7/25/2019 1.2_Continuidade
1/6
1.2 Continuidade
Lus Descalco
Universidade de Aveiro
1.2 Continuidade p.1/24
Funes de uma varivel
Definicao(Heine) Sejaf :D R R. A funofcont nua
no pontop D se para toda a sucesso
xn p
no domnio, tivermos
f(xn) f(p).
Diz-se que a funof contnua se for contnua em todos os
pontos do seu domnioD.Teorema (Weierstrass)Toda a funof : [a, b] R contnua
definida no intervalo fechado e limitado [a, b]tem pelo menos um
mximo global e pelo menos um mnimo global nesse intervalo.
1.2 Continuidade p.2/24
Definio equivalente
Definicao(Cauchy) Sejaf :D R R. A funof
cont nuano pontop D se
>0 >0 :|x p|< = |f(x) f(p)|< .
1.2 Continuidade p.3/24
Funes de duas variveis
DefinicaoSejaf :D R2 R. A funofcont nuano
pontop= (a, b) D se para toda a sucesso
Xn= (xn, yn) (a, b) =p
no domnio, isto , se para todo o par de sucesses numricas
xn a e ynb
tivermos
f(xn, yn) f(a, b).
Diz-se que a funo f contnua se for contnua em todos os
pontos do seu domnioD.
1.2 Continuidade p.4/24
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Funes dem variveis
DefinicaoSejaf :D Rm R. A funof cont nuano
pontop= (p1, p2, . . . , pm) D se para toda a sucesso
Xn= (x1,n, x2,n, . . . , xm,n) (p1, p2, . . . , pm) =p
no domnio, isto , se para toda a coleco de msucesses
numricas
x1,np1, x2,n p2, . . . , xm,npm
tivermos
f(x1,n, x2,n, . . . , xm,n) f(p1, p2, . . . , pm).
Diz-se que a funo f contnua se for contnua em todos os
pontos do seu domnioD. 1.2 Continuidade p.5/24
Propriedades
Teorema Sejamf :Df Rm R eg : Dh R
m R
funes contnuas emp Df Dg . Ento as funes
f+g, f g, ef.g
so contnuas emp. Seg(p)= 0, ento a funo
f /g
contnua emp. Se a funoh : Dh R R for contnua em
f(p) Dhento a funo composta
h f
contnua emp.
1.2 Continuidade p.6/24
Exerccio 1
Uma funo constantef(x, y) =k contnua
As projecesf(x, y) =x eg(x, y) =y so funes contnuas
Uma funo polinomial contnua (por exemplo, a funo
f(x,y,z) =x2
+y+z3
contnua)
A composio de uma funo de varivel real contnua com uma
funo polinomial de diversas variveis, uma funo contnua
(por exemplof(x, y) = sin(x2 +y2) uma funo contnua)
1.2 Continuidade p.7/24
Exerccio 2
Determine o domnio de continuidade da seguinte funo:
f(x, y) =
3x2y
x2 +y2 se (x, y)= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
1.2 Continuidade p.8/24
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Distncia euclidiana
Em R2
Para(x, y), (a, b) R2 define-se a distncia (euclidiana) entre
(x, y)e (a, b)por
d((x, y), (a, b)) =
(x a)2 + (y b)2.
Em Rm
ParaP = (p1, p2, . . . , pm), X= (x1, x2, . . . , xm) Rm define-se
a distncia (euclidiana) entreXeP por
d(X, P) =
(x1p1)2 + (x2p2)2 +. . .+ (xmpm)2.
1.2 Continuidade p.9/24
Propriedades da funo distncia
Teorema Sejamp, q,r Rm. Ento
(1)d(p, q) 0 e d(p, p) = 0,
(2)d(p, q) =d(q, p)e(3) (Desigualdade triangular)d(p, q) d(p, r) +d(r, q)
1.2 Continuidade p.10/24
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
ni=1
|xi.yi|
ni=1
x2i .
ni=1
y2i
Utiliza-se para provar que a distncia euclidiana satisfaz a de-
sigualdade triangular
1.2 Continuidade p.11/24
Algumas noes topolgicas
Definicao(Bola aberta) Abola abertade centro em
p= (p1, . . . , pn) Rn e de raior >0 o conjunto
Br(p) ={x Rn : d(x, p)< r}.
