Funções vetoriais

I) Funções vetoriais a valores reais:

I = intervalo da reta real denominada domínio da função vetorial f = {conjunto de todos os valores possíveis de t, para os quais todas as componentes estão definidas}.

(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t

n21=

→⊂r

a

rn RR I:f

para os quais todas as componentes estão definidas}.Imagem f : conjunto de vetoresCassi particular:

Exemplo 1: defina o domínio e a imagem da função vetorial a seguir:

(t))f(t),f(t),(f(t)f t

321

3

=

→⊂r

a

r RR I:f

)()()()( 321 fDomfDomfDomfDom II=

)1-tt),-ln(41),(sin(t(t)f t

3

++=

→⊂r

a

r RR I:f

)sin(t),-t-4

11,((t)f t

2

3

+=

→⊂

t

RR I:fr

a

r

Exemplo 2.- Defina o domínio e a imagem da função vetorial aSeguir

Resposta: Dom(f)={...,[-4pi,-3pi],[-2pi,-pi],[0,pi]}.

Curva espacial: dada uma função vetorial

Tal que f1(t), f2(t),...fn(t) são funções reais continuas no domínio da função vetorial f. Então o conjunto V de pontos do espaço R3

tais que x1 = f1(t), x2 = f2(t),x3 = f3(t),......xn = fn(t)...............(*) ; e t variando no domínio de f é chamado de curva espacial. As equações (*) são denominadas equações paramétricas de V

(t))f(t),....,f(t),(f(t)f t

n21=

→⊂r

a

rn RR I:f

Curvas no espaço tri-dimensional R3

Quando uma partícula se movimenta no espaço R3, ela descreve

uma curva r(t) denominada trajetória.

))(),(),(((t))r(t),r(t),(r(t)r t

],[

321

3

tztytx

RbaI:r

==

→=

a

Exemplo: seja a função vetorial definida no espaço R3

Esta função define uma curva no espaço R3, denominadade helicóide.

)),sin(),cos(()( vttatatf =r

usando Maple> restart; #helicoide> with(plots):> a:=3: v:=2: # dados para ajustar a curva> spacecurve( [a*cos(t), a*sin(t), v*t], t=0..5*Pi, a xes=box, labels=[x,y,z], thickness=2);

Uma curva plana é um conjunto r de pares ordenados de reais ( f(t), g(t) ), em que f(t) e g(t) são funções reais contínuas em um intervalo I.

Y

r =(x,y) curva no plano R2

x = f(t) equação

y = g(t) paramétrica

I

tf

gP

y

0 x X

y = g(t) paramétrica

Exemplo: a função vetorialdefine uma curva plana denominada de ciclóide, v,r, w são constantes.

))cos(),sin(()( wtrrwtrvttf −−=r

> restart; #cicloide> with(plots):> v:=2:w:=1:R:=2:> plot( [v*t-R*sin(w*t), R -R*cos(w*t), t=0..5*Pi], scaling=constrained, thickness=2, color=blue,labels =[x,y]);

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/cicloide.htm

Funções vetoriais: representação gráfica

Importante: A parametrização define uma orientação na curva

Limite de funções vetoriaisDefinição: Sejam uma função vetorial que define uma curva no espaço R3, tal quer(t)=(x(t),y(t),z(t)) = x(t) i+ y(t) j + z(t) k,

Logo, dizemos que r tem limite L a medida que t se aproxima a to e escrevemos assim:

)(trr

Desde que os limites das funções componentes existam.

3 02 01 0

321 0

lz(t) lim,ly(t) lim,l x(t)lim

),l,l,(lLr(t)lim

=====

→→→

→

tttttt

tt

εδδε

<−⇒<−<

∀>∃>∀

=→

|)(| ||0

t 0, 0

,)(lim O0tt

Ltrtt

tal que

sesomenteexiste seLtr

o

rr

rDefinição formal :

Exemplo 1, Seja a função , demonstrar que :

Exemplo 2 Seja a função , demonstra que :

Continuidade de funções vetoriais

),1()( 2 tttr +=r

)0,1()(lim 0 ==→ Ltrt

rr

)1,,()( 2 += tettr tr

)1,1,0()(lim 0 ==→ Ltrt

rr

Continuidade de funções vetoriais

Uma função vetorial r(t) será contínua em um ponto t=t0, do seu domínio se

L,))(z),(y),((x)(r c)

existe )( )

existe L (t)rlim)

0000

0

0

==

=→

tttt

trb

a tt

r

r

r

Exemplo 2. Verifique se a função vetorial abaixo é contínua para .t= 0

Exemplo 1. Verifique se é contínua em

ktjtittrrrrr

)cos( )sin()( ++=

)(trr

4/π=t

Continuidade de funções vetoriais.

para .t= 0

Derivada de uma função vetorialDefinição: Seja uma função vetorial, ela é derivável outem derivada, se as derivadas das componentes x(t),y(t),z(t) estão bem definidas para todo t do domínio de

Interpretação geométrica da derivada de uma

),dt

dz,

dt

dy,

dt

dx(

(t)r-)(trlim)(')( 0 =+=== →∆ h

h

dt

rdtrtr t

rrrr&r

)(trv

)(trv

Interpretação geométrica da derivada de uma

função vetorial.

