7/21/2019 Volumes Finitos para CFD

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 Ardson dos S. Vianna Jr.Departamento de Engenharia Química

ardson@pqi.ep.usp.br

 Volumes finitos

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Sumário

Introdução Método

 

  Condições de contorno

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Introduço

Vo!umes "initos 

 

 resolver equações diferenciais comvariações pelo menos em uma

coordenada espacial – modelo aparâmetros distribuídos

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Introduço

Vo!umes "initos  !ão é diferenças finitas"

# fundamento dos volumes finitos é aconservação do flu$o entre re%iõesfinitas

&st' li%ado as equações de conservação

desde os primeiros passos

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Introduço # conser$aço

(ropriedade qualquer )* )+$,-,.,t/

F  DF    ∂r

Componente advectiva e transiente

t v Dt    ∂=   .

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Introduço # conser$aço

(ropriedade )* densidade * massa 0volume

Componente advectiva e transiente

t 

v

 Dt 

 D

∂

∂+∇=

  ρ  ρ 

 ρ .

r

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Introduço # conser$aço

(ropriedade )* C 1 * massa de 10volume

  2 

transiente 3advectivo* difusivo 3 fonte

 A

 A A A  R x

C  D

 x

C v

t 

C +

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

2

2

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Introduço # conser$aço

termofluidodinâmica

( )∂ ρ 

 ρ v= − ∇ ⋅  r

( ) ρ   ∂ 

∂   µ ρ 

r

r r rv

t v v v G p+ ⋅ ∇

 = ∇ + − ∇2

( ) ( ) ρ   ∂ 

∂ C 

T 

t v T k T QP   + ⋅ ∇

 = ∇ ⋅ ∇ +r

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Introduço # conser$aço

Desenvolvimento dos volumes finitos

wvu       ∂∂=

∂∂∂∂   φ  ρφ  ρφ  ρφ  ρφ 

S  z z y y

 x x z y xt 

+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

 

 

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

     ∂∂∂∂∂∂

φ φ 

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 Vo!umes "initos # %&todo

Dividir o volume total em partes4 mes5 Inte%rar no espaço4 manter flu$os

 operadores diferença

Construir o sistema de equações 7esolver o sistema

7epresentar a solução

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Di"uso com "onte

8ma direção

S  z z y y

 x x z y xt 

+ 

  

 

∂

∂

Γ ∂

∂

+ 

  

 

∂

∂

Γ ∂

∂

+

     ∂Γ 

∂=

∂+

∂+

∂+

∂

φ φ 

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Di"uso com "onte

0=+     ∂Γ 

∂S 

 x x

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Di"uso com "onte

Dividir o volume4 uma direção, %erar mal5a4$i*$93i5

W EP

w   e

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Di"uso com "onte

Diferença fundamental4 resultado nos centrosdos volumes 2 $i*$9350:3+i2;/5

W EP

w   e

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Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste volume"

∫∆

=

V 

dV  xa R   0),(

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Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste espaço"

∫∆

=

+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V 

dV S  x x

0φ 

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Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste espaço"

∫ ∫∆ ∆

=+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V V 

SdV dV  x x

0φ 

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Di"uso com "onte

!ão 5' volume, mas sim a lin5a"

=     ∂∂   φ 

P

w   e

∆ ∆     ∂∂V V  x x

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Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equação somaresíduo .ero neste espaço"

quadro

∫ ∫   =+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂e

w

e

w

dxSAdx A x x

0..φ 

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Di"uso com "onte

Diferente das diferenças finitas

 1 in r m in r r fí i 4 n r 2 

sai * acumula

#s limites de inte%ração não são os pontos

nodais

6empre lineari.a a fonte4

PPU    S S S V    φ +=∆   .

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Di"uso com "onte

<orma final

S aaa   ++=

P E W  p

  S aaa   −+=

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Di"uso sem "onte

&studo de caso4 Difusão de calor&ncontrar o perfil de temperatura de uma

°  e >99°C

 1*;9;92? m: @*;999A0m@ 

0= 

  

 dx

dT k 

dx

d 

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Di"uso sem "onte

&studo de caso4 B*9,> m a*;99,b*>99

A B

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Di"uso sem "onte

Dividir o volume total em partes

2 43

0 0,5

1 5

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Di"uso sem "onte

Dividir o volume total em partes4mes5 2 $i*$935

2 43

0 0,5

1 5

0,1 0,2 0,3 0,4

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 Vo!umes "initos # %&todo

pontos onde se res%ata a solução $i*50:3+i2;/5

E;*9,9> u;E:*9,;> u;

E?*9,:> u?

