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Vigas: Solicitações Tangenciais

120

5


CONCRETO ARMADO

Serão analisadas seções sujeitas a força cortante (V) e a momento torçor (T) que geram

tensões de cisalhamento ().

1. Tensões principais numa viga de comportamento elástico linear Considere-se uma viga biapoiada sujeita a duas cargas concentradas de valor P, simetricamente dispostas no vão à distância a dos apoios, conforme mostra a fig. 1.1.

P P a a

P.a

P M

V

Figura 1.1 – Diagrama de esforços em viga biapoiada

O trecho inicial da viga compreendido entre o apoio e a carga concentrada, está sujeito a momento fletor e a força cortante. Nesta região, a um ponto C situado na linha neutra (LN), fig.

1.2, correspondem tensões principais 1 e 2 inclinadas de 45o; em um ponto S situado acima da

(LN), o ângulo entre o eixo da viga e a direção da tensão principal de tração 1 é maior do que 45o e, num ponto I, posicionado abaixo da (LN), este ângulo é menor do que 45o. No trecho compreendido entre as cargas concentradas, sujeito a flexão simples, a direção das tensões principais de tração é paralela ao eixo da viga. As trajetórias de tensões principais estão esquematizadas na fig. 1.2.


121

1

2

45o

>45o

1

C S

I

P

1 <45o

Trajetória de 2

Trajetória de 1 M V

Figura 1.2 – Trajetórias de tensões principais

2. Arranjos usuais de armadura nas vigas de concreto armado Como se sabe, o concreto é um material de boa resistência à compressão (fcc), porém, de baixa resistência a tração (fct). Dessa forma, se a viga da fig. 1.1 fosse de concreto armado ela tenderia a

apresentar fissuras perpendiculares à tensão principal de tração (1), ou seja, fissuras paralelas à

tensão principal de compressão (2). Pode-se notar que na flexão simples (trecho compreendido entre as cargas concentradas) as fissuras tendem a ser perpendiculares à LN; e na flexão combinada com cisalhamento (trecho compreendido entre a carga concentrada e o apoio) as fissuras tendem a se inclinar devido à força cortante. Neste caso diz-se que ocorre uma fissuração diagonal. A idéia básica do concreto armado está na associação de dois materiais, concreto e armadura, de modo que esta última supra a deficiência à tração do primeiro. Para isso, a armadura deve ser posicionada de modo a “costurar” as fissuras de tração e, quando possível, paralelamente às tensões de tração. As trajetórias de tensões de tração (fig. 1.2) sugerem os seguintes arranjos práticos de armadura:

a) armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo), fig. 2.1;

Figura 2.1 – Arranjos de armaduras

P

ferro dobrado

(cavalete) ferro reto

Estribo

porta

estribo


122

b) armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo), fig. 2.2.

Figura 2.2 – Configuração de armaduras

O estribo nunca é dispensado nas vigas devido, principalmente, a razões de ordem construtiva. O primeiro dos arranjos citados parece ser melhor porque a armadura longitudinal acompanha, relativamente bem, as trajetórias de tensões principais de tração; os ensaios, contudo, tem mostrado o bom comportamento do segundo arranjo onde os estribos, distribuídos com pequeno espaçamento entre si, tem a função de “costurar” as possíveis fissuras perpendiculares às tensões principais de tração. Este último arranjo, associado às facilidades construtivas decorrentes, constitui esquema muito prático e de uso bastante comum; a armadura longitudinal tem a função de resistir à flexão e os estribos, ao cisalhamento.

3. Modos de ruptura Considere-se a viga de fig. 2.2 com o arranjo das armaduras constituído de barras longitudinais retas e estribos. Considerando-se o carregamento crescente da viga, nota-se, inicialmente, a formação de fissuras perpendiculares ao eixo da viga, no trecho compreendido entre as cargas concentradas. Estas fissuras são devidas ao efeito do momento fletor, fig.3.1.

fissuras iniciais de

flexão

normais ao eixo da viga Figura 3.1 – Fissuras ocasionadas pelo efeito do momento fletor

Com o aumento da carga, essas fissuras avançam pela alma da viga em direção à zona comprimida e aparecem, também, fissuras diagonais no trecho sujeito a força cortante, fig. 3.2. Esta fissuração progride até ocorrer a ruptura localizada em alguma região da viga. O modo particular de ruptura vai depender do arranjo, da quantidade, e da proporção relativa das armaduras, longitudinal e transversal.

P

ferro dobrado

(cavalete) ferro reto

Estribo

porta

estribo

P

ferros retos

estribo

porta estribo


123

Figura 3.2 – Fissuras formadas pela presença de força cortante e momento fletor

São vários os modos possíveis de ruptura:

a) ruptura momento-compressão, fig. 3.3, característico da flexão simples: ruptura por esmagamento do

concreto e, em geral, escoamento da armadura tracionada;

Figura 3.3 – Ruptura por esmagamento do concreto

b) ruptura cortante- tração, fig. 3.4, que pode ocorrer por causa da deficiência de armadura transversal,

separando a viga em duas partes;

Figura 3.4 – Ruptura cortante – tração

fissuras diagonais (fissuração

diagonal) na presença de

valores significativos de

momento fletor e força

estribos escoados


124

c) ruptura momento-cortante-compressão, fig. 3.5, provocada por deficiência de armadura transversal em

região sujeita à solicitação combinada, força cortante com momento fletor. Neste caso, a insuficiência (ou arranjo inadequado) de estribos provoca o avanço exagerado das fissuras diagonais, levando à ruptura da seção por causa da redução da zona comprimida necessária ao equilíbrio da flexão;

Figura 3.5 – Ruptura momento-cortante-compressão

d) ruptura cortante- compressão, fig. 3.6, provocada por esmagamento diagonal do concreto junto à alma da

viga; esta ruptura pode ocorrer em vigas de alma muito fina, geralmente, de seção “T”;

Figura 3.6 – Ruptura cortante-compressão

e) ruptura por escorregamento da armadura longitudinal junto aos apoios extremos, fig. 3.7, por causa da

sua ancoragem insuficiente e, da fissuração diagonal que provoca uma translação do diagrama de resultante de tração na armadura longitudinal (decalagem).

