Visualização das funções complexas e do Teorema Fundamental ...

93

Transcript of Visualização das funções complexas e do Teorema Fundamental ...

����������� ���� �� ��� ��� �� �� ������� �� ���

��������� � ������� � ������ � �� � �

� ���� � ��� �� ��

���������� ��� �� ���� �������� � �

������ �� ���� ��� �� �������

������ ���� ����� ��

��������� ��������� � � ������� � ����

��� ��� � ������ ��������� �� ���

�������� ������������� �� �������� �������

���� � ����� ���� � ������

����� ���

����� ��� ������ ����

����

�����

�����

���� ��� ���� �����

���������� �� ������ ������� � �� ������ ����!�

� "�#�$�% ���� ����� ���� ��& '�� (���) *���+� ,-�.�

/� ��)0#�

1�����!��� 2���!���3 & 4��������� 5�!��� �����!� 6�!�&

!�!� �� 7�� �8 �� � (�8 �� 5�!��

9���!���) :������ ;����

�� <=����� (��������� ,� 7����!�� ��� =����� ���������

.� >?!���� >!��@!� ��� 6� �A!���

����� ������� �� �������� ���� ����� � ��������� �� �����

������ �� �� ���� ��

����� �� �������

������ ���� ����� ��

���������� ��� �� ���� �������� � � ������

�� ���� ��� �� �������

��������� �������� �� �� ����� ������� ���� � ����� � ���� ��

������ � ���� �� ����������� ������� ��������� �� ����������

������������� � �������� �� ���� ����� � �� ����� !"���� �� ������������

!������� �������� #$%�� �� ��� ���� &��'() ���� �������� ����� �"������

���*

��+, ��, -������� .��"��

/��������

��+, ��, .���� 0���� �� ����� .����

����������� �� ���������� � ���� � �.�1. ����� � .�

��+�, ���, ����� ������ ������

����������� �� ���������� � ���! � �2!.�13� ���� � .�

��� ������ �� ��� �� ��

��� ���� ������ ��� �� ������ � ���� �����

��� ���� �����������

� ���� ��� ������� � �� ��� ���� �������

�� ����������� ����� �� ��� �����

�����������

� ���� ���� � � � ��

��� ��� �� �� �� � ���� � � ���� ��� �� ��� � ��� ��� � ���� ���� � ����

� ��� ��� � �� ��� � ����� ������ �� ��� ������ � � �� ���� ���������� �

���� ��� ����

� ��� �� ��� ��� � �� �� ������ � �!�� �"����� ����� ���������� #���

�� �������� � �$���� � ������ � ���� ���%�����

�� �� �� �� �������� #�� ����� ������ �� �� ��� ��� ��� ���� �� �&��

� � ����������� ��� ������ � #�� ���� ����� '%� "�� ���� ��� (�� �� ����

��� ��� � �����������

�� )���� ��� *�� � +� ���� �"����� ���� �� �������� � ��� � ��� (�� �� ��

� #��� ���� ���%���� ��� ��� � �� ������� ����

� ���� �� ����������� ���� ���"���� #�� � ������$��� � � �$���� � ���,

��� � � �������

� ���� �� ����������� � ���� ���� �� � -./012 3������ -� ���� ��� � � 0���,

��� 1���� ���� � 2�������4� ���� ����� �� � ���� ���5�����

� ���� �� ��� � "��� � ���� �����6 0������� ��������� 37� �4� .�8���� ���,

����� ����� 9��:� � 39���4� 1���� 3�;4� 1��� � � 9���� �"����� ���� ����� �

���� ��� (�� �� $� #�� � � ��� ������ ��� �� ����<��� ����� �������� �� ���(� �

���������� ���� ���(�� ��� '%� "�� ��� ��� ������� � "��=== ������ � � ,

����� � #��� �� � "�� � "������� �� /2/��13-.1+), +�� 9��> � � � )����?+)4�

�%� "�� ���� ������ 1������� ����� $����� ��� ����� � ��@�� ��

��� A� "�� � � �"�B6 *��� �"���� 0���� >� � 1� ��� ��� ���� 1��� 9��� )�����

��� �� ��� ���� �� ��� ��� � �� 0�� ��� ������� 1 ���� � � ���� �� ������ #�� �#�

��� ��� ��� = '%� "�� ���� ��� ��� � ���� ��� � #���� ��"� ��� ����� � ��� �

��������� ������ ���� ����� �� �� ���� � �� ����������� ��� ������ ��������

� ����� � ������� �� ��� ���� ���� � ����� ��� ����� ���������� ������������ ���

���� ����� �������� �� ����������

��� ���� � �� ��������� ������� � �������� �������� ���� �������� ���� ��������

!"� � ��� ����������� �� ����

#���� ������!� � ����� �� ��� ������������ ������ �� ������������� �� ���� ����

��������� �� ����� ��� $��������

����� � ��� ����� �� � ����

���� ��� ���������� � ��� �������

������ ���

������

�� ������� � �� �� ����� ������� ��� �� ������� ��� � ����� �����

�� ����� �������� ���� ��� ���� ����� ����� �� ��� ���������� � �� �����

������� �� �� ��� � � ������� ��� ���� ���� ������� ���� �� ��� � ������������

� ������� ���� ������� � ���� � ��� � !��������� �� ������� ���� ��� �"������

�� ����� ��� � ��� ��� #���� ���� ������ �� � ����� ����� �� ����� ������� ���

� ����� � ��� �� �� ��� ������ #� � ��� �� ��� ������� �� � ����� �����

� ��� ����� �� ��� �� ����� ������� ��$����� $�� �� ������� ������ ����

�� � ����� ����� � ������ � ����� ������� �� $���� ����� ��������� � �� ��

�%��� ������ �� ������ � �� ��� ��� ��������� ���� &���� � ������� ����

�� ��������� � '�� �� (�������� � )���� �� � ����������� ������������ *

����� ��������� �� ��� ��� � �%��� � � �� �� � ����� �� ��+��� �������� �©,����������������- � � ������ � �%�� ������� �© ,��� � �������������

�� - ���� � ������� ,.#/ 0���� .��� �� 1����� 0������-�

������������� #&� �� ��������� .���� �� �� �&� �� ��������� !*����

!����������

��������

��� ������� � � � ���� ������� ��� �� ������ �� ������� ���� � ��� � �

���� ������ ��� ������� ��� ���� ����� ������� � ��� �������� � ������� � �

���� � ������������� ������ ��� � � ��������� ������� � ����� ��������� ���

������� ��� ������� � ���� ����� � ���� ����� ����� ������� ����� ����� � ��

������ �� ��� ���������� ��� ������� ���� � ��� � ���� ����� ��� ������� �

�� ������� �� �� �� ��� !���� ��� ��� ������ �� ������� ���� � ������ ������ �

��� � ���� ����� ���� � ��� ����� �������� � � �������� ��� ������� ����

� ���� � ��� � ���� ����� ���� ��� �������� ��� � ��� ��!��� � � ���

�������� "� �� �������� � ��� ������ ������� �� ��� ������� ��� #���� �����

����� � "������� ��� � �������� ��� ������ � ��� ���� ��� �������

��������� � � �� � �� ��� ����� �������� �© $����������������% ���

� ����� ������ ���&��� ������� �© $��� � ��������������� % ��� ����

$'() *����� '������ +���� *�����%�

�������� � ���� (� ����� '� ��� � � ���� �� ����� ,���� ����� ,������

����� �� �����

��� ����� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� � ����� ����� � z ��� ����� �� ����� ����� � � � � � � � � � � � ��

��� ����� ����� � � ������� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ������ � �� ������ ����� ������ ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� !������������ �� ������ ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �"

��� #������ �� ������ ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

��� %����� �& f(z) = z + n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� ������ f(z) = mz �� |m| > 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� ������ f(z) = mz �� 0 < |m| < 1 � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� f(z) = z2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� f(z) = az2 �� |a| > 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� f(z) =√z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �"

��' (��� �� )����� f(z) =√z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %����� f(z) = ez � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��" %����� f(z) = Ln z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %�� � ���*��� �� �������� �������+�,����� %����- .�/������ 0��1 � � � � '$

��� ���� ���2���� � ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

��� 3� ������ �� ����� �� ������ (45 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

��� ���6���� ���,����� �� � � �� ����� (45 � � � � � � � � � � � � � � � � '�

��� ���� ���2���� � ������������ �� ������ 738 � � � � � � � � � � � � '�

��� 3� ������ �� ����� �� ������ 738 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

��� 9�)��� ������ 738 � � �������� ���� � ���: $ � � � � � � � � � � � � '�

��� ���6���� �������+�2&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''

��� ���� ������������� �� ����� ����� � ��+���� � �������� � � � � � ''

��� ����� ����� � �������� ��+���� � ���6���� �������+�2&�� �� ��)��� 738 '�

��� ��+����� ���� ���������� �� ����� ���� �� ���� )����� ����� � � � '"

��� %����� �& � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

��' %����� ;����2���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� %���<�� z3 � z5� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��" %����� 1/z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ���� �� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ���� ������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ������� ��� � ����� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� ���� � �� !" # �!� �" !�$� ��"� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���� f(z) = sen(1/z) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

���% & ���� ��� � '���"� �����"��!�� �� (� ���� � � � � � � � � � � � � ��

���� & ���� ��� � '���"� �����"��!�� �� (� ���� )��! ����* � � � � �%

�������

� �������� ��

� �� ���� � ���� ��� ��

� ������� ��������� ��

��� ��������� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������������ �� ���� � � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������������ �� ���������� � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������ � �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ! ����� ��� "����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �#

����� ! ����� C ���� ���� � �� R � � � � � � � � � � � � � � � � � �#

����� ! ����� C � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

��� ��������� � ��� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������������ �� ���� � � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������������ �� ���������� � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ! ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

������� %���� ����� ��� "����� ��������� � � � � � � � � � � �&

�� ��������� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

�� �� ������������ �� ���� � � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �� ������������ �� ���������� � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � �

�� �� ������ � �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��' (�����)��� ��� �� ���������*�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��& (������� � ��������� ��� ������*�� ��������� �� "����� ��������� #

� ������ ��������� � ����� ������� �� ����� !�

�� +�)��*�� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

�� %�� � �)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '�

�� %�� � ,����-��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '

� %�� � ���. ,������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '/

�' %�� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &�

�& %�� � �����0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � &&

� ������� �� ��� ��

��� ������ �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� � ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� �������� ������� �� ���� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � ������ !"# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����������� ��� ������� ������� �� ����� �� ��� �

$�� % ��&��� !"# � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $

$�� �������� ������'�()�� �� ��&��� !"# �� �*��� ����*�+� � � � � � � � �

$�� #���*,���� �� &���-�� ����*�+�� ��� ����-�� �� ����� � � � � � � � � � .

$� #���*,���� �� /������ 0��������* �� 1*'���� � � � � � � � � � � � � .$

� ������������ ����� ��

�� /����*2�� 0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3

�� ��������� �� �4���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .3

���������� ��

� ��������

�� ������� ������� � � ������� �� � ������� ����� � � �� � � ��� � �

� ������ �� �� ��� ���������� ��� ����� �� ��� �� ����� ��� �� ��� �� � ��������

��� � ������� ��� �� ��� ���� ��� � ����� � ��� �������� � ������� ���!�� �

� �"�� �� �� � � �� ������� ��� ������ ���� ��� ���� �#� � �� � ��������

� �� ��� ���� �$� �������� � ��� � �� ������� ����� � ��� �� �� �$�

�� ����� �� �� %����& � ����� �� ������� � ��� � �� ��� ��� ���� �#� �� ������

��#���� ��� �������

%� ��� ���� ������� � ��'��� � �� ��(���� ��� ������� ������� � � ���!

���� ����� � ���� ��� �� � � � �������� ����� ��� �� ������ ���� �� � ���

)�� � �� ������ ���� �$� ������ � � ������� �� �� ������ ������� ��� ������� ��

� ��� � � ����� ����� �� �� � �# ��� ���� � ��� � �� ������ � �� �� � �

����$� ����� � *� ��� ���& �� ���� �� � ����� ��� ������� �$� ���� ��" !�� ���

����� � ����� �$� �� ������ ���� *���� �������& �� �������" �$� � ��� �� � ��

������ ��� ��� ���� � "���� ��� �� ���� � ���� ��" �$� � � �� ������ ����

����� �� )��� ������ ������� �� ���� � � ���� �� � �� ������ �� ��

� ����!� & �� ����$� ����� & �� ���� ���� �� � �� �� ������� ��� �

��(���� �� ����� � ���� �� ��(���� �� ��� ��� ����� �& �� �� �������$� � ���&

��� �� ����� � ���� ���� �� ��� � �� ������ ����

)��� �� + �#� ��� �� �+(����� ��� ��" �& ������� � ������� �� � ���� ���� �

������� ������� �� ��(���� ��� ������� ������� � � ������� ����� � ���!

��� � �������� ����� ��� �� ������ ���� �� � ��� *� , ����� - � ��� � �� ��+ �

���� �� ���� #��� ��� � ���������� ��� ������� ������� � . ������ � � , !

����� / ������ �� ������� ������� ��+�� �� � ������ � �������� ����0 ���+�� &

� ����� �� � � ���� �� )�� � �������� ����& ���������� ����������& �$� � ��!

��� �� ������� � ����� ��� .���� !�� � �+�� ��� � ��(���� ��� ������� �������

� �� ��(���� ��� ����� �������� �� ��� �$� ����� ��� %� '� � �� ����� �

������ � �� �������� �$� �������� � � ��� ���� ���+�� �� *� , �����

1& � ���������� ������� ����� � f : C → C �$� ��'��� � � �� � � � ��� �� ��!

���� ���� �� � �� ������ �� �� � ���� �� ��� � 2������ ��3� *� , ����� 4&

�� ������� +����� ��+�� �� ����� �� ���� 567 � 8�� ���������� � ����!

��" �$� � � �� ������ ���� �� ���� �� �� ������� �� ���� �$� ������ ���� *�

9-

��

������ � � � ��� �� �� ���� �� ��� ������� � ���� ��� � ��� ��� �

��� �� � ����� � ��� �� �� � �� �� � �� �� ����� ��� ������� �������

�� ��� ��� ��� ��� � � �� �� � �� � � ������� � ������!��� ���

"���# � ��� ��� �� �����"����# � � ��� ������ �$�� � "��� ������ %��

������� ��� � ����� � �� ������ �� � � ������!��� � & � �� '����� ��� ��

($ ���� ) ��� � ����� ���������� � " ��� ����!��� ��$���� � $ � �

���� ���*���� �������� �© +����������������, � ���� $���� ������� �©+��� � ��������������� , ���� � ����������� $������� +-.% / �� � - � ��

0���� /�� �� ,� 0� ��1 � ������ 2 �� " ���� �� ����� ���# � ����� ��������

��� ����� �� �� ��# � � �� �����3�

� ������� ������ �

� �������� �� ��� �� ����� ���� ��� ������ �� ���� �� ������ ����

������ ��� ��� ����� ���� ��� �� ��������� ������ � ��� �������� � ���

��������� �� ���� �� ���� ��������� �����������

�� ���� � � ! ������ � �� �� ��� �� "� ������ � ���� ��� �����

������� "���� � ���#��� � ���#������ ��� ����� �������� ��� � ������$%� ��

����√2& � ������ � ���� �������� �� ������� !��� � �� �� '��� � "�

%� ����� ���� ��� "� �� ����� ���� ��� ���#���� ���� � ������ � �����

�� "��$(� � ��������� )� ����� ���������� *� ��� ������ �"� ���� � �����

�%� ����������� ��� ����� ��������� ����� � %� ��� ���� �� ������ ��

�#���� +"���� "� �� ����� ������� �������� ��#�� ���� ������ ��� %�

��� ����������� ��� ����� ���������� ������ �� ���� '��� �� ������ "����

����� ���������� ���� � ����$%� � �� ���� ���� ��� ��� ������ ,-� ��

-./0� ��"� � ������ �� ��12� �� "��$%� "��������� ax2+ bx+ c = 0 ��� ��#����

���� *� ��� ��������� � � '���� � � 3���4���� ���� ��

x1 =−b+√b2 − 4ac

2a x2 =

−b−√b2 − 4ac

2a.

�%� � ������� "� � '���� � � 3���4��� � �� �� Δ = b2 − 4ac ��� �� �

������� +������� ���� �� ���������� ��"� � ����� ���� ����#���� ���� ���

"� � ���� �� %� ���� �� �$%�� ��� �2 "� %� ����� ������� � ��������

��12� "�������� � ����� �������� 5��������� ����#���� "� � "��$%�

� ����� ����� �������� ��� ��� ������ �� %� ���� ����$%� ��� � ��� Ox

��� ���������� 6����� � �������� ��� ���� ���$���� � �������� � ��� �� "��$(�

� ���� ����� �� ���� � 7 � �����$%� ����� ������ �� ��� �� �������� ����

� ��� �� "���� '�2�� ����� �������� �� ��12� "�������� � ����� ��������

8�� ������ � ����� ��� ����� ���� ��� ��� � ������� ��� � ��� �$%� �

"��$(� � ��������� �������� 9� "��$(� �������� %� 9� "����������� ���� ������

���������

6�� �� �� � -:-;� 8����� < =��� >-?@:�-:A@B� ���'���� � ��������� �

3� ���� ������ ��� '���� ��� ���� ��� �� "��$(� �� ���� x3 + px = q ��

p q �%� ����� ���� ���������� < =��� %� ��� ���� ��� ��������� ��� ��� �

-?

��

������� ����� � ��� � ���� ��� �������� ����� ����� ��� � �������� ����� ����

��� ����� ���� � ������� �� ����������� �� ������

� ����� !" ��� �#�# � ����$� ����� �%���� ��� �#����� &�� �����������

�� �# ����$ ���'���� ��������� ����� � #���#%����� (� ���� ����$� ����)

������ *��++,���-.� �# ������� &�� �#� �� � �� �������� �� #��� ����������

������� #��� ��'���� �# /���������� ������ ����$ &�� ����� �� ��������

#������0 ���� �# �� ���������� �����'� ������ &����1�� ���� &�� ��� ����,

���� �# �# �����#���� ��#�� 2����� �������� �� �� &�� ��� ������� 3%

&�� � $��� � ���4 ���������� /�������� ���'� ������ ���� �� &����1�� ����������

�� ���� ��&���� ��� #��# �� ���'� ������ ���� �� ������� �� ��� ������

5�� �� �678�

� �9����� � ���� ������ �� /�������� � &�� ��� ����� ������ ������ �� �&�� 1��

� ��� x3 + px = q �# p � q ����� ������� /��������� �� #������ ������������ �

������ �# ������1��� ���'� ��'���#��� �� �# �����#���� � ��� �� �� �#����

���� �&���� ��� �� �&�� � �:����� �# ��#��# ���� �#� ��� ���� ��������0 x3 =

px+ q� �# p � q ����� �������

� ������ �� ��)��� �� /�������� �� �����'� � �'��� ��� ;����# 2����� *��+�,

��-<.� &�� ���# �� #���� ��# �������� ������� ���� ��#�� �� =������� ����#����� �

;�#������ >�����#����� 2������ &�� ������ �#� �� ��� � �# ����� �����

������ ? ��� ���� �# � �������� �� ��������%,� � �# ������ ������ �� �������

����� �������� �#���� ��&�� 2����� &����� &�� /�������� �������� � ��� �

��� �&�� 1�� �:������ ���� &�� ���� ��������� �# ��� ��)9�# ���� /�������� ��

������� ������� &�� ��� #��# ���� ��������� @��������� 2����� �� �������� �

��)� #����� ��������� � �# 3���#��� �� �� ������� #���� �������� ���������

/�������� � �����,�'� � ��� � �� �&�� � �:�����

2����� ��'����� #��� ������� �#� ��#����� � &�� 3����$����� �

����� �# �# ������ &���&��� �:����� � #��# ��#�� ����#��� ��� ��������

A���� A���� ������� *��BB,��<�. � ������� �� �&�� 1�� �� &���� ����� 2# 3%

������ ������� ������� �# #��� ��#��'���� ���� �� �&�� 1�� �� &���� ����� ��#

�# � ��� ��#����� �� @# �#� ����# ? ����� �# ��77� #����� � ��������

�����# ����� � �# #�������� �� C�� ���� �# � ����� &�� /�������� '��� �'�

�������� 2����� �� ������ � ������ �� ������%,��� ������� &�� ��� ����� � 3%

�9����� '% ����� �� D+ ��� � �# ��� �� '��� ���'�#� ��� ���� ��#������

@# ��7�� 2����� �# ��� ��� ��� ������ ������� � ����� � ��� �&�� 1��

�� ������� � &���� ����� E �#������� ��������� &�� 2����� ��#���� �� ���

������%�� ����� ��� 1��� @�� ��4 �� ������ ������� 1�� ���� � /�������� &���� �

�������� @���� ���������� �� �� ��%��� &�� ��� ��4 �# &�� #���� #���#%����

���� ������ ��� ����� ��� �������� ��� �� ������� ����� ����� ������� ����� �� ���� ��

����������� �� ���� ����� � ������ ������� � �� ������ � �� ���� ����� � � ���� �� ������ ��

��� ������ ������� ���� ��������� �� ����������� ����� ��� ������ �����������

��

������� � ��� � � � ���� ���� �� ������ �� ����� ����� �� ����������

�� ��� ������ �� ������� ��� ������ ������� ���� ��������� � ����

����� � ����� ��� ����� ���� ��� �� ������� �������

x3 = px+ q , x3 + px = q x3 + q = px.

