VERSÃO 1 -...

12.º Ano de Escolaridade(Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

(Dec.-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto, para alunos que se matricularam no 10.º Ano em 2003-2004)

PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

7/Dezembro/2005Duração da Prova: 90 minutos

TT EE SS TT EE II NN TT EE RR MM ÉÉ DD II OO DD EE MM AA TT EE MM ÁÁ TT II CC AA

Teste Intermédio de Matemática - Versão 1 - Página 1

VERSÃO 1

A prova é constituída por dois Grupos, I e II.

O Grupo I inclui sete itens de escolha múltipla.

O Grupo II inclui três itens de resposta aberta,

subdivididos em alíneas, num total de sete.

Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova.

A ausência desta indicação implicará a anulação da prova.

��


Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmoacontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

1. Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotografia.

De quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par denamorados fique junto na fotografia?

(A) (B) (C) (D)"# #% $' %)

2. Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes( , , e ). Em cada naipe há um , três figuras ( , eEspadas Copas Ouros Paus Ás Rei Dama Valete Dois Dez) e mais nove cartas (do ao ).

A Joana pretende fazer uma sequência com cartas do naipe de .seis Espadas Ela quer iniciar a sequência com o , quer que as três cartas seguintes sejam figuras eÁs

quer concluir a sequência com duas das nove restantes cartas desse naipe.

Quantas sequências diferentes pode a Joana fazer?

(A) (B) (C) (D)%"' %$# &#) &'#

3. De uma certa linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma dos dois primeirostermos é .#"

Qual é o maior termo dessa linha?

(A) (B) (C) (D)"'* #%( "(& $#% ")% (&' "*$ '#)


4. Considere a função , de domínio , definida por .0 0ÐBÑ œ B *‘ #

No gráfico desta função, considere os pontos cujas abcissas são e . %ß #ß !ß # %

Escolhem-se, ao acaso, dois desses cinco pontos e desenha-se o segmento de recta quetem por extremidades esses dois pontos.

Qual é a probabilidade de esse segmento intersectar o eixo das abcissas?

, , , ,(A) (B) (C) (D)! % ! & ! ' ! (

5. Na figura está representado um hexágono regular com os vértices numerados de 1 a 6.

Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Em cada lançamento, selecciona-se o vértice do hexágono que corresponde ao número

saído nesse lançamento.

Note que, no final da experiência, podemos ter um, dois ou três pontos seleccionados (porexemplo: se sair o mesmo número três vezes, só é seleccionado um ponto).

Qual é a probabilidade de se seleccionarem três pontos que sejam os vértices de umtriângulo equilátero?

(A) (B) (C) (D)" " " "") "' "% "#

6. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a6, e vai adicionar os números saídos.

De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja maispróxima?

(A) (B) (C) (D)#! !!! #" !!! ## !!! #$ !!!

7. Admita que a variável , em quilogramas, das raparigas de 15 anos, de uma certapesoescola, é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 40.

Sabe-se ainda que, nessa escola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 Kg.

Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual é a probabilidade de oseu peso estar compreendido entre 35 Kg e 40 Kg ?

, , , ,(A) (B) (C) (D)! # ! #& ! $ ! $&


Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos oscálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Seja o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todosGos números naturais de 100 a 999).

1.1. Quantos elementos do conjunto são múltiplos de 5?G

1.2. Quantos elementos do conjunto têm os algarismos todos diferentes?G

2.2.1. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória.H Sejam e dois acontecimentos e , com .E F E § F § TÐEÑ ! Ð ÑH H

Sejam e os acontecimentos contrários de e de , respectivamente.E F E F

Seja TÐFlEÑ a probabilidade de , se .F E

Mostre que: TÐ F ÑT ÐE∩F Ñ

TÐEÑ

œ ÐFlEÑ" T

2.2. Próximo de uma praia portuguesa, realiza-se um acampamento internacional dejuventude, no qual participam jovens de ambos os sexos.

Sabe-se que: • a quarta parte dos jovens são portugueses, sendo os restantes estrangeiros; • 52% dos jovens participantes no acampamento são do sexo feminino; • considerando apenas os participantes portugueses, 3 em cada 5 são rapazes.

No último dia, a organização vai sortear um prémio, entre todos os jovensparticipantes no acampamento.

Qual é a probabilidade de o prémio sair a uma rapariga estrangeira? Apresente oresultado na forma de percentagem.