EF*9,?> uF

E>*9,F> u>

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 Vo!umes "initos # %&todo

Inte%rar no espaço4 manterflu$os

∫∆

= 

  

 

V 

dV dx

dT k 

dx

d 0

∫   = 

  

 e

w

 Adxdx

dT k 

dx

d 0

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 Vo!umes "initos # %&todo

Gerar o sistema pontos internos

  –

!o de incH%nitas * no de equações

7esolver o sistema

Comparar com solução analítica

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Di"uso sem "onte

6olução

450

500

Analítica

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

100

150

200

250

300

350

400

 

Ex. 4.1

   T  e  m  p  e  r  a   t  u  r  a   (   C   )

x (m)

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Di"uso com "onte

&studo de caso4 Difusão de calor com fonte

  m l m r B*: m m

condutividade térmica constante i%ual a*9,>A0m e com uma fonte de caloruniforme q*;999J0m? 1s faces 1 e K estão

respectivamente a ;99°C e :99°CConsiderando variações somente na direção$, calcular a distribuição de temperatura

 1*;m:

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Di"uso com "onte

Dividir o volume total em partes

2 43

0 0,02

1 5

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Di"uso com "onte

Dividir o volume total em partes4mes5 2 $i*$935

2 43

0 0,02

1 5

0,004 0,008 0,012 0,016

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Di"erenças "initas # %&todo

pontos onde se res%ata a solução $i*50:3+i2;/5

E;*9,99: u;E:*9,99L u;

E?*9,9; u?

EF*9,9;F uF

E>*9,9; u>

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 Vo!umes "initos # %&todo

Inte%rar no espaço4 manter flu$os

∆ ∆

=+  V V 

qdV dV dxk dx 0

∫ ∫   =+ 

 

 

 e

w

e

wqAdx Adxdx

dT 

k dx

d 

0

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Di"uso com "onte

6olução

250

Analítica

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

150

200

. .

   T  e  m  p  e  r  a   t  u  r  a   (   C   )

x (m)

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Di"uso com "onte ' (dimens)es

Mesma metodolo%ia

wvu       ∂∂∂∂∂∂   φ  ρφ  ρφ  ρφ  ρφ 

S 

 z z y y

 x x z y xt 

+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

 

 

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

     ∂∂∂∂∂∂

φ φ 

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Di"uso com "onte ' (D

8ma direção

S  z z y y

 x x zw

 yv

 xu

t 

+  

  

∂∂Γ 

∂∂+

  

  

∂∂Γ 

∂∂+

  

  

∂∂Γ 

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

φ φ 

φ  ρφ  ρφ  ρφ  ρφ 

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Di"uso com "onte ' (dimens)es

N

W EP

w   eS

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Di"uso com "onte ' (dimens)es

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Di"uso com "onte ' (dimens)es

∫ ∫∫∆ ∆∆

=+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V V V 

SdV dV  y y

dV  x x

0φ φ 

∫ ∫∫∆ ∆∆

=+ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V V V 

SdV  Ady y y

 Adx x x

0φ φ 

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Di"uso com "onte ' (dimens)es

∫ ∫∫   =+ 

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂e n

SdV  Ady y y

 Adx x x

0φ φ 

0=+ 

 

 

 

∂

∂

Γ + 

 

 

 

∂

∂

Γ    dV S  y A x A

n

s

e

w

φ φ 

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Di"uso com "onte # (d

<orma final

S aaaaa   ++++=

PS  N  E W  p   S aaaaa   −+++=

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Di"uso com "onte ' *dimens)es

trNs direções

S  z z y y

 x x zw

 yv

 xu

t 

+     ∂

∂Γ 

∂

∂+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

     ∂Γ 

∂=

∂+

∂+

∂+

∂

φ φ 

φ  ρφ  ρφ  ρφ  ρφ 

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Di"uso com "onte ' *dimens)es

trNs direções+

,I- ./ ' Vo!ume de contro!e para o m&todo de $o!umes "initos.

i

0

E1 2 e

3 4

n

t

b

sS

5

6

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Di"uso com "onte ' *dimens)es

∫ ∫∫ ∫∆ ∆∆ ∆

=++ 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

  

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V V V V 

SdV dV  z z

dV  y y

dV  x x

0φ φ φ 

∫ ∫∫∫∆ ∆∆∆

=+

 

 

 

 

∂

∂Γ 

∂

∂++

 

 

 

 

∂

∂Γ 

∂

∂+

 

 

 

 

∂

∂Γ 

∂

∂

V V V V 

SdV  Adz

 z z

 Ady

 y y

 Adx

 x x

0φ φ φ 

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Di"uso com "onte # *d

<orma final N  N S S  E  E W W P p   aaaaa   +++=   φ φ φ φ φ 

U  B BT T    S aa   +++   φ φ 

PT  BS  N  E W  p   S aaaaaaa   −+++++=

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7onc!uso

<orma final

U vizinhosvizinhos p p   S aa   += ∑   φ φ 

Pvizinhos p   S aa   −= ∑

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8e"er9ncias

 Verstee% O Malalaseera, A, 1nIntroduction to Computational <luid

D-namics4 5e <inite Volume Met5od +:nd&dition/, :99P

(atanar, 6V !umerical Oeat ransfer and<luid <loJ, a-lor and <rancis Group, ;Q9