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Cálculo Numérico

Zeros de funções reais

Agenda

• Introdução

• Isolamento de raízes

• Refinamento

• Bissecção

• Posição Falsa

• Método do ponto fixo (MPF)

• Método de Newton-Raphson

• Método da secante

prof. Daniel Oliveira

Introdução

• Um número real ξ é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(ξ) = 0

• Os valores de x que anulam f(x) podem ser reais ou complexos

• Os zeros de função são representados pelas abscissa dos pontos onde uma curva intercepta o eixo X


Introdução


Introdução

• Fases para obtenção da raiz

– Isolamento

– Refinamento


Isolamento de raízes

• Teorema 1

“ Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se f(a).f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x=ξ entre a e b que é zero de f(x).”

Sob a hipótese do teorema:

“Se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x)”




-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

a

b



-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ba


• Seja: f(x) = x3-9x+3



• Analisando os valores e mudança de sinal


x -∞ -100 -10 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 5

f(x) - - - - + + + - - + + +


• Processos de aproximação das raízes:

– Esboçar o gráfico da função e localizar os pontos aonde a curva toca o eixo x, ou;

– A partir de f(x)=0 obter h(x)=g(x), esboçar os dois gráficos e localizar os pontos aonde se interceptam. Pois f(ξ)=0 ↔ g(ξ)=h(ξ), ou;

– Utilização de softwares para traçar o gráfico da função.



• f(x) = x3-9x+3


1

2

3

( 4, 3)

(0,1)

(2,3)

• Escrevendo:



3( )

( ) 9 3

g x x

h x x

ξ2ξ1

ξ3

Refinamento

• Todos os métodos são da classe dos métodos iterativos

• Método iterativo – conjunto de instruções executadas passo a passo, podendo ser repetidas em ciclos

• Cada ciclo é chamado de iteração

• Estes métodos fornecem apenas uma aproximação para a solução exata


Refinamento


Refinamento

• Critérios de parada

– Quando parar o algoritmo ???

– Xk está suficientemente próximo da raiz???


x é a raiz aproximada com precisão ɛ se:

)

ou

) ( )

i x

ii f x

Refinamento

• Como ξ não é conhecida, temos que a cada iteração reduzir o intervalo que contém a raiz, tal que:


( , )a b

e

b a

[ , ], .

Portanto, [ , ] pode ser tomado como

x a b x

x a b x

Refinamento


f(x)

x

a

b

ξ

ɛ

Bissecção

• A função f(x) é contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0

• O objetivo é reduzir o intervalo de tal forma que (b-a)<ɛ

• Este método reduz o intervalo dividindo-o ao meio sucessivamente


Bissecção


0 0 0

0 00 0 1 0

0 1 0

( ) 0 ( , )

( ) 02

( ) 0

f a a xa b

x f b a a

f x b x

1 1 1

1 11 1 2 1

1 2 1

( ) 0 ( , )

( ) 02

( ) 0

f a x ba b

x f b a x

f x b x

2 2 2

2 22 2 3 2

2 3 1

( ) 0 ( , )

( ) 02

( ) 0

f a x ba b

x f b a x

f x b x

Bissecção

Seja f(x) contínua em [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0

1) Dados Iniciais: a) Intervalo inicial [a,b]

b) Precisão ɛ

2) Se (b-a) < ɛ, então escolha para x aproximado qualquer x em *a,b+. FIM

3) K = 1

4) M = f(a)

5) x = (a + b) / 2

6) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 8

7) b = x

8) Se (b-a) < ɛ, escolha para x aproximado qualquer x em *a,b+. FIM

9) k = k + 1. Volte para o passo 5.


Bissecção


3

3

( ) 9 3

[0,1]

10

f x x x

I

A M=f(A) B f(B) X f(X) Erro

0,000000000 3,000000000 1,000000000 -5,000000000 0,500000000 -1,375000000

0,000000000 3,000000000 0,500000000 -1,375000000 0,250000000 0,765625000 0,250000000

0,250000000 0,765625000 0,500000000 -1,375000000 0,375000000 -0,322265625 0,125000000

0,250000000 0,765625000 0,375000000 -0,322265625 0,312500000 0,218017578 0,062500000

0,312500000 0,218017578 0,375000000 -0,322265625 0,343750000 -0,053131104 0,031250000

0,312500000 0,218017578 0,343750000 -0,053131104 0,328125000 0,082202911 0,015625000

0,328125000 0,082202911 0,343750000 -0,053131104 0,335937500 0,014474392 0,007812500

0,335937500 0,014474392 0,343750000 -0,053131104 0,339843750 -0,019343913 0,003906250

0,335937500 0,014474392 0,339843750 -0,019343913 0,337890625 -0,002438627 0,001953125

0,335937500 0,014474392 0,337890625 -0,002438627 0,336914063 0,006016918 0,000976563

Bissecção

• Convergência

“Se f(x) é contínua no intervalo [a,b] e f(a)f(b)<0,o método da bissecção vai gerar uma sequência{xk} que converge para a raiz.”


