versão 6 – setembro/2012 - FGV -...

Matemática Financeira

Prezado Aluno,

Sabemos que o público-alvo dos cursos de pós-graduação lato sensu da Fundação

Getulio Vargas é constituído de executivos que buscam atualizar-se nas áreas de

Economia, Gestão e Direito, que são fundamentais para seu desempenho

profissional. Por razões diversas, muitos desses executivos optam pelos cursos a

distância do FGV Online.

Por estarmos atentos, em todos os momentos, à presença do sujeito do aprendizado

– você, nosso aluno –, bem como a suas demandas ao realizar um curso a distância,

elaboramos o material didático dos cursos do FGV Online acreditando que a prática

educativa deve torná-lo apto à auto-aprendizagem, ao autocontrole e à

automotivação.

Cientes da relevância dos materiais e dos recursos multimídia de um curso a distância,

nós, do FGV Online, acreditamos que o trabalho que agora conosco você inicia seja,

de fato, capaz de responder positivamente às mudanças tecnológicas e sociais de

nosso tempo, bem como às suas necessidades e expectativas.

A Coordenação Pedagógica

versão 6 – setembro/2012

Matemática Financeira S U M Á R I O

SUMÁRIO

ABERTURA .................................................................................................................................. 9

APRESENTAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 9

OBJETIVO E CONTEÚDO ......................................................................................................................................................... 9

ATIVIDADES ............................................................................................................................................................................... 10

GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES........................................................................................................................... 11

SEÇÕES ........................................................................................................................................................................................ 11

MATERIAL .................................................................................................................................................................................... 12

AVALIAÇÃO ................................................................................................................................................................................ 12

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................................................... 13

NAVEGAÇÃO .............................................................................................................................................................................. 14

PROGRAMAS E PLUGINS ....................................................................................................................................................... 15

PROFESSOR-AUTOR ................................................................................................................................................................. 15

SUPORTE ..................................................................................................................................................................................... 15

MÓDULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS ........................................................................................ 17

INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................................ 17

APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 17

ESTRUTURA DO MÓDULO 1 ................................................................................................................................................ 17

UNIDADE 1 – PRINCÍPIO BÁSICO ........................................................................................................ 17

1.1 PRINCÍPIO BÁSICO ............................................................................................................................................................ 17

1.2 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 18

1.2.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 18

1.2.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 18

1.3 POSSIBILIDADES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................. 19

1.4 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 19

UNIDADE 2 – VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO ................................................................................ 19

2.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 19

2.2 VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO ......................................................................................................................... 20

2.2.1 OPERAÇÃO FINANCEIRA .............................................................................................................................................. 20

2.2.2 OPERAÇÕES FINANCEIRAS E PRAZOS .................................................................................................................... 21

2.3 JUROS E TAXA DE JUROS ............................................................................................................................................... 21

2.3.1 UNIDADE DE MEDIDA ................................................................................................................................................. 21

2.3.1.1 PADRONIZAÇÃO ......................................................................................................................................................... 22

2.4 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................................. 22

2.4.1 EXEMPLO .......................................................................................................................................................................... 22

2.5 JUROS COMPOSTOS ......................................................................................................................................................... 23

2.5.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 23

2.5.2 EVOLUÇÃO DO VALOR COM CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ................... 24

2.6 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 24

2.7 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 24

2.8 JOGO ...................................................................................................................................................................................... 24

UNIDADE 3 – ATIVIDADES .................................................................................................................. 24

3.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................... 24

3.1.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................ 24

Matemática FinanceiraS U M Á R I O

MÓDULO 2 – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ...................................................................... 25

APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 25


UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES ............................................................................................................. 25

1.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 25

1.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 26

1.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 27

1.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 28

1.1.3.1 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................ 28

UNIDADE 2 – OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES .............................................................................. 29

2.1UTILIZAÇÃO DOS JUROS SIMPLES .............................................................................................................................. 29

2.2 TAXAS DE DESCONTO BANCÁRIO .............................................................................................................................. 29

2.3 TAXA DE RENTABILIDADE .............................................................................................................................................. 30

2.3.1 TAXAS DE DESCONTO VERSUS TAXA DE RENTABILIDADE ........................................................................... 30

2.4 DESCONTOS ........................................................................................................................................................................ 30

2.4.1 DESCONTO DE DUPLICATAS ..................................................................................................................................... 30

2.4.2 DESCONTO DE PROMISSÓRIAS ................................................................................................................................ 31

2.4.2.1 FÓRMULA PARA DESCONTO .................................................................................................................................. 31

2.4.2.1.1 CÁLCULO ................................................................................................................................................................... 32

2.4.2.2 FÓRMULA PARA RENTABILIDADE ......................................................................................................................... 32

2.4.2.3 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 33

2.4.2.4 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 34

2.4.2.5 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 34

2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................... 35

2.6 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 35

UNIDADE 3 – JUROS COMPOSTOS .................................................................................................... 36

3.1 CONCEITUAÇÃO ................................................................................................................................................................ 36

3.1.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 37

3.1.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 39

3.1.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 40

3.1.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 42

3.1.5 EXEMPLO 5 ...................................................................................................................................................................... 43


3.3 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 45

3.4 AVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................................... 45

3.5 JOGO ...................................................................................................................................................................................... 45

UNIDADE 4 – ATIVIDADES .................................................................................................................. 45

4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................... 45

GABARITOS ........................................................................................................................................ 56

4.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – ANIMAÇÃO ..................................................................................................................... 67

4.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA .......................................................................................................................... 67

4.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO ............................................................................................ 68

MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL .................................................................................................. 69


MÓDULO 3 – TAXAS E FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES .................................................... 71

APRESENTAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 71


UNIDADE 1 – TAXAS EQUIVALENTES, NOMINAIS, EFETIVAS E PROPORCIONAIS ............................. 71

1.1 ILUSTRAÇÃO ....................................................................................................................................................................... 71

1.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA ............................................................................................................................... 72

1.3 TAXAS EQUIVALENTES .................................................................................................................................................... 72

1.3.1 EQUIVALÊNCIA COM JUROS SIMPLES ................................................................................................................... 73

1.3.1.1 GENERALIZAÇÃO ........................................................................................................................................................ 73

1.3.2 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 74

1.3.3 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 74

1.3.3.1 RESOLUÇÃO ................................................................................................................................................................. 75

1.3.3.2 CONTINUAÇÃO ........................................................................................................................................................... 76

1.4 OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES ............................................................................................................................. 77

1.5 OPERAÇÕES COM JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................... 77

1.5.1 APLICAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 78

1.5.1.1 EXEMPLO 1 ................................................................................................................................................................... 79

1.5.1.2 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................................................... 80

1.5.1.3 EXEMPLO 3 ................................................................................................................................................................... 82


1.7 SÍNTESE ................................................................................................................................................................................ 83

UNIDADE 2 – SÉRIES DE PAGAMENTOS .............................................................................................. 83

2.1 CONCEITOS ......................................................................................................................................................................... 83

2.2 ANUIDADES – PAGAMENTOS IGUAIS ....................................................................................................................... 83

2.2.1 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES ....................................................................................................................................... 84

2.3 APRESENTAÇÃO DO EXEMPLO .................................................................................................................................... 84

2.3.1 EXEMPLO 1 ...................................................................................................................................................................... 84

2.3.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 85

2.3.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 86

2.3.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 87

2.3.5 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................... 88

2.4 PERPETUIDADES ................................................................................................................................................................ 88

2.4.1 EXEMPLOS ........................................................................................................................................................................ 88

2.5 RESUMO DAS FÓRMULAS ............................................................................................................................................. 89

2.6 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS .............................................................................................................................. 89

2.6.1 EXEMPLO 1 ..................................................................................................................................................................... 89

2.6.2 EXEMPLO 2 ...................................................................................................................................................................... 90

2.6.3 EXEMPLO 3 ...................................................................................................................................................................... 90

2.6.4 EXEMPLO 4 ...................................................................................................................................................................... 91

2.6.5 EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................................................... 91

2.7 FLUXOS NÃO UNIFORMES ............................................................................................................................................ 91

2.8 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA FÓRMULA ........................... 92

2.9 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA CALCULADORA ................. 92

2.10 PAGAMENTOS BALÃO - PAGAMENTOS INTERMEDIÁRIOS ............................................................................. 93

2.10.1 EXEMPLO ........................................................................................................................................................................ 93

Matemática FinanceiraS U M Á R I O

2.10.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 93

2.10.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 94

2.10.4 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................................................ 95

2.11 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 95

UNIDADE 3 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA ...................... 95

3.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO ............................................................................................................................... 95

3.2 DESAFIO ............................................................................................................................................................................... 96

3.2.1 JOGO .................................................................................................................................................................................. 96

3.3 ESTUDO DE CASO ............................................................................................................................................................. 96

3.3.1 PAGAMENTO NO FINAL .............................................................................................................................................. 97

3.3.2 PAGAMENTO PERIÓDICO ............................................................................................................................................ 98

3.3.3 SISTEMA PRICE ............................................................................................................................................................. 101

3.3.4 SISTEMA SAC ................................................................................................................................................................. 105

3.3.5 SISTEMA SAM ............................................................................................................................................................... 107

3.4 EXEMPLO 1 ........................................................................................................................................................................ 108

3.5 EXEMPLO 2 ................................................................................................................................. 108

3.6 LISTA DE EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................... 110

3.7 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 110

3.8 AVALIAÇÃO ........................................................................................................................................................................ 110

3.9 JOGO .................................................................................................................................................................................... 110

3.10 AUTOAVALIAÇÃO .......................................................................................................................................................... 110

3.11 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS ......................................................................................................................... 110

UNIDADE 4 – ATIVIDADES ................................................................................................................ 110

4.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ............................................................................................................................................. 110

GABARITOS ...................................................................................................................................... 119

MÓDULO 4 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROJETOS ........................................................ 129

APRESENTAÇÃO ...................................................................................................................................................................... 129

ESTRUTURA DO MÓDULO 4 .............................................................................................................................................. 129

UNIDADE 1 – VPL E TIR ..................................................................................................................... 129

1.1 ILUSTRAÇÃO ..................................................................................................................................................................... 129

1.2 VPL E TIR ............................................................................................................................................................................ 129

1.2.1 VPL .................................................................................................................................................................................... 129

1.2.2 TIR ...................................................................................................................................................................................... 130

1.3 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE ............................................................................................................................. 131

1.3.1 VALOR PRESENTE DE UM PROJETO ...................................................................................................................... 131

1.3.2 FÓRMULA DO VPL ....................................................................................................................................................... 132

1.4 CÁLCULO DA TIR ............................................................................................................................................................. 132

1.5 CRITÉRIOS PARA O USO DA TIR .................................................................................................................................. 133

1.5.1 EXEMPLO 1 .................................................................................................................................................................... 133

1.5.2 EXEMPLO 2 .................................................................................................................................................................... 133

1.5.3 EXEMPLO 3 .................................................................................................................................................................... 134

1.5.4 EXEMPLO 4 .................................................................................................................................................................... 136

1.5.5 EXEMPLO 5 .................................................................................................................................................................... 137

1.5.6 EXEMPLO 6 .................................................................................................................................................................... 138


1.5.7 EXEMPLO 7 .................................................................................................................................................................... 139

1.6 CONCLUSÃO .....................................................................................................................................................................140

1.7 LISTA DE EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................................140

1.8 SÍNTESE .............................................................................................................................................................................. 140

1.9 AVALIAÇÃO ........................................................................................................................................................................140

1.10 JOGO .................................................................................................................................................................................140

1.11AUTOAVALIAÇÃO ...........................................................................................................................................................140

1.12 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS ......................................................................................................................... 140

UNIDADE 2 - ATIVIDADES ................................................................................................................. 141

2.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO .............................................................................................................................................141

GABARITOS ...................................................................................................................................... 153

2.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – DESENHO ANIMADO ................................................................................................162

2.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA ........................................................................................................................162

2.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO .......................................................................................... 163

MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL ................................................................................................ 164

MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO .............................................................................................. 165

APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................................165

ANEXOS ................................................................................................................................... 167

ANEXO 1 ........................................................................................................................................... 167

APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO ....................................................................................................167

ANEXO 2 ........................................................................................................................................... 168

GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES......................................................................................................................... 168

Matemática Financeira A B E R T U R A

9

ABERTURA

APRESENTAÇÃO

Em Matemática Financeira, trataremos dos cálculos que nos permitem manipular valores

financeiros – dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes

entre diferentes alternativas de investimentos.

Na prática, trabalharemos com o cálculo do valor de prestações e do saldo devedor de

financiamentos, de modo a identificarmos o melhor financiamento e se um determinado

investimento vai dar lucro ou prejuízo.

Tentaremos ainda determinar a viabilidade econômica de um projeto de investimento, de modo

a sabermos quanto tempo esse projeto demora para dar lucro. Para tal, discutiremos formas para

definir a rentabilidade de um investimento, de modo a selecionar o melhor investimento.

Finalmente, calcularemos quanto precisamos ter hoje para cobrir gastos futuros e quanto

deveremos cobrar de juros para termos lucro. Determinaremos ainda a taxa de juros real e a

efetiva.

Ao optar por fazer o Matemática Financeira, você optou também por participar de um novo

método de ensino – o ensino a distância. Dessa forma, você terá bastante flexibilidade para

realizar as atividades nele previstas. Embora você possa definir o tempo que irá dedicar a este

trabalho, ele foi planejado para ser concluído em um prazo determinado. Verifique sempre, no

calendário, o tempo de que você dispõe para dar conta das atividades nele propostas. Lá, estarão

agendadas todas as atividades, inclusive aquelas a serem realizadas em equipe ou encaminhadas,

em data previamente determinada, ao Professor-Tutor.

OBJETIVO E CONTEÚDO

Em Matemática Financeira, objetivamos apresentar tanto o fundamento teórico quanto a

metodologia necessária para efetuar cálculos financeiros. Buscamos, simultaneamente, oferecer

um treinamento prático, em nível executivo, por meio de exemplos numéricos e de uma série de

exercícios – acompanhados de gabaritos e comentários.

Sob esse foco, a disciplina de Matemática Financeira foi estruturada em cinco módulos, onde

foi inserido o seguinte conteúdo...

Módulo 1 – Conceitos básicos

Neste módulo, mostraremos os fundamentos e os princípios que norteiam a Matemática

Financeira, bem como suas definições e fórmulas fundamentais.

A B E R T U R A Matemática Financeira

10

Módulo 2 – Juros simples e compostos

Neste módulo, veremos como se dá o acompanhamento das aplicações financeiras

disponíveis no mercado, a partir do uso das fórmulas e dos cálculos dos juros com

capitalização simples ou composta.

Módulo 3 – Taxas e fluxos de caixa equivalentes

Neste módulo, trabalharemos com as taxas efetivas e nominais, identificando a

equivalência entre as taxas de juros das transações do mercado, construindo fluxos de

caixa, assim como calculando operações de financiamento a partir dos principais sistemas

de amortização praticados no mercado.

Módulo 4 – Introdução à análise de projetos

Neste módulo, analisaremos dois critérios muito importantes para decidir sobre que

investimento fazer – o valor presente líquido e a taxa interna de retorno.

Módulo 5 – Encerramento

Neste módulo – além da avaliação desse trabalho –, você encontrará um simulado

para avaliar o que você aprendeu durante a disciplina, além de algumas divertidas

opções para testar seus conhecimentos sobre o conteúdo desenvolvido nos módulos

anteriores: caça-palavras, jogo da memória, jogo da caça e jogo do labirinto. Entre neles

e bom trabalho!

ATIVIDADES

Aqui, foram definidos os seguintes tipos de atividades...

Autoavaliação: tarefas constituídas de questões objetivas devidamente gabaritadas,

para que você verifique até que ponto apreendeu o conteúdo tratado no módulo. Por

se tratar de autoavaliações, essas tarefas não serão encaminhadas ao Professor-Tutor e,

delas, não resultará uma nota a ser considerada em sua média final.

Exercícios de fixação: mais elaborados do que as auto-avaliações, o objetivo desses

exercícios é possibilitar que você verifique também o aprendeu sobre o conteúdo de

cada módulo. Todas as questões propostas são gabaritadas e explicadas. Os exercícios

também não devem ser enviados ao Professor-Tutor para correção e, deles, como nas

autoavaliações, não resultará uma nota a ser computada em sua média final.


11

Simulado: no módulo de encerramento – para que possa se preparar para a avaliação

presencial desta disciplina – você encontrará um simulado, ou seja, questões, com

gabarito e explicações, em formato semelhante ao de sua prova presencial. Desse

simulado também não resultará uma nota a ser computada em sua média final.

Atividade individual: tarefas individuais, visando à produção de texto escrito

relacionado a questões relevantes inerentes ao conteúdo da disciplina.

GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES

A grade de correção de atividades do Programa FGV Online tem como objetivo minimizar as

discrepâncias e as variações nas avaliações dos trabalhos de uma mesma disciplina nas diferentes

turmas ou cursos.

Do mesmo modo, por meio da grade de correção de atividades, temos a oportunidade de

garantir a transparência do processo de avaliação de nossos alunos.

A grade de correção de atividades é utilizada pelo Professor-Tutor para avaliar...

§ a atividade individual;

§ a participação individual em sala de aula.

É importante que você, ao receber o resultado de uma atividade, analise seu desempenho de

maneira detalhada. Só assim você saberá em que pontos especificamente você precisa melhorar.

A grade de correção de atividades encontra-se no Anexo 2.

SEÇÕES

Aqui você poderá navegar pelas seguintes seções...

desempenho – no site do FGV Online, na área de alunos, você terá acesso aos resultados

das avaliações feitas, podendo, assim, acompanhar o seu desempenho acadêmico, consultando

sempre que desejar a sua área de desempenho.

área de estudos – aqui você terá acesso às disciplinas em que estiver inscrito; aos módulos,

às unidades e às seções, onde está estruturada a parte teórica; às orientações para os trabalhos

individuais e em equipe, e às avaliações.

calendário – para que você possa acompanhar, com tranquilidade, as atividades aqui

propostas, fique atento ao calendário. É justamente neste espaço que serão agendados os

trabalhos a serem realizados individualmente ou em equipe.


12

biblioteca virtual – esta área funciona como um centro de recursos multimídia. Neste

espaço, ficarão a sua disposição verbetes, biografias, textos, estudos de caso, indicações de filmes

e sites...

sala de aula – por ser este espaço interativo, você poderá desenvolver trabalhos em

equipe, interagir com os demais participantes da turma e receber um atendimento personalizado

do Professor-Tutor. Pela sala de aula, você poderá acessar ainda a área de...

perfis – onde você poderá registrar seus dados pessoais, assim como saber

quem/como são seus colegas de turma e seu Professor. Este é o espaço reservado

ainda para e-mails.

MATERIAL

Aqui você terá acesso aos seguintes tipos de material, via web...

§ textos teóricos relativos à temática tratada;

§ atividades diversas;

§ jogos didáticos;

§ vídeos e desenhos animados;

§ textos complementares de diversos tipos;

§ biografias das pessoas citadas nos textos;

§ verbetes de termos técnicos, conceitos, processos...

§ links para diversos sites;

§ modelos específicos de documentos.

Todos os direitos reservados. A reprodução não autorizada deste material, no todo ou em parte,

constitui violação do copyright – Lei nº 9.610/98. Em relação às imagens que compõem as diferentes

telas, ou elas foram criadas pelo FGV Online ou foram capturadas no Corel Gallery™Gallery 1.3

Million –, tendo sido a titularidade dos direitos autorais assim definida: Direitos Autorais/Copyright

(c) 1999 FGV Online e seus licenciantes. Em relação aos desenhos animados, eles foram criados pela

AB2 Comunicação e por Rodrigo Padua, a partir de roteiros criados pelo FGV Online.

AVALIAÇÃO

Por estarmos tratando de ensino a distância, aqui não nos preocupamos em utilizar os métodos,

as técnicas e os instrumentos tradicionais de avaliação da aprendizagem. Preocupamo-nos, sim,

em criar mecanismos que nos possibilitem acompanhar seu desempenho, possibilitando ainda

que você possa reelaborar e construir o conhecimento necessário ao aperfeiçoamento que se

propõe a obter.

Ainda por se tratar de ensino a distância, estamos cientes de todas as vantagens e limitações que

um trabalho como este pode apresentar. Das vantagens, não precisamos agora falar. Acreditamos

que você poderá, concretamente, avaliá-las. Das limitações, uma que muito nos incomoda é a

percepção de solidão, que se manifesta pela ausência da sala de aula... pela necessidade do

grupo... pela falta do bate-papo dos intervalos...


13

Por estarmos conscientes disso, optamos aqui por uma metodologia centrada na interação, na

participação e na autoavaliação.

Considerando essas diretrizes, a avaliação se dará a partir das seguintes atividades...

§ atividade individual (AI): avaliada a partir da escala de 0 a 10.0 pontos;

§ participação e intervenções significativas (PI) nas reuniões síncronas e

assíncronas realizadas: avaliadas na escala de 0 a 2.0 pontos;

§ prova presencial obrigatória (PP), a ser realizada presencialmente, em data

previamente agendada, na sua instituição conveniada: avaliada na escala de 0 a

10.0 pontos.

Sua média online (MO) será assim computada...

MO = [(AI1 + AI2)/2] + PI

*Ressaltamos que a nota máxima da média online será 10.0 pontos. E sua média final será assim

calculada...

MF = (PP X 0,55) + (MO X 0,45)

BIBLIOGRAFIA

JUER, Milton. Matemática financeira. 5ª ed. Rio de Janeiro: Ibmec, 1995.

Livro didático e de referência, de ampla abrangência, com mais de 360 exercícios

resolvidos, inclusive com apoio da calculadora HP 12C, envolvendo as mais variadas

operações, desde uma simples cobrança de mora até amortizações com pagamentos

não uniformes e com incidência de tributação variada. Indicado para alunos de Economia,

Administração e Contabilidade e para profissionais que atuam no mercado financeiro,

ou em outras áreas que, de alguma forma, relacionam-se com a área financeira.

PUCCINI, Abelardo L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 1999.

Livro bastante conhecido no mercado, já na sexta edição. Apresenta uma seqüência

fácil e objetiva dos tópicos relevantes. O enfoque adotado no livro é o de privilegiar o

aspecto prático, sendo os conceitos demonstrados a partir de exemplos enquadrados

nos padrões adotados pelas Tabelas Financeiras, pela Calculadora HP-12 e pela Planilha

Eletrônica Excel. O livro apresenta também um apêndice específico para o aprendizado

do uso da calculadora HP 12C.

ZENTGRAF, Roberto. Matemática financeira objetiva. Rio de Janeiro: Zentgraf Consultoria e

Treinamento, 1997.

Apresenta um conteúdo atualizado aliado ao uso da moderna tecnologia de informática.

É um livro tecnicamente rigoroso, porém aplicado, voltado para as necessidades dos

alunos e dos profissionais com interesse em mercado de capitais e finanças.


14

NAVEGAÇÃO

O Moodle é um sistema de aprendizado baseado na web, criado para atividades individuais, em

equipe ou orientadas por um Professor-Tutor. Todo o trabalho on-line é feito por meio de um

browser.

A maioria das atividades é inserida na área de estudos. Desta seção, você poderá se dirigir a

outras seções, tais como a sala de aula – para interagir com seu Professor-Tutor – ou a biblioteca

virtual – para ler ou consultar um material.

Para exibir as disciplinas nas quais você já está inscrito, clique no botão . A seguir, clique na

disciplina que lhe interessa para exibir seu conteúdo programático na janela à direita. Nesta

seção, você acessará o conteúdo teórico disponibilizado e as atividades propostas. Para acessar a

biblioteca virtual, clique em , na barra de ferramentas.

