {x + y = 120º sen x = 2 sen y Utilizando as equivalências anteriores, obtemos a equação:

tg x - y—–— 2

= √3–— 3

⇒ x - y—–— 2

= k.180º + 30º ⇒ x-y = k.360º + 60º

{x + y = 120º x - y = k.360º + 60º Resolvendo o sistema linear, obtemos o conjunto veradde dado pelos pares: {x = k.180º + 90º y = -k . 180º + 30º

Observação: Com o processo análogo se resolverá sistemas do tipo: {x ± y = a {x ± y = a m sen x = ± n sen y m cos x = ± n sen y

93.SextoTipo

2 sen x+y–— 2

cos x-y–— 2

= a (1)

2 sen x+y–— 2

cos x-y–— 2

= a (2)

⇒ tg x+y–— 2

= a— b

(3)

⇒ x+y–— 2

= M (4)

sen x + sen y = acos x + cos y = b

{ Transformando em produto.

Dividindo-as, se b≠0.

Resolvendo a (3).



⇒ 2 sen M cos x-y–— 2

= a (5)

⇒ x-y–— 2

= N (6)

Ilustração: {sen x + sen y = 3/2 cos x + cos y = √3/2

Seguindo as transformações, obtemos a equação:

tg x+y–— 2

= √3 ⇒ x-y–— 2

= k1.180º + 60º

e usando esse valor, obtemos:

cos x-y–— 2

= ± √3–— 2

⇒ x-y–— 2

= k2.180º ± 30º

{x + y = k1.360º ± 120º

x - y = k2.360º ± 60º

Resolvendo o sistema linear, obtemos o conjunto verdade dado pelos pares: {x = K . 360º + 30º y = K´.360º + 90º

NOTA: O sistema poderia ser resolvido elevando-se ao quadrado e adicionando, obteríamos cos(x-y) = 1/2.

Observação O processo se aplica também a sistemas das formas: {sen x ± sen y = a cos x ± cos y = b

Considerando a (1)

Resolvendo a (5), e depois, formando

sistema linear de (4) e (6).

com k1 e k

2 de mesma paridade.

{x = K . 360º + 90º y = K´.360º + 30º



94.SétimoTipo

sen x . cos y = n — m

sen y . cos x

⇔ sen (x+y) + sen(x-y) = =

n — m

[sen(x-y)-sen(x-y)]

⇔ sen (x-y) = n -m—— n+m

sen a

⇒ x - y = M

Ilustração: {x + y = 90º tg x = 3 tg y

Utilizando as equivalências, obteremos a equação:

sen (x-y) = 1 — 2

⇒ x - y = k.360º +90º ± 60º

{x + y = 90º x - y = k.360º + 90º ± 60º

⇒ {x = k.180º + 120º ou {x = k.180º + 60º y = -k.180º - 30º y = -k.180º + 30º

Observação: Com o processo semelhante se resolveria sistemas das formas: {x - y = a {x ± y = a m tg x = n tg y m cotg x = cotg y


Pela segunda equação.

Usando as fórmulas de Werner.

Considerando a primeira.

Resolvendo a equação e, depois, formando sistema linear com primeira.



95.Oitavotipo

cos (x-y) = b + a

⇒ x - y = M

cos (x+y) = b - a

⇒ x + y = N

Ilustração:

sen x . sen y = √2/4cos x . cos y = √6/4 Encontramos: cos (x-y) =

√6+√2——— 4

⇒ x - y = k1.360º ±15º

cos (x+y) = √6 - √2——— 4

⇒ x + y = k2.360º ± 75º

{x - y = k1.360º ± 15º

x + y = k2.360º ± 75º

{x = (k1+k

2) 180º ± 45º {x = (k

1+k

2) 180º ± 30º

y = (k1- k

2) 180º ± 30º y = (k

1- k

2) 180º ± 45º

Observação: Análogamente se resolveria sistemas das formas:

{sen x . sen y = a cos x . cos y = b


Adicionando as equações.

Resolvendo-a.

Subtraindo as equações

Resolvendo-a, e depois, formamos sistema linear.

⇒ ou




Resolva os seguintes sistemas trigonométricos:1) {x + y = 120º 2) {x + y = 180º sen x + sen y = √3 cos x - cos y = 1

3) {x + y = 90º 4) {x + y = 120º sen x + cos y = 1 sen y - sen x = 1

5) {x + y = 45º 6) {x - y = 45º tg x + tg y = 1 tg x + tg y = 2

7) {y - x = 60º 8) {x + y = 30º cotg x - cotg y =

2 √3—— 3

sen x . sen y = - √3—— 2

9) {x + y = 60º 10) {x - y = 30º cos x . cos y = 3/4 cos x . sen y = -1/2

11) {x - y = 60º 12) {x + y = 45º tg x. tg y = 1 tg x . tg y = 0

13) {x - y = 15º 14) {x + y = 90º cotg x - cotg y = 1 - √3 sen x = √3 sen y

15) {x - y = 90º 16) {x + y = 30º cos x = (√3 - 2) cos y sen x = (2-√3) cos y

17) {sen x + sen y = 1/2 18) {sen x - cos y = 1 cos x + cos y = √3

—— 2

cos x + sen y = √3

19) {x + y = 105º 20) {sen x + sen y = √2 tg x = √3

—— 3

tg y cos x + cos y = √2



21) {sen x + cos y = 1/2 22) {sen x . sen y = 1/4 cos x + sen y = 1 + √3

—— 2

cos x . cos y = 3/4

23) {cos x . sen y = √2—— 4

24) {sen x + sen y = 3/2

sen x . cos y = √3—— 2

cos x + cos y = 1/2

25) {sen (x-y) 0 26) {cos (x+y) = 0 x + y = π x - y = π/2

SistemasTrigonométricos


1) {x =k.360º + 60º

y = -k.360º + 60º

2) {x = k.360º - 60º ou

{x = k.360º + 60º

y = -k.360º + 240º y = -k.360º + 120º

3) {x = k.360º + 30º ou

{x = k.360º + 150º

y = -k.360º + 60º y = -k.360º - 60º

4) {x = k.360º - 30º

y = -k.360º + 150º

5) {x = k . 180º ou

{x = k.180º + 45º

y = -k.180º + 45º y = -k . 180º

6) {x = k.180º + 60º ou

{x = k.180º + 120º

y = k.180º + 15º y = k.180º + 75º

7) {x = k.180º + 60º

y = k.180º + 120º

8) {x = k.180º + 90º ou

{x = k.180º - 60º

y = -k.180º - 60º y = -k.180º + 90º

9) {x = k.180º + 30º

y = -k.180º + 30º



10) {x = -k.180º ou

{x = -k.180º + 120º

y = -k.180º - 30º y = -k.180º + 90º

11) {x = k.180º + 75º ou

{x = k.180º - 15º

y = k.180º + 15º y = k.180º - 75º

12) {x = k.180º + 45º ou

{x = k.180º

y = -k.180º y = -k.180º + 45º

13) {x = k.180º + 45º ou

{x = k.180º + 150º

y = k.180º + 30º y = k.180º + 135º

14) {x = k.180º + 60º

y = -k.180º + 30

15) {x = k.180º + 105º

y = k.180º + 15º

16) {x = -k.180º + 15º

y = k.180º + 15º

17) {x = k.180º + 90º ou

{x = k.360º - 30º

y = k´.180º - 30º y = k´.360º + 90º

18) {x = k.360º + 30º

y = k´.360º + 120º

19) {x = k.180º + 45º ou

{x = k.180º - 30º

y = -k.180º + 60º y = -k.180º + 135º

20) {x = k.360º + 45º

y = k´.360º + 45º

21) {x = k.360º + 30º ou

{x = k.360º

y = k´.360º +90º y = k´.360º + 60º

22) {x = (k1+k

2)180º ± 30º

y = (k2-k

1)180º ±30º

23) {x = (k1+k

2)180º ± 60º

ou {x = (k

1+k

2)180º ± 45º

y = (k2-k

1)180º ± 45º y = (k

2-k

1)180º ± 30º

24) {x = k.360º + 90º

y = k´.360º + 30º ou k´. 360º + 150º

25) {x = (k+1) π/2 26) {x = (k+1) π/2

y = (1-k) π/2 y = k. π/2

QUARTA PARTE

GEOMETRIA

SEGMENTOS ORIENTADOS E VETORESTRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICASSUPERFÍCIESPRISMAS E PIRÂMIDES

CAPÍTULO VIIISEGMENTOS ORIENTADOS E VETORESTRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS •Translação •Simetria •Rotação •Homotetia



A. Segmentos Orientados E Vetores.

96.DefiniçõeseNotações

1- Indicaremos por E3 o conjunto dos pontos do espaço. Então, dados em E3 dois pontos distintos A e A´, ficam determinados: (a) A reta a possui os pontos A e A´; (b) O segmento AA´, do qual dizemos que a é a reta-suporte; (c) A direção [a], que é a classe de equivalência de todas as retas iguais ou paralelas a a; (d) O dois sentidos : de A para A´ e de A´ para A, que são os critérios distintivos para a formação dos pares ordenados (A,A´) e (A´, A).

