1a Questao (3,5)

Uma estudante (E) recebe como tarefa modelar matematicamente lima caminhada numa pistaque e considerada perfeitamente retilinea. Ela me sma realiza a caminhada e registra seumovimento numa tabela posicao-ternpo. Para isso E utiliza um cronornetro manual e asrnarcacoes de distancia na pista, tomadas a partir do marco zero (referencia das posicoes), para ..;'definir a coordenada de posicao [",. V

B AVO

o I?O$i~ )- i( -I- \CBfret~

E inicia a caminhada (t=O) no ponto A e prossegue sem paradas ate chegar ao ponto B, 6minutos depois (FIG.I). As anotacoes feitas por ela encontram-se na Tabela 1.

FIG. 1

f~I__~u-__ _

Tabela 1

a) Se levarmos em conta apenas 0 instante t=O ha duas posicoes possiveis para a referencia, R eR'. Mostre-as na FIG.I usando a escala Icrn : 50rn, indicando tambern a convencao de sinaispara cada caso. Diga qual e a posicao correta, explicando como foi obtida. ./

(

b) Supondo que sua caminhada foi aproximadamente uniforme, E escolhe como primeiromodelo rnatematico uma funcao linear em t, obtendo SL (t) = -100 - 72t (m,i)"para 0 < t <6min. A fim de avaliar 0 modelo SL (t), E calcula a discrepancia ik entre sexp(4min) e s(4rnin),

s(t) - sex (t)instante de tempo que ficou fora de sua modelagem. Use a definicao 6[ = p xlOO.s \~), -3?O~ ( r -3Zg - (-3i-O) , - set)

ex~ ~ [;:. ------~-- ! -I~ I5(,\, -\00 _n(~) L! ...,.oe !,\00 z ;;("'" = ~,64 i,sL 4') e, -100 - .z-g2

~(4');'~ri-- 3l-~

2

c) Para melhorar a modelagem, E faz uma interpolacao quadratica em t na amostragem daTabela 1, sQ (t) = a + bt + ce , usando os seguintes criterios:- sQ (0) = sexp(O);- sQ (t) e sexp(t) coincidem no segundo e quarto pontos da Tabela 1.

Obtenha sQ (t) e de discrepancia oQ entre So (t) e a amostragem experimental para t= 4min, ediga se 0 objetivo de E foi alcancado.

5a(0) O-~(O) ••-\(}i)

Q=--l00 fJh-l-4C = -~g

bb+2:f,C.;:' -63Z,

b+.lc c -fl~ C_C}

~6"'y;,,- ~-<;;;32--------IZ

~qc.4-,=-l:,- c \_-c.:z.,z

I r: \:)+ ok -11O~I - -tAc --562-

I c ...J.2,~

I

:)t1(Z)' -(oO..L.,2.6 + 4c. ~ -2gi?

+b1"'"3bG "'-_53z..~CE:.)"--IOO

~\b""~4,~ s - \q~

b So ~ oL"b8\~t:

SciClI'" -\o.o-~8, ~t;··cL,;L,;0tf\i5Qllt) :.-lOo _23~ll (~) ~ J)\J>(ll)t

, QS3C-l-3SS,,2! ~(4)~ _loO - 10

~ l4) '--69 g,~1>"\

~ ;:.1-692,4:(-~:;~1 xlO::=>B \ --;'1&,' \

I .,!J fJ :. 4 "+ \ 02 I~

( \\

d) Se um segundo observador usar 0 ponto B como referencia e chamar de yet) a coordenada deposicao de E, qual seria a relacao entre yet) e set)? Considere que yet) >0 para todo 1. Justifiquesua resposta com urn desenho na figura abaixo.

B A \00I

R.+

I yet) =

3

23 Questao (3,5)

Esta questao eonsta de duas partes independentes I e II.

[ - Uma esfera rnetalica cai num plano inelinado. A extremidade inferior do plano esta na bordade uma mesa, que tern altura H = 1,0 m. A esfera esta manchada de tinta, e ao bater no chao 0

ponto da colisao fica marcado numa folha de papel braneo. A marea da colisao fieou a umadistancia 0 = 0,5 m. 0 tempo medido por urn observador para eair a altura H foi 0,1 s. Tomeg=l Om/s''.

\ «I 0 5,"" :I I

20 D I<-------------------71 -------~.

x

FIG. 2I II

chaoy

Obtenha as funcoes x(t) e yet) que descrevem as movimentos das sombras x e y entre t=0(instante em que a esfera se desprende do plano) e t=O, Is. Use 0 sistema referencia indieado na

FIG. 2. \ I If) c- 4 5 _ 5t Y(t)~ O--~bt-t-<.e- I.f : b(OI')+ 5(0,,)1..xlt); .o.,l6t \ 1" I

~ (' \,,1.0\010 I {-.O,jb+OlOS

" c..oS~" I b, 0, 'l s :0[1~lol",(\5 I

'S, \ -~ ~ \ I. z: ql SavO'll I I ~ \ {.) z..

