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Sumrio

Aula 1: Vetores Geomtricos 13

1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Transitando pelas denies . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Medida de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Segmentos eqipolentes . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Propriedades da eqipolncia . . . . . . . . 18

1.5 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Mais algumas denies . . . . . . . . . . . 19

1.6 Operaes com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 Adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2 Propriedades da adio . . . . . . . . . . . 21

1.6.3 Diferena de vetores . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.4 Multiplicao por um nmero real . . . . . 22

1.6.5 Propriedades da multiplicao por um n-

mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 ngulos de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Comentrio das atividades . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Aula 2: Os Espaos Vetoriais 31

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Decomposio de um vetor no Plano (R2) . . . . . 32

2.3 Igualdade e Operaes . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Operaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Decomposio do Espao (R3) . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Igualdade e Operaes . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


2.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Aula 3: Produto de Vetores - Parte I 49

3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . 52

3.2.2 Projeo de um vetor . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


3.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Aula 4: Produto de Vetores - Parte II 63

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . 67

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77


4.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Aula 5: A Reta 81

5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Equao vetorial da reta . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Equaes paramtricas da reta . . . . . . . . . . . 84

5.4 Reta denida por dois pontos . . . . . . . . . . . . 85

5.5 Equaes simtricas da reta . . . . . . . . . . . . . 86

5.6 Equaes reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . 87

5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos e eixos co-

ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados . . . 89

5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados . . . 90

5.8 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 91

5.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96


5.12 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Aula 6: O Plano 99

6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2 Equao geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3 Equao vetorial e Equaes paramtricas do plano 102


6.4.1 Interseo (entre planos e entre retas e planos)107

6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


6.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Aula 7: Distncias 111

7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2 Distncia de ponto reta . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Distncia de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . 113

7.3.1 Distncias de ponto reta no plano . . . . 116

7.4 Distncia entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 117

7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Comentrio das Atividades . . . . . . . . . . . . . 121

7.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Aula 8: Cnicas - Parte I 123

8.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2 Um pouco de Histria . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 Conceituando as cnicas . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.4 Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5 Translao dos eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136


8.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Aula 9: Cnicas - Parte II 139

9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.3 Equao reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.4 Translao da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.5 Equaes paramtricas da elipse . . . . . . . . . . . 147

9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.8 Comentrio sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 151

9.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Aula 10: Cnicas - Parte III 153

10.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.2 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.3 Equaes reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.4 Translaes de uma hiprbole . . . . . . . . . . . . 164

10.5 Equaes paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.8 Comentrio sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 170

10.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Aula 11: Mudana de Coordenadas no Plano 171

11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.2 Mudanas de Coordenadas - Rotao e Translao

da Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.3 Obtendo as coordenadas antigas em funo das novas177

11.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


11.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Aula 12: Formas Quadrticas 185

12.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

12.2 Mudando as coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 188

12.3 A equao caracterstica, autovalores e autovetores 188


12.4.1 Observando o produto das razes da equao

do segundo grau. . . . . . . . . . . . . . . . 192

12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12.6 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198


12.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Aula 13: A Equao Geral do Segundo Grau 201

13.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

13.2 Relembrando mudana de coordenadas . . . . . . . 202

13.3 Vamos analisar quando AC B2 = 0. . . . . . . . 20513.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


13.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Aula 14: Transformaes Lineares 213

14.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14.2 Transformaes no plano . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.3 Transformaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . 222

14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231


14.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Aula 15: Mudana de Coordenadas no Espao 235

15.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

15.2 Mudana de sistema de coordenadas no espao . . 236

15.3 Transladando a origem do sistema . . . . . . . . . 239

15.4 As matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 242

15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244


15.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Aula 16: Qudricas Centrais 247

16.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

16.2 Qudricas centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

16.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259


16.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Aula 17: Completando Quadrados 263

17.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2 Completando quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 265

17.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

17.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273


17.6 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Aula 18: Equao Geral do Segundo Grau no Espao 277

18.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

18.2 A, B e C so diferentes de zero . . . . . . . . . . . 279

18.3 Apenas um dos coecientes A,B,C zero e os ou-

tros dois tm o mesmo sinal . . . . . . . . . . . . . 279

18.4 Apenas um dos coecientes A,B,C nulo e os ou-

tros dois tm sinais opostos . . . . . . . . . . . . . 281

18.5 Um dos coecientes A,B,C diferente de zero e os

outros dois so nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

18.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287


18.9 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Aula 19: Transformaes Lineares no Espao 289

19.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

19.2 Transformaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . 290

19.3 Transformaes lineares em R3 . . . . . . . . . . . 293

19.3.1 Transformaes ortogonais . . . . . . . . . . 298

19.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

19.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304


19.7 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Aula 20: Aplicaes de Transformaes Lineares 309

20.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

20.2 Aplicaes ptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

20.3 Projeo do espao tridimensional no plano . . . . 314

20.4 Codicando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . 317

20.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

20.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320


20.8 Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

1AULA

2LIVRO

Vetores Geomtricos

META

Introduzir a denio de vetor.

OBJETIVOS

Identicar vetores no plano e no

espao e suas propriedades. Efetuar

operaes com vetores (adio, dife-

rena e multiplicao por escalar).

Vetores Geomtricos

1.1 Introduo

Seja bem-vindo, caro aluno! Este o nosso primeiro encontro, entre

tantos que esto por vir. A partir de agora, voc vai conhecer um

pouco sobre Geometria Analtica.

Nascida das diversas necessidades das tcnicas da agrimensura

e da arquitetura, a Geometria Clssica, muito estudada por diver-

sos intelectuais, toma uma nova roupagem. A Geometria Analtica,

por sua vez, baseia-se na idia de representar os pontos da reta por

nmeros reais, os pontos do plano por pares ordenados de nme-

ros e os pontos no espao por ternos ordenados de nmeros reais.

Nesta concepo, as linhas e as superfcies, no plano e no espao,

so descritas por meio de equaes, permitindo um tratamento al-

gbrico de questes de natureza geomtrica e, reciprocamente, um

tratamento geomtrico de algumas situaes algbricas.

Por volta de 1637, a criao da Geometria Analtica deve-se a

dois matemticos franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e Ren

Descartes (1596-1650), simultaneamente. E o mais curioso nesta

histria que ambos eram graduados em Direito, nenhum deles

matemtico prossional. Esta interao entre Geometria e lge-

bra foi responsvel por diversas descobertas na Matemtica e suas

aplicaes.

Neste nosso primeiro encontro, voc vai conhecer um dos ele-

mentos principais da Geometria Analtica: os vetores, seu conceito

geomtrico, a denio das operaes que podem ocorrer entre eles,

alm de suas propriedades. Tambm vai compreender que muitas

grandezas fsicas, como velocidade, fora, deslocamento e impulso

precisam da magnitude, da direo e do sentido para serem com-

14

Vetores e Geometria Analtica: Livro 1

1AULA

pletamente identicadas. Essas grandezas so chamadas grandezas

vetoriais ou simplesmente vetores.

Ser que deu para aguar um pouquinho a sua curiosidade?

Quer saber mais? Ento venha conosco para a nossa primeira

etapa.

1.2 Transitando pelas denies

Esta aula est segmentada em duas partes. Nesta primeira, vamos

apresentar para voc, caro aluno, algumas denies que sero

fundamentais para a compreenso da etapa seguinte.

Denio 1.1. [Reta orientada - eixo] Uma reta r orientada

quando se xa nela um sentido de percurso considerado positivo

e indicado por uma seta. O sentido oposto negativo. Uma reta

orientada denominada eixo.

Denio 1.2. [Segmento orientado] Um segmento orientado

determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado

origem do segmento e o segundo, extremidade.

O segmento orientado de origem A e extremidade B ser re-

presentado por AB e geometricamente indicado por uma seta que

caracteriza de forma visual o sentido do segmento (ver gura 1.2).

Denio 1.3. [Segmento nulo e oposto]

15

Vetores Geomtricos

Figura 1.1: Segmento orientado AB

1. Um segmento nulo aquele cuja extremidade coincide com

a origem.

2. Se AB um segmento orientado, o segmento orientado BA

oposto de AB.

1.3 Medida de um segmento

Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada

segmento orientado um nmero real no negativo. A medida do

segmento orientado o seu comprimento ou seu mdulo. O

comprimento do segmento AB indicado por AB. [htb!]

Figura 1.2: Nesta ilustrao o segmento orientado u representa o

comprimento unitrio.

Observao 1. (a) Os segmentos nulos tm comprimentos igual

a zero.

(b) AB = BA.

16


1AULA

Dois segmentos orientados no nulos, AB e CD, tm a mesma

direo se as retas suportes desses segmentos so paralelas ou coin-

cidentes.

Figura 1.3: Segmentos orien-

tados de mesma direo.

Figura 1.4: Segmentos orien-

tados opostos.

As prximas guras ilustram segmentos orientados que so

coincidentes (isto , ambos os segmentos esto na mesma reta).

Figura 1.5: Figura 1.6:

1.4 Segmentos eqipolentes

Denio 1.4. Dois segmentos orientados AB e CD so eqi-

polentes quando tm a mesma direo, o mesmo sentido e o

mesmo comprimento (veja nas guras (1.7) e (1.8)). Sempre que

os segmentos AB e CD forem eqipolentes, sero representados

por AB CD.

Para que o segmento AB seja eqipolente a CD (na gura

17

Vetores Geomtricos

Figura 1.7:

Figura 1.8: Neste caso, os seg-

mentos AB e CD no perten-

cem mesma reta.

(1.8)), necessrio que AB//CD e ABCD formem um paralelo-

gramo.

1.4.1 Propriedades da eqipolncia

Agora que voc j sabe o que um segmento eqipolente, vamos

apresentar-lhe as suas propriedades.

(i) AB AB (reexiva).

(ii) Se AB CD, ento CD AB (simtrica).

(iii) Se AB CD e CD EF , ento AB EF (transitiva).

(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um

nico ponto D, tal que AB CD.

1.5 Vetores

Vetor determinado por um segmento orientado AB o conjunto de

todos os segmentos orientados eqipolentes a AB. Esse conjunto

indicado por ~v .

18


1AULA

O vetor determinado por AB denotado por:AB ou B Aou ~v.

Observao 2. Qualquer vetor

AB um representante do conjunto

vetores desde que tenha a mesma direo, mesmo sentido e com-

primento de AB.

Indicamos o mdulo (ou magnitude) de ~v por |~v|.

1.5.1 Mais algumas denies

Vetores iguais - Dois vetores

AB e

CD so iguais se, e somente

se, AB CD.

