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USO DE SIMULADOR VIRTUAL DE BALANÇA DE PRATOS NA

COMPREENSÃO DO PROCESSO RESOLUTIVO DE EQUAÇÕES

DO PRIMEIRO GRAU

Rodrigo Duda

Instituto Federal do Paraná – Campus Irati

[email protected]

Sani de Carvalho Rutz da Silva

Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Ponta Grossa

[email protected]

Resumo: Nesse relato apresentamos resultados referentes à execução de uma sequência didática

que engloba o uso de um simulador virtual de balança de pratos na compreensão do processo

resolutivo de equações do primeiro grau. O experimento foi realizado com alunos do 1º ano do

ensino médio de um curso técnico de uma instituição federal de ensino na região centro-sul do

Paraná. Após o uso do simulador de balança de pratos foi efetuada a análise qualitativa dos dados

coletados durante a execução da sequência, verificando-se que a utilização da ferramenta

favoreceu a compreensão dos procedimentos que devem ser efetuados no processo resolutivo de

uma equação. Desta forma, verifica-se que o uso do simulador virtual de balança de pratos é uma

alternativa viável à abordagem puramente teórica da resolução de equações do primeiro grau.

Palavras-chave: Recursos computacionais. Ensino de matemática. Equações do primeiro

grau. Balança virtual.

Introdução

O estudo sobre resolução de equações iniciado no 7º ano do ensino fundamental é

a base para o entendimento de um processo fundamental na matemática: a ideia de

equivalência envolvendo os princípios aditivo e multiplicativo. Para que seja minimizado

o insucesso discente no entendimento desse processo, é recomendável que não seja dada

ênfase à mecanização excessiva dos procedimentos, pois isso pode fazer com que o aluno

efetue passos na resolução sem se preocupar com seu real significado (LIMA et al., 2013).

XIII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Ponta Grossa - PR, 02 a 04 de outubro de 2015

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Normalmente esse estudo é iniciado com a resolução de equações do primeiro

grau. Embora seja um processo bastante simples, muitos alunos chegam ao ensino médio

sem ter a compreensão plena acerca dos procedimentos efetuados durante a resolução

desse tipo de equação, sendo diversas as modalidades de erros que podem ser encontrados

nas soluções apresentadas pelos alunos. Em alguns casos, é possível verificar que até

mesmo alunos que efetuam corretamente os procedimentos os fazem por memorização

de regras para efetuar a resolução.

Considerando a importância do tema no processo educativo relacionado à

matemática, optou-se por elencar alternativas para auxiliar nesse processo. Devido ao

aspecto de simulação que os recursos computacionais proporcionam, optamos por utilizar

uma ferramenta computacional: um simulador virtual de balança de pratos.

Referencial teórico

Garbi (1997) afirma que “Qualquer problema que possa ser solucionado através

dos números certamente será tratado, direta ou indiretamente, por meio de equações”.

Essa afirmação reforça a relevância que o estudo e compreensão da álgebra têm na

educação básica, pois conforme os PCNs para a disciplina de matemática,

Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da

álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as

atividades algébricas serão ampliadas. Pela exploração de situações-

problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra

(generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas

grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis),

representará problemas por meio de equações e inequações

(diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com

fórmulas), compreenderá a sintaxe (regras para resolução) de uma

equação. (BRASIL, 1998, p. 50).

Entretanto, observa-se que nas séries finais do ensino fundamental “a passagem

da aritmética para a álgebra é fonte de dificuldades para um grande número de alunos”.

(FREITAS, 2003, p.113). Devido a isso, é comum muitos alunos adentrarem no ensino

médio sem ter domínio e compreensão sobre essa área de estudo. Desta forma, torna-se

necessário que o professor verifique quais são as limitações que impedem o avanço nos

estudos e que sejam traçadas estratégias para auxiliar os alunos em suas dificuldades, com

a adoção de técnicas e recursos de ensino diversificados.

Sant’Anna e Sant’Anna (2004) descrevem recursos de ensino como materiais

instrucionais que auxiliam positivamente na aprendizagem, estimulando-a e reforçando-


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a, favorecendo o processo de assimilação, a criatividade e o desenvolvimento cognitivo.

Considerando que nas últimas décadas o computador se tornou presente no cotidiano de

boa parte da população e diante da pré-disposição dos educandos para utilização dessas

máquinas, abre-se espaço para aproveitar a tecnologia computacional como recurso

auxiliar no processo de ensino e aprendizagem.