Definicao(Bola fechada) Abola fechadade centro em
p= (p1, . . . , pn) Rn e de raior 0 o conjunto
Br(p) ={x Rn : d(x, p) r}.
Exerccio 3Diga o que so bolas em R, R2 e R3.
1.2 Continuidade p.12/24
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Conjunto limitado e fronteira
Definicao(Conjunto limitado) Um subconjuntoD de Rn diz-se
limitadose existir uma bola fechadaBr(0)tal queD Br(0).
Definicao(Fronteira) Um pontopdiz-seponto de fronteira deum conjuntoD se qualquer bola aberta de centro emptem
pontos que pertencem aD e pontos que no pertencem a D.
Exerccio 4 Uma funo diz-se limitada se o seu contradomnio
for um conjunto limitado. Encontre exemplos de funes de
vrias variveis limitadas e no limitadas com domnio limitado e
no limitado.
1.2 Continuidade p.13/24
Conjunto fechado
Definicao(Conjunto fechado) Um subconjuntoD de Rn diz-se
fechadoem Rn se todos os pontos de fronteira deD pertencem a
D.ProposicaoUm subconjuntoD de Rn diz-se fechado em Rn se e
s se toda a sucesso de pontos de D tem o seu limite emD.
1.2 Continuidade p.14/24
Conjunto compacto e Teorema de Weierstrass
Definicao(Conjunto compacto) Um subconjuntoKde Rn diz-se
compactose for limitado e fechado em Rn.
Teorema(Weierstrass) Toda a funof :K Rn R contnua
no conjunto compactoK(no-vazio) possui pelo menos um
mximo global e pelo menos um mnimo global emK.
1.2 Continuidade p.15/24
Interior e conjunto aberto
DefinicaoUm pontop diz-se umponto interiorde um conjunto
D Rn se existir uma bola aberta de centro emp contida emD.
O conjunto de todos os pontos interiores de um conjunto D
diz-se oconjunto interiordeD e denota-se porint(D).
Definicao (Conjunto aberto) Diz-se que um conjunto D Rn
abertose todos os seus pontos so pontos interiores de D.
1.2 Continuidade p.16/24
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Exerccio 5
Encontre exemplos de conjuntos abertos e conjuntos fechados
emR2
e emR3
. Um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo?
Pode no ser aberto nem fechado? Exemplifique.
(Livro, pag. 130) Determine os extremos da funo
f :D R; (x, y)x2 +y2 onde
(a) D= R2
(b) D={
(x, y)
R2 :x2 +y2
1
}(c) D= {(x, y) R2 :x2 +y2
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Existncia de limite
Sejam
f :D Rm R, A1. . . AnD (n N)
comD = A1 . . . Ane p um ponto de acumulao deAi para
qualqueri {1 . . . n}. Se existirem os limites
limxp
f|Ai(x) (i= 1 . . . n)
e tiverem todos o mesmo valorLento existe o limite defemp
e temos
limxp
f(x) =L.
1.2 Continuidade p.21/24
Exerccio 7
Prove que existe limite da funo
f(x, y) = x+y y >0x2 +y2 y 0
no ponto(0, 0)e determine o seu valor.
1.2 Continuidade p.22/24
No existncia de limite
Sejam
f :D Rn R; A, BD,
epum ponto de acumulao deA e deB.
Se um dos limites
limxp
f|A(x)e limxp
f|B(x)
no existe ou
limxp
f|A(x)= limxp
f|B(x)
ento no existe
limxp
f(x).
(f|Adenota a restrio da funofao subconjuntoA do seu
domnio). 1.2 Continuidade p.23/24
Exerccio 8
Mostre que a funo
f(x, y) =
xy2
x2 +y4 se x= 0
0 se x= 0
no continua em(0, 0)utilizando o resultado anterior.
1.2 Continuidade p.24/24