Figura 3.7 – Ruptura por esmagamento

Os modos de ruptura, bem como, os panoramas de fissuração foram ilustrados na viga simples de concreto armado. Contudo, eles ocorrem, em vigas gerais de concreto estrutural apresentando as mesmas características observadas na viga simples.


125

4. Verificação da segurança para solicitações tangenciais Com relação aos diversos modos de ruptura, devem ser verificados os estados limites últimos para os caso 3.a, 3.b, 3.d e 3.e; o caso 3.c é contornado através de cuidados especiais na distribuição dos estribos (utilização de estribos finos com pequeno espaçamento entre eles).

5. Método de verificação 5.1. Modelo simplificado para o comportamento da viga (treliça clássica ou treliça de Mörsch)

O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 5.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça.

viga real modelo

Figura 5.1 – Modelo da treliça de Mörsch Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 5.2, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça

representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida.

Figura 5.2 – Treliça clássica

s s

45 z

Rcd

Rsd

pd pd . s

z

45

z= 0,9d

Rc

d

Rs

d


126

5.1.1. Solicitações nos elementos da treliça Do equilíbrio do ponto J, fig. 5.3, tem-se:

Rswd = VSd e 2VR Sdcwd

Figura 5.3 – Equilíbrio de esforços internos

5.1.2. Translação do diagrama de tração na armadura longitudinal (decalagem a )

Considere-se a viga esquematizada na fig. 5.4 sujeita à carga uniforme pd. Admita-se que no trecho de comprimento z, a partir da abscissa xo, os estribos estejam posicionados com espaçamento z/n (no caso, n=4). A fig. 5.4 (a) apresenta os esforços atuantes sobre este trecho. Observa-se que a força cortante VSd é integralmente transferida através dos estribos. O momento em relação ao ponto O é dado por

0zRin

z

n

Vi

n

z

n

zpzVM sd

1n

1

Sd1n

1

dodod

.

Sendo

zpVV dodSd

2

)1n(ni

1n

1

z

J

Rsd 1

Rsd

Rswd=VSd Rcwd

Rcd

R cwd

VSd R s

Rcw d

Rswd=VSd

Rsd1

Rsd


127

Vod

Mod

xo

z

pd

z

z/n

Vod

Mod Vd

Rcd

Vd

Vd/n

Rsd

O

z

pd z/n S1 S2

S1 S2

(a) (b)

Figura 5.4 – Esforços internos resulta

z

n

11

2

zVM

R

odod

sd

.

Para n = 1 tem-se: z

M

z

zVMR dodod

sd

ou seja, a força de tração na armadura longitudinal no ponto S1 é determinado com o momento

fletor no ponto S2, mostrando a existência de um deslocamento (decalagem) a z , entre os

dois diagramas.

Para n , tem-se: z

M

z

2

zVM

R d

odod

sd

;

como na abscissa xo + z/2 o momento fletor vale ( 8/zp2/zVM 2dodod ), pode-se concluir

que Md corresponde a uma seção situada além deste ponto, resultando em decalagem a >z/2.

Dessa forma, a decalagem está compreendida entre os extremos z/2 e z:

za2

z .

Normalmente, comportamento dos estribos é eficiente quando o seu espaçamento é menor do que z/2. A fig. 5.5 apresenta, esquematicamente, o diagrama de momento fletor dividido por z (Md/z) e, também, o diagrama da resultante de tração no banzo tracionado (armadura de flexão).


128

Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o lado desfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presença de força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica a possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoios extremos da viga.

Figura 5.5 – Decalagem

5.1.3. Tensões médias nos elementos da treliça

a) - tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto)

Figura 5.6 – Tensão média na diagonal comprimida

Conforme a fig. 5.6, pode-se escrever:

zb

V2

2

zb

2V

hb

R

w

d

w

d

1w

cwdcwd

Como z = 0,9.d, tem-se, também:

Md/z

diagrama de

força resultante

no banzo

tracionado

pd

a

a

a

z

z

bw h1


129

db

V22,2

d9,0.b

V2

zb

V2

2

zb

2V

hb

R

w

d

w

d

w

d

w

d

1w

cwdcwd

b) - tensão média no estribo

z

z

s

t As1

estribos

Figura 5.7 – Tensão média no estribo

Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a fig. 5.7, tem-se:

ww

d

w

sww

d

w

wsw

d

sw

swdswd

db9,0

V

sb

Azb

V

b

b

s

Az

V

As

z

R

ou

ww

d

w

sww

d

w

wsw

d

sw

d

sw

d

sw

swdswd

d9,0b

V

sb

Ad9,0b

V

b

b

s

Ad9,0

V

s

Ad9,0

V

s

Ad9,0

V

As

z

R

onde z / s = número de estribos no comprimento z de viga e

sb

A

w

sww = taxa geométrica de armadura transversal.


130

5.2. Dimensionamento (Critérios NBR 6118/2014)

As verificações são feitas em termos de forças atuantes nas bielas de concreto e armadura transversal e não mais nas tensões. Admitem-se dois modelos de cálculos alternativos:

Modelo I: considera as diagonais de compressão inclinadas de = 45º em relação ao eixo longitudinal da peça, em que Vc é suposto constante.

