Vetor ÁreaO vetor área possui magnitude S igual à área da superfície e direção ortogonal ao plano definido pela área. O sentido pode ser arbitrário, em se tratando de uma superfície aberta. Em se tratando de uma superfície fechada, o vetor área está orientado para fora da superfície.

Exercício: Considere o objeto mostrado. Determine: (a) a distância BC; (b) a distância CD; (c) a superfície ABCD; (d) a superfície ABO; (e) a superfície AOFD; (f) O volume ABCDFO.

Exercício: Considere o objeto mostrado. Determine: (a) a distância BC; (b) a distância CD; (c) a superfície ABCD; (d) a superfície ABO; (e) a superfície AOFD; (f) O volume ABCDFO.

Exercício: Uma partícula de massa “m” desliza sem atrito, a partir do repouso ao longo de uma rampa de raio “R” .Calcule o trabalho realizado pelo campo gravitacional.

2

mg

R

CsenxCosxdx

1

A integral de linhaA integral de linha é uma generalização da integral definida, em que os limites de integração são substituídos por uma curva

Quando o caminho for toda uma curva fechada C, costumamos representar por:

dlFC

Exercício: Calcule o trabalho realizado sobre o carrinho para deslocá-lo do ponto a para o ponto b. O ponto a, no plano cartesiano é o ponto (1,1) e o ponto b é o ponto (4,2).

b

a

ldFW

yx uxyuxyF 43

Exercício: Calcule o trabalho realizado sobre o carrinho para deslocá-lo do ponto a para o ponto b. O ponto a, no plano cartesiano é o ponto (1,1) e o ponto b é o ponto (4,2).

Exercício: Calcule a circulação do vetor força.

yx uxyuxyF 43

dlFWC

Exercício: Calcule a circulação do vetor força.

A integral de superfície

A analogia é feita pela relação da integral de superfície pela área da superfície, que é semelhante à relação da integral de linha com o comprimento do arco.

A integral de superfície de uma função é análoga à integral de linha, embora geometricamente os conceitos sejam diferentes.

Sk

S

O FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL

Quando v é perpendicular ao plano a taxa é dada por:

Suponhamos que se dirija uma corrente de ar com velocidade constante v para uma pequena malha de área A. A vazão volumétrica é dada por:

AvvA

Para ângulo entre 0 e 90 graus a taxa depende da componente de v que é normal ao plano.

Esta taxa de escoamento através de uma área é um exemplo de fluxo: um fluxo volumétrico.

O FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL

Sd

dS

S

V

SSV dSVCosSdV

Inicialmente definiremos um vetor área como sendo um vetor cujo módulo é igual a área e cuja direção é normal ao plano da área.

Sd

O significado do fluxo de um campo vetorial pode ser entendido como a quantidade de um campo que esta área intercepta.

Se o produto for igual a zero, significa que este campo vetorial não flui através do elemento de área.

SdV