: se o desejar, pode uNota tilizar a igualdade da alínea anterior (nesse caso,comece por identificar claramente, no contexto do problema, os acontecimentosE F e ) no entanto, pode optar por resolver o problema por outro processo; (como, por exemplo, através de uma tabela de dupla entrada ou de um diagramaem árvore).


3. Uma caixa, que designamos por caixa 1, contém duas bolas pretas e três bolas verdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contém duas bolas pretas e uma bola

verde.

3.1. Considere a seguinte experiência: retirar, ao acaso, uma bola de cada caixa. Seja a variável aleatória «\ número de bolas verdes que existem no conjunto

das duas bolas retiradas».

Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória ,\apresentando as probabilidades na forma de fracção irredutível.

3.2. Considere agora que, tendo as duas caixas a sua constituição inicial, se realiza aseguinte experiência:• ao acaso, retiram-se simultaneamente três bolas da caixa 1 e colocam-se na

caixa 2;• em seguida, novamente ao acaso, retiram-se simultaneamente duas bolas da

caixa 2.

Sejam os acontecimentos: : «as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»;E : «as duas bolas retiradas da caixa 2 são de cores diferentes».F

a fórmula da probabilidade condicionada, determine o valor deSem utilizarTÐFlEÑ, apresentando o seu valor na forma de fracção irredutível. Numapequena composição, explique o raciocínio que efectuou. O valor pedido deveráresultar da interpretação do significado de , no contexto do problema,TÐFlEÑsignificado esse que deverá começar por explicar.

3.3. Considere agora que, na caixa 2, tomando como ponto de partida a suaconstituição inicial, se colocam mais bolas, todas amarelas. Esta caixa fica,8assim, com duas bolas pretas, uma bola verde e bolas amarelas.8

Considere a seguinte experiência: ao acaso, retiram-se simultaneamente duasbolas dessa caixa.

Sabendo que a probabilidade de uma delas ser amarela e a outra ser verde é&$* , determine o valor de .8


COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa ............................................................................ 9 Cada resposta errada.......................................................................... 0 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 36 1.1. ................................................................................18 1.2. ................................................................................18

2. ............................................................................................. 38 2.1. ................................................................................20 2.2. ................................................................................18

3. ............................................................................................. 63 3.1. ................................................................................20 3.2. ................................................................................20 3.3. ................................................................................23

TOTAL 200 ..................................................................................................

Teste Intermédio de Matemática - Versão 1 - Resolução - Página 1

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA

7 de Dezembro de 2005

RESOLUÇÃO - VERSÃO 1______________________________________________

Grupo I

1. $x ‚ # œ ' ‚ ) œ %)$ Resposta D

2. " ‚ $x ‚ E œ " ‚ ' ‚ (# œ %$#*# Resposta B

3. #!"!G œ ")% (&' Resposta C

4. #‚$G& #

œ ! ', Resposta C

5. #‚$x'$ œ

"") Resposta A

6. Distribuição de probabilidades associada à variável aleatória «Número saído no lançamento de um dado»:\ À

B " # $ % & '

T Ð\ œ B Ñ

3

3" " " " " "' ' ' ' ' '

Média da variável aleatória \ À

" ‚ # ‚ ' ‚" " " #"' ' ' ' ÞÞÞÞÞ œ œ $ &,

, $ & é o número médio (esperado) de pontos, por lançamento.

,$ & ‚ ' !!! œ #" !!! Resposta B

7. ! & ! # œ ! $, , , Resposta C


Grupo II

1. 1.1. * ‚ "! ‚ # œ ")!

1.2. * ‚ * ‚ ) œ '%)

2.2.1. TÐ F ÑTÐE∩F Ñ "TÐFÑTÐE∪FÑ

TÐEÑ T ÐEÑ

œ œ

œ œ œ"TÐFÑ "T ÐE∪FÑ "TÐFÑ"TÐE∪FÑ

TÐEÑ T ÐEÑc d

œ œ œTÐFÑ T ÐE∪FÑ TÐFÑTÐEÑTÐFÑTÐE∩FÑ

TÐEÑ T ÐEÑ

œ œ œ ÐFlEÑTÐEÑT ÐE∩FÑ TÐEÑ T ÐE∩FÑ

TÐEÑ T ÐEÑ T ÐEÑ " T

2.2. Do enunciado, sabemos que, considerando apenas os participantes portugueses,3 em cada 5 são rapazes. Isto significa que, no universo dos portugueses, a

proporção de rapazes é $& , ou seja, designando por o acontecimento «E ser

português ser rapaz» e por o acontecimento « »F , tem-se que

T œ ! 'ÐFlEÑ œ$& ,

Tem-se também que e TÐEÑ œ œ ! #& T ÐFÑ œ ! &#"% , ,

Donde, aplicando a fórmula provada na alínea anterior, tem-se que

! &#TÐE∩F Ñ! #&

,, œ ‚" ! ' Í ! &# TÐE ∩ F Ñ œ ! #& ! %, , , ,

,Í TÐE ∩ F Ñ œ ! %#

A probabilidade de o prémio sair a uma rapariga estrangeira é ! %#, .


