28/9/2009

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IA369P – Tópicos em Engenharia de Computação VI

Visualização de Informação: Algoritmos

Visualização de Tensores

Capítulo 7 do livro-texto Telea

IA369P – 2s2009 - Ting

Modelo Conceitual

VisualizaçãoImporta Filtra Mapeia Imageie

Introspecção

F

Amostras/Células Pontos Espaciais

Grandezas TensoriaisGrandezas EscalaresGrandezas Vetoriais

VF DD →

CoresLinhas de DireçãoGlifosHiperlinhas de Direção

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IA369P – 2s2009 - Ting

Escalares:

Vetores:

Tensores:Escalares (tensores de rank

0) + vetores (tensores de rank 1) + outros arranjos matriciais

de escalaresCores

Tipos de DadosTensores

RXf ⊂)(

dRXf ⊂)(

Generalização de “quantidades geométricas” em Rd

Difusão de líquido em distintas direções

IA369P – 2s2009 - Ting

Tensores Covariantes Superfície parametrizada em (u,v) Superfície paramet rizada em (u’,v’)

'''

'''

'''

''

''

v

r

v

rG

v

r

u

rF

u

r

u

rE

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

''

''

''

''''

''

v

v

u

vv

u

u

u

GF

FE

v

v

u

vv

u

u

u

GF

FE

t

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

ij

s

i

r

rsij x

x

x

xTT

1 1

v

r

v

rG

v

r

u

rF

u

r

u

rE

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂=

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IA369P – 2s2009 - Ting

Tensores Contravariantes e Mistos

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

is

j

r

irsij

x

x

x

xTT

1 1

∑∑= = ∂

∂∂∂=

d

j

d

ij

s

r

ir

si

j x

x

x

xTT

1 1

IA369P – 2s2009 - Ting

Tensor Métrico

u

r

∂∂

v

r

∂∂

222 2

)()(

dvv

r

v

rdudv

v

r

u

rdu

u

r

u

rds

dvv

rdu

u

rdv

v

rdu

u

rdsds

dvv

rdu

u

rds

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂=⋅

∂∂+

∂∂=

E F G

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IA369P – 2s2009 - Ting

Tensor de Curvatura

22

22

2

)()(

dvv

n

v

rdudv

v

n

u

rdu

u

n

u

rdnds

dvv

n

v

rdudv

v

r

u

ndudv

v

n

u

rdu

u

n

u

rdnds

dvv

ndu

u

ndv

v

rdu

u

rdnds

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=⋅−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=⋅−

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂−=⋅−

e f g

IA369P – 2s2009 - Ting

Curvaturas

Curvatura máxima

Curvatura mínima

−=

gf

fe

GF

FE

hh

hh

2212

2111

Soluções : autovalores

� um autovetor

1λ

2λ

0))((

10

01det

21122211

2212

2111

=−−−

=

−

hhhh

hh

hh

λλ

λ

ssHrr λ=

iλ21,λλ

isr

ssHrr λ=

sr

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IA369P – 2s2009 - Ting

Tensor de Difusão

Células de Schwann

Difusão é o deslocamento de soluto por diferencial na concentração dos meios.

Feixe de fibras nervosas na substância branca do tecido nervoso dá uma direção preferencial para o movimento microscópico das moléculas de água sob variações de campos magnéticos. Coeficientes de difusão H anisotrópicos:•Alta mobilidade ao longo das fibras;•Baixa mobilidade na direção perpendicular.

IA369P – 2s2009 - Ting

Tensor de Difusão

• Coeficientes de difusividade permite estimar a direção das fibras nervosas.

• Estes coeficientes são quantidades que não dependem do referencial.

