Lugar das Raízes

Introducao Construcao Exemplo das Regras

Lugar das Razes

Prof. Marcelo Cad

Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da Bahia

Engenharia Qumica

[email protected]

12 de agosto de 2013.

Lugar das Razes Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da Bahia Engenharia Qumica [email protected]


Sumario

Introducao

Construcao

Exemplo das Regras



Introducao

O metodo do lugar das razes, que consiste basicamente emlevantar a localizacao dos polos de um sistema em malhafechada em funcao da variacao de um parametro K;



Introducao


O projeto de controladores envolve sempre a escolha dalocalizacao de polos e zeros do sistema em malha fechada,que deve ser traduzida atraves da escolha da estrutura docontrolador e dos seus parametros (Como em controlares P,PI, PD e PID);



Introducao


O projeto de controladores envolve sempre a escolha dalocalizacao de polos e zeros do sistema em malha fechada,que deve ser traduzida atraves da escolha da estrutura docontrolador e dos seus parametros (Como em controlares P,PI, PD e PID);

Equipamento de Controle - equipamento que recebeinformacoes provenientes do operador, do processo a sercontrolado, etc., e emite ordens ao Sistema Controlado.



Malha Fechada

Seja o sistema de malha fechada a seguir:

Obtem-se a seguinte funcao de transferencia:

Y (s)

R(s)=

kG(s)

1 + kG(s)ou

Y (s)

R(s)=

kN(s)

D(s)

1 + kN(s)

D(s)

=kN(s)

D(s) + kN(s)

(1)



Malha Fechada

Da equacao (1): sabe-se que os polos sao as razes da equacaocaracterstica do sistema:

1 + kG(s) = 0 ou D(s) + kN(s) = 0

Torna-se evidente que o valor dos polos do sistema dependedo valor de k;



Malha Fechada

Da equacao (1): sabe-se que os polos sao as razes da equacaocaracterstica do sistema:

1 + kG(s) = 0 ou D(s) + kN(s) = 0

Torna-se evidente que o valor dos polos do sistema dependedo valor de k;

Sabe-se que se fizermos variar k de 0 a +, os polos dosistema realimentado tomarao todos os valores possveisconsistentes com a realimentacao negativa (se k fossenegativo teramos realimentacao positiva!).



Malha Fechada - Exemplo

Supondo G(s) =1

s + 2, em malha fechada teramos:

1 + kG(s) = 0 ou s + 2 + k = 0

Variando os valores de k tem-se o grafico mostrado na Figura 7.E facil verificar que a posicao do polo ira variar de acordo com oaumento de k e que para k = 0 o polo e o polo de malha aberta ea medida que aumentamos o k, o grafico tende a infinito.



Malha Fechada - Exemplo



Sumario

Introducao

Construcao

Exemplo das Regras



Regras para construcao

1. O numero de ramos e igual ao numero de polos da funcaotransferencia em malha aberta;





2. Os ramos sao curvas contnuas;






3. Os ramos do lugar das razes comecam nos polos da funcaotransferencia em malha aberta e terminam ou nos zeros ouentao no infinito;







4. O lugar das razes e simetrico com relacao ao eixo real;








5. Um ponto s0, no eixo real, pertence ao lugar das razes, se esomente se, o numero de polos mais zeros em malha abertano eixo real, a` direita de s0, for mpar;








5. Um ponto s0, no eixo real, pertence ao lugar das razes, se esomente se, o numero de polos mais zeros em malha abertano eixo real, a` direita de s0, for mpar;

6. Os pontos onde os ramos deixam e regressam ao eixo real saopontos onde K, considerado como uma funcao de s e s realatinge um maximo ou mnimo local, respectivamente.




7. Se os eixos real e imaginario tiverem escalas identicas, entao oangulo da tangente ao lugar das razes num polo ou zero demalha aberta pode ser obtido somando, segundo a condicaode angulo:

n

i=1

(s0 zi)d

i=1

(s0 pi) = (2l + 1)180o

os angulos de todos os outros polos e zeros com o polo ouzero em questao e adicionando 1800 a esta soma.




8. Para valores elevados de modulo das razes, (d-n) ramos saoassintoticos a`s linhas retas com angulos em relacao ao eixoreal dados por e interceptando o eixo real no ponto:

=

d

i=1 pi

n

i=1 zi

d n




8. Para valores elevados de modulo das razes, (d-n) ramos saoassintoticos a`s linhas retas com angulos em relacao ao eixoreal dados por e interceptando o eixo real no ponto:

=

d

i=1 pi

n

i=1 zi

d n

9. Quando os ramos cruzam o eixo imaginario, os pontos decruzamento e o ganho nesses pontos podem ser determinadospelo criterio de Routh-Hurwitz.



Sumario

Introducao

Construcao

Exemplo das Regras



Exemplo das Regras

Seja um sistema com: G(s) =(s2 + 1)

s(s + 2)e H(s) = 1;



Exemplo das Regras


s(s + 2)e H(s) = 1;

A funcao de transferencia em malha fechada e:

C(s)

R(s)=

K(s2 + 1)

s(s + 2) + K(s2 + 1)



Exemplo das Regras


s(s + 2)e H(s) = 1;


C(s)

R(s)=

K(s2 + 1)

s(s + 2) + K(s2 + 1)

Os polos de malha aberta sao: p1 = 0 e p2 = 2;



Exemplo das Regras


s(s + 2)e H(s) = 1;


C(s)

R(s)=

K(s2 + 1)

s(s + 2) + K(s2 + 1)

Os polos de malha aberta sao: p1 = 0 e p2 = 2;

Os zeros de malha aberta sao: z1 = j e z2 = j.



Exemplo das Regras



Analise do Exemplo

Da regra 5 podemos ver que [-2,0] pertence ao lugar dasrazes;



Analise do Exemplo


A regra 3 estabelece que ele comeca em (-2+j0) e (0+j0) etermina em (-j) e (+j);



Analise do Exemplo



da regra 2 como os ramos sao curvas contnuas devem deixare reentrar no eixo real em algum lugar do intervalo [-2,0];



Analise do Exemplo



da regra 2 como os ramos sao curvas contnuas devem deixare reentrar no eixo real em algum lugar do intervalo [-2,0];

da regra 6, tem-se:

s(s + 2) + K(s2 + 1) = 0 K =s(s + 2)

(s2 + 1)



Analise do Exemplo

Entao dK/dS da s 0, 618. Substituindo na equacao de Kpode- se ver que os valores de K no ponto de sada e 0,618;



Analise do Exemplo

Entao dK/dS da s 0, 618. Substituindo na equacao de Kpode- se ver que os valores de K no ponto de sada e 0,618;

da regra 9, tem-se o valor de K para o sistema ter polosimaginarios puros

(K + 1)s2 + 2s + K = 0

Aplicando o criterio de Routh-Hurwitz, tem-se:

s2 (K+1) Ks1 2 0s0 K

Se K = 0 o sistema tera polos imaginarios puros.


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