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Universidad de ChileFacultad de Ciencias Físicas y MatemáticasLaboratorio de Fluidodinámica y Procesos

INFORME DE LABORATORIO Nº 4EXPERIENCIA DE TORRICELLICI3101 – Mecánica de Fluidos

Nota Informe Preliminar:

Nota Informe Final:

Observaciones:

Nombres:

Ayudante encargado:

Fecha de realización:Fecha de entrega:

Jean Riveros C.Kevin Vidal B.José Villanueva R.

Jaime Vergara A.

25.10.201304.11.2013

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 3

OBJETIVOS 4

METODOLOGÍA 5

CÁLCULO Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS 7

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES 17

INTRODUCCIÓN

2

En el presente informe se estudiará la experiencia de Torricelli. Para llevarla a cabo, se utilizará un estanque debidamente graduado en milímetros en la vertical, el cual permite la salida de agua a través de diferentes mecanismos.

En un costado en la parte inferior, el estanque permitirá la salida de agua a través de un tubo de PVC. La trayectoria del chorro de agua, la cual se comporta teóricamente como un lanzamiento parabólico, será medida gracias a un panel milimetrado dispuesto en el artefacto. Una vez obtenidos los datos, se podrá comparar al modelo teórico.

Se tendrá también el vaciamiento del estanque por la parte inferior de este, donde se pueden conectar distintas toberas, en este caso biselada de 8 mm.

Como las pérdidas singulares están presentes frente a estrechamientos, cambios de curvatura, debe ser considerado en la tobera biselada, lo que tendrá un efecto directo en su vaciamiento. El paso del agua por esta salida, supone una pérdida singular de energía, lo que será analizado en detalle posteriormente, ligándolo con los caudales de salida en la ecuación de continuidad.

OBJETIVOS

3

Objetivos Generales

Los objetivos de esta sesión práctica consisten en verificar los modelos teóricos aplicados al vaciamiento en estanques sujetos a pérdidas singulares de energía. Estos fenómenos ya fueron estudiados anteriormente, y se conoce su dependencia explícita con la velocidad, por lo que se espera analizarlo mediante la ecuación de continuidad.

Se espera también poder describir cualitativa y cuantitativamente el fenómeno de salida del chorro de agua mediante un tubo de PVC. Se verificará la experiencia de Bernoullí, la cual indica que la velocidad varía según la raíz de la altura.

Objetivos Específicos

En particular, se desea calcular el coeficiente de pérdida singular, y por lo tanto la pérdida singular en una tobera biselada de 8 mm.

Con esto, se calculará la altura en el estanque en función del tiempo h(t) gracias a un modelo teórico, y gracias a las mediciones tomadas en el laboratorio.

Se verificará la validez del movimiento parabólico del chorro de agua, así como su velocidad de salida a través del tubo de PVC.

Se calculará un nuevo coeficiente de pérdida singular, mediante la calibración frente a las diferencias empíricas y teóricas

METODOLOGÍA

4

El montaje experimental para este trabajo de laboratorio fue el siguiente:

5

Figura 1. Instalación experimental

Donde:(1) Estanque de agua(2) Tobera de sálida del fluido(3) Tubo de PVC vacío con orificios para controlar la altura del líquido(4) Regla con la cual se puede medir la cota del líquido(5) Panel donde se puede medir la forma de salir del líquido(*) La flechas indican la llave de paso que regula la entrada de agua al estanque

La primera parte de la experiencia consistió en medir tres caudales distintos, con cotas diferentes. A cada caudal se le hicieron 3 aforamientos con los cuales se sacó un caudal promedio, este caudal se midió llenando un recipiente graduado en un tiempo determinado, siguiendo la siguiente fórmula:

Q=Volumenenel recipienteTiempo de llenado

Para cada caudal se procedió a medir la forma del chorro, esto gracias a las varas de metal que se ajustaban al límite del chorro, y junto a una hoja graduada en el panel (5), se procedió a medir numéricamente la trayectoria del chorro. Se consideró la separación entre las varas como unitaria.

Finalmente, procurando que la llave de paso estuviese cerrada, se procedió a observar la forma del vaciamiento del estanque. Para esto, se dejó el estanque en una altura determinada, se apagó la máquina, y la cota de vaciamiento del estanque se fue midiendo cada 5 segundos.