Para realizar, adequadamente, esta disciplina, você deverá observar a seqüência em que as seções

foram organizadas. Para isso, fique atento, ao final de cada seção, às seguintes possibilidades de

navegação...

§ navegação a partir dos botões específicos da disciplina, localizados na barra de

ferramentas, na base das telas;

§ navegação a partir da função back/retorna do browser.

Para acompanhar a seqüência de telas, em qualquer seção, é suficiente clicar no botão ,

localizado na base de cada tela.

Por meio dos botões que aparecem na barra inferior de tarefas, você poderá se locomover,

livremente, revendo textos, exercícios...

Na base da tela, você encotra uma barra de controle...

Arrastando este botão, você controla o ritmo da tela.

Quando você encontrar palavras sublinhadas, você terá a opção de clicar sobre elas para ter

acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao final, basta clicar no botão da caixa aberta

para fechá-la.

Ao final de algumas seções, indicamos alguns materiais que complementam o conteúdo que

está sendo trabalhado.

Clique no ícone para acessar as informações disponibilizadas. Algumas palavras aparecem

marcadas na tela. Clique nelas para ter acesso a mais informações sobre seu conteúdo. Ao terminar

qualquer consulta a esses materiais complementares, clique em back/retorna, na barra superior

de ferramentas do browser.


15

PROGRAMAS E PLUGINS

Para que você possa usufruir de todos os recursos aqui disponibilizados, é necessário que você

tenha instalados, em seu micro, alguns programas e plugins. São eles...

§ Zip Central – programa necessário à descompactação dos arquivos em Word;

§ Adobe Acrobat Reader – programa que possibilita a visualização dos arquivos criados

pelo Adobe Acrobat;

§ Flash Player – plugin que possibilita a visualização das animações criadas em flash;

§ Windows Media Player – programa que permite a recepção de aúdios e vídeos.

PROFESSOR-AUTOR

José Carlos Abreu é Doutor em Finanças pelo Departamento de

Engenharia Industrial da PUC, Rio de Janeiro. É Mestre em Business

Administration pela Columbia University, Nova Iorque. Engenheiro

Eletrônico pela Universidade de Brasília, atuou como consultor do BCG

Consulting Group New York entre 1992 e 1993, e do General Manager da

Unipac Trading Company, Los Angeles, entre 1989 e 1992. Atualmente,

é consultor financeiro de empresas. Atua também como Professor do

Mestrado da EBAP-FGV e como Professor de cursos de Pós-Graduação lato sensu da FGV. É um dos

Coordenadores Acadêmicos do MBA em Administração de Empresas do FGV Online.

SUPORTE

Caso você tenha qualquer dúvida sobre questões administrativas ou financeiras, em relação a

pagamento, trancamento, emissão de boleto, etc., entre em contato com a Secretaria Acadêmica

dos cursos do FGV Online pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 3799-4770.

Caso sua dúvida seja sobre a utilização do programa, clique no ícone , na barra de ferramentas.

Nesse momento, será aberta uma janela de ajuda com vários itens. Selecione aquele a que se

refere sua questão. Caso não consiga esclarecê-la, entre em contato com o suporte técnico do

FGV Online, pelo e-mail [email protected] ou pelo telefone (21) 3799-4770...

§ de segunda a sexta-feira, das 9h às 22h30min;

§ aos sábados e aos domingos, das 9h às 18h.

Lembre-se...

Estamos aqui, no FGV Online, prontos para ajudá-lo a realizar bem este trabalho!

Bom trabalho...

Matemática Financeira M Ó D U L O 1

17

MÓDULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS

INTRODUÇÃO

A transformação do valor do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da fixação dos juros, ou

seja, do custo do dinheiro ao longo do prazo...

Vamos começar com um desenho animado? Acesse-o, no ambiente on-line. São só 3

minutos...

Leia, no ambiente on-line, parte de um arquivo que mostra, de forma clara, a

transformação do valor do dinheiro no tempo...

APRESENTAÇÃO

Em Matemática Financeira, trataremos dos cálculos que nos permitem manipular valores

financeiros – dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes

entre diferentes alternativas de investimentos.

Na prática, trabalharemos com o cálculo do valor de prestações e do saldo devedor de

financiamentos, de modo a identificarmos qual o melhor financiamento e se um determinado

investimento vai dar lucro ou prejuízo.

Inserimos, ao final do módulo, uma bateria de exercícios de fixação, para que você possa neles

aplicar o conteúdo aqui tratado. Mais ainda... esses exercícios foram organizados por grau crescente

de dificuldade.

Lembre-se... na base da tela de cada exercício, disponibilizamos links, para que você possa acessar

tanto a calculadora financeira quanto o gabarito e as explicações para esta questão.

ESTRUTURA DO MÓDULO 1

Este primeiro módulo tem apenas duas unidades: princípio básico e valor do dinheiro no

tempo.

Vamos para a primeira?

UNIDADE 1 – PRINCÍPIO BÁSICO

1.1 PRINCÍPIO BÁSICO

A Matemática Financeira é uma ferramenta que nos auxilia a tomar decisões financeiras ótimas.

Uma decisão financeira ótima é aquela que visa à maximização da riqueza dos investidores. E essa

riqueza se estabelece a partir do valor do dinheiro no tempo... R$ 1,00 hoje vale mais do que R$

1,00 no futuro.

Matemática FinanceiraM Ó D U L O 1

18

1.2 CONCEITUAÇÃO

Partindo da premissa de que existem aplicações financeiras disponíveis – poupança, renda fixa,

títulos do governo... – podemos hoje aplicar R$ 1,00 e, no futuro, teremos esse R$ 1,00 mais os

juros referentes a essa aplicação.

São justamente os juros que remuneram a aplicação de nosso dinheiro ao longo do tempo. Assim,

se aplicamos R$ 100,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês, ao final de um mês de aplicação,

teremos R$ 110,00.

Logo...

§ R$ 100,00 hoje equivalem a R$ 110,00 daqui a um mês;

§ R$ 100,00 hoje não são a mesma coisa que R$ 100,00 daqui a um mês.

Receber R$ 100,00, hoje, vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um mês.

1.2.1 EXEMPLO

Suponha que você esteja vendendo uma impressora antiga por R$ 100,00. Você recebe duas

propostas...

§ proposta A: pagamento à vista de R$ 100,00;

§ proposta B: pagamento de R$ 105,00 daqui a um mês.

O que é melhor?

§ Receber R$ 100,00 hoje?

§ Receber R$ 105,00 daqui a um mês?

Ora, se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$ 100,00 à

vista – proposta A –, pois poderá aplicá-los e, em um mês, terá R$ 110,00, que valem mais do que

os R$ 105,00 da proposta B.

1.2.2 EXEMPLO 2

Vejamos um outro exemplo para essa mesma situação. Suponha agora que você receba uma

terceira proposta para esse equipamento...

§ proposta C: pagamento de R$ 120,00 daqui a um mês.

E agora, o que é melhor?

Veja...

Se a taxa de juros para aplicações é 10% ao mês, você deve preferir receber os R$

120,00 daqui a um mês – proposta C –, pois, se você aceitar a proposta A – R$ 100,00

hoje – e aplicar o que recebeu, você terá, ao fim de um mês, R$ 110,00, que valem

menos do que estaria recebendo pela proposta C.


19

1.3 POSSIBILIDADES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

A Matemática Financeira trata dos cálculos que nos permitem manipular valores financeiros –

dinheiro – ao longo do tempo, com o objetivo de fazer comparações consistentes entre diferentes

alternativas de investimentos.

Na prática, a Matemática Financeira é uma ferramenta que nos permite...

§ calcular o valor de uma prestação;

§ calcular o saldo devedor de um financiamento;

§ decidir qual o melhor financiamento dentre vários;

§ verificar se um determinado investimento vai dar lucro ou prejuízo;

§ verificar se é melhor alugar ou comprar um equipamento;

§ saber quanto devemos poupar mensalmente para atingir um determinado objetivo;

§ saber o lucro que teremos em uma operação financeira;

§ verificar a viabilidade econômica de um projeto de investimento;

§ saber quanto tempo um projeto demora para dar lucro;

§ saber quanto deveríamos ter hoje para cobrirmos gastos futuros;

§ definir quanto devemos cobrar de juros para ter lucro;

§ determinar qual é a taxa de juros real e efetiva que estamos pagando/recebendo;

§ determinar a rentabilidade de um investimento;

§ escolher qual é o melhor investimento dentre vários.

1.4 SÍNTESE

Acesse, no ambiente on-line, a síntese desta unidade.

UNIDADE 2 – VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO

2.1 CONCEITUAÇÃO

Partimos da premissa de que existem inúmeros investimentos disponíveis – poupança, renda

fixa... – que podem ser realizados por qualquer investidor que disponha de capital. Sabemos

ainda que todo o capital aplicado, em qualquer investimento, recebe uma remuneração que

pode ser maior ou menor, dependendo do tipo de investimento feito.

Todo capital parado e não investido – que não está sendo remunerado – perde o que poderia

estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de oportunidade

perdido.


20

2.2 VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO

Em princípio, estamos todos no tempo presente. Quando recebemos ou aplicamos algum valor

hoje... agora... neste instante... isso significa que este valor é o valor presente.

Quando vamos receber ou pagar ou aplicar algum valor no futuro, no ano que vem, no mês que

vem... isso significa que tal valor é o valor futuro.

Como a Matemática Financeira baseia-se, fundamentalmente, em convenções, um valor

considerado futuro – VF – pode ser também um valor presente – VP – em relação a outro valor

alocado mais no futuro.

2.2.1 OPERAÇÃO FINANCEIRA

Sabemos também que, em toda operação financeira, existem pelo menos dois lados...

§ o lado do investidor ou emprestador;

§ o lado do tomador.

Assim, quando depositamos algum dinheiro na poupança, nós somos o investidor; a instituição do

depósito é o tomador, que recebe nosso investimento.

Se depositamos hoje – saída de caixa – um valor presente – também chamado de principal –,

esperamos receber futuramente – entrada de caixa – um valor futuro, que deve ser igual à soma

de nosso investimento inicial – valor presente – com os juros dessa aplicação.

Operação financeira é o nome genérico que o mercado utiliza para referir-se

a operações de empréstimos, financiamentos, desconto antecipado de duplicatas,

aplicação em fundos de investimentos e outros. Em resumo, são as transações que

efetuamos no dia a dia, sejam de aplicação ou de captação de recursos.

O Valor Presente é usualmente representado por VP. Nas calculadoras

financeiras, é comum encontrarmos a sigla PV – Presente Value. Há ainda autores

que preferem se referir ao VP como capital inicial, Principal ou, simplesmente, P.

O Valor Futuro é usualmente representado por VF. Nas calculadoras

financeiras, é comum encontrarmos a sigla FV – Future Value. Há ainda autores

que preferem se referir ao VF como montante – S –, data futura ou,

simplesmente, F.

VF


21

2.2.2 OPERAÇÕES FINANCEIRAS E PRAZOS

Visando à padronização dos prazos, comerciantes medievais adotaram algumas regras

simplificadoras dos cálculos, criando o mês e o ano comerciais.

Segundo a convenção adotada, o mês comercial tem 30 dias, enquanto o ano, por ser decomposto

em exatos 12 meses, tem, portanto, 360 dias.

2.3 JUROS E TAXA DE JUROS

Juro é o valor que se paga ao investidor por sua aplicação – investimento – durante um determinado

período de tempo, ou seja, com um prazo determinado.

Para calcularmos os juros, precisamos da taxa de juros pactuada entre as partes, do valor da

operação e do prazo.

Por exemplo, se a taxa de juros é 10% ao ano e o valor da operação é R$ 1.000,00, então os juros

relativos a um ano de aplicação serão de R$ 100,00.

2.3.1 UNIDADE DE MEDIDA

As taxas de juros são apresentadas sempre em referência a uma unidade de tempo: ano, semestre,

trimestre, mês, dia.

Logo...

§ 12% ao ano = 12% a.a.;

§ 10% ao mês = 10% a.m.

Os economistas ainda definem juros como sendo a remuneração do uso do

fator capital financeiro. O conceito de juros também pode ser entendido como...

§ o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, o custo do

capital de terceiros colocado a nossa disposição;

§ a remuneração do capital empregado em atividades produtivas ou

ainda a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital

nelas aplicado;

§ o aluguel do capital alheio.

A taxa de juros, como indica o próprio nome, é uma TAXA, geralmente

expressa em base percentual, por exemplo, 10% ao ano.


22

Assim...

Um capital de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no

final de 1 ano, um total de juros. Qual é esse total?

Esse total será de...

8% de 10.000,00 = (8 / 100) x 10.000,00 = R$ 800,00

2.3.1.1 PADRONIZAÇÃO

Ao efetuarmos cálculos com taxas de juros, devemos sempre adotar uma única unidade de

tempo. Se temos as taxas de juros em anos e o número de períodos em meses, devemos colocar

o tempo em anos, ou então colocar os juros em meses.

Retornando ao problema anterior...

Um capital de R$ 10.000,00, aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a., proporcionará, no

final de 12 meses, um total de juros. Qual é esse total?

Para calcular esse total, devemos transformar, inicialmente, o prazo de 12 meses em seu equivalente

anual – 1 ano. Teremos, então, a taxa de juros e o tempo da aplicação na mesma unidade de

tempo, isto é, em anos.

Teremos, então...

8% de 10.000,00 = (8 / 100) x 10.000,00 = R$ 800,00

2.4 JUROS SIMPLES

Os juros são, normalmente, classificados em simples ou compostos, dependendo do processo de

cálculo utilizado. Entendemos como juros simples aqueles calculados em função do capital inicial.

Juros com capitalização simples...

Juros que incidem sobre o valor inicial de um empréstimo. Em outras palavras, sobre os

juros não pagos, não incide cobrança / pagamento de juros.

2.4.1 EXEMPLO

Se você aplicou R$ 100,00 em CDB – aplicação que lhe renderá juros simples com taxa

de 10% a.a. –, veja o saldo dessa aplicação ao final de 4 anos...


23

Ano Saldo Taxa Base para Juros do Saldo

(início do ano) (juros) cálculo período (final do ano)

1 R$100,00 10% R$100,00 R$10,00 R$110,00 (p/ próx. ano)

2 R$110,00 10% R$100,00 R$10,00 R$120,00 (p/ próx. ano)

3 R$120,00 10% R$100,00 R$10,00 R$130,00 (p/ próx. ano)

4 R$130,00 10% R$100,00 R$10,00 R$140,00 (p/ final)

Aqui, existe uma outra variável a considerar. Esse banco não permite que o aplicador retire os juros

de cada período. Assim, apesar de os juros estarem à disposição do banco, eles nunca foram

remunerados.

Caso esse banco permitisse que o investidor retirasse os juros – ainda que continuasse a não

remunerar os juros remanescentes –, você passaria a ter uma entrada nova de capital por conta da

eventual aplicação que pudesse fazer com os juros recebidos em outra instituição financeira.

Neste caso, você estaria recebendo os juros dessa nova aplicação sobre a aplicação dos juros.

Seria um caso de juros compostos.

2.5 JUROS COMPOSTOS

Nesta categoria, os juros de cada período são calculados sempre em função do saldo existente no

início de cada respectivo período.

2.5.1 EXEMPLO 1

Se você aplicou R$ 100,00 em CDB – aplicação que lhe renderá juros compostos a

uma taxa de 10% a.a. –, veja o saldo dessa aplicação ao final de 4 anos...

Ano Saldo Taxa Base para Juros do Saldo

(início do ano) (juros) cálculo período (final do ano)

1 R$100,00 10% R$100,00 R$10,00 R$110,00

2 R$110,00 10% R$110,00 R$11,00 R$121,00

3 R$121,00 10% R$121,00 R$12,10 R$133,10

4 R$133,10 10% R$133,10 R$13,31 R$146,41

Em 4 anos, já podemos notar a diferença entre uma capitalização de juros simples e uma de juros

compostos.

Juros com capitalização composta...

Juros que são calculados sobre o saldo devedor de um empréstimo, que

inclui o principal e os juros ainda não pagos, a cada período. Em outras

palavras, juros que incidem sobre os juros devidos e não pagos.


24

2.5.2 EVOLUÇÃO DO VALOR COM CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Veja a evolução do valor de R$ 100,00, aplicado por 20 anos, a uma taxa de 10% ao ano, com

capitalização simples e com capitalização composta...

Repare... Aplicações com juros simples evoluem linearmente...Quando os juros são compostos, a

evolução é exponencial.

2.6 SÍNTESE


2.7 AVALIAÇÃO

Acesse, no ambiente on-line, a avaliação deste módulo.

2.8 JOGO

Acesse, no ambiente on-line, um jogo sobre o conteúdo deste módulo.

UNIDADE 3 – ATIVIDADES

3.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Alguém tem alguma dúvida?! Então vamos aos exercícios de fixação!

3.1.1 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Não deixe de resolver os exercícios de fixação propostos no ambiente on-line.


25

MÓDULO 2 – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

APRESENTAÇÃO

Neste módulo, veremos como se dá o acompanhamento das aplicações financeiras disponíveis

no mercado, a partir do uso das fórmulas e dos cálculos dos juros com capitalização simples ou

composta.



de dificuldade.


tanto a calculadora financeira quanto gabarito e as explicações para esta questão.


Você já teve uma visão geral sobre os juros simples e compostos. Vejamos isso, agora, de forma

mais detalhada.

Este módulo está estruturado em duas unidades: juros simples e juros compostos.

Pronto para começar?

Temos bastante trabalho pela frente!

UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES

1.1 CONCEITUAÇÃO

Hoje, quando você investe determinado valor presente – VP, também chamado de principal –, a

uma determinada taxa de juros i, por um prazo n, você espera receber no futuro um valor futuro

– VF – que deve ser igual a seu principal mais os juros.

Os juros simples são calculados como sendo o produto entre o valor principal (VP), a taxa de juros

(i) e o prazo (n)...

Juros com capitalização simples...

Juros que incidem sobre o valor inicial de um empréstimo. Em outras

palavras, sobre os juros não pagos não incide cobrança de juros.

Juros = VP x i x n


26

Fórmulas já utilizadas

Juros simples...

Juros = VP x i x n

VF = VP + VP x i x n


A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro VF é...

Essa fórmula mostra que...

Valor Futuro = Valor Presente + Juros

Onde...

§ VP é o valor presente inicial;

§ VF é o valor futuro;

§ i é a taxa de juros – abreviatura que vem do inglês interest;

§ n é o prazo da aplicação – número de períodos.

1.1.1 EXEMPLO 1

Suponha que você ligue para o seu banco querendo aplicar R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês,

pelo prazo de 1 mês. Quanto você deverá receber de juros?

VP = 100

i = 0,1

n = 1

Aplicando a fórmula... Juros = VP x i x n

Substituindo os valores e calculando... Juros = 100 x 0,1 x 1

Obtemos... Juros = 10

E com quanto você ficaria ao final da operação?

Aplicando a fórmula... VF = VP + Juros

Substituindo os valores e calculando... VF = 100 + 10

Obtemos... VF = 110

Lembre-se de que a taxa de juros normalmente é expressa em base

percentual, 10%. Para colocarmos esse valor na fórmula, devemos utilizar a taxa de

juros em base decimal, isto é, 0,1.


27

1.1.2 EXEMPLO 2

Após somar todas as vendas, você verificou que o bazar beneficente realizado com sua amiga

rendeu R$100,00. Por ela ter um perfil conservador, sugeriu que você aplicasse esse dinheiro a

uma taxa de juros simples de 2% ao mês, durante dois anos. Qual seria o valor futuro obtido ao

final dessa operação?

A partir do enunciado e das conversões que devem ser feitas, temos o seguinte...

VP = 100

i = 0,02

n = 24

VF = ?

§ temos de colocar a taxa de juros em base decimal, em que 2% equivalem a 0,02.

§ você deve transformar o tempo expresso em anos para meses, ou seja, você deve

demarcar o tempo – duração do investimento – como 24 meses, já que a taxa de

juros está expressa em meses;

Aplicando a fórmula... VF = VP + VP x i x n

Substituindo os valores... VF = 100 + 100 x 0,02 x 24

Calculando... VF = 100 + 48

Obtemos... VF = 148

Obs.: Alternativamente, você poderia resolver esse mesmo problema – juros simples –

representando a taxa de juros em anos – no lugar de transformar o período da operação de anos

para meses. Para fazer isso, bastaria multiplicar a taxa mensal por 12, já que o ano tem 12 meses.

Lembre-se de que para efetuarmos os cálculos, a taxa de juros deve estar

na mesma unidade de tempo que os períodos de aplicação.

Por exemplo, se você tem uma taxa de juros simples de 10% ao mês, sua

aplicação deve estar explicitada em meses.

Lembre-se de que as operações de multiplicação e divisão devem ser feitas

antes das operações de soma e subtração.


28

Inicialmente, você deve transformar a taxa fornecida em meses para anos, de forma a fazê-la

concordar com a mesma unidade de tempo do período da aplicação. Fazendo as contas, obtemos

a taxa anual como sendo 2% x 12 = 24% ao ano. Não se esqueça de colocar a taxa de juros em

base decimal, ou seja, 24% são 0,24 em decimal.


Substituindo os valores... VF = 100 + 100 x 0,24 x 2


Obtemos... VF = 148

Somente quando estamos tratando de juros simples, a conversão da taxa de meses para anos

pode ser feita dessa maneira.

1.1.3 EXEMPLO 3

Daqui a um ano, você precisará ter R$ 1.200,00. Considerando que você tenha conseguido uma

aplicação cuja taxa de juros seja de 20% ao ano, no regime de juros simples, quanto você

precisaria aplicar hoje?

VF = 1.200

n = 1

i = 0,2

VP = ?


Substituindo os valores... 1.200 = VP + VP x 0,2 x 1

Calculando... 1.200 = VP + 0,2 VP

Substituindo... 1.200 = 1,2 VP

Trocando de lado... 1,2 VP = 1.200

Dividindo ambos os lados por 1,2... VP = 1.200 / 1,2

Obtemos... VP = 1.000

1.1.3.1 LISTA DE EXERCÍCIOS

Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios desta unidade.

Lembre-se de que a taxa de juros normalmente é expressa em base

percentual, 20%. Para colocarmos esse valor na fórmula, devemos utilizar a taxa de

juros em base decimal, isto é, 0,2.


29

UNIDADE 2 – OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES

2.1UTILIZAÇÃO DOS JUROS SIMPLES

O conceito de juros que vimos até agora (Juros = VF - VP) não muda...

A mudança se dá na fórmula que relaciona as variáveis VF, VP, i e n... Veja...

Conforme vimos anteriormente, os juros correspondem à diferença entre o

valor futuro e o valor presente de um investimento. Logo...

A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro

VF, quando tratamos de capitalização composta, é...

2.2 TAXAS DE DESCONTO BANCÁRIO

As taxas de desconto bancário, na maioria das vezes, são expressas em termos de juros, com

capitalização simples, salvo indicação em contrário dos bancos ou dos exercícios que iremos

fazer.

Os juros que ocorrem nos prazos comerciais são chamados de juros comerciais. Essas operações

não costumam considerar os juros exatos.

Juros exatos são os que levam em consideração os dias, os meses e os anos civis.

Assim como existem as taxas de desconto, existem as taxas de rentabilidade...

Juros = VF - VP

VP é o valor presente inicial

i é a taxa de juros

n é o prazo da aplicação

VF é o valor futuro.

VF = VP (1 + i)n


30

2.3 TAXA DE RENTABILIDADE

A taxa de rentabilidade i é aplicada sobre o valor presente, durante n períodos, para produzir o

valor futuro. Por outro lado, a taxa de desconto D é aplicada sobre o valor futuro, durante n

períodos, para obtermos o valor presente.