Seja r(t) o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço R3 . A função é a velocidade da partícula e é um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula (para cada instante do tempo t).

)(tr&r

L

P0

Z

P

V

Seja P=(x,y,z) ϵ L,P0=(x0,y0,z0) ϵ L,

V é um vetor paralelo a L.

Exemplo 1 : Determine a derivada da função vetoriala) f(t) = (t2, cos(t),4 t) b) f(t) = (2t-3sin(2t), 3-3cos(2t)) usando a definição

Equação vetorial de uma reta L

0 Y

X

V

ϵ

V é um vetor paralelo a L.Logo:

Forma paramétrica da equação da reta L.x= x0 + vx tY= yo + vy tz= z0 + vz t , sendo v = (vx,vy,vz)

t}{: 0 VPPL +==

Regras de derivação

Seja u,v funções vetoriais de variável real t; a e b são números reais, e f(t),g(t) são funções reais de variável real t.

,)(

)()()()]()([

.3

,)()]([

.2

,)()()]()([

.1

tvdtftv

tdftvtfddt

tuda

dt

tuaddt

tvd

dt

tud

dt

tvtud

+=

=

+=+

rr

r

rr

rrrr

vetorial

,)()())](([

.6

,)(

)()()()]()([

.5

,)(

)()()()]()([

.4

,)(

)()()()]()([

.3

produto

escalarproduto

dt

tdf

df

fud

dt

tfuddt

tvdtutv

dt

tud

dt

tvtuddt

tvdtutv

dt

tud

dt

tvtuddt

tvdtftv

dt

tdf

dt

tvtfd

→×→

=

×+×=×

+=

+=

o

rr

rrr

rrr

r

orr

o

rro

r

r

ExercíciosExercício 1.- Determine a velocidade v(t) e a aceleração a(t)de uma partícula que descreva a seguinte curva (trajetória)r(t)=(2t, 8-3t2,3t+4)m.Exercício 2.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada pela curva, definida assim:

R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.

2: RI →αRcos(wt)),-RRsin(wt),-(vtα(t)t:α =→

R, w, V são constantes. R =2,w = 1, v = R.w = 2.a) Determine a posição, velocidade e aceleração no instante t=0s, e t=3π/2.b) Determine a equação da reta tangente a curva α no instante t=3π/2.Exercício 3.-Demonstre a propriedade 4 e 6 da regra de derivação.

Integral de uma função vetorialSeja f(t) =(x(t),y(t),z(t)) uma função vetorial, definição:

se as componentes de f são integráveis sobre I=[a,b],então

ktzjtyitxdttfb

a

b

a

b

a

b

a

))(())(())(()( ∫∫∫ ∫ ++=

Ipartiçãodetn

abtttrdttr i

ni

i

in

b

a ,,)(lim)(

1

∈−=∆∆= ∗=

=

∗∞→ ∑∫

rr

Exemplo: Calcular a integral da funçãof(t)= ((cos(w t))2, t3+2t+1),

Comprimento de arco para curvas lisasQuando uma partícula percorre uma determinadaTrajetória no espaço, ela descreve uma curva, o comprimento desta curva entre dois instantes dado t0 e t1 se denominacomprimento de arco

aaa a

Comprimento de arco 22 dydxdl +=

Definição : O comprimento “L” de uma curva lisar(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, tal que t ϵ [a,b] é

dtdt

dz

dt

dy

dt

dxL

b

a

)()()( 222∫ ++=

Comprimento de arco

Se

então a formula do comprimento de arco fica

),,()(')( zyx vvvtrtrdt

rdv ==== r&r

r

dttrdtvLb

a

b

a

|)('||| ∫∫ ==

Exemplo : Determine o comprimento de arcoda ciclóide r(t)=(2t-2 sin(t), 2-2 cos(t)) entre t=0 e t= 2pi

0 2π t

aa

FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO

∫∫ ==t

t

t

t

vdtdt

rdts

00

dt ||)(

s(t) é o comprimento da curva r(t) desde o instante t0 ate o instante t. Sendo v o módulo da velocidade, ou chamadatambém como velocidade escalar.

)(tvdt

ds =também como velocidade escalar. Usando um pouco de cálculo

Importante:

Como s=s(t) entãoLogo : O comprimento de arco de uma curva arbitrária nãodepende da parametrização.

dtdt

dsds=

ds || |)(

|1

0

1

0∫∫ ==st

t ds

rddt

dt

trdL

“O comprimento de arco de uma curva entre dois pontos

é invariante pela re-parametrização”

Exercícios

1.- estude a continuidade da função vetorial f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.f(t)=(2t-2sin(t),2-2cos(t)) no ponto t=2π.2.- Determine o limite da função vetorial f(t)=(2t3,4t2,3t+4) quando t se aproxima a t0=1.3.-Do exercício anterior determine f (́t) para todo t ϵ R. qual é o ângulo que forma o vetor f´(t) como o vetor f(t) no instante t.4.-Determine a função comprimento de arco s(t) para a ciclóide do exercício 2.

TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOSELÉTRICOS E MAGNÉTICOS

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53

Movimento de uma partícula no espaço R3

Sabemos que 1T.T ,||

===v

V

V

VT

0. =Tdt

Td Analisemos a velocidade de uma partícula dt

vTtV .)( = Derivando esta equação temos

ds

Td 2vTaa t += Definamos :

||ds

TdK =

Curvatura K

Nds

Td

ds

Td

ds

TdK

rrr

|| |,| == Sendo vetor unitárioNr

0. temos0,T.T == Tds

Tdde

rr

k

1=ρ, considerando o radio de curvatura

Finalmente N 2

ρv

Taa t +=

dsLogo deve ser ortogonal a , seu vetor unitário também

ds

Tdr

Tr

0. =NTrr

Aceleração instantâneaa

dt

dvaT = Aceleração tangencial

2v Aceleração centrípeta ou radial

ρ

2vacpta =

Aceleração centrípeta ou radialSempre orientada á parte côncavaDa trajetória.

Suponhamos que : )(srrr= , definamos

ds

rdr

=τ

),,(ds

dz

ds

dy

ds

dx=τ

1)()()(|| 222 =++=ds

dz

ds

dy

ds

dxτ

Logo τrr

≡T

rd 2rrrddTd

|ds

rd| |)(| ||

2

2

===ds

rd

ds

d

ds

TdK

22

22

2

22

2

2

)()()(ds

zd

ds

yd

ds

xdK ++=

Logo, em forma explicita

Triedro de Frenet-Serret

TNB ×= Vetor binormal

Exercícios

1.- Provar que

2.- Provar que

3.- Provar que

1|| =B

v

Va

V

Vaa T

.

||

. ==

3

||

v

aVk

×=

Exercícios.. Continua

4.- Em relação á ciclóide estudada no começo

a) Determine o vetor T, N,B para a ciclóide no instantet=3pi/2.

b) Determine a aceleração tangencial e a aceleraçãocentrípeta para todo instante t. Particularize para centrípeta para todo instante t. Particularize para

t=3pi/2c) Determine a curvatura k(t) para todo instante de Tempo.c) Interprete seus resultados.5.- demonstre que no casso de uma circunferênciade radio a, a curvatura K em qualquer ponto da circunferência é sempre a mesma e é 1/a.

Exercícios.. Continua

6.- Seja uma partícula descrevendo uma helicóide r(t)=(2cos(t), 2sen(t),2t) no espaço R3

a) Determine a velocidade e a aceleração instantânea para todo instante t.b) Determine o vetor unitário tangente T, para todo instante t.instante t.c) Determine a equação da reta tangente a helicóide noInstante t=pi/4.d) Determine a função comprimento de arco s(t) em

função do tempo t.e) Determine a aceleração tangencial e a aceleração

centrípeta para todo instante t. Particularize para t=pi/4.

Exercícios.. Continua

f).- Determine os vetores N e B para todo instante t.

http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_2.htm

http://www.atractor.pt/mat/curvtor/exemplo_3D_1.htm

http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/

Equação de um plano .

Seja um plano M imerso no espaço euclidiano R3 onde

n é um vetor perpendicular ao plano M, então conhecendo um ponto Po=(xo,yo,zo) que pertence ao plano P, podemos determinar a equação algébrica que obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.obedece todos os pontos (x,y,z) do plano M.Basicamente, ela disse que toda reta contida no plano (ou todo vetor contido no plano), é perpendicular ao vetor normal n.

dado n=(a,b,c)

0. =PPn o (O produto escalar entre n e P0P é nulo)

Seja P=(x,y,z) um ponto arbitrario do plano M

Equação de um plano .

0=+++ dczbyax

Onde a constante d pode se achar avaliando a equação em qualquer ponto que pertence ao plano.

r

n

C ΒΒΒΒ

Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular ao vector (n) normal ao plano

n

A

José MariaPlano_08

s

D

Perpendicularidade entre rectas e planos

o vector director da recta (s) é colinear com o vector (n) normal ao plano

αααα

ns

AC

José MariaPlano_09

αααα

n

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares

ββββ

αααα

p

José MariaPlano_10

αααα

n

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares

ββββ

αααα

p

José MariaPlano_10

Interseção de dois planos

n =(a ,b ,c )n1=(a1,b1,c1)n2=(a2,b2,c2)

||||

.)cos(

21

21

nn

nn=θ

21211121. ccbbaann ++=

Exercícios .

Exercício 1 .- Seja M um plano paralelo ao plano xylocalizada a uma distancia c da origem de coordenadas.Determine a equação deste plano.Exercício 2 .-Encontre a distancia do ponto Q=(1,2,1)ao plano M com equação x+y+z=6Exercício 3 .- Seja os planos Exercício 3 .- Seja os planos M1 : 3x+2y+z+4=0, M2: z=0,a) Determine o ângulo entre estes planosb) Determine a equação da reta proveniente da

interseção dos dois planos.

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm23/geometriaeuclideana.htm

Site recomendado para entender melhor a geometria euclidiana