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MATERIAL DE APOIO À DISCIPLINADE MATEMÁTICA

Prof. Elisson de Andrade

PARTE 2: PORCENTAGENS E FRAÇÕES

1o SEMESTRE

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO...................................................................................................................3

2. MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES.................................................................................4

3. DIVISÃO DE FRAÇÕES...................................................................................................5

4. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES...................................................................................7

5. SOMA E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES........................................................................10

6. UTILIZANDO FRAÇÕES E PORCENTAGENS........................................................14

7. MODO PRÁTICO DE UTILIZAR FRAÇÃO E PORCENTAGEM..........................16

GABARITO DOS EXERCÍCIOS...........................................................................................21

MatemáticaProf. Elisson de Andrade

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INTRODUÇÃO

Para que algumas colocações a seguir fiquem claras, será utilizado um exemplo muito simples, mas que busca ilustrar pensamentos fundamentais em matemática. Isso servirá para que a discussão não fique algo abstrato, longe da realidade do aluno. Entender com exemplos práticos temas como frações e porcentagens, auxilia no que considero fundamental para o entendimento da matemática: conhecimento matemático e raciocínio lógico. Muitas vezes faltam aos alunos esses dois elementos. Todos os exercícios a serem propostos não exigirão nenhuma regra a ser decorada. E em grande parte dos problemas, o bom senso também pode ajudar muito para verificar se o resultado obtido está coerente com o esperado.

Para analisar um caso em que podemos visualizar a aplicação de frações e porcentagens, suponhamos que temos um bolo representado pela figura abaixo.

Figura 1

Assim, podemos dizer que dois bolos e meio podem ser representados por

Figura 2

Mas, e se tivéssemos a seguinte situação?

Figura 3


3

Como poderíamos quantificar quanto de bolo temos? Que são dois bolos mais um “pequeno pedaço” é óbvio. Mas a questão é: como esse pequeno pedaço pode ser representado de uma maneira mais precisa?

Se utilizarmos de nossa linguagem cotidiana, podemos falar que o terceiro pedaço é uma fração ou que é um percentual de um bolo inteiro. Assim, o que será feito a seguir é a utilização de conceitos matemáticos para definir exatamente o que seria esse “pequeno pedaço”.

Considerando que todos os bolos são idênticos (mesmo tamanho e mesmo peso), uma saída para representar matematicamente o pedaço pequeno é através de pesagem. Vamos imaginar que, primeiramente, pesamos o bolo todo, obtendo um valor de 1kg. Posteriormente, pesamos o pequeno pedaço, obtendo o valor de 240 g.

Sabendo-se que 240g é o mesmo que 0,240kg, se tem a seguinte regra de três.

1kg ------------------------- 100%0,24kg --------------------- x

De onde obtemos um x = 24%

Portanto, ao analisarmos a Figura 3, podemos dizer que nela temos representados dois bolos inteiros, mais 24% de um bolo. Isto é, temos uma quantidade de bolo maior que apenas dois bolos inteiros. A quantidade, que denominamos anteriormente de “pequeno pedaço”, agora pode ser precisamente representada como um percentual do peso do bolo inteiro.

Daria para representar o pequeno pedaço, também em forma de fração (no caso, 24/100). Mas discutir isso agora não vale a pena, pois não estudamos nada sobre soma, subtração e simplificação de frações.

CONCLUSÃO: quando queremos representar parte de um todo (ex: pedaço de bolo, parte do salário, participação do lucro no total de receita, total de homens casados dentro da empresa etc), podemos usar tanto a notação fracionária como a percentual. Nesses casos, são duas formas distintas de representar o mesmo problema.

OBS: trabalhar com porcentagem é, relativamente, simples (é só usar regra de três). Vamos, ao longo dessa apostila, trabalhar muitas vezes com porcentagem e vocês verão que não é muito difícil. Porém, as frações são um capítulo a parte, pois será necessário aprender algumas operações específicas com frações, as quais: multiplicação, divisão, simplificação, soma e subtração. E é isso que veremos a seguir.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Já vimos no início desta apostila, para multiplicar frações devemos apenas saber que “quem está embaixo (no denominador), multiplica quem está embaixo; quem está em cima (no


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numerador), multiplica quem está em cima; e quem está em cima é dividido por quem está embaixo”. Portanto, no caso da seguinte multiplicação temos.

Vale lembrar que não se tem uma ordem para fazer as multiplicações e divisões. Pode-se primeiro dividir e depois multiplicar, ou primeiro multiplicar e depois dividir.

Mais um detalhe interessante. Leia a regra em itálico, do parágrafo acima, e se convença que as expressões abaixo são todas equivalentes.

Se não se convenceu, converse com o professor. Nunca siga adiante se ficou algo sem entendimento.

EXERCÍCIO 1:

Multiplique as frações:

a) b) c) d)

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Dividir frações é sempre um problema para o aluno. Você sabe como resolver a divisão a seguir?

Acredito que muitos não sabem nem começar a resolver. Outros se lembram de algumas regrinhas como: “quem está no meio, multiplica quem está no meio; quem está nos extremos, multiplica quem está nos extremos”. Lembro-me de outra regrinha também: “a fração de baixo, passa invertida, multiplicando a fração de cima”. E tantas outras regras, ainda mais criativas, podem ser inventadas. Elas dão certo, mas o problema é decorá-las por um período de tempo longo.