Essas relações podem ser representadas da seguinte forma...

2.3.1 TAXAS DE DESCONTO VERSUS TAXA DE RENTABILIDADE

Quando falamos em ir ao banco para aplicar, hoje, um valor de R$ 100,00, a uma taxa de 10% de

juros simples ao ano, para obtermos um valor futuro de R$ 110,00 daqui a 1 ano, estamos falando

em taxa de rentabilidade.

Assim...

10% de 100,00 são 10,00, pois a rentabilidade é calculada sobre VP.

Quando falamos em ir ao banco para realizar uma operação de desconto de um título – duplicatas,

por exemplo –, com valor futuro de R$ 110,00 daqui a 1 ano, a uma taxa de 10% de juros simples

ao ano, para obter, hoje, o valor de R$ 99,00, estamos falando em taxa de desconto.

Assim...

10% de 110,00 são 11,00, pois o desconto é calculado sobre VF.

2.4 DESCONTOS

O conceito de taxas de desconto bancário normalmente é utilizado nas operações bancárias de...

§ desconto de duplicatas;

§ desconto de promissórias.

2.4.1 DESCONTO DE DUPLICATAS

Quando uma empresa vende uma mercadoria, ela emite uma nota fiscal. De acordo com a lei,

essa nota fiscal deve ter algumas vias – cópias eletrônicas ou de papel...

§ uma via acompanha a mercadoria vendida e fica com o comprador;

§ a segunda permanece com o vendedor e é encaminhada para a contabilidade da

empresa que vendeu a mercadoria;


31

§ uma terceira via deve permanecer fixada ao talão de notas fiscais;

§ dependendo da legislação em vigor, podem ser exigidas ainda outras vias.

Caso essa empresa necessite de dinheiro, os bancos podem adiantar-lhe os valores que ela tem

a receber de seus compradores. Na verdade, o que o banco faz é adiantar os pagamentos que ela

tem a receber dos clientes na data estabelecida para esses pagamentos.

Denominamos esse processo de desconto de duplicata. Obviamente, o banco cobra uma taxa por

esse adiantamento. Ele cobra esse valor adiantado, liberando para a empresa – vendedora da

mercadoria, que está descontando a duplicata – um valor menor que o valor do pagamento a ser

feito no futuro pelo comprador da mercadoria.

Veja, no ambiente on-line, um caso de desconto de duplicatas...

2.4.2 DESCONTO DE PROMISSÓRIAS

O conceito de desconto de promissórias é o mesmo do de desconto de duplicatas. Uma promissória

é um instrumento de confissão de dívida.

O emitente da promissória é aquele que a assina, reconhecendo que deve e que vai pagar

determinado valor em data fixada neste mesmo documento.

Vimos, até aqui, que o conceito de desconto é diferente do de rentabilidade. Será que existe,

então, alguma fórmula específica para calcularmos o desconto? Vejamos a seguir...

2.4.2.1 FÓRMULA PARA DESCONTO

Você aplicou R$ 100,00, a uma taxa de 10% ao mês, por 1 mês. Qual deverá ser o valor futuro que

você vai receber ao final da aplicação?

Aplicando a fórmula... Valor futuro = Valor presente + Juros

Desdobrando-a em... VF = VP + (VP x i x n)

Substituindo os valores... VF = 100 + (100 x 0,1 x 1)


Obtemos... VF = 110

Vamos analisar a lógica desta fórmula...

Valor futuro = Valor presente + Juros

Juros = VP x i x n

VF = VP + (VP x i x n)

A diferença entre o valor liberado hoje e o valor a receber no futuro são os

juros da operação de desconto de duplicatas. Esse é o retorno que o banco obtém

por adiantar – emprestar – recursos a quem deles está necessitando agora.


32

2.4.2.1.1 CÁLCULO

Como os juros para desconto de títulos são calculados sobre o valor futuro, devemos registrar...

Juros (desconto) = VF x i x n

E como o valor que vamos receber hoje – VP – é igual ao valor futuro – VF – menos os juros

descontados, devemos registrar...

Valor presente = VF - Juros

Substituindo uma fórmula por outra para chegarmos à fórmula para desconto, teremos...

Juros (desconto) = VF x i x n

Aplicando a fórmula do valor presente após o desconto e substituindo os juros na fórmula do VP...

VP = VF - VF x i x n

Colocando VF em evidência...

VP = VF (1 - i x n) g fórmula do desconto

2.4.2.2 FÓRMULA PARA RENTABILIDADE

Vamos analisar a lógica desta fórmula...

Nossa primeira fórmula de juros simples já é uma fórmula baseada no conceito de rentabilidade...

VF = VP + (VP x i x n)

De qualquer maneira, colocando VP em evidência, ficamos com uma fórmula visualmente

semelhante à do desconto...

VF = VP (1 + i x n) g fórmula da rentabilidade


Juros simples...

Juros = VP x i x n


Fórmula do desconto bancário (capitalização simples)

VP = VF (1 - i x n)


33

2.4.2.3 EXEMPLO 1

Você vendeu hoje uma mercadoria a um cliente por R$ 10.000,00, com pagamento acertado para

daqui a 2 meses – 60 dias. Contudo, ainda hoje, antes de partir para uma viagem ao Japão, você

precisa de dinheiro para fechar a folha de pagamentos de sua empresa. Você decide ir ao Banco

Forte e descontar a duplicata relativa a essa venda.

Suponha que o gerente do Banco Forte lhe informe que a taxa de desconto está fixada em 3% ao

mês, a juros simples. Quanto você vai receber, se descontar essa duplicata?

A partir do enunciado, percebemos o seguinte...

§ tenho de usar a fórmula de desconto;

§ o valor que tenho a receber no futuro é R$10.000,00.

VF = 10.000

n = 2

i = 0,03

Aplicando a fórmula... VP = VF (1 - i x n)

Substituindo os valores... VP = 10.000 (1 - 0,03 x 2)

Calculando... VP = 10.000 (0,94)


O valor a receber hoje é R$ 9.400,00.

Se você vai receber hoje R$ 9.400,00 por essa operação, qual é a taxa de rentabilidade do Banco

Forte?


Juros simples...

Juros = VP x i x n



VP = VF (1 - i x n)

Fórmula da rentabilidade

VF = VP (1 + i x n)

Temos de colocar a taxa de juros em base decimal. Assim, 3% equivalem a 0,03.


34

2.4.2.4 EXEMPLO 2

Se você vai receber hoje R$ 9.400,00 por essa operação, qual é a taxa de rentabilidade do Banco

Forte?

VF = 10.000

VP = 9.400

n = 2

i = ?

Aplicando a fórmula da rentabilidade... VF = VP (1 + i x n)

Substituindo os valores... 10.000 = 9.400 (1 + i x 2)

Calculando... 10.000 = 9.400 + 18.800 i

Invertendo ambos os termos... 9.400 + 18.800 i = 10.000

Passando 9.400 para o outro lado... 18.800 i = 10.000 - 9.400

Passando 18.800 para o outro lado... i = (10.000 - 9.400) / 18.800

Obtemos... i = 0,03191

A taxa de rentabilidade do Banco Forte, a juros simples, é de 3,19% ao mês.

2.4.2.5 EXEMPLO 3

Um banco comercial realiza operações de desconto de notas promissórias de acordo com os

seguintes critérios, a juros simples...

§ o prazo da operação é de 3 meses;

§ a taxa cobrada pelo banco é de 2% ao mês, ou seja, de 6% ao trimestre;

§ os juros são pagos antecipadamente.

Assim, se o cliente desejar realizar uma operação de R$ 100.000,00, deverá assinar uma nota

promissória nesse valor com vencimento para 3 meses. Os dados dessa operação podem, então,

ser assim resumidos...

§ valor liberado hoje pelo banco: R$ 94.000,00;

§ prazo n da operação: 3 meses;

§ valor a ser pago no final do terceiro mês: R$ 100.000,00;

§ a taxa de desconto é de 2% ao mês, com juros simples.

Como os juros da operação serão de 6% de R$100.000,00, isto é,

R$ 6.000,00, o valor líquido recebido pelo cliente, na data da operação, será de R$

94.000,00, uma vez que os juros são pagos antecipadamente.


35

Em referência à taxa de 2,00% a.m., podemos destacar...

§§§§§ ela é conhecida como taxa de desconto bancário, pois, ao ser aplicada sobre o

montante – VF – de R$100.000,00, determinará um desconto mensal de R$2.000,00.

Esses descontos mensais de R$2.000,00, por sua vez, ao serem acumulados por 3

meses, proporcionarão um desconto total de R$6.000,00 e, com isso, transformarão

o montante de R$100.000,00 em R$ 94.000,00;

§§§§§ essa taxa é sempre aplicada sobre o montante pelo número de períodos que for

estabelecido.

Qual é a taxa de rentabilidade, isto é, qual é a taxa necessária para que R$ 94.000,00, aplicados

com juros simples ao mês, tenham, em 3 meses, um valor futuro de R$ 100.000,00?

Utilizando i como a taxa de juros, de rentabilidade ao mês... 94.000 x i x 3 = 6.000

Calculando i... i = 0,02128, ou seja, i = 2,128% a.m.

Em referência à taxa de 2,128% a.m., podemos destacar...

§ ela corresponde à taxa i da expressão genérica do regime de juros simples;

§ ela é conhecida como taxa de rentabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o principal

de R$ 94.000,00, determinará uma rentabilidade mensal de R$ 2.000,00 sobre

esse valor. Esses juros mensais de R$ 2.000,00, ao serem acumulados por 3 meses,

proporcionarão uma rentabilidade total de R$ 6.000,00 e, com isso, transformarão

o principal de R$ 94.000,00 no montante de R$ 100.000,00;

§ essa taxa é sempre aplicada ao principal pelo número de períodos que for

estabelecido.

2.5 LISTA DE EXERCÍCIOS

Acesse, no ambiente on-line, a lista de exercícios sobre o conteúdo desta unidade.

2.6 SÍNTESE



36

UNIDADE 3 – JUROS COMPOSTOS

3.1 CONCEITUAÇÃO

O conceito de juros que vimos até agora (Juros = VF - VP) não muda... A mudança se dá

na fórmula que relaciona as variáveis VF, VP, i e n... Veja...

Como vimos anteriormente, os juros correspondem à diferença entre o valor futuro e o valor

presente de um investimento. Logo...

Vimos que, quando investimos, hoje, determinado valor presente – também chamado de Principal

–, a uma determinada taxa de juros por um prazo, esperamos receber, no futuro, um valor futuro,

que deve ser igual a seu principal mais os juros. Ou seja...

VF = VP + Juros

Expresso de outra forma...

Juros = VF - VP

A fórmula que relaciona valor presente VP, taxa de juros i, prazo n e valor futuro VF, quando

tratamos de capitalização composta, é...

Onde...

§ VP é o valor presente inicial;

§ VF é o valor futuro;

§ i é a taxa de juros;

§ n é o prazo da aplicação.

VF = VP (1 + i )n

Juros = VF - VP


Juros simples...

Juros = VP x i x n



VP = VF (1 - i x n)


VF = VP (1 + i x n)

Juros compostos...

VF = VP (1 + i)n


37

3.1.1 EXEMPLO 1

Imagine que você tenha depositado, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10% ao ano,

capitalizados anualmente de forma composta, para formar uma poupança para seu filho. Quanto

ele terá se resgatar o dinheiro daqui a 1 ano?

VP = 1.000

n = 1

i = 0,1

VF = ?

Podemos resolver este problema de quatro maneiras...

Utilizando o conceito geral...

Valor dos juros por ano... Valor do principal x Taxa de juros

Valor dos juros ao final do ano 1... 1.000 x 0,1 = 100

Valor do principal... 1.000

VF = Juros + Valor do principal... 100 + 1.000 = 1.100

Utilizando a fórmula...

Juros compostos... VF = VP (1 + i)n

Substituindo os valores... VF = 1.000 (1 + 0,1)1

Calculando... VF = 1.000 (1,1)

Obtemos... VF = 1.100

Utilizando a calculadora financeira...

Optamos por utilizar, neste curso, a calculadora financeira HP-12C. É claro que

você pode trabalhar com outra calculadora financeira, mas, neste caso, preste

bastante atenção aos botões de sua calculadora... Além de serem visualmente

diferentes, eles podem realizar outras funções que não as da calculadora que

vamos utilizar nos exemplos deste curso.

A grande maioria das calculadoras apresenta as seguintes teclas com

abreviações em inglês...

PV = Present Value, em português é VP, valor presente;

FV = Future Value, em português é VF, valor futuro;

n = Number of Periods, em português é n, número de períodos;

i = Interest Rate, em português é i, taxa de juros;

PMT = Payments, em português é PGTO, valor de pagamentos/

recebimentos intermediários / prestações.


38

Digitando 1.000 mais a tecla...

PV: valor presente – present value – expresso no enunciado.

Digitando 10 mais a tecla...

i: taxa de juros de 10% ao ano em base percentual.

Na calculadora financeira, devemos digitar o valor da taxa de juros em base percentual.


n: prazo em anos.


PMT: valor dos pagamentos / das retiradas periódicas – periodic payment.

Utilizando o “excel”...

Acesse, no ambiente on-line, uma simulação no “excel”.

Para que usar a calculadora financeira?

Para poupar tempo e trabalho repetitivo. Por exemplo, considere um conjunto

de 10 pagamentos sobre os quais incida cobrança de juros. Para calcular o total

dos juros, você deve calcular os juros de cada pagamento individualmente

para, então, somar e obter o total. Com uma calculadora financeira, basta entrar

com os valores dos pagamentos e fornecer a taxa de juros que a máquina

calculará todos os juros, apresentando o resultado final já consolidado.


39

Digitando FV = ? – valor futuro a ser calculado...

A calculadora apresentará no visor -1.100,00. O sinal do FV é negativo porque ele é

sempre o oposto do sinal do valor presente. Sempre que o PMT for igual a zero, o sinal

do valor em VF será diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora,

um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.

3.1.2 EXEMPLO 2

Imagine que você tenha depositado, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10% ao ano,

capitalizados de forma composta, para formar uma poupança para seu filho. Quanto ele terá, se

resgatar o dinheiro daqui a 2 anos?

VP = 1.000

n = 2

i = 0,1

VF = ?

Utilizando o conceito geral...

Aproveitando os cálculos que já havíamos feito, sabemos que, no final do primeiro ano, seu filho já

teria R$ 1.100, 00.

Quando não existirem os pagamentos intermediários, isto é, pagamentos ao

longo do tempo, teremos apenas VP e VF, pois PMT será zero.

É bom lembrar que essa operação na calculadora financeira só vai funcionar se

você digitar os valores de 4 das 5 variáveis – FV, PV, PMT, n e i – para pedir a

quinta.

Preciso colocar zero na calculadora, mesmo quando o valor for zero?

As calculadoras têm memória. Mesmo quando você desliga e liga a máquina,

os valores que estavam em determinadas posições da memória permanecem.

Suponha que você acabe de resolver um problema financeiro em que o valor

do PMT tenha sido 150. Suponha agora que você decida iniciar a resolução de

um novo problema em que o PMT seja zero. Se você não colocar explicitamente

PMT = 0 na máquina, a memória continuará a registrar PMT com o valor 150.

Então, se você tentar resolver esse problema sem indicar PMT=0, obterá um

resultado errado.

Ao utilizar a calculadora financeira, não se esqueça de limpar os registros de

cálculos anteriores teclando f FIN.


40

Valor dos juros para o ano 2... Saldo Anterior x Taxa de juros

Substituindo os valores... 1.100 x 0,1 = 110

Valor total = valor dos juros do ano 1 + valor dos juros do ano 2 + principal

Substituindo os valores... 100 + 110 + 1.000 = 1.210,00


Juros compostos... VF = VP (1 + i)n


Calculando... VF = 1.000 (1,1)2

Calculando... VF = 1.000 (1,21)

Obtemos... VF = 1.210



PV: valor presente – present value – expresso no enunciado.


i: taxa de juros de 10% ao ano em base percentual.


n: prazo em anos.


PMT: valor dos pagamentos.

Digitando FV = ? – valor futuro a ser calculado...

A calculadora apresentará no visor -1.210,00. O sinal do FV é negativo porque ele

indica um pagamento – saída de caixa –, ou seja, o oposto do sinal do valor presente,

que, por sua vez, é o valor do empréstimo – entrada de caixa. O sinal do valor em VF

será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora, um valor

é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.



3.1.3 EXEMPLO 3

Um empresário aplicou R$1.000,00, capitalizados de forma composta, por 2 anos – juros anuais –

para montar uma reserva para a primeira festa de final de ano que seria comemorada por todos os

funcionários de sua empresa. Passados os dois anos, ele resgatou R$1.210,00. Qual foi a taxa de

juros que incidiu sobre seu capital inicial?


longo do tempo, teremos apenas VP e VF. O PMT será igual a zero. De qualquer

forma, como dissemos anteriormente, é preciso digitar 0, PMT.


41

VP = 1.000

n = 2

VF = 1.210

i = ?

Podemos resolver este problema de três maneiras...


Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1 + i)n

Substituindo os valores... 1.210 = 1.000 (1+ i)2

Calculando... (1 + i)2 = 1.210 / 1.000

Calculando... (1 + i)2 = 1,21

Calculando a raiz de ambos os lados... (1 + i) = 1,1

1 + i = 1,1

i = 1,1 - 1

Obtemos... i = 0,1 = 10%



PV: valor presente apresentado no enunciado do problema.

Digitando -1.210 mais a tecla...

FV: valor futuro, ou seja, digite 1210 mais a tecla CHS para inverter o sinal e obter -1210.


n: prazo em anos.


PMT: valor dos pagamentos / das retiradas periódicas.

Teclando, então, o botão i, a calculadora apresentará no visor 10, que significa 10%.

O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto

que, para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-

versa.

Para digitarmos um valor negativo na HP 12-C, temos de digitar o valor e,

em seguida, a tecla CHS, que significa Change Signal – em português, mudar

de sinal.

Por isso, digitamos 1210, CHS e FV. Informamos, assim, que VF = -1210.





42



3.1.4 EXEMPLO 4

Depois de ter sido cobaia de uma experiência científica, Dr. Albideres perdeu a noção do tempo.

Imagine que ele tenha pedido emprestados, hoje, R$ 1.000,00, a serem pagos com juros de 10%

ao ano, capitalizados de forma composta. Supondo que, para quitar o que deve, ele deva pagar

R$ 1.210,00 na data do vencimento, qual é o prazo desse empréstimo?

Problemas que pedem prazo ou taxa de aplicação envolvem cálculos trabalhosos. Por

isso, geralmente usamos a calculadora. De qualquer maneira, vejamos três maneiras

de calcular o prazo desse empréstimo...


Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1 + i)n

Substituindo os valores... 1.210 = 1.000 (1+ 0,1)n

Calculando... 1,21 = (1,1)n

Calculando o logaritmo de ambos os lados... Ln 1,21 = Ln 1,1n

Lembrando que... Ln Ax = x Ln A

Calculando... Ln 1,21 = n Ln 1,1

Onde... n = Ln 1,21 / Ln 1,1

n = 0,19062036 / 0,09531018

Obtemos... n = 2

Como fazer operações com logaritmos?

Você não precisa usar os logaritmos. Utilizando a calculadora financeira, você

pode calcular diretamente o número n de período de um investimento. Essas

operações com logaritmos foram aqui colocadas apenas a título de ilustração

para aqueles que são mais afeitos à matemática e que gostam de chegar à

solução de um problema com o uso das fórmulas e com o uso da calculadora.

Não é objetivo deste curso o estudo dos logaritmos.

Para quem quiser, a fórmula para cálculo de n...

n = Ln (VF / VP) / Ln (1 + i)

Ou...

n = log (VF / VP) / log (1 + i)

Ln significa logaritmo neperiano – base e; log indica logaritmo decimal – base 10.


43



PV: valor presente apresentado no enunciado do problema.

Digitando -1.210 mais a tecla...



i: taxas de juros de 10% em base percentual.



A calculadora apresentará 2 no visor, o que significa 2 anos.



3.1.5 EXEMPLO 5

Rafaela ficou sem dinheiro para pagar a última mensalidade do curso de Biblioteconomia. Passados

dois anos, chegou em sua casa uma cobrança com as seguintes especificações...

O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que,

para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.



de sinal.





A calculadora HP-12C utiliza a convenção de final de período e, dessa forma,

eventualmente, apresenta o resultado de n um pouco diferente do da fórmula.

O resultado de n da HP-12C não é uma aproximação, mas uma convenção.

Total da dívida: R$1.210,00*

*Sobre o valor inicial da dívida, foi aplicada uma taxa de juros de 10% ano,

capitalizados de forma composta, por 2 anos.


44

Rafaela, então, se perguntou... Quanto estava devendo há dois anos?

Vejamos três maneiras de calcular este valor...


Aplicando a fórmula para juros compostos... VF = VP (1+i)n

Substituindo os valores... 1.210 = VP (1+ 0,1)2

Calculando... VP = 1.210 / (1,1)2



Digitando -1210 mais a tecla...



i: taxas de juros de 10% em base percentual.


n: prazo em anos.



Teclando, então, o botão PV, a calculadora apresentará no visor 1000.





O sinal do valor em VF será sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que,

para a calculadora, um valor é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.



de sinal.






45

3.3 SÍNTESE


3.4 AVALIAÇÃO


3.5 JOGO




QUESTÃO 1

Um de seus sonhos mais antigos é realizar uma viagem a Fortaleza durante o reveillon.

A Rhapsody oferece viagens de 7 dias e 6 noites para Fortaleza, a partir de R$ 1.260,00.

Você tem hoje (t=0) R$ 1.000,00 para aplicar a juros simples, com uma taxa de 10% ao

ano.

Daqui a três anos, você terá o valor necessário para realizar esse sonho?

a) Você não terá o valor necessário pois faltam ainda R$ 260,00.

b) Você terá o valor necessário para a viagem e ainda sobram R$ 260,00.

c) Você precisaria obter mais R$ 31,00 para pagar a viagem.

d) Você terá os recursos necessários porém não temos como calculá-los.

e) Você terá os recursos para viajar e ainda sobram R$ 40,00.


46

QUESTÃO 2

Hoje, você tem R$ 2.000,00. Se você investir em uma instituição bancária, terá, em 2

anos, R$ 2.400,00 para comprar uma nova máquina fotográfica.

Qual é a taxa de juros simples anual que a instituição está pagando para sua aplicação?

a) A instituição está pagando uma taxa de 40% ao ano.

b) A instituição está pagando uma taxa de 20 % ao ano.

c) A instituição está pagando uma taxa de 10% ao ano.

d) A instituição está pagando uma taxa de 5% ao ano.

e) A instituição está pagando uma taxa de 400% ao ano.

QUESTÃO 3

Você tem, hoje, R$ 10.000,00 e deseja obter o valor necessário para pagar a entrada de

um carro que custa R$ 19.000,00.

Para ter este valor total – juros mais principal –, você precisa aplicar seu dinheiro, a uma

taxa de juros simples de 30% ao ano.

Quanto tempo você deve deixar seu dinheiro aplicado para obter a entrada do

automóvel?

a) Você deve deixar os recursos aplicados por 3 anos.

b) Você deve deixar os recursos aplicados por 9 anos.

c) Você deve deixar os recursos aplicados por 1 ano.

d) Você deve deixar os recursos aplicados por 30 anos.

e) Você deve deixar os recursos aplicados por 90 anos.


47

QUESTÃO 4

Você precisa ter R$ 17.760,00, daqui a quatro anos, para comprar uma nova impressora.

Para tal, decidiu fazer uma aplicação, com taxa de juros simples de 12% ao ano.