Corroborando esse ponto de vista, Mendes (2009, p. 113) aponta que a informática

é “uma das componentes tecnológicas mais importantes para a efetivação da

aprendizagem no mundo moderno”, e que o uso do computador no ensino de matemática

assume um papel decisivo “em virtude das possibilidades de construção de modelos

virtuais”.

Santos (2011, p. 46) afirma que

O uso do computador como ambiente de aprendizagem, utilizando

diferentes representações de um mesmo conceito pode contribuir para

o estabelecimento das relações entre as diferentes representações e ao

surgimento de ideias pra uma formação de conceito que podemos

chamar de processos de investigação. Neste processo o indivíduo deve

manipular e investigar mentalmente os objetos.

Esse aspecto manipulativo e investigativo do uso de recursos computacionais

também é apontado como importante por Gravina e Basso (2012). Os autores afirmam

que temos na tecnologia digital uma ampliação de possibilidades para “experimentos de

pensamento”, disponibilizando ferramentas que suportam a exteriorização, diversificação

e ampliação de pensamentos. (GRAVINA; BASSO, 2012).

No entanto, antes de inserir um recurso computacional em sala de aula é

necessário analisar se a ferramenta será realmente integrada ao processo. Gravina e Basso

reforçam esse ponto de vista, afirmando que

[...] as mídias digitais se tornam realmente interessantes quando elas

nos ajudam a mudar a dinâmica da sala de aula na direção de valorizar

o desenvolvimento de habilidades cognitivas com a concomitante

aprendizagem da Matemática. (GRAVINA; BASSO, 2012, p. 34).

Assim, cabe ao professor analisar cuidadosamente o recurso computacional a ser

utilizado, levando-se em conta que o simples fato de inserir um recurso computacional

em sala de aula não é fator determinante para que ocorra a aprendizagem. Essa escolha

deve ser baseada nos objetivos e competências a serem adquiridas pelos alunos, sob o

risco da ferramenta se constituir em um simples adereço em sala de aula. (GIRALDO;

CAETANO; MATTOS, 2012).


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Procedimentos metodológicos

Considerando a necessidade de domínio do processo resolutivo de equações do 1º

grau para o entendimento de outros temas abordados no ensino médio, no início do ano

letivo de 2015 optou-se por verificar as eventuais fragilidades de alunos de um curso

técnico de nível médio com relação ao uso de técnicas de resolução de equações, para em

seguida, desenvolver estratégias para auxiliá-los a superar suas dificuldades. Para isso,

foi aplicado um questionário composto por três questões, sendo duas discursivas e uma

envolvendo resolução de equações do primeiro grau, conforme indicado nos quadros 1 e

2.

QUADRO 1 – Questões discursivas utilizadas para elencar as dificuldades dos alunos

Questão a ser resolvida Resolução esperada

1) Quando resolvemos uma equação, qual o

significado do valor que encontramos?

É o valor numérico que, quando substituído na

incógnita, mantém a igualdade em ambos os

membros da equação.

2) Podemos afirmar que x=3 é solução da

equação 512 x ? Justifique sua

resposta.

Sim, pois 2.3-1=5.

Fonte: Os autores

QUADRO 2 – Equações da questão 3 utilizadas para elencar as dificuldades dos alunos

Equação a ser resolvida Resolução esperada

723 x 3x 7 2 3x 9 9

x3

x 3

5335 xx 5x 3x 5 3 2x 8 8

x2

x 4

32

1

x x 1 3 2. x 1 6 x 6 1 x 7

312

x

x

3 12

x4

2 x 4 2. x 8

Fonte: Os autores

A maior incidência de erros apresentados pelos alunos ocorreu na resolução das

equações da questão 3. Esses erros foram classificados em três categorias:

Erro operatório: Quando o aluno efetuou uma operação erroneamente, confundindo-

se com operações envolvendo números inteiros menores que zero;

Erro de resolução: Quando o aluno efetuou um procedimento incorreto no processo

de resolução, não relacionado a erro operatório.


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Sem resolução: Quando o aluno não resolveu a equação ou apenas registrou a resposta

sem apresentar resolução.

Na Figura 1 temos um exemplo de erro operatório, no qual o aluno se confundiu

com operações com números inteiros e na Figura 2 um exemplo de resolução na qual o

aluno efetuou um procedimento incorreto no processo resolutivo.

Figura 1 – Exemplo de erro operatório registrado pelos alunos

Figura 2 – Exemplo de erro de resolução

Após a análise das respostas apresentadas pelos 32 alunos que realizaram a

atividade, optou-se pela realização de um trabalho complementar com os 12 alunos que

demonstraram maior dificuldade na resolução das atividades, com ocorrência maior de

erros nas respostas apresentadas.

