Vetores no Plano e no Espaco -...
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Vetores no Plano e no Espaço Prof. Rossini Bezerra FBV FBV Introdução • Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido. Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. • Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço. – A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade – E o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. • Segmentos orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento representam o mesmo vetor. A direção, o sentido e o comprimento do vetor são definidos como sendo a direção, o sentido e o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam.
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Veto
res no
Plan
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aço
Pro
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Intro
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vertical. Os eixo
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tais e satisfazem a segu
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com
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y. –
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s da m
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x p
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.
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do
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do
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lano
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rden
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A terceira co
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’, se P estiver acim
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com
prim
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Veto
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Espaço
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s co
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lano
s po
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s plan
os
coo
rden
ado
s.–
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o p
lano
paralelo
ao p
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do
p
or P, co
m o
eixo z d
etermin
a a coo
rden
ada z.
–A
interseção
do
plan
o p
aralelo ao
plan
o xz, p
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o
po
r P, com
o eixo
y determ
ina a co
ord
enad
a y–
A in
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lano
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do
p
or P, co
m o
eixo x d
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sistema d
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efinim
os as co
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, v2, v3
) do
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al do
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Espaço
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bém
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paralelo
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do
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terseção d
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lano
paralelo
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yz, passan
do
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or P, co
m o
eixo x d
etermin
a a coo
rden
ada x.
•A
gora, estam
os p
ron
tos p
ara utilizarm
os u
m
sistema d
e coo
rden
adas cartesian
as, tamb
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as o
peraçõ
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res no
espaço
. •
Seja V u
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r no
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. Co
mo
no
caso d
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Seja V u
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r no
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mo
no
caso d
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res do
plan
o, d
efinim
os as co
mp
on
en
tes d
e V
co
mo
sen
do
as co
ord
en
ad
as (v1
, v2, v3
) do
po
nto
fin
al do
represen
tante d
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ue tem
po
nto
inicial
na o
rigem.
•Tam
bém
vamo
s iden
tificar o veto
r com
as suas
com
po
nen
tes e vamo
s escrever simp
lesmen
te V
=(v1, v2
, v3)
•A
ssim, as co
ord
enad
as de u
m p
on
to P
são igu
ais as co
mp
on
entes d
o veto
r OP
qu
e vai da o
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o sistem
a co
mp
on
entes d
o veto
r OP
qu
e vai da o
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o sistem
a d
e coo
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adas ao
po
nto
P. Em p
articular, o
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ulo
, ¯0
=(0,0
,0). A
ssim, co
mo
fizemo
s para veto
res no
plan
o,
para veto
res no
espaço
a som
a de veto
res e a m
ultip
licação d
e vetor p
or escalar p
od
em ser realizad
as em
termo
s das co
mp
on
entes.
–Se V
= (v1, v2
, v3) e W
= (w1
,w2
,w3
), então
a adição
de V
–
Se V = (v1
, v2, v3
) e W = (w
1,w
2,w
3), en
tão a ad
ição d
e V
com
W é d
ada p
or V
+W = (v1
+ w1
, v2 + w
2, v3
+ w3
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•Se V
= (v1, v2
, v3) e α
é u
m e
scala
r, en
tão
a
mu
ltiplica
ção
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V p
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ad
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or α
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(αv1
,αv2
,αv3
).
Exemp
los
•1
-Se V
= (1,-2
, 3), W
= (2, 4
,-1), en
tão•
V +W
= (1+2
,-2+4
,3+(-1
))=(3,2
,2),
•V
+W = (1
+2,-2
+4,3
+(-1))=(3
,2,2
),
•3
V= (3
1,3
(-2), 3
3) = (3
,-6, 9
).
–O
bs.: Q
uan
do
um
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está represen
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po
r um
segm
ento
orien
tado
com
po
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inicial fo
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rigem,
digam
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P = (x
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1 ), e po
nto
final em
Q = (x
2 ,y2 ,z
2 ), en
tão as co
mp
on
entes d
o veto
r V são
dad
as po
r V
=PQ
=OQ
-OP
=(x2 -
x1 ,y
2 -y1 ,z
2 -z1 ).
=PQ
=OQ
-OP
=(x2 -
x1 ,y
2 -y1 ,z
2 -z1 ).
•2
-A
s com
po
nen
tes do
vetor V
qu
e tem u
m
represen
tante co
m p
on
to in
icial P = (5
/2, 1
, 2) e
po
nto
final Q
= (0, 5
/2, 5
/2) são
dad
as po
r V =P
Q= (0
-
5/2
, 5/2
-1
, 5/2
-2
) = (-5/2
, 3/2
, 1/2
).
Rep
resentação
Matricial
•U
m veto
r no
espaço
V=(v
1 ,v2 ,v
3 ) po
de tam
bém
ser escrito
na n
otação
matricial co
mo
um
a ma
triz linh
a o
u
com
o u
ma
ma
triz colu
na
: ou
escrito n
a no
tação m
atricial com
o u
ma m
atriz lin
ha
ou
co
mo
um
a m
atriz co
lun
a: o
u
•Estas n
otaçõ
es po
dem
ser justificad
as pelo
fato d
e qu
e as o
peraçõ
es matriciais
Rep
resentação
Matricial
•P
rod
uzem
os m
esmo
s resultad
os q
ue as o
peraçõ
es veto
riais:veto
riais:
–V
+W = (v
1 ,v2 ,v
3 )+(w1 ,w
2 ,w3 )=(v
1 +w1 ,v
2 +w2 ,v
3 +w3 ),
–α
V=
α(v
1 , v2 , v
3 ) = (α
v1 , α
v2 , α
v3 ).
