VII ONDAS EN DOS Y TRES DIMENSIONESLa expresin del movimiento ondulatorio dado por no debe interpretarse como una onda concentrada en el eje , sobre todo si la perturbacin fsica descrita por se extiende sobre todo el espacio. Esto significa que en un tiempo , la funcin toma el mismo valor en todos los puntos del espacio con la misma coordenada . Esto quiere decir que representa el plano de coordenadas . Por lo tanto, de acuerdo a la figura 1, la funcin representa una onda plana en el espacio (dado por las coordenadas ) que se propaga en direccin (ver figura 1). Si es un desplazamiento, se tiene una onda longitudinal si es paralelo a la direccin de propagacin o eje x (flechado) y se tiene una onda transversal cuando es perpendicular a la direccin de propagacin (indicada por la flecha T paralela al plano ). En este ultimo caso el desplazamiento se puede expresar por la superposicin de sus componentes rectangulares y .Ahora, si representa la direccin de propagacin y es el vector de posicin de cualquier punto del frente de onda (onda plana) tenemos que , y por lo tanto podemos escribir: (1)Cualquiera que sea la direccin de (ver figura 2) la cantidad es la distancia desde el origen al frente de onda, esta es igual a la componente del vector de posicin a la direccin de propagacin de la onda plana.En el caso de una onda plana armonica propagndose en la direccin , se tiene:(2)Donde Ahora definiendo el vector como el vector de propagacin; cuya magnitud debe ser , la onda plana armonica se expresa por:(3)Donde (4)Si la propagacin tiene lugar en el espacio (tridimensional), la ecuacion de onda se convierte en:(5)Las ondas planas (2) y (3) aunque contienen las tres coordenadas y realmente son monodimensionales ya que la propagacion esta en una direccin particular y la situacin fsica es la misma en todos los planos perpendiculares a la direccin de propagacin (figura 3a), pero hay otras clases de ondas que se propagan en varias direcciones; se trata de las ondas cilndricas y esfricas (figuras 3b y 3c)

Puede comprobarse que estas ondas son soluciones de la ecuacion diferencial tridimensional (5). En las ondas cilndricas los frentes de onda son paralelos al eje y se propagan perpendicularmente a este eje. Ahora cuando la perturbacin se propaga en todas direcciones con la misma velocidad, el medio es isotrpico y las ondas son esfricas originndose desde el punto donde se genera la perturbacin.Muchas veces la velocidad no es la misma en todas direcciones, en cuyo caso el medio se dice ser anistropo. Ejemplos de estos son un gas con un gradiente de temperatura, un solido sometido a ciertas deformaciones un cristal con propiedades diferentes en varias direcciones.En algunos casos la perturbacin se propaga sobre una superficie, tal como en un liquido o en una membrana en donde la onda es bidimiensional, la cual para su descripcion solo requiere dos coordenadas, figura 4. La ecuacion de esta onda puede ser: (6)En este caso la coordenada z no es necesaria para describir.

Ejercicio:La ecuacion con unidades del S.I. representa una onda armonica plana. Encuentre a) la direccin de propagacin de la onda, b) la longitud de la onda, c) su frecuencia y periodo, d) la velocidad de propagacin, e) graficar una onda en cualquier punto r.Por comparacin con la ecuacion se tiene:a)

b)

c)

d)

e) Ondas Superficiales en LiquidosLa superficie de un liquido en equilibrio es plana y horizontal. Una perturbacin produce el desplazamiento en trayectoria cerrada de los elementos de volumen por debajo de la superficie. Las trayectorias cerradas resaltan de la superposicin de los deslazamientos verticales y horizontales cuyas amplitudes, en general, varian con la profundidad del liquido, siendo circulares en las cercanas por debajo de la superficie y helipticas a distancias alejadas de la superficie. Si la profundidad del liquido es muy grande los elementos del fondo no experimentan desplazamiento vertical.

Durante la perturbacin del liquido, adems de la fuerza de la presin atmosfrica actan la tensin superficial (vertical hacia arriba, similar al de la cuerda) y el peso del liquido, situado por encima y debajo del nivel de liquido en equilibrio. Si las ondas superficiales son armonicas su ecuacion de movimiento seria:(7)Cuya velocidad de propagacin esta dada por:(8)Siendo es la longitud de onda, la aceleracin de gravedad de la tierra, es la tensin superficial sobre el liquido, la densidad del liquido y su profundidad. Un caso muy comn es cuando la profundidad del liquido es muy grande comparada con respecto a , la funcin hiperbolica se aproxima a 1, esto es:

Y la velocidad de propagacin es:(9)El aspecto mas interesante de esta ecuacion es que v depende de la longitud de onda . (Como f=v, entonces v tambien depende de la frecuencia).Ahora si es lo suficientemente grande como para que

Entonces (10)En este caso las ondas son llamadas ondas de gravedad. Esta situacin indica que v es independiente de las caractersticas del liquido.Ahora, cuando, es muy pequeo, el termino que predomina sustancialmente es por lo que y entonces:(11)Estas ondas son llamadas ondas de rizo o capilares. Son las que se observan en un lago quieto cuando sopla una briza o cuando un recipiente que contiene un liquido se somete a vibraciones de muy alta frecuencia y pequea amplitud. En este caso, a mayor , menor velocidad de propagacin.Otra situacin de inters es cuando . En este caso es muy pequeo y y y entonces:(12)Y la velocidad de propagacin resulta independiente de .Finalmente, si el movimiento ondulatorio resulta de la superposicin de varias ondas armonicas de diferentes frecuencias, el medio en que estas se propagan es disperso. En este caso, la onda se distorsiona porque cada onda componente se propaga con diferente velocidad. La dispersin es muy comn en la propagacin de ondas electromagnticas.