!� �"���� ��� �����#� �� �� ������ ������� "���� ���� $�

x3 + ax2 + bx+ c = 0

��� a, b, c ∈ R ��%� ��� ����������&� �� ���� x = t − a

3���� � �����������

� ��� ����&� �� � ��� � �"���� "��� ��'����#�� ��� �(� ����� �������

������� ������ � �����&� �� ����&� ������ ��� � �������� ������ � �$����

��� �� ��� �� )� *� +���"���� ,����� ������� � �����&� ��� ������ ��

�"���� �����- ������ � ����&�

x3 = px+ q,

��� p q ����� ��� ������ ��� � ���� ������� $ ���� �� � �����&� ������� $

�� ���� x = u+ v� .�"� u+ v �������' � ����&� ����� ���� $�

(u+ v)3 = p(u+ v) + q. /0��1

2� ���� ����� � �������� ��"$���� (u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3, ��� �

����� �� �"���� ����

(u+ v)3 = 3uv(u+ v) + u3 + v3. /0�01

,�������� /0��1 ��� /0�01� �"� �� 3uv = p u3 + v3 = q� ,��������� v =p

3u

��&� u3 +( p

3u

)3

= q ������

u6 +(p3

)3

= qu3. /0�31

)������� u3 = t� � 4���&� /0�31 ����� �� �"���� ����&� ���������

t2 − qt+(p3

)3

= 0.

5��� ��� ��� ������ ����&� �� 67��8��� ��#�

t1 =q

2+

√(q2

)2

−(p3

)3

t2 =q

2−

√(q2

)2

−(p3

)3

.

,��������� � ��' t1 $ ������� �� u3 =q

2+

√(q2

)2

−(p3

)3

� ,��� v3 = q − u3

��#� v3 =q

2−

√(q2

)2

−(p3

)3

� .�"�� u v �&� ����� ���

u =3

√q

2+

√(q2

)2

−(p3

)3

v =3

√q

2−

√(q2

)2

−(p3

)3

,

����� t2 � ���� ������� �� �� ��������� ������� ��� ��������

��

�� ���� ��� �� ���� �� ��� ���� ��� �������� �� ���� � ����� �� ����

������� ���� x3 = px+ q� � �� ���

x =3

√q

2+

√(q2

)2

−(p3

)3

+3

√q

2−

√(q2

)2

−(p3

)3

.

�� ���� � � �������� �������� ���� ������� � ������ ��������� ���

!���� ����� � ������ �� "#��� �$����� ��������� ����� �� �� ������ ���

����� ���� �� ���� � x3 = 15x+ 4 %�� �� ��� �� ���� � ��� ���� ��&

��� x = 4 %��������� � ������� ��������� '�� x =3

√2 +

√−121 + 3

√2−√−121

%�� �� ����� ��� � � �$��� ��& ����� �� ������ ��(��"� � ��� �� � �

����(�� �������� ���� ��(� '�� ������ �� �� ���� � )��� ��������

!���� � ������� �� �(�� ���(��� �� ����� � �*&� ����� �� ������

��(��"� � ���� � � ���� � ������ ��� ��� �������� +�'*���, �

- '�� ����� �(����� ������� .'�� /������� 0�1�2��1�34� ���� ����(���

������ ��������� � ���(� � ��"� ������� ����� ����������� �� 5������

�'*����5 /�������� �� ���*���� �� !����� �������� ��� � ��� ������� �

�*&� ����� ��� ������ � ������� � ������ ��������� ��'���� ��� �����

� ��� �� ��� � ��� � ����� �� � ��� ����� �� �� +���� ����,6 ������

�$������ �� ������ ��7� ������ � ��� ��(��"� � ������ ��� ��� �(����

��(� �(������ �� ������ ��� �3� � �88�

/������� ����(��� �$����� ���� � � ���� � ����� x3 = 15x+4� �������

������������ ������ ���� �� ��� � ������3

√2 +

√−121 �3

√2−√−121 �����

�� ������ � '��� (a+√−b) � (a−√−b)� �������"����� %�� ��

(a+√−b) + (a−√−b) = 4⇒ 2a = 4⇒ a = 2.

���������� a = 2 ����� ���

(2 +√−b) = 3

√2 +

√−121 =3

√2 +

√121.(−1) = 3

√2 + 11

√−1,

9�� ����� ����

(2 +√−b)3 = (8− 6b) + (12− b)

√−b = 2 + 11√−1,

��� ��� ������ � ����� �� b = 1 )��� x = 2 +√−1 + 2−√−1 = 4

/������� �� �� ��"�� �������� �������� �� �1��� ����� "#�� �#(�� � �����

� #�(��� ��� ��"� ������

)���$�������� 21 �� ������ .��� :����� 0�1;2��2184 ��� �� �*&�

�� ������ ��(��#��� �� �� ����� � �� �� �� ��� ������� �� �� �����

�������������� ������� ��� �� � �������� � ������ ��������������� ��� ����� �� ��������������� �� ������� ��� �� ���� �� ����� � ���� ��� �� ���

����� �� �� � � �� ��� ����� � ��� ������ � �� �� ����� ��� �� ��� �

��

�������� � � � ���� ���� ��� ������� �� ������ � ������ � � ��� ���� � ����

��� � ������� � ����� �������� ��� ��� ���� ��� ���� ��������

����� ������� �������� ���� ��� � ���� � �� ���� ��!�� ����� ��� "��� ��

���� �� � ��!�� � "��#���� $�� ������!�� ��� ��� � �% ���� � "��#����

�� ��"����� ����& '�� � ��!�� (������ )������(�* �� � ���� )��"��(�*

� � �� ��� ����+ ��� (�!�� ��� � � � "��#���,� -�� ���� ���(�� �. ��/� � �% ���√−1 . �� � � �% ��� � "��#����

-� �"��� �� #����� .��� � � �� (��� ��� ��(�� �% ���� �(� ���

����������� � �� �� ���� � �������� �".����� %��� �� �� �����(�� ����0���

���� �1 ����� ��� ��������� �% ���� �� ���������� � ����� "�� .�����

� (�! ��� �� #��� .��� �� ��� � ��� ���� $������� 2 ��� ����

�� #���� ��� ������ � � � �����"��� � �3����� � "�� .���� ������ ��

����� �% ���� ��� � ��"�4� 5��� 6���� )����7��8�* � ���� ���� �������� � �����

���������� ���������� ���������� 9�� ���������� �� �����(�� ����� "�� .���� ���

� ������ ����� 5�� :����� ��"� )����7��;;* �� � ���"�< ������ �

��8� ������� ����� ��� �� ������ � ������� � ������� � ���������� ���� �

������������� � �� ������ =�� �� ;�;>�

�� �� � �� �� � ��� ����� "�� .���� �� �3����� ������ � �������� 7

�� #����� �������( �3����� #�"���� �����7�� � �� � ������� �� #����

����� .���� ?����� $���� )��8�7����* ��� ��(� ��� �� � ��"� � �% ��� ���7

����� e� �������� ��� ���� �� � ������ �� ���� ��(�7�� $���� ���� �

����0�� ��� �. ��/� � @�� #���� ������ � ���� ����������0�� ����7��

� �� ���� i ��� �� ����������√−1� A�� ������� ��� �� � ��� ��������7

�� � ������� ���� �� <�� � �� (�� � ����� ����� � $���� ����� �� ��(��

�% ����� �� ��� �1 �� %���� � ������ � ��/ ������� � � �� �������� � ���

���� ���� <� ( ���

���� ���� � ������ ���������� �� � ������ � ������ �� ���� �

���� � ����� ��� ����� ���� �� � ����� ������� �� ������ ��������

��� ����� �� ������ ����� � ������ �� ���� ������� ���� �� �

� �� ����� ������ ����� �� �������� �� ��� ������ � � ��� � ��� �

�������� �� ���� ���� � � �� �� ��������� ������� �� ������ ��� �

��� �!� ��� ������ �� �������"���

$��������� ��"��� :������ =�� �� ;��>� �� �� � ����� � �� #���� B� C� ����

)����7��DD* �����(� � ��� ��(�� ����� ��� ������� ����!����� � ��"�����&

#���� ���� ����� �� � ��������� ������ ��� � ����� �� ���� �� ��$

"��� ��� ���� ��������� ������ �� %���� ���� � �� �� ���� �� ��� �

� �� �������& �� � ����� ���� �� ��� � �� �� ��� �� � ���������

���� � '���� ��� � ��� ( ��������� ���� �� �� �������"��� �� ��� ��

��������� ���� � ��� � ���� ���������� � �������� � �� � ��� ���������

��

� ��������� �� � ����� ����������� ���� ���������� ��������� � ��� ��

������ ��� ���� ��� �� �������� ��� ���� ������ �� � ����� ����������

��� ����� ���� �� ������� ��������� ��� � �� � ������ ����� �� �����

���� �� � ������� i ����� ��� � ��� ����! "����� �� ������� ��������� ���

������� � ���� a + b√−1 ����� ��� ���� �� ��� a + bi �� a � b �������

���� � i2 = −1! #��$� ��� ���� ������%&� ������� ��������� �� �������

�������� ������ �$ ��'�!

( ��������� ������� )�� ������ ��������� ����*���� ��� ��� ��������%+��

� ����,��,������ ����� �� ������� ��������� ����� �� )��� � ����*���

���-� "���� � .��,�� /�0012�1�34� )�� ��� ,��� � �1�1 �� ����� ������������

���� ���� ����,�� ������������ � )�� ��'� $ ����� � ��� #����� � .��,��

(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ).

����������� ���$� �� ���&�� 5�� 6�������� /�0�32�1��4 � 5���� 6�������� /�0012

�13�4 � 5�� 7� 8�� 9:"������� /�1�12�1�;4!

� ������� �������

����� ������ ��� �� ��������� �� � �� �������� ������� ��� �� � � ��������������

����� � ������ �� ���� �� �������� �� �� �������� � �� �� �� � �� �� ������� ��

�� �� ��� �� ���� �� ���������� !����� "��# ��� � ��� $�������� ������ �� �

���%��� ��� ���� �� �������� ����� � ��� � � �� �� �� ��� � �������

��� ��������� � ���������

&�%� R � ���%��� ��� ���� �� ���� ����� ��� ������ �� �� �'����� � ��� �� ��

� ��������� ����� R ����� ��� � � �� �� ���

�������� � ������ ������ � �� � ������ ������� �� ����� x+iy� ��� x, y ∈ R�

(��������� ��) ����� �������) �� ������� + � i ��� ���� ������ �� ����

��'������� ������������

$�������� �� C � ���%��� �� ����� �� ���� �� ��������) � ��%�) C = {x+ iy :

x, y ∈ R}� $��� � ���� � ������� z = x+ iy) �������� �� i � ������ ���'��� ��

�� ������� � � �� ������ i2 = −1� *�� �����) � ���� � �� x � ������� ��

����� ��� �� z � � ���� � �� y �� ����� ���������� �� z ������������ �� Re(z) �

Im(z)) ��������������� +����� � ��'���� ����������� �� � � ���� � ������� z,

• &� Im(z) = 0 ����� z = x � � ������ ����

• &� Re(z) = 0 � Im(z) �= 0 ����� z = iy � ������� �� ������ ���������� �����

&�%�� z1 = x1 + iy1 � z2 = x2 + iy2 ∈ C� $������� � �'����� ��� � �������� ��

C �� ,

z1 = z2 ⇔ x1 = x2 � y1 = y2,

� ��%�) ���� ���� �� �������� ��� �'��� ��) � ������� ��) ��� ���������� �� ��� ����

� ���'��� ��� "� �� �'���� -�"���.���� �� �� �'������ ��� �� ��� ���� � ���'��� ���

��� �� �� ���%��� ��� ���� �� �����

�� ���%��� C �������� �� ��� �� �� � ��������� ��,

/0

����������� �� ������ ��

������� z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)�

���� �� �� �� ���� ����� �������� � ��� �� ��� ���� � R� ��

���������� ����� ���� � ��� �����

����� ����� z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)�

���� �� � ������� �� ���� ����� �������� � ��� ��� � ����� � ���

�������� � ������������ � R� �� ����� ���� � ��� �����

����� �������� � �� �� ������ ��

��� z1 = x1 + iy1� z2 = x2 + iy2 � z3 = x3 + iy3 ����� �������� ���������

������� �� ����� �� ����� �������� ������ � ����� ��� �����������!

"��# z1 + z2 = z2 + z1 "�������#�

�����������

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) =

= (x2 + x1) + i(y2 + y1) = (x2 + iy2) + (x1 + iy1) =

= z2 + z1.

"��# (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) "��������#�

�����������

(z1 + z2) + z3 = [(x1 + iy1) + (x2 + iy2)] + (x3 + iy3) =

= [(x1 + x2) + i(y1 + y2)] + (x3 + iy3) =

= [(x1 + x2) + x3] + i[(y1 + y2) + y3] =

= [x1 + (x2 + x3)] + i[y1 + (y2 + y3)] =

= (x1 + iy1) + [(x2 + x3) + i(y2 + y3)] =

= z1 + (z2 + z3).

"��# 0 + i0 � � ���� �� ����� �������

����������� $� ���� z = x+ iy ������� ����� ���

z + (0 + i0) = (x+ iy) + (0 + i0) = (x+ 0) + i(y + 0) = x+ iy = z.

����������� �� ������ ��

���� ���� ��� z = x + iy ∈ C �� � (−z) = (−x) + i(−y)� � ����� ��� �� ���

�������� ��������

�����������

z + (−z) = (x+ iy) + [(−x) + i(−y)] = [x+ (−x)] + i[y + (−y)] = 0 + i0.

�� �� �� �� ������� ��� � ������ � ������ ����� �����

������� � ������� ����������� � ��������� �� � ���� ����� �����

��� �� � ����� ��� �

! ������� � �� � ���� ����� ��� �� � ����� ����� ���� � �������

�������� ��� �� ����� ������� z1 z2 ������ ��� z1 − z2� �� "�

�������� z1 − z2 = [x1 + (−x2)] + i[y1 + (−y2)].

����� �������� �� ����������� �� ��

#"�� z1 = x1 + iy1� z2 = x2 + iy2 z3 = x3 + iy3 ����� ������� ���� ���� !

������� ������������� ����� ������� �� �� � $���� ������� %

� �� z1z2 = z2z1 �������������

�����������

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) =

= (x2x1 − y2y1) + i(x2y1 + y2x1) = (x2 + iy2)(x1 + iy1) =

= z2z1.

� �� (z1z2)z3 = z1(z2z3) �� ����������

�����������

(z1z2)z3 = [(x1 + iy1)(x2 + iy2)](x3 + iy3) =

= [(x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)](x3 + iy3) =

= [(x1x2)x3 − (y1y2)x3 − (x1y2)y3 − (y1x2)y3] +

+i[(x1x2)y3 − (y1y2)y3 + (x1y2)x3 + (y1x2)x3] =

= [x1(x2x3)− y1(y2x3)− x1(y2y3)− y1(x2y3)] +

+i[x1(x2y3)− y1(y2y3) + x1(y2x3) + y1(x2x3)] =

= (x1 + iy1)[(x2x3 − y2y3) + i(x2y3 + y2x3)] =

= z1(z2z3).

����������� �� ������ ��

���� 1 + i0 � � ������� � �������������

����������� ���� ���� z ∈ C�

z(1 + i0) = (x+ iy)(1 + i0) = (x.1− y.0) + i(x.0 + y.1) = x+ iy = z.

���� ���� ���� z ∈ C, z �= 0 ���� � z−1 =x

x2 + y2+i

−yx2 + y2

� � ����� � ������������

� z�

�����������

zz−1 = (x+ iy)

(x

x2 + y2+ i

−yx2 + y2

)=

=

(x

x

x2 + y2− y

−yx2 + y2

)+ i

(x−y

x2 + y2+ y

x

x2 + y2

)=

= 1 + i0.

��� z1(z2 + z3) = (z1z2) + (z1z3) �������� ������

�����������

z1(z2 + z3) = (x1 + iy1)[(x2 + iy2) + (x3 + iy3)] =

= (x1 + iy1)[(x2 + x3) + i(y2 + y3)] =

= [x1(x2 + x3)− y1(y2 + y3)] + i[x1(y2 + y3) + y1(x2 + x3)] =

= [x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3] + i[x1y2 + x1y3 + y1x2 + y1x3] =

= [(x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3)] +

+i[(x1y2 + y1x2) + (x1y3 + y1x3)] =

= [(x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)] +

+[(x1x3 − y1y3) + i(x1y3 + y1x3)] =

= (z1z2) + (z1z3).

����� ���������� � �� �� � ������ �� ������ � ������ � ����������� �

���� �����!�� ��� ���������� ��� ������� ������������ !���"��� � ����

������� ����� ��� ���� �����

# ��������� �� !���"��� � ���� ����� �� � ����������� ����� ����

� ������� � ������� � ���� ���� �����!�� z1 z2 ��� z2 �= 0 ���� ��� �

��� �������� ���z1z2

���� ���

z1z2

=x1x2 + y1y2x2

2 + y22+ i

y1x2 − x1y2x2

2 + y22. ���$�

����������� �� ������ ��

����� ����� �� �� �������

�������� � � ������ �� ��� ����� � �� �� ����� �������� z = x + iy�

������� �� |z|� � ������� ���� � ����� �� ������� ��� ��� ��

|z| =√x2 + y2. �����

���� ���������� |z| ������ ���� ��� ������������ ���

|z| =√

(Re(z))2 + (Im(z))2.

�������� � �������� �������� �� �� ����� �������� z = x + iy� �������

�� z� � ������� �� z = x+ i(−y) = x− iy�

���� �� Re(z) = x = Re(z) � Im(z) = −y = −Im(z)�

� ��������� � ���� �� ����� �� �������� �� ���� � � ���!���� � �"� � ��

�#���� ���� � ��

� �������� � � ���� � �� ����� �������� z ��� ��� �������� �������� z �

���� � ����� �� ������ �� z� �� � ��

zz = |z|2.������ ��� $� %���� �� z = x+ iy ����� z = x− iy� &��� ��

zz = (x+ iy)(x− iy) =

= (x2 + y2) + i(yx− xy) =

= x2 + y2 =

= |z|2.