Vetor nulo - Os segmentos nulos, por serem eqipolentes entre

si, determinam um nico vetor, chamado de vetor nulo ou

vetor zero, indicado por

~0.

Vetores opostos - Dado ~v =AB, o vetor

BA o oposto de

AB

e o indicamos por AB ou ~v.

Vetor unitrio - ~v unitrio se |~v| = 1.

Versor - O versor de um vetor no nulo ~v o vetor unitrio de

mesma direo e mesmo sentido de ~v. (Veja a gura (1.9).)

19

Vetores Geomtricos

Figura 1.9: ~u1 e ~u2 so uni-

trios, mas ~u1 tem a mesma

direo de ~v. Portanto, ~u1

versor de ~v.

Figura 1.10: Neste caso, ~u, ~v

e ~w pertencem ao plano pi.

Figura 1.11: ~u, ~v e ~w no so

coplanares. Figura 1.12: ~s = ~u+ ~v

Vetores colineares - ~u e ~v so considerados vetores colineares

se tiverem a mesma direo. Em outras palavras, ~u e ~v so

colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes

mesma reta ou em retas paralelas.

Vetores coplanares - se os vetores no nulos ~u,~v e ~w tm re-

presentantes AB, CD e EF pertencentes ao mesmo plano,

dizemos que so coplanares. (Veja a gura (1.10)).

20


1AULA

1.6 Operaes com vetores

Agora que voc j est mais entrosado com o contedo de nossa

aula, pois j conheceu alguns conceitos importantes, podemos avan-

ar um pouquinho mais. Vamos apresentar para voc, nesta se-

gunda parte de nossa aula, os mecanismos para efetuar as opera-

es com vetores.

1.6.1 Adio

Denio 1.5. Sejam os vetores ~u e ~v representados pelos seg-

mentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um

vetor ~s, que a soma dos vetores ~u e ~v, ou seja,

~s = ~u+ ~v.

Veja a gura (1.13).

Figura 1.13: ~u = ~AB, ~v = ~BC e ~s = ~AC.

1.6.2 Propriedades da adio

Sejam ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, valham:

Comutativa - ~u+ ~v = ~v + ~u

Associativa - (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)

21

Vetores Geomtricos

Elemento Neutro - Existe um elemento

~0, tal que

~v +~0 = ~0 + ~v = ~v, ~v.

Inverso Aditivo - Para todo vetor ~v existe um nico vetor ~v(vetor oposto de ~v), tal que

~v + (~v) = (~v) + ~v = ~0.

1.6.3 Diferena de vetores

Denio 1.6. Dizemos que

~d a diferena de dois vetores ~u e

~v se ~d = ~u ~v, ou seja,~d = ~u+ (~v).

Nas guras (1.14) e (1.15) esto representados os vetores ~u e ~v,

respectivamente, pelos segmentos orientados AB e AC. ABCD

um paralelogramo cujas diagonais AD e BC representam, respec-

tivamente, ~s e ~d (soma e diferena).

Figura 1.14: ~s = ~u+ ~v Figura 1.15: c

1.6.4 Multiplicao por um nmero real

Denio 1.7. Dados um vetor ~v 6= ~0 e um nmero real k 6= 0,chamamos de produto do escalar k pelo vetor ~v o vetor ~p = k~v, tal

que:

22


1AULA

1. [Mdulo] |~p| = |k~v| = |k||~v|;

2. [Direo] a mesma de ~v;

3. [Sentido]

o mesmo de ~v se k > 0,o contrrio de ~v se k < 0.

Se k = 0 ou ~v = ~0, o produto ~0.

Seja um vetor k~v, em que ~v 6= ~0. Fazendo com que k variesobre R (o conjunto dos nmeros reais), obtemos os inni-

tos vetores colineares a ~v (alm de serem tambm colineares

entre si). Por outro lado, para quaisquer dois vetores ~u e ~v,

colineares, sempre existe um k R, tal que

~u = k ~v.

O versor de ~v 6= ~0 o vetor unitrio ~u = 1|~v| ~v ou ~u =~v

|~v| .

Veja que

|~u| = ~v|~v|

= |~v||~v| = 1,para todo ~v 6= ~0. Assim, temos que ~v = |~v| ~u, ou seja, todo vetor o produto de seu mdulo pelo vetor unitrio de mesma direo e

mesmo sentido que ~v.

23

Vetores Geomtricos

1.6.5 Propriedades da multiplicao por um nmero

real

Sejam ~u e ~v vetores quaisquer e a e b nmeros reais (tambm

conhecidos como escalares). Assim, temos as seguintes proprieda-

des:

Associativa: a(b~v) = (ab)~v;

Identidade: 1~v = ~v;

Distributividade em relao aos escalares: (a + b)~v =

a~v + b~v;

Distributividade em relao aos vetores: a(~v+~u) = a~v+

a~u.

bom que voc atente para os exemplos que lhe apresentamos,

pois so fundamentais para auxili-lo na resoluo dos exerccios

ao nal desta aula.

Exemplo 1.6.1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na gura a

seguir, vamos construir o vetor 2~u 3~v + 12~w = ~s.

24


1AULA

Figura 1.16: Soluo, ~s =

2~u 3~v + 12~w.

1.7 ngulos de dois vetores

Denio 1.8. O ngulo de dois vetores ~u e ~v no nulos o

ngulo formado pelas semi-retas OA e OB, como na gura (1.8),

e tal que 0 pi.

Se = pi, ~u e ~v tm a mesma direo e sentidos contrrios.

Se = 0, ~u e ~v tm a mesma direo e mesmo sentido.

25

Vetores Geomtricos

Se = pi2, ~u e ~v so ortogonais (isto , so perpendiculares),

e denotamos por ~u~v. Neste caso, temos que |~u + ~v|2 =|~u|2 + |~v|2.

O vetor ~0 considerado ortogonal a qualquer vetor.

Se ~u ortogonal a ~v e m um nmero real qualquer, ~u ortogonal a m~v.

1.8 Resumo

Nesta aula, voc aprendeu que o segmento orientado no plano re-

presenta um objeto geomtrico: o vetor, que por sua vez pode ser

representado algebricamente e, como conseqncia, possibilita de-

nir operaes como adio, diferena e produto por um escalar.

26


1AULA

Alm disso, voc aprendeu que existe um ngulo entre dois vetores,

ainda que suas extremidades no coincidam.

1.9 Atividades

1. Decida se verdadeira ou falsa cada uma das armaes a

seguir.

(a) Se ~u = ~v, ento |~u| = |~v|.

(b) Se |~u| = |~v|, ento ~u = ~v.

(c) Se ~u ~v, ento ~u = ~v.

(d) Se ~u = ~v, ento ~u ~v.

(e) Se |~w| = |~u|+ |~v|, ento ~u ~v e ~w so paralelos.

(f) Se

AB =

DC, ento ABCD (vrtices nesta ordem)

paralelogramo.

2. Dados os vetores ~u e ~v da gura, mostrar um representante

do vetor atravs de um grco: (a) ~u ~v

(b) ~v ~u

(c) ~v 2~u

(d) 2~u 3~v

3. Determine o vetor ~x em funo de ~u e ~v nas guras a seguir.

27

Vetores Geomtricos

(a) (b) (c)

4. Dados trs pontos A, B, C no-colineares, como na gura a

seguir, representar o vetor ~x nos seguintes casos:

(a) ~x =BA+ 2

BC;

(b) ~x =12CA+ 2

BA;

(c) ~x =AC +

CB AB.

5. Sabendo que o ngulo entre os vetores ~u e ~v de 30o, deter-

minar o ngulo formado pelos vetores a seguir.

(a) ~u e ~v (b) ~u e 2~v (c) ~u e ~v (b) 3~u e 5~v

1.10 Comentrio das atividades

Se voc conseguiu fazer a atividade 1, ento entendeu os rudi-

mentos dos conceitos de mdulo e vetores paralelos. E quanto s

atividades 2,3 e 4 ? Conseguiu resolv-las? Ento j entendeu a

idia de soma, diferena de vetores, alm de multiplicao por um

escalar. E a atividade 5? Se voc conseguiu resolv-la, ajuda a

xar a idia do ngulo entre vetores. Se ainda tiver diculdades,

volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. No

esquea que h tutores que o ajudaro a eliminar as suas dvidas.

Desde j, lembre-se de discutir os contedos com seus colegas.

28


1AULA

1.11 Referncias

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analtica. So Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analtica e lgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, Jos Luiz, 'lgebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.

29

2AULA

2LIVRO

Os Espaos Vetoriais

META

Promover a identicao de vetores

no plano e no espao e suas propri-

edades.

OBJETIVOS

Decompor um dado vetor relativa-

mente a uma base de vetores.

Estabelecer a igualdade entre veto-

res.

Reconhecer propriedades entre

vetores, como o paralelismo.

PR-REQUISITOS

Para seguir avante nesta aula, ne-

cessrio que voc tenha compreen-

dido os conceitos apresentados na

aula anterior.

Os Espaos Vetoriais

2.1 Introduo

Ol! Que bom encontr-lo novamente! Espero que tenha gostado

da nossa primeira aula. Nela denimos o objeto geomtrico, vetor

e algumas de suas propriedades.

Nesta aula, iremos identicar e localizar pontos no plano (bi-

dimensional) e no espao (tridimensional). Veremos que poss-

vel decompor um dado vetor (no plano ou no espao) com uma

combinao (linear) de outros vetores. Vericaremos tambm que

propriedades algbricas inerentes s operaes entre vetores acarre-

tam em propriedades geomtricas sobre esses, como por exemplo, a

existncia de um elemento neutro aditivo que implica um elemento

neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.

2.2 Decomposio de um vetor no Plano (R2)

Dados dois vetores no coplanares (ver Aula 1) ~v1 e ~v2, qualquer

vetor ~v pode ser decomposto dependendo de ~v1 e ~v2. Para isso,

devemos encontrar a1, a2 R, tal que

~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 (2.1)

Exemplo 2.2.1. Sejam ~v1 e ~v2 vetores no colineares e ~v qualquer

vetor no mesmo plano de ~v1 e ~v2.

32


2AULA

Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor ~v tiver a mesma direo

de ~v1 ou de ~v2, ~v no a diagonal do paralelogramo e um dos

nmeros reais a1 ou a2 nulo.

Neste caso, o nmero a1 = 0, e a partir de ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2,

temos que

~v = 0 ~v1 + a2 ~v2 ~v = a2 ~v2.

Denio 2.9.