Vamos aprender uma maneira matematicamente lógica que, se realmente compreendida, será sempre lembrada.


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Já sabemos multiplicar frações, mas não dividi-las. Então, uma saída seria eliminar a fração que está embaixo (no caso 3/8), fazendo que a divisão vire uma multiplicação. Mas como fazer isso? SIMPLES: basta transformar o 3/8 em 1, pois qualquer número dividido por 1 resulta nele mesmo. Mas como fazer 3/8 transformar-se em 1? Já aprendemos isso. Veja abaixo.

Ao multiplicar o 3/8 por 8/3, sabemos que o resultado dará 1. Porém, fazer apenas isso não resolve o problema, pois estamos alterando o resultado da divisão original.

O que fazer então? Vejam como é simples:

Saída muito bacana! Também se multiplicou a fração de cima. Notem que a fração original foi multiplicada por

que na verdade é igual a 1 (lembre-se: todo número dividido por ele mesmo dá 1)

Portanto, se a fração original está sendo multiplicada por 1, continua a mesma coisa, não é?

Achamos um jeito de deixar a fração original com o mesmo valor (pois foi multiplicada por 1), mas de uma maneira que a fração que está embaixo (o 3/8) irá desaparecer. O que resulta apenas em uma multiplicação, a qual já aprendemos a resolver.

Notaram que não há nada a ser decorado? Matemática é ARTE. Uma arte de usar raciocínios lógicos, seguir regras básicas. Tudo deve ser feito por você, da maneira que julgar mais fácil. Mais uma vez: não passe dessa parte se realmente não entendeu. Procure o professor.

EXERCÍCIO 2:


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Divida as frações abaixo:

a) b) c) d)

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Para estudarmos esse tópico, voltemos ao exemplo dos bolos, mas agora representado pela figura a seguir

1 2 3

Figura 4

A Figura 4 mostra o mesmo bolo sendo dividido de três maneiras diferentes (bolos 1, 2 e 3). Ao representar em termos fracionários cada pedaço dos três bolos, para o bolo 1 teremos que cada pedaço corresponde a uma parte em duas (1/2: um meio); para o caso 2 cada pedaço é uma parte em quatro (1/4: um quarto); e para o bolo 3 temos cada parte corresponde a uma parte em oito (1/8: um oitavo). Importante notar que os pedaços individuais das três situações são diferentes, mas os bolos inteiros têm tamanhos iguais. O pedaço do primeiro bolo (1/2 de bolo) é maior que o pedaço do segundo (1/4 de bolo), que é maior que o do terceiro (1/8 de bolo).

Isso compreendido, partiremos para um outro problema, também relativo à Figura 4. Levando-se em consideração as fatias de cada um dos três bolos, em termos de fração, como poderíamos representar a metade de um bolo?

No primeiro caso, metade do bolo é exatamente uma fatia (1/2 do bolo). Mas para o segundo caso, metade do bolo significa 2 partes em 4, ou seja, dois quartos (2/4) do bolo. Por fim, no terceiro caso, metade do bolo significa que precisamos de 4 partes das 8, ou seja, quatro oitavos (4/8).


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O que o aluno precisa observar é que sendo os bolos, nos três casos, iguais, suas respectivas metades também serão. Portanto, conclui-se que se eu disser que tenho 1/2 de bolo, ou que tenho 2/4 de bolo, ou que tenho 4/8 de bolo, na verdade, tenho a mesma quantidade nos três casos. Isso porque as frações 1/2, 2/4 e 4/8 são exatamente o mesmo número (é só fazer as divisões e notar que essas três frações dão como resultado 0,5), em que a fração 1/2 é a maneira “mais simplificada” das três.

Quando se fala em simplificar fração se quer, na maioria das vezes, obter uma fração tal que seja expressa por números menores que a fração original, apenas no intuito de simplicidade de exposição. Muitas vezes não queremos representar certa fração por 450/250, se podemos representá-la por 9/5, pois pode tornar mais fácil algum cálculo futuro e/ou entendimentos sobre o fato analisado.

Mas ainda restam dúvidas. Qual é a regra que se usa para simplificar e quando devo fazer a simplificação ou não?

Primeira coisa, não existe uma regra única para simplificação, o que existe é você usar de regras que a matemática possui para manipular certas expressões (se souber quando se pode multiplicar e dividir, se sabe simplificar qualquer expressão). Em segundo lugar, nem sempre é necessário simplificar uma fração. Se você deve simplificar ou não, e até que ponto se deve fazer isso, depende única e exclusivamente do BOM SENSO da pessoa e do tipo do problema.

CONCLUSÃO: Se a simplificação de uma fração for ajudar a tornar o problema mais enxuto ou de melhor entendimento, faça, se não tiver serventia alguma, não simplifique e deixe a fração como ela se apresenta.

Voltemos ao exemplo da Figura 4. Como já visto, pode-se dizer que metade de um bolo é igual a 4/8 de seu tamanho.