'���(�� ������ �� ������ �� �������� �� ���� � � ���!���� � �"� � �� �#����

���� � � ��� � ��)���� �� ����� ����� �#����� ���� � ���

���������� � � ������� ��� ����� ������� z1 � z2 � z2 �= 0 � ���� ���

z1z2

=z1z2z2z2

=z1z2|z2|2 .

������������ ����� z1 = x1 + iy1 � z2 = x2 + iy2 �= 0 ���� ����� �� �����

���������� ������� ��� z1z2 = (x1x2 + y1y2) + i(−x1y2 + y1x2) � z2z2 = |z2|2 =

(x22 + y2

2) + i0� ������������ �� �� ������� ���������� �� ������� ����� ����� ���

z1z2z2z2

=(x1x2 + y1y2) + i(−x1y2 + y1x2)

(x22 + y22) + i 0

=

=(x1x2 + y1y2)(x2

2 + y22) + (−x1y2 + y1x2) 0

(x22 + y22)2 + 02

+

+i(−x1y2 + y1x2)(x2

2 + y22)− (x1x2 + y1y2) 0

(x22 + y22)2 + 02

=

=x1x2 + y1y2x2

2 + y22+ i

y1x2 − x1y2x2

2 + y22=

z1z2.

����������� �� ������ ��

�������� �� �� ��� ���� ������� ������� ���������� ��� � ��� ������� � ������

��� � � ����������� ���� �������� ��������� �� ������������

����������� � ����� z1, z2 ���� ������� ��������� ���������� �� ��

�� z1 + z2 = z1 + z2�

�� z1 − z2 = z1 − z2�

�� z1z2 = z1 z2�

��

(z1z2

)=

z1z2, ��� z2 �= 0�

����������� ��������� z1 = x1 + iy1 � z2 = x2 + iy2�

(a) z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) =

= (x1 + x2)− i(y1 + y2) = x1 + x2 − iy1 − iy2 =

= (x1 − iy1) + (x2 − iy2) =

= z1 + z2.

(b) ! ������ ��"�� # ��$���� �� � �� �� �� ������

(c) z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) =

= (x1x2 − y1y2)− i(x1y2 + y1x2) = (x1 − iy1)(x2 − iy2) =

= z1 z2.

(d)

(z1z2

)=

x1 + iy1x2 + iy2

=

(x1x2 + y1y2x2

2 + y22

)+ i

(x2y1 − x1y2x2

2 + y22

)=

=

(x1x2 + y1y2x2

2 + y22

)− i

(x2y1 − x1y2x2

2 + y22

)=

=

(x1x2 + (−y1)(−y2)

x22 + (−y2)2

)+ i

(x2(−y1)− x1(−y2)

x22 + (−y2)2

)=

=x1 − iy1x2 − iy2

=z1z2.

����������� � %��� �� ������ �������� z �������� ����

�� z = z�

�� z + z = 2 Re(z)�

�� z − z = 2i Im(z)�

����������� ���� z = x+ iy� ����� ���

����������� �� ������ ��

��� z = (x− iy) = x+ iy = z.

��� z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2x = 2 Re(z)�

��� z − z = (x+ iy)− (x− iy) = 2iy = 2i Im(z)�

���������� �� ������ ������ z � � ������ ��� ��� � ������� ��� z = z�

������������� ��� � �� ���� � ���� z � �� ���� ��� �� � ��� ��

Im(z) = 0� ������ ��� �� ������ ������� �� �� �� z − z = 0�

���������� � ���� z ∈ C ������ |z| = 0 ��� � ������� ��� z = 0�

������������� ��� z = x+ iy�

|z| = 0⇔√

x2 + y2 = 0⇔ x2 + y2 = 0⇔ x = y = 0⇔ z = 0.

������� � � ��� � � z ∈ C �! "#�����$

��� |z| = |z|�

���

∣∣∣∣1z∣∣∣∣ = 1

|z| � � z �= 0�

��� Re(z) � |Re(z)| � |z|.

��� Im(z) � |Im(z)| � |z|.

������������� ��� z = x+ iy �� ���� � ���� ��������

��� |z| =√x2 + y2 =

√x2 + (−y)2 = |z|.

���

∣∣∣∣1z∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1 z

zz

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ x

x2 + y2− i

y

x2 + y2

∣∣∣∣ =√

x2

(x2 + y2)2+

y2

(x2 + y2)2=

1√x2 + y2

=

1

|z| .

��� Re(z) = x � |x| = |Re(z)| =√

Re(z)2 �√Re(z)2 + Im(z)2 = |z|.

��� Im(z) = y � |y| = |Im(z)| =√

Im(z)2 �√Re(z)2 + Im(z)2 = |z|.

������� � � � �� � � �� ���� � � ���� � z1 z2 �������� ��%�

��� |z1z2| = |z1||z2|�

����������� �� ������ ��

���

∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ = |z1|

|z2| ��� z2 �= 0

�����������

�� �� ���������� �� ����� ���

|z1z2|2 = z1z2z1z2 = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2.����� |z1z2| = |z1||z2|.

��� �� � ���� �� ����� ��� ∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =

∣∣∣∣z1 1z2∣∣∣∣ = |z1|

∣∣∣∣ 1z2∣∣∣∣ = |z1|

|z2| .

����������� � ���� ���� ������� ���� � �� z1 � z2� ������ � ��������� ����!

�� ����"

�� |z1 + z2| � |z1|+ |z2|��� |z1 − z2| � |z1|+ |z2|��� |z1| − |z2| � |z1 − z2|��� |z2| − |z1| � |z1 − z2|��� | |z1| − |z2| |� |z1 − z2|�����������

�� #���� �� � ����������� ��������� ���"

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(z1 + z2) =

= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 =

= |z1|2 + z1z2 + z2z1 + |z2|2 == |z1|2 + |z2|2 + z1z2 + z1z2

= |z1|2 + |z2|2 + 2 Re(z1z2) �� |z1|2 + |z2|2 + 2 |z1z2| = |z1|2 + |z2|2 + 2|z1||z2| == |z1|2 + |z2|2 + 2 |z1||z2| = (|z1|+ |z2|)2.

����� |z1 + z2| � |z1|+ |z2|.��� |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| � |z1|+ | − z2| = |z1|+ |z2|��� |z1| = |z1− z2+ z2| = |(z1− z2)+ z2| � |z1− z2|+ |z2| $���� |z1| − |z2| � |z1− z2|.��� |z2| − |z1| � |z2 − z1| = |z1 − z2|��� �� � ���� ��� ����� ��� |z1| − |z2| � |z1 − z2| ��� ����� ��� ����� �� � ���� ���

��� −|z1 − z2| � |z1| − |z2| �������� | |z1| − |z2| |� |z1 − z2|

� ����� ��� ����� ����� �� ��

��� � ����� � �� ��� �� �����

����� � ������ C ���� �� ���� � R

�������� � � � ���� ��� ��� ������� ��������� C ���� ��� ����� ���� �

�������� �� ���� ��� ��� ������� ���� R � ���� ����� � � ���� ������ � �

�������� �� ���� ��� ��� ������� ������� Q� ���������� �� Q ⊃ Z ⊃ N ���

���������� ����� ������� ��������� ����!�� ψ ������ ���

ψ : R −→ ψ(R) ⊂ C

x �→ ψ(x) = x+ i.0

� ����!�� ψ ����"# � ��� ����� �����������$

����������� � ψ � %�������

����������� &���������� ������� � � ψ � �������� '� ���� x, y ∈ R �� ψ(x) =

ψ(y) ����� x + i.0 = y + i.0� (��� �(x + i.0) = �(y + i.0) ⇔ x = y� ) �������

� � ψ � ��%�������� *� "�� �� ���� x + i.0 ∈ ψ(R) ⊂ C %�� ��������� x ∈ R�

'������ ψ � %�������

����������� � '� ���� x, y ∈ R �����

+� ψ(x+ y) = ψ(x) + ψ(y)�

����������� *� "�� �� ���� x, y ∈ R �����

ψ(x+ y) = (x+ y) + i.0 = (x+ i.0) + (y + i.0) = ψ(x) + ψ(y).

�� ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)�

����������� '� ���� x, y ∈ R �����

ψ(xy) = xy + i.0 = (x+ i.0)(y + i.0) = ψ(x)ψ(y).

,���� ��� � � ψ � � ���������� ����� �� ���� ���� R � ψ(R) ⊂ C� ����� �������

��#�� � � C � � �������� �� R � � � R ���- ���� �.�� �� C�

� ����� ��� ����� ����� �� ��

����� � ����� C � � ��� ���

��������� �� ������ � ������� �� � � � �� ����� ������� C � ��

��� ��� �������� �� ����� �������� �� ����� � ����������� ������ ���� ���� ��

������ �� ����������� ������ �� �������� �� �����! ��� �� ��� ������� �����! ��� �

����� � ��� " � ���# � ��������� �$ % � � � C � �� ���� ������� ��

���$ &������� �'�� � ������� ��� �� �� � � � C � ( ���) �� ��� �� ��

������ �� ���� � ��� ��� ����� ��$

* ������ � � � � ������ K � �� ��� �������� �� ����� �� ����� �

����������� ���� � �� ����������� �� ��� �� � ������� ��'(����� �� ���$

+� �� �� �� �� ���� K ������ ��� ��� �� ������ � ���� ��

a � b⇔ ������ c ∈ K ��� �� a = b+ c,

���� �� a, b ∈ K � �� �������, �� ��'� ��� � ������-

��� a � a$

��� +� a � b � b � a � �� a = b$

��� +� a � b � b � c � �� a � c$

��� a � b b � a$

���� �� a, b, c ∈ K$ .�,��� �� � ��� � �� ������ �� ���� ���� K$ /�(� �����

� ������ �� ���� � ( ���� ��������� �� � ��������� �� ����� ��� ��� ���� K ���

� ��� �� ��� ���� ����������� �� ��'� ��� � ������ ���� �� a, b ∈ K-

��� +� a � b � �� a+ c � b+ c ���� �� c ∈ K$

��� +� a � b � �� ac � bc �� c � 0$

% � � � K ( ��� ��� ��� ��$ %� � � �� �� ����� ���� ��� Q � ��

����� ����� R �� ������� �� ���� ��� ��� �� � ������ �� ���� � (

� ������ �� � ������ ���� �� ����� ���$ .�� ���� a > b ⇔ a � b � a �= b$

0 ��� ��� �� K ( ���������� � ��'� �� ����������-

�� ����� ���� % ������ �� � ����� � � � ( ������ ����� � ��� (�

a2 > 0, ∀a ∈ K, a �= 0.

����������� .� ���� ���� �� a ∈ K �� a �= 0 ������

"�# +� a > 0 � �� aa > a0 ���� � ���� ��$ 1'� a2 > 0$

"�# +� 0 > a � �� 0+(−a) > a+(−a) ���� � ���� ��$ /����� −a > 0$ 0 ��� ���

(−a)2 > 0$ &��� �� a2 > 0$

����������� ��� ��� �������� ��

������ �� �� �� �� ������ ������ ���� ������ ��� �� � ������ ��

���� �� � ���������� ��� ����� ���������� ���� �� ������� �� C� ����� ���

����� 0+ i ∈ C � ��� � � (0+ i)2 = −1+0.i ����� ������ �� C� � � � ��! −1+0.i

���" ������#�� � ����� −1 � �� �� �� ������ ����� ����� � ������$�%� &�� −1 ����� ������ �� R� '�(� ��������� � � �� �� ������ ����� �)

��� ��� ������ �� � ��� �� *��� +,- �� $.$/� � ������ �� ���� ��#���� ��

C� � ��� ��������� �(�� � �������� �� ���� x + 0.i� ���" � ������ �� ����

*����/ ��#���� �� R� 0���� ���� ����� � �� �������� ��� −1 � ������� �� R�

������ �� ���1�� ��#��� �� ������ �� ���� ���� C� 2(�����1�� � � R � �

� (�� ������ �� C�

��� ���������� � � �� �����

3���� ���� �� �� �� ������ ������ � ���������� �� ������� ���������

4� ��� ����������� �� ���� �������� �� �����5�� ���������� � � ��������� ���1

�� ��� ���� �� ���� ����#���� ����!��� ���� �� ��� �������

�������� � �� ������ ������ � ���� � ���� �� �� �� ��� � (x, y) � ���

����� ����� x � y�

�����1�� �� C �� �� �� ��� � ������ ������� ����� C = {(x, y) :x, y ∈ R}� ��� ����� ����� z = (x, y)� ����� ���� x � 6���� ��

���� ��� �� z � ����� ���� y �� ���� ���������� �� z �������1�� �� Re(z) �

Im(z)� ���������������

7���� z1 = (x1, y1) � z2 = (x2, y2) ∈ C� ��#��1�� � �� ������ ����� �������� �� C

��8

z1 = z2 ⇔ x1 = x2 � y1 = y2,

����� ��� ������ ������ �� �� ��� ��� � ������ ��� � �� ���������� ������

����� � ������"���� ���� �� ���� 0�����!�1�� � � � �� ������ �� ����� ������� � ����

���� �� ������ ��� ���������� �������� �� ����� ������� � ����� ���� �

�� �� �� ������ ������

3 �� �� C ��#��1�� �� �����5�� ���������� ��8

� ����� z1 ⊕ z2 = (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)�

�������������� z1 � z2 = (x1, y1)� (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)�

�� �����5�� ���������� ���� ���� (�� ��#����� � �� ��6�����

����������� ��� ��� �������� ��

����� �������� � �� �� ������ ��

����� z1 = (x1, y1)� z2 = (x2, y2) � z3 = (x3, y3) ���� �������� ���� ����� �

�������� �� ������ �� ���� �������� ������ � ������ ����������� �

���� z1 ⊕ z2 = z2 ⊕ z1 �������������

�����������

z1 ⊕ z2 = (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) =

= (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2)⊕ (x1, y1) =

= z2 ⊕ z1.

���� (z1 ⊕ z2)⊕ z3 = z1 ⊕ (z2 ⊕ z3) �� ����������

�����������

(z1 ⊕ z2)⊕ z3 = [(x1, y1)⊕ (x2, y2)]⊕ (x3, y3) =

= (x1 + x2, y1 + y2)⊕ (x3, y3) =

= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3) =

= (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)) =

= (x1, y1)⊕ (x2 + x3, y2 + y3) =

= (x1, y1)⊕ [(x2, y2)⊕ (x3, y3)] =

= z1 ⊕ (z2 ⊕ z3).

���� (0, 0) � ������� ����� ��������

����������� !��� ���� z = (x, y) ��� x, y ∈ R� ���" ��

z ⊕ (0, 0) = (x, y)⊕ (0, 0) = (x+ 0, y + 0) = (x, y) = z.

���� !��� ���� z = (x, y)� ��� �� (−z) = (−x,−y)� � ������� ��� �� ��� �� �����

���������

�����������

z ⊕ (−z) = (x, y)⊕ (−x,−y) = (x+ (−x), y + (−y)) = (0, 0).

����������� ��� ��� �������� ��

������� � ����� �� �������� �� ������ � ����� �� �������� �� ������ ��

������� ��� ����� � ��� �� �������� ���������� ������������ ���������� �� ��������

����� � � ���� ��� ������� ������

� �� ������� �� ���������� �� �������� � ���� �� ������ ������ ������ � � ������

�� �������� ����� ���� ������� ��� ����� z1 � z2� �������� �� z1 � z2� ���� ���

z1 � z2 = (x1 + (−x2), y1 + (−y2)).

����� �������� � ������������ ������

�� �� z1 = (x1, y1)� z2 = (x2, y2) � z3 = (x3, y3) ������� ��� ����� ������ �

� ������ �� ���� ������� �� ������� ��� ����� �� �� �� ��!����� �� ��������"

#��$ z1 � z2 = z2 � z1 #���������$�

�����������

z1 � z2 = (x1, y1)� (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) =

= (x2x1 − y2y1, x2y1 + y2x1) = (x2, y2)� (x1, y1) =

= z2 � z1.

#��$ (z1 � z2)� z3 = z1 � (z2 � z3) #�����������$�

�����������

z1 � (z2 � z3) = (x1, y1)� [(x2, y2)� (x3, y3)] =

= (x1, y1)� (x2x3 − y2y3, x2y3 + y2x3) =

= (x1(x2x3 − y2y3)− y1(x2y3 + y2x3), x1(x2y3 + y2x3) +

+y1(x2x3 − y2y3)) =

= (x1(x2x3)− x1(y2y3)− y1(x2y3)− y1(y2x3), x1(x2y3) + x1(y2x3) +

+y1(x2x3)− y1(y2y3)) =

= ((x1x2)x3 − (x1y2)y3 − (y1x2)y3 − (y1y2)x3, (x1x2)y3 + (x1y2)x3 +

+(y1x2)x3 − (y1y2)y3) =

= ((x1x2 − y1y2)x3 − (x1y2 + y1x2)y3, (x1x2 − y1y2)y3 +

+(x1y2 + y1x2)x3) =

= (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)� (x3, y3) =

= [(x1, y1)� (x2, y2)]� (x3, y3) =

= (z1 � z2)� z3.

����������� ��� ��� �������� ��

���� (1, 0) � � ������ ����� �� � �������� ����

����������� � � ��� z = (x, y)� �����

z � (1, 0) = (x, y)� (1, 0) = (x.1− y.0, x.0 + y.1) = (x, y) = z.

���� ���� z ∈ C−(0, 0) �� ������ �������� ��� � �� ��� z−1 =(

x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)�

�����������

z � z−1 = (x, y)�(

x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)=

=

(x

x

x2 + y2− y

−yx2 + y2

, x−y

x2 + y2+ y

x

x2 + y2

)=

=

(x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2,− xy

x2 + y2+

xy

x2 + y2

)=

= (1, 0).

��� z1 � (z2 ⊕ z3) = (z1 � z2)⊕ (z1 � z3) ���������� ��

�����������

z1 � (z2 ⊕ z3) = (x1, y1)� [(x2, y2)⊕ (x3, y3)] =

= (x1, y1)� (x2 + x3, y2 + y3) =

= (x1(x2 + x3)− y1(y2 + y3), x1(y2 + y3) + y1(x2 + x3)) =

= (x1x2 + x1x3 − y1y2 − y1y3, x1y2 + x1y3 + y1x2 + y1x3) =

= ((x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3), (x1y2 + y1x2) + (x1y3 + y1x3)) =

= (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)⊕ (x1x3 − y1y3, x1y3 + y1x3) =

= (x1, y1)� (x2, y2)⊕ (x1, y1)� (x3, y3) =

= (z1 � z2)⊕ (z1 � z3).

�� � �������� ��� �� ������� � ��� � ������� �� ����� � �������� ��� ��

������ ������ �� � � � �������� ��� ���� �� � ����� �� � � ��!�� �� ������

����� �� � ������ ��� ������ �� ���

����������� ��� ��� �������� ��

� �������� ���� ���� � ������ � ������� ��� �������� ����� � �����

������� � ������ � ������� ���������� � ������� ������ � z1 ��� z2 �= 0

��� ���z1z2

� ���� ���

z1z2

=

(x1x2 + y1y2x2

2 + y22,y1x2 − x1y2x2

2 + y22

). �����

��������� ��! � ���"�� � C ����� �� �� � ������ � � �� �����! ���

��� � �����#�� � ���� � ��� �������� ��� � ��$% �� ����� �� �����

�� �� �� �&����� � ������

����� � ����� ������

' ���"�� � �� ������� ��������� ����� ���� ���� ������ � ������� ����

�� � �� �������� ��� &���� ��� �� �� ��� ������ � ���� ������ ���

��� �� � ���� �� ����� R2� (� �� �� �����! ���� � �� ���������� �� �� �

���"�� � �� ������� ��������� C � � ���� �� ����� R2� )�� � ���! ���������

����� ������� �� ����� � �� �� � ����� � ���� �� ������

* ���� � �� Re(z) = x � Im(z) = y ��� � ������� � ������ z �� ����

��������� �����! � ���"�� � �� ������� ���� � ������ �� C �� �� ��� ������

(x, 0) �� �� x ∈ R� +�� $���! � ���� � ������� ���, ������� ��� ����!