Modelo II: considera as diagonais inclinadas em um intervalo de 30º a 45º e considera-se a parcela de Vc com valores menores. 5.2.1 Verificação do estado limite último A resistência da peça em uma determinada seção transversal, é satisfatória quando verificas simultaneamente as seguintes condições:

VSd < VRd2

VSd < VRd3 = Vc+VSw Onde:

VSd – forca cortante solicitante de cálculo

VRd2 – forca cortante resistente de cálculo

VRd3 = Vc+ VSw , Vc parcela da forca cortante absorvida por mecanismos complementares

ao de treliça e VSw a parcela absorvida pela armadura transversal

5.2.1.1 Modelo de Cálculo I A resistência da peça é assegurada pela verificação da compressão diagonal do concreto pela seguinte expressão:

SdwcdV2Rd Vdbf27.0V

250

f1 ck

V fck em (MPa)

Cálculo da armadura transversal:

cossenf.d9,0)s/A(V

VVVV

ywdswsw

swc3RdSd

onde:

: inclinação dos estribos

Vc = 0 nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção;


131

Vc = Vco na flexão simples e na flexo tração com a linha neutra cortando a seção;

Vc = (Vc0 +Vc0.M0/Md)≤2Vc0 na flexo compressão com Vc0 = 0,6.fctd.bw.d;

Sendo:

M0 – momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção;

Md – momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise.

3/2ckctm

ctminf,ctk

cinf,ctkctd

f3.0f

f7.0f

/ff

ywd

swsw

fd9.0

V

s

A

Obs: Segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. 5.2.1.2 Modelo de Cálculo II

Este modelo admite diagonais de compressão com variando de 30º a 45º. Neste modelo a resistência da peça é assegurada também pela verificação da compressão diagonal do concreto, porém dada com esta expressão:

Sd2

wcdV2Rd Vgcotgcotsendbf54.0V

: inclinação dos estribos

: inclinação das bielas

250

f1 ck

V fck em (MPa)

Cálculo da armadura transversal:

sengcotgcotf.d9,0)s/A(V

VVVV

ywdswSw

swc3RdSd

onde:

Vc = 0 nas pecas tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção;


132

Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo tração com a linha neutra cortando a seção;

Vc= (Vc1+Vc1.M0/Md)≤2.Vc1 na flexo compressão com:

Vc1 = Vco quando Vd = Vco e

Vc1 = 0 quando Vd =VRd2

sengcotgcotfd9,0

V

s

A

ywd

swsw

Obs: Segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. 5.2.2 Arranjos das armaduras Para o dimensionamento ao cisalhamento deve-se respeitar as seguintes condições:

a) Armadura transversal mínima (estribo mínimo)

ywkctm

w

swmin,sw f/f2,0

sen.s.b

A

b) Tipo de estribo

Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta.

c) Diâmetro dos estribos (t)

10

bmm5 w

t

d) Espaçamento dos estribos (s)

Recomenda-se obedecer às seguintes condições: Espaçamento mínimo entre estribos, segundo o eixo longitudinal da peça

- se VSd ≤0,67 VRd2, então Smax=0,6 d ≤ 300 mm;

- se VSd >0,67 VRd2, então Smax=0,3 d ≤ 200 mm;


133

6. Complementos 6.1 Seções próximas aos apoios Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a:

no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face deste apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (fig. 6.1);

Figura 6.1 – Seções próximas aos apoios

a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a 2 d) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-se por

d2

a, fig. 6.2.

P a

h

V Vred = V [a / (2 h)]

Figura 6.2 – Força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a

d/2

d/2 d/2

d

diagrama de V

diagrama de V “corrigido”

p


134

6.2 Elementos estruturais de altura variável A força cortante que é resistida pela alma das vigas de altura variável pode ser avaliada por:

tred,SdSdcred,SdSdred,SdSd tg2/gcotVz/Mtg2/gcotVz/MVV

onde:

VSd,red é a força cortante reduzida, considerando o efeito de altura variável

c é o angulo entre o banzo de compressão e o eixo longitudinal do elemento estrutural

t é o ângulo entre a armadura de tração e o eixo longitudinal do elemento estrutural

é o ângulo de inclinação das bielas de compressão consideradas no dimensionamento à força cortante

z é o braço de alavanca das forças resultantes das forças resultantes internas

Os sinais de c e t devem ser obtidos considerando o sentido das forças finais de

compressão e de tração da flexão com a força cortante concomitante. A expressão acima considera a redução da força de compressão na flexão quando existe força cortante concomitante.


135

7. Exemplos 7.1. Exemplo 1 Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na fig. 7.1. Dados: P = 65 kN, fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da seção.

12 d=46 cm

bw=12 cm

h=50 cm

150 160 150

460cm

P P

V = 65 kNk

(I) (II) (III)

Figura 7.1. – Exemplo 1 Ítem da Norma: 8.2.5

MPa56,2253,0f3,0f3/23/2

ckctm

MPa80,156,2.7,0f.7,0f ctminf,ctk

a) Verificação do concreto

Modelo de cálculo I (=90o e =45o): Item da Norma 17.4.2.2

VSd = f V = 1,465= 91 kN

9,0250

251

250

f1 ck

2v

VRd2 = 0,27.v2.fcd.bw.d = 0,27.0,9.1,78.12.46 = 238,76kN Assim, VSd < VRd2

b) Cálculo do estribo

kN39,4246.12.128,0.6,0d.b.f.6,0V wctdc

%10,0500

56,2.2,0

f

f.2,0

ywk

ctmminw (Item da Norma: 17.4.1.1.1)

m/cm2,1cm/cm012,0%10,0.12.bs

A 22minww

min

sw

(Trecho II)


136

kN6,484,4291VVV cSdsw

ywdsw

sw f.d.9,0.s

AV

Obs: Segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. Portanto

m/cm7,2s

A 2sw

(Trecho I e III)

Recomenda-se:

- para o diâmetro dos estribos ():

mm1210

bmm0,5 w (Ítem da Norma: 18.3.3.2)

- para o espaçamento (s) entre estribos:

d6,0scm7 ou 30cm (sendo que VSd<0,67.VRd2)

0,6.d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) As bitolas usuais de armaduras para estribos são as seguintes:

(mm) 5 6,3 8 10 12,5

As1(cm2) 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25

onde As1 = área da seção transversal de uma barra.