O que se pergunta é: existe uma forma mais simplificada de dizermos isso?Na verdade existem inúmeras formas de se representar metade de um bolo, sendo

algumas mais simples e outras mais complexas. Porém, todas as representações indicarão metade de um bolo.

Agora basta responder a uma questão: como se faz essas simplificações matematicamente?

A solução é muito simples. Para conseguir frações idênticas é só multiplicar ou dividir os números do numerador e denominador da fração, pelo mesmo número.

Veja dois casos abaixo


PARA ILUSTRARVamos tentar fazer uma analogia para um caso prático. Você está fazendo

aniversário e existem 4 pessoas para comer o bolo. Você quer dividi-lo de modo que todos o presentes tenham um pedaço do mesmo tamanho. Como fazer isso? O jeito mais simples seria dividir o bolo em 4 partes iguais, dando um pedaço para cada pessoa. Outra maneira seria dividir o bolo em 8 partes iguais e dar dois pedaços para cada pessoa. Se preferir, corte em 12 partes iguais e dê três pedaços para cada pessoa, e por aí vai. Notem que há diversas maneiras de fazer a mesma coisa, sendo que dividir o bolo em 4 é a maneira, digamos, mais SIMPLIFICADA. Em vez de dar 2/8, ou 3/12, seria mais fácil dar 1/4 de bolo para cada pessoa.

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(1) (2)

Notem: estamos multiplicando ou dividindo por 1, não alterando em nada a fração originalNo primeiro caso (1), ao dividir tanto o numerador como o denominador pelo número

2, chegamos a uma forma, digamos, “mais simplificada” da fração original. E se repetíssemos o mesmo procedimento com a fração 2/4 (dividindo numerador e denominador por 2), obteríamos 1/2, que é uma forma mais simples ainda.

No segundo caso (2), multiplicou-se o numerador e denominador da fração 4/8, pelo número 2. Chegou-se a uma fração igual a 8/16, que corresponde à mesma representação de 4/8, mas vista de uma forma um pouco “mais complicada”.

E essa noção se estende para qualquer situação. Continuemos utilizando a fração 4/8, multiplicando numerador e denominador pelo número 1,3.

A fração obtida (5,2/10,4) continua sendo equivalente à original (é só notar que o resultado da divisão continua sendo 0,5). O que pode ocorrer é que esta é uma forma um pouco mais complicada de representar, mas é totalmente correta.

OBS: Muitas frações, em suas divisões já dão números inteiros (ex: 4/2=2, 16/6=4 etc), daí não há necessidade de seguidas simplificações, é só trabalhar com o número inteiro. Porém, em muitos casos as frações não dão números inteiros (ex: 5/2=2,5, 14/4=3,5 etc). Daí às vezes é interessante continuar os cálculos na forma de fração, em vez de se fazer a divisão. Isso se justifica mais ainda nos casos em que os resultados das frações são dízimas periódicas, em que o número tem infinitas casas decimais, sendo necessário aproximá-lo (ex: 2/3=0,6666...). Esse último caso é onde mais se justifica o uso de frações, pois o resultado final tende a ser mais preciso por não ter havido a necessidade de aproximar nenhum número.

CONCLUSÃO: podemos representar as frações de infinitas maneiras. Cabe a nós termos o bom senso de qual forma de representação é a mais adequada a cada problema. Se temos uma fração com dois números grandes (no numerador e denominador), é comum que se faça o processo de simplificação quando esses dois números grandes puderem ser divididos por um mesmo número. E isso não é feito para deixar o exercício mais correto, mas para deixá-lo apenas mais simples.

EXERCÍCIOS 3:

1) Simplifique o máximo possível as seguintes frações


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a) 448/320 b) 112/80 c) 189/135 d) 405/162

2) Simplifique o que for possível nas seguintes equações

a) b) c) d)

SOMA E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Um outro assunto, muito pouco compreendido por alguns alunos, é como deve ser feita a soma ou subtração de duas frações, ou de um número com uma fração. O que veremos é que esse é um assunto muito simples se tratado de maneira lógica e sem regras decoradas.

Vamos começar com um exemplo de fácil compreensão

Sabemos, de antemão, que o resultado dessa soma é igual a 1,5. Mas agora vamos tentar resolver matematicamente.

A maioria dos livros textos ensina que para somarmos ou subtrairmos duas frações ou uma fração e um número, devemos tirar o mínimo múltiplo comum. Nesse caso, o mínimo seria o número 2. Daí resulta que

Para essa soma de 1 + 1/2, a regrinha seria algo como “divide o mínimo múltiplo pelo número de baixo de cada fração e multiplica o resultado pelo número de cima”.

Mas o que veremos a seguir é que essa não é a única maneira de resolver essa soma.Vamos novamente retornar ao caso dos bolos. Considere a figura a seguir.


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Figura 5

Suponhamos que alguém te faz uma pergunta: se pegarmos 1 fatia de cada um dos três bolos, quanto teremos?

Olhando para a Figura 5, vemos que se quer saber quanto de bolo teremos se somarmos as partes pintadas de cada um dos três bolos.

Traduzindo em termos matemáticos a dúvida se resume em qual a soma de 1/2 de bolo, com 1/4 de bolo, com mais 1/8 de bolo?