�� �� � �� � ���� � �����! (0, y) �� �� y ∈ R ��� ��� �-�� �

��� ��� ������� ' ��� � (0, 1) ���, ��� ���� ���� ��&��,�� � ��� �

��� i� * $,��� ������� ��.

i2 = i� i = (0, 1)� (0, 1) = (−1, 0),

���� (−1, 0) ��� ���� ��� � ������ ��� �/�

+� �� ������ �������� z = (x, y) ������� �������� ���"�&� � z! �����

��� z! ���� ���� ��0���� � z ���� ���� ���� (� �� �� �����! � ���� ��� � � ����

� ���� �� �� �� �� ��� �� z � z� �����! �� �� z = (x, y) ����� �� z = (x,−y)�

����������� ��� ��� �������� ��

������ �� ����� ������

���� ���� ���� �� z = (x, y) ��� ������ � �������� ���� � ��� �

���� � (0, 0) ������� �� ����� P (x, y) �� � ��� ���� ��� ������� ����

����� �� �������� ������ ��� � �������� ����� �� �� ������ (x, y)� ���

������� � ���� � � �� ��� � � ���� ��� ���� � ��������� �� ���� �� �!��

� ����"���� �� ���� ��� � ������� �� ���� # ���� � � �� ���� ���� ��

z = (x, y) �$ � ���� ���� � ���� � �� ��� � �� ���������� �� �!�� ���� ����

� ���� � ����������� ���� ��

|z| =√

x2 + y2.

% &$�� �� �� '�(

|z|2 = z � z.

����������� ��� ��� �������� ��

������ �� � ������ ������ z ���� �� �� �� ��� ������

������� � �� �� ��������� ������ �� ���� ����� �� ���������� ���������� �� ���

����������� � � ������ � ��� � � �� � ��� � � ����� � z1 � z2� � �� �������� ��! "�#

��$ �

|z1 + z2| � |z1|+ |z2|.%��� ������� & � �'���� �� ������������ � � ������������ �������( � ����

��� ���������� � ��� ���� � �� ������ � � ���� �� ��� �� ��������� ��

����� ����

� � � � ���� ���� ��� ������ ���������

� � ��� � ����� ����������� � � ����� ������ � �� � ��� � ����� & ��������

��� � � � � �� P (x, y) � ���� � ����� ��� �� ����� � ������� �� � ������

��� ������������ ��)�� ��� �'���� � � �� ���� �'���� �� ����� � ������� ��

� �������� � ��� ����� �������������� ����� �� ����� � �� ��� ������� �� ��� �

� ������ � "��������� * ��������#� +�&� ���� � �� ����� � � �������� ���,�

�� � � � ����� ���� � �� � � ��� � � ������ � �� � ����� ��-���� ���.� �� � �

� �)�� �� � ��� � ������ / ��� � ���� � ����� � � ����� & �����������

� � � ��� (0, 0) � ��� � ��� ��������� � �������� � � � ��� � ���� � ������,��

���������������� +����� � � � �� P � ���� � ����� ���, ����������� �����&�

��� � �������� ����������� (x, y)� � ���� � �� �� �&���� P � �� ��� ���������

��� �� ���������� �������� �� � ��������� %�����$���� � ��� ������ � ��,

���������,�� ���, ��������� �� ���� ������� �� � ��������� ��� � �� �� �&����

����������� ��� ��� �������� ��

������ ���� � ���� ������ ����� ����� ������� ������ ����� �� ���������

������� �� ��������� ���� ���� ������� �� ��� � �� O ����� �� ����� �

��� ��������� �� ����� O ��������� � � ����� � ������ ������ ��� � ����

��� � ������� �� �������� �������� ��������������� !� ��� P ������� ��

����� O " ���� ��������� ��� ��� ������ (r, θ)� ��� r " � ����#��� � ���

P $ ����� O � θ " #���� ����� ��� ������� �� ���� OP � � ��������� �����

�� �������� %��� ������� �� �������� " �������� �� ������� �� ��������

������� %�� ��� ������ �� ���� ���� � ���� �� ����� O� & ��� P �'

��� ������ � � ����� O ��� ����� �� r = 0 � θ ����� (���(���� (�� �' �����

��� �����)' ����� � ��� �������� �� ��������� *� �������� ���������� �

������ �� �������� �����"� ��� ��������� ���������)+��,

��� � ������� �� �������� ������ (r, θ) ���� ������� �� �������� ����������

(x, y), {x = r cos θ

y = r sen ��-�

��� r > 0 � θ ∈ [0, 2π[.

� � � ������� �� �������� ���������� (x, y) ���� ������� �� �������� ������

(r, θ) ���� ���������� � ���������)' ������� � ���� ��� ����� ��� "� ����� ��

�������� r � θ �� ����� ��� �������� x � y� ����� ������� ����� (��

tg θ = y/x ���� x �= 0 � y (���(���� * ���)' �������� ������ ���� ��.�����

� ����� ������/���� ���� � ������ �. ��� ���' ���������� ����� −π/2 �

π/2� !��� �� ����� ���� �����)' ������������ � �������� ���������)' �����

� �������� �� �������� ���������� � ������,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

r =√x2 + y2

θ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

arctg(yx

)�� x > 0 � y � 0

π

2�� x = 0 � y > 0

arctg(yx

)+ π �� x < 0 � y ∈ R

2�� x = 0 � y < 0

arctg(yx

)+ 2π �� x > 0 � y < 0

���0�

���� �� (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)}�

&� ���������� �������� �� �������� ���� ���� ���� �' ������� ��

1����� ����

����������� ��� ��� �������� ��

��� ��������� ����� �� ��� ��������� ������

��� ������� ���� � ��������� ����� �� �

������

������ ��� ���� �������� � ���� �� ���������

� ��� �� ����� � ��������� ������ ���� �� ������ ���������

�� ���� ��� ����� ������ z �= 0� � ������ � z ���� ��� |z| =√

x2 + y2

������ � ����� �� �� � ����� � ���� P (x, y)� ����� |z| = r.

�� ��� �� ����� ������ z �= 0� !���"� �������� ������ �� z� ���� ���

��� Arg(z)� � ������� ����� � �������� �� ������ θ �������� ��� ��"

��� � �� #� �� � ����� O �� ���� P (x, y) � ��� �����$� ��� �%� �����

�� ����� ���"!��&���� ����� Arg(z) = θ� �� �'�� Arg(z) ∈ [0, 2π[� ()"� �����

�� �� �� ����� ������ �� ����� ��� $����� �����$�� �� ��� ��� �%� ������

*����� ����� �������� � ������� ���� ���� ��� Arg(z) = θ − π� +�

���� Arg(z) ∈ [−π, π[ ����� �"� �� �� �� ����� ������ �� ����� ���

$����� ����$�� �� ��� ��� �%� ������

�� *� ����, �� �� ����� ������ ��� ���� �� ��� ������-�� ��� ��� ���"

����� z = (x, y)� �� � ��� ������-�� ���.%�� �� z = x+ iy ���"� ��� �����

����������� ���� � �� ��

����� ����� �� � ��������

z = r(cos θ + i sen θ). �����

���� ������������� ������� ����� ����� �� �� ������ ������ ��

!�� �����"�#���� �������� �� ������� ����� � ������� ����� ������� ������ ��

������������� �� ����� ������ $�� ������% �� ������� ������ �� z1 = r1(cos θ1 +

i sen θ1) � z2 = r2(cos θ2 + i sen θ2) ��� � ���� ��% � ������� ��% ���� �&����� � ����

�� ������� ���������� ����� � �����

��� ��������� � ��������

'�(� M2×2(R) � ���(���� �� ����� �� �����)�� "�������� �� ����� * �� �����+

������ ����� ������ ��� ��,���-�� �� � ������� � ������-�� ���������� �� ���� �

������������� ������ ����� �����)���

�������� � �� ������ ������ � �� ������ � ������ �� ����� � �� �����

������ ����� (aij)2×2 ��� a11 = a22 � a12 = −a21�

.�����+�� ��� C � ���(���� �� ����� �� ������� ������ ��% �� ��(�%

C =

{(x −yy x

): x, y ∈ R

}.

'�(�� z1 =

(x1 −y1y1 x1

)� z2 =

(x2 −y2y2 x2

)∈ C� .�,��+�� � ������� �����

��������� �� C ���

z1 = z2 ⇔ x1 = x2 � y1 = y2,

�� ��(�% ���� ������� ������ �� ��� � ���� ��% � ������� ��% �� �����)�� ����� � �����

.���� �����% � � ������� ����� ������� ������ �� ������� �� � ������� ����� �����)��%

�� ��(�% � � ������� ����� �� ���������� ��������� ��� �����)���

/� ���(���� C ��,��+�� �� ������-�� ���������� ���

� ����� z1 � z2 =

(x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

).

�������������� z1 � z2 =

(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

).

0���,��+�� "�� �� ��,���-�� ��� ������-�� ���������� �� ������ � �������������

���� � ���(���� ��� ������� ������ �� ��� �����% ����� ����� ��% �� ������ ���

������-�� ���������� ������ �� ������ � ������������� �� �����)���

����������� ���� � �� ��

����� �������� �� ����� ��������

����� z1 =

(x1 −y1y1 x1

), z2 =

(x2 −y2y2 x2

)� z3 =

(x3 −y3y3 x3

)����� ���

������ ��������� � ������� �� ������ �� ����� �������� ������ �� ���������

�����������

���� z1 � z2 = z2 � z1 � �����������

�����������

z1 � z2 =

(x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

)=

(x2 + x1 −(y2 + y1)

y2 + y1 x2 + x1

)= z2 � z1.

���� [z1 � z2]� z3 = z1 � [z2 � z3] ����� ��������

�����������

[z1 � z2]� z3 =

[(x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

)]� z3 =

=

((x1 + x2) + x3 −[(y1 + y2) + y3]

(y1 + y2) + y3 (x1 + x2) + x3

)=

=

(x1 + (x2 + x3) −[y1 + (y2 + y3)]

y1 + (y2 + y3) x1 + (x2 + x3)

)=

= z1 �[(

x2 + x3 −(y2 + y3)

y2 + y3 x2 + x3

)]=

= z1 � [z2 � z3].

����

(0 0

0 0

) � �������� ����� ��������

����������� !�� ���� z =

(x −yy x

) ������� ������

z �(

0 0

0 0

)=

(x+ 0 −(y + 0)

y + 0 x+ 0

)=

(x −yy x

)= z.

������������"

(0 0

0 0

)� z = z ��� ���� z ∈ C�

����������� ���� � �� ��

���� ���� � z =

(x −yy x

)�� ���� ������ ��� (−z) =

(−x y

−y −x

)� ���

������� �� �� �������� �������

�����������

z � (−z) =(

x+ (−x) −y + (y)

y + (−y) x+ (−x)

)=

(0 0

0 0

)= 0.

������� ��� ��� ����� ����� �������� �� ����� ����� ���� �� ���� ��

�� ���� �� ������� ����� � ����� � ������� �� � ��� ���� ���� �� ����

� ����� ���� � �� ���� �� ������� ����� � � ��� ���� � ���� � �������

�� ������� ���� �� � ������� ��������� z1 � z2� �� �� ��� z1 � z2� �� ��

z1 � z2 =

(x1 + (−x2) −(y1 + (−y2))y1 + (−y2) x1 + (−x2)

).

����� �������� �� ����������� �� ��

���� z1 =

(x1 −y1y1 x1

), z2 =

(x2 −y2y2 x2

)� z3 =

(x3 −y3y3 x3

)������� ���

������ �� ������ � ������� �� ��� �� ���� �� ������� ��������� ����� � ��!� �

�� ����� �����"

#��$ z1 � z2 = z2 � z1 #���� �$�

�����������

z1 � z2 =

(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

)=

=

(x2x1 − y2y1 −(x2y1 + y2x1)

x2y1 + y2x1 x2x1 − y2y1

)= z2 � z1.

#��$ [z1 � z2]� z3 = z1 � [z2 � z3] #���� �$�

����������� ���� � �� ��

�����������

[z1 � z2]� z3 =

[(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

)]� z3 =

=

⎛⎝ (x1x2 − y1y2)x3 − (x1y2 + y1x2)y3 −[(x1x2 − y1y2)y3 + (x1y2 + y1x2)x3]

(x1x2 − y1y2)y3 + (x1y2 + y1x2)x3 (x1x2 − y1y2)x3 − (x1y2 + y1x2)y3

⎞⎠ =

=

⎛⎝ x1(x2x3 − y2y3)− y1(y2x3 + x2y3) −[x1(x2y3 + y2x3) + y1(x2x3 − y2y3)]

x1(x2y3 + y2x3) + y1(x2x3 − y2y3) x1(x2x3 − y2y3)− y1(y2x3 + x2y3)

⎞⎠ =

= z1 �[(

x2x3 − y2y3 −(x2y3 + y2x3)

x2y3 + y2x3 x2x3 − y2y3

)]= z1 � (z2 � z3).

����

(1 0

0 1

)� � ������� � �������������

����������� ���� ���� z =

(x −yy x

)∈ C� ����

z �(

1 0

0 1

)=

(x.1− y.0 −(x.0 + y.1)

x.0 + y.1 x.1− y.0

)=

(x −yy x

)= z.

���������

(1 0

0 1

)� z = z ���� ���� z ∈ C�

���� ���� ���� z =

(x −yy x

)∈ C, z �= 0 ���� � z−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

x

x2 + y2y

x2 + y2

−yx2 + y2

x

x2 + y2

⎞⎟⎟⎟⎠�

� ����� � ������������ � z�

�����������

z � z−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

xx

x2 + y2− y

( −yx2 + y2

)−(x

y

x2 + y2+ (−y) x

x2 + y2

)

xy

x2 + y2+ (−y) x

x2 + y2x

x

x2 + y2− y

( −yx2 + y2

)⎞⎟⎟⎟⎠ =

=

(1 0

0 1

).

����������� ���� � �� ��

��� z1 � (z2 � z3) = (z1 � z2)� (z1 � z3) ���������� ��

�����������

z1 � (z2 � z3) = z1 �(

x2 + x3 −(y2 + y3)

y2 + y3 x2 + x3

)=

=

⎛⎝ x1(x2 + x3)− y1(y2 + y3) −[x1(y2 + y3) + y1(x2 + x3)]

x1(y2 + y3) + y1(x2 + x3) x1(x2 + x3)− y1(y2 + y3)

⎞⎠ =

=

⎛⎝ (x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3) −[(x1y2 + y1x2) + (x1y3 + y1x3)]

(x1y2 + y1x2) + (x1y3 + y1x3) (x1x2 − y1y2) + (x1x3 − y1y3)

⎞⎠ =

=

(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

(x1y2 + y1x2) x1x2 − y1y2

)�

(x1x3 − y1y3 −(x1y3 + y1x3)

x1y3 + y1x3 x1x3 − y1y3

)=

= (z1 � z2)� (z1 � z3).

�� ������ ��� ��� ������ � � �������� � ������ ��� ����� ��� � ����

�� ��� � ��������� �� �������� ������� �� � � ������ ����� ��� ���������

�� �������� ������ ���� � ���� � ���� � ��� �������� �!� ����� "� # ���

z−1 =

⎛⎜⎜⎝

x

x2 + y2y

x2 + y2

−yx2 + y2

x

x2 + y2

⎞⎟⎟⎠ ���� ��$���� � ���� x, y ∈ R � � ��� x2 + y2 �= 0�

%��� ���� x2 + y2 = 0 ��� � ������� ��� x = y = 0� � ��� ������ z = 0�

� ������ �� � ��������� �� �������� ������ � ��������� &!� ������ ��$���

����� ��������� ��� &!� �� �����!� �� � ���� ���������� � ��� &!� �� �����!�

�� z1 �� z2 ��� z2 �= 0 ����� � ��z1z2

' ��$��� ��

z1z2

= z1 � z2−1 =

⎛⎜⎜⎜⎝

x1x2 + y1y2x2

2 + y22−(x2y1 − x1y2x2

2 + y22

)

x2y1 − x1y2x2

2 + y22x1x2 + y1y2x2

2 + y22

⎞⎟⎟⎟⎠ .

����� ����� �� �� �������

" �� � � ��� �������� z =

(x −yy x

)� "�$����� ��� ��� �� z � � �� � � x

� ��� �������� �� z � � �� � � y � ����� ������ �� Re(z) = x � Im(z) = y� ���

������ ������ � � ��� i =

(0 −11 0

)��� ������$� � ���� ���� �� �� ����� �

���������� ���� � ��������� �� ��

� ������� ���

i2 = i� i =

(−1 0

0 −1

),

�� ����������� �� ����� ���� −1��� � ����� �������� ������ ������� �� z� ������� �� z� �� ���� �

������ ���� ���

z =

(x y

−y x

).

� ����� �� �� ����� ������ z ��� ����� ���� �!�������" ��� ��

|z| =√√√√det

(x −yy x

)=

√x2 + y2.

� # ��� "������� �� |z|2 = z � z�

��� ��������� ��� � ������ ���

$���� ��%! ��� ��������� �� ���� ������ ���� ����������%&�� � ������

�� ������ ������� ���'"�� ������ ��� #��%! (������ �� ������"� �� ����%&��

�� ���%! � ����������%! ����� �� ����������%&��� � ����� f : (X,+, .) → (Y,⊕,�)(������ �����#�����

f(a+ b) = f(a)⊕ f(b),

f(a.b) = f(a)� f(b).

)��� #��%! ��������� �� ������� ����� �� ����������%&���

$�� ��%&�� ��������� ������ �� ������ ������� #� ����������� �� ��*�

���������

����������� �� ������� C = {x+ iy : x, y ∈ R} �� �� ����%&�� �� ���%! + �

����������%! · �������� �� ��%! +�,-

����������� ��� ��� ��������� R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} �� �� ����%&�� ��

���%! ⊕ � ����������%! � �������� �� ��%! +�+-

����������� ���������� M =

{(x −yy x

): x, y ∈ R

}�� �� ����%&�� �� ����

%! � � ����������%! � �������� �� ��%! +���

.����������� ��������

ϕ1 : (C,+, ·) −→ (R2,⊕,�)x+ iy �−→ (x, y).

)��� ������%! ����� �� ��������� ������������

���������� ���� � ��������� �� ��

����������� � ϕ1 � �������

����������� � ���� ϕ1 � ������� ���� ��� z1 = x1 + iy1 � z2 = x2 + iy2 ∈ C ����

���

ϕ1(x1 + iy1) = ϕ1(x2 + iy2) ������ (x1, y1) = (x2, y2)⇔ x1 = x2 � y1 = y2.

��� z1 = x1 + iy1 = x2 + iy2 = z2� ������ ��� ��� ϕ1 � �������� ��� ��

(x, y) ∈ R2 ����� ������� z = x + iy� ������ ϕ1(x + iy) = (x, y) � ������ �

������ ϕ1 � �������

����������� � ϕ1(z1 + z2) = ϕ1(z1)⊕ ϕ1(z2) ��� �� z1, z2 ∈ C�

����������� � ���� ����� z1 = x1 + iy1 � z2 = x2 + iy2 ��� �!��� ���"�#�

������

ϕ1(z1 + z2) = ϕ1((x1 + x2) + i(y1 + y2)) = (x1 + x2, y1 + y2) =

= (x1, y1)⊕ (x2, y2) = ϕ1(z1)⊕ ϕ1(z2).

����������� �� ϕ1(z1z2) = ϕ1(z1)� ϕ1(z2) ��� �� z1, z2 ∈ C�

����������� � ����

ϕ1(z1z2) = ϕ1((x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2) =

= (x1, y1)� (x2, y2) = ϕ1(z1)� ϕ1(z2).

