1 Aplicacoes da Integral definida

1.1 Calculo de Volumes - Metodo do Fatiamento

Dividindo um intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆xk fatiamos o solido, entre os planosx = a e x = b por planos perpendiculares ao eixo x, nos pontos xk.

O Volume da k esima fatia, Vk, e aproximado pelo volume do cilindro determinado pelas secoestransversais do solido.Volume Vk = Area da base × altura = A(xk) ∆xk.

V =n∑k

Vk =n∑k

A(xk) ∆xk,

e uma aproximacao do volume do solido.

Quando n→∞ (∆xk → 0), temos

limn→∞

n∑k

A(xk) ∆xk =∫ b

aA(x) dx.

obtendo, assim, uma formula para o volume do solido.

Algoritmo 1:

1. Esboce o solido e uma secao transversal.

2. Encontre uma formula, A(x), para a area da base da secao transversal.

3. Encontre os limites de integracao.

4. Integre A(x)2 para determinar o volume.

Exemplos:

1. Mostrar que o volume de uma piramide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta dabase e h a altura da piramide - e V = 1

3b2h. Colocando o sistema de eixos, de forma conveniente,

como mostra a figura, temos que a seccao transversal e um quadrado, paralelo a base, de area (2x)2.

Por semelhanca de triangulos, podemos escrever: x = b(h−y)2h ,

(que e igual a equacao da reta que passa por (0, h) e ( b2 , 0)).

Area de cada secao transversal: (2 b(h−y)2h )2.

Volume da piramide:

V =∫ h

0(b(h− y)

h)2 dy =

13b2h.

2. Calcular o volume do solido gerado a partir do corte de um cilindro, circular reto, de raio 3 pordois planos. Um perpendicular ao eixo do cilindro e o outro cruza o primeiro formando um angulode 450 no centro do cilindro. Veja figura abaixo.

Volume =∫ 3

0(2x

√9− x2) dx.

3. Usando o Calculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base e umcırculo de raio r, e V = 1

3π r2h.

1.2 Calculo de Volumes de solidos de revolucao - Metodo do fatiamento ou Discos

Solidos de revolucao: Sao solidos gerados pela rotacao (ou revolucao) de uma regiao plana emtorno de um eixo, chamado de eixo de revolucao.

Uma secao transversal de um solido de revolucao e uma regiao circular de raio r, cuja area e Πr2.Uma fatia de um solido de revolucao (Disco) e um cilindro circular reto, cujo volume e dado por:

V = Area da base× altura = πr2 h.

Algoritmo 1.1:

1. Esboce o solido e uma secao transversal.

2. Encontre uma formula, r(x), para o raio da base da secao transversal.

3. Encontre os limites de integracao.

4. Integre π r(x)2 para determinar o volume.

1. Calcular o volume do solido de revolucao dado na figura abaixo.

. Raio =√

16− x2 e alura = dx

Volume = π

∫ 4

−4(16− x2) dx.

2. Determine o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao, em torno do eixo L, da regiao R.

2.1. L: O eixo dos x e R: Regiao entre a curva y =√x e as retas y = 0, x = 0 e x = 4.

Volume = π

∫ 4

0x2 dx.

2.2. L: A reta y = 1 e R: Regiao definida por y =√x e pelas retas y = 1 e x = 4.

Volume = π

∫ 4

1(√x− 1)2 dx.

2.3. L: O eixo y e R: Regiao entre o eixo y e a curva x = 2y e pelas retas y = 1 e y = 4.

Volume = π

∫ 4

1(2y

)2 dy.

2.4. L: A reta x = 3 e R: Regiao entre a parabola x = y2 + 1 e a reta x = 3.

Volume = π

∫ √2

0(2− y2)2 dy.

1.3 Calculo de Volumes de solidos de revolucao - Metodo do fatiamento ou Anaeis

V = π

∫ b

a(R(x)2 − r(x)2) dx.

Algoritmo 1.2:

1. Esboce o solido e uma secao transversal.

2. Encontre os limites de integracao.

3. Determine o raio interno e o raio externo do anel que forma a base da secao transversal.

4. Integre para determinar o volume.

Exemplos:

1. A Regiao limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 gira em torno do eixo x paragerar um solido. Calcular o volume do solido.

V = π

∫ 1

−2((3− x)2 − (x2 + 1)2) dx.

2. Calcule o volume do slido de revoluo obtido pela rotao ao redor do eixo x da regio compreendidapelo grfico de y =

√x e y = 1

x , no intervalo [12 , 3].

V = V1 + V2,

onde

V1 =∫ 1

12π ( 1

x)2dx−∫ 1

12π (√x)2 dx e V2 =

∫ 31 π (√x)2 dx−

∫ 31 π ( 1

x)2dx.

1.4 Calculo de Volumes de solidos de Revolucao - Metodo das Cascas cilindricas

Seja f uma funcao contınua num intervalo [a, b]. Consideremos a regiao delimitada pelo eixo x, ografico de f e as retas x = a e x = b. Suponhamos que a regiao gira ao redor do eixo L, gerando umsolido, cujo volume queremos calcular.

Dividindo um intervalo [a, b] em subintervalos de comprimento ∆xi fatiamos o solido, perpendicu-larmente ao eixo x, usando cascas cilindricas de raio r, entre os planos x = a e x = b e espessura∆x.

Volume da i-esima casca cilindrica

V = 2π × Raio medio da casca× altura da casca× Espessura

.

Volume da i-esima casca cilindrica

Vi = 2π × Raio medio da casca× altura da casca× Espessura.

O Volume do solido gerado pela revolucao da regiao, dados na figura abaixo, usando cascas cilindricas,cujo volume da i-esima casca e Vi = 2π×Raio medio da casca× altura da casca×Espessura, e dadopor

V = 2π∫ b

a(x− L)f(x) dx.

Exemplos:

1. Calcular o volume do solido de revolucao, gerado pela rotacao da regiao compreendida entre oeixo x e a parabola y = 3x− x2, em torno do eixo x = −2.

V = 2π∫ 3

0(x+ 2)(3x− x2) dx

Algoritmo 1.2:

1. Desenhe a regiao que gera o solido. Determine um retangulo elementar paralelo ao eixo derevolucao. Determine a altura e o raio da casca.

2. Encontre os limites de integracao para a variavel espessura.

3. Determine o raio interno e o raio externo do anel que forma a base da secao transversal.

4. Integre 2π(raio da casca)(altura da casca) em relacao a variavel espessura para determinar ovolume.

Exemplos:

1. Calcule o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao ao redor do eixo y da regiao compre-endida pelo grafico de y =

√x e y = 1

x , no intervalo [12 , 3].

V = 2π∫ 1

12

x(1x−√x) dx + 2π

∫ 3

1x(√x− 1

x) dx

2. Calcule o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao ao redor do eixo y da regiao limitadapela circunferencia de equacao (x− 2)2 + y2 = 1.

V = 2π∫ 3

1x(

√1− (x− 2)2) dx.

3. Calcule o volume do solido de revolucao obtido pela rotacao ao redor do eixo L da regiao determi-nada pelos pontos (x, y) tais que 0 ≤ x ≤ y e y2 + y2 ≤ 2, usando o metodp mais adequado. Onde:

1. L : x = 0;

2. L : x = −1;

3. L : x = 2;

4. L : y = 0;

5. L : y = 2;

1.

2.

3.

4.

5.