Aa

A

Fig. 37

NOTA - A noção de sentido é tomada intuitivamente. Se denominarmos positivo um dos sentidos,

por exemplo, o de (A,A´) o do par (A´,A) será denominado sentido negativo.

Indica-se: AA´= (A´- A) = {AA´ , (A,A´)} A´A = (A - A´) = {AA´ , (A´, A)}

Representa-se graficamente por uma flecha.

Portanto, quando é dado um segmento AA´ e consideramos os pontos A e A´ numa certa oredm ou sentido, passamos a considerar o segmento com orientado. A

A

Fig. 38



Indica-se:

AA´= BB´ ou (A´ - A) = (B´ - B)

É imediata a verificação de que a relação de equipolência é refletxiva, simétrica e transitiva; é pois, uma relação binária de equivalência no conjunto dos segmentos orientados.NOTA - Se considerarmos um par ordenado de elementos iguais por exemplo, (A,A), dizemos por

abuso de liguagem, que ele forma um segmento orientado nulo, e indicamos:

AA = 0e este segmento nulo não tem direção nem sentido.

4- dado um segmento orientado não nulo AA´, a classe de equivalência de todos os segmentos PP´equipolentes com AA´ se denomina um vetor ou um vetor livre.

NOTA - A classe de todos os segmentos orientados nulos é por definição, o vetor nulo , que também se indica por 0.

3- Dois segmentos orientados AA´ e BB´, com retas-suportes distintas, se dizem equipolentes se AA´B´B é um paralelogramo. Se tem a mesma reta-suporte, são equipolentes se ambos são equipolentes a um terceiro segmento orientado com reta-suporte distinta.

Indica-se[AA´] ou [(A´- A)] ou a. Cada segmento orientado de uma classe ou vetor a é um representanto desse vetor.Indicaremos por V

3 o conjunto de todos os

vetores.



5 - Dois vetores não nulos x e y são colineares quando tomamos um representante de cada vetor, eles tem a mesma direção.

Se AA´⋂ AB´ = {A}, x e y tem sentidos opostos. Em particular , os vetores x = [AA´] e -x = [AÁ] são vetores opostos (entre si) 7- Dada uma reta r e dois pondos distintos A e Aém r , o segmento orientado AA´ determina sentido de cada segmento PP, colinear . Dizemos então que a reta r , e toda a direção [r], está orientada, pelo segmento AA´.

8 - Dado um segmento geométrico AA´, sabemos que a sua medida em relação a uma dada unidade u é um número real positivo a:

A A´—— u

= a (número real positivo).

Então, dado um vetor x = [A A´], damos a essa medida a o nome de módulo do vetor x, e indicamos: | x | = a = AA´/u (número real positivo).

6 - Dois vetores não nulos x e y, colineares, tem o mesmo sentido se, tomados os respectivos representates de mesma origem, A,A´ e A,B´ e considerados os segmentos geométricos AAé AB´, um deles contém o outro.

Se chamarmos positivo o sentido de AA´, cada segmento colinear será positivo ou negativo.



Observemos que, pela definição dada, temos: | x | = | -x | = a E definimos ainda: | 0 | = 0 9 - Dada uma reta orientada r e uma unidade de medida u, escolhido um segmento orientado PP´ de reta-suporte r (ou de direção [r]), seja Então, dado um segmento orientado PP, de reta-suporte r (ou de direção [r]), seja PP´/u = p (número real positivo)

Se o sentido de PP´ for positivo, associado a ele o número relativo +p e se for negativo, -p. Esse número real relativo associado ao segmento orientado se denomina valor algébrico do segmento e indicamos: PP´= +p ou PP´ = -p

Ilustração Na figura temos AA´ = +3 A´A = - 3 PP´ = +3/2 P´P = -3/2

Em particular, quando tomamos uma origem 0 para todos os segmentos orientados OP, o valor algébrico desse segmento se denomina obscissa da extremidade P:

x = OP = abscissa de P.



B. Transformações Geométricas.

Uma lei que associa a cada ponto P de espaço E3 unívocamente um ponto P´é uma aplicação, que denominamos transformação gerométrica.

I. TRANSLAÇÃO

97.Definição

Indica-se a translação por T ou T(x) ou (P,x) ou T(P) e toda a transformação por: T (x): P

P´ t.q. PP´ ∈ x

Cada vetor x define uma translação, que é : aplicação - pois cada ponto tem uma única imagem P´= T (P). injeção de E3 em E3 - pois pontos distintos tem imagens distintas: T(A)≠T(B) ⇔ A≠B. sobrejeção de E3 em E3 - pois cada ponto do espaço é imagem de um ponto de E3. O domínio é E3 e este é também o contradomínio T(E3). Bijeção de E3 em E3 =- por ser injeção e sobrejeção.

Decorre do fato de uma translação ser sempre bijetora que, dada uma traslação T=T(x), existe a translação inversa T-1(x) ou T(-x): T-1(P´) = P ⇔ P´= T(P).

O veto nulo 0 define a traslação nula T(0)m que é a transformação identica: associa a cada ponto P de E3 esse mesmo ponto.

Dado um vetor x , fica determinada uma trasnformação geométrica que associa a cada ponto P e E3 o ponto P´tal que PP´ é um representante de x. Essa transformação é uma translação.



98.Observações

1) Para indicar que a translação T(x) leva o ponto P em P´, escrevemos também: P´- P + x

2) Dadas duas translações T(x) e T(y), teremos para cada ponto P de E3: P´= P + x P´´ = P´+ y

3) O vetor z de representante (P´´ - P) se denomina soma dos vetores z e y e escrevemos: z = x + y 4) Temos então para o produto de translações: T(x) . T(y) = T(x+y).

II. SIMETRIAS

99.Definições

e então a transformação que leva o ponto P em P´é uma composição ou um produto de T(x) por T(y), que é uma nova translação: T(x). T(y).

I - Dado um ponto 0 do espaço E3, denomina-se simetria de centro 0 a transformação geométrica S0 que associa o ponto 0 a si mesmo e a cada ponto P, distindto de 0, o ponto P´tal que 0 é o ponto médio do segmento PP´.

O ponto P´é o simétrico de P e 0 é o ponto duplo ou invariante pela simentria central S

0.

Uma simetria central S0 constitui

uma bijeção do espaço E3 em E3: S

0 : E3

E3.



A simetria inversa S0

-1 é a mesma S0, pois leva P em P´ e P´ em P.

Dizemos então que S0 é involutiva.

2 - Dada uma reta r, denomina-se simetria de eixo r a trasnformação geométrica Sr que tem como invariantes os pontos de r que associa a cada ponto P, fora de r, o ponto P´tal que r é a mediatiz do segmento PP´.

P´ é o simetrico de P e P é o simétrico de P´pela simetria axial S

r.

Sr é uma bijeção involutica de

E3 em E3, tendo como pontos duplos os pontos da reta r.

Sα é também uma bijeção involutiva de E3 em E2, tendo como pontos duplos os de α.

Então, o centro 0 da simetria S0 é o centro

de simetria da figura.

3 - Dado um plano α, chama-se simetria em relação ao plano α a trasnformação geométrica Sα que mantém invariantes os pontos de α e que transforma cada ponto P, fora de α, no ponto P´ tal que α é o plano mediador do segmento PP´.

4 - Um ponto 0 é um centro de simetria de uma figura geométrica F qunado existe uma simetria S0 de centro O que trasnforma cada ponto P e F num P´da mesma figura F.

No quadrilátero ABCD, a reta r é eixo de simetria.

No tetraedro ABCD, o plano (D, E, B) é um plano de simetria.

III. ROTAÇÃO

100.Definição

5 - De modo análogo, podemos definir eixo de simetria e plano de simentria de uma figura F.

Dada uma reta orientada ou eixo y e um número real θ com 0 ≤ θ < 2π, chama-se rotação de eixo y e amplitude θ a transformação R(y,θ) que tem como invariantes os pontos de y e transforma cada ponto p, fora de y, univocamente num ponto P´do seguinte modo: (a) - Por P, traça-se o plano α, perpendicular à reta y, que a intercepta em {M}; (b) - Em α, traça-se a circunferência (C), de centro M e raio MP, orientada no sentido anti-horário; (c) - Em (C), toma-se o arco orientado , de origem P, com a medida em radianos igual a θ. A extremidade P´deste arco será o transformado de P pela rotação R(y, θ).

Uma rotação R(y, θ), com 0 ≤ θ < 2π , é uma bijeção de E3 em E3.

Para cada rotação R(y,θ) corresponde a rotação inversa R-1 = R(y, 2π - θ) que

leva o ponto P´no ponto P, se P´é uma imagem de P, por R(y,θ). Uma simetria axial de eixo y é uma rotação R(y, π). A rotação R(y, 0) é a transformação idêntica.

IV. HOMOTETIA

101.Definição

A homotetia H(0,1) é a transformação idêntica; H (0,-1) á a simetria de centro 0. Uma homotetia H(0,k) é uma bijeção do espaço E3 em E3. A inversa da homotetia H(0,k) é a homotetia H (0, 1/k)

Dados um ponto 0 e E3 e um número real k≠0, chama-se homotetia de centro 0 e razão k a transformação geométrica H (0,k) que associa a cada ponto P o ponto P´tal que OP´ = k.OP.