Qual deve ser hoje o valor dessa aplicação?

a) Hoje você deve depositar R$ 17.760,00.

b) Hoje você deve depositar R$ 5.760,00.

c) Hoje você deve depositar R$ 12.760,00.

d) Hoje você deve depositar R$ 12.000,00.

e) Hoje você deve depositar R$ 5.000,00.

QUESTÃO 5

Você resolveu aplicar R$ 2.000,00 a juros simples, por 4 anos, em ações do Banco Porto.

Essas ações apresentam uma taxa de rentabilidade de 20% ao ano.

Qual será o valor futuro que você obterá com essas ações?

a) O valor futuro será R$ 1.600,00.

b) O valor futuro será R$ 2.000,00.

c) O valor futuro será R$ 8.000,00.

d) O valor futuro será R$ 2.600,00.

e) O valor futuro será R$ 3.600,00.


48

QUESTÃO 6

Você é encarregado de contas a pagar em sua empresa. Os pagamentos que vencem

hoje – contas a pagar – montam a R$ 236.000,00.

Você tem mais de R$ 1.000.000,00 em contas a receber de diversos clientes, porém o

vencimento de todas elas é daqui a 90 dias.

O banco com que você trabalha cobra uma taxa de 2% ao mês, para descontar

duplicatas.

Qual o valor mínimo das duplicatas que você deve descontar junto ao banco, para fazer

hoje os pagamentos?

a) Você deve entregar R$ 764.000,00 em duplicatas.

b) Você deve entregar R$ 251.063,83 em duplicatas.

c) Você deve entregar R$ 457.840,00 em duplicatas.

d) Você deve entregar R$ 236.000,00 em duplicatas.

e) Você deve entregar R$ 15.063,83 em duplicatas.

QUESTÃO 7

Você vendeu mercadorias a um restaurante no valor de R$ 2.400,00, concedendo 60

dias para o pagamento.

O banco com o qual você trabalha desconta duplicatas a uma taxa de 7% ao mês.

Se você descontar esse título, quanto receberá do banco hoje?

a) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.064,00.

b) O banco deve creditar em sua conta R$ 4.464,00.

c) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.790,70.

d) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.736,00.

e) O banco deve creditar em sua conta R$ 2.232,00.


49

QUESTÃO 8

Você vai ao banco para descontar uma nota promissória, no valor de R$ 1.300,00, com

vencimento em 10 de dezembro de 2008.

Hoje é dia 11 de dezembro de 2005. O banco lhe informa que as taxas de desconto

simples estão fixadas, hoje, em 10% ao ano.

O desconto é efetuado no ato e você recebe o líquido da promissória menos os juros.

Quanto você receberá, hoje, se concordar com a taxa e efetuar o desconto?

a) Você deverá receber hoje R$ 390,00.

b) Você deverá receber hoje R$ 910,00.

c) Você deverá receber hoje R$ 2.210,00.

d) Você deverá receber hoje R$ 1.610,00.

e) Você deverá receber hoje R$ 1.690,00.

QUESTÃO 9

Você precisa de R$ 4.000,00, daqui a 2 anos, para pagar sua festa de formatura. Hoje,

você possui R$ 3.000,00.

Você resolve aplicar esse dinheiro a uma taxa de 20% a. a., no regime de juros simples.

Se você aplicar esse capital, o montante acumulado será suficiente para cobrir as

despesas?

a) Não. Você obterá R$ 200,00 de juros daqui a dois anos.

b) Sim. Você obterá R$ 1.200,00 de juros daqui a dois anos.

c) Sim. Você obterá R$ 4.200,00 de juros daqui a dois anos.

d) Não. Você obterá R$ 600,00 de juros daqui a dois anos.

e) Não. Você obterá R$ 300,00 de juros daqui a dois anos.


50

QUESTÃO 10

Você precisa de dinheiro para injetar em sua empresa. Você não tem dinheiro em

espécie, mas realizou muitas vendas a prazo e tem diversas contas a receber nos

próximos 90 dias.

Sua opção é descontar sua carteira nos bancos e recebê-las antecipadamente, a um

valor menor.

O banco com o qual você trabalha tem uma taxa de juros para desconto de duplicatas de 36% ao

ano.

Sua carteira de títulos passíveis de desconto é constituída de...

R$ 145.000,00, em títulos com vencimento em 30 dias.



Qual é o valor que você receberá hoje do banco, pelo desconto de todos esses títulos?

a) Você receberá hoje do banco R$ 520.890,00 pelo desconto das 3 duplicatas.

b) Você receberá hoje do banco R$ 140.650,00 pelo desconto das 3 duplicatas.

c) Você receberá hoje do banco R$ 223.720,00 pelo desconto das 3 duplicatas.

d) Você receberá hoje do banco R$ 156.520,00 pelo desconto das 3 duplicatas.

e) Nenhuma das respostas acima.

QUESTÃO 11

Você precisa realmente emagrecer e resolveu economizar para ir a uma spa. Para tal,

você aplicou hoje R$ 100,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.

Quanto você terá daqui a dois anos?

a) Você terá, daqui a dois anos, R$ 121,00.

b) Você terá, daqui a dois anos, R$ 100,00.

c) Você terá, daqui a dois anos, R$ 120,00.

d) Você terá, daqui a dois anos, R$ 110,00.

e) Você terá, daqui a dois anos, R$ 21,00.


51

QUESTÃO 12

Há 6 anos, você está economizando para comprar uma nova televisão. Para tal, você

aplicou hoje R$ 100,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.

Quanto você terá – valor futuro – daqui a 6 anos?

a) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 160,00.

b) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 177,16.

c) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 77,15.

d) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 110,00.

e) Você terá, daqui a 6 anos, R$ 121,00.

QUESTÃO 13

Você pretende viajar em suas próximas férias. Para ter, daqui a 12 meses, a quantia

necessária para essa vigem, você fará uma aplicação.

A taxa paga pelo banco é 3% ao mês no regime de juros compostos.

Quanto você deve aplicar hoje – valor presente – para ter R$ 1.000,00, daqui a 12 meses?

a) Você deve aplicar hoje R$ 1.000,00.

b) Você deve aplicar hoje R$ 70,14.

c) Você deve aplicar hoje R$ 701,38.

d) Você deve aplicar hoje R$ 200,00.

e) Você deve aplicar hoje R$ 964,00.


52

QUESTÃO 14

Você tem R$ 1.000,00, porém precisa comprar um equipamento que custa o dobro

deste valor.

Felizmente, os preços estão estáveis há alguns anos. Isso significa que você pode fazer

uma aplicação a juros compostos e, daqui a 1 ano, comprar o equipamento pelo mesmo

preço.

Qual é a taxa de juros anual para aplicação que lhe renderá esse valor?

a) A taxa de juros esperada é de 50% ao ano.

b) A taxa de juros esperada é de 1.000% ao ano.

c) A taxa de juros esperada é de 200% ao ano.

d) A taxa de juros esperada é de 100% ao ano.

e) A taxa de juros esperada é de 10% ao ano.

QUESTÃO 15

Você decidiu investir na casa própria. Para tal, você aplicará R$ 222.000,00, a juros

compostos, por 14 anos.

A taxa paga pelo banco é de 20% ao ano.

Após 14 anos, qual o valor futuro que você espera obter com essa aplicação?

a) Você espera obter R$ 2.800.000,00.

b) Você espera obter R$ 2.850.298,99.

c) Você espera obter R$ 280.000,00.

d) Você espera obter R$ 1.850.298,99.

e) Você espera obter R$ 1.950.000,00.


53

QUESTÃO 16

Você precisa dar um jeito em sua biblioteca. Para isso, você irá pegar um empréstimo

que deve ser pago em 3 parcelas...

§ a primeira, em 3 meses, no valor de R$ 20,00;

§ a segunda, em 6 meses, no valor de R$ 15,00;

§ a terceira, em 9 meses, no valor de R$ 10,00.

Porém, você gostaria de trocar esses 3 pagamentos por um único pagamento, no final

do segundo mês. A taxa de juros acertada com o banco é 12% ao mês.

Qual seria o valor desse pagamento?

a) O valor desse pagamento seria de R$ 11,91.

b) O valor desse pagamento seria de R$ 45,00.

c) O valor desse pagamento seria de R$ 50,40.

d) O valor desse pagamento seria de R$ 31,91.

e) O valor desse pagamento seria de R$ 60,10.

QUESTÃO 17

Você deve receber R$ 1.200,00 como restituição do imposto de renda, daqui a 6

meses. Contudo, você desejaria ter capital, agora, para comprar um computador novo.

Seu banco lhe ofereceu um empréstimo que pode ser liberado, hoje, em sua conta

corrente, cujo pagamento será realizado com a transferência de seu crédito do IR para

o banco. Para essas operações de crédito, a taxa de juros composta cobrada pelo banco

é de 3,5% ao mês.

Qual é o valor que o banco deve creditar hoje em sua conta?

a) O valor a ser liberado hoje é de R$ 976,20.

b) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.200,00.

c) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.344,00.

d) O valor a ser liberado hoje é de R$ 243,37.

e) O valor a ser liberado hoje é de R$ 1.410,37.


54

QUESTÃO 18

Você precisa economizar para comprar um brinquedo novo para seu filho. Para tal,

você investiu um principal em uma aplicação financeira.

A taxa de juros paga pelo banco é de 3% ao mês, no regime composto. No final do

quarto mês, o valor do montante é de R$ 100,00.

Qual era o valor do montante no final do primeiro e do sétimo meses?

a) O montante ao final do primeiro mês foi R$103,00; e o do sétimo mês foi R$ 127,00.

b) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 91,51; e o do sétimo mês foi R$ 109,27.

c) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 9,51; e o do sétimo mês foi R$ 10,92.

d) O montante ao final do primeiro mês foi R$ 82,54; e o do sétimo mês foi R$ 119,62.

QUESTÃO 19

Sua esposa deseja muito um carro novo. Você deseja fazer uma aplicação, para aumentar

seu capital em 50% ao fim de 5 meses.

Qual deve ser a taxa de juros mensal composta para que seu capital aumente 50%?

a) A taxa de juros é de 8,447% ao mês.

b) A taxa de juros é de 2,50% ao mês.

c) A taxa de juros é de 5,00% ao mês.

d) A taxa de juros é de 6,789% ao mês.

e) A taxa de juros é de 4,80% ao mês.


55

QUESTÃO 20

Para preparar a festa de aniversário de seu filho, você pediu um empréstimo de R$ 1.000,00,

a ser pago com uma nota promissória no valor de R$ 1.100,00, cuja data de vencimento

é daqui a um ano. A taxa de juros anunciada foi de 10% ao ano.

Ao dirigir-se ao caixa para receber esse empréstimo contratado, o caixa lhe entrega R$ 550,00 e

o seguinte recibo para você assinar...

§ Valor bruto do empréstimo: R$ 1.000,00.

§ Taxa de abertura de cadastro: R$ 120,00.

§ Taxa de liberação de crédito: R$ 140,00.

§ Taxa de liberação de empréstimo: R$ 30,00.

§ Comissão do agente: R$ 60,00.

§ Taxa de manutenção: R$ 45,00.

§ Taxa de cliente VIP: R$ 55,00.

§ Total dos descontos: R$ 450,00.

§ Valor líquido a receber: R$ 550,00.

Qual é a taxa real de juros que essa financeira está cobrando? A taxa de juros de 10%

anunciada configura propaganda enganosa?

a) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 100% ao ano.

b) Não. A propaganda não é enganosa. A taxa real cobrada é de 10% ao ano.

c) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 120% ao ano.

d) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 112,64% ao ano.

e) Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 92,94% ao ano.


56

GABARITOS

QUESTÃO 1

Gabarito: Você terá os recursos para viajar e ainda sobram R$ 40,00.

QUESTÃO 2

Gabarito: A instituição está pagando uma taxa de 10% ao ano.


57

QUESTÃO 3

Gabarito: Você deve deixar os recursos aplicados por 3 anos para obter um carro novo.

QUESTÃO 4

Gabarito: Você deve depositar hoje 12.000,00 para conseguir, no futuro, sua impressora nova.

QUESTÃO 5

Gabarito: O valor futuro será R$ 3.600,00.


58

QUESTÃO 6

Gabarito: Você deve entregar ao banco para desconto um valor mínimo de R$ 251.063,83 em

duplicatas.

QUESTÃO 7

Gabarito: O banco deve creditar em sua conta R$ 2.064,00.

QUESTÃO 8

Gabarito: Você deverá receber hoje R$ 910,00.


59

QUESTÃO 9

Gabarito: Sim. Você obterá R$ 1.200,00 de juros daqui a 2 anos, mais do que o bastante para sua

festa de formatura, pois o montante final será de R$ 4.200,00.

QUESTÃO 10

Gabarito: Você receberá hoje do banco R$ 520.890,00 pelo desconto das 3 duplicatas.


60

QUESTÃO 11

Gabarito: Você terá, daqui a 2 anos, R$ 121,00.


61

QUESTÃO 12

Gabarito: Você terá, daqui a 6 anos, R$ 177,16.


62

QUESTÃO 13

Gabarito: Você deve aplicar hoje R$ 701,38.

QUESTÃO 14

Gabarito: A taxa de juros esperada é de 100% ao ano.


63

QUESTÃO 15

Gabarito: Você espera obter R$ 2.850.298,99.

QUESTÃO 16

Gabarito: O valor de um único pagamento no final do segundo mês seria de R$ 31,91.


64


65

QUESTÃO 17

Gabarito: O valor a ser liberado – creditado – hoje é de R$ 976,20.

QUESTÃO 18

Gabarito: O principal do montante ao final do primeiro mês foi de R$ 91,51, enquanto o valor do

montante ao final do sétimo mês foi de R$ 109,27.


66

QUESTÃO 19

Gabarito: A taxa de juros desejada é de 8,447% ao mês.

QUESTÃO 20

Gabarito: Sim. A propaganda é enganosa. A taxa real cobrada é de 100% ao ano.


67

4.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – ANIMAÇÃO

Antes de iniciar a próxima tarefa, assista à animação, no ambiente on-line, que introduz a

problemática da Atividade Individual Regime de Capitalização.

4.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA

Nessa atividade individual, vamos analisar o custo do dinheiro ao longo do tempo.

Por esta tarefa, você poderá receber de 0 a 10 pontos.

Observe a grade de correção utilizada pelo Professor-Tutor na avaliação dessa atividade,

disponível no Anexo 2.

Acesse, na biblioteca virtual, a categoria de formatação de trabalhos acadêmicos.

INFORMAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE INDIVIDUAL

Objetivo

Refletir sobre custo do dinheiro ao longo do tempo.

Tarefa

A transformação do valor do dinheiro no tempo só pode ser feita a partir da determinação

dos juros, ou seja, do custo do dinheiro ao longo do tempo.

Partindo dessa afirmação, elabore um texto...

§ apontando os pontos positivos e negativos dos regimes de capitalização – simples

e composta –, considerando, no dia-a-dia das empresas, tanto a aplicação quanto a

captação de recursos;

§ posicionando-se sobre o regime de capitalização mais adequado à aplicação e à

captação de recursos pela empresa.

Registro do trabalho

Registre os dados desta tarefa na Matriz de atividade individual. Para tal...

§ acesse o arquivo com a Matriz de atividade individual, disponível no ambiente

on-line;

§ abra o arquivo;

§ salve esse arquivo em seu computador;

§ preencha a matriz com os dados de seu trabalho;

§ salve seu trabalho;

§ encaminhe o trabalho ao Professor-Tutor para correção.


68

4.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO

Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta atividade começam no início

desta seção, ou seja, na tela de animação.

Não se esqueça de verificar a data agendada para esta atividade no calendário.

Para saber como apresentar seu trabalho ao Professor na sala de aula, leia o Anexo 1.


69

MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL*

*Esta matriz serve para a apresentação de trabalhos a serem desenvolvidos segundo ambas as

linhas de raciocínio: lógico-argumentativa ou lógico-matemática.


71

MÓDULO 3 – TAXAS E FLUXOS DE CAIXA EQUIVALENTES

APRESENTAÇÃO

Neste módulo, trabalharemos com as taxas efetivas e nominais, identificando a equivalência

entre as taxas de juros das transações do mercado, construindo fluxos de caixa, assim como

calculando operações de financiamento a partir dos principais sistemas de amortização praticados

no mercado.



de dificuldade.




Você já deve ter ouvido falar em sistema PRICE, em sistemas de amortizações constantes etc., né?

Neste módulo, trabalharemos com os sistemas de amortização.

Antes, porém, trabalharemos com o cálculo das taxas de juros equivalentes e sua

conversão a partir de taxas nominais e taxas efetivas.

Este módulo está estruturado em duas unidades: taxas equivalentes, nominais, efetivas

e proporcionais, e sistemas de amortização e equivalência de fluxos de caixa.


UNIDADE 1 – TAXAS EQUIVALENTES, NOMINAIS, EFETIVAS E PROPORCIONAIS

1.1 ILUSTRAÇÃO

Um jornal publica a seguinte manchete...

Antes de comprar a casa, é preciso poupar...

Alguns bancos focados em financiamento de imóveis criam linhas específicas. Há

instituições oferecendo uma taxa nominal de 12% a.a. capitalizados mensalmente.


72

1.2 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Nessa manchete, o banco anuncia uma taxa nominal. A taxa nominal é bastante utilizada no

mercado, entretanto, seu valor nunca é usado nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva.

O que realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal, pois é ela que será

efetivamente aplicada em cada período de capitalização. São exemplos de taxas nominais...

§ 12% ao ano, capitalizados mensalmente;

§ 24% ao ano, capitalizados semestralmente;

§ 10% ao ano, capitalizados trimestralmente.

A transformação da taxa nominal em taxa efetiva é sempre realizada no regime de capitalização

simples, por convenção de mercado, mesmo que o problema a ser resolvido envolva capitalização

composta...

1.3 TAXAS EQUIVALENTES

Em Matemática Financeira, dizemos que duas ou mais taxas são equivalentes quando o regime

de capitalização é composto. Quando o regime de capitalização é simples, as taxas equivalentes

são chamadas de proporcionais. Assim, duas ou mais taxas serão proporcionais quando, ao serem

aplicadas a um mesmo principal, durante um mesmo prazo, no regime de capitalização simples,

produzirem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo.

Taxa nominal é aquela em que a unidade de referência de tempo não

coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é

quase sempre fornecida em termos anuais, enquanto os períodos de capitalização

podem ser semestrais, trimestrais ou mensais.

Período de capitalização é o período no qual os juros de uma aplicação são

creditados – liberados – para o investidor e cobrados do tomador do empréstimo.

Nesse sentido, capitalização mensal significa que os juros são pagos – creditados /

cobrados – mensalmente. Logo, a capitalização diária significa que os juros são

pagos – creditados / cobrados – diariamente.

Taxa efetiva é aquela em que a unidade de referência de tempo coincide

com as unidades de tempo dos períodos de capitalização.

Assim...

§ 3% ao mês, capitalizados mensalmente;

§ 4% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;

§ 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;

§ 10% ao ano, capitalizados anualmente.


73

1.3.1 EQUIVALÊNCIA COM JUROS SIMPLES

Como sabemos, devemos registrar as taxas de juros e os prazos das operações financeiras nas

mesmas unidades de tempo. Ocorre que, às vezes, as taxas de juros são apresentadas em anos –

20% ao ano, por exemplo –, enquanto nossa aplicação renderá apenas alguns meses – 4 meses,

por exemplo. Nesses casos, devemos converter a taxa de juros anual para sua equivalente mensal.

Ao tratarmos de juros simples, a fórmula de equivalência no tempo é...

Taxa Mensal x 12 = Taxa Anual

ou

im

x 12 = ia

Onde...

§ im

é a taxa de juros mensal;

§ ia é a taxa de juros anual.

Assim, se temos uma taxa mensal de 1%, a taxa semestral equivalente é...

1% x 6 = 6%

Por estarmos tratando de proporcionalidade, esse cálculo pode ser efetuado também por regra

de três.

1.3.1.1 GENERALIZAÇÃO

Taxa mensal (im

) para taxa anual (ia) ——————————

Taxa mensal (im

) para taxa semestral (is) ————————

Taxa diária (id) para taxa mensal (i

m) ——————————

Taxa anual (ia) para taxa mensal (i

m) ——————————

Taxa mensal (im

) para taxa trimestral (id) ————————

Equivalente significa, então, de mesmo valor, ou que vale a mesma coisa.

Duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um

mesmo principal, durante um mesmo prazo, produzem, ao final desse prazo, um

mesmo montante.

ia = i

m x 12

im

= id

x 30

id = i

m / 30

im

= ia / 12

is = i

m x 6

id

x 360 = im

x 12 = it x 4 = i

s x 2 = i

a


74

1.3.2 EXEMPLO 1

Para entendermos o significado de uma taxa nominal, precisamos identificar as taxas efetivas

implícitas nas taxas nominais...

12% a.a. capitalizados mensalmente são

transformados em uma taxa efetiva de... 12% a.a. / 12 meses = 1% ao mês

24% a.a. capitalizados semestralmente são

transformados em uma taxa efetiva de... 24% a.a. / 2 semestres = 12% ao semestre

10% a.a. capitalizados trimestralmente são

transformados em uma taxa efetiva de... 10% a.a. / 4 trimestres = 2,5% ao trimestre

Lembre-se de que você deve sempre usar esse procedimento para determinar a taxa

efetiva embutida na taxa nominal.

1.3.3 EXEMPLO 2

Uma determinada empresa solicitou a dois bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas

– todas com vencimento dentro de 3 meses.

O banco comercial BX realiza suas operações de desconto de duplicatas com uma taxa de desconto

de 2% a.m., porém, exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade

bancária.

Outra instituição – o banco BW – anuncia que cobra uma taxa de desconto de 2,75% ao mês, sem

nenhuma taxa adicional, nem qualquer reciprocidade do cliente.


Juros simples...

Juros = VP x i x n



VP = VF (1 - i x n)


VF = VP (1 + i x n)

Fórmula da equivalência

id

x 360 = im

x 12 = it x 4 = i

s x 2 = i

a

Juros compostos...

VF = VP (1 + i)n


75

A empresa analisou as duas propostas e optou por realizar a operação com o banco BX.

1.3.3.1 RESOLUÇÃO

Uma determinada empresa solicitou a 2 bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas -

todas com vencimento dentre de 3 meses.

Proposta Banco CX - taxa de desconto de duplicatas - 2% a.m.*

* O banco exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária.

Proposta Banco BW - taxa de desconto de duplicatas - 2,75% ao mês, sem taxas adicionais, nem

qualquer reciprocidade do cliente.

Qual foi o valor creditado na conta da empresa e qual a taxa de rentabilidade mensal do banco BX,

a juros simples, sem o saldo médio?

Valor a ser creditado...

VP = VF (1 - i x n)

VP = 1.000.000 (1 - 0,02 x 3)

A taxa de desconto anunciada pelo Banco BX é de 2% ao mês. Para substituirmos essa

taxa na fórmula, devemos usar o formato decimal.

As duplicatas da empresa que está realizando a operação vencem em 3 meses. Este é,

pois, o prazo da operação.

VP = 940.000,00

Reciprocidade bancária

São exigências que as instituições fazem, eventualmente, para realizar

operações financeiras para seus clientes. Exemplo disso é a exigência de um

saldo médio na conta de uma empresa para realizar o desconto de duplicatas.

Além dos juros de uma operação bancária, essas operações apresentam custos

adicionais, já que, na prática, a taxa de juros efetivamente paga é superior à taxa

anunciada.

Se o Banco BX não exigisse saldo médio, utilizando a fórmula para desconto,

poderíamos calcular o valor que seria creditado...

Uma vez descoberto o VP, podemos calcular a taxa de rentabilidade...


76

Taxa de rentabilidade mensal...

VF = VP (1 + i x n)

1.000.000 = 940.000 (1 + i x 3)

i = 0,02128 = 2,128% ao mês.