Para m/cm7,2s

A 2sw

temos:

Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1.

(mm) As1 (cm2) Asw = 2 As1 s (cm)

5 0,2 0,4 14

A distância da face interna do apoio até a carga é de 144 cm (150 - 6 = 144 cm). Portanto, tem-se 144/14 = 10,3 portanto 11 estribos neste trecho.


137

Trecho entre as cargas concentradas (V = 0)

m/cm2,1s

A 2

min

sw


5 0,2 0,4 33>ssmax=27

Deve-se adotar, então, 5 c/27. O comprimento do trecho é de 160 cm. Portanto, tem-se

160/27 = 5,9 6 estribos neste trecho. c) Arranjo dos estribos A fig. 7.2 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm.

Figura 7.2 – Detalhamento dos estribos

Observação: Gancho não inferior a 7cm para =90o (Ítem da Norma: 9.4.6.1) 7.2. Exemplo 2 Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na fig. 7.3. Dados: p = 30 kN/m, fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da seção.

Figura 7.3 – Exemplo 2

a) Verificação do concreto

12 d=46 cm

bw=12 cm

h=50 cm

144 160

144

115c/14

115c/14

65c/27

9

9

47

47

285 - C = 122

C=2(47+9)+2G = 122

12 d=46 cm

bw=12 cm

h=50 cm

460 Vap = 69.1,4=96,6kN

p

78

A B A

VSd* = 64kN


138

VSd = f V = 1,469= 96,6 kN

9,0250

251

250

f1 ck

2v


b) Cálculo do estribo

kN39,4246.12.128,0.6,0d.b.f.6,0V wctdc

m/cm2,1s

A 2

min

sw

kN645,43.46.9,0.012,039,42f.d.9,0.s

AVV ywd

min

swc

*Sd

Por semelhança de triângulos chega-se à distância onde ocorre o valor de VSd

*, ou seja, 78cm. b.1. Trecho B de estribo mínimo

m/cm2,1s

A 2

min

sw

b.1.2. estribo - espaçamento


0,6.d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm) Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção.


5 0,2 0,4 33>smax=27

Deve-se adotar, então, 5 c/27. O trecho central de estribo mínimo deve estar sujeito a força cortante menor do que VSd*. Desta forma, o trecho central de estribo mínimo (trecho B) tem comprimento de


139

4,6 - 2 x 0,78 = 3,04 m

centrado no vão. Neste trecho tem-se: 304 / 27 = 11,3 12 estribos. b.2. Trecho A junto aos apoios (Vsd = 96,6 kN) Restam dois trechos de 0,78 m junto aos apoios (trecho A) que podem ser armados com estribo constante calculado para a máxima força cortante de cálculo no trecho igual a 96,6 kN. b.2.1. taxa geométrica

kNVVV cSdsw 2,544,426,96

ywdsw

sw f.d.9,0.s

AV

Portanto

m/cm0,3s

A 2sw

b.2.2. estribo - espaçamento Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra as opções possíveis.


5 0,2 0,4 13

6,3 0,315 0,63 21

Pode-se adotar, por exemplo, 5 c/13. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 78 - 6 = 72 cm.

Portanto, tem-se 72 / 13 = 5,5 6 estribos neste trecho. c) Arranjo dos estribos A fig. 7.4 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm.


140


12 d=46 cm

bw=12 cm

h=50 cm

68 312

68

65c/13

65c/13

125c/27

9

9

47

47

245 - C = 122

C=2(47+9)+2G = 122


141

7.3. Exemplo 3 Determinar os estribos e verificar a seção de concreto para a viga esquematizada na fig. 7.5 Dados: fck = 25 MPa, aço CA50 e admitir d = 46 cm para a altura útil da seção.

Figura 7.5 – Exemplo 3

Figura 7.6 – Carregamentos

Diagrama de esforço cortante de cálculo:

Figura 7.7 – Diagrama de esforço cortante de cálculo com valores de VSd

*

15cm

50cm

V * =80kN Sd

V * Sd

100,6

6,1

63,9

158,4

123,3

58,254,5cm

114cm

222cm

324cm


142

Observação: VSd* foi calculado posteriormente

MPa56,2253,0f3,0f3/23/2

ckm,ct

a) Verificação do concreto Como a seção da viga é constante, basta verificar o concreto para a força cortante de cálculo máxima VSd = 158,4 kN junto aos apoios internos.

9,0250

251

250

f1 ck

2v


b) Cálculo dos estribos Primeiro Trecho:

kN5346.15.128,0.6,0d.b.f.6,0V wctdc

%10,0500

56,2.2,0

f

f.2,0

ywk

m,ct

minw

Logo:

m/cm5,1cm/cm015,0%10,0.15s

A 22

min

sw

kN805,43.46.9,0.015,053f.d.9,0.s

AVV ywd

min

swc

*Sd

Por semelhança de triângulos: 100,6 kN 80 kN d x

x

80

5,267

6,100 cm213x cm5,542135,267x5,267d


143

chega-se à distância onde ocorre o valor de VSd

*, ou seja, 54,5cm.


ywdsw

sw f.d.9,0.s

AV

Portanto

m/cm64,2s

A 2sw




5 0,2 0,4 15

Deve-se adotar, então, 5 c/15. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 54,5 - 10 = 44,5 cm.

Portanto, tem-se 44,5 / 15 = 2,9 3 estribos neste trecho. Em complementação ao primeiro trecho utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd

*.

m/cm5,1s

A 2

min

sw

Adotando-se estribos de 2 ramos tem-se: Asw = 2 As1. A tabela seguinte mostra uma possível opção.


5 0,2 0,4 33>smax=27

Deve-se adotar, então, 5 c/27. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 267,5 - 54,5 = 213 cm.