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

hhh

hhh

hhh

H

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IA369P – 2s2009 - Ting

Tensor de Difusão

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

hhh

hhh

hhh

H

0

100

010

001

det =

−

λ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

hhh

hhh

hhh

máximo

mínimo

médio

321 λλλ ≥≥ � difusividade

IA369P – 2s2009 - Ting

Análise de Componentes Principais• Decomposição de uma matriz de dados X de posto r

como soma de matrizes de posto igual a 1

hh ptptptX ''' 2211 +++= L

scores loadings

Scores: projeções das amostras na direção da componente principalLoadings: cossenos dos ângulos formados entre a componente principal e cada variável

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IA369P – 2s2009 - Ting

Exercícios1. Determina os autovalores e autovetores das seguintes

matrizes

−−

22

25

−−−−−

021

612

322

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Redução em Escalares

xxh xyhxzh yxh yyh yzh

zzhzyhzxh

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Tensor de Difusão• Difusividade radial:

• Difusividade média:

• Anisotropia Fracional:

– Caso linear

– Caso planar

– Caso esférico

• Anisotropia Relativa:

2/)( 32 λλ +

3/)( 321 λλλµ ++=

321 λλλ ≈>>

321 λλλ >>≈

321 λλλ ≈≈

)( 321

21

λλλλλ++

−=lc

)(

)(2

321

32

λλλλλ++

−=pc

)(

3

321

3

λλλλ

++=sc

23

22

21

3

1

2)(

2

3

λλλ

µλ

++

−= ∑ =i i

FA

321

3

1

2)(

2

3

λλλµλ

++

−= ∑ =i i

RA

IA369P – 2s2009 - Ting

Redução em EscalaresDifusividade Média

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Redução em EscalaresMedidas de Anisotropia

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Redução em EscalaresCurvaturas Gaussiana e Média

Curvatura Gaussiana (K=k1k2) Curvatura Média (H=(k1+k2)/2)

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Redução em VetoresDireção de .1λ

Mapear em glifos “coloridos” x-->R; y � G; z � B

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Redução em VetoresLinhas de Direção

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Redução em VetoresLinhas de Direção

Interação para escolha de semente

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Redução em VetoresLinhas de Direção

Agrupamento de fibras paralelas

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Mapeamento em Glifos

IA369P – 2s2009 - Ting

Mapeamento em Glifos

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Superquádricas

βφ

βφβφ

21

21

21

coscos

coscos

coscos

nnz

nny

nnx

Rz

Ry

Rx

=

=

=

∞≤≤

≤≤−≤≤−

21,0

,22

nn

πβππφπ

onde

1n

2n

IA369P – 2s2009 - Ting

Superquádricas

pl ccxzy ≥=−++ ,01)( 222 ββααα

onde

γ

γ

β

α

)1(

)1(

l

p

c

c

−=

−=

pl cczyx <=−++ ,01)( 222 ββααα

onde

γ

γ

βα

)1(

)1(

p

l

c

c

−=

−=

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Mapeamento em Glifos

Elipsóide

Cubóide

Cilíndrico

Superquádricas

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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)

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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)

Fonte: http://www.sv.vt.edu/NCSA_WkShp/kriz/WkShp_kriz.html

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Mapeamento em GlifosTensor de Estresse (Mecânico)

Problemas: resolução espacial limitada, densidade

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IA369P – 2s2009 - Ting

Exercícios1. Como se reduz um tensor em um escalar para utilizar

a técnica de mapeamento deste último em atributos gráficos? Qual é o problema desta técnica apesar da simplicidade?

2. Como se reduz um tensor em um vetor para utilizar a técnica deste último em atributos gráficos? Quais são os problemas apresentados nesta redução?

3. Compare os quatro tipos de glifos apresentados para visualizar os tensores em termos de prover valor e direção das grandezas de interesse.

4. Compare o mapeamento em linhas de direção como o mapeamento em glifos em termos de prover informação direcional.

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Mapeamento em Hiperlinhas

Linhas de direção + glifos

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IA369P – 2s2009 - Ting

Visualização de TensoresAmostras/Células Pontos Espaciais

Grandezas TensoriaisGrandezas EscalaresGrandezas Vetoriais

CoresLinhas de DireçãoGlifosHiperlinhas de Direção

Fonte: http://graphics.idav.ucdavis.edu/~lfeng/research/tensor/index.html