3. 3.1. Tem-se:

B ! " #

T Ð\ œ B Ñ

3

3#‚# $‚# #‚" $‚"&‚$ &‚$ &‚$

Donde vem: B ! " #

T Ð\ œ B Ñ

3

3% ) ""& "& &

3.2. É pedida a probabilidade de as duas bolas retiradas da caixa 2 serem de coresdiferentes, sabendo que as três bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor.

Ora, se as três bolas retiradas da caixa 1 e colocadas na caixa 2 são da mesmacor, têm que ser necessariamente todas verdes. Tal deve-se ao facto de existiremapenas duas bolas pretas na caixa 1.

Após a transferência das três bolas da caixa 1 para a caixa 2, esta fica com duasbolas pretas e quatro bolas verdes, num total de seis bolas.

Ao retirarmos duas bolas desta caixa, existem, assim, casos possíveis, dos'#G

quais são favoráveis ao acontecimento « ».# ‚ % sair uma bola de cada cor

A probabilidade pedida é, assim, de acordo com a Regra de Laplace, #‚%'

#G , ou

seja, )"&

3.3. Equacionando o problema, vem: 8 &$*$8

#Gœ

Donde, pelo que8 &$*Ð$8ÑÐ#8Ñ

#

œ

ou seja # 8 &$*'&88# œ ()8 œ $! #&8 &8#

Donde vem &8 &$8 $! œ !#

Portanto, tem-se 8 œ œ&$„ &$ %‚&‚$!

#‚& "!&$„ %(È #

Tem-se, assim, .8 œ "! ” 8 œ ! ',

Como, nas condições do problema, tem que ser um número natural, vem, por8fim, que é a solução procurada.8 œ "!

Teste Intermédio de Matemática - Critérios de Classificação - Versão 1 - Página 1

TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA

7 de Dezembro de 2005

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO - VERSÃO 1______________________________________________

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa ............................................................................ 9 Cada resposta errada.......................................................................... 0 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 36 1.1. ................................................................................18 1.2. ................................................................................18

2. ............................................................................................. 38 2.1. ................................................................................20 2.2. ................................................................................18

3. ............................................................................................. 63 3.1. ................................................................................20 3.2. ................................................................................20 3.3. ................................................................................23

TOTAL 200 ..................................................................................................


Grupo I

As respostas correctas são as seguintes:

Questão 1 2 3 4 5 6 7Resposta D B C C A B C

Grupo II

1.1. ................................................................................................................................ 18

Expressão que dá o valor pedido ................................................... 17 (ver nota 1)

Resultado final ................................................................................... 1 (ver nota 2)

Notas:

1. Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escritada expressão, com a respectiva cotação a atribuir.

Expressão correcta ( ou equivalente) ............................. 17 * ‚ "! ‚ #"! ‚ "! ‚ # * ‚ * ‚ # ou (ou equivalente) ...................................11 Outras situações .......................................................................................0

2. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se a primeira etapanão tiver sido cotada com 0 (zero) pontos.

1.2. ................................................................................................................................ 18

Expressão que dá o valor pedido ................................................... 17 (ver nota 1)

Resultado final ................................................................................... 1 (ver nota 2)

Notas:

1. Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escritada expressão, com a respectiva cotação a atribuir.

Expressão correcta ( ou equivalente) ............................... 17 * ‚ * ‚ )*

$E (ou equivalente) ..............................................................................8 "!

$E (ou equivalente) ............................................................................ 8 Outras situações .......................................................................................0

2. A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se a primeira etapanão tiver sido cotada com 0 (zero) pontos.


2.1. ................................................................................................................................ 20

A resolução deste exercício envolve a aplicação de algumas propriedades:

• Leis de De Morgan

• Probabilidade do acontecimento contrário

• Probabilidade da união de dois acontecimentos

• Relação da probabilidade condicionada com a probabilidade da intersecção

A cotação a atribuir deve estar de acordo com o seguinte critério:

O aluno demonstra correctamente o pretendido ............................... 20 (ver nota)

O aluno aplica correctamente as quatro propriedades, mas nãodemonstra correctamente o pretendido ............................................................. 16

O aluno aplica correctamente três propriedades ............................................... 12

O aluno aplica correctamente duas propriedades ............................................... 8

O aluno aplica correctamente uma propriedade .................................................. 4

Nota:Caso o aluno desembarace a igualdade de denominadores, multiplicando ambos osmembros por , não se exige que ele justifique que o pode fazer por estarTÐEÑgarantido que .TÐEÑ Á !