Portanto, tem-se 213 / 27 = 7,9 8 estribos neste trecho. Segundo Trecho:

kN80V*

Sd


144

Por semelhança de triângulos: x d 80-63,9=16,1 kN 158,4-63,9=94,5 kN

x

1,16

5,267

5,94 cm5,45x cm2225,455,267x5,267d


*, ou seja, 222cm.


ywdsw

sw f.d.9,0.s

AV

Portanto

m/cm85,5s

A 2sw

d6,0scm7 ou 30cm (sendo que VSd<0,67.VRd2) (Ítem da Norma: 18.3.3.2)



6,3 0,315 0,63 10

Deve-se adotar, então, 6,3 c/10. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 222 - 25 = 197 cm.

Portanto, tem-se 197 / 10 = 19,7 20 estribos neste trecho. Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd

*.

m/cm5,1s

A 2

min

sw


145



5 0,2 0,4 33>smax=27

Deve-se adotar, então, 5 c/27. O comprimento do trecho é de 267,5 - 222 = 45,5 cm.

Portanto, tem-se 45,5 / 27 = 1,68 2 estribos neste trecho. Terceiro Trecho:

kN80V*

Sd

Por semelhança de triângulos: 123,3 kN 80 kN d x

x

80

324

3,123 cm210x cm114210324x324d


*, ou seja, 114cm.


ywdsw

sw f.d.9,0.s

AV

Portanto

m/cm90,3s

A 2sw

d6,0scm7 ou 30cm (sendo que Vsd<0,67.Vrd2)

0,6.d = 0,6.46 = 27,6 cm (adota-se o maior espaçamento de 27cm)


146



5,0 0,2 0,4 10

Deve-se adotar, então, 5,0 c/10. O comprimento de cada trecho medido a partir da face interna do apoio é de 114 - 25 = 89 cm.

Portanto, tem-se 89 / 10 = 8,9 9 estribos neste trecho. Em complementação utilizar-se-á armadura mínima a partir do comprimento calculado em ocorrência a VSd

*.

m/cm5,1s

A 2

min

sw



5 0,2 0,4 33>smax=27

Deve-se adotar, então, 5 c/27. O comprimento do trecho é de 482,5 - 114 - 7,5 = 361 cm.

Portanto, tem-se 361 / 27 = 13,4 14 estribos neste trecho.


147

c) Arranjo dos estribos A fig. 7.8 apresenta o detalhamento dos estribos para a viga analisada. Adotou-se cobrimento mínimo da armadura de 1,5 cm.

d=46 cm

bw=15

h=50 cm

9

12

47 47

44,5cm

197cm 89cm 361cm 258,5cm

14 5 c/27 9 5 c/10

20 6,3 c/10

10 5 c/27 3 5 c/15

365, 206,3 - C = 128

C=2(47+12)+2G

=128


Observação: Gancho não inferior a 7cm para =90o (Ítem da Norma: 9.4.6.1)


148

8. Armadura de costura nas abas das seções transversais 8.1. Introdução Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são necessárias, fig. 8.1. A primeira situação corresponde às seções dos vãos com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes (abas tracionadas).

Figura 8.1 - Situações usuais

8.2 Aba comprimida A fig. 8.2 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão.

Fig. 8.2 - Aba comprimida

Considere-se a aba lateral de dimensão b’ e comprimento ds, fig. 8.3.

bf

armaduras de costura

área compri-mida na flexão

Seção 1 - Vão

área compri-mida na flexão

armaduras

de flexão

Seção 2 - Apoio

Seção 1 - Vão

Seção 2 - Apoio

p

bf

d

Rcd

Rsd

z

x

0,85 fcd

As


149

ds b’ bf

ds

b’

Rcd

Rcd+dRcd

Rfd

Rfd+dR fd

fo hf

Figura 8.3 – Esforços na aba comprimida

A resultante de compressão na seção transversal é Rcd. Na aba de dimensão b’ tem-se

cd

f

fd Rb

bR

.

Como z

MR d

cd , tem-se z

M

b

bR d

f

fd

.

O acréscimo dRfd é dado por: z

dM

b

bdR d

f

fd

.

Como dMd = Vd ds , tem-se: dsz

V

b

bdR Sd

f

fd

.

Esta variação da resultante de tensões normais de flexão é equilibrada pela resultante das

tensões de cisalhamento fo atuando na área elementar (hf ds), isto é:

dshdR ffofd .

Portanto,

d9,0.h

V

zh

V

zh

Vb

b

f

fd

f

fd

f

sd

ffo

(a)

onde

Sd

f

fd Vb

bV

.ou Sd

s

sffd V

A

AV

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica): Com a expressão (a), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:


150

ywd

fof

f

onde

f

sff

h

A

sendo

ywd

fdsf

f.d9,0

VA

Asf

= a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de

comprimento, fig. 8.4.

Obs: Segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento.

1

hf

Asf

Figura 8.4 – Disposição da armadura na aba

Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar

d.h.f..27,0V fcd2vfd (verificação da compressão na biela diagonal)

e

f 0,2(fctm/fywk) (taxa mínima de armadura transversal). Como exemplo, considere-se a viga da fig. 8.5.


151

Figura 8.5 – Exemplo de cálculo de armadura de costura

Junto aos apoios, onde a força cortante é máxima, tem-se: VSd = 1,4 x 51,0 = 71,4 kN. Portanto,

kN6,314,71104

46V

b

bV Sd

f

fd

Verificação da biela

d.h.f..27,0V fcd2vfd

9,0250

251

250

f1 ck

2v

kN17,15946.8.78,1.9,0.27,0Vfd Ok

Portanto

m/cm75,1cm/cm0175,05,43.46.9,0

6,31

f.d9,0

VA 22

ywd

fdsf

%22,00022,08

0175,0

h

A

f

sff

Esta armadura pode ser conseguida através de duas camadas de 5 c/20, uma, junto à borda superior e, outra, junto à borda inferior; em 1m de extensão tem-se 5 barras por camada totalizando

2 x 5 x 0,2 = 2,0 cm2 > Asf

.

