1N m g

gmm

ma

21

2

g

mmmm

amT21

211

N

1m g

2m g

T

T x

y

Bloco 1

Bloco 2

22 amTgm

amF yy

gmNFy 10 amTamF xx 1 (1)

(2)

, igualamos (1) e (2) TT

Exemplo 15. Calcular a tensão nos fios e a aceleração dos blocos. Não há atrito entre o bloco e a superfície. Os fios e a roldana são ideais.

amgmT 22

Como amgmam 221

221 gmamam )( 221 gmamm

OUTRO MODO DE VER O PROBLEMA

Tratamos m1 e m2 como um corpo só com uma força interna T. Nesse caso, T não precisa aparecer no diagrama dos blocos isolados.

2 1 2( )m g m m a

2

1 2

ma g

m m

N

1m g

2m g

T

T

Trata-se na verdade de um problema unidimensional !

A TERCEIRA LEI DE NEWTON

A TERCEIRA LEI DE NEWTON transmite a noção de que as forças são sempre interacções entre dois corpos:

“Se dois corpos interagem, a força exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em módulo , mas oposta em direcção à força exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1”:

12F

21F

2112 FF

12F

21F

Exemplo

As forças e constituem um

par acção-reacção

12F

21F

As forças do par ação-reação:

nunca actuam no mesmo corpo

nunca se cancelam

têm mesmo módulo e mesma direcção, e sentidos opostos

(1) (2)

Figura 1. O punho golpeia o saco (e produz uma cavidade no saco) enquanto o saco golpeia o punho de volta (e interrompe o movimento do punho). Ao atingir o saco, há uma interacção com o saco que envolve um par de forças. O par de forças pode ser muito grande.

Figura 2. O punho do boxeador pode apenas exercer tanta força sobre o lenço de papel quanto o lenço é capaz de exercer sobre o punho.

1. O boxeador pode golpear um saco massivo com uma força considerável.

2. Com o mesmo golpe ele pode exercer apenas uma pequenina força sobre um lenço de papel no ar.

Outros exemplos da 3ª Lei de Newton

PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO(OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR)

(o momento total de um sistema isolado permanece constante)

Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante

Supomos duas partículas que interagem entre si.

12F

21F

111 vmp

222 vmp

1m

2m

De acordo com a terceira lei de Newton

e formam um par acção e reacção e

12F

21F

2112 FF

Podemos expressar essa condição como

02112 FF

dtpd

dtpd 21

constantetotal21 ppp

0)( 21

dtppd

(num instante t)

Exemplo 16. Suponha que um peixe nada em direcção a outro peixe menor. Se o peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direcção de um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.

O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

constantealmoço do depoisalmoço do antes pp

constante'' mvMVmvMV

'kg) 1kg 5(kg)(0) 1(m/s) kg)(1 5( V

'kg) 6(m/s kg 5 V 'kg) 6(m/s kg 5 V m/s )6/5(' V m/s 8.0'V

FORÇA GRAVITACIONAL

urmmGFg

2

21

A força gravitacional é a força mútua de atracção entre dois corpos quaisquer do UniversoA lei da gravitação de Newton afirma que toda a partícula do Universo atrai qualquer outra partícula com uma força que é directamente proporcional ao produto das massas das partículas e inversamente proporcional ao inverso do quadrado da distância entre elas.

onde G é a constante gravitacional universal2211 kg/Nm 1067.6 GNo SI

A MASSA INERCIAL que aparece na segunda lei de Newton ( ) e que tem a ver com a resistência ao movimento e a MASSA GRAVITACIONAL que aparece na lei da gravitação universal são as mesmas.

2112 FF

A força gravitacional entre duas partículas é atractiva

12F

21F

amf

Podemos reescrever a lei da gravitação Universal de Newton usando a segunda lei de Newton

ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

umgFg

2rM

Gg T

onde g é a aceleração da gravidade

Comparando com a expressão da lei da gravitação de Newton

urmM

Gumg T 2

obtemos

O peso de um corpo na Terra é a força com que a Terra atrai a massa com que esse corpo é feito .

Foi Newton que esclareceu a diferença entre a MASSA e o PESO de um corpo

gF

EXEMPLOS DE FORÇA GRAVITACIONAL

r

CENTRO DE MASSA

2

2

dtxd

dtdx

dtd

dtdva

SISTEMA DE 2 PARTÍCULAS

A aceleração instantânea de uma partícula é

Para o sistema de duas partículas, temos

Fdtxdm

dtxdm 2

22

221

2

1

(1) 22211

2

Fdt

xmxmd

onde F é a força externa resultante que actua sobre o sistema

F1

F12 F21 F2

FFF

21

Famam

2211

Definimos 21

2211CM mm

xmxmx

CM212CM

2

21 )()( ammdtxdmmF

CM212211 )( xmmxmxm portanto

Substituindo na equação (1)

onde M=m1+m2 é a massa total do sistema

CENTRO DE MASSA (cont)

(1) 22211

2

Fdt

xmxmd

obtemos

CM2CM

2

ou MadtxdMF

O sistema se comporta como se toda massa estivesse concentrada no ponto xCM (centro de massa) e a força externa agisse sobre ele.

M

xCM

F

2CM

2

dtxdMF

Exemplo 17. Calcular o centro de massa dos seguintes sistemas de duas partículas.

21

2211CM mm

xmxmx

(a) 21 mm xxCM

1x 2x

2

21CM m

mxmxx 2

21CM

xxx

x

x1

2x(b) 21 mm

1 xxCM 1

11

21

2211CM

mxm

mmxmxmx

muito pequeno

muito pequeno

CM x

Centro de massa

EXEMPLO

No caso particular em que

.cteCMCM vdtdx

0F 02

2

dtxda

m = 80 kg m = 60 kg

Exemplo 18. Dois patinadores no gelo (sem atrito com o chão) encontram-se inicialmente a uma distância de 12 m. Eles puxam as extremidades de uma corda até se encontrarem. Em que ponto eles se encontram? O resultado depende das forças exercidas por eles?

Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem velocidade constante.

m 1.5m 6080

kg 60m 12kg 800 CM

x

21

2211CM mm

xmxmx

Os patinadores se encontrarão a 5.1 m da posição inicial do patinador da esquerda.

O resultado não depende das forças exercidas por eles uma vez que são forças internas

N

iii

N

NN xmMmmm

xmxmxmx121

2211CM

1

CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS NUMA DIMENSÃO

CENTRO DE MASSA PARA N PARTÍCULAS EM TRÊS DIMENSÕES

Se um corpo consiste de uma distribuição contínua de massa, podemos dividi-lo em porções infinitesimais de massa dm e a soma transforma-se numa integral:

N

iiirmM

r1

CM1ou

onde

CENTRO DE MASSA PARA CORPOS CONTÍNUOS E UNIFORMES

A posição do centro de massa de um sistema pode ser determinada como a posição média da massa do sistema