•O
mesm
o vale, n
aturalm
ente, p
ara vetores n
o
plan
o.
plan
o.
•N
o teo
rema segu
inte en
un
ciamo
s as pro
pried
ades
mais im
po
rtantes d
a som
a de veto
res e m
ultip
licação d
e vetores p
or escalar.
Teorem
as
•Teo
rema 1
-Sejam
U, V
e W veto
res e αe
βe
scala
res. S
ão
válid
as a
s seg
uin
tes p
rop
ried
ad
es:
esca
lare
s. Sã
o vá
lida
s as se
gu
inte
s pro
prie
da
de
s:
–(a) U
+ V = V
+ U;
–(b
) (U + V
) +W = U
+ (V +W
);
–(c) U
+ 0 = U
;
–(d
) U + (-U
) = 0;
–(e) α
(β U
) = (α
β ) U
;–
(e) α (β
U) =
(α β
) U;
–(f) α
(U +
V) =
α U
+ α
V;
–(g) (α
+ β
)U =
α U
+ β
U;
–(h
) 1 U
= U.
Exemp
los
•Exem
plo
3. Seja u
m triân
gulo
AB
C e sejam
M e N
os p
on
tos
méd
ios d
e AC
e BC
, respectivam
ente. V
amo
s pro
var qu
e M
N é p
aralelo a A
B e tem
com
prim
ento
igual a m
etade d
o
MN
é paralelo
a AB
e tem co
mp
rimen
to igu
al a metad
e do
co
mp
rimen
to d
e AB
. •
Devem
os p
rovar q
ue:
Ago
ra, a partir d
a figura acim
a tem
os q
ue:
MN
=MC
+CN
.
Co
mo
M é p
on
to m
édio
de A
C e N
é po
nto
méd
io d
e BC
, então
Co
mo
M é p
on
to m
édio
de A
C e N
é po
nto
méd
io d
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, então
Exemp
los
Exemp
los
Pro
du
tos d
e Veto
res
•N
orm
a e Pro
du
to Escalar
•Já vim
os q
ue o
com
prim
en
to d
e u
m v
eto
r V é
de
finid
o
•Já vim
os q
ue o
com
prim
en
to d
e u
m v
eto
r V é
de
finid
o
com
o se
nd
o o
com
prim
en
to d
e qu
alqu
er um
do
s segm
ento
s orien
tado
s qu
e o rep
resentam
. •
O co
mp
rimen
to d
o veto
r V tam
bém
é cham
ado
de
no
rma
de
V e
é d
en
ota
do
(a) p
or |
|V
||
.
•S
eg
ue
do
Teorem
a de P
itágoras q
ue a n
orm
a de u
m
vetor p
od
e ser calculad
a usan
do
as suas co
mp
on
entes,
po
rp
or
no
caso em
qu
e V = (v
1 , v2 ) é u
m veto
r no
plan
o, e p
or
no
caso em
qu
e V = (v
1 , v2 , v
3 ) é um
vetor n
o esp
aço (verifiq
ue u
sand
o as Figu
ras1
2 e 1
3).
No
rma
•U
m veto
r de n
orm
a igual á 1
é cham
ado
ve
tor u
nitá
rio.
•A
distâ
ncia
en
tre d
ois p
on
tos P
= (x
1 , y1 , z
1 ) e Q
= (x
2 , y2 , z
2 ) •
A d
istân
cia e
ntre
do
is po
nto
s P =
(x1 , y
1 , z1 ) e
Q =
(x2 , y
2 , z2 )
é ig
ua
l á n
orm
a d
o veto
r PQ
. Co
mo
EXEM
PLO
Veto
r Un
itário
EXEM
PLO
PR
OD
UTO
INTER
NO
•O
pro
du
to e
scala
r ou
inte
rno
de
do
is ve
tore
s
V e
W é
de
finid
o p
or:
V e
W é
de
finid
o p
or:
•em
qu
e θé
o â
ng
ulo
en
tre e
les.
•em
qu
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o â
ng
ulo
en
tre e
les.
PR
OD
UTO
INTER
NO
PR
OD
UTO
INTER
NO
TEOR
EMA
EXEM
PLO
•Po
dem
os u
sar o Teo
rema 3
.2 p
ara determ
inar o
ângu
lo en
tre do
is veto
res não
nu
los, V
e W. O
cossen
o d
o ân
gulo
entre V
e W é,
então
, dad
o p
or
Exemp
lo
•V
amo
s determ
inar o
ângu
lo en
tre um
a diago
nal d
e um
cub
o e
um
a de su
as arestas. Sejam V
1= (1
, 0, 0
),V2
= (0, 1
, 0) e V
3=
(0, 0
, 1). U
ma d
iagon
al do
cub
o é rep
resentad
a pelo
vetor D
u
ma d
e suas arestas. Sejam
V1
= (1, 0
, 0),V
2= (0
, 1, 0
) e V3
= (0
, 0, 1
). Um
a diago
nal d
o cu
bo
é represen
tada p
elo veto
r D
dad
o p
or D
= V1
+ V2
+ V3
= (1, 1
, 1).