1. Dizemos que ~v a combinao linear de ~v1 e ~v2 sempre

que ~v for representado como em (2.1).

2. O par de vetores ~v1 e ~v2 no colineares chamado de base

no plano.

3. Os nmeros reais a1 e a2 de (2.1) so chamados componen-

tes ou coordenadas de ~v em relao base {~v1, ~v2}.

Por convenincia, sempre tomamos as bases ortonormais.

Denio 2.10. Uma base {~e1, ~e2} considerada ortonormal seos seus vetores forem ortogonais (isto , ~e1 ~e2) e unitrios (ouseja, |~e1| = |~e2| = 1).

Observao 3. Embora tenhamos denido uma base ortonormal

como um conjunto, iremos pens-la como um conjunto ordenado,

33

Os Espaos Vetoriais

isto , numa base = {~e1, ~e2}, temos que o primeiro elemento dabase ~e1 e o segundo, ~e2.

Exemplo 2.2.3. Considere a base ortonormal ilustrada na gura(2.17),

no plano xOy, e um vetor ~v cujas componentes so 2 e 4.

Figura 2.17: ~v2 e ~v2 so ortonormais.

Notao 1. Consideraremos, de agora em diante, que os vetores

com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1) sero re-

presentados por

~i e ~j respectivamente. Isto ,

(1, 0) =~i e (0, 1) = ~j.

Tendo uma base xada, podemos fazer uma correspondncia

biunvoca entre os pares ordenados (x, y) do plano (R2) e os veto-

res. Desta forma,

~v = (x, y)

a expresso analtica de ~v. Assim, nomeamos x como abcissa

e y como ordenada.

34


2AULA

Figura 2.18:

~i e ~j como base

para o plano R2.

Figura 2.19: Neste caso, o ve-

tor arbitrrio ~v = x~i+ y~j, em

que x, y R, so as compo-nentes de ~v em relao base

{~i,~j}.

Exemplo 2.2.4. Seja ~v = 2~i + (3)~j, podemos representar por~v = (2,3) R2. Perceba que,

2~j = (2, 0),

(3)~i = (0,3) e assim

~v = 2~i+ (3)~j = (2 + 0, 0 + (3)) = (2,3)

2.3 Igualdade e Operaes

2.3.1 Igualdade

Os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) so iguais se, e somente se,

x1 = x2 e y1 = y2, e assim, ~u = ~v.

Exemplo 2.3.1. Os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (2, 1) so iguais,

porm, ~p = (2, 1) e ~q = (1, 2) no o so.

2.3.2 Operaes

Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e R, dene-se:

35

Os Espaos Vetoriais

1. ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);

2. ~u = (x1, y1).

Exemplo 2.3.2. Sejam os vetores ~u = (2,1) e ~q = (1, 3), temosque

~u+ ~q = (2 + 1,1 + 3) = (3, 2)

e

3~u = (3 2, 3 (1)) = (6,3).

Figura 2.20: ~u+ ~q = (3, 2). Figura 2.21: 3~u = (6,3).

Com base nas operaes denidas anteriormente, constatamos

que o conjunto dos vetores tem as propriedades que apresentaremos

a seguir.

Teorema 2.1. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w, tem-se

A1) ~u+ ~v = ~v + ~u;

A2) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);

A3) ~u+~0 = ~u;

A4) ~u+ ~(u) = ~0.

e para quaisquer ~u e ~v e , R, tem-se

36


2AULA

P1) (~u) = ()~u;

P2) (+ )~u = ~u+ ~u;

P3) (~u+ ~v) = ~u+ ~v;

P4) 1~v = ~v.

Observao 4. O vetor

~0 denota o vetor nulo, isto , ~0 = (0, 0).

Demonstrao. importante que voc acompanhe o nosso racio-

cnio, pois vamos vericar a seguir algumas das propriedades que

j apresentamos. Dados ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e ~w = (x3, y3),

temos que:

em (A1),

~u+ ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

Mas como sabemos que as coordenadas de ambos os vetores

so nmeros reais, e como os reais so comutativos em relao

soma, ou seja, x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1, assim

~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)

= (x2, y2) + (x1, y1) = ~v + ~u.

em (A4), iremos supor ~w = (a1, a2), tal que

~0 = ~u+ ~w = (x1, y1) + (a1, a2) = (x1 + a1, y1 + a2)

Deste modo, ~u+ ~w = ~0 (x1 +a1, y1 +a2) = (0, 0), e assim,

x1 + a1 = 0 e y1 + a2 = 0 a1 = x1 e a2 = y1,

portanto, ~w = (x1,y1) = ~u.

37

Os Espaos Vetoriais

j em (P2), sejam , R, tal que

(+ )~u = (+ ) (x1, y1) = ((+ )x1, (+ )y1) .

Mas sabemos que os nmeros reais so comutativos em rela-

o soma e multiplio, como tambm tm a propriedade

da distributividade,

((+ )x1, (+ )y1) = (x1 + x1, y1 + y1)

= (x1, y1) + (x1, y1)

e assim,

(+ )~u = (x1, y1) + (x1, y1)

= (x1, y1) + (x1, y1) = ~u+ ~u.

Agora que voc acompanhou o nosso raciocnio e compreendeu

todo o desenvolvimento das propriedades demonstradas, deixamos

para voc a atividade a seguir.

Exerccio 2.3.1. Mostre cada um dos itens das propriedades que

no foram demonstradas.

Exemplo 2.3.3. Dados os vetores ~u = (3,1) e ~v = (1, 2), naequao

4(~u ~v) + 13~w = 2~u ~w

pretendemos determinar o vetor ~w. Para isso, faremos uso das

propriedades das operaes entre vetores. Faamos

4(~u ~v) + 13~w = 2~u ~w

13~w + ~w = 2~u 4(~u ~v)

43~w = 2~u+ 4~v

38


2AULA

ento, temos

43~w = 2~u+ 4~v

4~w = 6~u+ 12~v ~w =

64~u+

124~v

~w =32~u+ 3~v.

Fazendo a substituio, chegamos a

~w =32~u+ 3~v

~w =32

(3,1) + 3(1, 2)~w =

(92,32

)+ (3, 6)

ou podemos escrever assim: ~w =(9

2 3, 3

2+ 6)

=(15

2,152

),

ou se preferir, desta forma:

~w =15

2(1,1)

.

Denio 2.11 (Vetor Definido por Dois Pontos). Consi-

dere o vetor

AB de origem no ponto A = (x1, y1) e extremidade

em B = (x2, y2). Como na gura (2.22), as coordenadas deAB

so obtidas por

AB = B A, assim

AB = (x2 x1, y2 y1).

Exemplo 2.3.4. Na gura (2.24), observamos que os segmentos

orientados AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3, 1), poisAB = B A = (1, 4) (2, 3) = (3, 1)CD = D C = (4, 3) (1, 2) = (3, 1)OP = P O = (3, 1) (0, 0) = (3, 1)

39

Os Espaos Vetoriais

Figura 2.22:

~AB = B AFigura 2.23:

~AB = (x2 x1, y2 y1)

Figura 2.24: Os segmentos orientados AB, CD e OP representam

o mesmo vetor (3, 1).

2.4 Decomposio do Espao (R3)

Nesta segunda etapa de nossa aula, procederemos nossos estudos

de forma anloga decorrida na seo (2.2), porm, com algumas

adequaes necessrias.

Dados trs vetores no coplanares ~v1, ~v2 e ~v3, qualquer vetor ~v

pode ser decomposto dependendo de ~v1, ~v2 e ~v3. Para isso, devemos

encontrar a1, a2, a3 R, tal que

~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3 (2.1)

40


2AULA

Analogamente ao que ocorre no plano, o vetor ~v a combino

linear dos vetores da base, isto , sempre existem nmeros reais

a1, a2, a3, tal que a decomposio do espao seja satisfeita, em que

a1, a2, a3 so as componentes de ~v em relao base considerada

(neste caso, {~v1, ~v2, ~v3}).Uma base no espao ortonormal se os trs vetores forem uni-

trios e, dois a dois, ortogonais. Assim como zemos para o plano,

iremos adotar uma base entre muitas, como a base cannica re-

presentada por {~i,~j,~k}.Em alguns livros so

adotados {e1, e2, e3}em vez de {~i,~j,~k} eainda representando o

vetor por uma letra do

alfabeto, v em vez de~v.

A reta com a direo de

~i o eixo dos x (das abscissas), a

reta com a direo do vetor

~j o eixo dos y (das ordenadas) e a

reta com a direo do vetor

~k o eixo dos z (das cotas). As setas

indicam o sentido positivo de cada eixo. Esses eixos so chamados

de eixos coordenados.

Observao 5. O vetor

~0 denota o vetor nulo, isto , ~0 = (0, 0, 0).

Cada par de eixos determina um plano coordenado, como ilus-

trado nas guras (2.25), (2.26) e (2.27).

Notao 2. A cada ponto P no espao (R3) corresponde uma terna

(x1, y1, z1) de nmeros reais chamados coordenadas de P .

41

Os Espaos Vetoriais

Figura 2.25: plano

xy

Figura 2.26: plano

xz

Figura 2.27: plano

yz

Figura 2.28: P = (x1, y1, z1) Figura 2.29: P = (2, 4, 3)

Observando a gura (2.29), temos:

A = (2, 0, 0) - ponto no eixo dos x quando y = z = 0.

B = (0, 4, 0) - ponto no eixo dos y quando x = z = 0.

C = (0, 0, 3) - ponto no eixo dos z quando x = y = 0.

D = (2, 4, 0) - ponto no plano xy quando z = 0.

E = (0, 4, 3) - ponto no plano yz quando x = 0.

F = (2, 0, 3) - ponto no plano xz quando y = 0.

Seja ~v = x~i+ y~j + z~k, em que x, y e z so as componentes de

~v na base cannica {~i,~j,~k}, como zemos para vetores no plano.

42


2AULA

Figura 2.30: ~v = x~i+ y~j + z~kFigura 2.31: ~v = 2~i+ 4~j + 3~k

O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui

um sistema referencial.

O espao tem trs dimenses, ou seja, tridimensional,porque qualquer uma de suas bases tem trs vetores.

O plano tem dimenso 2, ou seja, bidimensional.

A reta tem dimenso 1, ou seja, unidimensional.

Por outro lado, a representao geomtrica do conjunto R a reta

chamada de reta real. O produto cartesiano RR = R2 (ou ainda,R2 = {(x, y);x, y R}) tem como representao geomtrica oplano cartesiano. E por m, o produto cartesiano RRR = R3

(ou ainda, R3 = {(x, y, z);x, y, z R}) tem como representaogeomtrica o espao cartesiano.