Agora que já temos o VP da operação sem saldo médio, vamos guardar esse valor, para ver qual foi

o valor creditado na conta da empresa, que teve de deixar um saldo médio parado no banco...

1.3.3.2 CONTINUAÇÃO

Uma determinada empresa solicitou a 2 bancos o desconto de R$ 1.000.000,00 em duplicatas – todas com

vencimento dentro de 3 meses.

Proposta Banco BX – taxa de desconto de duplicatas – 2% a.m.*

*O banco exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título de reciprocidade bancária.

Proposta Banco BW – taxa de desconto de duplicatas – 2,75% ao mês, sem taxas adicionais, nem

qualquer reciprocidade do cliente.

Qual foi o valor creditado na conta da empresa e qual a taxa de rentabilidade mensal do Banco BX,

a juros simples, com o saldo médio?

O saldo médio exigido pelo banco é 30% de R$ 1.000.000,00, ou seja, R$ 300.000,00.

Na prática, é como se o banco, por ocasião da liberação dos recursos, fizesse uma

retenção de R$ 300.000,00.

Assim, o valor líquido efetivamente disponível será de R$ 640.000,00 (R$ 940.000,00 –

R$ 300.000,00).

Nesse caso, R$ 300.000,00 ficarão parados no banco durante os 3 meses.

Na liquidação da operação - ao final do 3º mês -, a empresa precisará desenbolsar

apenas R$ 700.000,00, pois o banco já dispõe dos R$ 300.000,00 que nunca foram

utilizados pela empresa.

Considerando o saldo médio, aplicando a fórmula para desconto, vamos descobrir a taxa efetiva

dessa operação...

Taxa de desconto paga...

VP = VF (1 - i x n)

640.000 = 700.000 (1 - i x 3)

640.000 = 700.000 (1 - 3i)

Quando aplicamos a fórmula para desconto com os valores fornecidos pela

proposta do Banco BX, descobrimos que o VP seria de R$ 940.000,00.


77

640.000 = 700.000 - 2.100.000i

2.100.000i = 700.000 - 640.000

i = 60.000 / 2.100.000 = 0,02857 = 2,857% ao mês.

Taxa de rentabilidade mensal...

VF = VP (1 + i x n)

700.000 = 640.000 (1 + i x 3)

i = 3,125%

1.4 OPERAÇÕES COM JUROS SIMPLES

Quando se trata de juros simples, as taxas equivalentes são também proporcionais. A relação é

linear.

Para podermos tomar decisões administrativas, devemos calcular a taxa de juros que, na prática,

estamos pagando sobre um empréstimo. Reciprocidades bancárias e cobranças adicionais

embutem taxas de juros maiores.

1.5 OPERAÇÕES COM JUROS COMPOSTOS

Ao tratarmos de juros compostos, a fórmula de equivalência no tempo é...

Onde...

§§§§§ im

é a taxa de juros mensal;

§§§§§ ia

é a taxa de juros anual.

Sendo que a taxa de rentabilidade do BX é de...

A taxa realmente cobrada pelo Banco BX é de 2,857% ao mês. A empresa

teria feito melhor negócio se tivesse optado pelo Banco BW, que cobra 2,75% ao

mês para desconto de duplicatas.

Cobranças adicionais...

Referem-se a cobranças de valores para liberação de crédito, análise de

cadastro, confecção de fichas, tarifas...

(1 + im

)12 = (1 + ia)


78

Por estarmos tratando de juros compostos, não existe proporcionalidade. Logo, não podemos

efetuar esses cálculos por regra de três.

Taxa mensal (im

) para taxa anual (ia) ——————————

Taxa mensal (im

) para taxa semestral (is) ————————

Taxa diária (id) para taxa mensal (i

m) ——————————

Taxa mensal (im

) para taxa trimestral (it) ————————

1.5.1 APLICAÇÃO

Lembrando...

Quando se trata de juros compostos, taxas equivalentes não são proporcionais. Em

juros simples, taxas equivalentes são proporcionais.

Vejamos alguns exemplos...

A taxa de juros em regime de capitalização composta de 10% ao mês é equivalente a

21% ao bimestre.

Exemplo numérico...

R$100,00, aplicados a 10% ao mês, valerão, em 2 meses, R$121,00.

(1 + id)360 = (1 + i

m)12 = (1 + i

t)4 = (1 + i

s)2 = (1 + i

a)


Juros simples...

Juros = VP x i x n



VP = VF (1 - i x n)


VF = VP (1 + i x n)


id

x 360 = im

x 12 = it x 4 = i

s x 2 = i

a

Juros compostos...

VF = VP (1 + i)n


(1 + id)360 = (1 + i

m)12 = (1 + i

t)4 = (1 + i

s)2 = (1 + i

a)

(1 + im

)12 = (1 + ia)

(1 + id)30 = (1 + i

m)

(1 + im

)3 = (1 + it)

(1 + im

)6 = (1 + is)


79

A taxa de juros em regime de capitalização composta de 1% ao mês é equivalente a

12,6825% ao ano.

Exemplo numérico...

R$100,00, aplicados a 1% ao mês, terão um valor futuro, em 1 ano, de R$112,68.

Veja como chegamos a esse número...


A fórmula para conversão é... (1 + im

)12 = (1 + ia)

Substituindo os valores... (1 + 0,01)12 = (1 + ia)

Calculando... (1,01)12 = (1 + ia)

1,12682503 = 1 + ia

1,12682503 - 1 = ia

Invertendo os lados... ia = 0,12682503

ia = 12,6825% ao ano

1.5.1.1 EXEMPLO 1

João resolveu aplicar seu dinheiro para poder comprar um supercomputador. Qual o montante

que João acumulará, ao final de 12 meses, a partir de um principal de R$1.000,00, com uma taxa

de juros de 1% a.m., no regime de juros compostos?

Vejamos três maneiras de resolver este problema...

VP = 1.000

n = 12

VF = ?

i = 0,01


Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i)n

Substituindo os valores... VF = 1.000 (1,01)12

Obtemos... VF = 1.126,83

Temos de colocar a taxa de juros em base decimal. Assim, 1% equivale a

0,01 – forma unitária.


80



PV: valor presente.


i: taxas de juros de 1% ao mês.


n: prazo do empréstimo em meses.



Teclando, então, o botão....

FV: valor futuro.

A calculadora apresentará no visor: -1.126,83.



1.5.1.2 EXEMPLO 2

Resolveremos o mesmo problema, só que, agora, tendo a taxa de juros anual como base.

João resolveu aplicar seu dinheiro para poder comprar um supercomputador. Qual o montante

que João acumulará, ao final de 1 ano, a partir de um principal de R$1.000,00, com uma taxa de

juros de 12,683% a.a., no regime de juros compostos?




A calculadora apresentará no visor -1.126,83. O sinal do valor em VF será

sempre diferente do sinal do valor em VP, posto que, para a calculadora, um valor

é recebimento e outro pagamento – ou vice-versa.

Neste caso, se tivéssemos entrado com -1.000 PV (saída de caixa / aplicação), o

resultado seria FV = 1.126,83 (entrada de caixa / resgate da aplicação).


81


Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i)n


Obtemos... VF = 1.126,83



PV: valor presente.

Digitando 12,683 mais a tecla...

i: taxas de juros de 12,683% ao ano.


n: prazo do empréstimo em anos.




FV: valor futuro.

A calculadora apresentará no visor: -1.126,83.

Acesse, no ambiente on-line, uma simulação deste cálculo.

Os juros de 1% a.m. produziram um crescimento efetivo do dinheiro de 12,683% a.a. Assim, as

taxas de 1% a.m. e de 12,683% a.a. são taxas equivalentes.

Vimos que, quando se trata de juros compostos, taxas equivalentes não são proporcionais. Neste

exemplo, o tempo foi aumentado em 12 vezes – de mês para ano – e a taxa aumentou mais de

12 vezes, o que significa que tempo / taxa de juros não seguem a mesma proporção.



Repare que, na HP-12C, a vírgula que separa as casas decimais é, às vezes,

representada por um ponto.


82

1.5.1.3 EXEMPLO 3

O gerente de seu banco lhe oferece uma aplicação financeira com taxa nominal de 24% ao ano

e capitalização mensal. Se você aplicar R$100,00, quanto terá ao final de 1 ano?

Encontrando a taxa efetiva mensal...

24% ao ano, capitalizados mensalmente, são equivalentes a.................. 0,24 / 12 = 0,02 = 2% a.m.

Podemos, agora, resolver este problema de três formas...


Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i )n

Substituindo os valores... VF = 100 (1 + 0,02)12

VF = 100 x 1,268242

Obtemos... VF = 126,8242



PV: valor presente.


i: taxas de juros de 2% ao mês.


n: prazo do empréstimo em meses.




FV: valor futuro.

No início desta unidade, vimos que a taxa nominal é bastante utilizada no

mercado, entretanto, seu valor nunca é usado nos cálculos – sejam eles de

juros simples ou compostos –, por não representar uma taxa efetiva. O que

realmente interessa é a taxa efetiva embutida na taxa nominal...

Já analisamos estes exemplos...

12% a.a., capitalizados mensalmente, significam uma taxa efetiva

de...12 % a.a. / 12 meses = 1% ao mês.

24% a.a., capitalizados semestralmente, significam uma taxa efetiva de...

24% a.a. / 2 semestres = 12% ao semestre.


83

A calculadora apresentará no visor: -126,82.


Ao final de 1 ano, você terá R$126,82.

A taxa anual equivalente – 26,82% ao ano – a essa taxa efetiva embutida – 2% ao mês – é maior do

que a taxa nominal que lhe deu origem – 24% ao ano nominal –, pois essa equivalência ocorre no

regime de juros compostos.



1.7 SÍNTESE


UNIDADE 2 – SÉRIES DE PAGAMENTOS

2.1 CONCEITOS

Alguns dos conceitos mais importantes de Matemática Financeira são aqueles que fazem parte

do dia a dia das empresas em suas análises e decisões de investimento.

Os conceitos a que nos referimos são...

§§§§§ séries de pagamentos

§§§§§ pagamentos uniformes

§§§§§ anuidades

§§§§§ perpetuidades

§§§§§ pagamentos não uniformes

§§§§§ pagamentos balão – intermediárias

2.2 ANUIDADES – PAGAMENTOS IGUAIS

Uma anuidade consiste em uma série uniforme de pagamentos – ou recebimentos – iguais e

sucessivos.

Esses pagamentos devem ser feitos ao final de cada período de tempo.

Conforme o intervalo de tempo em que os pagamentos são feitos, eles podem ser

classificados, por exemplo, em...

§§§§§ mensalidade;

§§§§§ semestralidade;

§§§§§ anuidade.

Você sabe o que é anuidade? Vejamos...


84

2.2.1 RESOLUÇÃO DE QUESTÕES

As questões de anuidade podem ser resolvidas com ajuda de uma calculadora ou pode-se, ainda,

lançar mão de fórmulas para resolvê-las.

Vejamos fórmulas para resolver anuidades para quem não gosta de usar calculadora...

Onde...

§§§§§ i é a taxa de juros composta

§§§§§ n é o período de duração do financiamento ou empréstimo.

2.3 APRESENTAÇÃO DO EXEMPLO

Já conhecemos o conceito de anuidade e as fórmulas que nos ajudam a resolvê-las.

A partir de agora, teremos a oportunidade de acompanhar exemplos a respeito do tema, bem

como suas soluções.

Dessa forma, tiraremos dúvidas sobre o cálculo dessa série uniforme de pagamento.

2.3.1 EXEMPLO 1

Suponhamos que você deposite $100,00 hoje e mais $100,00 a cada final de ano, durante três

anos, em uma poupança.

Consideremos que a poupança rende 10% ao ano.

Quanto você poderá retirar ao final desses três anos?

PV = PMT {[(1 + i)n - 1] / i (1 + i)n}

PMT = VP * (i * (1 + i)^n) / (((1 + i)^n) - 1)

FV = PMT {[(1 + i)n - 1] / i}

PMT = FV {i / [(1+i)n - 1]}

n = Log (FV / PV) / Log (1+i)

Que tal vermos alguns exemplos de situações em que é necessário calcular

uma anuidade?

E como resolver questões que envolvem anuidades?

Vejamos o primeiro exemplo sobre anuidade!


85

Atenção! Neste caso, o nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.

2.3.2 EXEMPLO 2

Há várias situações em que precisamos calcular uma anuidade.

Analisemos mais uma...

Imaginemos que você precise retirar $100,00 a cada final de ano, durante três anos,

em uma poupança.

Consideremos que a poupança renda 10% ao ano.

Quanto você precisa ter hoje depositado nessa poupança?

Atenção! Neste caso, nosso interesse é calcular o valor presente na anuidade.

Solução

Utilizando as fórmulas...

T=0 t=1 t=2 t=3

100 100 100 100

VF = PV (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i) + PMT

VF = 100 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 464,10

Com a calculadora, obtemos...

N = 3 PMT = 100

VP = 100 i = 10% aa

VF = 464,10

Resposta: O valor futuro desta unidade é R$ 464,10.


86

2.3.3 EXEMPLO 3

Consideremos, neste terceiro exemplo, que você tenha emprestado R$2.000,00 hoje e mais

R$100,00 a cada final de ano, durante três anos, a seu cunhado.

Vocês acertaram que a taxa de juros seria de 10% ao ano.

Quanto você deverá receber ao final desses três anos?

Atenção! Nesse caso, nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.

Solução


T=0 t=1 t=2 t=3

VP = ? -100 -100 -100

VP = PMT / (1 + i) + PMT / (1+i)2 + PMT / (1 + i)3

VP = 100 / 1,1 + 100 / 1,12 + 100 / 1,13 = 248,68


N = 3 Pmt = -100

VF = 0 i = 10% aa

VF = 248,68

Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 248,68.


87

2.3.4 EXEMPLO 4

Suponhamos que você deposite R$2.000,00 hoje em sua poupança, que rende 10% ao ano.

Suponhamos agora que você vai retirar R$100,00 a cada final de ano, durante três anos.

Quanto você poderá ainda retirar ao final desses três anos?

Atenção! Neste caso, nosso interesse é calcular o valor futuro da anuidade.

Solução


T=0 t=1 t=2 t=3

-2.000 -100 -100 -100

VF = PV (1 + i)3 + PMT (1 + i)2 + PMT (1 + i) + PMT

VF = 2.000 x 1,13 + 100 x 1,12 + 100 x 1,1 + 100 = 2.993,00


N = 3 Pmt = -100

VP = -2.000 i = 10% aa

VF = 2.993,00

Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 2.993,00

Vamos ao último exemplo sobre anuidade...


88

2.3.5 LISTA DE EXERCÍCIOS


2.4 PERPETUIDADES

A perpetuidade é um conjunto de pagamentos – ou recebimentos – que não acabam nunca.

São pagamentos periódicos que duram para sempre, que não têm prazo para terminar.

Por isso, recebem o nome de perpetuidade.

2.4.1 EXEMPLOS

Vejamos uma demonstração do que é perpetuidade...

Exemplo 1...

Consideremos que você tenha investido R$100.000,00 em uma aplicação perpétua,

que pague 10% ao ano.

Você vai receber, a cada ano, em perpetuidade, R$10.000,00 a título de juros.

Pois...

R$100.000x 10% = R$10.000

Solução


T=0 t=1 t=2 t=3

2.000 -100 -100 -100

VF = PV (1 + i)3 - PMT (1 + i)2 - PMT (1 + i) - PMT

VF = 2.000 x 1,3310 - 100 x 1,2100 - 100 x 1,1 - 100 = 2.331,00


N = 3 Pmt = -100

VP = 2.000 i = 10% aa VF = 2.331,00

Resposta: O valor futuro desta anuidade é R$ 2.331,00

Obviamente, em uma perpetuidade, o investimento fica investido para

sempre.


89

Exemplo 2...

Obviamente, o dia em que você retirar os R$100.000,00 da aplicação, vai deixar de

receber os juros de R$10.000,00.

É uma escolha, pois, à taxa de 10% ao ano, os R$100.000 hoje na mão é equivalente a

um fluxo de R$10.000 em perpetuidade.

Então, podemos dizer que receber R$10.000,00 periodicamente, em regime de

perpetuidade, é a mesma coisa que ter hoje na mão o valor presente de R$100.000,00,

considerando uma taxa para aplicação de 10% ao ano.

A fórmula que relaciona o investimento a valor presente – hoje – com o pagamento

dos fluxos em perpetuidade é...

VP = FC1 / i

2.5 RESUMO DAS FÓRMULAS

Resumindo, até agora, já aprendemos a calcular o valor presente de...

§§§§§ um único pagamento futuro >> VP = FCn / (1 + i)n;

§§§§§ diversos pagamentos futuros >> VP = Σt = 1t = n FC’s/(1 + i)n;

§§§§§ perpétuos pagamentos futuros >> VP = FC1 / i.

2.6 APRESENTAÇÃO DOS EXERCÍCIOS

Temos aprendido várias fórmulas...

O melhor modo de fixá-las é por meio de exemplos e exercícios!

Por isso, acompanhe com atenção os próximos exemplos e exercícios.

2.6.1 EXEMPLO 1

Imaginemos que você queira alugar um imóvel. O imóvel está avaliado em R$100.000,00.

A taxa de retorno para aluguéis nessa região é de 0,5% ao mês.

Vejamos o exemplo...


90

Como calcular o aluguel?

2.6.2 EXEMPLO 2

Consideremos, neste exemplo, que você queira alugar um imóvel... O aluguel é R$1.000,00.

A taxa de retorno para aluguéis nessa região é de 1,0% ao mês.

Qual deve ser o valor desse imóvel?

2.6.3 EXEMPLO 3

Suponhamos que seu imóvel esteja avaliado em R$200.000,00. E que você consiga alugá-lo

facilmente no mercado por R$1.000,00.

Solução

VP = FC1 / i

100.000 = FC1 / 0,005

FC1 = 500,00

Resposta: O aluguel mensal é R$500,00.

Solução

VP = FC1 / i

VP = 1.000 / 0,01

FC1 = 100.000,00

Resposta: O valor desse imóvel hoje é R$100.000,00.

Que tal analisarmos mais um exemplo?


91

Qual a taxa de retorno que você obteria?

2.6.4 EXEMPLO 4

O exemplo desta unidade demonstra a relação entre pagamentos periódicos e seu valor à vista.

Acesse, no ambiente on-line, o exemplo desta unidade.

2.6.5 EXERCÍCIOS

Acesse, no ambiente on-line, os exercícios desta unidade.

2.7 FLUXOS NÃO UNIFORMES

Como já sabemos, uma anuidade tem como característica básica o fato de ser uma série constante

de pagamentos – ou recebimentos.

Muitas vezes, no entanto, nos deparamos com uma série de pagamentos que são

diferentes ao longo do tempo, que não tem relação entre si, especialmente na análise

de fluxos de caixa de projetos de investimento de empresas.

Solução

VP = FC1 / i

200.000 = 1.000 / i

i = 1.000; 200.000 = 0,005 = 0,5% ao mês

Resposta: A taxa de retorno desse imóvel seria de 0,5% ao mês.

Primeiro, serão apresentadas diversas questões.

Depois, você verá uma explicação sobre elas. O exemplo é longo, por isso,

acompanhe-o com calma.


92

2.8 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA FÓRMULA

O valor presente de um fluxo não uniforme pode ser calculado achando-se o valor presente de

cada fluxo individualmente, e somando-se depois todos os valores encontrados.

Supondo uma taxa de juros de 20% por período, temos...

2.9 CÁLCULO DE UM VALOR PRESENTE DE UM FLUXO NÃO UNIFORME NA CALCULADORA

Podemos utilizar a calculadora financeira, ou mesmo a planilha Excel para automatizar os cálculos

necessários.

t=0 t=1 t=2 t=3

0 294.000 616.000 938.000

VP (FC1) = FC

1 / (1 + i)1 = 245.000,00

VP (FC2) = FC

2 / (1 + i)2 = 427.777,78

VP (FC3) = FC

3 / (1 + i)3 = 542.824,07

Total (t=0) = 245.000,00 + 427.777,78 + 542.824,07 =

1.215.601,85

Esses pagamentos são os chamados fluxos não uniformes.

Vejamos um exemplo...

T=0 t=1 t=2 t=3

0 294.000 616.000 938.000

Vamos calcular o valor presente de um fluxo não uniforme pela fórmula?

Vamos calcular o valor presente de um fluxo de caixa não uniforme na

calculadora?


93

Considere o mesmo fluxo anterior. O procedimento passo a passo para HP 12c envolve o uso das

teclas azuis, que são acessadas sempre que se digita a tecla g, é o seguinte...

2.10 PAGAMENTOS BALÃO - PAGAMENTOS INTERMEDIÁRIOS

São encontrados, eventualmente, nos pagamentos das mensalidades e anuidades, alguns

pagamentos intermediários com valores mais elevados.

Esses pagamentos visam atender as necessidades, os perfis, ou as características dos

fluxos de caixa dos credores e devedores.

2.10.1 EXEMPLO

Imaginemos esta situação...

Um tomador de financiamento para a compra de um automóvel gostaria de usar

integralmente o pagamento do décimo terceiro salário, todos os anos, para acelerar o

pagamento da divida.

Então as prestações do seu financiamento incluirão, a cada 12 meses, uma prestação

maior, coincidindo com o recebimento do décimo terceiro salário.

Procedendo dessa forma, ao invés de financiar em 48 meses, o indivíduo poderia

quitar o financiamento, por exemplo, em 36 meses.

E, melhor de tudo, pagando as mesmas prestações mensais.

Chamamos esses pagamentos anuais extras de intermediária.

2.10.2 EXEMPLO 2

Agora, imaginemos esta situação...

Uma construtora financia a venda de imóveis residenciais novos ainda em construção.

1 0 g Fo

2 294.000 g Fj

3 616.000 g Fj

4 938.000 g Fj

6 20 i

7 f PV

Obtemos, então, 1.215.601,85.


94

Quando o imóvel fica pronto, na hora da entrega das chaves, a construtora cobra um pagamento

maior, chamado de pagamento para entrega das chaves.

Esse pagamento balão é chamado de pagamento balão.

Depois, continuam as prestações menores, já com o comprador morando no imóvel.

2.10.3 EXEMPLO 3

Consideremos que você tenha um financiamento de casa própria.

Você deve pagar 60 prestações mensais e sucessivas no valor de R$950,00 cada.

Além dessas prestações, você deve pagar, a cada seis meses, uma intermediária no valor de

R$4.000,00.

A taxa de juros é de 1% ao mês.

Qual é o valor presente do financiamento?

Dessa vez, veremos um exemplo que inclui cálculos.

Solução

Cálculo do VP das mensais...

Pmt = 950 mensais

N = 60 meses

FV = 0

I = 1% ao mês

PV = ?

Cálculo do VP das semestrais...

Pmt = 4.000 semestrais

N = 10 semestres

FV = 0

I = 6,15201506% ao semestre

PV = ?

Somando o VP das duas sequências de pagamentos obtemos o resultado.

Resposta: O valor presente do financiamento é R$71.936,76.


95

2.10.4 LISTA DE EXERCÍCIOS


2.11 SÍNTESE


UNIDADE 3 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA

3.1 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO

Um empréstimo pode ser amortizado – pago – de diferentes formas. Os modelos mais conhecidos

e utilizados no mercado são...

Sistema de pagamento no final – pagam-se os juros capitalizados mais o principal ao final...

O financiamento é pago, de uma única vez, no final; juros mais principal. Os juros são

capitalizados – mas não pagos –, ao final de cada período – mês ou ano. Esta modalidade de

pagamento é utilizada em papéis de renda fixa – letras de câmbio ou certificados de depósito

com renda final – e títulos descontados em banco comercial.