O ponto 0 é o centro da homotetia H(0,k) e é invariante pela transformação. Se k>0, 0P e 0P´tem o mesmo sentido; se k<0, tem sentidos opostos.

Exercícios - Sequência 23

I. Para a adição de vetores (z = x + y), verifique, por meio de gráficos, que para quaisquer vetores x, y, z de V3, temos:

NOTA - Pelas propriedades (1), (2) e (3), dizemos que o conjunto V3, munido da operação (+) tem

estrutura algébrica de grupo. Acrescentando a propriedade (4), dizemos que o grupo é comutativo

ou abeliano.

II. Representando graficamente vetores colineares e não colineares, prove que 5. Para vetores colineares de mesmo sentido:

| x + y | = | x | + | y |

6. Para x e y colineares e de sentidos opostos:

| x | ≥ | y | ⇒ | x + y | = | x | - | y |

7. Para vetores não nulos e não colineares:

| x + y | < | x | + | y |

8. Dados dois vetores a e b, determine graficamente o vetor x tal que a + x = b e o vetor y tal que b + y = a. NOTA - Define-se x = b - a = b + (-a)

y = a - b = a + (-b)

que é a subtração de vetores.

9. Para dois vetores quaisquer colineares ou não , vale a propriedade triangular: | x + y | ≤ | x | + | y |

(1). x + (y + z) = (x + y) + z

(2). x + 0 = x

(3). Para cada vetor x, existe -x , tal que ;

x + (-x) = 0

(4). x + y + = y + x



III. Dados os gráficos seguintes, em que | a | = 4, | b | = 2, represente em cada caso os vetores: a + b +, b + a, a - b e b - a

10. 11.

12. 13.

IV. Sendo | a | = 4 e | b | = 3, calcular o módulo do vetor c = a + b, nos casos indicados nas figuras abaixo.

14. 15.

16. 17

18. 19.



20. Se a e b formam um ângulo θ, mostre que c é representado pela diagonal do paralelogramo e que | c | = √|a|2 + |b|2 + 2.|a|.|b|.cos θ

V. Prove que uma translação T(x) tem as seguintes propriedades especiais:

21. Toda translação T transforma um segmento AB num segmento congruente A´B´, e um segmento orientado ABńum equipolente A´B´.Sugestão: Usar a definição a fazer a figura.

22. Toda translação T transforma um triângulo ABC num triângulo congruente A´BĆ.Sugestão: Usar o Ex. 21 e o caso LLL de congruência de triângulos.

23. Toda translação T transforma um ângulo ab num ângulo congruente a´b´.Sugestão: Tomando os pontos B e C, respectivamente nos lados Aa e Ab, mas não no vértice, pelo Ex. 22, obtemos ∆A´BĆ ≌ ∆ABC; de onde ab = a´b.

24. Toda translação T transforma um eixo ou reta orientada r numa reta orientada paralela (em sentido amplo, isto é paralela ou igual), de mesmo sentido.Sugestão - Ex. 21.

25. toda translação T transforma duas retas r e s , paralelas entre si , em duas retas ré s´, também paralelas entre si.

Sugestão: Figura ao lado usando o Ex. 23 e os teoremas diretos e recíproco dos angulos alternos internos.

^

^

^

^

26. Toda translação T transforma um polígono (P) num polígono congruente (P´).Sugestão: Ex. 21 e Ex. 23 VI. Definiremos o produto de um vetor x por um número real a, do seguinte modo:

Dizemos que w é o produto do escalar a pelo vetor x. Então, resolver os exercícios seguintes: 27. Se |x|=2 e a=+2, b=-3, contruir os vetores: 1) a.x, b.x

2) (ab). x a. (b.x), b.(a.x)

3) (a+b).x, (2a-b).x

28. Verifique que para quaisquer números reais a, b, c.... e quaiquer vetores x, y, z, .... estão satisfeitos as propriedades:

29. Definir o produto de uma translação T por um escalar a.

30. Definindo a divisão de um vetor x por escalar a≠0 por:

x — a

= 1 — a

. x,

o produto a.x é um vetor w = a.x tal que:

(1) w = 0 se e somente se a = 0 ou x = 0;

(2) se a≠0 e x ≠ 0, w é o vetor de módulo

|w| = |a| . |x|, colinear com x e de mesmo sentido se z>0 e de sentido oposto se a<0.

(1). a . (b . x) = (ab) . x

(2). (a+b) . x = a . x + b . x

(3). a . (x + y) = a . x + b . y

(4). 1 . x = x



prove que, se x≠0, o vetor x — |x|

tem módulo 1 e tem o mesmo sentido de x.

NOTA - O vetor x — |x|

se denomina versor de x, quando x ≠ 0.

e indica-se : vers. x = x — |x|

31. Prove que uma simetria central S0 transforma uma reta r numa reta r´, igual

a r ou paralela a r.

32. A figura transformada de uma reta a por uma simetria axial Sr é uma reta,

pode ser igual, paralela, concorrente ou reversa com a. Idem, para Sa.

Sugestão: Considere os casos: (1) a⊥r (2) a⫽r e a=r (3) a⋂r = {P}, não perpendiculares. (4) a reversa com r

33. Verificar se a propriedade do Ex. 32 é verdadeira para uma rotação não idêntica.

34. Prove que as simetrias e rotações transformam um segmento AP num segmento congruente A´B´.

35. Prove que as simetrias e rotações trasnformam um triângulo ABC num triângulo congruente A´B´C´

36. Prove que as simetrias e rotações transformam um ângulo aAb num ângulo congruente a´A´b´.

37. Podemos concluir que as simetrias transformam uma figura F numa figura congruente F´?

38. Mostre que uma simetria central S0 trasnforma uma reta orientada x numa

reta orientada x´, paralela, mas de sentido oposto.

39. Mostre que uma simetria Sr ou S

a transforma uma reta orientada paralela a

r ou a numa reta orientada paralela e de mesmo sentido.



40. Prove que as simetrias e rotações transformam retas x⫽y em x´⫽y´.

41. Se F é a reunião de duas retas concorrentes, prove que F admite como eixos de simetria duas retas perpendiculares entre si.Sugestão: Considere as bisetrizes.

42. Se F é a reunião de duas retas paralelas, prove que F tem como eixos de simetria a reta equidistante e todas as retas perpendiculares.

43. Prove que; se um triângulo admite um eixo de simetria, ele é isósceles, e reciprocamente.

44. Se um triângulo tem dois eixos de simetria distintos, prove que ele é equilátero.

45. Prove que nenhum triângulo possui centro de simetria.Sugestão: (1) Verifique que nenhum ponto do contorno é centro de simetria. (2) Admitindo que um ponto interno 0 seja centro de simetria, o transformando do lado AB pela S0

deveria estar contido no triângulo, o que é absurdo.

46. Prove que todo círculo tem um centro e infinitos eixos de simetria.

47. Prove que as diagonais de um losango são eixos de simetria e que a sua interseção dá um centro de simetria.

48. Quais as retas e os planos de simetria de uma figura F, reunião de dois planos paralelos?

49. Se uma figura F tem dois planos de simetria perpediculares entre si, motre que sua interseção é um eixo de simetria de F.

50. Se dois triângulos ABC e A´B´C´, do mesmo plano, são congruentes, mostre que podemos levar o primeiro a coincidir com o segundo pela composição de uma translação com uma rotação.

51. Prove que uma homotetia H transforma um segmento orientado AB num segmento orientado A´B´, paralelo, tal que A´B´= k . AB



52. Prove que uma homotetia transforma um ângulo aOb num ângulo congruente a´O´b´ e um triângulo ABC num triangulo semelhante A´B´C´.

53. Prove que uma homotetia transforma uma reta s em uma reta s´, coiscidente com s ou paralela a s.

54. Prove que uma homotetia transforma duas retas paralelas, s⫽r em s´⫽r´.

55. Uma homotetia transforma um plano α em um plano α´, igual ou paralelo a α.

56. Uma homotetia transforma um polígono P num polígono P´, semelhante a P.


10.

11.

14. 7 15. 1

16. 5 17. √25+12√2

18. √13 19. √25-12√2



V. APÊNDICE (Assunto Optativo)

103.ProdutoEscalardeVetores

No conjunto V3 dos vetores, define-se uma operação denominada produto escalar, do seguinte modo:

Indica-se: x x y = |x| . |y| . cos θ Define-se também: x x 0 = 0 x x = 0, A x ∈ V3

Ilustrações:1º) |x|=5, |y|=3, θ=π/3

x x y=5.3.cos π/3=7,5.Observermos que o número 3.cos π/3 é o valor da projeção do segmento y sobre x. Portanto, o produto escalar representao produto do módulo de um dos vetores pela projeção o outro sobre ele.

2º) |x|=3, |y|=2, θ=π/2x x y=3.2.cosπ/2 = 6.0 = 0 Este exemplo mostra mais uma conclusão interessante; o produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero (mesmo que nenhum dos vetores seja vetor nulo).

Portanto, o anulamento do produto escalar de dois vetores não nulos é a condição de perpendicularidade.

Se x e y são dois vetores cujas direções orientadas forma um ângulo θ, o produto escalar x x y é o número real |x| . |y| . cos θ.