Diante dos erros apresentados pelos alunos, buscou-se retomar o estudo sobre o

significado do processo resolutivo de equações do primeiro grau. Optou-se pela utilização

de uma ferramenta computacional como auxiliar nesse processo: um simulador de

balança de pratos. A atividade online intitulada “Aprendendo equações através da

balança”, disponível na página do Laboratório Virtual de Matemática da Universidade

Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), permite explorar a

similaridade entre as manipulações para o equilíbrio dos pratos da balança virtual com o

processo resolutivo de equações do primeiro grau.

A sequência didática foi realizada no contraturno escolar, com duração

equivalente a duas aulas de 50 minutos. No entanto, dos 12 alunos convocados para

participação na atividade, apenas 8 puderam comparecer.


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Antes de iniciar a atividade com a balança virtual, foi solicitado que os alunos

indicassem verbalmente os passos necessários para resolver a equação 512 x . Uma

síntese das respostas apresentadas pelos alunos são apresentadas no Quadro 3.

QUADRO 3 – Detalhamento da resolução da equação utilizada na mobilização

Equação apresentada

aos alunos Resolução indicada verbalmente

Procedimento resolutivo

registrado no quadro

512 x

“Passa 1 somando para o outro

lado”

2x 5 1

2x 6

“Passa o 2 dividindo”

6x

2

x 3

Fonte: Os autores

Esta resolução auxiliou a delinear os questionamentos a respeito dos passos

indicados para a resolução. Embora os procedimentos indicados sejam corretos, quando

questionados sobre o porquê da necessidade de somar 1 a 5, nenhum dos alunos

apresentou justificativas coerentes. Esse fato sugere que, embora consigam solucionar

algumas equações, o processo resolutivo é efetuado de forma mecânica, ou seja, por

memorização de técnicas sem plena compreensão sobre sua validade.

Em seguida, iniciou-se a execução da sequência de atividades envolvendo a

balança virtual. A execução foi composta de 3 momentos, conforme descrito a seguir:

Momento 1 – Exploração da balança: momento em que os alunos tiveram contato

com a balança virtual, simulando pesagens buscando compreender como é o seu

funcionamento;

Momento 2 – Formalização dos procedimentos: momento em que as ações executadas

na balança foram relacionadas com os procedimentos necessários para a resolução de

uma equação do primeiro grau;

Momento 3 – Avaliação: momento em que foram analisadas as eventuais

contribuições do uso da balança virtual na compreensão do processo resolutivo de

equações do primeiro grau.

A manipulação da balança virtual é introduzida por meio de questionamentos

sobre o seu funcionamento. O aluno pode movimentar tomates de um prato para outro e

verificar o equilíbrio/desequilíbrio ocasionado por essa manipulação, conforme indicado

na Figura 3.


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Figura 3 – Exemplo de questionamento sobre o funcionamento da balança

Embora sejam questionamentos simples, fornecem subsídios para que os próprios

alunos relacionem o funcionamento da balança com o processo resolutivo de equações.

Conforme indicado na Figura 4, o conceito de incógnita é introduzido por meio de uma

atividade que envolve o uso da balança de pratos para determinar o número de tomates

oculto no saco de compras.

Figura 4 – Introdução da noção de incógnita na balança virtual

A relação entre a resolução de equações e o funcionamento da balança de pratos

é melhor delineada após a execução de atividades que envolvem associações entre a

incógnita, representada pelo saco de compras, e os tomates, conforme exemplificado na

Figura 5.


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Figura 5 – Introdução do princípio aditivo na resolução de equações

Essa modalidade de exercícios é a responsável pelo despertar da compreensão

sobre o real significado de se efetuar operações inversas em ambos os membros das

equações do primeiro grau. No exemplo apresentado na Figura 6, facilmente o aluno

percebe que é necessário colocar (somar) 2 tomates em ambos os pratos para descobrir

que o número de tomates oculto no saco de compras é igual a 6.

Após a manipulação da balança para a resolução das equações, é possível resolver

exercícios relacionados às técnicas que devem ser utilizadas na resolução de cada tipo de

equação. O exercício ilustrado na Figura 6 visa a verificação se o processo foi

compreendido, deixando de lado a balança e focando nas técnicas de resolução.

Figura 6 – Exercício relacionado ao princípio aditivo e o uso da balança


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Após a resolução das atividades envolvendo a balança virtual, inicia-se o

Momento 2, no qual foram retomados os conceitos utilizados na resolução de equações.

