Zero de função

Problema

O cálculo de raízes de funções encontra um grande emprego na obtenção da solução de uma vasta gama de problemas de engenharia.

Em geral, trata-se de determinar o(s) valores de x tal que f(x)=0, onde f é a função cujo raízes são a determinar.

Métodos matemáticos

A matemática fornece métodos formais que permite a determinação exata das raízes em diversos casos.

Os métodos mais conhecido permitem a determinação de raízes de polinômios ate grau 3, ou grau maior mais em certas condições.

Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos resolvíveis.

Exemplos

Polinômios do primeiro e segundo grau ou transformáveis em polinômios do primeiro ou segundo grau:

Funções cuja a recíproca é conhecida:

2

2

2 3 0; 3 5 0

2sin 3 0;sin 3sin 5 0

x x x

x x x

10log 5 0x

Determinação gráfica

A representação gráfica de uma função é uma fonte de informações úteis sobre o comportamento da função, particularmente para a determinação das raízes.

Além disso, o grafo permite de compreender o funcionamento dos métodos numéricos para determinar as raízes.

Raízes com gráfico

Raízes são dadas pelos pontos de interseção do grafo com o eixo dos x.

Métodos numéricos

Mesmo com um método formal, o(s) valor(es) calculado(s) pelo computador é aproximado, a não seja usar um CAS.

Existem métodos numéricos que permite aproximar as raízes em casos gerais, inclusivo casos que a matemática não resolva de formalmente.

Métodos numéricos

Vamos estudar três métodos de determinação de raízes: Bisseção Secante Newton-Raphson

Bisseção

Th: Se y=f(x) é uma função contínua e muda de sinal no intervalo [a,b] (isto é se f(a).f(b)<0), então existe pelo menos um ponto x0 [a,b] tal que f(x0)=0.

Além disso, se f’(x) não muda de sinal em [a,b], x0 é a única raiz de f(x) nesse intervalo.

Bisseção

Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto médio do intervalo.

Considerando o intervalo [a,b] Se , o novo intervalo e [a,(a+b)/2]

Se , o novo intervalo e [(a+b)/2,b]

( ). ( ) 02

a bf a f

( ). ( ) 02

a bf b f

Algoritmo

Raiz(f,a,b,tol) Enquanto (|a-b|>tol)

x=(a+b)/2Se f(x).f(a)<0

b=x

Senão a=x

Resultado=(a+b)/2

Bisseção

Esse método, com um bom escolhe do intervalo inicial, é adaptado com a representação dos números do computador: a divisão por 2 a cada passo é uma operação simples.

A convergência do algoritmo é garantida, o algoritmo não saia do intervalo inicial, esse intervalo é cada vez dividido por dois,

A convergência é muito lenta: para ganhar uma decimal (base 10), preciso de 3 a 4 passos.

Secante

O método da secante funciona sobre o mesmo princípio que a bisseção e necessita da mesma condição inicial: continuidade da função.

Secante

Com esse método, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)). O candidato para ser raiz é o ponto de interseção desse segmento com o eixo x.

Secante

Determinação de XN:

Temos a relação:

De onde podemos extrair XN:

( )

( )D ND

E E N

X Xf X

f X X X

( ) ( )

( ) ( )D E E D

ND E

f X X f X XX

f X f X

Secante

O segmento (XN,f(XN)); (XD,f(XD)) é usado para determinar o valor do passo seguinte.

Algoritmo

Raiz(f,a,b,iter) Repete iter vezes

b=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b)) Resultado=b

Falsa posição

O método da falsa posição aparece como uma combinação entre o método da secante e a bisseção. As condições iniciais são as mesma que no caso da bisseção (intervalo onde a função troca de sinal).

Falsa posição

Como no caso da secante, determinamos um ponto a partir da assimilação da curva com um segmento passando pelos pontos (XE, f(XE)) e (XD, f(YD)).

Temos:( ) ( )

( ) ( )D E E D

ND E

f X X f X XX

f X f X

Falsa posição

No caso da falsa posição, o novo segmento é determinado em função dos sinais de f(XN)f(XD) e f(XN)f(XE).

Se f troca de sinal entre XE e XN, o novo intervalo é [XE, XN], senão o novo intervalo é [XN, XE].

Algoritmo

Raiz(f,a,b,iter) Repete iter vezes

x=(b.f(a)-a.f(b))/(f(a)-f(b))Se f(x).f(a)<0, b=xSenão a=x

Resultado=x

Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson não precisa de um intervalo inicial. Ela considera que a curva no ponto inicial pode ser aproximada com a reta tangente à curva nesse ponto.

Newton-Raphson

De forma equivalente, consista também a considerar a função como aproximada nesse ponto pela série de Taylor de 1° grau:

f(x1)=f(x0)+(x1-x0).f’(x0) Determinação de XN:

XN=XD-f(XD)/f’(XD)

Newton-Raphson

Por um processo iterativo, a raiz pode ser aproximada:

xi+1=xi-f(xi)/f’(xi)

Algoritmo

Raiz(f,x0,iter) X=x0 Repete iter vezes

X=X-f(X)/f’(X) Resultado=X

Newton-Raphson e Secante

Os dois métodos de secante e Newton-Raphson são próximos. O método da secante é o método de Newton-Raphson aonde a derivada no ponto inicial é substituída pela diferencia finita. A vantagem da secante é que não é necessário conhecer a função derivada.

Convergência

A convergência desses métodos é em geral mais rápida que no caso da bisseção. O método da bisseção usa sempre o mesmo algoritmo para qualquer função enquanto os outros métodos usam o comportamento da curva (diferencia finita ou derivada) para se aproximar da raiz.

Convergência

Se Newton-Raphson e Secante podem ser mais eficiente, elas podem ser também com dificuldade de convergência se a função tem variação do sinal da derivada próxima da raiz procurada.

Convergência

Vários critérios podem ser usados para decidir de para a aplicação do algoritmo: um número dado de iterações, quando a diferencia entre dois passo de uma iteração é

menos que um erro |xi+1-xi|< quando o valor da função em xi é perto de 0 |f(xi)|< quando os dois últimos critérios não para o algoritmo, ele

pode ser parado porque considerado como não convergente.