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Computabilidade e Linguagens Formais
Autómatos de pilha
Gabriel David / Cristina Ribeiro
Autómatos de pilha-2
Autómatos e autómatos de pilha Os autómatos de pilha estão para as linguagens sem contexto
como os autómatos estão para as linguagens regulares
1Start
20 0,1
1
1*0(1+0)*Linguagens regulares
E I | E+E | E×E | (E)I a | b | Ia | Ib | I0 | I1
Linguagens sem contexto
AStart
B
Autómatos de pilha-3
Ideia
Autómato de pilha é um -NFA com uma pilha de símbolos– Adiciona a possibilidade de memorizar uma quantidade infinita de
informação– Só tem acesso ao topo da pilha (LIFO), em vez de poder consultar
qualquer posição de memória, como os computadores genéricos
Controlo deestados finito
entrada
pilha
Aceita/ rejeita
Funcionamento– A parte de controlo lê e consome os
símbolos da entrada– Transição para novo estado baseada
no estado corrente, símbolo de entrada e símbolo no topo da pilha
– Transição espontânea com – Topo da pilha substituído por cadeia
Autómatos de pilha-4
Exemplo do palindroma
Lwwr = {wwR | w em (0+1)*} palindromas de comprimento par
– Linguagem sem contexto gerada pela gramática P | 0P0 | 1P1 Construir um autómato de pilha
– Estado inicial q0 significa que ainda não se atingiu o meio de wwR; vai-se guardando na pilha os símbolos de w
– A qualquer altura, adivinha-se que já se chegou ao meio (fim de w) e faz-se uma transição para q1; a pilha contém w, a começar no fundo e a acabar no topo; o não determinismo é simulado pela manutenção dos dois estados
– Em q1 comparam-se os símbolos de entrada com o topo da pilha; se não houver correspondência, a aposta foi errada e este ramo da computação morre; outro poderá ter sucesso
– Se a pilha se esvaziar (e a entrada acabar) descobriu-se w e wR
Autómatos de pilha-5
Definição
Autómato de pilha (PDA) P= (Q, , , , q0, Z0, F)– Q: conjunto finito de estados : conjunto finito de símbolos de entrada : alfabeto da pilha finito : função de transição (q, a, X) = {(p1,1), …} finito
q é um estado, a um símbolo de entrada ou , X um símbolo da pilha p1 é o novo estado, 1 é a cadeia de símbolos da pilha que substitui X no topo
1= pop do topo da pilha 1= X pilha inalterada 1= YZ X substituído por Z e push do Y a seguir
– q0: estado inicial– Z0: símbolo inicial, conteúdo inicial da pilha– F: conjunto de estados de aceitação ou finais
Autómatos de pilha-6
De novo o exemplo
PDA de Lwwr P = ({q0,q1,q2}, {0,1}, {0,1,Z0}, , q0, Z0, {q2})– Z0 usado para marcar o fundo da pilha e permitir no fim da leitura
de wwR passar para o estado de aceitação q2
(q0,0,Z0)= {(q0,0Z0)} e (q0,1,Z0)= {(q0,1Z0)} topo da pilha à esquerda
(q0,0,0)= {(q0,00)}, (q0,0,1)= {(q0,01)}, (q0,1,0)= {(q0,10)}, (q0,1,1)= {(q0,11)}
(q0,,Z0)= {(q1,Z0)}, (q0, ,0)= {(q1,0)}, (q0, ,1)= {(q1,1)}
(q1,0,0)= {(q1, )} e (q1,1,1)= {(q1, )}
(q1,,Z0)= {(q2,Z0)}
Autómatos de pilha-7
Diagrama de transição
Nós são estados Start indica o estado inicial Arcos correspondem às transições
– Etiqueta a,X/α de q para p significa que (q,a,X) contém (p,α)– O arco indica a entrada e o topo da pilha antes e depois
Start q0 q1, Z0/Z0
, 0/0, 1/1
q2, Z0/Z0
0, Z0/0Z0
1, Z0/1Z0
0, 0/000, 1/011, 0/101, 1/11
0, 0/1, 1/
Autómatos de pilha-8
Descrição instantânea
Computação de um PDA– Evolui de configuração em configuração, em resposta a símbolos de
entrada (ou ) e alterando a pilha– Num DFA: toda a informação no estado; num PDA: estado + pilha
Descrição instantânea (q,w,)– q: estado– w: entrada remanescente (em vez de só um símbolo, conveniência) : conteúdo da pilha (topo à esquerda)
Passo de um PDA (Q, , , , q0, Z0, F)– Se (q,a,X) contiver (p,α), para todas as cadeias w em * e em *– (q, aw, X) ├P (p,w,α)