•En
tão o
ângu
lo en
tre D e V
1satisfaz
Teorem
a
•Sejam
U,V
e W veto
res e αu
m e
scala
r. Sã
o
válid
as a
s seg
uin
tes p
rop
ried
ad
es:
válid
as a
s seg
uin
tes p
rop
ried
ad
es:
•(a) (co
mu
tatividad
e) U.V
= V.U ;
•(b
) (distrib
utivid
ade) U
.(V +W
) = U.V
+ U.W
;
•(c) (asso
ciatividad
e) α(U
.V) =
(αU
).V =
U.(α
V);
•(d
) V.V = ||V
||2
≥ 0, p
ara tod
o V
e V.V = 0
se, e •
(d) V.V
= ||V||
2≥ 0
, para to
do
V e V.V
= 0 se, e
som
ente se, V
= 0.
Pro
jeção O
rtogo
nal
•D
ado
s do
is vetores V
e W a p
roje
ção
orto
go
na
l de
V
sob
re W
den
otad
ap
or p
roj
pro
jWW
VVV
sob
re W
den
otad
ap
or p
roj
pro
jWW
VV
•é o
vetor q
ue é p
aralelo a W
tal qu
e V -
pro
jWV
seja o
rtogo
nal a W
Pro
po
sição
•Seja W
um
vetor n
ão n
ulo
. Então
, a pro
jeção o
rtogo
nal d
e um
veto
r V em
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ada p
or
vetor V
em W
é dad
a po
r
Exemp
lo: Sejam
V = (2
,-1, 3
) e W = (4
,-1, 2
). Vam
os en
con
trar do
is vetores V
1e V
2tais
qu
e V = V
1+V
2 , V1
é paralelo
α.W
e V2
é perp
end
icular α
.W.Tem
os q
ue
V.W = 2
.4 + (-1
)(-1) + 3
2 = 1
5
Pro
du
to V
etorial
•V
amo
s, agora, d
efinir u
m p
rod
uto
entre d
ois veto
res, cu
jo resu
ltado
é um
vetor.
•Po
r isso, ele é ch
amad
o p
rod
uto
ve
toria
l. •
Por isso
, ele é cham
ado
pro
du
to v
eto
rial.
•E
ste p
rod
uto
tem
ap
licaçã
o, p
or e
xem
plo
, em
Física: –
A fo
rça exercida so
bre u
ma p
artícula co
m carga u
nitária
mergu
lhad
a nu
m cam
po
magn
ético u
nifo
rme é o
pro
du
to
vetorial d
o veto
r velocid
ade d
a partícu
la pelo
vetor cam
po
m
agnético
.
Defin
ição•
Sejam V
e W d
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res no
espaço
. Defin
imo
s o p
rod
uto
ve
toria
l, V x
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mo
se
nd
o o
ve
tor co
m as segu
intes características:
•(a) Tem
com
prim
ento
dad
o n
um
ericamen
te po
r –
||V x W
||= ||V
||.||W||
senθ
,–
||V x W
||= ||V
||.||W||
senθ
,
–o
u seja, a n
orm
a de V
x W é n
um
ericamen
te igual à área d
o p
aralelogram
o d
etermin
ado
p
or V
e W.
•(b
) Tem d
ireção p
erpen
dicu
lar a V e a W
.•
(c) Tem o
sentid
o d
ado
pela regra d
a mão
direita: Se o
ângu
lo en
tre V e W
é θ,
gira
mo
s o veto
r V d
e um
ângu
lo θ
até
qu
e co
incid
a co
m W
e a
com
pa
nh
am
os e
ste
mo
vime
nto
com
os d
ed
os d
a m
ão
direita, en
tão o
po
legar vai apo
ntar n
o sen
tido
de
V x W
.
Teorem
a
•D
a form
a com
o d
efinim
os o
pro
du
to veto
rial é difícil o
seu
cálculo
, mas as p
rop
riedad
es qu
e apresen
taremo
s a seguir
po
ssibilitarão
ob
ter um
a f órm
ula
para o
pro
du
to veto
rial em
cálculo
, mas as p
rop
riedad
es qu
e apresen
taremo
s a seguir
po
ssibilitarão
ob
ter um
a f órm
ula
para o
pro
du
to veto
rial em
termo
s das co
mp
on
entes d
os veto
res.•
Sejam U
,V e W
vetores n
o esp
aço e α
um
esca
lar. S
ão
vá
lida
s a
s seg
uin
tes p
rop
ried
ad
es:
(a) V x W
= -(W
x V) (an
ti-com
utativid
ade).
(b) V
x W = 0
se, e som
ente se, V
= αW
ou
W =
αV
.
(c) (Vx
W) .V
= (Vx
W)
.W = 0
.(c) (V
xW
) .V = (V
xW
).W
= 0.
(d) α
(V x W
) = (α
V)
xW
= V
x(α
W).
(e) V x (W
+ U) = V
x W + V
x U e (V
+W) x U
= V x U
+W x U
(D
istribu
tividad
e em relação
a som
a de veto
res).