Bissecção

• Estimativa do número de iterações


0 0log( ) log( )

log(2)

b ak

Posição Falsa

• O método utiliza a média ponderada entre a e b com pesos |f(b)| e |f(a)|


( ) ( )

( ) ( )

af b bf ax

f b f a

Posição Falsa

1) Dados iniciaisa) Intervalo inicial [a,b]

b) Precisões ɛ1 e ɛ2

2) Se (b-a) < ɛ1 então escolha a raiz para qualquer x em [a,b]. FIM. Se |f(a)| < ɛ2 ou se |f(b)| < ɛ2 → escolha a ou b como raiz e FIM.

3) k = 1

4) M = f(a)

5) x = [af(b)-bf(a)]/[f(b)-f(a)]

6) Se |f(x)| < ɛ2, escola x como raiz e FIM

7) Se Mf(x) > 0, faça a=x. Vá para o passo 9

8) b = x

9) Se b-a < ɛ1, então escolha a raiz para qualquer x em [a,b]. FIM.

10) k = k + 1. Volte para o passo 5.


Posição Falsa


3

4

1 2

( ) 9 3

[0,1]

5 10

f x x x

I

x

a f(a) b f(b) x f(x) Erro b-a0,000000000 3,000000000 1,000000000 -5,000000000 0,375000000 -0,322265625 1,0000000000,000000000 3,000000000 0,375000000 -0,322265625 0,338624339 -0,008790199 0,313475426 0,3750000000,000000000 3,000000000 0,338624339 -0,008790199 0,337635046 -0,000225884 0,008564315 0,3386243390,000000000 3,000000000 0,337635046 -0,000225884 0,337609625 -0,000005795 0,000220089 0,337635046

Posição Falsa

• Convergência

“Se f(x) é contínua no intervalo *a,b+ com f(a)f(b)<0 então o método da posição falsa gera uma seqüência convergente”


MPF

• Consiste em transformar a equação f(x)=0 em uma equação equivalente x = ϕ(x)

• A partir de uma aproximação inicial x0 gerar uma seqüência de aproximações para ξ

• A função ϕ(x) é tal que f(ξ)=0 se e somente se ϕ(ξ)= ξ

• O problema de encontrar zero de f(x) é encontrar um ponto fixo de ϕ(x)


MPF

• Para


2 6 0x x

2

1

2

3

4

6

6

61

6

1

x

x

x

x

MPF


MPF

• Nem todas ϕ(x) geram uma seqüência convergente.

• Quais das duas geram uma sequênciaconvergente para a raiz ξ = 2 com x0 = 1.5 ?


2

1

2

6

6

x

x

MPF

• Convergência

“Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num intervalo I centrado em ξ. Seja ϕ(x) uma função de iteração para a equação f(x)=0. Se:

• ϕ(x) e ϕ’(x) são continuas em I

• | ϕ’(x)|≤ M < 1, para qualquer x no intervalo I

• X0 pertence ao intervalo I”


MPF

• Algoritmo


1) Dados iniciais: x0 aproximação inicial e ξ1 e ξ2 são as precisões

2) Se |f(x0)| < ξ1 , faça x = x0 e FIM3) k = 14) x1 = ϕ(x0)5) Se |f(x1)| < ξ1 ou se |x1-x0|< ξ2 , então faça x = x1 e FIM6) x0=x1

7) k=k+1 e volte para o passo 4

MPF

• Exemplo


3

3

0

4

1 2

( ) 9 3

1( )

9 3

0.5

5 10

(0,1)

f x x x

xx

x

MPF

• Encontre o zero de f(x)


2

0

1 2

( ) 6

6( )

1

1.5

0.1

(1.5, 2.5)

f x x x

xx

x

MPF

• Encontre o zero da f(x)


2

2

0

4

1 2

( ) 4

( )2

0.5

10

(0,1)

x

x

f x e x

ex

x

Método de Newton-Raphson

• Este método é um melhoramento do MPF

• É determinado uma ϕ(x), que acelere a convergência do MPF, tal que ϕ’(ξ) = 0


( )( )

