1.3. Forças e movimentos

Professora Paula Melo Silva

Séc. IV a.C.

O filósofo grego Aristótelesacreditava que os corpos maispesados, abandonados de umamesma altura, alcançariam osolo antes dos mais leves.

Dave Scott recriou a experiênciade Galileu durante a missão ApoloXV na Lua, onde a atmosfera érarefeita comprovando, assim,experimentalmente, a sua teoria.

Galileu Galilei comprovouempiricamente que os objetos,quando abandonadoslivremente da mesma altura,caem com a mesma aceleração,independentemente da massaque possuem.

Séc. XVII

Séc. XX

Desprezando a resistência do ar, a bola de ténis e a bola de papel

caem com a mesma aceleração.Experiência de Galileu realizada na maior câmara de vácuo do mundo

QUEDA LIVRE

QUEDA LIVREMovimento vertical de um corpo sujeito apenas à ação da força gravíticauma vez que a resistência do ar é desprezável.

TABELA I – DADOS RELATIVOS ÀS COMPONENTES ESCALARES DA POSIÇÃO E VELOCIDADE DO MOVIMENTO DE QUEDA LIVRE DE UMA ESFERA

t / s y / m v / m s1

0,000 1,695

0,025 1,690 0,22

0,050 1,682 0,50

0,075 1,666 0,70

0,100 1,646 0,98

0,125 1,620 1,20

0,150 1,585 1,44

0,175 1,550 1,70

0,200 1,500 1,90

0,225 1,458 2,14

0,250 1,400 2,40

0,275 1,334 2,65

t / s y / m v / m s1

0300 1,275 2,90

0,325 1,197 3,20

0,350 1,118 3,40

0,375 1,032 3,70

0,400 0,949 3,92

0,425 0,844 4,20

0,450 0,732 4,40

0,475 0,622 4,62

0,500 0,500 4,87

0,525 0,350 5,10

0,550 0,350 5,40

0,575 0,120 5,60

Gráfico posição-tempo (A) e velocidade-tempo (B) para o movimento de queda livre da esfera. As equações de ajuste são obtidas por regressão quadrática e regressão linear, respetivamente.

y = 4,91 t2 0,08 t 1,69v = 9,82 t 0,03

A equação das velocidades para movimentos retilíneos uniformementevariados traduz a relação linear da componente escalar da velocidade como tempo e é dada genericamente por:

v = v0 a t

Onde v0 corresponde à ordenada na origem e a ao declive da reta.

Se a esfera for lançada verticalmente para cima…

Durante a subida o módulo da velocidade diminui linearmente com otempo – movimento retilíneo uniformemente retardado.

I

II

III

Quando atinge a altura máxima a velocidade anula-se e a esfera inverteo sentido do movimento.

Durante a descida o módulo da velocidade aumenta linearmente com otempo – movimento retilíneo uniformemente acelerado.

I

III

IIIII

III

Gráfico posição-tempo (A) e velocidade-tempo (B) para o movimento de uma esfera lançada verticalmente para cima, com efeito da resistência do ar desprezável.

Se a esfera for lançada verticalmente para cima…

I

I

I

II

II

II

III

III

III

v = 9,80 t 6,27

A força gravítica e a aceleração são sempre constantes e garantem que noponto de altura máxima a esfera retoma o movimento, mas no sentido daforça aplicada.

De acordo com a equação da velocidade, a componente escalar daaceleração do movimento de queda livre da esfera coincide com o móduloda aceleração gravítica (|g| ≈ 9,8 m s2).

Se a esfera for lançada verticalmente para cima…

y = 4,90 t2 6,27 t 0,22 v = 9,80 t 6,27

A equação da curva de ajuste do gráfico posição-tempo para este tipo demovimento é uma função de segundo grau, e corresponde à equação dasposições ou lei do movimento retilíneo uniformemente variado:

𝑥 = 𝑥0 v0 t ½ a t2

Movimento retilíneouniformemente variado

Gráfico 𝑥 = f (t) Gráfico v = f (t)

M.R.U.A.• O módulo de v aumenta;• a e v têm a mesma direçãoe o mesmo sentido;• Depois de um máximo ou de um mínimo num gráfico 𝑥 = f(t) ou quando a reta se afasta do eixo O𝑥 num gráfico v = f(t).

Parábola com concavidade para cima se a aceleração é positiva ou…

… para baixo se a aceleração é negativa.

Reta com declive positivo se a aceleração é positiva ou…

… negativo se a aceleração é negativa.

M.R.U.R.• O módulo de v diminui;• a e v têm a mesma direçãomas sentido opostos;• Antes de um máximo ou de um mínimo num gráfico𝑥 = f(t) ou quando a reta se

aproxima do eixo O𝑥 num gráfico v = f(t).