As observações realizadas pelos alunos durante a manipulação da balança virtual

facilitaram esse momento, indicando que foi consolidada a visão da necessidade de

manutenção da igualdade no processo resolutivo.

No Momento 3 foi aplicado um teste composto por uma única questão, contendo

cinco equações, conforme indicado no Quadro 4.

QUADRO 4 – Equações que compõe a avaliação posterior ao uso do simulador virtual

de balança de pratos

Equação a ser resolvida Resolução esperada

712 x 2x 7 1 2x 8 8

x2

x 4

513 x 3x 5 1 3x 6 6

x3

x 2

10215 xx 5x 2x 10 1 3x 9 9

x3

x 3

33

1

x x 1 3 3. x 1 9 x 9 1 x 8

322

x

x

3 22

x1

2 x 1 2. x 2

Fonte: Os autores

Esse teste foi aplicado com o propósito de verificar se o uso do simulador de

balança virtual ocasionou compreensão do processo resolutivo de equações do primeiro

grau, bem como avaliar o desempenho dos alunos após a realização da sequência didática.

Resultados e discussão

Por questões éticas, visando a não identificação dos oito alunos que realizaram a

atividade, usaremos a notação A1 a A8, considerando a ordem alfabética de seus nomes.

Verificou-se que a ocorrência de erros foi reduzida significativamente. Na tabela

1 apresentamos os percentuais de acertos por item da questão avaliativa realizada no

Momento 3.

Tabela 1 – Percentual de acerto nos itens da questão

avaliativa do Momento 3


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Equação a ser resolvida Percentual de acerto

712 x 100%

513 x 75%

10215 xx 100%

33

1

x 75%

322

x

75%

Fonte: Os autores

O registro efetuado pelo aluno A3, ilustrado na Figura 7, indica que tanto o

princípio aditivo quanto o princípio multiplicativo foram corretamente compreendidos.

Note-se que o aluno evitou o uso do mínimo múltiplo comum para reescrever a equação,

o que facilitou a sua resolução.

Figura 7 – Solução apresentada pelo aluno A3 no item e) questão avaliativa

Outro destaque apresentado nos registros foi a preocupação em verificar se a

solução encontrada realmente era solução da equação, conforme ilustrado na Figura 8.

Figura 8 – Solução apresentada pelo aluno A1 no item e) questão avaliativa

De modo geral, foi possível perceber que os alunos não tiveram dificuldade em

relacionar o funcionamento da balança com os procedimentos realizados na resolução de

equações. Também foi possível perceber que, mesmo após a conclusão das atividades

inicialmente propostas, alguns alunos continuaram a manipular a balança, demonstrando

interesse pela atividade realizada.

Conclusão


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Diante dos resultados do estudo, percebe-se que a ferramenta utilizada provocou

mudanças significativas na forma como os alunos passaram a efetuar a resolução de

equações. Desta forma, cumpre o propósito educacional apontado como necessário por

Giraldo; Caetano e Mattos (2012) e Gravina e Basso (2012), pois é efetivamente

incorporada ao processo de ensino e aprendizagem e permite que o aluno formule

hipóteses por meio de simulação.

Verifica-se ainda que o uso da balança virtual é uma alternativa à utilização do

protótipo físico da balança de pratos, permitindo que ocorra maior interação do aluno com

a ferramenta.

Embora o experimento tenha sido realizado com alunos do ensino médio,

acreditamos que a balança virtual pode ser um aparato útil no ensino inicial de resolução

de equações, a partir do 7º ano do ensino fundamental, favorecendo a compreensão dos

conceitos de equivalência e de incógnita.

Referências

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Curriculares Nacionais: Matemática. (3º e 4º ciclos do ensino fundamental). Brasília:

MEC, 1998.

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LIMA, E. L. et al. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: SBM, 2013

(Coleção PROFMAT).

MENDES, I.A. Investigação histórica no ensino de matemática. Rio de Janeiro:

Ciência Moderna Ltda., 2009.

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GIRALDO, V; CAETANO, P; MATTOS, F. Recursos Computacionais no Ensino de

Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. (Coleção PROFMAT, 06).

GRAVINA, M. A.; BASSO, M. V. de A. Mídias digitais na Educação Matemática. In:

GRAVINA, et al. (Orgs.) Matemática, Mídias Digitais e Didática: tripé para formação

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SANT’ANNA, I. M.; SANT’ANNA, V. M. Recursos educacionais para o ensino:

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SANTOS, A. T. C. dos S. O ensino da função logarítmica por meio de uma sequência

didática ao explorar suas representações com o uso do software GeoGebra. 2011.

Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo, São Paulo, 2011.

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