Obviamente, a resposta não poderia ser: “temos 3 pedaços”. Queremos mais precisão e precisamos saber como somar essas frações conhecidas.

O problema maior é que, como os pedaços são diferentes, não podemos somá-los. Mas então, se o problema é que os pedaços são diferentes, a solução é apenas torna-los IGUAIS.

Como? Cortando todos os bolos em oito partes iguais, como na figura a seguir

Notem que os pedaços continuam os mesmos, sé que os três bolos estão cortados em oito partes iguais. Essa foi uma ótima idéia, porque agora só nos resta contar quantos oitavos de bolo temos pintados. BINGO, resposta: sete oitavos!

Somamos 1/2, com 1/4 e mais 1/8 e, sem fazer conta alguma, chegamos ao resultado de 7/8. Simples e de fácil entendimento. Mas agora vamos discutir um pouco mais a fundo o que fizemos.

Vimos que quando temos pedaços de bolo diferentes, obviamente, não podemos somá-los. Tivemos que achar um jeito de repartir os três bolos em pedaços iguais para, só assim, poder efetuar a soma. E matematicamente, como enxergamos isso?

Quando temos fração, cortar os bolos em fatias idênticas significa deixar o DENOMINADOR das frações a serem somadas, iguais. Vejamos o mesmo caso feito anteriormente. Precisamos saber como somar


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Como já visto, precisamos fazer com que o denominador das três frações seja o mesmo número (isso significa dividir todos os bolos em fatias iguais). Então surge a pergunta: que número seria esse? A resposta é QUALQUER UM.

Mas vocês vão notar que se trabalharmos com algum múltiplo de 2, 4 e 8 (que são os denominadores), não iremos ter problemas de números “quebrados”. Além de ser múltiplo, para deixar o exercício o mais simples possível, seria legal que fosse um múltiplo não muito grande, na verdade, seria ótimo se fosse o mínimo múltiplo. Isso permitiria trabalharmos com números inteiros e os menores possíveis.

Viram que não há regra para somar frações. Somente precisamos achar uma forma de deixar os denominadores com o mesmo número. Vamos exemplificar.

Sabendo que o mínimo múltiplo comum de 2,4 e 8 é o próprio número 8, só precisamos transformar todos os denominadores nesse valor. E fazemos isso de maneira simples, como abaixo

Olhem que interessante. Já vimos anteriormente, no processo de SIMPLIFICAÇÃO de frações, que podemos altera-las simplesmente multiplicando-as por frações que equivalham a 1. Nesse caso, estamos fazendo algo parecido. Na verdade estamos pegando as frações 1/2 e 1/4 e deixando-as mais “complicadas”, ou seja, transformando-as em 4/8 e 2/8 respectivamente. Mas estamos fazendo isso para conseguirmos somar as frações que antes eram “pedaços de bolo diferentes”. Não estamos usando regras, só operações permitidas e raciocínio lógico.

Não é o intuito, complicar, mas gostaria de provar que podemos “dividir o bolo” de qualquer maneira, não precisando ser o mínimo múltiplo comum. Vamos ver, como curiosidade?

Vamos dividir o bolo em quatro partes, isto é, vamos fazer que todos os denominadores fiquem iguais a 4. Notem que 4 não é múltiplo de 8 (e sim o inverso). Fazemos isso da seguinte maneira

É muito fácil observar que chegamos no mesmo resultado. Dividam 7/8 e depois dividam 3,5/4 para ver se não dá o mesmo número!

Vamos para mais exemplos. No início deste item queríamos saber como somar

Utilizando dos conhecimentos obtidos até agora, o objetivo é deixar “os bolos cortados em fatias iguais”. Nesse caso, podemos dividir os dois bolos pela metade, que significa transformar os denominadores no número 2. Assim


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Notem que quando comparada com a expressão original, a única alteração foi ter multiplicado o número 1 que estava somado à 1/2, pela fração 2/2 (em que o resultado é 1 e não altera a soma). Se resolvermos a expressão acima, chegamos a

Vejam que apenas com o conhecimento de matemática que obtivemos até agora, conseguimos resolver a soma de um número com uma fração, chegando ao mesmo resultado quando resolvido pelo método do mínimo múltiplo comum. Isso mostra que não há uma regra única para resolver a soma ou subtração de frações. Adiante, veremos mais exemplos disso.

Vamos um pouco mais além. Os casos vistos anteriormente são relativamente fáceis, pois ou já sabemos de antemão o resultado da soma ou sabemos o mínimo múltiplo comum. Mas o problema é quando temos uma soma como

qual seria o mínimo múltiplo comum de 96 e 81?

Até é possível calcular esse mínimo, só que daria muito trabalho. A verdade é que, matematicamente falando, o mínimo múltiplo comum não é a única maneira para resolver uma soma de frações. Apesar de essa ser a forma, muitas vezes, mais fácil, o que realmente se precisa é colocar todos os números a serem somados, com o mesmo denominador. Isso é fácil de notar, pois em uma simples soma 5 +2 + 6, podemos somar esses números diretamente e chegar ao valor de 13 somente porque os denominadores são iguais. É como se todos esses números estivessem divididos por 1.