2.2. ................................................................................................................................ 18

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.

1.º Processo (utilizando a igualdade enunciada na alínea anterior):

Identificação dos acontecimentos e como sendo,E Frespectivamente, « e « ..............................................5 ser português» ser rapaz»

TÐFlEÑ œ$& ..................................................................................................3

TÐFÑ œ !ß &# .....................................................................................................3

TÐEÑ œ"% ...................................................................................................... 3

Cálculo de ......................................................................................... 4 TÐE ∩ FÑ

Nota:A identificação incorrecta dos acontecimentos e não implica a cotaçãoE Ffinal de 0 (zero) pontos. As etapas seguintes devem ser pontuadas de acordocom a identificação feita (por exemplo: se o aluno identificar o acontecimento F

como sendo « está correcta,ser português», a escrita de TÐFÑ œ$%

devendo, por isso, receber a respectiva cotação de 3 pontos).

2.º Processo (não utilizando a igualdade enunciada na alínea anterior):

Preenchimento correcto das células de uma tabela de duplaentrada ou dos ramos de uma árvore, necessárias(os) àresolução do problema .......................................................................................15

Conclusão ..............................................................................................................3


3.1. ................................................................................................................................ 20

Valores que a variável ............................................................. 5 \ pode assumir

TÐ\ œ !Ñ ............................................................................................................ 4

TÐ\ œ "Ñ ............................................................................................................ 7

TÐ\ œ #Ñ ............................................................................................................ 4

Nota:Se o examinando não apresentar todas as probabilidades na forma de fracçãoirredutível, deve ser penalizado em 1 ponto, no total da cotação a atribuir à suaresposta.

3.2. ................................................................................................................................ 20

Expressão correcta da probabilidade pedida .......................................................4

Apresentação do resultado na forma de fracção irredutível ................................. 1

Justificação .........................................................................................................15

Significado de , no contexto do problemaTÐFlEÑ .................... 2

Referência ao facto de as três bolas transferidas dacaixa 1 para a caixa 2 serem verdes............................................3

Referência à constituição da caixa 2, após atransferência de três bolas da caixa 1 para a caixa 2 .................1

Explicação correcta do número de casos possíveis(no cálculo da probabilidade pedida) .......................................... 3

Explicação correcta do número de casos favoráveis(no cálculo da probabilidade pedida) .......................................... 3

Referência à Regra de Laplace ...................................................1

Clareza e correcção da composição ......................... 2 (ver nota)

Nota:Quanto à clareza e correcção, a composição deve ser cotada de acordo com oseguinte critério:

Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe, de pontuaçãoe de ortografia) .................................................................................................... 2

Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmenteestruturada, com alguns erros cuja gravidade não afecta ainteligibilidade ...................................................................................................... 1

Redacção confusa, sem estruturação aparente, presença de errosgraves, com perturbação frequente da inteligibilidade ........................................ 0


3.3. ................................................................................................................................ 23

Equacionar o problema .................... 10 8 &$*$8

#Gœ ou equivalente

Resolver a equação ......................................................................... 13 (ver nota)

Nota:A equação pode ser resolvida analiticamente ou com recurso à calculadora(graficamente ou por meio de uma tabela). Caso o aluno tenha recorrido àcalculadora para resolver a equação, deve explicitar claramente o que fez,apresentando tabelas e/ou gráficos que sustentem a sua resposta.

Assim, caso o aluno tenha recorrido à calculadora, os 13 pontos relativos àresolução da equação repartem-se da seguinte forma:

Apresentação do trabalho efectuado ............................................................... 10

Resposta ao problema .......................................................................................... 3

Caso o aluno tenha optado por uma resolução analítica, os 13 pontos relativos àresolução da equação repartem-se da seguinte forma:

Estabelecimento da igualdade ............................ 4 $8#G œ

Ð$8Ñ Ð#8Ñ#

Obtenção de uma equação do segundo grau .......................................................3

Resolução da equação do segundo grau obtida ..................................................3

Resposta ao problema .......................................................................................... 3

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