– Usa-se ├* para zero ou mais passos (computação)
Autómatos de pilha-9
Ainda o exemplo Entrada w=1111 Descrição instantânea (DI) inicial: (q0, 1111, Z0)
(q0, 1111, Z0) (q1, 1111, Z0) (q2, 1111, Z0)
(q0, 111, 1Z0)
(q0, 11, 11Z0)
(q0, 1, 111Z0)
(q0, , 1111Z0) (q1, , 1111Z0)
(q1, 11, 11Z0)
(q1, 1, 1Z0)
(q2, , Z0)(q1, , Z0)
(q1, 111, 1Z0)
(q1, 11, Z0) (q2, 11, Z0)
(q1, 1, 111Z0)
(q1, , 11Z0)
Autómatos de pilha-10
Princípios relativos a DI
Se uma sequência de DIs (computação) é legal para um PDA P então a computação que resulta de adicionar uma qualquer cadeia w à entrada em cada DI também é legal
Se uma computação é legal para um PDA P então a computação que resulta de adicionar um qualquer conjunto de símbolos abaixo da pilha em cada DI também é legal
– Teorema 1: Se (q,x,α) ├* (p,y,) então (q,xw,α) ├* (p,yw,)
Se uma computação é legal para um PDA P e uma cauda da entrada não é consumida, então a computação que resulta de remover essa cauda da entrada em cada DI também é legal
– Teorema 2: Se (q,xw,α) ├* (p,yw,) então (q,x,α) ├* (p,y,)
Autómatos de pilha-11
Comentários
Dados para os quais P nunca olha não podem afectar a sua computação
Conceito semelhante à própria noção de linguagem sem contexto: o que está ao lado não influencia a computação
Teorema 2 não é o inverso do 1 porque o que está na pilha pode influenciar a computação mesmo sem ser descartado
– Pode por exemplo ir sendo retirado da pilha um símbolo de cada vez e no último passo repor tudo
Autómatos de pilha-12
Linguagens de um PDA
Aceitação por estado final– Seja o PDA P = (Q, , , , q0, Z0, F)– Linguagem de P aceite por estado final – L(P) = {w | (q0,w,Z0) ├* (q,,α)} e q F– Conteúdo final da pilha é irrelevante
Exemplo:– (q0,wwR,Z0) ├* (q0,wR,wRZ0) ├ (q1,wR,wRZ0) ├* (q1,,Z0) ├ (q2,,Z0)
Aceitação por pilha vazia– N(P) = {w | (q0,w,Z0) ├* (q,,)}– Linguagem aceite por pilha vazia, conjunto de entradas w que P consome
esvaziando ao mesmo tempo a pilha (N(P) – pilha nula) Mesmo exemplo: modificação para esvaziar a pilha e obter N(P)=L(P)
(q1,,Z0)= {(q2,Z0)} passa a ser (q1,,Z0)= {(q2,)}– (q0,wwR,Z0) ├* (q0,wR,wRZ0) ├ (q1,wR,wRZ0) ├* (q1,,Z0) ├ (q2,,)
Autómatos de pilha-13
Da pilha vazia ao estado final
Teorema: Se L = N(PN) para um PDA PN = (Q, , , N, q0, Z0) então existe um PDA PF tal que L = L(PF)
– Dois métodos de aceitação de uma entrada equivalentes– Embora para um PDA P possa ser L(P) N(P)– Partindo de PN, usa-se um novo X0 como símbolo inicial de PF e
como marcador do fundo da pilha: PF vê X0 quando pilha de PN vazia
Start
, X0/Z0X0
pf
, X0/
p
0
q
0PN
, X0/
, X0/
PF = (Q{p0,pf}, , {X0}, F, p0, X0,{pf})
Autómatos de pilha-14
Do estado final à pilha vazia
Start
, X0/Z0X0
, any/
p
0
q
0PF
, any/
, any/
p
Autómatos de pilha-15
Exemplo de conversão
Defina um PDA que processe sequências de “i” e “e”, significando if e else, construção presente em muitas linguagens de programação, detectando sequências inválidas (sequências que têm mais “e’s” que “i’s” num prefixo)
– Símbolo inicial Z; pilha com Zn significa que nº i’s - nº e’s = n-1– Aceitação por pilha vazia (balanço de mais um “e” que “i”)– Conversão para aceitação por estado final
Start
, X0/q r
Start
, X0/ZX0
p q
e, Z/ i, Z/ZZ
e, Z/ i, Z/ZZ
pilha vazia Estado final
Autómatos de pilha-16
Equivalência entre PDAs e CFGs
Prova-se que as linguagens sem contexto, definidas por CFG, são as linguagens aceites por pilha vazia por um PDA e portanto também as aceites por estado final por um PDA
Ideia: dada uma CFG G construir um PDA que simula as derivações mais à esquerda de G
– Qualquer forma frásica esquerda não terminal pode ser escrita como xAα, onde A é a variável mais à esquerda. Aα é a cauda.