Vamos resumir alguns pontos antes de continuar. Primeiro vimos que não é sempre necessário fazer o método do mínimo múltiplo comum para resolver soma ou subtração de frações. Depois foi entendido o porquê é necessário que, para que seja feita a soma ou a subtração de frações, os denominadores devem ser o mesmo (os pedaços dos bolos a serem somados precisam ser iguais). E percebam, o método do mínimo faz exatamente isso, transforma todos os denominadores existentes em apenas um número, mantendo as proporções originais

É óbvio que o método do mínimo múltiplo comum é uma importante ferramenta, pois facilita alguns tipos de cálculo. Mas o problema é: e quando não se lembra direito desse método? E quando você não consegue calcular o mínimo? Por isso é necessário entender matemática e não decorá-la.


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Por fim, voltemos ao caso mais complicado, comentado anteriormente. Como resolvemos uma fração como:

Nesse caso o método do mínimo é muito complicado pelo simples fato de ser difícil de calcular o mínimo. Mas como já vimos que isso não é necessário, uma boa saída é achar um múltiplo qualquer, nem que não seja o mínimo.

Assim, o múltiplo mais fácil de ser encontrado é o resultado da multiplicação entre 96 e 81. A partir desse pensamento, facilmente somamos as frações do seguinte modo

EXERCÍCIO 4

Agora, resolva as somas e subtrações abaixo:

a) b) c) d) e)

f) g) h)

UTILIZANDO FRAÇÕES E PORCENTAGENS

Com relação ao uso de porcentagem e frações, existem três exemplos básicos em que podemos usá-las.

Imaginem que você foi a um bingo beneficente, com certa quantidade de dinheiro. Depois de voltar de lá, existem três perguntas que alguém pode te fazer, dependendo do que acontecer lá.

1. Se você perdeu dinheiro, quanto VOCÊ PERDEU?2. Se você perdeu dinheiro, quanto SOBROU?3. Se você ganhou dinheiro, quanto VOCÊ TEM NO TOTAL?

Para responder a essas perguntas, se pode usar de porcentagem ou fração, conforme os exemplos a seguir. Vamos assumir que foram levados R$50,00 para o bingo.


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CASO 1

Se eu perdi 40% do dinheiro, quanto EU PERDI?É só fazermos uma regra de três:

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 40%

x = 20 reais

Pensando em fração. Se eu perdi 2/5 do dinheiro, quanto EU PERDI?Novamente, fazendo regra de três.

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 2/5

x = 20 reais

OBS1: notem que 40% de alguma coisa é equivalente a 2/5 de algo.OBS2: se tivesse ganho 40% ou 2/5 a mais e quisesse saber quanto ganhei, também seriam essas mesmas contas.

CASO 2

Se eu perdi 40% do dinheiro, quanto SOBROU?Obviamente, se perdi 40%, me sobrou 60%.É só fazermos uma regra de três:

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 60%

x = 30 reais

Pensando em fração. Se eu perdi 2/5 do dinheiro, quanto SOBROU?Obviamente, se perdi 2/5, me sobrou 3/5.Resolvendo pela regra de três.

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 3/5

x = 30 reais

OBS: notem que 60% de alguma coisa é equivalente a 3/5 de algo.


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CASO 3

Se eu ganhei 40%, quanto TENHO NO TOTAL?É só fazermos uma regra de três:

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 140%

x = 70 reais

No caso de fração. Se eu ganhei 2/5, quanto TENHO NO TOTAL?Por regra de três:

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 1 + 2/5

x = 70 reais

Notem que as respostas são idênticas as do CASO 1. A diferença está na quantidade de dinheiro final. No primeiro caso, eu perdi 40% ou 2/5, ficando com apenas R$30,00 dos R$50,00 originais. Neste CASO 3 eu ganhei 40% ou 2/5, ficando com R$70,00 no total.

EXERCÍCIO 5

1) Se tenho R$30,00, quantos Reais correspondem a:a) 60% do total? b) 9,6% do total? c) 1/6 do total? d) 2/9 do total?

2) Se tenho R$55,00, quantos Reais me sobram se perco:a) 72% do total? b) 13,5% do total? c) 1/7 do total? d) 3/10 do total?

3) Tenho R$70,00, com quantos Reais fico se ganhar mais:a) 20%? b) 47,7%? c) 2/7? d) 5/7?

MODO PRÁTICO DE UTILIZAR FRAÇÃO E PORCENTAGEM

Não sou a favor de regrinhas, mas com o uso contínuo de regra de três acabamos vendo que certas situações acabam se repetindo. Já vimos isso quando estudamos álgebra. Vimos que quando, por exemplo, o número 2 estava multiplicando a variável y de um lado da igualdade, dividíamos todos os termos por 2. Com isso, isolávamos o y e o x aparecia sendo dividido por 2. Depois de um certo tempo de prática, o que acontece é que usamos uma regra muito


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ensinada, mas que confunde quem não aprende da maneira correta: quando um número está multiplicando uma variável, passa dividindo do outro lado da igualdade.

Aqui, depois de utilizarmos da regra de três, tiraremos uma conclusão para casa um dos três casos de fração e porcentagem. Vejamos.

