Curso de Engenharia - UNIVESPDisciplina MatemáticaBimestre 1

Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 17 e 18RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO)

Caro aluno,

Nesta semana, a sua avaliação para as Aulas 17 e 18 será composta por duas entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir:

A) Para avaliação das aulas 17 e 18 da Semana 5 da disciplina, escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no Portfólio da disciplina.

Resumo

As aulas 17 e 18 trataram do tema “otimização em matemática” que

significa encontrar, numa situação problema, um ponto ótimo, ou seja, a melhor

solução possível que atenda a situação problema considerando os dados do

problema.

Normalmente este ponto ótimo é alcançado obtendo os pontos de

máximos ou mínimos, de acordo com a situação problema, através da

resolução das equações formuladas oriundas da situação problema. Ou seja,

parte-se da interpretação da situação problemas, organizando os dados em

tabelas e formulando as equações que traduzem o problema a ser enfrentado.

De posse das equações, parte-se então para a representação e analise

gráfica destas equações, as quais delimitam, através de suas retas, uma região

ótima que atende a situação problema.

Os pontos extraídos da representação gráfica que representam a

situação ótima são então substituídos nas incógnitas das equações da situação

problema para se chegar ao resultado pretendido.

B) Os exercícios das aulas 17 e 18, foram formuladas a partir de pequenos textos (Texto A, Texto B, Texto C etc.). Para avaliação das aulas 17 e 18, escolha pelo menos UM (1) Texto (A, B, C etc.)  e resolva os exercícios relacionados ao texto. As respostas devem ser  enviadas pelo Portfólio da disciplina.  Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros textos e seus exercícios.

Lembre-se - Nesta semana você também deverá postar a resolução de alguns exercícios referentes às videoaulas 19 e 20 que estão disponíveis na Organização Didática da semana 5 e no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso.

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Exercícios das vídeoaulas 17 e 18 – Matemática

Texto AAchar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é

encontrar a melhor solução possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados, até chegar à solução.

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PROBLEMA  (problema 3 da aula)

Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:

Produtos A B Estoque

>>Materiais

I 1 3 10

II 2 2 12

III 0 1 4

Lucro unitário >>

4 reais

6 reais

Lucro Total

 L

(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III)

Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o Lucro Total seja máximo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO

1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?

Resposta:

Lucro Total = L =4A +6B

Trata-se da busca de um máximo.

2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às condições da produção?

Resposta:

A quantidade de estoque de cada material

3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?

Resposta:

L=4A+6B

1A +3B<=10

2A+2B<=12

B <= 4

4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10

Pontos (x,y) Quando x=0 -> y<=3,333 Quando y=0 -> x<=10

5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12  (material II)  e  y ≤4 (material III)

6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado.

7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).

Resposta:

L= 4(6) + 6(0)=24

8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.

9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).

Resposta:

L= 4(0) + 6(10/3)=20

10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.

Resposta:

L=4(2)+6(4)=32

Texto BProblemas que envolvem a determinação do valor mínimo de uma

função podem ser resolvidos de maneira análoga ao de valor máximo, com a permuta de desigualdades do tipo ax + by < c por outras do tipo ax + by > c. Para praticar mais um pouco a solução de problemas lineares de otimização, vamos agora tratar de um problema de minimização. O roteiro será mais simplificado, nos exercícios que seguem, mas a ideia é basicamente a mesma dos problemas já resolvidos até este ponto.

Uma informação complementar, apenas para ativar a curiosidade: problemas de máximos e de mínimos relacionam-se intimamente com frequência. A busca do máximo lucro pode estar associada ao mínimo custo, por exemplo.

Uma ideia interessante é pensar nessa dualidade, ao enfrentar problemas concretos.

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PROBLEMA    (problema 4 da aula)

Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente pelo menos as quantidades de vitaminas B1 e B2 indicadas na tabela abaixo. Por razões de saúde, a dieta deve incluir apenas os alimentos I e II, acondicionados em pacotes de 100g.