Pro
du
to V
etorial
•D
a defin
ição d
e pro
du
to veto
rial po
dem
os o
bter facilm
ente as
•D
a defin
ição d
e pro
du
to veto
rial po
dem
os o
bter facilm
ente as
seguin
tes relações:
Ago
ra, estamo
s pro
nto
s para
ob
ter um
a fórm
ula q
ue d
ê o
pro
du
to veto
rial de d
ois
vetores em
termo
s das su
as co
mp
on
entes.
Teorem
a
•Sejam
V = (v
1 , v2 , v
3 ) e W = (w
1 ,w2 ,w
3 ) vetores n
o esp
aço.
Então
o p
rod
uto
vetorial V
x W é d
ado
po
r
Para ob
ter as com
po
nen
tes do
pro
du
to veto
rial V W
pro
cedem
os co
mo
se segu
e:Escreva a m
atriz:
Para calcular a p
rimeira co
mp
on
ente d
e V x W
, elimin
e a prim
eira colu
na
da m
atriz acima e calcu
le o d
etermin
ante d
a sub
-matriz resu
ltante.
A segu
nd
a com
po
nen
te é ob
tida, elim
inan
do
-se a segun
da co
lun
a e calcu
land
o-se o
determ
inan
te da su
b-m
atriz resultan
te com
o sin
al tro
cado
. A
terceira é ob
tida co
mo
a prim
eira, mas elim
inan
do
-se a terceira colu
na.
Exemp
lo
•Sejam
V = i + 2
j -2
k e W = 3
i +k. Vam
os d
etermin
ar o p
rod
uto
Pro
du
to M
isto
•O
pro
du
to (V
x W) . U
é cham
ado
pro
du
to m
isto d
e
U, V
e W
. U
, V e
W.
•O
resu
ltad
o a
ba
ixo m
ostra co
mo
calcular o
pro
du
to
misto
usan
do
as com
po
nen
tes do
s vetores
•Teo
rema: Sejam
U = u
1 i + u2 j + u
3 k, V = v
1 i + v2 j + v
3 k e W
= w1 i + w
2 j + w3 k. En
tão,
e W = w
1 i + w2 j + w
3 k. Então
,
Exemp
lo
Equ
ações d
os P
lano
s e Retas
•Eq
uação
do
Plan
o–
No
plan
o a eq
uação
geral de u
ma reta é a
x+b
y+c=
0.
–N
o p
lano
a equ
ação geral d
e um
a reta é ax+
by+
c=0
.
–N
o esp
aço u
m p
lano
é o co
nju
nto
do
s po
nto
s P=
(x,y,z) qu
e satisfazem
a equ
ação a
x+b
y+cz+
d=
0, p
ara a, b
, c, d ∈
ℜ
–É ch
amad
a eq
ua
ção
ge
ral d
o p
lan
o.
–E
xiste
um
a a
na
log
ia e
ntre
um
a re
ta n
o p
lano
e um
plan
o
no
espaço
.•
No
plan
o, a eq
uação
de u
ma reta é d
etermin
ada se fo
rem d
ado
s •
No
plan
o, a eq
uação
de u
ma reta é d
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ada se fo
rem d
ado
s su
a inclin
ação e u
m d
e seus p
on
tos.
•N
o esp
aço, a in
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de u
m p
lano
é caracterizada p
or u
m veto
r p
erpen
dicu
lar a ele, cham
ado
ve
tor n
orm
al a
o p
lan
o e
a e
qu
açã
o
de
um
pla
no
é d
ete
rmin
ad
a se
são
da
do
s um
ve
tor n
orm
al e
um
d
e seus p
on
tos.
Pro
po
sição•
A eq
uação
geral de u
m p
lano
πq
ue p
assa po
r um
p
on
to P
0 =(x0 ,y
0 ,z0 ) e tem
vetor n
orm
al N=(a,b
,c) é a
x+b
y+cz+
d =
0, (4
.1)
em q
ue d
=-(ax
0 +b
y0 +
cz0 ).
ax+
by+
cz+d
= 0
, (4.1
)em
qu
e d=-(a
x0 +
by
0 +cz
0 ).•
Dem
on
stração:
Plan
os B
ásicos
Plan
os B
ásicos
Exemp
lo•
Vam
os en
con
trar a equ
ação d
o p
lano
π q
ue
pa
ssa p
elo
p
on
to P
0 =(1
,-2,-2
) e é perp
end
icular ao
vetor N
=(2
,-1, 2
).
•So
luçã
o:
Da P
rop
osição
4.1
, a equ
ação d
o p
lano
é da fo
rma: a
x + b
y D
a Pro
po
sição 4
.1, a eq
uação
do
plan
o é d
a form
a: ax +
by
+ cz +
d =
0 ,em
qu
e os co
eficientes d
e x, y e zsão
as co
mp
on
entes d
o veto
r no
rmal, o
u seja, a
=2
, b=
-1 e c=
2.
Assim
, a equ
ação d
e πé
da
form
a 2
x-y+2
z+d
=0
.Para d
etermin
ar o co
eficiente d
, ao in
vés de u
sarmo
s a P
rop
osição
4.1
, vamo
s usar o
fato d
e qu
e P0 =
(1,-2
,-2)
perten
ce a π. M
as, o
po
nto
P0
pe
rten
ce a
πse
, e so
me
nte
p
ertence a π
. Ma
s, o p
on
to P
0p
erte
nce
a π
se, e
som
en
te
se, as suas co
ord
enad
as satisfazem a eq
uação
de π
, ou
seja
, 2
.1 –
1.(-2
) + 2
.(-2) +
d =
0.