CASO 1

Voltemos ao mesmo caso anteriormente utilizado.Se eu perdi 40% do dinheiro, quanto EU PERDI?

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 40%

antes de chegarmos ao resultado, vamos montar como ficaria essa conta

que é igual a

Notem que independentemente do valor total de dinheiro, quando quero saber quanto é 40% de certa quantia, ela sempre será multiplicada por 0,4.

Disso nós tiramos uma regrinha, que pode ser vista na tabela abaixo.

Se quero achar Multiplico por90% 0,933% 0,3315,2% 0,1529,54% 0,09540,25% 0,0025

No caso de fração, é ainda mais fácil.Vejamos o mesmo exemplo anteriorSe eu perdi 2/5 do dinheiro, quanto EU PERDI?Novamente, fazendo regra de três.

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 2/5

de onde sai que


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Portanto, independentemente da quantidade de dinheiro, se quero saber quanto é 2/5 de alguma quantidade, é só multiplicar por 2/5. Se quer saber quanto é 3/7, é só multiplicar por 3/7. E assim por diante.

CASO 2

Voltando novamente ao exemplo anterior, vejamos.Se eu perdi 40% do dinheiro, quanto SOBROU?

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 60%

de onde sai que

Se perdi 40%, sabemos que nos sobrou 60%. Então, necessitamos saber quanto é 60% dos R$60,00. Agora é só aplicar o mesmo raciocínio do CASO 1, e multiplicar por 0,6. Veja o exemplo da tabela.

Se perdi Multiplico por90% 0,133% 0,6715,2% 0,8489,54% 0,90460,25% 0,9975

Novamente, com fração é mais simplesSe eu perdi 2/5 do dinheiro, quanto SOBROU?

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 3/5

Ou seja, se perdi 2/5, sobrou 3/5. Se quero achar essa fração, volta no CASO 1, faltando apenas multiplicar o valor total por 3/5.


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CASO 3

Nesse último caso, também utilizaremos os exemplos anteriores.Se eu ganhei 40%, quanto TENHO NO TOTAL?

50 ----------------------------- 100%x ------------------------------ 140%

Desenvolvendo a regra de três, temos.

o que nos dá

Isso nos fornece uma regra prática. Independentemente do valor total, se queremos saber qual o valor final de certo valor, mais 40%, é só multiplicarmos por 1,4. Veja na tabela a seguir, outros exemplos.

Se ganhei Multiplico por90% 1,933% 1,3315,2% 1,1529,54% 1,09540,25% 1,0025

Vejamos no caso de fração.Se eu ganhei 2/5, quanto TENHO NO TOTAL?

50 --------------------------- 1x ---------------------------- 1 + 2/5

de onde temos que

Mais uma vez, independentemente do valor total, se queremos saber com quanto ficaremos no total, depois de um aumento de 2/5, é só multiplicarmos pela fração aumentada (no caso, 2/5) somada ao número 1. Veja a tabela abaixo

Se ganhei Multiplico por1/4 5/42/7 9/73/8 11/84/13 17/13

EXERCÍCIO 6


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1) Se tenho R$235,00, quantos Reais correspondem a:a) 70% do total? b) 2% do total? c) 3,7% do total?d) 0,7% do total? e) 0,047% do total? f) 8/11 do total? g) 1/3 do total? h) 3/7 do total? i) 3/13 do total?

2) Se tenho R$420,00, quantos Reais me sobram se perco:a) 80% do total? b) 3% do total? c) 4,7% do total?d) 0,8% do total? e) 0,028% do total? f) 2/3 do total? g) 4/5 do total? h) 3/11 do total? i) 12/19 do total?

3) Tenho R$320,00, com quantos Reais fico se ganhar mais:a) 20% b) 47,7% c) 50,26% d) 2,7% e) 0,5% f) 1/2 g) 2/3 h) 5/4i) 2/9 j) 9/11

GABARITO DOS EXERCÍCIOS


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EXERCÍCIO 1a) 3 b) 3 c) 8 d) 3

EXERCÍCIO 2a) 3 b) 2 c) 2 d) 40/21

EXERCÍCIO 31)a) 7/5 b) 7/5 c) 7/5 d) 5/2

2)

a) b) c) d)

EXERCÍCIO 4a) 51/2 b) 22/35 c) –32/9 d) 5 e) 10/3 f)83/140 g)31/420

h) –17/39

EXERCÍCIO 51) a) R$ 18,00 b) R$ 2,88 c) R$ 5,00 d) R$ 6,66

2) a) R$ 15,40 b) R$ 47,57 c) R$ 47,14 d) R$ 38,50

3) a) R$ 84,00 b) R$ 103,39 c) R$ 90,00 d) R$ 120,00

EXERCÍCIO 61) a) R$ 164,50 b) R$ 4,70 c) R$ 8,69 d) R$ 1,64 e) R$ 0,11 f) R$ 170,90 g) R$ 78,33 h) R$ 100,71 i) R$ 54,23

2) a) R$ 84,00 b) R$ 407,40 c) R$ 400,26 d) R$ 416,64 e) R$ 419,88 f) R$ 140,00 g) R$ 84,00 h) R$ 305,45 i) R$ 154,74