6

CÁLCULOS Y PRESENTACIÓN DE RESULTADO

Cálculo de coeficientes de pérdida

Conocidos los Bernoullis para dos puntos del estanque, en particular, para la superficie libre dada para la altura máxima de este, y para la zona en la que es expulsado el chorro de agua, se puede determinar las pérdidas singulares asociadas mediante la relación:

B1=B2+∧s(1)

Donde:

Bi [m ] : Bernoulli en el punto i∧s [m ] : Pérdidas singulares

Así, conocidas las pérdidas singulares, el coeficiente de pérdida singular se obtiene a partir de la siguiente relación:

∧s=ks ∙v2

2∙ g(2)

Donde:

7

∧s [m ] : Pérdidas singularesv [ms ] : Velocidad

g[ms2 ] : Aceleración de gravedadk s[ ]: coeficiente de pérdida singular

La velocidad se puede determinar a partir del caudal, el cual es conocido, mediante la relación que se presenta a continuación:

Q=v ∙ A(3)

Cálculo de caudales y de velocidad

Los caudales netos utilizados para cada una de las mediciones de la experiencia 1, se obtuvieron mediante tres aforamientos por medidas. Así entonces, el caudal neto utilizado para efectos de cálculo del coeficiente K s, se obtiene mediante el promedio aritmético de los tres aforados.Estos resultados se presentan a continuación en las tablas n° 1 (a,b,c):

Caudal 1 Vol [m3] t [s]Caudal [m

3

s]

Aforado 1 0,00058 4,99 0,0001154Aforado 2 0,00068 5,94 0,0001145Aforado 3 0,00058 5,08 0,0001142

Qprom 0,000115Tabla n°1-a: Cálculo de caudal medición 1

Caudal 2 Vol [m3]] t [s]Caudal m

3

s¿


Qprom 0,000109Tabla n°1-b: Cálculo de caudal medición 2

8

Caudal 3 Vol [m3 ¿ t [s]Caudal [m

3

s¿


Qprom 0,000125

Tabla n°1-c: Cálculo de caudal medición 3

Luego, considerando que el orificio de salida posee un diámetro de 8mm, el área transversal del flujo corresponde a: A=5,03 ∙10−5(4)

Finalmente, las velocidades se obtiene a partir de los caudales netos obtenidos y del área del tubo de salida, resultados que se presentan a continuación en la tabla n°2.

Tabla n° 2: Cálculo de velocidades

Cálculo de pérdidas singulares

Las pérdidas singulares se estiman a partir de la relación (1), en donde el Bernoulli número 1 (B1¿, está dado por la altura máxima que se tiene dentro del estanque, y el Bernoulli número 2 (B2¿ está dado por la altura del orificio de salida, el cual fue considerado como el nivel cero de referencia. Entonces, las pérdidas singulares asociadas para cada medición están dadas por los resultados mostrados en la tabla n°3:

B1[m] B2[m] ∧s [m ]0,313 0 0,3130,278 0 0,2780,368 0 0,368 Tabla n°3: Pérdidas singulares para cada medición

Cálculo de coeficientes

Conocida las pérdidas singulares y la velocidad, los coeficiente se determinan a partir de la relación (2). Estos resultados se presentan en la tabla n°4:

Medida 1 Medida 2 Medida 3

9

Caudal [m3

s¿ Área[m2]

Velocidad [ms ]

Medida 1 0,000115 5,03 ∙10−5 2,288Medida 2 0,000109 5,03 ∙10−5 2,169Medida 3 0,000125 5,03 ∙10−5 2,487

k s 0.178 0.169 0.161 Tabla n°4: Coeficientes de pérdida singular

Gráfico de chorro experimental

A continuación se presentan los gráficos de chorro experimental, los cuales, presentan una forma parabólica como era de esperarse. En el caso de existir algún tipo de de complicación, esta pudo haberse debido al contacto de los fierros que ayudaron a registrar la trayectoria, los cuales, en cierto modo, pueden haber desviado estas, alterando en parte los resultados. Sin embargo, no se presencia grandes efectos sobre los resultados obtenidos como se ilustra a continuación en los gráficos n°1,2 y 3.