2.4.1 Igualdade e Operaes

Denio 2.12 (Igualdade). Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v =

(x2, y2, z2) so iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

43

Os Espaos Vetoriais

Figura 2.32: Reta

real, R.

Figura 2.33: Plano

cartesiano, R2 =

R R.

Figura 2.34: Espao

cartesiano, R3 =

R R R.

Denio 2.13 (Soma e Produto por um escalar). Dados

os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e R, dene-se:

~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

~u = (x1, y1, z1)

Na soma 2~i + 4~j + 3~k, sabendo

que

2~i = 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)

4~j = 4(0, 1, 0) = (0, 4, 0)

3~k = 3(0, 0, 1) = (0, 0, 3)

Observando no plano xy, temos

que:

~v = 2~i+ 4~j + ~k

= (2, 0, 0) + (0, 4, 0) +(0, 0, 3)vetor tracejato

= (2, 4, 0) + (0, 0, 3)= (2, 4, 3)

Figura 2.35: A soma dos ve-

tores que esto no plano xy,

2~i+ 4~j, ilustrada pelo vetor

tracejado, enquanto a soma do

vetor tracejado ao vetor 3~k re-

sulta no vetor ~v .

44


2AULA

Denio 2.14 (Vetor Definido por Dois Pontos). Se A =

(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) so dois pontos quaisquer no espao,

ento

AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1)

Notao 3. Em vez de escrever ~v = 2~i+ 3~j+ 4~k, podemos escrever

~v = (2, 3, 4). Assim,

~i~j = (1, 1, 0)2~i 3~j + ~k = (2,3, 1)

4~k = (0, 0, 4)

em particular, {~i,~j,~k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Denio 2.15 (Condio de Paralelismo de Dois Veto-

res). Se dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) so coline-

ares (ou paralelos), existe um nmero R, tal que ~u = ~v, ouseja (x1, y1, z1) = (x2, y2, z2). Esta a condio de paralelismo de

dois vetores. Representamos por ~u//~v dois vetores ~u e ~v paralelos.

Exemplo 2.4.1. Determinar os valores de m e n para que sejam

paralelos os vetores ~u = (m+ 1, 3, 2) e ~v = (2, 1, 2n).

Para encontrarmos m e n, iremos usar a condio de parale-

lismo de dois vetores, assim, temos

(m+ 1, 3, 2) = (2, 1, 2n),

ou seja, m+ 1 = 2

3 =

2 = 2n

.

O que resulta em m = 5 e n = 1/3.

45

Os Espaos Vetoriais

2.5 Resumo

Nesta aula, aprendemos que um vetor pode ser decomposto sob

uma combinao linear de outros vetores. Conhecemos o conceito

de base ortonormal e aprendemos que possvel us-lo para descre-

ver qualquer vetor num plano (ou espao) coordenado, como uma

combinao linear dos vetores desta base. Alm disso, tambm

vericamos algumas propriedades das operaes entre vetores.

2.6 Atividades

1. Exprima o vetor ~w = (1, 1) como combinao linear de ~u =

(2, 1) e ~v = (1,1).

2. Quais so as condies de a e b, nmeros reais, para que os

vetores do plano ~u = (2a+1, 1) e ~v = (3, 2b3) sejam iguais?

3. Dados os vetores ~u = (2,4), ~v = (5, 1) e ~w = (12, 6),determinar k1 e k2, tal que ~w = k1~u+ k2~v.

4. Encontre os nmeros 1 e 2, tal que ~w = 1~v1 +2~v2, sendo

~v1 = (1,2, 1), ~v2 = (2, 0, 4) e ~w = (4,4,10).

5. No quadrado ABCD tem-se A = (1,3) e B = (5, 6).Quais so as coordenadas dos vrtices C e D?

46


2AULA

6. Mostre que qualquer conjunto {~v1, ~v2} de vetores no coline-ares constitui uma base no plano.

7. Seja ABCD um quadriltero. Se E o ponto mdio dos

Dizemos que E oponto mdio de um seg-

mento cujas extremida-

des so A = (x1, y1) eB = (x2, y2) se, e so-mente se,

E =x1 + x2

2,y1 + y2

2

.

segmentos AC e BD simultaneamente, sendo A = (0, 0),

B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (1, 1), mostre que ABCD um paralelogramo.

8. D um exemplo no plano que seja baseado na armao do

item (6).

9. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = 5, 1, 3), C = (3, 2, 5)

e D = (2, 1, 3) so vrtices de um paralelogramo.

10. Se os vetores ~u e ~v tm o mesmo comprimento, demonstre

que ~u+ ~v e ~u ~v so ortogonais. E a recproca?


Voc concluiu as atividades 1,2,3 e 4? Para resolv-las enten-

deu e utilizou o conceito de combinao linear. Se resolveu

as questes 5,6 e 9, ento entendeu os conceitos de operaes

entre vetores e vetores denidos por dois pontos. E as ati-

vidades 7 e 8? Conseguiu conclu-las? Ento voc entendeu

o conceito de paralelismo entre vetores. J na questo 10,

voc usou o conceito de vetores ortogonais.

47

Os Espaos Vetoriais

2.8 Referncias

BOLDRINI, Jos Luiz. lgebra Linear. So Paulo: Harbra,

1980.

LIMA, Elon Lages. Geometria Analtica e lgebra Linear.

Rio de Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analtica. So Paulo: Ma-

kron Books, 1987.

48

3AULA

2LIVRO

Produto de Vetores -

Parte I

META:

Apresentar a denio de produto

escalar (ou produto interno) entre

vetores e suas propriedades.

OBJETIVOS:

Reconhecer e efetuar produtos esca-

lares entre vetores. Interpretar, geo-

metricamente, os produtos vetoriais

entre vetores, como o ngulo entre

vetores, a desigualdade triangular e

a projeo de um vetor sobre outro.

Produto de Vetores - Parte I

3.1 Introduo

Ol, caro aluno! Estamos aqui, novamente, para mais uma de

nossas aulas. Espero que os contedos apresentados nas aulas

anteriores tenham sido produtivos para voc. Est conseguindo

acompanhar o nosso raciocnio? Esto surgindo muitas dvidas?

Lembre-se de que h um tutor para esclarec-las, e bom que voc

entre em contato com ele sempre que necessrio.

Nesta aula, introduziremos o primeiro conceito sobre produto

entre vetores, a saber, o produto escalar (ou produto interno), em

que dois vetores so convertidos em um escalar. Alm disso, vamos

estudar suas propriedades e como interpretar os vetores geometri-

camente. Abordaremos, tambm, uma desigualdade triangular.

3.2 Produto Escalar

Denio 3.16. Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v =

x2~i + y2~j + z2~k, denimos que o produto escalar (ou produto

interno usual), representado por ~u ~v (tambm indicado por~u,~v), o nmero real

~u,~v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Em particular, se ~u, ~v R2, em que ~u = x1~i+ y1~j e ~v = x2~i+y2~j, o produdo escalar ca denido de forma anloga anterior,

isto ,

~u,~v = x1x2 + y1y2.

Exemplo 3.2.1. Sendo ~v = 3~i~j2~k e ~w =~i+~j~k vetores emR3, podemos escrev-los como, ~v = (3,1,2) e ~w = (1, 1,1), e

50


3AULA

assim

~v, ~w = (3,1,2), (1, 1,1) = 3 1 + (1) 1 + (2) (1)

~v, ~w = 4

Denio 3.17. Denominamos de mdulo de um vetor ~v =

(x, y, z), representado por |~v|, o nmero real no negativo,

|~v| =~v,~v (3.1)

que em coordenadas ca

|~v| =x2 + y2 + z2.

Em R2, podemos denir mdulo de modo similar, ou seja, dado

um vetor no plano ~u = (x, y), seu mdulo ser o nmero real no

negativo

|~u| =~u, ~u

, ou ainda em coordenadas

, |~u| =x2 + y2.

Exemplo 3.2.2.

Seja ~v R3, com ~v = (1, 0,1) |~v| = 12 + 02 + (1)2 =

2.

Seja ~v R2, com ~v = (2,5) |~v| =

(2)2 + (5)2 =

9 = 3.

(Versor de um Vetor) Seja ~v R3, dado por ~v = (1, 0,1),o seu versor ~w ser dado por

~w =~v

|~v| =12

(1, 0,1)

51


e assim,

~w = 12(1, 0,1)

= ( 12 , 0, 12)

=

(12

)2+ 02 +

( 1

2

)2=

22

= 1

O versor do vertor ~v , na verdade, um vetor unitrio.

(Distncia entre dois pontos) A distncia entre doispontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dada por

d(A,B) =AB = |B A|e, deste modo,

d(A,B) =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2, A,B R3.

coincide com a denio de distncia entre dois pontos no

espao. Para o caso do plano, basta-nos suprimir a terceira

coordenada, isto ,

d(A,B) =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2,

neste caso, A = (x1, y1), B = (x2, y2) pontos do R2.

3.2.1 Propriedades do Produto Interno

Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w =

(x3, y3, z3) em R3 e R, tal que:

(i) ~u, ~u 0 e ~u, ~u = 0 ~u = ~0 = (0, 0, 0). De fato, pois pordenio ~u, ~u 0, e se ~u, ~u = 0, ento |~u| = 0 ~u = ~0.

(ii) ~u,~v = ~v, ~u (Comutativa) Veja que ~u,~v = x1x2 +y1y2+z1z2 = x2x1+y2y1+z2z1 = ~v, ~u, pois as coordenadasde ~u e ~v so nmeros reais e valem a comutatividade do

produto e da soma em R.

52


3AULA

(iii) ~u, (~v+ ~w) = ~u,~v+ ~u, ~w (Distributiva com relao soma de vetores) De fato, pois

~u, (~v + ~w) = (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)= (x1, y1, z1), (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3)

= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)

= ~u,~v+ ~u, ~w

(iv) ~u,~v = ~u,~v = ~u, ~vExerccio 3.2.1. A vericao desta propriedade ca como

atividade para voc.

(v) ~u, ~u = |~u|2 De fato, temos que |~u| = ~u, ~u. Assim,(|~u|)2 =

(~u, ~u

)2 |~u|2 = ~u, ~u

Exemplo 3.2.3. |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2~u,~v + |~v|2 para quaisquervetores ~u~v R2 (esta igualdade tambm vlida caso os vetorespertenam ao R3).