3º) |x|=4, |y|=2, θ=120ºx x y=4.2.cos120º = 4

4º) |x|=a, |y|=b, θ=πx x y=a.b.(-1) = -ab.

5º Se |e|=1, dizemos que e é um vetor unitário ou um versor. Então, o produto escalar de um vetor não nulo y pelo versor e é exatamente igual à projeção de y sobre x. Exemplo: | e | = 1 | , | y | = 3,θ = 45

y x e = | y | . 1 . cos 45º = √2 — 2

| y |.

O prouto escalar tem aplicação em Mecânica: se F é uma força que aplicanda a um ponto material p produz o deslocamento d = (Q - P), o trabalho realizado é :

T = F x d = |F| . |d|. cos θ

104.ComponentesCartesianas

Seja dado um sistema de eixos cartesianos Oxy e um vetor v complanar com este plano (isto é, tendo representantes AA´ nesse plano). Vamos indicar por i e j (ou por e

1 e e

2) os versores dos eixos dos x e dos y.

Temos: v x i = |v| cosα = x (número real relativo) v x j = |v| senα = y (número rela relativo) Pelas definições de multiplicação de um escalar por um vetor e de adição de vetores, temos: v = x . i + y . j



Assim, o vetor v fica determinado pelos números x e y, que são as suas componentes cartesianas, e podemos adotar a seguinte notação matricial.

v =

Isto é, representamos v pela matriz-coluna das componentes cartesianas. Pela figura , verificamos que: |v| = √x2+y2

Análogamente, considerando um sistema de eixos cartesianos ortogonais no espaço, conforme a figura, cada vetor v terá três componentes.:

x = v x i = |v| cosα y = v x j = cosβ z = x x k = |v| cos ƴ v = x x i + y . j + zk

ou v = (matriz-coluna).

xy[ ]

xyz[ ]

CAPÍTULO IXSUPERFÍCIES •SuperfíciesCilíndricas •SuperfíciesCônicas •SuperfíciesdeRotação



105.Introdução

As definições de linha ou curva e de superfícies no espaço são dados no curso superior, no estudo das funções de uma ou mais variáveis independentes. Nós nsideramos como curvas as linhas usuais, tais como a reta, as poligonais, a circunferência, a elipse a hipérbole, a parábola, etc. Nós nos limitaremos a definir algumas superficies especiais.

A. Superfícies Cilíndricas

106.Definição

A curva (C) é a diretriz de s e qualquer reta de S é uma geratriz da superfície.

Exemplos:1º) Se (C) é uma reta, a superfície cilíndrica é um plano α.

Sejam dadas uma curva contínua (C) e uma reta g, tendo um e só um ponto em comum com (C). o subconjunto S de todas as retas da direção [g], concorrentes com a curva (C), constitui uma superfície cilíndrica.



2º) Se (C) é uma poligonal fechada ABCD...N, a superfície prismática indefinida.

NOTA - Numa superfície prismática as geratrizes a, b, c..., que possuem os vértices do polígono (C)

se denominam arestas; faixas planas (a,b), (b,c),... são as faces.

3º) Se (C) é uma circunferencia e uma geratriz g é perpendicular ao plano da circunferência, a superfície S se denomina Superfície cilíndrica indefinida de rotação.

B. Superfícies Cônicas

107.Definição

Seja dada uma curva (C) e um ponto 0, não pertence a (C). Ao conjunto S de todas as retas que possuem o ponto 0 e são concorrentes com (C), damos o nome de superfícies cônica.



O ponto 0 é o vertice, a curva (C) é a diretriz e toda reta g de S é uma geratriz da superfície cônica.

Exemplos:1º Se (C) é uma reta, superfície é o conjunto de todos os pontos do plano (C), 0 que não pertecem à reta r´, paralela a r=(C).

2º) Se (C) é uma poligonal fechada ABC...N, S é uma superfície de angulóide ou piramidal indefinida (de duas folhas).

3º) Se (C) é uma circunferência e o ponto 0 pertence à perpendicular ao plano de (C), pelo seu centro M, a superfície S é cônica de rotação inedfinida(de duas folhas).

C. Superfícies de Rotação

108.Definição

NOTA - A expressão "curva" é tomada no

significado geral de linha contínua, podendo ser

inclusive uma reta ou semi-reta ou segmento.

Sejam dados: uma ret y, um plano β que contém y e, num dos semi-

planos de β , de origem y, uma curva (C). Chama-se superfície de rotação de

eixo y e geratriz (C). o conjunto dos transformados dos pontos de (C) por todas

as rotações de eixo y e amplitudes θ, com 0 ≤ θ <2π.



Exemplos:1º) Se (C) é uma retag, paralela a y, a superfície de rotação é cilindrica de rotação.A distância r entre as retas g e y é o raio da superfície.

2º) Se (C) é uma reta Ag, com Ag⋂y={A}, a superfície é cônica de rotação (de uma folha).

3º) Se (C) é uma semi-circunferência de diâmetro AB, com A e B no eixo y, a superfície S de rotação se denomina superfície esférica.O raio r da semi-circunferência é o raio da superfície esférica.

Todo segmento XY, com X ∈ S e Y ∈ S é uma corda da superfície esférica. Toda corda que possui o centro 0 éum diâmetro. Você poderá observar ainda que o centro 0 é um centro de simetria de S; a reta-suporte de cada diâmetro é eixo de simetria ; todo plano que possui 0 (plano diametral) é um plano de simetria.

1. Sendo ƴ um plano paralelo ao eixo y de uma superfície cilíndrica S de raio r e à distância d do eixo, estudar a interseção ƴ ⋂ S,nos casos: (a) d=0 (b) 0<d<r (c) d=r (d) d>r

2. Quando d = r, prove que todos os pontos de ƴ fora da interseção ƴ⋂S=reta g estão a uma distância de y maior do que r.

3. Prove que y é eixo de simetria de S.

4. Construir uma superfície cilíndrica dadas três geratrizes - (Determinar y. Traçar um planoperpendicular às geratrizes dadas a, b e c. Determinar o circuncentro do ∆ABC).

5. Determinar a superfície cilíndrica de rotação inscrita numa superfície primática traingular.

6. Por um ponto dado P, traçar um plano tangente a uma superfície cilíndrica de rotação dada. Discutir a existência e o número de soluções.



(A figura sugere a construção que se reduz ao traçado de tangentes à circunferência, no plano α⊥y).

7. Dada uma superfície cilíndrica e um plano β, paralelo ao eixo y, traçar os planos tangentes paralelos ao plano β.

8. É dada uma superfície cônica de rotação de eixo y, vértice O e geratriz Og, sendo yÔg=θ (abertura da superfície). Verificar as condições para que um plano que possui o vértice O seja secante ou tangente à superfície. - (Considerar φ = ângulo do eixo com p plano e comparar as medidas φ e θ).

9. Construir uma superfície cônica de rotação, dados o eixo e um plano tangente.

10. Construir uma superfície cônica de rotação, dadas três geratrizes Oa, Ob e Oc. (Determinar o eixo).

11. Construir uma superfície cônica de rotação, dados o eixo e dois pontos da superfície. (Determinar OA´, usando semelhança de triângulos. Dadas as medidas AA´, BB´e A´B´).

12. Por um ponto dado P, traçar um plano tangente a uma superfície cônica dada. Discutir.



13. Consideremos uma superfície esférica S e uma curva (C) contida em S, conforme a figura. temos OM⊥s. Então, quando X se aproxima de P qua a relação entre o raio OP e a reta tangente.

NOTA:

Para os problemas sobre a superficie esférica vamos estabelecer algumas definições.

1º) Seja (C) uma curva dada, P um ponto fizado em C e X um ponto próximo. Quando X se aproxima de P, a posição limite t da reta secante PX é a reta tangete.

2º) Dada uma superfície S e uma curva (C) contida em S, uma reta tangente a (C) num ponto P da curva se diz uma tangente à superfície.

14. Prove que tôdas as retas tangentes a uma superfície esférica S em um ponto P ∈ S estão contidas no mesmo plano. (Este plano se denomina plano tangente).

15. Estudar a interseção de um plano α com uma superfície esférica. (Nos casos o≤d<R, prove que a interseção é uma circunferência).

16. Por um ponto P externo a um asuperfície esférica S (istoé, tal que : distância OP>R) trace um plano tangente. Discutir o número de soluções. (Trace PO e um plano qualquer α por PO; por P trace r⊥α e as tangentes t1 e t2 à circunferência seção.)

17. Se P é exterior a S, prove que todos os segmentos PT das retas tangentes são congruentes e que o conjunto dos pontos T é uma circunferência contida em S.



18. Estudar a interseção de duas superfícies esféricas S1 e S

2 de raios R

1 e R

2 ,

sendo d a distância entre os seus centros.

19. Se uma superfície esférica possui os pontos A e B, o seu centro está no plano mediador do segmento AB. Justifiqque esta proposição.

20. Se uma superfície esférica S possui três pontos A, B e C, não alinhados, prove que o centro está perpendicular as plano (A, B, C) pelo circuncentro do triãngulo A B C.

21. Dados quatro pontos A, B, C e D , não situados no mesmoplano, determinar o centro da superfície esférica S que possui os quatro pontos. (Aplicar o Ex. 20 para CD e ex. 21 para os pontos A, B e C).