Determine o número de pacotes de cada tipo de alimento que deve ser ingerido de modo que as prescrições médicas sejam cumpridas e o custo da alimentação seja o menor possível.

alimento Ipacote de

100g tem:

alimento IIpacote de

100g tem:

prescrição médica

(mínimo diário)

vitamina B1

1,00 mg 0,50 mg 4,00 mg

vitamina B2

0,60 mg 1,20 mg 6,00 mg

preço do pacote

6,00 reais 4,00 reais Custo Total: C

Roteiro para a Resolução

1. Devemos determinar o número x de pacotes do alimento I e o número y de pacotes do alimento II a serem consumidos de modo a o custo total C da alimentação ser mínimo, satisfeitas as condições da dieta. Expresse o custo C em função de x e y.

Resposta:

C=6x+4y

2. Expresse as condições impostas pela dieta em termos de x e y.

Resposta:

x+0,5y>=4

0,6x+1,2y>=6

3. Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem a desigualdade 2x + y   ≥ 8, os que satisfazem a desigualdade 6x + 12y ≥ 60, e a região de viabilidade para o problema

4. Determine o ponto de interseção das retas correspondentes a B1

e B2.    

Resposta:

A(2,4)

5. Calcule o custo da dieta em um ponto qualquer da região de viabilidade, por exemplo, o ponto (10; 0). Mostre que o custo mantém esse valor constante ao longo de uma reta. Represente essa reta no plano cartesiano.

Resposta:

C=6x+4y

Para x=10 e y=0,

C=6(10)+4(0)=60

6. Calcule o custo da alimentação no ponto (0; 8), mostre que ele é constante ao longo de uma reta paralela à do custo C = 60, mas que se situa abaixo dessa reta.

C=6x+4yPara x=0 e y=8,C=6(0)+4(8)=32

7. Mostre que a reta que corresponde ao custo mínimo é a que passa pelo ponto mais baixo da região de viabilidade, ou seja, pelo ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2, calculado anteriormente. O valor mínimo do custo é o valor de C = 6x + 4y nesse ponto. Determine tal valor.

Resposta:

A(2,4)

C=6(2)+4(4)=12+16=28

6x+4y=28

TEXTO CProblemas de otimização constituem uma permanente fonte de

interesse. Muitas das técnicas estudadas em disciplinas matemáticas servem de base à resolução de tais problemas. Os cursos de Cálculo Diferencial são apenas um exemplo, um ponta pé inicial na busca de soluções ótimas. Os problemas e exercícios aqui resolvidos não foram numerosos, apenas buscaram ilustrar uma forma especial de abordar problemas desse tipo, no caso de envolverem apenas funções que descrevem processos lineares. Ao longo do curso, muitas situações similares irão, sem dúvida, ocorrer.

1. Faça uma pesquisa na rede www sobre processos de otimização na natureza ou nas empresas, na ciência ou na gestão. Você encontrará um espectro amplo de situações que envolvem o máximo ou o mínimo das grandezas envolvidas. Os processos naturais estão associados a mínimo esforço, máximo rendimento, ou ideias semelhantes. Os corpos abandonados sob a ação da gravidade, buscam uma posição em que a energia potencial é mínima. Não se preocupe em entender tudo o que é dito, nem compreender as eventuais soluções propostas: apenas assista ao que apresentado, como se fosse um comercial, uma propaganda. Converse com os colegas e faça uma lista de situações, em diferentes contextos, que envolvem a ideia de otimização. Muitas dessas situações estarão presentes em disciplinas que serão estudadas ao longo de sua

formação profissional, especialmente no que tange à organização da produção.

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 Referências Bibliográficas

Cadernos do Professor de Matemática (28 volumes). Secretaria de Estado de Educação de São Paulo, 2013. Especialmente o volume 1 da 3ª Série do Ensino Médio, p.20-41.