– CFG G = (V,T,Q,S)– PDA que aceita L(G) por pilha vazia: P = ({q}, T,VT,,q,S)– Para cada variável A: (q,,A)={(q,) | A é produção em G}– Para cada terminal a: (q,a,a)={(q,)}
Autómatos de pilha-17
De CFG para PDA
Dada a CFG
Obter um PDA de aceitação por pilha vazia que aceite a mesma linguagem.
– PN = ({q}, {a,b,0,1,(,),+,×}, {a,b,0,1,(,),+,×,E,I}, , q, E)
(q,,I) = {(q,a), (q,b), (q,Ia), (q,Ib), (q,I0), (q,I1)} (q,,E) = {(q,I), (q,E+E), (q,E×E), (q,(E))} (q,a,a) = {(q,)}; (q,b,b)={(q,)}, (q,0,0) = {(q,)}; (q,1,1) = {(q,)};
(q,(,() = {(q,)}; (q,),)) = {(q,)}; (q,+,+) = {(q,)}; (q,×,×) = {(q,)} Só um estado; processamento das variáveis espontâneo; só os terminais
consomem entrada
E I | E+E | E×E | (E)I a | b | Ia | Ib | I0 | I1
Autómatos de pilha-18
Exercício
Usando a CFG e o PDA para a linguagem das expressões– a) obtenha uma derivação mais à esquerda de a(a+b00)– b) obtenha o traço da respectiva computação no PDA, isto é, a sequência
de Descrições Instantâneas a)
– E E×E I×E a×E a×(E) a×(E+E) a×(I+E) – a×(a+E) a×(a+I) a×(a+I0) a×(a+I00) a×(a+b00)
b)– (q, a(a+b00), E) ├ (q, a(a+b00), EE) ├ (q, a(a+b00), IE) ├ – (q, a(a+b00), aE) ├ (q, (a+b00), E) ├ (q, (a+b00), E) ├ – (q, (a+b00), (E)) ├ (q, a+b00), E)) ├ (q, a+b00), E+E)) ├ – (q, a+b00), I+E)) ├ (q, a+b00), a+E)) ├ (q, +b00), +E)) ├ – (q, b00), E)) ├ (q, b00), I)) ├ (q, b00), I0)) ├ (q, b00), I00)) ├ – (q, b00), b00)) ├ (q, 00), 00)) ├ (q, 0), 0)) ├ (q,),)) ├ (q, , )
Autómatos de pilha-19
De PDA para CFG
Ideia: reconhecer que o evento fundamental num processamento num PDA é o pop final de um símbolo da pilha enquanto se consome entrada
Acrescentar variáveis na linguagem para– Cada eliminação definitiva de um símbolo X da pilha– Cada mudança de estado de p para q ao eliminar X, representada
por um símbolo composto [pXq]
Regra: do PDA P= (Q, , , N, q0, Z0) construir CFG G= (V, , R, S)
– Variáveis V: contém S e os símbolos [pXq]
Autómatos de pilha-20
De PDA para CFG (cont)
Produções R:– Para todos os estados p, G contém S [q0Z0p]
O símbolo [q0Z0p] gera todas as cadeias w que extraem Z0 da pilha enquanto vão do estado q0 para o estado p, (q0,w,Z0) ├* (p,,)
Então S gera todas as cadeias w que esvaziam a pilha
– Se (q,a,X) contém o par (r,Y1Y2…Yk), k0, a ou a= então para todas as listas de estados r1,r2,…,rk, G contém
[qXrk] a[rY1r1][r1Y2r2]…[rk-1Ykrk]
Uma forma de extrair X e ir de q a rk é ler a (pode ser ) e usar alguma entrada para extrair Y1 ao ir de r para r1, etc.