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0f(x) = − 0.486011904761905 x² + 0.597321428571428 x + 0.0241071428571455R² = 0.998805106919

Trayectoria del Caudal 1

Series2Polynomial (Series2)

X

Y

Gráfico n° 1: Trayectoria del caudal 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0f(x) = − 0.551190476190476 x² + 0.703571428571429 x − 0.0357142857142847R² = 0.999117249167991



X

Y


11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-25

-20

-15

-10

-5

0f(x) = − 0.4125 x² + 0.479166666666668 x + 0.0249999999999978R² = 0.999186347009647



X

Y


Gráfico de curva de vaciamiento

La curva de vaciamiento se calculó a partir de una regresión exponencial con los datos consignados durante la experiencia número 2. Este resultado se presenta en el gráfico n°4

12

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

5

10

15

20

25

30

35

40f(x) = 57.032835826381 exp( − 0.0282492906657465 x )R² = 0.967073434138124

Curva de vaciamiento

Series2Exponential (Series2)

tiempo [s]

altu

ra[c

m]

Gráfico n° 4: Curva de vaciamiento

Comparación forma del chorro teórico-experimental

Para determinar la forma que tiene el chorro al salir, se asume un flujo permanente de forma tal que los Bernoulli se mantienen constante, es decir:

B1=B2

Por lo tanto:

Y 1+V 12

2g+p1γ

=Y 2+V 22

2g+p2γ

(X)

Considerando que no existen procesos termodinámicos asociados, es válido utilizar presiones relativas a la atmosférica de forma tal que P1=P2=0. Además, si se toma el orificio de salida del chorro de agua como el origen del sistema, se obtiene que Y 1=0. Por otra parte, la velocidad V 2 puede ser expresada en forma vectorial tal que,

V 2=(V x ,V y)

Donde la componente en x corresponde a la velocidad de salida, V 1, la cual es constante para un movimiento parabólico, mientras que la componente

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en y es una fución del tiempo. De esta forma, se tiene que la norma de V 2 está dada por:

V 2=√V 12+V y

2 (XX )

Reemplazando (XX) en (X) y considerando todos los supuestos anteriores se obtiene:

V y=√2 gY 2

Lo cual, por simplicidad notamos como:

V y=√2 gy

Ahora bien, si consideramos las variaciones de la posición (x , y ) en el tiempo se llega a los siguientes resultados:

−dydt

=V y

dxdt

=V x

Lo cual resulta un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales nulas, pues, en el instante inicial (t=0), el chorro se encuentra en el origen, o sea, x (0 )=0y y (0 )=0. Si resolvemos este sistema se obtiene que:

y=−g ∙ t2

2(XXX )

x=v1∙ t(XXXX )

Despejando el tiempo como función de la posición horizontal de (XXXX), y reemplazándola en (XXX), se obtiene la ecuación del posición del chorro, dada por:

y ( x )=−g ∙ x2

2∙V 1

2

Para este caso en particular, se realizará una comparación teórica para las medidas realizadas para el caudal número 1, el cual, posee una velocidad de salida V 1=2,288

ms . Entonces, la curva que describe la forma del chorro está

dada por la ecuación:

y ( x )=−25,65 ∙ x2

2

14

De esta forma, si se revisan las dos gráficas en el mismo plano se obtiene:

Gráfico n°5. Comparación de la forma del chorro teórico con el experimental

Donde la diferencia entre curvas se debe a que la obtenida teóricamente abarca una mayor cantidad de puntos, pues, para ser graficada como una función se debió realizar un arreglo de puntos de forma tal que fuese coincidente con la cantidad de datos recolectados experimentalmente, los cuales, no son una muestra continua de datos, si no discreta.

Comparación del vaciamiento teórico-experimental

Cálculos teóricos

Primero debemos sacar la velocidad de vaciamiento del estanque considerando pérdida singular de energía:

B1=Ptobera

γ=h

B2=v2

2g

∧s=ks ∙v2

2∙ gSabemos que la pérdida singular de energía es igual a la diferencia de

Bernoullis, con esto:B2−B1=∧s

v=√ 2ghks+1

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Para ver teóricamente el vaciamiento del estanque ocuparemos la ecuación de continuidad:

dVdt

+QS−QE=0

Aparte, sabemos que QE=0 QS=v ∙ A tobera , y dVdt =Aestanque ∙dhdt , con esto

tenemos:Aestanque ∙

dhdt

=−v ∙ A tobera

Sabemos que la velocidad de salida por la tobera es v=√ 2ghks+1 , de aquí

nuestra ecuación queda como:

dhdt

=−A tobera

Aestanque∙√ 2 ghks+1

Integrando ésta última, para despejar la altura en función del tiempo nos queda (el límite superior de la integral representa la función en sí de la integral):