Logo
, d=
2+
2-4
=0
. Sub
stituin
do
-se d = 0
na eq
uação
anterio
r d
o p
lano
ob
temo
s qu
e a equ
ação d
o p
lano
πé
2x -
y + 2
z =
0 .
Exemp
lo
Equ
ações d
e Retas e P
lano
s
•N
o p
lano
, a equ
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e um
a reta é determ
inad
a se forem
dad
os
do
is po
nto
s da reta.
•A
nalo
gamen
te, no
espaço
, a equ
ação d
e um
plan
o é d
etermin
ada
•A
nalo
gamen
te, no
espaço
, a equ
ação d
e um
plan
o é d
etermin
ada
se são d
ado
s três po
nto
s P1 , P
2e P
3n
ão co
lineares (isto
é, não
p
ertencen
tes a um
a mesm
a reta). Co
m o
s três po
nto
s po
dem
os
“form
ar” os veto
res P1 P
2e P
1 P3
.
Exemp
lo
Exemp
lo -
Ou
tra alternativa
•Po
dem
os en
con
trar a equ
ação d
o p
lano
da segu
inte fo
rma. C
om
o vim
os
anterio
rmen
te, três vetores, P
1 P P
1 P2
e P
1 P3 , são
cop
lanares
se, e som
ente se, o
p
rod
uto
misto
entre eles é zero
. •
Assim
, um
po
nto
P=
(x, y, z) perten
ce a πse
, e so
me
nte
se, P
1 P.(P1 P
2 x P
1 P3 )=
0 .
Ob
servação•
A eq
uação
do
plan
o tam
bém
é determ
inad
a se ao in
vés de serem
d
ado
s três po
nto
s, forem
dad
os u
m p
on
to P
1d
o p
lano
e do
is veto
res paralelo
s ao p
lano
, V=(v
1 , v2 , v
3 ) e W=(w
1 ,w2 ,w
3 ), desd
e q
ue eles sejam
não
paralelo
s. Ou
aind
a se forem
dad
os d
ois
12
31
23
qu
e eles sejam n
ão p
aralelos. O
u ain
da se fo
rem d
ado
s do
is p
on
tos P
1e P
2d
o p
lano
e um
vetor p
aralelo ao
plan
o V
=(v1 , v
2 , v3 ),
já qu
e neste caso
po
dem
os fo
rmar o
vetor W
=P1 P
2 =(w1 ,w
2 ,w3 ) q
ue
é tamb
ém p
aralelo ao
plan
o.
•N
estes casos tem
os n
ovam
ente p
elo m
eno
s du
as man
eiras de
enco
ntrarm
os a eq
uação
do
plan
o.
–U
ma d
elas é ob
servand
o q
ue o
vetor N
=VxW
é um
vetor n
orm
al ao
plan
o. D
esta form
a temo
s um
po
nto
do
plan
o e u
m veto
r no
rmal ao
p
lano
. Desta fo
rma tem
os u
m p
on
to d
o p
lano
e um
vetor n
orm
al ao
plan
o.
–A
ou
tra é ob
servand
o q
ue tem
os três veto
res paralelo
s ao p
lano
: •
P1 P
=(x-x1 ,y-y
1 ,z-z1 ), V
e W. C
om
o vim
os an
teriorm
ente
, os três veto
res são
cop
lanares
se, e som
ente se, o
pro
du
to m
istoen
tre eles for zero
, ou
seja,
Equ
ações Param
étricas•
Além
da eq
uação
geral do
plan
o p
od
emo
s tamb
ém caracterizar o
s p
on
tos d
e um
plan
o d
a seguin
te form
a. Co
nsid
ere um
plan
o π
, um
p
on
to P
0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ) perten
cente a π
e d
ois v
eto
res V
=(v
1 ,v2 ,v
3 ) e
W=
(w1 ,w
2 ,w3 ) n
ão
colin
ea
res, p
aralelos a π
. Um
po
nto
P =
(x, y, z) W
=(w
1 ,w2 ,w
3 ) nã
o co
line
are
s, paralelo
s a π. U
m p
on
to P
= (x, y, z)
pe
rten
ce a
πse
, e so
me
nte
se, o
ve
tor P
0 P=(x-x
0 ,y-y0
, z-z0 ) é u
ma
com
bin
ação lin
ear de V
e W, o
u seja, se existem
escalares t e s tais q
ue P
0 P= tV
+ sW. (4
.4)
•Escreven
do
em term
os d
e com
po
nen
tes (4.4
) po
de ser escrito
co
mo
(x-x0 ,y-y
0 ,z-z0 ) = (tv
1 +sw1 ,tv
2 +sw2 ,tv
3 +sw3 ).
•Lo
go u
m p
on
to P
=(x,y,z) perten
ce a πse
, e so
me
nte
se, sa
tisfaz a
s e
qu
açõ
es:
eq
ua
çõe
s:
Estas equ
ações são
cham
adas e
qu
açõ
es p
ara
mé
tricas d
o p
lan
o.
