Vetores no R2

O conjunto dos pares ordenados de números reais

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R R xR x y x y R , ; ,é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano x O y.

Qualquer vetor u neste plano tem sempre um representante cuja origem é a origem do sistema. Assim, a cada vetor se associa um único ponto P, e vice-versa. Se P = ( x , y ), e u é um vetor representado pelo segmento orientado O P, então a expressão analítica deste vetor é u = ( x, y ).

As coordenadas x e y de P são chamadas as componentes de u .

A origem O=(0,0) do sistema representa o vetor nulo.

Se u= (x,y) , então - u= (-x,-y).

Igualdade: Dois vetores u= ( x1,y1) e v = (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1= x2 e y1= y2

Operações. Sejam os vetores u= ( x1,y1) e v = (x2, y2) e a R. Define-se:u+ v = ( x1,y1)+ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

b) a u = a ( x1,y1) = (a x1, ay1)

Vetor definido por dois pontos

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u

P(x,y)

O

u

u

u v

u+v

x1 x2

x1

x1 + x 2

y2

y1

y1

y1 + y2

a x1

a y1 a u

u= AB OB OA = (x2, y2) - ( x1,y1) = (x2 - x1 , y2 - y1)Ex: Se A = (2,3) e B=( 1,5), então AB = B-A = ( 1-2, 5-3 ) = ( -1, 2 ).

Produto escalarDados dois vetores u= ( x1,y1) e v = (x2, y2) , define-se seu produto escalar ou produto interno como sendo o número real

u . v = x1x2 + y1 y2

notação: u . v ou u v, ( lê-se “ u interno v” ou, “ uescalar v” )Ex: Se u = (2,3) e v = ( 1,5), então u . v = 2.1 + 3.5 = 2 + 15 = 17.

Módulo de um vetor O módulo ou comprimento de um vetor u= ( x ,y) é definido como o número real

u u u x y x y x y . ( , ).( , )2 2

.

Observe que o mesmo resultado se obtém usando o Teorema de Pitágoras:

Ex: Se u= ( 2 , 5), então u u u . ( , ).( , )2 5 2 5 292 2

2 5Observe ! Dado um vetor AB com extremidades A = ( x1,y1) e B= (x2, y2), o módulo desse vetor será

AB x x y y 2 2

2 1 2 1 = d (A,B)

Exercício: a) Calcule a distância entre os pontos A(-2,5) e B(4,7).b) Determine o vetor AB e calcule a sua norma. Compare com o item a).

Propriedades do produto escalar

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O

A

B A = ( x1,y1) , B = (x2, y2)

AB B A

O módulo do vetor AB é igual à distância entre os pontos A e B

u

x

y

P ( x, y )

.

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o número real qualquer k, tem-se:

1. u.u 0 e u.u = 0 somente se u =0

2. u . v = v . u ( comutativa)

3. u . ( v + w) = u . v + u . w (distributiva em relação à adição de vetores)

4. (k u) . v = k ( u . v ) = u . ( k v)

5. u u u. 2

Ex. Mostre as seguintes propriedades

a) 2 2 2

2u v u vu v . , b) 2 2 2

2u v u vu v .

Ângulo entre dois vetoresO ângulo entre dois vetores não-nulos u = OA e v = OB, é o ângulo formado pelas semi-retas OA e OB, tal que 0 .

Temos que: 2 2 2

2u v u vu v . ( exercício anterior)

2 2 2

2u v u v u v cos ( lei dos cosenos).

Comparando ambas as igualdades tem-se: u v u v. cos

Daí c o s.

u v

u v

Observe! é agudo ou nulo é obtuso ou raso

=

Ex: Calcular o ângulo entre os vetores u= ( -1, -1) e v= ( 0,-1).

Paralelismo e ortogonalidade entre dois vetores

Sejam dois vetores u= ( x1,y1) e v = (x2, y2). Dizemos que:

u e v são paralelos ou colineares se existe um escalar não- nulo k tal que

u = k v. Daí:

u= k v

( x1,y1) = k (x2, y2) =

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O

A

B

u-v

v

u

( k x2, k y2) 1

2

1

2

xx

yy

k

Neste caso, os vetores têm representantes na mesma reta ou em retas paralelas.

u e v são ortogonais se o ângulo entre eles é igual a 900 . Daí :

u.v = 0 u e v são ortogonais

Ex . 1 Verifique se são paralelos os vetores a) (1,2) e ( 5,10); b) (2,3) e ( 8, 7)

2. Verifique se são ortogonais os vetores a) ( 2,3) e ( -3, 2); b) (1,4) e ( 2, -1)

Bases do plano

Um conjunto ordenado de vetores não- colineares { v1, v2} constitui uma base do plano. Dada uma base do plano { v1, v2}, qualquer vetor v do plano pode ser escrito como

combinação linear dos vetores da base, ou seja: existem números reais a1 e a2 tais que v = a1 v1 + a2 v2 . Os números a1 e a2 são chamados de componentes ou coordenadas de v com relação à base { v1, v2}. Assim, com relação a essa base podemos também escrever v = (a1 , a2 ) . uma base é dita ortogonal se os vetores da base são ortogonais. uma base é dita ortonormal se os vetores da base são ortogonais e unitários. dado um vetor u= (x,y), podemos escreve-lo como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1): u= (x,y) = x ( 1,0) + y (0,1) = x i + y j Os vetores i e j constituem uma base ortonormal do plano: i j e i j 0 1

A base { i, j} é chamada de base canônica do plano

Cursos: Engenharia de Produção/ Engenharia de TelecomunicaçõesDisciplina: Geometria Analítica

Professora: Maria Ignez S. Salomão

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i

j

x i

y j u = x i + y j ou u = (x , y ) u