A fig. 8.6 apresenta, esquematicamente, a solução obtida.

bf=104

hf =8

d=46 V=51 kN

l = 4,6 m

p = 22,2 kN/m

12


152

Figura 8.6 – Detalhamento das armaduras

8.3 Aba tracionada A fig. 8.7 apresenta a situação usual, correspondente a seções de apoio interno de vigas contínuas (momento fletor tracionando a borda superior), com armadura tracionada de flexão distribuída, também, nas abas.

área compri -mida na flexão

armaduras

de flexão (As)

parte da armadura

de flexão, posicionada numa aba lateral (Asf)

0,8 x

z

Rsd

Rcd

Md

armaduras de costura

Figura 8.7 - Aba tracionada

Considere-se a aba lateral de comprimento ds, indicada na fig. 8.8.

ds

ds

Rsd

Rsd+dRsd

Rsfd

Rsfd+dRsfd

f

o

hf

Rcd

z

Figura 8.8 - Aba lateral A resultante de tração na seção transversal é Rsd. Na aba considerada é dada por

5 c/20

5 c/20


153

sd

s

sfsfd R

A

AR

onde Asf = área da seção de armadura de flexão contida na aba. Como

z

MR d

sd

tem-se

z

M

A

AR d

s

sfsfd .

O Acréscimo dRsfd é dado por

z

dM

A

AdR d

s

sfsfd .

Como dMd = VSd ds , vem

dsz

V

A

AdR Sd

s

sfsfd .

Esta variação da resultante é equilibrada pela resultante das tensões de cisalhamento fo atuando na área elementar hf ds, isto é:

dshdR ffosfd .

Portanto,

d9,0.h

V

zh

V

zh

VA

A

f

fd

f

fd

f

Sd

s

sf

fo (b)

onde

Sd

s

sffd V

A

AV .

Comparando-se a expressão do cisalhamento usual de viga (conforme o modelo da treliça clássica) com a expressão (b), pode-se concluir que ela permite imaginar a força cortante Vfd atuando na seção fictícia de dimensões hf x d. Logo, a armadura transversal, necessária no modelo da treliça clássica, é dada por:


154

ywd

fof

f

onde

f

sff

h

A

sendo

ywd

fdsf

f.d9,0

VA

Asf

= a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de

comprimento. Obs: Segundo a NBR 6118 deve-se limitar fywd em 435MPa para as armaduras de cisalhamento. Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar

d.h.f..27,0V fcd2vfd (verificação da compressão na biela diagonal)

e

f 0,2(fctm/fywk) (taxa mínima de armadura transversal). Como exemplo, considere-se a viga da fig. 8.9.

12

46

8

38 (1,5cm2)

212,5 (2,5 cm2)

63,8 kN

p p

5c/20 (*)

5c/20 (*)

(*) - conforme

os

resultados

de cálculo

Figura 8.9 – Exemplo de cálculo de armadura de costura

Junto ao apoio interno, onde a força cortante é máxima, tem-se: VSd = 1,4 x 63,8 = 89,3 kN. Portanto,


155

kN4,243,895,5

5,1V

A

AV Sd

s

sffd .

Verificação da biela

d.h.f..27,0V fcd2vfd

9,0250

251

250

f1 ck

2v

kN17,15946.8.78,1.9,0.27,0Vfd Ok

Logo

.cm/kN08,0468

4,2415,1

dh

V15,1 2

f

fdfo

Portanto

%14,000184,015,1/50

08,0

fywd

fof

ou

m/cm47,1cm/cm0147,000184,08hA 22ffsf .

Esta armadura pode ser conseguida através de uma camada de 5 c/13 ou duas camadas

de 5 c/20 (com folga).


156

9. Armadura de suspensão 9.1. Introdução Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios dos tipo indireto. Conforme ilustra a fig. 9.1, nos apoios diretos as reações são transferidas diretamente aos pilares.

Figura 9.1 – Apoios diretos e indiretos

Nos apoios indiretos ilustrados na fig. 9.2, as reações da viga devem ser transferidas para a viga de apoio. Portanto, no modelo da treliça clássica, utilizado no estudo do cisalhamento, as reações da treliça, que simula a viga, devem ser suportadas pela treliça que simula a viga de apoio. Estas reações, aplicadas junto à face inferior da viga, devem ser levadas para os nós superiores da treliça de apoio. Para isso são necessárias as armaduras de suspensão.

Figura 9.2 – Transferência de reações para a viga de apoio

Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na fig. 9.3.

P1 P2 P3 V1

P1 P2 P3 R1

R2

P4

V2

V3

V4

V3

V4 P4

R1 R2


157

Figura 9.3 - Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura

A fig. 9.4 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (ha), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Zd = Rd.

Figura 9.4 - Vigas altas

Numa situação intermediária, ilustrada na fig. 9.5, observa-se a necessidade de suspender apenas parte da reação, uma vez que o restante pode ser transferido para a treliça, que simula a viga de apoio, através do esquema usual.

Figura 9.5 - Vigas de altura intermediária

9.2. Força (Zd) e armadura de suspensão (Asusp) Sendo Rd a reação de apoio, a força de suspensão pode ser estimada em

Zd = Rd (h / ha) Rd onde h = altura da viga apoiada ha = altura da viga de apoio. A armadura de suspensão será dada por

ha

h

viga de

apoio

viga

apoiada

ha

h

viga de apoio

viga

ha

h


158

Asusp = Zd / fywd. 9.3. Zona de suspensão A armadura de suspensão Asusp pode ser distribuída na zona de suspensão (definida na fig. 9.6), junto ao cruzamento das vigas

Figura 9.6 - Zona de suspensão

Deve-se observar que a zona de suspensão já contem alguns estribos normais das vigas. Estes estribos podem ser contados na armadura de suspensão. 9.4. Exemplo Considere-se o esquema de forma da fig. 9.7, onde a viga V1 se apóia (indiretamente) na viga V2.