Exemp
lo
Equ
ações d
a Reta
••E
qu
açõ
es P
ara
mé
tricas
Eq
ua
çõe
s Pa
ram
étrica
s
•V
amo
s sup
or q
ue u
ma reta r
seja paralela a u
m veto
r V
=(a
,b,c) n
ão n
ulo
e qu
e passe p
or u
m p
on
to P
0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ). Um
p
on
to P
=(x,y,z) p
ertence a reta r
se, e som
ente se, o
vetor P
PV
=(a
,b,c) n
ão n
ulo
e qu
e passe p
or u
m p
on
to P
0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ). Um
p
on
to P
=(x,y,z) p
ertence a reta r
se, e som
ente se, o
vetor P
0 Pé p
aralelo ao
vetor V
, isto é, se o
vetor P
0 Pé u
m m
últip
lo
escalar de V
, ou
seja, P0 P
= t V
. (4.5
)•
Em term
os d
e com
po
nen
tes, a equ
ação (4
.5) p
od
e ser escrita co
mo
(x-x0 ,y-y
0 ,z-z0 )=
(ta, tb
, tc).
•Lo
go, x-x
0 =t.a
, y-y0 =
t.b e
z-z0 =
t.c. Ou
seja, a reta rp
od
e ser d
escrita com
o sen
do
o co
nju
nto
do
s po
nto
s P=(x,y,z) tais q
ue
descrita co
mo
send
o o
con
jun
to d
os p
on
tos P
=(x,y,z) tais qu
e
As eq
uaçõ
es acima são
cham
adas d
e eq
ua
çõe
s pa
ram
étrica
s da
reta
. A re
ta r
qu
e
passa p
or u
m p
on
to P
0 =(x0 ,y
0 ,z0 ) e é p
aralela ao veto
r V=(a,b
,c), esse é cham
ado
ve
tor
dire
tor d
a re
ta r.
•O
parâm
etro t n
as equ
ações (4
.6) p
od
e ser in
terpretad
o co
mo
o in
stante d
e temp
o, se o
in
terpretad
o co
mo
o in
stante d
e temp
o, se o
p
on
to P
=(x,y,z) d
escreve o m
ovim
ento
de u
ma
partícu
la em m
ovim
ento
retilíneo
un
iform
e com
veto
r velocid
ade V
=(a
,b,c). O
bserve q
ue:
–p
ara t = 1
, P =
(x, y, z) = (x
0 +a
,y0 +
b,z
0 +c),
–p
ara t = 2
, P =
(x, y, z) = (x
0 +2
a,y
0 +2
b,z
0 +2
c)
–e assim
po
r dian
te.–
e assim p
or d
iante.
•A
s equ
ações (4
.6), p
od
em ser reescritas co
mo
(x,y,z)=
(x0 +
at,y
0 +b
t,z0 +
ct),qu
e é cham
ada
eq
ua
ção
ve
toria
l da
reta
r.
Exemp
loExem
plo
Equ
ações n
a Form
a Simétrica
•Se to
das co
mp
on
entes d
o veto
r direto
r da reta r são
n
ão n
ulo
s, po
dem
os reso
lver cada eq
uação
em (4
.6)
para t e igu
alar os resu
ltado
s ob
tend
o o
qu
e p
ara t e igualar o
s resultad
os o
bten
do
o q
ue
cham
amo
s de e
qu
açõ
es n
a fo
rma
simé
trica d
e r:
Exemp
los
A reta r
está con
tida em
amb
os o
s plan
os, p
ortan
to é p
erpen
dicu
lar a amb
os
os veto
res no
rmais. A
ssim, a reta r
é paralela ao
pro
du
to veto
rial N1
xN2
Assim
, V =
N1
x N2
= (6
, 4,-4
)é u
m veto
r direto
r de r.A
gora, p
recisamo
s en
con
trar um
po
nto
da reta r.Este p
on
to é u
ma so
lução
particu
lar do
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Para enco
ntrar u
ma so
lução
particu
lar do
sistema, atrib
uím
os u
m valo
r a um
a das
incó
gnitas (n
este exemp
lo p
od
emo
s fazer x = 0) e re
solvem
os o
sistema o
btid
o, q
ue
é de d
uas eq
uaçõ
es e du
as incó
gnitas
Ob
temo
s então
, y = 4
/3 e
z = 2
/3, o
u seja, o
po
nto
P0 =
(0, 4
/3, 2
/3) é u
m p
on
to d
a reta O
btem
os en
tão, y =
4/3
ez =
2/3
, ou
seja, o p
on
to P
0 =(0
, 4/3
, 2/3
) é um
po
nto
da reta
r, po
is é um
a solu
ção p
articular d
o sistem
a (4.7
). Assim
, as equ
ações p
aramétricas d
e r são
Exemp
lo
Ân
gulo
s e Distân
cias
••Â
ngu
lo en
tre Retas
Ân
gulo
entre R
etas•
Co
m d
uas retas n
o esp
aço p
od
e oco
rrer um
do
s seguin
tes casos:
–A
s retas se intercep
tam em
um
po
nto
, ou
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nco
rren
tes;
–A
s retas se intercep
tam em
um
po
nto
, ou
seja, são co
nco
rren
tes;
–A
s retas são p
aralelas (ou
coin
ciden
tes);–
As retas são
rev
ersa
s, isto é
, nã
o sã
o p
ara
lela
s ma
s tam
bé
m n
ão
se in
terce
pta
m.
•Se as retas se in
terceptam
, então
elas determ
inam
qu
atro ân
gulo
s, do
is a do
is o
po
stos p
elo vértice. O
ângu
lo en
tre elas é defin
ido
com
o sen
do
o m
eno
r destes
ângu
los.