CAPÍTULO XPRISMAS E PIRÂMIDES •Prismas •PirâmideseTroncos •ÁreaseVolumes



A. Prismas

109.Definição

Um prisma indefinido é convexo quando a poligonal (C), diretriz da sua superfície é convexa. (O prisma representado na figura é convexo).

Vejamos algumas propriedades dos prisma indefinidos.

110.Teorema1

Seja dada uma superfície cilíndrica indefinida S. Consideremos um ponto P do espaço cuja projeção sobre o plano da poligonal (C), segundo a direção [g], pertença ao polígono de contorno (C). o conjunto de todos os pontos que tem essa propriedade contitui um prisma indefinido, de superfície S.

Se um prisma indefinido é interceptado por dois planos α e α´, paralelos entre si e concorrentes com as arestas as seções são polígonos congruentes.



PROVA - 1º) Verificamos, pela definição de prisma e por serem os planos e paralelos, que a base A´B´C´D´... é a transladada de ABCD... pela translação determinada pelo vetor x = [AA´]. Portanto, essas bases são congruentes.

111.Corolário

Se dois planos secantes α e α´ são perpendiculares às arestas de um prima indefinido, as duas seçõs são congruentes.

Estas seções se denominam seções normais.

112.Definição

As duas seções são as bases do prisma; segmentos da geratrizes entre as bases são as arestas laterais; os lados dos polígonos bases são as arestas das bases. Um prisma é reto quando as bases são seções normais, isto é, perpendiculares às arestas laterais.

A parte de um prisma indefinido compreendida entre duas seções paralelas - e portanto congruentes - se denomina prisma finito ou simplesmente prisma.



Altura de um prisma é a distância entre os planos das bases. Num prisma reto, a altura é igual ao comprimento de uma aresta lateral.

De acordo com o número de arestas de uma base, os prismas se classificam em prismas triângulares, quadrangulares, pentagonais etc.

Um prisma é regular quando é reto e as bases são polígonos regulares.

PARALELEPÍPEDOS

113.Definição

Chama-se paralelepípedo o prisma cujas bases - tal como as faces laterais - são paralelogramos.

Um paralelepípedo pode também ser reto ou oblíquo. Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele se denomina paralelepípedo retângulo ou ortoedro.



114.Teorema2

PROVA - Pela propriedade de congruência dos lados opostos de um paralelogramos e pela transitividade da congruência, temos as classes:

[AB] = {AB, CD, Ef, GH}

[AD] = {BC, AD, FG, EH}

[AE] = {AE, BF, CG, DH}

NOTA - Num paraleleípedo retângulo (ortoedro) a medida comum das arestas de uma classe é a

sua dimensão. Representamos:

dim. [AB] = a

dim. [AD] = b

dim. [AE] = c.

115.Teorema3

PROVA - Consideremos por exemplo, as faces opostas ADHE e BCGF. Os respectivos lados são congruentes pelo teorema 2 e os ângulos respectivos por terem lados paralelos e de mesmo sentido. Portanto, essas faces são congruentes. O paralelismo dos planos-suportes decorre do teorema fundamental sobre planos paralelos, etudade no primeiro

Pela relação de congruência, as 12 arestas de um paralelepípedo se distribue, em três classes de equivalência, cada uma com quatro arestas congruentes.

As faces opostas de um paralelepípedo são paralelogramos congruentes e contidos em panos paralelos.



ano. ("Se um plano contém duas retas concorrentes entre si e paralelas a outro plano, os dois planos são paralelos").NOTA: Decorre do teorema 3 que duas faces opostas quaisquer de um paralelepípedo podem ser

consideradas como bases desse prisma, isto é , ele pode ser considerado como prisma de três

modos diferentes.

116.Teorema4

NOTA: Chamamos diagonais do paralelepípedos os segmentos AG, BH, CE e DF.

As quatro diagonais de um paralelepípedo tem o mesmo ponto médio 0, que é o centro de simetria do paralelepípedo.

PROVA - Consideremos duas quaisquer dessas diagonais, por exemplo, CE e BH. Elas são diagonais do paralelogramo BCHE, portanto tem o mesmo ponto médio 0. Do mesmo modo, AG e DF dividem CE ao meio, isto é, possuem o mesmo ponto 0.Duas arestas opostas quaisquer, por exemplo BC e EH são simétricasem relação ao ponto 0. Portanto, 0 é o centro de simetria do paralelepípedo.

117.Teorema5

PROVA - Os paralelogramos considerados na demostração do Teorema 4, neste caso, são retângulos. Num paralelepípedo retângulo, a medida diagonal e as dimensões a, b e c verificam uma identidade, que é uma generalização do teorema de Pitágoras:

d2 = a2 + b2 + c2 (I)

As quatro diagonais de um paralelepípedo retângulo (ortoedro) são congruentes.



PROVA - {d2 = x2 + c2

x2 = a2 + b2

⇒ d2 = a2+b2+c2.

No cubo : a = b = c e temos d2 = a2 + a2 + a2 = 3a2 ⇒ d = a√3 (II)

B. Pirâmides

118.Definição

Seja dado um ângulo poliédrico Oabc... e um plano α, que intercepta todas as arestas, porém não possui o vértice. Esse plano divide o ângulo poliédrico em duas partes. A parte que possui o vértice 0 se denomina pirâmide.

A seção ABCD... do ângulo poliédrico pelo plano α é a base; os triêngulos OAB, OBC, ... são faces laterais ; Ab, BC, CD, ... são as arestas da base. A distância h entre o vértice 0 e o plano suporte da base é a altura da pirâmide.

De acordo com a base, as pirâmides podem ser com triangulares, quadrangulares, pentagonais, hexagonais etc.



Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o centro da base é a projeção perpendicular do vértice 0 sobre ela. Numa pirâmide regular, chama-se apótema lateral ou apótema da pirâmide todo segmento cujas extremidades são o vértice 0 e o ponto médio de uma aresta da base. Apótema da base é o segmento cujas extremidades são o centro M da base e o ponto médio de uma aresta da base.

Numa pirâmide regular, todas as faces são triângulos isósceles congruentes.

Designando: s = medida 0A (aresta lateral) g = medida 0N (apótema lateral) l = medida AB (aresta da base) a = medida MN (apótema da base) h = 0M (altura da pirâmide) R = 0A (raio de círculo cisrcunscrito à base), teremos, pelo teorema de pitágoras, as seguintes relações que serão usadasnos problemas:

s2 = h2 + R2 s2 = g2 + (1/2)2

(III) g2 = h2 + a2 R2 = a2 + (l/2)2

NOTA: Quando a base é um triângulo equilátero, um quadrado, um hexágono regular , etc, o leitor

deverá usar também as fórmulas do lado , apótema e área em função do raio R, que estudou na 4ª

série ginasial e que estão resumidas abaixo:



(IV)

Vamos deduzir agora algumas relações importantes entre a base de uma pirâmide e uma seção paralela à base.

119.Teorema6

PROVA - Sendo α o plano da base de α´ o plano secante, conforme vimos no 1º ano, temos AB´⫽AB. Então pelo Teorema de Talles: ∆0A´B´ ≅ ∆0ABde onde:

0A´ —— 0A

= 0B´ —— 0B

= A´B´ —— AB

= k

e fica definida uma homotetia H(0,k), que transforma o polígono α em α´ e ABCD ... no polígono semelhante a A´B´C´D´...

Polígono lado apótema área

quadrado R√3 R√2 —— 2

12 = 2R2

triângulo equilátero

R√3 R — 2

12√3 —— 4

= 3R2√3 —— 4

hexagono regular

R R√3 —— 2 6

12√3 —— 4

= 3R2√3 —— 4

pentágono regular

R — 2

√10-2√5 R — 4

(√5+1) a = √R2-(l/2)2

decágono regular

R — 2

(√5-1) R — 4

√10+2√5 S = P x a —— 2

Polígono regular circunscrito

Ln ——

1n

= R —— a

n

Toda seção agora algumas relações importantes entre a base de uma pirâmide e uma seção paralela à base.



120.Teorema7

PROVA - Pela homotetia H(0,k), temos:

0P´= k.0P ou y = k.h ⇒ k = y —— h

(V)

Teorema8

PROVA - No curso ginasial se verifica que, se dois polígonos são semelhantes, a razão das respectivas áreas é igual ao quadrado da razão da semelhança: Portanto:

y —— h

= k2 = y2

—— h2

(VI)

TETRAEDRO REGULAR

121.Definição

NOTA: No fim do capítulo, faremos o estudo geral dos poliedros e, em particular, dos cincos

poliedros existentes.

Entre os elementos lineares do tetraedro regular, existem as relações (que você deverá verificar):

A razão de semelhança entre a base e a seção paralela é igual a razão entre as distâncias do vértice 0 aos planos α e α´ da base e da seção.

A razão entre a área da seção paralela e a da área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

Uma pirâmide triângular regular é um tetraedro regular quando todas as suas quatro fases são triângulos equiláteros congruentes.