3) a) R$ 384,00 b) R$ 472,64 c) R$ 480,83 d) R$ 328,64 e) R$ 321,60 f) R$ 480,00 g) R$ 533,33 h) R$ 720,00 i) R$ 391,11 i) R$ 581,81

MATEMÁTICA – PROF. ELISSON DE ANDRADEEXERCÍCIOS EXTRAS SOBRE FRAÇÕES


21

1) Isole o y e dê a resposta com as frações da maneira mais simplificada possível

a) b) c)

2) Multiplique ou divida as frações abaixo, dando a resposta na fração mais simplificada possível

a) b) c) d) e) f)

3) Faça a soma ou subtração das frações abaixo e dê a resposta da maneira mais simplificada possível

a) b) c) d)

RESPOSTAS:

1)

a) b) c)

2)

a) b) 1 c) d) e) f)

3)

a) b) c) d)

EXERCÍCIOS DE PORCENTAGEM

1) Posso aplicar R$350,00 nas alternativas abaixo. Qual é melhor?


22

Aplicação Mês 1 Mês 2 Mês 3 Saldo1 +10% -10% +1% 349,962 -1/7 +2/3 -2/5 300,003 +25,5% -1/3 -0,5% 291,374 -2,8% +3/8 -2/5 280,665 +3,58% -1/5 +1/4 362,53

2) Posso aplicar X reais em 5 investimentos distintos. Classifique do melhor para o pior e meça, percentualmente, o ganho/prejuízo de cada um.

Investimento Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Índice Ganho/perda1 +20% -3/5 +2,2% +1/3 0,6540 -34,60%2 -3,5% -25% +4/7 +2% 1,1600 16,00%3 -5/7 +15% +3/5 +50% 0,7885 -21,14%4 +7/13 +0,8% -1/5 -2,5% 1,2096 20,96%5 +1,5% -1/11 +2/13 -3,5% 1,0274 2,74%

3) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$200,00, acrescendo a esse valor 50% de lucro. Certa vez, na venda desse produto, o comerciante ofereceu 40% de desconto sobre o preço de venda. Dessa forma, ele obteve lucro ou prejuízo? Prejuízo de R$20,00

4) Em uma empresa há 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de funcionários. Quantos homens trabalham nesta empresa? 345

5) Ao comprar uma mercadoria obtive um desconto de 8%, pagando somente R$690,00. Qual era o preço original? R$750,00

6) Em 2002 o lucro de certa empresa foi igual a 3/4 do lucro em 2003. Sabendo que o lucro de 2002 foi de R$5.200,00, qual o lucro de 2003? R$6.933,33

7) Em uma aplicação, uma pessoa ganhou no primeiro mês 3/7 sobre o valor inicial. Depois, ganhou mais 1/5 sobre o total do primeiro mês. Em %, qual foi o ganho total? 71,42%

8) Um produto custava X reais em janeiro. Em fevereiro seu preço baixou em 3% e em março diminuiu mais 5%. Em porcentagem, qual foi o total de queda de preço deste produto? 7,85%

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA – PROF. ELISSON

Exercícios sobre porcentagem


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1. Fui comprar um sofá de R$1880,00 e ganhei um desconto de 15%. Quanto paguei pelo sofá?

2. Um carro que custava R$11.300,00 teve um aumento de 6,3%. Para quanto foi o preço do carro?

3. Comprei um chapéu que custava R$50,00, mas ganhei 12,5% de desconto. Quanto, em reais, economizei?

4. Depositei R$560,00 na poupança. No primeiro mês o valor depositado cresceu em 0,8%. Esse montante (dinheiro inicial mais os ganhos) continuou na poupança e rendeu mais 1,3% no segundo mês. Continuei com o dinheiro na conta, e no terceiro mês, sobre todo o dinheiro que eu possuía, consegui um ganho de mais 1%. Com quanto dinheiro fiquei ao final do terceiro mês?

5. Tenho R$530,00. No primeiro dia gasto 0,8% desse valor. No segundo gasto 1,5% do valor que sobrou do primeiro dia. Com quanto de dinheiro fiquei no final?

6. Tenho um salário de X reais. Se passado um tempo tenho um aumento salarial proporcional a 1/3 do meu salário, e tempos depois, esse valor resultante é diminuído em 2/5. Pergunta-se: quanto estarei ganhando no final do período?

RESPOSTAS: 1) R$1598,00; 2) R$12011,90; 3) R$6,25 4) R$ 577,54; 5) R$517,87; 6) estarei ganhando 80% do valor de X

EXERCÍCIOS SOBRE PORCENTAGEM

1) Uma geladeira custava R$950,00. Se o vendedor der 8,5% de desconto, quanto custará o produto ao cliente? R: 869,25


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2) Um carro, que custava R$23.000,00 sofreu um reajuste no seu preço de 2,5%. O município cobra um imposto igual a 0,8% sobre o preço de venda. Portanto, quantos reais será cobrado de imposto, dado o novo preço? R: 188,60

3) Mariazinha possuia 120 balas. Deu 20% do total para um amigo. Do que sobrou, comeu 25%. Quantas balas sobraram? R: 72 balas

4) O que é mais vantajoso para um cliente, um desconto de 40% ou dois descontos sucessivos de 20%? Prove.