•Se as retas r
1e r
2são
reversas, então
po
r um
po
nto
P d
e r1
passa u
m reta
r’2q
ue é
paralela a r
2 . O ân
gulo
entre r
1e r
2é d
efinid
o co
mo
send
o o
ângu
lo en
tre r1
e r’2
•Se as retas são
paralelas o
ângu
lo en
tre elas é igual `a
zero.
•Se as retas são
paralelas o
ângu
lo en
tre elas é igual `a
zero.
•Em
qu
alqu
er do
s casos, se V
1e V
2são
vetores p
aralelos a
r1
er
2resp
ectivamen
te, en
tão o
cossen
o d
o ân
gulo
entre elas é co
s(r1, r2
) = |
cos
θ|
, em q
ue θ
é o ân
gulo
en
tre V1
e V2 .
•Lem
bran
do
qu
e da d
efinição
de p
rod
uto
escalar, po
de
mo
s enco
ntrar o
cossen
o d
o
ângu
lo en
tre do
is vetores, o
u seja,
Gráfico
Pro
po
sição
Exemp
lo
Ân
gulo
entre P
lano
•Sejam
p1
e p
2d
ois p
lan
os co
m ve
tore
s no
rma
is N
1 =(a
1 ,b1 ,c
1 ) e N
2 =(a
2 ,b2 ,c
2 ), respectivam
ente. O
ângu
lo
entre p
e p
é d
efin
ido
com
o o
ân
gu
lo e
ntre
du
as re
tas
11
11
22
22
entre p
1e
p2
é d
efin
ido
com
o o
ân
gu
lo e
ntre
du
as re
tas
perp
end
iculares a eles. C
om
o to
da reta p
erpen
dicu
lar a p
1te
m N
1co
mo
veto
r dire
tor e to
da reta p
erpen
dicu
lar a p
2te
m N
2co
mo
veto
r dire
tor, e
ntã
o o
cosse
no
do
ân
gulo
entre eles é d
ado
po
r cos(p
1 , p2 ) =
|co
sθ
| , em
q
ue θ
é o
ân
gu
lo e
ntre
os ve
tore
s no
rma
is N1
e N
2d
e p
1q
ue θ
é o
ân
gu
lo e
ntre
os ve
tore
s no
rma
is N1
e N
2d
e p
1
e p
2 , resp
ectiva
me
nte
.
•Po
rtanto
, o co
sseno
do
ângu
lo en
tre p1
e p
2é:
Pro
po
sição
•Sejam
do
is plan
os
–π
: ax +
by +
cz +
d=
0 ,
–π
1: a
1 x + b
1 y + c
1 z + d
1=
0 ,
–π
2: a
2 x + b
2 y + c
2 z + d
2=
0 .
•O
cossen
o d
o ân
gulo
entre π
1e
π2
é
•em
qu
e N1 =(a
1 ,b1 ,c
1 ) e N2 =(a
2 ,b2 ,c
2 ) são o
s veto
res no
rmais d
e π1
e π
2 , resp
ectiva
me
nte
.
•D
ois p
lano
s πe
πo
u sã
o p
ara
lelo
s ou
se co
rtam
•
Do
is plan
os π
1e
π2
ou
são
pa
rale
los o
u se
corta
m
seg
un
do
um
reta
. Ele
s são
pa
rale
los se, e so
men
te se, o
s vetores n
orm
ais de π
1e
π2 , sã
o p
ara
lelo
s, ou
seja
, u
m ve
tor é
um
mú
ltiplo
escalar do
ou
tro. A
ssim, π
e π
2sã
o p
ara
lelo
s se, e
som
en
te se
, o â
ng
ulo
entre eles é
igual à zero
Exemp
lo
Distân
cia de U
m Po
nto
a Um
Plan
o
•Sejam
P0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ) um
po
nto
qu
alqu
er e π: a
x+
by
+ cz
+ d
=
0 u
m p
lan
o. A
distân
cia de P
0a π
é d
efin
ida
com
o se
nd
o a
d
istân
cia d
e P
até
o p
on
to d
e π
ma
is pró
ximo
de P
.d
istân
cia d
e P
0a
té o
po
nto
de
π m
ais p
róxim
o d
e P0 .
•D
ado
um
po
nto
P1
= (x1 ,y
1 ,z1 ) d
e π, p
od
em
os d
eco
mp
or o
ve
tor P
1 P0
em d
uas p
arcelas, um
a na d
ireção d
o veto
r no
rmal
de π
, N=
(a,b
,c) e o
utra
pe
rpe
nd
icula
r a ele. A co
mp
on
ente n
a d
ireção d
o veto
r N é a p
rojeção
orto
gon
al de P
1 P0
em N
.•
A d
istância d
e P0
a πé
igu
al à
no
rma
da
pro
jeçã
o, o
u seja,
dist(P
0 , π) =
||pro
jNP
1 P0 ||.
dist(P
0 , π) =
||pro
jNP
1 P0 ||.
•Tem
os q
ue:
Pro
po
sição
•Sejam
P0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ) um
po
nto
qu
alqu
er e π
:ax+
by+
cz+d
=0
um
pla
no
. A d
istân
cia d
e P
a πé
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:ax+
by+
cz+d
=0
um
pla
no
. A d
istân
cia d
e P
0a π
é
da
da
po
r
em q
ue N
=(a,b,c) e P
1=(x1
,y1,z1
) é um
po
nto
de π
(isto é
, um
po
nto
qu
e sa
tisfaz a
eq
ua
ção
de
π).