O tempo de queda de dois corpos em queda livre abandonados da mesmaaltura é igual e independente da massa e da forma dos corpos pois, deacordo com as equações do movimento:

queda

2 ht

g

y = y0 v0 t ½ a t2 ⇔⇔ y = h ½ g t2 ⇔Quando y = 0:

A resistência do ar não poderá ser desprezada quando o módulo davelocidade do corpo em queda é grande, quando apresenta uma grandesuperfície ou quando não tem forma compacta.

Dependendo da situação, a resistência do ar pode ser útil, como é o casodo movimento de queda de um paraquedista, mas quando o objetivo éatingir velocidades de módulos elevados, como no lançamento de umfoguetão, é limitativa.

QUEDA COM RESISTÊNCIA DO AR APRECIÁVEL

Gráficos posição-tempo (A) e velocidade-tempo (B) do movimento de queda na vertical, com efeito de resistência do ar apreciável. O referencial escolhido coincide com o eixo Oy, com origem no solo e sentido positivo para cima.

QUEDA COM RESISTÊNCIA DO AR APRECIÁVEL

I

II

I

I

IIII

O módulo da velocidade aumenta cada vez mais lentamente com otempo – movimento retilíneo acelerado.

O espaço percorrido é proporcional ao tempo, o corpo atinge umavelocidade máxima constante – velocidade terminal.

Gráfico velocidade-tempo correspondente às várias etapas do movimento de queda de um paraquedista.

QUEDA DE UM PARAQUEDISTA

Quando o paraquedista salta do avião, a aceleração coincide com aaceleração gravítica.

QUEDA DE UM PARAQUEDISTA

O paraquedista fica sujeito à resistência do ar de menor intensidade quea força gravítica, pelo que a força resultante tem sentido do movimentoe a velocidade vai aumentando em módulo.

Com o aumento do módulo da velocidade, aumenta a intensidade daresistência do ar, a intensidade da força resultante e o módulo daaceleração diminuem e o módulo da velocidade aumenta cada vez maislentamente – movimento retilíneo acelerado.

Gráfico velocidade-tempo correspondente às várias etapas do movimento de queda de um paraquedista.

QUEDA DE UM PARAQUEDISTA

A intensidade da resistência do ar torna-se igual à intensidade da forçagravítica.

O paraquedista desloca-se com movimento retilíneo uniformeatingindo a primeira velocidade terminal.

Gráfico velocidade-tempo correspondente às várias etapas do movimento de queda de um paraquedista.

FR = 0 ⇔ Fg = Rar ⇒ a = 0 ⇒ v = constante

QUEDA DE UM PARAQUEDISTA

Ao abrir o paraquedas, há um aumento abrupto da intensidade daresistência do ar, a força resultante passa a ter sentido oposto ao domovimento ,diminuindo o módulo da velocidade.

Gráfico velocidade-tempo correspondente às várias etapas do movimento de queda de um paraquedista.

Com a diminuição do módulo da velocidade, diminui a intensidade daresistência do ar, a intensidade da força resultante e o módulo daaceleração diminuem e o módulo da velocidade diminui cada vez maislentamente – movimento retilíneo retardado.

QUEDA DE UM PARAQUEDISTA

A intensidade da resistência do ar torna-se igual à intensidade da forçagravítica pela segunda vez.

O paraquedista desloca-se com movimento retilíneo uniformeatingindo a segunda velocidade terminal, muito inferior à primeira.

Gráfico velocidade-tempo correspondente às várias etapas do movimento de queda de um paraquedista.

FR = 0 ⇔ Fg = Rar ⇒ a = 0 ⇒ v = constante

Movimento de um corpo que se desloca ao longo de uma trajetóriaretilínea com velocidade constante como é o caso do paraquedista quandoatinge a velocidade terminal.

MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME

Gráficos posição-tempo (A) e velocidade-tempo (B) para movimentos retilíneos uniformes no sentido positivo ( ) e no sentido negativo ( ).

A equação das posições para o MRU pode ser considerada como um casoparticular da equação das posições do MRUV, em que a aceleração é nula:

𝑥 = 𝑥0 v t

Num gráfico 𝑥 = f(t), 𝑥0 corresponde à ordenada na origem e v ao decliveda reta.

No movimento em planos horizontais ou inclinados, podem atuar outrasforças além dessa e, consequentemente, o módulo da aceleração nãocoincide com o módulo da aceleração gravítica.

Por exemplo, um carrinho de massa m que desce um plano inclinado,onde o atrito é desprezável, está sujeito à força normal e à força gravítica.

A força gravítica, exercida pela Terra, atuaverticalmente para baixo; A força normal, exercida pelo plano inclinado,atua perpendicularmente à superfície; A força gravítica apresenta duas componentes:uma segundo o eixo O𝑥 e outra segundo o eixo Oy.

PLANOS HORIZONTAIS E PLANOS INCLINADOS

gF

N

,g xF

,g yFq

Fg = m g

N = Fg, y = m g cos q

Fg, x = m g sen q

FR = Fg, x

Logo, de acordo com a

segunda Lei de Newton:

m a = m g sen q ⇔

a = g sen q

No movimento em planos horizontais ou inclinados podem atuar outrasforças além dessa e, consequentemente, o módulo da aceleração nãocoincide com o módulo da aceleração gravítica.