Autómatos de pilha-21
Exemplo
Converter o PDA PN=({q},{i,e},{Z},N,q,Z) numa gramática– aceita as cadeias que violam pela 1ª vez a regra de que um “e” deve
corresponder a um “i” precedente Solução:
– só um estado q e só um símbolo de pilha Z– Duas variáveis: S, símbolo inicial; [qZq], único símbolo a partir dos
estados e símbolos de PN
– Produções: S [qZq] (se houvesse mais estados p e r teríamos S[qZp] e S[qZr]) De N(q,i,Z)={(q,ZZ)} obter [qZq]i[qZq] [qZq] (se houvesse mais
estados p e r teríamos [qZp]i[qZr] [rZp]) De N(q,e,Z)={(q,)} obter [qZq]e (Z é substituído por nada) Chamando A a [qZq] fica SA e A iAA | e
Autómatos de pilha-22
Propriedades das CFL
Simplificação das CFGs forma normal de Chomsky Eliminação de símbolos inúteis
– Símbolo útil: S * αX * w, w T*– Símbolo gerador: X * w
Qualquer terminal é gerador, dele próprio!
– Símbolo atingível: S * αX– Útil = gerador + atingível– Eliminar primeiro os não geradores e depois os não atingíveis
Exemplo– S AB | a S a [B não é gerador]
S a– A b A b [A não é atingível]
Autómatos de pilha-23
Eliminação de símbolos inúteis
Algoritmo: descobrir os símbolos geradores– os terminais são geradores– A α e α só tem geradores; então A é gerador
Algoritmo: descobrir os símbolos atingíveis– S é atingível– A é atingível, Aα; então todos os símbolos em α são atingíveis
Autómatos de pilha-24
Eliminação de produções-
Variável anulável: A * Transformação: B CAD passa a B CD | CAD e
impede-se que A produza Algoritmo: descobrir as variáveis anuláveis
– A C1 C2 … Ck, todos os Ci são anuláveis; então A é anulável Se uma linguagem L tem uma CFG então L-{} tem uma
CFG sem produções-– Determinar todos os símbolos anuláveis– Para cada A X1 X2 … Xk se m Xi’s são anuláveis substituir por
2m produções com todas as combinações de presenças de Xi.– Excepção: se m=k, não se inclui o caso de todos os Xi ausentes– Produções A são eliminadas
Autómatos de pilha-25
Exemplo
Gramática– S AB– A aAA | – B bBB |
A e B são anuláveis, logo S também S AB | A | B A aAA | aA | aA | a B bBB | bB | b
Autómatos de pilha-26
Eliminação de produções unitárias
Produção unitária: A B, em que A e B são variáveis– Podem ser úteis na eliminação de ambiguidade (ex: linguagem das
expressões)– Não são imprescindíveis; introduzem passos extra nas derivações
Eliminam-se por expansão– I a | b | Ia | Ib | I0 | I1– F I | (E)– T F | T × F– E T | E + T
De E T passar a E F | T × F a E I | (E) | T × F e finalmente E a | b | Ia | Ib | I0 | I1 | (E) | T × F
– Problema no caso de ciclos
Autómatos de pilha-27
Eliminação de produções unitárias
Algoritmo: descobrir todos os pares unitários, deriváveis apenas com produções unitárias
– (A, A) é um par unitário– (A, B) é um par unitário e B C, C variável; então (A, C) é
unitário
Exemplo: (E, E), (T, T), (F, F), (E, T), (E, F), (E, I), (T, F), (T, I), (F, I)
Eliminação: substituir as produções existentes de forma a que para cada par unitário (A, B) se incluam todas as produções da forma A α em que B α é uma produção não unitária (incluir A=B)
Autómatos de pilha-28
Gramática sem produções unitárias
I a | b | Ia | Ib | I0 | I1
F I | (E)
T F | T × F
E T | E + T
Par Produções
(E, E) E E + T
(E, T) E T × F
(E, F) E (E)
(E, I) E a | b | Ia | Ib | I0 | I1
(T, T) T T × F
(T, F) T (E)
(T, I) T a | b | Ia | Ib | I0 | I1
(F, F) F (E)
(F, I) F a | b | Ia | Ib | I0 | I1
(I, I) I a | b | Ia | Ib | I0 | I1
Autómatos de pilha-29
Sequência de simplificação
Se G é uma CFG que gera uma linguagem com pelo menos uma cadeia diferente de , existe uma CFG G1 que não tem produções-, produções unitárias ou símbolos inúteis e L(G1) O= L(G) – {}
– Eliminar produções-– Eliminar produções unitárias– Eliminar símbolos inúteis
Autómatos de pilha-30
Forma normal de Chomsky (CNF)
Todas as CFL sem têm uma gramática na forma normal de Chomsky: sem símbolos inúteis e em que todas as produções são da forma