Sistema de pagamento periódico de juros – onde o principal é pago apenas ao final...

Somente o pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo

do empréstimo, além dos juros do último período, é pago o principal integral. Este sistema é

conhecido também como sistema americano de amortização. Esta modalidade é utilizada em

papéis de renda fixa com renda paga periodicamente – letras de câmbio com renda mensal,

certificados de depósito com renda mensal, trimestral...

Sistema de Prestações Iguais – ‘PRICE’...

O sistema PRICE também é conhecido como sistema francês. A parcela periódica de pagamentos –

prestações – compreende os juros do período mais a amortização de parte do principal. Esta modalidade

é utilizada em financiamentos imobiliários e crédito direto ao consumidor. Seu cálculo pode ser assim

processado...

§ cálculo do valor da prestação constante – com o uso de tabelas ou de calculadoras;

§ cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do

saldo – remanescente do principal – no início do período;

§ cálculo da amortização do principal, pela diferença entre o valor da prestação e o

valor dos juros do período.

Observamos que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal

remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela

de amortização de cada prestação aumenta ao longo do tempo.


96

Sistema de Amortizações Constantes – SAC...

O sistema SAC é utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas

por parte de entidades governamentais ou privadas. O financiamento é pago em

prestações decrescentes. Cada parcela compreende pagamento de juros e de

amortização de parte do principal.

Para calculá-lo, devemos efetuar...

§ o cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as

prestações por meio da divisão do principal pelo número de prestações;

§ o cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre o valor do

saldo – remanescente do principal – no início do período;

§ o cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros

do período.

Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como

todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme e, portanto, os juros dos períodos

também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo.

Sistema de Amortização Misto – SAM...

O sistema misto SAM é utilizado na liquidação de financiamentos da casa própria. O principal é

pago em parcelas periódicas, cujos valores correspondem à média do sistema PRICE e do sistema

de amortizações constantes – SAC –, ou seja, sistema francês 50% e SAC 50%.

Para calculá-lo, devemos saber o valor...

§ das prestações pelo sistema PRICE;

§ do pagamento de prestações iguais e periódicas;

§ das prestações pelo sistema SAC.

3.2 DESAFIO


3.2.1 JOGO


3.3 ESTUDO DE CASO

O Banco Federal emprestou R$100,00 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de

10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras por meio do pagamento

de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...

§§§§§ pagamento no final;

§§§§§ sistema PRICE;

§§§§§ sistema SAM;

§§§§§ pagamento periódico;

§§§§§ sistema SAC.


97

3.3.1 PAGAMENTO NO FINAL

O Banco Federal emprestou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros

de 10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do

pagamento de prestações. Vejamos como seria pago pelos seguintes sistemas de amortização...

Pagamento no final

O financiamento é pago, de uma única vez, no final, juros mais principal. Os juros são

capitalizados (mas não pagos), ao final de cada período – mês ou ano. Esta modalidade de

pagamento é utilizada em papéis de renda fixa – letras de câmbio ou certificados de depósito

com renda final – e títulos descontados em banco comercial.

Sistema de pagamento de juros e principal no final

-133,10

Como neste sistema o pagamento é todo feito no final – não há prestações

intermediárias –, no final do primeiro ano, t =1, não há desembolso.

Memória de cálculo

Saldo devedor inicial (t = 0) ... R$100,00

Saldo devedor em t = 1... VF = VP (1 + i)1

VF = 100 (1 + 0,1) = 110

Como nada foi pago, esse saldo devedor é levado ao período seguinte.... (VP

em t=2 será R$110,00).


98

3.3.2 PAGAMENTO PERIÓDICO

O Banco Federal emprstou R$ 100,000 a um cliente, por três anos, cobrando uma taxa de juros de

10% ao ano. Esse empréstimo poderá ser liquidado de diferentes maneiras, por meio do pagamento


Pagamento periódico

Somente o pagamento de juros é realizado ao final de cada período e, ao final do prazo

do empréstimo, além dos juros do último período, é pago o principal integral. Este sistema é

conhecido também como sistema americano de amortização.

Esta modalidade é utilizada em papéis de renda fixa com renda paga periodicamente - letras de

câmbio com renda mensal, certificados de depósito com renda mensal, trimestral...

Como neste sistema o pagamento é todo feito no final, é exatamente no t = 3

– final do prazo do empréstimo – que tudo (principal + juros) será pago.


Saldo devedor em t = 2 ... R$121,00


VF = 121 (1 + 0,1) = 133,10

Saldo devedor em t = 3, após pagamento = R$0,00.

Como neste sistema o pagamento é todo feito no final – não há prestações

intermediárias –, no final do segundo ano, t =2, também não há desembolso.


Saldo devedor em t = 1 ... R$110,00


VF = 110 (1 + 0,1) = 121

Como nada foi pago, esse saldo devedor é levado ao período seguinte... (VP

em t=3 será R$121,00).


99

Sistema de pagamento de juros periódicos e principal no final

Como neste sistema, a cada período, é realizado o pagamento dos juros e, no

final, o pagamento dos juros do último período mais o principal, no final do

primeiro ano, t=1, só pagamos os juros do primeiro ano da operação.




VF = 100 (1 + 0,1) = 110

Com o pagamento dos juros no valor de R$10,00, o saldo devedor em t = 1,

após o pagamento da prestação, é 110,00 - 10,00 = 100,00. Esse é, pois, o

saldo devedor levado para t = 2 (VP em t = 2 será R$100,00).

Prestação = amortização + juros

Como, neste caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo

ao final –, a prestação dos períodos intermediários passa a ser igual aos juros.

Em t = 1...

Juros = 10,00

Amortização = 0,00

Prestação = 10,00


100



último período, t=3, pagamos os juros relativos a esse período mais o principal.




VF = 100 (1 + 0,1) = 110


após o pagamento da prestação, é 110,00 - 110,00 = 0,00.



segundo ano, t=2, só pagamos os juros relativos ao segundo ano da operação.




VF = 100 (1 + 0,1) = 110


após o pagamento da prestação, é 110,00 - 10,00 = 100,00. Esse é, pois, o

saldo devedor levado para t = 3 (VP em t = 3 será R$100,00).


Como, nesse caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo

ao final –, a prestação dos períodos intermediários passa a ser igual aos juros.

Em t = 2...

Juros = 10,00


Prestação = 10,00


101

3.3.3 SISTEMA PRICE




Sistema PRICE

Sistema de prestações iguais (também conhecido como sistema francês)...

A parcela periódica de pagamentos - prestações - compreende os juros do período mais a

amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em financiamentos imobiliários e

crédito direto ao consumidor. Seu cálculo pode ser assim processado...

– cálculo do valor da prestação constante – com o uso de tabelas ou de calculadoras;

– cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre os valores do

saldo - remanescente do principal - no início do período;

– cálculo da amortização do principal pela diferença entre o valor da prestação e o

valor dos juros do período.

Observamos que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, pois o principal

remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o valor da prestação é constante, a parcela

de amortização aumenta ao longo do tempo.

Sistema de pagamento de prestações iguais e periódicas


Como, neste caso, não há amortizações periódicas – o pagamento é feito todo

no final –, é no último período que o principal é pago, juntamente com os juros

do período.

Em t = 1...

Juros = 10,00


Prestação = 110,00


102

Entendendo o saldo devedor em t = 1 e o que faz parte da prestação...


Saldo devedor inicial (t = 0) ..... R$100,00

Saldo devedor em t = 1.... VF = VP (1 + i)1

VF = 100 (1 + 0,1) = 110

Com o pagamento da primeira prestação de R$ 40,21, o novo saldo devedor

passa a ser 110,00 - 40,21= 69,79. Esse é, pois, o saldo devedor levado para t = 2

(VP em t = 2 será R$ 69,79).



Saldo devedor inicial (t = 1)... R$ 69,79


VF = 69,79 (1 + 0,1) = 76,77

Com o pagamento da segunda prestação de R$ 40,21, o novo saldo devedor

passa a ser 76,77 - 40,21= 36,56. Esse é, pois, o saldo devedor levado para t = 3

(VP em t=3 será R$ 36,56).

Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros

Desmembrando a segunda prestação...

Saldo devedor... 69,79

Valor da prestação... R$ 40,21

Juros = saldo devedor x taxa de juros... R$ 69,79 x 0,1 = R$ 6,98

Amortização é a diferença... R$ 40,21 - R$ 6,98 = R$ 33,23

Saldo devedor após pagamento... R$ 69,79 - R$ 33,23 = R$ 36,56

Nesta prestação, R$33,23 correspondem à amortização da dívida e R$ 6,98

ao pagamento dos juros do período.

Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros.

Desmembrando a primeira prestação...

Saldo devedor inicial... 100,00





Nesta prestação, R$ 30,21 correspondem à amortização da dívida e R$ 10,00



103

Neste caso, a primeira coisa que devemos fazer é calcular o valor da prestação da HP...


Teclando 100 mais a tecla...

PV: valor presente.


i: taxa de juros de 10%.


n: prazo do empréstimo.


FV: valor futuro.

Prestação = amortização + juros ou... Amortização = prestação - juros

Desmembrando a terceira prestação...

Saldo devedor... 36,56





Nesta prestação, R$ 36,56 correspondem à amortização da dívida e R$ 3,65




Saldo devedor inicial (t = 2)... R$36,56


VF = 36,56 (1 + 0,1) = 40,21

Com o pagamento da terceira prestação de R$ 40,21, após o pagamento da

prestação, o novo saldo devedor é 40,21 - 40,21 = 0,00... Dívida quitada...

Se o saldo devedor final deve ser igual a zero, já que ele tem de pagar o

empréstimo em 3 anos, seu valor futuro (FV) deve ser zero.


104

Teclando PMT, vemos no visor o valor -40,21.



Resultados consolidados...

As diferenças de R$ 0,01 resultam de arredondamentos.

As fórmulas utilizadas para o cálculo das prestações de um financiamento são complexas. Para

facilitar seu uso, devemos empregar a calculadora financeira. Apenas a título de ilustração,

vamos ver, aqui, fórmulas que relacionam...

§ i é a taxa de juros composta;

§ n é o período de duração do financiamento ou empréstimo.

Valor Presente com Valor Futuro...

Valor Presente com Pagamentos Uniformes...

Valor Futuro com Pagamentos Uniformes...

Calculamos, assim, o valor das prestações do sistema PRICE.

O sinal negativo significa que, se você recebeu R$ 100,00, deverá pagar 3

prestações – PMT – de R$ 40,21. O sinal (+) indica, pois, recebimento, enquanto o

sinal (-) indica pagamento.

Na linguagem das calculadoras financeiras, os fluxos de caixa, quando

idênticos – constantes –, são chamados de PMT –, do inglês, abreviação de

PayMenTs.

VP = PMT { [ (1+ i )n - 1] / i (1+ i )n}

VF = PMT { [ (1+ i )n - 1] / i}

VF = VP (1+ i)n


105

3.3.4 SISTEMA SAC




Sistema SAC

Pelo sistema de amortizações constantes SAC...

O sistema SAC é utilizado em financiamentos imobiliários e financiamentos a empresas por parte

de entidades governamentais ou privadas. Este financiamento é pago em prestações decerscentes.

Cada parcela compreende pagamento de juros e da amortização de parte do principal.

Para calculá-lo, devemos efetuar...

– o cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as

prestações, por meio da divisão do principal pelo número de prestações;

– saldo – remanescente do principal - no início do período;

– o cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com os juros

do período.

Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma amortização. Como

todas as amortizações são iguais, esse decréscimo será uniforme e, portanto, os juros dos períodos

também serão uniformemente decrescentes ao longo do tempo.

Calculando a primeira prestação...


A amortização constante = 33,33. E os juros...

Juros em t = 1... (principal remanescente x taxa)

Juros em t = 1... 100,00 x 0,1 = 10,00

Prestação 1 = 33,33 + 10,00 = 43,33

Principal remanescente = 100,00 - 33,33 = 66,66


106

Repare que o que vale é a diferença...

SALDO DEVEDOR - PRESTAÇÃO

Neste caso, o que vale é a diferença...

PRINCIPAL REMANESCENTE - AMORTIZAÇÃO

Se você for reler a definição do sistema SAC, verá que...

(...) o cálculo dos juros do período se dá pela aplicação da taxa do

contrato sobre o valor do saldo – remanescente do principal – no início

do período; e que (...) Em cada período, o principal remanescente

decresce do valor de uma amortização.

O valor da amortização se dá por meio da divisão do principal pelo número de

prestações.

Amortização = Principal / número de prestações

Amortização = 100,00 / 3 = 33,33

Calculando a segunda prestação...


A amortização é constante = 33,33. E os juros...


Juros em t = 2... 66,66 x 0,1 = 6,66

Prestação 2 = 33,33 + 6,66 = 40,00

Principal remanescente = 66,66 - 33,33 = 33,33

Calculando a terceira prestação...


A amortização é constante = 33,33. E os juros...


Juros em t = 3... 33,33 x 0,1 = 3,33

Prestação 3 = 33,33 + 3,33 = 36,66

Principal remanescente = 33,33 – 33,33 = 0,00


107

Resultados consolidados...

3.3.5 SISTEMA SAM




Sistema SAM

Pelo SAM – o sistema misto SAM é utilizado na liquidação de financiamentos da casa própria –, o

principal é pago em parcelas periódicas, cujos valores correspondem à média do sistema PRICE e

do sistema de amortizações constantes – SAC –, ou seja, sistema francês 50% e SAC 50%.

Para cálculá-lo, devemos saber o valor...

§ das prestações pelo sistema PRICE;

§ das prestações pelo sistema SAC.

Resultados consolidados – Sistema PRICE...

Resultados consolidados – Sistema SAC...

Sistema SAM...

Prestação – PRICE 40,21 40,21 40,21

(+)

Prestação – SAC 43,33 40,00 36,66

83,54 80,21 76,87

/2

41,77 40,10 38,43


108

3.4 EXEMPLO 1

Uma fábrica de tachinhas vende 1.000 taxinhas por mês, de um único modelo, por R$ 0,90 cada

unidade. Seus custos variáveis são de R$ 0,40 por unidade e os custos fixos mensais são de R$

300,00. A alíquota do único imposto que incide sobre o lucro da operação é de 20%. Assumindo

que as vendas não mudem ao longo do tempo, qual é o fluxo de caixa dessa fábrica a cada mês?

Faturamento (entrada): 1000 x 0,90 = R$ 900,00

Custos operacionais (saída): 1000 x 0,40 = R$ 400,00 – custos variáveis

+ R$ 300,00 – custos fixos

R$ 700,00 – custo total

Resultado bruto: R$ 900,00 - R$ 700,00 = R$ 200,00

Aplicando a alíquota do único imposto (20%)... R$ 200,00 x 20% = - R$ 40,00 – IRPJ

Fluxo de caixa – resultado operacional líquido... R$160,00

O fluxo de caixa líquido dessa fábrica para seus investidores é de R$ 160,00 por mês.

3.5 EXEMPLO 2

Você deve uma quantia a seu cunhado, que lhe ofereceu três alternativas para pagar essa dívida

a uma taxa de juros de 10% ao ano: a) ao final de 1 ano, pagar R$ 2.200,00; b) ao final de 2 anos,

pagar R$ 2.420,00; c) ao final de 3 anos, pagar R$ 2.662,00.


Essas três alternativas são equivalentes?

entrada (+)

saída (-)

Um fluxo de caixa é formado por entradas e saídas... Vamos começar

calculando o dinheiro que entra!

Vejamos, agora, os custos...


109

Veja, a seguir, as opções a, b e c...

Opção a

Você está liquidando o empréstimo do seu cunhado, com uma taxa de juros de 10%

ao ano, quando paga uma prestação de R$ 2.200,00 em t = 1. O valor presente de R$

2.200,00 em t = 0 é R$ 2.000,00.

VF = VP (1 + i)n

2.200 = VP (1 + 0,1)1

VP = 2.000

Opção b

Você está quitando o empréstimo de seu cunhado, com uma taxa de juros de 10% ao

ano, quando paga uma prestação de R$ 2.420,00 em t = 2. Calculando o valor presente

em t = 0, obtemos R$ 2.000,00.

VF = VP (1 + i)n

2.420 = VP (1 + 0,1)2

VP = 2.000

Opção c

Você está quitando o empréstimo de seu cunhado, com uma taxa de juros de 10% ao

ano, quando paga uma prestação de R$ 2.662,00 em t = 3. Calculando o valor presente

em t = 0, obtemos R$ 2.000,00.

Como chegamos a esse valor?



Puxa!!! Chegamos ao mesmo VP da opção a.

t = 0

2000 (-)

opção C

opção B

opção A


110

VF = VP (1 + i)n

2.662 = VP (1 + 0,1)3

VP = 2.000

Como vimos, as alternativas são equivalentes, pois têm o mesmo VP.



3.7 SÍNTESE


3.8 AVALIAÇÃO


3.9 JOGO


3.10 AUTOAVALIAÇÃO

Acesse, no ambiente on-line, a autoavaliação deste módulo.




Você vendeu um equipamento e vai aplicar o dinheiro que recebeu nesta transação, auma taxa mensal de 10% no regime de capitalização simples.

Qual é a taxa anual equivalente à taxa mensal de 10% no regime de capitalizaçãosimples?

a) A taxa de juros anual equivalente é de 12%.

b) A taxa de juros anual equivalente é de 240%.

c) A taxa de juros anual equivalente é de 120%.

d) A taxa de juros anual equivalente é de 30%.

e) A taxa de juros anual equivalente é 36%.

Interessante... Mesmo VP de novo.

Muito bem! Vamos passar agora aos exercícios de fixação!


111

QUESTÃO 2

Você precisa comprar uma cafeteira nova para seu bistrô, pagando a perder de vista.

Junto ao preço do aparelho, a loja anunciava uma taxa de juros de 2% ao mês para os

pagamentos a prazo.

Qual é a taxa anual de juros, equivalente a 2% ao mês, cobrada pela loja?

a) A taxa de juros anual equivalente é 12%.

b) A taxa de juros anual equivalente é 24%.

c) A taxa de juros anual equivalente é 26.82%.

d) A taxa de juros anual equivalente é 13.42%.

e) A taxa de juros anual equivalente é 10%.

QUESTÃO 3

Você está interessado em um crédito automático oferecido pelo Banco Porto. A taxa

de juros compostos mensal cobrada por esse banco é 3,5% ao mês.

Já o Banco Puerta cobra 60% ao ano.

Qual das duas instituições cobra menos juros?

a) O Banco Porto, pois cobra 42% ao ano.

b) O Banco Puerta, pois cobra 60% ao ano.

c) O Banco Porto, pois cobra aproximadamente 42,88% ao ano.

d) O Banco Porto, pois cobra 3,5% ao ano.

e) O Banco Porto, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano.


112

QUESTÃO 4

Você deseja conhecer a Rússia, aproveitando os preços promocionais e pagamentos

facilitados das passagens aéreas. Em uma dessas promoções a taxa é de 18% ao ano.

Você pretende efetuar os pagamentos em menos de um ano e, para isso, deseja saber

o equivalente em meses a essa taxa de juros anual.

Qual é a taxa mensal cobrada, equivalente a 18% ao ano, no regime de capitalização

composto?

a) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês.

b) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,50% ao mês.

c) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,80% ao mês.

d) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,888% ao mês.

e) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,111% ao mês.

QUESTÃO 5

Você se aborreceu com a empresa na qual mantinha um seguro de vida. Ao invés de

renovar o seguro, resolveu aplicar os R$ 2.500,00 que pagava anualmente à seguradora.

Quanto você irá receber de juros, se aplicar os R$ 2.500,00, a uma taxa nominal de 24%

ao ano, capitalizada mensalmente?

a) Você irá receber R$ 3.170,60 de juros ao final de um ano.

b) Você irá receber R$ 2.500,00 de juros ao final de um ano.

c) Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano.

d) Você irá receber R$ 2.670,60 de juros ao final de um ano.

e) Você irá receber R$ 1.670,00 de juros ao final de um ano.


113

QUESTÃO 6

Você precisa comprar um carro novo. Para isso, irá aplicar seu dinheiro a uma taxa

nominal anual de 36%, com capitalização mensal.

Se você aplicá-los por 3 meses, qual será a taxa mensal, trimestral e semestral equivalente

a essa taxa anual?

a) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.

b) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 19,405% a. t. e 9,272% a. s.

c) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9% a. t. e 19% a. s.

d) As taxas equivalentes seriam 3,124% a. m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.

e) As taxas equivalentes seriam 3% a. m.; 9% a. t. e 19% a. s.

QUESTÃO 7

Você recebeu R$ 20.000,00 após 4 anos de uma aplicação financeira, para poder

reformar seu bistrô. A taxa de juros nominal que remunerou sua aplicação foi de 30%

ao ano com capitalização mensal.

Qual foi o valor da aplicação que você realizou quatro anos atrás?

a) O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42.

b) O valor original da aplicação foi R$ 7.002,55.

c) O valor original da aplicação foi R$ 15.198,00.

d) O valor original da aplicação foi R$ 57.122,00.

e) O valor original da aplicação foi R$ 3.006,53.


114

QUESTÃO 8

O Banco Porto anuncia taxas de juros nominais de 40,80% ao ano com capitalização

mensal para aplicações em seu fundo A de renda fixa.

O Banco Puerta anuncia taxas de juros nominais de 42% ao ano com capitalização

semestral, também para aplicações em seu fundo B de renda fixa.

Se você tivesse R$ 28.000,00 para investir por 2 anos, qual banco escolheria?

a) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 46,41% ao ano.

b) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 42% ao ano.

c) Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 40,80% ao ano.

d) Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 49,36% ao ano.

e) Você deve escolher o Banco Puerta. Ele paga 52% ao ano.

QUESTÃO 9

Você venceu uma competição esportiva e, como prêmio, ganhou R$ 2.500,00. Você

aplicou essa quantia a uma taxa de juros efetiva de 24% a.a.

Quanto você vai receber de juros, se mantiver essa aplicação, com capitalização

composta, durante um ano?

a) Você deve receber R$ 600,00 de juros ao final de um ano.

b) Você deve receber R$ 3.100,00 de juros ao final de um ano.

c) Você deve receber R$ 2.500,00 de juros ao final de um ano.

d) Você deve receber R$ 5.600,00 de juros ao final de um ano.

e) Você deve receber R$ 3.600,00 de juros ao final de um ano.


115

QUESTÃO 10

Você precisa comprar um forno novo e pretende pagá-lo ao final de quatro anos. Você

pagará R$ 100,00, com uma taxa de juros de 12% a.a., no regime de juros compostos.

Qual o montante acumulado, no final desse período?

a) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 57,35.

b) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 157,35.

c) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 257,35.

d) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 357,35.

e) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 137,35.

QUESTÃO 11

Uma loja promete vender seus artigos de R$ 100,00 a uma taxa de juros efetiva de 6%

ao semestre, no regime de juros compostos.

Qual é o montante acumulado, ao final de quatro anos, a partir do principal de R$ 100,00?

a) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 159,38.

b) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 59,38.

c) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 259,38.

d) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 359,38.

e) O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 459,38.


116

QUESTÃO 12

O Banco Porto anuncia que aplicações em seu fundo de investimentos de renda fixa

pagam uma taxa de 12% nominais ao ano, com capitalização mensal.

Qual é a taxa efetiva anual oferecida pelo banco?

a) A taxa efetiva anual é 12,00% ao ano.

b) A taxa efetiva anual é 1,00% ao ano.

c) A taxa efetiva anual é 13,825% ao ano.

d) A taxa efetiva anual é 12,6825% ao ano.

e) A taxa efetiva anual é 8,00% ao ano.