(1) 1 = R√3

(2) a = R —— 2

(3) AN = 3R —— 2

(4) h = 1√2 —— √3

= 1√6 —— 3

(5) h = R√2

TRONCOS DE PIRÂMIDE

122.Definição

A base da pirâmide primitiva e a seção são as bases do tronco. Se o plano secante é paralelo à base da pirâmide primitiva o tronco é de bases paralelas. Um tronco de bases paralelas se diz regular quando se obtém de uma pirâmide regular. Num tronco de bases paralelas, a distância entre as bases é a altura.

Secionando uma pirâmide por um plano concorrente com todas as arestas laterais, a pirâmide fica dividida em duas partes. A parte que não possui o vértice é um tronco de pirâmide.



Se o tronco de pirâmide é regular, temos ainda:

s = AA´ = aresta lateral (medida)g = NN´ = apótema laterala = MN´ = apótema da base maiora´ = M´N´ = apótema da base menor

R, R´ = raios dos círculos circunscritos às bases.

Nos trapézios temos: g2 = h2 + (a-a´)2 (XVIII)

s2 = h2 + (R - R´)2 (XIX)

Finalmente, na face lateral temos:

m = l - l´ —— 2

s2 = g2 + m2 (X)

C. Áreas Laterais e Totais

As áreas das faces dos prisma, pirâmides e troncos de pirâmides de bases paralelas são calculadas pelas fórmulas estudadas na geometria plana , para triângulos, paralelogramos, trapézios e polígonos em geral. Quando as figuras são regulares, as faces laterais são, respectivamente. retângulos, triângulos equiláteros e trapézios equiláteros congruentes, e as bases são polígonos regulares. A área total é a soma da área lateral com as áreas das bases.



Você poderá verificar que: 1º) Para um prisma regular, sendo P o perímetro de uma base h a altura e a o apótema da base:

Slat

= P.h ⇒ S

total = P.(h+a) (XI)

Sbase

= P.a —— 2

2º) Para o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c:

Stotal

= 2(ab+ac+bc) (XII)

3º) Para o cubo: S

total = 6a2 (XIII)

4º) Para a pirâmide regular, o apótema lateral g, apótema da base a e perímetro de base p ou semi-perímetro da base p = P/2:

Slat

= p.g ⇒ S

total = p(g+a) (XIV)

Sbase

= p.a

5º) Para o tetraedro regular, constituído de quatro faces que são triângulos equiláteros de lado l:

S = 4. 12√3 —— 4

ou Stotal

= 12 √3 (XV)

6º) Para o tronco de pirâmide regular, de apótemas g, a e a´, e semi-perímetros das bases p e p´: S

lat = (p+p´). g

Sbase maior

= p.a

Sbase menor

= p´.a´

Portanto: Stotal

= (p+p´)g+p.a+p´.a´ (XVI)




PROBLEMAS

1) Determinar a altura de um prisma oblíquo cuja aresta lateral mede 2cm, quando: (a) a aresta lateral forma fum ângulo de 45º com o plano da base; (b) um ângulo de 60º; (c) um ângulo de π/6 radianos.

2) A diagonal de um cubo mede d=5√3.x. Achar em função de x a diagonal de face e a área total do cubo.

3) Deduzir a expressão da área total do cubo em função da diagonal (d) e da diagonal da face (D). Achar também a razão entre essas diagonais.

4) Achar as dimensões de um paralelepipedo retângulo sabendo que elas são proporcionais aos números 8, 12 e 9 e que a diagonal do paralelepípedo mede 51cm.

SUGESTÕES E FIGURAS

Usar relações trigonométricas nos triângulos retângulos.

Sejam x, y, z as dimensões e k a razão de prporcionalidade: x=8k, y=12k, z=9k Substituir na fórmula d2 = x2 + y2 + z2.



5) Provar que a área total de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é: S = (a+b+c)2 - (a2+b2+c2 )

6) A soma das dimensões de um paralelepípedo retângulo é s e a diagonal mede d. Prove que a área toral mede: S = s2 - d2

7) Achar as dimensões de um paralelepípedo retângulo, dada a área total S=488 cm2, e sabendo que a soma das três dimensões é 28 cm e que uma delas é os 4/3 de uma outra .

8) achar as dimensões de um paralelepípedo retângulo dados: soma das dimensões, 9 cm; diagonal da base, √13 cm e a´rea total , 52 cm2.

9) Achar a área total de um prisma hexagonal regular cujas arestas são todas iguais e tem por soma 108 cm.

10) Um prisma trinagular reto tem a aresta lateral igual à 15 cm, 9 cm e 8 cm. Achar a área total.

11) Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. A área lateral mede 40 cm2 . Achar a aresta.

Desenvolver a expressão e comparar com (XII).

Ex. 5 e fórmula (I).

Formar um sistema de três equações, tendo por icógnitas as dimensões x, y, z.

x + y + z = 9 x2 + y2 = 13 2(xy + xz + yz) = 52 Usar o Ex. 5

s = √p(p-a) (p-b) (p-c) (4ª série)

{



12) Achar a área total de um prisma reto cuja base é um losango, sabendo que cada aresta do prisma e também a diagonal menor do losango mede √3 cm.

13) um prisma reto tem por base um triângulo retângulo que tem ângulo de 30º. A menor face lateral é um quadrado de lado m. Achar a área total.

14) Um prisma reto tem por base um triângulo equilátero. A diagonal de uma face lateral mede 20 cm e altura do triângula base é os 3/4 da altura do prisma. Achar a área lateral.

15)Achar a altura de um prisma oblíquo cuja base é um = retângulo de 8 cm por 6 cm. Cada aresta lateral rem 10 cm e a projeção de um dos vértices da base superior é o centro da base inferior.



16) Achar a área total de um tetraedro regular, cuja altura mede 10√6 cm.

17) A base de uma pirâmide é um quadrado de 3 cm de lado. Uma aresta lateral é perpendicular ao plano da base e mede 4 cm. Achar a área total.

18) Numa pirâmide OABC, o triedro de vértice 0 é triretângulo e a face ABC é um triângulo cujos lados mede a, b e c. Achar a área total, particular também quando a=b=c. x2 +y2 = c2

x2 +z2 = b2

y2 +z2 = a2

2x 2 + 2y2 + 2z2 = a2 + b2 + c2

19) Num tronco de pirâmide triangular regular, as arestas lateral e das bases medem respectivamente 13 cm, 12 cm e 2 cm. Achar a áreea total.



20) Num troco de pirâmide quadrangular regular o apótema lateral e os apótemas ads bases medem respectivamente 4 m, 1 m e 4 m. Achar a área total.

21) Achar as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo que elas estão em progressão aritimética; a diagonal mede √93 cm e a área total 132cm2.

22) achar a altura de uma pirâmide hexagonal regular cuja área total vale 10√3 cm, sabendo que a área lateral é o quadrúploda área da base.

23) Achar a área total de uma pirâmide triângular OABC, dados:

AB = 3cm e AC = 4 cm BAC - 90º e ∆OAC é equilátero plano OAC ⊥ plano ABC.

24) Num prisma reto, as faces laterais são equivalentes à base, que é um losango de lado m, no qual as diagonais estão na razão k. Achar a área total em função de m e k.

25) Seciona-se uma pirâmide por um plano paralelo á base, a igual distância de vértice e da base. Qual a razão entre as áreas laterais da pirâmide menor e do tronco obtidos?

26) A que distância do vértice de uma pirâmide de altura h devemos traçar uma seção paralela à base para que a área da base superior do tronco seja a metade da área da base inferior?

27) A base de uma pirâmide tem a área de 81cm2, uma seção paralela, à distância de 3 cm do vértice, tem área de 36cm2. Qual a altura da pirâmide?

28) Dada um tetraedro regular ABCD e sendo M o ponto médio da aresta BC, clacular a área da seção DAM, em função da aresta a.

29) Numa pirâmide triângular ABCD, resta AD é perpendicular à base ABC e aresta BC é perpendicular à face ABD. Sendo ADB=60º, BDC=30º e AD=2,3cm, a área total da pirãmide.




1) √2 cm, √3cm, 1 cm 2) 5√2x; 150 x2

3) 2d2; 3D2; d/D; √3/√2 4) 24cm; 36cm; 27cm

7) 6cm , 8cm, 14cm , ou 9,89cm, 13,18cm, 4,93cm

8) 2cm, 3cm, 4cm 9) (108√3+216)cm2

10) 16(24+√14)cm2 11) 2√30 —— 3

cm

12) 3(4+√3)cm2 13) m2(3+2√3)

14) 2400√3 ——— 7

15) 5√3 cm

16) 900√3cm2 17) 36cm2

18) x= √b2+c2-a2

———— 2

, Se a = b = c, temos S = a2

— 2

(3+√3)

19) (252+37√3)cm2 20) 148cm2

21) 2cm, 5cm, 8cm 22) √15cm

23)(4√3+12+2√21)cm2 24) 12km2

———— k2+1

25) 1/3

26) h √2 —— 2

27) 4,5 cm

28) 1/4 a2√2

29) S ≅ 16,69cm2



D. Volumes

123.Nota

Vamos estudar os conceitos de equivalência de polígonos e de prismas. Em seguida, deduziremos a fórmula para o cálculo do volume do paralelepípedo retângulo (ortoedro). A extensão da fórmula para outros prismas será feita por meio do Princípio de Cavalieri.