$��"����� ����� ��� � ���� ϕ1 � ������ � ������ �� ����%�� �� ���� �

��"���"���� ���� � ��� (C,+, ·) � (R2,⊕,�)� ������ � ������

� ����� ������� ������ ��� � ��� (R2,⊕,�) � (M,�,�) � ������

&���� ������� �������

ϕ2 : (R2,⊕,�) −→ (M,�,�)

(x, y) �−→(

x −yy x

).

'��� ��"���� ����� �� ��������� ���������(

����������� �� ϕ2 � �������

����������� ϕ2 � ������� � ���� ��� �� (x1, y1) � (x2, y2) ∈ R2 ������ ���

ϕ2((x1, y1)) = ϕ2((x2, y2))⇔(

x1 −y1y1 x1

)=

(x2 −y2y2 x2

)⇔ x1 = x2 � y1 = y2.

���������� ���� � ��������� �� ��

����� (x1, y1) = (x2, y2)� ���� � ���� ��� ϕ2 � ��������� ��� ���� ��������(x −yy x

)�� M �� �� ��� ���� � ����� �������� (x, y) ∈ R2 ��� � ϕ2((x, y)) =(

x −yy x

)� �������� � ����� ��� ϕ2 � ��������

����������� � ϕ2(z1 ⊕ z2) = ϕ2(z1)� ϕ2(z2) ��� ���� z1, z2 ∈ R2�

����������� � !����

ϕ2(z1 ⊕ z2) = ϕ2((x1 + x2, y1 + y2)) =

(x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

)=

=

(x1 −y1y1 x1

)�

(x2 −y2y2 x2

)= ϕ2(z1)� ϕ2(z2).

����������� �� ϕ2(z1 � z2) = ϕ2(z1)� ϕ2(z2) ��� ���� z1, z2 ∈ R2�

����������� � !����

ϕ2(z1 � z2) = ϕ2((x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)) =

(x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

)=

=

(x1 −y1y1 x1

)�

(x2 −y2y2 x2

)= ϕ2(z1)� ϕ2(z2).

� �� ������� � !��"�� ϕ2 � ������� � �� �� � ����"#� �� ���"�� � ����

�������"�� ���� � ���� (R2,⊕,�) � (M,�,�)� ���������� � �� ��� ���� ��

� ���!� �

$���������� ��� �� �� ��� � ���� (M,�,�) � (C,+, ·) �� � ���!� � ��� ����� � ������"��

ϕ3 : (M,�,�) −→ (C,+, ·)(x −yy x

)�−→ x+ iy.

ϕ3 ��� !�% � ������� ��������� &

����������� � ϕ3 � ��������

����������� � !���� ��� ���� z1 =

(x1 −y1y1 x1

)� z2 =

(x2 −y2y2 x2

)∈ M

���� �

ϕ3

((x1 −y1y1 x1

))= ϕ3

((x2 −y2y2 x2

))⇔ x1+iy1 = x2+iy2 ⇔ x1 = x2 � y1 = y2.

����������� ��� ����� ��� �������� ����� ����� ��

�����

(x1 −y1y1 x1

)=

(x2 −y2y2 x2

)� ϕ3 � �� ���� �������� ����� ��� ϕ3 � ��������

���� ���� x+ iy �� ����� �������� �������� �� C� ��� � ������ ��� � ��� ����

�� M � ����� ��������

(x −yy x

)��� ϕ3

((x −yy x

))= x + iy� !�������

� "� ��� ϕ3 � ��� �����#"� ��� ����

����������� �� ϕ3(z1 � z2) = ϕ3(z1) + ϕ3(z2) ���� � � z1, z2 ∈M�

����������� �� �� ��

ϕ3(z1 � z2) = ϕ3

((x1 + x2 −(y1 + y2)

y1 + y2 x1 + x2

))=

= (x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = ϕ3(z1) + ϕ3(z2).

����������� � ϕ3(z1 � z2) = ϕ3(z1)ϕ3(z2) ���� � � z1, z2 ∈M�

����������� �� �� ��

ϕ3(z1 � z2) = ϕ3

((x1x2 − y1y2 −(x1y2 + y1x2)

x1y2 + y1x2 x1x2 − y1y2

))=

= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2) = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = ϕ3(z1)ϕ3(z2).

$ ��#"� ϕ3 � ��� ��� � �������� �� �����#%�� � � #"� � ��� ����#"� � ��

�� ������ (M,�,�) � (C,+, ·) �& �� �� � ������ �� �����&��� � �� �� ��

���� ���

'� �����&���� �� ������ �� ���� � �� �� ������� �#%�� ��������� ��� ��� ���

�� � � �� ����� ���� �� ��� �� � �� �� ���� �� ���������� ������ � ����

�� ���� � �� � � � �� � ��� �� �� �� � �� ����� (��� � � ������� �#"�

�������� ���� � � �)����� ������� � ������� �#"� ��� ��� �� �� � ������ � ����

��*�#"� ����� ��� ��� ��* ��� ������ � ���� ��� ����� $ ������� �#"� �� ����

������ � � � �� � ���� ��������#%�� � ����� �� � ����� $��� ���� �

��� � �� �����&���� � �*���� ����� ��� � �#"� ���� �� �����#%�� � � #"�

� ��� ����#"� �� ������ �� �� ������� �#%�� � ���� � �� ������ ����������

+�� ��,���� ���- ����� ��� � ���� �� � �� � �� �� ��#%�� ���������� �� �� �����

�� ������� �#%�� ���"� � �*� �� ����� � �� ���.�� � � �� � �� �&#%�� �

� ���� ������ � ���

����������� ��� ����� ��� �������� ����� ����� �� ������ ������� ��

��� ���������� �� ������ �� ������ ��������

�� �� ����� � � ���� �

��� � ������ �� ������� �� ��������� ������� �� �� � �� ��� ��������

� ����� ����� ��� �� ������� ���� ��� ������ ��������� ��� ��� ���� ���� ����

���� ��� � ����� !�! ��� ������ ��������� z1 � z2 ����� ������� ���� � �����

z1 = (x1, y1) � z2 = (x2, y2)� "�#�� � �� $�� ��� ��% ��� � ���� � ���� ���

z1⊕z2 = (x1+x2, y1+y2)� � ���� �� �����%��� � �� � �� �� � �� ����� ���� ����

�� R2 � � ������ ������ R2 � ����� ��� ������ ��������� � ������� ��� ���� ����

������ ��� ������ z1 � z2 &�� ����� ���� ���� ���� ���� ������' �� ���� � � ����

�������� ( ���� �� �� ������������� ������� ����� ������ z1 � z2 ���� ����� �

)���� &!��'�

� ������� � � �������� z1� z2 � � ���� �������� ( ���� �� �� �������������

������� ����� ������ z1 � −z2 &�$� ������� �� � ����� �� z2' ���� ����� �

)���� &!��'�

������ �� ������ � ��� ��� ����� ������� ���������

� ���������� � ����� �� ��� ������ ��������� ����� � ������� ��� ��� ���

���� ������ ������� ��� ��� $�� ������ ��� ���*�� ���������� ��������� + �#

���� � �� ����� z1 � z2 ��� ������ ��������� $���$��� ����� �� ���� ���������

������ ������� z1 = r1(cos θ1 + i sen θ1) � z2 = r2(cos θ2 + i sen θ2)� � ����������

� �� z1 � z2 ��� ����� � ��� ������� ���� �������� � ���� ���

z1z2 = r1(cos θ1 + i sen θ1)r2(cos θ2 + i sen θ2) =

= r1r2(cos θ1 + i sen θ1)(cos θ2 + i sen θ2) =

= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2) + i(cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2)] =

= r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)].

,�� ���� ���� ����#�� �� %��� � ������ z1z2 ��� � ��� ����� ����� �� ����

z1z2 = R(cosΘ + i senΘ)� - ����� $�� R = r1r2 � Θ = θ1 + θ2� .��� ���� �

����������� ��� ����� ��� �������� ����� ����� ��

������� �� � ��� �� ������ z1z2 ���� �� ���� ��� �� ��� ��� ��� � ���� ���

�������� �� � �� � �� z1 � z2 ���� ������� � ����� �� 2π� ��� ������ ��� � �����

Θ ��� ����� ���� ��� � ������� �� � ��� �� z1z2 �� ���� � ��� ���

Θ− Arg(z1z2) = 2kπ ���� ����� k ∈ Z.

������� ���� �� ����� �������� z �= 0 � �� ��

arg z = {Arg(z) + 2kπ, k ∈ Z},arg(z) ! ���� ��� �� �������� ����� �� ��� z � ����������

Arg(z) ≡ arg(z)mod 2π.

"�� �# ����� ��� � ������ �� z1 � z2 � $���� ����� ! ���� ���

z1z2 = r1r2[cos((θ1 + θ2)mod 2π) + i sen((θ1 + θ2)mod 2π)], %&�'(

�� �� �# �� ���������� �������# z1z2 = (r1r2, (θ1 + θ2)mod 2π)� )���# � ���� ����� �

��� �� ����� �������� z1z2 ����� ����� ��� ���� �� ������ �� ����� ���

��� ������ z1 � z2 � ���� ��� �� ����� ���� � (θ1 + θ2)mod 2π� *����# ��� �� �

��� �� � ������ ���������# ��� ���� ��� �� ��� ���� �+����� � ����� ���� ������

%�����,� � �+���� 2π(# ���� ����� � - ���� &�.�

������ �� ����������� � ��� ��� ����� ���

/����� ���� ����� ��� � ��� �� ��0�� �� n ������ ���������# z1, z2, · · · zn !

���� ����

z1z2 · · · zn = r1r2 · · · rn(cos((θ1+θ2+· · ·+θn)mod 2π)+i sen((θ1+θ2+· · ·+θn)mod 2π)).

����������� ��� ����� ��� �������� ����� ����� ��

���������� � ������ �� ����� ������� z1 z2 �� z2 �= 0 ����� �� ��

��� ���� ����� � � � ����

z1z2

=r1(cos θ1 + i sen θ1)

r2(cos θ2 + i sen θ2)=

=r1(cos θ1 + i sen θ1)

r2(cos θ2 + i sen θ2)

(cos θ2 − i sen θ2)

(cos θ2 − i sen θ2)=

=r1r2

(cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2) + i(sen θ1 cos θ2 − cos θ1 sen θ2)

cos2 θ2 + sen2 θ2=

=r1r2(cos(θ1 − θ2) + i(sen(θ1 − θ2)).

����� � ������ z1 ��� z2 � ��� � �� ���� ����� ���

z1z2

=r1r2(cos((θ1 − θ2)mod 2π) + i sen((θ1 − θ2)mod 2π)), ����

���� �� � ���� ������z1z2

� ! ��� ����� �� "������ �� ! ���� z1

z2 � ������ � #����� ����� � (θ1 − θ2)mod 2π �� ��� ���� ������ $��������

��� �� � ���� ������ ��� ����� ���� ������� "����� � ��� �� � ! ���

� ������ ��� ! ��� � ���� � ��%����� � #����� � ������ ��� #����� �

���� � �������&���� ! ��� 2π � ��� ����� � '����� ��(�

������ �� ������� �� ����� ��������

� ������� �� ���� �

������������� � � ��

��� ������� �� ���

�� ������� �� ���� �� ������� � �� ��� �� ��� � �������� ��� �����

�� ������ �� ���� ����� ���� � ������� ����

�������� � ����� A � B ��������� � C� ��� ����� ������ f ���� � ��

A � ������ �� B � ��� ��� �� ������ ��� ����� � � ����� ����� z � A

�� ��� ����� ����� w � B �� �� �� w = f(z)�

���������� A �� �� � B ������ �� �� ����� f � � !� ����" z ! #����

�� ����$�� �� ��� � ������������ �� ����� f " ��%���� %�� w ! ��������

����$�� ����������� &��� ����� ������������� � ����� f �� f : A ⊆ C → B ⊆ C

� w = f(z) ∈ B ���� �� z ∈ A� ' ����� Im(z) = {f(z), ���� �� z ∈ A} !

#���� ����� ������ �� ����� �� ��� f �

��(���� %�� ���� � ����� �� ��� ����$�� ��� " f : Df ⊆ R → R �������� �

��$� �� f ����� �� ��� � ����� ������� (x, f(x))" � %�� x ������� �

�� �� Df �� f " ��� !"

Graf(f) = {(x, y) ∈ R2 : y = f(x) ���� �� x ∈ Df}.)� ! ��� �� ����� �*�� ��$� �� ��� ����� �� ��� f " ��� �������� ��

��� ������ �� (���������� ������������ �� �� ����� ��(����� %�������������� �

+�� ! ����� � ��� �� %�� �� ����$����" ������������ � ����������" �� �� ���� �

������ �������������" ��� ��� �� ��" �� �� ��(����� (���������� ��������

� ��−z � � ��−w" ��������������� ����� �������" ���� ��� ��� z = (x, y) �

� ��−z ���������� � �� �� �� ����� f " ���$ ������ �� ��� ��� w = (u, v)

� � ��−w ��� w = f(z) = u(x, y)+ iv(x, y)� ���������� ����������� � ����

����−z �� ���� ����−w � �� ��� ����(� ���� �� � ����� f ����� � ����

������ �� ��� � �� �� � �� ������ �� ����� f � ' ����� � ��������� ��

����� �� ��� f ���$ ���� � ������ �� ��� ����� ,� ������ ���!����- �������

� �� �� �� f � �� � ����� (���� �� ����������� �� � ����� f �� ����

������� ,� ������ ���!����- ������������ � � ��−w�

.�

������ �� ��

��� ����� ��

�������� � ���������� ��� � ��� �� ��� �������� �������� � ���� ��� �

f : C→ C ������� ��� f(z) = mz + n ��� m,n �������� �������� � m �= 0�

������ �� ����� � ����� �� ������ ��� ����� � m n�

m = 1 � n �= 0� ���� z = x+ iy n = n1 + in2 ��� n1, n2 ���� �� � ��� ������ �

������ f(z) = z + n � ���� ����� � �����

w = f(x+ iy) = (x+ n1) + i(y + n2),

�� � �� ���� ��� � (x, y) �� �����−z � ��������� �� ��� � (x+ n1, y+ n2) ��

�����−w� �� � ������ � ����������

w = z + n

�� � �������� � ���� ��� � �� ����� z ��� � � �������� �� �!

�� �����"� n �� �����−w� ������� � � �� #�� ���� #���#� ���� ��

�����−z � � �������� � ��� ���� �� �����−w� ��������� �� � � n

��� ����� � ���� ����� ����$� ��� � ��������� % &���� '�(�

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ���� � � f(z) = z + n

n = 0 � |m| > 1� ���� z = r(cos θ + i sen θ) ������ �����"� m = r0(cos θ0 +

i sen θ0) ���� �� �����"� ��� r0 > 1� � ������ f(z) = mz � ����� ����

��� ��� ��������� ��� ����� �����"�� z m� ������ ���� ��� � �� ���� �

� ����� �� ������ �� ���� ���

w = rr0(cos(θ + θ0 mod 2π) + i sen(θ + θ0 mod 2π)),

�� � �� ���� ��� � (r, θ) �� �����−z � ����� �� ��� � (rr0, θ + θ0 mod 2π) ��

�����−w� �� � ������ �� � � #���#� �� �����−z �� �� �)����

������ �� ��

���������� �� r0 > 1� ����� � ���� ��� � � �� �������� �� ��� � ����

� ��� ������� �� � ����� �� �� ������ θ0� �� ���� � ���� ��� � � ��

����� �� ������� ������ � ��� ��������� ���� ��� � ���� ���� w = mz

� |m| > 1 � �� ����� �����! �� �� �� ����−z � � �������� ��

�� �� � � ���� �� �� ������ Arg(m) �� ������� ������ � �� � ������� �� ��

��� |m|� "� #��� $�%�

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ���� � ���� f(z) = mz ��� |m| > 1

n = 0 � 0 < |m| < 1� &��� �� ' ������ � ��� �� � (�� f(z) = mz �� m =

r0(cos θ0 + i sen θ0) � 0 < r0 < 1� )����� �� ����� �����! �� ����−z � �

��� � �� ����� �� �� �� � � ���� �� �� ������ Arg(m) = θ0 �� �������

������ � �� �� � ��� � �� �� �� ��� �� � � � ��� � �� ��� ��� �� �� ���

|m| �� ��* �� 0 < |m| < 1� "� #��� $��

��� �����−z ��� �����−w

������ ��� ���� � ���� f(z) = mz ��� 0 < |m| < 1

+��������� � ���� ���� ��� ������ ,� w = mz+n ������� � ����� ����

������ ����� �� ��

������ Arg(m) ��� �� ��� ���������� ��� ����� |m|� ����� �� ���� ����� ���

���� ���� ������ �� ����� ������ n� �� �� ����� �� � �������� � ����

�� ����� ��������� �� ������ � ���� � � ����� � �� ���������� ������� ���

����! ������ �� ���� f(z) = mz + n ��� |m| = 1� �� "��

f(z) =

(cos(Arg(m)) − sen(Arg(m))

sen(Arg(m)) cos(Arg(m))

)(x −yy x

)+

(n1 −n2

n2 n1

)

�� �� ��� ������ ����������

��� ����� ��� �����

�������� � ���� z = x+iy ��� ������ � ������� ��� ������ ����� ��������

� �� ����� f : C→ C ������ � � f(z) = az2+bz+c � � a, b � c � �������� � �������

� a �= 0�

#�� ��� � ����� �� � ���������� ���� ����� � a, b c$

�� � �� a = 1 � b = c = 0 %"�� z = x + iy w = u + iv ����� �� � ������

����� ������ � & ������ �����'���� w = f(z) = z2 ( �)����� � ���������

���� ���� � ��� ����! $ u = x2 − y2 v = 2xy� & ��� ���)��* �� �� ������

���� ����� � ��� x = x0 y = y0� ��� x0 y0 �� ��� ���� ��� ���� ���� � ��

�����−z ���� ������� �� �� ��������� Oy Ox � ���������� � ���'����

�� �����−w� + ����� ��� ��� � ����� (x, y) �� � ��� x = x0� ,����

u = x20 − y2 v = 2x0y.