– A BC (A, B, C variáveis) ou– A a (A variável e a terminal)
Transformação– Começar com uma gramática sem produções-, produções unitárias
ou símbolos inúteis– Deixar as produções A a– Passar todos os corpos de comprimento 2 ou mais para só variáveis
Variáveis novas D para os terminais d nesses corpos, substituir e D d– Partir corpos de comprimento 3 ou mais em cascatas de produções
só com 2 variáveis A B1B2…Bk para AB1C1, C1B2C2, …
Autómatos de pilha-31
Gramática das expressões
Variáveis para os terminais em corpos não isolados– A a B b Z 0 O 1– P + M × L ( R )– E EPT | TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– T TMF | LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– F LER | a | b | IA | IB | IZ | IO– I a | b | IA | IB | IZ | IO
Substituir corpos compridos– E EC1 | TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– T TC2 | LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– F LC3 | a | b | IA | IB | IZ | IO– C1 PT C2 MF C3 ER
Autómatos de pilha-32
Lema da bombagem para CFL
Dimensão de uma árvore de análise– Considerar apenas o caso das CNF: árvores binárias em que as
folhas são terminais sem irmãos (produções Aa)– Numa gramática com árvore de análise CNF e colheita w terminal,
se o comprimento do maior caminho for n então |w| 2n-1
Seja L uma CFL. Existe uma constante n tal que, para qualquer cadeia z em L com |z|n se pode escrever z=uvwxy
– |vwx| n a parte do meio não é demasiado comprida– vx pelo menos uma é não vazia– Para todo i 0, uviwxiy Lbombagem dupla, a começar em 0
Autómatos de pilha-33
Prova
Obter uma gramática CNF G para L G contém m variáveis. Escolher n=2m. Cadeia z em L |z|
n. Qualquer árvore de análise com caminho mais longo de
comprimento até m tem colheita até 2m-1=n/2.– z seria demasiado longa; árvore para z tem caminho m+1 ou maior
Na figura, o caminho A0…Aka é de comprimento k+1, km– Há pelo menos m+1 variáveis no caminho; logo há pelo menos uma
repetição de variáveis (de Ak-m a Ak).
– Supõe-se Ai=Aj com k-m i < j k
Autómatos de pilha-34
Continuação da prova Se cadeia z suficientemente
longa, tem que haver repetições de símbolos
Divide-se a árvore:– w é a colheita da subárvore de Aj
– v e x são tais que vwx é a colheita de Ai (como não há produções unitárias pelo menos um de v e x é não nulo)
– u e y são as partes de z à esquerda e à direita de vwx
u v w x yz
A0
Ai=Aj
Aj
Ak
a
Autómatos de pilha-35
Continuação da prova
Como Ai=Aj, pode-se– substituir a subárvore de Ai
pela de Aj, obtendo o caso i=0, uwy.
– substituir a subárvore de Aj pela de Ai, obtendo o caso i=2, uv2wx2y e repetir para i=3, … (bombagem)
|vwx|n porque se pegou num Ai próximo do fundo da árvore, k-im, caminho mais longo de Ai até m+1, colheita até 2m=n
u v w x y
A
A
S
u
A
S
y
w
u v x y
A
A
S
v w x
A
Autómatos de pilha-36
Lema da bombagem
no caso das LR: o lema da bombagem decorre de o número de estados de um DFA ser finito
– para aceitar uma cadeia suficientemente comprida tem que haver repetições de estados
No caso das CFL: decorre de o número de símbolos numa CFG ser finito
– para aceitar uma cadeia suficientemente comprida tem que haver repetições (“duplas”) de símbolos
LR (DFA) CFL (CFG)
Autómatos de pilha-37
Provar que uma linguagem não é CFL
Seja L = {0k1k2k | k 1}. Mostre que não é CFL.– Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n indicada pelo
lema da bombagem; tome-se z = 0n1n2n que faz parte de L– Fazendo z=uvwxy, sujeito a |vwx| n e v, x não ambos nulos,
temos que vwx não pode conter simultaneamente 0’s e 2’s– Caso vwx não contém 2’s; então vx tem só 0’s e 1’s e tem pelo
menos um símbolo. Então, pelo lema da bombagem, uwy também deveria pertencer à linguagem. Mas tem n 2’s e menos do que n 0’s ou 1’s e portanto não pertence à linguagem.