∫ho

h dh√h

=−∫0

t A tobera

A estanque∙√ 2g

ks+1∙ dt

2 ∙ (√h−√ho )=−A tobera

Aestanque∙√ 2g

ks+1∙ t

h (t )=(√ho−12 ∙ Atobera

A estanque∙√ 2g

k s+1∙ t)

2

Para solucionar la ecuación anterior se necesitan los siguientes datos (El coeficiente de pérdida singular se saco como el promedio entre los tres coeficientes calculados):

Atobera=5,03 ∙10−5[m ]

Aestanque=(0.22−0.0322 )∙ π4

[m ]=0.0306[m ] ho=0.35 [m ]

16

g=9.8[ ms2

] k s=0.17

Con esto, nuestra altura de vaciamiento queda como:

h (t )=(0.5916−0.003364 ∙ t )2

Gráfico de comparación

La curva de comparación queda de la siguiente manera:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 18005

10152025303540

Comparación vaciamiento del es-tanque

Curva ExperimentalCurva teórica

Tiempo [s]

Altu

ra [c

m]

Gráfico n°6. Gráfico de comparación entre el vaciamiento teórico y experimental

Calibración de un nuevo coeficiente de pérdida singular de la tobera

El nuevo coeficiente de pérdida singular es, de acuerdo a la forma teórica, nos queda:

k s=(12 ∙ √2g√h−√ho

∙A tobera

Aestanque∙t )

2

−1

k s=(0.000844 ∙ t√h−0.5916 )

2

−1

Con esto, el coeficiente de pérdida singular calibrado teóricamente es:k s=−0.937

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

17

Después de realizar las experiencias del laboratorio práctico, es posible dejar en claro una serie de puntos.

El chorro de agua que sale desde el estanque, está sujeta a pérdidas singulares de energía en la tobera, las cuales pueden ser cuantificadas a través del coeficiente k s. El coeficiente anterior, se obtiene de manera experimental, y es posible notar una dependencia cuadrática con la velocidad.Ahora bien, es posible incurrir en errores en la determinación de este coeficiente durante el laboratorio, pues al hacer mediciones de caudales en cada aforamiento, se introducen errores en las mediciones de tiempos y de volúmenes.

Al calcular la trayectoria del chorro de agua (gráfico n°5), es posible dar cuenta de un movimiento aproximadamente parabólico. Las diferencias entre la trayectoria real y la trayectoria teórica, se explican por varios puntos.

Un primer punto a tomar en cuenta es el roce con el aire, al cual no está sometido dentro de la tobera, y tampoco fue incluido en el análisis dinámico del chorro. Además, es posible considerar el efecto de la pérdida energética dentro de la tobera, la cual claramente dependerá también de la geometría propia de ésta.

Otro factor importante para explicar las diferencias obtenidas, es la dificultad de medir de manera precisa las posiciones del chorro a través de las varillas, pues el chorro de agua pierde uniformidad en ciertos instantes y sectores de la trayectoria

Un último, pero no menos importante hecho a considerar, es la manera en que fue determinada la velocidad de salida desde la tobera. Para este efecto se utiliza la diferencia de Bernouilli, lo que puede introducir errores numéricos en su cálculo.

Con respecto al vaciamiento del estanque, también se observan diferencias entre los datos empíricos y el modelo teórico (gráfico n°6). La principal razón de esto, es la dificultad de llevar registros precisos de las alturas de la superficie libre en cada intervalo de tiempo. En particular se tiene esta dificultad en la primera mitad del vaciado, pues entre mayor es la altura de la superficie libre, más grande es la velocidad de salida por la tobera, y por lo tanto mayor el caudal evacuado.

Aquí es posible concluir de inmediato la dependencia directa de la velocidad de salida por la tobera con la altura de la superficie libre, explicado porque a mayor altura de agua en el estanque, mayor es la presión en la tobera.

Producto de todos los factores que no son considerados en el análisis explicado anteriormente, es necesario calibrar la constante k s de modo que

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haya una mucho mejor ajuste de los resultados obtenidos de manera tanto experimental como teórico.

Es importante notar, que realizar una “calibración” de los coeficientes utilizados, es mucho más eficiente que considerar todos los factores en el análisis teórico, puesto que esto haría los cálculos demasiado engorrosos y difíciles de interpretar.

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