5) Uma mercadoria que custava R$ 2400 sofreu um aumento passando a custar R$ 2700. A taxa de aumento foi de que percentual? R: 12,5%

6) Um produto teve dois aumentos consecutivos de 20%. Qual foi o total de aumento?7) Numa mistura de 80 kg de areia e cimento, 20% é cimento. Se acrescentarmos mais 20

kg de cimento, qual será a sua porcentagem na nova mistura? R: 36%8) Um objeto foi vendido por R$ 10000, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. O

objeto foi comprado por qual valor? R: 12.500,009) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada

em R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. Qual a quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado? R: 136.000,00

10) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto aos números positivos:

- em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10% e - em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.

Qual foi a variação em todo o período considerado? R: redução de 1%11) Se tenho R$2400,00, ganho mais 1/5 e depois ganho mais 2/9, qual foi a porcentagem

do ganho? R: 46,6%

12) Uma TV custa R$500,00. Um aparelho de DVD custa 15% a menos que a TV, para pagamento em 1 mês. Se eu decidir comprar o DVD à vista, consigo 5% de desconto. Se eu pagar depois de 3 meses, pago 8,5% a mais do que pagaria se comprasse o DVD à vista. Pergunta-se: a) quanto custa o DVD à vista? b) quanto custará o DVD se pagar depois de 3 meses? c) em porcentagem, qual a diferença entre o preço a ser pago em 1 mês para o preço a ser pago em 3 meses? a) R$403,75, b) R$ 438,07, c) o preço em 3 meses é aproximadamente 3% maior que o preço em 1 mês

13) Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 25%, 10%, 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. Qual o desconto obtido no valor total da compra? R: 12,5%

Exercícios com porcentagem


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1) Um indivíduo possuía R$880,00, perdeu 7,5% e depois pedeu mais 11,5%. Qual a porcentagem de perda total? Quantos R$ sobraram?

2) Um funcionário ganhava R$723,00 de salário. Agora passará a receber R$749,00. Qual a porcentagem de aumento?

3) O preço de um produto era R$108,00. Primeiro recebeu um desconto de 1/9 sobre esse preço. Tempos depois recebeu outro desconto de 1/8. Quanto ficou custando o produto no final? Qual a porcentagem total do desconto?

4) Ao dar um aumento de 3/13 no preço de um produto, de quanto foi esse aumento em termos percentuais?

5) Um investidor aplicou R$53.434,00 em ações. Qual foi o ganho/perda em termos percentuais, de todo o período de 4 meses (siga a tabela abaixo)Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4+0,8% -1,3% +0,5% -0,2%

6) Um vendedor quer 20% de lucro sobre o preço de venda de um produto. Se ele adquiriu o produto ao preço de R$240,00, por quanto irá vendê-lo?

7) DESAFIO: uma empresa abaixou o salário de seus funcionários em 5,83%. Com esse salário menor, qual deveria ser o aumento para que o salário volte ao mesmo valor inicial?

RESPOSTAS:1) Perdeu 18,14%, equivalente a R$720,392) 3,6%3) Preço final de R$84,00, com desconto de 22,22%4) 23,07%5) Perda de 0,21%6) R$300,007) 6,19%

Revisão da Prova 1 - MatemáticaProf. Elisson de Andrade


26

1) Isole o y nas seguintes funções, dando a resposta da maneira mais simplificada possível:

a) b) c) d) e)

2) Calcule os valores de y, na forma de fração (e da maneira mais simplificada possível).

a) b) c)

3) Some as frações abaixo e dê as respostas da maneira mais simplificada possível

a) b)

4) Divida as frações a seguir e dê a resposta da maneira mais simplificada possível

a) b)

5) Se o preço de um produto aumenta em 25%, duas vezes consecutivas, qual foi o ganho total?

6) Um produto custava R$450,00. Primeiro foi dado um aumento em seu preço de 5%, e em seguida foi dado um desconto de 10%. Em porcentagem, qual foi o desconto dado, considerando o preço inicial?

7) Uma aplicação de X reais rendeu: no primeiro mês +1,2%; no segundo mês -2,3%; no terceiro mês; +3%; e no quarto mês rendeu -2,6%. Expresse, em porcentagem, o ganho ou perda.

8) Joãozinho possuía R$130,00. Deu certa quantia para Mariazinha, sobrando para ele 80% do total. Mariazinha, por sua vez, pegou o que João lhe dera e comprou um presente. Tal presente custou 40% do que menina possuía. Pergunta-se: quantos Reais custou o presente?

9) Um funcionário teve uma redução salarial de 12%, passando a ganhar apenas R$540,00. Pergunta-se: quanto ele ganhava antes da redução?

10) Se dou dois aumentos consecutivos de 1/3, em porcentagem, expresse o aumento total.

11) Se tivesse R$200,00, considere três situações distintas. Primeira: se eu ganhasse 32% a mais desse valor, com quantos Reais eu ficaria? Segunda: se eu perdesse 17,5% do dinheiro inicial, qual teria sido o valor da minha perda? Terceira: se eu perdesse 13% do dinheiro inicial, quanto me sobraria?


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