( )

f xx x

f x


• Escolhido x0, a sequência {xk} será determinada por:


1

( )

( )

kk k

k

f xx x

f x


• Exemplo:


2

2

0

( ) 6

6( )

2 1

1.5

2

f x x x

x xx x

x

x

k X f(x) f´(x) Phi(x) Erro

0 1,5000 -2,2500 4,0000 2,0625

1 2,0625 0,3164 5,1250 2,0008 0,061738

2 2,0008 0,0038 5,0015 2,0000 0,000762

3 2,0000 0,0000 5,0000 2,0000 1,16E-07


• O método irá convergir se f(x),f´(x) e f´´(x) forem contínuas no intervalo I que contém a raiz de f(x) = 0.

• Em geral, afirma-se que o método de Newton converge desde que x0 seja escolhido “suficientemente próximo” da raiz ξ.



• Exemplo


2

2

0

( ) 6

6( )

2 1

0

2

f x x x

x xx x

x

x

k X f(x) f´(x) Phi(x) Erro

0 0,0000 -6,0000 1,0000 6,00001 6,0000 36,0000 13,0000 3,2308 2,7692312 3,2308 7,6686 7,4615 2,2030 1,0277563 2,2030 1,0563 5,4060 2,0076 0,195394 2,0076 0,0382 5,0152 2,0000 0,0076125 2,0000 0,0001 5,0000 2,0000 1,16E-05


• Algoritmo


1) Dados iniciais: x0 aproximação inicial e ξ1 e ξ2 são as precisões

2) Se |f(x0)| < ξ1 , faça x = x0 e FIM3) k = 14) x1 = x0-f(x0)/f’(x0)5) Se |f(x1)| < ξ1 ou se |x1-x0|< ξ2 , então faça x = x1 e FIM6) x0=x1



• Determine o zero de f(x)


3

0

4

1 2

( ) 9 3

0,5

(0,1)

10

f x x x

x

k X f(x) f´(x) Phi(x) Erro0 0,5000 -1,3750 -7,5000 0,31671 0,3167 0,1818 -8,0500 0,3392 0,0225782 0,3392 -0,0142 -7,9823 0,3375 0,0017743 0,3375 0,0012 -7,9876 0,3376 0,000154 0,3376 -0,0001 -7,9871 0,3376 1,26E-05


• Utilizando o método de Newton calcule a raiz quadrada de 3 com uma precisão de 10-5


k X f(x) f´(x) Phi(x) Erro0 1,00000 -2,00000 2,00000 2,000001 2,00000 1,00000 4,00000 1,75000 0,252 1,75000 0,06250 3,50000 1,73214 0,0178573 1,73214 0,00032 3,46429 1,73205 9,2E-054 1,73205 0,00000 3,46410 1,73205 2,45E-09

2( ) 3

1,7320508076

f x x

Método da secante

• Uma grande desvantagem do método de Newton é calculo da f’(x)

• Pode-se calcular f’(x) pelo quociente das diferenças:


1

1

( ) ( )( ) k k

k

k k

f x f xf x

x x

Método da secante

• Assim ϕ(x) é dada por:


1 1

1

( ) ( )( )

( ) ( )

k k k kk

k k

x f x x f xx

f x f x

1 1

1

( )( )

( ) ( )

kk k k k

k k

f xx x x x

f x f x

Método da secante

• Exemplo


2

0

1

( ) 6

1,5

1,7

2

f x x x

x

x

k X f(x)0 1,50000 -2,251 1,70000 -1,412 2,03571 0,1798473 1,99774 -0,011314 1,99998 -8E-055 2,00000 3,63E-08

Método da secante

• Algoritmo


1) Dados iniciais: x0 , x1 aproximação inicial e ξ1 e ξ2 são as precisões

2) Se |f(x0)| < ξ1 , faça x = x0 e FIM3) k = 14) x2 = x1- [f(x1)/ (f(x1)-f(x0 ))]*(x1-x0) 5) Se |f(x2)| < ξ1 ou se |x2-x1|< ξ2 , então faça x = x1 e FIM6) x0=x1 e x1 = x2


Método da secante

• Determine o zero da f(x)


3

0

1

4

1 2

( ) 9 3

0

1

(0,1)

5 10

f x x x

x

x

k X f(x) Erro(Xk - Xk-1)0 0,00000 3,000001 1,00000 -5,00000 1,00000 2 0,37500 -0,32227 0,62500 3 0,33194 0,04910 0,04306 4 0,33763 -0,00022 0,00569 5 0,33761 0,00000 0,00003

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