124.Definição

Desta definição decorre que esta relação de equivalência tem as propriedades que caracterizam as "Relações Binárias de Equivalência" definidas no 1º ano e representadas pelo grafo ao lado:(a) reflexividade P ≡ P(b) simetria: P ≡ Q ⇒ Q ≡ P(c) transitividade P ≡ Q e Q ≡ R ⇒ P ≡ Q Este conceito permite dar uma definição precisa de área de polígono.

Dois polígonos P e Q se dizem equivalentes (ou equicompostos) quando se podem decompor no mesmo número de polígonos convexos e disjuntos respectivamente congruentes.



NOTA: É fácil percebermos que há inúmeros critérios para associação de áreas aos polígonos. Por

exemplo, podemos atribuir a um determinado retângulo (ou triângulos) a área 1 e cada polígono P

uma área igual ao número desses retângulos (ou triângulos) que pode conter.

Entretanto é óbvio que devemos utilizar um critério pelo qual as áreas obtidas sejam

precisamente aquelas já conhecidades no estudo elementar e intuitivo.

isto se consegue atribuindo a área 1 ao quadrado com uma unidade de lado (por

exemplo, metro ou centimetro).

Dizemos então que a área de P, em relação ao quadrado unitário U é 30.

Praticamente, se a unidade linear é o metro, escrevemos: S = 30m2.

125.Definição

NOTA - Entendemos como poliedros os sólidos limitados por polígonos planos. No último capítulo

daremos o conceito e a teoria mais precisa do poliedros.

Se associarmos a cada polígono P do plano em e um só número α (P), com critério:

(a) A cada elemento de uma classe de equivalência [P] se associa o mesmo número real α (P):

(b) Se um polígono R é composto por dois polígonos convexo P e Q, então α(R) = α(P) + α(Q), então os números α serão denominados áreas dos polígonos.

Dois poliedros P e Q são equivalentes quando se podem decompor no mesmo número de poliedros convexos congruentes.



Indicando por p e Q poliedros quaisquer, podemos observar que a relação de equivalência de poliedros é reflexiva, simétrica e transitiva. Os volumes, no sentido usual, dos poliedros são obtidos sçao obtidos atribuindo ao cubo cuja aresta tenha 1m (ou 1 cm) o volume 1 e aos demais poliedros volumes obtidos de modo a que estejam satisfeitas as mesma condições (a) e (b) exigidas para as áreas.NOTA: Nem sempre é possível verificarmos diretamente quantos metros cúbicos podems juntar

para compormos um determinado poliedro. Por isso, temos que deduzir certas propriedades que

nos permitem uma comparação indireta para a obtenção do volume.

126. Teorema 9

Sejam a e b o comprimento e a largura de ambos os paralelepípedosretângulos; c e c´ as respectivas alturas. 1º) Suponhamos que c e c´ sejam comensuráveis, isto é que exista um submúltiplo u comum a ambos.

c = m.u c´= m.ucom m e n números naturais (1)

Portanto c/c´ = m/n

Em correspondência com as divisões de c e c´pela unidade u façamos a decomposição de ambos os sólidos, por planos paralelos às bases, em paralelepípedos que são todos congruentes. Representado por "r" a área de um desses paralelepípedos teremos: α(P) - m.r ⇒ α(P)

—— α(P´)

= m— n

(2) α(P´) = n.r

Se dois artoedros (P e P´) tem duas dimensões respectivamente iguais os seus volumes são proporcionais às dimensões restantes.

Comparando (1) e (2), temos:

α(P) —— α(P´)

= c — c´

(C.Q.D)

2º) Se as dimensões c e c´não forem comensuráveis, podemos concluir que o teorema ainda é verdadeiro pelo processo usual de aproximação dos números irracionais de c´:

c´= n . u

Então, u não pode ser submúltiplo de c. Seja m o número natural tal que :

mu < c´ < (m+1)u

Então as razões m— n

e m+1 —— n

são aproximações racionais por falta e por excesso

de c — c´

e também de α(P) —— α(P´)

.

Como a diferença m+1 —— n

- m— n

= 1— n

pode-se tornar tão pequena quanto

quisermos (escolhendo u cada vez menor), concluímos que podemos obter aproximações

por falta e por excesso sempre respectivamente iguais para as razões c — c´

e α(P) —— α(P´)

.

Este fato nos leva admitir que c — c´

e α(P) —— α(P´)

, representam o mesmo número

irracional.

Portanto: α(P) —— α(P´)

= c — c´

127.Teorema10

Atribuindo ao cubo de lado unitário o volume 1, o volume de u paralelepípedo retãnglode dimensões a, b e será igual ao produto abc.



PROVA - Dado os paralelepípedos P, de dimensões a, b, c, vamos construir paralelepípedos auxiliares: Q de dimensões a, b, 1; R de dimensões a, 1, 1 e o cubo de aresta 1. Pelo teorema 9 , temos:

α(P) —— α(Q)

= c — 1

α(Q) —— α(R´)

= b — 1

⇒ α(P) —— α(Q)

. α(Q) —— α(R´)

. α(R) —— α(U´)

= a — 1

. b — 1

. c — 1

α(R) —— α(U´)

= a — 1

Portanto: α(P) —— α(U)

= abc ⇒ α(P) = a.b.c . α (U)

Sendo α(U) = 1, concluimos que : α(P)=abc

ou seja; V=abc

128.Corolário

}

O volume de paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela altura.



De fato, a.b=B (área do retângulo base) Portanto: V=abc=B.c Indicando, como é usual, a altura por h, temos:

V = B.h

PRINCÍPIO DE CAVALIERI

NOTA: O princípio de cavalieri é admitido verdadeiro , sem demosntração. Ele se fundamenta na seguinte observação intuitiva.: Se dividirmos um sólido em certo número de camadas pro seções paralelas, e deslocarmos algumas delas, o sólido resultante terá o mesmo volume, porém terá uma forma diferente da primitiva.

A inversão dessa observação, considerando camadas infinitamente finas constitui o princípio de Cavalieri. Pelo princípio de Cavalieri podemos demonstrar outras importantes propriedades relativas à equivalência de prismas.

Teorema11

Se dois ´solidos finitos P1 e P2 estão contidos na parte do espaço compreendida entre dois planos paralelos α e β, e as seções de P1e P2 por qualquer plano dessa região, paralelo a α e β são equivalentes(isto é, tem áreas iguais), então P1 e P2 são equivalentes.

Se um prisma P e um paralelepípedo retângulo Q tem a mesma altura e as bases equivalentes, eles são equivalentes.



PROVA - Sejam S e B as áreas das bases P e Q que tem a mesma altura h, sendo S=B consideremos um plano genérico ƴ, paralelo a α e β e situado entre eles.

Evidentemente S´=S e B´= B por serem bases opostas dos mesmo prismas. Sendo S=B ⇒ S´=B´ Então, pelo Princípio de Cavalieri, P ≡ Q.

129.Consequência

Dado um prisma P tendo altura h e área da base S, associamos a ele um paralelepípedo Q retãngulo com área da base S e altura h. Pelo teorema, temos: V(P) = V(Q) Mas vimos que: V(Q) = S.h

Portanto: V = S.h

O volume de um prisma é igual ao produto da área da base pela altura.



VOLUME DAS PIRÂMIDES

130.Teorema12

Seja um plano genérico entre α e β e paralelo a ambos,. Pelo teorema, temos:

S1´

— S

1

= k2

— h2

e S2´

— S

2

= k2

— h2

Portanto S1´ = S

1 . k

2 — h2

e S2´ = S

2 . k

2 — h2

Como por hipótese S1 = S

2, concluímos que S

1´=S

2´.

Então, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos são equivalentes.

131.Teorema13

Se duas pirâmides de mesma altura tem as bases equivalentes, elas são equivalentes.

Todo prisma triangular pode-se decompor num tetraedro com a base e altura do prisma e mais dois tetraedros equivalentes ao primeiro.



Façamos a decomposição indicada na figura. Os tetraedros (I) e (II) são equivalentes por terem bases congruentes, portanto equivalentes (∆ABC = ∆DEF) e a mesma altura h do prisma. Os tetraedros (II) w (III) são equivalentes por terem bases congruentes (∆CDF = ∆ACD) e como altura comum a distância do ponto E o plano ACFD.

132.Consequência

PROVA - Dado o tetraedro (I)podemos construir o prisma triangular do qual (I) é uma das partes componentes. Temos: {Vol (I) = Vol (II) = Vol (III) Vol (I) + Vol (II) + Vol (III) = volume o prisma. Portanto: 3. vol (I) = volume do prisma = S.h de onde: Vol (I) = 1

— 3

S. h Conclusão: V = 1

— 3

S. h

O volume de um tetraedro de base S e altura h vale um terço do produto da área da base pela altura.



133.ConsequênciaII

De fato, o teorema12, o volume de P é igual ao do tetraedro de mesma área da base S e mesma altura h e este é igual a 1

— 3

S.h.