I, . ) lQ\ :. 0 y Ci;,):; q[ st + St. k

)< lO/) , 1 /0-".::.0Iy(o/\ ' 1

(x(t) =1•.5 _.S-L

.z.yet) =ct, 5 t +St

4

II - A FIG. 3 mostra urn sistema de referencia e tres pontos sobre 0 eixo y. Suponha que entreos pontos A e B uma bolinha carregada eletricamente se movimenta no eixo y com velocidadeconstante igual a Sm/s. No ponto Bas coordenadas SaD XB = 0 e YB = Sm.

jX

FIG. 3

A(I), 0) i\J'~(DIS) ~ C (0 ) Y

Porem, entre os pontos B e C a~condiyois'd,6 !l10t-virrlbntomudam. Quando a bolinha passa porBela sofre 0 impacto com urn agente extefno-' no5sentido positivo do eixo x, e, ao mesmo tempopassa a atuar sobre ela uma forca eletrica no sentido negativo do eixo x, puxando-a de volta aoeixo y. Assim, as novas condicoes do movimento serao:

-no ponto B, VX = 1 m/s e Vy = S m/s;-em todo 0 trecho BC, ax e ay sao constantes, valendo ax = - 4 m/s'', ay = 0 m/s'',

Com estas condicoes, a bolinha sai do eixo y e volta apos um certo tempo. 0 ponto de retorno eo ponto C. A FIG. 3 esta fora de escala.

a)Calcule 0 tempo necessario para que 0 corpo se desloque entre os pontos A e C.1... 'L z, 0 ~ 1....

Y.,-\ +5 .t'+--bt"'GlX\"~-

,(u-= ~)C(t) -,~-l::- ;.d: z,

)

b)Em algum ponto da trajetoria entre Be C 0 vetor velocidade faz um angulo 81 com 0 eixo x,tal que tan 81 = 10. Quails SaD as coordenadas XI e YI onde isso ocorre? De a resposta em metro ecom duas casas decimais.

XI = YI =

-,

5

3a Questao (3,0)

Esta questao consta de tres partes independentes I, II e Ill.

I (1,0) - E registrada a trajetoria de um jogador de futebol entre duas posicoes A e C. Verifica-setambem que nesse trecho 0 modulo de sua velocidade e constante, igual a 3 m/s. No instante emque 0 jogador atinge B inicia-se a contagem do tempo, sendo esse instante tomado como t=O.Com esses dados, constroi-se a funcao modelo set) para seu movimento, onde set) representa acoordenada de POSiy30 sobre a trajetoria, tornando como referencia das posicoes 0 ponto A. Aconvencao de sinais e tal que s(O) > O. Entre A e B 0 jogador percorreu 15m ( FIG. 4)

cFIG. 4

A

bandeirinha

a)Obtenha a funcao s(t)1 valida para todo 0 trajeto de A ate C e diga para que instante de tempotA set) fornece a posicao A do jogador.

set) = ( )para 0 trecho AC

t" =

b)Um bandeirinha acompanha 0 jogador correndo ao longo do lado inferior do campo de modoque a projecao de sua posicao sobre esse lado coincide sempre com a propria posicao dobandeirinha (considere-o como a sombra da posicao do jogador sobre 0 lado inferior do campo).Calcule 0 modulo Vo da velocidade do bandeirinha em t=O. Sugestao: desenhe 0 vetorvelocidade do jogador na FIG. 4 e tome medidas com unta regua para obter os dadosnecessarios.

6

II (1,0) - Uma pequena esfera suspensa por 1110laoscila periodicamente, com periodo de 2,4s,em torno de sua posicao de equilibrio, tomada como referencia R para a coordenada de posicaos. A convencao de sinais esta indicada na figura, que mostra os extrernos da primeira oscilacaocompleta. Como modelo para descrever 0 movirnento da esfera toma-se a funcao set) = A cos(rot) (em, rad, s). Determine as constantes A e co para que s(t) reproduza as posicoesmostradas na figura.

II

Reta suporte :da trajetoria I

I

I

II

30cm" III :

III

~l---__+tl 'i'

I i 18 em

I If:~...........,················1··········;+········

t ~ 0 I t = ~,2S

'i'IIII

: 42 emIIII

- - - - -j- - --

II____'ct. _

A=(1)=

7

III - (1,0) A FIG. 5 mostra lima pista de caminhada ern forma oval. Um atleta (ponto P) correna pista com velocidade de modulo constante. 0 movirnento e estudado pela decornposicao nosistema de referencia cartesiano cuja origem coincide com 0 centro geornetrico da pista. 0sentido do movimento e as posicoes para os instantes de tempo tl, t2 e t3 estao indicados. F eum ponto qualquer sobre 0 eixo x, nao coincidente com a origem do sistema de referencia e dea distancia entre F e 0 atleta (P) no instante t.. 0 atleta da uma (mica volta completa na pista,cornecando no extrerno direito (x=a) e retornando a esse mesmo ponto.

y

t}~lidO

t I

FIG. 5a x

t..'

Marque V(verdadeiro), F(falso) Oll X (branco) ao lado de cada lima das 10 afirmacoes a seguir.Pontuacao: resposta certa: 0,1; resposta errada: -0,1; resposta em branco: O. A nota maxima e1,0, a nota minima e zero.

[.f 0 movimento da soinbra x e uniforme

~~f] em tl a coordenada XCtl) e igual ad cos (8)

~£tl a coordenada y(tl) e igual ad sen (8)

U0m qualquer instante t do movimento, a distancia entre 0 atleta e a origem do sistema de

referencia e igual a [X(t)2+y(t)2] 1/2

L---~ra qualquer referencia R e convencao de sinais escolhidas para definicao da coordenada

escalar set) sobre a trajet6ria tem-se Iv(t)1 = Is'Ct)1C.-[ f]'entre os instantes t2 e t3 0 deslocamento cia sombra y e ~Yt2-t3 = 2b

y]~.!1 a projecao x do vetor velocidade e igual a -X'(tl)

~rr-;:ainstante em que x = - a, y'(t) = O.'"

l.-J.f:,o'l"para qualquer instante t, la(t)1 = Is" (t)1

,fr1~tervalo de tempo em que Ax = -2a, y(t) muda de sinal lima unica vez.

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