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Resolução da Ficha de trabalho de Matemática A – 11º ano
Trigonometria
31/ 01 / 2012
1. O António está no ponto A e pretende conhecer a largura do rio e a altura do prédio que está na outra margem. Para isso, efectuou as seguintes medições:
Qual a largura x do rio e a altura y do prédio?
{ tg38 ˚= yx
tg25 ˚= y20+x
⇔ { y=xtg 38 ˚
tg 25˚= xtg38 ˚20+x
⇔ { y=xtg38 ˚20 tg 25˚+x tg25 ˚=x tg38 ˚
⇔ { y=xtg38 ˚x ( tg25 ˚−tg 38 ˚ )=−20 tg 25˚
⇔ { y=xtg 38 ˚
x= −20tg25 ˚−tg38 ˚
⇔ {y=23,13x=29,61
2. A cidade A dista da cidade B 32km e da cidade C 12km.O ângulo BAC é de 40º.Qual a distância da cidade B à cidade C?
sen40 ˚= x12 x=12 sen 40 ˚ x=7,7
cos 40 ˚= AD12 AD=12cos40 ˚ AD=9,1
y=BD=32−AD=32−12cos40 ˚=22,8
BC=√x2+ y2=√7,72+22,82=24,1
3. A grande pirâmide do Egipto tem uma base quadrada de 230,4 m e 124m de altura.
a) Determina o ângulo VEF. ∆(VEF) é rectângulo em F
FE=230,42 = 115,2 e VF=142
tg α= 142115,2
⇔ α=50˚
b) Determina a área lateral da pirâmide.
senα=142VE ⇔ VE= 142
senα⇔VE=182,8
Al=4× A∆ (BVC )=4×230,4×182,4
2=84258m2
4. Um pentágono regular está inscrito num círculo de raio 40 cm.Determina o perímetro e a área do pentágono.
360˚5
=72 ˚
72˚2
=36 ˚
sen36 ˚= x40 x=40×sen36 ˚
cos36 ˚= y40 y=40×cos36 ˚
PerímetroP=5×2x=10×40 sen36 ˚=235,1cm
Área
A=5× 2 xy2
=5׿
5. Resolva em R cada um adas seguintes equaçõesa) √2+2 sen x=0
√2+senx=0senx=−√22
senx=sen(−π4 )
x=−π4
+2kπ ˅x=π+ π4+2kπ , k∈Z
x=−π4
+2kπ ˅x=5 π4
+2kπ ,k∈Z
b) sen (2x )=−sen (3 x)
sen (2x )=−sen (3 x) sen (2x )=sen (−3 x)
2 x=−3 x+2kπ ˅2x=π−(−3 x )+2kπ ,k∈Z
5 x=2kπ ˅−x=−π+2kπ ,k∈Z
x=2π5 +2kπ ˅x=−π+2k π , k∈Z
c) 2cos2 x+cosx=0
2cos2 x+cosx=0 cosx (2 cosx+1 )=0 cosx=0˅2cosx+1=0
cosx=0˅cosx=−12
cosx=cos( π2 )˅cosx=−12
cosx=cos( π2 )˅cosx=cos ( 2π3 )
x=π2+kπ˅ x=2π
3+2kπ˅ x=−2π
3+2kπ , k∈Z
6. Na figura está representado um quadrado [ABCD] de lado 2.
Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em
radianos, do ângulo BAP(x ∊ ¿∏4 , ∏2
¿
a) Mostre que a área da região sombreada é dada por 4− 2tgx
A□=22=4
D P A=D A B=x
tgx= ADDP tgx= 2
DP DP= 2tgx
A∆=AD+DP2
=
2∗2tgx2
= 2tgx
A sombreada=A□−A∆= 4- 2tgx
b) Determine o valor de x para o qual a área da região
sombreada é 12−2√33
4− 2tgx
=12−2√33
4− 2tgx
=4−2√33
2tgx
=−2√33
tgx= 3√3 tgx=√3
Como x∈ ¿ π4, π2
¿ , x=π3
c) Para um certo valor de x, sabe-se que cos (x+∏2 )=−15
17
Para esse valor de x determine a área da região sombreada.
cos (x+ π3 )=−15
17 −senx=−1517 senx=15
17
sen2x+cos2x=1( 1517 )2
+cos2 x=1cos2 x=1−225289 cos2x= 64
289
Como x∈ ¿ π4, π2
¿ , x= 812
tgx= senxcosx
=
1517817
=158
A sombreada=4−2tgx
=4− 2158
=4−1615
=4415