Temos que

|~u+ ~v|2 = ~u+ ~v, ~u+ ~v= ~u, ~u+ ~v+ ~v, ~u+ ~v (pela propriedade (ii) e (iii))= ~u, ~u+ ~u,~v+ ~v, ~u+ ~v,~v (por (iii))= |~u|2 + 2~u,~v+ |~v|2

Denio 3.18 (ngulo de Dois Vetores). Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0e se o ngulo dos vetores ~u e ~v, ento:

~u,~v = |~u| |~v| cos (3.2)

53


Esta denio tambm no depende da condio de os vetores

estarem em R2 (no plano) ou em R3 (no espao). Assim, caro

aluno, importante que voc atente para o que preciso fazer caso

queiramos obter o ngulo a partir dos vetores j conhecidos.

Veja que na equao (3.2)temos o seguinte

cos =~u,~v|~u| |~v| (3.3)

e assim, obtemos

= arc cos( ~u,~v|~u| |~v|

)(3.4)

Exemplo 3.2.4. Para calcular o ngulo entre os vetores ~u =

(1, 1, 4) e ~v = (1, 2, 2), faamos o seguinte movimento

cos =~u,~v|~u| |~v| =

(1, 1, 4), (1, 2, 2)|(1, 1, 4)| |(1, 2, 2)|

cos =1 + 2 + 8

18 3 =9

9

2=

22

= arc cos(

22

)E assim, temos que = 45o.

Em relao ao ngulo entre dois vetores ~u e ~v, percebemos que:

1. ~u,~v > 0, com base na equao (3.3), temos que cos > 0,e assim 0 < 90o ( ou seja, um ngulo agudo).

2. ~u,~v < 0, por (3.3), temos que cos < 0, e assim 90o b ( ou a2 > b2). Por exemplo,

na equao reduzida

x2

4+y2

9= 1

o maior denominador 9. E pelo fato de ser o denominador de y2,

isso signica que o eixo maior est sobre o eixoy.

Exemplo 9.3.1. Veja a equao da elipse dada por 4x2+y216 =0, temos que na forma reduzida ca da seguinte forma

x2

4+y2

16= 1

Como o maior denominador 16, as medidas dos semi-eixos so

a = 4 e b = 2. De a2 = b2 + c2 16 = 4 + c2 e assim, c2 = 12c =

12. Portanto, os focos so F1 = (0,

12) e F2 = (0,

12).

Em relao excentricidade, podemos dizer que

e =c

a=

124

=2

34

=

32.

Logo, e =

32.

144


9AULA

9.4 Translao da elipse

Na seo anterior, estudamos a equao reduzida da elipse em duas

situaes:

(a) quando o eixo maior est sobre o eixo x;

(b) quando o eixo maior est sobre o eixo y.

Nesta seo, vamos estudar a translao dessa cnica, consi-

derando a relao de paralelismo entre a elipse e os eixos x eySeja uma elipse de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Iremos conside-rar apenas os casos em que os eixos da elipse sejam paralelos aos

eixos coordenados.

(i) O eixo maior paralelo ao eixox.Nossa intenso ser de obter um novo sistema de coordenadas

xOy, em que a elipse tem o semi-eixo maior sobre o eixox.Portanto, sua equao reduzida

(x)2

a2+

(y)2

b2= 1

Para isso, utilizamos as seguintes frmulas de translao

x = x h e y = y k

145

Cnicas - Parte II

atravs das quais, fazendo as devidas substituies, temos

(x h)2a2

+(y k)2

b2= 1 (9.1)

que a forma padro para este caso. (Veja a gura 9.4.)

Figura 9.70: x = x h e y = y k.

(ii) O eixo maior paralelo ao eixoy.Analogamente ao caso (i), temos

(x h)2b2

+(y k)2a2

= 1 (9.2)

Exemplo 9.4.1. Uma elipse cujo eixo maior paralelo ao eixoytem centro C = (4,2), excentricidade e = 1

2e eixo menor de

medida 6. Vamos obter a equao dessa elipse.

Como o eixo maior da elipse paralelo ao eixoy, sua equao da forma

(x h)2b2

+(y k)2a2

= 1,

sendo h = 4 e k = 2. Alm disso, percebemos que 2b = 6, ouseja, b = 3. E pelo fato de

e =c

a= 12 c = a

2

temos ainda que a2 = b2 + c2 nos conduz a

a2 = 32 +(a

2

)2 a2 = 9 + a24 a2 = 12

146


9AULA

E assim, a equao da elipse

(x 4)29

+(y + 2)2

12= 1

Agora, podemos ainda trabalhar um pouco mais essa expresso.

De

(x 4)29

+(y + 2)2

12= 1

4(x2 8x+ 16) + 3(y2 + 4y + 4) = 36

4x2 + 3y2 32x+ 12y + 40 = 0

a equao geral dessa elipse.

Na verdade, qualquer elipse cujos eixos esto sobre os eixos

coordenados ou so paralelos a eles sempre pode ser representada

por uma equao geral na forma

ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0, (9.3)

com a e b de mesmo sinal. Quando a = b, essa equao representa

uma circunferncia. Por exemplo, quando a = b = 1, c = d = 0 e

f = 2, a equao ser

x2 + y2 4 = 0,

que representa uma circunferncia centrada na origem de raio 4.

9.5 Equaes paramtricas da elipse

Considere a equao

x2

a2+y2

b2= 1. Agora, tracemos uma circunfe-

rncia de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse.

147

Cnicas - Parte II

Seja P = (x, y) um ponto arbitrrio da elipse. A reta que passa

por P , paralela ao eixoy, intercepta a circunferncia no ponto Ae o raio AO determina com o eixox um ngulo . Assim, do

Figura 9.71: OA = OA cos .

tringulo AOA temos OA = OA cos , ou x = a cos , ento

(a cos )2

a2+y2

b2= 1 y

2

b2= 1 cos2 y

2

b2= sen 2

Portanto, y = bsen . Para que a cada valor de faamos cor-

responder um s ponto da elipse P , podemos concluir que deve

pertencer ao intervalo [0, 2pi]. Ento, o parmetro. x = a cos y = bsen 0 2pi (9.1)so as equaes paramtricas dessa elipse.

Observao 14. De x = a cos y = bsen

x

a= cos

y

b= sen

e assim,

x2

a2+y2

b2= 1, pois, cos2 + sen 2 = 1.

148


9AULA

Caso a elipse tenha o eixo maior sobre o eixoy, constatamosque

x2

b2+y2

a2= 1 tem equaes paramtricas x = b cos y = asen (9.2)

E quando o centro da elipse for C = (h, k), pela translaodos eixos obtemos x = h+ a cos y = k + bsen (eixo maior paralelo ao eixox)(9.3) x = h+ b cos y = k + asen (eixo maior paralelo ao eixoy)(9.4)Exemplo 9.5.1. Vericamos que a equao reduzida de 9x2 +

4y2 54x+ 16y + 61 = 0 dada por(x 3)2

4+

(y + 2)2

9= 1

e assim, a elipse tem como centro C = (3,2), com a = 3 e b = 2.Portanto, x = 3 + 2 cos y = 2 + 3sen so as equaes paramtricas da elipse.

9.6 Resumo

Nesta aula, conhecemos um pouco mais sobre a elipse e suas pro-

priedades. Aprendemos que a excentricidade responsvel por

determinar a forma da elipse, que pode ser circular ou achatada,

ou ainda variar quanto ao tamanho. Tambm foi possvel conhecer

algumas de suas formas de representao, como a equao reduzida

e a equao paramtrica da elipse.

149

Cnicas - Parte II

9.7 Atividades

1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o grco e determine

os vrtices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses

dadas:

(a)

x2

25+y2

4= 1;

(b) 9x2 + 16y2 144 = 0;

(c) 9x2 + 5y2 45 = 0;

(d) x2 + 2y2 5 = 0.

2. Esboce o grco de uma elipse com as seguintes excentrici-

dades:

(a) 1/2;

(b) 1/3.

3. Em cada um dos itens a seguir, determine uma equao da

elipse que satisfaa as condies dadas e esboce seu grco.

(a) focos F1 = (4, 0) e F2 = (4.0), eixo maior igual a 10;

(b) focos F1 = (0,5) e F2 = (0, 5), eixo menor igual a 10;

(c) vrtices A1 = (10, 0) e A2 = (10, 0), excentricidade1/2;

(d) centro C = (0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo

dos x e passando pelo ponto (25, 2).

4. Obtenha a equao paramtrica da elipse das seguintes equa-

ces:

(a) x2 + y2 = 36;

150


9AULA

(b) 9x2 + 16y2 = 1;

(c) 49(x+ 7)2 + y2 = 7.

5. Obtenha a equao geral da elipse das equaes paramtricas

a seguir:

(a)

x = cos y = 3sen ;(b)

x =

2 cos

y = 1 + sen

6. Quais so as tangentes elipse x2 + 4y2 = 32 que tm incli-

nao igual a 1/2?

7. Um satlite de rbita elptica e excentricidade 1/3 viaja ao re-

dor de um planeta situado num dos focos da elipse. Sabendo-

se que a distncia mais prxima do satlite ao planeta de

300 km, calcule a maior distncia.

9.8 Comentrio sobre as Atividades

Voc resolveu as atividades 1,2,3 e 7? Ento entendeu a denio

da elipse e seus componentes (focos, vrtices, excentricidade). Se

conseguiu resolver a atividade 6, ento voc j tem uma idia de

como funciona a equao geral da elipse. Se concluiu a 4 e a 5, j

sabe como obter a equao paramtrica da elipse e aplic-la.

9.9 Referncias


kron Books, 1987.

151

Cnicas - Parte II



BOLDRINI, Jos Luiz, 'Algebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.

152

10AULA

2LIVRO

Cnicas - Parte III

META

Apresentar a denio de equaes

de planos no espao e suas propri-

edades geomtricas direcionadas

hiprbole.

OBJETIVOS

Identicar a hiprbole no plano.

Comparar ou diferenciar algumas

formas de representar a hiprbole

com base nas equaes reduzidas e

paramtricas da elipse.

PR-REQUISITOS

Para que voc possa ter um bom

desempenho nesta aula, necessrio

que tenha assimilado os contedos

das aulas anteriores, desde a pri-

meira at a stima.

Cnicas - Parte III

10.1 Introduo

Ol! Chegamos metade de nossa disciplina. Isto signica que

j temos boa parte das ferramentas matemticas para avanarmos

nos prximos contedos.

Na aula passada, entramos em contato com a elipse e suas pro-

priedades, alm das formas para represent-la. Nesta aula, vamos

apresentar a hiprbole e suas propriedades. Tambm veremos que

possvel representar hiprboles por equao reduzida e param-

trica.