Exemp
lo
Distân
cia de U
m Po
nto
a Um
a Reta
•Sejam
P0 =(x
0 ,y0 ,z
0 ) um
po
nto
qu
alqu
er e r um
a reta. A
distân
cia de P
0a r é d
efinid
a com
o a d
istância d
e P0
ao p
on
to
de r m
ais pró
ximo
de P
0 .•
Dad
o u
m p
on
to q
ualq
uer P
1 =(x1 ,y
1 ,z1 ) d
e r po
dem
os
•D
ado
um
po
nto
qu
alqu
er P1 =(x
1 ,y1 ,z
1 ) de r p
od
emo
s d
ecom
po
r o veto
r P1 P
0em
du
as parcelas, u
ma n
a direção
do
veto
r direto
r V d
e r e ou
tra perp
end
icular a ele.
•A
com
po
nen
te na d
ireção d
o veto
r V é a p
rojeção
orto
gon
al d
e P1 P
0em
V. Co
mo
vemo
s na Figu
ra abaixo
Pro
po
sição
Exemp
lo
Distân
cia entre D
ois P
lano
s•
Sejam d
ois p
lano
s π1
e π
2q
ua
isqu
er. A
distâ
ncia
en
tre π
1e
π
2é
de
finid
a co
mo
a m
eno
r d
istância en
tre do
is po
nto
s, um
d
e π1
e o
utro
de
π2 .
de
1e
ou
tro d
e
2 .
•Se o
s seus veto
res no
rmais n
ão
sã
o p
ara
lelo
s, en
tão
os p
lan
os
são
con
corre
nte
s e n
este caso a
distân
cia entre eles é igu
al à zero.
Se os seu
s vetores n
orm
ais são
paralelo
s, então
os p
lano
s são
paralelo
s (ou
coin
ciden
tes) e a d
istância en
tre πe
πé
igual à
distân
cia entre π
1e
π2
é igu
al à d
istância en
tre um
po
nto
de u
m
deles, p
or exem
plo
P2
de π
2 , e o
p
on
to d
e π
1 , ma
is pró
ximo
de
P2
(Fig
ura
ao
lad
o). M
as, e
sta
distâ
ncia
é ig
ua
l à d
istân
cia d
e P
2a
π1 .
Exemp
lo
Distân
cia entre D
uas R
etas•
Sejam r
1e r
2d
uas retas q
uaisq
uer. A
d
istância en
tre r1
e r2
é defin
ida
com
o a m
eno
r distân
cia entre d
ois
po
nto
s, um
de r
1e o
utro
de r
2 .•
Para calcular a d
istância en
tre du
as •
Para calcular a d
istância en
tre du
as retas, vam
os d
ividir em
do
is casos:
–Se o
s ve
tore
s dire
tore
s são
pa
rale
los,
en
tão
as re
tas r
1e
r2
são
pa
rale
las (o
u
coin
ciden
tes). Neste caso
, a distân
cia en
tre elas é igual à d
istância en
tre um
p
on
to d
e r2
e a reta r1 , o
u vice-versa,
entre u
m p
on
to d
e r1
e a reta r2
(Figura
ao lad
o). A
ssim, tem
os q
ue
ao lad
o). A
ssim, tem
os q
ue
•em
qu
e P1 e P
2são
po
nto
s de r
1 e r2
e V
1 e V2
são veto
res direto
res de r
1 e r
2 , resp
ectivamen
te
Distân
cia entre D
uas R
etas•
Se os v
eto
res d
ireto
res n
ão
são
pa
rale
los,
en
tão
as re
tas sã
o re
ve
rsas o
u co
nco
rren
tes.
•O
s do
is casos p
od
em ser reso
lvido
s da m
esma
form
a. Estas retas defin
em d
ois p
lano
s p
aralelos (q
ue p
od
em ser co
incid
entes, n
o
caso em
qu
e elas são co
nco
rrentes).
Um
é o p
lano
qu
e con
tém r1
e é paralelo
a r2,
•U
m é o
plan
o q
ue co
ntém
r1 e é p
aralelo a r2
, vam
os ch
amá-lo
de p
1. O
ou
tro, co
nté
m r2
e é
p
ara
lelo
a r1
, p2
. O v
eto
r N =
V1
V2
, é n
orm
al
(ou
perp
end
icular) a am
bo
s os p
lano
s, em q
ue
V1
e V2
são o
s vetores d
iretores d
e r1 e r2
resp
ectivamen
te. Assim
, a distân
cia entre as
retas é igual à d
istância en
tre estes do
is plan
os
(Figura ao
lado
), ou
seja,
•Em
qu
e P1
e P2
são p
on
tos d
e r1 e r2
e V1
e V2
são
vetores d
iretores d
e r1 e r2
, resp
ectivamen
te. Ob
serve qu
e se as retas são
con
corren
tes a distân
cia entre elas é zero
, po
is o
s vetores P
1P
2, V
1 e V
2 são
cop
lanares
e P
1P
2 . (V
1x V
2) = 0
Exemp
lo
Exemp
lo