Por exemplo, um carrinho de massa m que desce um plano inclinado,onde o atrito é desprezável, está sujeito à força normal e à força gravítica.

A componente escalar da aceleração éconstante e independente da massa do carrinho; O módulo da aceleração é inferior ao módulo daaceleração gravítica no local; O carrinho adquire movimento retilíneouniformemente acelerado.

PLANOS HORIZONTAIS E PLANOS INCLINADOS

gF

N

,g xF

,g yFq

Fg = m g

N = Fg, y = m g cos q

Fg, x = m g sen q

FR = Fg, x

Logo, de acordo com a

segunda Lei de Newton:

m a = m g sen q ⇔

a = g sen q

No movimento em planos horizontais ou inclinados podem atuar outrasforças além dessa e, consequentemente, o módulo da aceleração nãocoincide com o módulo da aceleração gravítica.

Por exemplo, um carrinho de massa m que desce um plano inclinado,onde o atrito é desprezável, está sujeito à força normal e à força gravítica.

A componente escalar da aceleração éconstante e independente da massa do carrinho; O módulo da aceleração é inferior ao módulo daaceleração gravítica no local; O carrinho adquire movimento retilíneouniformemente acelerado.

PLANOS HORIZONTAIS E PLANOS INCLINADOS

gF

N

,g xF

,g yFq

Movimento de um corpo que descreve uma circunferência ou um arco decircunferência de raio, r, com velocidade de módulo constante, v.

O movimento da Lua em torno da Terra pode ser considerado ummovimento circular uniforme.

A velocidade, constante em módulo, étangente à trajetória, mudando dedireção em cada instante; A mudança de direção é provocadapela força gravítica que atua numadireção radial, perpendicular àvelocidade em cada momento ; Como a velocidade varia, existeaceleração com direção radial e sentidocentrípeto.

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

A aceleração centrípeta,característica dos movimentoscurvilíneos e circulares, éoriginada pela variação dadireção da velocidade do corpo.

Mas por que razão os satélites artificiais e a Lua não colidem com a Terraou os planetas não caem no Sol por ação da força gravítica atrativa?

Quando se formou o Sistema Solar, a Terrapassou a orbitar em torno do Sol e a Lua emvolta da Terra com uma velocidade de móduloelevado e com direção perpendicular à forçagravítica, fazendo com que esta sejaresponsável por manter as suas órbitas.

Também um automóvel que circula numa rotunda experimenta omovimento circular uniforme se o velocímetro marcar um valor develocidade constante.

Note-se que a velocidade, tangente àtrajetória em cada ponto e comsentido do movimento, é constante emmódulo…

… mas varia em direção, logo:

A aceleração e a força resultantetêm ambas módulo constante,direção radial (perpendicular àdireção da velocidade em cada ponto)e sentido centrípeto.

atrito 0 0 constante trajetória retilíneacF F v

O movimento circular uniforme é um movimento periódico uma vez quea posição, a velocidade e a aceleração se repetem em intervalos detempos iguais.

Nesse movimento periódico:

o período () é o intervalo de tempocorrespondente a uma volta (rotação)completa.

a frequência (f) é o número de voltascompletas por unidade de tempo.O período e a frequência sãoinversamente proporcionais:

11(Hz ou s )f

Se o intervalo de tempo t, em que uma partícula passa da posição Apara a posição B, diminuir, d aproxima-se de r e o módulo da velocidadecoincide com a rapidez média.

Assim, a velocidade linear pode serobtida pela expressão…

ou

Também se pode definir a velocidadeangular como o ângulo descrito pelapartícula sobre a trajetória circular porintervalo de tempo.

ou ou

As duas grandezas relacionam-se pelaexpressão:

2 rv

2v r f

t

q

2 f

2

v r

A rapidez com que a velocidade muda dedireção é avaliada pela aceleraçãocentrípeta…

ou

Aplicando a Segunda Lei de Newton, aexpressão que permite determinar acomponente escalar da força centrípetaé:

2

c

va

r

2ca r

22

c c c c

vF m a F m F m r

r

APLICAÇÕES DOS SATÉLITES TERRESTRES

Satélite que se encontra aparentemente parado relativamente a umponto fixo sobre a Terra, uma vez que o seu período orbital coincide como período de rotação da Terra.

Como a única força a que o satélite está sujeito é a força gravítica…

SATÉLITE GEOESTACIONÁRIO

c g sF F m 2

T sm mvG

r

2r ouT T

T

Gm Gmv v

r r h

Substituindo a expressão da velocidade, obtém-se a relação entre o raio daórbita do satélite e o seu período orbital…

2 3 224T

T

r Gmr Gm

r

33 2

2ou =2

4T

T

G m rr

G m