10.2 Hiprbole

Da mesma forma como apresentamos para voc as diferentes for-

mas de representar a parbola e a elipse, atravs das equaes

reduzida e paramtrica, assim procederemos com a hiprbole. Va-

mos dar incio pela sua denio.

Denio 10.33. Hiprbole

Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um nmero real positivo.

Chamamos de hiprbole de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos

P do plano cuja diferena das distncias aos pontos F1 e F2 , em

valor absoluto, igual a 2a.

Assim, o ponto P pertence a essa hiprbole H se, e somente se,

|d(P, F1) d(P, F2)| = 2a (10.1)

A hiprbole H tem dois ramos, um formado pelos pontos P paraos quais a diferena positiva d(P, F1)d(P, F2) = 2a, e outro emque essa diferena negativa, isto , d(P, F1) d(P, F2) = 2a.

154


10AULA

Figura 10.72: |d(P, F1) d(P, F2)| = 2a

Considere no plano dois pontos quaisquer F1 e F2 com d(F1, F2) =

2c. Chamando de C o ponto mdio do segmento de F1F2, tracemos

uma circunferncia de centro C e raio c.

Tomemos um valor arbitrrio a, com a < c, e marquemos so-

bre o segmento F1F2, a partir de C, os pontos A1 e A2, tal que

d(C,A1) = d(C,A2) = a. Por esses pontos tracemos cordas per-

pendiculares ao dimetro F1F2. As quatro extremidades dessas

cordas so os vrtices de um retngulo MNPQ inscrito nesta cir-

cunferncia. Tracemos as retas r e s que contm as diagonais do

retngulo e a hiprbole, como ilustrada na gura (10.2).

Notao:

Focos: so os focos F1 e F2.

Distncia focal: a distncia 2c entre os focos.

Centro: o ponto mdio C do segmento F1F2.

Vrtice: so os pontos A1 e A2.

Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 de comprimento

2a.

155

Cnicas - Parte III

Figura 10.73: Hiprbole com focos F1 e F2.

Eixo imaginrio ou no-transverso: o segmento B1B2 de

comprimento 2b, com B1B2 A1A2 em C.

Assntotas: so as retas r e s.

Perceba que os pontos A1 e A2 pertencem hiprbole, pois

satisfazem a denio (10.33).Assim, observe que

d(A1, F1) = c a e d(A1, F2) = a+ c

alm de

|d(A1, F1) d(A1, F2)| = | 2a| = 2a.

O retngulo MNPQ tem dimenses 2a e 2b, sabendo que a a

medida de semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginrio,

assim, vale a relao

c2 = a2 + b2 (10.2)

As assntotas so as retas de que a hiprbole se aproxima cada

vez mais medida que os pontos se afastam do vrtice. Essa

aproximao "contnua"e "lenta", de forma que a tendncia da

hiprbole tangenciar as suas assntotas no innito.

156


10AULA

Observando ainda a gura (10.2), percebemos que as retas for-

mam um ngulo () no ponto C. O ngulo chamado de aber-

tura da hiprbole.

Denio 10.34. Chama-se de excentricidade da hiprbole o

nmero

e =c

a. (10.3)

A excentricidade da hiprbole est inuenciada diretamente na

abertura.

Atentando para a gura (10.2), constatamos temos que c > a

e tem-se e > 1. Porm,

(mantendo o c xo) fazendo a quanto menor possvel (aproximando-se de zero), aumenta o valor de e,

(mantendo o c xo) fazendo a o mais prximo possvel de c,vericamos que e se aproxima de 1, e

caso e = 2, a hiprbole ter que r s e ser chamada dehiprbole equiltera.

Agora que voc j teve contato com a primeira parte terica

sobre a hiprbole, veja a seguir como ela pode ser aplicada na

prtica.

Exemplo 10.2.1 (Uma aplicao). Imagine a seguinte situa-

o: um atirador dispara sua arma contra o muro e um observador

ouve o estampido e o impacto da bala no alvo simultanemante.

Qual a localizao do observador em relao ao muro e ao atira-

dor?

Vamos soluo?

157

Cnicas - Parte III

Assim, considere a velocidade do som constante

1

e a velocidade

da bala

2

como o dobro da velocidade do som, isto , se vsom e vb

so as velocidades do som e da bala, ento vb = 2vsom. Sejam t1 o

tempo para a bala percorrer o trajeto do atirador ao muro e t2 e

t3 os tempos gastos pelo som para percorrer as distncias d2 e d3

em que:

(d1) a distncia do atirador ao muro;

(d2) a distncia do observador ao muro;

(d3) a distncia do atirador ao observador,

respectivamente.

Sendo assim,

vb =d1t1, vsom =

d2t2, vsom =

d3t3

1

A velocidade do som de aproximadamente 340 m/s ao nvel do mar.

2

Existem armas que disparam projteis a velocidades muitas vezes superi-

ores do som, chegando a mais de 3000 m/s.

158


10AULA

t1 =d1vb, t2 =

d2vsom

, t3 =d3vsom

Perceba que o tempo gasto pela bala para chegar ao muro (t1),

acrescido do tempo gasto do momento de impacto chegada do

som at o observador (t2), deve ser igual ao tempo que o som do

disparo percorre at o observador, ou seja,

t3 = t1 + t2.

Assim,

d3vsom

=d1vb

+d2vsom

d3vsom

d2vsom

=d1vb (d3 d2)

vsom=d1vb

O que nos d a equao

d3 d2 = d1vsomvb

.

Note que se zermos vb = 2vsom o quociente vb/vsom = 1/2 e se

colocarmos d1 = 2c, a equao anterior ca:

d3 d2 = c = 2a.

Portanto, o observador ouve o impacto da bala no muro e o dis-

paro no mesmo instante de tempo se, e somente se, ele estiver

sobre algum ponto da hiprbole de focos A e B com eixo real de

comprimento 2a = d1/2.

Exerccio 10.2.1. Pense nas hipteses do exemplo (10.2.1), mas,

desta vez, vamos considerar que a velociadade da bala vb seja arbi-

trria. Diante disso, qual dever ser a posio do observador para

que ele oua ambos os sons (do impacto da bala no muro e do

disparo simultaneamente)?

[Sugesto: mostre que a excentricidade da hiprbole

dada por vb/vsom e faa as concluses a respeito da po-

sio do observador.]

159

Cnicas - Parte III

10.3 Equaes reduzidas

Assim como j vimos nas duas cnicas que estudamos nas ltimas

aulas, a hiprbole tambm pode ser representada por equaes

reduzidas. o que iremos apresentar para voc a partir de agora.

Seja a hiprbole de centro C = (0, 0). Consideremos os seguin-

tes casos:

(i) o eixo real est sobre o eixox.Sendo P = (x, y) um ponto arbitrrio da hiprbole de focos

F1 = (c, 0) e F2 = (c, 0), pela denio (10.33), temos

|d(P, F1) d(P, F2)| = 2a

e em coordenadas(x+ c)2 + (y 0)2 (x c)2 + (y 0)2 = 2a, com c2 = a2+b2

x2

a2 y

2

b2= 1 (10.1)

A equao (10.1) chamada de equao reduzida da hiprbole

para este caso.

(ii) o eixo real est sobre o eixoy.Procedendo de forma anloga ao caso (i), obtemos a equao

reduzida (veja a gura (10.3)

y2

a2 x

2

b2= 1 (10.2)

Exemplo 10.3.1. Na equao reduzida

x2

9 y

2

4= 1 (10.3)

em que a2 = 32 = 9 e b2 = 22 = 4.

160


10AULA

Figura 10.74: Os focos F1 e F2 esto sobre o eixox.

Figura 10.75: Os focos F1 e F2 esto sobre o eixoy.

Observe que os vrtices so A1 = (3, 0) e A2 = (3, 0), quepoderiam ser obtidos a partir de (10.3. Tomando y = 0,

temos que

x2

9= 1 x = 3.

Por outro lado, veja que tomando x = 0 em (10.3), verica-

mos que y2 = 4, e assim, no h pontos da hiprbole quecorte o eixoy.

A hiprbole simtrica em relao aos eixos coordenados e

161

Cnicas - Parte III

origem, pois as potncias de x e y so pares.

As retas r e s so as assntotas da hiprbole, pois ambaspassam pelo centro da hiprbole (neste caso, coincidem com

a origem do sistema). Podemos observar que ambas as retas

tm equaes na forma y = mx, em que m o coeciente de

inclinao da reta. Notamos que:

1. na reta r, m1 =b

a m1 = 23 ;

2. e na reta s, m2 = ba m2 = 23 .

Logo, as assntotas tm equaes y =23x e y = 2

3x.

Caso a equao reduzida da hiprbole seja da forma

y2

a2 x

2

b2= 1,

os coecientes de inclinao das assntotas so m = ab.

Exemplo 10.3.2. Seja f : R+ R+ a funo denida por f(x) =1/x. O grco de f o conjunto G = {(x, y) R2;x > 0, y =1/x}. G um ramo de hiprbole.

Para conrmar esta armao, devemos introduzir no plano

um novo sistema de coordenadas com a mesma origem e com eixos

formando ngulos de 45o com os eixos antigos. Chamamos de (s, t)

as coordenadas de um ponto nesses novos eixos. Para obtermos a

equao da curva G em relao aos novos eixos, devemos escrever

x e y dependendo de s e t.

Desta forma, se sabemos que em um tringulo retngulo os

ngulos agudos medem 45o, cada cateto igual a

2/2 vezes a

162


10AULA

Figura 10.76: x = s

22 t

22e y = s

2

2+ t

22

hipotenusa, e assim, um ponto P tem coordenadas (x, y) no sistema

antigo e (s, t) no sistema novo(veja na gura (10.76), ento

x = s

22 t

22e y = s

2

2+ t

22

Alm disso, se x > 0 e y > 0, ento s > 0. Portanto, as seguintes

armaes so equivalentes:

1. P = (x, y) G;

2. x > 0 e xy = 1;

3. s > 0 e

(s

2

2 t

22

)(s

2

2+ t

22

)= 1;

4. s > 0 es2

2 t

2

2= 1;

5. s > 0 es2

a2 t

2

b2= 1, com a = b =

2;

6. P pertence ao ramo direito de uma hiprbole cujo eixo a

reta y = x.

Logo, G um ramo de hiprbole.

163

Cnicas - Parte III

10.4 Translaes de uma hiprbole

Nesta seo, iremos apresentar a voc as translaes de uma hi-

prbole. Acompanhe o nosso raciocnio e voc ver que to fcil

quanto as das demais cnicas que j estudamos.