Figura 9.7 – Exemplo de cálculo de armadura de suspensão

Os estribos da viga V1, junto aos apoios, é de 5 c/12; os estribos da viga V2, junto ao

cruzamento das vigas, é de 5 c/20. As duas vigas tem a mesma altura; portanto, a força de suspensão

ha / 2 ha / 2

viga de

apoio

h / 2

viga

apoiada

V1(12 x 50)

V2(12 x 50)

R = 60 kN

p

V1


159

Z Rh

hR R kN

d d

a

d f 1 4 60 0 84, , .

A armadura utilizada é CA50; portanto

AZ

fcm

susp

d

ywd

84 0

1151 93 2,

(50 / , ), .

A zona de suspensão junto à viga V1 tem o comprimento de 19 cm h/2 - bw/2 = 50/2 - 12/2 = 19 cm. Neste comprimento tem-se, em média, 1,6 estribos de 5 mm (19/12 = 1,6), totalizando 1,6 x 2 x 0,2 = 0,64 cm2 de armadura. A zona de suspensão junto à viga V2 tem o comprimento de 50 cm (2 x ha /2 = ha = 50 cm). Neste comprimento tem-se, em média, 2,5 estribos de 5 mm (50/20 = 2,5), totalizando 2,5 x 2 x 0,2 = 1,0 cm2 de armadura. O total de estribos na zona de suspensão é de 0,64 + 1,0 = 1,64 cm2 < Asusp = 1,93 cm2. Portanto, existe a necessidade de armadura adicional de suspensão. Na prática, isto é conseguido através da redução do espaçamento dos estribos das vigas (em geral, é suficiente a diminuição de espaçamento numa das vigas apenas), de modo que se consiga o total necessário à suspensão. Deste modo, se reduzirmos o espaçamento dos estribos da viga V2 de 20 cm para 15 cm tem-se: 50/15 = 3,3 estribos de 5 mm, totalizando 1,3 cm2 de armadura (3,3 x 2 x 0,2 = 1,3). O novo total passa a ser de 0,64 + 1,3 = 1,94 cm2 , atendendo, portanto, a necessidade de suspensão.


160

10. Torção de equilíbrio e torção de compatibilidade

O momento torçor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: momento torçor de equilíbrio (fig. 10.1) e momento torçor de compatibilidade (fig. 10.2).

Figura 10.1 - Torção de equilíbrio

Figura 10.2 - Torção de compatibilidade

10.1 Torção de Saint Venant Considere-se um trecho de viga de seção retangular sujeito a momento torçor T (fig. 10.3). As extremidades A e B apresentam rotações em sentidos opostos e as seções transversais deixam de ser planas. Diz-se que há empenamento da seção devido à torção. Quando a torção ocorre com empenamento livre tem-se o que se chama torção de Saint Venant e aparecem tensões de cisalhamento na seção transversal que, naturalmente, equilibram o momento torçor aplicado.

T T

T T

Figura 10.3 – Viga sujeita a momento torçor

a

b l = a+b

A

B

P

c

P P.c

TA=P.c.b / l

TB=P.c.a / l

l

A

B

c

TA=m l / 2

TB=m.l / 2

p

m=p.c2/2

A

B

P A

B

P

TA

R

T

R

a

b

TA=T.b / l

TB=-T.a / l


161

Normalmente, as vigas estão sujeitas a restrições parciais ao livre empenamento por causa das interferências das lajes, outras vigas e pilares de apoio, Desse modo, aparecem tensões normais (longitudinais) adicionais que se somam às tensões devidas à flexão. Nas vigas de concreto armado, essas tensões adicionais costumam ser pequenas e tendem a diminuir com a fissuração do concreto (estádio II). Essas restrições ao empenamento provocam, também, pequenas alterações nas tensões de cisalhamento de Saint Venant. Normalmente, desprezam-se essas alterações provenientes do impedimento parcial do empenamento. Assim, o dimensionamento à torção pode ser feito conforme a teoria de torção de Saint Venant. Usualmente, adota-se a disposição das armaduras compostas de estribos e barras longitudinais que, além da facilidade construtiva, se mostrou bastante adequada para resistir à torção. Os estribos devem apresentar espaçamentos pequenos e as barras longitudinais devem ser distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da seção transversal. 10.2 Arranjo Usual das Armaduras Também devem ser observadas as seguintes recomendações:

a) armadura longitudinal

diâmetro da armadura longitudinal maior ou igual ao diâmetro do estribo (não menor do que 10 mm);

garantir uma ancoragem efetiva das barras longitudinais, junto às extremidades do trecho sujeito à torção, pois a tração é constante ao longo da barra;

distribuição uniforme da armadura longitudinal no perímetro da seção.

b) armadura transversal (estribos)

cm

dst

20

3/

10.3 Comportamento da viga de concreto armado sujeita à torção Os ensaios mostram que a resistência à torção é mobilizada, quase que integralmente, junto à capa externa da seção transversal. As figuras 9.4 e 9.5 ilustram esses resultados. A fig. 10.4 apresenta, qualitativamente, as respostas de duas vigas de seção retangular sujeitas a torção: a primeira de seção maciça e a outra de seção vazada com o mesmo contorno da primeira, ambas com as mesmas armaduras de torção. As duas seções apresentam momentos torçores últimos praticamente iguais; apenas, como era de se esperar, o momento torçor correspondente ao início da fissuração é menor na seção vazada.


162

Figura 10.4 – Comportamento de vigas sujeitas a torção

A fig. 10.5 apresenta, qualitativamente, resultados correspondentes à variação da rigidez efetiva de torção para seções retangulares, de mesma área de concreto e mesma armadura de torção, em função da relação entre seus lados.