%�� �������� y =v

2x0

�� �� �� � u ���(�*

u = x20 −

v2

4x20

. ���-�

& ������ ���-� ��� ��� � ����� ���(����� �� ����� �� �����−w �� ��� ���

��� ���'���� � ���� F (0, 0) ��� ������. u = 2x20� &� ������ � ����� � x0 ( ������

��� ��� ��� � ���'���� ���� � � �� ����� �� �� �� � ���� ������ ��

���/� �� ����� � x0 �� ���� � ��� ������. ��� ������.��� �� �������

u > 0�

&����� �� ���( � x� ��� ��� y = y0 �= 0 ��� ����� � �� (� � ����� ���(����� ��

����� ������� � ��� y = y0 �= 0� & ��� u = x2 − y20 v = 2xy0� %�� ��������

x =v

2y0�� �� �� � u ��*

u =v2

4y20− y20. ���0�

������ ����� �� ��

�������� �� ����� (u, v) �� � ����� ��� �������� �� �����−w� ���� ���� ����� �� ��������� �������� ���� ����� � ����� ������� ���� ���� ��� F (0, 0) � ����

��������� u = −2y20 ���� ����������� �� ��������� u < 0�

��� � ���� �� ��� x = 0 � y �= 0 �������� ����� u = −y2 � v = 0 �� ��!� ��"��

�� � ������#� Ou ��$���� �� �����−w� %� ����� ����� ������ y = 0 � x �= 0

�������� u = x2 � v = 0 ����� � ������#� Ou �������� &�"� ����� �� x = y = 0

�� � u = v = 0�

'�������� �� x = y �= 0 ��$�� ��� u = 0 � v = 2xy > 0� %��� ������� ��"����

� ������#� Ov �������� &����$����� �� x = −y �= 0 ��$�� ��� u = 0 � v = 2xy < 0

��������� �� ������#� Ov ��$����� (�� ������� ���� �� �������������� ���� �����

������������ �� �����−z� ) ������ �� ������� ���� ���������� �� '�$��� ����

��� �����−z ��� �����−w

������ ��� ���� f(z) = z2

�������� �� � � ����������� z2 �� � ��� ���������� � ��� � ��� ��� � z ���

z� ����� �� ���� � ������������ ��� ���� ��� �� �������� �� z = (r, θ) � �����

������� � �� ����� ������� z2 ������ ��������� ����� � r2 � ������ � � ������

����� � 2θmod 2π� ����� ������ � �����−z ��� ���� �� � ������ � �����−w �����

��������� � ������ � ����� ��� ������ �� ����� � � ����� r2 � ���� ������� �

������ � �������� Ox ������ ���

�� ������ �������� z � ��� � ��� r0� �� ����� ������ �������� �

���� z = (r0, θ) �� 0 � θ < 2π ����� ����� � �������������� � ���� r0 � ������

(0, 0)� ���� ������ ��� ��������� �� ���� ����� z2 � ������ � �������������� �

���� r20 � ������ (0, 0) �� �����−w� !��� ��� �� � � � � "�� � ����� �� �����−z�� ��� ����� � �������������� �� ������ � � ������� θ� �� ����� � #��$��� �� ����%

#��$���� ��� ���� �� �����−w ���%�� �� ��� ����� � �� �� � ���� �

������ � � �������� � ����� z $ �� ����� �� �������������� � ���� r0 � ������ (0, 0)

������ ����� �� ��

�������� ��� ��� � ���� ������ �� ������������ �� ��� r20 � ������ (0, 0)�

���� �� a �= 1� b = c = 0� � ����� �� ������ � � � � � w = f(z) = az2�

��� ����� ��� �� ���� �� ������� �� ������� g(z) = z2 � h(z) = az� ��

��� f(z) = h(g(z)) = h ◦ g(z)� ���� ���� � � ��� ��� az2 ��� �� ���

������ �� ����� � ������� �� �� �� ��� �� � !"�� �� ��� ��� z2�

#�� �� � � �� ��� � ��� ��$������ �� ��� ��� az�� %� &��� '���

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ������ f(z) = az2 ��� |a| > 1

���� �� a = 1� b = 0 � c �= 0 ����� ����� � �� � w = f(z) = z2 + c ���� �

�������� � ��� ����� g(z) = z2 � h(z) = z + c� �� ���� f(z) = h(g(z)) = h ◦ g(z)�� ���������� � z2 + c ������ �� ����� ��������� �� � ������� �� ���������

����������� � z2� � ��� � ������������ ���� ����� �������������� �� � ���� ������!�

c ����������� � z + c��

���� � a �= 1� b = 0 � c �= 0 � �� � � ��� ����������� " ��#���� ��� f(z) =

az2 + c� $��� �� � " � �������� � ��� ����� g(z) = z2 � h(z) = az + c� �� ����

f(z) = h(g(z)) = h ◦ g(z)� %���� � ���������� � az2+ c ������ �� ����� ���������

�� � ������� �� ��������� ����������� � z2� &� ��� � ������������ ��� � '����

Arg(a)� ���������(������)��� ���� ���� |a| � ������������ ���� ����� ��������������

�� � ���� ������!� c�

������ �� �������� ��

���� ����� f(z) = az2 + bz+ c �� a �= 0� �������� � � ������ ������ ���

����� � ������ � ����

f(z) = az2 + bz + c =

= a

(z2 +

b

az

)+ c =

= a

(z2 + 2

b

2az +

b2

4a2

)+

(c− b2

4a

)=

= a

(z +

b

2a

)2

+

(c− b2

4a

).

����� ��� ���� � � � ���� f(z) = az2 + bz + c ��� a �= 0 ���� ���������� ��

� ����� h(z) = az2 +C ���� �� � g(z) = z +D �� ���� ��� ���� C = c− b2/(4a) �

D = b/(2a) !� ����

h ◦ g(z) = h(g(z)) = h

(z +

b

2a

)= a

(z +

b

2a

)2

+

(c− b2

4a

)= f(z).

!��� ����� ����������� ��� � ���� � ������ w = az2 + bz + c ��� a �= 0

�������� � ���������� �� ��" ����� ������������ �� ���� ������#� $����������

�������� ���"�� � ��% ����" �� ��" ��� � &���� �������������� � �'����

������#� b/2a ������������ �� z+ b/(2a)� (� ��" �� ���������� ��� ��%

�� � ���� ��� �� ���)��� �� ����� ���� �������������� � ����� b/2a � � �����

��������� ���� Arg(a) � �����*��+������ ���� ���� |a| ����� ����� ��������

��" ��� � &���� �������������� � �'���� ������#� c− b2/(4a) ������������ az2+

(c− b2/(4a))�

��� ������ �� ���

,� � ��� �� � � ���� ��- � ��� �� �- ���������� ������ � �������� �� � ����

��&��� �� � � ���� ������#

������� ���� ���� f : Dom(f) ⊂ C→ Im(f) ⊂ C� � ���� f−1 : Im(f) ⊂ C→ C

�� �������� f ◦f−1 = f−1 ◦f = ��� ���� �� � ���� ���������� � �������� ����

������ �� f � ���� ��������

.� � ���� f ��� )������� ���� /� ������� � ��)�������� ����� � ���� f ��� ������

� ���� ��&��� (� ������ �� ������������ �� ���� ������#�� � ���� ��&��� ����

����������� ��&��� �� � �� �����������

.�� � ���� � ������ f(z) = z2 !������ ��������� � ���� f−1 �� � �

f ◦ f−1(z) = f−1 ◦ f(z) = z $��� �� �&�� �����&��

f ◦ f−1(z) = f(f−1(z)) = (f−1(z))2 = z.

������ �� �������� ��

����� f−1 � � ��� �� �� ��� � ������ �� f−1(z) � ���� z�

���������� ��������� ��� �� w = f−1(z) �� ��� w2 = z ����� −w ���

������ ����� �� (−w)2 = z� ����� ���� � ����� ��� w = f−1(z) = u + iv� �

z = x+ iy �����

(u+ iv)2 = x+ iy.

!������ � "���� ��� � ����#�� �����

u2 − v2 = x

2uv = y.$%�&'

�"���� ��� y �= 0 ����� �� $%�&' ��� u �= 0� (����

v =y

2u. $%�%'

����������� � "����� ������� �� $%�&'�

u2 − y2

4u2= x.

�����

4u4 − 4xu2 − y2 = 0

� � ��� �� �� ������� ��� � u2� )��������� ��� �*��� �������

u2 =4x±√

16x2 + 16y2

8=

x±√x2 + y2

2.

+���������� "��� ���� �� "������ ����� ���

u2 =x+

√x2 + y2

2.

u =1√2

√x+

√x2 + y2.

,�������� � $%�%'

v =y

2

√x+√

x2+y2

2

=

=y

√2√x+

√x2 + y2

.

√√x2 + y2 − x√√x2 + y2 − x

=

=y√2.

√√x2 + y2 − x√

(x2 + y2)− x2=

=y√2.

√√x2 + y2 − x

|y| .

������ �� �������� ��

���������

v =sinal(y)√

2.

√√x2 + y2 − x,

���

sinal(y) =y

|y| ={

+1 �� y > 0

−1 �� y < 0.

���� �������� � ����� ���� �������� ���� ������� � ���� ����� ������ z =

(x, y) � ������ w = (u, v) � −w = (−u,−v)� � �����������√z ��!���� ��

"�#��� $�%�

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ���� f(z) =√z

&� ����� ������������ ���� ���� ���� ������ z �'��� ��� ������ �� ����

�������� �� z� ���� ����� ��� � ����� ���� �������� ��� ����� �������������

�(���� ����)�� ������������� �� ����)�� �������� ���� ���� �� ���� �� ��������

������� z� �������� ��� � ���� ������ w = f(z) �������� ����� ��� &� *����

+�, !������ ���� ����� ������������ � � ��#�� ����-���� . ������� ��

� ���� ����� ������������� ���� ��� ��� ����)�� ��������� �� ��� ���������

������� ���� �������� ����� ���� ����� ����)�� ���� ��� ����������� ��

������� �� ������ ���� �� �� ����� � ����� �� ���� ��/��� ���� � ������ �� z

���������� � ���� 0��� �������� ���1� ���� ������� �������� � ������������

���� �� ����� ���� ��������� 2�3� z = x+ iy ��!��� ���

x = r cos θ � y = r sen θ,

���� r > 0 � θ ∈ [0, 2π[� ���� ��������

u =

√x+

√x2 + y2

√2

=

√r cos θ +

√(r cos θ)2 + (r sen θ)2√2

=

√r cos θ + r√

2.

������

u =√r

√cos θ + 1

2. 4$��5

������ �� �������� ��

���������� �� �� �� �������������

cos2(θ

2

)− sen2

2

)= cos θ cos2

2

)+ sen2

2

)= 1

��� ��

cos2(θ

2

)=

cos θ + 1

2; �����

sen2

2

)=

1− cos θ

2. �����

������������ ����� �� ������ ��� � �����!�

u =√r cos

θ

2.

" ����� ��#����$ ��!�%

v =sinal(y)

√√x2 + y2 − x

√2

=sinal(r sen θ)

√√(r cos θ)2 + (r sen θ)2 − r cos θ

√2

=

=sinal(r sen θ)

√r − r cos θ√

2.

&����$

v = sinal(r sen θ)√r

√1− cos θ

2. ���'�

������������ � �� �� ����� �� ������ ���'� �����!�

v = sinal(r sen θ)√r sen

θ

2,

����

sinal(r sen θ) =r sen θ

|r sen θ| =sen θ

| sen θ| = sinal(sen θ) =

{+1 � θ ∈]0, π[,−1 � θ ∈]π, 2π[.

(���$ w =√z �� ���� ���� �� w = (u, v) −w = (−u,−v) �� �������� �⎧⎪⎨

⎪⎩u =

√r cos

θ

2

v = sinal(sen θ)√r sen

θ

2

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = −√r cosθ

2=√r cos

(θ + 2π

2

)

v = −sinal(sen θ)√r senθ

2= sinal(sen θ)

√r sen

(θ + 2π

2,

)�����)�����

&����$ �� ���� �� ����� �� �� ��������� �����$ � ����*��� ��√z �)�

�� �+��� �������� z � ���� �,���� r0$ �� �-�$ �+��� �������� �� *���

������ �������� ��

z = (r0, θ) ��� 0 � θ < 2π ����� ����� ��� ����� ����� � ������������ ��

��� r0 � ������ (0, 0) �� ����� �� ��������������� �� ���√r0 � ������ (0, 0) ��

����−w� � ����� ��� � ���� �� ����−z �� ���� ����� � ������������ ������������ ������� θ� �� ������ ������� ��� ����� �� ����−w ������� �� �����

������ � ��� � ������ �� ��������� ������� ������ �� ���� (r0, 0) �������� ��

���� (−r0, 0)� ���� ������ ��� �������� ��� ����� �������� ��� !� ��� �������������� � ���� (r0, 0) ! ��������� ��"�� θ ����� �� 2π � 4π �������� ���� � #�

���$��� ��� ������������ � ��� ��� ����� �� ������������ �� ��� r0 � ������ (0, 0)�

%���������� ���� ���� ��"�� � ����−z� &��� ������� ��� ��� �������� ��������� ���� �����'� �������$�� �� ������� �� ��� ���������� ������ � #� �����

����� (0 � θ < 2π) ���������� ��� ������������ ���� ����� ����� ����� � #�

����� ������� (2π � θ < 4π)� ��� ���� ������������ ! �������� �� ����� ��������

�� ���'��� �� (��� (θ �)'�� �� 4π � ����� ������ �� ��� � ����� ������ �����

����� � &���� ������ ��(��� �������������� � ������� �����$�� �� *����� �

��� � ���+��√z� ,�� -���� .�/�

������ �� ����� �� ���� f(z) =√z

��� ����� ���� ���

� ���+�� �'������� �� ������� ���� ������� � ��(�+�� �� ���+�� �'�������

��� � ���� �����'� �� ����0���� �������� � ���� ���� ������ �� �������+�� ����

��'�� 1������ �� 2������ �������� ��� � ���+�� ex ! ��(��� �� ������ �� �!�� ��

�� ��� ��� ����� � ����� �� ��� ����������

������ �������� ��

������� �� � �� �� ������ ����

ex =∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ · · ·

���� ��� ����� x = 1 ���������� � ������ ������ e = 2.71828182845905 . . .

����� �� ��������� �� ����

��� �� ������� ������ ��� ��� � �� ��� �� ���� ����� � �� ����!"�

�� ������ ��� x ���� ������ ������#� iy� $ ����� ��� ����%�� ��� �"� �������

��� ������� ��� �#���"� �� � �� � &��!"� �#������� ������� �� ������

������#��' � ��� �"� &� ������ ��� ������ (�)���� ����� ����%��' � �� �� eiy

���� ����� ����

eiy =∞∑n=0

(iy)n

n!= 1 + (iy) +

(iy)2

2!+

(iy)3

3!+

(iy)4

4!+

(iy)5

5!+

(iy)6

6!+

(iy)7

7!+ · · · *+�,-

� ��!"� �� ������������� � � ����!"� �� ���

i4m = 1;

i4m+1 = i;

i4m+2 = −1;i4m+3 = −i,

� �� ������� ���� ���!.�� � ���!"� *+�,- � � ����

eiy = 1 + iy +(−y2)2!

+(−iy3)

3!+

(+y4)

4!+

(+iy5)

5!+

(−y6)6!

+(−iy7)

7!+ · · ·

/������ ��� ��� ����%��� )���� �� �0���� ������ ��� � �)����� ������

����� ��)�� ���

eiy =

(1− y2

2!+

y4

4!− y6

6!· · ·

)+ i

(y − y3

3!+

y5

5!− y7

7!· · ·

). *+�12-

��� ����� ���' � &��!.�� ��� cos y � sen y �"� ���' �������������' �� ������

�� � ��� �� ������ ���

cos y =∞∑n=0

(−1)ny2n(2n)!

= 1− y2

2!+

y4

4!− y6

6!+ · · ·

sen y =∞∑n=0

(−1)ny2n+1

(2n+ 1)!= y − y3

3!+

y5

5!− y7

7!+ · · ·

�������' ���!"� *+�12- ���� ��� ������� ����

eiy = cos y + i sen y.

$ ������� ��� ���� ������ � &���� �� ��0�� &��!"� �#������� �� ������

������#�� &�� �������������� ��� �#�����"� ez' � �� �����������' ���

������ �������� ��

������� ����� �������� �� ��� � ���� � ������ �� �������� �� ���� ���

������� � ��� �� ����� ��� �� ez1+z2 = ez1ez2 . ���� ��������� �� ���� ������

����� ����� ��

�� ���� ������ ������������� � �� ���� �� �������� ��� ��� ������� ��!

��� z = x + iy ���� "���� �� �� � �������� � �������� ������� �� ����� ��

�������� ��� � ��� �� ex1+x2 = ex1ex2 . #���� ������� ���!�� ��� ez = ex+iy = exeiy.

$�� ��� � ��%����� �� �����

�������� � ���� z = x+ iy ��� ������ � ������� �������� ����� ��� ������

� ������ f : C→ C ������ � �

f(z) = ez = ex cos y + iex sen y.

&� �� �� ��%������ ��������� ��� � "���� �������� �

��� ������� �� '��� �� �(��� �� �� z = x+ iy ���!�� ��� |ez| = ex�

��� ������� � )� "���

|ez| = |ex+iy| = |ex cos y + iex sen y| ==

√(ex cos y)2 + (ex sen y)2 =

=√

(ex)2(cos2 y + sen2 y) =

= ex.

* �� ����� �� ex > 0 ��� �� x ∈ R ���� �� ��� |ez| > 0� ��� �� z ∈ C� )����

"���� ez �= 0 ��� �� z ∈ C�

��� ������� �� ez1ez2 = ez1+z2 .

��� ������� � +�,�� z1 = x1+ iy1 � z2 = x2+ iy2 �(���� �� ��� ��������� ����

ez1ez2 = [ex1(cos y1 + i sen y1)] · [ex2(cos y2 + i sen y2)] =

= ex1ex2(cos y1 + i sen y1)(cos y2 + i sen y2) =

= ex1ex2 [(cos y1 cos y2 − sen y1 sen y2) + i(sen y1 cos y2 + cos y1 sen y2)] =

= ex1+x2(cos(y1 + y2) + i sen(y1 + y2)) =

= e(x1+x2)+i(y1+y2) = e(x1+iy1)+(x2+iy2) = ez1+z2 .

��� ������� ��ez1

ez2= ez1−z2 .

������ �������� ��

�����������

ez1

ez2=

ex1(cos y1 + i sen y1)

ex2(cos y2 + i sen y2)=

=ex1(cos y1 + i sen y1)(cos y2 − i sen y2)

ex2=

=ex1

ex2[(cos y1 cos y2 + sen y1 sen y2) + i(sen y1 cos y2 − cos y1 sen y2)] =

= ex1−x2(cos(y1 − y2) + i sen(y1 − y2)) =

= e(x1−x2)+i(y1−y2) = e(x1+iy1)−(x2+iy2) = ez1−z2 .

����������� e−z =1

ez�

����������� �� ���

e−z = e0−z =e0

ez=

1

ez.

�� ����� � ����� ������ ���� � ���� ������� ���� �� ����� ������ z

��� �� z = r(cos θ + i sen θ)� ����� ����

����������� � z = reiθ�

����������� �� ��� �� �� �� ������ eiθ = cos θ + i sen θ�

����� � ����� ���������� ��! ������� �� �� ����� ������ ����� "� ��

����� �� ����� ez = (R,Θ)� #��$ � ������������ ���

R = |ez| = ex,

tg Θ = tg y ⇔ Θ ≡ ymod 2π.

����� z = x + iy � w = u + iv ��� � �� �����% ���� ������ �

����� ���������� w = f(z) = ez & ���� ��'���� �� �������� ����� ���� ����

�����(� � u = ex cos y � v = ex sen y� )������������� ���� ��� ��� � ����

x = x0 �� ����� ���$ �

u2 + v2 = (ex0)2. *��++,

������ *��++, ����� ���� ����� ���&���� � ��� � ����−w ��� � ��

��� ��� ���������-���� �� ����� �� ����� � ��� ex0 � ������ ��� %���� ��

x � '��� ��&�$ � ���������-���� ���-������ �� ����� �� ����� � ����−w�.� ��%� ��� ���/�� � ��� � ����−z & ��%�� �� ����� � ����−w� 0 � �!�� � ��%�� ����� %���'��$ � ��� � ����� ���������� & �� �����

�� ����� ���� ��� (x, y) ��� � ���� y = y0 �� ����� �� ���� � x ���������

�� �� ������� Θ = y0 mod 2π ����������! �� ����� � R = ex ��! %����� ����� %����

����� ��� 1�� ��& ��'��� ����������� �� �� ���� ��� �������� �� ����� (0, 0)

������ �������� ��

� ����� Θ �� ��� �� ��� � � Ou �� � � � ����−w� ����� y = 0 �������

�� � ����� ������� �� ��� ��� ��� � ��� �� ����� ��� ��� � � Ou

�� � � � ����−w� ��� �� � ����� ������� �� ������� ������� ��� �����

�������� �� � ����� �� �� ��� �� ��� � ��� ���� �� � � � ����−w� !� " ���

#�$

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ���� f(z) = ez

%�� ��� � ������� ���������� � ���� �� ����&�� ������� �� ������� � ����

���� �� ��� ' (�� � �������� ez� ' �� �� �� �� C� �� '�

�������� � ��� ����� f : C→ C �� � ��������� �� ���� � ��� ��� �� � z0 ∈ C

�� ���� �� ��� f(z + z0) = f(z) ���� � z ������� � ��� �� � z0 ������� ��

��)� �� ����� f �

����� � �� � ����� ���������� ez ��������� �� C �� ����� 2πi� ��� �����

�������� ����� ���� � ����� ez ���� �� ����� ������ �� ���� z0 = 2kπi ��

k ∈ Z− {0}�

����� ����� � � �� � ���� ' ��� ������ ������ ��� ��* (��

e2πi = cos 2π + i sen 2π = 1.