– Caso vwx não contém 0’s: argumento semelhante.– Obtém-se contradição em ambos os casos; portanto a hipótese é
falsa e L não é uma CFL
Autómatos de pilha-38
Problemas na prova
Seja L = {0k1k | k 1}. Mostre que não é CFL.– Supondo que L é uma CFL, existe uma constante n indicada pelo
lema da bombagem; tome-se z = 0n1n que faz parte de L– Fazendo z=uvwxy, sujeito a |vwx| n e v, x não ambos nulos, pode
acontecer de escolher v= 0k e x=1k
– Neste caso uviwxiy pertence sempre a L.– Não se obtém a contradição pretendida
Não se consegue provar que L não é CFL– De facto é uma CFL
Autómatos de pilha-39
Substituição
Seja um alfabeto; para cada um dos seus símbolos a define-se uma função (substituição) que associa uma linguagem La ao símbolo
– Cadeias: se w= a1…an então s(w) é a linguagem de todas as cadeias x1…xn tais que xi está em s(ai)
– Linguagens: s(L) é a união de todos as s(w) tais que w L Exemplo:
={0,1}, s(0)={anbn | n1}, s(1)={aa,bb}– Se w=01, s(w) = s(0)s(1) = {anbnaa | n1} {anbn+2 | n1}– Se L=L(0*), s(L) = (s(0))* = an1bn1…ankbnk, para n1, …, nk qq
Teorema: seja L uma CFL e s() uma substituição que associa a cada símbolo uma CFL; então s(L) é uma CFL.
Autómatos de pilha-40
Aplicação do teorema da substituição
As CFL são fechadas para:– União– Concatenação– Fecho (*) e fecho positivo (+)– Homomorfismo– Reverso– Intersecção com uma LR
Intersecção com uma CFL não é garantida
– Homomorfismo inverso
Autómatos de pilha-41
CFL e intersecção
Seja L1 = {0n1n2i | n1, i1} e L2 = {0i1n2n | n1, i1}
L1 e L2 são CFL– S AB S AB– A 0A1 | 01 A 0A | 0– B 2B | 2 B 1B2 | 12
L1 L2 = {0n1n2n | n1}– Já está provado que não é CFL
Logo as CFL não são fechadas para a intersecção
Autómatos de pilha-42
Complexidade das conversões
Conversões lineares no comprimento da representação– CFG para PDA– PDA de estado final para PDA de pilha vazia– PDA de pilha vazia para PDA de estado final
Conversão O(n3)– PDA para CFG (tamanho da CFG também O(n3))
Conversão O(n2)– CFG para CNF (tamanho da CNF também O(n2))
Autómatos de pilha-43
Propriedades de decisão das CFL
Teste de linguagem vazia– Verificar se S é gerador
Com estrutura de dados adequada, O(n)
Teste de pertença numa CFL– O(n3), usando programação dinâmica, preenchimento de tabela
X15
X14 X25
X13 X24 X35
X12 X23 X34 X45
X11 X22 X33 X44 X55
a1 a2 a3 a4 a5
{S,A,C}
{S,A,C}
{B} {B}
{S,A} {B} {S,C} {S,A}
{B} {A,C} {A,C} {B} {A,C}
b a a b a
S AB | BC
A BA | a
B CC | b
C AB | a
w=baaba X12: X11X22; X24: X22X34X23X44
Autómatos de pilha-44
Problemas não decidíveis
Não há algoritmo para responder a estas perguntas– Uma dada CFG é ambígua?– Uma dada CFL é inerentemente ambígua?– A intersecção de duas CFL é vazia?– Duas CFL dadas são a mesma linguagem?– Uma CFL é o “universo” *, em que é o seu alfabeto?
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