Figura 10.5 – Variação da rigidez efetiva de torção

Pode-se notar que, variando a relação h/b entre 1 e 6, a rigidez efetiva à torção e a resistência são praticamente as mesmas no estado limite último. Estes resultados ajudam a comprovar que a resistência à torção é obtida junto à capa externa da seção transversal. 10.4 Geometria da seção resistente A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por:

u

Ah e e 1e c.2h , segundo indica a fig. 10.6.

onde A é a área da seção cheia u é o perímetro da seção cheia c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento estrutural

T

T k t ( )

kt

T

b

h

h/b = 1

h/b = 6


163

Figura 10.6 – Definição da área e espessura equivalente

10.5 Dimensionamento A viga de concreto armado deve ser dimensionada para resistir integralmente ao momento torçor de equilíbrio. O momento torçor de compatibilidade que aparece junto ao cruzamento das vigas (apoios indiretos) é, normalmente, pequeno e pode ser ignorado. Admite-se satisfeita a resistência da peça, numa dada seção, quando se verificarem simultaneamente as seguintes condições:

TSd ≤ TRd2

TSd ≤ TRd3

TSd ≤ TRd4

a) Verificação da compressão diagonal do concreto

2senhAf50.0T eecdV2Rd

250

f1 ck

V fck em (MPa)

onde :

Ae – área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, incluindo a

parte vazada;

he – espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto

considerado;

– ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30º≤≤45º.

b) Cálculo das Armaduras 1. Resistência decorrente dos estribos normais ao eixo da peça

gcotA2f)s/A(T eywd903Rd

sendo:

Ae he


164

A90 – área da seção transversal do número de ramos de um estribo, contidos na parede

equivalente;

s – afastamento entre eixos dos estribos;

fywd – resistência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa.

2. Resistência decorrente das armaduras longitudinais

tgA2f)u/A(T eywdesl4Rd

onde:

Asl – soma das áreas das seções das barras longitudinais;

ue – perímetro de Ae.

c) Solicitações Combinadas

10.6 Flexão e Torção A armadura de torção é acrescentada à armadura necessária para as solicitações normais. No banzo comprimido a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura efetiva he e no trecho de comprimento correspondente à barra. 10.7 Força Cortante e Torção O ângulo de inclinação das bielas de concreto a ser considerado deve ser o mesmo para os dois esforços. A armadura transversal é dada pela soma das armaduras calculadas separadamente. Deve-se verificar também a resistência à compressão diagonal do concreto.

1T

T

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd


165

10.8 Exemplo Considere-se a viga da fig. 10.7

Figura 10.7 – Exemplo de dimensionamento à torção

Cortante: VSd = 1,4.81 = 113,4 kN VSd ≤ VRd2

90,0250

f1 ck

2v

VRd2 = 0,27.v2.fcd.bw.d = 795,9 kN Armadura:

swc3RdSd VVVV

fctd = fctk inf / c = 1,28MPa fct, m = 0,3.(fck)

2/3 (MPa) = 2,56MPa fctk, inf = 0,7.fct, m = 1,79MPa Vc = 0,6 fctd bw d = 141,3 kN > Vsd

b=4 0cm

h=50cm

c=200

p laje = 3,5 kN/m 2

p = 27 kN/m

M V

T

m = p laje c 2 / 2 = 7,0 kN .m/m

engaste só

para torção

m kN m

T

kN p

V

m kN p

M

. 21 2

81 2

/ 5 , 121 8

2

m f ck = 15 MPa

CA50A

6 m

fck = 25MPa


166

Armadura mínima

%1,0001,0f

f2,0

ywk

ctmsw

m/cm4cm/cm04,0%1,0.40.bs/A 22wwsw

2 ramos -> cada ramo: 2 cm2/m Flexão: M = 121,5 kN.m Md = 17010 kN.cm

cm23,8d.f.b.425,0

M11d.25,1x

2cdw

d

x34 = 0,5.d = 23 cm (Ítem 14.6.4.3 da Norma: limitar x/d a 0,5) x23 = 0,254.d = 11,9 cm

domínio 2 -> sd = fyd = 43,5 kN/cm2

2

yd

ds cm16,9

23,8.4,0465,43

17010

x.4,0df

MA

(5 16mm)

Torção TSd = 21.1,4 = 29,4 kN.m = 2940 kN.cm

TRd2 = 0,5.v2.fcd.Ae.he (Ítem da Norma: 17.5.1.5) he ≤ A/u e he ≥ 2.c1 A = 40.50 = 2000cm2 u = 2.40 + 2.50 = 180cm he ≤ 2000/180 ≤ 11,1 cm c1 = 4,0cm 2.c1 = 8,0cm2

he = 10cm Ae = 30.40 = 1200cm2


167

TRd2 = 0,5.0,9.1,78.1200.10.sen 45o = 9612 kN

1T

T

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd 145,09612

2940

9,795

4,113 OK (Ítem da Norma: 17.7.2.2)

Estribos: TSd ≤ TRd3

gcotA2f)s/A(T eywd903Rd (Ítem da Norma: 17.5.1.6)

m/cm8,2A2f

T)s/A( 2

eywd

Sd90

m/cm8,48,22)s/A( 290 (resiste à cortante e torção!)

Pode-se utilizar por exemplo: 10 c/ 16cm Armaduras longitudinais TSd ≤ TRd4 (Ítem da Norma: 17.5.1.6)

tgAfuAT eywdeslRd 2)/(4

m/cm8,2A2f

T)u/A( 2

eywd

Sdesl

ue = 2.30 + 2.40 = 140cm = 1,4m Logo

Asl = 1,4.2,8 = 3,92cm2 (4 12,5mm) Detalhamento

Figura 10.8 – Detalhamento

10 c/16

412,5

516

40

50

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