Seja uma hiprbole de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Considere-mos apenas os casos em que os eixos sejam paralelos aos eixox eeixoy.(i) o eixo real paralelo ao eixox.Analogamente ao que zemos para a elipse na aula anterior,

temos

(x h)2a2

(y k)2

b2= 1, (10.1)

que a forma padro para este caso.

Figura 10.77:

(x h)2a2

(y k)2

b2= 1

(ii) o eixo real paralelo ao eixoy.Como em (i),

(y k)2a2

(x h)2

b2= 1 (10.2)

164


10AULA

Percebemos que a partir da equao (10.1), temos que de

(x h)2a2

(y k)2

b2= 1

x2 2hx+ h2

a2 y

2 2ky + k2b2

= 1

Multiplicando ambos os membros por a2b2, temos

b2(x2 2hx+ h2) a2(y2 2ky + k2) = a2b2

b2x2 2hb2x+ h2b2 a2y2 + 2ka2y a2k2 = a2b2

b2x2 a2y2 2hb2x+ 2ka2y + h2b2 a2k2 a2b2 = 0

Assim, vericamos que

Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (10.3)

sendo A = b2, B = a2, C = 2hb2, D = 2ka2 e F = a2k2 a2b2. A equao (10.3) chamada de equao geral da hipr-

bole, com A e B de sinais contrrios.

Exemplo 10.4.1. Determinar uma equao da hiprbole de vr-

tices A1 = (1,2) e A2 = (5,2), sabendo-se que F = (6,2) um de seus focos.

Sendo o eixo real A1A2 paralelo ao eixox, a equao da hi-prbole (veja na gura (10.78)) da forma,

(x h)2a2

(y k)2

b2= 1

165

Cnicas - Parte III

O centro o ponto mdio de A1A2: C = (3,2).Note que a = d(C,A1) = 2 e c = d(C,F ) = 3. Da relao c2 =

a2 + b2, ou 9 = 4 + b2, temos que b2 = 5. E assim, a equao da

hiprbole

(x 3)24

(y + 2)2

5= 1.

Se a desenvolvermos, obteremos

5x2 4y2 30x 16y + 9 = 0

que a equao geral dessa hiprbole

Figura 10.78: 5x2 4y2 30x 16y + 9 = 0

10.5 Equaes paramtricas

Agora, vamos s paramtricas. Est lembrado delas? Voc as

conheceu quando abordamos a parbola e a elipse nas aulas 8 e 9.

Ento, vamos ver como elas funcionam com a hiprbole.

Considere a hiprbole de equao

x2

a2 y

2

b2= 1, e a coloquemos

da seguinte forma: (xa

)2 (yb

)2= 1

166


10AULA

Agora, observemos que a identidade

sen 2 + cos2 = 1

e dividindo ambos os membros por cos2 6= 0, obteremossen 2cos2

+ 1 =1

cos2

ou (sen cos

)2+ 1 =

(1

cos

)2Como

sen cos

= tg e1

cos = sec , temos

sec2 tg 2 = 1

Portanto, podemos tomarx

a= sec

y

b= tg

e conclumos que para 0 2pi, exceto para pi2e

3pi2, temos que x = a sec y = btg (10.1)so as equaes paramtricas dessa hiprbole.

Observao 15. Quando (pi

2,pi

2

), dizemos que o ramo

direito da hiprbole (x a) e quando (pi

2,3pi2

), chamamos

de ramo esquerdo (x a).

Observao 16. No caso em que a hiprbole tem equao reduzida

y2

a2x

2

b2= 1 (eixo real sobre o eixoy), suas equaes paramtricasso x = btg y = a sec (10.2)

167

Cnicas - Parte III

Observao 17. Nos casos em que o centro da hiprbole for C =

(h, k), aplicando a translao de eixos, temos x = h+ a sec y = k + btg ou x = h+ btg y = k + a sec Exemplo 10.5.1. A partir da equao 4x29y236 = 0, podemosencontrar as equaes paramtricas da hiprbole.

De 4x2 9y2 36 = 0, obtemos facilmente quex2

9 y

2

4= 1

e assim, a = 3 e b = 2. Portanto, x = 3 sec y = 2tg so as equaes paramtricas dessa hiprbole.

Na gura a seguir, apenas so indicados pontos da tabela para

alguns ngulos no intervalo

(pi

2,pi

2

).

Pontos

0 (3, 0)pi

4(3

2, 2)

pi4

(3

2,2)pi

3(6, 2

3)

pi3

(6,23)

10.6 Resumo

Nesta aula, estudamos a terceira das cnicas apresentadas na Aula

8, a hiprbole. Alm de conhecermos a sua denio e suas pro-

168


10AULA

priedades, conhecemos tambm algumas maneiras de a represen-

tarmos, como a equao reduzida e a equao paramtrica da hi-

prbole.

10.7 Atividades

1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o grco e deter-

mine os vrtices, os focos, a excentricidade e as equaes das

assntotas das hiprboles dadas.

(a)

x2

4 y

2

9= 1;

(b)

y2

4 x

2

9= 1;

(c) x2 2y2 8 = 0;

(d) y2 x2 = 2.

2. Para todo ponto P = (m,n) na hiprbole H : x2

a2 y

2

b2= 1,

mostre que a reta r :m

a2x n

b2y = 1 tem apenas o ponto P

em comum com H. A reta r chama-se a tangente a H noponto P .

3. Nos tens a seguir, obtenha uma equao geral da hiprbole

dada por equaes paramtricas. Esboce o grco.

(a)

x = 4 sec y = 2tg ;(b)

x = 2 sec y = 4 +3tg .4. Determine os focos da hiprbole de equaes x = 4 +

5tg

e y = 5 + 2 sec .

169

Cnicas - Parte III

10.8 Comentrio sobre as Atividades

Se voc conseguiu resolver as atividades 1 e 2, ento entendeu a

denio de hiprbole e seus componentes (focos, excentricidade e

outros). Alm disso, voc pde observar como possvel escrever

a hiprbole na forma de uma equao reduzida. J em 3 e 4, voc

deve ter usado o conceito de equao paramtrica da hiprbole.

No se esquea dos exerccios que se encontram inseridos no texto.

So to importantes quanto os que esto nesta lista.

10.9 Referncias


kron Books, 1987.



BOLDRINI, Jos Luiz, 'Algebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.

170

11AULA

2LIVRO

Mudana de Coorde-

nadas no Plano

META

Introduzir o conceito de mudan-

as de coordenadas no plano e

exemplic-la.

OBJETIVOS

Efetuar e reconhecer mudanas

de coordenadas no plano, como

rotao e translao dos eixos,

alm de aplicar este contedo

para reconhecer melhor as cni-

cas com base em uma equao dada.

PR-REQUISITO Ter compre-

endido o conceito de produto in-

terno (produto escalar) entre vetores

(Aula 3).

Mudana de Coordenadas no Plano

11.1 Introduo

Nesta aula, conheceremos uma ferramenta importante na manipu-

lao de objetos geomtricos no plano. Existem situaes em que

conveniente e, em algumas delas, necessrio passar de um sistema

de eixos ortogonais (por exemplo, os eixosx e eixoy) para outrosistema (eixox e eixoy) no plano. Nesses casos, imprescin-dvel exprimir as coordenadas novas em funo das coordenadas

antigas (x, y).

11.2 Mudanas de Coordenadas - Rotao e

Translao da Origem

Para facilitar nossas contas, vamos exprimir as coordenadas de

um ponto em termos do produto interno (ou produto escalar),

aquele mesmo que voc aprendeu na Aula 3.

DDiante disto, tome

~i = (1, 0) e ~j = (0, 1), que representam os

eixos x e y respectivamente, com O = (0, 0) a origem do sistema

de eixos coordenados. Seja o ponto P = (x, y), ento

OP = x~i+ y~j

e perceba que

~i,~i = ~j,~j = 1 e

~j,~i = ~i,~j = 0

e ainda

OP,~i = x~i+ y~j,~i = x~i,~i+ y~j,~i = x

ou seja, x = OP,~i e, analogamente, y = OP,~j .

172


11AULA

Figura 11.79:

~OP = x~i+ y~j.

Exerccio 11.2.1. Faa as contas para mostrar que y = OP,~j.

Portanto, as coordenadas de um ponto P no planoxy so osprodutos internos de

OP por ~i e ~j.

Sejam (x, y) outro sistema de eixos coordenados no plano.

Denotamos por

~f1 e ~f2 os vetores unitrios dos eixos xe y. Sejam

(a, b) as coordenadas do ponto O no sistema antigo (eixos x e y)

e o ngulo de que preciso girar o eixox (no sentido positivo,ou seja, do eixox para o eixoy) para coincidir com o eixox.Veja na gura (211.2). Ento, o ngulo de ~i para ~f1. Assim,

Figura 11.80: o ngulo en-

tre

~i e ~f1.

Figura 11.81: Novo sistema

de coordenadas nos eixos x e

y.

173


~f1 = cos ~i+ sen ~j.

Note ainda que

OO = a~i + b~j, isto , para o novo sistema de

coordenadas,

OP =

OP OO = (x a)~i+ (y b)~j

Ento,

x = OP , ~f1 = (x a)~i+ (y b)~j, cos ~i+ sen ~j= (x a) cos + (y b)sen

Assim, x = (x a) cos + (y b)sen . Lembre-se de que esta-

Figura 11.82: P = (x, y) nas novas coordenadas.

mos considerando o ngulo entre os vetores ~i e ~f1 e 180o + o

ngulo entre

~j e ~f2.

ATENO -

Vamos denotar o sistema de eixos coordenados xy por OXY e o

sistema de eixos coordenados xy por OX Y .

Agora, veja que para a coordenada y temos duas possibilida-

des.

174


11AULA

1. O sistema com eixos OX Y se obtm do sistema de eixos

OXY pela translao que leva O em O (e desloca os eixos x

e y paralelamente), seguida de uma rotao de ngulo . Diz-

se, ento, que os sistemas OX Y e OXY so igualmente

orientados ou tm a mesma orientao.

2. Obtm-se OX Y a partir de OXY por meio da translao

que leva O em O, seguida da rotao de ngulo e, depois,

de uma reexo em torno do eixo x. Ento os sistemas OXY

e OX Y tm orientaes opostas.

Figura 11.83:

~f2 ~f1 e o ngulo de~j para ~f2 pode ser ou 180o+.

Observao 18. Se OX Y tm a mesma orientao que OXY ,

ento o vetor

~f2 obtido de ~f1 por uma rotao de 90o no sentido

positivo (anti-horrio). Como as coordenadas de

~f1 no sistema

OXY so (cos , sen ), as de ~f2 so (sen , cos ).