+��� �� ����� #�,�

f(z + 2πi) = ez+2πi = eze2πi = ez = f(z).

+�� ������� ����� ��� ��� z0 = x0 + iy0 �� ��)� (���(�� ��� � ����� ez�

��� ��

f(z + z0) = f(z)⇔ ez+z0 = ezez0 = ez ⇔ ez0 = 1.

������ ����� �� ��

����� {ex0 cos y0 = 1,

ex0 sen y0 = 0⇔ tg y0 = 0 ⇔ y0 = 2kπ ��� k ∈ Z .

��� � ��� ���� k = 0 ����� ���� ������ z0 = 0� �� �������� ��� ��������� �

�������� ��������� �� � �� ��� ����� ��������� z0 = 2kπi ��� k ∈ Z− {0}�

��� ����� �� ������

� ��������� �� �� ������ ������ � ��! ������� ���� ��� � ����� �� ���������

�� �� ������ ����� "��� �������� ����� � ������� ���������

�������� � ���� z = reiθ �� ���� ��� �� �� �� �� r > 0 � arg(z) = θ

������ �� �������� � ����� ����� � �������� �� �� ���� ��� �� z

� ������ �

ln z = ln r + iθ,

���� ln r ����� ����� � ������� � �� �� r > 0�

"� �������� #�$ ���� ������������� ��� ���� θ = 0� � ��������� �� z = rei0 = r

� ����% �� ��������� �� ��� ����� ��� &� ln z = ln r+ i0 = ln r� ��� �� �%� ���������

�� ��� ������ � ��'��� �� ��� ���� (! ��� � ������ ���� ������ � ��� ���������

������ �� � ��� ��� ������ ���� � ��� �� ��������� �����

)�&� ���� � ��������� �� z �= 0 ���� ����� �������� ���� �� '���� θ + 2kπ

��� k ∈ Z� ��� &� � ��������� �� z ���� ������� ����� ��� ��'���� ����� � ��

�������� ������� �� 2π� "��� �������� � ��������� ���� �� ������ ������ � z �= 0

�����! !��� ����� �������� ���������� �� ��������� ����������� *�� '���

������ ������ � '����� ��������� ������ �� ��� �% ��� ���� �� ������ ������ �

z � ��������� �� z ���� ������� ������ +�� �� ������ � �������� �� '�����

��� �� ���� #�,� ) '����� �����-����� ������ � & ��� '����� ����� ������� *�

��� ���� ���� ������ � '����� �����-����� ������ � ��! ����!��� ������� � ��

���-��� �� C �� ������� ���� ���� � ��������� �� ����� ������ � ������

���� ���-��� �� ����� ���� ����������� ��� ��������� )����������� �� ��� ��

'����� ���% �������� � �� ��� ���-��� ���� � '����� �����-����� � ����� ��� ������

���� ���������� �� ��� ���� ������� �� ��� ��������� � ��������� �� z � ��

����� ��� �� ����������� 2π� .��� ����� ��� ���������� ������� ������ ��� '�����

��� ������� �/����� ���� �� ���������� ���� ���0

ln : Rθ0 ⊂ C −→ C

z = (r, θ) �→ ln z = ln r + iθ,

����� ���� �� �������

������ ����� �� ��

����� Rθ0 =]0,∞[×[θ0, θ0 + 2π[⊂ R2 � θ0 � ����� ���� � ��������� �������

���� �������� � �������� �� z �������� ��� Ln z � ������

Ln z = ln r + iθ

���� θ0 = 0� �� ����� � ������ ��� ��������� �� �������� ��������� ������� ������

� R0 =]0,∞[×[0, 2π[ �

���� �� ��������� ������������ ���� � ��� ��������� �� ��������

�������� ���� !��� z1 = r1eiθ1 � z2 = r2e

iθ2 ���� �"���� ��������

#�$ Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2 mod 2π.

����������� %� �����

Ln(z1z2) = Ln(r1r2ei(θ1+θ2)) = ln(r1r2) + i(θ1 + θ2).

!�&���� '�� Arg(z1z2) ≡ arg(z1z2)mod 2π� ���������� '��

Ln(z1z2) = ln r1 + ln r2 + i(θ1 + θ2)mod 2π =

= (ln r1 + iθ1) + (ln r2 + iθ2)mod 2π =

= Ln z1 + Ln z2 mod 2π.

#&$ Ln

(z1z2

)= Ln z1 − Ln z2 mod 2π.

����������� %� ������ ��(���� �� ��� �������� �����

Ln

(z1z2

)= Ln

(r1r2ei(θ1−θ2)

)=

= lnr1r2

+ i(θ1 − θ2) =

= ln r1 − ln r2 + i(θ1 − θ2)mod 2π =

= (ln r1 + iθ1)− (ln r2 + iθ2)mod 2π =

= Ln z1 − Ln z2 mod 2π.

� ������ � ��� � ��������� � ������ ���� ����� � � ���� ����� ���

� ����� � ����������� � ��� � ��� �� ����� � ������� ����� ���� � ������

��� ����� �������� � � � � � ����� � � ��� ��� � ���� � ����� z = reiθ� !"��

�������� ��� ���� r = r0 > 0 � ������ ���"�� �������!���� � �!������ �� ���

r0 � ���� (0, 0)� # � ��� ��� � ���� ��� ��� θ = θ0 � ����� $�%�"�� ���������� ��

����� (0, 0) � ��� �&�� '��� θ0 � � ������� � ����� ��� �$�������� ( ������

������ ����� �� ��

� ���� ������� R0 =]0,∞[×[0, 2π[� ����� ���������� w = u + iv = f(z) = Ln z

� ������ ���� ���� ����� ��������� u = ln r � v = θ� ��������� ��������� ��� ��

����� θ = ������ ��� ������������ ���� ����� ���������� �� ����� ���!�����

v = ������" ���� �" �� ���������� �� ������ (0, 0) ��� ������ �� #���� θ �������

�� � ������$� Ox �������� �� ����−z ��� ������� �� v = θ ��� ��������� �����

��������� �� ��$� Ou �� ����−w� � ������%��� r = r0 �� 0 < r0 < 1 �

����−z ��� ������������ ���� ����� ���������� �� u = ln r0 < 0 ��� ���������

����� ��������� �������� & �������� �� ��$� Ov �� ����−w� '� r = 1 ���� u = 0" ����

�" � ������%�� �� ���� ���(��� � ����−z � ����������� ���� ����� ����������� ��$� Ov� )�� ��" �� ������%��� r = r0 > 1 ��� ������������ �� u = ln r0 > 0�

*���" ����� ������%��� ����� ��� ������ �� ����� ��������� �������� & �������

�� ��$� Ov� +���� ������" � ���� ������� ���� � ���� �����$� z �= 0 � ���$�

0 � v < 2π �� ����−w� ����" �������� ���� �� ����� ���������� � ��� �����

��������" ������ �� ���� ���� �����$� z �= 0" � ��� ��� ������ ��� ���$�

���!���� �� ����−w� ,�� -����� .�/�

��� �����−z ��� �����−w

������ �� ���� f(z) = Ln z

+���� ������" � �(�� ��� ���" ����� ��� � ��� �� ��� ����(��� ����" � �����

���������� �����$� ���( ��� ����� ������ � ����� �$������ �����$�� 0�

������� ���( ����(��� ������ ���� �����%��� 1( ��� � ����� �$������ �����$�

� ����2����

������� ��� �������� ��� � ��� � ���������� ������� � � ��� � ����������

������� �� ��� ��� �������� ��� � �����

�������� �� )��� ����" � ������ �� �$������ ���( ��� ���$� ���!���� �� ���

������� 2π ��� � � ������ �� ���������" ���� �" ������� � ���� w = log z = ln r+iθ

������ ����� �� ��

��� r > 0 � θ0 � θ < θ0 + 2π� ��� z = reiθ ���� �

elog z = eln r+iθ = eln reiθ = reiθ = z.

log(ew) = log(eln r+iθ) = log(e(ln r+iθ)) = log(reiθ) = log z = w.

� ������� �� ���

����� ������ �� ��� ���������� �������� ������ � ������ � ��� ����� ��

���������� ���� � ����� ����� ������� ��� �� ������ �� ������ �� � ���� ������

��� ����� ���������� ��������� ��� �� ������ �� �� ������� ��� ��� � ����

���� �� �� � �� � �� �������� �� �� ��� �� �� � �������� ��� � !�� �� "���

��� �� �� ��� �� ���������� � ����� ��� ��� ���������� #��� #� �� ���$ �� �� ����

�� �� ��

��� ������ �� ���

� �������� �� ����� � ���������� �� �� ���!� � % �������� ��� �����&��� �

��� ��&����� �� ������ �� ������ '������� ��� �� ����� ���������� ���� ����� (�

�� �� �� � ������ ��� ������� ���� ���� ������ ��� �������� ��� �� � ��� ����

� ��!��� �� ����� �� ���� ������� �� ������ � �������������� �� � % � ���� ��

���� � ����� ��� ������ )� � � ��� �����$����� � ����� ��� ������ �� " ��� �������

���$ �� � �� ������� ����� ���� �� � ����� �� ������ ������ �� � �� ������ #�

����� �� ������ ����� �� ���� �� � �� �� ���� ��% � ��� ��� )� � � ��� ����$�����

� ����� ��� ������ ���� � !��� *� ��������� �������! %����� � ����� ������� ����

� ��� �++ � ,++ nm �� �������� �� �� � ���� -��� ����� % �� ��� ��� �������� ������

� �� ����� ��������� �� �(������ ���� ����� ��������� � .�!�� /�0 ����� � ����� ��

������ �� ��� �� �������� �������! %����� 12� �� 32+4�

������ �� ����� ������ � ���� ��� ������������ �� ������ �������� ����

�1nm ����������� � 1× 10−9m ��������

,+

�������� �� �� ��

� ������� � ��� ��� ��� ���� � ��� � � �������� ����� � ������ � �����

� ��� �� � ����� ��� � ���� ���� �� ���� ��� � ��� �������� ��� ��� ��� ��� �

��� ��� ���������� �� �� ����� !� � �� ���� � �� � ������� �� � ����� ���� �

��� �� ���� � ���� �� ����� ��������� � ��� �� ���� ������ � ���� �����"����

� ����� !� �� ��#��� $ ���� �� � ��� ������ � ����� � ��� �� �� �� ����� ���

� ������ � ���� % � &� �� ��������� � �� ��� ��� � ���� �� � ��� ���� �

� �����#'� � �(�� ���� )����� ��� ��� � �� ��� �������� � �� !� �����* �� �

���� ��� +�� ���,� -�

� �� �� � ���� ������ ����� � � ��� � ������� ������� ����� � ��������

��� ����� � ���� �� �������� �� � #�� !� � �� ��� ��.�� .���� � �����

� " �!�� ���� ���� �!� ��!� ��"��" �� �� " ���� �� !� � ����� � �!� ����'"� � �

�� (�� �'"� � � ��� �� !�� �� ����� �!� �� �������� �������*"� � ���� " �!� �� ������

� �� �� � ���� �������� #���� ��� ������.�� � ������� �� ��� ����� � ���

� ������� " �'"��� � �� �� �� � ����'"�� $ ��� "�������� � ��.��� $ ��� "��� � �

���� �� $ ��� ����� /��� ���� ��� �� ����� �!� " ��� ���� ���� ������ ���� ���

���� �� !� �� ������� ����� �� �*� ��� "�������� "��� � ����� 0��������� ���

����� �� �*� �� �!� ����� �*� ��� ��� ���� ��� ����� ���� ����� � ����� ����� �

��� �� �!� �* �� ������� �� � � ����� �� �*� ��� %��� ����� �� �*� �� ����

��� � � ����� ���� �� ����� ���� ����� ��� �� ������� ����� �����*� �� ��

�������������� � ��� 1"��� �� � ���� �� ���� ��� .�� �2� ��.��� 1"�������

�� � ���� �� ���� ��� .�� �2 � ������� 1"������� �� � "��� �� ���� ���

.�� �2� 3 ����� �� ��� ����� �� �*� �� �� ���� �� �*( �� ����� � ��� �������

%������ � ��� ���� � #����� ���� ������ � �� ��� ����� �� �*� ��� � 4 .��� 5�6

����� �� ����� �� �*� �� � ��������������

������ �� ����� ������� � �������� ����

/�" � $ .���� ������� � �� ����� �� ������������ � ��.���� � ������*� �

� �������� ���� � ���7�� � ������ 8� ����� � ������ ����� ������ �

� ����� �(�� �� �� ����� ���� �� � ����������� �� ����� ���� �� ���� ���

����(�� 9�� ������� �� ����� � ����� � ��� ����� ��� !� � �� � ���� �

��������� � �� ������� � ���� ��� � ���� �� ���� ��� ��� � ���������� ���

� ������ � ��

�� ���� ��� � ������ �� ���� ��� ������� ��� � ������ ���������� �

��� ����� �������� ����� ����� ���� ����������� ������� �� �� !����������

����������� ��������� " ������ ������������ �� �������#�$� ���� ���%��&

���� ��������� ����� ��� ���'���

��� � ���� ��

( ���� )*+ � �� ���� �� ���� �������� ����� ��� ���� �������� ������&

!� � �� ��,�-�$� ����� !��� �� ��,�-�$ � �.�� !���� �� ��,�-�$� ( ������� �� ����

�������� � ���� �� %/��� ��� ������ � ��0���� � ��. ��� � ������ � ���"

���� �� �������� �������� �� ����� �������� ����� ����� ��� ���� %�����"��

�� �� ������� �� ��������� ����������� ������������� ��� ���� ��� �������

��������� ���� ��� ��� ��-� ���� ��������� 1����� ��� Ox ��� ���������� � ��

������&�� ��� Oy � �� ����� � ��� Oz � �� �.��� � ���� ��� ��������

� ������ ������ � �������� ���� ���&�� [0, 1] ��� ���� 0 ��,��2�� ���-���� ����

�� ������� �� �� � ���� 1 � ����������� ������ ���������� � ��������

����� �������� ��%���# �� ���� �� ��������� � �� ��% �3��� ������� � ����

� ������ )*+ ������� ���� �� ��-� ��������� ������� �� ���� ������������

��,���� !������� �� ��,�-�$� ���� !����� �� ��,�-�$ � ������ !������ �� ��,�-�$

�� ���� ��-� ��������� � �� ���� !������ �� ��,�-�$ ���� �� ��,�� � ������� � �

�� %����� !����� �� ��,�-�$ � ������� ���� �������� �� ��,��� 1 ���,��� �������

� ��%� ��� ��� � ��� � %����� ��������� � ������ �� ���.� !����������� �,����

�� ���� ��������$� 1 4�,��� 5�6 ������� ��%���# �� ��������� � ���� )*+�

������ �� �������� � ���� ��� ���

1� ���������� ���� ���.���� ����� ���� �� ��� � ��� ��� ����� � ��%

� ����� ���� � �� ��2����� � ������ ��� �� �������� � ����� �� ��,��� 7� ����

���������#�� ���� �� C � ���� ������� �� ��� ��%���#� �� ������������

�������� ������ � �� ��� ��� ��

��� �������� �� � �� �� ������� �������

C = r ·R + g ·G+ b · B = (r, g, b)

��� r, g � b ������ � �������� ������� �� � � � ��� �������� �������� �� � ��

��������������

��� ������ ��� ������ �� ���� ���

�� ������ ��� � ��� � !�"� � ��� � �� ����� �� ������� �� ����������

���������� (r, g, b) ��#� ��$����� �� �������� % � ��$� �&���� �������� ' ��#�� �

����%����� ����� ��$� ������ (�� � ������ �� ��)� ����� �������� ��#�� ������*

������ ���� ���$%� �� ���� ������������ +����� ������ � �������,� -��� �����

�������� � ��#�� � �������� ��� �%������ � ��� ����� �� ��$� �� �� ��� ���*

������� � ������� �� ��$� ������ ��� ��� +�����,� ����� ������� �$�%�*�� ��

��.���� ��� ����� ���� ��� /0� ���� 1� '� ����� �������� ��� � �����������

�� ��)� �%������ ����� ��.���� � � � �������� �� 120◦� '� ����� ������������

��� � ����������� �� ������ ��)� �%������ � ��� � 2 60◦ ��� ����� ��������� �� ��#��

� 3���� ���� �� ������������ ���$%� % �� 120◦ /4� � "��1� ' 5����� !�6 ������

���� ��������� � � ��� ����%������

��� ����� ����� ��� ����� � ����

������ �� � ��� �� ������ � ��� � � � ���

��� � ����� ���

7� ��� � !��� ���*�� (�� (���(��� ��� ��� ��� ��8��� �� ��)� ��3������� 9���:�

;������ � � ������ +�� <����, +���� �������� � ������ �� ���)� �������������,�

= ������ >;< ����� � ��3����� <���� ��� ������ ���� ��3������ �� ��� ������

� ������ � ��

������� �� � �� � ����� ��� � � �� �� ����� ��� ��� ������ �������

���� �� ����� �� �� ���������� ���� � �� ���� ����!� �!� ���� ��

����� � ���� ���� "��� #���� � ��!� $��� � ����� ��� � � ������ �� ��

��%� �&���� ����'��� ��( ��)��� ����� � #�� �� ���� *+�+�+, � ���� *-�-�-,� ����

�� � ��� �� . ��� %���� � ������� ��� � ���/� 0�� ���� ��)���

�� ��%� � �� � 1��!� (x, y, z) = λ(1, 1, 1), λ ∈ [0, 1]� 2� �� �3��� ��

λ ∈ [0, 1]� ���� ���� �� ��� � ������� ��)��� ����� � �� ��%� ��

���� �� ���� λ(1, 1, 1)� �%���� ���� ������!� �� �)�!� 45)��� 1� �����

6��� ������� �)�� λ� �� �(� �������� ��(�!� ��������� � ������!��

0�� ����� � #��� � #��� � λ �%����� �� ���� � 45')����� 7�����

���!� � ����� �� 45')���� ������ �� ��8��� �� � %� 45)��� ���

#����� � ���)�� 7 %� ��� ��8��� � ���� �� 45')��� 1� ����� ���

. ��(�!� ��������� �� ��%� �&���� ����'��� �� 1�� � 6��� �� ���� � �������

�)�� -� 7 ���� � ��8��� �4�� � �5� � �������� #����� �� ����

��� ������ ��� 45')����� 1� ����� ��� . ��)��� �� ��%� ���� ������ �

�5� ����'���� �� ���� * ���� ��� � ���� � ���/ %����,� 9%��#�� 1�

�� ��!� ����#��� 45)���� ��� . %� � ��8���� � ���� �� ���(����

� ���� �� ��%� ����'��� ��� � �)����� ������������ 7 ���/ � ��������

���� ���� �� #��� �������� ��� + -� ������ ���/ ��� � ��� #���4�

2������� ���� ���� � ���� � ��� ������ �������� ��#��� . ��� #���4

*1� ����� ��� . ���/ �)�� -,� 7 ���!� ��� �� #���� ��������� � ���/

��� ����� ����� �������� � :�)�� $�$�

������ ��� ����� ������� � �������� ���� � ����� ���

"��������� %� � ��8���� ���/ ��' ����� ���� � 8�)��� ������

�� ������ ����4��'���� �� �� ������� ��� ��� #���4 ��#����� �� 360◦�

7 ;����!� � ��� � ������� � ����!� ���� �������� #��� + �� ����� ��

45')��� � %� � ��8��� #��� - � ������ *�%���� ���� �4��� ����

���,� 9 6��� *%���4�, �� ���� � �� 45')��� � ������� #�� �� ������

����� ��� ����8��� �� ��� �� 45')��� � #����� � ��8��� ��� ���+�� 7

:�)�� $�� ������ ��8��� <;6�

� ������ � ��

��� ������ � ��� � ���� �� ��� � � ���������� ���������

���� � � �� � �� ���� ��� ���� �����������

������ �� ������� �� � ��� � ������� �

� ���������� ��� ����� ���������

��� ����� �� �����

����� ������ ��� ������� � �������� ���� ������ � ���� �������� �� �������

����� �� �������������� ������ �� ������ � ����� ��������� ��� ���� � ������ ��

����� �������� ! ����� ���� �� "������ #�������� �� $����� ��� ����� �� ���

����� �������

��� � ����� ��

%���������� �����&�� �� ��������� �������� �� ����� ������ � ������ '()� *�

������ ���� � +��� � (������� � )��� ���� ������ ����� , � -� ���� ����� �� �����

.��� ����� �������� �����&�� � ����������� �� ����� �� ������ �� ������� �������/ �

+��� ��� � ��������� �� ������� ! (������� ������ � 0�������� ��������� �� ���� �

��0���� � )��� ������ � �������� �� 1����2 �� 1�����2� 3���������� � ����������

���&�� � )��� �� - � �����&�� �������������� � (������� �� , 4�� ��� �5 ��� -

4�� �0����5 �� ������� ! ������ �� �0����� ���&�� � (������� �� - � �����&�� �����

� 0�������� )��� �� ������� ����������� �� - ��� , 4�� �6� �����5� �� ������

���� ��������� �� ������ ��� �� ����������� ��� 0� �� ������ �� ������ 4��� �5�

�������� ��� ��� ��� � ���� 4�� �0����5 � ����� ���������� ��� � ����� �����

4�� ��� �����5� ! #���� 7�- ������ � ������ ������� �� ������ '() � � ���������

, 4���� �����8�5 ��������� � 0� ��� �������� ������

������ �� ������ ���� �� � �������� ���� � ����� �

97

�������� ��������� � �� ������ ��� �� ����� ������� ��

��� ������ ������� ����� �� ������ ��� �� �����

��������

�������� ���� E �� �� ��� ��� � ���� � � ���� �������� �� ��� � z =

(0, 0)� ���� ��� �� C = (0, 0, 1) � ��� � � ����� N = (0, 0, 2) ��� ���� �� � �

S = (0, 0, 0) � ���� ��� ���� ����� ��� ����� �� ���� ��������� ��� �� ��� �

������ P � ����� ������ � �� N � �� ������� ����� NP ��� �� ����

� ���� �������� �� ��� � z� ������ ��� �� ��� � �� ���� � �� ������� ��

���� ����� �� � �� �� ��� � �� ���� ��������� �� ����� ��� � � ���� E

� ��������� ��� ����� ������� ����� ���� !� F : C→ E −{N} ��� �����

�� ����� �������� z � ��� � P �= N � ����� ����� P �� ��� !� �� ������ �

�� � Nz ��� ���� E −{N}� "� ���� !� ���������� ��#� !� �� �������

� ���� E − {N} ���� � ���� �������� C � � ���� � � $��� %�&�

������ �� �������� ��������� �

��� ��� ��� � ������� '��� � ���� �������� �� ������� �� ���� ����(�

��� � ���� � ���� )*+ �� ��#� !� �� �������� +,��� ���� ��� ����� ��

���� �� � ������ �� ���� -�� �� ������� � ����� � �!� ������� ����

���� � �� � .����� �/� $������ � �� ����0 � �� '�� � ��� ��� ��� ������ �

��� � z = x + iy ∈ C � � ��� '�� 1 �0� * � !� � +��� ������� ��� ��#� !�

�� �������� �������� $��� %�2�

������ ��� ���� �������� ���� �� ����� ������� ������ �� ���������

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

������� �� ��� � �

����� =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

0 � x = y = 0

1

2πarctg

(yx

)� x > 0 y > 0

1

4� x = 0 y > 0

1

2πarctg

(yx

)+ π � x < 0 y �= 0

3

4� x = 0 y < 0

1

2πarctg

(yx

)+ 2π � x > 0 y < 0

�����

��� ����� =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

4

πarctg

(√x2 + y2

2

)� x2 + y2 � 4

1 � x2 + y2 � 4

�����

����� =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 � x2 + y2 � 4

2− 4

πarctg

(√x2 + y2

2

)� x2 + y2 � 4

��� �

!��� ���� z = x+ iy ∈ C ��"���� � � # ��� ���� ��$� �� ���� ��% ��

���$� � ���&��� �"���(−π

2,π

2

)�

' ��$ �� ��( �#��� ) � �"��� �� !��%��� ����$�*+�� �+��� !��� # �,�

�����- ��� ����� ����� �+�����

������ �� ����� ������ ������ � ���� � � ������� ���������� � ���� ���

��� ��������� �� ������� � ������ � � �������

�� � ���

.��� � &�� �������� ��� # �,� ���!�/�� �+���� � ��!0� �� ( ��* �������� �

!��$���� $�*+�� ��������� �© ��������������� ��������� ��������� �© 1

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

��� ������ � � � ������ ��� ����� ��� ��� ���� �� �� �� �� � �����

������ � ��� ������ �� � ������ ��������� � ���� ������ �� ��������� �©��� �� ����� ������ ����� � ��� ������ � � � ������ � ���� ���� � !"�

#�� $�����% � ��� % � ����������� ������������� ���� ��&� ��� ��� �� �����

�����$� � 1000× 1000 ������ = 106 ������ ' �������(� )*�� zij% i, j = 1 . . . 1000

��� ������� � ������ �����$� f � ��������� � ���� �� ���� ������ �� �������

����� �� ���� � wij = f(xij)� +� ����,� � �� ��������� �� ����� zij �� ���� ��

� �*��� �� � ���� �� ����� wij ��� � �� � -). ����� �� ����/� 0� % 0�1

0�2 '3���&% )��� ���� .��� ����������( ������� �� ���� 0�1� 4�� ��� ����

��� � ������ �� 5�� � 0�!�

������ �� ��������� � ����� �� �� ����� � �� �� ��� �� ������

+��� ���� �% � ��� ���� �� � � ���� � � ����� �����$� ��������� � ��� ����

������ � ��� ��� �������&���� ���� �������� �� ����� ������ �� ������� 6�

& �� �� ������% ���� �������������� ��� �� � �� ����� ������� ���� ���� ��

� ��������� ���� � �������� ��������� 7� $����% � �� � ���� � � � � �

�� & � �� ������� 6� ���� � �� ������ � 8$���� � & � � �� �� � ��� �� �������

���� � �� ���� ������ �� ������� � �� �� � ���� ��� ��� � � ��������� ���

����/� � � ����� ��� ������ � ��� /� � �� �� � ��� % �� ��� ��� ����/�

�����$�� *� �������� �� �������� 9 � �� ���������

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

��� f(z) = z� ���� �� ������

����� ����−z ����� � ����

� ��� � �� � ������ �� �� ��

����

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

��� f(z) = −z� � � � ���

�� ��� � � ���� ���� �

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

��� f(z) = z� � � � ��� �

� � �� � ���� ���� �

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

��� f(z) = z + (3 + i)� !�������

�� ��� � � ���� ���� ����

��� (−3,−1)�

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

� � f(z) = (1/2 +√

(3)i/2)z� ���"

� � ���� � 60◦�

−8−7−6−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

6

7

8

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

��� f(z) = 2z� #������ � ���� $�

������ ��� ���� ���

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� f(z) = z2� ����� � ���� ���

�� �����

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� g(z) = (z+(2+2i))2� �������

�� f ���� � �� −2− 2i�

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� g(z) = ((1 +√(3)i)/5)(z + (2 +

2i))2� ������� �� f ���� � ��

−2−2i ������ �� ��� � ������ ��

��� � 1/5�

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� g(z) =√2(−1+ i)(z+(2+2i))2�

������� �� f ���� � �� −2 −2i ������ �� ��� � ���� �� 135◦ �

������� �� ��� � ��

������ �� ����� ����������

−3

−2

−1

0

1

2

3

eixoim

aginario

−3 −2 −1 0 1 2 3eixo real

��� f(z) = z3�

−2

−1

0

1

2

eixoim

aginario

−2 −1 0 1 2eixo real

��� f(z) = z5�

������ ��� ������ z3 � z5� ������ � �������� �� � �� � � ������� �� � ��� �� �����

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−3

−2

−1

0

1

2

3

eixoim

aginario

−3 −2 −1 0 1 2 3eixo real

������ �� ������ 1/z

�� ����� �� ������� ���� ����� �� ����� ��� ���� �� ��� 1/z �� ��� ������� �

����� �� ��� �� � ��� � ��� �� ��� �� �� ��� ����� ��� �� ����� �� ��� � !���

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

�� ��� � �������� f(z) =√z�

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

�� ������� ���� f(z) = −√z�

������ ���� ������ ��� ���� ���

"��� ����� �� ���� # ����$%�� �&��%� � ����� �'( ��� � �� %��� ���� �� ��

�� �� �� �������� � �����%� � ��� �� ����� ��! � ������� ����� ��� � ���� �� ���

� ��� �� ��� � �� %������ ��! ������� �� ����� �'()&* ��� ����� �'()�*� +����

����� %������!���� ��� � ��������� �� �����$��� �� ,���� %���� � ����� -�-�

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

eixoim

aginario

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4eixo real

������ �� ������ ��������

���� ������ �� � ��� ��������� �� ����� ���� � � ������ ������� � ��� ������

�� ����� ��� ������ � �������

−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

������ ��� ������ ����

−5−4−3−2−10

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8eixo real

������ ��� ������ ������

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� f(z) = senh z�

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� f(z) = cosh z�

������ ��� ����� ��� � � ���� ����������

� ��������� �� ������ ���� � ������ �������������� � �� ������ ����������

�� ������ ��� ��� �������� ��� ������� ��� ! ���" � ����! ��������������! ����

� �������#� �� ����� ���� ����! ������ �������� � �������� ����� �� ������ ������

��������� ���� � ������� $ ����%���! ������ �������&�� �� �������� ����� �� ������

�������������� � ������ ������������

'�� (�! ������ �������&�� ��)� ����� � ���#� �����%���� �� ������ ���*�

���������� �� ������ �������� �� ������� �� ���� ��

−1

0

1

eixoim

aginario

−1 0 1eixo real

��� f(z) =1

2(ln z)

−1

0

1

eixoim

aginario

−1 0 1eixo real

��� f(z) =1

2(ln z − 2πi).

−1

0

1

eixoim

aginario

−1 0 1eixo real

��� f(z) =1

2(ln z + 2πi).

������ ��� ���� �� ������ ����� �� ���� �����

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

eixoim

aginario

−0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3eixo real

������ ���� f(z) = sen(1/z)

���������� � � � �� ������ ���� �� ��� ��� ��

��� ��������� � �� ���� ���������� �� ����

���

�������� � ����� a0, a1, a2, · · · , an ������ ������ � � n �� ������ ������

��� �������� � ������ f : C→ C ���� ���

f(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n

��� an �= 0� ���������� ������ ���������� �� ���� n� � ������ a0, a1, a2, · · · , an�� ������� �� ��������� �� ������ ���������� f �

����� � � �������� ��������� �� !���"��# ���� �����$��� ������ � �� ����

n � 1 �� � ������ n ��%&�� �� '� ��� ������ ���������� �� ���� n ���� n &����

�������� ��� � ����� ��� ������� �� ������� ���������� �� ��� ��

����������� � ��� �� ����� �������� ����� �� � ������

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� f(z) = z2 − 1�

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

eixoim

aginario

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5eixo real

��� f(z) = z3 − i�

−2

−1

0

1

2

eixoim

aginario

−2 −1 0 1 2eixo real

��� f(z) = z6 − 1�

−3

−2

−1

0

1

2

3

eixoim

aginario

−3 −2 −1 0 1 2 3eixo real

��� f(z) = 2z2 + (3− i)z + i�

������ ��� ���� ���� �� ������� ����������� �� �������

���������� � � � �� ������ ���� �� ��� ��� ��

−1.5

−1.2

−0.9

−0.6

−0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

eixoim

aginario

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5eixo real

��� f(z) = (z3 − 1)(3(z2 − i))�

−2

−1

0

1

2

eixoim

aginario

−1 0 1 2eixo real

��� f(z) = z8/2−z7+z6−2z5+z4−z3 − 5z2/2 + 2z − 2�

������ ��� �������� � �� ������� ��������� �� ������ ��������� ��

� ����������� ���

���� ��������� �� �������� ������� ��� ��������� ����� � �������� ��� �������

��� ������ ������ ��� ����� �� ����������� ��������� �� ������ ��� �� �������� ��

������ ��� ������� ��� ����� ���� � ������ ��� ������ ����������� ��� � �������

��� ����!�� ����������" �� ���������� �� ��������

#� ������� ��� ����� ������� ��$� �� �������!�� ��������� ����� ��% ���������"

�� �������� � ���������� &���� ���������" '$��� ��� �� ������� ��� ����� ������

� ���� ����� � �� �������!�� ����������" � ����� ��������� ��� �� � ���!�� ���

(����� ��� ����" � ���� ��� ������������ ��$������ ���� ��� ��� &���� �����" ��

������� � ��� ���� �� ������� ��� ����� �� ���� �� ������� ������� �� ����������

�������������� ��� ��� �����'���" �� ����� ��� ���'�������" ���'������� ���� �������

��� � �� �������� �� �� �������� )�� ���������*� + ����� ����� �� ��������

������ ������(��� �� ������� ��� ����� ���� '������ �� ���� )�� �����,��*" � �����

�� ������ ���� �� ����� �����

&�'����� ���!�� ��� ����� ����� �������� ���� ����������!�� �� ����� �����

����������!�� ����� ��������� �� ���� �������� ���������� + ������� ������� ����

��� ���-��� �� ���'�� )����������* � ������������ �� ��� ����������� ����� .���

���� ������ ��� �����,��� � ������� �� ��������� ���/���� �������� �© ��� ���

�������� ��� '������,�� ��� ����!��" �� ���!��" ������!�� � �������!�� �������

���� ����������!��� +��� �����" ������ ��� ���-'�� ������� ��� �� ���-���� �� ����

'�� �������� �� ��'���� �� ������ ���-���� �� ���'�� �� ��� ����������� �� ��-(��"

���� �� ���� ��" � ���� �� �������� ��� ���� ���������� ��� ����� ����������

�� ���������$����� ����$������� � ���������� ������� �� ����−w�+ ������� ���������" ������� ����'�� �� �� �������� �� �����" ���� ����� �

����� � ���� ���������� ������� � ��� ��������� �� ��� ���� �� �������� �������

+ �� �������� ��� ��������� ��� ���� ������ ��� ����� �����,���� � ����� �� (��

������� �© ��� �� �������� ��� ������ '������,�� �� ������������ �� ������

���!��� +��� �����" ������� ��� � ����� �� 0������ 1���������� �� 2������ ���

������� ��� ���� ����3��� ��� ���� �� ���� n � 1 ��� ���������� n ��-,��� ����

� ����� � ���-'�� ��� '�, ��� � ��� ������-�� �� ������ 0+ i0 � ������" � �� ��-,��

�� ����3��� �� ���� n � ������ �� ������ ��� n ����� ��������

.�� (�" '��� ��������� � �� ���� ����4���� ����� �������� ��� '�����,�� � ������

55

��������� ���� ��

����� �������� �� ������������ ��������� ���������� � ����� ��� �����

���������� � ���� ��������� ��� ��� ������ ������ �� ��� ���������� � �������

�������� �� ����� � �� ������

��� ������� � � ��

����� ��������� � � ��!�� ������� ��� ������� �������� "��� ����# � ������

��$ ��� � � � � ������ ����%������ &���� ����# ��� �������� ��� ��� ��������!

� � � �� ���� � ��������� �� ����� ������� ������� ���� ������������ ��

����� ��������� '� ������������ � ()� ��� �� �������� ���� �� ��������� �*!

���� ��� �� ���� �� ������� +��� ���� � �� ������ � � �������� � �������� � �

��� �� ������� ���������� &� �������� � �������� � � �� �!�� ����� � � ���� � ���

� �������$���� �� ��� ����� � �����,!-������� �� ��� � �������� �� �.����

���������# � ���� � � �������� ����%���� ����� �� ������� ��������� ��� � ��

�*���� ����� � ��� ���� � ����������

��� ����������� �� ������

• '���������� � �������� �� �/ 0����� � 1���� � � 0������� � (���������

����$� � �� �$�� � � 2342 �� 5������ � � 6��� ��� � ���������

���������

��� ����� � �� �������� �� ������ �� �� �� ��� ������ ������� ������ ����� �

���� � � �

��� ���! �" #�$%�!�� #� �� �������� ��� ������ �������� !#� & '��

� � ()�� � ��

��� �!���� *� �� ������ �� ������� ���� �������� �� �� ����� +� �� � �������

',�-� � .�

�/� #�$%�!�� �� 0� *� ������� � ������� �� �� ��� � *�1 ���� �2�1�� �345�

�6� 78!�+ -� �������� �������� ���� ����� �� �� ��� � *�1 ���� ��9��2 %:�1���2

� 1�;<��2 ������� ��+� � �

�.� -�$=+��= �� �� ������� ������� � ������� �� �� ��� ������ �2�1�� � � �

�4� �$! +� !���� �� ����"���#� $��% �� ������ 2�1�� � ��

�5� 8��0� *� -� �� ����"���#� $��% �� ��� � *�1 ���� �2�1�� �335�

�3� +>��� #� >� �� &�����" ���� �� ������ ����'��� (�� �������� *�1�� �334�

$���2 � ����2� '1�9 �2��? �@ A 2� �1 +�2�������

�� � ��+>� *� �� ��� "�"� )��* ����� �"����� $ B ���C� %�?��� �1� ,��1��2

� ��

���� 0'�0!�� �� 8� �������� �������� �"�� ���� ����� ��� ������ #�-��B&

0��� �� ���2�� ������� �� '1�9 �2���� � ��� ����� �346�

���� +���' +� 0� �� � � +"���� � ������� �������, !���� ���� ����� �� ��

��2)��� !�% �� 22 � 3� D�� E�� �12�1� �� �F1��� �� % �1������ �6G�

���� ��+��� #� -� ��� "�� � "�� ������� ������� �� �� ��� � *�1 ���� +22�&

���E�� !12������ � #�� (H���� ���� +I������ � �� D�� E�� #�� (H���� '1�&

9 �2��H���G�

��/� A!J!��>!+� +� *���,��� ��� ��������-�� �� � ��� +� 22� (� �� � , &

9 � ��� � � ��� >�2I�1;9 � (� <����������������� ������������� �

������ ���� ������� �������>�

3

��������� ��

���� ������ ��� ��� ����� � ��� �� �� �� ��������� �� �����

� ����� �������� ��� ���� ������ ����� ����� !"#$ #%& <���������������

� �����������>�

��'� (�(�� ) �* +%�, �+-.#%+-�,� /�0 "#0*� #� ����� !"#$ #%& <�������

��������������>�

��1� ��� ����2� 3� ��4 -� 5 6 -.# �78+0# 0��- �/ + ,�%�$#9 8%:#0� ������������� ���� ������ ��� �� ��� � ;� �� ��<�'� ���;�

��=� (���� � �� �� �����! ��������� #4 >�0?& 3�0� @#0)A#0$+@� ����� BC 6#0)@0+68+-# -#9-� � %+-.#%+-�,�D�

���� �C��EF�� ��� F�AG�3� 2�� >H(>�G2�� 2� F� A��8+$�I+-�� � � -.# ,�%)�$#9 �$+ #� "#�� "� ;'� �����

���� A���� � �� �� $� %���������� $�� �� �� ����& � � ������ ��� ��� ��3�$��� ���=