Portanto: V = 1 — 3

S. h

VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE

134.Definição

V = S.x —— 3

- S´.y —— 3

(1)

Vamos exprimir esta fórmula em função de S, S´e h. Pelo teorema 17, temos: S

— S´

= x2

— y2

⇔ √S —√S´

= x— y

aplicando as propriedades das proporções:

√S - √S´ ——— √S

= x-y —— x

⇒ x = h√S ———√S - √S´

(2)

O volume de qualquer pirâmide P é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

O volume do tronco de pirâmide de bases paralelas é a diferença entre os volumes da pirâmide maior, de base S e o da pirâmide menor de base S´:



√S - √S´ ——— √S´

= x-y —— x

⇒ y = h√S´ ———√S - √S´

(3)

Substituindo o numerador, pela diferença de dois cubos, a3 - b3 = (a-b) (a2+ab+b2)

V = h — 3

. (√S - √S´) (S+√SS´+S´)————————— √S - √S´

Finalmente:

V = h — 3

(S+S´+ √S.S´)


1. Calcular o volume de um cubo com 5dm de aresta.

2. Calcular a aresta do cubo cujo volume vale: a) 343 cm3

b) 72 cm3

3. Qual a razão entre os números que exprimem o volume e a área total de um cubo de volume duplo?

4. Sendo a a aresta de um cubo, qual a aresta do cubo de volume duplo?

5. Num cubo, a diagonal de uma face excede de 0,828 cm (aproximado) a aresta. Achar o volume.

6. Um cubo é contituido de três camadas equivalentes: uma de chumbo (peso específico 11,4) outra de ferro (7,8) e a terceira de alumínio (2,6). Sabendo que o cubo pesa 196,2 kg achar a aresta.

7. Num paralelepípedo retângulo, cujo volume é de 750dm3, a segunda dimensão é o dobro da primeira e a terceira é a soma das outras duas. Achar a diagonal.

8. As dimensões de um paralelepípedo retãngulo são proporcionais aos números 2/3, 5/6, 14/27 e o volume mede 5670 cm3. Achar as dimensões.

9. As três dimensões de um paralelepípedo retãngulo tem por soma 26cm e estão em progressão geométrica. O volume vale 216cm3. Achar as dimensões.



10. Num paralelepípedo retângulo, cujo volume mede 72cm3, a área da base mede 12cm2 e a área total 108cm2. Achar as dimensões.

11. Num cubo de aresta a, secciona-se em cada triedro uma pirâmide triangular, com as arestas do triedro reto iguais a a/2. achar o volume do sólido restante.

12. Determinar o volume de um paralelepípedo retângulo no qual a área total vale 180 m2; sendo de 10m a diagonal da base e 17m a soma das três dimensões.

13. A base de um paralelepípedo reto é um losango, cuja diagonal menos mede 18 cmsendo 8/5 a razão das diagonais. A altura do paralelepípedo supera de 4 cm os 2/3 da diagonal maior da base. Calcular o volume.

14. Num paralelepípedo retângulo, somando duas a duas as dimensões se obtém respectivamente 26cm, 24cm e 20 cm. Achar o volume.

15. Achar o volume de um paralelepípedo oblíquo cuja base é um retângulo de 8cm por 6cm. A aresta lateral tem 10 cm e o pé da perpendicular baixada de um dos vértices da base superior cai da interseção das diagonais da base inferior.

16. Dado um ortoedro ABCDEFGH, de dimensões a, b e c:1º) traçar, pela aresta DH dois planos DHMN e DHPQ de modo que o tetraedro dique dividido em 3 prismas equivalentes (determinar AM=x e CP=y).

2º) Achar a razão do volumes dos prismas de altura c e bases BMP e DMP.

3º) Achar a razão entre a e b para que o diedro formado pelos planos DHMN e PQMN seja reto.



17. Achar á area total de um prisma triangular retangular, cujo volume vale 4√3, sendo a altura 2/3 do perímetro da base.

18. Um prisma triangular regular tem a aresta de base igualà altura e a área lateral é de 40cm2. Qual é o volume?

19. Demonstrar que um prisma triangular cuja altura é o dobro do diâmetrodo círculo circunscrito à base, e queivalente ao paralelepípedo cujas dimensões são iguais às arestas da base do prisma.NOTA: o raio do círculo circunscrito a um triângulo de lados a, b e c e área s verifica-se a relação

(4 RS=abc).

20. Demostrar que o volume de um prisma triangular é igual ao semiproduto da área de uma face lateral pela sua distência à aresta oposta.

21. Achar a área total e o volume de uma pirâmide cuja base é um retângulode 4cm por 6cm e cuja altura tem 8 cm e tem o pé no centro do retângulo.

22. As arestas laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam um ângulo de 60º com o plano da base e medem 6cm cada uma. Achar o volume.

23. A aresta lateral de uma pirâmide hexagonal regular vale 2cm e forma um ângulo de 45º com a base. Achar o volume.

24. Achar o volume de uma pirâmide hexagonal regular, cuja altura vale 10√6cm sendo igual à aresta da base.

25. Achar a altura de uma pirâmide hexagonal regular, cuja área total vale 30√3cm2 e sendo a área lateral quádrupla da área da base.

26. Calcular volume de um tetraedro regular cuja altura vale 10√6cm.

27. Achar o volume e a área total do sólido que se obtém secionando em cada ângulo sólido de um cubo de aresta a uma pirâmide, pelo plano que passa pelos pontos médios das arestas que nele concorrem. Achar também a distância entre os dois planos secantes paralelos.

28. A base de uma pirâmide é um quadrado de 3cm de lado e uma aresta lateral da pirâmide é perpendicular `a base e mede 4cm. Achar o volume e a área total.



29. As arestas da bas de uma pirâmide triangular valem respectivamente 5cm, 6cm, 7cm; as arestas laterais são iguais e medem 8cm cada um. Achar o volume.

30. Rebatendo-se as faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular sobre o plano da base (externamente a esta ), os quatro rebatimentos do vértice determinam um quadrado cujo lado tem 4cm; os vértices da base são os pontos médios dos apótemas do quadrado, calcular a área total e o volume da pirâmide.

31. Numa pirâmide triângular OABC, o triedro de vértice O é tri-retângulo e OA=1cm, OB=2cm, OC=3cm. calcular o volume e a distência do vértice O ao plano da base.

32. Numa pirâmide triangular OABC, a aresta OC é perpendicular ao plano OAB, sendo OC=a; as três faces do triedro de vértice C medem 60º. Calcular a área total , o colume e a altura OH.

33. Achar o volume e a área total de uma pirâmide triângular E (ABC), sendo a base ABC um triângulo retângulo (A=90º) a face ABE um triângulo equilátero, o plano EAb perpendicular ao plano base, sendo AB=4cm e AC= 3cm. (Provar que o ∆EAC é retângulo).

34. Uma pirâmide quadrangular regular, com 224cv de altura foi seccionada por um plano paralelo à base e distante do vértice de 3/4 da altura. Achar o volume e a área lateral da pirâmide sabendo que o perímetro da seção é de 180cm.

35. Em uma pirâmide quandrangular regular, o apótema da pirâmide tem 52cm e a altura é os 6/5 das aresta da base. achar os volumes dos dois sólidos que se obtêm seccionando a pirâmide por um plano paralelo à base e distante 9,6cm do vértice.

36. Calcular o volume total de um tronco de pirâmide hexagonal regular cujas arestas das bases e lateral medem, repectivamente 4cm, 2cm e 5cm.

37. os apótemas das bases e lateral de um tronco de pirâmide triângular regular medem respectivamente 4cm, 2cm e 5cm. Achar o volume.

38. Em um tronco de pirâmide quadrangular, a razão das arestas das bases (2) é 5/3 é as áeras dessas bases tem por soma 136m2. Seccionando o trondo por um plano perpendicular a uma das arestas da base, no seu ponto médio, se obtém um trapézio cuja área da base é a média geométrica das áreas das bases. clcular as arstas das bases , a altura e o volume.



39. Demonstrar que o volume de um tronco de prisma triangular cuja área da base é B e cujas arestas laterais medem a, b e c é dado pela fórmula: V=B. a+b+c

——— 3

40. Um paralelepípedo tem por faces seis losangos iguaus , cujo lado é igual a diagonal menor e tem valor α. Calcular o volume do paraleleípedo.


1) 125 dm3

2) 7cm; 4,16cm

3) a/6

4) a. √2

5) 8m3

6) 3dm

7)18,7dm

8) 18cm, 22,5cm e 14cm

9) 2, 6 e 18

10) 3 cm, 4cm e 6cm

11) 5a3/6

12) 144m3

14) 1485cm3

15) 240√3

16) 2a/3 e 2b/b; 1/5 ; √3 —√2

17) 24 = 2√3

18) 20√10/3

21) 64; 24 + 6√68 + 4√73 ≅ 107,65

22) 18√3cm3

23) √6 cm3

24) 9000√2cm3

25) 3√5

26) 2250√2cm3

27) a3 — 6

, (3+√3)a2 ———— 8

, 2d— 3

28) 12cm3; ≅ 37cm2

29) ≅ 35cm2

30) 8cm2; 1,33cm3

31) 1cm3; ≅ 0,827cm

32) (2√3 + √2) a2; a3√2/3; a√6/3

33) 4√3; 12 + 4√3 + 2√21

34) 268800cm3; 30720cm2

35) 204,8cm3; 25395,2cm3

36) 42√3

37) 108√3

38) 10cm, 6cm , 7,5cm, 490cm3

40) a3.√2/2

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