1.2_Continuidade

7/25/2019 1.2_Continuidade

1/6

1.2 Continuidade

Lus Descalco

Universidade de Aveiro

1.2 Continuidade p.1/24

Funes de uma varivel

Definicao(Heine) Sejaf :D R R. A funofcont nua

no pontop D se para toda a sucesso

xn p

no domnio, tivermos

f(xn) f(p).

Diz-se que a funof contnua se for contnua em todos os

pontos do seu domnioD.Teorema (Weierstrass)Toda a funof : [a, b] R contnua

definida no intervalo fechado e limitado [a, b]tem pelo menos um

mximo global e pelo menos um mnimo global nesse intervalo.


Definio equivalente

Definicao(Cauchy) Sejaf :D R R. A funof

cont nuano pontop D se

>0 >0 :|x p|< = |f(x) f(p)|< .


Funes de duas variveis

DefinicaoSejaf :D R2 R. A funofcont nuano

pontop= (a, b) D se para toda a sucesso

Xn= (xn, yn) (a, b) =p

no domnio, isto , se para todo o par de sucesses numricas

xn a e ynb

tivermos

f(xn, yn) f(a, b).

Diz-se que a funo f contnua se for contnua em todos os

pontos do seu domnioD.



2/6

Funes dem variveis

DefinicaoSejaf :D Rm R. A funof cont nuano

pontop= (p1, p2, . . . , pm) D se para toda a sucesso

Xn= (x1,n, x2,n, . . . , xm,n) (p1, p2, . . . , pm) =p

no domnio, isto , se para toda a coleco de msucesses

numricas

x1,np1, x2,n p2, . . . , xm,npm

tivermos

f(x1,n, x2,n, . . . , xm,n) f(p1, p2, . . . , pm).

Diz-se que a funo f contnua se for contnua em todos os

pontos do seu domnioD. 1.2 Continuidade p.5/24

Propriedades

Teorema Sejamf :Df Rm R eg : Dh R

m R

funes contnuas emp Df Dg . Ento as funes

f+g, f g, ef.g

so contnuas emp. Seg(p)= 0, ento a funo

f /g

contnua emp. Se a funoh : Dh R R for contnua em

f(p) Dhento a funo composta

h f

contnua emp.


Exerccio 1

Uma funo constantef(x, y) =k contnua

As projecesf(x, y) =x eg(x, y) =y so funes contnuas

Uma funo polinomial contnua (por exemplo, a funo

f(x,y,z) =x2

+y+z3

contnua)

A composio de uma funo de varivel real contnua com uma

funo polinomial de diversas variveis, uma funo contnua

(por exemplof(x, y) = sin(x2 +y2) uma funo contnua)


Exerccio 2

Determine o domnio de continuidade da seguinte funo:

f(x, y) =

3x2y

x2 +y2 se (x, y)= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)



3/6

Distncia euclidiana

Em R2

Para(x, y), (a, b) R2 define-se a distncia (euclidiana) entre

(x, y)e (a, b)por

d((x, y), (a, b)) =

(x a)2 + (y b)2.

Em Rm

ParaP = (p1, p2, . . . , pm), X= (x1, x2, . . . , xm) Rm define-se

a distncia (euclidiana) entreXeP por

d(X, P) =

(x1p1)2 + (x2p2)2 +. . .+ (xmpm)2.


Propriedades da funo distncia

Teorema Sejamp, q,r Rm. Ento

(1)d(p, q) 0 e d(p, p) = 0,

(2)d(p, q) =d(q, p)e(3) (Desigualdade triangular)d(p, q) d(p, r) +d(r, q)


Desigualdade de Cauchy-Schwarz

ni=1

|xi.yi|

ni=1

x2i .

ni=1

y2i

Utiliza-se para provar que a distncia euclidiana satisfaz a de-

sigualdade triangular


Algumas noes topolgicas

Definicao(Bola aberta) Abola abertade centro em

p= (p1, . . . , pn) Rn e de raior >0 o conjunto

Br(p) ={x Rn : d(x, p)< r}.

Definicao(Bola fechada) Abola fechadade centro em

p= (p1, . . . , pn) Rn e de raior 0 o conjunto

Br(p) ={x Rn : d(x, p) r}.

Exerccio 3Diga o que so bolas em R, R2 e R3.



4/6

Conjunto limitado e fronteira

Definicao(Conjunto limitado) Um subconjuntoD de Rn diz-se

limitadose existir uma bola fechadaBr(0)tal queD Br(0).

Definicao(Fronteira) Um pontopdiz-seponto de fronteira deum conjuntoD se qualquer bola aberta de centro emptem

pontos que pertencem aD e pontos que no pertencem a D.

Exerccio 4 Uma funo diz-se limitada se o seu contradomnio

for um conjunto limitado. Encontre exemplos de funes de

vrias variveis limitadas e no limitadas com domnio limitado e

no limitado.


Conjunto fechado

Definicao(Conjunto fechado) Um subconjuntoD de Rn diz-se

fechadoem Rn se todos os pontos de fronteira deD pertencem a

D.ProposicaoUm subconjuntoD de Rn diz-se fechado em Rn se e

s se toda a sucesso de pontos de D tem o seu limite emD.


Conjunto compacto e Teorema de Weierstrass

Definicao(Conjunto compacto) Um subconjuntoKde Rn diz-se

compactose for limitado e fechado em Rn.

Teorema(Weierstrass) Toda a funof :K Rn R contnua

no conjunto compactoK(no-vazio) possui pelo menos um

mximo global e pelo menos um mnimo global emK.


Interior e conjunto aberto

DefinicaoUm pontop diz-se umponto interiorde um conjunto

D Rn se existir uma bola aberta de centro emp contida emD.

O conjunto de todos os pontos interiores de um conjunto D

diz-se oconjunto interiordeD e denota-se porint(D).

Definicao (Conjunto aberto) Diz-se que um conjunto D Rn

abertose todos os seus pontos so pontos interiores de D.



5/6

Exerccio 5

Encontre exemplos de conjuntos abertos e conjuntos fechados

emR2

e emR3

. Um conjunto pode ser aberto e fechado ao mesmo tempo?

Pode no ser aberto nem fechado? Exemplifique.

(Livro, pag. 130) Determine os extremos da funo

f :D R; (x, y)x2 +y2 onde

(a) D= R2

(b) D={

(x, y)

R2 :x2 +y2

1

}(c) D= {(x, y) R2 :x2 +y2


6/6

Existncia de limite

Sejam

f :D Rm R, A1. . . AnD (n N)

comD = A1 . . . Ane p um ponto de acumulao deAi para

qualqueri {1 . . . n}. Se existirem os limites

limxp

f|Ai(x) (i= 1 . . . n)

e tiverem todos o mesmo valorLento existe o limite defemp

e temos

limxp

f(x) =L.


Exerccio 7

Prove que existe limite da funo

f(x, y) = x+y y >0x2 +y2 y 0

no ponto(0, 0)e determine o seu valor.


No existncia de limite

Sejam

f :D Rn R; A, BD,

epum ponto de acumulao deA e deB.

Se um dos limites

limxp

f|A(x)e limxp

f|B(x)

no existe ou

limxp

f|A(x)= limxp

f|B(x)

ento no existe

limxp

f(x).

(f|Adenota a restrio da funofao subconjuntoA do seu

domnio). 1.2 Continuidade p.23/24

Exerccio 8

Mostre que a funo

f(x, y) =

xy2

x2 +y4 se x= 0

0 se x= 0

no continua em(0, 0)utilizando o resultado anterior.


1.2_Continuidade

Documents

Transcript of 1.2_Continuidade