QUESTÃO 13

Para cobrir despesas hospitalares, você teve de fazer, junto a seu banco, um empréstimo

no valor de R$ 2.000,00, com uma taxa de juros de 4% ao ano.

Usando o sistema PRICE, calcule o valor das prestações anuais que liquidariam esse

empréstimo em 4 anos.

a) As prestações são constantes e cada uma é R$ 550,98.

b) As prestações são constantes e cada uma é R$ 500,00.

c) As prestações são constantes e cada uma é R$ 650,98.

d) As prestações são constantes e cada uma é R$ 450,98.

e) As prestações são constantes e cada uma é R$ 750,98.


117

QUESTÃO 14

Você tem que pegar um empréstimo de R$ 100.000,00 para tentar salvar sua empresa. Foram

oferecidos a você, dois sistemas de amortização – o sistema de amortização I e o sistema de

amortização II.

A taxa de juros compostos que incide sobre este empréstimo foi de 12% ao ano.

Verifique se esses sistemas são equivalentes, ou seja, se eles têm o mesmo valor presente.

a) Não, pois não têm o mesmo valor presente.

b) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 50.000,00.

c) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 100.000,00.

d) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 150.000,00.

e) Sim, pois o valor presente de ambos é R$ 250.000,00.

QUESTÃO 15

A Associação dos Estudiosos de Matemática Financeira vai realizar um evento no Rio

de Janeiro. Para cumprir os compromissos financeiros assumidos, irá utilizar uma carteira

de investimentos composta por 4 títulos.

A carteira de títulos paga 4 fluxos de caixa idênticos, no valor de R$ 850,00, em t=1,

t=2, t=3 e t=4.

Determine o valor presente dessa carteira, considerando que a taxa para desconto é de

8% por período.

a) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 3.400,00.

b) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.815,31.

c) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 3.825,66.

d) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.333,33.

e) O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 1.322,31.


118

QUESTÃO 16

Uma empresa da área de doces quer lançar sua linha diet. Essa nova linha deve pagar,

no futuro, 3 fluxos de caixa, no valor de R$ 1.800,00, R$ 2.800,00 e R$ 1.300,00, em

t=1, t=2 e t=3, respectivamente.

Determine o valor presente desse projeto, considerando que a taxa para desconto é de

10% por período.

a) O valor do projeto é de R$ 5.900,00.

b) O valor do projeto é de R$ 3.456,78.

c) O valor do projeto é de R$ 4.927,12.

d) O valor do projeto é de R$ 3.333,33.

e) O valor do projeto é de R$ 2.702,00.


119

GABARITOS

QUESTÃO 1

Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é de 120%.

QUESTÃO 2

Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é 26,82%.


120

QUESTÃO 3

Gabarito: O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano.


121

QUESTÃO 4

Gabarito: A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês.

QUESTÃO 5

Gabarito: Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano.


122

QUESTÃO 6

Gabarito: As taxas equivalentes seriam: 3% a.m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s.

QUESTÃO 7

Gabarito: O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42.


123

QUESTÃO 8

Gabarito: Você deve escolher o Banco Porto. Ele paga 49,36% ao ano.


124

QUESTÃO 9

Gabarito: Você deve receber R$ 600,00 de juros ao final de um ano.

QUESTÃO 10

Gabarito: O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 157,35.

QUESTÃO 11

Gabarito: O montante acumulado – valor futuro – é de R$ 159,38.


125

QUESTÃO 12

Gabarito: A taxa efetiva anual é 12,6825% ao ano.

QUESTÃO 13

Gabarito: Pelo sistema PRICE, as prestações são constantes e o valor de cada uma é R$-550,98.


126

QUESTÃO 14

Gabarito: Sim. Os sistemas são equivalentes, pois o valor presente de ambos é R$ 100.000,00.


127

QUESTÃO 15

Gabarito: O valor do ativo carteira de investimentos é de R$ 2.815,31.

VF = VP (1 + i)n


128

QUESTÃO 16

Gabarito: O valor do projeto é de R$ 4.927,12.

VF = VP (1 + i)n


129

MÓDULO 4 – INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROJETOS

APRESENTAÇÃO

Neste módulo, analisaremos dois critérios muito importantes para decidir sobre que investimento

fazer – o valor presente líquido e a taxa interna de retorno.



de dificuldade.




Começamos o curso com um módulo introdutório bem pequeno e vamos encerrar o curso com

outro módulo que aqui é pequeno, mas, aí no mercado, pode gerar oportunidades de grandes

retornos!


UNIDADE 1 – VPL E TIR

1.1 ILUSTRAÇÃO

Assista à ilustração no ambiente on-line.

1.2 VPL E TIR

Quando queremos escolher o melhor projeto para investir recursos, devemos nos pautar em

critérios. Os critérios mais utilizados pelo mercado são o VPL e a TIR.

1.2.1 VPL

VPL – Valor Presente Líquido...

Dá ao investidor a medida exata do lucro líquido / prejuízo de um investimento a valor

presente, ou seja, a valores de hoje. Nesse sentido, é o lucro / prejuízo do investidor

que investe X – ou custo – no projeto que vale Y – valor do projeto. Assim sendo, o VPL

é a diferença entre o valor e o custo de um ativo. O VPL deve ser maior do que

zero para que um projeto seja considerado viável.


130

Isso significa, basicamente, que o valor do projeto tem de ser maior do que o seu custo, ora...

§ se um projeto custa mais do que vale, não devemos nele investir, pois a diferença

será um prejuízo;

§ se um projeto vale mais do que custa, devemos nele investir, pois a diferença será

o nosso lucro.

1.2.2 TIR

TIR – Taxa Interna de Retorno...

Dá ao investidor a medida exata da taxa de retorno intrínseca de um projeto. Contudo,

a TIR pode não ser um bom critério para aqueles que não dominam perfeitamente o

assunto, podendo conduzir a conclusões erradas. Assim sendo, a TIR não deve ser

utilizada por leigos. Podemos, então, definir a TIR como...

§ a taxa interna de retorno de um projeto;

§ a taxa máxima de custo de capital que um projeto suporta;

§ a taxa de desconto para os fluxos de caixa de um projeto, que fazem o VPL

desse projeto ser zero.

Nas máquinas financeiras, geralmente, o VPL está representado por sua sigla

em inglês... NPV – Net Present Value.

Na calculadora HP-12C, o VPL é acessado pela sequência de botões f NPV,

respectivamente, onde f é a tecla amarela, que informa à HP-12C, que você quer

calcular o NPV, que está em amarelo. Dessa forma, a HP-12C economiza teclas.

A calculadora HP-12 C apresenta teclas com três funções diferentes.

Por exemplo, se você teclar diretamente a tecla VP ou PV – PV em inglês significa

Present Value –, sua calculadora vai calcular o valor presente.

Entretanto, se você teclar a tecla azul g e depois a mesma tecla – a branca PV –, a

função executada pela calculadora será Cf0 – que significa Cash Flow do tempo

zero –, ou seja, a função que está escrita em azul. E se você teclar a tecla amarela f

e depois a mesma tecla – a branca PV –, a função executada pela calculadora será

NPV, ou seja, a função que está escrita em amarelo. Dessa forma, a calculadora

economiza teclas, colocando três funções diferentes para uma mesma tecla,

dependendo apenas de você indicar previamente à máquina – antes de teclar –

qual é a função que deseja em dado instante.


131

É a taxa de retorno que um projeto fornece ao seu investidor, ora...

§ se a TIR de um projeto é maior do que a taxa de custo do capital nele alocado,

devemos investir nesse projeto, pois ele retorna uma taxa maior do que a taxa de

custo do capital. A diferença para mais significa que teremos lucro;

§ se a TIR for menor do que a taxa de custo do capital investido, não devemos investir

nesse projeto, pois estaremos pagando mais pelo capital do que conseguimos

receber desse projeto.

1.3 TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE

Se voltássemos à problemática inicial...

Um caminho interessante seria a análise do VPL e da TIR de cada situação, levando-se em

consideração a TMA!

Precisamos, agora, conhecer as fórmulas!

TMA – Taxa Mínima de Atratividade...

É a taxa mínima que o investidor está disposto a receber por aplicar seu capital em um

projeto.

Ora, se temos recursos aplicados no Banco X, a uma taxa de 10%, e recebemos uma proposta para

investir no Banco Y, somente trocaremos para esse banco, se formos receber uma TMA acima de

10%.

1.3.1 VALOR PRESENTE DE UM PROJETO

Se o VPL – Valor Presente Líquido – de um projeto é igual ao valor menos o custo (VPL = Valor

- Custo)...

...precisamos descobrir a fórmula que calcula o valor do projeto...

O valor de um projeto é calculado como sendo a soma do valor presente de todos os fluxos

de caixa provenientes desse projeto...

Nas máquinas financeiras, geralmente, a TIR está representada por sua sigla

em inglês... IRR – Internal Rate of Return.

Na calculadora HP-12C, assim como o VPL, a TIR é acessada pela sequência de

botões f IRR, respectivamente, onde f é a tecla amarela, que informa à HP-12 C,

que você quer calcular a IRR, que está em amarelo.

Reveja a ilustração, apresentada no começo desta unidade, no ambiente on-line.


132

Valor = ∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t

t=n

t=n

t=n

Mesma fórmula utilizada no módulo 3 para calcular o valor presente de um

conjunto de fluxos de caixa.

Mas o melhor de tudo é o que vem a seguir...

Lembre-se de que...

...partindo da fórmula para obtermos a TIR, chegaremos a uma equação

do enésimo grau, pois existirão termos da forma (1 + TIR)n, onde n é o

número de fluxos de caixa. Como essa não é uma equação simples,

convém calcularmos a TIR sempre com a calculadora, ao invés de

tentarmos usar suas fórmulas.

VPL = Valor - Custo

Valor = ∑t = 1

FCt / (1 + i)tt=n

VLP = ∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t - Custot=n

Onde...

§ ∑ é a letra maiúscula grega sigma, que significa somatório;

§ ∑t = 1

significa somatório com t – tempo –, variando de 1 até n;

§ ∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t significa...

FC1 / (1 + i)1 + FC

2 / (1 + i)2 + ... + FC

n / (1 + i)n.

1.3.2 FÓRMULA DO VPL

Se o VPL – Valor Presente Líquido – de um projeto = Valor - Custo... E já sabemos a fórmula do

valor...

A fórmula do VPL é...

Onde...

§ o valor de um ativo é o valor presente dos diversos fluxos de caixa futuros do ativo;

§ o custo de um ativo é o desembolso necessário para adquirir ou implantar o ativo;

§ o custo é o fluxo de caixa do tempo zero – FC – considerando um modelo padrão

em que o investimento é realizado no tempo zero.

1.4 CÁLCULO DA TIR

As calculadoras financeiras têm uma sub-rotina que calcula o VPL diretamente a partir da inserção

dos fluxos de caixa, considerando que TIR é a taxa de desconto i que faz o VPL ser igual a zero.


133

Antes de passarmos para os exemplos, que tal um desafio para ver se você

entendeu mesmo os conceitos de VPL e TIR?

Esse problema é bem simples... Se temos o Valor e também o Custo, basta

aplicarmos a fórmula!

1.5 CRITÉRIOS PARA O USO DA TIR

A TIR é um importante critério para tomada de decisão. No entanto, alguns cuidados devem ser

tomados quando de sua utilização.

Pode existir mais de uma TIR positiva para um projeto quando houver mais do que uma inversão

no sinal dos fluxos de caixa futuros projetados para um determinado projeto. Em casos como este,

não use a TIR, a menos que você seja um expert no assunto.

Não use também a TIR para comparar dois projetos. O fato de o projeto A ter a TIR maior ou menor

que a TIR do projeto B não significa que um seja melhor ou pior do que o outro.

Você pode, entretanto, usar a TIR para verificar se a taxa de retorno do projeto é maior do que a

taxa do custo de capital do projeto. Se a TIR for maior que a taxa do custo de capital do projeto,

você poderá investir, pois o VPL será positivo. Caso contrário, o investimento não é indicado, pois

o VPL será negativo.

1.5.1 EXEMPLO 1

Apresentaram a você um projeto de investimentos com uma TIR de 10% ao ano. A taxa do custo

de capital desse projeto é de 15% ao ano. Você investiria nesse projeto?

TIR < Taxa do custo de capital

O capital do projeto custa mais do que o projeto é capaz de gerar. Ele, portanto, vai

apresentar um VPL negativo e não deve ser levado adiante.

1.5.2 EXEMPLO 2

Apresentaram a você um projeto para criação de uma empresa de táxi aéreo, hoje, a um custo de

R$2.000.000,00. O valor presente operacional desse projeto é R$2.800.000,00. Calcule o seu VPL

para decidir se nele vale a pena investir.

Aplicando a fórmula... VPL = Valor - Custo

Custo do projeto... 2.000.000, expressos no enunciado do problema

Calculando o VPL... 2.800.000 - 2.000.000 = 800.000

Como o VPL é positivo – R$ 800.000,00 –, você pode investir neste projeto.


134

Quando usamos a fórmula, temos de colocar a taxa de juros em base

decimal. Assim, 10% equivalem a 0,1.

1.5.3 EXEMPLO 3

Investir em um projeto de criação de uma pequena escola de música custa hoje R$ 100.000,00.

Este projeto deve acabar em 1 ano. Ao final de 1 ano, deve apresentar como resultado futuro

R$121.000,00. A taxa de juros utilizada para descontar o valor presente do resultado – fluxo de

caixa – deste projeto é de 10% ao ano. Qual é o seu VPL? Você investiria nele?

Podemos resolver este problema de três formas....

Pela fórmula...

No enunciado, temos o custo do projeto e o valor futuro – ao final de 1 ano.

VF = 121.000 n = 1 i = 0,1 VP = ? VPL = ?

Custo = 100.000

Para calcularmos o VPL, precisamos, primeiro, do VP...

Aplicando a fórmula... VF = VP (1 + i )n

Substituindo os valores... 121.000 = VP x (1 + 0,1)1

Calculando... 121.000 = 1,1 VP

Obtemos... VP = 121.000 / 1,1 = 110.000

Aplicando a fórmula... VPL = Valor - Custo

Substituindo os valores... VPL = 110.000 - 100.000

Obtemos... VPL = 10.000,00

Pela calculadora financeira...

Do enunciado, temos...

CFj = 121.000 n = 1 i = 10 VPL (NPV) = ?

Custo (CFO) = 100.000


135

t=n

Após o fluxo de caixa do tempo zero (CFo), os outros fluxos de caixa devem

ser colocados na calculadora em sequência, sempre pela tecla CFj, que significa

literalmente Cash Flow no tempo j. Em nosso exemplo, somente existe um único

fluxo de caixa após o fluxo inicial. Por essa razão, colocamos na calculadora apenas

o valor $121.000,00 e nada mais.

Obs.: Quando você deseja repetir, sequencialmente, n vezes um determinado

fluxo de caixa, você deve teclar esse valor n vezes ou, simplesmente, logo após

colocar o valor na máquina, teclar n – o número de vezes que você deseja repetir

esse valor –, seguido da tecla Nj. Em outras palavras, essa tecla serve para poupar o

trabalho de repetir n vezes um mesmo valor na calculadora.

A calculadora HP-12 C tem teclas com três cores: brancas, azuis e amarelas.

Como queremos dizer que -100.000 é o custo em t = 0, devemos indicar para a

calculadora que esse é o fluxo de caixa no tempo zero. CF significa Cash Flow no

tempo zero.

A tecla CF está representada na cor azul (na HP - 12 C). Devemos colocar, pela

ordem, primeiro o número (-100.000,00) seguido da tecla g para indicar que a

próxima tecla é azul e, a seguir, devemos teclar CF para indicar à calculadora

que este numero (-100.000,00) é o fluxo de caixa do tempo zero.

Obs.: Nas outras calculadoras, a tecla normalmente também é CF, porém, pode

não ser necessário utilizar as teclas com cores específicas.

Conforme mostrarmos anteriormente, o VPL, na HP-12C, é representado

pela tecla laranja NPV – Net Present Value.

Por isso, temos de teclar f – tecla laranja – para indicar que o que queremos é o

NPV – que está em laranja.

Teclando 100.000 e os botões...

CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF.

Digitando 121.000 e os botões...

g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CF1.

Digitando 10 e o botão...

i.

Podemos pedir o VPL, teclando, então, os botões...

f e PV – Net Present Value.

No visor da máquina, aparece o resultado 10.000,00.


136

Vamos resolver esse problema utilizando a fórmula!

t=n

t=n

t=n

t=n

Acesse, no ambiente on-line, uma simulação desta operação.

Utilizando o “Excel”...


Como o VPL é R$ 10.000,00, vale a pena investir neste projeto.

1.5.4 EXEMPLO 4

Sabendo que a TIR é a taxa interna de retorno de um projeto, calcule a TIR de um projeto que

custa R$ 1.000,00 – em t=0 – e paga ao investidor R$ 1.300,00 em t = 1.

Considerando que TIR é a taxa de desconto i que faz o VPL ser igual a zero, utilizando a fórmula

do VPL, temos...

VPL = ∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t - Custo

Se VPL = 0...

0 = ∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t - Custo

Ou seja...

∑t

= 1 FC

t / (1 + i)t = Custo

De qualquer forma, é bem mais simples realizar os cálculos com a HP...


Aplicando a fórmula.... ∑t=1

FCt / (1 + TIR)t - Custo

Substituindo os valores... 0 = 1.300 / (1 + TIR)1 - 1.000

Calculando... 1.300 / (1 + TIR) = 1.000

1.300 = 1.000 (1 + TIR)

1.300 = 1.000 + 1.000 TIR

1.300 – 1.000 = 1.000 TIR

1.000 TIR = 300

Obtemos... TIR = 300 / 1.000 = 0,3 = 30%

Como só existe um fluxo de caixa, o somatório se reduz ao cálculo do valor presente, isto é, a uma

equação simples e do primeiro grau – e, por isso, podemos resolvê-la sem a calculadora.


137

1.5.5 EXEMPLO 5

Você entrou em uma franchise de café expresso e, para tanto, teve de desembolsar...

§ R$ 50.000,00 pelo contrato de franchise;

§ R$ 40.000,00 no negócio – estoques e outros.

Ao final de 1 ano, após ter recebido um resultado líquido de R$ 60.000,00, você vendeu a

franchise por R$60.000,00. Se, ao invés de fazer este investimento, você tivesse aplicado seu

dinheiro em uma outra franchise equivalente que rende 38% ao ano (essa seria a TMA). Você teria

feito um bom negócio?

Primeiramente, vejamos o esquema de fluxo de caixa...

Utilizando a HP 12C...

Digitando 90.000 e os botões...

CHS, g e PV – saída de Fluxo de Caixa – CF0.

Digitando 120000 mais as teclas...

g e PMT – entrada de Fluxo de Caixa – CFJ.

Podemos pedir a TIR, teclando os botões...

f e FV – virá o valor do IRR.

Obtemos... 33,33, isto é, 33,33%.

Se sua TMA era de 38% – já que você teria esse rendimento se estivesse com esse dinheiro

aplicado na outra franchise – e a TIR da franchise foi de 33,33%, o negócio não foi tão bom assim...

Acesse, no ambiente on-line, as simulações na calculadora financeira e no “excel”.


138

1.5.6 EXEMPLO 6

O projeto Zeus custa, hoje, R$ 1.000.000,00 e promete pagar a seus investidores um fluxo de

caixa no valor de R$ 1.200.000,00, em t = 1 ano, e um outro e último fluxo de caixa, no valor de

R$ 1.440.000,00, em t = 2 anos. A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Zeus

é de 20% ao ano. Qual é o VPL deste projeto?

Vejamos o esquema de fluxo de caixa...








Digitando 20 e o botão...

i.

Podemos pedir o VPL, teclando os botões...

f e PV.

Obtemos... 1.000.000,00, que é o VPL do projeto Zeus.



139

1.5.7 EXEMPLO 7

Um projeto de investimentos tem os seguintes fluxos de caixa projetados para o futuro...

§ R$ 110,00 em t = 1;

§ R$ 121,00 em t = 2.

O custo deste projeto é de R$ 200,00. Os investidores que irão nele aplicar pretendem receber

uma taxa de retorno de 12% ao ano. Este projeto é viável?

Para resolvermos este último exemplo, podemos calcular a TIR do projeto, para compará-la com

a taxa que os investidores desejam...








Podemos pedir a TIR, teclando os botões...

f e FV.

A calculadora nos mostrará que a TIR é igual a 10%.

Conclusão...

O projeto não compensa, pois a TIR é menor que a taxa de retorno esperada

do projeto.



140

1.6 CONCLUSÃO

Como vimos, o VPL é fácil de calcular e seu resultado...

§ quando positivo, nos informa que a operação é lucrativa;

§ quando negativo, nos informa que a operação vai resultar em um prejuízo.

Isso ocorre porque o VPL positivo significa que dado projeto vale mais do que custa. Inversamente,

quando o VPL é negativo, o projeto custa mais do que vale.

Já a TIR serve para determinar se um projeto será lucrativo ou não, dependendo de a TIR ser

maior ou menor do que a taxa de custo de capital do projeto.



1.8 SÍNTESE


1.9 AVALIAÇÃO


1.10 JOGO


1.11AUTOAVALIAÇÃO

Acesse, no ambiente on-line, a autoavaliação deste módulo.


Muito bem! Vamos passar agora aos exercícios de fixação!


141

UNIDADE 2 - ATIVIDADES


QUESTÃO 1

Oferecem a você um projeto de investimento em uma vacina contra dengue. Nesseprojeto, você deverá investir R$ 10.000,00.

Quando você calculou o valor presente deste projeto, verificou que seu valor hoje é R$ 13.500,00.

Qual é o VPL desse projeto? Você investiria nesse projeto?

a) Não. O VPL é positivo R$ 3.500,00. O lucro vale hoje R$ 3.500,00.

b) Não. O VPL é negativo R$-3.500,00. O prejuízo vale hoje R$ 3.500,00.

c) Sim. O VPL é positivo R$ 3.500,00. O lucro vale hoje R$ 3.500,00.

d) Sim. O VPL é positivo R$ 13.500,00. O lucro vale hoje R$ 13.500,00.

e) Sim. O VPL é positivo R$ 10.000,00. O lucro vale hoje R$ 10.000.00.

QUESTÃO 2

Você está pensando em investir suas economias em uma escola para crianças e tem uma proposta

para comprar um imóvel por R$ 250.000,00 à vista. Você espera obter, durante 3 anos, comoresultados...

§ R$ 60.000,00 ao final do primeiro ano;

§ R$ 80.000,00 ao final do segundo ano;§ R$ 120.000,00 no final do terceiro ano.

Ao final do terceiro ano, você pretende vender a escola por R$ 300.000,00. A taxa adequada paraseus cálculos é 18% ao ano.

Você investe ou não? Qual é o VPL deste projeto?

a) Sim, pois o VPL é R$ 250.000,00.

b) Sim, pois o VPL é R$ 113.927,18.

c) Sim, pois o VPL é R$ 300.000,00.

d) Sim, pois o VPL é R$ 560.000,00.

e) Sim, pois o VPL é R$ 563.975,53.


142

QUESTÃO 3

Você é um dos gerentes de uma grande corporação. Na reunião semanal, alguns executivos lhe

apresentaram um projeto que requer investimentos da ordem de R$ 20.000.000,00. Os lucros

líquidos esperados desse projeto são...

§ R$ 4.800.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 7.500.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 9.600.000,00 em t=3 anos.

A partir dessa data, o projeto estará encerrado, nada mais havendo a receber. A taxa de desconto

adequada aos fluxos de caixa deste projeto é 12% ao ano.

Você investe ou não nesse projeto? Qual é seu VPL?

a) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 2.902.241,25.

b) Sim, o VPL é positivo. VPL = R$ 2.902.241,25.

c) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 20.000.000,00.

d) Sim, o VPL é positivo. VPL = R$ 20.000.000,00.

e) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 22.902.241,25.