Portanto,~f2 = sen ~i+ cos vj.

E no caso de o sistema OX Y ter orientao oposta deOXY , ento

~f2 = sen ~i cos ~j.

175


Com as informaes da observao anterior, constatamos que:

no caso em que ambos os sitemas tm a mesma orientao,

y = OP , ~f2 = (x a)~i+ (y b)~j,sen ~i+ cos ~j= (x a)sen + (y b) cos

mas se ambos os sistemas tm orientaes opostas,

y = (x a)sen (y b) cos

Portanto, as frmulas de mudana de coordenadas so:

x = (x a) cos + (y b)sen y = (x a)sen + (y b) cos (11.1)

ou

x = (x a) cos + (y b)sen y = (x a)sen (y b) cos (11.2)

se o novo sistema OX Y tiver a mesma orientao do sistema

OXY ou no.

Exemplo 11.2.1. Seja P um ponto no plano com coordenadas

(1, 1) no sistema OXY . Vamos vericar o que ocorre com as co-

ordenadas de P se zermos uma mudana nos eixos coordenados

girando = 450. Deste modo, as novas coordenadas devem ser

dadas por (11.1):

x = (x 0) cos 45o + (y 0)sen 45o

y = (x 0)sen 45o + (y 0) cos 45o(11.3)

Note que nas equaes (11.3)consideramos = 45o e que a nova

origem O = (0, 0) coincide com a anterior, pois apenas zemos

uma rotao dos eixos. Ento,

x = (x 0) cos 45o + (y 0)sen 45o

y = (x 0)sen 45o + (y 0) cos 45o

x =

22x+

22y

y =

22x+

22y

176


11AULA

portanto, se para P = (1, 1) no sistema OXY , no novo sistema

temos

x =

22

1 +

22

1

y =

22

1 +

22

1 x

=

2

y = 0

Logo, as coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas ro-

tacionado de 45o, OX Y , so dadas por (

2, 0). E no caso do

ponto Q = (

2,22) no sistema de coordenadas OXY , no novosistema ca (1,3). Veja a gura (11.2).

Figura 11.84: Os pontos P e Q esto representados em ambos os

sistemas coordenados.

11.3 Obtendo as coordenadas antigas em fun-

o das novas

Note que as equaes para obtermos (x, y), dependendo de x,

y e do ngulo , podem ser invertidas, e assim, voc consegue

obter frmulas que para (x, y) dependem de x, y e do ngulo .

177


Multiplicando a primeira equao em (11.1) por sen , a segunda

equao em (11.1) por cos , e sem esquecer que

sen 2 + cos2 = 1,

temos que

xsen = (x a)sen cos + (y b)sen 2

x cos = (x a)sen cos + (y b) cos2

e somando as equaes, obtemos

xsen + y cos = y b

e assim, y = xsen + y cos + b . Multiplicando a primeira equa-

o em (11.1) por cos e a segunda equao em (11.1) por (sen ),analogamente ao que zemos para a expresso anterior, podemos

obter x = x cos ysen + a . Procedendo da mesma forma,podemos inverter o sistema (11.2) e obter as equaes:

x = x cos ysen + ay = xsen + y cos + b(11.1)

x = x cos + ysen + a

y = xsen y cos + b(11.2)

Com as equaes dadas em (11.1 e 11.2) podemos obter de volta

as coordenadas (x, y) do ponto P , no sistema OXY , em funo das

coordenadas (x, y) do sistema OX Y . Como antes salientamos,

usamos o primeiro par de equaes em (11.1) quando os sistemas

tm a mesma orientao, enquanto o segundo par de equaes em

(11.2) utilizado quando os sistemas tm orientaes opostas.

Vejamos alguns exemplos.

178


11AULA

Exemplo 11.3.1. Considere a curva de equao x2+4y2 = 4, que

voc pode transformar em

x2

4+y2

1= 1, bastando apenas dividir

a equao x2 + 4y2 = 4 por 4, o que nos permite vericar que

a expresso representa uma elipse. Procedendo como no exemplo

(11.2.1), vejamos o que ocorre com essa equao ao se efetuar a

mudana da rotao dos eixos de 45o. As novas coordenadas x e y

de um ponto do plano so obtidas a partir das antigas coordenadas

x e y pelas expresses

x = x cos 45o ysen 45o + 0y = xsen 45o + y cos 45o + 0

x =

2

2x

2

2y

y =

22x +

2

2y

Substituindo na equao da elipse, percebemos que(2

2x

2

2y)2

+

(2

2x +

2

2y)2

= 4

x2

2+y2

2 xy + 2x2 + 4xy + 2y2 = 4

5x2

2+

5y2

2+ 3xy = 4

Observe que a equao se torna mais complexa do que antes, di-

cultando o seu reconhecimento. E assim, no mais evidente que

a equao anterior representa uma elipse.

Apesar do exemplo (11.2.1), voc deve ter percebido que a mu-

dana de coordenadas tornou tornado a equao da elipse mais

complicada, em geral, uma das utilizaes dessas mudanas se faz

no sentido de facilitar o reconhecimento de equaes, neste caso,

da elipse.

179


Figura 11.85: x2 + 4y2 = 4 em um sistema de coordenadas e5x2

2+

5y2

2+ 3xy = 4 no outro.

Exemplo 11.3.2. Seja E o conjunto dos pontos P = (x, y) tal

que x2 xy + y2 = 1. Fazendo uma rotao positiva de 45o sobreo sistema de eixos OXY , constitumos novas coordenadas x e y,

tal que

x =

22

(x y) e y =

22

(x + y)

E substituindo na equao anterior, temos

x2 xy + y2 =(

22

(x y))2(

22

(x y))

(

22

(x + y)

)+

(2

2(x + y)

)2

x2 xy + y2 = 12x2 +

32y2

e assim, o conjunto E, representado pela equao x2xy+y2 = 1,poder ser representado nas novas coordenadas por

12x2 +

32y2 = 1

Isso nos mostra que o conjunto E uma elipse cujo eixo maior est

sobre o eixox, ou seja, a reta x = y.

180


11AULA

Figura 11.86: x2 xy + y2 = 1 em um sistema coordenadas ex2

2+

3y2

2= 1 no outro.

11.4 Resumo

Nesta aula, voc conheceu as mudanas de coordenadas no plano

e vericou que efetuando rotaes ou translaes (ou ambas) dos

eixos coordenados podemos melhor reconhecer uma cnica ou, sim-

plesmente, facilitar a representao de uma equao.

11.5 Atividades

1. Uma mudana de eixos no plano manteve a origem xa, en-

quanto as coordenadas dos pontos (1, 0) e (0, 1) passaram a

ser (a, b) e (c, d), respectivamente.

(a) Quais so as novas coordenadas do ponto (2, 3)?

(b) Caso (a, b) = (1, 1) e (c, d) = (1, 1), quais seriam asnovas coordenadas do ponto (0, 2)?

2. Determine a translao de eixos que elimina os termos x e y

na equao 9x2 + 4y2 + 18x+ 24y 26 = 0 e permite, assim,reconhecer a curva que ela representa.

181


3. Efetue uma rotao de 60o no eixos OX e OY e identiquea curva 31x2 + 21y2 + 10

3xy = 144.

4. Se A = (a, b) e C = (c, d), sabemos que a expresso ac + bd

permanece invariante (ou seja, inalterada) por mudana de

coordenadas, pois o produto interno ~u,~v = |~u||~v| cos(AOC),em que ~u =

OA e ~v =

OC. Mostre diretamente que se

A = (a, b) e C = (c, d) num novo sistema de coordenadas,

ento ac + bd = ac+ bd.

5. Num sistema de coordenadas em que se tem F1 =

(3

32,3

2

)

e F2 =

(3

32,32

), determine a equao da elipse que tem

esses pontos como focos e cujo eixo menor tem comprimento

6.

6. Qual a equao da parbola cujo foco o ponto F = (1, 2)

e cuja diretriz a reta x+ 2y = 5?


Comentrios : Conseguiu resolver as atividades 1,3 e 5? Ento

voc entendeu como funciona a mudana de coordenadas no plano

rotacionando os eixos coordenados. Se conseguiu fazer a atividade

2, percebeu como funcionam as mudanas de coordenadas usando

translaes. Na questo 4, voc deve ter combinado ambas as

mudanas, rotao e translao para resolv-la. Ainda nesta ativi-

dade, voc pde perceber mais uma das propriedades dos vetores

mediante uma mudana de coordenadas.

Se ainda tiver diculdades, volte e reveja com cuidado os con-

182


11AULA

ceitos apresentados na aula. No esquea que h tutores para

ajudar a eliminar as suas dvidas. Desde j, lembre-se de discutir

os contedos com seus colegas.

11.7 Referncias


kron Books, 1987.



BOLDRINI, Jos Luiz, lgebra Linear . So Paulo, Harbra, 1980.

183

12AULA

2LIVRO

Formas Quadrticas

META

Introduzir o conceito de formas qua-

drticas no plano e exemplic-las.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno dever

reconhecer formas quadrticas

planares, ou seja, com 2 variveis;

efetuar mudanas de coordenadas;

e utilizar a equao caracterstica

associada a uma forma quadrtica

para obter os autovalores e auto-

vetores com o intuito de melhor

visualizar cnicas cuja classicao

no seja imediata.

PR-REQUISITOS

Ter compreendido as mudanas de

coordenadas e as denies das

cnicas (parbola, elipse e hipr-

bole)(Aulas 8, 10 e 11).

Formas Quadrticas

12.1 Introduo

Nesta aula, aplicaremos nossos conhecimentos de mudana de co-

ordenadas e conheceremos outras ferramentas para ajudar na per-

cepo de cnicas cuja classicao no seja imediata.

Dadas as funes : R2 R denidas por

(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (12.1)

Iremos analisar o seu conjunto de nvel.

Denio 12.35.

Dizemos que o ponto P = (x, y) est no nvel c (ou temnvel c) em relao a quando (x, y) = c, com c R.

O conjunto de pontos P = (x, y) que obedecem a (x, y) = c chamado de conjunto de nvel.

Exemplo 12.1.1. Seja f : R2 R, dada por f(x, y) = x 2y,ento o conjunto de nvel dado por f(x, y) = c so todas as retas

da forma x 2y = c.

Figura 12.87: x 2y = c.

186


12AULA

Exemplo 12.1.2. J para a funo (x, y) = x2 + y2, note que os

conjuntos de nvel de (x, y) = c com c > 0 so circunferncias de

raio

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