QUESTÃO 4

Você deve decidir se investe ou não no projeto Criança na Praça, para melhoria de um playground,

cujo custo, hoje, é R$ 6.200.000,00. Esse projeto tem uma projeção dos seguintes lucros líquidos

futuros...

§ R$ 2.280.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 3.440.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 4.240.000,00 em t=3 anos.

A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Criança na Praça é 18% ao ano.

Você investirá ou não nesse projeto? Qual é o seu VPL?

a) Sim, o VPL = R$ 5.416.647,27.

b) Sim, o VPL = R$ 6.200.000,00.

c) Não, o custo é = - R$ 6.200.000,00.

d) Sim, o VPL = R$ 783.352,73.

e) Sim, o VPL = R$ 6.983.352,73.


143

QUESTÃO 5

Sua empresa está precisando de up grade tecnológico. Você está em dúvida: investir ou não

R$ 8.500.000, hoje, em um novo projeto de up grade tecnológico. Esse projeto deverá trazer

benefícios, através dos seguintes fluxos de caixa líquidos...

§ R$ 2.600.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 3.700.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 5.800.000,00 em t=3 anos.

A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa deste projeto é 18% ao ano.

Calcule o VPL deste projeto, para tomar sua decisão. Você investiria?

a) Não. O custo é = - R$ 8.500.000,00.

b) Não. O VPL = - R$ 109.268,72.

c) Sim. O custo é = R$ 8.500.000,00.

d) Não. O VPL = R$ 109.268,72.

e) Não. O VPL = - R$ 8.609.268,72.

QUESTÃO 6

Você está na dúvida se investe em um projeto que envolve terceirizar temporariamente o transporte

de caixas de pão de queijo. Analistas de mercado garantem que, com isso, as vendas podem

aumentar em 30% durante essa terceirização e, com seu encerramento, os negócios devem

retornar no mês seguinte, a seu nível histórico.

O transporte proposto custa R$ 40.000,00 por mês e você terá de investir em transporte no início

do mês para receber pelas vendas no fim do mês. A taxa do custo do capital é de 7%.

Você deve analisar os seguintes dados...

nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000 unidades/mês.

preço de venda de cada produto – R$ 10,00.

custos fixos para qualquer nível de vendas – R$ 150.000,00.

custos variáveis por produto – R$ 3,00.

impostos e taxas sobre o lucro bruto – 30%.


144

Você deve ou não deve terceirizar o transporte? Analise a questão, utilizando o VPL.

a) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 97.383,18.

b) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 137.383,20.

c) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 40.000,00.

d) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 57.383,20.

e) Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 27.583,20.

QUESTÃO 7

Você pode investir em projeto que envolve uma campanha de publicidade para aumentar, em

rede internacional, as vendas de bolos de nozes. Analistas de mercado garantem que as vendas

podem aumentar em 30% durante a campanha e, com seu encerramento, os negócios devem

retornar no mês seguinte, a seu nível histórico.

A campanha proposta custa R$ 40.000,00 por mês. Você investirá em propaganda e terá 30 dias

para pagar – isto é, pagará no fim de cada mês –, recebendo pelas vendas também no fim de cada

mês. A taxa do custo do capital é de 7%.


nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000/mês.


custos fixos para qualquer nível de venda – R$ 150.000,00.



Você deve ou não deve fazer a campanha? Analise a questão, utilizando o VPL.

a) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 137.383,20.

b) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 37.383,20.

c) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 100.000,00.

d) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 137.848,50.

e) Sim. Você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 230.848,10.


145

QUESTÃO 8

Você está na dúvida se investe ou não em um projeto que envolve uma campanha de publicidade

para aumentar, em rede internacional, as vendas de equipamentos para natação. Analistas de

mercado garantem que as vendas podem aumentar em 30% durante 3 meses, se a campanha

toda for realizada no início do primeiro mês.

A campanha proposta custa R$ 40.000,00. Você investirá em uma única propaganda no início do

primeiro mês e, durante 3 meses, terá as vendas de seu produto aumentadas em 30%. Você

receberá pelas vendas no fim de cada mês. A taxa do custo do capital é de 7%.


nível histórico de vendas – sem a campanha de publicidade – 100.000/mês.


custos fixos para qualquer nível de vendas – R$ 150.000,00.



Você deve ou não deve fazer a campanha? Analise a questão, utilizando o VPL.

a) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 275.554,61.

b) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 385.774,46.

c) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 243.455,76.

d) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 345.774,46.

e) Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 146.774,26.


146

QUESTÃO 9

Você tem a oportunidade de retirar seus recursos de uma aplicação, a uma taxa de 24%

ao ano, no Banco Porto, para investir no projeto musical Rock of the Year.

Você terá de aplicar R$ 1.000,00 hoje, para receber, ao final de um ano, R$ 1.200,00.

Calcule a TIR desse projeto, para saber se Mourão deverá investir no projeto do Rock of

the Year.

a) A TIR é 100%. Não, pois o Banco Porto paga mais.

b) A TIR é 10%. Não, pois o Banco Porto paga mais.

c) A TIR é 50%. Não, pois o Banco Porto paga mais.

d) A TIR é 200%. Não, pois o Banco Porto paga mais.

e) A TIR é 20%. Não, pois o Banco Porto paga mais.

QUESTÃO 10

Você foi convidado a investir em uma fábrica de pães de queijo que tem 2 anos de vida

economicamente útil. Caso resolva nela investir, você deverá aplicar R$ 400.000,00. Você espera

receber como lucro...

§ R$ 280.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 270.000,00 em t=2 anos.

Não existe valor residual algum desse projeto. Para tomar uma decisão, você precisa saber qual é

a taxa de retorno anual que vai obter.

Qual é a TIR desse projeto?

a) Você deverá receber uma taxa de 24,30% ao ano.

b) Você deverá receber uma taxa de 12,30% ao ano.

c) Você deverá receber uma taxa de 42,30% ao ano.

d) Você deverá receber uma taxa de 20,00% ao ano.

e) Você deverá receber uma taxa de 33,78% ao ano.


147

QUESTÃO 11

O projeto para montar uma livraria virtual custa R$ 3.500.000,00, caso você decida implementá-

lo hoje. Esse projeto promete pagar...

§ R$ 500.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 600.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 700.000,00 em t=3 anos, ocasião em que você pretende vender a livraria

virtual por R$ 6.000.000,00.

O custo do capital para financiar esse projeto é de 14% ao ano.

Você investe nesse projeto? Qual é sua TIR?

a) Sim. Ele dará 63,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.

b) Sim. Ele dará 3,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.

c) Sim. Ele dará 43,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.

d) Sim. Ele dará 23,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.

e) Sim. Ele dará 33,88% ao ano e o custo de capital é 14% ao ano.

QUESTÃO 12

O projeto Tupinambá, de revenda de artesanato indígena, custa R$ 8.800,00. Este projeto promete

pagar...

§ R$ 3.420,00 em t=1 ano;

§ R$ 4.680,00 em t=2 anos;

§ R$ 1.530,00 em t=3 anos.

Qual é a TIR do projeto Tupinambá?

a) A TIR do projeto Tupinambá é 15,16%.

b) A TIR do projeto Tupinambá é 5,16%.

c) A TIR do projeto Tupinambá é 7,16%.

d) A TIR do projeto Tupinambá é 4,16%.

e) A TIR do projeto Tupinambá é 2,16%.


148

QUESTÃO 13

Foi aprovado o projeto de Dessalinização da Baía de Guanabara. Esse projeto custaria

R$ 2.500.000,00, se você decidisse implementá-lo hoje.

O lucro esperado desse projeto é...

R$ 1.200.000,00 ao final do primeiro ano.

R$ 1.400.000,00 ao final do segundo ano.

R$1.500.000,00 ao final do terceiro ano.

A partir do terceiro ano, o projeto estará obsoleto e será simplesmente abandonado não tendo

mais nenhum valor econômico.

A CEF pode financiá-lo a uma taxa de 16% ao ano.

Você investe ou não nesse projeto? Qual é a sua TIR?

a) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do

capital é 16% enquanto o retorno é 18,20%. TIR = 18,20% ao ano.

b) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do

capital é 16%, enquanto o retorno é 8,20%. TIR = 8,20% ao ano.

c) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do


d) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do


e) Sim. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O custo do



149

QUESTÃO 14

Você está em dúvida se investe ou não no projeto software Epimetheus. O custo de implementação

desse projeto é R$ 8.000,00. Esse projeto promete pagar...

§ R$ 5.500,00 em t=1;

§ R$ 5.400,00 em t=2;

§ R$ 4.200,00 em t=3.

Qual é a TIR do projeto software Epimetheus?

a) A taxa interna de retorno – TIR – é de 34,839%.

b) A taxa interna de retorno – TIR – é de 12,736%.

c) A taxa interna de retorno – TIR – é de 22,189%.

d) A taxa interna de retorno – TIR – é de 42,189%.

e) A taxa interna de retorno – TIR – é de 32,189%.

QUESTÃO 15

Você é a pessoa que decide em sua empresa. Hoje, na reunião, alguns executivos irão lhe apresentar

um projeto que requer investimentos da ordem de R$ 10.000.000,00. Os lucros líquidos esperados

desse projeto são da seguinte ordem...

§ R$ 2.800.000,00 em t=1 ano, ao final do primeiro ano;

§ R$ 5.200.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 5.600.000,00 em t=3 anos.

A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa desse projeto é 16% ao ano.

Você investe? Qual é o VPL desse projeto?

a) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 113.726,43.

b) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 142.726,28.

c) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 134.076,84.

d) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 131.132,87.

e) Não, o VPL é negativo. VPL = - R$ 132.543,22.


150

QUESTÃO 16

Você é o responsável pelas decisões de um grupo de investidores e deve decidir se investe ou

não, hoje, R$ 7.000.000,00 no projeto Software Epimetheus.O retorno desse projeto ocorrerá

através da seguinte seqüência de fluxos de caixa líquidos...

§ R$ 3.200.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 2.800.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 3.400.000,00 em t=3 anos.

A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Software Epimetheus é de 20% ao

ano.

Qual é sua decisão? Investir ou não? Qual é o VPL desse projeto?

a) Não investiria. VPL = - R$ 431.946,43.

b) Não investiria. VPL = - R$ 429.229,04.

c) Não investiria. VPL = - R$ 425.333,24.

d) Não investiria. VPL = - R$ 426.379,20.

e) Não investiria. VPL = - R$ 421.296,30.

QUESTÃO 17

O projeto para internet, NT, custaria R$ 2.300.000,00, caso você decidisse implementá-lo hoje. O

projeto NT promete pagar...

§ R$ 920.000,00 em t=1 ano;

§ R$ 770.000,00 em t=2 anos;

§ R$ 870.000,00 em t=3 anos.

O custo do capital que pode financiar esse projeto é 14% ao ano.

Você investe? Qual é a TIR do projeto NT?

a) Não. O retorno é 5,61% ao ano, o custo do capital é 14%.

b) Não. O retorno é 4,61% ao ano, o custo do capital é 14%.

c) Não. O retorno é 6,61% ao ano, o custo do capital é 14%.

d) Não. O retorno é 3,61% ao ano, o custo do capital é 14%.

e) Não. O retorno é 7,61% ao ano, o custo do capital é 14%.


151

QUESTÃO 18

O projeto Vovós Doceiras, para o financiamento de uma fábrica de doces, custaria R$ 2.800.000,00,

caso você decidisse implementá-lo hoje.

O projeto Vovós Doceiras promete pagar...

R$ 1.420.000,00 em t=1 ano.

R$ 880.000,00 em t=2 anos.

R$ 930.000,00 em t=3 anos.

O custo do capital que pode financiar esse projeto é 25% ao ano.

Qual é sua decisão? Investir ou não? Qual é a TIR do projeto Vovós Doceiras?

a) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 6,16% ao ano.

b) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 7,16% ao ano.

c) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 8,16% ao ano.

d) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 9,16% ao ano.

e) Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 10,16% ao ano.


152

QUESTÃO 19

Você deve decidir se sua firma investirá ou não no aumento de produção. Esse projeto promete

dar como retorno a seguinte seqüência de fluxos de caixa...

§ R$ 1.800,00, em t=1 ano;

§ R$ 4.200,00, em t=2 anos;

§ R$ 5.600,00, em t=3 anos.

O custo para implementar esse projeto, hoje, é R$ 9.000,00. A taxa de desconto adequada aos

fluxos de caixa do projeto é 8% ao ano.

Você investe ou não? Qual é o VPL desse projeto?

a) Sim, o VPL = R$ 733,45.

b) Sim, o VPL = R$ 723,54.

c) Sim, o VPL = R$ 710,33.

d) Sim, o VPL = R$ 712,95.

e) Sim, o VPL = R$ 708,66.

QUESTÃO 20

Você é o responsável pelas decisões de um grupo de investidores. Você deve decidir se investirá

ou não, hoje, R$ 1.000.000,00 no projeto Mobilis. O retorno desse projeto ocorrerá através da

seguinte seqüência de fluxos de caixa líquidos...

§ R$ 280.000,00, em t=1 ano;

§ R$ 460.000,00, em t=2 anos;

§ R$ 580.000,00, em t=3 anos.

A taxa de desconto adequada aos fluxos de caixa do projeto Mobilis é 17% ao ano.

Você investe ou não? Qual é o VPL desse projeto?

a) Não, o VPL = - R$ 57.876,22.

b) Não, o VPL = - R$ 62.512,60.

c) Não, o VPL = - R$ 64.523,22.

d) Não, o VPL = - R$ 59.888,32.

e) Não, o VPL = - R$ 61.132,30.


153

GABARITOS

QUESTÃO 1

Gabarito: Você deve investir. O VPL é positivo, ou seja, R$ 3.500,00. Você terá um lucro que vale

hoje R$3.500,00.

QUESTÃO 2

Gabarito: Você deve investir, pois o VPL é R$ 113.927,18.


154

QUESTÃO 3

Gabarito: Não investir. O VPL é negativo. VPL = - R$ 2.902.241,25.

QUESTÃO 4

Gabarito: Sim. Você deverá investir. VPL = R$ 783.352,73.

QUESTÃO 5

Gabarito: Não investiria. VPL = - R$ 109.268,72.


155

QUESTÃO 6

Gabarito: Sim. Você deve investir, pois o VPL é de R$ 97.383,18.

Resultado líquido mensal sem terceirização notransporte...


156

QUESTÃO 7

Gabarito: Sim, você deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 100.000,00.


157

QUESTÃO 8

Gabarito: Sim. Deve investir na campanha, pois o VPL é R$ 345.774,46.


158

QUESTÃO 9

Gabarito: A TIR é 20%. Não investir, pois você está recebendo mais no Banco Porto.

QUESTÃO 10

Gabarito: Você deverá receber uma taxa de 24,30% ao ano.

QUESTÃO 11

Gabarito: Investir. O projeto retorna 33,88% ao ano, o que é bem maior do que o custo de capital

do projeto, que é 14% ao ano.


159

QUESTÃO 12

Gabarito: A TIR do projeto Tupinambá é 5,16%.

QUESTÃO 13

Gabarito: Sim, investiria. A taxa de retorno é superior à taxa do custo do capital do projeto. O

custo do capital é 16%, enquanto o retorno é 28,20%. IRR = 28,19% ao ano.

QUESTÃO 14

Gabarito: A taxa interna de retorno – TIR – é de 42,189%.


160

QUESTÃO 15

Gabarito: Não investir: o VPL é negativo. VPL = - R$ 134.076,84.

QUESTÃO 16

Gabarito: Não investiria. VPL = - R$ 421.296,30.

QUESTÃO 17

Gabarito: Não investir. O projeto retorna apenas 5,61% ao ano e o custo do capital necessário

para investir é 14% ao ano.


161

QUESTÃO 18

Gabarito: Não investiria. O custo do capital é maior do que a taxa interna de retorno do projeto.

TIR = 8,16% ao ano.

QUESTÃO 19

Gabarito: Sim, investiria: o VPL = R$ 712,95.

QUESTÃO 20

Gabarito: Não investiria: o VPL = - R$ 62.512,60.


162

2.2 ATIVIDADE INDIVIDUAL – DESENHO ANIMADO

Antes de iniciar a próxima tarefa, assista ao desenho animado, no ambiente on-line, que introduz

a problemática da Atividade Individual Financiar ou comprar à vista.

2.2.1 ATIVIDADE INDIVIDUAL – TAREFA

Nesta atividade individual, analisaremos a relação entre aplicações financeiras e financiamentos

na compra de automóveis.

Por esta tarefa, você poderá receber de 0 a 10 pontos.

Observe a grade de correção utilizada pelo Professor-Tutor na avaliação dessa atividade,

disponível no Anexo 2.

Acesse, na biblioteca virtual, a categoria de formatação de trabalhos acadêmicos.

INFORMAÇÕES SOBRE A ATIVIDADE INDIVIDUAL

Existem inúmeros investimentos disponíveis que podem ser realizados por qualquer

investidor que disponha de capital. Sabemos ainda que todo o capital aplicado, em

qualquer investimento, recebe uma remuneração que pode ser maior ou menor,

dependendo do tipo de investimento.

As aplicações devem remunerar o capital, através dos juros, o que constitui o conceito de

valor do dinheiro no tempo.

Todo capital parado e não investido – que não está sendo remunerado – perde o que poderia

estar recebendo sob a forma de juros, o que configura uma medida de custo de

oportunidade perdido.

Objetivo

Analisar a relação entre aplicações financeiras e financiamentos na compra de automóveis.

Suporte

Para realizar esta atividade, faça uma pesquisa em sites de revendedores de automóveis de sua

cidade sobre as linhas de carros populares disponíveis, analisando...

§ o preço destes automóveis;

§ as ofertas de desconto na compra à vista;

§ as formas de financiamento disponíveis;

§ a taxa de juros e o prazo desses financiamentos.


163

Tarefa

A partir do material pesquisado...

§ analise a possibilidade de os juros estarem embutidos no valor do automóvel;

§ pesquise, em sites de instituições financeiras, dois tipos de aplicações disponíveis;

§ identificando como a taxa de juros incide sobre tais aplicações;

§ compare as ofertas de financiamento das revendedoras com a possibilidade de

aplicação e resgate do dinheiro nas instituições financeiras;

§ indique qual seria a forma de compra de automóveis populares mais vantajosa para

o consumidor...

§ o deixar o dinheiro aplicado e utilizar o financiamento proposto pela

revendedora;

§ o resgatar o dinheiro aplicado e pagar à vista.

Registro do trabalho

Registre os dados desta atividade na Matriz de atividade individual. Para tal...

§ acesse o arquivo com a Matriz de atividade individual, disponível no ambiente

on-line;

§ abra o arquivo;

§ salve esse arquivo em seu computador;

§ preencha a matriz com os dados de seu trabalho;

§ salve seu trabalho;

§ encaminhe o trabalho ao Professor-Tutor para correção.

2.2.2 APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO

Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta atividade começam no início

desta seção, ou seja, na tela da animação.

Não se esqueça de verificar a data agendada para esta atividade no calendário.

Para saber como apresentar seu trabalho ao Professor-Tutor na sala de aula, leia o

Anexo 1.


164

MATRIZ DE ATIVIDADE INDIVIDUAL*

*Esta matriz serve para a apresentação de trabalhos a serem desenvolvidos segundo ambas as

linhas de raciocínio: lógico-argumentativa ou lógico-matemática.


165

MÓDULO 5 – ENCERRAMENTO

APRESENTAÇÃO

Na unidade 1 deste módulo, você encontrará algumas divertidas opções para testar seus

conhecimentos sobre o conteúdo desenvolvido em toda a disciplina, a fim de se preparar para

seu exame final. São elas...

§ caça-palavras;

§ jogo da memória;

§ jogo da caça;

§ jogo do labirinto.

A estrutura desses jogos é bem conhecida por todos. Você poderá escolher o jogo de sua preferência

ou jogar todos eles... a opção é sua! Em cada um deles você encontrará perguntas – acompanhadas

de gabaritos e comentários – por meio das quais você poderá se autoavaliar.

Na unidade 2, você encontrará um simulado para testar seus conhecimentos, resgatando todos os

módulos da disciplina.

Já, na unidade 3, é hora de falarmos sério! Sabemos que o novo – e a disciplina que você terminou

de cursar enquadra-se em uma modalidade de ensino muito nova para todos nós, brasileiros –

tem de estar sujeito à crítica... a sugestões... a redefinições. Por estarmos cientes desse processo,

contamos com cada um de vocês para nos ajudar a avaliar nosso trabalho.

Finalmente, como é indicado ao final deste módulo, este é o momento de nos prepararmos para

a avaliação final da disciplina que será feita presencialmente na instituição conveniada ao Programa

FGV Management mais próxima à cidade em que você reside.

Lembre-se... Apesar de essas atividades não serem pontuadas na sua média

final, o objetivo delas é lhe oferecer saber... De preferência, com algum sabor...

Divirta-se...

Matemática Financeira A N E X O S

167

ANEXOS

ANEXO 1

APRESENTAÇÃO DO TRABALHO PARA CORREÇÃO

Para enviar seu trabalho ao Professor-Tutor para correção...

§ vá à área de <discussões particulares>;

§ clique no ícone <nova mensagem>;

§ no campo <para>, selecione o Professor-Tutor;

§ você também poderá iniciar uma nova mensagem particular, quando na área

discussões gerais. Para isso, clique em <lista de usuários>, no alto da página.

Selecione o Professor-Tutor e, na janela aberta do perfil desse usuário, clique no

ícone <MP>, de mensagem privada;

§ no campo <assunto>, selecione <atividade individual – solicitar revisão>

(caso esteja enviando a tarefa pela primeira vez ao Professor-Tutor) ou <entrega

final> (caso esteja enviando a tarefa para a atribuição de nota);

§ na área <mensagem>, anexe seu trabalho clicando no ícone <adicionar anexo>,

disponível na tela;

§ se preferir, digite seu trabalho. Para isso, você ainda terá a opção de selecionar a

fonte, o tamanho e a cor de seu texto;

§ à esquerda da tela, você encontrará diferentes opções de Emoticons – cuja utilização,

contudo, não é obrigatória – para personalizar seu texto;

§ a qualquer momento da edição de seu texto, você poderá <pré-visualizar> a

forma de exibição da mensagem ou ainda <limpar tudo> o que escreveu;

§ você poderá optar ainda por acrescentar ser avisado quando sua mensagem for

lida, selecionando <notificar-me quando a mensagem for lida>;

§ salve a mensagem.

Lembre-se de que as orientações sobre o desenvolvimento desta tarefa começam na primeira

seção da atividade.

Matemática FinanceiraA N E X O S

168

ANEXO 2

GRADE DE CORREÇÃO DE ATIVIDADES1

Atividade individual (AI1 e AI2) – 0 a 10 pontos

1 Quando o item não se aplicar, considerar a pontuação máxima.

Matemática Financeira A N E X O S

169

Participação Individual (PI) – 0 a 2 pontos

Pontualidade 0 a 1 ponto

Atividade individual 1 (AI1)Atividade individual (AI) entregue dentro do prazo

0 0,25 0,5

Atividade individual 2 (AI2)Atividade individual (AI) entregue dentro do prazo

0 0,25 0,5

Interação 0 a 1 pontoAbertura e encerramentoParticipação nas atividades de abertura eencerramento (perfil, resposta a mensagens deboas-vindas).

0 0,25 0,5

Debates adicionaisParticipação, com contribuições significativas, nasdiscussões de módulos promovidas pelo Professor-Tutor dentro da sala de aula.

0 0,25 0,5

versão 6 – setembro/2012 - FGV -...

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Transcript of versão 6 – setembro/2012 - FGV -...